(สัญญาณที่เพียงพอครั้งแรกของสุดโต่ง สัญญาณของการเพิ่มขึ้นและการลดลงของฟังก์ชันเฉพาะที่

สัญญาณของการเพิ่มขึ้นและการลดลงของการทำงานในท้องถิ่น

งานหลักประการหนึ่งของการศึกษาฟังก์ชันคือการหาช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลง การศึกษาดังกล่าวสามารถทำได้ง่ายโดยใช้อนุพันธ์ ให้เรากำหนดข้อความที่เกี่ยวข้อง

สัญญาณเพียงพอของการทำงานที่เพิ่มขึ้น. ถ้า f '(x)> 0 ในแต่ละจุดของช่วง I ฟังก์ชัน f จะเพิ่มขึ้นตาม I

สัญญาณเพียงพอของการทำงานลดลง. ถ้า f '(x)< 0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I.

การพิสูจน์สัญญาณเหล่านี้ดำเนินการโดยใช้สูตรลากรองจ์ (ดูหัวข้อ 19) หาเลขสองตัวใดก็ได้ x 1 และ x 2 จากช่วง. ให้ x 1 มีตัวเลขด้วย ∈ (x 1, x 2) เช่นนั้น

(1)

จำนวน c เป็นของช่วง I เนื่องจากจุด x 1 และ x 2 เป็นของ I. ถ้า f "(x)> 0 สำหรับ х∈I ดังนั้น f' (с)> 0 ดังนั้น F (x 1 )) - ตามมาจากสูตร (1) เนื่องจาก x 2 - x 1 > 0. นี่เป็นการพิสูจน์ว่าฟังก์ชัน f เติบโตบน I ถ้า f '(x)<0 для х∈I то f"(с)<0, и потому f(x 1)> ฉ (x 2 ) - ตามมาจากสูตร (1) เนื่องจาก x 2 —x 1 > 0. ฟังก์ชั่น f ลดลงใน I

ความหมายทางสายตาของสัญญาณนั้นชัดเจนจากการให้เหตุผลทางกายภาพ (เพื่อความชัดเจน พิจารณาเครื่องหมายของการเพิ่มขึ้น)

ให้จุดเคลื่อนที่ไปตามพิกัด ณ เวลา t มีพิกัด y = f (t) จากนั้นความเร็วของจุดนี้ ณ เวลา t เท่ากับ f "(t) (ดูความเร็วทันที ). ถ้า f ’(t)> 0 ในแต่ละช่วงเวลาจากช่วง t จุดนั้นจะเคลื่อนที่ไปในทิศทางบวกของแกนกำหนด นั่นคือ ถ้า t 1 ). ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชัน f เพิ่มขึ้นในช่วงเวลา I

หมายเหตุ 1.

หากฟังก์ชัน f ต่อเนื่องกันที่จุดสิ้นสุดใดๆ ของช่วงที่เพิ่มขึ้น (ลดลง) จุดนี้จะถูกแนบมากับช่วงเวลานี้

หมายเหตุ 2

เพื่อแก้ความไม่เท่าเทียมกัน f "(x)> 0 และ f" (x)<0 удобно пользоваться обобщением метода интервалов (теоремой Дарбу) : точки, в которых производная равна 0 или не существует, разбивают область определения функции f на промежутки, в каждом из которых f" сохраняет постоянный знак. (Этот факт доказывается в курсах математического анализа.) Знак можно определить, вычислив значение f" в какой-нибудь точке промежутка.

เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการมีอยู่ของฟังก์ชันสุดขั้ว ณ จุดหนึ่ง

เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับสุดขั้ว

ฟังก์ชัน g (x) ที่จุดใดจุดหนึ่งมีค่าสูงสุด (สูงสุดหรือต่ำสุด) หากฟังก์ชันถูกกำหนดไว้ในพื้นที่ใกล้เคียงแบบสองด้านของจุดนั้นและสำหรับทุกจุด x ของบางพื้นที่: ความไม่เท่าเทียมกัน

(ในกรณีสูงสุด) หรือ (ในกรณีขั้นต่ำ)

ปลายสุดของฟังก์ชันหาได้จากเงื่อนไข: ถ้ามีอนุพันธ์อยู่ นั่นคือ เราให้อนุพันธ์อันดับแรกของฟังก์ชันเท่ากับศูนย์

สภาพสุดขั้วเพียงพอ

1) เงื่อนไขแรกเพียงพอ:

ก) f (x) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องและถูกกำหนดไว้ในย่านใกล้เคียงของจุดหนึ่ง โดยอนุพันธ์อันดับแรก ณ จุดนี้จะเป็นศูนย์หรือไม่มีอยู่จริง

b) f (x) มีอนุพันธ์ จำกัด ในพื้นที่ใกล้เคียงของคุณสมบัติและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน

ค) อนุพันธ์คงเครื่องหมายบางอย่างไว้ทางด้านขวาของจุดและทางซ้ายของจุดเดียวกัน จากนั้นจุดสามารถจำแนกได้ดังนี้

เงื่อนไขนี้ไม่สะดวกนัก เนื่องจากคุณต้องตรวจสอบเงื่อนไขหลายๆ อย่างและจำตาราง แต่ถ้าไม่มีการพูดถึงอนุพันธ์ของออร์เดอร์ที่สูงกว่า นี่เป็นวิธีเดียวที่จะหาส่วนปลายของฟังก์ชันได้

2) เงื่อนไขเพียงพอที่สอง

ถ้าฟังก์ชัน g (x) มีอนุพันธ์อันดับสอง และ ณ จุดหนึ่ง อนุพันธ์อันดับแรกมีค่าเท่ากับศูนย์ และอนุพันธ์อันดับสองไม่เป็นศูนย์ แล้วประเด็น ฟังก์ชั่นสุดขั้ว g (x) และถ้าจุดนั้นเป็นค่าสูงสุด ถ้าจุดนั้นเป็นค่าต่ำสุด

จุดปลายสุดของฟังก์ชันคือจุดในโดเมนของฟังก์ชันที่ค่าของฟังก์ชันใช้ค่าต่ำสุดหรือสูงสุด ค่าของฟังก์ชัน ณ จุดเหล่านี้เรียกว่า extrema (ต่ำสุดและสูงสุด) ของฟังก์ชัน.

คำนิยาม... จุด NS1 โดเมนฟังก์ชัน NS(NS) ถูกเรียก จุดสูงสุดของฟังก์ชัน , หากค่าของฟังก์ชัน ณ จุดนี้มากกว่าค่าของฟังก์ชันที่จุดใกล้พอกับมัน ให้อยู่ทางขวาและซ้ายของฟังก์ชันนั้น (นั่นคือ ความไม่เท่าเทียมกัน NS(NS0 ) > NS(NS 0 + Δ NS) NS1 ขีดสุด.

คำนิยาม... จุด NS2 โดเมนฟังก์ชัน NS(NS) ถูกเรียก จุดต่ำสุดของฟังก์ชัน, ถ้าค่าของฟังก์ชัน ณ จุดนี้น้อยกว่าค่าของฟังก์ชันที่จุดใกล้พอกับมัน อยู่ทางขวาและซ้ายของมัน (นั่นคือ ความไม่เท่าเทียมกัน NS(NS0 ) < NS(NS 0 + Δ NS) ). ในกรณีนี้เรียกว่าฟังก์ชันมีที่จุด NS2 ขั้นต่ำ

เอาเป็นว่าจุด NS1 คือจุดสูงสุดของฟังก์ชัน NS(NS). จากนั้นในช่วงเวลาถึง NS1 ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้นดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชันจึงมากกว่าศูนย์ ( NS "(NS)> 0) และในช่วงหลัง NS1 ฟังก์ชั่นลดลงดังนั้นและ อนุพันธ์ของฟังก์ชันน้อยกว่าศูนย์ ( NS "(NS) < 0 ). Тогда в точке NS1

ขอให้เราสมมติด้วยว่าประเด็น NS2 คือจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน NS(NS). จากนั้นในช่วงเวลาถึง NS2 ฟังก์ชันลดลงและอนุพันธ์ของฟังก์ชันมีค่าน้อยกว่าศูนย์ ( NS "(NS) < 0 ), а в интервале после NS2 ฟังก์ชันเพิ่มขึ้น และอนุพันธ์ของฟังก์ชันมีค่ามากกว่าศูนย์ ( NS "(NS)> 0). ในกรณีนี้ก็ตรงจุดเช่นกัน NS2 อนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นศูนย์หรือไม่มีอยู่

ทฤษฎีบทแฟร์มาต์ (เกณฑ์ที่จำเป็นสำหรับการมีอยู่ของฟังก์ชันสุดโต่ง)... ถ้าชี้ NS0 คือจุดสุดขั้วของฟังก์ชัน NS(NS) จากนั้น ณ จุดนี้อนุพันธ์ของฟังก์ชันจะเท่ากับศูนย์ ( NS "(NS) = 0) หรือไม่มีอยู่

คำนิยาม... จุดที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นศูนย์หรือไม่มีอยู่จริงเรียกว่า จุดวิกฤต .

ตัวอย่างที่ 1ลองพิจารณาฟังก์ชั่น

ณ จุดนั้น NS= 0 อนุพันธ์ของฟังก์ชันมีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้น จุด NS= 0 คือจุดวิกฤต อย่างไรก็ตาม ดังที่เห็นในกราฟของฟังก์ชัน มันเพิ่มขึ้นตลอดโดเมนของคำจำกัดความ ดังนั้นจุด NS= 0 ไม่ใช่จุดปลายสุดของฟังก์ชันนี้

ดังนั้น เงื่อนไขที่อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งเป็นศูนย์หรือไม่มีอยู่จึงเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับส่วนปลาย แต่ไม่เพียงพอ เนื่องจากตัวอย่างอื่นๆ ของฟังก์ชันที่ตรงตามเงื่อนไขเหล่านี้ แต่ฟังก์ชันไม่มีส่วนปลาย ที่จุดที่เกี่ยวข้องสามารถให้ นั่นเป็นเหตุผลที่ คุณต้องมีสัญญาณเพียงพอซึ่งช่วยให้ตัดสินได้ว่าจุดวิกฤตจุดใดจุดหนึ่งเป็นจุดวิกฤต และจุดใดเป็นจุดสูงสุดหรือต่ำสุด

ทฤษฎีบท (เกณฑ์แรกเพียงพอสำหรับการมีอยู่ของฟังก์ชันสุดโต่ง)จุดวิกฤต NS0 NS(NS) หากอนุพันธ์ของฟังก์ชันเปลี่ยนเครื่องหมายเมื่อผ่านจุดนี้ และหากเครื่องหมายเปลี่ยนจาก "บวก" เป็น "ลบ" แสดงว่าจุดสูงสุด และหากจาก "ลบ" เป็น "บวก" แสดงว่าจุดต่ำสุด .

ถ้าอยู่ใกล้จุด NS0 ทางซ้ายและทางขวาของมัน อนุพันธ์จะรักษาเครื่องหมาย ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันจะลดลงหรือเพิ่มขึ้นเฉพาะในบริเวณใกล้เคียงบางจุด NS0 ... ในกรณีนี้ ณ จุดนั้น NS0 ไม่มีอะไรสุดโต่ง

ดังนั้น, เพื่อกำหนดจุดสุดขั้วของฟังก์ชัน คุณต้องทำดังต่อไปนี้ :

1. หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
2. ตั้งค่าอนุพันธ์ให้เป็นศูนย์และกำหนดจุดวิกฤต
3. ทำเครื่องหมายจุดวิกฤติบนแกนตัวเลขและกำหนดสัญญาณของอนุพันธ์ของฟังก์ชันในช่วงเวลาที่ได้รับทั้งทางจิตใจหรือบนกระดาษ หากเครื่องหมายของอนุพันธ์เปลี่ยนจาก "บวก" เป็น "ลบ" จุดวิกฤตคือจุดสูงสุด และหากจาก "ลบ" เป็น "บวก" แสดงว่าจุดต่ำสุด
4. คำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุดปลายสุด

ตัวอย่างที่ 2ค้นหา extrema ของฟังก์ชัน .

สารละลาย. มาหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันกัน:

ให้เราตั้งค่าอนุพันธ์เป็นศูนย์เพื่อค้นหาจุดวิกฤต:

.

เนื่องจากสำหรับค่าใด ๆ ของ "x" ตัวส่วนไม่ใช่ศูนย์ เราจึงให้ตัวเศษเท่ากับศูนย์:

มีจุดให้ทิปหนึ่งจุด NS= 3 ให้เรากำหนดเครื่องหมายของอนุพันธ์ในช่วงเวลาที่คั่นด้วยจุดนี้:

ในช่วงตั้งแต่ลบอนันต์ถึง 3 - เครื่องหมายลบนั่นคือฟังก์ชันลดลง

ในช่วงตั้งแต่ 3 ถึงบวกอินฟินิตี้ - เครื่องหมายบวกนั่นคือฟังก์ชันเพิ่มขึ้น

นั่นคือจุด NS= 3 คือจุดต่ำสุด

ลองหาค่าของฟังก์ชันที่จุดต่ำสุด:

ดังนั้น จะพบจุดสุดขั้วของฟังก์ชัน: (3; 0) และเป็นจุดต่ำสุด

ทฤษฎีบท (เกณฑ์เพียงพอที่สองสำหรับการมีอยู่ของฟังก์ชันสุดโต่ง)จุดวิกฤต NS0 คือจุดสุดขั้วของฟังก์ชัน NS(NS) ถ้าอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน ณ จุดนี้ไม่เป็นศูนย์ ( NS ""(NS) ≠ 0) และถ้าอนุพันธ์อันดับสองมีค่ามากกว่าศูนย์ ( NS ""(NS)> 0) แล้วจุดสูงสุดและถ้าอนุพันธ์อันดับสองน้อยกว่าศูนย์ ( NS ""(NS) < 0 ), то точкой минимума.

หมายเหตุ 1. ถ้าตรงจุด NS0 ทั้งอนุพันธ์อันดับหนึ่งและอันดับสองหายไป เมื่อถึงจุดนี้ เป็นไปไม่ได้ที่จะตัดสินการปรากฏตัวของสุดโต่งบนพื้นฐานของเกณฑ์ที่สองที่เพียงพอ ในกรณีนี้ จำเป็นต้องใช้ตัวบ่งชี้ที่เพียงพอตัวแรกของฟังก์ชันสุดขั้ว

หมายเหตุ 2 เกณฑ์ที่เพียงพออันดับสองสำหรับปลายสุดของฟังก์ชันก็ใช้ไม่ได้เช่นกันถ้าอนุพันธ์อันดับแรกไม่มีอยู่ที่จุดนิ่ง (จากนั้นอนุพันธ์อันดับสองก็ไม่มีอยู่เช่นกัน) ในกรณีนี้ จำเป็นต้องใช้ตัวบ่งชี้ที่เพียงพอตัวแรกของฟังก์ชันสุดขั้ว

อักขระท้องถิ่นของสุดขั้วของฟังก์ชัน

จากคำจำกัดความข้างต้น จะเป็นไปตามที่ส่วนปลายของฟังก์ชันมีอักขระเฉพาะ - นี่คือค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันเมื่อเปรียบเทียบกับค่าที่ใกล้ที่สุด

สมมติว่าคุณกำลังดูรายได้ของคุณในช่วงหนึ่งปี หากคุณได้รับ 45,000 rubles ในเดือนพฤษภาคมและ 42,000 rubles ในเดือนเมษายนและ 39,000 rubles ในเดือนมิถุนายน รายได้พฤษภาคมจะเป็นฟังก์ชันรายได้สูงสุดเมื่อเปรียบเทียบกับค่าที่ใกล้ที่สุด แต่ในเดือนตุลาคม คุณได้รับ 71,000 รูเบิล ในเดือนกันยายน 75,000 รูเบิล และในเดือนพฤศจิกายน 74,000 รูเบิล ดังนั้นรายได้ในเดือนตุลาคมจึงเป็นฟังก์ชันรายได้ขั้นต่ำเมื่อเปรียบเทียบกับค่าใกล้เคียง และจะเห็นได้โดยง่ายว่าค่าสูงสุดของช่วงเดือนเมษายน-พฤษภาคม-มิถุนายนจะน้อยกว่าค่าต่ำสุดของเดือนกันยายน-ตุลาคม-พฤศจิกายน

โดยทั่วไป ในช่วงเวลาหนึ่ง ฟังก์ชันสามารถมีได้หลายอย่าง และอาจกลายเป็นว่าฟังก์ชันขั้นต่ำสุดมากกว่าค่าสูงสุดใดๆ ดังนั้น สำหรับฟังก์ชันที่แสดงในรูปด้านบน

นั่นคือเราไม่ควรคิดว่าค่าสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชันคือค่าที่มากที่สุดและน้อยที่สุดตามลำดับในช่วงเวลาที่พิจารณาทั้งหมด ที่จุดสูงสุด ฟังก์ชันมีค่ามากที่สุดก็ต่อเมื่อเปรียบเทียบกับค่าที่มีทุกจุดใกล้กับจุดสูงสุดเพียงพอ และที่จุดต่ำสุด - ค่าที่น้อยที่สุดเมื่อเปรียบเทียบกับค่าที่ มีจุดใกล้พอถึงจุดต่ำสุดทุกจุด

ดังนั้นเราจึงสามารถชี้แจงแนวคิดข้างต้นของจุดสุดโต่งของฟังก์ชันและเรียกจุดต่ำสุดจุดต่ำสุดในท้องถิ่นและจุดสูงสุด - จุดสูงสุดในพื้นที่

มองหาความสุดขั้วของฟังก์ชันด้วยกัน

ตัวอย่างที่ 3

วิธีแก้ไข: มีการกำหนดฟังก์ชันและต่อเนื่องบนเส้นจำนวนเต็ม อนุพันธ์ของมัน ยังมีอยู่บนเส้นจำนวนเต็ม ดังนั้น ในกรณีนี้ จุดวิกฤตคือจุดสำคัญเท่านั้น กล่าวคือ ที่ไหนและ. จุดวิกฤตและแบ่งโดเมนทั้งหมดของฟังก์ชันออกเป็นสามช่วงของความซ้ำซากจำเจ:. ลองเลือกจุดควบคุมในแต่ละจุดแล้วหาเครื่องหมายของอนุพันธ์ ณ จุดนี้

สำหรับช่วงเวลา จุดควบคุมสามารถ: ค้นหา การหาจุดในช่วงเวลา เราได้ และจุดในช่วงเวลา เรามี ดังนั้นในช่วงเวลาและและในช่วงเวลา ตามเกณฑ์ที่เพียงพออันดับแรกสำหรับปลายสุด ไม่มีปลายสุดที่จุดนั้น (เนื่องจากอนุพันธ์คงเครื่องหมายไว้ในช่วง) และ ณ จุดนั้น ฟังก์ชันมีค่าต่ำสุด (เนื่องจากอนุพันธ์เปลี่ยนเครื่องหมายจากลบเป็นบวกเมื่อผ่าน ผ่านจุดนี้) ลองหาค่าที่สอดคล้องกันของฟังก์ชัน:, a. ในช่วงเวลานี้ ฟังก์ชันจะลดลงเช่นเดียวกับในช่วงเวลานี้ และในช่วงเวลาดังกล่าว จะเพิ่มขึ้นตามช่วงเวลานี้

เพื่อชี้แจงการสร้างกราฟ เราจะหาจุดตัดที่มีแกนพิกัด สำหรับ เราได้รับสมการที่มีรากและนั่นคือ พบสองจุด (0; 0) และ (4; 0) ของกราฟของฟังก์ชัน เราสร้างกราฟโดยใช้ข้อมูลทั้งหมดที่ได้รับ (ดูในตอนต้นของตัวอย่าง)

สำหรับการตรวจสอบตัวเองระหว่างการคำนวณ คุณสามารถใช้ เครื่องคำนวณอนุพันธ์ออนไลน์ .

ตัวอย่างที่ 4ค้นหาเอ็กซ์ตรีมาของฟังก์ชันและสร้างกราฟ

โดเมนของฟังก์ชันคือเส้นจำนวนเต็ม ยกเว้นจุด นั่นคือ ...

เพื่อย่นระยะเวลาการวิจัย คุณสามารถใช้ความจริงที่ว่าฟังก์ชันนี้มีค่าเท่ากันตั้งแต่ ... ดังนั้น กราฟของกราฟจึงสมมาตรเกี่ยวกับแกน ออยและการสำรวจสามารถทำได้ในช่วงเวลาหนึ่งเท่านั้น

หาอนุพันธ์ และจุดวิกฤตของฟังก์ชัน:

1) ;

2) ,

แต่ฟังก์ชันหยุดทำงาน ณ จุดนี้ ดังนั้นจึงไม่สามารถเป็นจุดสุดโต่งได้

ดังนั้น ฟังก์ชันที่กำหนดจึงมีจุดวิกฤตสองจุด: และ โดยคำนึงถึงความเท่าเทียมกันของฟังก์ชัน ให้เราตรวจสอบเฉพาะจุดด้วยเกณฑ์ที่เพียงพออันดับสองของปลายสุด เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราพบอนุพันธ์อันดับสอง และกำหนดเครื่องหมายไว้ที่: เราได้รับ ตั้งแต่ และ แล้ว เป็นจุดต่ำสุดของฟังก์ชันในขณะที่ .

เพื่อให้ได้ภาพที่สมบูรณ์ยิ่งขึ้นของกราฟของฟังก์ชัน ให้หาพฤติกรรมที่ขอบเขตของโดเมนของคำจำกัดความ:

(ในที่นี้สัญลักษณ์แสดงถึงความปรารถนา NSเป็นศูนย์ทางด้านขวาและ NSยังคงเป็นบวก ก็หมายความถึงความทะเยอทะยานเช่นเดียวกัน NSเป็นศูนย์ทางด้านซ้ายและ NSยังคงเป็นลบ) ดังนั้นหากเป็นเช่นนั้นแล้ว นอกจากนี้ เราพบว่า

,

เหล่านั้น. ถ้าอย่างนั้น

กราฟของฟังก์ชันไม่มีจุดตัดกับแกน รูปภาพอยู่ที่จุดเริ่มต้นของตัวอย่าง

สำหรับการตรวจสอบตัวเองระหว่างการคำนวณ คุณสามารถใช้ เครื่องคำนวณอนุพันธ์ออนไลน์ .

เรายังคงค้นหา extrema ของฟังก์ชันด้วยกันต่อไป

ตัวอย่างที่ 8หาค่าเอ็กซ์ตรีมาของฟังก์ชัน

สารละลาย. มาหาโดเมนของฟังก์ชันกัน เนื่องจากความเหลื่อมล้ำต้องยึดถือ เราได้รับจาก

ลองหาอนุพันธ์อันดับแรกของฟังก์ชันกัน

ในการหาค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน คุณสามารถใช้เครื่องหมายที่เพียงพอของค่าสูงสุดสามแบบที่เพียงพอได้ แม้ว่าที่ธรรมดาและสะดวกที่สุดคืออันแรก

เงื่อนไขแรกเพียงพอสำหรับสุดโต่ง

ให้ฟังก์ชั่น y = ฉ (x)แตกต่างใน -เพื่อนบ้านของจุด และต่อเนื่องที่จุดนั้นเอง แล้ว

กล่าวอีกนัยหนึ่ง:

อัลกอริทึม

• ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชันในโดเมนของคำจำกัดความ

กำหนดศูนย์ของตัวเศษ, ศูนย์ของตัวส่วนของอนุพันธ์และจุดของโดเมนที่ไม่มีอนุพันธ์ (จุดเหล่านี้เรียกว่า จุดสุดขั้วที่เป็นไปได้เมื่อผ่านจุดเหล่านี้ อนุพันธ์สามารถเปลี่ยนเครื่องหมายของมันได้)

จุดเหล่านี้แบ่งโดเมนของฟังก์ชันออกเป็นช่วงเวลาที่อนุพันธ์รักษาเครื่องหมายไว้ กำหนดเครื่องหมายของอนุพันธ์ในแต่ละช่วงเวลา (เช่น การคำนวณค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดใดๆ ในช่วงเวลาหนึ่ง)

เราเลือกจุดที่ฟังก์ชันต่อเนื่องและผ่านจุดนั้น อนุพันธ์เปลี่ยนเครื่องหมาย

ตัวอย่าง.หาค่าเอ็กซ์ตรีมาของฟังก์ชัน
สารละลาย.
โดเมนของฟังก์ชันคือเซตของจำนวนจริงทั้งหมด ยกเว้น x = 2.
ค้นหาอนุพันธ์:

เลขศูนย์คือจุด x = -1และ x = 5, ตัวส่วนหายไปที่ x = 2... เราทำเครื่องหมายจุดเหล่านี้บนแกนตัวเลข

เรากำหนดสัญญาณของอนุพันธ์ในแต่ละช่วง สำหรับสิ่งนี้ เราคำนวณค่าของอนุพันธ์ที่จุดใดๆ ของแต่ละช่วง เช่น ที่จุด x = -2, x = 0, x = 3และ x = 6.

ดังนั้น ในช่วงเวลา อนุพันธ์จึงเป็นค่าบวก (ในรูป เราใส่เครื่องหมายบวกเหนือช่วงเวลานี้) เช่นเดียวกัน

ดังนั้น เราใส่เครื่องหมายลบเหนือช่วงที่สอง ลบเหนือช่วงที่สาม และบวกเหนือช่วงที่สี่

ยังคงต้องเลือกจุดที่ฟังก์ชันต่อเนื่องและเครื่องหมายการเปลี่ยนแปลงอนุพันธ์ นี่คือจุดสุดขั้ว
ณ จุดนั้น x = -1ฟังก์ชันต่อเนื่องและอนุพันธ์เปลี่ยนเครื่องหมายจากบวกเป็นลบ ดังนั้น ตามเครื่องหมายแรกของปลายสุด x = -1- จุดสูงสุดสอดคล้องกับสูงสุดของฟังก์ชัน
ณ จุดนั้น x = 5ฟังก์ชันมีความต่อเนื่องและการเปลี่ยนแปลงอนุพันธ์จะลงนามจากลบเป็นบวกดังนั้น x = -1- จุดต่ำสุดก็สอดคล้องกับค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน
ภาพประกอบกราฟิก

ตอบ: .

ตัวบ่งชี้ที่เพียงพอที่สองของปลายสุดของฟังก์ชัน
ปล่อยให้เป็น

ถ้าแล้ว - จุดต่ำสุด;

ถ้าเช่นนั้น - จุดสูงสุด

อย่างที่คุณเห็น คุณลักษณะนี้จำเป็นต้องมีอนุพันธ์อย่างน้อยถึงอันดับสอง ณ จุดหนึ่ง
ตัวอย่าง.หาค่าเอ็กซ์ตรีมาของฟังก์ชัน
สารละลาย.
เริ่มต้นด้วยขอบเขต:

มาแยกความแตกต่างของฟังก์ชันดั้งเดิมกัน:

อนุพันธ์หายไปที่ x = 1นั่นคือมันเป็นจุดสุดโต่งที่เป็นไปได้
ค้นหาอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันและคำนวณค่าของมันที่ x = 1:

ดังนั้นโดยเงื่อนไขที่เพียงพอประการที่สองสำหรับสุดโต่ง x = 1คือจุดสูงสุด จากนั้นจะเป็นค่าสูงสุดของฟังก์ชัน
ภาพประกอบกราฟิก

ตอบ: .
ตัวบ่งชี้ที่เพียงพอที่สามของปลายสุดของฟังก์ชัน
ให้ฟังก์ชั่น y = ฉ (x)มีอนุพันธ์สูงถึง NS-ลำดับที่ -บริเวณใกล้เคียงของจุดและอนุพันธ์ได้ถึง n + 1- ลำดับที่จุดนั้นเอง ให้และ.
แล้ว,

สิ้นสุดการทำงาน -

หัวข้อนี้เป็นของส่วน:

พีชคณิตและเรขาคณิตวิเคราะห์ แนวคิดของเมทริกซ์ การดำเนินการกับเมทริกซ์และคุณสมบัติของเมทริกซ์

แนวคิดของการดำเนินการเมทริกซ์กับเมทริกซ์และคุณสมบัติของเมทริกซ์ .. เมทริกซ์เป็นตารางสี่เหลี่ยมที่ประกอบด้วยตัวเลขที่ไม่สามารถเป็น .. และการเพิ่มเมทริกซ์เป็นการดำเนินการที่ชาญฉลาด ..

หากคุณต้องการเนื้อหาเพิ่มเติมในหัวข้อนี้ หรือคุณไม่พบสิ่งที่คุณกำลังมองหา เราขอแนะนำให้ใช้การค้นหาในผลงานของเรา:

เราจะทำอย่างไรกับวัสดุที่ได้รับ:

หากเนื้อหานี้มีประโยชน์สำหรับคุณ คุณสามารถบันทึกลงในเพจของคุณบนโซเชียลเน็ตเวิร์ก:

ทวีต

หัวข้อทั้งหมดในส่วนนี้:

คำจำกัดความของความแตกต่าง
การดำเนินการหาอนุพันธ์เรียกว่า ฟังก์ชันดิฟเฟอเรนติเอติเอชัน ฟังก์ชันเรียกว่าดิฟเฟอเรนติเอเบิล ณ จุดหนึ่ง หากมีอนุพันธ์จำกัด ณ จุดนี้ และ

กฎความแตกต่าง
ข้อพิสูจน์ 1 ตัวประกอบคงที่สามารถเคลื่อนออกนอกเครื่องหมายของอนุพันธ์ได้:

ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ สมการแทนเจนต์
มุมเอียงของเส้นตรง y = kx + b คือมุมที่วัดจากตำแหน่ง

ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง
พิจารณาเส้นตัด AB ของกราฟของฟังก์ชัน y = f (x) โดยที่จุด A และ B มีพิกัดตามลำดับ

สารละลาย
ฟังก์ชันนี้กำหนดไว้สำหรับจำนวนจริงทั้งหมด เนื่องจาก (-1; -3) เป็นจุดติดต่อ ดังนั้น

เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับสุดโต่งและเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับสุดขั้ว
การกำหนดฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น ฟังก์ชัน y = f (x) เพิ่มขึ้นในช่วงเวลา X หากมี

เงื่อนไขสำหรับความซ้ำซากจำเจและความคงตัวของฟังก์ชัน
เงื่อนไขสำหรับ (ไม่เข้มงวด) ความซ้ำซากจำเจของฟังก์ชันในช่วงเวลาหนึ่ง ให้ฟังก์ชันมีอนุพันธ์ในทุก ๆ

คำจำกัดความของแอนติเดริเวทีฟ
แอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน f (x) บนช่วง (a; b) เป็นฟังก์ชัน F (x) ที่ความเท่าเทียมกัน

การตรวจสอบ
ในการตรวจสอบผลลัพธ์ เราแยกความแตกต่างของนิพจน์ผลลัพธ์: ดังนั้น get

แอนติเดริเวทีฟของผลิตภัณฑ์ของค่าคงที่และฟังก์ชันเท่ากับผลคูณของค่าคงที่และแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน
เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการมีอยู่ของแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชันที่กำหนดในช่วงเวลาคือ

คำนิยาม
ให้มันถูกกำหนดบน

ความหมายทางเรขาคณิต
อินทิกรัลแน่นอนเป็นตัวเลขเท่ากับพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยแกน abscissa ด้วยเส้นตรง

คุณสมบัติของอินทิกรัลแน่นอน
คุณสมบัติพื้นฐานของอินทิกรัลที่แน่นอน คุณสมบัติ 1 อนุพันธ์ของอินทิกรัลที่แน่นอนเทียบกับขีดจำกัดบนเท่ากับอินทิกรัลที่รวมเข้าด้วยกันแทนที่จะเป็นตัวแปร

สูตร Newton-Leibniz (มีหลักฐาน)
สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซ ให้ฟังก์ชัน y = f (x) ต่อเนื่องกันบนช่วง และ F (x) เป็นหนึ่งในแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันในช่วงเวลานี้ แล้วมันก็เป็นความจริงที่

ในการตรวจสอบพฤติกรรมของฟังก์ชัน คุณต้อง:

2) หาอนุพันธ์นี้ให้เป็นศูนย์และแก้สมการที่ได้
รากของมัน
เป็นจุดนิ่ง

3) นำประเด็นที่อยู่กับที่ไปสู่การวิจัยเพิ่มเติมโดยพล็อตบนแกนตัวเลขและกำหนดสัญญาณ
ในส่วนผลลัพธ์ เมื่อรู้สัญญาณเหล่านี้แล้ว ก็สามารถกำหนดลักษณะของจุดนิ่งแต่ละจุดได้ ... ถ้าเมื่อผ่านจุดคงที่อนุพันธ์
เปลี่ยนเครื่องหมายจากบวกเป็นลบ จากนั้นจุดคงที่คือจุดสูงสุด ถ้าเมื่อผ่านจุดนิ่ง เครื่องหมายของอนุพันธ์เปลี่ยนจากลบเป็นบวก แล้วจุดคงที่คือจุดต่ำสุด ถ้าเมื่อผ่านจุดคงที่อนุพันธ์
ไม่เปลี่ยนเครื่องหมาย แสดงว่าจุดนิ่งไม่ใช่จุดสุดโต่ง

บางครั้ง เมื่อพบสุดขั้ว จะใช้เงื่อนไขที่เพียงพออื่นๆ ซึ่งลักษณะของจุดสุดโต่งถูกกำหนดโดยเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับสองที่จุดนิ่ง

ทฤษฎีบท (เงื่อนไขเพียงพอประการที่สองสำหรับการดำรงอยู่ของสุดโต่ง) .Let --- จุดนิ่งของฟังก์ชัน (นั่นคือ
และ มีอนุพันธ์อันดับสอง ต่อเนื่องในบริเวณใกล้เคียงของจุด .แล้ว

1) if
, แล้ว --- จุดสูงสุดของฟังก์ชัน ;

2) ถ้า
, แล้ว --- จุดต่ำสุดของฟังก์ชัน

ตัวอย่างที่ 3 ค้นหาส่วนปลายของฟังก์ชัน

สารละลาย. ตราบเท่าที่
ฟังก์ชันคาบกับคาบ
ก็เพียงพอที่จะพิจารณาเฉพาะช่วงเวลาตั้งแต่ 0 ถึง
... หา
และ
:

,
.

เท่ากับ
ถึงศูนย์ เราพบจุดนิ่ง:

หรือ
... ในระหว่าง
มีสองรากของสมการนี้:
และ
... มากำหนดเครื่องหมายกัน
ณ จุดเหล่านี้:
, เพราะฉะนั้น
--- จุดสูงสุด:

, เพราะฉะนั้น
--- จุดต่ำสุด

การตรวจสอบฟังก์ชันการนูนและความเว้า จุดเปลี่ยน

พิจารณาเส้นโค้ง Г บนระนาบ ซึ่งเป็นกราฟของฟังก์ชันดิฟเฟอเรนติเอเบิล
.

คำจำกัดความ 1... เส้นโค้งเรียกว่านูนขึ้น (นูน) บน (a, b) ถ้าในช่วงเวลานี้ทุกจุดของเส้นโค้งอยู่ไม่สูงกว่าเส้นสัมผัสใดๆ

คำจำกัดความ 2เส้นโค้งเรียกว่านูนลง (เว้า) บน
ถ้าในช่วงเวลานี้ทุกจุดของเส้นโค้งไม่ต่ำกว่าค่าแทนเจนต์ใดๆ

ทิศทางของความนูนของส่วนโค้งเป็นลักษณะสำคัญของรูปร่าง ให้เราสร้างสัญญาณที่กำหนดช่วงเวลาที่กราฟของฟังก์ชันนูน (เว้า) ถูกกำหนด เครื่องหมายดังกล่าว ตัวอย่างเช่น เครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน
(ถ้ามี)

ทฤษฎีบทที่ 1
อนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน เป็นลบ แล้วเส้นโค้ง
จะนูนขึ้นในช่วงเวลานี้

ทฤษฎีบท 2ถ้าทุกจุดของช่วงเวลา
อนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน
เป็นบวก แล้วเส้นโค้ง
ในช่วงเวลานี้จะเว้า (นูนลง)

ตัวอย่างที่ 1 ค้นหาช่วงเวลาของการนูน-เว้าของฟังก์ชัน

สารละลาย. ที่

ดังนั้นหน้าที่ของสิ่งเหล่านี้ นูน; ที่

ดังนั้นสำหรับสิ่งเหล่านี้ ฟังก์ชั่นเว้า

คำจำกัดความ 3... จุดที่แยกส่วนนูนของส่วนโค้งออกจากส่วนเว้าเรียกว่าจุดเปลี่ยนเว้า

เห็นได้ชัดว่าที่จุดเปลี่ยน แทนเจนต์ (ถ้ามี) จะตัดกับเส้นโค้ง เนื่องจากด้านหนึ่งของจุดนี้เส้นโค้งอยู่ใต้เส้นสัมผัส และอีกด้านหนึ่ง - อยู่เหนือมัน

ทฤษฎีบทที่ 3 (เงื่อนไขการผันแปรที่จำเป็น). ถ้า มีจุดเปลี่ยน
และมีอนุพันธ์อันดับสอง
แล้ว
.

เหตุใดจึงจำเป็นต้องตรวจสอบการโก่งตัวเฉพาะจุดที่อนุพันธ์อันดับสองมีค่าเท่ากับศูนย์หรือไม่มีอยู่จริง

ทฤษฎีบทที่ 4ถ้าเมื่อข้ามจุด อนุพันธ์อันดับสอง
เปลี่ยนเครื่องหมายจุดโค้ง
กับ abscissa มีจุดเปลี่ยน

ตัวอย่างที่ 2: ค้นหาจุดเปลี่ยนเว้าของเส้นโค้ง
.

สารละลาย. ช่วงของค่าที่ถูกต้อง:
.

ค้นหาอนุพันธ์:

;
.

อนุพันธ์อันดับสอง ไม่ได้หายไปไหนแต่ที่
ไม่ได้อยู่.

มากำหนดสัญญาณกัน
ไปทางซ้ายและขวาของจุด
:

ที่
ดังนั้นในช่วง
ฟังก์ชั่นเว้า;

ที่
ดังนั้นในช่วง
ฟังก์ชั่นนูน

ดังนั้น สำหรับ
มีจุดเปลี่ยน
.

ฟังก์ชัน y = f (x) เรียกว่า เพิ่มขึ้น (กำลังลดลง) ในช่วงเวลาหนึ่ง ถ้าสำหรับ x 1< x 2 выполняется неравенство (f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >ฉ (x 2)).

ถ้าฟังก์ชันดิฟเฟอเรนติเอเบิล y = f (x) เพิ่มขึ้น (ลดลง) ในช่วงเวลาหนึ่ง อนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้นในช่วงนี้ f "(x)> 0

(ฉ "(x)< 0).

จุด x เกี่ยวกับเรียกว่า จุดสูงสุดของท้องถิ่น (ขั้นต่ำ) ของฟังก์ชัน f (x) ถ้ามีบริเวณใกล้เคียงของจุด x เกี่ยวกับสำหรับทุกจุดที่ความไม่เท่าเทียมกัน f (x) ≤ f (x о) (f (x) ≥ f (x о)) เป็นจริง

จุดสูงสุดและต่ำสุดเรียกว่า จุดสุดขีดและค่าของฟังก์ชัน ณ จุดเหล่านี้คือ สุดขีด

เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับสุดขั้ว... ถ้าชี้ x เกี่ยวกับคือจุดสุดขั้วของฟังก์ชัน f (x) ดังนั้น f "(x о) = 0 หรือ f (x о) ไม่มีอยู่ จุดดังกล่าวเรียกว่า วิกฤต,นอกจากนี้ ฟังก์ชันเองถูกกำหนดไว้ที่จุดวิกฤต ควรค้นหาจุดสิ้นสุดของฟังก์ชันในจุดวิกฤต

เงื่อนไขแรกเพียงพอปล่อยให้เป็น x เกี่ยวกับ- จุดวิกฤต ถ้า f "(x) เมื่อผ่านจุด x เกี่ยวกับเปลี่ยนเครื่องหมายบวกเป็นลบแล้วตรงจุด x เกี่ยวกับฟังก์ชันมีค่าสูงสุด มิฉะนั้น จะมีค่าต่ำสุด ถ้าอนุพันธ์ไม่เปลี่ยนเครื่องหมายเมื่อผ่านจุดวิกฤตแล้วที่จุด x เกี่ยวกับไม่มีอะไรสุดโต่ง

เงื่อนไขเพียงพอที่สองให้ฟังก์ชัน f (x) มีอนุพันธ์
f "(x) ในบริเวณใกล้เคียงของจุด x เกี่ยวกับและอนุพันธ์อันดับสอง ณ จุดนั้น x เกี่ยวกับ... ถ้า f "(x о) = 0,> 0 (<0), то точка x เกี่ยวกับคือจุดต่ำสุดในพื้นที่ (สูงสุด) ของฟังก์ชัน f (x) ถ้า = 0 ให้ใช้เงื่อนไขที่เพียงพอก่อนหรือเกี่ยวข้องกับอนุพันธ์ที่สูงกว่า

บนเซ็กเมนต์ ฟังก์ชัน y = f (x) สามารถไปถึงค่าที่เล็กที่สุดหรือใหญ่ที่สุดได้ทั้งที่จุดวิกฤตหรือที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์

ศึกษาเงื่อนไขและการสร้างกราฟ

ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน

หาจุดตัดของกราฟด้วยแกนพิกัด

หาช่วงของเครื่องหมายคงตัว

สืบหาความเท่าเทียม ความแปลก

ค้นหาเส้นกำกับของกราฟของฟังก์ชัน

ค้นหาช่วงเวลาของความซ้ำซากจำเจของฟังก์ชัน

ค้นหา extrema ของฟังก์ชัน

ค้นหาช่วงเวลานูนและจุดเปลี่ยน

เส้นกำกับของกราฟของฟังก์ชัน โครงร่างทั่วไปของการวิจัยและการพล็อตกราฟฟังก์ชัน ตัวอย่าง.

แนวตั้ง

เส้นกำกับแนวตั้งเป็นเส้นตรงของแบบฟอร์มที่มีขีดจำกัด .

ตามกฎแล้ว เมื่อกำหนดเส้นกำกับแนวดิ่ง จะไม่ค้นหาขีด จำกัด เดียว แต่จะมองหาสองขีดด้านเดียว (ซ้ายและขวา) สิ่งนี้ทำเพื่อกำหนดว่าฟังก์ชันทำงานอย่างไรเมื่อเข้าใกล้เส้นกำกับแนวตั้งจากด้านต่างๆ ตัวอย่างเช่น:

หมายเหตุ: ให้ความสนใจกับเครื่องหมายอนันต์ในความเท่าเทียมกันเหล่านี้

[แก้ไข] แนวนอน

เส้นกำกับแนวนอนเป็นเส้นตรงของรูปแบบขึ้นอยู่กับการมีอยู่ของขีด จำกัด

.

[แก้ไข] เฉียง

เส้นกำกับเฉียงเป็นเส้นตรงของรูปแบบภายใต้เงื่อนไขของการมีอยู่ของขีด จำกัด

ตัวอย่างของเส้นกำกับเฉียง

1.

หมายเหตุ: ฟังก์ชันสามารถมีเส้นกำกับเฉียง (แนวนอน) ได้ไม่เกินสองเส้น!

หมายเหตุ: หากไม่มีอย่างน้อยหนึ่งในสองขีดจำกัดข้างต้น (หรือเท่ากับ) ดังนั้นเส้นกำกับเฉียงที่ (หรือ) จะไม่มีอยู่จริง!

ความสัมพันธ์ระหว่างเส้นกำกับเฉียงและแนวนอน

ถ้าเมื่อคำนวณลิมิต จากนั้นจะเห็นได้ชัดว่าเส้นกำกับเฉียงตรงกับเส้นแนวนอน อะไรคือความสัมพันธ์ระหว่างเส้นกำกับทั้งสองประเภทนี้?

ข้อเท็จจริง, ว่าเส้นกำกับแนวราบเป็นกรณีพิเศษของเส้นเฉียงที่ และจากข้อสังเกตข้างต้นก็ว่า

1. ฟังก์ชันมีเส้นกำกับเฉียงเพียงเส้นเดียว หรือเส้นกำกับแนวตั้งเส้นเดียว หรือเส้นเฉียงเส้นเดียวและเส้นแนวตั้งเส้นเดียว หรือเส้นเฉียงสองเส้น หรือเส้นแนวตั้งสองเส้น หรือไม่มีเส้นกำกับเลย

2. การมีอยู่ของเส้นกำกับที่ระบุในข้อ 1.) เกี่ยวข้องโดยตรงกับการมีอยู่ของขีดจำกัดที่สอดคล้องกัน

พล็อตของฟังก์ชันที่มีเส้นกำกับแนวนอนสองเส้น

] ค้นหาเส้นกำกับ

ลำดับการหาเส้นกำกับ

1. การหาเส้นกำกับแนวตั้ง

2. ค้นหาสองขีด จำกัด

3. ค้นหาข้อ จำกัด สองข้อ:

ถ้าอยู่ในข้อ 2) ดังนั้นและหาขีด จำกัด โดยสูตรเส้นกำกับแนวนอน .