Directo ( Minnesota), teniendo solo un punto común con el círculo ( A), llamado tangente al circulo.

El punto común se llama en este caso. punto de contacto.

Posibilidad de existencia tangente, y, además, dibujado a través de cualquier punto círculo, como punto de tangencia, se demuestra de la siguiente manera teorema.

Que se le exija realizar círculo con centro oh tangente a través del punto A. Para hacer esto desde el punto A, a partir del centro, describimos arco radio A.O., y desde el punto oh, como centro, cortamos este arco en los puntos B Y CON una solución de brújula igual al diámetro del círculo dado.

Después de gastar entonces acordes TRANSMISIÓN EXTERIOR. Y SO, conecta el punto A con puntos D Y mi, en el que estas cuerdas se cruzan con un círculo dado. Directo ANUNCIO Y A.E. - tangentes a un circulo oh. De hecho, de la construcción se desprende claramente que triangulos CUALQUIER OTRO NEGOCIO Y AOC isósceles(AO = AB = CA) con bases TRANSMISIÓN EXTERIOR. Y SO, igual al diámetro del círculo oh.

Porque SOBREDOSIS. Y Equipo original- radios, entonces D - medio TRANSMISIÓN EXTERIOR., A mi- medio SO, Medio ANUNCIO Y A.E. - medianas, dibujado a las bases de los triángulos isósceles y, por tanto, perpendicular a estas bases. si es heterosexual DA Y E.A. perpendicular a los radios SOBREDOSIS. Y Equipo original, entonces ellos - tangentes.

Consecuencia.

Dos tangentes trazadas desde un punto a una circunferencia son iguales y forman ángulos iguales con la recta que une este punto con el centro..

Entonces ANUNCIO=AE y ∠ ODA = ∠OEA porque triángulos rectángulos AOD Y AOE, tener un común hipotenusa A.O. e igual piernas SOBREDOSIS. Y Equipo original(como radios), son iguales. Tenga en cuenta que aquí la palabra "tangente" en realidad significa " segmento tangente”desde un punto determinado hasta el punto de contacto.

En este capítulo volveremos a una de las formas geométricas básicas: el círculo. Se demostrarán varios teoremas relacionados con círculos, incluidos teoremas sobre círculos inscritos en un triángulo, cuadrilátero y círculos circunscritos alrededor de estas figuras. Además, se demostrarán tres afirmaciones sobre los puntos notables de un triángulo: el punto de intersección de las bisectrices del triángulo, el punto de intersección de sus altitudes y el punto de intersección de las bisectrices perpendiculares a los lados del triángulo. Las dos primeras afirmaciones se formularon en séptimo grado y ahora podemos probarlas.

Averigüemos cuántos puntos comunes pueden tener una recta y un círculo, según su posición relativa. Está claro que si una línea pasa por el centro de un círculo, entonces cruza el círculo en dos puntos: los extremos del diámetro que se encuentran en esta línea.

Dejemos que la recta p no pase por el centro O de un círculo de radio r. Trazamos una perpendicular OH a la recta p y denotamos con la letra d la longitud de esta perpendicular, es decir, la distancia desde el centro de este círculo a la línea recta (Fig. 211).

Arroz. 211

Estudiemos la posición relativa de la recta y el círculo dependiendo de la relación entre d y r. Hay tres casos posibles.

1) re< r. На прямой р от точки Н отложим два отрезка НА и НВ, длины которых равны (рис. 211, а). По теореме Пифагора

En consecuencia, los puntos A y B se encuentran en la circunferencia y, por tanto, son puntos comunes de la recta p y de la circunferencia dada.

Demostremos que la recta p y el círculo dado no tienen otros puntos comunes. Supongamos que tienen un punto común más C. Entonces la mediana OD del triángulo isósceles O AC dibujado en la base AC es la altura de este triángulo, por lo tanto OD ⊥ p. Los segmentos OD y OH no coinciden, ya que el punto medio D del segmento AC no coincide con el punto H, el punto medio del segmento AB. Descubrimos que desde el punto O se trazan dos perpendiculares (segmentos OH y OD) a la recta p, lo cual es imposible.

Entonces, si la distancia desde el centro del círculo a la línea recta es menor que el radio del círculo (d< r), то прямая и окружность имеют две общие точки . En este caso, la recta se llama secante con respecto a la circunferencia.

2) re = r. En este caso OH = r, es decir, el punto H se encuentra en la circunferencia y, por tanto, es el punto común de la recta y la circunferencia (figura 211.6). La recta p y el círculo no tienen otros puntos comunes, ya que para cualquier punto M de la recta p, distinto del punto H, OM > OH = r (el OM inclinado es mayor que el OH perpendicular), y, por tanto , el punto M no se encuentra en la circunferencia.

Entonces, si la distancia desde el centro del círculo a la línea recta es igual al radio del círculo, entonces la línea recta y el círculo tienen solo un punto común.

3) d > r. En este caso, OH > r, por lo tanto, para cualquier punto M de la recta r OM ≥ OH > r (Fig. 211, c). Por tanto, el punto M no se encuentra en la circunferencia.

Entonces, si la distancia desde el centro del círculo a la línea recta es mayor que el radio del círculo, entonces la línea recta y el círculo no tienen puntos comunes.

Tangente a una circunferencia

Hemos demostrado que una recta y un círculo pueden tener uno o dos puntos comunes y pueden no tener ningún punto común.

Una línea recta que tiene un solo punto común con un círculo se llama tangente al círculo, y su punto común se llama punto tangente de la línea y el círculo. En la Figura 212, la recta p es tangente a un círculo con centro O, A es el punto de tangencia.

Demostremos un teorema sobre la propiedad de una tangente a una circunferencia.

Teorema

Prueba

Sea p la tangente a la circunferencia de centro O y A el punto de tangencia (véase la figura 212). Demostremos que la tangente p es perpendicular al radio OA.

Arroz. 212

Supongamos que este no es el caso. Entonces el radio OA está inclinado con respecto a la recta r. Dado que la perpendicular trazada desde el punto O a la recta p es menor que la inclinada OA, la distancia desde el centro O del círculo a la recta p es menor que el radio. En consecuencia, la recta p y la circunferencia tienen dos puntos comunes. Pero esto contradice la condición: la recta p es tangente.

Por tanto, la recta p es perpendicular al radio OA. El teorema ha sido demostrado.

Considere dos tangentes a un círculo con centro O, que pasa por el punto A y toca el círculo en los puntos B y C (Fig. 213). Llamemos a los segmentos AB y AC. segmentos tangentes dibujados desde un punto A. Tienen la siguiente propiedad:

Arroz. 213

Para probar esta afirmación, pasemos a la Figura 213. Según el teorema de la propiedad de la tangente, los ángulos 1 y 2 son ángulos rectos, por lo tanto, los triángulos ABO y ACO son rectángulos. Son iguales porque tienen una hipotenusa común OA y catetos iguales OB y ​​OS. Por tanto, AB = AC y ∠3 = ∠4, que es lo que faltaba demostrar.

Demostremos ahora el teorema inverso al teorema sobre la propiedad tangente (propiedad tangente).

Teorema

Prueba

De las condiciones del teorema se deduce que este radio es una perpendicular trazada desde el centro del círculo hasta la recta dada. Por tanto, la distancia desde el centro del círculo a la recta es igual al radio y, por tanto, la recta y el círculo tienen un solo punto común. Pero esto significa que esta recta es tangente al círculo. El teorema ha sido demostrado.

La solución a problemas que implican la construcción de una recta tangente se basa en este teorema. Resolvamos uno de estos problemas.

Tarea

Por un punto dado A de una circunferencia de centro O, trazar una tangente a esta circunferencia.

Solución

Dibujemos una recta O A y luego construyamos una recta p que pase por el punto A perpendicular a la recta O A. Según el criterio de la tangente, la recta p es la tangente deseada.

Tareas

631. Sea d la distancia desde el centro de un círculo de radio r a una línea recta r. ¿Cuál es la posición relativa de la recta r y la circunferencia si: a) r = 16 cm, d = 12 cm; b) r = 5 cm, d = 4,2 cm; c) r = 7,2 dm, (2 = 3,7 dm; d) r = 8 cm, d = 1,2 dm; e) r = 5 cm, d = 50 mm?

632. La distancia desde el punto A al centro del círculo es menor que el radio del círculo. Demuestre que cualquier recta que pase por el punto A es secante con respecto a la circunferencia dada.

633. Dado un cuadrado O ABC, cuyo lado mide 6 cm, y un círculo con centro en el punto O de radio 5 cm, ¿cuáles de las rectas OA, AB, BC y AC son secantes respecto de este círculo?

634. El radio OM de una circunferencia de centro O divide la cuerda AB por la mitad. Demuestre que la tangente trazada por el punto M es paralela a la cuerda AB.

635. Por el punto A del círculo se trazan una tangente y una cuerda igual al radio del círculo. Encuentra el ángulo entre ellos.

636. Se trazan dos tangentes a través de los extremos de la cuerda AB, igual al radio del círculo, que se cruza en el punto C. Encuentre el ángulo AC B.

637. El ángulo entre el diámetro AB y la cuerda AC es 30°. Se traza una tangente que pasa por el punto C y corta a la recta AB en el punto D. Demuestra que el triángulo ACD es isósceles.

638. La línea AB toca un círculo con centro O de radio r en el punto B. Encuentre AB si OA = 2 cm y r = 1,5 cm.

639. La línea AB toca un círculo con centro O de radio r en el punto B. Encuentre AB si ∠AOB = 60° y r = 12 cm.

640. Dado un círculo con centro O de radio 4,5 cm y punto A. Se trazan dos tangentes al círculo por el punto A. Encuentra el ángulo entre ellos si OA = 9 cm.

641. Los segmentos AB y AC son segmentos tangentes a un círculo con centro O, dibujado desde el punto A. Encuentre el ángulo BAC si el punto medio del segmento AO se encuentra en el círculo.

642. En la Figura 213 OB = 3 cm, CM. = 6 cm Encuentra AB, AC, ∠3 y ∠4.

643. Las rectas AB y AC tocan un círculo con centro O en los puntos B y C. Calcula BC si ∠OAB = 30°, AB = 5 cm.

644. Las rectas MA y MB tocan un círculo con centro O en los puntos A y B. El punto C es simétrico al punto O con respecto al punto B. Demuestre que ∠AMC = 3∠BMC.

645. Desde los extremos del diámetro AB de un círculo dado, se trazan las perpendiculares AA 1 y BB 1 a la tangente, que no es perpendicular al diámetro AB. Demuestre que el punto de tangencia es el punto medio del segmento A 1 B 1 .

646. En el triángulo ABC, el ángulo B es recto. Demuestre que: a) la recta BC es tangente a una circunferencia de centro A y radio AB; b) la recta AB es tangente a una circunferencia de centro C y radio CB; c) la recta AC no es tangente a las circunferencias de centro B y radios BA y BC.

647. El segmento AN es una perpendicular trazada desde el punto A a una recta que pasa por el centro O de una circunferencia de 3 cm de radio.Es la recta AN tangente a la circunferencia si: a) CM. = 5 cm, AN = 4 cm; b) ∠HAO = 45°, CM = 4 cm; c) ∠HAO = 30°, O A = 6 cm?

648. Construya una tangente a una circunferencia de centro O: a) paralela a la recta dada; b) perpendicular a una recta dada.

Respuestas a los problemas

Institución educativa presupuestaria del estado

Gimnasio No. 000

Trabajos de diseño en geometría.

Ocho formas de construir una tangente a una circunferencia.

9 clase biológico-química

Director científico: ,

Subdirector de Asuntos Académicos,

Profesor de matemáticas.

Moscú 2012

Introducción

Capítulo 1. …………………………………………………………………………………4

Conclusión

Introducción

La manifestación más elevada del espíritu es la mente.

La manifestación más elevada de la razón es la geometría.

La celda de geometría es un triángulo. Él también

inagotable, como el universo. El círculo es el alma de la geometría.

Conoce el círculo y no sólo conocerás el alma.

geometría, pero también eleva tu alma.

Claudio Ptolomeo
Tarea.

Construir una tangente a una circunferencia de centro O y radio R que pase por el punto A fuera de la circunferencia.

Capítulo 1.

Construcción de una tangente a una circunferencia que no requiere justificación basada en la teoría de rectas paralelas.

https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16 src=">ABO = 90°. Para un círculo (O; r) OB - radio. OB AB, por lo tanto, AB es tangente según la propiedad de la tangente.

De manera similar, AC es tangente a un círculo.

La construcción número 1 se basa en el hecho de que la tangente de un círculo es perpendicular al radio trazado hasta el punto de contacto.

Para una línea recta sólo hay un punto de contacto con un círculo.

Sólo se puede trazar una línea perpendicular que pase por un punto dado de una línea.

Construcción No. 2.

https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16"> ABO = 90°

5. OB – radio, ABO = 90°, por lo tanto, AB – tangente por atributo.

6. De manera similar, en el triángulo isósceles AON AC es la tangente (ACO = 90°, OS es el radio)

7. Entonces, AB y AC son tangentes.

Formación No. 3

https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16">ORM = OVA = 90° (como ángulos correspondientes en triángulos iguales), por lo tanto, AB – tangente basada en tangente.

4. De manera similar, AC es una tangente

Construcción №4

https://pandia.ru/text/78/156/images/image008_9.jpg" align="left" width="330" height="743 src=">

Construcción No. 6.

Construcción:

2. Dibujaré una línea recta arbitraria que pase por el punto A y corte al círculo (O, r) en los puntos M y N.

6. AB y BC son las tangentes requeridas.

Prueba:

1. Dado que los triángulos PQN y PQM están inscritos en un círculo y el lado PQ es el diámetro del círculo, entonces estos triángulos son rectángulos.

2. En el triángulo PQL, los segmentos PM y QN son alturas que se cruzan en el punto K, por lo tanto KL es la tercera altura..gif" width="17" height="16 src=">.gif" width="17" height="16 src =">AQS =AMS = 180° - https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16">PQN = β, luego |AQ| = |AS|ctg β. Por lo tanto, |PA| : |AQ| = ctg α: ctg β (2).

5. Comparando (1) y (2) obtengo |PD| : |PA| = |DQ| : |AQ|, o

(|OD| + R)(|OA| - R)=(R -|OD|)(|OA| + R).

Después de abrir los corchetes y simplificar, encuentro que |OD|·|OA|=R².

5. De la relación |OD|·|OA|=R² se deduce que |OD|:R=R: |OA|, es decir, los triángulos ODB y OBA son semejantes..gif" width="17" height=" 16"> OBA = 90°. Por lo tanto, la recta AB es la tangente deseada, que era lo que había que demostrar.

Construcción No. 6.

Construcción:

1. Construiré un círculo (A; |OA|).

2. Encontraré una apertura de compás igual a 2R, para lo cual seleccionaré el punto S del círculo (O; R) y trazaré tres arcos de 60º cada uno: SP=PQ=QT=60°. Los puntos S y T son diametralmente opuestos.

3. Construyo un círculo (O; ST) que se cruza w 1¿Qué clase de círculo es este? en los puntos M y N.

4. Ahora construiré la mitad del MO. Para hacer esto, construyo los círculos (O; OM) y (M; MO), y luego, para los puntos M y O, encontramos en ellos los puntos U y V diametralmente opuestos.

6. Finalmente, construiré un círculo (K; KM) y (L; LM), que se cruzan en el punto deseado B, el centro de MO.

Prueba:

Los triángulos KMV y UMK son isósceles y semejantes. Por tanto, del hecho de que KM = 0,5 MU, se deduce que MB = 0,5 MK = 0,5 R. Entonces, el punto B es el punto de contacto deseado. Del mismo modo, puede encontrar el punto de contacto C.

Capítulo 3.

Construcción de una tangente a una circunferencia basada en las propiedades de secantes y bisectrices.

Formación No. 7

https://pandia.ru/text/78/156/images/image011_7.jpg" align="left" width="440" height="514 src="> Formación No. 8

Construcción:

1. Construya un círculo (A;AP) que corte a la línea recta AP en el punto D.

2. Construya un círculo w en el diámetro QD

3. Lo cruzaré con una perpendicular a la recta AP en el punto A y obtendré los puntos M y N.

Prueba:

Es obvio que AM²=AN²=AD·AQ=AP·AQ. Entonces el círculo (A;AM) corta a (O;R) en los puntos tangentes B y C. AB y AC son las tangentes requeridas.

Otra forma de encontrar el centro (por ejemplo, en productos torneados), utilizando una herramienta especial, el "buscador de centros", se basa en las propiedades del llamado. rectas tangentes. Una tangente a un círculo es cualquier línea recta que, en el punto de encuentro con el círculo, es perpendicular al radio trazado hasta ese punto. Por ejemplo, al infierno. 174 recto A B C D Y E.F.– tangentes a una circunferencia AS. Puntos AS se denominan "puntos de contacto". La peculiaridad de una recta tangente es que tiene una circunferencia con un solo punto en común. De hecho, si la tangente AB(Fig. 175) estaba con un círculo, además de este hay otro punto en común, por ejemplo, CON, entonces, conectándolo al centro, obtendríamos un triángulo isósceles SOA con dos ángulos rectos SA, y esto, lo sabemos, es imposible (¿por qué?).

En la vida práctica nos encontramos con bastante frecuencia con líneas tangentes a un círculo. Una cuerda tirada sobre un bloque toma en sus partes tensas la posición de líneas tangentes al círculo del bloque. Los cinturones de polipasto (combinaciones de varios bloques, Fig. 176) están ubicados a lo largo de la línea de tangentes comunes a la circunferencia de las ruedas. Las correas de transmisión de las poleas también ocupan la posición de tangentes comunes a los círculos de las poleas de tangentes "externas" en el llamado. transmisión abierta e "interna" - en transmisión cerrada.

¿Cómo dibujarle una tangente a través de un punto dado fuera del círculo? En otras palabras: como a través de un punto. A(dibujo 177) dibuja una línea recta AB hacer ángulo ABO¿fue recto? Esto se hace de la siguiente manera. Conectar A con centro ACERCA DE(dibujo 178). La línea recta se divide por la mitad y alrededor de su mitad. EN, como centro, describe un círculo con un radio EN. En otras palabras, en OA construir un círculo como en un diámetro. Puntos de intersección CON Y D ambos círculos están conectados a A rectas: serán tangentes.

Para verificar esto, dibujemos desde el centro hacia los puntos. CON Y D líneas auxiliares SO Y sobredosis. Anglos AVISPA Y AOD- rectos, ya que están inscritos en semicírculo. Y esto significa que SO Y SOBREDOSIS.– tangentes a la circunferencia.

Considerando nuestra construcción, vemos, entre otras cosas, que desde cada punto fuera del círculo podemos trazar dos tangentes a él. Es fácil verificar que ambas tangentes tienen la misma longitud, es decir, que C.A.= ANUNCIO. De hecho, punto ACERCA DE igualmente distante de los lados del ángulo A; Medio OA es un equidivisor, y por lo tanto triángulos OEA Y ODA igual ( SUS).

En el camino establecimos que la recta que biseca el ángulo entre ambas tangentes pasa por el centro del círculo. Ésta es la base para el diseño del dispositivo para encontrar el centro de productos torneados: el centro del buscador (Fig. 179). Consta de dos líneas AB Y C.A., fijado en ángulo, y la tercera regla. BD, cuyo borde BD biseca el ángulo entre los bordes

las dos primeras líneas. El dispositivo se aplica al producto redondo de modo que los bordes de las reglas adyacentes a él AB Y Sol entró en contacto con la circunferencia del producto. En este caso, las aristas tendrán un solo punto común con el círculo, por lo que la arista de la regla debe, de acuerdo con la propiedad de las tangentes ahora indicada, pasar por el centro del círculo. Después de dibujar el diámetro de un círculo en el producto con una regla, aplique el buscador de centros al producto en una posición diferente y dibuje un diámetro diferente. El centro deseado estará en la intersección de ambos diámetros.

Si necesita dibujar una tangente común a dos círculos, es decir, dibujar una línea recta que toque dos círculos al mismo tiempo, proceda de la siguiente manera. Cerca del centro de un círculo, por ejemplo, aproximadamente EN(Fig. 180), describa un círculo auxiliar con un radio igual a la diferencia entre los radios de ambos círculos. Entonces desde el punto A dibujar tangentes C.A. Y ANUNCIO a este círculo auxiliar. De puntos A Y EN trazar líneas rectas perpendiculares a C.A. Y ANUNCIO, hasta que se cruzan con los círculos dados en puntos mi, f, h Y GRAMO. Líneas rectas que conectan mi Con F, GRAMO Con h, habrá tangentes comunes a estos círculos, ya que son perpendiculares a los radios AE, CF, AG Y D.H..

Además de las dos tangentes que acabamos de trazar y que se llaman externas, también es posible trazar otras dos tangentes, situadas como el infierno. 181 (tangentes internas). Para realizar esta construcción, describa alrededor del centro de uno de estos círculos, por ejemplo, alrededor EN– un círculo auxiliar con un radio igual a la suma de los radios de ambos círculos. desde el punto A dibuja tangentes a este círculo auxiliar. Los lectores podrán conocer ellos mismos el curso posterior de la construcción.

Repetir preguntas

¿Cómo se llama una tangente? ¿Cuántos puntos comunes tienen en común la tangente y la circunferencia? – ¿Cómo dibujar una tangente a una circunferencia a través de un punto que se encuentra fuera de la circunferencia? – ¿Cuántas tangentes de este tipo se pueden trazar? – ¿Qué es una centrífuga? – ¿En qué se basa su dispositivo? – ¿Cómo dibujar una tangente común a dos circunferencias? - ¿Cuántas tangentes hay?

Lecciones sobre el programa COMPASS.

Lección #12. Construyendo círculos en Compass 3D.
Círculos tangentes a curvas, un círculo basado en dos puntos.

Compass 3D tiene varias formas de construir círculos tangentes:

• círculo tangente a la 1ª curva;
• círculo tangente a 2 curvas;
• círculo tangente a 3 curvas;

Para construir un círculo tangente a la curva, presione el botón "Círculo tangente a 1 curva" en el panel compacto, o en el menú superior, presione los comandos secuencialmente "Herramientas" - "Geometría" - "Círculos" - "Círculo tangente a 1 curva".

Usando el cursor, primero indicamos la curva por la que pasará el círculo, luego establecemos el primer y segundo punto de este círculo (las coordenadas de los puntos se pueden ingresar en el panel de propiedades).

En la pantalla se mostrarán fantasmas de todas las opciones de círculo posibles. Usando el cursor, seleccione aquellos que necesitemos y corríjalos haciendo clic en el botón "Crear objeto". Completamos la construcción haciendo clic en el botón “Cancelar comando”.

Antes de especificar el segundo punto, puede ingresar un valor de radio o diámetro en el campo correspondiente en el panel de propiedades. Un círculo así no siempre se construirá. Esto depende del radio o diámetro dado. La imposibilidad de construcción vendrá indicada por la desaparición del fantasma después de ingresar el valor del radio.

Si se conoce el punto central del círculo, también se puede establecer en el panel de propiedades.

Para construir un círculo tangente a dos curvas, presione el botón "Círculo tangente a 2 curvas" en un panel compacto. O en el menú superior, presione los comandos secuencialmente "Herramientas" - "Geometría" - "Círculos" - "Círculo tangente a 2 curvas".

Usando el cursor indicamos los objetos que debe tocar el círculo. En la pantalla se mostrarán fantasmas de todas las opciones de construcción posibles.

Si se conoce la posición de un punto que pertenece al círculo, entonces se debe especificar usando el cursor o se deben ingresar las coordenadas en el panel de propiedades. También puede ingresar valores de radio o diámetro en el panel de propiedades. Para completar la construcción, seleccione el fantasma deseado y presione los botones sucesivamente "Crear objeto" Y "Comando de cancelación".

Para construir un círculo tangente a tres curvas, presione el botón "Círculo tangente a 3 curvas" en un panel compacto. O en el menú superior, presione los comandos secuencialmente "Herramientas" - "Geometría" - "Círculos" - "Círculo tangente a 3 curvas".

Las construcciones son similares a las anteriores, así que hazlas tú mismo, el resultado se muestra en la figura siguiente.