§7. Sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas equivalentes. Transformaciones elementales de un sistema de ecuaciones lineales.
Permitir CON- el campo de los números complejos. Ecuación de la forma
dónde 
, se llama ecuación lineal con norte desconocido 
... Conjunto ordenado 
,
se llama solución a la ecuación (1) si.
Sistema metro ecuaciones lineales con norte desconocido es un sistema de ecuaciones de la forma:
son los coeficientes del sistema de ecuaciones lineales, 
- miembros libres.
Mesa rectangular
,
llamada matriz de tamaño 
... Introduzcamos la notación: - I-a fila de la matriz, 
-
k a columna de la matriz. La matriz A todavía designar 
o 
.
Las siguientes transformaciones de filas de matriz A se llaman elementales: 
) exclusión de la cadena nula; 
) multiplicar todos los elementos de cualquier cadena por un número 
; 
) agregando a cualquier línea cualquier otra línea multiplicada por 
... Transformaciones similares de columnas de matriz A se llaman transformaciones matriciales elementales A.
El primer elemento distinto de cero (contando de izquierda a derecha) de cualquier fila de la matriz A se llama el pivote de esa línea.
Definición... Matriz 
se llama escalonado si se cumplen las siguientes condiciones:
1) cero filas de la matriz (si las hay) están por debajo de filas distintas de cero;
2) si 
elementos principales de las filas de la matriz, luego 
Cualquier matriz A distinta de cero se puede reducir a una matriz escalonada mediante transformaciones de filas elementales.
Ejemplo... Demos la matriz 
a la matriz escalonada: 
~ 
~ 
.
La matriz compuesta por los coeficientes del sistema 
Las ecuaciones lineales (2) se denominan matriz principal del sistema. La matriz 
, que se obtiene de la suma de una columna de miembros libres, se denomina matriz extendida del sistema.
Un conjunto ordenado se llama solución al sistema de ecuaciones lineales (2) si es una solución a cada ecuación lineal de este sistema.
Un sistema de ecuaciones lineales se llama consistente si tiene al menos una solución e incompatible si no tiene soluciones.
Un sistema de ecuaciones lineales se llama definido si tiene una solución única e indefinido si tiene más de una solución.
Las siguientes transformaciones de un sistema de ecuaciones lineales se denominan elementales:
) eliminación del sistema de una ecuación de la forma;
) multiplicación de ambos lados de cualquier ecuación por 
, 
;
) sumando a cualquier ecuación cualquier otra ecuación multiplicada por ,.
Dos sistemas de ecuaciones lineales de norte las incógnitas se denominan equivalentes si no son consistentes o los conjuntos de sus soluciones coinciden.
Teorema... Si un sistema de ecuaciones lineales se obtiene de otro mediante transformaciones elementales del tipo),),), entonces es equivalente al original.
Solución de un sistema de ecuaciones lineales por el método de eliminación de incógnitas (método de Gauss).
Deja que el sistema se dé metro ecuaciones lineales con norte desconocido:
Si el sistema (1) contiene una ecuación de la forma
entonces este sistema no es compatible.
Suponga que el sistema (1) no contiene una ecuación de la forma (2). Sea en el sistema (1) el coeficiente de la variable X 1 en la primera ecuación 
(Si este no es el caso, entonces reordenando las ecuaciones en lugares lo lograremos, ya que no todos los coeficientes en X 1 es igual a cero). Apliquemos la siguiente cadena de transformaciones elementales al sistema de ecuaciones lineales (1):
, agregue a la segunda ecuación;
La primera ecuación multiplicada por 
, agregue a la tercera ecuación y así sucesivamente;
La primera ecuación multiplicada por 
, suma a la última ecuación del sistema.
Como resultado, obtenemos un sistema de ecuaciones lineales (en lo que sigue usaremos la abreviatura CLE para un sistema de ecuaciones lineales) equivalente al sistema (1). Puede resultar que en el sistema resultante ni una sola ecuación con el número I,
I 
2,
no contiene desconocido X 2. Permitir k es el número natural más pequeño que el desconocido X k está contenido en al menos una ecuación con el número I,
I 2. Entonces el sistema de ecuaciones resultante tiene la forma:
El sistema (3) es equivalente al sistema (1). Apliquemos ahora al subsistema 
sistema de razonamiento de ecuaciones lineales (3) que se aplicó al SLN (1). Etc. Como resultado de este proceso, llegamos a uno de dos resultados.
1. Obtenemos un SLE que contiene una ecuación de la forma (2). En este caso, SLU (1) es inconsistente.
2. Las transformaciones elementales aplicadas al SLE (1) no conducen a un sistema que contenga una ecuación de la forma (2). En este caso, el SLU (1) por transformaciones elementales 
reducido a un sistema de ecuaciones de la forma:
(4)
donde, 1< k < l < . . .< s,
El sistema de ecuaciones lineales de la forma (4) se llama paso a paso. Los siguientes dos casos son posibles aquí.
A) r= norte, entonces el sistema (4) tiene la forma
(5)
System (5) tiene una solución única. En consecuencia, el sistema (1) también tiene una solución única.
B) r<
norte... En este caso, las incógnitas 
en el sistema (4) se denominan incógnitas principales, y las incógnitas restantes en este sistema se denominan libres (su número es igual a norte-
r). Asignemos valores numéricos arbitrarios a las incógnitas libres, entonces el SLE (4) tendrá la misma forma que el sistema (5). A partir de él, se determinan de forma inequívoca las principales incógnitas. Así, el sistema tiene solución, es decir, es conjunto. Dado que a las incógnitas libres se les asignaron valores numéricos arbitrarios de CON, entonces el sistema (4) no está definido. En consecuencia, el sistema (1) también está indefinido. Expresando las principales incógnitas en SLOE (4) en términos de incógnitas libres, obtenemos un sistema llamado solución general del sistema (1).
Ejemplo... Resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método GRAMO aussa
Escribamos la matriz extendida del sistema de ecuaciones lineales y, mediante transformaciones elementales de filas, la reducimos a una matriz escalonada:
~
~
~
~
~. Usando la matriz resultante, restauramos el sistema de ecuaciones lineales: 
Este sistema es equivalente al sistema original. Entonces tomamos como principales incógnitas 
incógnitas libres. Expresemos las principales incógnitas solo en términos de incógnitas libres:
Conseguí una solución general para la SLU. Deja entonces 
(5, 0, -5, 0, 1) es una solución particular del SLN.
Tareas para una solución independiente
1. Encuentre la solución general y una solución particular del sistema de ecuaciones por el método de eliminación de incógnitas:
1) 
2) 
4) 
6) 
2. Busque diferentes valores del parámetro a solución general del sistema de ecuaciones:
1)
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
§ocho. Espacios vectoriales
Concepto de espacio vectorial. Propiedades más simples.
Permitir V ≠ Ø, ( F, +, ∙) - campo. Los elementos del campo se denominarán escalares.
Monitor φ : F× V –> V se llama la operación de multiplicar los elementos del conjunto V en escalares del campo F... Nosotros denotamos φ (λ y) a través de λa producto de un elemento a por escalar λ .
Definición. Un montón de V con una operación algebraica dada de suma de elementos del conjunto V y multiplicación de los elementos del conjunto V en escalares del campo F se denomina espacio vectorial sobre el campo F si se satisfacen los axiomas:
Ejemplo.
Permitir F campo, F norte = {(a 1
, a 2
,…, A norte) | a I 
F (I=)). Cada elemento del conjunto F norte llamado norte-vector aritmético dimensional. Presentamos la operación de suma norte-vectores dimensionales y multiplicación norte-vector dimensional por escalar del campo F... Permitir 
.
Poner = ( a 1 + B 1 , … , a norte + B norte), = (λ a 1, λ a 2, ..., λ a norte). Un montón de F n con respecto a las operaciones introducidas es un espacio vectorial, y se llama norte-espacio vectorial aritmético dimensional sobre el campo F.
Permitir V- espacio vectorial sobre el campo F, ,
... Tienen lugar las siguientes propiedades:
1) 
;
3) 
;
4) 
;
Prueba de propiedad 3.
De la igualdad según la ley de cancelación en el grupo ( V, +) tenemos 
.
Dependencia lineal, independencia de los sistemas vectoriales.
Permitir V- espacio vectorial sobre el campo F, 
... Un vector se llama combinación lineal del sistema de vectores 
... El conjunto de todas las combinaciones lineales de un sistema vectorial se denomina lapso lineal de este sistema vectorial y se denota por.
Definición. Un sistema de vectores se llama linealmente dependiente si existen tales escalares 
no todo igual a cero que
Si la igualdad (1) se cumple si y solo si λ 1 = λ 2 = … = =λ metro= 0, entonces el sistema de vectores se llama linealmente independiente.
Ejemplo. Averigüe si un sistema de vectores es 
= (1,-2,2), =(2,0, 1), 
= (-1, 3, 4) del espacio R 3 linealmente dependiente o independiente.
Solución. Deje λ 1, λ 2, λ 3 
y
| => (0,0,0) - solución del sistema. Por tanto, el sistema vectorial es linealmente independiente.
Propiedades de dependencia lineal e independencia del sistema vectorial.
1. Un sistema de vectores que contiene al menos un vector cero es linealmente dependiente.
2. Un sistema de vectores que contiene un subsistema linealmente dependiente es linealmente dependiente.
3. Un sistema de vectores, donde 
es linealmente dependiente si y solo si al menos un vector de este sistema que no sea el vector es una combinación lineal de los vectores que lo preceden.
4. Si el sistema de vectores es linealmente independiente y el sistema de vectores 
linealmente dependiente, entonces el vector 
se puede representar como una combinación lineal de vectores y, además, de forma única.
Prueba. Dado que el sistema vectorial es linealmente dependiente, entonces 
no todo igual a cero que
En igualdad de vectores (2) λ
metro+1 ≠ 0. Si asumimos que λ
metro+1 = 0, entonces de (2) => De ahí se sigue que el sistema de vectores es linealmente dependiente, ya que λ
1 , λ
2 , … , λ
metro no todos son cero. Llegamos a una contradicción con la condición. Desde (1) => donde 
.
Dejemos que el vector también se puede representar de la forma: Luego, a partir de la igualdad del vector 
debido a la independencia lineal del sistema de vectores, se deduce que 
1 = β
1 , …, metro = β
metro .
5. Sean dos sistemas de vectores y 
, metro>k... Si cada vector de un sistema de vectores se puede representar como una combinación lineal de un sistema de vectores, entonces el sistema de vectores es linealmente dependiente.
Base, rango del sistema de vectores.
Un sistema finito de vectores espaciales. V sobre el campo F denotamos por S.
Definición. Cualquier subsistema linealmente independiente del sistema vectorial S se llama la base del sistema de vectores S si algún vector del sistema S se puede representar como una combinación lineal de un sistema de vectores.
Ejemplo. Encuentra la base de un sistema de vectores 
= (1, 0, 0), 
= (0, 1, 0),
= (-2, 3, 0) R 3. El sistema de vectores, linealmente independientes, ya que, según la propiedad 5, el sistema de vectores se obtiene a partir del sistema de vectores. prestación lo esencial electromecanotrónica: educativoprestación lo esencial Ingenieria Eléctrica "; ...
Literatura educativa 2000-2008 (1)
LiteraturaMatemáticas Matemáticas Lobkova N.I. Los basicos lineal álgebras y geometría analítica: educativoprestación/ N.I. Lobkova, M.V. Lagunova ... diseño de lo esencial electromecanotrónica: educativoprestación/ PGUPS. Cafetería. "Teórico lo esencial Ingenieria Eléctrica "; ...
A continuación consideramos sistemas de ecuaciones lineales sobre un campo de variables DEFINICIÓN. Se dice que dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si cada solución de cualquiera de estos sistemas es una solución de otro sistema.
Las siguientes proposiciones expresan las propiedades de equivalencia que surgen de la definición de equivalencia y las propiedades anteriores de la sucesión de sistemas.
PROPUESTA 2.2. Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si y solo si cada uno de estos sistemas es una consecuencia del otro sistema.
PROPUESTA 2.3. Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si y solo si el conjunto de todas las soluciones de un sistema coincide con el conjunto de todas las soluciones del otro sistema.
PROPUESTA 2.4. Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si y solo si los predicados definidos por estos sistemas son equivalentes.
DEFINICIÓN. Las siguientes transformaciones se denominan transformaciones elementales de un sistema de ecuaciones lineales:
(a) multiplicar ambos lados de alguna ecuación en el sistema por un escalar distinto de cero;
(P) suma (resta) a ambos lados de cualquier ecuación del sistema de las partes correspondientes de la otra ecuación del sistema, multiplicada por un escalar;
Exclusión del sistema o unión al sistema de una ecuación lineal con coeficientes cero e intersección con cero.
TEOREMA 2.5. Si un sistema de ecuaciones lineales se obtiene de otro sistema de ecuaciones lineales como resultado de una cadena de transformaciones elementales, entonces estos dos sistemas son equivalentes.
Prueba. Deja que el sistema se dé
Si multiplicamos una de sus ecuaciones, por ejemplo, la primera por un escalar X distinto de cero, obtenemos el sistema
Cada solución del sistema (1) es también una solución del sistema (2).
Por el contrario: si hay alguna solución para el sistema (2),
luego, multiplicando la primera igualdad por y sin cambiar las siguientes, obtenemos igualdades que muestran que el vector es una solución del sistema (1). Por tanto, el sistema (2) es equivalente al sistema original (1). Es igualmente fácil comprobar que una sola aplicación al sistema (1) de una transformación elemental (P) o conduce a un sistema equivalente al sistema original (1). Dado que la relación de equivalencia es transitiva, la aplicación repetida de transformaciones elementales conduce a un sistema de ecuaciones equivalente al sistema original (1).
COROLARIO 2.6. Si sumamos una combinación lineal de otras ecuaciones del sistema a una de las ecuaciones del sistema de ecuaciones lineales, obtenemos un sistema de ecuaciones que es equivalente al original.
COROLARIO 2.7. Si excluimos del sistema de ecuaciones lineales o le agregamos una ecuación que es una combinación lineal de otras ecuaciones del sistema, entonces obtenemos un sistema de ecuaciones equivalente al sistema original.
Definición 1. Un sistema de ecuaciones lineales de la forma (1), donde, el campo, se llama sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas sobre el campo, son los coeficientes para las incógnitas ,,, son los términos libres del sistema (1).
Definición 2. Ordenado norte-ka (), donde, se llama resolviendo el sistema de ecuaciones lineales(1), si, después de reemplazar la variable con cada ecuación del sistema (1), se convierte en una verdadera igualdad numérica.
Definición 3. articulación si tiene al menos una solución. De lo contrario, el sistema (1) se llama inconsistente.
Definición 4. El sistema de ecuaciones lineales (1) se llama cierto si tiene una solución única. De lo contrario, el sistema (1) se llama indefinido.
Sistema de ecuaciones lineales
(hay una solución) (no hay soluciones)
articulación incompatible
(única solución) (no la única solución)
indefinido indefinido
Definición 5. Sistema de ecuaciones lineales sobre un campo. R llamado homogéneo si todos sus miembros libres son iguales a cero. De lo contrario, el sistema se llama heterogéneo.
Considere un sistema de ecuaciones lineales (1). Entonces, un sistema homogéneo de la forma se llama sistema homogéneo, asociado con sistema (1). Un SLN homogéneo siempre es compatible, ya que siempre tiene solución.
Para cada SLN, se pueden considerar dos matrices: la principal y la extendida.
Definición 6. La matriz principal del sistema de ecuaciones lineales.(1) se denomina matriz compuesta por coeficientes con incógnitas de la siguiente forma :.
Definición 7. Sistema matricial extendido de ecuaciones lineales(1) se denomina matriz obtenida de una matriz añadiéndole una columna de términos libres :.
Definición 8.Transformaciones elementales del sistema de ecuaciones lineales. los siguientes se denominan: 1) multiplicación de ambos lados de una determinada ecuación del sistema por un escalar; 2) sumar a ambas partes de una ecuación del sistema las partes correspondientes de la otra ecuación, multiplicadas por un elemento; 3) agregar o eliminar una ecuación de la forma.
Definición 9. Dos sistemas de ecuaciones lineales sobre un campo. R con respecto a las variables se llaman equivalente a si sus conjuntos de soluciones coinciden.
Teorema 1 . Si un sistema de ecuaciones lineales se obtiene de otro usando transformaciones elementales, entonces tales sistemas son equivalentes.
Es conveniente aplicar transformaciones elementales no a un sistema de ecuaciones lineales, sino a su matriz extendida.
Definición 10. Sea una matriz dada con elementos del campo P. Transformaciones elementales las matrices se nombran de la siguiente manera:
1) multiplicación de todos los elementos de cualquier fila por matrices por aÎ P #;
2) multiplicación de todos los elementos de cualquier fila por matrices por aÎ Р # y suma con los elementos correspondientes de otra fila;
3) permutación de dos filas cualesquiera de la matriz;
4) agregar o eliminar una línea cero.
8. Solución SLU: metro método de eliminación sucesiva de incógnitas (método de Gauss).
Considere uno de los métodos principales para resolver sistemas de ecuaciones lineales, que se llama por el método de eliminación sucesiva de incógnitas, o de otro modo, Método gaussiano... Considere el sistema (1) metro ecuaciones lineales con norte desconocido sobre el campo R:(1) .
En el sistema (1), al menos uno de los coeficientes en no es igual a 0 ... De lo contrario (1) - un sistema de ecuaciones con () incógnitas - esto contradice la condición. Intercambiemos las ecuaciones para que el coeficiente en la primera ecuación no sea igual a 0 ... Por lo tanto, podemos asumir eso. Multiplicamos ambos lados de la primera ecuación por y sumamos las partes correspondientes de la segunda, tercera, ..., metro th ecuaciones, respectivamente. Obtenemos un sistema de la forma :, donde s es el número más pequeño tal que al menos uno de los coeficientes en no es igual 0 ... Intercambiemos las ecuaciones para que en la segunda línea el coeficiente de la variable no sea igual 0 , es decir. podemos asumir eso. Luego multiplicamos ambos lados de la segunda ecuación por y sumamos a las partes correspondientes de la tercera, ..., metro th ecuaciones, respectivamente. Continuando con este proceso, obtenemos un sistema de la forma:
El sistema de ecuaciones lineales, que, según el Teorema 1, es equivalente al sistema (1) . El sistema se llama sistema escalonado de ecuaciones lineales. Son posibles dos casos: 1) Al menos uno de los elementos no es igual 0 ... Por ejemplo, vamos. Entonces, el sistema de ecuaciones lineales contiene una ecuación de la forma, lo cual es imposible. Esto significa que el sistema no tiene soluciones y, por lo tanto, el sistema (1) no tiene soluciones (en este caso, (1) es un sistema inconsistente).
2) Deje,… ,. Luego, con la ayuda de una transformación elemental 3) obtenemos el sistema - el sistema r ecuaciones lineales con norte desconocido. En este caso, las variables en los coeficientes se denominan variables principales(esto), su total r... Otros ( n-r) las variables se llaman gratis.
Son posibles dos casos: 1) Si r = n, entonces es un sistema triangular. En este caso, de la última ecuación encontramos la variable, de la penúltima - la variable,…, de la primera ecuación - la variable. Así, obtenemos una solución única al sistema de ecuaciones lineales y, por tanto, al sistema de ecuaciones lineales (1) (en este caso, se define el sistema (1)).
2) Deja r
Al resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método de Gauss, es conveniente realizar transformaciones elementales no sobre el sistema, sino sobre su matriz extendida.
Definición. El rango de la matriz A es el número de filas distintas de cero de cualquier matriz escalonada a la que A se reduce mediante transformaciones elementales. El rango de la matriz A se denota mediante r (A) o rang (A).
Algoritmo para resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método de Gauss
1. Haga una matriz extendida del sistema de ecuaciones lineales (1) y, usando transformaciones elementales, tráigala a una forma escalonada.
2. Realizar investigación: a) si, entonces el sistema (1) es incompatible;
b) si, entonces el sistema (1) es consistente.
Además, si r = n, entonces el sistema (1) se define si r
3. Encuentre una solución al sistema correspondiente a la matriz escalonada resultante.
Definición 5. Transformaciones elementales el sistema de ecuaciones lineales se llama sus siguientes transformaciones:
1) permutación de dos ecuaciones cualesquiera en lugares;
2) multiplicación de ambos lados de una ecuación por cualquier número;
3) sumando a ambos lados de una ecuación las partes correspondientes de la otra ecuación, multiplicado por cualquier número k;
(mientras que todas las demás ecuaciones permanecen sin cambios).
Ecuación cero llamamos a una ecuación de la siguiente forma:
Teorema 1. Cualquier secuencia finita de transformaciones elementales y la transformación de eliminar la ecuación cero transforma un sistema de ecuaciones lineales en otro sistema de ecuaciones lineales equivalente a él.
Prueba. En virtud de la propiedad 4 de la sección anterior, basta con demostrar el teorema de cada transformación por separado.
1. Cuando las ecuaciones en el sistema se reordenan en lugares, las ecuaciones en sí mismas no cambian, por lo tanto, por definición, el sistema resultante es equivalente al original.
2. En virtud de la primera parte de la demostración, basta probar la afirmación de la primera ecuación. Multiplicamos la primera ecuación del sistema (1) por un número, obtenemos el sistema
(2)
Permitir 
sistema (1). Entonces los números satisfacen todas las ecuaciones del sistema (1). Dado que todas las ecuaciones del sistema (2) excepto la primera coinciden con las ecuaciones del sistema (1), los números satisfacen todas estas ecuaciones. Dado que los números satisfacen la primera ecuación del sistema (1), entonces se produce la igualdad numérica correcta:
Multiplicarlo por un número K, obtenemos la igualdad numérica correcta:
Ese. establecemos que
sistema (2).
Por el contrario, si solución del sistema (2), entonces los números satisfacen todas las ecuaciones del sistema (2). Dado que todas las ecuaciones del sistema (1) excepto la primera coinciden con las ecuaciones del sistema (2), los números satisfacen todas estas ecuaciones. Dado que los números satisfacen la primera ecuación del sistema (2), entonces la igualdad numérica (4) es verdadera. Dividiendo sus dos partes por un número, obtenemos la igualdad numérica (3) y demostramos que
solución del sistema (1).
Por tanto, según la Definición 4, el sistema (1) es equivalente al sistema (2).
3. En virtud de la primera parte de la demostración, basta probar la afirmación de la primera y segunda ecuaciones del sistema. Suma a ambas partes de la primera ecuación del sistema las partes correspondientes de la segunda multiplicada por el número K, obtenemos el sistema
(5)
Permitir Solución del sistema (1). Entonces los números satisfacen todas las ecuaciones del sistema (1). Dado que todas las ecuaciones del sistema (5) excepto la primera coinciden con las ecuaciones del sistema (1), los números satisfacen todas estas ecuaciones. Dado que los números satisfacen la primera ecuación del sistema (1), se producen las igualdad numérica correctas:
Sumando término por término a la primera igualdad el segundo, multiplicado por el número K obtenemos la igualdad numérica correcta.
Las transformaciones de matrices elementales incluyen:
1. Cambiar el orden de las filas (columnas).
2. Descartar filas (columnas) cero.
3. Multiplicación de elementos de cualquier fila (columna) por un número.
4. Agregar a los elementos de cualquier fila (columna) elementos de otra fila (columna), multiplicado por un número.
Sistemas de ecuaciones algebraicas lineales (Conceptos básicos y definiciones).
1. El sistema metro ecuaciones lineales con norte desconocido se llama sistema de ecuaciones de la forma:
2.Decisión sistema de ecuaciones (1) se llama el conjunto de números X 1 , X 2 , ..., X norte , convertir cada ecuación del sistema en identidad.
3. El sistema de ecuaciones (1) se llama articulación si tiene al menos una solución; si el sistema no tiene soluciones, se llama inconsistente.
4. El sistema de ecuaciones (1) se llama cierto si tiene una sola solución, y indefinido si tiene más de una solución.
5. Como resultado de transformaciones elementales, el sistema (1) se transforma en un sistema equivalente a él (es decir, que tiene el mismo conjunto de soluciones).
A las transformaciones elementales Los sistemas de ecuaciones lineales incluyen:
1. Descartando líneas nulas.
2. Cambiar el orden de las líneas.
3. Sumar a los elementos de cualquier cadena de elementos de otra cadena, multiplicado por un número.
Métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
1) El método de la matriz inversa (método de la matriz) para resolver sistemas de n ecuaciones lineales con n incógnitas.
Sistema norte ecuaciones lineales con norte desconocido se llama sistema de ecuaciones de la forma:
Escribamos el sistema (2) en forma matricial, para ello introducimos la notación.
Matriz de coeficientes antes de variables:
X = es una matriz de variables.
В = - matriz de miembros libres.
Entonces el sistema (2) tomará la forma:
A× X = B- ecuación matricial.
Habiendo resuelto la ecuación, obtenemos:
X = A -1 × B
Ejemplo:
;
;
1) │А│ = 15 + 8 ‒18 ‒9 ‒12 + 20 = 4 0 matriz А -1 existe.
3)
Ã
=
4) A -1 = × Ã = 
;
X = A -1 × B 
Respuesta:
2) Regla de Cramer para resolver sistemas de n - ecuaciones lineales con n - incógnitas.
Considere un sistema de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas:
Resolvamos este sistema usando el método de sustitución:
De la primera ecuación sigue:
Sustituyendo en la segunda ecuación, obtenemos:
Sustituimos el valor en la fórmula para, obtenemos:
Determinante Δ - determinante de la matriz del sistema;
Δ X 1 - determinante variable X 1 ;
Δ X 2 - determinante variable X 2 ;
Fórmulas:
X 1 =;X 2 =;…,X n =; Δ 0;
- son llamados por las fórmulas de Cramer.
Al encontrar determinantes de incógnitas NS 1 , NS 2 ,…, NS norte la columna de coeficientes para la variable cuyo determinante se encuentra se reemplaza por la columna de miembros libres.
Ejemplo: Resolver un sistema de ecuaciones por el método de Cramer
Solución:
Primero compongamos y calculemos el principal determinante de este sistema:
Dado que Δ ≠ 0, el sistema tiene una solución única que se puede encontrar mediante la regla de Cramer:
donde Δ 1, Δ 2, Δ 3 se obtienen del determinante Δ reemplazando la 1ª, 2ª o 3ª columnas, respectivamente, con la columna de términos libres.
Por lo tanto:
Método de Gauss para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
Considere el sistema:
La matriz extendida del sistema (1) es una matriz de la forma:
Método de Gauss Es un método de eliminación sucesiva de incógnitas de las ecuaciones del sistema, partiendo de la segunda ecuación por metro-ésima ecuación.
En este caso, mediante transformaciones elementales, la matriz del sistema se reduce a una triangular (si m = n y determinante del sistema ≠ 0) o paso a paso (si metro< n ) formulario.
Luego, a partir de la última ecuación por número, se encuentran todas las incógnitas.
Algoritmo del método gaussiano:
1) Cree una matriz extendida del sistema, incluida una columna de miembros libres.
2) Si a 11 0, entonces la primera fila se divide por a 11 y multiplicar por (- a 21) y agregue la segunda línea. Del mismo modo, alcance metro–Th línea:
La página está dividida por a 11 y multiplicar por (- a metro 1) y agregue metro- th p.
En este caso, a partir de las ecuaciones, partiendo del segundo al metro- es decir, la variable está excluida X 1 .
3) En el tercer paso, la segunda fila se usa para transformaciones elementales similares de filas de la 3a a la metro- thuyu. Esto excluirá la variable X 2 comenzando desde la 3ra línea hasta metro- thuyu, etc.
Como resultado de estas transformaciones, el sistema se reducirá a una forma triangular o escalonada (en el caso de una forma triangular, debajo de los ceros diagonales principales).
Reducir el sistema a una forma triangular o escalonada se llama por el curso directo del método de Gauss, y encontrar incógnitas del sistema resultante se llama marcha atrás.
Ejemplo:
Curso directo. Démosle una matriz extendida del sistema
con la ayuda de transformaciones elementales a una forma escalonada. Reorganizar la primera y segunda filas de la matriz A B, obtenemos la matriz:
Suma la segunda fila de la matriz resultante con la primera multiplicada por (‒2) y su tercera fila, con la primera fila multiplicada por (‒7). Obtenemos la matriz
A la tercera fila de la matriz resultante, agregue la segunda fila multiplicada por (‒3), como resultado de lo cual obtenemos una matriz escalonada
Por lo tanto, hemos llevado este sistema de ecuaciones a una forma escalonada:
,
Movimiento inverso. Partiendo de la última ecuación del sistema de ecuaciones paso a paso obtenido, encontramos sucesivamente los valores de las incógnitas:
