Puede ingresar tanto números enteros, por ejemplo 34, como números fraccionarios, por ejemplo, 637,333. Para números fraccionarios, se indica la precisión de la traducción después del punto decimal.
Lo siguiente también se utiliza con esta calculadora:
Formas de representar números.
Binario Números (binarios): cada dígito significa el valor de un bit (0 o 1), el bit más significativo siempre se escribe a la izquierda, la letra "b" se coloca después del número. Para facilitar la percepción, los cuadernos se pueden separar por espacios. Por ejemplo, 1010 0101b.hexadecimal Números (hexadecimales): cada tétrada está representada por un símbolo 0...9, A, B, ..., F. Esta representación se puede designar de diferentes maneras, aquí solo se usa el símbolo "h" después del último hexadecimal. dígito. Por ejemplo, A5h. En los textos de programas, el mismo número puede designarse como 0xA5 o 0A5h, dependiendo de la sintaxis del lenguaje de programación. Se agrega un cero inicial (0) a la izquierda del dígito hexadecimal más significativo representado por la letra para distinguir entre números y nombres simbólicos.
Decimal Números (decimales): cada byte (palabra, palabra doble) está representado por un número normal y el signo de representación decimal (la letra “d”) generalmente se omite. El byte en los ejemplos anteriores tiene un valor decimal de 165. A diferencia de la notación binaria y hexadecimal, en la notación decimal es difícil determinar mentalmente el valor de cada bit, lo cual a veces es necesario.
octal Números (octales): cada triplete de bits (la división comienza desde el menos significativo) se escribe como un número del 0 al 7, con una “o” al final. El mismo número se escribiría como 245o. El sistema octal es inconveniente porque el byte no se puede dividir en partes iguales.
Algoritmo para convertir números de un sistema numérico a otro
La conversión de números decimales enteros a cualquier otro sistema numérico se realiza dividiendo el número por la base del nuevo sistema numérico hasta que el resto quede un número menor que la base del nuevo sistema numérico. El nuevo número se escribe como restos de división, empezando por el último.La conversión de una fracción decimal normal a otro PSS se lleva a cabo multiplicando solo la parte fraccionaria del número por la base del nuevo sistema numérico hasta que todos los ceros permanezcan en la parte fraccionaria o hasta que se logre la precisión de traducción especificada. Como resultado de cada operación de multiplicación, se forma un dígito de un nuevo número, comenzando por el más alto.
La traducción de fracciones incorrectas se realiza de acuerdo con las reglas 1 y 2. Las partes enteras y fraccionarias se escriben juntas, separadas por una coma.
Ejemplo No. 1. 
Conversión del sistema numérico del 2 al 8 al 16.
Estos sistemas son múltiplos de dos, por lo que la traducción se realiza mediante una tabla de correspondencia (ver más abajo).
Para convertir un número del sistema numérico binario al sistema numérico octal (hexadecimal), es necesario dividir el número binario desde el punto decimal a derecha e izquierda en grupos de tres (cuatro para hexadecimal), complementando los grupos externos. con ceros si es necesario. Cada grupo se reemplaza por el dígito octal o hexadecimal correspondiente.
Ejemplo No. 2. 1010111010.1011 = 1.010.111.010.101.1 = 1272.51 8
aquí 001=1; 010=2; 111=7; 010=2; 101=5; 001=1
Al convertir al sistema hexadecimal, debes dividir el número en partes de cuatro dígitos, siguiendo las mismas reglas.
Ejemplo No. 3. 1010111010,1011 = 10.1011.1010,1011 = 2B12,13 HEXAGONAL
aquí 0010=2; 1011=B; 1010=12; 1011=13
La conversión de números del 2, 8 y 16 al sistema decimal se realiza dividiendo el número en unidades individuales y multiplicándolo por la base del sistema (de donde se traduce el número) elevado a la potencia correspondiente a su número de serie en el número que se está convirtiendo. En este caso, los números se numeran a la izquierda del punto decimal (el primer número tiene el número 0) con un aumento y hacia la derecha con un decrecimiento (es decir, con un signo negativo). Los resultados obtenidos se suman.
Ejemplo No. 4.
Un ejemplo de conversión de un sistema numérico binario a decimal.
1010010.101 2 = 1·2 6 +0·2 5 +1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +0·2 0 + 1·2 -1 +0·2 - 2 + 1 2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0.5+0+0.125 = 82.625 10 Un ejemplo de conversión del sistema numérico octal a decimal. 108,5 8 = 1*·8 2 +0·8 1 +8·8 0 + 5·8 -1 = 64+0+8+0.625 = 72.625 10 Un ejemplo de conversión de un sistema numérico hexadecimal a decimal. 108,5 16 = 1·16 2 +0·16 1 +8·16 0 + 5·16 -1 = 256+0+8+0,3125 = 264,3125 10
Una vez más repetimos el algoritmo para convertir números de un sistema numérico a otro PSS
- Del sistema numérico decimal:
- dividir el número por la base del sistema numérico que se está traduciendo;
- encontrar el resto al dividir una parte entera de un número;
- anote todos los restos de la división en orden inverso;
- Del sistema numérico binario
- Para convertir al sistema numérico decimal, es necesario encontrar la suma de los productos de base 2 por el grado de dígito correspondiente;
- Para convertir un número a octal, debes dividir el número en tríadas.
Por ejemplo, 1000110 = 1000 110 = 106 8 - Para convertir un número de binario a hexadecimal, debes dividir el número en grupos de 4 dígitos.
Por ejemplo, 1000110 = 100 0110 = 46 16
Tabla de correspondencia del sistema numérico:
| SS binario | SS hexadecimal |
| 0000 | 0 |
| 0001 | 1 |
| 0010 | 2 |
| 0011 | 3 |
| 0100 | 4 |
| 0101 | 5 |
| 0110 | 6 |
| 0111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | A |
| 1011 | B |
| 1100 | C |
| 1101 | D |
| 1110 | mi |
| 1111 | F |
Tabla de conversión al sistema numérico octal.
Notación:
- da representaciones de un conjunto de números (enteros y/o reales);
- da a cada número una representación única (o al menos una representación estándar);
- Refleja la estructura algebraica y aritmética de los números.
Los sistemas numéricos se dividen en posicional, no posicional Y mezclado.
Sistemas de números posicionales
En los sistemas numéricos posicionales, el mismo signo numérico (dígito) en la notación de un número tiene diferentes significados dependiendo del lugar (dígito) donde se encuentre. La invención de la numeración posicional, basada en el significado geográfico de los dígitos, se atribuye a los sumerios y babilonios; Esta numeración fue desarrollada por los hindúes y tuvo consecuencias invaluables en la historia de la civilización humana. Estos sistemas incluyen el moderno sistema numérico decimal, cuya aparición está asociada con el conteo con los dedos. Apareció en la Europa medieval a través de los comerciantes italianos, quienes a su vez lo tomaron prestado de los musulmanes.
El sistema numérico posicional generalmente se refiere al sistema numérico rico, que está determinado por un número entero llamado base sistemas numéricos. Un entero sin signo en el sistema numérico -ario se representa como una combinación lineal finita de potencias de un número:
, donde se llaman los números enteros en números, satisfaciendo la desigualdad.Cada grado en dicha notación se denomina ponderación de rango. La antigüedad de los dígitos y sus dígitos correspondientes está determinada por el valor del indicador (número de dígito). Normalmente, en números distintos de cero, se omiten los ceros de la izquierda.
Si no hay discrepancias (por ejemplo, cuando todos los números se presentan en forma de caracteres escritos únicos), el número se escribe como una secuencia de sus dígitos alfanuméricos, enumerados en orden descendente de precedencia de dígitos de izquierda a derecha:
Por ejemplo, número ciento tres representado en el sistema numérico decimal como:
Los sistemas posicionales más utilizados actualmente son:
En los sistemas posicionales, cuanto mayor es la base del sistema, menor es el número de dígitos (es decir, dígitos escritos) necesarios para escribir un número.
Sistemas de números mixtos
sistema de números mixtos es una generalización del sistema numérico rico y, a menudo, también se refiere a sistemas numéricos posicionales. La base del sistema de números mixtos es una secuencia creciente de números, y cada número en ella se representa como una combinación lineal:
, donde los coeficientes se llaman como antes en números, se aplican algunas restricciones.Escribir un número en un sistema numérico mixto es enumerar sus dígitos en orden descendente de índice, comenzando con el primero distinto de cero.
Dependiendo del tipo en función de, los sistemas de números mixtos pueden ser potenciales, exponenciales, etc. Cuando para algunos, el sistema de números mixtos coincide con el sistema de números ricos en exponenciales.
El ejemplo más famoso de un sistema de números mixtos es la representación del tiempo como el número de días, horas, minutos y segundos. En este caso, el valor de “días, horas, minutos, segundos” corresponde al valor de segundos.
Sistema de números factoriales
EN sistema de números factoriales las bases son una secuencia de factoriales y cada número natural se representa como:
, Dónde .El sistema numérico factorial se utiliza cuando decodificar permutaciones mediante listas de inversiones: teniendo el número de la permutación, puedes reproducirlo de la siguiente manera: un número que es uno menos que el número (la numeración comienza desde cero) se escribe en el sistema numérico factorial, y el coeficiente del número i! denotará el número de inversiones para el elemento i+1 en el conjunto en el que se realizan las permutaciones (el número de elementos menores que i+1, pero ubicados a la derecha de él en la permutación deseada)
Ejemplo: considere un conjunto de permutaciones de 5 elementos, ¡hay 5 en total! = 120 (desde la permutación número 0 - (1,2,3,4,5) hasta la permutación número 119 - (5,4,3,2,1)), encontremos la permutación 101: 100 = 4!* 4 + 3!*0 + 2!*2 + 1!*0 = 96 + 4; sea ti el coeficiente del número i!, entonces t4 = 4, t3 = 0, t2 = 2, t1 = 0, entonces: el número de elementos menores a 5, pero ubicados a la derecha es 4; el número de elementos menores que 4, pero ubicados a la derecha es 0; el número de elementos menor que 3, pero ubicados a la derecha es 2; el número de elementos menores que 2, pero ubicados a la derecha es 0 (el último elemento de la permutación se "pone" en el único lugar restante); por lo tanto, la permutación 101 se verá así: (5,3,1,2 ,4) La verificación de este método se puede realizar contando directamente las inversiones de cada elemento de la permutación.
sistema numérico de fibonacci basado en los números de Fibonacci. Cada número natural se representa en la forma:
, donde están los números de Fibonacci, y los coeficientes tienen un número finito de unos y no hay dos unos seguidos.Sistemas numéricos no posicionales
En los sistemas numéricos no posicionales, el valor que denota un dígito no depende de su posición en el número. En este caso, el sistema puede imponer restricciones en la posición de los números, por ejemplo, para que estén ordenados en orden descendente.
sistema de numeración binomial
Representación mediante coeficientes binomiales.
, Dónde .Sistema de clases residuales (RSS)
La representación del número en el sistema de clases de residuos se basa en el concepto de residuo y el teorema chino del resto. RNS está determinado por un conjunto de números relativamente primos. módulos con el producto de tal manera que cada número entero del segmento esté asociado con un conjunto de residuos, donde
…Al mismo tiempo, el teorema chino del resto garantiza la unicidad de la representación de los números del intervalo.
En RNS, las operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación, división) se realizan por componentes si se sabe que el resultado es un número entero y también se encuentra en .
Las desventajas de RNS son la capacidad de representar solo un número limitado de números, así como la falta de algoritmos efectivos para comparar los números representados en RNS. La comparación generalmente se lleva a cabo mediante la traducción de argumentos de RNS a un sistema numérico de base mixta.
Sistema numérico de Stern-Brocot- una forma de escribir números racionales positivos, basada en el árbol de Stern-Brocot.
Sistemas numéricos de diferentes naciones.
Sistema de numeración de unidades
Aparentemente, cronológicamente, el primer sistema numérico de cada nación que dominó el conteo. Un número natural se representa repitiendo el mismo signo (guión o punto). Por ejemplo, para representar el número 26, debes dibujar 26 líneas (o hacer 26 muescas en un hueso, piedra, etc.). Posteriormente, para mayor comodidad a la hora de percibir números grandes, estos signos se agrupan en grupos de tres o cinco. Luego, grupos de signos de igual volumen comienzan a ser reemplazados por algún signo nuevo; así es como surgen los prototipos de números futuros.
Sistema numérico del antiguo Egipto
sistema numérico babilónico
Sistemas numéricos alfabéticos
Los sistemas numéricos alfabéticos fueron utilizados por los antiguos armenios, georgianos, griegos (sistema numérico jónico), árabes (abjadia), judíos (ver gematria) y otros pueblos del Medio Oriente. En los libros litúrgicos eslavos, el sistema alfabético griego se tradujo a letras cirílicas.
sistema numérico judío
sistema numérico griego
sistema de números romanos
El ejemplo canónico de un sistema numérico casi no posicional es el romano, que utiliza letras latinas como números:
Yo represento 1,
V - 5,
X - 10,
L-50,
C-100,
D - 500,
m-1000
Por ejemplo, II = 1 + 1 = 2
aquí el símbolo I representa 1 independientemente de su lugar en el número.
De hecho, el sistema romano no es completamente no posicional, ya que se le resta el dígito más pequeño que precede al más grande, por ejemplo:
IV = 4, mientras que:
VI = 6
sistema de numeración maya
ver también
Notas
Enlaces
- Gashkov S. B. Sistemas numéricos y sus aplicaciones. - M.: MTsNMO, 2004. - (Biblioteca “Educación Matemática”).
- Fomin S.V. Sistemas numéricos. - M.: Nauka, 1987. - 48 p. - (Conferencias populares sobre matemáticas).
- Yaglom I. Sistemas numéricos // Cuántico. - 1970. - No. 6. - P. 2-10.
- Números y sistemas numéricos. Enciclopedia en línea alrededor del mundo.
- Stajov A. El papel de los sistemas numéricos en la historia de las computadoras.
- Mikushin A.V. Sistemas numéricos. Curso de conferencias "Dispositivos digitales y microprocesadores"
- Butler J. T., Sasao T. Sistemas numéricos redundantes de valores múltiples El artículo analiza los sistemas numéricos que utilizan dígitos mayores que uno y permiten redundancia en la representación de números.
Fundación Wikimedia. 2010.
Vea qué es "Sistema numérico" en otros diccionarios:
Una forma de mostrar números y reglas para operar con ellos. Hay sistemas numéricos posicionales y no posicionales. Ver también: Sistemas numéricos Datos Diccionario financiero Finam ... Diccionario financiero
NOTACIÓN- (1) sistema de trayectoria para la contabilidad continua automática (o manualmente por parte del navegador) del movimiento real de una aeronave, barco, millones de armas controladas bajo la influencia de su propia propulsión y factores externos (viento, aire y ..... . Gran Enciclopedia Politécnica
notación- - Temas de telecomunicaciones, conceptos básicos sistema numérico EN...
notación- ▲ conjunto de códigos, sistema de notación del sistema de números enteros para representar números; forma de escribir números; codificación numérica. dígito es un signo que indica un número entero. tsifir (obsoleto). Números romanos. Números arábigos: cero. uno. dos. tres. cuatro… Diccionario ideográfico de la lengua rusa.
Notación- un conjunto de símbolos y reglas para escribir números (ver, por ejemplo, números romanos). En la práctica humana, el sistema numérico decimal es el más utilizado. En tecnología informática (informática), binaria, octal y... ... Los inicios de las ciencias naturales modernas.
notación- skaičių sistema statusas T sritis automatika atitikmenys: engl. sistema de representación numérica; sistema de numeración; sistema de numeración; sistema de numeración; sistema de numeración; sistema numérico; escala vok. Zahlendarstellungssystem, n; Zahlensystem, n rus.… … Automatikos terminų žodynas
sistema de números de clase residual- sistema numérico en restos - [L.G. Sumenko. Diccionario inglés-ruso sobre tecnologías de la información. M.: Empresa estatal TsNIIS, 2003.] Temas tecnología de la información en general Sinónimos sistema numérico en residuos EN sistema de residuos (número) ... Guía del traductor técnico
sistema numérico con base negativa- - [L.G. Sumenko. Diccionario inglés-ruso sobre tecnologías de la información. M.: Empresa estatal TsNIIS, 2003.] Temas tecnología de la información en general EN sistema de representación de números de base negativos ... Guía del traductor técnico
En materia de organización del procesamiento de información mediante una computadora, un lugar importante lo ocupan los sistemas numéricos, las formas de presentación de datos y la codificación especial de números.
El conjunto de técnicas para nombrar y escribir números se denomina navegación a estima. Bajo sistema de numeración se refiere a una forma de representar cualquier número usando un alfabeto limitado de símbolos llamados dígitos. La numeración es un caso especial de codificación, donde una palabra escrita usando un determinado alfabeto y de acuerdo con ciertas reglas se denomina código. En relación con la notación, este es el código del número.
Sistemas numéricos posicionales y no posicionales.
Hay sistemas numéricos posicionales y no posicionales. En los sistemas numéricos no posicionales, cada número se designa mediante un conjunto correspondiente de símbolos. Un representante típico de los sistemas no posicionales es el sistema numérico romano con una forma compleja de escribir números y reglas engorrosas para realizar operaciones aritméticas. Por ejemplo, la entrada MCMXCIX significa que se escribe el número 1999 (M - mil, C - cien, X - diez, V - cinco, I - uno, etc.).
Los sistemas numéricos posicionales tienen grandes ventajas en la claridad de representación de los números y en la facilidad para realizar operaciones aritméticas.
En un sistema numérico posicional, el valor de un número está determinado no solo por el conjunto de dígitos incluidos en él, sino también por su lugar (posición) en la secuencia de dígitos que representan este número, por ejemplo, los números 127 y 721.
El sistema numérico posicional es el sistema numérico decimal que se utiliza en la vida cotidiana. Además del decimal, existen otros sistemas numéricos posicionales y algunos de ellos han encontrado aplicación en la informática.
El número de símbolos utilizados en un sistema numérico posicional se llama base. Suele denotarse con la letra q. El sistema numérico decimal utiliza diez símbolos (dígitos): 0, 1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9, y la base del sistema es el número diez.
Un lugar especial entre los sistemas numéricos posicionales lo ocupan los sistemas con pesos de dígitos de ley potencial, en los que los pesos de las posiciones adyacentes de dígitos (dígitos) difieren en valor en un número constante de veces igual a la base q del sistema numérico.
En general, en un sistema numérico posicional con base q, cualquier número X se puede representar como un polinomio de expansión:
(1.1)
Dónde:
A(q) - registrar un número en el sistema numérico con base q;
ai - números enteros menores que q;
n - el número de dígitos (posiciones) en la parte entera del número;
m - el número de dígitos en la parte fraccionaria del número.
Por ejemplo:
Para indicar el sistema numérico utilizado, se indica su base en el índice. Representación del número A como una secuencia de coeficientes a. un polinomio es su abreviatura condicional (código).
A(q)=a n-1 a n-2 …a 1 a 0 ,a -1 …a -m (1.2)
Una coma separa la parte entera de un número de la parte fraccionaria y sirve como inicio del conteo de los valores de peso de cada posición (dígito).
En informática se utilizan sistemas numéricos posicionales con base no decimal: binario, octal y hexadecimal, es decir, sistemas numéricos con base q = 2 k, donde k = 1,3,4.
sistema de números binarios
El sistema numérico más utilizado es el sistema numérico binario. En este sistema, se utilizan dos símbolos para representar cualquier número: los números 0 y 1. La base del sistema numérico es q = 2.
Un número arbitrario se puede representar usando la fórmula (1.1) como una expansión en potencias de dos. Entonces, la notación abreviada condicional de acuerdo con (1.2) significa la representación de un número en el sistema numérico binario (código binario de un número), donde ai = 0 o 1.
Por ejemplo:
15,625=1 2 3 +1 2 2 +1 2 1 +1 2 0 + 1 2 -1 +0 2 -2 +1 2 -3 = 1111,101 (2)
La representación binaria de un número requiere aproximadamente 3,3 veces más dígitos que su representación decimal. Sin embargo, el uso del sistema numérico binario crea una gran comodidad para el funcionamiento de una computadora, ya que cualquier elemento de almacenamiento que tenga dos estados estables puede usarse para representar un bit de un número binario en una máquina.
Sistema numérico octal.
En el sistema numérico octal, el alfabeto consta de ocho caracteres (dígitos): 0, 1 ... 7. La base del sistema numérico es q = 8. Para escribir un número arbitrario en el sistema numérico octal, debe utilizar fórmula (1.1) para encontrar su expansión en potencias de ocho y luego usar la notación abreviada condicional (1.2).
Por ejemplo, número decimal 53 (10) = 65 (8)
Sistema numérico hexadecimal.
En el sistema numérico hexadecimal, el alfabeto incluye 16 caracteres (números y letras): 0, 1... 9, A, B, C, D, E, F. La base del sistema numérico es q = 16. Para escribir un número arbitrario en este sistema numérico, es necesario encontrar su expansión en potencias de 16 usando la fórmula (1.1) y usando la fórmula (1.2) para encontrar el código.
Por ejemplo: 31 (10) =1F (16)
Codificación decimal binaria.
Junto con los códigos binarios con los que opera la computadora, se utiliza una codificación decimal binaria especial para ingresar y generar números decimales (datos). Con la codificación BCD, cada dígito decimal se reemplaza por una tétrada (cuádruple) de dígitos binarios, y las tétradas mismas se escriben secuencialmente de acuerdo con el orden de los dígitos decimales. La conversión de BCD a decimal divide el código fuente en tétradas a la derecha e izquierda del punto decimal, que luego se reemplazan por dígitos decimales.
Por lo tanto, con la codificación binario-decimal, el número en realidad no se convierte a un nuevo sistema numérico, sino que estamos ante un sistema numérico decimal codificado en binario.
Por ejemplo , número decimal 12 (10) = C (16) = 14 (8) = 1100 (2) = 00010010 (2-10).
La computadora utiliza las siguientes formas de representación de datos:
números con punto fijo (coma);
Números de punto flotante;
numeros decimales;
datos de caracteres.
Números de punto fijo
Cuando se representa un número X en forma de coma fija, el signo del número (signo X) y el módulo del número (modX) se indican en código q-ario. A veces, esta forma de representar números se llama forma natural. El lugar del punto (coma) es constante para todos los números y no cambia en el proceso de resolución de problemas. El signo de un número positivo se codifica como "0" y el signo de un número negativo se codifica como "1".
El código de un número en forma de coma fija, que consta del código de signo y el código q-ario de su módulo, se llama código directo. El dígito del código directo del número en el que se encuentra el código de signo se llama dígito de signo del código. Los bits del código directo de un número, en los que se encuentra el código q-ario del módulo del número, se denominan bits digitales del código. Al escribir un código directo, el bit de signo se encuentra a la izquierda del bit digital más significativo y normalmente está separado de los bits digitales por un punto.
En general, en la figura se muestra la cuadrícula de bits de la computadora para colocar números en forma de punto fijo.
La figura muestra n dígitos para representar la parte entera del número y r dígitos para la parte fraccionaria del número.
a) fijo 
Para n y r dados, el rango de cambios en los módulos de números, cuyos códigos se pueden representar en una cuadrícula de bits determinada, está determinado por la desigualdad
El uso de la forma de coma fija para representar números mixtos (con un número entero y una parte fraccionaria) prácticamente no se encuentra en las computadoras. Como regla general, las computadoras se utilizan con aritmética fraccionaria (n=0) o con aritmética de enteros (r=0).
La forma de punto fijo de representar números simplifica la implementación del hardware de una computadora y reduce el tiempo necesario para realizar las operaciones de la máquina; sin embargo, al resolver problemas en una máquina, es necesario asegurarse constantemente de que todos los datos iniciales, resultados intermedios y finales están dentro del rango aceptable de representación. Si esto no se cumple, la cuadrícula de bits puede desbordarse y el resultado del cálculo será incorrecto. Las computadoras que utilizan la forma de punto flotante, o forma normal, están en gran medida libres de estas deficiencias.
Números de punto flotante
b) Figura 14.b con punto flotante 
En forma normal, un número se representa como un producto. X=mqp
donde m es la mantisa del número;
q - base del sistema numérico;
r - orden.
Para especificar un número en forma normal, debe especificar los signos de mantisa y exponente, sus módulos en código q-ario, así como la base del sistema numérico. La forma normal de representar números es ambigua, porque el cambio mutuo de myp conduce a la flotación del punto (coma). De aquí proviene el nombre de la forma de representar números.
Para garantizar una representación inequívoca de los números en una computadora, se utiliza una forma normalizada, en la que la posición del punto siempre se da antes de la cifra significativa de la mantisa, es decir, se cumple la condición. 
En el caso general, la cuadrícula de bits de una computadora para colocar números en forma normal se puede representar como se muestra en la Fig. La cuadrícula de bits contiene:
dígito para el signo de mantisa;
r bits digitales para el código q-ario del módulo mantisa;
dígito para el código de señal de pedido;
s dígitos para el código q-ario del módulo de orden.
El rango de representación de módulos de números en forma normalizada está determinado por la siguiente desigualdad:
En una computadora particular, el rango de representación de números de coma flotante depende de la base del sistema y del número de dígitos para representar el orden.
Al mismo tiempo, para formatos de números de punto flotante de igual longitud, a medida que aumenta la base del sistema numérico, el rango de números representados se expande significativamente.
La precisión de los cálculos cuando se utiliza el formato de punto flotante está determinada por el número de dígitos de la mantisa r. Aumenta con el número de dígitos.
Al presentar información en forma de números decimales de varios dígitos, cada dígito decimal se reemplaza por un código decimal binario. Para acelerar el intercambio de información, ahorrar memoria y hacer más convenientes las operaciones con números decimales, se proporcionan formatos especiales para su representación: zona (desempaquetada)
Y lleno
. El formato de zona se utiliza en operaciones de entrada. Para ello, la computadora cuenta con comandos especiales para empaquetar y descomprimir números decimales.
Para almacenar números y realizar diversas operaciones sobre ellos, se representan mediante varios códigos: directo, inverso y complementario. Como se señaló anteriormente, el código directo se utiliza para representar números con signo en la memoria de la computadora. Para denotar el código directo del número X, se utiliza una notación de la forma ^.
La regla para representar el código Q-ario de un número en código directo
tiene la forma:
donde xi es el valor del dígito en el i-ésimo dígito del código fuente.
Aquí el bit más significativo contiene información sobre el signo del número. Si toma el valor 0, entonces el signo numérico es “+”; si el valor es 1, entonces el signo del número es "-".
Por ejemplo, para código binario
| X (2) = +11001011 | [X(2)]=0,11001011; |
| X(2) = -01101011 | [X(2) ]=1.01101011. |
Al representar números en código directo, la implementación de operaciones aritméticas en una computadora debe prever diversas acciones con los módulos de números en función de sus signos. Por tanto, sumar números con los mismos signos en código directo es bastante sencillo. Se suman los números y a la suma se le asigna un código de signo de los sumandos. La operación de la suma algebraica en el código directo de números de distinto signo es mucho más compleja. En este caso, debe determinar el número de módulo mayor, restar los números y asignar el signo del número de módulo mayor a la diferencia. Para simplificar la realización de operaciones de suma algebraica en una computadora, se utilizan códigos especiales que permiten reducir esta operación a la operación de suma aritmética. Los códigos inversos y adicionales se utilizan como códigos especiales en las computadoras. Se forman a partir de códigos directos de números y el código especial de un número positivo es igual a su código directo.
Para indicar el código inverso del número X(q), se utiliza una notación de la forma [X(q)] arreglo.
La regla para representar el código q-ario de un número en código inverso
tiene la forma:
Aquí está la inversión del número xi, determinada a partir de la relación:
donde: q - base del sistema numérico;
xj es el valor del dígito en el i-ésimo dígito del código fuente.
Para el sistema numérico binario, si x = 1, entonces viceversa. A partir de aquí podemos formular una regla particular para la formación de un código inverso para números binarios negativos.
Para convertir el código directo de un número binario negativo en código inverso y viceversa, es necesario dejar el bit de signo sin cambios y en los bits restantes reemplazar los ceros por unos y los unos por ceros.
Por ejemplo:
| x (2) = +11011001, | pr.=0,11011001, | disposición = 0,11011001. |
| x (2) = - 01011101, | pr.=1.01011101, | arreglo= 1.10100010. |
Indicar código adicional
número X(q) se utiliza una notación de la forma adicional. La regla para representar el código q-ario de un número en código complemento a dos tiene la forma:
De este modo, Para convertir el código directo de un número q-ario negativo en uno adicional, debe convertirlo en un código inverso y agregar uno al dígito de orden inferior.
Por ejemplo, para números binarios:
| x (2) = +11011001, | pr.= 0,11011001, | adicional = 0,11011001. |
| x (2) = - 01011101, | pr.=1.01011101, | arreglo= 1.10100011. |
Al realizar la operación de sumar números representados por códigos q-ary especiales, los bits de signo participan en la operación junto con los bits digitales. En este caso, los dígitos digitales de los términos se suman como módulos de números según las reglas de la aritmética q-aria. Los bits de signo y los dígitos de transporte del bit digital más significativo para cualquier base de sistema numérico (q = 2) se agregan como códigos binarios de un solo bit. Si se forma un acarreo desde el bit de signo, entonces tiene un peso de uno para el bit menos significativo q -m cuando se usa el código inverso y debe agregarse al bit menos significativo del resultado. Cuando se utiliza el código en complemento a dos, la unidad de acarreo del bit de signo no se tiene en cuenta, es decir, se descarta.
Por ejemplo:
Al realizar una operación de suma algebraica, antes de convertir los códigos directos de los sumandos en códigos especiales, es necesario alinearlos por el número de dígitos, si el número de dígitos de los sumandos es diferente. Además, en algunos casos puede producirse un desbordamiento de la red. Un signo de desbordamiento de la cuadrícula de bits es la siguiente combinación de números en los dígitos de signo de los términos y el resultado:
El resultado de agregar códigos numéricos especiales cuando la cuadrícula de bits está desbordada es incorrecto.
Mientras estudiaba codificaciones, me di cuenta de que no entendía lo suficientemente bien los sistemas numéricos. Sin embargo, a menudo utilicé sistemas 2, 8, 10, 16, convertí uno en otro, pero todo se hizo "automáticamente". Después de leer muchas publicaciones, me sorprendió la falta de un artículo único y en un lenguaje sencillo sobre material tan básico. Por eso decidí escribir el mío propio, en el que intenté presentar los conceptos básicos de los sistemas numéricos de forma accesible y ordenada.
Introducción
Notación es una forma de registrar (representar) números.¿Qué quiere decir esto? Por ejemplo, ves varios árboles frente a ti. Tu tarea es contarlos. Para hacer esto, puede doblar los dedos, hacer muescas en una piedra (un árbol - un dedo/muesca), o unir 10 árboles con un objeto, por ejemplo, una piedra, y un solo ejemplar con un palo, y colocarlos en el suelo mientras cuentas. En el primer caso, el número se representa como una serie de dedos doblados o muescas, en el segundo, una composición de piedras y palos, donde las piedras están a la izquierda y los palos a la derecha.
Los sistemas numéricos se dividen en posicionales y no posicionales, y los posicionales, a su vez, en homogéneos y mixtos.
No posicional- el más antiguo, en él cada dígito de un número tiene un valor que no depende de su posición (dígito). Es decir, si tiene 5 líneas, entonces el número también es 5, ya que cada línea, independientemente de su lugar en la línea, corresponde solo a 1 elemento.
Sistema posicional- el significado de cada dígito depende de su posición (dígito) en el número. Por ejemplo, el sistema numérico del décimo que nos resulta familiar es posicional. Consideremos el número 453. El número 4 indica el número de centenas y corresponde al número 400, 5 - el número de decenas y es similar al valor 50, y 3 - unidades y el valor 3. Como puede ver, el cuanto mayor sea el dígito, mayor será el valor. El número final se puede representar como la suma 400+50+3=453.
Sistema homogéneo- para todos los dígitos (posiciones) de un número, el conjunto de caracteres (dígitos) válidos es el mismo. Como ejemplo, tomemos el décimo sistema mencionado anteriormente. Al escribir un número en un décimo sistema homogéneo, solo puede usar un dígito del 0 al 9 en cada dígito, por lo que se permite el número 450 (el primer dígito es 0, el segundo es 5, el tercero es 4), pero 4F5 no. porque el carácter F no está incluido en el conjunto de números del 0 al 9.
Sistema mixto- en cada dígito (posición) de un número, el conjunto de caracteres (dígitos) válidos puede diferir del conjunto de otros dígitos. Un ejemplo sorprendente es el sistema de medición del tiempo. En la categoría de segundos y minutos hay 60 símbolos diferentes posibles (de “00” a “59”), en la categoría de horas – 24 símbolos diferentes (de “00” a “23”), en la categoría de día – 365, etc
Sistemas no posicionales
Tan pronto como la gente aprendió a contar, surgió la necesidad de escribir números. Al principio todo era sencillo: una muesca o una raya en una superficie correspondía a un objeto, por ejemplo una fruta. Así apareció el primer sistema numérico: la unidad.Sistema de numeración de unidades
Un número en este sistema numérico es una serie de guiones (palos), cuyo número es igual al valor del número dado. Así, una cosecha de 100 dátiles equivaldrá a un número formado por 100 guiones.Pero este sistema tiene inconvenientes obvios: cuanto mayor es el número, más larga es la cadena de palos. Además, es fácil cometer un error al escribir un número si agrega accidentalmente una barra adicional o, por el contrario, no lo escribe.
Por conveniencia, la gente empezó a agrupar los palos en 3, 5 y 10 piezas. Además, a cada grupo le correspondía un signo u objeto específico. Inicialmente se utilizaban los dedos para contar, por lo que los primeros signos aparecieron para grupos de 5 y 10 piezas (unidades). Todo esto hizo posible crear sistemas más convenientes para registrar números.
Sistema decimal del antiguo Egipto
En el Antiguo Egipto, se utilizaban símbolos especiales (números) para representar los números 1, 10, 10 2, 10 3, 10 4, 10 5, 10 6, 10 7. Éstos son algunos de ellos:¿Por qué se llama decimal? Como se indicó anteriormente, la gente comenzó a agrupar símbolos. En Egipto, eligieron un grupo de 10, dejando el número “1” sin cambios. En este caso, el número 10 se llama sistema numérico decimal base y cada símbolo es una representación del número 10 hasta cierto punto.
Los números en el sistema numérico del antiguo Egipto se escribían como una combinación de estos
personajes, cada uno de los cuales se repitió no más de nueve veces. El valor final fue igual a la suma de los elementos del número. Vale la pena señalar que este método de obtener un valor es característico de todo sistema numérico no posicional. Un ejemplo sería el número 345:
Sistema sexagesimal babilónico
A diferencia del egipcio, el sistema babilónico utilizaba sólo dos símbolos: una cuña "recta" para indicar unidades y una cuña "reclinada" para representar decenas. Para determinar el valor de un número, debes dividir la imagen del número en dígitos de derecha a izquierda. Una nueva descarga comienza con la aparición de una cuña recta después de una yacente. Tomemos como ejemplo el número 32:
El número 60 y todos sus poderes también se indican con una cuña recta, como “1”. Por eso, el sistema numérico babilónico se llamó sexagesimal.
Los babilonios escribieron todos los números del 1 al 59 en un sistema decimal no posicional y los valores grandes en un sistema posicional con base 60. Número 92:
El registro del número era ambiguo, ya que no había ningún dígito que indicara cero. La representación del número 92 podría significar no sólo 92=60+32, sino también, por ejemplo, 3632=3600+32. Para determinar el valor absoluto de un número, se introdujo un símbolo especial para indicar el dígito sexagesimal faltante, que corresponde a la apariencia del número 0 en la notación numérica decimal:
Ahora el número 3632 debería escribirse como:
El sistema sexagesimal babilónico es el primer sistema numérico basado en parte en el principio posicional. Este sistema numérico todavía se utiliza hoy en día, por ejemplo, para determinar el tiempo: una hora consta de 60 minutos y un minuto, 60 segundos.
sistema romano
El sistema romano no es muy diferente del egipcio. Utiliza letras latinas mayúsculas I, V, X, L, C, D y M para representar los números 1, 5, 10, 50, 100, 500 y 1000, respectivamente. Un número en el sistema de numeración romana es un conjunto de dígitos consecutivos.Métodos para determinar el valor de un número:
- El valor de un número es igual a la suma de los valores de sus dígitos. Por ejemplo, el número 32 en el sistema de numeración romana es XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2=32
- Si hay uno más pequeño a la izquierda del dígito más grande, entonces el valor es igual a la diferencia entre los dígitos más grande y más pequeño. Al mismo tiempo, el dígito izquierdo puede ser menor que el derecho en un máximo de un orden de magnitud: por ejemplo, sólo X(10) puede aparecer antes de L(50) y C(100) entre los “más bajos” , y sólo antes de D(500) y M(1000) C(100), antes de V(5) - sólo I(1); el número 444 en el sistema numérico considerado se escribirá como CDXLIV = (D-C)+(L-X)+(V-I) = 400+40+4=444.
- El valor es igual a la suma de los valores de grupos y números que no encajan en los puntos 1 y 2.
1) eslavo
2) griego (jónico)
Sistemas de números posicionales
Como se mencionó anteriormente, los primeros requisitos previos para el surgimiento de un sistema posicional surgieron en la antigua Babilonia. En la India, el sistema adoptó la forma de numeración decimal posicional utilizando cero, y de los indios este sistema numérico fue tomado prestado por los árabes, de quienes lo adoptaron los europeos. Por alguna razón, en Europa se le asignó a este sistema el nombre de “árabe”.sistema de numeración decimal
Este es uno de los sistemas numéricos más comunes. Esto es lo que usamos cuando nombramos el precio de un producto y decimos el número de autobús. Cada dígito (posición) sólo puede utilizar un dígito del rango del 0 al 9. La base del sistema es el número 10.Por ejemplo, tomemos el número 503. Si este número estuviera escrito en un sistema no posicional, entonces su valor sería 5+0+3 = 8. Pero tenemos un sistema posicional y eso significa que cada dígito del número debe ser multiplicado por la base del sistema, en este caso el número “10”, elevado a una potencia igual al dígito numérico. Resulta que el valor es 5*10 2 + 0*10 1 + 3*10 0 = 500+0+3 = 503. Para evitar confusiones al trabajar con varios sistemas numéricos simultáneamente, la base se indica como un subíndice. Por tanto, 503 = 503 10.
Además del sistema decimal, merecen especial atención los sistemas 2, 8 y 16.
sistema de números binarios
Este sistema se utiliza principalmente en informática. ¿Por qué no utilizaron el décimo habitual? La primera computadora fue creada por Blaise Pascal, quien utilizó el sistema decimal, lo que resultó inconveniente en las máquinas electrónicas modernas, ya que requería la producción de dispositivos capaces de operar en 10 estados, lo que aumentaba su precio y el tamaño final del máquina. Los elementos que operan en el segundo sistema no tienen estas deficiencias. Sin embargo, el sistema en cuestión fue creado mucho antes de la invención de las computadoras y tiene sus "raíces" en la civilización inca, donde se usaban quipus: complejos tejidos y nudos de cuerdas.El sistema numérico posicional binario tiene una base de 2 y utiliza 2 símbolos (dígitos) para escribir números: 0 y 1. Solo se permite un dígito en cada dígito: 0 o 1.
Un ejemplo es el número 101. Es similar al número 5 en el sistema numérico decimal. Para convertir de 2 a 10, debes multiplicar cada dígito de un número binario por la base “2” elevada a una potencia igual al valor posicional. Así, el número 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10.
Bueno, para las máquinas el segundo sistema numérico es más conveniente, pero a menudo vemos y usamos números en el décimo sistema en la computadora. Entonces, ¿cómo determina la máquina qué número está ingresando el usuario? ¿Cómo traduce un número de un sistema a otro, ya que sólo tiene 2 símbolos: 0 y 1?
Para que una computadora funcione con números binarios (códigos), deben estar almacenados en algún lugar. Para almacenar cada dígito individual se utiliza un disparador, que es un circuito electrónico. Puede estar en 2 estados, uno de los cuales corresponde a cero y el otro a uno. Para recordar un solo número, se utiliza un registro: un grupo de activadores, cuyo número corresponde al número de dígitos de un número binario. Y el conjunto de registros es la RAM. El número contenido en el registro es una palabra de máquina. Las operaciones aritméticas y lógicas con palabras se realizan mediante una unidad lógica aritmética (ALU). Para simplificar el acceso a los registros, están numerados. El número se llama dirección de registro. Por ejemplo, si necesita sumar 2 números, basta con indicar los números de las celdas (registros) en las que se encuentran, y no los números en sí. Las direcciones se escriben en sistemas octales y hexadecimales (se discutirán a continuación), ya que la transición de ellos al sistema binario y viceversa es bastante simple. Para pasar del 2 al 8, el número debe dividirse en grupos de 3 dígitos de derecha a izquierda, y para pasar al 16, 4. Si no hay suficientes dígitos en el grupo de dígitos más a la izquierda, se llenan desde la izquierda con ceros, que se llaman iniciales. Tomemos como ejemplo el número 101100 2. En octal es 101 100 = 54 8 y en hexadecimal es 0010 1100 = 2C 16. Genial, pero ¿por qué vemos números y letras decimales en la pantalla? Cuando presiona una tecla, una determinada secuencia de impulsos eléctricos se transmite a la computadora y cada símbolo tiene su propia secuencia de impulsos eléctricos (ceros y unos). El programa de controlador de teclado y pantalla accede a la tabla de códigos de caracteres (por ejemplo, Unicode, que le permite codificar 65536 caracteres), determina a qué carácter corresponde el código resultante y lo muestra en la pantalla. Por lo tanto, los textos y números se almacenan en la memoria de la computadora en código binario y se convierten mediante programación en imágenes en la pantalla.
sistema numérico octal
El sistema de octavo número, al igual que el binario, se utiliza a menudo en la tecnología digital. Tiene una base de 8 y utiliza los dígitos del 0 al 7 para escribir números.Un ejemplo de número octal: 254. Para convertir al sistema décimo, cada dígito del número original debe multiplicarse por 8 n, donde n es el número de dígito. Resulta que 254 8 = 2*8 2 + 5*8 1 + 4*8 0 = 128+40+4 = 172 10.
sistema numérico hexadecimal
El sistema hexadecimal se usa ampliamente en las computadoras modernas, por ejemplo, se usa para indicar el color: #FFFFFF - blanco. El sistema en cuestión tiene base 16 y utiliza los siguientes números para escribir: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. C, D, E, F, donde las letras son 10, 11, 12, 13, 14, 15 respectivamente.Tomemos como ejemplo el número 4F5 16. Para convertir al sistema octal, primero convertimos el número hexadecimal a binario y luego, dividiéndolo en grupos de 3 dígitos, a octal. Para convertir un número a 2, debes representar cada dígito como un número binario de 4 bits. 4F5 16 = (100 1111 101) 2 . Pero en los grupos 1 y 3 no hay suficientes dígitos, así que completemos cada uno con ceros a la izquierda: 0100 1111 0101. Ahora necesitas dividir el número resultante en grupos de 3 dígitos de derecha a izquierda: 0100 1111 0101 = 010 011 110 101 .Convirtamos cada grupo binario al sistema octal, multiplicando cada dígito por 2 n, donde n es el número del dígito: (0*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (0*2 2 +1*2 1 +1*2 0) (1*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (1*2 2 +0*2 1 +1*2 0) = 2365 8 .
Además de los sistemas numéricos posicionales considerados, existen otros, por ejemplo:
1) Trinidad
2) Cuaternario
3) duodecimal
Los sistemas posicionales se dividen en homogéneos y mixtos.
Sistemas numéricos posicionales homogéneos
La definición dada al principio del artículo describe sistemas homogéneos de manera bastante completa, por lo que no es necesaria ninguna aclaración.Sistemas de números mixtos
A la definición ya dada podemos agregar el teorema: “si P=Q n (P,Q,n son números enteros positivos, mientras que P y Q son bases), entonces el registro de cualquier número en el sistema numérico mixto (P-Q) es idéntico coincide con escribir el mismo número en el sistema numérico con la base Q.”Con base en el teorema, podemos formular reglas para transferir del sistema P-ésimo al Q-ésimo y viceversa:
- Para convertir del Q-ésimo al P-ésimo, debe dividir el número en el sistema Q-ésimo en grupos de n dígitos, comenzando con el dígito derecho, y reemplazar cada grupo con un dígito en el sistema P-ésimo .
- Para convertir de P-ésimo a Q-ésimo, es necesario convertir cada dígito de un número en el sistema P-ésimo a Q-ésimo y completar los dígitos que faltan con ceros a la izquierda, con la excepción del de la izquierda, de modo que cada número del sistema con base Q consta de n dígitos.
Los sistemas de números mixtos también son, por ejemplo:
1) factores
2) Fibonacci
Conversión de un sistema numérico a otro
A veces es necesario convertir un número de un sistema numérico a otro, así que veamos formas de convertir entre diferentes sistemas.Conversión al sistema numérico decimal
Hay un número a 1 a 2 a 3 en el sistema numérico con base b. Para convertir al décimo sistema, es necesario multiplicar cada dígito del número por b n, donde n es el número del dígito. Por lo tanto, (a 1 a 2 a 3) b = (a 1 *b 2 + a 2 *b 1 + a 3 *b 0) 10.Ejemplo: 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10
Conversión de un sistema numérico decimal a otros.
Toda una parte:- Dividimos sucesivamente la parte entera del número decimal por la base del sistema al que estamos convirtiendo hasta que el número decimal sea igual a cero.
- Los restos obtenidos durante la división son los dígitos del número deseado. El número en el nuevo sistema se escribe a partir del último resto.
- Multiplicamos la parte fraccionaria del número decimal por la base del sistema al que queremos convertir. Separar toda la parte. Seguimos multiplicando la parte fraccionaria por la base del nuevo sistema hasta que sea igual a 0.
- Los números en el nuevo sistema se componen de partes enteras de resultados de multiplicación en el orden correspondiente a su producción.
15\8 = 1, resto 7
1\8 = 0, resto 1
Habiendo escrito todos los restos de abajo hacia arriba, obtenemos el número final 17. Por tanto, 15 10 = 17 8.
Conversión de binario a octal y hexadecimal
Para convertir a octal, dividimos el número binario en grupos de 3 dígitos de derecha a izquierda y completamos los dígitos más externos que faltan con ceros a la izquierda. A continuación, transformamos cada grupo multiplicando los dígitos secuencialmente por 2n, donde n es el número del dígito.Tomemos el número 1001 2 como ejemplo: 1001 2 = 001 001 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) = ( 0+ 0+1) (0+0+1) = 11 8
Para convertir a hexadecimal, dividimos el número binario en grupos de 4 dígitos de derecha a izquierda, luego similar a la conversión del 2.º al 8.º.
Convertir de octal y hexadecimal a binario
Conversión de octal a binario: convertimos cada dígito de un número octal en un número binario de 3 dígitos dividiéndolo por 2 (para obtener más información sobre la división, consulte el párrafo "Conversión del sistema numérico decimal a otros" más arriba), complete el faltan los dígitos más externos con ceros a la izquierda.Por ejemplo, considere el número 45 8: 45 = (100) (101) = 100101 2
Traducción del 16 al 2: convertimos cada dígito de un número hexadecimal en un número binario de 4 dígitos dividiéndolo por 2 y completando los dígitos exteriores que faltan con ceros a la izquierda.
Convertir la parte fraccionaria de cualquier sistema numérico a decimal
La conversión se realiza de la misma forma que para las partes enteras, excepto que los dígitos del número se multiplican por la base elevada a “-n”, donde n comienza en 1.
Ejemplo: 101,011 2 = (1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 -1 + 1*2 -2 + 1*2 -3) = (5), (0 + 0 0,25 + 0,125) = 5,375 10
Convertir la parte fraccionaria del binario a 8.º y 16.º
La traducción de la parte fraccionaria se realiza de la misma forma que para las partes enteras de un número, con la única excepción de que la división en grupos de 3 y 4 dígitos va a la derecha del punto decimal, los dígitos faltantes se complementan con ceros a la derecha.Ejemplo: 1001.01 2 = 001 001, 010 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 2 + 1 *2 1 + 0*2 0) = (0+0+1) (0+0+1), (0+2+0) = 11,2 8
Convertir la parte fraccionaria del sistema decimal a cualquier otro
Para convertir la parte fraccionaria de un número a otros sistemas numéricos, debes convertir la parte entera a cero y comenzar a multiplicar el número resultante por la base del sistema al que deseas convertir. Si, como resultado de la multiplicación, vuelven a aparecer partes enteras, es necesario volver a ponerlas a cero, después de recordar (anotar) primero el valor de la parte entera resultante. La operación finaliza cuando la parte fraccionaria es completamente cero.Por ejemplo, convierta 10.625 10 a binario:
0,625*2 = 1,25
0,250*2 = 0,5
0,5*2 = 1,0
Escribiendo todos los restos de arriba a abajo, obtenemos 10,625 10 = (1010), (101) = 1010,101 2
Mientras estudiaba codificaciones, me di cuenta de que no entendía lo suficientemente bien los sistemas numéricos. Sin embargo, a menudo utilicé sistemas 2, 8, 10, 16, convertí uno en otro, pero todo se hizo "automáticamente". Después de leer muchas publicaciones, me sorprendió la falta de un artículo único y en un lenguaje sencillo sobre material tan básico. Por eso decidí escribir el mío propio, en el que intenté presentar los conceptos básicos de los sistemas numéricos de forma accesible y ordenada.
Introducción
Notación es una forma de registrar (representar) números.¿Qué quiere decir esto? Por ejemplo, ves varios árboles frente a ti. Tu tarea es contarlos. Para hacer esto, puede doblar los dedos, hacer muescas en una piedra (un árbol - un dedo/muesca), o unir 10 árboles con un objeto, por ejemplo, una piedra, y un solo ejemplar con un palo, y colocarlos en el suelo mientras cuentas. En el primer caso, el número se representa como una serie de dedos doblados o muescas, en el segundo, una composición de piedras y palos, donde las piedras están a la izquierda y los palos a la derecha.
Los sistemas numéricos se dividen en posicionales y no posicionales, y los posicionales, a su vez, en homogéneos y mixtos.
No posicional- el más antiguo, en él cada dígito de un número tiene un valor que no depende de su posición (dígito). Es decir, si tiene 5 líneas, entonces el número también es 5, ya que cada línea, independientemente de su lugar en la línea, corresponde solo a 1 elemento.
Sistema posicional- el significado de cada dígito depende de su posición (dígito) en el número. Por ejemplo, el sistema numérico del décimo que nos resulta familiar es posicional. Consideremos el número 453. El número 4 indica el número de centenas y corresponde al número 400, 5 - el número de decenas y es similar al valor 50, y 3 - unidades y el valor 3. Como puede ver, el cuanto mayor sea el dígito, mayor será el valor. El número final se puede representar como la suma 400+50+3=453.
Sistema homogéneo- para todos los dígitos (posiciones) de un número, el conjunto de caracteres (dígitos) válidos es el mismo. Como ejemplo, tomemos el décimo sistema mencionado anteriormente. Al escribir un número en un décimo sistema homogéneo, solo puede usar un dígito del 0 al 9 en cada dígito, por lo que se permite el número 450 (el primer dígito es 0, el segundo es 5, el tercero es 4), pero 4F5 no. porque el carácter F no está incluido en el conjunto de números del 0 al 9.
Sistema mixto- en cada dígito (posición) de un número, el conjunto de caracteres (dígitos) válidos puede diferir del conjunto de otros dígitos. Un ejemplo sorprendente es el sistema de medición del tiempo. En la categoría de segundos y minutos hay 60 símbolos diferentes posibles (de “00” a “59”), en la categoría de horas – 24 símbolos diferentes (de “00” a “23”), en la categoría de día – 365, etc
Sistemas no posicionales
Tan pronto como la gente aprendió a contar, surgió la necesidad de escribir números. Al principio todo era sencillo: una muesca o una raya en una superficie correspondía a un objeto, por ejemplo una fruta. Así apareció el primer sistema numérico: la unidad.Sistema de numeración de unidades
Un número en este sistema numérico es una serie de guiones (palos), cuyo número es igual al valor del número dado. Así, una cosecha de 100 dátiles equivaldrá a un número formado por 100 guiones.Pero este sistema tiene inconvenientes obvios: cuanto mayor es el número, más larga es la cadena de palos. Además, es fácil cometer un error al escribir un número si agrega accidentalmente una barra adicional o, por el contrario, no lo escribe.
Por conveniencia, la gente empezó a agrupar los palos en 3, 5 y 10 piezas. Además, a cada grupo le correspondía un signo u objeto específico. Inicialmente se utilizaban los dedos para contar, por lo que los primeros signos aparecieron para grupos de 5 y 10 piezas (unidades). Todo esto hizo posible crear sistemas más convenientes para registrar números.
Sistema decimal del antiguo Egipto
En el Antiguo Egipto, se utilizaban símbolos especiales (números) para representar los números 1, 10, 10 2, 10 3, 10 4, 10 5, 10 6, 10 7. Éstos son algunos de ellos:¿Por qué se llama decimal? Como se indicó anteriormente, la gente comenzó a agrupar símbolos. En Egipto, eligieron un grupo de 10, dejando el número “1” sin cambios. En este caso, el número 10 se llama sistema numérico decimal base y cada símbolo es una representación del número 10 hasta cierto punto.
Los números en el sistema numérico del antiguo Egipto se escribían como una combinación de estos
personajes, cada uno de los cuales se repitió no más de nueve veces. El valor final fue igual a la suma de los elementos del número. Vale la pena señalar que este método de obtener un valor es característico de todo sistema numérico no posicional. Un ejemplo sería el número 345:
Sistema sexagesimal babilónico
A diferencia del egipcio, el sistema babilónico utilizaba sólo dos símbolos: una cuña "recta" para indicar unidades y una cuña "reclinada" para representar decenas. Para determinar el valor de un número, debes dividir la imagen del número en dígitos de derecha a izquierda. Una nueva descarga comienza con la aparición de una cuña recta después de una yacente. Tomemos como ejemplo el número 32:El número 60 y todos sus poderes también se indican con una cuña recta, como “1”. Por eso, el sistema numérico babilónico se llamó sexagesimal.
Los babilonios escribieron todos los números del 1 al 59 en un sistema decimal no posicional y los valores grandes en un sistema posicional con base 60. Número 92:
El registro del número era ambiguo, ya que no había ningún dígito que indicara cero. La representación del número 92 podría significar no sólo 92=60+32, sino también, por ejemplo, 3632=3600+32. Para determinar el valor absoluto de un número, se introdujo un símbolo especial para indicar el dígito sexagesimal faltante, que corresponde a la apariencia del número 0 en la notación numérica decimal:
Ahora el número 3632 debería escribirse como:
El sistema sexagesimal babilónico es el primer sistema numérico basado en parte en el principio posicional. Este sistema numérico todavía se utiliza hoy en día, por ejemplo, para determinar el tiempo: una hora consta de 60 minutos y un minuto, 60 segundos.
sistema romano
El sistema romano no es muy diferente del egipcio. Utiliza letras latinas mayúsculas I, V, X, L, C, D y M para representar los números 1, 5, 10, 50, 100, 500 y 1000, respectivamente. Un número en el sistema de numeración romana es un conjunto de dígitos consecutivos.Métodos para determinar el valor de un número:
- El valor de un número es igual a la suma de los valores de sus dígitos. Por ejemplo, el número 32 en el sistema de numeración romana es XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2=32
- Si hay uno más pequeño a la izquierda del dígito más grande, entonces el valor es igual a la diferencia entre los dígitos más grande y más pequeño. Al mismo tiempo, el dígito izquierdo puede ser menor que el derecho en un máximo de un orden de magnitud: por ejemplo, sólo X(10) puede aparecer antes de L(50) y C(100) entre los “más bajos” , y sólo antes de D(500) y M(1000) C(100), antes de V(5) - sólo I(1); el número 444 en el sistema numérico considerado se escribirá como CDXLIV = (D-C)+(L-X)+(V-I) = 400+40+4=444.
- El valor es igual a la suma de los valores de grupos y números que no encajan en los puntos 1 y 2.
1) eslavo
2) griego (jónico)
Sistemas de números posicionales
Como se mencionó anteriormente, los primeros requisitos previos para el surgimiento de un sistema posicional surgieron en la antigua Babilonia. En la India, el sistema adoptó la forma de numeración decimal posicional utilizando cero, y de los indios este sistema numérico fue tomado prestado por los árabes, de quienes lo adoptaron los europeos. Por alguna razón, en Europa se le asignó a este sistema el nombre de “árabe”.sistema de numeración decimal
Este es uno de los sistemas numéricos más comunes. Esto es lo que usamos cuando nombramos el precio de un producto y decimos el número de autobús. Cada dígito (posición) sólo puede utilizar un dígito del rango del 0 al 9. La base del sistema es el número 10.Por ejemplo, tomemos el número 503. Si este número estuviera escrito en un sistema no posicional, entonces su valor sería 5+0+3 = 8. Pero tenemos un sistema posicional y eso significa que cada dígito del número debe ser multiplicado por la base del sistema, en este caso el número “10”, elevado a una potencia igual al dígito numérico. Resulta que el valor es 5*10 2 + 0*10 1 + 3*10 0 = 500+0+3 = 503. Para evitar confusiones al trabajar con varios sistemas numéricos simultáneamente, la base se indica como un subíndice. Por tanto, 503 = 503 10.
Además del sistema decimal, merecen especial atención los sistemas 2, 8 y 16.
sistema de números binarios
Este sistema se utiliza principalmente en informática. ¿Por qué no utilizaron el décimo habitual? La primera computadora fue creada por Blaise Pascal, quien utilizó el sistema decimal, lo que resultó inconveniente en las máquinas electrónicas modernas, ya que requería la producción de dispositivos capaces de operar en 10 estados, lo que aumentaba su precio y el tamaño final del máquina. Los elementos que operan en el segundo sistema no tienen estas deficiencias. Sin embargo, el sistema en cuestión fue creado mucho antes de la invención de las computadoras y tiene sus "raíces" en la civilización inca, donde se usaban quipus: complejos tejidos y nudos de cuerdas.El sistema numérico posicional binario tiene una base de 2 y utiliza 2 símbolos (dígitos) para escribir números: 0 y 1. Solo se permite un dígito en cada dígito: 0 o 1.
Un ejemplo es el número 101. Es similar al número 5 en el sistema numérico decimal. Para convertir de 2 a 10, debes multiplicar cada dígito de un número binario por la base “2” elevada a una potencia igual al valor posicional. Así, el número 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10.
Bueno, para las máquinas el segundo sistema numérico es más conveniente, pero a menudo vemos y usamos números en el décimo sistema en la computadora. Entonces, ¿cómo determina la máquina qué número está ingresando el usuario? ¿Cómo traduce un número de un sistema a otro, ya que sólo tiene 2 símbolos: 0 y 1?
Para que una computadora funcione con números binarios (códigos), deben estar almacenados en algún lugar. Para almacenar cada dígito individual se utiliza un disparador, que es un circuito electrónico. Puede estar en 2 estados, uno de los cuales corresponde a cero y el otro a uno. Para recordar un solo número, se utiliza un registro: un grupo de activadores, cuyo número corresponde al número de dígitos de un número binario. Y el conjunto de registros es la RAM. El número contenido en el registro es una palabra de máquina. Las operaciones aritméticas y lógicas con palabras se realizan mediante una unidad lógica aritmética (ALU). Para simplificar el acceso a los registros, están numerados. El número se llama dirección de registro. Por ejemplo, si necesita sumar 2 números, basta con indicar los números de las celdas (registros) en las que se encuentran, y no los números en sí. Las direcciones se escriben en sistemas octales y hexadecimales (se discutirán a continuación), ya que la transición de ellos al sistema binario y viceversa es bastante simple. Para pasar del 2 al 8, el número debe dividirse en grupos de 3 dígitos de derecha a izquierda, y para pasar al 16, 4. Si no hay suficientes dígitos en el grupo de dígitos más a la izquierda, se llenan desde la izquierda con ceros, que se llaman iniciales. Tomemos como ejemplo el número 101100 2. En octal es 101 100 = 54 8 y en hexadecimal es 0010 1100 = 2C 16. Genial, pero ¿por qué vemos números y letras decimales en la pantalla? Cuando presiona una tecla, una determinada secuencia de impulsos eléctricos se transmite a la computadora y cada símbolo tiene su propia secuencia de impulsos eléctricos (ceros y unos). El programa de controlador de teclado y pantalla accede a la tabla de códigos de caracteres (por ejemplo, Unicode, que le permite codificar 65536 caracteres), determina a qué carácter corresponde el código resultante y lo muestra en la pantalla. Por lo tanto, los textos y números se almacenan en la memoria de la computadora en código binario y se convierten mediante programación en imágenes en la pantalla.
sistema numérico octal
El sistema de octavo número, al igual que el binario, se utiliza a menudo en la tecnología digital. Tiene una base de 8 y utiliza los dígitos del 0 al 7 para escribir números.Un ejemplo de número octal: 254. Para convertir al sistema décimo, cada dígito del número original debe multiplicarse por 8 n, donde n es el número de dígito. Resulta que 254 8 = 2*8 2 + 5*8 1 + 4*8 0 = 128+40+4 = 172 10.
sistema numérico hexadecimal
El sistema hexadecimal se usa ampliamente en las computadoras modernas, por ejemplo, se usa para indicar el color: #FFFFFF - blanco. El sistema en cuestión tiene base 16 y utiliza los siguientes números para escribir: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. C, D, E, F, donde las letras son 10, 11, 12, 13, 14, 15 respectivamente.Tomemos como ejemplo el número 4F5 16. Para convertir al sistema octal, primero convertimos el número hexadecimal a binario y luego, dividiéndolo en grupos de 3 dígitos, a octal. Para convertir un número a 2, debes representar cada dígito como un número binario de 4 bits. 4F5 16 = (100 1111 101) 2 . Pero en los grupos 1 y 3 no hay suficientes dígitos, así que completemos cada uno con ceros a la izquierda: 0100 1111 0101. Ahora necesitas dividir el número resultante en grupos de 3 dígitos de derecha a izquierda: 0100 1111 0101 = 010 011 110 101 .Convirtamos cada grupo binario al sistema octal, multiplicando cada dígito por 2 n, donde n es el número del dígito: (0*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (0*2 2 +1*2 1 +1*2 0) (1*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (1*2 2 +0*2 1 +1*2 0) = 2365 8 .
Además de los sistemas numéricos posicionales considerados, existen otros, por ejemplo:
1) Trinidad
2) Cuaternario
3) duodecimal
Los sistemas posicionales se dividen en homogéneos y mixtos.
Sistemas numéricos posicionales homogéneos
La definición dada al principio del artículo describe sistemas homogéneos de manera bastante completa, por lo que no es necesaria ninguna aclaración.Sistemas de números mixtos
A la definición ya dada podemos agregar el teorema: “si P=Q n (P,Q,n son números enteros positivos, mientras que P y Q son bases), entonces el registro de cualquier número en el sistema numérico mixto (P-Q) es idéntico coincide con escribir el mismo número en el sistema numérico con la base Q.”Con base en el teorema, podemos formular reglas para transferir del sistema P-ésimo al Q-ésimo y viceversa:
- Para convertir del Q-ésimo al P-ésimo, debe dividir el número en el sistema Q-ésimo en grupos de n dígitos, comenzando con el dígito derecho, y reemplazar cada grupo con un dígito en el sistema P-ésimo .
- Para convertir de P-ésimo a Q-ésimo, es necesario convertir cada dígito de un número en el sistema P-ésimo a Q-ésimo y completar los dígitos que faltan con ceros a la izquierda, con la excepción del de la izquierda, de modo que cada número del sistema con base Q consta de n dígitos.
Los sistemas de números mixtos también son, por ejemplo:
1) factores
2) Fibonacci
Conversión de un sistema numérico a otro
A veces es necesario convertir un número de un sistema numérico a otro, así que veamos formas de convertir entre diferentes sistemas.Conversión al sistema numérico decimal
Hay un número a 1 a 2 a 3 en el sistema numérico con base b. Para convertir al décimo sistema, es necesario multiplicar cada dígito del número por b n, donde n es el número del dígito. Por lo tanto, (a 1 a 2 a 3) b = (a 1 *b 2 + a 2 *b 1 + a 3 *b 0) 10.Ejemplo: 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10
Conversión de un sistema numérico decimal a otros.
Toda una parte:- Dividimos sucesivamente la parte entera del número decimal por la base del sistema al que estamos convirtiendo hasta que el número decimal sea igual a cero.
- Los restos obtenidos durante la división son los dígitos del número deseado. El número en el nuevo sistema se escribe a partir del último resto.
- Multiplicamos la parte fraccionaria del número decimal por la base del sistema al que queremos convertir. Separar toda la parte. Seguimos multiplicando la parte fraccionaria por la base del nuevo sistema hasta que sea igual a 0.
- Los números en el nuevo sistema se componen de partes enteras de resultados de multiplicación en el orden correspondiente a su producción.
15\8 = 1, resto 7
1\8 = 0, resto 1
Habiendo escrito todos los restos de abajo hacia arriba, obtenemos el número final 17. Por tanto, 15 10 = 17 8.
Conversión de binario a octal y hexadecimal
Para convertir a octal, dividimos el número binario en grupos de 3 dígitos de derecha a izquierda y completamos los dígitos más externos que faltan con ceros a la izquierda. A continuación, transformamos cada grupo multiplicando los dígitos secuencialmente por 2n, donde n es el número del dígito.Tomemos el número 1001 2 como ejemplo: 1001 2 = 001 001 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) = ( 0+ 0+1) (0+0+1) = 11 8
Para convertir a hexadecimal, dividimos el número binario en grupos de 4 dígitos de derecha a izquierda, luego similar a la conversión del 2.º al 8.º.
Convertir de octal y hexadecimal a binario
Conversión de octal a binario: convertimos cada dígito de un número octal en un número binario de 3 dígitos dividiéndolo por 2 (para obtener más información sobre la división, consulte el párrafo "Conversión del sistema numérico decimal a otros" más arriba), complete el faltan los dígitos más externos con ceros a la izquierda.Por ejemplo, considere el número 45 8: 45 = (100) (101) = 100101 2
Traducción del 16 al 2: convertimos cada dígito de un número hexadecimal en un número binario de 4 dígitos dividiéndolo por 2 y completando los dígitos exteriores que faltan con ceros a la izquierda.
Convertir la parte fraccionaria de cualquier sistema numérico a decimal
La conversión se realiza de la misma forma que para las partes enteras, excepto que los dígitos del número se multiplican por la base elevada a “-n”, donde n comienza en 1.
Ejemplo: 101,011 2 = (1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 -1 + 1*2 -2 + 1*2 -3) = (5), (0 + 0 0,25 + 0,125) = 5,375 10
Convertir la parte fraccionaria del binario a 8.º y 16.º
La traducción de la parte fraccionaria se realiza de la misma forma que para las partes enteras de un número, con la única excepción de que la división en grupos de 3 y 4 dígitos va a la derecha del punto decimal, los dígitos faltantes se complementan con ceros a la derecha.Ejemplo: 1001.01 2 = 001 001, 010 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 2 + 1 *2 1 + 0*2 0) = (0+0+1) (0+0+1), (0+2+0) = 11,2 8
Convertir la parte fraccionaria del sistema decimal a cualquier otro
Para convertir la parte fraccionaria de un número a otros sistemas numéricos, debes convertir la parte entera a cero y comenzar a multiplicar el número resultante por la base del sistema al que deseas convertir. Si, como resultado de la multiplicación, vuelven a aparecer partes enteras, es necesario volver a ponerlas a cero, después de recordar (anotar) primero el valor de la parte entera resultante. La operación finaliza cuando la parte fraccionaria es completamente cero.Por ejemplo, convierta 10.625 10 a binario:
0,625*2 = 1,25
0,250*2 = 0,5
0,5*2 = 1,0
Escribiendo todos los restos de arriba a abajo, obtenemos 10,625 10 = (1010), (101) = 1010,101 2
