Натуральные системы счисления. Малый математический факультет

13.02.2024

Назначение сервиса . Сервис предназначен для перевода чисел из одной системы счисления в другую в онлайн режиме. Для этого выберите основание системы, из которой необходимо перевести число. Вводить можно как целые, так и числа с запятой.

Можно вводить как целые числа, например 34 , так и дробные, например, 637.333 . Для дробных чисел указывается точность перевода после запятой.

Вместе с этим калькулятором также используют следующие:

Способы представления чисел

Двоичные (binary) числа – каждая цифра означает значение одного бита (0 или 1), старший бит всегда пишется слева, после числа ставится буква «b». Для удобства восприятия тетрады могут быть разделены пробелами. Например, 1010 0101b.
Шестнадцатеричные (hexadecimal) числа – каждая тетрада представляется одним символом 0...9, А, В, ..., F. Обозначаться такое представление может по-разному, здесь используется только символ «h» после последней шестнадцатеричной цифры. Например, A5h. В текстах программ это же число может обозначаться и как 0хА5, и как 0A5h, в зависимости от синтаксиса языка программирования. Незначащий ноль (0) добавляется слева от старшей шестнадцатеричной цифры, изображаемой буквой, чтобы различать числа и символические имена.
Десятичные (decimal) числа – каждый байт (слово, двойное слово) представляется обычным числом, а признак десятичного представления (букву «d») обычно опускают. Байт из предыдущих примеров имеет десятичное значение 165. В отличие от двоичной и шестнадцатеричной формы записи, по десятичной трудно в уме определить значение каждого бита, что иногда приходится делать.
Восьмеричные (octal) числа – каждая тройка бит (разделение начинается с младшего) записывается в виде цифры 0–7, в конце ставится признак «о». То же самое число будет записано как 245о. Восьмеричная система неудобна тем, что байт невозможно разделить поровну.

Алгоритм перевода чисел из одной системы счисления в другую

Перевод целых десятичных чисел в любую другую системы счисления осуществляется делением числа на основание новой системы счисления до тех пор, пока в остатке не останется число меньшее основания новой системы счисления. Новое число записывается в виде остатков деления, начиная с последнего.
Перевод правильной десятичной дроби в другую ПСС осуществляется умножением только дробной части числа на основание новой системы счисления до тех пор пока в дробной части не останутся все нули или пока не будет достигнута заданная точность перевода. В результате выполнения каждой операции умножения формируется одна цифра нового числа начиная со старшего.
Перевод неправильной дроби осуществляется по 1 и 2 правилу. Целую и дробную часть записывают вместе, отделяя запятой.

Пример №1 .

Перевод из 2 в 8 в 16 системы счисления.
Эти системы кратны двум, следовательно, перевод осуществляется с использованием таблицы соответствия (см. ниже).

Для перевода числа из двоичной системы счисления в восьмиричную (шестнадцатиричную) необходимо от запятой вправо и влево разбить двоичное число на группы по три (четыре – для шестнадцатиричной) разряда, дополняя при необходимости нулями крайние группы. Каждую группу заменяют соответствующей восьмиричной или шестнадцатиричной цифрой.

Пример №2 . 1010111010,1011 = 1.010.111.010,101.1 = 1272,51 8
здесь 001=1; 010=2; 111=7; 010=2; 101=5; 001=1

При переводе в шестнадцатеричную систему необходимо делить число на части, по четыре цифры, соблюдая те же правила.
Пример №3 . 1010111010,1011 = 10.1011.1010,1011 = 2B12,13 HEX
здесь 0010=2; 1011=B; 1010=12; 1011=13

Перевод чисел из 2 , 8 и 16 в десятичную систему исчисления производят путем разбивания числа на отдельные и умножения его на основание системы (из которой переводится число) возведенное в степень соответствующую его порядковому номеру в переводимом числе. При этом числа нумеруются влево от запятой (первое число имеет номер 0) с возрастанием, а в правую сторону с убыванием (т.е. с отрицательным знаком). Полученные результаты складываются.

Пример №4 .
Пример перевода из двоичной в десятичную систему счисления.

1010010,101 2 = 1·2 6 +0·2 5 +1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +0·2 0 + 1·2 -1 +0·2 -2 +1·2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0.5+0+0.125 = 82.625 10 Пример перевода из восьмеричной в десятичную систему счисления. 108.5 8 = 1*·8 2 +0·8 1 +8·8 0 + 5·8 -1 = 64+0+8+0.625 = 72.625 10 Пример перевода из шестнадцатеричной в десятичную систему счисления. 108.5 16 = 1·16 2 +0·16 1 +8·16 0 + 5·16 -1 = 256+0+8+0.3125 = 264.3125 10

Еще раз повторим алгоритм перевода чисел из одной системы счисления в другую ПСС

Из десятичной системы счисления:
- разделить число на основание переводимой системы счисления;
- найти остаток от деления целой части числа;
- записать все остатки от деления в обратном порядке;
Из двоичной системы счисления
- Для перевода в десятичную систему счисления необходимо найти сумму произведений основания 2 на соответствующую степень разряда;
- Для перевода числа в восьмеричную необходимо разбить число на триады.
  Например, 1000110 = 1 000 110 = 106 8
- Для перевода числа из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную необходимо разбить число на группы по 4 разряда.
  Например, 1000110 = 100 0110 = 46 16

Позиционной называется система , для которой значимость или вес цифры зависит от ее места расположения в числе. Соотношение между системами выражается таблицей.
Таблица соответствия систем счисления:

Двоичная СС	Шестнадцатеричная СС
0000	0
0001	1
0010	2
0011	3
0100	4
0101	5
0110	6
0111	7
1000	8
1001	9
1010	A
1011	B
1100	C
1101	D
1110	E
1111	F

Таблица для перевода в восьмеричную систему счисления

Список систем счисления

Система счисления:

даёт представления множества чисел (целых и/или вещественных);
даёт каждому числу уникальное представление (или, по крайней мере, стандартное представление);
отражает алгебраическую и арифметическую структуру чисел.

Системы счисления подразделяются на позиционные , непозиционные и смешанные .

Позиционные системы счисления

В позиционных системах счисления один и тот же числовой знак (цифра) в записи числа имеет различные значения в зависимости от того места (разряда), где он расположен. Изобретение позиционной нумерации, основанной на поместном значении цифр, приписывается шумерам и вавилонянам ; развита была такая нумерация индусами и имела неоценимые последствия в истории человеческой цивилизации. К числу таких систем относится современная десятичная система счисления , возникновение которой связано со счётом на пальцах. В средневековой Европе она появилась через итальянских купцов, в свою очередь заимствовавших её у мусульман.

Под позиционной системой счисления обычно понимается -ричная система счисления, которая определяется целым числом , называемым основанием системы счисления. Целое число без знака в -ричной системе счисления представляется в виде конечной линейной комбинации степеней числа :

, где - это целые числа, называемые цифрами , удовлетворяющие неравенству .

Каждая степень в такой записи называется весовым коэффициентом разряда . Старшинство разрядов и соответствующих им цифр определяется значением показателя (номером разряда). Обычно, в ненулевых числах , левые нули опускаются.

Если не возникает разночтений (например, когда все цифры представляются в виде уникальных письменных знаков), число записывают в виде последовательности его -ричных цифр, перечисляемых по убыванию старшинства разрядов слева направо:

Например, число сто три представляется в десятичной системе счисления в виде:

Наиболее употребляемыми в настоящее время позиционными системами являются:

В позиционных системах чем больше основание системы, тем меньшее количество разрядов (то есть записываемых цифр) требуется при записи числа.

Смешанные системы счисления

Смешанная система счисления является обобщением -ричной системы счисления и также зачастую относится к позиционным системам счисления. Основанием смешанной системы счисления является возрастающая последовательность чисел , и каждое число в ней представляется как линейная комбинация :

, где на коэффициенты , называемые как и прежде цифрами , накладываются некоторые ограничения.

Записью числа в смешанной системе счисления называется перечисление его цифр в порядке уменьшения индекса , начиная с первого ненулевого.

В зависимости от вида как функции от смешанные системы счисления могут быть степенными , показательными и т. п. Когда для некоторого , смешанная система счисления совпадает с показательной -ричной системой счисления.

Наиболее известным примером смешанной системы счисления является представление времени в виде количества суток, часов, минут и секунд. При этом величина « дней, часов, минут, секунд» соответствует значению секунд.

Факториальная система счисления

В факториальной системе счисления основаниями являются последовательность факториалов , и каждое натуральное число представляется в виде:

, где .

Факториальная система счисления используется при декодировании перестановок списками инверсий : имея номер перестановки, можно воспроизвести её саму следующим образом: число, на единицу меньшее номера (нумерация начинается с нуля) записывается в факториальной системе счисления, при этом коэффициент при числе i! будет обозначать число инверсий для элемента i+1 в том множестве, в котором производятся перестановки (число элементов меньших i+1, но стоящих правее его в искомой перестановке)

Пример: рассмотрим множество перестановок из 5 элементов, всего их 5! = 120 (от перестановки с номером 0 - (1,2,3,4,5) до перестановки с номером 119 - (5,4,3,2,1)), найдём 101-ую перестановку: 100 = 4!*4 + 3!*0 + 2!*2 + 1!*0 = 96 + 4; положим ti - коэффициент при числе i!, тогда t4 = 4, t3 = 0, t2 = 2, t1 = 0 , тогда: число элементов меньших 5, но стоящих правее равно 4; число элементов меньших 4, но стоящих правее равно 0; число элементов меньших 3, но стоящих правее равно 2; число элементов меньших 2, но стоящих правее равно 0 (последний элемент в перестановке «ставится» на единственное оставшееся место) - таким образом, 101-я перестановка будет иметь вид: (5,3,1,2,4) Проверка данного метода может быть осуществлена путём непосредственного подсчёта инверсий для каждого элемента перестановки.

Фибоначчиева система счисления основывается на числах Фибоначчи . Каждое натуральное число в ней представляется в виде:

, где - числа Фибоначчи, , при этом в коэффициентах есть конечное количество единиц и не встречаются две единицы подряд.

Непозиционные системы счисления

В непозиционных системах счисления величина, которую обозначает цифра, не зависит от положения в числе. При этом система может накладывать ограничения на положение цифр, например, чтобы они были расположены в порядке убывания.

Биномиальная система счисления

Представление, использующее биномиальные коэффициенты

, где .

Система остаточных классов (СОК)

Представление числа в системе остаточных классов основано на понятии вычета и китайской теореме об остатках . СОК определяется набором взаимно простых модулей с произведением так, что каждому целому числу из отрезка ставится в соответствие набор вычетов , где

…

При этом китайская теорема об остатках гарантирует однозначность представления для чисел из отрезка .

В СОК арифметические операции (сложение, вычитание, умножение, деление) выполняются покомпонентно, если про результат известно, что он является целочисленным и также лежит в .

Недостатками СОК является возможность представления только ограниченного количества чисел, а также отсутствие эффективных алгоритмов для сравнения чисел, представленых в СОК. Сравнение обычно осуществляется через перевод аргументов из СОК в смешанную систему счисления по основаниям .

Система счисления Штерна–Броко - способ записи положительных рациональных чисел, основанный на дереве Штерна–Броко .

Системы счисления разных народов

Единичная система счисления

По-видимому, хронологически первая система счисления каждого народа, овладевшего счётом. Натуральное число изображается путём повторения одного и того же знака (чёрточки или точки). Например, чтобы изобразить число 26, нужно провести 26 чёрточек (или сделать 26 засечек на кости, камне и т.д.). Впоследствии, ради удобства восприятия больших чисел, эти знаки группируются по три или по пять. Затем равнообъёмные группы знаков начинают заменяться каким-либо новым знаком - так возникают прообразы будущих цифр.

Древнеегипетская система счисления

Вавилонская система счисления

Алфавитные системы счисления

Алфавитными системами счисления пользовались древние армяне, грузины, греки (ионическая система счисления), арабы (абджадия), евреи (см. гематрия) и другие народы Ближнего Востока. В славянских богослужебных книгах греческая алфавитная система была переведена на буквы кириллицы.

Еврейская система счисления

Греческая система счисления

Римская система счисления

Каноническим примером почти непозиционной системы счисления является римская, в которой в качестве цифр используются латинские буквы:
I обозначает 1,
V - 5,
X - 10,
L - 50,
C - 100,
D - 500,
M - 1000

Например, II = 1 + 1 = 2
здесь символ I обозначает 1 независимо от места в числе.

На самом деле, римская система не является полностью непозиционной, так как меньшая цифра, идущая перед большей, вычитается из неё, например:

IV = 4, в то время как:
VI = 6

Система счисления майя

См. также

Примечания

Ссылки

Гашков С. Б. Системы счисления и их применение . - М .: МЦНМО , 2004. - (Библиотека «Математическое просвещение»).
Фомин С. В. Системы счисления . - М .: Наука, 1987. - 48 с. - (Популярные лекции по математике).
Яглом И. Системы счисления // Квант . - 1970. - № 6. - С. 2-10.
Цифры и системы счисления . Онлайн Энциклопедия Кругосвет.
Стахов А. Роль систем счисления в истории компьютеров .
Микушин А. В. Системы счисления. Курс лекций "Цифровые устройства и микропроцессоры"
Butler J. T., Sasao T. Redundant Multiple-Valued Number Systems В статье рассмотрены системы счисления, использующие цифры больше единицы и допускающие избыточность в представлении чисел

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Система счисления" в других словарях:

Способ отображения чисел и правила действий над ними. Различают позиционные и непозиционные системы счисления. См. также: Системы счисления Данные Финансовый словарь Финам … Финансовый словарь

СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ - (1) пути система непрерывного автоматического (или вручную штурманом) учёта фактического перемещения летательного аппарата, корабля млн. управляемых средств поражения под воздействием собственных движителей и внешних факторов (ветра, воздушных и… … Большая политехническая энциклопедия

система счисления - — Тематики электросвязь, основные понятия EN number system …

система счисления - ▲ код множество, целое число система счисления система обозначения для представления чисел; способ записи чисел; кодировка чисел. цифра знак, обозначающий целое число. цифирь (устар). римские цифры. арабские цифры: ноль. один. два. три. четыре … Идеографический словарь русского языка

Система счисления - совокупность символов и правил написания чисел (см., например, Римские цифры). В практике людей наибольшее распространение получила десятичная система счисления. В вычислительной (компьютерной) технике применяются также двоичная, восьмиричная и… … Начала современного естествознания

система счисления - skaičių sistema statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. number representation system; number system; numbering system; numeral system; numeration system; numerical system; scale vok. Zahlendarstellungssystem, n; Zahlensystem, n rus.… … Automatikos terminų žodynas

система счисления остаточных классов - система счисления в остатках — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом Синонимы система счисления в остатках EN residue (number) system … Справочник технического переводчика

система счисления с отрицательным основанием - — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN negative base number representation system … Справочник технического переводчика

В вопросах организации обработки информации с помощью ЭВМ важное место занимают системы счисления, формы представления данных и специальное кодирование чисел.

Совокупность приемов наименования и записи чисел называется счислением . Под системой счисления понимается способ представления любого числа с помощью ограниченного алфавита символов, называемых цифрами. Счисление представляет собой частный случай кодирования, где слово, записанное с использованием определенного алфавита и по определенным правилам, называется кодом. Применительно к счислению это код числа.

Позиционные и непозиционные системы счисления.

Различают позиционные и непозиционные системы счисления. В непозиционных системах счисления каждое число обозначается соответствующей совокупностью символов. Характерным представителем непозиционных систем является римская система счисления со сложным способом записи чисел и громоздкими правилами выполнения арифметических операций. Например, запись MCMXCIX означает, что записано число 1999 (М - тысяча, С - сто, Х - десять, V - пять, I - единица и т. д.).

Позиционные системы счисления обладают большими преимуществами в наглядности представления чисел и в простоте выполнения арифметических операций.

В позиционной системе счисления значение числа определяется не только набором входящих в него цифр, но и их местом (позицией) в последовательности цифр, изображающих это число, например, числа 127 и 721.

Позиционной является десятичная система счисления, используемая в повседневной жизни. Помимо десятичной существуют другие позиционные системы счисления, и некоторые из них нашли применение в информатике.

Количество символов, используемых в позиционной системе счисления, называется ее основанием. Его обозначают обычно буквой q. В десятичной системе счисления используется десять символов (цифр): 0, 1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9, и основанием системы является число десять.

Особое место среди позиционных систем счисления занимают системы со степенными весами разрядов, в которых веса смежных позиций цифр (разрядов) отличаются по величине в постоянное количество раз, равное основанию q системы счисления.

В общем случае в такой позиционной системе счисления с основанием q любое число Х может быть представлено в виде полинома разложения:
(1.1)

где:
A(q) - запись числа в системе счисления с основанием q;
ai - целые числа, меньше q;
п - число разрядов (позиций) в целой части числа;
т - число разрядов в дробной части числа.

Например:

Для обозначения используемой системы счисления ее основание указывается в индексе. Изображение числа A в виде последовательности коэффициентов a. полинома является его условной сокращенной записью (кодом).

A(q)=a n-1 a n-2 …a 1 a 0 ,a -1 …a -m (1.2)

Запятая отделяет целую часть числа от дробной и служит началом отсчета значений веса каждой позиции (разряда).

В информатике применяют позиционные системы счисления с недесятичным основанием: двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную, т. е. системы счисления с основанием q = 2 k , где k=1,3,4.

Двоичная система счисления

Наибольшее распространение получила двоичная система счисления, В этой системе для представления любого числа используются два символа - цифры 0 и 1. Основание системы счисления q = 2.

Произвольное число с помощью формулы (1.1) можно представить в виде разложения по степеням двойки. Тогда условная сокращенная запись в соответствии с (1.2) означает изображение числа в двоичной системе счисления (двоичный код числа), где ai =0 или 1.

Например :
15,625=1 2 3 +1 2 2 +1 2 1 +1 2 0 + 1 2 -1 +0 2 -2 +1 2 -3 = 1111,101 (2)
Двоичное представление числа требует примерно в 3,3 раза большего числа разрядов, чем его десятичное представление. Тем не менее, применение двоичной системы счисления создает большие удобства для работы ЭВМ, т. к. для представления в машинеразряда двоичного числа может быть использован любой запоминающий элемент, имеющий два устойчивых состояния.

Восьмеричная система счисления.

В восьмеричной системе счисления алфавит состоит из восьми символов (цифр): 0, 1 ... 7. Основание системы счисления q = 8. Для записи произвольного числа в восьмеричной системе счисления необходимо по формуле (1.1) найти его разложение по степеням восьмерки, а затем воспользоваться условной сокращенной записью (1.2).

Например, десятичное число 53 (10) = 65 (8)

Шестнадцатеричная система счисления.
В шестнадцатеричной системе счисления алфавит включает в себя 16 символов (цифр и букв) : 0, 1 ... 9, А, В, С, D, Е, F. Основание системы счисления q = 16. Для записи произвольного числа в этой системе счисления необходимо по формуле (1.1) найти его разложение по степеням 16, а по формуле (1.2) - код.

Например: 31 (10) =1F (16)

Двоично-десятичное кодирование.
Наряду с двоичными кодами, которыми оперирует ЭВМ, для ввода и вывода десятичных чисел (данных) используют специальное двоично-десятичное кодирование. При двоично-десятичном кодировании каждая десятичная цифра заменяется тетрадой (четверкой) двоичных цифр, а сами тетрады записываются последовательно в соответствии с порядком следования десятичных цифр. При обратном преобразовании двоично-десятичного кода в десятичный исходный код разбивается на тетрады вправо и влево от запятой, которые затем заменяются десятичными цифрами.

Таким образом, при двоично-десятичном кодировании фактически не производится перевод числа в новую систему счисления, а мы имеем дело с двоично-кодированной десятичной системой счисления.

Например , десятичное число 12 (10) = C (16) = 14 (8) = 1100 (2) = 00010010 (2-10) .

В ЭВМ используются следующие формы представления данных:
числа с фиксированной точкой (запятой);
числа с плавающей точкой (запятой);
десятичные числа;
символьные данные.

Числа с фиксированной точкой
При представлении числа Х в форме с фиксированной точкой указываются знак числа (sign X) и модуль числа (modX) в q-ичном коде. Иногда такую форму представления чисел называют естественной формой. Место точки (запятой) постоянно для всех чисел и в процессе решения задач не меняется. Знак положительного числа кодируется цифрой «0», а знак отрицательного числа - цифрой «1».

Код числа в форме с фиксированной точкой, состоящий из кода знака и q-ичного кода его модуля, называется прямым кодом. Разряд прямого кода числа, в котором располагается код знака, называется знаковым разрядом кода. Разряды прямого кода числа, в которых располагается q-ичный код модуля числа, называются цифровыми разрядами кода. При записи прямого кода знаковый разряд располагается левее старшего цифрового разряда и обычно отделяется от цифровых разрядов точкой.

В общем случае разрядная сетка ЭВМ для размещения чисел в форме с фиксированной точкой показана на рисунке.
На рисунке показано п разрядов для представления целой части числа иr разрядов - для дробной части числа.

A) фиксированная

При заданных п иr диапазон изменения модулей чисел, коды которых могут быть представлены в данной разрядной сетке, определяется неравенством

Использование формы с фиксированной точкой для представления смешанных (с целой и дробной частью) чисел в ЭВМ практически не встречается. Как правило, используются ЭВМ либо с дробной арифметикой (п=0), либо с целочисленной арифметикой (r=0).

Форма представления чисел с фиксированной точкой упрощает аппаратную реализацию ЭВМ, уменьшает время выполнения машинных операций, однако при решении задач на машине необходимо постоянно следить за тем, чтобы все исходные данные, промежуточные и окончательные результаты находились в допустимом диапазоне представления. Если этого не соблюдать, то возможно переполнение разрядной сетки, и результат вычислений будет неверным. От этих недостатков в значительной степени свободны ЭВМ, использующие форму представления чисел с плавающей точкой, или нормальную форму.

Числа с плавающей точкой
b) рис 14.б с плавающей точкой

В нормальной форме число представляется в виде произведения X=mq p
где т - мантисса числа;
q - основание системы счисления;
р - порядок.

Для задания числа в нормальной форме требуется задать знаки мантиссы и порядка, их модули в q-ичном коде, а также основание системы счисления. Нормальная форма представления чисел неоднозначна, ибо взаимное изменение т и р приводит к плаванию точки (запятой). Отсюда произошло название формы представления чисел.

Для однозначности представления чисел в ЭВМ используется нормальная нормализованная форма, в которой положение точки всегда задается перед значащей цифрой мантиссы, т. е. выполняется условие

В общем случае разрядную сетку ЭВМ для размещения чисел в нормальной форме можно представить в виде, изображенном на рис. Разрядная сетка содержит:

разряд для знака мантиссы;

r цифровых разрядов для q-ичного кода модуля мантиссы;

разряд для кода знака порядка;

s разрядов для q-ичного кода модуля порядка.

Диапазон представления модулей чисел в нормальной нормализованной форме определяется следующим неравенством:

В конкретной ЭВМ диапазон представления чисел с плавающей точкой зависит от основания системы и числа разрядов для представления порядка.
При этом у одинаковых по длине форматов чисел с плавающей точкой с увеличением основания системы счисления существенно расширяется диапазон представляемых чисел.
Точность вычислений при использовании формата с плавающей точкой определяется числом разрядов мантиссы r. Она увеличивается с увеличением числа разрядов.
При представлении информации в виде десятичных многоразрядных чисел каждая десятичная цифра заменяется двоично-десятичным кодом. Для ускорения обмена информацией, экономии памяти и удобства операций над десятичными числами предусматриваются специальные форматы их представления: зонный (распакованный) и упакованный . Зонный формат используется в операциях ввода-операций. Для этого в ЭВМ имеются специальные команды упаковки и распаковки десятичных чисел.

Для хранения чисел и выполнения различных операций над ними их представляют различными кодами: прямым, обратным и дополнительным. Как уже отмечалось выше, для представления чисел со знаками в памяти ЭВМ используют прямой код. Для обозначения прямого кода числа Х используется запись вида ^ .

Правило представления Q-ичного кода числа в прямом коде имеет вид:

где хi- значение цифры в i-м разряде исходного кода.

Здесь старший бит несет информацию о знаке числа. Если он принимает значение 0, то знак числа «+» ; если значение 1 - то знак числа «-».

Например, для двоичного кода

Х (2) = +11001011	[Х (2) ]=0.11001011;
Х (2) = -01101011	[Х (2) ]=1.01101011.

При представлении чисел в прямом коде реализация арифметических операций в ЭВМ должна предусматривать различные действия с модулями чисел в зависимости от их знаков. Так, сложение в прямом коде чисел с одинаковыми знаками выполняется достаточно просто. Числа складываются и сумме присваивается код знака слагаемых. Значительно более сложной является операция алгебраического сложения в прямом коде чисел с различными знаками. В этом случае приходится определять большее по модулю число, производить вычитание чисел и присваивать разности знак большего по модулю числа. Для упрощения выполнения операций алгебраического сложения в ЭВМ используются специальные коды, позволяющие свести эту операцию к операции арифметического сложения. В качестве специальных в ЭВМ применяются обратный и дополнительный коды. Они образуются из прямых кодов чисел, причем специальный код положительного числа равен его прямому коду.

Для обозначения обратного кода числа Х(q) используется запись вида [Х(q)] обр.
Правило представления q-ичного кода числа в обратном коде имеет вид:

Здесь инверсия цифры хi , определяемая из соотношения:

где: q - основание системы счисления;
xj значение цифры в i-ом разряде исходного кода.

Для двоичной системы счисления, если х = 1, то и наоборот. Отсюда можно сформулировать частное правило образования обратного кода для отрицательных двоичных чисел.

Для преобразования прямого кода двоичного отрицательного числа в обратный код и наоборот необходимо знаковый разряд оставить без изменения, а в остальных разрядах нули заменить на единицы, а единицы на нули.

Например:

x (2) = +11011001,	пр.=0.11011001,	обр.= 0.11011001.
x (2) = - 01011101,	пр.=1.01011101,	обр.= 1.10100010.

Для обозначения дополнительного кода числа Х(q) используется запись вида доп. Правило представления q-ичного кода числа в дополнительном коде имеет вид:

Таким образом, для преобразования прямого кода q-ичного отрицательного числа в дополнительный необходимо образовать его в обратный код и в младший разряд добавить единицу.

Например, для двоичных чисел:

x (2) = +11011001,	пр.= 0.11011001,	доп.= 0.11011001.
x (2) = - 01011101,	пр.=1.01011101,	обр.= 1.10100011.

При выполнении операции сложения чисел, представленных специальными q-ичными кодами знаковые разряды участвуют в операции наряду с цифровыми разрядами. При этом цифровые разряды слагаемых складываются как модули чисел по правилам q-ичной арифметики. Знаковые разряды и цифры переноса из старшего цифрового разряда при любом основании системы счисления (q= 2) складываются как одноразрядные двоичные коды. Если при этом формируется перенос из знакового разряда, то он имеет вес единицы младшего разряда q -m при использовании обратного кода и должен быть добавлен в младший разряд результата. При использовании дополнительного кода единица переноса из знакового разряда не принимается во внимание, т. е. отбрасывается.

Например:

При выполнении операции алгебраического сложения перед преобразованием прямых кодов слагаемых в специальные необходимо их выровнять по числу разрядов, если число разрядов слагаемых различно. Кроме того, в некоторых случаях может произойти переполнение разрядов сетки. Признаком переполнения разрядной сетки является следующая комбинация цифр в знаковых разрядах слагаемых и результата:

Результат сложения специальных кодов чисел при переполнении разрядной сетки является неверным.

Изучая кодировки, я понял, что недостаточно хорошо понимаю системы счислений. Тем не менее, часто использовал 2-, 8-, 10-, 16-ю системы, переводил одну в другую, но делалось все на “автомате”. Прочитав множество публикаций, я был удивлен отсутствием единой, написанной простым языком, статьи по столь базовому материалу. Именно поэтому решил написать свою, в которой постарался доступно и по порядку изложить основы систем счисления.

Введение

Система счисления - это способ записи (представления) чисел.

Что под этим подразумевается? Например, вы видите перед собой несколько деревьев. Ваша задача - их посчитать. Для этого можно - загибать пальцы, делать зарубки на камне (одно дерево - один палец\зарубка) или сопоставить 10 деревьям какой-нибудь предмет, например, камень, а единичному экземпляру - палочку и выкладывать их на землю по мере подсчета. В первом случае число представляется, как строка из загнутых пальцев или зарубок, во втором - композиция камней и палочек, где слева - камни, а справа - палочки

Системы счисления подразделяются на позиционные и непозиционные, а позиционные, в свою очередь, - на однородные и смешанные.

Непозиционная - самая древняя, в ней каждая цифра числа имеет величину, не зависящую от её позиции (разряда). То есть, если у вас 5 черточек - то число тоже равно 5, поскольку каждой черточке, независимо от её места в строке, соответствует всего 1 один предмет.

Позиционная система - значение каждой цифры зависит от её позиции (разряда) в числе. Например, привычная для нас 10-я система счисления - позиционная. Рассмотрим число 453. Цифра 4 обозначает количество сотен и соответствует числу 400, 5 - кол-во десяток и аналогично значению 50, а 3 - единиц и значению 3. Как видим - чем больше разряд - тем значение выше. Итоговое число можно представить, как сумму 400+50+3=453.

Однородная система - для всех разрядов (позиций) числа набор допустимых символов (цифр) одинаков. В качестве примера возьмем упоминавшуюся ранее 10-ю систему. При записи числа в однородной 10-й системе вы можете использовать в каждом разряде исключительно одну цифру от 0 до 9, таким образом, допускается число 450 (1-й разряд - 0, 2-й - 5, 3-й - 4), а 4F5 - нет, поскольку символ F не входит в набор цифр от 0 до 9.

Смешанная система - в каждом разряде (позиции) числа набор допустимых символов (цифр) может отличаться от наборов других разрядов. Яркий пример - система измерения времени. В разряде секунд и минут возможно 60 различных символов (от «00» до «59»), в разряде часов – 24 разных символа (от «00» до «23»), в разряде суток – 365 и т. д.

Непозиционные системы

Как только люди научились считать - возникла потребность записи чисел. В начале все было просто - зарубка или черточка на какой-нибудь поверхности соответствовала одному предмету, например, одному фрукту. Так появилась первая система счисления - единичная.

Единичная система счисления

Число в этой системе счисления представляет собой строку из черточек (палочек), количество которых равно значению данного числа. Таким образом, урожай из 100 фиников будет равен числу, состоящему из 100 черточек.
Но эта система обладает явными неудобствами - чем больше число - тем длиннее строка из палочек. Помимо этого, можно легко ошибиться при записи числа, добавив случайно лишнюю палочку или, наоборот, не дописав.

Для удобства, люди стали группировать палочки по 3, 5, 10 штук. При этом, каждой группе соответствовал определенный знак или предмет. Изначально для подсчета использовались пальцы рук, поэтому первые знаки появились для групп из 5 и 10 штук (единиц). Все это позволило создать более удобные системы записи чисел.

Древнеегипетская десятичная система

В Древнем Египте использовались специальные символы (цифры) для обозначения чисел 1, 10, 10 2 , 10 3 , 10 4 , 10 5 , 10 6 , 10 7 . Вот некоторые из них:

Почему она называется десятичной? Как писалось выше - люди стали группировать символы. В Египте - выбрали группировку по 10, оставив без изменений цифру “1”. В данном случае, число 10 называется основанием десятичной системы счисления, а каждый символ - представление числа 10 в какой-то степени.

Числа в древнеегипетской системе счисления записывались, как комбинация этих
символов, каждый из которых повторялся не более девяти раз. Итоговое значение равнялось сумме элементов числа. Стоит отметить, что такой способ получения значения свойственен каждой непозиционной системе счисления. Примером может служить число 345:

Вавилонская шестидесятеричная система

В отличии от египетской, в вавилонской системе использовалось всего 2 символа: “прямой” клин - для обозначения единиц и “лежачий” - для десятков. Чтобы определить значение числа необходимо изображение числа разбить на разряды справа налево. Новый разряд начинается с появления прямого клина после лежачего. В качестве примера возьмем число 32:

Число 60 и все его степени так же обозначаются прямым клином, что и “1”. Поэтому вавилонская система счисления получила название шестидесятеричной.
Все числа от 1 до 59 вавилоняне записывали в десятичной непозиционной системе, а большие значения - в позиционной с основанием 60. Число 92:

Запись числа была неоднозначной, поскольку не существовало цифры обозначающей ноль. Представление числа 92 могло обозначать не только 92=60+32, но и, например, 3632=3600+32. Для определения абсолютного значения числа был введен специальный символ для обозначения пропущенного шестидесятеричного разряда, что соответствует появлению цифры 0 в записи десятичного числа:

Теперь число 3632 следует записывать, как:

Шестидесятеричная вавилонская система - первая система счисления, частично основанная на позиционном принципе. Данная система счисления используется и сегодня, например, при определении времени - час состоит из 60 минут, а минута из 60 секунд.

Римская система

Римская система не сильно отличается от египетской. В ней для обозначения чисел 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000 используются заглавные латинские буквы I, V, X, L, C, D и M соответственно. Число в римской системе счисления - это набор стоящих подряд цифр.

Методы определения значения числа:

Значение числа равно сумме значений его цифр. Например, число 32 в римской системе счисления имеет вид XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2=32
Если слева от большей цифры стоит меньшая, то значение равно разности между большей и меньшей цифрами. При этом, левая цифра может быть меньше правой максимум на один порядок: так, перед L(50) и С(100) из «младших» может стоять только X(10), перед D(500) и M(1000) - только C(100), перед V(5) - только I(1); число 444 в рассматриваемой системе счисления будет записано в виде CDXLIV = (D-C)+(L-X)+(V-I) = 400+40+4=444.
Значение равно сумме значений групп и цифр, не подходящих под 1 и 2 пункты.

Помимо цифирных, существуют и буквенные (алфавитные) системы счисления, вот некоторые из них:
1) Славянская
2) Греческая (ионийская)

Позиционные системы счисления

Как упоминалось выше - первые предпосылки к появлению позиционной системы возникли в древнем Вавилоне. В Индии система приняла форму позиционной десятичной нумерации с применением нуля, а у индусов эту систему чисел заимствовали арабы, от которых её переняли европейцы. По каким-то причинам, в Европе за этой системой закрепилось название “арабская”.

Десятичная система счисления

Это одна из самых распространенных систем счисления. Именно её мы используем, когда называем цену товара и произносим номер автобуса. В каждом разряде (позиции) может использоваться только одна цифра из диапазона от 0 до 9. Основанием системы является число 10.

Для примера возьмем число 503. Если бы это число было записано в непозиционной системе, то его значение равнялось 5+0+3 = 8. Но у нас - позиционная система и значит каждую цифру числа необходимо умножить на основание системы, в данном случае число “10”, возведенное в степень, равную номеру разряда. Получается, значение равно 5*10 2 + 0*10 1 + 3*10 0 = 500+0+3 = 503. Чтобы избежать путаницы при одновременной работе с несколькими системами счисления основание указывается в качестве нижнего индекса. Таким образом, 503 = 503 10 .

Помимо десятичной системы, отдельного внимания заслуживают 2-, 8-, 16-ая системы.

Двоичная система счисления

Эта система, в основном, используется в вычислительной технике. Почему не стали использовать привычную нам 10-ю? Первую вычислительную машину создал Блез Паскаль, использовавший в ней десятичную систему, которая оказалась неудобной в современных электронных машинах, поскольку требовалось производство устройств, способных работать в 10 состояниях, что увеличивало их цену и итоговые размеры машины. Этих недостатков лишены элементы, работающие в 2-ой системе. Тем не менее, рассматриваемая система была создана за долго до изобретения вычислительных машин и уходит “корнями” в цивилизацию Инков, где использовались кипу - сложные верёвочные сплетения и узелки.

Двоичная позиционная система счисления имеет основание 2 и использует для записи числа 2 символа (цифры): 0 и 1. В каждом разряде допустима только одна цифра - либо 0, либо 1.

Примером может служить число 101. Оно аналогично числу 5 в десятичной системе счисления. Для того, чтобы перевести из 2-й в 10-ю необходимо умножить каждую цифру двоичного числа на основание “2”, возведенное в степень, равную разряду. Таким образом, число 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10 .

Хорошо, для машин 2-я система счисления удобнее, но мы ведь часто видим, используем на компьютере числа в 10-й системе. Как же тогда машина определяет какую цифру вводит пользователь? Как переводит число из одной системы в другую, ведь в её распоряжении всего 2 символа - 0 и 1?

Чтобы компьютер мог работать с двоичными числами (кодами), необходимо чтобы они где-то хранились. Для хранения каждой отдельной цифры применяется триггер, представляющий собой электронную схему. Он может находится в 2-х состояниях, одно из которых соответствует нулю, другое - единице. Для запоминания отдельного числа используется регистр - группа триггеров, число которых соответствует количеству разрядов в двоичном числе. А совокупность регистров - это оперативная память. Число, содержащееся в регистре - машинное слово. Арифметические и логические операции со словами осуществляет арифметико-логическое устройство (АЛУ). Для упрощения доступа к регистрам их нумеруют. Номер называется адресом регистра. Например, если необходимо сложить 2 числа - достаточно указать номера ячеек (регистров), в которых они находятся, а не сами числа. Адреса записываются в 8- и 16-ричной системах (о них будет рассказано ниже), поскольку переход от них к двоичной системе и обратно осуществляется достаточно просто. Для перевода из 2-й в 8-ю число необходимо разбить на группы по 3 разряда справа налево, а для перехода к 16-ой - по 4. Если в крайней левой группе цифр не достает разрядов, то они заполняются слева нулями, которые называются ведущими. В качестве примера возьмем число 101100 2 . В восьмеричной - это 101 100 = 54 8 , а в шестнадцатеричной - 0010 1100 = 2С 16 . Отлично, но почему на экране мы видим десятичные числа и буквы? При нажатии на клавишу в компьютер передаётся определённая последовательность электрических импульсов, причём каждому символу соответствует своя последовательность электрических импульсов (нулей и единиц). Программа драйвер клавиатуры и экрана обращается к кодовой таблице символов (например, Unicode, позволяющая закодировать 65536 символов), определяет какому символу соответствует полученный код и отображает его на экране. Таким образом, тексты и числа хранятся в памяти компьютера в двоичном коде, а программным способом преобразуются в изображения на экране.

Восьмеричная система счисления

8-я система счисления, как и двоичная, часто применяется в цифровой технике. Имеет основание 8 и использует для записи числа цифры от 0 до 7.

Пример восьмеричного числа: 254. Для перевода в 10-ю систему необходимо каждый разряд исходного числа умножить на 8 n , где n - это номер разряда. Получается, что 254 8 = 2*8 2 + 5*8 1 + 4*8 0 = 128+40+4 = 172 10 .

Шестнадцатеричная система счисления

Шестнадцатеричная система широко используется в современных компьютерах, например при помощи неё указывается цвет: #FFFFFF - белый цвет. Рассматриваемая система имеет основание 16 и использует для записи числа: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. C, D, E, F, где буквы равны 10, 11, 12, 13, 14, 15 соответственно.

В качестве примера возьмем число 4F5 16 . Для перевода в восьмеричную систему - сначала преобразуем шестнадцатеричное число в двоичное, а затем, разбив на группы по 3 разряда, в восьмеричное. Чтобы преобразовать число в 2-е необходимо каждую цифру представить в виде 4-х разрядного двоичного числа. 4F5 16 = (100 1111 101) 2 . Но в 1 и 3 группах не достает разряда, поэтому заполним каждый ведущими нулями: 0100 1111 0101. Теперь необходимо разделить полученное число на группы по 3 цифры справа налево: 0100 1111 0101 = 010 011 110 101. Переведем каждую двоичную группу в восьмеричную систему, умножив каждый разряд на 2 n , где n - номер разряда: (0*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (0*2 2 +1*2 1 +1*2 0) (1*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (1*2 2 +0*2 1 +1*2 0) = 2365 8 .

Помимо рассмотренных позиционных систем счисления, существуют и другие, например:
1) Троичная
2) Четверичная
3) Двенадцатеричная

Позиционные системы подразделяются на однородные и смешанные.

Однородные позиционные системы счисления

Определение, данное в начале статьи, достаточно полно описывает однородные системы, поэтому уточнение - излишне.

Смешанные системы счисления

К уже приведенному определению можно добавить теорему: “если P=Q n (P,Q,n – целые положительные числа, при этом P и Q - основания), то запись любого числа в смешанной (P-Q)-ой системе счисления тождественно совпадает с записью этого же числа в системе счисления с основанием Q.”

Опираясь на теорему, можно сформулировать правила перевода из P-й в Q-ю системы и наоборот:

Для перевода из Q-й в P-ю, необходимо число в Q-й системе, разбить на группы по n цифр, начиная с правой цифры, и каждую группу заменить одной цифрой в P-й системе.
Для перевода из P-й в Q-ю, необходимо каждую цифру числа в P-й системе перевести в Q-ю и заполнить недостающие разряды ведущими нулями, за исключением левого, так, чтобы каждое число в системе с основанием Q состояло из n цифр.

Яркий пример - перевод из двоичной системы счисления в восьмеричную. Возьмем двоичное число 10011110 2 , для перевода в восьмеричное - разобьем его справа налево на группы по 3 цифры: 010 011 110, теперь умножим каждый разряд на 2 n , где n - номер разряда, 010 011 110 = (0*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (0*2 2 +1*2 1 +1*2 0) (1*2 2 +1*2 1 +0*2 0) = 236 8 . Получается, что 10011110 2 = 236 8 . Для однозначности изображения двоично-восьмеричного числа его разбивают на тройки: 236 8 = (10 011 110) 2-8 .

Смешанными системами счисления также являются, например:
1) Факториальная
2) Фибоначчиева

Перевод из одной системы счисления в другую

Иногда требуется преобразовать число из одной системы счисления в другую, поэтому рассмотрим способы перевода между различными системами.

Преобразование в десятичную систему счисления

Имеется число a 1 a 2 a 3 в системе счисления с основанием b. Для перевода в 10-ю систему необходимо каждый разряд числа умножить на b n , где n - номер разряда. Таким образом, (a 1 a 2 a 3) b = (a 1 *b 2 + a 2 *b 1 + a 3 *b 0) 10 .

Пример: 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10

Преобразование из десятичной системы счисления в другие

Целая часть:

Последовательно делим целую часть десятичного числа на основание системы, в которую переводим, пока десятичное число не станет равно нулю.
Полученные при делении остатки являются цифрами искомого числа. Число в новой системе записывают, начиная с последнего остатка.

Дробная часть:

Дробную часть десятичного числа умножаем на основание системы, в которую требуется перевести. Отделяем целую часть. Продолжаем умножать дробную часть на основание новой системы, пока она не станет равной 0.
Число в новой системе составляют целые части результатов умножения в порядке, соответствующем их получению.

Пример: переведем 15 10 в восьмеричную:
15\8 = 1, остаток 7
1\8 = 0, остаток 1

Записав все остатки снизу вверх, получаем итоговое число 17. Следовательно, 15 10 = 17 8 .

Преобразование из двоичной в восьмеричную и шестнадцатеричную системы

Для перевода в восьмеричную - разбиваем двоичное число на группы по 3 цифры справа налево, а недостающие крайние разряды заполняем ведущими нулями. Далее преобразуем каждую группу, умножая последовательно разряды на 2 n , где n - номер разряда.

В качестве примера возьмем число 1001 2: 1001 2 = 001 001 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) = (0+0+1) (0+0+1) = 11 8

Для перевода в шестнадцатеричную - разбиваем двоичное число на группы по 4 цифры справа налево, затем - аналогично преобразованию из 2-й в 8-ю.

Преобразование из восьмеричной и шестнадцатеричной систем в двоичную

Перевод из восьмеричной в двоичную - преобразуем каждый разряд восьмеричного числа в двоичное 3-х разрядное число делением на 2 (более подробно о делении см. выше пункт “Преобразование из десятичной системы счисления в другие”), недостающие крайние разряды заполним ведущими нулями.

Для примера рассмотрим число 45 8: 45 = (100) (101) = 100101 2

Перевод из 16-ой в 2-ю - преобразуем каждый разряд шестнадцатеричного числа в двоичное 4-х разрядное число делением на 2, недостающие крайние разряды заполняем ведущими нулями.

Преобразование дробной части любой системы счисления в десятичную

Преобразование осуществляется также, как и для целых частей, за исключением того, что цифры числа умножаются на основание в степени “-n”, где n начинается от 1.

Пример: 101,011 2 = (1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 -1 + 1*2 -2 + 1*2 -3) = (5), (0 + 0,25 + 0,125) = 5,375 10

Преобразование дробной части двоичной системы в 8- и 16-ую

Перевод дробной части осуществляется также, как и для целых частей числа, за тем лишь исключением, что разбивка на группы по 3 и 4 цифры идёт вправо от десятичной запятой, недостающие разряды дополняются нулями справа.

Пример: 1001,01 2 = 001 001, 010 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 2 + 1*2 1 + 0*2 0) = (0+0+1) (0+0+1), (0+2+0) = 11,2 8

Преобразование дробной части десятичной системы в любую другую

Для перевода дробной части числа в другие системы счисления нужно обратить целую часть в ноль и начать умножение получившегося числа на основание системы, в которую нужно перевести. Если в результате умножения будут снова появляться целые части, их нужно повторно обращать в ноль, предварительно запомнив (записав) значение получившейся целой части. Операция заканчивается, когда дробная часть полностью обратится в нуль.

Для примера переведем 10,625 10 в двоичную систему:
0,625*2 = 1,25
0,250*2 = 0,5
0,5*2 = 1,0
Записав все остатки сверху вниз, получаем 10,625 10 = (1010), (101) = 1010,101 2

Введение

Система счисления - это способ записи (представления) чисел.

Непозиционные системы

Единичная система счисления

Древнеегипетская десятичная система

Вавилонская шестидесятеричная система

Римская система

Методы определения значения числа:

Значение числа равно сумме значений его цифр. Например, число 32 в римской системе счисления имеет вид XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2=32
Если слева от большей цифры стоит меньшая, то значение равно разности между большей и меньшей цифрами. При этом, левая цифра может быть меньше правой максимум на один порядок: так, перед L(50) и С(100) из «младших» может стоять только X(10), перед D(500) и M(1000) - только C(100), перед V(5) - только I(1); число 444 в рассматриваемой системе счисления будет записано в виде CDXLIV = (D-C)+(L-X)+(V-I) = 400+40+4=444.
Значение равно сумме значений групп и цифр, не подходящих под 1 и 2 пункты.

Позиционные системы счисления

Десятичная система счисления

Помимо десятичной системы, отдельного внимания заслуживают 2-, 8-, 16-ая системы.

Двоичная система счисления

Восьмеричная система счисления

Шестнадцатеричная система счисления

Позиционные системы подразделяются на однородные и смешанные.

Однородные позиционные системы счисления

Смешанные системы счисления

Опираясь на теорему, можно сформулировать правила перевода из P-й в Q-ю системы и наоборот:

Для перевода из Q-й в P-ю, необходимо число в Q-й системе, разбить на группы по n цифр, начиная с правой цифры, и каждую группу заменить одной цифрой в P-й системе.
Для перевода из P-й в Q-ю, необходимо каждую цифру числа в P-й системе перевести в Q-ю и заполнить недостающие разряды ведущими нулями, за исключением левого, так, чтобы каждое число в системе с основанием Q состояло из n цифр.

Смешанными системами счисления также являются, например:
1) Факториальная
2) Фибоначчиева

Перевод из одной системы счисления в другую

Преобразование в десятичную систему счисления

Пример: 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10

Преобразование из десятичной системы счисления в другие

Целая часть:

Последовательно делим целую часть десятичного числа на основание системы, в которую переводим, пока десятичное число не станет равно нулю.
Полученные при делении остатки являются цифрами искомого числа. Число в новой системе записывают, начиная с последнего остатка.

Дробная часть:

Дробную часть десятичного числа умножаем на основание системы, в которую требуется перевести. Отделяем целую часть. Продолжаем умножать дробную часть на основание новой системы, пока она не станет равной 0.
Число в новой системе составляют целые части результатов умножения в порядке, соответствующем их получению.

Пример: переведем 15 10 в восьмеричную:
15\8 = 1, остаток 7
1\8 = 0, остаток 1

Записав все остатки снизу вверх, получаем итоговое число 17. Следовательно, 15 10 = 17 8 .

Преобразование из двоичной в восьмеричную и шестнадцатеричную системы

В качестве примера возьмем число 1001 2: 1001 2 = 001 001 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) = (0+0+1) (0+0+1) = 11 8

Преобразование из восьмеричной и шестнадцатеричной систем в двоичную

Для примера рассмотрим число 45 8: 45 = (100) (101) = 100101 2

Преобразование дробной части любой системы счисления в десятичную

Пример: 101,011 2 = (1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 -1 + 1*2 -2 + 1*2 -3) = (5), (0 + 0,25 + 0,125) = 5,375 10

Преобразование дробной части двоичной системы в 8- и 16-ую

Пример: 1001,01 2 = 001 001, 010 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 2 + 1*2 1 + 0*2 0) = (0+0+1) (0+0+1), (0+2+0) = 11,2 8