สัญกรณ์ตรีโกณมิติของตัวอย่างจำนวนเชิงซ้อน บรรยายในหัวข้อ "รูปแบบตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อน"

01.09.2021

2.3. รูปแบบตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อน

ให้เวกเตอร์ระบุบนระนาบเชิงซ้อนด้วยตัวเลข

เราแสดงโดย φ มุมระหว่าง Ox ครึ่งแกนบวกกับเวกเตอร์ (มุม φ ถือเป็นค่าบวก หากนับทวนเข็มนาฬิกา และค่าลบจะเป็นค่าลบ)

เราแทนความยาวของเวกเตอร์ด้วย r แล้ว . เรายังหมายถึง

การเขียนจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่ใช่ศูนย์ z ในรูปแบบ

เรียกว่ารูปตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อน z จำนวน r เรียกว่าโมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อน z และจำนวน φ เรียกว่าอาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อนนี้ และเขียนแทนด้วย Arg z

สัญกรณ์ตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อน - (สูตรของออยเลอร์) - เลขชี้กำลังของจำนวนเชิงซ้อน:

จำนวนเชิงซ้อน z มีอาร์กิวเมนต์จำนวนมากเป็นอนันต์: ถ้า φ0 เป็นอาร์กิวเมนต์ใดๆ ของจำนวน z แล้วสูตรอื่นๆ จะพบอาร์กิวเมนต์อื่นๆ ทั้งหมด

สำหรับจำนวนเชิงซ้อน อาร์กิวเมนต์และรูปแบบตรีโกณมิติจะไม่ถูกกำหนด

ดังนั้น อาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่ใช่ศูนย์จึงเป็นคำตอบของระบบสมการ:

(3)

ค่า φ ของอาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อน z ที่ตอบสนองความไม่เท่าเทียมกันเรียกว่า ตัวการ และเขียนแทนด้วย arg z

Arg z และ arg z สัมพันธ์กันโดย

, (4)

สูตร (5) เป็นผลมาจากระบบ (3) ดังนั้นอาร์กิวเมนต์ทั้งหมดของจำนวนเชิงซ้อนจะเป็นไปตามความเท่าเทียมกัน (5) แต่ไม่ใช่คำตอบทั้งหมด φ ของสมการ (5) เป็นอาร์กิวเมนต์ของจำนวน z

ค่าหลักของอาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่ใช่ศูนย์สามารถพบได้โดยสูตร:

สูตรสำหรับการคูณและการหารจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบตรีโกณมิติมีดังนี้:

. (7)

เมื่อเพิ่มจำนวนเชิงซ้อนเป็นกำลังธรรมชาติ จะใช้สูตร Moivre:

เมื่อทำการแยกรูทออกจากจำนวนเชิงซ้อน จะใช้สูตร:

, (9)

โดยที่ k = 0, 1, 2, ..., n-1

ปัญหา 54. คำนวณที่ไหน

มาแทนคำตอบของนิพจน์นี้ในรูปแบบเลขชี้กำลังของจำนวนเชิงซ้อน:

ถ้าอย่างนั้น.

แล้ว , ... เพราะฉะนั้น และ , ที่ไหน .

ตอบ: , ที่ .

ปัญหา 55. เขียนตัวเลขที่ซับซ้อนในรูปแบบตรีโกณมิติ:

NS) ; NS); วี) ; NS) ; จ); จ) ; NS).

เนื่องจากรูปแบบตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อนคือ:

ก) ในจำนวนเชิงซ้อน:.

นั่นเป็นเหตุผลที่

NS) , ที่ไหน ,

จ) .

NS) , NS , แล้ว .

นั่นเป็นเหตุผลที่

ตอบ: ; 4; ; ; ; ; .

ปัญหา 56. ค้นหารูปแบบตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อน

ปล่อยให้เป็น .

แล้ว , , .

ตั้งแต่และ ,,แล้ว,และ

ดังนั้น

ตอบ: , ที่ไหน .

ปัญหา 57. ใช้รูปแบบตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อน ดำเนินการตามที่ระบุ:

มาแทนตัวเลขและ ในรูปแบบตรีโกณมิติ

1) โดยที่ แล้ว

ค้นหาค่าของอาร์กิวเมนต์หลัก:

แทนที่ค่าและลงในนิพจน์เราจะได้

2) แล้วที่ไหน

แล้ว

3) ค้นหาผลหาร

การตั้งค่า k = 0, 1, 2 เราได้รับสามค่าที่แตกต่างกันของรูทที่ต้องการ:

ถ้าอย่างนั้น

ถ้าอย่างนั้น .

ตอบ: :

: .

ปัญหา 58. ให้,,, เป็นจำนวนเชิงซ้อนต่างกันและ ... พิสูจน์สิ

หมายเลข เป็นจำนวนบวกจริง

b) ความเท่าเทียมกันเกิดขึ้น:

ก) เราแสดงจำนวนเชิงซ้อนเหล่านี้ในรูปแบบตรีโกณมิติ:

เพราะ .

มาแสร้งทำเป็นว่า แล้ว

นิพจน์สุดท้ายเป็นจำนวนบวก เนื่องจากเครื่องหมายไซน์เป็นตัวเลขจากช่วง

ตั้งแต่ตัวเลข จริงและเป็นบวก อันที่จริง ถ้า a และ b เป็นจำนวนเชิงซ้อนและเป็นจำนวนจริงและมากกว่าศูนย์ ดังนั้น

นอกจาก,

ดังนั้นจึงพิสูจน์ความเท่าเทียมกันที่จำเป็น

ปัญหา 59. เขียนตัวเลขในรูปแบบพีชคณิต .

ลองแทนตัวเลขในรูปแบบตรีโกณมิติ แล้วหารูปแบบพีชคณิตของมัน เรามี ... สำหรับ เราได้รับระบบ:

นี่แสดงถึงความเท่าเทียมกัน: .

การใช้สูตร Moivre:,

เราได้รับ

พบรูปแบบตรีโกณมิติของจำนวนที่กำหนด

ตอนนี้เราเขียนตัวเลขนี้ในรูปแบบพีชคณิต:

ตอบ: .

ปัญหา 60. หาผลรวม,,

พิจารณาจำนวนเงิน

ใช้สูตร Moivre เราพบว่า

ผลรวมนี้คือผลรวมของเงื่อนไข n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตกับตัวส่วน และสมาชิกคนแรก .

การใช้สูตรสำหรับผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้าดังกล่าว เรามี

การแยกส่วนจินตภาพในนิพจน์สุดท้าย เราพบว่า

แยกส่วนจริงออกมาได้สูตรดังนี้:,,.

ปัญหา 61. ค้นหาจำนวนเงิน:

NS) ; NS).

ตามสูตรการยกกำลังของนิวตัน เรามี

โดยใช้สูตร Moivre เราพบว่า:

เท่ากับส่วนจริงและจินตภาพของนิพจน์ที่ได้รับ เรามี:

และ .

สูตรเหล่านี้สามารถเขียนในรูปแบบกะทัดรัดได้ดังนี้:

โดยที่ส่วนจำนวนเต็มของจำนวน a อยู่ที่ไหน

ปัญหา 62 ค้นหาทุกคนเพื่อใคร

ตราบเท่าที่ จากนั้นจึงนำสูตรไปประยุกต์ใช้

, ในการสกัดรากเราได้รับ ,

เพราะฉะนั้น, , ,

, .

จุดที่ตรงกับตัวเลขจะอยู่ที่จุดยอดของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่จารึกไว้ในวงกลมรัศมี 2 ซึ่งมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (0; 0) (รูปที่ 30)

ตอบ: , ,

, .

ปัญหา 63. แก้สมการ , .

ตามเงื่อนไข ; ดังนั้นสมการนี้จึงไม่มีรูท ดังนั้นจึงเทียบเท่ากับสมการ

เพื่อให้ตัวเลข z เป็นรากของสมการนี้ ตัวเลขนั้นจะต้องอยู่ที่รากที่ n ของตัวเลข 1

ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่าสมการเดิมมีรากมาจากความเท่าเทียมกัน

ดังนั้น,

เช่น. ,

ตอบ: .

ปัญหา 64. แก้สมการในชุดของจำนวนเชิงซ้อน

เนื่องจากตัวเลขไม่ใช่รากของสมการนี้ ดังนั้นสำหรับสมการนี้จึงเท่ากับสมการ

นั่นคือสมการ

รากทั้งหมดของสมการนี้ได้มาจากสูตร (ดูปัญหา 62):

; ; ; ; .

ปัญหา 65. วาดเซตของจุดที่ตรงกับความไม่เท่าเทียมกันบนระนาบเชิงซ้อน: ... (วิธีที่ 2 ในการแก้ปัญหา 45)

ปล่อยให้เป็น .

ตัวเลขเชิงซ้อนที่มีโมดูลัสเดียวกันจะสอดคล้องกับจุดของระนาบที่วางอยู่บนวงกลมที่มีศูนย์กลางที่จุดกำเนิด ดังนั้น ความไม่เท่าเทียมกัน ตอบสนองทุกจุดของวงแหวนเปิดที่ล้อมรอบด้วยวงกลมโดยมีจุดศูนย์กลางร่วมที่จุดกำเนิดและรัศมีและ (รูปที่ 31) ให้บางจุดของระนาบเชิงซ้อนตรงกับตัวเลข w0 ตัวเลข มีโมดูลัสที่เล็กกว่าโมดูลัส w0 หนึ่งเท่า และอาร์กิวเมนต์ที่มากกว่าอาร์กิวเมนต์ w0 ในเรขาคณิต จุดที่สอดคล้องกับ w1 สามารถรับได้โดยใช้ homothety ที่มีจุดศูนย์กลางที่จุดกำเนิดและสัมประสิทธิ์ เช่นเดียวกับการหมุนรอบจุดกำเนิดด้วยมุมทวนเข็มนาฬิกา อันเป็นผลมาจากการใช้การเปลี่ยนแปลงทั้งสองนี้กับจุดของวงแหวน (รูปที่ 31) การเปลี่ยนแปลงหลังจะกลายเป็นวงแหวนที่ล้อมรอบด้วยวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางและรัศมี 1 และ 2 เหมือนกัน (รูปที่ 32)

การแปลงร่าง ดำเนินการโดยใช้การแปลคู่ขนานกับเวกเตอร์ การย้ายวงแหวนที่มีศูนย์กลางที่จุดหนึ่งไปยังเวกเตอร์ที่ระบุ เราจะได้วงแหวนที่มีขนาดเท่ากันโดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดหนึ่ง (รูปที่ 22)

วิธีการที่เสนอโดยใช้แนวคิดของการแปลงทางเรขาคณิตของเครื่องบินอาจไม่สะดวกในการอธิบาย แต่สง่างามและมีประสิทธิภาพมาก

ปัญหา 66. ค้นหาถ้า .

ให้แล้วและ. ความเท่าเทียมกันดั้งเดิมอยู่ในรูปแบบ ... จากเงื่อนไขความเท่าเทียมกันของจำนวนเชิงซ้อนสองจำนวนที่เราได้รับ ดังนั้น, .

ลองเขียนตัวเลข z ในรูปแบบตรีโกณมิติ:

, ที่ไหน , . ตามสูตร Moivre เราพบว่า

คำตอบ: - 64.

ปัญหาที่ 67. สำหรับจำนวนเชิงซ้อน ให้หาจำนวนเชิงซ้อนทั้งหมดนั้น และ .

มาแทนตัวเลขในรูปแบบตรีโกณมิติ:

... เพราะฉะนั้น,. สำหรับจำนวนที่เราได้รับ เท่ากับก็ได้

ในกรณีแรก ในวินาที

ตอบ: , .

ปัญหาที่ 68. จงหาผลรวมของตัวเลขนั้น ป้อนหนึ่งในตัวเลขเหล่านี้

โปรดทราบว่าจากการกำหนดปัญหาแล้ว เราสามารถเข้าใจได้ว่าสามารถหาผลรวมของรากของสมการได้โดยไม่ต้องคำนวณรากด้วยตนเอง แน่นอน ผลรวมของรากของสมการ คือสัมประสิทธิ์ที่นำมากับเครื่องหมายตรงข้าม (โดยทั่วไปทฤษฎีบทของเวียตา) เช่น

นักเรียนเอกสารของโรงเรียนสรุปเกี่ยวกับระดับการดูดซึมของแนวคิดนี้ สรุปการศึกษาคุณลักษณะของการคิดทางคณิตศาสตร์และกระบวนการสร้างแนวคิดของจำนวนเชิงซ้อน คำอธิบายของวิธีการ การวินิจฉัย: ระยะที่ 1 การสนทนาได้ดำเนินการกับครูคณิตศาสตร์ที่สอนพีชคณิตและเรขาคณิตในชั้นประถมศึกษาปีที่ 10 บทสนทนาเกิดขึ้นหลังจากช่วงเวลาหนึ่งตั้งแต่ต้น ...

Resonance "(!)) ซึ่งรวมถึงการประเมินพฤติกรรมของตัวเองด้วย 4. การประเมินที่สำคัญของความเข้าใจในสถานการณ์ (ข้อสงสัย) 5. สุดท้ายการใช้คำแนะนำของจิตวิทยากฎหมาย (โดยคำนึงถึงด้านจิตวิทยา ของการดำเนินการอย่างมืออาชีพที่ดำเนินการโดยทนายความ - การเตรียมความพร้อมทางจิตวิทยาอย่างมืออาชีพ) ตอนนี้ให้เราพิจารณาการวิเคราะห์ทางจิตวิทยาของข้อเท็จจริงทางกฎหมาย ...

คณิตศาสตร์ของการแทนที่ตรีโกณมิติและการทดสอบประสิทธิภาพของวิธีการสอนที่พัฒนาขึ้น ขั้นตอนการทำงาน: 1. การพัฒนาหลักสูตรเสริมในหัวข้อ: "การใช้การทดแทนตรีโกณมิติในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับพีชคณิต" กับนักเรียนในชั้นเรียนที่มีการศึกษาคณิตศาสตร์เชิงลึก 2. ดำเนินการหลักสูตรเสริมที่พัฒนาแล้ว 3. ดำเนินการควบคุมการวินิจฉัย ...

งานด้านความรู้ความเข้าใจมีจุดมุ่งหมายเพื่อเสริมสื่อการสอนที่มีอยู่เท่านั้น และควรเป็นการผสมผสานที่เหมาะสมกับวิธีการและองค์ประกอบดั้งเดิมของกระบวนการศึกษา ความแตกต่างระหว่างปัญหาทางการศึกษาในการสอนมนุษยศาสตร์จากปัญหาที่แม่นยํา จากปัญหาทางคณิตศาสตร์ เป็นเพียงความจริงที่ว่าไม่มีสูตร อัลกอริทึมที่เข้มงวด ฯลฯ ในปัญหาทางประวัติศาสตร์ ซึ่งทำให้การแก้ปัญหายุ่งยากซับซ้อน ...

ตัวเลขที่ซับซ้อนXI

§ 256 รูปแบบตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อน

ให้จำนวนเชิงซ้อน a + bi จับคู่เวกเตอร์ OA> พร้อมพิกัด ( ก, ข ) (ดูรูปที่ 332)

เราแทนความยาวของเวกเตอร์นี้โดย NS , และมุมที่มันเกิดกับแกน NS , ข้าม φ ... โดยนิยามของไซน์และโคไซน์:

NS / NS = cos φ , NS / NS = บาป φ .

นั่นเป็นเหตุผลที่ NS = NS cos φ , NS = NS บาป φ ... แต่ในกรณีนี้ จำนวนเชิงซ้อน a + bi สามารถเขียนเป็น:

a + bi = NS cos φ + ir บาป φ = NS (คอส φ + ผม บาป φ ).

อย่างที่คุณทราบ กำลังสองของความยาวของเวกเตอร์ใดๆ เท่ากับผลรวมของกำลังสองของพิกัดของมัน นั่นเป็นเหตุผลที่ NS 2 = NS 2 + NS 2 ที่ไหน NS = √a 2 + NS 2

ดังนั้น, จำนวนเชิงซ้อนใดๆ a + bi สามารถแสดงเป็น :

a + bi = NS (คอส φ + ผม บาป φ ), (1)

ที่ไหน r = √a 2 + NS 2 และมุม φ ถูกกำหนดจากเงื่อนไข:

รูปแบบของสัญกรณ์สำหรับจำนวนเชิงซ้อนนี้เรียกว่า ตรีโกณมิติ.

ตัวเลข NS ในสูตร (1) เรียกว่า โมดูลและมุม φ - การโต้แย้ง, จำนวนเชิงซ้อน a + bi .

ถ้าจำนวนเชิงซ้อน a + bi ไม่เท่ากับศูนย์ แล้วโมดูลัสของมันคือบวก ถ้า a + bi = 0 แล้วก็ ก = ข = 0 แล้วก็ NS = 0.

โมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อนใดๆ ถูกกำหนดอย่างเฉพาะเจาะจง

ถ้าจำนวนเชิงซ้อน a + bi ไม่เท่ากับศูนย์ดังนั้นอาร์กิวเมนต์จะถูกกำหนดโดยสูตร (2) อย่างแจ่มแจ้งแม่นยำถึงทวีคูณมุมของ2 π ... ถ้า a + bi = 0 แล้วก็ ก = ข = 0. ในกรณีนี้ NS = 0 จากสูตร (1) จะเข้าใจได้ง่ายว่าเป็นอาร์กิวเมนต์ φ ในกรณีนี้คุณสามารถเลือกมุมใดก็ได้: ท้ายที่สุดแล้วสำหรับ φ

0 (คอส φ + ผม บาป φ ) = 0.

ดังนั้น อาร์กิวเมนต์ศูนย์จึงไม่ถูกกำหนด

โมดูลจำนวนเชิงซ้อน NS บางครั้งแสดงว่า | z | และการโต้แย้งอาร์กิวเมนต์ z ... ลองดูตัวอย่างว่าจำนวนเชิงซ้อนสามารถแสดงในรูปแบบตรีโกณมิติได้อย่างไร

ตัวอย่าง. 1. 1 + ผม .

ค้นหาโมดูล NS และข้อโต้แย้ง φ เบอร์นี้.

NS = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

ดังนั้นบาป φ = 1 / √ 2, cos φ = 1 / √ 2 ดังนั้น φ = π / 4 + 2NSπ .

ดังนั้น,

1 + ผม = √ 2 ,

ที่ไหน NS - จำนวนเต็มใดๆ โดยปกติจากชุดค่าอนันต์ของอาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อน ค่าหนึ่งจะถูกเลือกซึ่งอยู่ระหว่าง 0 ถึง 2 π ... ในกรณีนี้ ค่านี้คือ π / 4 . นั่นเป็นเหตุผลที่

1 + ผม = √ 2 (คอส π / 4 + ผม บาป π / 4)

ตัวอย่างที่ 2เขียนจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบตรีโกณมิติ √ 3 - ผม ... เรามี:

NS = √ 3 + 1 = 2, cos φ = √ 3/2, บาป φ = - 1 / 2

ดังนั้น เพิ่มขึ้นเป็นทวีคูณมุมของ2 π , φ = 11 / 6 π ; เพราะฉะนั้น,

√ 3 - ผม = 2 (คอส 11/6 π + ผม บาป 11/6 π ).

ตัวอย่างที่ 3เขียนจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบตรีโกณมิติ ผม.

จำนวนเชิงซ้อน ผม จับคู่เวกเตอร์ OA> สิ้นสุดที่จุด A ของแกน ที่ ด้วยพิกัด 1 (รูปที่ 333) ความยาวของเวกเตอร์ดังกล่าวคือ 1 และมุมที่ทำกับ abscissa คือ π / 2. นั่นเป็นเหตุผลที่

ผม = cos π / 2 + ผม บาป π / 2 .

ตัวอย่างที่ 4เขียนจำนวนเชิงซ้อน 3 ในรูปแบบตรีโกณมิติ

จำนวนเชิงซ้อน 3 สอดคล้องกับเวกเตอร์ OA > NS abscissa 3 (รูปที่ 334)

ความยาวของเวกเตอร์ดังกล่าวคือ 3 และมุมที่ทำกับ abscissa คือ 0 ดังนั้น

3 = 3 (คอส 0 + ผม บาป 0),

ตัวอย่างที่ 5เขียนจำนวนเชิงซ้อน -5 ในรูปแบบตรีโกณมิติ

จำนวนเชิงซ้อน -5 สอดคล้องกับเวกเตอร์ OA> สิ้นสุดที่จุดแกน NS ด้วย abscissa -5 (รูปที่ 335) ความยาวของเวกเตอร์ดังกล่าวคือ 5 และมุมที่ประกอบขึ้นด้วย abscissa คือ π ... นั่นเป็นเหตุผลที่

5 = 5 (คอส π + ผม บาป π ).

การออกกำลังกาย

2047. เขียนจำนวนเชิงซ้อนเหล่านี้ในรูปแบบตรีโกณมิติ กำหนดโมดูลและอาร์กิวเมนต์:

1) 2 + 2√3 ผม , 4) 12ผม - 5; 7).3ผม ;

2) √3 + ผม ; 5) 25; 8) -2ผม ;

3) 6 - 6ผม ; 6) - 4; 9) 3ผม - 4.

2048. ระบุชุดของจุดที่แทนจำนวนเชิงซ้อนบนระนาบ โมดูลี r และอาร์กิวเมนต์ φ ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไข:

1) NS = 1, φ = π / 4 ; 4) NS < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) NS =2; 5) 2 < NS <3; 8) 0 < φ < я;

3) NS < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < NS < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. โมดูลของจำนวนเชิงซ้อนสามารถเป็นตัวเลขพร้อมกันได้หรือไม่? NS และ - NS ?

2050 อาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อนสามารถเป็นมุมพร้อมกันได้หรือไม่ φ และ - φ ?

เพื่อแสดงจำนวนเชิงซ้อนเหล่านี้ในรูปแบบตรีโกณมิติ ให้กำหนดโมดูลและอาร์กิวเมนต์:

2051 *. 1 + cos α + ผม บาป α ... 2054 *. 2 (คอส 20 ° - ผม บาป 20 °)

2052 *. บาป φ + ผม cos φ ... 2055 *. 3 (- cos 15 ° - ผม บาป 15 °)

บรรยาย

รูปตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อน

วางแผน

1. การแสดงทางเรขาคณิตของจำนวนเชิงซ้อน

2. สัญกรณ์ตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อน

3. การดำเนินการกับจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบตรีโกณมิติ

การแสดงทางเรขาคณิตของจำนวนเชิงซ้อน

ก) จำนวนเชิงซ้อนแสดงด้วยจุดของระนาบตามกฎต่อไปนี้: NS + สอง = NS ( NS ; NS ) (รูปที่ 1).

รูปที่ 1

b) จำนวนเชิงซ้อนสามารถแสดงด้วยเวกเตอร์ที่เริ่มต้นที่จุดอู๋ และจุดสิ้นสุด ณ จุดนี้ (รูปที่ 2)

รูปที่ 2

ตัวอย่างที่ 7 พล็อตจุดที่แทนจำนวนเชิงซ้อน:1; - ผม ; - 1 + ผม ; 2 – 3 ผม (รูปที่ 3).

รูปที่ 3

สัญกรณ์ตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อน

จำนวนเชิงซ้อนz = NS + สอง สามารถตั้งค่าได้โดยใช้รัศมีเวกเตอร์ พร้อมพิกัด( NS ; NS ) (รูปที่ 4).

รูปที่ 4

คำนิยาม . ความยาวเวกเตอร์ แทนจำนวนเชิงซ้อนz เรียกว่าโมดูลัสของจำนวนนี้และแสดงแทน หรือNS .

สำหรับจำนวนเชิงซ้อนใดๆz โมดูลของมันNS = | z | ถูกกำหนดโดยสูตรเฉพาะ .

คำนิยาม . ขนาดของมุมระหว่างทิศทางบวกของแกนจริงกับเวกเตอร์ แทนจำนวนเชิงซ้อนเรียกว่าอาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อนนี้และแสดงแทนNS rg z หรือφ .

อาร์กิวเมนต์จำนวนเชิงซ้อนz = 0 ไม่ได้กำหนดไว้ อาร์กิวเมนต์จำนวนเชิงซ้อนz≠ 0 คือปริมาณที่มีหลายค่าและถูกกำหนดโดยเงื่อนไข2πk (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; ...): Arg z = arg z + 2πk , ที่ไหนarg z - ค่าหลักของอาร์กิวเมนต์ที่อยู่ในช่วงเวลา(-π; π] , นั่นคือ-π < arg z ≤ π (บางครั้งค่าหลักของอาร์กิวเมนต์จะถูกนำมาเป็นค่าที่เป็นของช่วงเวลา .

สูตรนี้สำหรับNS =1 มักเรียกว่าสูตร Moivre:

(cos φ + ฉันบาป φ) NS = cos (nφ) + ฉัน บาป (nφ), n  N .

ตัวอย่างที่ 11 คำนวณ(1 + ผม ) 100 .

ลองเขียนจำนวนเชิงซ้อน1 + ผม ในรูปแบบตรีโกณมิติ

a = 1, b = 1 .

cos φ = , บาป φ = , φ = .

(1 + ผม) 100 = [ (คอส + ฉันบาป )] 100 = ( ) 100 (คอส 100 + ฉันบาป 100) = = 2 50 (cos 25π + ฉันบาป 25π) = 2 50 (cos π + i บาป π) = - 2 50 .

4) การแยกรากที่สองของจำนวนเชิงซ้อน

เมื่อแยกรากที่สองของจำนวนเชิงซ้อนNS + สอง เรามีสองกรณี:

ถ้าNS > เกี่ยวกับ , แล้ว ;

การกระทำกับจำนวนเชิงซ้อนที่เขียนในรูปแบบพีชคณิต

รูปแบบพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อน z =(NS,NS) เรียกว่านิพจน์พีชคณิตของรูปแบบ

z = NS + สอง.

การดำเนินการเลขคณิตกับจำนวนเชิงซ้อน z 1 = 1 + ข 1 ผมและ z 2 = 2 + ข 2 ผมเขียนในรูปแบบพีชคณิตจะดำเนินการดังนี้

1. ผลรวม (ผลต่าง) ของจำนวนเชิงซ้อน

z 1 ± z 2 = (NS 1 ± 2) + (NS 1 ± b 2)∙ ฉัน,

เหล่านั้น. การบวก (การลบ) ดำเนินการตามกฎของการบวกพหุนามด้วยการลดลงของเงื่อนไขที่คล้ายคลึงกัน

2. ผลคูณของจำนวนเชิงซ้อน

z 1 ∙ z 2 = (NS 1 ∙ a 2 - NS 1 ∙ ข 2) + (NS 1 ∙ ข 2 + 2 ∙ ข 1)∙ ฉัน,

เหล่านั้น. การคูณจะดำเนินการตามกฎปกติของการคูณพหุนามโดยคำนึงถึงข้อเท็จจริงที่ว่า ผม 2 = 1.

3. การหารจำนวนเชิงซ้อนสองจำนวนดำเนินการตามกฎต่อไปนี้:

, (z 2 ≠ 0),

เหล่านั้น. การแบ่งจะดำเนินการโดยการคูณเงินปันผลและตัวหารด้วยคอนจูเกตของตัวหาร

การยกกำลังของจำนวนเชิงซ้อนถูกกำหนดดังนี้:

มันง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่า

ตัวอย่างของ.

1. หาผลรวมของจำนวนเชิงซ้อน z 1 = 2 – ผมและ z 2 = – 4 + 3ผม.

z 1 + z 2 = (2 + (–1)∙ ฉัน)+ (–4 + 3ผม) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) ผม = –2+2ผม.

2. ค้นหาผลคูณของจำนวนเชิงซ้อน z 1 = 2 – 3ผมและ z 2 = –4 + 5ผม.

= (2 – 3ผม) ∙ (–4 + 5ผม) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3ผม)+ 2∙5ผม– 3ฉัน ∙ 5ผม = 7+22ผม.

3. ค้นหาส่วนตัว zจากแผนก z 1 = 3 - 2 na z 2 = 3 – ผม.

z = .

4. แก้สมการ:, NSและ y Î NS.

(2x + y) + (x + y)ผม = 2 + 3ผม.

เนื่องจากความเท่าเทียมกันของจำนวนเชิงซ้อน เราจึงมี:

ที่ไหน x =–1 , y= 4.

5. คำนวณ: ผม 2 ,ผม 3 ,ผม 4 ,ผม 5 ,ผม 6 ,ผม -1 , ผม -2 .

6. คำนวณว่า

7. คำนวณส่วนกลับของจำนวน z=3-ผม.

ตัวเลขเชิงซ้อนในรูปแบบตรีโกณมิติ

ระนาบที่ซับซ้อนเรียกว่าเครื่องบินที่มีพิกัดคาร์ทีเซียน ( x, y) ถ้าแต่ละจุดมีพิกัด ( ก, ข) ถูกกำหนดเป็นจำนวนเชิงซ้อน z = a + bi... ในกรณีนี้เรียกว่าแกน abscissa แกนจริงและแกนพิกัดคือ จินตภาพ... แล้วแต่ละจำนวนเชิงซ้อน a + biเป็นภาพเรขาคณิตบนระนาบเป็นจุด เอ (a, b) หรือเวกเตอร์

ดังนั้นตำแหน่งของจุด NS(และดังนั้น จำนวนเชิงซ้อน z) สามารถระบุได้ด้วยความยาวของเวกเตอร์ | | = NSและมุม NSเกิดขึ้นจากเวกเตอร์ | | โดยมีทิศทางบวกของแกนจริง ความยาวของเวกเตอร์เรียกว่า โมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อนและแสดงโดย | z | = rและมุม NSเรียกว่า อาร์กิวเมนต์จำนวนเชิงซ้อนและเขียนว่า เจ = หาเรื่อง z.

เป็นที่ชัดเจนว่า | z| ³ 0 และ | z | = 0 Û z = 0.

จากรูป 2 แสดงว่า.

อาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อนถูกกำหนดอย่างคลุมเครือ แต่ด้วยความแม่นยำ 2 pk, kÎ Z.

จากรูป 2 จะเห็นด้วยว่าถ้า z = a + biและ เจ = หาเรื่อง z,แล้ว

cos เจ =, บาป เจ =, tg เจ =.

ถ้า zÎNSและ z> 0 แล้ว arg z = 0 +2pk;

ถ้า ซี ÎNSและ z< 0 แล้ว arg z = p + 2pk;

ถ้า z = 0,arg zไม่ได้กำหนดไว้

ค่าหลักของอาร์กิวเมนต์ถูกกำหนดในส่วน0 £ arg z£ 2 NS,

หรือ -NS£ arg z £ p.

ตัวอย่าง:

1. ค้นหาโมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อน z 1 = 4 – 3ผมและ z 2 = –2–2ผม.