1% es una centésima parte de un número.

1% = 0,01.

Hallar porcentajes de un número.
Para encontrar el porcentaje de un número, puede representar el porcentaje como una fracción decimal y multiplicar el número por la fracción decimal resultante.

Encontrar un número por su porcentaje.
Para encontrar un número por su porcentaje, puede representar el porcentaje como una fracción decimal y dividir este número por la fracción decimal resultante.

Para encontrar el porcentaje de un número de otro, puede dividir un número por otro y multiplicar el producto resultante por 100.

Cómo resolver problemas con interés. Ejemplos.

Encontrar un porcentaje de un número está asociado con encontrar una fracción de un número. Los porcentajes son una forma especial de escribir una fracción ordinaria, por lo tanto, debe comenzar a revelar el significado del concepto de porcentaje al comprender el concepto de fracción ordinaria.

Tomemos algunas fracciones comunes, por ejemplo. ¿Cuál es el significado de cada una de esas entradas?
- Estos son ejemplos de fracciones regulares. El denominador de cada uno de ellos muestra cuántas partes iguales deben dividirse un objeto real o abstracto, el numerador muestra cuántas partes deben tomarse. Tomemos una fracción regular como ejemplo. Por ejemplo. El significado de esta expresión se puede revelar de la siguiente manera. Cierto objeto real se dividió en 3 partes iguales y se tomaron 2 partes de ellos.

Como objeto real, puede tomar, por ejemplo, un rectángulo.

Esta expresión es el cociente de ayb, donde b no es 0.

Esta es la razón de los números ayb, donde b no es igual a 0.

Esta es una fracción ordinaria. a es el numerador, b es el denominador (b no es igual a 0).

Ejemplo 1. La capacidad del barril era de 200 L. El barril estaba lleno de agua. ¿Cuál fue el significado de esta propuesta?
- esta fracción significa que un determinado objeto se dividió en 5 partes iguales y se tomaron 2 partes de ellos. El objeto de este problema es un volumen de barril igual a 200 litros, por lo tanto,
200:5 = 40,
402 = 80.
Se vertieron 80 litros de agua en el barril.
El ejemplo anterior es un ejemplo típico de encontrar una fracción de un número.

Para encontrar la fracción de un número, debes multiplicar el número por esta fracción.

Ahora puedes ir a porcentajes.

El concepto de porcentaje se define de la siguiente manera: 1% del número es una centésima parte del número, es decir, 1% = 0.01.

Entonces el significado de la oración un% del número b se puede explicar de la siguiente manera. Cierto objeto (cuyo valor es B unidades) se dividieron en 100 partes iguales y se tomaron de ellas a partes.

Ejemplo 2. Masha tenía 400 rublos. Gastó el 24% de esta cantidad. ¿Cuál es el significado de esta declaración?
Dado que 24% = 0.24, y 0.24 significa que cierto objeto se dividió en 100 partes iguales y se tomaron 24 partes de ellos. En este caso, el objeto es la cantidad de dinero igual a 400 rublos, por lo tanto,
400: 100 =4,
424 = 96.
Masha gastó 96 rublos.
El ejemplo anterior es un ejemplo típico de encontrar un porcentaje de un número.

Ejemplo 3. Necesito encontrar R% del numero B .
Sea x el número que necesitamos encontrar.
pag% = 0,01pag,
x = b 0,01pag

Para encontrar los porcentajes de un número, debes representar el número de porcentajes como una fracción decimal y multiplicar el número dado por esta fracción decimal.

Otro enfoque para esta tarea. Puede utilizar el concepto y las propiedades de la proporción. Si recuerda que la proporción es la igualdad de dos razones y la razón de dos números es una fracción ordinaria, entonces este método también está asociado con el concepto de fracción ordinaria.

b - 100%,
x - p%,
Tenemos una proporción:
b: 100 = x: p, (b se refiere a 100 cuando x se refiere ap) de donde,

Ejemplo 4. Que haya números a y B , es más, a >B Entonces el numero a más números B sobre %.

Abordemos este problema de manera un poco diferente. Consideraremos un caso especial simple, por ejemplo: "¿En qué porcentaje es el número 10 mayor que el número 2?"

1. Reste el número más pequeño del más grande. 10 - 2 = 8. Entonces 10 es más de 2 por 8.

2. Calcula la razón entre el número encontrado y el número más pequeño. 8: 2 = 4 es la razón de dos números.

3 Expresamos la razón como un porcentaje 4100 = 400%.

El número 10 es un 400% más que el número 2.

Si dividimos 8 entre 10, encontramos una razón que muestra qué parte de 10 2 es menor que 10 (aquí la comparación es con el número 10.

El número 2 es un 80% menor que el número 10.

Ejemplo 5. El conductor del tractor arado 6 hectáreas, que es de todo el campo. Cuál es el área de todo el campo.
Esta es una tarea típica de encontrar un número por su fracción. Sea el área de todo el campo X, entonces tenemos la ecuación x = 6. De donde x = 6:; x = 26. El área del campo es 26 hectáreas.

Para encontrar un número por su fracción, debes dividir el número correspondiente a esta fracción por una fracción.

Ejemplo 6. Dado un número B, cual es pag% del numero una. Encuentra el numero una.

pag% = 0,01pag
B = 0,01Pensilvania
a = b: (0.01p)

Dado un número B cual es pag% del numero a .

Encuentra el numero a .

a - 100%

b - p%

a: 100 = b: p

Fórmula de interés compuesto.

Si se deposita la cantidad a unidades monetarias y los cargos bancarios R% anual, luego después norte años, el monto del depósito serán unidades monetarias, o
a (1 + 0.01p) n unidades monetarias.

Ejemplo 7. El costo de construir una casa fue de 9800 rublos, de los cuales el 35% pagó por el trabajo y el resto por el material. ¿Cuánto costaron los materiales?

Pagado por el trabajo:

0,359800 = 3430.

Por lo tanto, el costo de los materiales: 9800-3430 = 6370.

Respuesta: 6370 rublos.

Ejemplo 8. Se vertieron 37,4 toneladas de gasolina en el tanque, después de lo cual quedó sin llenar el 6,5% de la capacidad del tanque. ¿Cuánta gasolina necesito agregar al tanque para llenarlo?

Si la parte sin llenar del tanque es el 6.5% de la capacidad, entonces la parte llena es: 100% - 6.5% = 93.5%. Entonces, si x es la masa de gasolina que queda por agregar al tanque, entonces tenemos la proporción

dónde .

Respuesta: 2,6 t.

Ejemplo 9. Encuentra un número sabiendo que el 25% es igual al 45% de 640.

Sea x el número requerido. Tenemos

0,25x = 0,45640.

Respuesta: 1152.

Ejemplo 10. El número a es el 92% del número b. Si el número b se incrementa en 700, entonces el nuevo número será un 9% más que el número a. Encuentra los números ay b.

De la condición del problema, tenemos un sistema de ecuaciones:

Resolviendo el sistema resultante, encontramos, a = 230,000, b = 250,000.

Respuesta: 230.000; 250.000.

Ejemplo 11. El primer número es el 50% del segundo. ¿Qué porcentaje del primero es el segundo?

Denotemos el segundo número hasta x, luego el primer número es igual a 0.5x. Para averiguar qué porcentaje es el número x del número 0.5x; hagamos una proporción:

de donde encontramos

Respuesta: 200%.

Ejemplo 12. Hay 260 estudiantes en el Liceo, de los cuales el 10% no tiene éxito. Tras la expulsión de un cierto número de infractores, su porcentaje se redujo al 6,4%. ¿Cuántos estudiantes se dan de baja?

Antes de la deducción, el número de personas que no tuvieron éxito antes de que se sacara la deducción.

Dejemos que x personas sean expulsadas. Entonces solo quedaron 260 estudiantes en el Liceo, de los cuales 26 se convirtieron en alumnos de bajo rendimiento. Tenemos una proporcion

260 - x - 100%,

(260 - x) 0.064 = (26 - x) 100,

Resolviendo la ecuación resultante, encontramos x = 10.

Ejemplo 13.¿En qué porcentaje es 250 mayor que 200?

Hagamos dos cosas.

1) Averiguamos qué porcentaje es el número 250 toneladas del número 200:

2) Dado que el número 200 en este ejemplo es 100%, el número 250 es mayor que el número 200 en 125% -100% = 25%.

Respuesta: 25%.

Ejemplo 14.¿Cuánto menos es 200 que 250?

1) Averigüe cuánto por ciento es el número 200 del número 250 (a diferencia del ejemplo anterior, ¡aquí debe tomar el número 250 como 100%!):

2) El número 200 es menor que el número 250 en un 100% - 80% = 20%.

Respuesta: 20%.

Ejemplo 15. La longitud del ladrillo se incrementó en un 30%, el ancho en un 20% y la altura se redujo en un 40%. ¿Ha aumentado o disminuido el volumen del ladrillo a partir de esto y en qué porcentaje?

Deje que la longitud original del ladrillo sea x, ancho - y, alto - z. Entonces el volumen original del ladrillo: V 1 = xyz. Nuevos tamaños de ladrillos: 1.3x; 1,2 años; 0.6z y un nuevo volumen: V 2 = 1.3x1.2y0.6z = 0.936xyz. Desde V 2< V 1 , объем кирпича уменьшился. Уменьшение V 2 - V 1 = 0,064xyz и составляет 6,4% от V 1.

Respuesta: disminuyó en un 6,4%.

Ejemplo 16. El precio del producto bajó un 40%, luego otro 25%. ¿Cuánto ha bajado el precio del producto en comparación con el precio original?

Denotemos el precio original del producto mediante x. Después de la primera caída, el precio será igual

x - 0.4x = 0.6x.

La segunda disminución de precio es el 25% del nuevo precio de 0.6x, por lo que después de la segunda disminución de precio tendremos un precio

0.6x - 0.250.6x = 0.45x ;.

Después de dos reducciones, el cambio de precio total es:

x - 0.45x = 0.55x.

Dado que la magnitud es 0.55x; es el 55% del valor x, entonces el precio de los bienes ha disminuido en un 55%.

Respuesta: 55%.

Ejemplo 17. El costo inicial por unidad de producción fue igual a 75 rublos. Durante el primer año de producción, aumentó en un cierto número de por ciento, y durante el segundo año disminuyó (en relación con el aumento del costo) en el mismo número de por ciento, como resultado de lo cual se volvió igual a 72 rublos. Determine el porcentaje de aumentos y disminuciones en el costo unitario.

Sea x% el porcentaje de aumento (y disminución) del costo unitario. Por definición, x% de 75 es 750.01x. Luego, después del primer aumento, el precio será igual a 75 + 0.75x.

Durante el segundo año, el precio disminuirá en la cantidad

0.01x (75 + 0.75x) = 0.75x + 0.0075x 2.

La ecuación de precio final ahora se puede escribir

(75 + 0,75x) - (0,75x + 0,0075x 2) = 72;

x 2 = 400; por tanto, x 1 = - 20, x 2 = 20.

Solo una raíz de esta ecuación es adecuada: x 2 = 20.

Respuesta: 20%.

Ejemplo 18. Se depositaron 10 mil rublos en la cuenta bancaria. Después de que el dinero había permanecido durante un año, se retiraron mil rublos de la cuenta. Un año después, la cuenta fue de 11 mil rublos. Determine qué porcentaje anual cobra el banco.

Deje que el banco calcule el p% anual.

1) La cantidad de 10,000 rublos depositados en una cuenta bancaria al p% anual, en un año aumentará al valor

10000 + 0.01p10000 = 10000 + 100 frotar.

Cuando se retiren 1000 rublos de la cuenta, permanecerán allí 9000 + 100 rublos.

2) Un año después, el último valor debido a la acumulación de intereses aumentará al valor de 9000 + 100r + 0.01p (9000 + 100r) = p 2 + 190r + 9000 rublos.

Por condición, este valor es 11.000 rublos, por lo que tenemos una ecuación cuadrática.

p 2 + 190r + 9000 = 11000;

p 2 + 190r - 2000 = 0
, resolvemos esta ecuación cuadrática usando el teorema de Vietta, p 1 = 10, p 2 = -200.

La raíz negativa no es adecuada.

Respuesta: 10%.

Ejemplo 19. La ciudad cuenta actualmente con 48400 habitantes. Se sabe que la población de esta ciudad está aumentando anualmente en un 10%. ¿Cuántos residentes había hace dos años?

Supongamos que hace dos años el número de habitantes de la ciudad era x personas, entonces el número de habitantes se expresa actualmente en términos de x usando la fórmula de porcentaje compuesto:

x (1 + 0,1) 2 = 1,21 x.

De la declaración del problema:

Respuesta: 40.000 personas.

El porcentaje es la forma de una fracción decimal. La esencia del porcentaje se puede entender por el nombre, que proviene de la palabra "cento", que significa "cien" en la traducción. De ello se deduce que el porcentaje es una centésima parte de un número entero, tomado como una unidad. El signo% se utiliza para representar el porcentaje en matemáticas y otros campos de la ciencia.

¿Una persona común necesita esto?

Por supuesto, la mayoría de las veces, las personas cuyas actividades están relacionadas con la ciencia tienen que lidiar con el interés. No es raro que esta felicidad llegue a los estudiantes como parte del plan de estudios de matemáticas de la escuela. Sin embargo, el ámbito de aplicación del interés es tan amplio que los representantes de diversas profesiones y ocupaciones se enfrentan a la necesidad de calcularlos. La audiencia de nuestro sitio no es una excepción. De hecho, los residentes de verano a menudo se enfrentan a la tarea de determinar la concentración de una solución de fertilizante, calcular el impuesto sobre la tierra u otra propiedad, determinar el monto de los pagos del préstamo, etc.

En todos estos casos, no puede prescindir de la capacidad de manejar adecuadamente los intereses. Y son camaradas caprichosos, no les gustan los errores. Por tanto, a pesar de la aparente sencillez de las tareas con interés, a la hora de resolverlas es necesario observar una serie de determinadas reglas.

Recepción básica

Todos los problemas en los que aparecen porcentajes son bastante fáciles de resolver utilizando el principio de proporción. Cual es su esencia? Por ejemplo, ¿necesitas determinar qué es igual al 76% del número 840? Para ello, se elabora una proporción adecuada. Equivale a 840 a 100%. El valor buscado x es 76%. Esto permite componer la siguiente proporción:

840 / x = 100% / 76% o 840 * 76% = x * 100%

De ahí que resulte que:
x = 840 * 76% / 100% = 638,4

Como ves, todo es sumamente sencillo.

Tipos de problemas básicos con porcentajes

Desde el punto de vista matemático, existen 3 categorías de problemas, cuya solución está asociada al cálculo de porcentajes.

Primer tipo

Aquí es cuando necesita encontrar el porcentaje de un número específico especificado en las condiciones. Adaptando el ejemplo a las circunstancias de la vida de los veraneantes, se puede citar el siguiente problema. Suponga que de acuerdo con las leyes de una determinada región, el propietario de un terreno privado debe pagar el impuesto territorial anualmente. Su tamaño se determina como el 2% del valor catastral del terreno. El precio de la parcela es de 327 mil rublos. ¿Cuál es la tasa impositiva anual? Para responder a la pregunta planteada se elabora una proporción:

327 mil rublos. = 100%;
X mil rublos = 2%.

Al llevar esta dependencia a la ecuación, obtenemos: x * 100 = 327 * 2. Como resultado: x = 327 * 2/100 = 6.54 mil rublos.

Otro ejemplo de este tipo de tareas está relacionado con el tema que preocupa a la inmensa mayoría de los veraneantes: el aumento de las pensiones o de los salarios. Supongamos ahora que la pensión de una persona es de 7.200 rublos, pero a partir del próximo mes prometen aumentarla en un 15%. ¿Cuánto será directamente en rublos? La proporción se vuelve a compilar:

Segundo tipo

En este caso, debe resolver el problema inverso, es decir, calcular el número a partir del porcentaje disponible. Por ejemplo, se sabe que 10 kg de una determinada sustancia forman parte del fertilizante, mientras que representan el 40% de su cantidad total. Es necesario determinar la masa total del fertilizante terminado. Para esto, también se compila una proporción, pero se verá ligeramente diferente:

10 kg - 40%
x kg - 100%

De ello se deduce que x = 10 * 100/40 = 25 kg.

Tercer tipo

Esta categoría incluye tareas en las que necesita determinar el porcentaje de otra a través de un número. Por ejemplo, el volumen de riego matutino de zanahorias debe ser - 60 litros. Por la noche, se deben verter 150 litros en las camas. ¿Qué porcentaje del riego vespertino es riego matutino? La relación básica es la siguiente:

150 l - 100%;
Taza de 60 L - x%

Entonces: x = 60 * 100/150 = 40%

Para aquellos veraneantes que consideren su parcela personal como una fuente de ingresos, debería existir una tecnología interesante para calcular la rentabilidad. Este indicador se utiliza en economía como una medida del éxito de una empresa y también se calcula como un porcentaje. Es por el nivel de rentabilidad que juzgan cuán racionalmente está organizado el proceso de producción.

Entonces, el cálculo se basa en dos cantidades:

* costo total, incluidos todos los costos en efectivo, incluido el transporte, así como la compra de inventario, etc .;

* Ingresos recibidos por la venta de la cosecha recolectada.

La diferencia es la ganancia neta. Pr = D - C. En este caso, la fórmula de rentabilidad tiene la forma: P = Pr / C * 100%. Por lo tanto, si el costo total de producción es de 8.200 rublos y se vendió por 9.000 rublos, la rentabilidad será: P = (9.000 - 8.200) / 8.200 * 100% = 9,75%. Por lo general, se considera que un nivel aceptable de rentabilidad en la economía de una empresa es del 5%. A tasas más bajas, se aconseja a la dirección que busque opciones para una organización del trabajo más racional.

En cualquier caso, necesitas saber cómo resolver problemas de álgebra con porcentajes incluso en la escuela, y entonces no te será más difícil.

Peter, www.site

El concepto de porcentaje se da con demasiada frecuencia en nuestra vida, por eso es muy importante saber cómo resolver problemas con interés. En principio, este no es un asunto difícil, lo principal es comprender el principio de trabajar con interés.

Que es el porcentaje

Operamos con el concepto de 100 por ciento y, en consecuencia, el uno por ciento es una centésima parte de un cierto número. Y todos los cálculos se basan en esta relación.

Por ejemplo, 1% de 50 es 0.5, 15 de 700 es 7.

Cómo resolver

1. Sabiendo que el uno por ciento es la centésima parte del número presentado, puede encontrar cualquier número de porcentajes requeridos. Para hacerlo más claro, tratemos de encontrar el 6 por ciento del número 800. Esto se hace de manera simple.
   • Primero, encontramos el uno por ciento. Para hacer esto, divida 800 entre 100. Resulta 8.
   • Ahora bien, este mismo uno por ciento, es decir, 8, se multiplica por la cantidad de porcentaje que necesitamos, es decir, por 6. Resulta 48.
   • Arreglemos el resultado por repetición.

   15% de 150. Solución: 150/100 * 15 = 22.

   28% de 1582. Solución: 1582/100 * 28 = 442.

2. Hay otros problemas cuando se le dan valores y necesita encontrar porcentajes. Por ejemplo, sabe que hay 5 rosas rojas de 75 blancas en la tienda y necesita averiguar cuál es el porcentaje de rosas rojas. Si no conocemos este porcentaje, lo designaremos como x.

   Hay una fórmula para esto: 75 - 100%

   En esta fórmula, los números se multiplican cruz por cruz, es decir, x = 5 * 100/75. Resulta que x = 6% Esto significa que el porcentaje de rosas escarlatas es del 6%.

3. Hay otro tipo de problemas de porcentaje, cuando necesitas encontrar el porcentaje de un número mayor o menor que otro. ¿Cómo solucionar problemas con interés en este caso?

   Hay 30 estudiantes en la clase, 16 de ellos son niños. La pregunta es, ¿en qué porcentaje hay más niños que niñas? Primero debe calcular qué porcentaje de los estudiantes son niños, luego debe averiguar cuántos por ciento son niñas. Encuentra la diferencia al final.

   Entonces empecemos. Hacemos la proporción de 30 por. - 100%

   16 cuenta. -NS%

   Ahora contamos. X = 16 * 100/30, x = 53,4% de todos los estudiantes de la clase son varones.

   Ahora encontremos el porcentaje de niñas en la misma clase. 100-53,4 = 46,6%

Ahora todo lo que queda es encontrar la diferencia. 53,4-46,6 = 6,8%. Respuesta: hay un 6,8% más de niños que de niñas.

Aspectos destacados en la resolución de intereses

Entonces, para que no tenga problemas con cómo resolver problemas con interés, recuerde algunas reglas básicas:

1. Para no confundirse en los problemas de porcentaje, esté siempre atento: vaya de valores específicos a porcentajes y viceversa, si es necesario. Lo principal es no confundir nunca uno con el otro.
2. Tenga cuidado al calcular el interés. Es importante saber a partir de qué valor específico desea contar. Con sucesivos cambios de valores, el porcentaje se calcula a partir del último valor.
3. Antes de escribir la respuesta, vuelve a leer todo el problema, porque puede ser que hayas encontrado solo una respuesta intermedia y necesites realizar una o un par de acciones.

Por lo tanto, resolver problemas con porcentajes no es tan difícil, lo principal es la atención y la precisión, como, de hecho, en todas las matemáticas. Y no olvide que se necesita práctica para perfeccionar cualquier habilidad. Así que decide más y todo estará bien o incluso genial para ti.

Para resolver la mayoría de los problemas de matemáticas de la escuela secundaria, se requiere conocimiento de proporciones. Esta sencilla habilidad le ayudará no solo a realizar ejercicios complejos del libro de texto, sino también a profundizar en la esencia misma de las matemáticas. ¿Cómo hacer la proporción? Echemos un vistazo ahora.

El ejemplo más simple es un problema en el que se conocen tres parámetros y se debe encontrar el cuarto. Las proporciones son, por supuesto, diferentes, pero a menudo es necesario encontrar algún número por porcentaje. Por ejemplo, el niño tenía diez manzanas en total. Le dio la cuarta parte a su madre. ¿Cuántas manzanas le quedan al niño? Este es el ejemplo más simple que te permitirá componer la proporción. Lo principal es hacerlo. Originalmente había diez manzanas. Que sea 100%. Marcamos todas sus manzanas. Regalaba una cuarta parte. 1/4 = 25/100. Esto significa que le queda: 100% (era originalmente) - 25% (dio) = 75%. Esta figura muestra el porcentaje del número de frutos restantes respecto al número de los primeros disponibles. Ahora tenemos tres números, por los que ya es posible resolver la proporción. 10 manzanas - 100%, NS manzanas: 75%, donde x es la cantidad requerida de fruta. ¿Cómo hacer la proporción? Necesitas entender qué es. Matemáticamente, se ve así. El signo igual se pone para su comprensión.

10 manzanas = 100%;

x manzanas = 75%.

Resulta que 10 / x = 100% / 75. Esta es la principal propiedad de las proporciones. Después de todo, cuanto mayor sea x, mayor porcentaje es este número del original. Resolvemos esta proporción y obtenemos que x = 7.5 manzanas. No sabemos por qué el niño decidió dar una cantidad no entera. Ahora sabes cómo proporcionar las proporciones. Lo principal es encontrar dos relaciones, una de las cuales contiene la incógnita desconocida.

Resolver proporciones a menudo se reduce a una simple multiplicación y luego a una división. En las escuelas, a los niños no se les explica por qué este es exactamente el caso. Si bien es importante comprender que las relaciones proporcionales son un clásico matemático, son la esencia misma de la ciencia. Para resolver proporciones, debes ser capaz de manejar fracciones. Por ejemplo, a menudo tienes que convertir porcentajes en fracciones. Es decir, un registro del 95% no funcionará. Y si escribe 95/100 de inmediato, puede hacer reducciones sólidas sin comenzar el conteo principal. Debe decirse de inmediato que si su proporción resultó ser con dos incógnitas, entonces no se puede resolver. Ningún profesor puede ayudarte aquí. Y su tarea, muy probablemente, tenga un algoritmo más complejo de acciones correctas.

Considere otro ejemplo donde no hay interés. El automovilista compró 5 litros de gasolina por 150 rublos. Se preguntó cuánto pagaría por 30 litros de combustible. Para resolver este problema, denote x la cantidad de dinero requerida. Puede resolver este problema usted mismo y luego verificar la respuesta. Si aún no ha descubierto cómo hacer la proporción, eche un vistazo. 5 litros de gasolina son 150 rublos. Como en el primer ejemplo, escribiremos 5L - 150r. Ahora busquemos el tercer número. Por supuesto, esto son 30 litros. De acuerdo en que un par de 30 litros - x rublos es apropiado en esta situación. Pasemos al lenguaje matemático.

5 litros - 150 rublos;

30 litros - x rublos;

Resolvemos esta proporción:

x = 900 rublos.

Así que decidimos. En su tarea, no olvide comprobar la adecuación de la respuesta. Sucede que con la decisión equivocada, los autos alcanzan velocidades poco realistas de 5000 kilómetros por hora y así sucesivamente. Ahora sabes cómo proporcionar las proporciones. También puedes solucionarlo. Como puede ver, esto no es difícil.

Interés por las matemáticas. Problemas de interés.

¡Atención!
Hay adicionales
materiales en la Sección Especial 555.
Para los que son muy "no muy ..."
Y para los que son "muy parejos ...")

Interés por las matemáticas.

Qué interés en las matemáticas? Cómo resolver tareas de interés? Estas preguntas surgen, por desgracia, de repente ... Cuando un graduado lee la tarea USE. Y lo desconciertan. Pero en vano. Estos son conceptos muy simples.

Lo único que hay que recordar es el hierro: lo que es uno porciento ... Este concepto es llave maestra a resolver problemas con interés ya trabajar con interés en general.

El uno por ciento es la centésima parte de un número ... Y eso es todo. No hay más sabiduría.

Pregunta razonable - y la centésima parte qué fecha ? Pero el número al que se hace referencia en la asignación. Si dice precio, el uno por ciento es la centésima parte del precio. Hablando de velocidad, el uno por ciento es la centésima parte de la velocidad. Etc. Está claro que el número en cuestión es siempre del 100%. Y si el número en sí no está ahí, entonces los porcentajes tampoco tienen sentido ...

Otra cosa es que en problemas complejos el número en sí estará oculto tanto que no lo encontrará. Pero todavía no apuntamos a lo difícil. Nos ocupamos de por ciento en matemáticas.

No acentúo las palabras para nada uno por ciento, un centésimo... Recordando lo que es uno porciento, puedes encontrar fácilmente dos por ciento, treinta y cuatro, diecisiete y ciento veintiséis. Encontrarás todo lo que necesites.

Y esta, por cierto, es la principal habilidad para resolver problemas con interés.

¿Intentemos?

Encontremos el 3% de 400. Primero, encontremos uno porciento... Será un centésimo, es decir. 400/100 = 4. El uno por ciento es 4. ¿Y cuánto por ciento necesitamos? Tres. Entonces multiplicamos 4 por tres. Obtenemos 12. Eso es todo. El tres por ciento de 400 es 12.

El 5% de 20 será 20 dividido por 100 (una centésima - 1%) y multiplicado por cinco (5%):

El 5% de 20 será 1. Eso es todo.

No podría ser más sencillo. Hagámoslo rápido, antes de que nos olvidemos, ¡practiquemos!

Encuentre cuánto será:
5% de 200 rublos.
8% desde 350 kilómetros.
120% a partir de 10 litros.
15% de 60 grados.
El 4% son excelentes estudiantes de 25 estudiantes.
10% de estudiantes pobres sobre 20 personas.

Respuestas (en completo desorden): 9, 10, 2, 1, 28, 12.

Estos números son el número de rublos, grados, estudiantes, etc. No escribí cuántas cosas, por lo que fue más interesante decidir ...

Y si necesitamos escribir NS% de algún número, por ejemplo, de 50? Sí, todo es igual. ¿Cuánto es el uno por ciento de 50? Así es, 50/100 = 0,5. Y tenemos este porcentaje - NS... Bueno, multipliquemos 0.5 por NS! Lo entendemos NS% de 50 es - 0.5x.

Espero que sea interés en las matemáticas usted lo consigue. Y puede encontrar fácilmente cualquier número de porcentaje de cualquier número. Es simple. ¡Ahora eres capaz de realizar aproximadamente el 60% de todas las tareas por interés! Más de la mitad ya. Bueno, ¿estamos terminando el resto? Está bien, ¡lo que digas!

En problemas de interés, a menudo se encuentra la situación opuesta. Se nos da magnitudes (lo que sea), pero necesitas encontrar interesar ... También dominaremos este sencillo proceso.

3 personas de 120: ¿cuál es el porcentaje? ¿No lo sé? Bueno, entonces déjalo ser NS por ciento.

Vamos a calcular NS% desde 120 personas. Inhumanos. Podemos hacer esto. Dividir 120 por 100 (calcular 1%) y multiplicar por NS(calcular NS%). Obtenemos 1.2 NS.

Comprendamos el resultado.

NS por ciento de 120 personas, eso es 1.2 NS humano ... Y tenemos tres personas así. Queda por equiparar:

Recordamos que para X tomamos el número de porcentaje. Entonces 3 personas de 120 personas es 2.5%.

Eso es todo.

Se puede hacer de otra forma. Llevarse bien con ingenio simple, sin ecuaciones. Consideramos cuantas veces 3 personas menos de 120? Divide 120 entre 3 y obtén 40. Entonces, 3 es 40 veces menos que 120.

El número requerido de personas en porcentaje será la misma cantidad menos de 100%. Después de todo, 120 personas son 100%. Dividir 100 entre 40, 100/40 = 2,5

Eso es todo. Recibido 2.5%.

También hay una forma de proporciones, pero esta es, en esencia, la misma en una versión reducida. Todos estos métodos son correctos. Como es más conveniente para usted, es más familiar, es más comprensible, considérelo.

Entrenamos de nuevo.

Calcule cuántos por ciento son:
3 personas de 12.
10 rublos de 800.
4 libros de texto de 160 libros.
24 respuestas correctas a 32 preguntas.
2 respuestas adivinadas a 32 preguntas.
9 hits de 10 tiros.

Respuestas (en desorden): 75%, 25%, 90%, 1,25%, 2,5%, 6,25%.

En el proceso de cálculos, es muy posible que te encuentres con fracciones. Incluidos los inconvenientes, como 1.333333 ... ¿Y quién te dijo que usaras la calculadora? ¿Por tí mismo? No. Contar sin calculadora como está escrito en el tema "Fracciones". Hay todo tipo de interés ...

Así que dominamos la transición de valores a porcentajes y viceversa. Puedes asumir las tareas.

Problemas de interés.

En el examen, los problemas de interés son muy populares. Desde lo más simple hasta lo más complejo. En esta sección trabajamos con tareas sencillas. En tareas simples, como regla general, debe pasar del porcentaje a los valores que se analizan en la tarea. A rublos, kilogramos, segundos, metros, etc. O viceversa. Ya sabemos cómo. Después de eso, el problema se vuelve claro y fácil de resolver. ¿No me crees? Ver por ti mismo.
Tengamos tal tarea.

“Un viaje en autobús cuesta 14 rublos. En los días de vacaciones escolares, se introdujo un descuento del 25% para los estudiantes. ¿Cuánto cuesta el autobús durante las vacaciones escolares? "

¿Cómo decidir? Si averiguamos cuánto 25% en rublos- entonces no hay nada que decidir. Reste el descuento del precio original, ¡y listo!

¡Pero ya sabemos reconocerlo! Cuanto sera uno porciento de 14 rublos? Una centésima parte. Es decir, 14/100 = 0,14 rublos. Y tenemos 25 de esos porcentajes, así que multipliquemos 0,14 rublos por 25. Obtenemos 3,5 rublos. Eso es todo. Hemos establecido el monto del descuento en rublos, queda por conocer la nueva tarifa:

14 – 3,5 = 10,5.

Diez rublos y medio. Esta es la respuesta.

Tan pronto como pasaron del interés a los rublos, todo se volvió simple y claro. Este es un enfoque general para resolver problemas con interés.

Por supuesto, no todas las tareas son igualmente elementales. Los hay más difíciles. ¡Solo piensa! Los resolveremos ahora. La dificultad es que ocurre todo lo contrario. Se nos dan algunos valores, pero necesitamos encontrar porcentajes. Por ejemplo, una tarea como esta:

“Anteriormente, Vasya resolvió dos problemas correctamente para un porcentaje de veinte. Después de estudiar el tema en un sitio útil, Vasya comenzó a resolver correctamente 16 de los 20 problemas. ¿En qué porcentaje Vasya se volvió más sabio? Consideramos 20 problemas resueltos para un cien por ciento de inteligencia ".

Dado que la pregunta es sobre el interés (y no sobre rublos, kilogramos, segundos, etc.), pasamos al interés. Averigua cuántos por ciento resolvió Vasya antes de preguntándose qué porcentaje después - ¡y está en la bolsa!

Nosotros contamos. Dos tareas de 20: ¿cuánto es el porcentaje? 2 es menos de 20 por 10, ¿verdad? Por tanto, la cantidad de tareas en porcentajes será 10 veces menor al 100%. Es decir, 100/10 = 10.

diez%. Sí, Vasya decidió un poco ... No hay nada que hacer en el examen. Pero ahora se ha vuelto más sabio y resuelve 16 problemas de 20. Consideramos cuánto será. ¿Cuántas veces es 16 menos que 20? De repente y no lo dirás ... Tendremos que dividirnos.

5/4 veces. Bueno, ahora dividimos 100 entre 5/4:

Aquí. El 80% ya es sólido. ¡Y lo principal no es el límite!

¡Pero esa no es la respuesta todavía! Volvemos a leer el problema para no cometer un error inesperado. Si, nos preguntan cuánto Vasya por ciento más sabio? Bueno, es simple. 80% - 10% = 70%. 70%.

70% es la respuesta correcta.

Como puede ver, en tareas simples, basta con traducir los valores dados en porcentajes, o los porcentajes dados en valores, ya que todo se aclara. Está claro que bien puede haber campanas y silbidos adicionales en la tarea. Lo cual, muchas veces, no tiene nada que ver con los porcentajes. Aquí, lo principal es leer cuidadosamente la condición y, paso a paso, lentamente, desdobla el rompecabezas. Hablaremos de esto en el próximo tema.

¡Pero hay una seria emboscada en los problemas de intereses! Muchos caen en ella, sí ... Esta emboscada parece bastante inocente. Por ejemplo, aquí hay un rompecabezas.

“Un hermoso cuaderno cuesta 40 rublos en verano. Antes del inicio del año escolar, el vendedor subió el precio en un 25%. Sin embargo, la compra de portátiles se volvió tan pobre que redujo el precio en un 10%. ¡No lo aceptan de todos modos! Tuvo que reducir el precio en otro 15%. ¡Aquí empezó el comercio! ¿Cuál fue el precio final del portátil? "

¿Bueno cómo? ¿Elemental?

Si respondiste pronta y alegremente “¡40 rublos!”, Entonces te tendieron una emboscada ...

El truco es que los porcentajes siempre se calculan a partir de alguna cosa .

Entonces contamos. Cuánto rublos¿El vendedor infló el precio? 25% de 40 rublos - esto es 10 rublos. Es decir, un portátil que ha subido de precio empezó a costar 50 rublos. Esto es comprensible, ¿verdad?

Y ahora tenemos que bajar el precio en un 10% de 50 rublos. ¡A partir de los 50, no de los 40! El 10% de 50 rublos son 5 rublos. En consecuencia, después de la primera reducción de precio, el portátil comenzó a costar 45 rublos.

Consideramos la segunda reducción de precio. 15% de 45 rublos ( de 45, no 40, o 50! ) Es de 6,75 rublos. Por tanto, el precio final del portátil es:

45 - 6,75 = 38,25 rublos.

Como ves, la emboscada es que el interés se calcula cada vez a partir del nuevo precio. De este último. Este es casi siempre el caso. Si el problema de un aumento-disminución secuencial del valor no se indica en texto sin formato, de qué cuente los porcentajes, debe contarlos desde el último valor. Y eso es cierto. ¿Cómo sabe el vendedor cuántas veces este portátil subió de precio, bajó de precio antes que él y cuánto costó al principio ...

Por cierto, ahora podrías pensar por qué se escribió la última frase en el rompecabezas sobre el inteligente Vasya. Éste: " Contamos 20 problemas resueltos al cien por cien de inteligencia ”? Parece, y así todo está claro ... Uh-uh ... Cómo decirlo. Si esta frase no existe, Vasya bien puede contar sus éxitos iniciales como 100%. Es decir, dos problemas resueltos. Y 16 tareas es ocho veces más. Aquellos. 800%! Vasya podrá hablar con bastante razón de su propia sabiduría hasta en un 700%.

Y también puedes tomar 16 tareas al 100%. Y obtén una nueva respuesta. También correcto ...

De ahí la conclusión: lo más importante en las tareas de interés es definir claramente de qué porcentaje se debe contar.

Esto, por cierto, es necesario en la vida. Donde se usa el interés. En comercios, bancos, en todo tipo de promociones. Y luego esperas un 70% de descuento, pero obtienes un 7%. Y no descuentos, sino precios más altos ... Y, sinceramente, calculó mal.

Bueno, tienes una idea de los porcentajes en matemáticas. Señalemos lo más importante.

Consejo practico:

1. En tareas de interés: pase del interés a valores específicos. O, si es necesario, de valores específicos a porcentajes. Leemos atentamente la tarea!

2. Estudiamos con mucho cuidado de qué necesitas contar los porcentajes. Si esto no se indica en texto plano, necesariamente está implícito. Cuando el valor cambia secuencialmente, se asumen porcentajes a partir del último valor. ¡Leemos atentamente el problema!

3. Habiendo terminado de resolver el problema, lo volvemos a leer. Es posible que haya encontrado una respuesta intermedia, no definitiva. ¡Leemos atentamente el problema!

Resuelve múltiples problemas de interés. Para la consolidación, por así decirlo. En estas tareas, traté de recopilar todas las principales dificultades que aguardan a las decisivas. Aquellos rastrillos que se pisan con mayor frecuencia. Aquí están:

1. Lógica elemental en el análisis de problemas simples.

2. La elección correcta del valor a partir del cual desea contar el porcentaje. ¡Cuánta gente tropezó con esto! Pero hay una regla muy simple ...

3. Porcentaje de interés. Es una nimiedad, pero es realmente vergonzoso ...

4. Y una horquilla más. Conexión de porcentajes con fracciones y partes. Traducirlos el uno al otro.

“50 personas participaron en la Olimpiada de Matemáticas. El 68% de los estudiantes resolvió pocos problemas. El 75% del resto resolvió el problema moderadamente, y el resto, muchos problemas. ¿Cuántas personas han resuelto muchos problemas? "

Inmediato. Si obtiene estudiantes fraccionarios, esto está mal. Lee el problema con atención, hay una palabra importante ... Otro problema:

“Vasya (¡sí, esa!) Es muy aficionada a las donas con mermelada. Que se hornean en una panadería, a una parada de casa. Las donas cuestan 15 rublos cada una. Con 43 rublos disponibles, Vasya fue a la panadería en autobús por 13 rublos. Y en la panadería hubo una acción "¡¡¡Descuento para todo - 30% !!!". Pregunta: ¿cuántas donas adicionales no pudo comprar Vasya debido a su pereza (podría haber caminado a pie, verdad?) "

Tareas cortas.

¿Cuánto porcentaje es 4 menos que 5?

¿Cuánto por ciento es 5 más que 4?

Tarea larga ...

Kolya consiguió un trabajo en un trabajo simple relacionado con el cálculo de intereses. Durante la entrevista, el jefe con una sonrisa maliciosa le ofreció a Kolya dos opciones de remuneración. Según la primera opción, a Kolya se le asignó inmediatamente una tasa de 15,000 rublos por mes. Según el segundo Kolya, si está de acuerdo, los primeros 2 meses se pagará un salario reducido en un 50%. Como un principiante. ¡Pero luego aumentarán su salario reducido hasta en un 80%!

Kolya visitó un sitio útil en Internet ... Por lo tanto, después de pensar durante seis segundos, con una leve sonrisa, eligió la primera opción. El jefe le devolvió la sonrisa y fijó un salario permanente para Kolya en 17.000 rublos.

Pregunta: ¿Cuánto dinero por año (en miles de rublos) ganó Kolya en esta entrevista? ¿Comparado con el peor de los casos? Y una cosa más: ¿¡que estaban sonriendo todo el tiempo!?)

Nuevamente, una tarea corta.

Calcula el 20% del 50%.

Largo de nuevo.)

El tren expreso №205 "Krasnoyarsk - Anapa" hizo una parada en la estación "Syzran-gorod". Vasily y Kirill fueron a la tienda de la estación a comprar helado para Lena y una hamburguesa para ellos. Cuando compraron todo lo que necesitaban, el limpiador de la tienda dijo que su tren ya había comenzado ... Vasily y Kirill corrieron rápida y rápidamente y lograron saltar al vagón. Pregunta: ¿un campeón mundial de running tendría tiempo de subirse al carruaje en estas condiciones?
Creemos que, en condiciones normales, el campeón del mundo corre un 30% más rápido que Vasily y Kirill. Sin embargo, las ganas de ponerse al día con el coche (era el último), de tratar a Lena con helado y comerse una hamburguesa, aumentaron su velocidad en un 20%. Y un helado con una hamburguesa en manos de un campeón y zapatillas en los pies reduciría su velocidad en un 10% ...

Pero el problema sin interés ... me pregunto ¿por qué está aquí?)

Determina cuánto pesa 3/4 de una manzana si la manzana entera pesa 200 gramos.

Y el último.

En el tren rápido №205 "Krasnoyarsk - Anapa", compañeros de viaje resolvieron el rompecabezas de la palabra clave. Lena adivinó 2/5 de todas las palabras y Vasily adivinó un tercio de las restantes. ¡Entonces Kirill conectó y resolvió el 30% de toda la palabra de exploración! Seryozha adivinó las últimas 5 palabras. ¿Cuántas palabras había en la palabra clave? ¿Es cierto que Lena adivinó la mayor cantidad de palabras?

Las respuestas están en un lío tradicional y sin nombres de unidades. Dónde están las rosquillas, dónde están los estudiantes, dónde están los rublos con interés, eres tú mismo ...

diez; 50; Sí; 4; 20; No; 54; 2; 25; 150.

¿Así que cómo? Si todo encaja, ¡felicitaciones! El interés no es tu problema. Puede ir a trabajar de forma segura al banco).

¿Algo está mal? ¿No funciona? ¿No sabe cómo calcular rápidamente los porcentajes de un número? ¿No conoces reglas muy simples y directas? ¿De qué contar el interés, por ejemplo? ¿O cómo conviertes fracciones a porcentajes?

Si te gusta este sitio ...

Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).

Puedes practicar la resolución de ejemplos y conocer tu nivel. Prueba de validación instantánea. Aprendiendo - ¡con interés!)

puede familiarizarse con funciones y derivadas.