การแปลงระบบสมการเชิงเส้นที่เท่าเทียมกัน การแปลงเมทริกซ์เบื้องต้น

§7. ระบบสมการเชิงเส้น

ระบบที่เท่าเทียมกัน การแปลงเบื้องต้นของระบบสมการเชิงเส้น

ปล่อยให้เป็น กับ- ฟิลด์ของจำนวนเชิงซ้อน สมการของแบบฟอร์ม

ที่ไหน
เรียกว่าสมการเชิงเส้นด้วย NSไม่รู้จัก
... ชุดที่สั่ง
,
เรียกว่า คำตอบของสมการ (1) ถ้า

ระบบ NSสมการเชิงเส้นด้วย NSไม่รู้จักเป็นระบบสมการของรูปแบบ:

คือสัมประสิทธิ์ของระบบสมการเชิงเส้น - สมาชิกฟรี

โต๊ะสี่เหลี่ยม

,

เรียกว่าขนาดเมทริกซ์
... มาแนะนำสัญกรณ์: - ผม- แถวที่หนึ่งของเมทริกซ์
- kคอลัมน์ที่ th ของเมทริกซ์ เดอะเมทริกซ์ NSยังคงกำหนด
หรือ
.

การแปลงแถวเมทริกซ์ต่อไปนี้ NSเรียกว่าระดับประถมศึกษา:
) การยกเว้นสตริงว่าง ) คูณองค์ประกอบทั้งหมดของสตริงใด ๆ ด้วยตัวเลข
; ) เพิ่มไปยังบรรทัดอื่น ๆ คูณด้วย
... การแปลงคอลัมน์เมทริกซ์ที่คล้ายกัน NSเรียกว่าการแปลงเมทริกซ์เบื้องต้น NS.

องค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์แรก (นับจากซ้ายไปขวา) ของแถวใดๆ ของเมทริกซ์ NSเรียกว่าเดือยของเส้นนั้น

คำนิยาม... เมทริกซ์
เรียกว่า stepped หากตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

1) ศูนย์แถวของเมทริกซ์ (ถ้ามี) อยู่ต่ำกว่าแถวที่ไม่ใช่ศูนย์

2) ถ้า
องค์ประกอบนำของแถวของเมทริกซ์ ดังนั้น

เมทริกซ์ที่ไม่ใช่ศูนย์ A ใดๆ สามารถถูกรีดิวซ์เป็นเมทริกซ์แบบสเต็ปได้โดยใช้การแปลงแถวมูลฐาน

ตัวอย่าง... ให้เมทริกซ์
ไปที่เมทริกซ์แบบก้าว:
~
~
.

เมทริกซ์ประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ของระบบ สมการเชิงเส้น (2) เรียกว่าเมทริกซ์หลักของระบบ เดอะเมทริกซ์
ที่ได้จากการเพิ่มคอลัมน์ของสมาชิกอิสระเรียกว่าเมทริกซ์แบบขยายของระบบ

เซตที่จัดลำดับเรียกว่า คำตอบของระบบสมการเชิงเส้น (2) ถ้ามันเป็นคำตอบของสมการเชิงเส้นแต่ละสมการของระบบนี้

ระบบสมการเชิงเส้นเรียกว่าสอดคล้องกันหากมีคำตอบอย่างน้อยหนึ่งข้อ และเข้ากันไม่ได้หากไม่มีคำตอบ

ระบบของสมการเชิงเส้นเรียกว่า กำหนดแน่นอน หากมีคำตอบเฉพาะ และไม่มีกำหนดถ้ามีมากกว่าหนึ่งคำตอบ

การแปลงต่อไปนี้ของระบบสมการเชิงเส้นเรียกว่าระดับประถมศึกษา:

) การกำจัดออกจากระบบสมการของแบบฟอร์ม

) การคูณทั้งสองข้างของสมการใดๆ โดย
,
;

) การบวกสมการใดๆ ก็ตาม คูณด้วย,.

สมการเชิงเส้นสองระบบจาก NSสิ่งที่ไม่ทราบจะเรียกว่าเทียบเท่าหากพวกเขาไม่สอดคล้องกันหรือชุดของการแก้ปัญหาของพวกเขาตรงกัน

ทฤษฎีบท... หากระบบหนึ่งของสมการเชิงเส้นได้มาจากระบบอื่นโดยใช้การแปลงเบื้องต้นของประเภท)) ก็จะเทียบเท่ากับระบบเดิม

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยวิธีกำจัดนิรนาม (วิธีเกาส์)

ให้ระบบได้รับ NSสมการเชิงเส้นด้วย NSไม่ทราบ:

ถ้าระบบ (1) มีสมการของรูปแบบ

แล้วระบบนี้ไม่เข้ากัน

สมมติว่าระบบ (1) ไม่มีสมการของรูปแบบ (2) ให้ในระบบ (1) สัมประสิทธิ์ของตัวแปร NS 1 ในสมการแรก
(ถ้าไม่เป็นเช่นนั้น โดยการจัดเรียงสมการใหม่ในตำแหน่งที่เราจะบรรลุนั้น เนื่องจากไม่ใช่สัมประสิทธิ์ทั้งหมดที่ NS 1 เท่ากับศูนย์) ให้เราใช้ห่วงโซ่ของการแปลงเบื้องต้นต่อไปนี้กับระบบสมการเชิงเส้น (1):

เพิ่มในสมการที่สอง

สมการแรกคูณด้วย
เพิ่มในสมการที่สามและอื่น ๆ ;

สมการแรกคูณด้วย
บวกกับสมการสุดท้ายของระบบ

เป็นผลให้เราได้ระบบสมการเชิงเส้น (ต่อไปนี้เราจะใช้ตัวย่อ CLE สำหรับระบบสมการเชิงเส้น) เทียบเท่ากับระบบ (1) อาจกลายเป็นว่าในระบบผลลัพธ์ไม่ใช่สมการเดียวที่มีตัวเลข ผม, ผม 2, ไม่มีที่ไม่รู้จัก NS 2. ปล่อยให้เป็น kเป็นจำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุดจนไม่ทราบค่า NS kมีอย่างน้อยหนึ่งสมการที่มีตัวเลข ผม, ผม 2. จากนั้นระบบผลลัพธ์ของสมการจะมีรูปแบบดังนี้

ระบบ (3) เทียบเท่ากับระบบ (1) สมัครระบบย่อยกันเลย
ระบบสมการเชิงเส้น (3) การให้เหตุผลที่ใช้กับ SLN (1) เป็นต้น จากกระบวนการนี้ เราจึงได้ผลลัพธ์หนึ่งในสองผลลัพธ์

1. เราได้รับ SLE ที่มีสมการของแบบฟอร์ม (2) ในกรณีนี้ SLU (1) ไม่สอดคล้องกัน

2. การแปลงเบื้องต้นที่ใช้กับ SLE (1) ไม่นำไปสู่ระบบที่มีสมการของแบบฟอร์ม (2) ในกรณีนี้ SLU (1) โดยการแปลงเบื้องต้น
ลดลงเป็นระบบสมการของรูปแบบ:

(4)

ที่ไหน 1< k < l < . . .< NS,

ระบบสมการเชิงเส้นของรูปแบบ (4) เรียกว่าแบบขั้นบันได สองกรณีต่อไปนี้เป็นไปได้ที่นี่

NS) NS= NSจากนั้นระบบ (4) จะมีรูปแบบ

(5)

ระบบ (5) มีโซลูชันที่ไม่เหมือนใคร ดังนั้นระบบ (1) จึงมีโซลูชันที่ไม่เหมือนใคร

NS) NS< NS... ในกรณีนี้สิ่งที่ไม่รู้จัก
ในระบบ (4) เรียกว่า นิรนามหลัก และ นิรนามที่เหลือในระบบนี้เรียกว่าว่าง (จำนวนเท่ากับ NS- NS). ให้เรากำหนดค่าตัวเลขตามอำเภอใจให้กับไม่ทราบที่ว่าง จากนั้น SLE (4) จะมีรูปแบบเดียวกับระบบ (5) จากนั้นสิ่งแปลกปลอมหลักจะถูกกำหนดอย่างชัดเจน ดังนั้นระบบจึงมีวิธีแก้ปัญหาคือเป็นข้อต่อ เนื่องจากไม่ทราบค่าอิสระถูกกำหนดค่าตัวเลขโดยพลการจาก กับดังนั้นระบบ (4) จึงไม่ถูกกำหนด ดังนั้น ระบบ (1) จึงไม่ได้กำหนดไว้เช่นกัน การแสดงค่าความไม่รู้หลักใน SLOE (4) ในแง่ของการไม่ทราบค่าอิสระ เราได้รับระบบที่เรียกว่าโซลูชันทั่วไปของระบบ (1)

ตัวอย่าง... แก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยวิธี NSออสซ่า

ให้เราเขียนเมทริกซ์ขยายของระบบสมการเชิงเส้น และโดยการแปลงแถวเบื้องต้น ให้ลดเป็นเมทริกซ์แบบขั้น:

~

~
~
~

~. การใช้เมทริกซ์ผลลัพธ์ เราคืนค่าระบบสมการเชิงเส้น:
ระบบนี้เทียบเท่ากับระบบเดิม จากนั้นเราก็ถือว่าเป็นสิ่งที่ไม่รู้จักหลัก
ไม่ทราบฟรี ให้เราแสดงสิ่งที่ไม่รู้จักหลักในแง่ของสิ่งที่ไม่รู้ฟรีเท่านั้น:

มีวิธีแก้ปัญหาทั่วไปสำหรับ SLU ให้แล้ว

(5, 0, -5, 0, 1) เป็นสารละลายเฉพาะของ SLN

งานสำหรับโซลูชันอิสระ

1. ค้นหาคำตอบทั่วไปและคำตอบเฉพาะของระบบสมการโดยวิธีกำจัดสิ่งแปลกปลอม:

1)
2)

4)
6)

2. ค้นหาค่าต่าง ๆ ของพารามิเตอร์ NSคำตอบทั่วไปของระบบสมการ:

1)
2)

3)
4)

5)
6)

§แปด. ช่องว่างเวกเตอร์

แนวคิดเกี่ยวกับอวกาศของเวกเตอร์ คุณสมบัติที่ง่ายที่สุด

ปล่อยให้เป็น วี ≠ Ø, ( NS, +, ∙) - ฟิลด์ องค์ประกอบของสนามจะเรียกว่าสเกลาร์

แสดง φ : NS× วี –> วีเรียกว่าการคูณสมาชิกของเซต วีเกี่ยวกับสเกลาร์จากสนาม NS... เราหมายถึง φ (λและ) ข้าม ลาผลิตภัณฑ์ของธาตุ NSต่อสเกลาร์ λ .

คำนิยาม.มากมาย วีด้วยการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตที่กำหนดของการเพิ่มองค์ประกอบของเซต วีและการคูณองค์ประกอบของเซต วีเกี่ยวกับสเกลาร์จากสนาม NSเรียกว่าเวคเตอร์สเปซบนสนาม F ถ้าเป็นไปตามสัจพจน์:

ตัวอย่าง. ปล่อยให้เป็น NSสนาม, NS NS = {(NS 1 , NS 2 ,…, NS NS) | NS ผม NS (ผม=)) แต่ละองค์ประกอบของเซต NS NSเรียกว่า NS-เวกเตอร์เลขคณิตมิติ มาแนะนำการดำเนินการเพิ่มเติมกัน NS-เวกเตอร์มิติและการคูณ NS-เวกเตอร์มิติต่อสเกลาร์จากสนาม NS... ปล่อยให้เป็น
. ใส่ = ( NS 1 + NS 1 , … , NS NS + NS NS), = (λ NS 1, λ NS 2, ..., ล NS NS). มากมาย NS n เกี่ยวกับการดำเนินการที่แนะนำคือสเปซเวกเตอร์และเรียกว่า NS-พื้นที่เวกเตอร์เลขคณิตเชิงมิติเหนือสนาม NS.

ปล่อยให้เป็น วี- ช่องว่างเวกเตอร์เหนือสนาม NS, ,
... คุณสมบัติดังต่อไปนี้เกิดขึ้น:

1)
;

3)
;

4)
;

หลักฐานแสดงทรัพย์สิน 3

จากความเท่าเทียมกันตามกฎหมายว่าด้วยการเพิกถอนในกลุ่ม ( วี, +) เรามี
.

การพึ่งพาอาศัยกันเชิงเส้น ความเป็นอิสระของระบบเวกเตอร์

ปล่อยให้เป็น วี- ช่องว่างเวกเตอร์เหนือสนาม NS,

... เวกเตอร์เรียกว่าผลรวมเชิงเส้นของระบบเวกเตอร์
... เซตของผลรวมเชิงเส้นทั้งหมดของระบบเวกเตอร์เรียกว่า สแปนเชิงเส้นของระบบเวกเตอร์นี้ และแสดงแทน

คำนิยาม.ระบบของเวกเตอร์เรียกว่าขึ้นอยู่กับเชิงเส้นถ้ามีสเกลาร์ดังกล่าว
ไม่ทั้งหมดเท่ากับศูนย์ที่

หากความเท่าเทียมกัน (1) ถือครองได้ก็ต่อเมื่อ λ 1 = λ 2 = … = =λ NS= 0 จากนั้นระบบของเวกเตอร์เรียกว่าอิสระเชิงเส้น

ตัวอย่าง.ค้นหาว่าระบบของเวกเตอร์เป็น .หรือไม่ = (1,-2,2), =(2,0, 1), = (-1, 3, 4) ของช่องว่าง R 3 ขึ้นอยู่กับเชิงเส้นหรืออิสระ

สารละลาย.ให้ λ 1, λ 2, λ 3
และ

 | => (0,0,0) - โซลูชันระบบ ดังนั้น ระบบเวกเตอร์จึงเป็นอิสระเชิงเส้น

สมบัติของการพึ่งพาเชิงเส้นและความเป็นอิสระของระบบเวกเตอร์

1. ระบบของเวกเตอร์ที่มีเวกเตอร์ศูนย์อย่างน้อยหนึ่งตัวขึ้นอยู่กับเชิงเส้น

2. ระบบของเวกเตอร์ที่มีระบบย่อยที่ขึ้นกับเชิงเส้นนั้นขึ้นอยู่กับเชิงเส้น

3. ระบบเวกเตอร์ โดยที่
ขึ้นกับเชิงเส้นก็ต่อเมื่อเวกเตอร์อย่างน้อยหนึ่งระบบของระบบนี้ที่ไม่ใช่เวกเตอร์เป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ที่อยู่ข้างหน้ามัน

4. ถ้าระบบของเวกเตอร์เป็นอิสระเชิงเส้น และระบบของเวกเตอร์
ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น แล้วเวกเตอร์ สามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์และยิ่งไปกว่านั้น ในลักษณะเฉพาะ

การพิสูจน์.เนื่องจากระบบเวกเตอร์ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น ดังนั้น
ไม่ทั้งหมดเท่ากับศูนย์ที่

ในความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์ (2) λ NS+1 ≠ 0. หากสมมุติว่า λ NS+1 = 0 จากนั้นจาก (2) => ดังนั้นจึงเป็นไปตามที่ระบบของเวกเตอร์ขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตั้งแต่ λ 1 , λ 2 , … , λ NSไม่ใช่ทั้งหมดที่เป็นศูนย์ เรามาขัดแย้งกับเงื่อนไข จาก (1) => โดยที่
.

ให้เวกเตอร์สามารถแสดงในรูปแบบ: จากนั้นจากความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์
เนื่องจากความเป็นอิสระเชิงเส้นของระบบเวกเตอร์ จึงเป็นไปตามนั้น
1 = β 1 , …, NS = β NS .

5. ให้เวกเตอร์สองระบบและ
, NS>k... หากเวกเตอร์แต่ละระบบของเวกเตอร์สามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของระบบเวกเตอร์ได้ ระบบของเวกเตอร์นั้นจะขึ้นอยู่กับเชิงเส้น

พื้นฐาน ยศของระบบเวกเตอร์.

ระบบจำกัดของเวกเตอร์อวกาศ วีเหนือสนาม NS หมายถึงโดย NS.

คำนิยาม.ระบบย่อยอิสระเชิงเส้นใดๆ ของระบบเวกเตอร์ NSเรียกว่า พื้นฐานของระบบเวกเตอร์ NSถ้าเวกเตอร์ของระบบ NSสามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของระบบเวกเตอร์

ตัวอย่าง.ค้นหาพื้นฐานของระบบเวกเตอร์ = (1, 0, 0), = (0, 1, 0),

= (-2, 3, 0) R 3 ระบบของเวกเตอร์ที่เป็นอิสระเชิงเส้น เนื่องจากตามคุณสมบัติ 5 ระบบของเวกเตอร์ได้มาจากระบบของเวกเตอร์ เบี้ยเลี้ยง พื้นฐานอิเล็กโทรเมคคาโนโทรนิกส์: เกี่ยวกับการศึกษาเบี้ยเลี้ยง พื้นฐานวิศวกรรมไฟฟ้า "; ...

วรรณกรรมการศึกษา พ.ศ. 2543-2551 (1)

วรรณกรรม

คณิตศาสตร์ คณิตศาสตร์ Lobkova N.I. พื้นฐานเชิงเส้น พีชคณิตและเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์: เกี่ยวกับการศึกษาเบี้ยเลี้ยง/ N.I. Lobkova, M.V. Lagunova ... ออกแบบโดย พื้นฐานอิเล็กโทรเมคคาโนโทรนิกส์: เกี่ยวกับการศึกษาเบี้ยเลี้ยง/ ป.ป.ช. คาเฟ่. “ตามทฤษฎี พื้นฐานวิศวกรรมไฟฟ้า "; ...

ด้านล่างเราจะพิจารณาระบบสมการเชิงเส้นเหนือสนามตัวแปร คำจำกัดความ สมการเชิงเส้นสองระบบกล่าวกันว่าเท่ากัน ถ้าแต่ละคำตอบของระบบเหล่านี้เป็นคำตอบสำหรับอีกระบบหนึ่ง

ข้อเสนอต่อไปนี้แสดงคุณสมบัติของความเท่าเทียมกันที่เกิดจากคำจำกัดความของความเท่าเทียมกันและคุณสมบัติข้างต้นของการสืบทอดของระบบ

ข้อเสนอ 2.2. สมการเชิงเส้นสองระบบจะเท่ากันก็ต่อเมื่อแต่ละระบบเหล่านี้เป็นผลมาจากระบบอื่น

ข้อเสนอ 2.3. สมการเชิงเส้นสองระบบจะเท่ากันก็ต่อเมื่อเซตของคำตอบทั้งหมดของระบบหนึ่งตรงกับเซตของคำตอบทั้งหมดของระบบอื่น

ข้อเสนอ 2.4. สมการเชิงเส้นสองระบบจะเท่ากันก็ต่อเมื่อเพรดิเคตที่กำหนดโดยระบบเหล่านี้เท่ากัน

คำนิยาม. การแปลงต่อไปนี้เรียกว่าการแปลงเบื้องต้นของระบบสมการเชิงเส้น:

(a) การคูณทั้งสองข้างของสมการบางอย่างในระบบด้วยสเกลาร์ที่ไม่ใช่ศูนย์

(P) การบวก (การลบ) ทั้งสองข้างของสมการใด ๆ ของระบบของส่วนที่สอดคล้องกันของสมการอื่นของระบบคูณด้วยสเกลาร์

การขจัดออกจากระบบหรือเข้าร่วมระบบของสมการเชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์เป็นศูนย์และการสกัดกั้นเป็นศูนย์

ทฤษฎีบท 2.5. ถ้าระบบหนึ่งของสมการเชิงเส้นได้มาจากระบบอื่นของสมการเชิงเส้นอันเป็นผลมาจากวงจรของการแปลงเบื้องต้น ระบบทั้งสองนี้จะเท่ากัน

การพิสูจน์. ให้ระบบได้รับ

หากเราคูณสมการของมัน เช่น สมการแรก ด้วยสเกลาร์ X ที่ไม่ใช่ศูนย์ เราก็จะได้ระบบ

แต่ละโซลูชันสำหรับระบบ (1) เป็นโซลูชันสำหรับระบบ (2) ด้วย

ตรงกันข้าม: หากมีวิธีแก้ปัญหาใด ๆ กับระบบ (2)

จากนั้น คูณความเท่าเทียมกันแรกโดยและไม่เปลี่ยนความเท่าเทียมกันที่ตามมา เราจะได้ความเท่าเทียมกันที่แสดงว่าเวกเตอร์เป็นคำตอบของระบบ (1) ดังนั้น ระบบ (2) จึงเทียบเท่ากับระบบเดิม (1) เป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบว่าแอปพลิเคชันเดียวไปยังระบบ (1) ของการเปลี่ยนแปลงเบื้องต้น (P) หรือนำไปสู่ระบบที่เทียบเท่ากับระบบดั้งเดิม (1) เนื่องจากความสัมพันธ์สมมูลเป็นสกรรมกริยา การประยุกต์ใช้การแปลงเบื้องต้นซ้ำๆ จึงนำไปสู่ระบบสมการที่เทียบเท่ากับระบบเดิม (1)

โคโรลลารี 2.6. หากเราบวกผลรวมเชิงเส้นของสมการอื่นๆ ของระบบเข้ากับหนึ่งในสมการของระบบสมการเชิงเส้น เราจะได้ระบบสมการที่เทียบเท่ากับสมการเดิม

โคโรลลารี 2.7. หากเราแยกสมการเชิงเส้นออกจากระบบหรือบวกสมการที่เป็นผลรวมเชิงเส้นของสมการอื่นของระบบ เราจะได้ระบบสมการที่เทียบเท่ากับระบบเดิม

คำจำกัดความ 1ระบบสมการเชิงเส้นของรูปแบบ (1) โดยที่สนามเรียกว่า ระบบสมการเชิงเส้น m กับ n ไม่ทราบค่าบนสนาม, เป็นสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่รู้จัก,,, เป็นเงื่อนไขอิสระของระบบ (1)

คำจำกัดความ 2เป็นระเบียบ NS-ka () ที่ไหนเรียกว่า โดยการแก้ระบบสมการเชิงเส้น(1) ถ้าหลังจากแทนที่ตัวแปรด้วยสมการของระบบ (1) แล้ว มันจะกลายเป็นความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขที่แท้จริง

คำจำกัดความ 3 ข้อต่อหากมีอย่างน้อยหนึ่งวิธีแก้ไข มิฉะนั้นจะเรียกระบบ (1) ว่า ไม่สอดคล้องกัน.

คำจำกัดความ 4ระบบสมการเชิงเส้น (1) เรียกว่า บางอย่างถ้าเธอมีทางออกที่ไม่เหมือนใคร มิฉะนั้นจะเรียกระบบ (1) ว่า ไม่ได้กำหนด.

ระบบสมการเชิงเส้น

(มีทางแก้) (ไม่มีวิธีแก้ไข)

เข้ากันไม่ได้

(วิธีแก้ปัญหาเท่านั้น) (ไม่ใช่วิธีแก้ปัญหาเท่านั้น)

ไม่มีกำหนดแน่นอน

คำจำกัดความ 5.ระบบสมการเชิงเส้นบนสนาม NSเรียกว่า เป็นเนื้อเดียวกันถ้าสมาชิกอิสระทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ มิฉะนั้นระบบจะเรียกว่า ต่างกัน.

พิจารณาระบบสมการเชิงเส้น (1) จากนั้นระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันของรูปแบบเรียกว่าระบบที่เป็นเนื้อเดียวกัน ที่เกี่ยวข้องพร้อมระบบ (1). SLN ที่เป็นเนื้อเดียวกันนั้นเข้ากันได้เสมอ เนื่องจากมีวิธีแก้ปัญหาอยู่เสมอ

สำหรับแต่ละ SLN สามารถนำเมทริกซ์สองตัวมาพิจารณาได้ - อันหลักและเมทริกซ์แบบขยาย

คำจำกัดความ 6 เมทริกซ์หลักของระบบสมการเชิงเส้น(1) เรียกว่าเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ที่ไม่ทราบรูปแบบต่อไปนี้:.

คำจำกัดความ 7 ระบบขยายเมทริกซ์ของสมการเชิงเส้น(1) เรียกว่าเมทริกซ์ที่ได้จากเมทริกซ์โดยการเพิ่มคอลัมน์ของเงื่อนไขอิสระ:

คำจำกัดความ 8การแปลงเบื้องต้นของระบบสมการเชิงเส้นต่อไปนี้เรียกว่า: 1) การคูณทั้งสองข้างของสมการบางระบบด้วยสเกลาร์ 2) การเพิ่มทั้งสองส่วนของสมการหนึ่งของระบบของส่วนที่สอดคล้องกันของสมการอื่นคูณด้วยองค์ประกอบ 3) การเพิ่มหรือลดสมการของแบบฟอร์ม

คำจำกัดความ 9สมการเชิงเส้นสองระบบบนสนาม NSเกี่ยวกับตัวแปรเรียกว่า เท่ากับหากวิธีแก้ปัญหาของพวกเขาตรงกัน

ทฤษฎีบท 1 . หากระบบหนึ่งของสมการเชิงเส้นได้มาจากระบบอื่นโดยใช้การแปลงเบื้องต้น ระบบดังกล่าวจะเทียบเท่ากัน

มันสะดวกที่จะใช้การแปลงเบื้องต้นไม่ใช่กับระบบสมการเชิงเส้น แต่ใช้กับเมทริกซ์แบบขยาย

คำจำกัดความ 10.ให้เมทริกซ์มีองค์ประกอบจากฟิลด์ P การแปลงร่างเบื้องต้นเมทริกซ์มีชื่อดังนี้:

1) การคูณองค์ประกอบทั้งหมดของแถวใด ๆ ด้วยเมทริกซ์โดย aÎ P #;

2) การคูณองค์ประกอบทั้งหมดของแถวใด ๆ ด้วยเมทริกซ์โดย aÎ Р # และบวกด้วยองค์ประกอบที่เกี่ยวข้องของแถวอื่น

3) การเปลี่ยนแปลงของเมทริกซ์สองแถวใดๆ

4) เพิ่มหรือลบเส้นศูนย์

8. วิธีแก้ปัญหา SLU: NS วิธีการกำจัดสิ่งแปลกปลอมแบบต่อเนื่อง (วิธีเกาส์)

พิจารณาวิธีหลักวิธีหนึ่งในการแก้ระบบสมการเชิงเส้นที่เรียกว่า โดยวิธีการกำจัดสิ่งแปลกปลอมอย่างต่อเนื่องหรืออย่างอื่น วิธีเกาส์เซียน... พิจารณาระบบ (1) NSสมการเชิงเส้นด้วย NSไม่รู้จัก เหนือสนาม NS:(1) .

ในระบบ (1) อย่างน้อยหนึ่งสัมประสิทธิ์ที่ ไม่เท่ากับ 0 ... มิฉะนั้น (1) - ระบบสมการที่มี () นิรนาม - สิ่งนี้ขัดแย้งกับเงื่อนไข ลองสลับสมการกันเพื่อให้สัมประสิทธิ์ในสมการแรกไม่เท่ากับ 0 ... ดังนั้นเราจึงสามารถสันนิษฐานได้ว่า เราคูณทั้งสองข้างของสมการแรกด้วยแล้วบวกในส่วนที่สอดคล้องกันของที่สอง, สาม, ..., NSสมการ th ตามลำดับ เราได้รับระบบของแบบฟอร์ม: โดยที่ NSเป็นจำนวนที่น้อยที่สุดจนมีค่าสัมประสิทธิ์อย่างน้อยหนึ่งตัวไม่เท่ากัน 0 ... ลองสลับสมการกันเพื่อให้ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรในบรรทัดที่สองไม่เท่ากัน 0 , เช่น. เราสามารถสันนิษฐานได้ว่า จากนั้นเราคูณทั้งสองข้างของสมการที่สองด้วย แล้วบวกในส่วนที่ตรงกันของสมการที่สาม ..., NSสมการ th ตามลำดับ ดำเนินการตามขั้นตอนนี้ต่อไป เราได้รับระบบของแบบฟอร์ม:

ระบบสมการเชิงเส้น ซึ่งตามทฤษฎีบท 1 มีค่าเท่ากับระบบ (1) . ระบบนี้เรียกว่าระบบขั้นบันไดของสมการเชิงเส้น เป็นไปได้สองกรณี: 1) อย่างน้อยหนึ่งองค์ประกอบไม่เท่ากัน 0 ... ตัวอย่างเช่นให้ จากนั้นระบบสมการเชิงเส้นจะมีสมการของรูปแบบซึ่งเป็นไปไม่ได้ ซึ่งหมายความว่าระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหา ดังนั้นระบบ (1) จึงไม่มีวิธีแก้ปัญหา (ในกรณีนี้ (1) เป็นระบบที่ไม่สอดคล้องกัน)

2) ให้…,. จากนั้นด้วยความช่วยเหลือของการแปลงเบื้องต้น 3) เราได้รับระบบ - ระบบ NSสมการเชิงเส้นด้วย NSไม่ทราบ ในกรณีนี้เรียกว่าตัวแปรที่สัมประสิทธิ์ ตัวแปรหลัก(สิ่งนี้) มีทั้งหมด NS... คนอื่น ( น-ร) ตัวแปรถูกเรียก ฟรี.

เป็นไปได้สองกรณี: 1) ถ้า ร = นจากนั้นเป็นระบบสามเหลี่ยม ในกรณีนี้ จากสมการสุดท้าย เราจะพบตัวแปร จากตัวสุดท้าย - ตัวแปร ... จากสมการแรก - ตัวแปร ดังนั้นเราจึงได้คำตอบเฉพาะสำหรับระบบสมการเชิงเส้น และด้วยเหตุนี้จึงมากับระบบสมการเชิงเส้น (1) (ในกรณีนี้ ระบบ (1) จะถูกกำหนด)

2) ให้ NS ... ในกรณีนี้ ตัวแปรหลักจะแสดงในรูปของตัวแปรอิสระและได้คำตอบทั่วไปของระบบสมการเชิงเส้น (1) โดยการให้ค่าโดยพลการแก่ตัวแปรอิสระ จะได้คำตอบเฉพาะต่างๆ ของระบบสมการเชิงเส้น (1) (ในกรณีนี้ ระบบ (1) ไม่ได้กำหนดไว้)

เมื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยวิธีเกาส์ จะสะดวกที่จะดำเนินการแปลงเบื้องต้นไม่ได้อยู่เหนือระบบ แต่ทำบนเมทริกซ์ขยาย

คำนิยาม.อันดับของเมทริกซ์ A คือจำนวนแถวที่ไม่เป็นศูนย์ของเมทริกซ์แบบสเต็ปใดๆ ซึ่ง A ถูกลดลงโดยการแปลงเบื้องต้น อันดับของเมทริกซ์ A แสดงด้วย r (A) หรือ rang (A)

อัลกอริทึมสำหรับการแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยวิธีเกาส์

1. สร้างเมทริกซ์ขยายของระบบสมการเชิงเส้น (1) และใช้การแปลงเบื้องต้น นำมาเป็นรูปแบบขั้นตอน

2. ดำเนินการวิจัย: ก) ถ้าระบบ (1) ไม่เข้ากัน;

b) ถ้า ระบบ (1) มีความสอดคล้องกัน

นอกจากนี้ ถ้า ร = นดังนั้นระบบ (1) จะถูกกำหนด if NS ดังนั้นระบบ (1) จึงไม่ถูกกำหนด

3. ค้นหาวิธีแก้ปัญหาของระบบที่สอดคล้องกับเมทริกซ์ขั้นบันไดที่เป็นผลลัพธ์

คำจำกัดความ 5. การแปลงร่างเบื้องต้นระบบสมการเชิงเส้นเรียกว่าการแปลงต่อไปนี้:

1) การเปลี่ยนสมการของสองสมการในตำแหน่งใดๆ

2) การคูณทั้งสองข้างของสมการหนึ่งด้วยจำนวนใด ๆ

3) การบวกทั้งสองข้างของสมการหนึ่งในส่วนที่สอดคล้องกันของสมการอื่น คูณด้วยจำนวนใด ๆ k;

(ในขณะที่สมการอื่นไม่เปลี่ยนแปลง)

สมการศูนย์เราเรียกสมการของรูปแบบต่อไปนี้:

ทฤษฎีบทที่ 1 ลำดับที่จำกัดใดๆ ของการแปลงเบื้องต้นและการแปลง การลบสมการศูนย์จะเปลี่ยนระบบหนึ่งของสมการเชิงเส้นเป็นระบบอื่นของสมการเชิงเส้นที่เทียบเท่ากับมัน

การพิสูจน์.โดยอาศัยคุณสมบัติ 4 ของส่วนก่อนหน้า ก็เพียงพอแล้วที่จะพิสูจน์ทฤษฎีบทสำหรับแต่ละการแปลงแยกกัน

1. เมื่อสมการในระบบถูกจัดเรียงใหม่ในตำแหน่งต่างๆ สมการจะไม่เปลี่ยนแปลง ดังนั้นตามคำจำกัดความ ระบบที่ได้จึงเท่ากับสมการเดิม

2. โดยอาศัยอำนาจตามส่วนแรกของการพิสูจน์ ก็เพียงพอแล้วที่จะพิสูจน์การยืนยันสำหรับสมการแรก เราคูณสมการแรกของระบบ (1) ด้วยตัวเลข เราจะได้ระบบ

(2)

ปล่อยให้เป็น  ระบบ (1). จากนั้นตัวเลขจะเป็นไปตามสมการทั้งหมดของระบบ (1) เนื่องจากสมการทั้งหมดของระบบ (2) ยกเว้นสมการแรกตรงกับสมการของระบบ (1) ตัวเลขจึงเป็นไปตามสมการเหล่านี้ทั้งหมด เนื่องจากตัวเลขเป็นไปตามสมการแรกของระบบ (1) ความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขจึงเกิดขึ้น:

คูณด้วยตัวเลข K, เราได้ค่าความเท่าเทียมกันทางตัวเลขที่ถูกต้อง:

ที่. เรากำหนดว่า  ระบบ (2).

ในทางกลับกัน ถ้า การแก้ปัญหาของระบบ (2) จากนั้นตัวเลขจะเป็นไปตามสมการทั้งหมดของระบบ (2) เนื่องจากสมการทั้งหมดของระบบ (1) ยกเว้นสมการแรกตรงกับสมการของระบบ (2) ตัวเลขจึงเป็นไปตามสมการเหล่านี้ทั้งหมด เนื่องจากตัวเลขเป็นไปตามสมการแรกของระบบ (2) ดังนั้นความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลข (4) จึงเป็นจริง หารทั้งสองข้างด้วยจำนวน เราจะได้ความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลข (3) และพิสูจน์ว่า  การแก้ปัญหาของระบบ (1).

ดังนั้น ตามคำจำกัดความที่ 4 ระบบ (1) จึงเทียบเท่ากับระบบ (2)

3. โดยอาศัยอำนาจตามส่วนแรกของการพิสูจน์ ก็เพียงพอที่จะพิสูจน์การยืนยันสำหรับสมการที่หนึ่งและสองของระบบ บวกทั้งสองส่วนของสมการแรกของระบบในส่วนที่สอดคล้องกันของส่วนที่สองคูณด้วยตัวเลข K,เราได้รับระบบ

(5)

ปล่อยให้เป็น การแก้ปัญหาของระบบ (1). จากนั้นตัวเลขจะเป็นไปตามสมการทั้งหมดของระบบ (1) เนื่องจากสมการทั้งหมดของระบบ (5) ยกเว้นสมการแรกตรงกับสมการของระบบ (1) ตัวเลขจึงเป็นไปตามสมการเหล่านี้ทั้งหมด เนื่องจากตัวเลขเป็นไปตามสมการแรกของระบบ (1) ความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้องจึงเกิดขึ้น:

การบวกเทอมต่อเทอมความเท่าเทียมกันครั้งแรกครั้งที่สอง คูณด้วยจำนวน Kเราจะได้ความเท่าเทียมกันทางตัวเลขที่ถูกต้อง

การแปลงเมทริกซ์เบื้องต้นประกอบด้วย:

1. การเปลี่ยนลำดับของแถว (คอลัมน์)

2. ทิ้งแถวศูนย์ (คอลัมน์)

3. การคูณองค์ประกอบของแถวใด ๆ (คอลัมน์) ด้วยตัวเลขเดียว

4. การเพิ่มองค์ประกอบขององค์ประกอบแถว (คอลัมน์) ของแถวอื่น (คอลัมน์) ให้คูณด้วยตัวเลขหนึ่งตัว

ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น (แนวคิดและคำจำกัดความพื้นฐาน)

1. ระบบ NSสมการเชิงเส้นด้วย NS ไม่รู้จักเรียกว่า ระบบสมการของรูปแบบ:

2.การตัดสินใจระบบสมการ (1) เรียกว่า เซตของตัวเลข NS 1 , NS 2 , ..., NS NS , การแปลงสมการแต่ละสมการของระบบให้กลายเป็นเอกลักษณ์

3. ระบบสมการ (1) เรียกว่า ข้อต่อหากมีวิธีแก้ปัญหาอย่างน้อยหนึ่งวิธี หากระบบไม่มีวิธีแก้ไข เรียกว่า ไม่สอดคล้องกัน.

4. ระบบสมการ (1) เรียกว่า บางอย่างหากมีทางแก้เพียงทางเดียวและ ไม่ได้กำหนดถ้าเธอมีมากกว่าหนึ่งวิธี

5. อันเป็นผลมาจากการแปลงเบื้องต้น ระบบ (1) ถูกแปลงเป็นระบบที่เทียบเท่ากับมัน (กล่าวคือ มีชุดของคำตอบเดียวกัน)

สู่การแปลงร่างเบื้องต้นระบบสมการเชิงเส้น ได้แก่

1. ละเว้นบรรทัดว่าง

2. การเปลี่ยนลำดับของบรรทัด

3. การเพิ่มองค์ประกอบของบรรทัดใด ๆ ขององค์ประกอบของอีกบรรทัดหนึ่ง คูณด้วยจำนวนหนึ่ง

วิธีการแก้ระบบสมการเชิงเส้น

1) วิธีเมทริกซ์ผกผัน (วิธีเมทริกซ์) สำหรับการแก้ระบบของสมการเชิงเส้น n สมการที่ไม่ทราบค่า n

ระบบ NSสมการเชิงเส้นด้วย NSไม่รู้จักเรียกว่า ระบบสมการของรูปแบบ:

ให้เราเขียนระบบ (2) ในรูปแบบเมทริกซ์สำหรับสิ่งนี้เราแนะนำสัญกรณ์

เมทริกซ์สัมประสิทธิ์ก่อนตัวแปร:

X = เป็นเมทริกซ์ของตัวแปร

В = - เมทริกซ์ของสมาชิกอิสระ

จากนั้นระบบ (2) จะอยู่ในรูปแบบ:

NS× NS = NS- สมการเมทริกซ์

เมื่อแก้สมการเราได้รับ:

NS = NS -1 × NS

ตัวอย่าง:

; ;

1) │А│ = 15 + 8 ‒18 ‒9 ‒12 + 20 = 4  0 เมทริกซ์ А -1 มีอยู่

3)

à =

4) A -1 = × Ã = ;

X = A -1 × B

ตอบ:

2) กฎของแครมเมอร์สำหรับการแก้ระบบสมการ n - เชิงเส้นกับ n - นิรนาม

พิจารณาระบบสมการเชิงเส้น 2 สมการที่มี 2 ค่าไม่ทราบค่า:

มาแก้ระบบนี้โดยใช้วิธีการทดแทนกัน:

จากสมการแรกดังนี้

แทนสมการที่สองได้ดังนี้

แทนค่าลงในสูตร จะได้

ดีเทอร์มิแนนต์ Δ - ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ของระบบ

Δ NS 1 - ดีเทอร์มีแนนต์ตัวแปร NS 1 ;

Δ NS 2 - ดีเทอร์มีแนนต์ตัวแปร NS 2 ;

สูตร:

NS 1 =;NS 2 =;…,NS n =; Δ  0;

- เรียกว่า โดยสูตรของแครมเมอร์

เมื่อหาดีเทอร์มิเนชันของสิ่งที่ไม่รู้ NS 1 , NS 2 ,…, NS NSคอลัมน์ของสัมประสิทธิ์สำหรับตัวแปรที่พบดีเทอร์มีแนนต์ถูกแทนที่ด้วยคอลัมน์ของสมาชิกอิสระ

ตัวอย่าง:แก้ระบบสมการด้วยวิธีการของแครมเมอร์

สารละลาย:

ให้เราเขียนและคำนวณดีเทอร์มีแนนต์หลักของระบบนี้ก่อน:

ตั้งแต่ Δ ≠ 0 ระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะที่สามารถพบได้โดยกฎของแครมเมอร์:

โดยที่ Δ 1, Δ 2, Δ 3 ได้มาจากดีเทอร์มีแนนต์ Δ โดยการแทนที่คอลัมน์ที่ 1, 2 หรือ 3 ตามลำดับ ด้วยคอลัมน์ของเทอมอิสระ

ดังนั้น:

วิธีเกาส์สำหรับการแก้ระบบสมการเชิงเส้น

พิจารณาระบบ:

เมทริกซ์ขยายของระบบ (1) เป็นเมทริกซ์ของรูปแบบ:

วิธีเกาส์เป็นวิธีการกำจัดสิ่งแปลกปลอมออกจากสมการของระบบอย่างต่อเนื่องโดยเริ่มจากสมการที่สองโดย NS- สมการที

ในกรณีนี้ โดยการแปลงเบื้องต้น เมทริกซ์ของระบบจะลดลงเป็นรูปสามเหลี่ยม (if ม = นและดีเทอร์มิแนนต์ของระบบ ≠ 0) หรือแบบขั้นตอน (if NS< n ) รูปร่าง.

จากนั้นเริ่มจากสมการสุดท้ายตามจำนวนจะพบสิ่งที่ไม่รู้จักทั้งหมด

อัลกอริทึมวิธีเกาส์เซียน:

1) สร้างเมทริกซ์แบบขยายของระบบ รวมถึงคอลัมน์ของสมาชิกอิสระ

2) ถ้า NS 11  0 จากนั้นแถวแรกหารด้วย NS 11 และคูณด้วย (- NS 21) และเพิ่มบรรทัดที่สอง ในทำนองเดียวกัน ไปถึง NS– บรรทัดที่:

ฉันแบ่งหน้าด้วย NS 11 และคูณด้วย (- NS NS 1) และเพิ่ม NS- หน้า

ในกรณีนี้ จากสมการ เริ่มจากวินาที ถึง NS- นั่นคือ ไม่รวมตัวแปร NS 1 .

3) ในขั้นตอนที่ 3 แถวที่สองใช้สำหรับการแปลงเบื้องต้นที่คล้ายคลึงกันของแถวที่ 3 เป็น NS- ทูยู สิ่งนี้จะไม่รวมตัวแปร NS 2 เริ่มจากบรรทัดที่ 3 ถึง NS- ทูยู ฯลฯ

อันเป็นผลมาจากการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้ ระบบจะลดลงเป็นรูปสามเหลี่ยมหรือขั้นบันได (ในกรณีของรูปสามเหลี่ยม ใต้ศูนย์ในแนวทแยงหลัก)

การลดระบบให้เป็นรูปสามเหลี่ยมหรือขั้นบันไดเรียกว่า โดยวิธีการโดยตรงของวิธีเกาส์และการค้นหาสิ่งที่ไม่รู้จักจากระบบผลลัพธ์เรียกว่า ย้อนกลับ.

ตัวอย่าง:

หลักสูตรตรง. ให้เราให้เมทริกซ์ขยายของระบบ

ด้วยความช่วยเหลือของการแปลงเบื้องต้นเป็นรูปแบบขั้นตอน จัดเรียงแถวแรกและแถวที่สองของเมทริกซ์ใหม่ NS NS, เราได้รับเมทริกซ์:

ลองบวกแถวที่สองของเมทริกซ์ผลลัพธ์ด้วยแถวแรกคูณด้วย (‒2) และแถวที่สามของแถวนั้น - โดยแถวแรกคูณด้วย (‒7) เราได้เมทริกซ์

ในแถวที่สามของเมทริกซ์ผลลัพธ์ ให้เพิ่มแถวที่สองคูณด้วย (‒3) อันเป็นผลมาจากการที่เราได้รับเมทริกซ์แบบขั้น

ดังนั้น เราได้นำระบบสมการนี้มาอยู่ในรูปแบบขั้นตอน:

,

ถอยหลัง. เริ่มจากสมการสุดท้ายของระบบสมการแบบขั้นตอนที่ได้รับ เราจะค้นหาค่าของสิ่งที่ไม่รู้อย่างต่อเนื่อง: