Este tema es bastante importante, todas las matemáticas y álgebra adicionales se basan en las propiedades básicas de las fracciones. Las propiedades consideradas de las fracciones, a pesar de su importancia, son muy simples.
Comprender propiedades básicas de las fracciones considere un círculo.
En el círculo, puede ver que 4 partes están o están completadas de las ocho posibles. Escribamos la fracción resultante \ (\ frac (4) (8) \)
En el siguiente círculo, puede ver que una parte de las dos posibles está pintada. Escribamos la fracción resultante \ (\ frac (1) (2) \)
Si miramos más de cerca, veremos que en el primer caso, en el segundo caso, la mitad del círculo está llena, por lo que las fracciones resultantes son \ (\ frac (4) (8) = \ frac (1) (2) \), es decir, es el mismo número.
¿Cómo podemos demostrar esto matemáticamente? Muy simple, recordemos la tabla de multiplicar y anotemos la primera fracción en factores.
\ (\ frac (4) (8) = \ frac (1 \ cdot \ color (rojo) (4)) (2 \ cdot \ color (rojo) (4)) = \ frac (1) (2) \ cdot \ color (rojo) (\ frac (4) (4)) = \ frac (1) (2) \ cdot \ color (rojo) (1) = \ frac (1) (2) \)
¿Qué hemos hecho? Escribimos el numerador y el denominador en factores \ (\ frac (1 \ cdot \ color (red) (4)) (2 \ cdot \ color (red) (4)) \), y luego dividimos las fracciones \ (\ frac (1) (2) \ cdot \ color (rojo) (\ frac (4) (4)) \). Cuatro dividido por cuatro es 1, y uno multiplicado por cualquier número es el número en sí. Lo que hemos hecho en el ejemplo anterior se llama reducción de fracciones.
Veamos otro ejemplo y reduzcamos la fracción.
\ (\ frac (6) (10) = \ frac (3 \ cdot \ color (rojo) (2)) (5 \ cdot \ color (rojo) (2)) = \ frac (3) (5) \ cdot \ color (rojo) (\ frac (2) (2)) = \ frac (3) (5) \ cdot \ color (rojo) (1) = \ frac (3) (5) \)
Nuevamente pintamos el numerador y el denominador en factores y cancelamos los mismos números en los numeradores y denominadores. Es decir, dos dividido por dos da uno, y uno multiplicado por cualquier número da el mismo número.
Propiedad principal de una fracción.
Esto implica la propiedad principal de la fracción:
Si tanto el numerador como el denominador de la fracción se multiplican por el mismo número (excepto el cero), el valor de la fracción no cambiará.
\ (\ bf \ frac (a) (b) = \ frac (a \ cdot n) (b \ cdot n) \)
También puede dividir las fracciones de numerador y denominador por el mismo número al mismo tiempo.
Consideremos un ejemplo:
\ (\ frac (6) (8) = \ frac (6 \ div \ color (rojo) (2)) (8 \ div \ color (rojo) (2)) = \ frac (3) (4) \)
Si tanto el numerador como el denominador de la fracción se dividen por el mismo número (excepto el cero), el valor de la fracción no cambiará.
\ (\ bf \ frac (a) (b) = \ frac (a \ div n) (b \ div n) \)
Las fracciones que tienen factores primos comunes tanto en los numeradores como en los denominadores se denominan fracciones cancelables.
Un ejemplo de una fracción cancelable: \ (\ frac (2) (4), \ frac (6) (10), \ frac (9) (15), \ frac (10) (5), ... \)
También hay fracciones irreducibles.
Fracción irreducible Es una fracción que no tiene factores primos comunes en los numeradores y denominadores.
Un ejemplo de una fracción irreducible: \ (\ frac (1) (2), \ frac (3) (5), \ frac (5) (7), \ frac (13) (5), ... \)
Cualquier número se puede representar como una fracción, porque cualquier número es divisible por uno, por ejemplo:
\ (7 = \ frac (7) (1) \)
Preguntas sobre el tema:
¿Crees que alguna fracción se puede reducir o no?
Respuesta: no, hay fracciones cancelables y fracciones irreductibles.
Compruebe si la igualdad es verdadera: \ (\ frac (7) (11) = \ frac (14) (22) \)?
Respuesta: escribe la fracción \ (\ frac (14) (22) = \ frac (7 \ cdot 2) (11 \ cdot 2) = \ frac (7) (11) \), sí, es justo.
Ejemplo 1:
a) Encuentra la fracción con denominador 15, igual a la fracción \ (\ frac (2) (3) \).
b) Encuentra la fracción con numerador 8, igual a la fracción \ (\ frac (1) (5) \).
Solución:
a) Necesitamos el número 15 en el denominador, ahora el número en el denominador es 3. ¿Por qué número debería multiplicarse el número 3 para obtener 15? Recordemos la tabla de multiplicar 3⋅5. Necesitamos usar la propiedad básica de las fracciones y multiplicar tanto el numerador como el denominador de la fracción. \ (\ frac (2) (3) \) por 5.
\ (\ frac (2) (3) = \ frac (2 \ cdot 5) (3 \ cdot 5) = \ frac (10) (15) \)
b) Necesitamos el número 8 en el numerador. Ahora el número 1 está en el numerador. ¿Por qué número debería multiplicarse el número 1 para obtener 8? Por supuesto, 1-8. Necesitamos usar la propiedad básica de las fracciones y multiplicar tanto el numerador como el denominador de la fracción. \ (\ frac (1) (5) \) a las 8. Obtenemos:
\ (\ frac (1) (5) = \ frac (1 \ cdot 8) (5 \ cdot 8) = \ frac (8) (40) \)
Ejemplo # 2:
Encuentra una fracción irreducible igual a la fracción: a) \ (\ frac (16) (36) \), B) \ (\ frac (10) (25) \).
Solución:
a) \ (\ frac (16) (36) = \ frac (4 \ cdot 4) (9 \ cdot 4) = \ frac (4) (9) \)
B) \ (\ frac (10) (25) = \ frac (2 \ cdot 5) (5 \ cdot 5) = \ frac (2) (5) \)
Ejemplo n. ° 3:
Escribe el número como fracción: a) 13 b) 123
Solución:
a) \ (13 = \ frac (13) (1) \)
B) \ (123 = \ frac (123) (1) \)
Del curso de álgebra en el plan de estudios de la escuela, pasamos a los detalles. En este artículo, exploraremos en detalle un tipo especial de expresiones racionales: fracciones racionales, y también considere qué característica idéntica transformaciones de fracciones racionales tener lugar.
Notamos de inmediato que las fracciones racionales en el sentido en que las definimos a continuación se denominan fracciones algebraicas en algunos libros de texto de álgebra. Es decir, en este artículo nos referiremos a lo mismo que fracciones racionales y algebraicas.
Como de costumbre, comencemos con una definición y ejemplos. A continuación, hablemos de reducir una fracción racional a un nuevo denominador y de cambiar los signos de los miembros de la fracción. Posteriormente analizaremos cómo se realiza la reducción de fracciones. Finalmente, detengámonos en la representación de una fracción racional como una suma de varias fracciones. Proporcionaremos toda la información con ejemplos con descripciones detalladas de soluciones.
Navegación de página.
Definición y ejemplos de fracciones racionales.
Las fracciones racionales se enseñan en lecciones de álgebra de octavo grado. Usaremos la definición de fracción racional, que se da en el libro de texto de álgebra para 8 clases por Yu.N. Makarychev et al.
Esta definición no especifica si los polinomios en el numerador y denominador de una fracción racional deben ser polinomios de la forma estándar o no. Por lo tanto, asumiremos que los registros de fracciones racionales pueden contener polinomios estándar y no estándar.
Aquí hay algunos ejemplos de fracciones racionales... Entonces, x / 8 y 
- fracciones racionales. Y fracciones 
y no se ajustan a la definición sonora de fracción racional, ya que en la primera de ellas no hay polinomio en el numerador, y en la segunda, tanto en el numerador como en el denominador hay expresiones que no son polinomios.
Convertir el numerador y el denominador de una fracción racional
El numerador y denominador de cualquier fracción son expresiones matemáticas autosuficientes, en el caso de fracciones racionales se trata de polinomios, en el caso particular de monomios y números. Por tanto, con el numerador y denominador de una fracción racional, como con cualquier expresión, es posible realizar transformaciones idénticas. En otras palabras, la expresión en el numerador de una fracción racional se puede reemplazar con una expresión idéntica a ella, así como el denominador.
Se pueden realizar transformaciones idénticas en el numerador y denominador de una fracción racional. Por ejemplo, en el numerador, puede agrupar y traer términos similares, y en el denominador, el producto de varios números, reemplazarlo con su valor. Y dado que el numerador y denominador de una fracción racional son polinomios, es posible realizar transformaciones características de polinomios con ellos, por ejemplo, reducción a la forma estándar o representación en forma de producto.
Para mayor claridad, considere las soluciones de varios ejemplos.
Ejemplo.
Convertir fracción racional 
de modo que el numerador contiene un polinomio de la forma estándar y el denominador contiene el producto de polinomios.
Solución.
La reducción de fracciones racionales a un nuevo denominador se usa principalmente al sumar y restar fracciones racionales.
Cambio de signo delante de una fracción, así como en su numerador y denominador.
La propiedad básica de una fracción se puede utilizar para cambiar los signos de los miembros de una fracción. De hecho, multiplicar el numerador y el denominador de una fracción racional por -1 equivale a cambiar sus signos, y el resultado es una fracción que es idénticamente igual a la dada. Esta transformación debe abordarse con bastante frecuencia cuando se trabaja con fracciones racionales.
Por lo tanto, si cambia simultáneamente los signos del numerador y el denominador de la fracción, obtiene una fracción igual a la original. La igualdad corresponde a esta afirmación.
Pongamos un ejemplo. Una fracción racional se puede reemplazar con una fracción idénticamente igual con signos cambiados del numerador y denominador de la forma.
Se puede realizar una transformación más idéntica con fracciones, en las que el signo cambia en el numerador o en el denominador. Anunciaremos la regla correspondiente. Si reemplaza el signo de la fracción junto con el signo del numerador o denominador, obtiene una fracción que es idénticamente igual a la original. La declaración escrita corresponde a las igualdades y.
No es difícil demostrar estas igualdades. La demostración se basa en las propiedades de la multiplicación de números. Probemos el primero de ellos :. La igualdad se prueba con la ayuda de transformaciones similares.
Por ejemplo, puede reemplazar una fracción con o.
Para concluir esta subsección, presentamos dos igualdades útiles y. Es decir, si cambia el signo solo del numerador o solo del denominador, la fracción cambiará su signo. Por ejemplo, 
y 
.
Las transformaciones consideradas, que permiten cambiar el signo de los miembros de una fracción, se utilizan a menudo cuando se transforman expresiones racionales fraccionarias.
Reducir fracciones racionales
La siguiente transformación de fracciones racionales, que se llama cancelación de fracciones racionales, se basa en la misma propiedad básica de una fracción. Esta transformación corresponde a la igualdad, donde a, b y c son algunos polinomios, y b y c son distintos de cero.
De la igualdad anterior, queda claro que reducir la fracción racional implica deshacerse del factor común en su numerador y denominador.
Ejemplo.
Reducir la fracción racional.
Solución.
El factor común 2 es inmediatamente visible, realizaremos una reducción por él (al anotar los factores comunes por los que conviene tachar). Tenemos 
... Dado que x 2 = x x y y 7 = y 3 y 4 (ver si es necesario), está claro que x es el factor común del numerador y denominador de la fracción resultante, como y 3. Reduzcamos por estos factores: 
... Esto completa la reducción.
Arriba, realizamos la reducción de la fracción racional secuencialmente. Y fue posible realizar la reducción en un paso, reduciendo inmediatamente la fracción en 2 · x · y 3. En este caso, la solución se vería así: 
.
Respuesta:
.
Al cancelar fracciones racionales, el principal problema es que el factor común del numerador y denominador no siempre es visible. Además, no siempre existe. Para encontrar el factor común o asegurarse de que esté ausente, debe factorizar el numerador y el denominador de la fracción racional en factores. Si no hay un factor común, entonces no es necesario cancelar la fracción racional original; de lo contrario, se lleva a cabo la cancelación.
En el proceso de reducción de fracciones racionales, pueden surgir varios matices. Las principales sutilezas con ejemplos y en detalle se discuten en el artículo la reducción de fracciones algebraicas.
Concluyendo la conversación sobre la cancelación de fracciones racionales, notamos que esta transformación es idéntica, y la principal dificultad en su implementación radica en la factorización de los polinomios en el numerador y denominador.
Representación de una fracción racional como suma de fracciones
Bastante específica, pero en algunos casos muy útil, es la transformación de una fracción racional, que consiste en su representación como la suma de varias fracciones, o la suma de una expresión entera y una fracción.
Una fracción racional, en cuyo numerador hay un polinomio, que es la suma de varios monomios, siempre se puede escribir como la suma de fracciones con los mismos denominadores, en cuyos numeradores se ubican los correspondientes monomios. Por ejemplo, 
... Esta representación se explica por la regla de suma y resta de fracciones algebraicas con los mismos denominadores.
En general, cualquier fracción racional se puede representar como una suma de fracciones de muchas formas diferentes. Por ejemplo, la fracción a / b se puede representar como la suma de dos fracciones: una fracción arbitraria c / dy una fracción igual a la diferencia entre las fracciones a / byc / d. Esta afirmación es cierta, ya que la igualdad 
... Por ejemplo, una fracción racional se puede representar como una suma de fracciones de varias formas: Representemos la fracción original como la suma de una expresión entera y una fracción. Al dividir el numerador por el denominador en una columna, obtenemos la igualdad 
... El valor de la expresión n 3 +4 para cualquier número entero n es un número entero. Y el valor de una fracción es un número entero si y solo si su denominador es 1, −1, 3 o −3. Estos valores corresponden a los valores n = 3, n = 1, n = 5 y n = −1, respectivamente.
Respuesta:
−1 , 1 , 3 , 5 .
Bibliografía.
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Fracción- la forma de representación de los números en matemáticas. Una barra fraccionaria denota una operación de división. El numerador fracción se llama dividendo, y denominador- divisor. Por ejemplo, en una fracción, el numerador es 5 y el denominador es 7.
Correcto una fracción con el módulo del numerador mayor que el módulo del denominador se llama. Si la fracción es correcta, entonces el módulo de su valor es siempre menor que 1. Todas las demás fracciones son incorrecto.
La fracción se llama mezclado si está escrito como un número entero y una fracción. Esto es lo mismo que la suma de este número y la fracción:
Propiedad básica de una fracción
Si el numerador y el denominador de una fracción se multiplican por el mismo número, entonces el valor de la fracción no cambiará, es decir, por ejemplo,
Denominador común de fracciones
Para llevar dos fracciones a un denominador común, necesitas:
- Multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda.
- El numerador de la segunda fracción se multiplica por el denominador de la primera.
- Reemplazar los denominadores de ambas fracciones con su producto.
Acciones con fracciones
Adición. Para sumar dos fracciones, necesitas
- Suma los nuevos numeradores de ambas fracciones y deja el denominador sin cambios.
Ejemplo:
Sustracción. Para restar una fracción de otra, necesitas
- Lleva las fracciones a un denominador común
- Reste el numerador del segundo del numerador de la primera fracción y deje el denominador sin cambios.
Ejemplo:
Multiplicación. Para multiplicar una fracción por otra, debes multiplicar sus numeradores y denominadores.
Hablando de matemáticas, uno no puede evitar recordar fracciones. Dedican mucho tiempo y atención a su estudio. Recuerde cuántos ejemplos tuvo que resolver para aprender ciertas reglas para trabajar con fracciones, cómo memorizó y aplicó la propiedad básica de una fracción. ¡Cuántos nervios se gastaron para encontrar el denominador común, especialmente si había más de dos términos en los ejemplos!
Recordemos de qué se trata y refresquemos un poco la memoria la información básica y las reglas para trabajar con fracciones.
Definición de fracciones
Comencemos con lo más importante: las definiciones. Una fracción es un número que se compone de una o más partes de uno. Un número fraccionario se escribe como dos números separados por una barra horizontal o una barra. En este caso, el superior (o el primero) se llama numerador y el inferior (segundo) se llama denominador.
Vale la pena señalar que el denominador muestra en cuántas partes se divide la unidad y el numerador es el número de partes o partes tomadas. Las fracciones, si son correctas, suelen ser menos de uno.
Ahora veamos las propiedades de estos números y las reglas básicas que se usan cuando se trabaja con ellos. Pero antes de analizar un concepto como "la propiedad principal de una fracción racional", hablemos de los tipos de fracciones y sus características.
Que son las fracciones
Hay varios tipos de tales números. En primer lugar, estos son ordinarios y decimales. Los primeros representan el tipo de grabación que ya hemos indicado mediante una barra horizontal o una barra. El segundo tipo de fracciones se indica mediante la denominada notación posicional, cuando se indica primero la parte entera del número y luego, después de la coma, se indica la parte fraccionaria.
Vale la pena señalar aquí que en matemáticas, tanto las fracciones decimales como las ordinarias se usan de la misma manera. La propiedad principal de la fracción es válida solo para la segunda opción. Además, los números correctos e incorrectos se distinguen en fracciones ordinarias. Para el primero, el numerador es siempre menor que el denominador. Tenga en cuenta también que dicha fracción es menor que uno. En una fracción irregular, por el contrario, el numerador es mayor que el denominador, y él mismo es mayor que uno. En este caso, se puede extraer un número entero. En este artículo, solo consideraremos fracciones ordinarias.
Propiedades de las fracciones
Cualquier fenómeno, químico, físico o matemático, tiene sus propias características y propiedades. Los números fraccionarios no fueron una excepción. Tienen una característica importante, con la ayuda de la cual se pueden realizar ciertas operaciones en ellos. ¿Cuál es la propiedad principal de una fracción? La regla dice que si su numerador y denominador se multiplican o dividen por el mismo número racional, obtenemos una nueva fracción, cuyo valor será igual al valor de la original. Es decir, multiplicando las dos partes del número fraccionario 3/6 por 2, obtenemos una nueva fracción 6/12, mientras que serán iguales.
Con base en esta propiedad, puede reducir fracciones, así como seleccionar denominadores comunes para un par de números en particular.
Operaciones
Aunque las fracciones son más complejas para nosotros, también puede realizar operaciones matemáticas básicas como suma y resta, multiplicación y división en comparación con ellas. Además, existe una acción tan específica como la reducción de fracciones. Naturalmente, cada una de estas acciones se realiza de acuerdo con ciertas reglas. El conocimiento de estas leyes facilita el trabajo con fracciones, lo hace más fácil y más interesante. Es por eso que más adelante consideraremos las reglas básicas y un algoritmo de acciones cuando trabajemos con tales números.
Pero antes de hablar de operaciones matemáticas como la suma y la resta, examinemos una operación como la reducción a un denominador común. Aquí es donde nos resulta útil el conocimiento de cuál es la propiedad básica de una fracción.
Común denominador
Para llevar un número a un denominador común, primero debes encontrar el mínimo común múltiplo de los dos denominadores. Es decir, el número más pequeño que es simultáneamente divisible por ambos denominadores sin resto. La forma más fácil de encontrar el MCM (mínimo común múltiplo) es escribir en una línea para un denominador, luego para el segundo y encontrar el número correspondiente entre ellos. En el caso de que no se encuentre el LCM, es decir, estos números no tienen un múltiplo común, se deben multiplicar, y el valor resultante se debe considerar como el LCM.
Entonces, hemos encontrado el LCM, ahora necesitamos encontrar un factor adicional. Para hacer esto, debes dividir alternativamente el MCM en los denominadores de las fracciones y escribir el número resultante sobre cada una de ellas. A continuación, debes multiplicar el numerador y el denominador por el factor adicional resultante y escribir los resultados como una nueva fracción. Si dudas que el número que recibiste sea igual al anterior, recuerda la propiedad básica de una fracción.
Adición
Ahora vayamos directamente a las operaciones matemáticas con números fraccionarios. Empecemos por el más simple. Hay varias opciones para sumar fracciones. En el primer caso, ambos números tienen el mismo denominador. En este caso, solo queda sumar los numeradores. Pero el denominador no cambia. Por ejemplo, 1/5 + 3/5 = 4/5.
Si las fracciones tienen diferentes denominadores, debes llevarlas a uno común y solo luego sumarlas. Cómo hacer esto, lo hemos resuelto un poco más. En esta situación, la propiedad básica de la fracción será útil. La regla te permitirá llevar los números a un denominador común. Esto no cambia el valor de ninguna manera.
Alternativamente, puede suceder que la fracción esté mezclada. Luego, primero debes sumar las partes enteras y luego las partes fraccionarias.
Multiplicación
No requiere ningún truco, y para realizar esta acción no es necesario conocer la propiedad básica de la fracción. Es suficiente multiplicar primero los numeradores y denominadores. En este caso, el producto de los numeradores se convertirá en el nuevo numerador y los denominadores se convertirán en el nuevo denominador. Como ves, nada complicado.
Lo único que se requiere de usted es el conocimiento de la tabla de multiplicar, así como la atención. Además, una vez obtenido el resultado, es imperativo comprobar si este número se puede reducir o no. Hablaremos sobre cómo reducir fracciones un poco más adelante.
Sustracción
La interpretación debe guiarse por las mismas reglas que al agregar. Entonces, en números con el mismo denominador, basta con restar el numerador de lo restado del numerador de lo reducido. En el caso de que las fracciones tengan diferentes denominadores, debes llevarlas a uno común y luego realizar esta operación. Al igual que en el caso similar de la suma, necesitarás usar la propiedad básica de una fracción algebraica, así como habilidades para encontrar el MCM y los factores comunes para las fracciones.
División
Y la última operación más interesante cuando se trabaja con tales números es la división. Es bastante simple y no causa ninguna dificultad particular, incluso para aquellos que están poco versados en cómo trabajar con fracciones, en particular, realizar operaciones de suma y resta. Al dividir, hay una regla como la multiplicación por el recíproco. La propiedad básica de una fracción, como en el caso de la multiplicación, no se utilizará para esta operación. Miremos más de cerca.
Al dividir números, el dividendo permanece sin cambios. La fracción del divisor se invierte, es decir, el numerador y el denominador están invertidos. Después de eso, los números se multiplican entre sí.
Reducción
Entonces, ya hemos analizado la definición y estructura de las fracciones, sus tipos, las reglas para las operaciones con números dados y aclaramos la propiedad principal de una fracción algebraica. Ahora hablemos de una operación como reducción. Reducir una fracción es el proceso de convertirla, dividiendo el numerador y el denominador por el mismo número. Así, la fracción se reduce sin cambiar sus propiedades.
Por lo general, al realizar una operación matemática, debe observar detenidamente el resultado obtenido al final y averiguar si es posible reducir la fracción resultante o no. Recuerda que el resultado final siempre se escribe con un número fraccionario no abreviado.
Otras operaciones
Finalmente, notamos que no hemos enumerado todas las operaciones con números fraccionarios, mencionando solo las más famosas y necesarias. Las fracciones también se pueden ecualizar, convertir a decimales y viceversa. Pero en este artículo no consideramos estas operaciones, ya que en matemáticas se realizan con mucha menos frecuencia que las que hemos dado anteriormente.
conclusiones
Hablamos con ellos sobre números fraccionarios y operaciones. También analizamos la propiedad principal, pero observemos que todas estas cuestiones fueron consideradas de pasada. Hemos dado solo las reglas más famosas y utilizadas, dado los consejos más importantes, en nuestra opinión.
Este artículo tiene como objetivo refrescar la información que ha olvidado sobre las fracciones en lugar de brindar nueva información y "llenar" su cabeza con un sinfín de reglas y fórmulas que, muy probablemente, no le serán de utilidad.
Esperamos que el material presentado en el artículo de manera simple y concisa le haya resultado útil.
Al estudiar fracciones ordinarias, nos encontramos con los conceptos de la propiedad básica de una fracción. Es necesaria una formulación simplificada para resolver ejemplos con fracciones ordinarias. Este artículo asume la consideración de las fracciones algebraicas y la aplicación de la propiedad principal a las mismas, la cual será formulada con ejemplos del área de su aplicación.
Formulación y justificación
La propiedad principal de una fracción es la siguiente:
Definición 1
Cuando el numerador y el denominador se multiplican o dividen simultáneamente por el mismo número, el valor de la fracción permanece sin cambios.
Es decir, obtenemos que a m b m = a b y a: m b: m = a b son equivalentes, donde a b = a m b my a b = a: m b: m se consideran justos. Los valores a, b, m son algunos números naturales.
La división del numerador y denominador por un número se puede representar como a · m b · m = a b. Esto es lo mismo que resolver el ejemplo 8 12 = 8: 4 12: 4 = 2 3. Al dividir, se usa una igualdad de la forma a: m b: m = a b, entonces 8 12 = 2 · 4 2 · 4 = 2 3. También se puede representar en la forma a m b m = a b, es decir, 8 12 = 2 4 3 4 = 2 3.
Es decir, la propiedad principal de la fracción a m b m = a b y a b = a m b m se considerará en detalle, en contraste con a: m b: m = a b y a b = a: m b: m.
Si tanto el numerador como el denominador contienen números reales, entonces la propiedad es aplicable. Primero, es necesario probar la validez de la desigualdad escrita para todos los números. Es decir, demostrar la existencia de a m b m = a b para todos los a, b, m reales, donde b y m son valores distintos de cero para evitar la división por cero.
Prueba 1
Supongamos que una fracción de la forma a b se considera parte de la notación z, en otras palabras, a b = z, entonces es necesario demostrar que a m b m corresponde a z, es decir, demostrar a m b m = z. Entonces esto nos permitirá probar la existencia de la igualdad a m b m = a b.
Una barra inclinada significa un signo de división. Aplicando la conexión con la multiplicación y la división, obtenemos que de a b = z después de la transformación obtenemos a = b z. De acuerdo con las propiedades de las desigualdades numéricas, multiplique ambos lados de la desigualdad por un número que no sea cero. Luego multiplicamos por el número m, obtenemos que a m = (b z) m. Por propiedad, tenemos derecho a escribir la expresión en la forma a m = (b m) z. Por tanto, de la definición se sigue que a b = z. Esa es toda la prueba de la expresión a m b m = a b.
Las igualdad de la forma a m b m = a b y a b = a m b m tienen sentido cuando en lugar de a, b, m hay polinomios, y en lugar de b y m son distintos de cero.
La propiedad principal de una fracción algebraica: cuando multiplicas simultáneamente el numerador y el denominador por el mismo número, obtenemos una expresión que es idénticamente igual a la expresión original.
La propiedad se considera justa, ya que las acciones con polinomios corresponden a acciones con números.
Ejemplo 1
Considere el ejemplo de la fracción 3 x x 2 - x y + 4 y 3. La conversión a la forma 3 x (x 2 + 2 x y) (x 2 - x y + 4 y 3) (x 2 + 2 x y) es posible.
La multiplicación se realizó mediante el polinomio x 2 + 2 · x · y. De la misma manera, la propiedad principal ayuda a eliminar x 2, que está presente en la fracción de la forma 5 x 2 (x + 1) x 2 (x 3 + 3) dada por la condición, a la forma 5 x + 5 x 3 + 3. A esto se le llama simplificación.
La propiedad principal se puede escribir en forma de expresiones a m b m = a b y a b = a m b m, cuando a, b, m son polinomios o variables ordinarias, y b y m deben ser distintos de cero.
Esferas de aplicación de la propiedad básica de una fracción algebraica
El uso de la propiedad principal es relevante para convertir a un nuevo denominador o para reducir una fracción.
Definición 2
Reducir a un denominador común es multiplicar el numerador y el denominador por un polinomio similar para obtener uno nuevo. La fracción resultante es igual a la original.
Es decir, una fracción de la forma x + yx 2 + 1 (x + 1) x 2 + 1 cuando se multiplica por x 2 + 1 y se reduce a un denominador común (x + 1) (x 2 + 1) será x 3 + x + x 2 y + yx 3 + x + x 2 + 1.
Después de realizar operaciones con polinomios, obtenemos que la fracción algebraica se transforma en x 3 + x + x 2 y + y x 3 + x + x 2 + 1.
La conversión a un denominador común también se realiza al sumar o restar fracciones. Si se dan coeficientes fraccionarios, primero se debe hacer una simplificación, lo que simplificará la forma y el hallazgo mismo del denominador común. Por ejemplo, 2 5 x y - 2 x + 1 2 = 10 2 5 x y - 2 10 x + 1 2 = 4 x y - 20 10 x + 5.
La aplicación de la propiedad al reducir fracciones se realiza en 2 etapas: factorizar el numerador y el denominador para encontrar el m común, luego cambiar a la forma de la fracción a b, con base en una igualdad de la forma a m b m = a b.
Si una fracción de la forma 4 x 3 - x y 16 x 4 - y 2 después de la expansión se transforma en x (4 x 2 - y) 4 x 2 - y 4 x 2 + y, es obvio que el factor general es el polinomio 4 · x 2 - y. Entonces será posible reducir la fracción según su propiedad principal. Lo entendemos
x (4 x 2 - y) 4 x 2 - y 4 x 2 + y = x 4 x 2 + y. La fracción se simplifica, luego, al sustituir valores, deberá realizar muchas menos acciones que al sustituir en el original.
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