¿Por qué necesitas las propiedades básicas de una fracción? Propiedad básica de una fracción algebraica

22.10.2021

Gatos

Hablando de matemáticas, uno no puede evitar recordar fracciones. Dedican mucho tiempo y atención a su estudio. Recuerde cuántos ejemplos tuvo que resolver para aprender ciertas reglas para trabajar con fracciones, cómo memorizó y aplicó la propiedad básica de una fracción. ¡Cuántos nervios se gastaron para encontrar el denominador común, especialmente si los ejemplos tenían más de dos términos!

Recordemos de qué se trata y refresquemos un poco la memoria la información básica y las reglas para trabajar con fracciones.

Definición de fracciones

Comencemos con lo más importante: las definiciones. Una fracción es un número que se compone de una o más partes de uno. Un número fraccionario se escribe como dos números separados por una barra horizontal o una barra. En este caso, el superior (o el primero) se llama numerador y el inferior (el segundo) se llama denominador.

Vale la pena señalar que el denominador muestra en cuántas partes se divide la unidad y el numerador muestra el número de partes o partes tomadas. Las fracciones, si son correctas, suelen ser menos de uno.

Ahora veamos las propiedades de estos números y las reglas básicas que se usan cuando se trabaja con ellos. Pero antes de analizar un concepto como "la propiedad principal de una fracción racional", hablemos de los tipos de fracciones y sus características.

Que son las fracciones

Existen varios tipos de tales números. En primer lugar, estos son ordinarios y decimales. Los primeros representan el tipo de grabación que ya hemos indicado mediante una barra horizontal o una barra. El segundo tipo de fracciones se indica mediante la denominada notación posicional, cuando se indica primero la parte entera del número y luego, después de la coma, se indica la parte fraccionaria.

Vale la pena señalar aquí que en matemáticas, tanto las fracciones decimales como las ordinarias se usan de la misma manera. La propiedad principal de la fracción es válida solo para la segunda opción. Además, los números correctos e incorrectos se distinguen en fracciones ordinarias. Para el primero, el numerador es siempre menor que el denominador. Tenga en cuenta también que dicha fracción es menor que uno. En una fracción irregular, por el contrario, el numerador es mayor que el denominador, y él mismo es mayor que uno. En este caso, se puede extraer un número entero. En este artículo, solo consideraremos fracciones ordinarias.

Propiedades de las fracciones

Cualquier fenómeno, químico, físico o matemático, tiene sus propias características y propiedades. Los números fraccionarios no fueron una excepción. Tienen una característica importante, con la ayuda de la cual se pueden realizar ciertas operaciones en ellos. ¿Cuál es la propiedad principal de una fracción? La regla dice que si su numerador y denominador se multiplican o dividen por el mismo número racional, obtenemos una nueva fracción, cuyo valor será igual al valor de la original. Es decir, multiplicando las dos partes del número fraccionario 3/6 por 2, obtenemos una nueva fracción 6/12, mientras que serán iguales.

Con base en esta propiedad, puede reducir fracciones, así como seleccionar denominadores comunes para un par de números en particular.

Operaciones

Aunque las fracciones nos parecen más complejas, también puedes realizar operaciones matemáticas básicas como suma y resta, multiplicación y división en comparación con ellas. Además, existe una acción tan específica como la reducción de fracciones. Naturalmente, cada una de estas acciones se realiza de acuerdo con ciertas reglas. El conocimiento de estas leyes facilita el trabajo con fracciones, lo hace más fácil y más interesante. Es por eso que más adelante consideraremos las reglas básicas y un algoritmo de acciones cuando trabajemos con tales números.

Pero antes de hablar de operaciones matemáticas como la suma y la resta, examinemos una operación como la reducción a un denominador común. Aquí es donde nos resulta útil el conocimiento de cuál es la propiedad básica de una fracción.

Común denominador

Para llevar un número a un denominador común, primero debes encontrar el mínimo común múltiplo de los dos denominadores. Es decir, el número más pequeño que es simultáneamente divisible por ambos denominadores sin resto. La forma más fácil de encontrar el MCM (mínimo común múltiplo) es escribir en una línea para un denominador, luego para el segundo, y encontrar el número correspondiente entre ellos. En el caso de que no se encuentre el LCM, es decir, estos números no tienen un múltiplo común, se deben multiplicar, y el valor resultante se debe considerar como el LCM.

Entonces, hemos encontrado el LCM, ahora necesitamos encontrar un factor adicional. Para hacer esto, debes dividir alternativamente el MCM en los denominadores de las fracciones y escribir el número resultante sobre cada una de ellas. A continuación, debes multiplicar el numerador y el denominador por el factor adicional resultante y escribir los resultados como una nueva fracción. Si dudas que el número que recibiste sea igual al anterior, recuerda la propiedad básica de una fracción.

Adición

Ahora vayamos directamente a las operaciones matemáticas con números fraccionarios. Empecemos por el más simple. Hay varias opciones para sumar fracciones. En el primer caso, ambos números tienen el mismo denominador. En este caso, solo queda sumar los numeradores. Pero el denominador no cambia. Por ejemplo, 1/5 + 3/5 = 4/5.

Si las fracciones tienen diferentes denominadores, se deben llevar a uno común y solo entonces se debe realizar la suma. Cómo hacer esto, lo hemos resuelto un poco más. En esta situación, la propiedad básica de la fracción será útil. La regla te permitirá llevar los números a un denominador común. Esto no cambiará el valor de ninguna manera.

Alternativamente, puede suceder que la fracción esté mezclada. Luego, primero debes sumar las partes enteras y luego las partes fraccionarias.

Multiplicación

No requiere ningún truco, y para realizar esta acción no es necesario conocer la propiedad básica de la fracción. Es suficiente multiplicar primero los numeradores y denominadores. En este caso, el producto de los numeradores se convertirá en el nuevo numerador y el denominador se convertirá en el nuevo denominador. Como ves, nada complicado.

Lo único que se requiere de usted es el conocimiento de la tabla de multiplicar, así como la atención. Además, una vez obtenido el resultado, es imperativo comprobar si este número se puede reducir o no. Hablaremos sobre cómo reducir fracciones un poco más adelante.

Sustracción

La interpretación debe guiarse por las mismas reglas que al agregar. Entonces, en números con el mismo denominador, basta con restar el numerador de lo restado del numerador de lo reducido. En el caso de que las fracciones tengan diferentes denominadores, debes llevarlas a uno común y luego realizar esta operación. Como en el caso análogo con la suma, necesitará usar la propiedad básica de una fracción algebraica, así como habilidades para encontrar el MCM y los factores comunes para las fracciones.

División

Y la última operación más interesante cuando se trabaja con tales números es la división. Es bastante simple y no causa ninguna dificultad en particular, incluso para aquellos que están poco versados en cómo trabajar con fracciones, en particular, realizar operaciones de suma y resta. Al dividir, hay una regla como la multiplicación por el recíproco. La propiedad básica de una fracción, como en el caso de la multiplicación, no se utilizará para esta operación. Miremos más de cerca.

Al dividir números, el dividendo permanece sin cambios. La fracción del divisor se invierte, es decir, el numerador y el denominador están invertidos. Después de eso, los números se multiplican entre sí.

Reducción

Entonces, ya hemos analizado la definición y estructura de las fracciones, sus tipos, las reglas para las operaciones con números dados y aclaramos la propiedad principal de una fracción algebraica. Ahora hablemos de una operación como reducción. Reducir una fracción es el proceso de convertirla, dividiendo el numerador y el denominador por el mismo número. Así, la fracción se reduce sin cambiar sus propiedades.

Por lo general, al realizar una operación matemática, debe observar detenidamente el resultado obtenido como resultado y averiguar si es posible reducir la fracción resultante o no. Recuerda que el resultado final siempre se escribe con un número fraccionario no abreviado.

Otras operaciones

Finalmente, notamos que hemos enumerado lejos de todas las operaciones con números fraccionarios, mencionando solo las más famosas y necesarias. Las fracciones también se pueden ecualizar, convertir a decimales y viceversa. Pero en este artículo no consideramos estas operaciones, ya que en matemáticas se realizan con mucha menos frecuencia que las que hemos dado anteriormente.

conclusiones

Hablamos con ellos sobre números fraccionarios y operaciones. También analizamos la propiedad principal, pero observemos que todas estas cuestiones fueron consideradas por nosotros de pasada. Hemos dado solo las reglas más famosas y utilizadas, dado los consejos más importantes, en nuestra opinión.

Este artículo tiene como objetivo refrescar la información que has olvidado sobre las fracciones en lugar de dar nueva información y "enterrar" tu cabeza con un sinfín de reglas y fórmulas que, muy probablemente, no te serán de utilidad.

Esperamos que el material presentado en el artículo de manera simple y concisa le haya resultado útil.

Desmontado al detalle propiedad básica de una fracción, se da su formulación, se da una prueba y un ejemplo ilustrativo. También se considera la aplicación de la propiedad básica de una fracción al reducir fracciones y reducir fracciones a un nuevo denominador.

Navegación de página.

La propiedad principal de una fracción es una formulación, prueba y ejemplos ilustrativos.

Veamos un ejemplo para ilustrar la propiedad básica de una fracción. Suponga que tenemos un cuadrado dividido en 9 cuadrados "grandes", y cada uno de estos cuadrados "grandes" se divide en 4 cuadrados "pequeños". Por lo tanto, también podemos decir que el cuadrado original se divide en 4 · 9 = 36 cuadrados "pequeños". Pinte más de 5 cuadrados "grandes". En este caso, se llenarán 4 · 5 = 20 cuadrados "pequeños". Aquí hay una cifra que coincide con nuestro ejemplo.

La parte sombreada es 5/9 del cuadrado original o, de manera equivalente, 20/36 del cuadrado original, es decir, las fracciones 5/9 y 20/36 son iguales: o. De estas igualdades, así como de las igualdades 20 = 5 · 4, 36 = 9 · 4, 20: 4 = 5 y 36: 4 = 9 se sigue que y.

Para consolidar el material desmontado, considere la solución de un ejemplo.

Ejemplo.

El numerador y el denominador de alguna fracción ordinaria se multiplicaron por 62, después de lo cual el numerador y el denominador de la fracción resultante se dividieron por 2. ¿Es la fracción resultante igual a la original?

Solución.

Al multiplicar el numerador y el denominador de una fracción por cualquier número natural, en particular 62, se obtiene una fracción que, debido a la propiedad básica de la fracción, es igual al original. La propiedad principal de una fracción también nos permite afirmar que luego de dividir el numerador y denominador de la fracción resultante por 2, se obtendrá una fracción, que será igual a la fracción original.

Respuesta:

Sí, la fracción resultante es igual a la original.

Aplicar la propiedad básica de una fracción

La propiedad básica de una fracción se utiliza principalmente en dos casos: en primer lugar, al reducir fracciones a un nuevo denominador y, en segundo lugar, al reducir fracciones.

La propiedad principal de una fracción le permite reducir fracciones y, como resultado, pasar de la fracción original a una fracción igual, pero con un numerador y denominador más pequeños. Reducir una fracción consiste en dividir el numerador y denominador de la fracción original por cualquier numerador y denominador positivo que no sea uno (si no existen tales divisores comunes, entonces la fracción original es irreducible, es decir, no se puede cancelar). En particular, dividir por hará que la fracción original sea irreducible.

Bibliografía.

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matemáticas: libro de texto para quinto grado. Instituciones educacionales.
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En matemáticas, una fracción es un número formado por una o más partes (fracciones) de una unidad. Según la forma de notación, las fracciones se dividen en ordinarias (por ejemplo, \ frac (5) (8)) y decimales (por ejemplo, 123,45).

Definición. Fracción común (o fracción simple)

Fracción ordinaria (simple) es un número de la forma \ pm \ frac (m) (n) donde myn son números naturales. El número m se llama numerador de esta fracción, y el número n es su denominador.

Una barra inclinada horizontal o hacia adelante denota un signo de división, es decir, \ frac (m) (n) = () ^ m / n = m: n

Las fracciones ordinarias se dividen en dos tipos: correctas e incorrectas.

Definición. Fracciones correctas e incorrectas

Correcto una fracción con el módulo del numerador menor que el módulo del denominador se llama. Por ejemplo, \ frac (9) (11), porque 9

Incorrecto es una fracción en la que el módulo del numerador es mayor o igual que el módulo del denominador. Tal fracción es un número racional, módulo mayor o igual a uno. Un ejemplo serían las fracciones \ frac (11) (2), \ frac (2) (1), - \ frac (7) (5), \ frac (1) (1)

Junto con una fracción impropia, hay otra notación para un número, que se llama fracción mixta (número mixto). Esta fracción no es ordinaria.

Definición. Fracción mixta (número mixto)

Tiro mixto se llama fracción escrita como un número entero y una fracción regular y se entiende como la suma de este número y una fracción. Por ejemplo, 2 \ frac (5) (7)

(escrito como un número mixto) 2 \ frac (5) (7) = 2 + \ frac (5) (7) = \ frac (14) (7) + \ frac (5) (7) = \ frac (19 ) (7) (no escrito como una fracción impropia)

Una fracción es solo una notación de un número. El mismo número puede corresponder a diferentes fracciones, tanto ordinarias como decimales. Formemos un signo de igualdad de dos fracciones ordinarias.

Definición. Igualdad de fracciones

Las dos fracciones \ frac (a) (b) y \ frac (c) (d) son igual si a \ cdot d = b \ cdot c. Por ejemplo, \ frac (2) (3) = \ frac (8) (12) ya que 2 \ cdot12 = 3 \ cdot8

La propiedad principal de la fracción se deriva de esta característica.

Propiedad. Propiedad básica de una fracción

Si el numerador y el denominador de una fracción dada se multiplican o dividen por el mismo número, que no es igual a cero, entonces obtienes una fracción igual a la dada.

\ frac (A) (B) = \ frac (A \ cdot C) (B \ cdot C) = \ frac (A: K) (B: K); \ quad C \ ne 0, \ quad K \ ne 0

Usando la propiedad básica de una fracción, puede reemplazar una fracción dada con otra fracción igual a esta, pero con un numerador y denominador más bajo. Este reemplazo se llama reducción de fracción. Por ejemplo, \ frac (12) (16) = \ frac (6) (8) = \ frac (3) (4) (aquí el numerador y el denominador se dividieron primero entre 2 y luego entre otros 2). La reducción de una fracción se puede hacer si y solo si su numerador y denominador no son números primos mutuamente. Si el numerador y el denominador de una fracción dada son coprimos, entonces la fracción no se puede cancelar, por ejemplo, \ frac (3) (4) es una fracción irreducible.

Reglas para fracciones positivas:

De dos fracciones con los mismos denominadores cuanto mayor es la fracción, cuyo numerador es mayor. Por ejemplo, \ frac (3) (15)

De dos fracciones con los mismos numeradores cuanto mayor es la fracción, cuyo denominador es menor. Por ejemplo, \ frac (4) (11)> \ frac (4) (13).

Para comparar dos fracciones con numeradores y denominadores diferentes, debes transformar ambas fracciones para que sus denominadores sean iguales. A esto se le llama conversión de denominador común.

Esta lección discutirá la propiedad básica de una fracción algebraica. La capacidad de aplicar esta propiedad correctamente y sin errores es una de las habilidades básicas más importantes en todo el curso de matemáticas escolares y se encontrará no solo a lo largo del estudio de este tema, sino también en casi todas las secciones de matemáticas estudiadas en el futuro. . La reducción de fracciones ordinarias ya se ha estudiado, y en esta lección consideraremos la reducción de fracciones racionales. A pesar de la diferencia externa bastante grande que existe entre las fracciones racionales y ordinarias, tienen mucho en común, es decir, tanto las fracciones ordinarias como las racionales tienen la misma propiedad básica y reglas generales para realizar operaciones aritméticas. Como parte de la lección, nos encontraremos con los conceptos: reducción de una fracción, multiplicación y división del numerador y denominador por la misma expresión, y consideraremos ejemplos.

Recordemos el principal propiedad de fracción: El valor de la fracción no cambiará si su numerador y denominador se multiplican o dividen simultáneamente por el mismo número distinto de cero. Recuerde que dividir el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número distinto de cero se llama reducción.

Por ejemplo :, mientras que el valor de las fracciones no cambia. Sin embargo, se cometen muchos errores comunes al usar esta propiedad:

1) - en el ejemplo dado, se cometió un error al dividir solo un término del numerador por 2, y no el numerador completo. La secuencia correcta de acciones se ve así: o .

2) - aquí vemos un error similar, sin embargo, además de esto, como resultado de la división, se obtuvo 0, no 1, que es un error aún más frecuente y grosero.

Ahora debes ir a la consideración. fracción algebraica... Recordemos este concepto de la lección anterior.

Definición.Fracción racional (algebraica)- expresión fraccionaria de la forma, donde son polinomios. - numerador denominador.

Las fracciones algebraicas son, en cierto sentido, una generalización de las fracciones ordinarias, y en ellas se pueden realizar las mismas operaciones que en las fracciones ordinarias.

Tanto el numerador como el denominador de una fracción se pueden multiplicar y dividir por el mismo polinomio (monomio) o un número distinto de cero. Esta será la transformación idéntica de una fracción algebraica. Recuerde que, como antes, dividir el numerador y el denominador de una fracción por la misma expresión distinta de cero se llama reducción.

Propiedad básica de una fracción algebraica le permite reducir fracciones y llevarlas al mínimo común denominador.

Para reducir las fracciones comunes, recurrimos a teorema fundamental de la aritmética, expandió tanto el numerador como el denominador en factores primos.

Definición.número primo- un número natural que es divisible solo por uno y por sí mismo. Todos los demás números naturales se denominan números compuestos. 1 no es ni primo ni compuesto.

Ejemplo 1. a), donde los factores en los que se descomponen los numeradores y denominadores de las fracciones indicadas son números primos.

Respuesta.; .

Por lo tanto, para reducción de fracciones primero es necesario factorizar el numerador y el denominador de la fracción, y luego dividirlos por factores comunes. Aquellos. debe dominar los métodos de factorización de polinomios.

Ejemplo 2. Reducir la fracción a) , antes de Cristo).

Solución. a)... Cabe señalar que el numerador contiene un cuadrado completo y el denominador contiene la diferencia de cuadrados. Después de la reducción, es necesario indicar que, para evitar la división por cero.

B) ... El denominador es un factor numérico común, que es útil en casi todos los casos cuando es posible. De manera similar con el ejemplo anterior, lo indicamos.

v) ... En el denominador, sacamos el menos (o, formalmente,) fuera de los corchetes. No olvides eso cuando cortes.

Respuesta.;; .

Ahora daremos un ejemplo de reducción a un denominador común, esto se hace de la misma forma con las fracciones ordinarias.

Ejemplo 3.

Solución. Para encontrar el mínimo común denominador, necesita encontrar minimo común multiplo (NOC) dos denominadores, es decir MCM (3; 5). En otras palabras, encuentre el número más pequeño que sea divisible por 3 y 5 al mismo tiempo. Obviamente, este número es 15, se puede escribir de esta manera: MCM (3; 5) = 15 - este será el denominador común de estas fracciones.

Para convertir el denominador 3 a 15, se debe multiplicar por 5, y para convertir 5 a 15, se debe multiplicar por 3. Por la propiedad básica de una fracción algebraica, multiplicar por los mismos números y los numeradores correspondientes de los indicados. fracciones.

Respuesta.; .

Ejemplo 4. Lleva la fracción y un denominador común.

Solución. Realicemos acciones similares al ejemplo anterior. Mínimo común múltiplo de denominadores MCM (12; 18) = 36. Llevemos ambas fracciones a este denominador:

y .

Respuesta.; .

Ahora veamos ejemplos que demuestran el uso de la técnica de reducción de fracciones para simplificarlos en casos más complejos.

Ejemplo 5. Calcula el valor de la fracción: a), b), c).

a) . Al reducir, usamos la regla de dividir grados.

Después de que repetimos el uso propiedad básica de una fracción ordinaria, podemos pasar a considerar las fracciones algebraicas.

Ejemplo 6. Simplifique la fracción y calcule los valores dados de las variables: a); , B);

Solución. Al acercarse a una solución, es posible la siguiente opción: sustituya inmediatamente los valores de las variables y comience a calcular la fracción, pero en este caso la solución se vuelve mucho más complicada y el tiempo requerido para resolverla aumenta, sin mencionar el peligro. de cometer un error en cálculos complejos. Por lo tanto, es conveniente simplificar primero la expresión en forma literal y luego sustituir los valores de las variables.

a) . Al cancelar por un factor, es necesario verificar si desaparece en los valores especificados de las variables. Al sustituir, obtenemos que permite reducir por un factor dado.

B). Ponemos el menos en el denominador, como ya hicimos en ejemplo 2... Al reducir por, comprobamos de nuevo si no estamos dividiendo por cero :.

Respuesta.; .

Ejemplo 7. Lleve las fracciones a) y, b) y, c) y a un denominador común.

Solución. a) En este caso, abordaremos la solución de la siguiente manera: no usaremos el concepto de MCM, como en el segundo ejemplo, sino que simplemente multiplicaremos el denominador de la primera fracción por el denominador de la segunda y viceversa, esto será permítanos llevar las fracciones al mismo denominador. Por supuesto, no olvide multiplicar los numeradores de fracciones por las mismas expresiones.

. Los corchetes se abrieron en el numerador y la fórmula para la diferencia de cuadrados se utilizó en el denominador.

... Acciones similares.

Se puede ver que este método permite multiplicar el denominador y el numerador de una fracción por el elemento del denominador de la segunda fracción, lo cual no es suficiente. Con otra fracción se realizan acciones similares, y los denominadores se llevan al común.

b) Hagamos las mismas acciones que en el párrafo anterior:

... Multipliquemos el numerador y el denominador por el elemento del denominador de la segunda fracción, que no fue suficiente (en este caso, el denominador completo).

... Igualmente.

v) ... En este caso, multiplicamos por 3 (un factor que está presente en el denominador de la segunda fracción y está ausente en la primera).

Respuesta. a) ; , B); , v); ...

En esta lección, aprendimos propiedad básica de una fracción algebraica y consideró las principales tareas con su uso. En la siguiente lección, analizaremos con más detalle la reducción de fracciones a un denominador común utilizando las fórmulas de multiplicación abreviadas y el método de agrupación al factorizar.

Bibliografía

Bashmakov M.I. Álgebra de octavo grado. - M.: Educación, 2004.
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Examen Estatal Unificado de Matemáticas ().
Festival de ideas pedagógicas "Lección Abierta" ().
Matemáticas en la escuela: planes de lecciones ().

Tarea

Fracciones

¡Atención!
Hay adicionales
materiales en la Sección Especial 555.
Para los que son muy "no muy ..."
Y para los que son "muy parejos ...")

Las fracciones en la escuela secundaria no son muy molestas. Siendo por el momento. Hasta que te encuentres con potencias con exponentes racionales y logaritmos. Pero hay…. Presiona, presiona la calculadora y muestra una pantalla completa de algunos números. Tengo que pensar con la cabeza como en tercer grado.

¡Tratemos ya con las fracciones, finalmente! Bueno, ¿cuánto te puedes confundir con ellos? Además, todo es simple y lógico. Entonces, que fracciones hay

Tipos de fracciones. Transformaciones.

Las fracciones son de tres tipos.

1. Fracciones ordinarias , por ejemplo:

A veces se usa una barra en lugar de una línea horizontal: 1/2, 3/4, 19/5, bueno, etc. Aquí usaremos a menudo esta ortografía. El número superior se llama numerador, fondo - el denominador. Si confundes constantemente estos nombres (sucede ...), repítete con la expresión la frase: " Zzzzz¡recordar! Zzzzz referenciando - he aquí zzzzz"Mira, todo será recordado.)

Un guión que es horizontal, que es oblicuo, significa división el número superior (numerador) al inferior (denominador). ¡Y eso es! En lugar de un guión, es muy posible poner un signo de división: dos puntos.

Cuando la división sea posible por completo, debe hacerse. Entonces, en lugar de la fracción "32/8", es mucho más agradable escribir el número "4". Aquellos. 32 es fácil de dividir entre 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Ni siquiera estoy hablando de la fracción "4/1". Que también es sólo "4". Y si no se divide por completo, lo dejamos en forma de fracción. A veces hay que hacer la operación contraria. Haz una fracción de un número entero. Pero más sobre eso más adelante.

2. Fracciones decimales , por ejemplo:

Es en este formulario que deberá anotar las respuestas a las tareas "B".

3. Numeros mezclados , por ejemplo:

Los números mixtos apenas se usan en la escuela secundaria. Para trabajar con ellos, deben traducirse a fracciones ordinarias en todos los sentidos. ¡Pero definitivamente necesitas poder hacerlo! Y luego obtendrás ese número en el rompecabezas y te congelarás ... Desde cero. ¡Pero recordaremos este procedimiento! Debajo.

Más versátil fracciones comunes... Empecemos por ellos. Por cierto, si la fracción contiene todo tipo de logaritmos, senos y otras letras, no cambia nada. En el sentido de que todo las acciones con expresiones fraccionarias no son diferentes de las acciones con fracciones ordinarias!

Propiedad principal de una fracción.

¡Entonces vamos! Para empezar, te sorprenderé. ¡Toda la variedad de transformaciones de fracciones es proporcionada por una única propiedad! Se llama así, propiedad básica de una fracción... Recordar: si el numerador y el denominador de la fracción se multiplican (dividen) por el mismo número, la fracción no cambiará. Aquellos:

Está claro que puedes escribir más, hasta que te pongas azul en la cara. No dejes que los senos y los logaritmos te confundan, nos ocuparemos de ellos más a fondo. Lo principal es comprender que todas estas diversas expresiones son la misma fracción . 2/3.

¿Lo necesitamos, todas estas transformaciones? ¡Y cómo! Ahora lo verás por ti mismo. Primero, usamos la propiedad básica de la fracción para reducción de fracciones... Parecería que la cosa es elemental. Divide el numerador y el denominador por el mismo número y todos los casos. ¡Es imposible equivocarse! Pero ... el hombre es un ser creativo. ¡Los errores pueden estar en todas partes! Especialmente si tiene que reducir no una fracción como 5/10, sino una expresión fraccionaria con todo tipo de letras.

Cómo reducir fracciones de manera correcta y rápida, sin hacer un trabajo innecesario, se puede leer en una Sección 555 especial.

¡Un estudiante normal no se molesta en dividir el numerador y el denominador por el mismo número (o expresión)! ¡Simplemente tacha todo lo que es igual arriba y abajo! Aquí es donde acecha un error típico, un error, si se quiere.

Por ejemplo, necesita simplificar la expresión:

No hay nada en qué pensar, ¡tachamos la letra "a" arriba y dos abajo! Obtenemos:

Todo es correcto. Pero realmente lo compartiste El conjunto numerador y El conjunto el denominador es "a". Si está acostumbrado a tachar, entonces, rápidamente, puede tachar la "a" en la expresión

y consíguelo de nuevo

Lo cual será categóricamente incorrecto. Porque aqui El conjunto el numerador en "a" ya es no comparte! Esta fracción no se puede cancelar. Por cierto, tal reducción es, um ... un serio desafío para el maestro. ¡Esto no está perdonado! ¿Recordar? Al acortar, es necesario dividir El conjunto numerador y El conjunto ¡denominador!

Reducir fracciones hace la vida mucho más fácil. Obtienes una fracción en algún lugar, por ejemplo, 375/1000. ¿Y cómo trabajar con ella ahora? ¿Sin calculadora? Multiplicar, decir, sumar, cuadrado!? Y si no eres demasiado perezoso, sino que lo reduzcas ordenadamente en cinco, e incluso en cinco, e incluso ... mientras se reduce, en fin. ¡Obtenemos 3/8! Mucho mejor, ¿verdad?

La propiedad principal de una fracción le permite convertir fracciones ordinarias a decimales y viceversa. sin calculadora! Esto es importante en el examen, ¿verdad?

Cómo convertir fracciones de un tipo a otro.

Las fracciones decimales son simples. ¡Como se oye, está escrito! Digamos 0,25. Este es el punto cero, veinticinco centésimas. Entonces escribimos: 25/100. Reduciendo (dividiendo el numerador y el denominador por 25), obtenemos la fracción habitual: 1/4. Todo. Sucede, y nada se reduce. Como 0.3. Esto es tres décimas, es decir 3/10.

¿Y si los enteros no son cero? Está bien. Escribimos toda la fracción sin comas en el numerador y en el denominador lo que se escucha. Por ejemplo: 3.17. Son tres puntos, diecisiete centésimas. Escribimos 317 en el numerador y 100 en el denominador. Obtenemos 317/100. Nada se reduce, todo significa. Esta es la respuesta. ¡Watson elemental! De todo lo dicho, una conclusión útil: cualquier fracción decimal se puede convertir en un ordinario .

Pero la conversión inversa, ordinaria a decimal, algunos no pueden prescindir de una calculadora. ¡Y es necesario! ¿Cómo escribirás tu respuesta en el examen? Leemos detenidamente y dominamos este proceso.

¿Cuál es la característica de la fracción decimal? Ella tiene en el denominador siempre cuesta 10, 100, 1000 o 10000, y así sucesivamente. Si tu fracción regular tiene este denominador, no hay problema. Por ejemplo, 4/10 = 0,4. O 7/100 = 0,07. O 12/10 = 1,2. ¿Y si la respuesta a la tarea en la sección "B" es 1/2? ¿Qué escribiremos en respuesta? Se requieren decimales ...

Recordando propiedad básica de una fracción ! Las matemáticas permiten que el numerador y el denominador se multipliquen favorablemente por el mismo número. ¡Cualquier cosa, por cierto! Excepto cero, por supuesto. ¡Así que aplicaremos esta propiedad a nuestro favor! ¿Por qué se puede multiplicar el denominador, es decir, 2 para que se convierta en 10, o 100, o 1000 (más pequeño es mejor, por supuesto ...)? A las 5, obviamente. Multiplicamos audazmente el denominador (esto es nosotros es necesario) por 5. Pero, entonces el numerador también debe multiplicarse por 5. Esto ya es matemáticas requiere! Obtenemos 1/2 = 1x5 / 2x5 = 5/10 = 0.5. Eso es todo.

Sin embargo, se encuentran todo tipo de denominadores. Se encontrará, por ejemplo, con la fracción 3/16. Prueba, averigua aquí qué multiplicar 16 para hacer 100 o 1000 ... ¿No funciona? Luego, simplemente puede dividir 3 entre 16. En ausencia de una calculadora, tendrá que dividir por una esquina, en una hoja de papel, como se enseñó en los grados de primaria. Obtenemos 0.1875.

Y también hay denominadores muy desagradables. Por ejemplo, no puede convertir una fracción 1/3 en un buen decimal. Tanto en una calculadora como en una hoja de papel, obtenemos 0.3333333 ... Esto significa que 1/3 es un decimal exacto no traduce... Lo mismo que 1/7, 5/6, etc. Hay muchos intraducibles. De ahí otra útil conclusión. No todas las fracciones se convierten a decimales !

Por cierto, esta es información útil para la autocomprobación. En la sección "B", debe anotar la fracción decimal como respuesta. Y obtuviste, por ejemplo, 4/3. Esta fracción no se convierte a decimal. ¡Esto significa que en algún lugar te equivocaste en el camino! Vuelve y comprueba la solución.

Entonces, descubrimos las fracciones común y decimal. Queda por lidiar con los números mixtos. Para trabajar con ellos, todos deben convertirse en fracciones ordinarias. ¿Cómo hacerlo? Puede atrapar a un alumno de sexto grado y preguntarle. Pero el alumno de sexto grado no siempre estará disponible ... Tendremos que hacerlo nosotros mismos. No es dificil. Es necesario multiplicar el denominador de la parte fraccionaria por la parte entera y sumar el numerador de la parte fraccionaria. Este será el numerador de la fracción regular. ¿Y el denominador? El denominador seguirá siendo el mismo. Suena complicado, pero en realidad todo es elemental. Veamos un ejemplo.

Suponga que ve con horror el número en el rompecabezas:

Con calma, sin pánico, pensamos. La parte completa es 1. Uno. Parte fraccionaria - 3/7. Por tanto, el denominador de la parte fraccionaria es 7. Este denominador será el denominador de la fracción ordinaria. Contamos el numerador. 7 multiplica por 1 (parte entera) y suma 3 (numerador fraccionario). Obtenemos 10. Este será el numerador de la fracción común. Eso es todo. Parece aún más simple en notación matemática:

¿Está limpio? ¡Entonces consolide su éxito! Convierte a fracciones. Debe tener 10/7, 7/2, 23/10 y 21/4.

La operación inversa, convertir una fracción impropia en un número mixto, rara vez se requiere en la escuela secundaria. Bueno, si ... Y si no estás en la escuela secundaria, puedes consultar la Sección 555 especial. En el mismo lugar, por cierto, aprenderás sobre las fracciones incorrectas.

Bueno, prácticamente eso es todo. Recordaste los tipos de fracciones y te diste cuenta cómo transferirlos de un tipo a otro. La pregunta sigue siendo: por qué ¿hazlo? ¿Dónde y cuándo aplicar este profundo conocimiento?

Contesto. Cualquier ejemplo en sí mismo sugiere las acciones necesarias. Si en el ejemplo fracciones ordinarias, decimales e incluso números mixtos se mezclan en un montón, traducimos todo en fracciones ordinarias. Esto siempre se puede hacer... Bueno, si está escrito, algo así como 0,8 + 0,3, entonces creemos que sí, sin ninguna traducción. ¿Por qué necesitamos trabajo extra? Elegimos la solución que nos conviene nosotros !

Si la tarea contiene fracciones decimales, pero um ... algunas malas, ve a las ordinarias, ¡pruébalo! Mira, todo saldrá bien. Por ejemplo, debes elevar al cuadrado el número 0.125. ¡No es tan fácil si no estás fuera del hábito de la calculadora! No solo necesitas multiplicar los números en una columna, ¡también piensa en dónde insertar la coma! ¡En la mente definitivamente no funcionará! ¿Y si pasamos a una fracción ordinaria?

0,125 = 125/1000. Reducirlo en 5 (esto es para empezar). Obtenemos 25/200. Una vez más a las 5. Obtenemos 5/40. ¡Oh, todavía encogiéndome! ¡De vuelta a las 5! Obtenemos 1/8. Lo cuadramos fácilmente (¡en la mente!) Y obtenemos 1/64. ¡Todo!

Resumamos esta lección.

1. Las fracciones son de tres tipos. Números ordinarios, decimales y mixtos.

2. Decimales y números mixtos siempre se puede convertir en fracciones. Traducción inversa no siempre disponible.

3. La elección del tipo de fracciones para trabajar con la tarea depende de esta misma tarea. Si hay diferentes tipos de fracciones en una tarea, lo más seguro es cambiar a fracciones ordinarias.

Ahora puedes practicar. Primero, convierta estas fracciones decimales en fracciones comunes:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Debería obtener las siguientes respuestas (¡en un lío!):

Esto concluye. En esta lección, hemos actualizado los puntos clave sobre las fracciones. Sucede, sin embargo, que no hay nada especial que refrescar ...) Si alguien se ha olvidado por completo, o aún no ha dominado ... Eso puede ir a una Sección 555 especial. Todos los conceptos básicos se describen en detalle allí. Muchos de repente entender todo comienzo. Y las fracciones deciden sobre la marcha).