Prednášky zo elementárnej matematiky (1898) je najstarším anglickým prekladom publikácie Josepha Louisa Lagrangea z roku 1795, Leçons élémentaires sur les mathematics, ktorá obsahuje sériu prednášok prednesených v tom istom roku na Ecole Normale. Dielo preložil a upravil Thomas J. McCormack a v roku 1901 vyšlo druhé vydanie, z ktorého sú prevzaté nasledujúce citáty.
Obsah
Citácie [upraviť]
Prednáška III. O algebre, najmä o riešení rovníc tretieho a štvrtého stupňa[upraviť]
- Algebra je veda takmer výlučne vďaka modernej ... pretože máme jedno pojednanie od Grékov, pojednanie Diophanta ... jediné, za ktoré vďačíme staroveku v tomto odvetví matematiky. ... Hovorím len o Grékoch, pretože Rimania nezanechali nič vo vedách a podľa všetkého nič neurobili.
- Jeho práca obsahuje prvé prvky tejto vedy. Na vyjadrenie neznámej veličiny použil grécke písmeno, ktoré zodpovedá nášmu sv a ktorý bol v prekladoch nahradený textom N... Na vyjadrenie známych veličín používal výlučne čísla, pretože algebre bolo dlho predurčené na to, aby sa obmedzila výlučne na riešenie numerických problémov.
- [H] e používa rovnako známe aj neznáme veličiny. A tu je vlastne podstata algebry, ktorá spočíva v použití neznámych veličín, počítať s nimi ako so známymi veličinami a zostaviť z nich jednu alebo niekoľko rovníc, z ktorých možno určiť hodnotu neznámych veličín.
- Diofantovo dielo síce obsahuje takmer výlučne neurčité problémy, ktorých riešenie hľadá v racionálnych číslach, - problémy, ktoré po ňom označil za diofantické, - napriek tomu v jeho diele nachádzame riešenie množstva určitých problémov 1. stupňa, a dokonca aj také, ktoré zahŕňajú niekoľko neznámych veličín. V druhom prípade sa však autor vždy uchýli k ... redukcii problému na jedinú neznámu veličinu, čo nie je ťažké.
- Poskytuje tiež riešenie rovnice druhého stupňa, ale dáva pozor, aby ich usporiadal tak, aby nikdy neprevzali ovplyvnený tvar obsahujúci druhú mocninu a prvú mocninu neznámej veličiny. ... vždy dospeje k rovnici, v ktorej na riešenie stačí odmocniť odmocninu ...
- Diophantus... neprekračuje rovnice druhého stupňa a nevieme, či on alebo niekto z jeho nástupcov... niekedy prekročil... za tento bod.
- Diophantus nebol v Európe známy až do konca 16. storočia, prvý preklad bol úbohý Xylander z roku 1575. Bachet de Méziriac ... na svoju dobu celkom dobrý matematik, následne vydal (1621) nový preklad ... sprevádzané siahodlhými komentármi, dnes už nadbytočnými. Bachetov preklad bol následne dotlačený s pozorovaniami a poznámkami Fermata.
- Pred objavením a zverejnením Diophanta ... si už algebra našla cestu do Európy. Koncom 15. storočia sa v Benátkach objavilo dielo ... Lucasa Paciolusa o aritmetike a geometrii, v ktorom boli uvedené základné pravidlá algebry.
- [T] Európania, ktorí dostali algebru od Arabov, ju vlastnili sto rokov predtým, ako im bolo známe Diofantovo dielo. Nedosiahli však žiaden pokrok nad rovníc prvého a druhého stupňa.
- V diele Paciolus ... všeobecné rozlíšenie rovníc druhého stupňa ... nebolo dané. V tomto diele nachádzame jednoduché pravidlá, vyjadrené v zlých latinských veršoch, na riešenie každého konkrétneho prípadu podľa rôznych kombinácií znakov výrazov rovnice, a dokonca tieto pravidlá platili len pre prípad, keď korene boli skutočné a kladné. Negatívne korene boli stále považované za nezmyselné a nadbytočné.
- Bola to skutočne geometria, ktorá nám navrhla použitie záporných veličín, a tu je jedna z najväčších výhod, ktoré vyplynuli z aplikácie algebry na geometriu, čo je krok, ktorý vďačíme Descartovi.
- V nasledujúcom období skúmal riešenie rovníc tretieho stupňa a objav pre konkrétny prípad nakoniec urobil ... Scipio Ferreus (1515). ... Tartaglia a Cardan následne zdokonalili riešenie Ferreusa a urobili ho všeobecným pre všetky rovnice tretieho stupňa.
- V tomto období bolo Taliansko, ktoré bolo kolískou algebry v Európe, stále takmer jediným pestovateľom vedy a až približne v polovici šestnásteho storočia sa vo Francúzsku, Nemecku a Nemecku začali objavovať pojednania o algebre. ostatné krajiny.
- Práce Peletiera a Butea boli prvé, ktoré Francúzsko vytvorilo v tejto vede ...
- Tartaglia vysvetlil svoje riešenie v zlých talianskych veršoch v diele zaoberajúcom sa rôznymi otázkami a vynálezmi vytlačenom v roku 1546, dielom, ktoré sa teší vyznamenaniu ako jedno z prvých, ktoré pojednávalo o moderných opevneniach pomocou bášt.
- Cardan zverejnil svoje pojednanie Ars magna, alebo Algebra... Cardan ako prvý pochopil, že rovnice majú viacero koreňov a rozlíšil ich na pozitívne a negatívne. Ale je známy najmä tým, že ako prvý poznamenal tzv neredukovateľný prípad v ktorej sa vyjadrenie skutočných koreňov objavuje v imaginárnej podobe. Cardan sa na niekoľkých špeciálnych prípadoch, v ktorých mala rovnica racionálnych deliteľov, presvedčil, že imaginárna forma nebráni tomu, aby korene mali skutočnú hodnotu. Zostávalo však dokázať, že nielenže boli korene skutočné v neredukovateľnom prípade, ale že nebolo možné, aby všetky tri spolu boli skutočné okrem tohto prípadu. Tento dôkaz potom poskytla Vieta a najmä Albert Girard z úvah týkajúcich sa trisekcie uhla.
- [T] on neredukovateľný prípad rovníc tretieho stupňa... predstavuje novú formu algebraických výrazov, ktoré našli široké uplatnenie v analýze ... neustále vyvoláva nerentabilné skúmanie s cieľom zredukovať imaginárnu formu na reálnu formu a ... teda v algebre predstavuje problém ktoré možno postaviť na rovnakú úroveň so známymi problémami duplikácie kocky a kvadratúry kruhu v geometrii.
- Matematici diskutovaného obdobia boli zvyknutí navzájom si predkladať problémy na riešenie. Tieto... boli... verejné výzvy a slúžili na vzrušenie a udržanie fermentácie, ktorá je nevyhnutná pre výkon vedy. Výzvy... pokračovali až do začiatku osemnásteho storočia v Európe a skutočne neprestali, kým sa nezískali akadémie, ktoré splnili rovnaký cieľ... čiastočne spojením vedomostí ich rôznych členov, čiastočne tým, styk, ktorý udržiavali ... a ... zverejnením ich spomienok, ktoré slúžili na šírenie nových objavov a pozorovaní ...
- The Algebra of Bombelli obsahuje nielen objav Ferrariho, ale aj ďalšie dôležité poznámky o rovniciach druhého a tretieho stupňa a najmä o teórii radikálov, pomocou ktorých sa autorovi v niekoľkých prípadoch podarilo extrahovať pomyselné odmocniny dvoch dvojčlenov. vzorca tretieho stupňa v neredukovateľnom prípade, takže nájdenie úplne reálneho výsledku ... čo najpriamejší dôkaz o reálnosti tohto druhu výrazov.
- Riešenie rovníc tretieho a štvrtého stupňa bolo rýchlo hotové. Ale postupné úsilie matematikov počas viac ako dvoch storočí nedokázalo prekonať ťažkosti rovnice piateho stupňa.
- Tieto snahy však zďaleka nie sú márne. Dali vzniknúť mnohým krásnym teorémam ... o tvorení rovníc, o charaktere a znakoch koreňov, o transformácii danej rovnice na iné, ktorých korene môžu byť vytvorené s potešením z koreňov k danej rovnici a nakoniec ku krásnym úvahám týkajúcim sa metafyziky riešenia rovníc, z ktorých vyplýva najpriamejšia metóda na ich riešenie, ak je to možné.
- Vieta a Descartes ... Harriot ... a Hudde ... boli prvými po Talianoch ..., ktorí zdokonalili teóriu rovníc, a od ich čias sotva existuje významný matematik, ktorý by sa neuplatnil ...
Prednáška V. O využití kriviek pri riešení úloh[upraviť]
- Pokiaľ algebra a geometria prešli rôznymi cestami, ich postup bol pomalý a ich aplikácie obmedzené. Keď sa však tieto dve vedy spojili, načerpali zo seba novú vitalitu a odteraz kráčali rýchlym tempom k dokonalosti. Práve Descartovi vďačíme za aplikáciu algebry na geometriu, aplikáciu, ktorá poskytla kľúč k najväčším objavom vo všetkých odvetviach matematiky.
- Metóda ... na nájdenie a demonštrovanie rôznych všeobecných vlastností rovníc zvažovaním kriviek, ktoré ich reprezentujú, je druhom aplikácie geometrie na algebru ... [T] jeho metóda má rozšírené aplikácie a je schopná pohotovo riešiť problémy ktorého priame riešenie by bolo mimoriadne ťažké alebo dokonca nemožné ... [T] jeho predmet ... sa bežne nenachádza v základných prácach o algebre.
- [A] Rovnicu ľubovoľného stupňa možno vyriešiť pomocou krivky, ktorej úsečka predstavuje neznámu veličinu rovnice a ordinuje hodnoty, ktoré ľavý člen preberá pre každú hodnotu neznámej veličiny. . ... [T] jeho metódu možno použiť všeobecne na všetky rovnice, bez ohľadu na ich formu, a ... vyžaduje len, aby boli vyvinuté a usporiadané podľa rôznych mocnín neznámej veličiny. [upraviť]
- Prednášky zo elementárnej matematiky 2. vyd. (1901) @GoogleBooks
S touto kalkulačkou sa používajú aj nasledujúce položky:
Grafická metóda riešenia LPP
Simplexná metóda riešenia LPP
Riešenie maticovej hry
Pomocou služby online môžete určiť cenu maticovej hry (dolná a horná hranica), skontrolovať prítomnosť sedlového bodu, nájsť riešenie zmiešanej stratégie pomocou nasledujúcich metód: minimax, simplexná metóda, grafická (geometrická) metóda, Brownova metóda.
Extrém funkcie dvoch premenných
Problémy dynamického programovania
Prvá etapa riešenia dopravného problému je definícia jeho typu (otvorený alebo uzavretý, alebo inak vyvážený alebo nevyvážený). Približné metódy ( metódy na nájdenie referenčného plánu) povoliť druhý krok rozhodnutia v malom počte krokov na získanie realizovateľného, ale nie vždy optimálneho riešenia problému. Táto skupina metód zahŕňa metódy:
- delécie (metóda dvojitej preferencie);
- severozápadný roh;
- minimálny prvok;
- Vogelova aproximácia.
Základné riešenie dopravného problému
Základné riešenie dopravného problému sa nazýva akékoľvek realizovateľné riešenie, pre ktoré sú vektory podmienok zodpovedajúce kladným súradniciam lineárne nezávislé. Na kontrolu lineárnej nezávislosti vektorov podmienok zodpovedajúcich súradniciam realizovateľného riešenia sa používajú cykly.Cyklus sa nazýva sekvencia buniek v tabuľke dopravného problému, v ktorej sú dve a iba susedné bunky umiestnené v rovnakom riadku alebo stĺpci a prvá a posledná bunka sú tiež v rovnakom riadku alebo stĺpci. Systém vektorov podmienok transportného problému je lineárne nezávislý vtedy a len vtedy, ak z príslušných buniek tabuľky nemožno vytvoriť jediný cyklus. Preto je možné riešenie dopravného problému, i = 1,2, ..., m; j = 1,2, ..., n je kľúčové iba vtedy, ak z buniek tabuľky, ktoré zaberá, nemožno vytvoriť cyklus.
Približné metódy riešenia dopravného problému.
Metóda prečiarknutia (metóda dvojitej preferencie)... Ak je v riadku alebo stĺpci tabuľky jedna obsadená bunka, nemôže vstúpiť do žiadneho cyklu, pretože cyklus má dve a iba dve bunky v každom stĺpci. Preto môžete prečiarknuť všetky riadky tabuľky obsahujúce jednu obsadenú bunku, potom prečiarknuť všetky stĺpce obsahujúce jednu obsadenú bunku, potom sa vrátiť k riadkom a pokračovať v odstraňovaní riadkov a stĺpcov. Ak sa v dôsledku vymazania vymažú všetky riadky a stĺpce, znamená to, že časť, ktorá tvorí cyklus, nemožno vybrať z obsadených buniek tabuľky a systém zodpovedajúcich vektorov podmienok je lineárne nezávislý a riešením je podpora. Ak po deléciách niektoré bunky zostanú, potom tieto bunky tvoria cyklus, systém zodpovedajúcich vektorov podmienok je lineárne závislý a riešenie nie je podporované.
Metóda severozápadného rohu spočíva v postupnom vyčíslení riadkov a stĺpcov prepravnej tabuľky počnúc ľavým stĺpcom a horným riadkom a vypísaní maximálneho možného množstva zásielok do príslušných buniek tabuľky tak, aby boli možnosti dodávateľa alebo požiadavky spotrebiteľa uvedené v probléme. nie sú prekročené. Pri tomto spôsobe sa nevenuje pozornosť cenám doručenia, pretože sa predpokladá ďalšia optimalizácia zásielok.
Metóda minimálneho prvku... Táto metóda, ktorá sa vyznačuje jednoduchosťou, je stále efektívnejšia ako napríklad metóda severozápadného rohu. Okrem toho je metóda minimálneho prvku jasná a logická. Jej podstatou je, že v prepravnej tabuľke sa najskôr vyplnia bunky s najnižšími tarifami a až potom bunky s vysokými tarifami. To znamená, že volíme prepravu s minimálnymi nákladmi na doručenie nákladu. Toto je jasný a logický krok. Pravda, nie vždy to vedie k optimálnemu plánu.
Vogelova aproximačná metóda... Pomocou metódy Vogelovej aproximácie sa pri každej iterácii vo všetkých stĺpcoch a vo všetkých riadkoch zistí rozdiel medzi dvoma minimálnymi tarifami, ktoré sú v nich zaznamenané. Tieto rozdiely sú zaznamenané v špeciálne určenom riadku a stĺpci v tabuľke problémových stavov. Spomedzi týchto rozdielov sa volí minimum. V riadku (resp. v stĺpci), ktorému tento rozdiel zodpovedá, je určená minimálna tarifa. Bunka, v ktorej je zaznamenaná, je vyplnená pri tejto iterácii.
Príklad #1. Tarifná matica (tu je počet dodávateľov 4, počet predajní 6):
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | Zásoby | |
| 1 | 3 | 20 | 8 | 13 | 4 | 100 | 80 |
| 2 | 4 | 4 | 18 | 14 | 3 | 0 | 60 |
| 3 | 10 | 4 | 18 | 8 | 6 | 0 | 30 |
| 4 | 7 | 19 | 17 | 10 | 1 | 100 | 60 |
| potreby | 10 | 30 | 40 | 50 | 70 | 30 |
∑a = 80 + 60 + 30 + 60 = 230
∑b = 10 + 30 + 40 + 50 + 70 + 30 = 230
Podmienka rovnováhy je splnená. Zásoby sa rovnajú potrebám. Takže model dopravného problému je uzavretý. Ak by sa model ukázal ako otvorený, bolo by potrebné zaviesť ďalších dodávateľov alebo spotrebiteľov.
zapnuté druhá etapa vyhľadávanie referenčného plánu sa vykonáva pomocou vyššie uvedených metód (najbežnejšia je metóda s najnižšími nákladmi).
Na demonštráciu algoritmu uvádzame len niekoľko iterácií.
Iterácia č. 1. Minimálny prvok matice je nula. Pre tento prvok sú zásoby 60, požiadavky sú 30. Vyberieme z nich minimálny počet 30 a odčítame ho (pozri tabuľku). V tomto prípade vyčiarkneme z tabuľky šiesty stĺpec (jeho potreby sú rovné 0).
| 3 | 20 | 8 | 13 | 4 | X | 80 |
| 4 | 4 | 18 | 14 | 3 | 0 | 60 - 30 = 30 |
| 10 | 4 | 18 | 8 | 6 | X | 30 |
| 7 | 19 | 17 | 0 | 1 | X | 60 |
| 10 | 30 | 40 | 50 | 70 | 30 - 30 = 0 | 0 |
Iterácia číslo 2. Opäť hľadám minimum (0). Z dvojice (60; 50) vyberte minimálny počet 50. Prečiarknite piaty stĺpec.
| 3 | 20 | 8 | X | 4 | X | 80 |
| 4 | 4 | 18 | X | 3 | 0 | 30 |
| 10 | 4 | 18 | X | 6 | X | 30 |
| 7 | 19 | 17 | 0 | 1 | X | 60 - 50 = 10 |
| 10 | 30 | 40 | 50 - 50 = 0 | 70 | 0 | 0 |
Iterácia číslo 3. Pokračujeme v procese, kým nevyberieme všetky potreby a zásoby.
Iterácia č. Požadovaný prvok je 8. Pre tento prvok sa zásoby rovnajú potrebám (40).
| 3 | X | 8 | X | 4 | X | 40 - 40 = 0 |
| X | X | X | X | 3 | 0 | 0 |
| X | 4 | X | X | X | X | 0 |
| X | X | X | 0 | 1 | X | 0 |
| 0 | 0 | 40 - 40 = 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | Zásoby | |
| 1 | 3 | 20 | 8 | 13 | 4 | 100 | 80 |
| 2 | 4 | 4 | 18 | 14 | 3 | 0 | 60 |
| 3 | 10 | 4 | 18 | 8 | 6 | 0 | 30 |
| 4 | 7 | 19 | 17 | 0 | 1 | 100 | 60 |
| potreby | 10 | 30 | 40 | 50 | 70 | 30 |
Spočítajme počet obsadených buniek v tabuľke, je ich 8 a malo by byť m + n - 1 = 9. Preto je plán podpory degenerovaný. Vytvárame nový plán. Niekedy je potrebné postaviť niekoľko referenčných plánov, kým sa nájde jeden nedegenerovaný.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | Zásoby | |
| 1 | 3 | 20 | 8 | 13 | 4 | 100 | 80 |
| 2 | 4 | 4 | 18 | 14 | 3 | 0 | 60 |
| 3 | 10 | 4 | 18 | 8 | 6 | 0 | 30 |
| 4 | 7 | 19 | 17 | 0 | 1 | 100 | 60 |
| potreby | 10 | 30 | 40 | 50 | 70 | 30 |
V dôsledku toho sa získa prvý referenčný plán, ktorý je platný, pretože počet obsadených buniek v tabuľke je 9 a zodpovedá vzorcu m + n - 1 = 6 + 4 - 1 = 9, t.j. základná línia je nedegenerované.
Tretia etapa je zlepšiť nájdený referenčný plán. Tu sa používa metóda potenciálu alebo metóda distribúcie. V tejto fáze je možné správnosť riešenia kontrolovať prostredníctvom nákladovej funkcie F (x). Ak sa zníži (za predpokladu minimalizácie nákladov), tak je priebeh riešenia správny.
Príklad č.2. Pomocou metódy minimálnej tarify predložte počiatočný plán riešenia dopravného problému. Skontrolujte optimálnosť pomocou metódy potenciálu.
| 30 | 50 | 70 | 10 | 30 | 10 | |
| 40 | 2 | 4 | 6 | 1 | 1 | 2 |
| 80 | 3 | 4 | 5 | 9 | 9 | 6 |
| 60 | 4 | 3 | 2 | 7 | 8 | 7 |
| 20 | 5 | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 |
Príklad č.3. Štyri cukrárne dokážu vyrábať tri druhy cukroviniek. Náklady na výrobu jedného centu (centier za mesiac) cukrárskych výrobkov každým závodom, výrobná kapacita závodov (centier mesačne) a denná potreba cukrárskych výrobkov (centier mesačne) sú uvedené v tabuľke. Vypracujte plán výroby cukroviniek, ktorý minimalizuje celkové výrobné náklady.
Poznámka... Tu môžete predbežne transponovať tabuľku nákladov, keďže pri klasickej formulácii dopravného problému nasledujú najskôr kapacity (výroba) a až potom spotrebitelia.
Príklad č.4. Na výstavbu zariadení sa tehly dodávajú z troch (I, II, III) závodov. Továrne majú na skladoch 50, 100 a 50 tisíc kusov. tehly. Objekty vyžadujú 50, 70, 40 a 40 tisíc jednotiek. tehly. Tarify (peňažné jednotky / tisíc jednotiek) sú uvedené v tabuľke. Vytvorte plán prepravy, ktorý minimalizuje vaše celkové náklady na dopravu.
bude zatvorené, ak:A) a = 40, b = 45
B) a = 45, b = 40
B) a = 11, b = 12
Podmienka uzavretého transportného problému: ∑a = ∑b
Zistili sme, ∑a = 35 + 20 + b = 55 + b; ∑b = 60 + a
Dostaneme: 55 + b = 60 + a
Rovnosť bude dodržaná iba pre a = 40, b = 45
SAT Math Test pokrýva celý rad matematických metód s dôrazom na riešenie problémov, matematické modely a strategické využitie matematických znalostí.
SAT matematický test: všetko je ako v skutočnom svete
Namiesto toho, aby vás nový SAT testoval pri každej téme matematiky, otestuje vašu schopnosť používať matematiku, na ktorú sa budete vo väčšine prípadov a v najrôznejších situáciách spoliehať. Otázky v matematickom teste sú navrhnuté tak, aby odrážali riešenie problémov a modelov, s ktorými sa budete zaoberať
Vysokoškolské štúdium, študujúce priamo matematiku, ako aj prírodné a spoločenské vedy;
- vaše každodenné profesionálne činnosti;
- váš každodenný život.
Napríklad na zodpovedanie niektorých otázok budete musieť použiť niekoľko krokov – pretože v reálnom svete sú situácie, keď na nájdenie riešenia stačí jeden jednoduchý krok, extrémne zriedkavé.
Matematický formát SAT
Matematický test SAT: Základné fakty
Matematická časť SAT sa zameriava na tri oblasti matematiky, ktoré zohrávajú vedúcu úlohu vo väčšine akademických disciplín vo vysokoškolskom vzdelávaní a profesionálnej kariére:
- Srdce algebry: Základy algebry, ktorá sa zameriava na riešenie lineárnych rovníc a systémov;
- Riešenie problémov a analýza údajov: Riešenie problémov a analýza údajov, ktoré sú potrebné pre všeobecnú matematickú gramotnosť;
- Pas do pokročilej matematiky: Fundamentals of Higher Mathematics, ktorý kladie otázky vyžadujúce manipuláciu so zložitými rovnicami.
Test z matematiky stavia aj na doplnkových témach z matematiky, vrátane geometrie a trigonometrie, ktoré sú najdôležitejšie pre vysokoškolské štúdium a profesionálnu kariéru.
SAT matematický test: video
Základy algebry
Srdce algebry
Táto časť SAT Math sa zameriava na algebru a kľúčové pojmy, ktoré sú najdôležitejšie pre úspech na vysokej škole a kariére. Hodnotí schopnosť študentov analyzovať, voľne riešiť a zostavovať lineárne rovnice a nerovnice. Študenti budú tiež musieť analyzovať a voľne riešiť rovnice a sústavy rovníc pomocou niekoľkých metód.Aby bolo možné plne oceniť znalosti tohto materiálu, problémy sa budú výrazne líšiť vo forme a obsahu. Môžu byť dostatočne jednoduché alebo vyžadujú strategické myslenie a pochopenie, napríklad interpretáciu interakcie medzi grafickými a algebraickými výrazmi, alebo môžu predstavovať riešenie ako proces uvažovania. Skúšaní musia preukázať nielen znalosť metodiky riešenia, ale aj hlbšie pochopenie pojmov, ktoré sú základom lineárnych rovníc a funkcií. Základy algebry SAT Math sa hodnotí na stupnici od 1 do 15.
V tejto časti budú úlohy, ktorých odpoveď je prezentovaná výberom z viacerých možností alebo samostatne vypočítaná študentom. Používanie kalkulačky je niekedy povolené, ale nie vždy nevyhnutné alebo odporúčané.
1. Zostavte, vyriešte alebo interpretujte lineárny výraz alebo rovnicu s jednou premennou v kontexte určitých špecifických podmienok. Výraz alebo rovnica môže mať racionálne koeficienty a môže byť potrebných niekoľko krokov na zjednodušenie vyjadrenia alebo riešenia rovnice.
2. Konštruujte, riešte alebo interpretujte lineárne nerovnosti s jednou premennou v kontexte niektorých špecifických podmienok. Nerovnosť môže mať racionálne koeficienty a môže vyžadovať niekoľko krokov na zjednodušenie alebo vyriešenie.
3. Zostrojte lineárnu funkciu, ktorá modeluje lineárny vzťah medzi dvoma veličinami. Skúšaný musí opísať lineárny vzťah, ktorý vyjadruje určité podmienky buď pomocou rovnice s dvoma premennými alebo pomocou funkcie. Rovnica alebo funkcia bude mať racionálne koeficienty a vytvorenie a zjednodušenie rovnice alebo funkcie môže trvať niekoľko krokov.
4. Zostrojte, riešte a interpretujte systémy lineárnych nerovníc v dvoch premenných. Skúšaný bude analyzovať jednu alebo viac podmienok, ktoré existujú medzi dvoma premennými, a to tak, že skonštruuje, vyrieši alebo interpretuje nerovnosť s dvoma premennými alebo systém nerovností s dvoma premennými v rámci určitých špecifikovaných podmienok. Aby sa vytvorila nerovnosť alebo systém nerovností, môže trvať niekoľko krokov alebo definovať.
5. Zostrojte, vyriešte a interpretujte sústavu dvoch lineárnych rovníc v dvoch premenných. Skúšaný bude analyzovať jednu alebo viac podmienok, ktoré existujú medzi dvoma premennými, zostavením, riešením alebo analýzou systému lineárnych rovníc v rámci určitých špecifikovaných podmienok. Rovnice budú mať racionálne koeficienty a môže byť potrebných niekoľko krokov na zjednodušenie alebo vyriešenie systému.
6. Riešte lineárne rovnice (alebo nerovnice) s jednou premennou. Rovnica (alebo nerovnosť) bude mať racionálne koeficienty a na vyriešenie môže trvať niekoľko krokov. Rovnice nemusia mať riešenie, môžu mať jedno riešenie alebo mať nekonečný počet riešení. Skúšaný môže byť tiež požiadaný, aby určil hodnotu alebo koeficient rovnice, ktorá nemá riešenie alebo má nekonečný počet riešení.
7. Riešte sústavu dvoch lineárnych rovníc v dvoch premenných. Rovnice budú mať racionálne koeficienty a systém nemusí mať žiadne riešenie, jedno riešenie alebo nekonečný počet riešení. Skúšaný môže byť tiež požiadaný, aby určil hodnotu alebo koeficient rovnice, v ktorej systém nemusí mať riešenie, má jedno riešenie alebo má nekonečný počet riešení.
8. Vysvetlite vzťah medzi algebraickými a grafickými výrazmi. Určte graf opísaný danou lineárnou rovnicou alebo lineárnu rovnicu, ktorá popisuje daný graf, určte rovnicu úsečky danej ústnym opisom jej grafu, určte kľúčové vlastnosti grafu lineárnej funkcie z jej rovnice, určte, ako zmena jeho rovnice môže ovplyvniť graf.
Riešenie problémov a analýza údajov
Riešenie problémov a analýza údajov
Táto časť SAT Math odráža výsledky výskumu, ktorý určil, čo je dôležité pre úspešné vysokoškolské alebo univerzitné štúdium. Testy vyžadujú riešenie problémov a analýzu údajov: schopnosť matematicky opísať určitú situáciu s prihliadnutím na príslušné prvky, poznať a používať rôzne vlastnosti matematických operácií a čísel. Problémy v tejto kategórii si budú vyžadovať značné skúsenosti s logickým uvažovaním.
Od skúšaných sa bude vyžadovať, aby poznali výpočet priemerných hodnôt ukazovateľov, všeobecných vzorcov a odchýlok od všeobecného obrazu a rozloženia v súboroch.
Všetky otázky týkajúce sa riešenia problémov a analýzy údajov testujú schopnosť účastníkov testu využiť svoje matematické znalosti a zručnosti na riešenie problémov, ktorým môžu čeliť v reálnom svete. Mnohé z týchto problémov vznikajú v akademickom a profesionálnom kontexte a pravdepodobnejšie súvisia s vedou a sociológiou.
Riešenie problémov a analýza údajov je jednou z troch podsekcií SAT Math, za riešenie ktorých sa udeľujú body od 1 do 15.
V tejto časti budú úlohy s odpoveďami z viacerých odpovedí alebo úlohy, ktoré si skúšaný sám vypočíta. Používanie kalkulačky je tu vždy povolené, ale nie vždy nevyhnutné alebo odporúčané.
V tejto časti SAT Math sa môžete stretnúť s nasledujúcimi otázkami:
1. Použite nákresy s kurzami, pomermi a mierkou na vyriešenie problémov s jedným a viacerými krokmi. Účastníci testu použijú proporcionálny vzťah medzi dvoma premennými na vyriešenie viackrokového problému na určenie pomeru alebo rýchlosti; Vypočítajte pomer alebo mieru a potom vyriešte viackrokový problém pomocou daného pomeru alebo koeficientu, vyriešte viackrokový problém.
2. Vyriešte jedno- a viackrokové úlohy s percentami. Skúšaný vyrieši viacúrovňový problém na určenie percenta. Vypočítajte percento čísla a potom vyriešte viacúrovňový problém. Pomocou daného percenta vyriešte viacúrovňový problém.
3. Riešiť jedno- a viacstupňové výpočtové problémy. Skúšaný bude riešiť viacúrovňový problém na určenie jednotky sadzby; Vypočítajte mernú jednotku a potom vyriešte viackrokový problém; Vyriešte viacúrovňovú úlohu na dokončenie konverzie jednotiek; Vyriešte viacstupňový problém výpočtu hustoty; Alebo použite koncept hustoty na vyriešenie viackrokového problému.
4. Pomocou diagramov rozptylu vyriešte lineárne, kvadratické alebo exponenciálne modely, aby ste opísali, ako spolu premenné súvisia. Vzhľadom na bodový graf vyberte rovnicu pre preloženie čiary alebo krivky; Interpretujte líniu v kontexte situácie; Alebo použite čiaru alebo krivku, ktorá najlepšie vyhovuje vašej predpovedi.
5. Pomocou vzťahu medzi dvoma premennými preskúmajte kľúčové funkcie grafu. Skúšaný vytvorí prepojenie medzi grafickým dátovým vyjadrením a vlastnosťami grafu výberom grafu, ktorý predstavuje opísané vlastnosti, alebo pomocou grafu definuje hodnoty alebo množiny hodnôt.
6. Porovnajte lineárny rast s exponenciálnym rastom. Skúšaný bude musieť nájsť zhodu medzi dvoma premennými, aby určil, ktorý typ modelu je optimálny.
7, Pomocou tabuliek vypočítajte údaje pre rôzne kategórie veličín, relatívne početnosti a podmienené pravdepodobnosti. Skúšaný používa údaje v rôznych kategóriách na výpočet podmienených frekvencií, podmienených pravdepodobností, asociácie premenných alebo nezávislosti udalostí.
8. Vyvodiť závery o parametroch populácie na základe údajov vzorky. Kandidát vyhodnotí parameter populácie na základe výsledkov náhodnej vzorky populácie. Vzorová štatistika môže poskytnúť intervaly spoľahlivosti a neistoty merania, ktorým musí študent porozumieť a použiť ich bez toho, aby ich musel počítať.
9. Použite štatistické metódy na výpočet priemerov a spreadov. Účastníci testu vypočítajú priemer a/alebo distribúciu pre daný súbor údajov alebo použijú štatistiky na porovnanie dvoch samostatných súborov údajov.
10. Hodnotiť správy, vyvodzovať závery, zdôvodňovať závery a určovať vhodnosť metód zberu údajov. Správy môžu pozostávať z tabuliek, grafov alebo textových súhrnov.
Základy vyššej matematiky
Pas do pokročilej matematiky
Táto časť SAT Math obsahuje témy, ktoré sú obzvlášť dôležité, aby si študenti osvojili pred začatím štúdia vyššej matematiky. Kľúčom je pochopenie štruktúry výrazov a schopnosť tieto výrazy analyzovať, manipulovať s nimi a zjednodušiť ich. Zahŕňa tiež schopnosť analyzovať zložitejšie rovnice a funkcie.
Rovnako ako dve predchádzajúce časti SAT Math, úlohy sú tu hodnotené od 1 do 15.
Táto sekcia bude obsahovať úlohy s výberom z viacerých možností alebo samostatne vypočítané úlohy. Použitie kalkulačky je niekedy povolené, ale nie vždy nevyhnutné alebo odporúčané.
V tejto časti SAT Math sa môžete stretnúť s nasledujúcimi otázkami:
1. Napíšte kvadratickú alebo exponenciálnu funkciu alebo rovnicu, ktorá modeluje tieto podmienky. Rovnica bude mať racionálne koeficienty a môže vyžadovať niekoľko krokov na zjednodušenie alebo vyriešenie.
2. Určte najvhodnejšiu formu vyjadrenia alebo rovnice na identifikáciu špecifického symptómu, vzhľadom na špecifikované podmienky.
3. Zostavte ekvivalentné výrazy zahŕňajúce racionálne exponenty a radikály, vrátane zjednodušenia alebo transformácie do inej formy.
4. Zostrojte ekvivalentný tvar algebraického výrazu.
5. Riešte kvadratickú rovnicu s racionálnymi koeficientmi. Rovnica môže byť reprezentovaná v širokej škále foriem.
6. Sčítajte, odčítajte a násobte polynómy a zjednodušte výsledok. Výrazy budú mať racionálne koeficienty.
7. Riešte rovnicu v jednej premennej, ktorá obsahuje radikály alebo obsahuje premennú v menovateli zlomku. Rovnica bude mať racionálne koeficienty.
8. Riešte sústavu lineárnych alebo kvadratických rovníc. Rovnice budú mať racionálne koeficienty.
9. Zjednodušte jednoduché racionálne vyjadrenia. Účastníci testu sčítajú, odčítajú, násobia alebo delia dva racionálne výrazy alebo delia dva polynómy a zjednodušujú ich. Výrazy budú mať racionálne koeficienty.
10. Interpretujte časti nelineárnych výrazov z hľadiska ich podmienok. Účastníci testu musia priradiť špecifikované podmienky k nelineárnej rovnici, ktorá tieto podmienky modeluje.
11. Pochopte vzťah medzi nulami a faktormi v polynómoch a použite tieto poznatky na zostavenie grafov. Účastníci testu využijú vlastnosti polynómov na riešenie problémov s nulami, ako je napríklad určenie, či výraz je faktorom polynómu vzhľadom na poskytnuté informácie.
12. Pochopte vzťah medzi dvoma premennými vytvorením vzťahov medzi ich algebraickým a grafickým vyjadrením. Skúšaný musí byť schopný vybrať graf, ktorý zodpovedá danej nelineárnej rovnici; interpretovať grafy v kontexte riešenia sústav rovníc; vyberte nelineárnu rovnicu, ktorá zodpovedá tomuto grafu; určiť rovnicu krivky s prihliadnutím na slovný popis grafu; určiť kľúčové vlastnosti grafu lineárnej funkcie z jeho rovnice; určiť vplyv na graf zmien v riadiacej rovnici.
Čo kontroluje matematická časť matematiky SAT
Všeobecná znalosť disciplíny
Matematický test je príležitosťou ukázať, že:
Vykonávať matematické úlohy flexibilne, presne, efektívne a pomocou stratégie riešenia;
- Rýchlo riešiť problémy, identifikovať a používať najefektívnejšie prístupy k riešeniu. To môže zahŕňať riešenie problémov pomocou
nahradenie, vyhľadávanie skratiek alebo reorganizácia informácií, ktoré poskytujete;
Koncepčné chápanie
Preukážete svoje chápanie matematických pojmov, operácií a vzťahov. Môžete byť napríklad požiadaní, aby ste vytvorili vzťahy medzi vlastnosťami lineárnych rovníc, ich grafmi a podmienkami, ktoré vyjadrujú.
Uplatňovanie vedomostí z predmetu
Mnohé úlohy SAT Math sú prevzaté z problémov zo skutočného života a žiadajú vás, aby ste tento problém analyzovali, identifikovali základné prvky potrebné na jeho vyriešenie, vyjadrili problém matematicky a našli riešenie.
Pomocou kalkulačky
Kalkulačky sú základnými nástrojmi na vykonávanie matematických výpočtov. Pre úspešné štúdium na vysokej škole je potrebné vedieť, ako a kedy ich použiť. V časti testu Matematický test-Kalkulačka sa môžete zamerať na samotné hľadanie a analýzu riešenia, pretože vaša kalkulačka vám ušetrí čas.
Napriek tomu je kalkulačka, ako každý nástroj, rovnako inteligentná ako ten, kto ju používa. V teste z matematiky je niekoľko otázok, pri ktorých je najlepšie nepoužívať kalkulačku, aj keď je to dovolené. V týchto situáciách testovaní, ktorí vedia myslieť a uvažovať, s väčšou pravdepodobnosťou prídu s odpoveďou skôr ako tí, ktorí slepo používajú kalkulačku.
Časť Math Test-No Calculator uľahčuje vyhodnotenie vašich všeobecných vedomostí o predmete a pochopenie niektorých matematických pojmov. Testuje tiež znalosť výpočtových techník a pochopenie pojmu čísla.
Otázky s odpoveďami do tabuľky
Hoci väčšina testových otázok z matematiky má výber z viacerých možností, 22 percent tvoria otázky, ktorých odpovede sú výsledkom vlastných výpočtov skúšaného – tieto sa nazývajú grid-ins. Namiesto výberu správnej odpovede zo zoznamu musíte vyriešiť úlohy a zadať svoje odpovede do mriežok uvedených v odpoveďovom hárku.
Tabuľkové odpovede
V žiadnom stĺpci nezačiarknite viac ako jeden kruh;
- Počítajú sa iba odpovede označené vyplnením krúžku (nedostanete body za všetko napísané v poliach vyššie
kruhy).
- Nezáleží na tom, do ktorého stĺpca začnete písať svoje odpovede; je dôležité, aby boli odpovede napísané vo vnútri mriežky, potom získate body;
- Mriežka môže obsahovať iba štyri desatinné miesta a môže akceptovať iba kladné čísla a nulu.
- Ak nie je v zadaní uvedené inak, odpovede je možné zadávať do mriežky ako desatinné a zlomkové;
- Zlomky ako 3/24 nie je potrebné znižovať na minimálne hodnoty;
- Všetky zmiešané čísla musia byť pred zapísaním do mriežky prevedené na nesprávne zlomky;
- Ak je odpoveďou opakujúce sa desatinné číslo, študenti by mali nastaviť najpresnejšie hodnoty, aké budú
zvážiť.
Nižšie je uvedený príklad pokynov, ktoré účastníci testu uvidia pri skúške z matematiky SAT:
Lesia M. Ohnivchuk
Abstraktné
Článok uvažuje o spôsobe rozšírenia funkcionality LMS Moodle pri tvorbe e-learningových kurzov pre matematické vedy, najmä e-learningových kurzov „Základná matematika“ s využitím technológie flash a Java-appletov. V kurze "Základná matematika" sú uvedené príklady použitia flash-aplikácií a Java-apletov.
Kľúčové slová
LMS Moodle; e-learningové kurzy; blesková technológia; Java-applet, GeoGebra
Referencie
Brandão, L. O., „iGeom: slobodný softvér pre dynamickú geometriu na webe“, Medzinárodná konferencia o vzdelávaní vied a matematiky, Rio de Janeiro, Brazília, 2002.
Brandão, L. O. a Eisnmann, A. L. K. „Work in Progress: iComb Project – a matematický widget pre výučbu a učenie sa kombinatoriky prostredníctvom cvičení“ Zborník z 39. konferencie ASEE / IEEE Frontiers in Education, 2009, T4G_1–2
Kamiya, R. H a Brandão, L. O. „iVProg – systém pre úvodné programovanie prostredníctvom vizuálneho modelu na internete. Zborník z XX Simpósio Brasileiro de Informática na Educação, 2009 (v portugalčine).
Moodle.org: open source komunitné nástroje na vzdelávanie [Elektronický zdroj]. - Režim prístupu: http://www.moodle.org.
MoodleDocs [Elektronický zdroj]. - Režim prístupu: http://docs.moodle.org.
Interaktívne technológie vedy: teória, prax, rady: metodická kniha autorov: O. Pometun, L. Pirozhenko. - K.: APN; 2004 .-- 136 s.
Dmitrij Pupinin. Typ otázky: Flash [Elektronický zdroj]. - Režim prístupu: https://moodle.org/mod/data/view.php?d=13&rid=2493&filter=1 - 26.02.2014.
Andreev A. V., Gerasimenko PS. Použitie Flash a SCORM na vytvorenie záverečných kontrolných úloh [Elektronický zdroj]. - Režim prístupu: http://cdp.tti.sfedu.ru/index.php?option=com_content&task=view&id=1071&Itemid=363 – 26.02.14.
GeoGebra. Materiály [Elektronický zdroj]. - Režim prístupu: http://tube.geogebra.org.
Hohenvator M. Úvod do GeoGebry / M. Hohenvator / per. T. S. Ryabova. - 2012 .-- 153 s.
ODKAZY (PRELOŽENÉ A PREPISOVANÉ)
Brandão, L. O. „iGeom: slobodný softvér pre dynamickú geometriu na webe“, Medzinárodná konferencia o vzdelávaní vied a matematiky, Rio de Janeiro, Brazília, 2002 (v angličtine).
Brandão, L. O. a Eisnmann, A. L. K. „Work in Progress: iComb Project – a matematický widget pre vyučovanie a učenie sa kombinatoriky prostredníctvom cvičení“ Zborník z 39. konferencie ASEE / IEEE Frontiers in Education, 2009, T4G_1–2 (v angličtine).
Kamiya, R. H a Brandão, L. O. „iVProg – systém pre úvodné programovanie prostredníctvom vizuálneho modelu na internete. Zborník z XX Simpósio Brasileiro de Informática na Educação, 2009 (v angličtine) ..
Moodle.org: open source komunitné nástroje na učenie. - Dostupné z: http://www.moodle.org (v angličtine).
MoodleDocs. - Dostupné z: http://docs.moodle.org (v angličtine).
Pometun O. I., Pirozhenko L. V. Moderná hodina, Kyjev, ASK Publ., 2004, 192 s. (v ukrajinčine).
Dmitrij Pupinin. Typ otázky: Flash. - Dostupné z: https://moodle.org/mod/data/view.php?d=13&rid=2493&filter=1 - 26.02.14 (v angličtine).
Andreev A., Gerasimenko R. Použitie Flash a SCORM na vytvorenie úloh konečnej kontroly. - Dostupné z: http://cdp.tti.sfedu.ru/index.php?option=com_content&task=view&id=1071&Itemid=363 - 26.02.2014 (v ruštine).
GeoGebra Wiki. - Dostupné z: http://www.geogebra.org (v angličtine).
Hohenwarter M. Úvod do GeoGebry / M. Hohenwarter. - 2012 .-- 153 s. (v angličtine).
DOI: https://doi.org/10.33407/itlt.v48i4.1249
Copyright (c) 2015 Lesia M. Ohnivchuk
