ارتعاشات غیر خطی
نوسانات فیزیکی سیستمهای توصیف شده توسط سیستمهای غیر خطی معادلات دیفرانسیل معمولی
جایی که 
شامل اصطلاحات حداقل درجه 2 در اجزای بردار - بردار -تابع زمان - پارامتر کوچک (یا و). تعمیمهای احتمالی با در نظر گرفتن سیستمهای ناپیوسته ، اقدامات با ویژگیهای ناپیوسته (به عنوان مثال ، نوع پسماند) ، تاخیرها و اقدامات تصادفی ، معادلات انتگرال دیفرانسیل و دیفرانسیل عملگرها ، سیستمهای نوسانی با پارامترهای توزیع شده که با معادلات دیفرانسیل جزئی توضیح داده شده است ، همراه است. و همچنین با استفاده از روشهای کنترل بهینه سیستمهای نوسانی غیر خطی. وظایف کلی اصلی N. به: یافتن موقعیت های تعادل ، حالت های ثابت ، به ویژه ، دوره ای. حرکات ، نوسانات خود و مطالعه ثبات آنها ، مشکلات همگام سازی و تثبیت N. به.
همه فیزیکی سیستمها به طور دقیق غیر خطی هستند. یکی از مشخصه ترین ویژگی های N. به. نقض اصل برهم نهی نوسانات در آنها: نتیجه هر یک از تأثیرات در حضور دیگری متفاوت از عدم وجود تأثیر دیگر است.
سیستم های شبه خطی - سیستم ها (1) در. روش اصلی تحقیق این است روش پارامترهای کوچکاول از همه ، این روش Poincaré - Lindstedt برای تعیین دوره است. راه حل های سیستم های شبه خطی که نسبت به یک پارامتر برای مقادیر بسیار کوچک آن تجزیه و تحلیل می شود ، چه به صورت سری در قدرت (به فصل IX مراجعه کنید) ، یا به صورت سری در قدرت و 
- افزودن به مقادیر اولیه اجزای بردار (به فصل سوم مراجعه کنید). برای توسعه بیشتر این روش ، به عنوان مثال ، در -مراجعه کنید.
یکی دیگر از روشهای پارامتر کوچک ، روش است به طور متوسطدر عین حال ، روشهای جدیدی نیز در مطالعه سیستمهای شبه خطی وارد شده است: بدون علامت. روشها (نگاه کنید به) ، روش توابع K (نگاه کنید به) ، بر اساس نتایج اساسی A.M. Lyapunov - N.G. Chetaev و دیگران.
اساساً سیستم های غیر خطی ، که در آنها پارامتر کوچک از پیش تعیین شده وجود ندارد. برای سیستم های لیاپانوف
و در بین مقادیر ویژه ماتریس چند برابر ریشه وجود ندارد 
- تحلیلی تابع بردار NS ،تجزیه ازدحام با اصطلاحات حداقل مرتبه دوم آغاز می شود و تجزیه و تحلیل شکل خاصی صورت می گیرد ؛ A. M. Lyapunov (نگاه کنید به § 42) روشی را برای یافتن دوره ای پیشنهاد کرد. راه حل هایی در قالب یک سری با قدرت ثابت c دلخواه (که برای آن می توان مقدار اولیه یکی از دو متغیر بحرانی را در نظر گرفت).
برای سیستم های نزدیک به سیستم های لیاپانوف ،
جایی که به همان شکل (2) است - تحلیلی. بردار -عملکرد پارامترهای کوچک ، پیوسته و -دوره ای در t ،همچنین روشی برای تعیین دوره تناوبی پیشنهاد کرد. راه حل ها (به فصل هشتم مراجعه کنید). سیستم های نوع لیاپانوف (2) ، که در آنها دارای مقادیر ویژه صفر صفر با مقسومه های ساده اولیه است ، دو مورد دارای مقادیر ویژه خالص کاملاً محاسبه شده و دارای مقادیر ویژه چند برابر 
- همانند (2) ، می توان آن را به سیستم های لیاپانوف تقلیل داد (IV.2 را ببینید). N. به سیستم های لیاپانوف و به اصطلاح. سیستم های لیاپانوف با میرایی ، و همچنین مشکل کلی انتقال انرژی در آنها را حل کرد (به بخش I ، III ، IV مراجعه کنید).
بگذارید اساساً غیر خطی به شکل خطی اردن تقلیل یابد
جایی که بردار ، با فرض ، حداقل یک جزء غیر صفر دارد ؛ ، به ترتیب برابر با صفر یا یک هستند ، در غیاب یا حضور مقسومه های ساده ساده ماتریس قسمت خطی ، ضرایب هستند. مقادیر بردار با آمپر اجزای صحیح به شرح زیر است:
سپس یک تغییر عادی وجود دارد:
منجر (3) به شکل عادی معادلات دیفرانسیل
و به گونه ای که اگر بنابراین ، (5) فقط شامل ، یعنی ضرایب می تواند غیر صفر باشد فقط برای ضرایبی که معادله رزونانس آنها برآورده شده است
که در نظریه نوسانات نقش اساسی دارد. همگرایی و واگرایی تحول عادی (4) مورد مطالعه قرار گرفته است (بخش اول ، فصل دوم ، III را ببینید). محاسبه ضرایب داده شده است (با استفاده از تقارن آنها) (به 5.3 see مراجعه کنید). در تعدادی از مشکلات مربوط به N. به سیستم های خودگردان اساساً غیرخطی ، روش اشکال عادی م beثر بوده است (نگاه کنید به فصل VI-VIII).
از روشهای دیگر برای مطالعه سیستمهای اساساً غیر خطی ، از روش نگاشت نقاط استفاده می شود (نگاه کنید به) ، stroboskonich. روش و کاربردی-تحلیلی. مواد و روش ها.
روشهای کیفی N. to. در ابتدا مطالعاتی در مورد شکل منحنی های انتگرالی معادلات دیفرانسیل معمولی غیر خطی ، انجام شده توسط A. Poincare (به N. Poincare مراجعه کنید) است. برای کاربردهای N. برای مشکلاتی که توسط سیستم های خودمختار مرتبه دوم توصیف شده است ، مراجعه کنید. سوالات وجود نشریات دوره ای مورد مطالعه قرار گرفته است. راه حلها و پایداری آنها در سیستمهای چندبعدی بزرگ. معادلات دیفرانسیل تقریباً دوره ای در نظر گرفته می شود. کاربردهای نظریه معادلات دیفرانسیل معمولی با یک پارامتر کوچک در مشتقات معین برای مشکلات معادلات دیفرانسیل آرامش ، به V. مراجعه کنید.
جنبه های مهم N. به. و روشن. مقالات را مشاهده کنید آشفتگی ، نظریه نوسان.
روشن: Poincare A. ، Fav. کار می کند ، در از فرانسوی ، t. 1 ، M. ، 1971 ؛ آندرونوف A.A. ، ویت A.A. ، Khaikin S.E. ، نظریه نوسانات ، چاپ دوم ، مسکو ، 1959 ؛ Bulgakov B.V.، Oscillations، M.، 1954؛ مالکین I.G. ، برخی از مشکلات نظریه نوسانات غیر خطی ، مسکو ، 1956: بوگولیوبوف N.N. ، Izbr. آثار ، جلد 1 ، K. ، 1969؛ [b] Bogolyubov NN ، Mitropol'skiy Yu. A. ، روشهای مجانبی در نظریه نوسانات غیر خطی ، ویرایش چهارم ، مسکو ، 1974 ؛ کامنکوف G.V. ، Fav. آثار ، ج 1-2 ، م. ، 1971-72 ؛ لیاپونوف A.M. ، Sobr. cit.، t. 2، M. - L.، 195V، p. 7-263؛ استارژینسکی VM ، روشهای کاربردی نوسانات غیر خطی ، م. ، 1977 ؛ Bryuno A.D. ، "Trudy Mosk. Matem. Ob-va" ، 1971 ، ج 25 ، ص. 119-262؛ 1972 ، ج 26 ، ص 199-239؛ Neimark Yu. I. ، روش نگاشت نقاط در نظریه نوسانات غیر خطی ، M. ، 1972 ؛ مینورسکی ن. ، مقدمه ای بر مکانیک غیر خطی ، آن آربور ، 1947 ؛ Krasnoselsky MA ، Burd V. Sh. ، Kolesov Yu. S ، نوسانات تقریباً غیر خطی دوره ای ، M. ، 1970 ؛ A. Poincaré ، در مورد منحنی های تعریف شده توسط معادلات دیفرانسیل ، ترجمه. از فرانسه ، M. -L. ، 1947 ؛ Butenin NV ، Neimark Yu. I. ، Fufaev NA ، مقدمه ای بر نظریه نوسانات غیر خطی ، M. ، 1976 ؛ Plise VA ، مسائل غیر محلی نظریه نوسانات ، M. -L. ، 1964 ؛ میشچنکو E.F. ، روزوف N.K. ، معادلات دیفرانسیل با پارامتر کوچک و نوسانات آرامش ، مسکو ، 1975.
V.M. استارژینسکی.
دایره المعارف ریاضیات. - م .: دائرclالمعارف شوروی... I. M. Vinogradov. 1977-1985.
ببینید "ارتعاشات غیر خطی" در فرهنگ لغت های دیگر چیست:
ارتعاشات غیر خطی- - [Ya.N. Luginsky ، M.S.Fezi Zhilinskaya ، Y.S. Kabirov. انگلیسی روسی فرهنگ لغت مهندسی برق و مهندسی برق ، مسکو ، 1999] موضوعات مهندسی برق ، مفاهیم اساسی EN نوسانات غیر خطی ... راهنمای مترجم فنی
ارتعاشات غیر خطی- netiesiniai virpesiai statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. نوسانات غیر خطی ؛ ارتعاشات غیر خطی vok. nichtlineare Schwingungen، f rus. نوسانات غیر خطی ، n pranc. نوسانات غیر خطی ، f… Fizikos terminų žodynas
اصطلاحی که گاهی برای اشاره به نوسانات در سیستم های غیر خطی استفاده می شود (به سیستم های غیر خطی مراجعه کنید) ... دائرclالمعارف بزرگ شوروی
نوسانات غیر خطی ارتعاشات غیر خطی تخصص ... ویکی پدیا
فرآیندهای تکان دادن و سیستمهای موجی که اصل برهم نهی را برآورده نمی کنند. ارتعاشات یا امواج غیر خطی به طور کلی با یکدیگر تعامل دارند و ویژگی های آنها (فرکانس ، حالت ارتعاش ، سرعت انتشار ، نوع پروفیل ... ... دائرclالمعارف فیزیکی
سیستم های نوسانی ، sv va to rykh بستگی به فرآیندهای رخ داده در آنها دارد. نوسانات چنین سیستم هایی با معادلات غیر خطی توصیف می شود. پدیده های غیر خطی: مکانیک سیستم هایی که در آن مدول های ارتجاعی اجسام به تغییر شکل های دومی یا کوف بستگی دارد. اصطکاک ... ... دائرclالمعارف فیزیکی
اثرات غیر خطی می تواند به طرق مختلف خود را نشان دهد. یک مثال کلاسیک یک فنر غیر خطی است که در آن نیروی بازگرداننده بطور غیر خطی به تنش وابسته است. در مورد غیر خطی متقارن (پاسخ مشابه تحت فشار و کشش) ، معادله حرکت شکل می گیرد
اگر تضعیف وجود نداشته باشد و راه حل های دوره ای وجود داشته باشد که در آن ، فرکانس طبیعی با دامنه افزایش می یابد.
برنج. 1.7 منحنی رزونانس کلاسیک یک نوسان ساز غیر خطی با فنر سفت در صورتی که نوسانات دوره ای بوده و دوره مشابهی با نیروی محرکه داشته باشند (a و در معادله (1.2.4) تعیین می شود).
این مدل اغلب با نام ریاضی دان که آن را مطالعه کرده است معادله دافینگ نامیده می شود.
اگر یک نیروی دوره ای بر سیستم وارد شود ، در نظریه کلاسیک اعتقاد بر این است که پاسخ نیز دوره ای خواهد بود. رزونانس یک فنر غیر خطی در فرکانس پاسخ که با فرکانس نیرو مطابقت دارد در شکل نشان داده شده است. 1.7 همانطور که در این شکل نشان داده شده است ، با یک دامنه نیروی محرک ثابت ، یک محدوده فرکانس رانندگی وجود دارد که در آن سه دامنه پاسخ متفاوت ممکن است. می توان نشان داد که خط تیره در شکل. 1.7 ناپایدار است و پس از افزایش و کاهش فرکانس ، پسماند ایجاد می شود. این پدیده overshoot نامیده می شود و در آزمایشات با بسیاری از سیستم های مکانیکی و الکتریکی مشاهده شده است.
راه حل های دوره ای دیگری نیز وجود دارد ، مانند نوسانات زیر هارمونیک و فوق هارمونیک. اگر نیروی محرکه فرم داشته باشد ، نوسانات زیر هارمونیک می توانند به همراه هارمونیک های بالاتر (- عدد صحیح) دارای شکل باشند. همانطور که در زیر خواهیم دید ، زیر هارمونیک ها نقش مهمی در نوسانات قبل از هرج و مرج ایفا می کنند.
نظریه رزونانس غیر خطی بر این فرض استوار است که یک اقدام دوره ای پاسخ دوره ای ایجاد می کند. با این حال ، این فرض است که توسط نظریه جدید نوسانات آشفته به چالش کشیده می شود.
نوسانات خود برانگیخته یکی دیگر از دسته های مهم پدیده های غیر خطی است. اینها حرکات نوسانی هستند که در سیستم هایی بدون تأثیرات تناوبی خارجی یا نیروهای دوره ای رخ می دهند. در شکل 1.8 چند نمونه را نشان می دهد.
برنج. 1.8 نمونه هایی از ارتعاشات خود برانگیخته: الف - اصطکاک خشک بین جرم و قاب متحرک. ب - نیروهای هوایی الاستیک که روی یک بال نازک عمل می کنند. ج - مقاومت منفی در مدار با عنصر فعال.
در مثال اول ، ارتعاشات ناشی از اصطکاک ایجاد شده توسط حرکت نسبی جرم و کمربند متحرک است. مثال دوم یک کلاس کامل از ارتعاشات هوایی الاستیک را نشان می دهد ، که در آن ارتعاشات ثابت ناشی از جریان سیال ثابت در پشت یک جسم سفت و روی یک سیستم تعلیق الاستیک است. در مثال کلاسیک از حوزه برق ، که در شکل نشان داده شده است. 1.9 و توسط Van der Pol مورد بررسی قرار گرفته است ، یک لوله الکترونیکی در مدار گنجانده شده است.
در همه این مثالها ، سیستم شامل یک منبع انرژی ثابت و یک منبع اتلاف ، یا یک مکانیسم میرایی غیر خطی است. در مورد نوسان ساز Van der Pol ، منبع انرژی ولتاژ ثابت است.
برنج. 1.9 نمودار یک مدار با یک لوله خلاء که در آن نوسانات در چرخه محدود از همان نوع رخ می دهد که Van der Pol بررسی کرده است.
منبع انرژی وارد مدل ریاضی این مدار به صورت مقاومت منفی می شود:
انرژی می تواند در دامنه های کوچک وارد سیستم شود ، اما با افزایش دامنه ، رشد آن با میرایی غیر خطی محدود می شود.
در مورد پاندول Froude (برای مثال نگاه کنید به) ، انرژی با چرخش ثابت محور تأمین می شود. برای ارتعاشات کوچک ، اصطکاک غیر خطی نقش میرایی منفی را بازی می کند. در عین حال ، برای ارتعاشات قوی ، دامنه ارتعاش با اصطلاح غیر خطی محدود می شود
حرکات نوسانی چنین سیستم هایی اغلب چرخه های محدود نامیده می شوند. در شکل 1.10 مسیرهای نوسان ساز van der Pol را در صفحه فاز نشان می دهد. نوسانات کوچک به صورت مارپیچی باز می شوند و به یک مسیر بسته بدون علامت نزدیک می شوند و حرکات دامنه بزرگ به صورت مارپیچی به یک چرخه حد یکسان منقبض می شوند (شکل 1.10 و 1.11 را ببینید ، در آنجا).
هنگام بررسی چنین مشکلاتی ، اغلب دو س ariseال پیش می آید. دامنه و فرکانس نوسانات در چرخه محدود چقدر است؟ در چه مقادیری از پارامترها چرخه های محدود پایدار وجود دارد؟
برنج. 1.10 محلول با چرخه محدود برای نوسان ساز Van der Pol ، نشان داده شده در صفحه فاز.
برنج. 1.11 نوسانات آرامش نوسان ساز Van der Pol.
در مورد معادله van der Pol ، راحت است که متغیر فضایی را به زمان و زمان عادی کنیم تا معادله شکل بگیرد
جایی که . برای چرخه محدود ، دایره ای با شعاع 2 در صفحه فاز است ، یعنی
که در آن هارمونیک مرتبه های سوم و بالاتر را نشان می دهد. به طور کلی ، حرکت به شکل نوسانات آرامش نشان داده می شود که در شکل نشان داده شده است. 1.11 ، با دوره بدون بعد حدود 1.61 در
مشکل دشوارتر با نیروی دوره ای در سیستم van der Pol این است:
از آنجا که این سیستم غیرخطی است ، اصل روی هم قرار دادن نوسانات آزاد و اجباری قابل اجرا نیست. در عوض ، حرکت دوره ای حاصله در فرکانس رانندگی هنگامی که حرکت دوم نزدیک به فرکانس چرخه حد است ، ثبت می شود. با تأثیر خارجی ضعیف ، سه راه حل دوره ای وجود دارد ، اما تنها یکی از آنها پایدار است (شکل 1.12). برای مقادیر زیاد دامنه نیرو ، تنها یک راه حل وجود دارد. در هر صورت ، با افزایش انفجار ، به طور ثابت ، راه حل دوره ای ضبط شده ناپایدار است و انواع دیگر حرکت امکان پذیر می شود.
برنج. 1.12 منحنی دامنه برای حرکت اجباری نوسان ساز Van der Pol (1.2.9).
با تفاوت های زیاد بین فرکانس های رانندگی و طبیعی ، پدیده جدیدی در سیستم وان درپول ظاهر می شود - نوسانات ترکیبی ، که گاهی اوقات راه حل های تقریباً دوره ای یا شبه دوره ای نامیده می شوند. نوسانات رامان شکل دارد
وقتی فرکانس ها و غیرقابل مقایسه باشند ، یعنی یک عدد غیر منطقی باشد ، محلول شبه دوره ای نامیده می شود. برای معادله Van der Pol ، فرکانس چرخه محدود کننده نوسانات آزاد کجاست (به عنوان مثال ، مراجعه کنید).
ارتعاشات غیر خطی
غیر خطی بودن فرایندها ، از جمله نوسانات ، به صورت ریاضی در غیر خطی بودن معادلات مربوط به حرکت بیان می شود. از نظر فیزیک ، غیر خطی بودن نوسانات با دو ویژگی کاملاً متفاوت مشخص می شود: ناهماهنگی و غیر ایزوکرونیسم. زیر ناهماهنگیدرک حضور در طیف نوسان فرکانس هایی که چند برابر اصلی هستند ، - هارمونیک فوریه ،یا نت همساز. غیر ایزوکرونارتعاشات نامیده می شوند که فرکانس (هارمونیک های اساسی و بالاتر) بستگی به دامنه یا انرژی ارتعاشات دارد.
یک نمونه کلاسیک از نوسانات غیر خطی ، چرخش سیارات به دور خورشید است - مشکلی که با حل آن مکانیک و فیزیک مدرن آغاز شد. طبق قانون سوم کپلر ، فرکانس گردش سیارات به دور خورشید بر اساس کل انرژی آنها تعیین می شود:
w = ه│ 3/2 .
به طور کلی ، عدم ایزوکرونیسم با ناهماهنگی همراه نیست. بنابراین ، یک ذره باردار که در یک مدار دایره ای در یک میدان مغناطیسی ثابت با سرعتی نزدیک به سرعت نور حرکت می کند ، کاملاً هارمونیک نوسان می کند و فرکانس چرخش آن با انرژی نسبت عکس دارد.
اسیلاتور غیر خطی
نوسان ساز خطی (در صورت عدم میرایی - هارمونیک) مدل اصلی نظریه خطی نوسانات است. معادله حرکت او (طبق قانون دوم نیوتن):
جایی که NS- کمیت ، نوسانات مورد نظر مدل (دامنه جابجایی پاندول ، جریان یا ولتاژ در مدار نوسانی ، اندازه جمعیت و غیره) ، "شتاب" آن است.
نوسان ساز غیر خطی مدل اصلی نظریه نوسانات غیر خطی است. معادله حرکت آن عبارت است از:
جایی که f(.NS) یک تابع غیر خطی است که شامل حداقل یک غیر خطی (از درجه اول در نیست) است NS) عضو کل انرژی سیستم به زمان بستگی ندارد ، یعنی سیستم محافظه کار.
نوسانات غیر هم زمان ، به عنوان مثال ، توسط یک ذره در یک چاه بالقوه مسطح - یک جعبه با دیوارهای بی نهایت بلند انجام می شود:
U (x)= 0 برای - ل/ 2<х< ل/ 2; U (NS)= ¥ برای NS£ - ل/ 2، NS>ل/ 2.
ذره با سرعت ثابت در داخل جعبه حرکت می کند ، فوراً به صورت الاستیک در مرزها منعکس می شود. انرژی جنبشی او E k =mv 2/2 ، یعنی سرعت V= Ö (2E به /متر) بستگی به انرژی دارد دوره نوسان یک ذره با فرمول بیان می شود
از فرمول (3) می توان دریافت که دوره نوسانات با افزایش انرژی کاهش می یابد (برای سیستم های دیگر ، می تواند افزایش یابد).
قانون حفظ انرژی هنوسان ساز (سیستم غیر خطی محافظه کار) دارای فرم است
یک تصویر کامل کیفی از حرکت یک نوسان ساز غیر خطی با پرتره فازی آن ارائه شده است. از قانون حفظ انرژی می توان نتیجه گرفت
لئونید ایساکوویچ ماندل شتام
حتی یک لیست ناقص از اکتشافات و آثار بنیادین آکادمیس لئونید ایساکوویچ ماندلستام (1879-1944) در انواع مختلف چشمگیر است: پراکندگی رامان و نوسانات ، نظریه میکروسکوپ ، نوسانات غیر خطی و مهندسی رادیو ، نظریه رزونانس ، زمین شناسی رادیویی ، نوع جدیدی از ژنراتورهای امواج الکترومغناطیسی - ماشینهای پارامتریک. دقت استثنایی LI Mandelstam در نتایج کار اجازه نمی دهد تعدادی از اکتشافات مهم دیگر ، به عنوان مثال ، کشف تجربی در سال 1912 (چند سال قبل از دوره کلاسیک) در این لیست گنجانده شود. آزمایشهای استوارت و تولمن) اینرسی الکترونها در فلزات.
اما پشت همه انواع چشمگیر دستاوردها و وسعت علایق در کار علمی مندلشتام ، موضوع اصلی به وضوح دنبال می شود - نظریه نوسانات. ماندلستام که ابتدا از طریق دو جلد "تئوری صدا" توسط لرد ریلی با این منطقه آشنا شد ، از زیبایی ایده های خود غرق شده بود و بارها به "کمک ارتعاشی" متوسل شد ، که به او امکان یافتن قیاس بین نتایج شاخه های مختلف را پیدا کرد. از فیزیک
ماندلشتام با خوشحالی ترکیبی نادر از نظریه پرداز و آزمایشگر ، محقق و مدرس را تجسم بخشید. او گفت که درکی از نوع اول وجود دارد ، وقتی همه چیزهایی را که نوشته شده بخوانند و بفهمند ، می توانند از هر فرمول استفاده کنند ، اما هنوز نمی توانند به طور مستقل به هر س questionالی از آنچه می خوانند و درک نوع دوم پاسخ دهند ، وقتی کل تصویر ، کل پیوند ایده ها ، پدیده ها مشخص باشد ... ماندلشتام ، متفکر عمیق و ظریف ، به درک دوم از نوع فیزیک دست یافت و سخاوتمندانه دانش خود را با دانش آموزان زیادی به اشتراک گذاشت (از جمله A.A. Andronov ، A.A. Leontovich ، VV Migulin ، SM Rytov ، SP Strelkov ، IE Tamm ، SE Khaikin ، SP شوبین و دیگران) و دانش آموزان.
ماندلشتام در موگیلف در خانواده ای متولد شد که به دانشمندان ، پزشکان و نویسندگان جهان ارائه داد. به زودی خانواده به اودسا نقل مکان کردند. تا سن 12 سالگی ، پسر در خانه ، سپس در سالن بدنسازی تحصیل کرد ، که از آن با مدال طلا فارغ التحصیل شد. در سال 1897 وارد گروه ریاضی دانشکده فیزیک و ریاضیات دانشگاه نووروسیسک (در اودسا) شد. دو سال بعد ، به دلیل ناآرامی های دانشجویی ، مرد جوان از دانشگاه اخراج شد. ماندلشتام به توصیه والدین خود عازم استراسبورگ ، یکی از مراکز تحقیقات فیزیکی شد و در آنجا تحصیلات خود را ادامه داد. سپس دانشگاه استراسبورگ توسط ریاضیدان هاینریش وبر (شاگرد ریمان و نویسنده دوره کلاسیک "معادلات دیفرانسیل فیزیک ریاضی") ، فیزیکدان فردیناند براون (همزمان مدیر موسسه فیزیک) تدریس شد ، گروه فیزیک نظری به رهبری امیل اداره می شد. کوهن (نویسنده اثر معروف "میدان الکترومغناطیسی").
وزارت آموزش و پرورش جمهوری بلاروس
موسسه تحصیلی
دانشگاه ایالت برست به نام A.S. پوشکین
دانشکده فیزیک
گروه روشهای تدریس فیزیک و OTD
کار دوره
ارتعاشات غیر خطی و همزمانی لرزش ها
توسط یک دانشجوی گروه FI-51 تکمیل شده است
پاشکویچ A.Ya.
سرپرست:
دکتری D. ، دانشیار Vorsin N.N.
برست ، 2012
معرفی
1.1 ارتعاشات خطی در حضور نیروی خارجی قطعی
2. ارتعاشات رایگان سیستم های محافظه کار با نیروهای بازگردانی غیر خطی
2.1 نوسانات غیر خطی رایگان سیستمها با نیروی میرایی و بازیابی غیر خطی
2.2 انواع مختلف ویژگی ها 0
3. نوسانات مداوم و آرامش بخش
3.1 تجزیه و تحلیل کیفی معادله van der Pol
3.2 نوسانات غیر خطی همراه ، گیرنده احیا کننده قفل شده فاز و اصل همگام سازی
3.3 معادلات اساسی
3.4 نوسان در انفجار بزرگ
3.5 نوسانات ترکیبی دامنه ثابت
3.6 مشکلات الکتریکی منجر به معادله هیل
نتیجه
کتابشناسی - فهرست کتب
معرفی
در این واقعیت که یک فیزیکدان باید بتواند برای مشکلات غیر خطی راه حلی پیدا کند ، هیچ چیز شگفت انگیزی وجود ندارد ، زیرا بسیاری از پدیده هایی که در جهان پیرامون او رخ می دهد تحت کنترل وابستگی های غیر خطی هستند. در روند توسعه علوم ریاضی ، مشکلات تحلیل غیر خطی مانع از شکل گیری مفاهیم حرکات غیر خطی شد ، که به درک عمیق تری از چنین پدیده هایی اجازه می دهد.
با نگاهی به تاریخچه دستاوردهای علمی ، قابل توجه است که تلاشهای اصلی محققان تنها بر مطالعه سیستمهای خطی و مفاهیم خطی متمرکز بوده است. اگر در عین حال به جهان اطراف خود نگاه کنید ، به معنای واقعی کلمه در هر مرحله با پدیده هایی روبرو می شوید که ماهیت غیر خطی دارند. بازنمایی های خطی تنها درک سطحی بسیاری از آنچه در طبیعت یافت می شود را ارائه می دهد. برای واقع بینانه تر شدن تجزیه و تحلیل ، لازم است به سطحی بالاتر و سهولت بیشتر درک و استفاده از نمایش های غیر خطی دست یابیم.
در سال های اخیر ، روش های تجزیه و تحلیل رایانه ای توسعه یافته است ، و در بسیاری از موارد اعتقاد بر این بود که راه حل های به دست آمده می تواند درک بهتری از مظاهر غیر خطی بودن را ارائه دهد. به طور کلی ، مشخص شد که یک شمارش ساده از راه حل های عددی تنها به درک کمی بیشتر از فرایندهای غیر خطی منجر می شود تا برای مثال ، مشاهده خود طبیعت ، "خرد کردن" راه حل هایی برای یک مشکل غیر خطی خاص مانند آب و هوا. به نظر می رسد که درک ما بر اساس معادلات یا راه حل های آنها نیست ، بلکه بر اساس مفاهیم اساسی و به خوبی آموخته شده است. معمولاً ما فقط زمانی محیط را درک می کنیم که بتوانیم آن را بر اساس مفاهیمی توصیف کنیم که بسیار ساده هستند و به خوبی قابل جذب هستند و آنقدر وسیع هستند که می توانیم بدون اشاره به موقعیت خاصی با آنها کار کنیم. لیست مفاهیمی از این قبیل گسترده است و برای مثال شامل واژه هایی مانند رزونانس ، پسماند ، امواج ، بازخورد ، لایه های مرزی ، تلاطم ، امواج ضربه ای ، تغییر شکل ، جبهه های آب و هوا ، مصونیت ، تورم ، افسردگی و غیره می شود. این فرایندها ماهیتی غیر خطی دارند و ناتوانی ما در توصیف دقیق پدیده های روزمره مانند جریان آب در ناودان یا چرخیدن دود سیگار تا حدی به این دلیل است که ما قبلاً نمی خواستیم خود را در ریاضیات غیر خطی غوطه ور کنیم. و آن را درک کنید
همانطور که می دانید پدیده طنین اغلب در ماده زنده یافت می شود. به دنبال وینر ، Szent-Gyorgyi اهمیت رزونانس را برای ساخت عضله پیشنهاد کرد. به نظر می رسد موادی با خواص طنین قوی معمولاً توانایی استثنایی در ذخیره انرژی و اطلاعات دارند و این تجمع بدون شک در ماهیچه صورت می گیرد.
نوسانات غیر خطی ، نوسانات غیر خطی تصادفی و نوسانات غیر خطی همراه (قفل شده در فاز) اصل پدیده ها در بسیاری از زمینه های علم و فناوری مانند ارتباطات و انرژی هستند. فرآیندهای موزون در سیستم های بیولوژیکی و فیزیولوژیکی اتفاق می افتد. بیوفیزیکدان ، هواشناس ، ژئوفیزیکدان ، فیزیکدان اتمی ، زلزله شناس - همه آنها با نوسانات غیرخطی سروکار دارند ، غالباً در یک شکل یا شکل دیگر ، که به صورت فاز همزمان می شوند. به عنوان مثال ، یک مهندس انرژی با مشکل پایداری ماشین های همزمان ، یک مهندس ارتباطات با بی ثباتی زمان یا همگام سازی ، یک فیزیولوژیست با کلونوس ، یک متخصص مغز و اعصاب با آتاکسی ، یک هواشناس با فرکانس نوسانات فشار جو برخورد می کند. ، یک متخصص قلب با نوسانات ناشی از کار قلب ، یک زیست شناس سروکار دارد - با نوسانات ناشی از روند ساعت بیولوژیکی.
هدف اصلی پایان نامه در نظر گرفتن تعدادی از مشکلات در نظریه نوسانات غیر خطی مرتبط با مفاهیم اساسی مانند ضبط (یا همگام سازی) ، ردیابی ، تغییر شکل ، سیستم های ارتباطی منسجم فاز است. سعی خواهد شد تا مروری کلی بر مسائل غیر خطی مورد علاقه داشته باشیم که راه حل های آنها به صورت در دسترس نوشته شده است. این بررسی جامع نیست ، اما شامل مثالهای مشکلی است که مفاهیم اساسی مورد نیاز برای درک خواص غیر خطی سیستمهای قفل شده در فاز را نشان می دهد. مسئله وجود و منحصر به فرد بودن راه حل ها فقط به صورت سطحی مطرح می شود. تمرکز بر روشهای بدست آوردن راه حل است.
مطالب مورد بررسی را می توان در سه موضوع اصلی گروه بندی کرد. مبحث اول شامل ارائه نتایج نظریه نوسانات خطی در سیستم هایی با یک درجه آزادی و پارامترهای ثابت است. این ماده به عنوان مرجع و برای مقایسه با نتایج بدست آمده از نظریه نوسانات غیر خطی استفاده می شود. مبحث دوم به سیستمهای غیرخطی قابل ادغام اختصاص داده شده است که توسط نیروهای وابسته به زمان خارجی عمل نمی کنند. در اینجا ، با استفاده از دستگاه صفحه فاز ، نوسانات آزاد سیستم های غیر خطی با جزئیات مورد مطالعه قرار می گیرد. ارائه مختصری از نظریه پوانکاره درباره نقاط منحصر به فرد معادلات دیفرانسیل مرتبه اول ارائه شده است. مفید بودن مفهوم یک نقطه واحد با حل تعدادی از مشکلات فیزیکی نشان داده شده است. در نهایت ، مبحث سوم نوسانات غیر خطی اجباری ، خود پایدار (خود پایدار) و آرامش را پوشش می دهد. به طور خاص ، کاربرد نظریه ون درپول برای همگام سازی و پیگیری مشکلات مورد بحث قرار می گیرد و فصل با در نظر گرفتن معادله هیل تکمیل می شود.
1. ارتعاشات آزاد در سیستم های خطی
خلاصه کردن ویژگی های اصلی ارتعاشات خطی ارزشمند و جالب به نظر می رسد. دلایل متعددی برای انجام این کار در اینجا وجود دارد. یکی از وظایف اساسی ما مقایسه روشهای خطی و غیر خطی برای مطالعه نوسانات است. علاوه بر این ، این روش به گونه ای توسعه یافته است که تا آنجا که ممکن است ، اصطلاحات مورد استفاده در مسائل خطی و مسائل غیر خطی را به کار گیرد. در نهایت ، داشتن خلاصه ای از ایده ها و فرمول های اساسی نظریه خطی برای سهولت در مرجع مفید است.
شاید ساده ترین مثال یک مشکل نوسان خطی توسط یک مدار الکتریکی ساده متشکل از یک القایی که به صورت سری با یک خازن و یک مقاومت متصل شده است ارائه شود (شکل 1). آنالوگ مکانیکی نشان داده شده در شکل. 1 ، شامل جسمی با جرم متصل به فنر است که به تناسب جابجایی بدن نیرویی (به نام نیروی بازگرداننده) ایجاد می کند. برای این سیستم الکتریکی ، با استفاده از قانون Kirchhoff ، ما داریم
اگر فرض کنیم جسمی در یک سیستم مکانیکی در محیطی حرکت می کند که مقاومت متناسب با سرعت (اصطکاک چسبناک) را ایجاد می کند ، معادله حرکت نوسانات سیستم مکانیکی با رابطه داده می شود.
به قیاس ، ما این را داریم ؛ ؛ و علاوه بر این ، جریان مشابه با سوگیری است.
برنج. 1. سیستم های الکتریکی و مکانیکی خطی
با فرض تا کنون که نیروی خارجی و معرفی نماد
(1.2) را به فرم کاهش دهید
از آنجا که ارتعاشات تعیین شده توسط این معادله همگن خطی ، ارتعاشات خطی آزاد نامیده می شود. راه حل کلی معادله خطی با ضرایب ثابت ، ترکیبی خطی از دو تابع نمایی است:
ثابتهای دلخواه در کجا هستند و هستند و با شرایط اولیه تعیین می شوند ، a و ریشه معادله مشخصه هستند
بنابراین ، و توسط روابط داده می شود
اگر بخواهیم راه حل (1.5) را به شکل واقعی نشان دهیم ، سه مورد را در نظر می گیریم که مقدار عبارت است از: الف) واقعی ، ب) صفر ، ج) خیالی. به راحتی می توان نشان داد که راه حل ها شکل می گیرند
کجا و واقعی هستند ؛ و - ثابتهای دلخواه ، که با تعیین مقادیر جابجایی (جریان) و سرعت در یک لحظه اولیه معین تعیین می شوند.
معادله (1.8 - a) بیشتر در عمل ظاهر می شود. همانطور که از (1.3) به راحتی قابل مشاهده است ، این مورد در صورتی رخ می دهد که ضریب میرایی در مقایسه با آن کم باشد. معادله (1.8 - a) در این مورد چنین حرکت نوسانی را توصیف می کند که هر دو حداکثر و جابجایی متوالی رابطه را برآورده می کند
به هیچ وجه برای هیچ نوسانی ، نیروی بازگرداننده متناسب با انحراف است (یعنی طبق قانون تغییر می کند (- kx)).به عنوان مثال ، فنر نشان داده شده در شکل 2.74 را در نظر بگیرید. از چندین صفحه تشکیل شده است. با تغییر شکل های کوچک ، فقط صفحات بلند خم می شوند. تحت بارهای زیاد ، صفحات کوتاهتر (و سفت تر) نیز در معرض خم شدن قرار می گیرند. نیروی ترمیمی را می توان به شرح زیر توصیف کرد:
حالت فعال وارد می شود دوره ای،هنگامی که ارتعاشات ناپدید می شوند و بدن به آرامی به موقعیت تعادل نزدیک می شود (شکل. 2.72, قبل از میلاد مسیح).
به جای خطی که نقطه ها در آن قرار گرفته اند ، وارد کنید (t ، x) ،خطی که نقاط در آن قرار می گیرد ( x ، v) ، و پرتره های فاز نوسانات میرایی را در اصطکاک های مختلف دریافت کنید. همچنین می توانید از یکی از برنامه های آماده استفاده کنید فاسپدم *یا Phport *از موارد موجود در بسته PAKPRO. نمودارهایی از نوع نشان داده شده در شکل 2.73 باید بدست آید.
برای بازگشت آن ، یعنی افو NSهمیشه علائم متفاوتی داشت ، باید در یک سری قدرت های عجیب و غریب گسترش یابد NSاز آنجا که انرژی بالقوه Uبا فرمول به قدرت مربوط می شود اف = - dU / dx، معنیش اینه که
یعنی نوسانات در یک چاه بالقوه با دیواره های قوی تر از دیوارهای سهمی رخ می دهد (شکل 2.75 ، الف). اصطکاک صفحات در برابر یکدیگر میرایی لازم برای کاهش ارتعاشات را فراهم می کند.
نوسانات نیز در یک گودال نامتقارن ممکن است ، هنگامی که
(شکل 2.75 ، ب). در این حالت ، نیروی بازگرداننده برابر خواهد بود
هنگام حل مشکلات نوسانات غیر خطی ، استفاده از رایانه اجتناب ناپذیر است ، زیرا هیچ راه حل تحلیلی وجود ندارد. در رایانه ، راه حل به هیچ وجه دشوار نیست. این فقط در خطی که در آن افزایش سرعت انجام می شود مورد نیاز است (v = v + F در / متر) ،برای مثال یک عبارت را برای F کاملاً بنویسید -kh-rh 2 - px 3.
مثال. برنامه ترسیم نمودار نوسانات غیر خطی در بسته PAKPRO با نام ارائه شده است نلکول.آن را راه اندازی کنید شما باید یک سری منحنی برای انحرافات اولیه مختلف دریافت کنید. وقتی x 0 بیشتر از مقدار معینی باشد ، ذره در حال نوسان از چاه بالقوه خارج می شود و مانع احتمالی را می شکند.
برنامه ها را نیز امتحان کنید Nlcol *و Nlosc. *،موجود در بسته PAKPRO ، و همچنین برنامه هایی که می توانید با آنها پرتره های فاز نوسانات غیر خطی را بدست آورید: Phaspnl. *، Phportnl *.
توجه داشته باشید که به طور دقیق ، تقریباً هر نوسان غیر خطی است. فقط در دامنه های کم می توان آنها را خطی در نظر گرفت (از اصطلاحات x 2 ، x 3 و غیره در فرمول هایی مانند (2.117) غافل شوید).
بگذارید یک نیروی خارجی روی نوسان ساز عمل کند ، علاوه بر این نیروی بازگرداننده نوسانات طبیعی را با فرکانس C0o ایجاد می کند و به طور دوره ای با فرکانس ω برابر یا مساوی (Oo. این نیرو بدن را با فرکانس ω می چرخاند به مجبور
معادله حرکت در این حالت به شرح زیر خواهد بود:
در ابتدا ، روند ایجاد نوسانات انجام می شود. از اولین شوک ، بدن شروع به نوسان با فرکانس طبیعی از 0 می کند. سپس ، به تدریج ، نوسانات طبیعی خاموش می شوند و نیروی مجبور شروع به کنترل روند می کند. نوسانات اجباری دیگر با فرکانس ایجاد نمی شود (Oo ، اما با فرکانس نیروی محرکه c. فرآیند گذرا بسیار پیچیده است ، هیچ راه حل تحلیلی وجود ندارد. هنگام حل مشکل با روش عددی ، برنامه دیگر وجود نخواهد داشت پیچیده تر از ، مثلاً برنامه ای برای نوسانات میرایی. خط ، که در آن مطابق با معادله حرکت ، سرعت افزایش می یابد ، نیروی مجبور را به شکل FobiH = Focos (تختخواب) اضافه کنید.
مثال. بسته PACG1RO شامل نمونه ای از برنامه برای بدست آوردن نمودار نوسانات اجباری در صفحه کامپیوتر است. همچنین برنامه ها را ببینید Ustvcol.pasو UstvcoW.pas.نمودار (و) نمودار و فاز حاصل می شود v (x)در شکل 2.76 نشان داده شده است. با انتخاب موفق پارامترها ، به وضوح قابل مشاهده است که چگونه نوسانات اجباری به تدریج ایجاد می شوند. همچنین مشاهده ایجاد نوسانات اجباری در نمودار فاز (برنامه Phpforc.pas).
هنگامی که نوسانات با فرکانس ω قبلاً برقرار شده است ، می توانید راه حل معادله (2.118) را به صورت زیر بیابید.
در اینجا جو دامنه نوسانات حالت پایدار است. اگر (2.119) را با (2.118) جایگزین کنیم ، مشتقات زمان اولیه را پیدا می کنیم NS "و NS "و با توجه به آن به= coo 2 mn ، سپس معلوم می شود که (2.119) یک راه حل برای معادل (2.118) خواهد بود به شرطی که
اصطکاک در نظر گرفته نشد ، ضریب آصفر فرض شد مشاهده می شود که دامنه نوسانات با نزدیک شدن به Cio به شدت افزایش می یابد (شکل 2.77). این پدیده نامیده می شود طنین
اگر اصلاً اصطکاکی وجود نداشت ، دامنه در ω = (Oo بی نهایت بزرگ خواهد بود. در واقعیت ، این اتفاق نمی افتد. همان شکل 2.77 نشان می دهد که چگونه منحنی رزونانس با افزایش اصطکاک تغییر می کند. دهها و صدها برابر بیشتر از افСОо. در فن آوری ، این پدیده خطرناک است ، زیرا ارتعاشات اجباری موتور می تواند با فرکانس طبیعی هر قسمت از دستگاه طنین انداز شود و می تواند از بین برود.
