Теплопроводность - это один из видов теплопередачи. Передача тепла может осуществляться с помощью различных механизмов.
Все тела излучают электромагнитные волны. При комнатной температуре это в основном излучение инфракрасного диапазона. Так происходит лучистый теплообмен .
При наличии поля тяжести еще одним механизмом теплопередачи в текучих средах может служить конвекция . Если к сосуду, содержащему жидкость или газ, тепло подводится через днище, в первую очередь прогреваются нижние порции вещества, их плотность уменьшается, они всплывают вверх и отдают часть полученного тепла верхним слоям.
При теплопроводности перенос энергии осуществляется в результате непосредственной передачи энергии от частиц (молекул, атомов, электронов), обладающих большей энергией, частицам с меньшей энергией.
В нашем курсе будет рассматриваться передача теплоты путем теплопроводности.
Рассмотрим сначала одномерный случай, когда температура зависит только от одной координаты х . Пусть две среды разделены плоской перегородкой толщины l (рис. 23.1). Температуры сред Т 1 и Т 2 поддерживаются постоянными. Опытным путем можно установить, что количество тепла Q , переданное через участок перегородки площадью S за время t равно
, (23.1)
где коэффициент пропорциональности k зависит от материала стенки.
При Т 1 > Т 2 тепло переносится в положительном направлении оси х , при Т 1 < Т 2 – в отрицательном. Направление распространения тепла можно учесть, если в уравнении (23.1) заменить (Т 1 - Т 2)/l на (- dT /dx ). В одномерном случае производная dT /dx представляет собой градиент температуры . Напомним, что градиент – это вектор, направление которого совпадает с направлением наиболее быстрого возрастания скалярной функции координат (в нашем случае Т ), а модуль равен отношению приращения функции при малом смещении в этом направлении к расстоянию, на котором это приращение произошло.
Чтобы придать уравнениям, описывающим перенос тепла, более общий и универсальный вид, ведем в рассмотрение плотность потока тепла j - количество тепла, переносимое через единицу площади в единицу времени
Тогда соотношение (23.1) можно записать в виде
Здесь знак «минус» отражает тот факт, что направление теплового потока противоположно направлению градиента температуры (направлению ее возрастания). Таким образом, плотность потока тепла является векторной величиной. Вектор плотности потока тепла направлен в сторону уменьшения температуры.
Если температура среды зависит от всех трех координат, то соотношение (23.3) принимает вид
где 
, - градиент температуры (е
1 , е
2 , е
3 - орты осей координат).
Соотношения (23.3) и (23.4) представляют основной закон теплопроводности (закон Фурье): плотность потока тепла пропорциональна градиенту температуры. Коэффициент пропорциональности k называется коэффициентом теплопроводности (или просто теплопроводностью). Т.к. размерность плотности потока тепла [j ] = Дж/(м 2 с), а градиента температуры [dT/dx ] = К/м, то размерность коэффициента теплопроводности [k] = Дж/(м×с×К).
В общем случае температура в различных точках неравномерно нагретого вещества меняется с течением времени. Рассмотрим одномерный случай, когда температура зависит только от одной пространственной координаты х и времени t ,и получим уравнение теплопроводности - дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция T = T (x ,t ).
Выделим мысленно в среде малый элемент объема в виде цилиндра или призмы, образующие которого параллельны оси х
, а основания перпендикулярны (рис 23.2). Площадь основания S
, а высота dx
. Масса этого объема dm
= rSdx
, а его теплоемкость c×dm
где r - плотность вещества, с
- удельная теплоемкость. Пусть за малый промежуток времени dt
температура в этом объеме изменилась на dT
. Для этого вещество в объеме должно получить количество тепла, равное произведению его теплоемкости на изменение температуры: 
. С другой стороны, dQ
можно может поступить в объем только через основания цилиндра: (плотности потоков тепла j
могут быть как положительными, так и отрицательными). Приравнивая выражения для dQ
, получим
.
Заменяя отношения малых приращений соответствующими производными, придем к соотношению
. (23.5)
Подставим в формулу (23.5) выражение (23.3) для плотности потока тепла
. (23.6)
Полученное уравнение называется уравнением теплопроводности . Если среда однородна, и теплопроводность k не зависит от температуры, уравнение принимает вид
, (23.7)
где постоянная называется коэффициентом температуропроводности среды.
Уравнениям (23.6) – (23.8) удовлетворяет бесчисленное множество функций T = T (x ,t ).
Для выделения единственного решения уравнения теплопроводности необходимо к уравнению присоединить начальные и граничные условия.
Начальное условие состоит в задании распределения температуры в среде Т (х ,0) в начальный момент времени t = 0.
Граничные условия могут быть различными в зависимости от температурного режима на границах. Чаще всего встречаются ситуации, когда на границах заданы температура или плотность потока тепла как функции времени.
В ряде случаев в среде могут оказаться источники тепла. Теплота может выделяться в результате прохождения электрического тока, химических или ядерных реакций. Наличие источников тепла можно учесть введением объемной плотности энерговыделения q (x ,y ,z ), равной количеству теплоты, выделяемому источниками в единице объема среды за единицу времени. В этом случае в правой части уравнения (23.5) появится слагаемое q :
.
Изучение любого физического явления сводится к установлению зависимости между величинами, характеризующими это явление. Для сложных физических процессов, в которых определяющие величины могут существенно изменяться в пространстве и времени, установить зависимость между этими величинами достаточно сложно. В таких случаях используют методы математической физики, которые заключаются в том, что ограничивается промежуток времени и из всего пространства рассматривается некоторый элементарный объем. Это позволяет в пределах выбранного объема и данного промежутка времени пренебречь изменениями величин, характеризующих процесс, и существенно упростить зависимость.
Выбранные таким образом элементарный объем dV и элементарный промежуток времени dτ , в пределах которых рассматривается процесс, с математической точки зрения являются величинами бесконечно малыми, а с физической точки зрения – величинами еще достаточно большими, чтобы в их пределах можно было считать среду как сплошную, пренебрегая ее дискретным строением. Полученная таким образом зависимость является общим дифференциальным уравнением процесса. Интегрируя дифференциальные уравнения, можно получить аналитическую зависимость между величинами для всей области интегрирования и всего рассматриваемого промежутка времени.
Для решения задач, связанных с нахождением температурного поля, необходимо иметь дифференциальное уравнение теплопроводности.
Примем следующие допущения:
тело однородно и изотропно;
физические параметры постоянны;
деформация рассматриваемого объема, связанная с изменением температуры, очень мала по сравнению с самим объемом;
внутренние источники теплоты в теле, распределены равномерно.
В основу вывода дифференциального уравнения теплопроводности положим закон сохранения энергии, который сформулируем так:
Количество теплоты dQ , введенное в элементарный объем dV извне за время dτ вследствие теплопроводности, а также от внутренних источников, равно изменению внутренней энергии или энтальпии вещества, содержащегося в элементарном объеме.
где dQ 1 – количество теплоты, введенное в элементарный объем dV путем теплопроводности за время dτ ;
dQ 2 – количество теплоты, которое за время dτ выделилось в элементарном объеме dV за счет внутренних источников;
dQ – изменение внутренней энергии (изохорный процесс) или энтальпии вещества (изобарный процесс), содержащегося в элементарном объеме dV за время dτ .
Для получения уравнения рассмотрим элементарный объем в виде кубика со сторонами dx , dy , dz (см. рис.1.2.). Кубик расположен так, чтобы его грани были параллельны соответствующим координатным плоскостям. Количество теплоты, которое подводится к граням элементарного объема за время dτ в направлении осей x , y , z обозначим соответственно dQ x , dQ y , dQ z .
Количество теплоты, которое будет отводиться через противоположные грани в тех же направлениях, обозначим соответственно dQ x + dx , dQ y + dy , dQ z + dz .
Количество теплоты,
подведенное к грани dxdy
в направлении оси x
за время dτ
,
составляет: 
где q x – проекция плотности теплового потока на направление нормали к указанной грани. Соответственно количество теплоты, отведенное через противоположную грань будет:
Разница между
количеством теплоты, подведенном к
элементарному объему, и количеством
теплоты, отведенного от него, представляет
собой теплоту: 
Функция q является непрерывной в рассматриваемом интервале dx и может быть разложена в ряд Тейлора:
Если ограничиться
двумя первыми слагаемыми ряда, то
уравнение запишется в виде: 
Аналогичным образом можно найти количество теплоты, подводимое к объему в направлении двух других координатных осей y и z .
Количество теплоты dQ , подведенное в результате теплопроводности к рассматриваемому объему, будет равно:
Второе слагаемое определим, обозначив количество теплоты, выделяемое внутренними источниками в единице объема среды в единицу времени q v и назовем его мощностью внутренних источников теплоты [Вт/м 3 ], тогда:
Третья составляющая в нашем уравнении найдется в зависимости от характера ТД процесса изменения системы.
При рассмотрении изохорного процесса вся теплота, подведенная к элементарному объему, уйдет на изменение внутренней энергии вещества, заключенного в этом объеме, т.е. dQ = dU .
Если рассматривать внутреннюю энергию единицы объема u = f (t , v ) , то можно записать:
, Дж/м 3
, Дж/кг
где c v – изохорная теплоемкость или единицы объема или единицы массы, [Дж/м 3 ];
ρ – плотность, [кг/м 3 ].
Соберем полученные выражения:
Полученное выражение является дифференциальным уравнением энергии для изохорного процесса переноса теплоты .
Аналогично выводится уравнение для изобарного процесса. Вся теплота, подведенная к объему уйдет на изменение энтальпии вещества, заключенного в объеме.
Полученное соотношение является дифференциальным уравнением энергии для изобарного процесса.
В твердых телах
перенос теплоты осуществляется по
закону Фурье
,
значение теплоемкости
можно принять
.
Напомним, что проекция вектора плотности
теплового потока на координатные оси
определяются выражениями:
Последнее выражение называют дифференциальным уравнением теплопроводности. Оно устанавливает связь между временным и пространственным изменениями температуры в любой точке тела, в котором происходит процесс теплопроводности.
Наиболее общее дифференциальное уравнение теплопроводности в частных производных имеет такую же форму, но в нем величины ρ , , с являются функциями времени и пространства. Это уравнение описывает большое количество задач теплопроводности, представляющих практический интерес. Если принять теплофизические параметры постоянными, то уравнение будет проще:
Обозначим
,
тогда:
Коэффициент пропорциональности а [м 2 /с] называется коэффициентом температуропроводности и является физическим параметром вещества. Он существенен для нестационарных тепловых процессов характеризует скорость изменения температуры. Если коэффициент теплопроводности характеризует способность тел проводить теплоту, то коэффициент температуропроводности является мерой теплоинерционных свойств тела. Например, жидкости и газы обладают большей тепловой инерционностью и, следовательно, малым коэффициентом температуропроводности, а металлы наоборот имеют малую тепловую инерционность.
Если имеются внутренние источники теплоты, а температурное поле является стационарным, то мы получаем уравнение Пуассона:
Наконец, при стационарной теплопроводности и отсутствии внутренних источников теплоты мы получаем уравнение Лапласа:
Условия однозначности для теплопроводности.
Так как дифференциальное уравнение теплопроводности выведено из общих законов физики, то оно описывает целый класс явлений. Для его решения необходимо задать граничные условия или условия однозначности.
Условия однозначности включают:
геометрические условия – характеризуют форму и размеры тела;
физические условия – характеризуют физические свойства среды и тела;
начальные (временные) условия – характеризуют распределение температур в теле в начальный момент времени, задаются при исследовании нестационарных процессов;
граничные условия – характеризуют взаимодействие рассматриваемого тела с окружающей средой.
Граничные условия могут быть заданы несколькими способами.
Граничные условия первого рода. Задается распределение температуры на поверхности тела для каждого момента времени:
t c = f (x , y , z , τ )
где t c – температура на поверхности тела;
x , y , z – координаты поверхности тела.
В частном случае, когда температура на поверхности является постоянной на протяжении всего времени протекания процессов теплообмена, уравнение упрощается:
t c = const
Граничные условия второго рода. Задаются значения теплового потока для каждой точки поверхности тела и любого момента времени. Аналитически выглядит так:
q c = f (x , y , z , τ )
В простейшем случае плотность теплового потока по поверхности тела остается постоянной. Такой случай имеет место при нагревании металлических изделий в высокотемпературных печах.
Граничные условия третьего рода. При этом задаются температура окружающей среды t ср и закон теплообмена между поверхностью тела и средой. Для описания процесса теплообмена используется закон Ньютона-Рихмана. Согласно этому закону количество теплоты, отдаваемое или принимаемое единицей поверхности тела в единицу времени, пропорционально разности температур поверхности тела и среды:
где α коэффициент пропорциональности, называется коэффициентом теплоотдачи [Вт/(м 2 ·К)], характеризует интенсивность теплообмена. Численно он равен количеству теплоты, отдаваемому единицей поверхности тела в единицу времени при разности температур равной одному градусу. Согласно закону сохранения энергии количество теплоты, которое отводится окружающей среде, должно равняться теплу, подводимому вследствие теплопроводности из внутренних частей тела, то есть:
Последнее уравнение является граничным условием третьего рода.
Встречаются более сложные технические задачи, когда ни одно из перечисленных условий задать невозможно, и тогда приходится решать задачу методом сопряжения. При решении такой задачи должны выполняться условия равенства температур и тепловых потоков по обе стороны от границы раздела. В общем случае условия сопряженности можно записать:
Решение сопряженной задачи связано с нахождением температурных полей по обе стороны границы раздела.
Займемся решением первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности: найти решение и(х, t) уравнения удовлетворяющее начальному условию и граничным условиям Начнем с простейшей задачи: найти решение u(x,t) однородного уравнения удовлетворяющее начальному условию и нулевым (однородным) граничным условиям Метод Фурье для уравнения теплопроводности Будем искать нетривиальные решения уравнения (4), удовлетворяющие граничным условиям (6), в виде Псдстаапя в форме (7) в уравнение (4), получим или откуда имеем два обыжювенных дифференциальных уравнения Чтобы получить нетривиальные решения и(х, *) вида (7), удовлетворяющие граничным условиям (6), необходимо найти нетривиальные решения уравнения (10), удовлетворяющие граничным условиям Таким образом, для определения фунмдои Х(х) мы приходим к задаче на собственные значения: найти те значения параметра А, при которых существуют нетривиальные решения задачи Эта задача была рассмотрена в предыдущей главе. Там было показано, что только при существуют нетривиальные решения При А = А„ общее решение уравнения (9) имеет вид удовлетворяют уравнению (4) и граничным условиям (6). Образуем формальный ряд Потребовав, чтобы функция и(х} t), определяемая формулой (12), удовлетворяла начальному условию, получим Ряд (13) представляет собой разложение заданной функции в ряд Фурье по синусам в интервале (О, I). Коэффициенты а„ разложения определяются по известным формулам Метод Фурье для уравнения теплопроводности Предположим, что Тогдаряд (13) с коэффициентами, определяемыми по формулам (14), будет сходиться к функции абсолютно и равномерно. Так как при то ряд при также сходится абсолютно и равномерно. Поэтому функция и(х, t) - сумма ряда (12) - непрерывна в области и удовлетворяет начальному и граничному условиям. Остается показать, что функция и(х, t) удовлетворяет уравнению (4) в области 0. Для этого достаточно показать, что ряды, полученные из (12) почленным дифференцированием по t один раз и почленным дифференцированием по х два раза, также абсолютно и равномерно сходятся при. Но это следует из того, что при любом t > 0 если п достаточно велико. Единственность решения задачи (4)-(6) и непрерывная зависимость решения от начальной функции были уже установлены ранее. Таким образом, для t > 0 задача (4)-(6) поставлена корректно; напротив, для отрицательных t зада ча эта некорректна. Замечание. В отличие отдомового уравнения уравнение неомметрично огноситн о времени t: если заменить t на -t, то получаем уравнение другого вида описывает необратимые процессы: Мы можем предсказать, каким станет данное и через промежуток времени данной t, но мы не можем с уверенностью сказать, какн м было это и за время t до рассматриваемого момента. Это раолич иемежду предсказание м и предысторией типично для параболического ура внения и не имеет места, например, для волнового уравн сния; в случае последнего заглянуть в прошлое так же легко, как и в будущее. Пример. Найти распределение температуры в однородном стерве длины ж, если начальная температура стержня и на концах стержня поддерживается нулевая температура. 4 Задача сводится к решению уравнения при начальном условии и граничных условиях Применяя метод Фурье, ищем нетривиальные решения уравнения (15), удовлетворяющие граничным условиям (17), в виде Подставляя u(x,t) в форме (18) в уравнение (15) и разделяя переменные, получим откуда Собственные значения задачи. собственные функции Хп(х) = мп пх. При А = А„ общее решение уравнения (19) имеет вид Tn(t) = апе а п\ так что Решение задачи (15)-(17) ищем в виде ряда Потребовав выполнения начального условия (16), получим откуда. Поэтому решением исходной задачи будет фунхция 2. Рассмотрим теперь следующую задачу: найти решение гх(ж, t) неоднородного уравнения _ удовДстворя ющее начальному условию и однородным граничным услови м Предположим, что функци / непрерывна, имеет непрерывную производ-ную и при всех t > 0 выполняется условие. Решение задачи (1)-(3) будем искать в виде где определим как решение задачи а функци - как решение задачи Задача (8)-(10) рассмотрена в п. 1. Будем искать решение v(x, t) задачи (5)-(7) в виде ряда по собстве нным функциям { краевой задачи. Подсгааяяя t) в виде в уравнение (5), получим Разложим функцию /ОМ) в ряд Фурье по синусам, где Сравнивая два разложения (12) и (13) функции /(х, t) в ряд Фурье, получаем! Пользуясь начальным условием для v(x, t), Метод Фурье для уравнения теплопроводности находим, что Решения уравнений (15) при начальных условиях (16) имеют вид: Подставляя найденные выражения для Tn(t) в ряд (11), получим решение Функция будет решением исходной задачи (1)-(3). 3. Рассмотрим задачу: найти в области решение уравнения при начальном условии и неоднородных граничных условиях Непосредственно метод Фурье неприменим из-за неоднородности условий (20). Введем новую неизвестную функцию v(x, t), положив где Тогда решение задачи (18)-(20) сведется к решению задачи (1)-(3), рассмотренной в п. 2, для функции v(x, J). Упражнения 1. Задан бесконечный однородный стержень. Покажи те, что если начальная температура то влобой момент температура стержня 2. Ко|рцы стержня длиной ж поддерживаются при температуре, равной нулю. Начальная температура определяется формулой Определите температуру стержня для любого момента времени t > 0. 3. Концы стержня длиной I поддерживаются при температуре, равной нулю. Начальная температура стержня определяется формулой Определите температуру стержня для любого момента времени t > 0. 4. Концы стержня длиной I поддерживаются при температуре, равной нулю. Начальное распределение температуры Определите температуру стержня для любого момента времени t > 0. Ответы
Уравнение теплопроводности для нестационарного случая
нестационарным , если температура тела зависит как от положения точки, так и от времени.
Обозначим через и = и (М , t ) температуру в точке М однородного тела, ограниченного поверхностью S , в момент времени t . Известно, что количество теплоты dQ , поглощаемой за время dt , выражается равенством
где dS − элемент поверхности, k − коэффициент внутренней теплопроводности, − производная функции и по направлению внешней нормали к поверхности S . Так как распространяется в направлении понижения температуры, то dQ > 0, если > 0, и dQ < 0, если < 0.
Из равенства (1) следует
Теперь найдем Q другим способом. Выделим элемент dV объема V , ограниченного поверхностью S . Количество теплоты dQ , получаемой элементом dV за время dt , пропорционально повышению температуры в этом элементе и массе самого элемента, т.е.
где плотность вещества, коэффициент пропорциональности, называемый теплоемкостью вещества.
Из равенства (2) следует
Таким образом,
где . Учитывая, что = , , получим
Заменяя правую часть равенства с помощью формулы Остроградского – Грина, получим
для любого объема V . Отсюда получаем дифференциальное уравнение
которое называют уравнением теплопроводности для нестационарного случая .
Если тело есть стержень, направленный по оси Ох , то уравнение теплопроводности имеет вид
Рассмотрим задачу Коши для следующих случаев.
1. Случай неограниченного стержня. Найти решение уравнения (3) (t > 0, ), удовлетворяющее начальному условию . Используя метод Фурье, получим решение в виде
− интеграл Пуассона.
2. Случай стержня , ограниченного с одной стороны. Решение уравнения (3), удовлетворяющее начальному условию и краевому условию , выражается формулой
3. Случай стержня , ограниченного с двух сторон. Задача Коши состоит, чтобы при х = 0 и х = l найти решение уравнения (3), удовлетворяющее начальному условию и двум краевым условиям, например, или .
В этом случае частное решение ищется в виде ряда
для краевых условий ,
и в виде ряда
для краевых условий .
Пример. Найти решение уравнения
удовлетворяющее начальным условиям
и краевым условиям .
□ Решение задачи Коши будем искать в виде
Таким образом,
Уравнение теплопроводности для стационарного случая
Распределение тепла в теле называют стационарным , если температура тела и зависит от положения точки М (х , у , z ), но не зависит от времени t , т.е.
и = и (М ) = и (х , у , z ).
В этом случае 0 и уравнение теплопроводности для стационарного случая обращается в уравнение Лапласа
которое часто записывают в виде .
Чтобы температура и в теле определялась однозначно из этого уравнения, нужно знать температуру на поверхности S тела. Таким образом, для уравнения (1) краевая задача формулируется следующим образом.
Найти функцию и , удовлетворяющую уравнению (1) внутри объема V и принимающую в каждой точке М поверхности S заданные значения
Эта задача называется задачей Дирихле или первой краевой задачей для уравнения (1).
Если на поверхности тела температура неизвестна, а известен тепловой поток в каждой точке поверхности, который пропорционален , то на поверхности S вместо краевого условия (2) будем иметь условие
Задача нахождения решения уравнения (1), удовлетворяющего краевому условию (3), называется задачей Неймана или второй краевой задачей .
Для плоских фигур уравнение Лапласа записывается в виде
Такой же вид имеет уравнение Лапласа и для пространства, если и не зависит от координаты z , т.е. и (М ) сохраняет постоянное значение при перемещении точки М по прямой, параллельной оси Oz .
Заменой , уравнение (4) можно преобразовать к полярным координатам
С уравнением Лапласа связано понятие гармонической функции. Функция называется гармонической в области D , если в этой области она непрерывна вместе со своими производными до второго порядка включительно и удовлетворяет уравнению Лапласа.
Пример. Найти стационарное распределение температуры в тонком стержне с теплоизолированной боковой поверхностью, если на концах стержня , .
□ Имеем одномерный случай. Требуется найти функцию и , удовлетворяющую уравнению и краевым условиям , . Общее уравнение указанного уравнения имеет вид . Учитывая краевые условия, получим
Таким образом, распределение температуры в тонком стержне с теплоизолированной боковой поверхностью линейно. ■
Задача Дирихле для круга
Пусть дан круг радиуса R с центром в полюсе О полярной системы координат. Надо найти функцию , гармоническую в круге и удовлетворяющую на его окружности условию , где − заданная функция, непрерывная на окружности. Искомая функция должна удовлетворять в круге уравнению Лапласа
Используя метод Фурье, можно получить
− интеграл Пуассона.
Пример. Найти стационарное распределение температуры на однородной тонкой круглой пластинке радиуса R , верхняя половина поддерживается при температуре , а нижняя – при температуре .
□ Если , то , а если , то . Распределение температуры выражается интегралом
Пусть точка расположеиа в верхнем полукруге, т.е. ; тогда изменяется от до , и этот интервал длины не содержит точек . Поэтому введем подстановку , откуда , . Тогда получим
Так правая часть отрицательна, то и при удовлетворяет неравенствам . Для этого случая получаем решение
Если же точка расположена в нижнем полукруге, т.е. , то интервал изменения содержит точку , но не содержит 0, и можно сделать подстановку , откуда , , Тогда для этих значений имеем
Проведя аналогичные преобразования, найдем
Так как правая часть теперь положительна , то . ■
Метод конечных разностей для решения уравнения теплопроводности
Пусть требуется найти решение уравнения
удовлетворяющее:
начальному условию
и краевым условиям
Итак, требуется найти решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям (2), (3), (4), т.е. требуется найти решение в прямоугольнике, ограниченном прямыми , , , , если заданы значения искомой функции на трех его сторонах , , .
Построим прямоугольную сетку, образованную прямыми
− шаг вдоль оси Ох ;
− шаг вдоль оси Оt .
Введем обозначения:
Из понятия конечных разностей можно записать
аналогично
Учитывая формулы (6), (7) и введенные обозначения, запишем уравнение (1) в виде
Отсюда получим расчетную формулу
Из (8) следует, что если известны три значения к k -ом слое сетки: , , , то можно определить значение в (k + 1)-ом слое.
Начальное условие (2) позволяет найти все значения на прямой ; краевые условия (3), (4) позволяют найти значения на прямых и . По формуле (8) находим значения во всех внутренних точках следующего слоя, т.е. для k = 1. Значения искомой функции в крайных точках известны из граничных условий (3), (4). Переходя от одного слоя сетки к другому, определяем значения искомого решения во всех узлах сетки. ;
При построении математической модели распространения тепла в стержне сделаем следующие предположения:
1) стержень сделан из однородного проводящего материала с плотностью ρ ;
2) боковая поверхность стержня теплоизолирована, то есть тепло может распространяться только вдоль осиОХ ;
3) стержень тонкий - это значит, что температура во всех точках любого поперечного сечения стержня одна и та же.
Рассмотрим часть стержня на отрезке [х, х + ∆х ] (см. рис. 6) и воспользуемся законом сохранения количества тепла:
Общее количество тепла на отрезке [х, х + ∆х ] = полному количеству тепла, прошедшему через границы + полное количество тепла, образованного внутренними источниками.
Общее количество тепла, которое необходимо сообщить участку стержня, чтобы повысить его температуру на ∆U , вычисляется по формуле: ∆Q=CρS∆x∆U , где С -удельная теплоемкость материала (=количеству тепла, которое нужно сообщить 1 кг вещества, чтобы поднять его температуру на 1°), S - площадь поперечного сечения.
Количество тепла, прошедшее через левый конец участка стержня за время ∆t (тепловой поток) вычисляется по формуле: Q 1 = -kSU x (x, t)∆t , где k - коэффициент теплопроводности материала (= количеству тепла, протекающего в секунду через стержень единичной длины и единичной площади поперечного сечения при разности температур на противоположных концах, равной 1°). В этой формуле особого пояснения требует знак минус. Дело в том, что поток считается положительным, если он направлен в сторону увеличения х , а это, в свою очередь, означает, что слева от точки х температура больше, чем справа, то есть U x < 0 . Следовательно, чтобыQ 1 был положительным, в формуле стоит знак минус.
Аналогично, тепловой поток через правый конец участка стержня вычисляется по формуле: Q 2 = -kSU x (x +∆x,t)∆t .
Если предположить, что внутренних источников тепла в стержне нет, и воспользоваться законом сохранения тепла, то получим:
∆Q = Q 1 - Q 2 => CpS∆x∆U = kSU x (x + ∆х, t) ∆t - kSU x (x, t)∆t .
Если это равенство поделить на S∆x∆t и устремить ∆х и ∆t к нулю, то будем иметь:
Отсюда уравнение теплопроводности имеет вид
U t =a 2 U xx ,
где - коэффициент температуропроводности.
В случае, когда внутри стержня имеются источники тепла, непрерывно распределенные с плотностью q(x,t) , получится неоднородное уравнение теплопроводности
U t = a 2 U xx + f(x,t)
,
где 
.
Начальные условия и граничные условия.
Для уравнения теплопроводности задается только одно начальное условие U| t=0 = φ(х) (или в другой записиU(x,0) = φ(х) ) и физически оно означает, что начальное распределение температуры стержня имеет вид φ(х) . Для уравнений теплопроводности на плоскости или в пространстве начальное условие имеет такой же вид, только функция φ будет зависеть, соответственно, от двух или трех переменных.
Граничные условия в случае уравнения теплопроводности имеют такой же вид, как и для волнового уравнения, но физический смысл их уже иной. Условия первого рода (5) означают, что на концах стержня задана температура. Если она не изменяется со временем, то g 1 (t) ≡ Т 1 и g 2 (t) ≡ Т 2 , где Т 1 и Т 2 - постоянные. Если концы поддерживаются все время при нулевой температуре, то Т 1 = Т 2 = 0 и условия будут однородными. Граничные условия второго рода (6) определяют тепловой поток на концах стержня. В частности, если g 1 (t) = g 2 (t) = 0 , то условия становятся однородными. Физически они означают, что через концы не происходит теплообмен с внешней средой (эти условия еще называют условиями теплоизоляции концов). Наконец, граничные условиятретьего рода (7) соответствуют случаю, когда через концы стержня происходит теплообмен с окружающей средой по закону Ньютона (напомним, что при выводе уравнения теплопроводности мы считали боковую поверхность теплоизолированной). Правда, в случае уравнения теплопроводности условия (7) записываются немного по-другому:
Физический закон теплообмена со средой (закон Ньютона) состоит в том, что поток тепла через единицу поверхности в единицу времени пропорционален разности температур тела и окружающей среды. Таким образом, для левого конца стержня он равен 
Здесь h 1 > 0
- коэффициент теплообмена с окружающей средой, g 1 (t)
- температура окружающей среды на левом конце. Знак минус поставлен в формуле по той же причине, что и при выводе уравнения теплопроводности. С другой стороны, в силу теплопроводности материала поток тепла через этот же конец равен Применив закон сохранения количества тепла, получим:
Аналогично получается условие (14) на правом конце стержня, только постоянная λ 2 может быть другой, так как, вообще говоря, среды, окружающие левый и правый конец, бывают разные.
Граничные условия (14) являются более общими по сравнению с условиями первого и второго рода. Если предположить, что через какой-либо конец не происходит теплообмена со средой (то есть коэффициент теплообмена равен нулю), то получится условие второго рода. В другом случае предположим, что коэффициент теплообмена, например h 1 , очень большой.
Перепишем условие (14) при х = 0
в виде 
и устремим . В результате будем иметь условие первого рода:
Аналогично формулируются граничные условия и для большего числа переменных. Для задачи о распространении тепла в плоской пластине условие означает, что температура на ее краях поддерживается нулевой. Точно так же, условия и внешне очень похожи, но в первом случае оно означает, что рассматривается плоская пластина и края ее теплоизолированы, а во втором случае оно означает, что рассматривается задача о распространении тепла в теле и поверхность его теплоизолирована.
Решение первой начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности.
Рассмотрим однородную первую начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности:
Найти решение уравнения
U t = U xx , 0
удолетворяющее граничным условиям
U(0,t) = U(l,t)=0, t>0 ,
и начальному условию
Решим эту задачу методом Фурье.
Шаг 1 . Будем искать решения уравнения (15) в виде U(x,t) = X(x)T(t) .
Найдем частные производные:
Подставим эти производные в уравнение и разделим переменные:
По основной лемме получим
Отсюда следует
Теперь можно решить каждое из этих обыкновенных дифференциальных уравнений. Обратим внимание на то, что используя граничные условия (16), можно искать не общее решение уравнения б), а частные решения, удолетворяющие соответствующим граничным условиям:
Шаг 2. Решим задачу Штурма-Лиувилля
Эта задача совпадает с задачей Штурма-Лиувилля, рассмотренной в лекции 3. Напомним, что собственные значения и собственные функции этой задачи существуют только при λ>0.
Собственные значения равны
Собственные функции равны (См. решение задачи)
Шаг 3. Подставим собственные значения в уравнение а) и решим его:
Шаг 4. Выпишем частные решения уравнения (15):
В силу линейности и однородности уравнения (15) их линейная комбинация
также будет решением этого уравнения, причем функция U(x,t) удолетворяет и граничным условиям (16).
Шаг 5. Определим коэффициенты A n в (19), используя начальное условие (17):
Приходим к тому, что начальная функция φ(x) разлагается в ряд Фурье по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля. По теореме Стеклова такое разложение возможно для функций, удовлетворяющих граничным условиям и имеющих непрерывные производные второго порядка. Коэффициенты Фурье находятся по формулам
Похожая информация.
