Sea P un campo. Elementos a, b, ... Î R llamará escalares.
Definición 1. Clase V objetos (elementos) ,,, ... de naturaleza arbitraria se llama espacio vectorial sobre el campo P, y los elementos de la clase V se denominan vectores si V está cerrado con respecto a la operación "+" y la operación de multiplicación por escalares de Р (es decir, para cualquiera, ÎV + Î V; "aÎ Р aÎV), y se cumplen las siguientes condiciones:
A1: álgebra
А 2: para cualquier a, bÎР, para cualquier ÎV, a (b) = (ab) - ley asociativa generalizada;
А 3: para cualquier a, bÎР, para cualquier ÎV, (a + b) = a + b;
A 4: para cualquier a de P, para cualquiera, de V, a (+) = a + a (leyes distributivas generalizadas);
A 5: para cualquiera de V, 1 = se cumple, donde 1 es la unidad del campo P - la propiedad de unitaridad.
Los elementos del campo P se llamarán escalares y los elementos del conjunto V - vectores.
Comentario. La multiplicación de un vector por un escalar no es una operación binaria sobre el conjunto V, ya que es un mapeo P´V®V.
Consideremos ejemplos de espacios vectoriales.
Ejemplo 1. Espacio vectorial cero (dimensión cero) - el espacio V 0 = () - que consta de un vector cero.
Y para cualquier aÎР a =. Comprobemos la satisfacibilidad de los axiomas del espacio vectorial.
Tenga en cuenta que el espacio vectorial cero depende esencialmente del campo P. Por lo tanto, los espacios de dimensión cero sobre el campo de números racionales y sobre el campo de números reales se consideran diferentes, aunque consisten en un solo vector cero.
Ejemplo 2. El campo P es en sí mismo un espacio vectorial sobre el campo P. Sea V = P. Comprobemos la satisfacibilidad de los axiomas del espacio vectorial. Dado que Р es un campo, entonces Р es un grupo abeliano aditivo y se satisface А 1. Dado que la asociatividad de la multiplicación se satisface en P, se cumple A 2. Los axiomas A 3 y A 4 se satisfacen debido al hecho de que la multiplicación es distributiva con respecto a la suma en P. Dado que hay un elemento unitario 1 en el campo P, se satisface la propiedad de unitaridad A 5. Por tanto, el campo P es un espacio vectorial sobre el campo P.
Ejemplo 3. Espacio vectorial aritmético n-dimensional.
Sea P un campo. Considere el conjunto V = P n = ((a 1, a 2,…, a n) ½ a i Î P, i = 1,…, n). Introducimos sobre el conjunto V las operaciones de suma de vectores y multiplicación de un vector por un escalar según las siguientes reglas:
"= (a 1, a 2,…, an), = (b 1, b 2,…, bn) Î V," aÎ P + = (a 1 + b 1, a 2 + b 2,…, an + bn) (1)
a = (aa 1, aa 2,…, aa n) (2)
Los elementos del conjunto V se llamarán vectores n-dimensionales... Se dice que dos vectores n-dimensionales son iguales si sus componentes correspondientes (coordenadas) son iguales. Demostremos que V es un espacio vectorial sobre el campo P. De la definición de las operaciones de suma de vectores y multiplicación de un vector por un escalar se deduce que V es cerrado bajo estas operaciones. Dado que la adición de elementos de V se reduce a la adición de elementos del campo P, y P es un grupo abeliano aditivo, entonces V también es un grupo abeliano aditivo. Además, =, donde 0 es el cero del campo P, - = (-a 1, -a 2, ..., -a n). Por tanto, se cumple A 1. Dado que la multiplicación de un elemento de V por un elemento de P se reduce a multiplicar los elementos del campo P, entonces:
Y 2 se cumple debido a la asociatividad de la multiplicación por P;
A 3 y A 4 se cumplen debido a la distributividad de la multiplicación con respecto a la suma por P;
Se cumple A 5, ya que 1 Î P es un elemento neutro con respecto a la multiplicación por P.
Definición 2. El conjunto V = P n con operaciones definidas por las fórmulas (1) y (2) se denomina espacio vectorial aritmético n-dimensional sobre el campo P.
Tema 6. Espacio vectorial.
Preguntas principales.
1. Espacio lineal vectorial.
2. Base y dimensión del espacio.
3. Orientación del espacio.
4. Descomposición del vector en términos de la base.
5. Coordenadas vectoriales.
1. Espacio lineal vectorial.
Conjunto formado por elementos de cualquier naturaleza en el que se definen operaciones lineales: la suma de dos elementos y la multiplicación de un elemento por un número se denominan espacios, y sus elementos son vectores de este espacio y se designan de la misma manera que las cantidades vectoriales en geometría :. Vectores tales espacios abstractos, por regla general, no tienen nada que ver con los vectores geométricos ordinarios. Los elementos de los espacios abstractos pueden ser funciones, un sistema de números, matrices, etc., y en un caso particular, vectores ordinarios. Por lo tanto, estos espacios suelen denominarse espacios vectoriales .
Los espacios vectoriales son, por ejemplo, el conjunto de vectores colinarios, denotado V1 , el conjunto de vectores coplanares V2 , conjunto de vectores de ordinario (espacio real) V3 .
Para este caso particular, se puede dar la siguiente definición de espacio vectorial.
Definición 1. El conjunto de vectores se llama espacio vectorial si una combinación lineal de cualquier vector de un conjunto es también un vector de este conjunto. Los propios vectores se denominan elementos espacio vectorial.
Más importante, tanto en términos teóricos como aplicados, es el concepto general (abstracto) de espacio vectorial.
Definición 2. Un montón de R elementos, en los que la suma se define para dos elementos cualesquiera y para cualquier elemento https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_75.gif "width =" 68 "height =" 20 "> llamado vector(o lineal) espacio, y sus elementos son vectores si las operaciones de suma de vectores y multiplicación de un vector por un número satisfacen las siguientes condiciones ( axiomas) :
1) la suma es conmutativa, es decir, gif "ancho =" 184 "alto =" 25 ">;
3) existe tal elemento (vector cero) que para cualquier https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif "width =" 45 "height =" 20 ">. Gif" width = "99" altura = "27">;
5) para cualquier vector y cualquier número λ, se cumple la igualdad;
6) para cualquier vector y cualquier número λ
y µ
la igualdad es válida https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif "width =" 45 height = 20 "height =" 20 "> y cualquier número λ
y µ
justa 
;
8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif "ancho =" 45 "alto =" 20 ">.
A partir de los axiomas que definen un espacio vectorial, siga el más simple Consecuencias :
1. En el espacio vectorial, solo hay un cero, un elemento, un vector cero.
2. En el espacio vectorial, cada vector tiene un solo vector opuesto.
3. Para cada elemento, se satisface la igualdad.
4. Para cualquier número real λ y vector cero https://pandia.ru/text/80/142/images/image017_45.gif "width =" 68 "height =" 25 ">.
5..gif "ancho =" 145 "alto =" 28 ">
6..gif "width =" 15 "height =" 19 src = ">. Gif" width = "71" height = "24 src ="> es un vector que satisface la igualdad https://pandia.ru/text / 80 /142/images/image026_26.gif "ancho =" 73 "alto =" 24 ">.
Entonces, efectivamente, el conjunto de todos los vectores geométricos es un espacio lineal (vectorial), ya que para los elementos de este conjunto se definen las acciones de suma y multiplicación por un número que satisfacen los axiomas formulados.
2. Base y dimensión del espacio.
Los conceptos esenciales de un espacio vectorial son los conceptos de base y dimensión.
Definición. El conjunto de vectores linealmente independientes, tomados en un cierto orden, a través del cual cualquier vector de espacio se expresa linealmente, se llama base este espacio. Vectores. Las partes constituyentes del espacio se denominan básico .
La base del conjunto de vectores ubicados en una línea recta arbitraria puede considerarse una colineal de este vector recto.
Base en el avión nombremos dos vectores no colineales en este plano, tomados en cierto orden https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif "width =" 61 "height =" 24 ">.
Si los vectores base son perpendiculares por pares (ortogonales), entonces la base se llama ortogonal, y si estos vectores tienen una longitud igual a uno, entonces la base se llama ortonormal .
El mayor número de vectores linealmente independientes en el espacio se llama dimensión de este espacio, es decir, la dimensión del espacio coincide con el número de vectores base de este espacio.
Entonces, de acuerdo con estas definiciones:
1. Espacio unidimensional V1 es una línea recta, y la base consiste en uno colineal vectores https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif "ancho =" 39 "alto =" 23 src = ">.
3. El espacio ordinario es un espacio tridimensional. V3 cuya base consiste en tres no coplanares vectores.
A partir de aquí vemos que el número de vectores base en línea recta, en un plano, en el espacio real, coincide con lo que en geometría se suele llamar el número de dimensiones (dimensión) de una línea recta, plano, espacio. Por tanto, es natural introducir una definición más general.
Definición. Espacio vectorial R llamado norte- dimensional si no contiene más de norte vectores linealmente independientes y denotados R norte... Número norte llamado dimensión espacio.
De acuerdo con la dimensión, los espacios se dividen en de dimensión finita y interminable... La dimensión del espacio cero se considera por definición igual a cero.
Observación 1. En cada espacio, puede especificar tantas bases como desee, pero en este caso todas las bases de un espacio dado constan del mismo número de vectores.
Observación 2. V norte- espacio vectorial dimensional, una base es cualquier conjunto ordenado norte vectores linealmente independientes.
3. Orientación del espacio.
Deje que los vectores base en el espacio V3 tengo comienzo común y ordenado, es decir, se indica qué vector se considera el primero, cuál es el segundo y cuál es el tercero. Por ejemplo, en la base los vectores se ordenan según el índice. |
|
Para para orientar el espacio, debe establecer alguna base y declararlo positivo .
Se puede demostrar que el conjunto de todas las bases del espacio se divide en dos clases, es decir, en dos subconjuntos disjuntos.
a) todas las bases que pertenecen a un subconjunto (clase) tienen lo mismo orientación (bases del mismo nombre);
b) cualesquiera dos bases pertenecientes a varios subconjuntos (clases) tienen lo contrario orientación, opuesto bases).
Si una de las dos clases de bases de un espacio se declara positiva y la otra negativa, entonces dicen que este espacio orientado .
A menudo, en la orientación del espacio, algunas bases se denominan Derecha y otros - izquierda .
https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif "width =" 61 "height =" 24 src = "> llamado Derecha si, al observar desde el final del tercer vector, la rotación más corta del primer vector https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif "width =" 16 "height =" 23 "> se lleva a cabo en sentido anti-horario(Figura 1.8, a).
https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif "ancho =" 16 "alto =" 24 ">
https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif "ancho =" 15 "alto =" 23 ">
https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif "ancho =" 13 "alto =" 19 ">
https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif "ancho =" 16 "alto =" 23 ">
Arroz. 1.8. Base derecha (a) y base izquierda (b)
Por lo general, la base correcta del espacio se declara como una base positiva.
La base del espacio derecha (izquierda) también se puede determinar usando la regla del tornillo o cardán "derecho" ("izquierdo").
Por analogía con esto, el concepto de derecha e izquierda trillizos vectores no compatibles que deben ordenarse (Figura 1.8).
Así, en el caso general, dos triples ordenados de vectores no complementarios tienen la misma orientación (del mismo nombre) en el espacio V3 si son ambos a la derecha o ambos a la izquierda, y - orientación opuesta (opuesta), si uno de ellos es a la derecha y el otro a la izquierda.
Lo mismo se hace en el caso del espacio. V2 (plano).
4. Descomposición del vector en términos de la base.
Para simplificar el razonamiento, consideraremos esta pregunta utilizando el ejemplo de un espacio vectorial tridimensional. R3 .
Deje que https://pandia.ru/text/80/142/images/image021_36.gif "width =" 15 "height =" 19 "> sea un vector arbitrario de este espacio.
Un espacio vectorial (lineal) es un conjunto de vectores (elementos) con componentes reales, en el que se definen las operaciones de sumar vectores y multiplicar un vector por un número que satisfacen determinados axiomas (propiedades)
1) x+a=a+NS(permutación de adición);
2)(NS+a)+z=X+(y+z) (asociatividad de la adición);
3) hay un vector cero 0 (o vector nulo) que satisface la condición X+ 0 =X: para cualquier vector X;
4) para cualquier vector NS hay un vector opuesto a tal que NS+a = 0 ,
5) 1 x=NS,
6) a(bx)=(ab)NS(asociatividad de la multiplicación);
7) (a+B)NS=aх+bx(propiedad de distribución con respecto a un factor numérico);
8) a(NS+a)=aх+sí(propiedad de distribución con respecto a un factor vectorial).
Un espacio lineal (vectorial) V (P) sobre un campo P es un conjunto V no vacío. Los elementos del conjunto V se denominan vectores y los elementos del campo P se denominan escalares.
Propiedades más simples.
1. Un espacio vectorial es un grupo abeliano (un grupo en el que la operación de grupo es conmutativa. La operación de grupo en grupos abelianos generalmente se llama "suma" y se denota con el signo +)
2. El elemento neutral es el único que se deriva de las propiedades del grupo para cualquiera.
3. Para cualquiera, el elemento opuesto es único, lo que se deriva de las propiedades del grupo.
4. (- 1) x = - x para cualquier x є V.
5. (- α) x = α (–x) = - (αx) para cualquier α є P y x є V.
Expresión a 1 e 1+a 2 e 2+ … +a n e n(1) se llama combinación lineal de vectores e 1, e 2, ..., e n con coeficientes un 1, un 2,..., un. La combinación lineal (1) se llama no trivial si al menos uno de los coeficientes a 1, a 2, ..., a n distinto de cero. Vectores e 1, e 2, ..., e n se denominan linealmente dependientes si hay una combinación no trivial (1) que es un vector cero. De lo contrario (es decir, si solo una combinación trivial de vectores e 1, e 2, ..., e n es igual a cero vector) vectores e 1, e 2, ..., e n se denominan linealmente independientes.
La dimensión del espacio es el número máximo de vectores LZ contenidos en él.
Espacio vectorial llamado n-dimensional (o tiene "dimensión n "),
Si hay norte elementos linealmente independientes e 1, e 2, ..., e n, y cualquier norte+ 1
los elementos son linealmente dependientes (condición generalizada B). Espacio vectorial se llaman infinitas dimensiones si por cualquier natural norte existe norte vectores linealmente independientes. Alguna norte vectores linealmente independientes de la n-dimensión Espacio vectorial forman la base de este espacio. Si e 1, e 2, ..., e n- base Espacio vectorial, luego cualquier vector NS de este espacio se puede representar de forma única como una combinación lineal de vectores base: X=a 1 e 1+a 2 e 2+...
+a n e n.
Además, los números a 1, a 2, ..., a n se llaman las coordenadas del vector NS en esta base.
ESPACIO VECTORIAL (espacio lineal), uno de los conceptos fundamentales del álgebra, generalizando el concepto de colección de vectores (libres). En el espacio vectorial, en lugar de vectores, se considera cualquier objeto que se pueda sumar y multiplicar por números; en este caso, se requiere que las propiedades algebraicas básicas de estas operaciones sean las mismas que para los vectores en geometría elemental. En la definición exacta, los números se reemplazan por elementos de cualquier campo K.Un espacio vectorial sobre un campo K es un conjunto V con la operación de sumar elementos de V y la operación de multiplicar elementos de V por elementos del campo K, que tienen las siguientes propiedades:
x + y = y + x para cualquier x, y de V, es decir, con respecto a la suma, V es un grupo abeliano;
λ (x + y) = λ χ + λy para cualquier λ de K y x, y de V;
(λ + μ) х = λх + μх para cualquier λ, μ de К y х de V;
(λ μ) х = λ (μх) para cualquier λ, μ de К y х de V;
1x = x para cualquier x de V, aquí 1 significa la unidad del campo K.
Ejemplos de espacio vectorial son: conjuntos L 1, L 2 y L 3 de todos los vectores de geometría elemental, respectivamente, en línea recta, plano y espacio con las operaciones habituales de suma vectorial y multiplicación por un número; coordinar el espacio vectorial K n, cuyos elementos son todas las posibles cadenas (vectores) de longitud n con elementos del campo K, y las operaciones están dadas por las fórmulas
el conjunto F (M, K) de todas las funciones definidas sobre un conjunto fijo M y tomando valores en el campo K, con las operaciones habituales sobre funciones:
Los elementos de un espacio vectorial е 1 ..., е n se llaman linealmente independientes si se sigue de la igualdad λ 1 e 1 + ... + λ n е n = 0 Є V que todo λ 1, λ 2, .. ., λ n = 0 Є K. De lo contrario, los elementos е 1, е 2, ···> е n se denominan linealmente dependientes. Si en el espacio vectorial V cualesquiera n + 1 elementos e 1, ..., e n + 1 son linealmente dependientes y hay n elementos linealmente independientes, entonces V se llama un espacio vectorial n-dimensional, y n es un espacio vectorial dimensionalmente V Si en un espacio vectorial V para cualquier n natural hay n vectores linealmente independientes, entonces V se denomina espacio vectorial de dimensión infinita. Por ejemplo, el espacio vectorial L 1, L 2, L 3 y K n son respectivamente 1, 2, 3 y n-dimensionales; si M es un conjunto infinito, entonces el espacio vectorial F (M, K) es de dimensión infinita.
Un espacio vectorial V y U sobre un campo K se llama isomorfo si existe un mapeo uno a uno φ: V -> U tal que φ (x + y) = φ (x) + φ (y) para cualquier x , y de V y φ (λх) = λ φ (х) para cualquier λ de К y х de V. Los espacios vectoriales isomorfos son algebraicamente indistinguibles. La clasificación de los espacios vectoriales de dimensión finita hasta el isomorfismo viene dada por su dimensión: cualquier espacio vectorial de n dimensiones sobre el campo K es isomorfo al espacio vectorial de coordenadas K n. Véase también Espacio de Hilbert, Álgebra lineal.
En el artículo sobre vectores n-dimensionales, llegamos al concepto de un espacio lineal generado por un conjunto de vectores n-dimensionales. Ahora tenemos que considerar conceptos no menos importantes, como la dimensión y la base de un espacio vectorial. Están directamente relacionados con el concepto de un sistema vectorial linealmente independiente, por lo que también se recomienda recordar los conceptos básicos de este tema.
Introduzcamos algunas definiciones.
Definición 1
Dimensión del espacio vectorial- el número correspondiente al número máximo de vectores linealmente independientes en este espacio.
Definición 2
Base del espacio vectorial- un conjunto de vectores linealmente independientes, ordenados e iguales en número a la dimensión del espacio.
Considere un cierto espacio de n -vectores. Su dimensión es correspondientemente igual a n. Tomemos un sistema de vectores de n unidades:
e (1) = (1, 0, ..., 0) e (2) = (0, 1, ..., 0) e (n) = (0, 0, ..., 1)
Usamos estos vectores como componentes de la matriz A: será la unidad con dimensión n por n. El rango de esta matriz es n. Por lo tanto, el sistema vectorial e (1), e (2) ,. ... ... , e (n) es linealmente independiente. Además, es imposible agregar un solo vector al sistema sin violar su independencia lineal.
Dado que el número de vectores en el sistema es n, la dimensión del espacio de los vectores n-dimensionales es n, y los vectores unitarios son e (1), e (2) ,. ... ... , e (n) son la base del espacio indicado.
De la definición obtenida, concluimos: cualquier sistema de vectores n-dimensionales, en el que el número de vectores es menor que n, no es una base del espacio.
Si intercambiamos el primer y segundo vector, obtenemos un sistema de vectores e (2), e (1) ,. ... ... , e (n). También será la base del espacio vectorial n-dimensional. Compongamos la matriz, tomando los vectores del sistema resultante como sus filas. La matriz se puede obtener de la matriz identidad permutando las dos primeras filas, su rango será igual an. Sistema e (2), e (1) ,. ... ... , e (n) es linealmente independiente y es una base de un espacio vectorial n-dimensional.
Al reorganizar otros vectores en el sistema original, obtenemos una base más.
Podemos tomar un sistema linealmente independiente de vectores no unitarios, y también representará la base de un espacio vectorial n-dimensional.
Definición 3
Un espacio vectorial con dimensión n tiene tantas bases como sistemas linealmente independientes de vectores n-dimensionales de número n.
El plano es un espacio bidimensional; su base serán dos vectores no colineales cualesquiera. Cualesquiera tres vectores no coplanares servirán como base del espacio tridimensional.
Consideremos la aplicación de esta teoría con ejemplos específicos.
Ejemplo 1
Datos iniciales: vectores
a = (3, - 2, 1) b = (2, 1, 2) c = (3, - 1, - 2)
Es necesario determinar si los vectores indicados son la base de un espacio vectorial tridimensional.
Solución
Para resolver el problema planteado, investigamos un sistema dado de vectores de dependencia lineal. Compongamos una matriz, donde las filas son las coordenadas de los vectores. Determinemos el rango de la matriz.
A = 3 2 3 - 2 1 - 1 1 2 - 2 A = 3 - 2 1 2 1 2 3 - 1 - 2 = 3 1 (- 2) + (- 2) 2 3 + 1 2 (- 1) - 1 1 3 - (- 2) 2 (- 2) - 3 2 (- 1) = = - 25 ≠ 0 ⇒ R ank (A) = 3
En consecuencia, los vectores especificados por la condición del problema son linealmente independientes y su número es igual a la dimensión del espacio vectorial; son la base del espacio vectorial.
Respuesta: los vectores indicados son la base del espacio vectorial.
Ejemplo 2
Datos iniciales: vectores
a = (3, - 2, 1) b = (2, 1, 2) c = (3, - 1, - 2) d = (0, 1, 2)
Es necesario determinar si el sistema de vectores indicado puede ser la base del espacio tridimensional.
Solución
El sistema de vectores indicado en el enunciado del problema es linealmente dependiente, ya que el número máximo de vectores linealmente independientes es 3. Por tanto, el sistema de vectores indicado no puede servir como base para un espacio vectorial tridimensional. Pero vale la pena señalar que el subsistema del sistema original a = (3, - 2, 1), b = (2, 1, 2), c = (3, - 1, - 2) es una base.
Respuesta: el sistema de vectores especificado no es una base.
Ejemplo 3
Datos iniciales: vectores
a = (1, 2, 3, 3) b = (2, 5, 6, 8) c = (1, 3, 2, 4) d = (2, 5, 4, 7)
¿Pueden ser la base de un espacio de cuatro dimensiones?
Solución
Compongamos la matriz usando las coordenadas de los vectores dados como filas
A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7
Usando el método de Gauss, determinamos el rango de la matriz:
A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 - 1 1 0 1 - 2 1 ~ ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 - 2 - 1 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R ank (A) = 4
En consecuencia, el sistema de vectores dados es linealmente independiente y su número es igual a la dimensión del espacio vectorial; son la base del espacio vectorial de cuatro dimensiones.
Respuesta: los vectores dados son la base del espacio de cuatro dimensiones.
Ejemplo 4
Datos iniciales: vectores
a (1) = (1, 2, - 1, - 2) a (2) = (0, 2, 1, - 3) a (3) = (1, 0, 0, 5)
¿Constituyen una base para un espacio de 4 dimensiones?
Solución
El sistema original de vectores es linealmente independiente, pero el número de vectores en él es insuficiente para convertirse en la base de un espacio de cuatro dimensiones.
Respuesta: no, no lo hacen.
Expansión de un vector en base
Supongamos que los vectores arbitrarios e (1), e (2) ,. ... ... , e (n) son una base de un espacio vectorial n-dimensional. Agreguemos a ellos algún vector n-dimensional x →: el sistema de vectores resultante se volverá linealmente dependiente. Las propiedades de la dependencia lineal establecen que al menos uno de los vectores de tal sistema puede expresarse linealmente en términos de los demás. Reformulando esta afirmación, podemos decir que al menos uno de los vectores de un sistema linealmente dependiente se puede expandir en términos del resto de los vectores.
Así, hemos llegado a la formulación del teorema más importante:
Definición 4
Cualquier vector de espacio vectorial n-dimensional se descompone de forma única en su base.
Prueba 1
Demostremos este teorema:
definir la base del espacio vectorial n-dimensional - e (1), e (2) ,. ... ... , e (n). Hagamos que el sistema sea linealmente dependiente añadiéndole un vector n-dimensional x →. Este vector se puede expresar linealmente en términos de los vectores originales e:
x = x 1 e (1) + x 2 e (2) +. ... ... + x n e (n), donde x 1, x 2 ,. ... ... , x n - algunos números.
Ahora demostremos que tal descomposición es única. Supongamos que este no es el caso y hay otra descomposición similar:
x = x ~ 1 e (1) + x 2 ~ e (2) +. ... ... + x ~ n e (n), donde x ~ 1, x ~ 2 ,. ... ... , x ~ n son algunos números.
Restemos de los lados izquierdo y derecho de esta igualdad, respectivamente, los lados izquierdo y derecho de la igualdad x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) +. ... ... + x norte mi (norte). Obtenemos:
0 = (x ~ 1 - x 1) e (1) + (x ~ 2 - x 2) e (2) +. ... ... (x ~ norte - x norte) mi (2)
El sistema de vectores base e (1), e (2) ,. ... ... , e (n) es linealmente independiente; según la definición de independencia lineal de un sistema de vectores, la igualdad anterior es posible solo si todos los coeficientes son (x ~ 1 - x 1), (x ~ 2 - x 2) ,. ... ... , (x ~ n - x n) será igual a cero. De lo que será justo: x 1 = x ~ 1, x 2 = x ~ 2 ,. ... ... , x norte = x ~ n. Y esto demuestra que es la única forma de expandir el vector en términos de base.
En este caso, los coeficientes x 1, x 2 ,. ... ... , x n se denominan coordenadas del vector x → en la base e (1), e (2) ,. ... ... , e (n).
La teoría probada deja clara la expresión "dado un vector n-dimensional x = (x 1, x 2, ..., X n)": se considera un vector x → n-espacio vectorial dimensional, y sus coordenadas se dan en alguna base. También está claro que el mismo vector en una base diferente del espacio n-dimensional tendrá diferentes coordenadas.
Considere el siguiente ejemplo: suponga que en alguna base de un espacio vectorial n-dimensional, se da un sistema de n vectores linealmente independientes
y también dado un vector x = (x 1, x 2, ..., x n).
Los vectores e 1 (1), e 2 (2) ,. ... ... , e n (n) en este caso también son la base de este espacio vectorial.
Suponga que es necesario determinar las coordenadas del vector x → en la base e 1 (1), e 2 (2) ,. ... ... , e n (n), denotado como x ~ 1, x ~ 2 ,. ... ... , x ~ n.
El vector x → se representará de la siguiente manera:
x = x ~ 1 e (1) + x ~ 2 e (2) +. ... ... + x ~ n e (n)
Escribamos esta expresión en forma de coordenadas:
(x 1, x 2, ..., xn) = x ~ 1 (e (1) 1, e (1) 2, ..., e (1) n) + x ~ 2 (e (2) 1 , e (2) 2, .., E (2) n) +. ... ... + + x ~ norte (mi (norte) 1, mi (norte) 2, ..., mi (norte) norte) = = (x ~ 1 mi 1 (1) + x ~ 2 mi 1 (2) +. .. + x ~ ne 1 (n), x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + + ... + x ~ ne 2 (n), ..., x ~ 1 en (1) + x ~ 2 en (2) + ... + x ~ nen (n))
La igualdad resultante es equivalente a un sistema de n expresiones algebraicas lineales con n variables lineales desconocidas x ~ 1, x ~ 2 ,. ... ... , x ~ n:
x 1 = x ~ 1 e 1 1 + x ~ 2 e 1 2 +. ... ... + x ~ norte mi 1 norte x 2 = x ~ 1 mi 2 1 + x ~ 2 mi 2 2 +. ... ... + x ~ norte mi 2 norte ⋮ x norte = x ~ 1 mi norte 1 + x ~ 2 mi norte 2 +. ... ... + x ~ n e n n
La matriz de este sistema será la siguiente:
mi 1 (1) mi 1 (2) ⋯ mi 1 (n) mi 2 (1) mi 2 (2) ⋯ mi 2 (n) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ mi norte (1) mi norte (2) ⋯ mi norte (norte)
Sea una matriz A, y sus columnas son vectores de un sistema linealmente independiente de vectores e 1 (1), e 2 (2) ,. ... ... , e n (n). El rango de la matriz es n y su determinante es distinto de cero. Esto indica que el sistema de ecuaciones tiene una solución única que se puede determinar de cualquier manera conveniente: por ejemplo, el método de Cramer o el método matricial. Por tanto, podemos determinar las coordenadas x ~ 1, x ~ 2 ,. ... ... , x ~ n del vector x → en la base e 1 (1), e 2 (2) ,. ... ... , e n (n).
Apliquemos la teoría considerada a un ejemplo específico.
Ejemplo 6
Datos iniciales: en la base del espacio tridimensional, vectores
e (1) = (1, - 1, 1) e (2) = (3, 2, - 5) e (3) = (2, 1, - 3) x = (6, 2, - 7)
Es necesario confirmar el hecho de que el sistema de vectores e (1), e (2), e (3) también sirve como base del espacio dado, y también para determinar las coordenadas del vector x en la base dada. .
Solución
Un sistema de vectores e (1), e (2), e (3) será la base de un espacio tridimensional si es linealmente independiente. Aclaremos esta posibilidad determinando el rango de la matriz A, cuyas filas son los vectores dados e (1), e (2), e (3).
Usamos el método de Gauss:
A = 1 - 1 1 3 2 - 5 2 1 - 3 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 3 - 5 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 0 - 1 5
R a n k (A) = 3. Por tanto, el sistema de vectores e (1), e (2), e (3) es linealmente independiente y es una base.
Deje que el vector x → tenga coordenadas x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3 en la base. La relación entre estas coordenadas está determinada por la ecuación:
x 1 = x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + x ~ 3 e 1 (3) x 2 = x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + x ~ 3 e 2 (3) x 3 = x ~ 1 e 3 (1) + x ~ 2 e 3 (2) + x ~ 3 e 3 (3)
Apliquemos los valores según las condiciones del problema:
x ~ 1 + 3 x ~ 2 + 2 x ~ 3 = 6 - x ~ 1 + 2 x ~ 2 + x ~ 3 = 2 x ~ 1 - 5 x ~ 2-3 x 3 = - 7
Resolvamos el sistema de ecuaciones por el método de Cramer:
∆ = 1 3 2-1 2 1 1-5-3 = - 1 ∆ x ~ 1 = 6 3 2 2 2 1-7-5-3 = - 1, x ~ 1 = ∆ x ~ 1 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 2 = 1 6 2 - 1 2 1 1 - 7 - 3 = - 1, x ~ 2 = ∆ x ~ 2 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 3 = 1 3 6 - 1 2 2 1 - 5 - 7 = - 1, x ~ 3 = ∆ x ~ 3 ∆ = - 1 - 1 = 1
Entonces, el vector x → en la base e (1), e (2), e (3) tiene coordenadas x ~ 1 = 1, x ~ 2 = 1, x ~ 3 = 1.
Respuesta: x = (1, 1, 1)
Relación entre bases
Suponga que en alguna base de un espacio vectorial n-dimensional se dan dos sistemas de vectores linealmente independientes:
c (1) = (c 1 (1), c 2 (1), ..., cn (1)) c (2) = (c 1 (2), c 2 (2), .., cn ( 2)) ⋮ c (n) = (c 1 (n), e 2 (n), ..., Cn (n))
e (1) = (e 1 (1), e 2 (1), ..., en (1)) e (2) = (e 1 (2), e 2 (2), ..., en (2)) ⋮ mi (n) = (mi 1 (n), mi 2 (n), ..., En (n))
Estos sistemas son también las bases del espacio dado.
Sea c ~ 1 (1), c ~ 2 (1) ,. ... ... , c ~ n (1) son las coordenadas del vector c (1) en la base e (1), e (2) ,. ... ... , e (3), entonces la conexión de coordenadas será especificada por un sistema de ecuaciones lineales:
c 1 (1) = c ~ 1 (1) e 1 (1) + c ~ 2 (1) e 1 (2) +. ... ... + c ~ norte (1) mi 1 (norte) c 2 (1) = c ~ 1 (1) mi 2 (1) + c ~ 2 (1) mi 2 (2) +. ... ... + c ~ norte (1) mi 2 (norte) ⋮ do norte (1) = c ~ 1 (1) mi norte (1) + c ~ 2 (1) mi norte (2) +. ... ... + c ~ norte (1) mi norte (norte)
En forma de matriz, el sistema se puede mostrar de la siguiente manera:
(c 1 (1), c 2 (1), .., cn (1)) = (c ~ 1 (1), c ~ 2 (1), ..., c ~ n (1)) e 1 (1) e 2 (1)… en (1) e 1 (2) e 2 (2)… en (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n)… en (n)
Hagamos la misma notación para el vector c (2) por analogía:
(c 1 (2), c 2 (2), .., cn (2)) = (c ~ 1 (2), c ~ 2 (2), ..., c ~ n (2)) e 1 (1) e 2 (1)… en (1) e 1 (2) e 2 (2)… en (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n)… en (n)
(c 1 (n), c 2 (n), .., cn (n)) = (c ~ 1 (n), c ~ 2 (n), ..., c ~ n (n)) e 1 (1) e 2 (1)… en (1) e 1 (2) e 2 (2)… en (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n)… en (n)
Combinemos las igualdades matriciales en una expresión:
c 1 (1) c 2 (1) ⋯ cn (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ cn (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n) c 2 (n) ⋯ cn (n) = c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) mi 1 (1) mi 2 (1) ⋯ en (1) mi 1 (2) mi 2 (2) ⋯ en (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ mi 1 (n) e 2 (n) ⋯ en (n)
Determinará la relación entre vectores de dos bases diferentes.
Usando el mismo principio, es posible expresar todos los vectores de base e (1), e (2) ,. ... ... , e (3) a través de la base c (1), c (2) ,. ... ... , c (n):
mi 1 (1) mi 2 (1) ⋯ en (1) mi 1 (2) mi 2 (2) ⋯ en (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ mi 1 (n) mi 2 (n) ⋯ en (n) = e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (norte) ⋯ e ~ norte (norte) c 1 (1) c 2 (1) ⋯ cn (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ cn (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (norte) c 2 (norte) ⋯ cn (norte)
Demos las siguientes definiciones:
Definición 5
Matriz c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) es la matriz de transición de la base e (1), e (2) ,. ... ... , e (3)
a la base c (1), c (2) ,. ... ... , c (n).
Definición 6
Matriz e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) es la matriz de transición de la base c (1), c (2) ,. ... ... , c (n)
a la base e (1), e (2) ,. ... ... , e (3).
Es obvio a partir de estas igualdades que
c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (norte) ⋯ c ~ norte (norte) e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ norte (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ norte (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 e ~ 1 (1) e ~ 2 (1 ) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) C ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (norte) ⋯ c ~ norte (norte) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1
aquellos. las matrices de transición son inversas.
Consideremos la teoría con un ejemplo específico.
Ejemplo 7
Datos iniciales: es necesario encontrar la matriz de transición a partir de la base
c (1) = (1, 2, 1) c (2) = (2, 3, 3) c (3) = (3, 7, 1)
e (1) = (3, 1, 4) e (2) = (5, 2, 1) e (3) = (1, 1, - 6)
También debe indicar la relación de las coordenadas de un vector arbitrario x → en las bases dadas.
Solución
1. Sea T la matriz de transición, entonces la igualdad será verdadera:
3 1 4 5 2 1 1 1 1 = T 1 2 1 2 3 3 3 7 1
Multiplicamos ambos lados de la igualdad por
1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1
y obten:
T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1
2. Defina la matriz de transición:
T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 = = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 - 18 5 3 7 - 2 - 1 5 - 1 - 1 = - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8
3. Defina la relación de las coordenadas del vector x →:
suponga que en la base c (1), c (2) ,. ... ... , c (n) vector x → tiene coordenadas x 1, x 2, x 3, entonces:
x = (x 1, x 2, x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1,
y en la base e (1), e (2) ,. ... ... , e (3) tiene coordenadas x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3, entonces:
x = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6
Porque los lados izquierdos de estas igualdades son iguales, podemos igualar los lados derechos:
(x 1, x 2, x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1 = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6
Multiplica ambos lados de la derecha por
1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1
y obten:
(x 1, x 2, x 3) = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 ⇔ ⇔ (x 1 , x 2, x 3) = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) T ⇔ ⇔ (x 1, x 2, x 3) = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8
Por otro lado
(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8
Las últimas igualdades muestran la conexión entre las coordenadas del vector x → en ambas bases.
Respuesta: matriz de transición
27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8
Las coordenadas del vector x → en las bases dadas están relacionadas por la razón:
(x 1, x 2, x 3) = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8
(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8 - 1
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