یک قضیه در مورد ساختار یک پسوند ساده جبری. پسوند جبری افزونه های متعالی ساده

02.08.2021

سگ ها

اجازه دهید میدان پموجود در زمینه تیو آ- عنصر تیمالک نیست پ... کوچکترین زمینه را در نظر بگیرید پ(آ) شامل همه عناصر از پو آ... همه عناصر نمای متعلق به پ(آ) بیایید دو مورد را در نظر بگیریم.

زمینه های پایان

قضیه 4.2. تعداد عناصر یک میدان محدود p n است ، جایی که p یک عدد اول است.

اثبات... از آنجا که میدان P محدود است ، ویژگی آن صفر است. بگذارید p مشخصه آن باشد. میدان P را می توان به عنوان فضای بردار روی Z p مشاهده کرد. بگذارید v 1 ،… ، v n اساس P. را نشان دهد هر عنصر میدان P به طور منحصر به فرد با مختصات (x 1 ،… ، x n) بر این اساس مشخص می شود. هر مختصات مقادیر p را در نظر می گیرد ، بنابراین ، تعداد مجموعه های مختلف مختصات ، و از این رو عناصر میدان P ، برابر با p n است.

لما 4.1 در قسمت مشخصه پ .

اثبات. ، کثرت وقوع عنصر کجاست. مقدار بر بخش پذیر تقسیم نمی شود پفقط در صورت من = 0;پ.زیرا pe = 0، سپس .

قضیه 4.3. برای هر n طبیعی و p اولیه ، زمینه ای از نظم p n وجود دارد.

Z را طوری بسط می دهیم که میدان حاصله شامل تمام ریشه های چند جمله ای باشد. چند جمله ای ریشه چندگانه ندارد ، زیرا مشتق آن -1 است. بگذارید M مجموعه ریشه های چند جمله ای را نشان دهد. به راحتی می توان بررسی کرد که M یک میدان است و تعداد عناصر آن برابر p n است

قضیه 4.4. زمینه نظم تا ایزومورفیسم منحصر به فرد است.

اثبات.

از آنجا که تعداد عناصر میدان ، ویژگی آن برابر است. بنابراین ، هر زمینه پسفارش را می توان به عنوان فرمت حلقه باقی مانده در نظر گرفت. گروه ضرب میدان () دارای نظم است و بنابراین ، برای هر چیزی درست است. بنابراین ، همه عناصر میدان ریشه معادله هستند.

قضیه 4.5. گروه ریشه ضربی nدرجه درجه 1 در P حلقوی است.

اثباتبگذار باشد پمشخصه میدان پ... اگر پس از آن ، و بنابراین ، مجموعه ریشه های معادله با مجموعه ریشه های درجه مطابقت دارد. بدون شکستن کلیت ، می توان آن را در نظر گرفت. برای اثبات موردی که همه ریشه دارد کافی است n-th قدرت 1 در زمینه موجود است پ... در غیر این صورت ، ما میدان را گسترش می دهیم و از این واقعیت استفاده می کنیم که هر زیر گروهی از یک گروه حلقوی چرخه ای است. تا آنجا که فقط یک ریشه برابر با صفر دارد ، سپس تعداد ریشه ها n-th قدرت 1 برابر است n... سه مورد را در نظر بگیرید:

1. n- عدد اول. سپس گروه ریشه مرتب است n، و از این رو ، حلقوی است

2. - قدرت یک عدد اول. ریشه معادله را پیدا کنید که ریشه معادله نیست. منظور از عنصر تقسیم کننده نظم گروهی است nو تقسیم کننده نیست بنابراین ، ترتیب این است nو گروه چرخه ای است

3. اجازه دهید. اجازه دهید با عنصر مولد گروه حلقوی ریشه های درجه 1 نشان دهیم. بگذارید بگذاریم. القاء در کنشان دهید که ترتیب برابر است. در ک= 1 عبارت واضح است. بگذارید برای آن ثابت شود ک-1 ترتیب مورد است. بزرگترین مقسوم علیه مشترک tو برابر 1 است ، و بنابراین ، اعدادی وجود دارد توو v، چی . از آنجا که ، و ترتیب عنصر بر بخش پذیر است tو در. علاوه بر این ، از برابری ، نتیجه می گیرد که ترتیب عنصر تقسیم کننده است. قضیه اثبات شده است.

نظریه گالوا

رشته تیپسوند میدان محدود نامیده می شود پ، اگر تییک فضای خطی با ابعاد محدود است پ... بعد فضا را درجه انبساط می نامند.

هرگونه پسوند میدان جبری پمتناهی است درجه آن برابر با درجه چند جمله ای تقلیل ناپذیر است.

قضیه 5.1. گسترش نهایی Uزمینه های تی، که آخرین فرمت میدان است پ، پسوند نهایی است پ... علاوه بر این ، میزان گسترش Uدر بالا پبرابر با حاصلضرب درجات انبساط است.

اثبات... تقریبا آشکار است.

عنصر میدان تیبه آن جبری بیش گفته می شود پاگر ریشه ای از چند جمله ای over باشد پ.

همه عناصر افزونه نهایی پجبری تمام شد پ.

با افزودن تعداد محدودی پسوندهای جبری می توان هر پسوند متناهی را بدست آورد.

قضیه 5.2. هرگونه گسترش میدان محدود پویژگی های 0 یک پسوند ساده است.

اثباتمبهم.

گسترش نهایی تیانبساط معمولی نامیده می شود پاگر از این واقعیت است که چند جمله ای غیر قابل کاهش بیش از پدر دارد تیریشه ، از تجزیه پذیری آن به عوامل خطی پیروی می کند. واضح است که امتداد طبیعی یک میدان با مشخصه 0 یک میدان تجزیه چند جمله ای است. عکس آن نیز صادق است. میدان تجزیه چند جمله ای یک پسوند معمولی است.

خودشکلی یک میدان ، نقشه ایزومورفیک بر روی خود است.

گروه Galois با پسوند طبیعی تیزمینه های پگروه اتومورفیسم های این زمینه است تیحفظ عناصر میدان پ.

قضیه 5.3. به هر زمینه میانی U، برخی از زیر گروه های گروه Galois ، یعنی مجموعه ای از خودسازی هایی که عناصر را تغییر نمی دهند ، مطابقت دارد. زمینه به طور منحصر به فرد توسط زیر گروه تعیین می شود.

گسترش میدان جبری- - موضوعات امنیت اطلاعات EN زمینه توسعه ... راهنمای مترجم فنی

فیلد E شامل فیلد K داده شده به عنوان زیر زمینه است. انواع پسوند یک پسوند جبری یک پسوند است که همه عناصر آن بر K جبری هستند ، یعنی هر عنصر آن ریشه چند جمله ای f (x) c ... ... ویکی پدیا است

گسترش جبری میدان EQ K که طبیعی و قابل تفکیک است. در این شرایط ، E بیشترین تعداد خودگردانی را نسبت به K خواهد داشت (اگر E محدود باشد ، تعداد اتومورفیسم ها نیز متناهی و برابر با میزان امتداد است) ... ... ویکی پدیا

یک نیمه گروه A یک نیمه گروه S است که حاوی A به عنوان یک زیر گروه است. معمولاً ما در مورد افزونه های نیمه گروه A مرتبط با آتمی یا سایر شرایط صحبت می کنیم. توسعه یافته ترین نظریه نیم گروه های ایده آل است (نیم گروه های حاوی Av به عنوان ... ... دانشنامه ریاضیات

معادله فرم که در آن چند جمله ای درجه n در یک یا چند متغیر قرار دارد. A. در با یک نام ناشناخته معادله فرم: در اینجا n یک عدد صحیح غیر منفی است که نامیده می شود. ضرایب معادله و داده ها هستند ، hnaz. ناشناخته است و ... ... دانشنامه ریاضیات

زمینه ها k جبری گسترش میدان k ، که یک میدان جبری بسته است. چنین بسطی برای هر زمینه k وجود دارد و تا ایزومورفیسم منحصر به فرد تعیین می شود. A. z. میدان اعداد حقیقی میدان اعداد مختلط است (نگاه کنید به ... ... دانشنامه ریاضیات

یک پسوند معمولی یک پسوند جبری از میدان EQ K است که برای آن هر چند جمله ای غیرقابل تقلیل f (x) بر K که حداقل یک ریشه در E دارد در E به عوامل خطی تجزیه می شود. تعریف معادل: اگر KÌ EÌ K * ، جایی که K * ... ... ویکی پدیا

فرمت جداشدنی یک بسط جبری از یک میدان متشکل از عناصر قابل تفکیک است ، یعنی عناصری α ، حداقل نابود کننده f (x) نسبت به K که هیچ ریشه چندگانه ای برای آن ندارد. مشتق f (x) باید مطابق موارد فوق باشد ... ... ویکی پدیا

گسترش یک میدان به گونه ای که E به عنوان یک فضای بردار نسبت به K متناهی باشد. بعد یک فضای بردار E بر K را درجه امتداد می نامند و با آن نشان داده می شود. ویژگیهای پسوندهای محدود یک پسوند محدود همیشه جبری است. در ... ... ویکی پدیا

میدان یک پسوند جبری L از میدان K است که یکی از شرایط معادل زیر را برآورده می کند: 1) هرگونه جاسازی میدان L در یک جبر. بسته شدن میدان K یک خودشکلی از میدان L است. 2) L میدان تجزیه خانواده معینی از چند جمله ای با ... ... دانشنامه ریاضیات

پسوندهای میدان جبری

معرفی.

در دانشگاه های آموزشی ، برنامه ای برای دوره واحد در جبر و نظریه اعداد معرفی شده است. هدف اصلی این دوره مطالعه سیستم های جبری اولیه و آموزش فرهنگ جبری است که برای معلمی آینده برای درک عمیق اهداف و اهداف درس ریاضیات اصلی مدرسه و دروس انتخابی مدرسه ضروری است.

به نظر ما ، مصلحت ترین موارد ورود عناصر جبر انتزاعی مدرن به آموزش مدرسه است.

فرایند جبر ریاضیات ، که در قرن بیستم آغاز شد ، متوقف نمی شود و این باعث تلاش مستمر برای معرفی مفاهیم اولیه جبری در آموزش ریاضیات مدرسه می شود.

عمق ریاضی و دامنه وسیعی از کاربرد حوزه ها با سادگی مفاد اساسی آن - مفاهیم زمینه ها ؛ تعدادی از قضیه های مهم را می توان با مفاهیم اولیه در زمینه نظریه مجموعه ها تدوین و اثبات کرد. بنابراین ، نظریه میدان بهترین گزینه برای نشان دادن نمونه ای از ریاضیات مدرن به دانش آموزان است.

علاوه بر این ، مطالعه عناصر نظریه میدان برای دانش آموزان مفید است ، به رشد فکری آنها کمک می کند ، که در توسعه و غنی سازی جنبه های مختلف تفکر ، ویژگی ها و ویژگی های شخصیتی آنها و همچنین افزایش علاقه دانش آموزان به ریاضیات و علوم پایه.

1. گسترش میدان جبری ساده.

1.1 گسترش میدان ساده

بگذارید P [x] یک حلقه چند جمله ای در x بر روی یک میدان P باشد ، جایی که P زیر زمینه ای از F است. به یاد بیاورید که اگر a ریشه ای از چند جمله ای مثبت است ، یک عنصر a از یک میدان F جبری نامیده می شود. درجه از P [x]

تعریف. اجازه دهید P< F и a0F. Простым расширением поля P с помощью элемента a называется наименьшее подполе поля F, содержащее множество Р и элемент a. Простое расширение P с помощью a обозначается через P (a), основное множество поля P (a) обозначается через Р(a).

اجازه دهید a0F ، P [x] حلقه چند جمله ای در x و باشد

P [x] = (f (a) * f0P [x]) ،

یعنی P [a] مجموعه ای از تمام عبارات شکل a 0 + a 1 a + ... + a n a n است که در آن 0 ، a 1 ، ... a n 0P و n هر عدد طبیعی است.

به راحتی می توان دید که جبر + P [a] ، + ، - ،. ، 1 ، - زیرمجموعه میدان P (a) - یک حلقه است. این حلقه با نماد P [a] مشخص می شود.

قضیه 1.1. بگذارید P [x] یک حلقه چند جمله ای در x بر روی P و P (a) یک بسط ساده از میدان P. باشد y یک نقشه از P [x] بر روی P [a] باشد به گونه ای که y (f) = f (الف) برای هر f از P [x]. سپس:

(a) برای هر a از P y (a) = a ؛

(ج) y همومورفیسم حلقه P [x] بر روی حلقه P [a] است.

(د) Ker y = (f0P [x] * f (a) = 0) ؛

(و) حلقه ضریب P [x] / Ker y نسبت به حلقه P [a] ایزومورف است.

اثبات بیانیه های (الف) و (ب) مستقیماً از تعریف y نشأت می گیرند. نگاشت y عملیات اصلی حلقه P [x] را حفظ می کند ، زیرا برای هر f و g از P [x]

y (f + g) = f (a) + g (a) ، y (fg) = f (a) g (a) ، y (1) = 1.

بیانیه (د) مستقیماً از تعریف نقشه برداری y ناشی می شود.

از آنجا که y یک همومرفیسم از حلقه P [x] بر P [a] است ، حلقه عامل P [x] / Ker y نسبت به حلقه P [a] ایزومورفیک است.

نتیجه 1.2. بگذارید a یک عنصر ماورایی بر روی یک میدان P. باشد ، سپس حلقه چند جمله ای P [x] با حلقه P [a] ایزومورف است.

اثبات به دلیل متعالی بودن یک P بر روی Kery = (0). بنابراین ، P [x] / (0) - P [a]. علاوه بر این ، حلقه ضریب حلقه P [x] در حالت ایده آل صفر به P [x] ایزومورفیک است. بنابراین ، P [x] - P [a].

1.2 حداقل چند جمله ای یک عنصر جبری.

بگذارید P [x] یک حلقه چند جمله ای روی یک میدان P باشد.

تعریف. بگذارید a یک عنصر جبری در یک میدان P. باشد چند جمله ای حداقلی یک عنصر a ، over P یک چند جمله ای نرمال از P [x] با حداقل درجه است که ریشه آن a است. درجه حداقل چندجمله ای را درجه عنصر a روی P می نامند.

به راحتی می توان دریافت که برای هر عنصر a ، جبری در P ، یک چند جمله ای حداقل وجود دارد.

پیشنهاد 1.3. اگر a یک عنصر جبری بیش از یک میدان P باشد و g و j حداقل چند جمله ای آن نسبت به P باشند ، g = j.

اثبات درجات حداقل چند جمله ای g و j منطبق است. اگر g ¹ j باشد ، یک عنصر a (درجه n نسبت به P) ریشه چند جمله ای g - j خواهد بود ، که درجه آن کمتر از درجه چند جمله ای j (کمتر از n) است ، که غیرممکن است. بنابراین ، g = j.

قضیه 1.4. اجازه دهید a یک عنصر جبری درجه n بر روی میدان P (aóP) و g حداقل چند جمله ای آن بر P باشد. سپس:

الف) چند جمله ای g در حلقه P [x] قابل کاهش نیست ؛

(b) اگر f (a) = 0 ، جایی که f 0 P [x] ، سپس g تقسیم f ؛

ج) حلقه ضریب P [x] / (g) نسبت به حلقه P [a] ایزومورف است.

(d) P [x] / (g) یک میدان است ؛

(و) حلقه P [a] با میدان P (a) منطبق است.

اثبات فرض کنید چند جمله ای g در حلقه P [x] قابل کاهش است ، یعنی چند جمله ای j و h در P [x] وجود دارد به طوری که

g = jh ، 1 £ درجه j ، درجه h

سپس g (a) = j (a) h (a) = 0. از آنجا که P (a) یک میدان است ، پس j (a) = О یا h (a) = 0 ، که غیرممکن است ، زیرا طبق فرضیه ، درجه یک عنصر a بر P برابر n است.

فرض کنید که f 0 P [x] و f (a) = 0. بر فرض g (a) = 0. بنابراین ، f و g نمی توانند جرم مشترک باشند. از آنجا که g غیر قابل تقلیل است ، g f را تقسیم می کند.

فرض کنید j همومورفیسم حلقه P [x] بر روی حلقه P [a] (y (f) = f (a) برای هر f از P [x]) است که در قضیه 2.1 در نظر گرفته شده است. به موجب (b) ، هسته همومورفی y شامل چند برابر چند جمله ای g است ، یعنی ، Ker y = (g). بنابراین ، حلقه ضریب P = P [x] / (g) با حلقه P [a] ایزومورفیک است.

از آنجا که P [a] ÌP (a) ، پس P [a] یک حوزه یکپارچگی است. از آنجا که P @ P [a] ، پس حلقه عامل P نیز حوزه ای از یکپارچگی است. ما باید نشان دهیم که هر عنصر غیر صفر f از P برگشت پذیر به P است. f عنصر کاست f باشد. از آنجا که f ¹ 0 ، سپس f (a) ¹0 ؛ بنابراین چند جمله ای g چند جمله ای f را تقسیم نمی کند. از آنجا که چند جمله ای g غیرقابل تقلیل است ، نتیجه می گیرد که چند جمله ای f و g مجرم هستند. بنابراین ، در P [x] چند جمله ای u و v وجود دارد به طوری که uf + vg = 1. این برابری uf = 1 را نشان می دهد ، که نشان می دهد عنصر f در حلقه P وارونه نیست ، بنابراین ، ما ثابت کرده ایم که حلقه عامل P یک میدان است.

با توجه به (c) و (d) ، P [a] یک میدان است و بنابراین P (a) ÌP [a]. علاوه بر این ، بدیهی است که P [a] ÌP (a). بنابراین ، P [a] = P (a). در نتیجه ، حلقه P [a] با میدان P (a) منطبق است.

1.3 ساخت یک پسوند میدان جبری ساده.

قضیه 1.5. اجازه دهید a عنصر درجه مثبت جبری در زمینه P باشد. سپس هر عنصر میدان P (a) را می توان به صورت منحصر به فرد به صورت ترکیبی خطی از n عناصر 1 ، a ، ... ، a-1 با ضرایب P نشان داد.

اثبات بگذارید b هر عنصر میدان P (a) باشد. با قضیه 1.4 ، P (a) = P [a] ؛ بنابراین ، در P [x] یک چند جمله ای f وجود دارد که:

فرض کنید g حداقل چند جمله ای برای بیش از P باشد. با فرضیه قضیه ، درجه آن برابر با n است. با قضیه تقسیم باقیمانده ، در چند جمله ای P [x] h و r وجود دارد که

(2) f = gh + r ، جایی که r = 0 یا der r< der g = n , т. е. r=c 0 +c 1 x +…c n -1 x n -1 (c i 0P). Полагая в (2) x = а и учитывая равенство (1), имеем

(3) b = c 0 + c 1 a + ... c n -1 a n -1

اجازه دهید نشان دهیم که عنصر b به صورت ترکیبی خطی از عناصر 1 ، a ، ... ، a-1 به طور منحصر به فرد قابل نمایش است. بگذار باشد

(4) b = d 0 + d 1 a +… d n -1 a n -1 (d i 0 P)

هرگونه چنین عملکردی چند جمله ای j را در نظر بگیرید

j = (c 0 - d 0) + (c 1 - d i.) x +. ... ... + (با n -1 –d n -1) x n -1

حالتی که درجه j کمتر از n باشد غیرممکن است ، زیرا به دلیل (3) و (4) j (a) = 0 و درجه j کمتر از درجه g است. تنها مورد ممکن زمانی است که j = 0 ، یعنی با 0 = d 0 ،. ... ... ، با n-1 = d n-1. بنابراین ، عنصر b به صورت ترکیبی خطی از عناصر 1 ، a ،… ، a-1 به طور منحصر به فرد قابل نمایش است.

1.4 معافیت از بی منطقی جبری در مخرج کسر.

مشکل رهایی از بی منطقی جبری در مخرج کسر به شرح زیر است. اجازه دهید a یک عنصر جبری درجه n> 1 در میدان P باشد. f و h چند جمله ای از حلقه چند جمله ای P [x] و h (a) ¹0 هستند. لازم است عنصر f (a) / h (a) 0P (a) را در قالب ترکیبی خطی از قدرتهای عنصر a ، یعنی به شکل j (a) ، نشان دهید ،

این مشکل به صورت زیر حل می شود. فرض کنید g حداقل چند جمله ای برای a بیش از P. باشد ، زیرا بر اساس قضیه 1.4 ، چند جمله ای بر روی P و h (a) ¹ 0 کاهش ناپذیر است ، g h را تقسیم نمی کند و بنابراین چند جمله ای h و g جرم مشترک هستند. بنابراین ، چند جمله ای u و v در P [x] وجود دارد به طوری که

از آنجا که g (a) = 0 ، از (1) حاصل می شود که

u (a) g (a) = 1 ، 1 / h (a) = u (a)

بنابراین ، f (a) / h (a) = f (a) u (a) ، و f ، u 0P [x] و f (a) u (a) 0P [a] بنابراین ، ما از خلاف منطق در مخرج کسر f (a) / h (a) خلاص شدیم.

خلاف عقلانیت را در مخرج کسر خلاص کنید

چند جمله ای های p (x) و g (x) = - x 2 + x + 1 جرم مشترک هستند. بنابراین ، چند جمله ای j و y وجود دارد که:

برای یافتن j و y ، الگوریتم اقلیدس را بر چند جمله ای های p و g اعمال می کنیم:

X 3 -2 -x 2 + x + 1 -x 2 + x + 1 2x -1

x 3 -x 2 -x -x -1 -x 2 + 1 / 2x -1 / 2x + 1/4

x 2 -x-1 1 / 2x-1 /4

بدین ترتیب،

p = g (-x-1) + (2x-1) ،

g = (2x-1) (- 1/2x + 1/4) +5/4.

کجا پیدا کنیم

(2x-1) = p + g (x + 1) ،

5/4 = g- (p + g (x + 1)) (- 1/2x + 1/4)

p1/5 (2x-1) + g (4/5 + 1/5 (2x 2 + x-1)) = 1 ،

p1 / 5 (2x-1) + g (2 / 5x 2 + 1 / 5x + 3/5) = 1.

بدین ترتیب،

y (x) = (2 / 5x 2 + 1 / 5x + 3/5).

از این رو

2. گسترش جبری مرکب از میدان.

2.1 گسترش میدان نهایی

بگذارید P زیر زمینه ای از F باشد سپس می توانیم F را به عنوان یک فضای بردار روی P در نظر بگیریم ، یعنی فضای بردار + F ، + ، (w l 1l 0P) را در نظر بگیریم ،

جایی که w l عمل ضرب عناصر از F در مقیاس l0P است.

تعریف. پسوند F میدان P را محدود می نامند اگر F به عنوان یک فضای بردار روی P دارای ابعاد محدود باشد. این بعد با

پیشنهاد 2.1 اگر a یک عنصر جبری درجه n نسبت به P باشد ، آنگاه = n.

این گزاره مستقیماً از قضیه 1.5 نشأت می گیرد.

تعریف. اگر هر یک از عناصر F نسبت به P جبری باشد ، پسوند F یک میدان P را جبری می گویند.

قضیه 2.2. هر پسوند محدود F میدان P نسبت به P جبری است.

اثبات اگر F = n باشد ، قضیه صحیح است اگر n = 0. فرض کنید که n> 0 باشد. هر عنصر n + 1 از F بطور خطی به P. وابسته است. به طور خاص ، سیستم عناصر 1 ، a ، ... ، an وابسته خطی است ، یعنی در P چنین عناصری با 0 ، با 1 ، ... وجود دارد. ، cn همه برابر صفر نیستند به طوری که c 0 × 1 + c 1 a +… + cnan = 0.

در نتیجه ، عنصر a نسبت به P جبری است.

توجه داشته باشید که پسوندهای جبری میدان وجود دارد که پسوندهای محدود نیستند.

2.2 پسوند کامپوزیت میدان جبری

در صورت وجود ، پسوند F یک میدان P کامپوزیت نامیده می شود

یک زنجیره صعودی از زیر زمینه ها L i یک میدان F به گونه ای که

P = L 0 - L 1 -… - L k = F و k> 1.

قضیه 2.3. فرض کنید F یک پسوند محدود L و L یک پسوند محدود P باشد. سپس F یک پسوند محدود P و است

= @ [L: P].

اثبات بگذار باشد

(1) a 1 ،… ، a m اساس میدان L روی P (به عنوان فضای بردار) و

(2) b 1 ،… ، b n اساس میدان F بر L است. هر عنصر d از F را می توان بصورت خطی بر اساس اساس بیان کرد:

(3) d = l 1 b 1 + ... + l n b n (l k 0L).

ضرایب 1 k را می توان بصورت خطی از طریق مبنای (1) بیان کرد:

(4) l k = p 1k a +… + p mk a m (p ik 0P).

با جایگزینی عبارات برای ضرایب l k در (3) ، به دست می آوریم

d = е p ik a i b k.

بنابراین ، هر عنصر میدان F را می توان به صورت ترکیبی خطی از عناصر مجموعه B نشان داد ، جایی که

B = (a i b k1 (1 ، ... ، m) ، k 0 (l ، ... ، n)).

توجه داشته باشید که مجموعه B از عناصر nm تشکیل شده است.

اجازه دهید نشان دهیم که B اساس F بر روی میدان P است. ما باید نشان دهیم که سیستم عناصر مجموعه B بصورت خطی مستقل است. بگذار باشد

(5) еc ik a i b k = 0 ،

جایی که c ik 0 P. از آنجا که سیستم (2) به طور خطی نسبت به L مستقل است ، از (5) نتیجه می شود که

(6) با 1 k a 1 + ... + با mk a m = 0 (k = 1 ، ... ، n).

از آنجا که عناصر a 1 ، ... ، a m نسبت به P مستقل هستند ، از (6) نتیجه می شود که

c 1 k = 0 ، ... ، c mk = 0 (k = 1 ، ... ، n) ،

نشان می دهد که همه ضرایب در (5) برابر با صفر است. بنابراین ، سیستم عناصر B مستقل خطی است و اساس F بر P است.

بنابراین ثابت شده است که = nm =. بنابراین ، F یک پسوند محدود از میدان P است و فرمول (I) صادق است.

تعریف. در صورت وجود زنجیره فزاینده ای از زیر زمینه های میدان P ، پسوند F یک میدان P را جبر مرکب می نامند.

P = L 0 - L 1 -… - L k = F و k> 1 (1)

به طوری که برای i = 1 ، ... ، k میدان L i یک بسط جبری ساده از میدان L i-1 است. عدد k را طول زنجیره می نامند (1).

نتیجه 2.4 پسوند جبری مرکب F یک میدان P یک پسوند محدود P است.

اثبات به راحتی با القای طول زنجیره (1) بر اساس قضیه 2.3 انجام می شود.

قضیه 2.5. بگذارید 1 ، ... ، a k عناصر میدان جبری F در میدان P باشند. سپس میدان P (a 1، ...، a k) امتداد محدود میدان P است.

L 0 = P ، L 1 = P ، L 2 = P ، ... ، L k = P

سپس L 1 = P یک بسط جبری ساده از میدان L 0 است. L 2 یک بسط جبری ساده از میدان L 1 است

L 2 = P = (P) = L 1 = L 1 (a 2) و غیره

بدین ترتیب،

P = L 0 - L 1 -… - L k = F

جایی که L i = L i -1 (a i) برای i = 1 ، ... ، k ، یعنی هر یک از اعضای زنجیره (2) یک بسط جبری ساده از عضو قبلی زنجیره است. بنابراین ، میدان F یک بسط جبری مرکب از میدان P. است ، بنابراین ، با توجه به نتیجه 2.4 ، میدان F یک پسوند محدود از میدان P است.

نتیجه 2.6 گسترش جبری مرکب از یک میدان ، گسترش جبری این میدان است.

2.3 سادگی بسط کامپوزیت میدان جبری

قضیه 2.7. بگذارید یک عدد F یک پسوند جبری مرکب از میدان P باشد. سپس F یک پسوند جبری ساده از P است.

اثبات بگذارید P - L - F ، علاوه بر این ، L = P (a) ، F = L (b) و بنابراین ، F = P (a، b).

بگذارید f و g به ترتیب برای اعداد a و b حداقل چند جمله ای بیش از P و deg f = m ، deg g = n باشد. چند جمله ای f و g بر روی P کاهش ناپذیرند و بنابراین ، تعداد پیچیده ای از چند ریشه در زمینه E ندارند. بگذار باشد

a = a 1 ، ... ، a m ریشه های چند جمله ای f در C و هستند

b = b 1 ، ... ، b n ریشه های چند جمله ای g در C هستند.

مجموعه محدود M را در نظر بگیرید:

M = ((a i -a) / (b -b k) ½i0 (1 ،… ، m) ، k0 (2 ،… ، n)).

از آنجا که P یک مجموعه عددی است (و بنابراین ، بی نهایت) ، پس یک عدد c در P وجود دارد که متفاوت از عناصر مجموعه M ، c0P (M ، cóM است. اجازه دهید

سپس روابط

(2) g ¹ a i + cb k = (i0 (1، ...، m)، k0 (2، ...، n)).

در واقع ، در صورت برابری a + cb = a i + cb k می شود

с = (a i -a) / (b -b k) 0 م

که با انتخاب عدد c مغایرت دارد.

اجازه دهید F 1 = P (g) و F 1 یک حلقه چند جمله ای در x باشد. اجازه دهید h = f (g - cx) چند جمله ای از F 1 [x] (g ، c0P (g) = F 1) باشد. بگذارید نشان دهیم که x-b بزرگترین تقسیم کننده مشترک چند جمله ای h و g در حلقه F 1 [x] است. از آنجا که g (b) = 0 ، پس x-b g را در E [x] تقسیم می کند. بعلاوه ، به موجب (1)

h (b) = f (g-cb) = f (a) = 0.

بنابراین ، x-b چند جمله ای h را در E [x] تقسیم می کند. بنابراین ، x-b تقسیم کننده مشترک h و g در حلقه E [x] است.

اجازه دهید ثابت کنیم که g و h در C ریشه ای جز b ندارند. در واقع ، فرض کنید که b k ، k0 (2 ، ... ، n) ریشه مشترک آنها است. سپس h (bk) = f (g - cb k) = 0. بنابراین ، یک شاخص i0 (1 ، ... ، m) وجود دارد به طوری که g = ai + cb k (k> 1) ، که با (2 ) بر این اساس ، نتیجه می گیریم که x-b بزرگترین تقسیم کننده مشترک g و h در E [x] است. از آنجا که x - b یک چند جمله ای نرمال است ، نتیجه می شود که x - b بزرگترین تقسیم کننده مشترک g و h در حلقه F 1 [x] است. از همین رو

(x-b) 0 F 1 [x] و b 0 F 1 = P (g).

علاوه بر این ، a = g - cb 0 F 1. بدین ترتیب،

F = P (a، b) Ì F 1 ، F 1 ÌF.

2.4 فیلد اعداد جبری

در کلاس زیر زمینه های حوزه اعداد مختلط ، یکی از مهمترین آنها حوزه اعداد جبری است.

تعریف. عدد جبری یک عدد مختلط است که ریشه چند جمله ای درجه مثبت با ضرایب منطقی است.

توجه داشته باشید که عدد جبری عبارت است از هر عدد مختلط جبری در قسمت Q. به طور خاص ، هر عدد منطقی جبری است.

قضیه 2.8. مجموعه A تمام اعداد جبری در حلقه E = + С ، + ، -،، 1 ، اعداد مختلط بسته شده است. جبر A = + A ، + ، -،، 1 ، یک میدان است ، زیرزمین میدان E است.

اثبات فرض کنید a و b هر یک از عناصر A باشند. با نتیجه 2.6 ، میدان Q (a ، b) نسبت به Q جبری است. بنابراین ، اعداد a + b ، -а ، ab ، 1 جبری هستند ، یعنی متعلق به مجموعه A. بنابراین ، مجموعه A تحت عملیات اصلی حلقه E. بسته می شود. بنابراین ، جبر A ، زیر حلقه E ، یک حلقه است.

علاوه بر این ، اگر a یک عنصر غیر صفر از A باشد ، یک -1 0 Q (a ، b) و بنابراین a -1 متعلق به A است. در نتیجه ، جبر A یک میدان است ، زیر زمینه ای از E.

تعریف. به میدان A = + A ، + ، -،، 1 ، میدان اعداد جبری گفته می شود.

نشان دهید که عدد a = جبری است.

راه حل. از a = a- را دنبال می کند.

بیایید هر دو طرف آخرین تساوی را به قدرت سوم برسانیم:

a 3 -3a 2 9a -3 = 2

a 3 + 9a-2 = 3 (a 2 +1).

اکنون ما هر دو طرف برابری را به قدرت دوم می رسانیم:

a 6 + 18a 4 + 81a 2 -4a 3 -36a + 4 = 27a 4 + 54a 2 +27

a 6 -9a 4 -4a 3 + 27a 2 -36a -23 = 0.

بنابراین ، a ریشه چند جمله ای است

f (x) = a 6 -9a 4 -4a 3 + 27a 2 -36a -23 = 0

با ضرایب منطقی این بدان معناست که a یک عدد جبری است.

2.5 بسته بودن جبری میدان اعداد جبری.

قضیه 2.9. قسمت عدد جبری به صورت جبری بسته شده است.

اثبات بگذارید A [x] یک حلقه چند جمله ای در x بر روی میدان A اعداد جبری باشد. بگذار باشد

f = a 0 + a 1 x + ... + a n x n (a 0، ...، a n 0 A)

هر چند جمله ای با درجه مثبت از A [x]. ما باید ثابت کنیم که f در A ریشه دارد از آنجا که f0C [x] و میدان E به طور جبری بسته است ، f در E ریشه دارد ، یعنی یک عدد مختلط c وجود دارد به طوری که f (c) = 0 اجازه دهید L = Q (a 0 ، ... ، a n) و L (c) یک بسط جبری ساده از میدان L با استفاده از c باشد. سپس Q - L - L (c) یک پسوند جبری محدود میدان L. است. با قضیه 2.2 ، L یک پسوند محدود از میدان Q است. با قضیه 2.3 ، L (c) امتداد محدود میدان Q است. از این رو ، با قضیه 2.2 ، نتیجه می گیرد که میدان L (c) امتداد جبری میدان Q و از این رو c0A است. بنابراین ، هر چند جمله ای از A [x] با درجه مثبت ریشه در A دارد ، یعنی میدان A به طور جبری بسته است.

3. پسوندهای جداشدنی و غیر قابل تفکیک.

بگذارید D یک میدان باشد.

بگذارید دریابیم که آیا چند جمله ای تجزیه ناپذیر در D [x] می تواند ریشه های متعددی داشته باشد؟

برای اینکه f (x) چندین ریشه داشته باشد ، چند جمله ای f (x) و fN (x) باید دارای یک عامل مشترک غیر از ثابت باشند که می توان آن را در D [x] محاسبه کرد. اگر چند جمله ای f (x) تجزیه ناپذیر باشد ، f (x) نمی تواند دارای عوامل مشترک ثابت با چند جمله ای با درجه کمتر باشد ، بنابراین ، مساوی f "(x) = 0 باید برقرار باشد.

f (x) = 3a n x n fN (x) = 3na n x n -1

از آنجا که fN (x) = 0 ، هر ضریب باید ناپدید شود:

na n = 0 (n = l ، 2 ، ... ، n).

در مورد صفر مشخصه ، این بدان معناست که n = 0 برای همه n ¹ 0. بنابراین ، چند جمله ای غیر ثابت نمی تواند چند ریشه داشته باشد. در مورد p مشخصه ، برابری na n = 0 نیز برای n ¹ 0 امکان پذیر است ، اما سپس مقایسه ها باید انجام شود

f (x) = a 0 + a p x p + a 2p x 2p +…

برعکس: اگر f (x) این شکل را داشته باشد ، fN (x) = 0.

در این مورد ، می توانیم بنویسیم:

این ادعا را اثبات می کند: در مورد صفر مشخصه ، چند جمله ای f (x) تجزیه ناپذیر در D [x] فقط ریشه های ساده دارد ، در مورد یک اقیانوس مشخصه p ، چند جمله ای f (x) (اگر متفاوت باشد از یک ثابت) دارای ریشه های متعدد است اگر و فقط اگر ، زمانی که می توان آن را به صورت چند جمله ای j در xp نشان داد.

در مورد اخیر ، ممکن است معلوم شود که j (x) ، به نوبه خود ، چند جمله ای در x p است. سپس f (x) چند جمله ای در x p 2 است. بگذارید f (x) در x pe چند جمله ای باشد

اما در x pe +1 چند جمله ای نیست. البته چند جمله ای y (y) تجزیه ناپذیر است. علاوه بر این ، y ¢ (y) ¹ 0 ، زیرا در غیر این صورت y (y) دارای شکل c (yp) خواهد بود و بنابراین ، f (x) به شکل c (x pe + 1) نمایش داده می شود ، که با فرض مغایرت دارد. به در نتیجه ، y (y) فقط ریشه های ساده دارد.

ما چند جمله ای y (y) را در قسمتی از زمینه زمین به عوامل خطی گسترش می دهیم: m

y (y) = J (y-b i).

f (x) = J (x pe -b i)

اجازه دهید a i ریشه چند جمله ای x pe -b i باشد. سپس x i pe = b i ،

x pe -b i = x pe -a i pe = (x -a i) pe.

بنابراین ، a i یک ریشه pe -multiple از جمله چند جمله ای x pe -b i و است

f (x) = J (x -a i) p e.

بنابراین همه ریشه های چند جمله ای f (x) دارای چندگانگی p e هستند.

درجه m چند جمله ای y را درجه کاهش یافته چند جمله ای f (x) (یا ریشه a i) می نامند. عدد e را ضرب چند جمله ای f (x) (یا ریشه a i) بر روی میدان D می نامند. بین درجه ، درجه کاهش یافته و توان ، رابطه

جایی که m برابر تعداد ریشه های متمایز چند جمله ای f (x) است.

اگر q ریشه یک چند جمله ای است که در حلقه D [x] تجزیه نمی شود و فقط ریشه های ساده دارد ، q را یک عنصر قابل تفکیک بر روی D یا یک عنصر از نوع اول بیش از D 1 می نامند). علاوه بر این ، چند جمله ای تجزیه ناپذیر ، که همه ریشه های آن قابل تفکیک هستند ، قابل تفکیک نامیده می شود. در غیر این صورت ، عنصر جبری q و چند جمله ای تجزیه ناپذیر f (x) جدایی ناپذیر یا عنصری (به ترتیب ، چند جمله ای) از نوع دوم نامیده می شوند. سرانجام ، یک پسوند جبری S ، که همه عناصر آن بر روی D قابل تفکیک هستند ، بر D قابل تفکیک نامیده می شود ، و هر فرمت جبری دیگر جدا نشدنی است.

در مورد صفر مشخصه ، طبق آنچه در بالا گفته شد ، هر چند جمله ای تجزیه ناپذیر (و بنابراین هر پسوند جبری) قابل تفکیک است. بعداً خواهیم دید که اکثر مهمترین و جالب ترین پسوندهای زمینه قابل تفکیک هستند و کلاسهای کاملی از فیلدها وجود دارند که اصلا پسوندهای جدا نشدنی ندارند (به اصطلاح "زمینه های کامل"). به همین دلیل ، در آینده ، همه چیز مربوط به افزونه های جدا نشدنی با حروف کوچک تایپ می شود.

اکنون پسوند جبری S = D (q) را در نظر بگیرید. وقتی درجه n معادله f (x) = 0 که این پسوند را تعریف می کند برابر با درجه (S: D) باشد ، درجه کاهش یافته m برابر تعداد ایزومورفیسم های میدان S به معنای زیر می شود: فقط آن ایزومورفیسم ها را در نظر بگیرید S @ S "که عناصر زیر زمینه D برای آنها ثابت است و بنابراین S به یک میدان معادل S ترجمه می شود" (ایزومورفیسم های میدان S بر روی میدان D) و برای آنها میدان تصویر S " در این شرایط ، قضیه زیر صادق است:

برای انتخاب مناسب میدان W ، پسوند S = D (q) دقیقاً m ایزومرفیسم نسبت به D دارد و برای هر انتخاب میدان W ، میدان S نمی تواند بیش از m چنین ایزومورفیسم داشته باشد.

اثبات هر ایزومورفیسم بر روی D باید یک عنصر q را به عنصر مزدوج آن q "از W. ترسیم کند. W را انتخاب کنید تا f (x) بر روی W به عوامل خطی تجزیه شود ، سپس معلوم می شود که عنصر q دقیقاً m دارای عناصر مزدوج q ، q است. ، ... در این حالت ، صرف نظر از نحوه انتخاب میدان W ، عنصر q بیش از m مزدوج در خود نخواهد داشت. اکنون توجه داشته باشید که هر ایزومورفیسم D (q) @D (q ") بر روی D با تعیین تناسب q®q" به طور کامل تعیین می شود. در واقع ، اگر q به q برسد و همه عناصر D در جای خود باقی بمانند ، آنگاه عنصر

3a k q k (a k 0D)

باید به

و این یک ایزومورفیسم را تعریف می کند.

به طور خاص ، اگر q یک عنصر قابل تفکیک است ، m = n و بنابراین ، تعداد ایزومورفیسم در میدان زمین برابر با میزان گسترش است.

اگر یک میدان ثابت حاوی تمام زمینه های در نظر گرفته شده وجود داشته باشد ، که شامل تمام ریشه های هر معادله f (x) = 0 باشد (مثلاً در زمینه اعداد مختلط) ، به عنوان W می توانیم یک بار این میدان را بگیریم و برای همه و بنابراین افزودن "در برخی از W" در تمام عبارتهای ایزومورفیسم را رها کنید. این امر همیشه در نظریه میدان اعداد انجام می شود. بعداً خواهیم دید که برای زمینه های انتزاعی می توان چنین فیلد W را ساخت.

قضیه فوق با عبارت زیر تعمیم می یابد:

اگر پسوند S با افزودن پی در پی m از D بدست آید

عناصر جبری a 1 ، ... ، a m و هر یک از i - ریشه است

بنابراین بر اساس معادله D (a 1 ، ... ، a-1) با کاهش درجه n "i ، تجزیه ناپذیر است

پسوند S دقیقا در ایزومورفیسم i over در D و در هیچ یک از آنها وجود ندارد

پسوند ، دیگر چنین ایزومورفیسم های میدان S وجود ندارد.

اثبات برای m = 1 ، قضیه قبلاً در بالا ثابت شده است. فرض کنید برای پسوند S 1 = D (a 1، ...، a m-1) معتبر است: در برخی پسوندهای مناسب

W1 دقیقاً Õ n i ¢ ایزومورفیسم میدان S بر D است.

بگذارید S 1 ® S 1 یکی از این ایزومورفیسم های Õ n i be باشد. ادعا می شود که در یک میدان مناسب W می توان به ایزومورفیسم S = S 1 (a m) @ S = S (a m) حداکثر به روش n ¢ m گسترش داد.

عنصر a m معادله f 1 (x) = 0 را در S1 با n ¢ m ریشه متفاوت برآورده می کند. با استفاده از ایزومورفیسم S 1 ® S 1 ، چند جمله ای f 1 (x) به چند جمله ای f 1 (x) تبدیل می شود. اما سپس f 1 (x) در یک پسوند مناسب دوباره n ¢ m ریشه متفاوت و حداکثر دارد. اجازه دهید a یکی از این ریشه ها باشد. با انتخاب عنصر a m ، ایزومورفیسم S 1 @ S 1 را می توان به یک ایزومورفیسم S (a m) @ S (a m) با m ® m m به یک وجه گسترش داد: در واقع ، این ادامه با فرمول داده می شود.

еc k a m k ®å c k a m k

از آنجایی که انتخاب عنصر a m را می توان به روش های n "m انجام داد ، n" m افزونه هایی از این دست برای ایزومورفیسم انتخاب شده وجود دارد e 1 ® е 1

از آنجا که ، به نوبه خود ، می توان این ایزومورفیسم را انتخاب کرد

ways n "i راه ها ،

سپس همه چیز وجود دارد (در زمینه W ، که شامل تمام ریشه های تمام معادلات مورد بررسی است)

Õ n "i × n" m = Õ n "i

ایزومورفیسمهای پسوند S بر روی میدان D ، در صورت لزوم.

اگر ni درجه کامل (کاهش نیافته) یک عنصر ai بیش از D (a 1 ، ... ، a-1) باشد ، ni برابر با درجه پسوند D (a 1 ، ... ، ai) است از میدان D (a 1 ، ... ، a-1) ؛

بنابراین ، درجه (S: D) است

اگر این عدد را با تعداد ایزومورفیسم مقایسه کنیم

تعداد ایزومورفیسمهای پسوند S = D (a 1، ...، am) over D (در برخی از پسوندهای مناسب W) برابر با درجه (S: D) است اگر و تنها در صورتی که هر عنصر ai بر روی میدان قابل تفکیک باشد D (a 1 ، .. ، a-1). اگر حداقل یک عنصر a i در قسمت مربوطه جدایی ناپذیر باشد ، تعداد ایزومورفیسم ها کمتر از میزان پسوند است.

چندین پیامد مهم بلافاصله از این قضیه ناشی می شود. اول از همه ، قضیه معتقد است که ویژگی هر عنصر a i نسبت به میدان قبلی قابل تفکیک است ، ویژگی خود پسوند S است ، صرف نظر از انتخاب عناصر تولید کننده a i. از آنجا که یک عنصر دلخواه b از میدان را می توان به عنوان اولین مولد در نظر گرفت ، عنصر b در صورتی قابل جداسازی است که همه a i قابل تفکیک باشند. بنابراین:

اگر عناصر ai ، ... ، an به صورت متوالی به میدان D متصل شوند و هر عنصر ai قابل جدا شدن از میدان بدست آمده از اتصال عناصر قبلی a 1 ، a 2 ، ... ، a-1 باشد ، سپس افزونه

S = D (a 1 ، ... ، a n)

قابل تفکیک بر D.

به طور خاص ، مجموع ، تفاوت ، محصول و ضریب عناصر قابل تفکیک قابل تفکیک هستند.

علاوه بر این ، اگر b بر S قابل تفکیک باشد ، و میدان S بر D قابل تفکیک باشد ، عنصر b بر D قابل تفکیک است. این امر با این واقعیت توضیح داده می شود که b معادله ای را با تعداد محدودی از ضرایب a 1 ارضا می کند ، ... ، am از S است و بنابراین ، بر D قابل تفکیک است (a 1 ، ... ، am). بنابراین ، پسوند

D (a 1 ، ... ، a m ، b).

سرانجام ، گزاره زیر صادق است: تعداد ایزومورفیسم های یک پسوند جداشدنی محدود S بر روی یک میدان D برابر با میزان پسوند (S: D) است.

4. گسترش بی پایان میدان.

هر زمینه از زیر زمینه ساده خود با استفاده از یک پسوند محدود یا نامتناهی بدست می آید. این فصل به پسوندهای بی نهایت میدان ، ابتدا جبری و سپس ماورایی می پردازد.

4.1 زمینه های جبری بسته شده است

در میان برنامه های افزودنی جبری یک زمینه معین ، البته نقش مهمی توسط حداکثر پسوندهای جبری ایفا می شود ، یعنی آنهایی که پسوندهای جبری بیشتری را قبول ندارند. وجود چنین افزونه هایی در این قسمت ثابت می شود.

برای اینکه میدان W حداکثر پسوند جبری باشد ، شرط زیر ضروری است: هر چند جمله ای از حلقه W [x] را می توان به طور کامل به عوامل خطی تجزیه کرد. این شرط نیز کافی است. در واقع ، اگر هر چند جمله ای در W [x] را بتوان به عوامل خطی تجزیه کرد ، آنگاه همه چند جمله ای های ساده در W [x] خطی هستند و هر عنصر از هر بسط جبری W "در میدان W ریشه برخی خطوط است چند جمله ای x - a در W [x] ، یعنی با برخی از عناصر a از W منطبق است.

بنابراین ، ما تعریف زیر را ارائه می دهیم:

اگر چند جمله ای در W [x] را بتوان به عوامل خطی تجزیه کرد ، میدان W را جبری می نامند.

یک تعریف معادل به شرح زیر است: یک میدان W به صورت جبری بسته می شود اگر هر چند جمله ای از W [x] متفاوت از ثابت حداقل یک ریشه در W داشته باشد ، یعنی حداقل یک عامل خطی در W [x].

در واقع ، اگر چنین شرطی برآورده شود و یک چند جمله ای دلخواه f (x) به عوامل تجزیه ناپذیر تجزیه شود ، همه آنها باید خطی باشند.

در "قضیه اساسی جبر" آمده است که زمینه اعداد مختلط به لحاظ جبری بسته شده است. مثال بعدی میدان بسته جبری ، میدان همه اعداد مختلط جبری است ، یعنی مجموعه اعداد مختلط که معادله ای را با ضرایب منطقی برآورده می کنند. ریشه های پیچیده یک معادله با ضرایب جبری در واقع نه تنها در زمینه اعداد جبری ، بلکه در زمینه اعداد گویایی نیز جبری است ، یعنی خود آنها اعداد جبری هستند.

در اینجا ما نشان می دهیم که چگونه می توان یک پسوند بسته شده جبری از یک میدان دلخواه P و علاوه بر این ، به روش کاملاً جبری ساخت. Steinitz متعلق به موارد زیر است

قضیه اصلی. برای هر زمینه P ، یک پسوند جبری بسته جبری وجود دارد W. تا معادل بودن ، این پسوند به طور منحصر به فرد تعریف شده است: هر دو پسوند جبری بسته شده به صورت جبری W ، W "میدان P معادل هستند.

ما باید اثبات این قضیه را با چند لمس مقدمه کنیم:

لما 1. اجازه دهید W یک بسط جبری از میدان P. باشد شرط کافی برای بسته شدن جبری W ، فاکتورگیری هر چند جمله ای از P [x] در حلقه W [x] است.

اثبات بگذارید f (x) چند جمله ای دلخواه از W [x] باشد. اگر به عوامل خطی تجزیه نشود ، می توانیم مقداری از ریشه های آن را a اضافه کرده و به یک مزارع مناسب W برسیم. " a نسبت به P. جبری است بنابراین ریشه ای از چند جمله ای g (x) از P [x]. این چند جمله ای در W [x] به عوامل خطی تجزیه می شود. بنابراین ، یک ریشه برخی از عوامل خطی در W [x] ، یعنی متعلق به میدان W است که با فرض مغایرت دارد ...

لما 2. اگر میدان P به خوبی مرتب شده باشد ، حلقه چند جمله ای P [x] را می توان به خوبی مرتب کرد و به علاوه ، به طوری که در این ترتیب ، میدان P یک بخش است.

اثبات ما یک رابطه ترتیب بین چند جمله ای f (x) از P [x] را به صورت زیر تعریف می کنیم: اجازه دهید f (x)

1) درجه f (x) کمتر از درجه g (x) است ؛

2) درجه f (x) برابر با درجه g (x) و برابر n است ، یعنی

f (x) = a 0 x n + ... + a n ، g (x) = b 0 x n + ... + b n

و برای برخی از شاخص k:

و i = b i برای i

یک ک

در این مورد ، یک استثنا برای چند جمله ای 0: درجه 0 به آن اختصاص داده شده است. بدیهی است که در این روش مقداری نظم به دست می آوریم ، به این معنا که P [x] کاملاً مرتب شده است. به صورت زیر نشان داده شده است: در هر مجموعه چند جمله ای غیر خالی یک زیر مجموعه خالی از چند جمله ای با حداقل درجه وجود دارد. این زیر مجموعه شامل زیرمجموعه ای خالی از چند جمله ای است که ضریب a 0 آن از نظر نظم موجود در بین عبارات آزاد چند جمله ای های مورد بررسی اولین است. در این زیر مجموعه ، به نوبه خود ، زیر مجموعه ای از چند جمله ای ها با اولین a 1 و غیره وجود دارد. زیرمجموعه با اولین an ، که در نهایت معلوم می شود ، می تواند فقط از یک چند جمله ای واحد تشکیل شود (از 0 ، .. . ، و n به دلیل وجود حداقل شرط حداقلی در انتخاب به طور واضح تعریف شده است) ؛ این چند جمله ای اولین عنصر در مجموعه است.

Lemma 3. اگر میدان P به خوبی مرتب شده باشد و چند جمله ای f (x) درجه n و n نمادهای a 1 ... ، an داده شود ، پس میدان P (a 1، ...، an) ، که در آن f (x) کاملاً به عوامل خطی تجزیه می شود

x (x-a i) ، منحصر به فرد ساخته شده است و به طور کامل است

منظم. میدان P به معنای این ترتیب یک بخش است.

اثبات ما ریشه های 1 ... ، a n را به ترتیب پیوست می کنیم ، در نتیجه فیلدهای P 1 ، ... ، P n به ترتیب از P = P 0 ظاهر می شوند. فرض کنید که Р i-1 = P (a 1 ...، a i-1) یک میدان قبلاً ساخته شده است و P یک بخش در Р i-1 است. سپس R i به صورت زیر ساخته می شود.

اول از همه ، به واسطه لما 2 ، حلقه چند جمله ای P i-1 [x] کاملاً مرتب شده است. چند جمله ای f در این حلقه به عوامل تجزیه ناپذیری تجزیه می شود ، که در میان آنها اولین مکان x - a 1 ، ... ، x - a i -1 خواهد بود. در بین عوامل باقی مانده ، اجازه دهید f i (x) اولین نفر به معنای نظم موجود باشد. همراه با نماد a i که ریشه چند جمله ای f i (x) را نشان می دهد ، ما میدان Р i = P i -1 را به عنوان مجموعه ای از همه جمع ها تعریف می کنیم.

جایی که h درجه چند جمله ای f i (x) است. اگر f i (x) خطی باشد ، البته ، ما Pi = P i -1 را تنظیم می کنیم. در این مورد به نماد a i نیازی نیست. فیلد ساخته شده با استفاده از شرایط زیر کاملاً مرتب شده است: هر عنصر میدان

چند جمله ای را مقایسه کنید

و عناصر میدان به همان ترتیب مرتب شده اند که چند جمله ای های مربوطه مرتب شده اند.

بدیهی است ، پس Pi-1 یک بخش در P i است ، و بنابراین P یک بخش در P i است.

بنابراین ، زمینه های Р 1 ، ... ، Р n ساخته شده و کاملاً مرتب شده اند. میدان Рn فیلد مورد نیاز منحصر به فرد P (a 1، ...، a n) است.

Lemma 4. اگر در مجموعه ای منظم از زمینه ها ، هر فیلد قبلی زیر زمینه دیگری باشد ، اتحاد این فیلدها یک میدان است.

اثبات برای هر دو عنصر a ، b اتحادیه ، دو میدان S a ، S b وجود دارد که شامل a و b هستند و یکی از آنها بر دیگری مقدم است. در قسمت محصور ، عناصر a + b و a × b تعریف می شوند ، و اینگونه است که این عناصر در هر یک از فیلدهای حاوی a و b تعریف می شوند ، زیرا به دلیل هر دو فیلد ، یکی بر دیگری مقدم است و زیر زمینه آن است به به عنوان مثال ، برای اثبات قانون تداعی

ab g = a bg ،

در میان زمینه های S a، Sb، S g چیزی را که شامل دو فیلد دیگر (بزرگترین) است پیدا کنید. این فیلد شامل a ، b و g است و قانون انجمنی در آن تأیید شده است. سایر قوانین محاسبه با عناصر اتحادیه به همان شیوه بررسی می شوند.

اثبات قضیه اصلی به دو قسمت تقسیم می شود: ساخت میدان W و اثبات منحصر به فرد بودن.

ساخت میدان W .. Lemma 1 نشان می دهد که برای ساختن یک پسوند بسته جبری W میدان P ، ساختن یک بسط جبری میدان P کافی است به طوری که هر چند جمله ای از P [x] در این فرمت به صورت خطی تجزیه می شود. عوامل.

1. میدان Рf اتحاد میدان Р و تمام زمینه های S g برای g است

2. میدان Рf به طور کامل مرتب شده است به طوری که Р و تمام زمینه های S g برای g

3. میدان S f با افزودن تمام ریشه های چند جمله ای f با استفاده از نمادهای a 1 ، ... ، a n مطابق با Lemma 3 از Рf به دست می آید.

لازم است ثابت شود که به این ترتیب زمینه های منظم Рf، Sf واقعاً منحصر به فرد تعیین می شوند ، اگر فقط تمام Рg قبلی ، Sg قبلاً با الزامات ذکر شده در بالا تعریف شده باشد.

اگر نیاز 3 برآورده شود ، قبل از هر چیز Рf یک بخش در S f است. از این و الزامات 2 نتیجه می شود که میدان P و هر میدان S g (g

Р - بخش در S h در h

S g - بخش در S h در g

بنابراین میدان P و فیلدهای S h (h b در P f ذخیره شود. این رابطه ترتیب در همه زمینه های P یا S g که شامل a و b هستند یکسان است ، زیرا همه این زمینه ها بخش هایی از یکدیگر هستند. بنابراین رابطه ترتیب تعریف می شود. این واقعیت که یک مجموعه منظم را تعریف می کند واضح است ، زیرا هر مجموعه غیر خالی x در P f حداقل دارای یک عنصر از P یا از یک زمینه S g است ، و بنابراین اولین عنصر از x Ç P یا از x Ç اس ج ... این عنصر همچنین اولین عنصر در x است.

با شرط 3 ، چند جمله ای f (x) کاملاً به عوامل خطی در زمینه S f تجزیه می شود. علاوه بر این ، با استفاده از القاء نامحدود ، نشان داده می شود که S f جبری نسبت به P است. در واقع ، فرض کنید که تمام زمینه ها S g (g

اجازه دهید اکنون اتحادیه W همه زمینه ها S f را بسازیم. طبق لما 4 ، این یک میدان است. این میدان بر روی P جبری است و همه چند جمله ای f روی آن تجزیه می شوند (زیرا هر چند جمله ای f بر روی S f تجزیه می شود). در نتیجه ، میدان W به طور جبری بسته شده است (لما 1).

منحصر به فرد بودن میدان W. اجازه دهید W و W "دو زمینه باشند که جبری هستند و پسوندهای جبری را بسته اند. P. ما معادل بودن این زمینه ها را اثبات می کنیم. برای این منظور ، فرض می کنیم که هر دو میدان کاملاً مرتب شده اند. برای هر کدام بخش J از W (میدان W نیز یکی از این بخشها محسوب می شود) زیرمجموعه J ¢ در W "و برخی از ایزومورفیسم

P (Â) @ P (Â ¢).

دومی باید روابط تکراری زیر را برآورده کند.

1. ایزومورفیسم P (J) @ P (J) باید هر عنصر میدان P را در جای خود رها کند.

2. ایزومورفیسم P (Â) @ P (J) برای ÁÌ J باید امتداد ایزومورفیسم P (Á) @ P (") باشد.

3. اگر J آخرین عنصر a را داشته باشد ، بنابراین J = ÁÈ (a) ، و اگر a ریشه چند جمله ای f (x) باشد که در P () تجزیه ناپذیر است ، عنصر a "باید اولین ریشه مطابق با P () @ Р (Á ") ، چند جمله ای f ¢ (x) در یک زمینه منظم W".

لازم است نشان داده شود که این سه الزام واقعاً ایزومورفیسم P (J) @ P (J J) را تعریف می کنند ، فقط اگر قبلاً برای همه بخشهای قبلی تعریف شده باشد. در اینجا باید دو مورد را از هم تشخیص داد.

مورد اول. مجموعه no آخرین عنصر ندارد. سپس هر عنصر a متعلق به بخش قبلی است ؛ بنابراین J اتحاد قطعات Á است و بنابراین P (J) اتحاد زمینه های P () برای ÁÌ J است. از آنجا که هر یک از ایزومورفیسم های P (Á) @ P (Á ") ادامه همه موارد قبلی است ، هر عنصر a برای همه این ایزومورفیسم ها تنها با یک عنصر a مرتبط است". بنابراین ، یک و تنها یک نگاشت P (J) → P (J) وجود دارد ، که تمام ایزومورفیسم های قبلی P () → P (") ، یعنی -map a®a" را ادامه می دهد. بدیهی است که این ایزومورفیسم است و الزامات 1 و 2 را برآورده می کند.

مورد دوم. مجموعه Â دارای آخرین عنصر a؛ بنابراین ، Â = ÁÈ (a). با توجه به نیاز 3 ، عنصر a "، که با عنصر a مرتبط است ، به طور منحصر به فرد تعیین می شود. از آنجا که" بیش از میدان P (") (به معنای ایزومورفیسم در نظر گرفته شده) معادله تجزیه ناپذیر" یکسان "را برآورده می کند روی P (Á) ، سپس ایزومورفیسم P (Á) → P (") (و در صورت خالی بودن ، یعنی ایزومورفیسم هویت P®P) به یک ایزومورفیسم P (Á ، a) ®P ( "، a ¢) ، برای جایی که a به a می رود". این ایزومورفیسم با هر یک از الزامات فوق به طور منحصر به فرد تعریف شده است ، زیرا هر تابع منطقی j (a) با ضرایب J باید به تابع j "(a") با ضرایب مربوطه از Á "برسد. ایزومورفیسم P (J) به طور واضح Р (Â) الزامات 1 و 2 را برآورده می کند.

این کار ساخت ایزومورفیسم P (J) → P (J) را تکمیل می کند. ما با W "اتحاد همه زمینه ها P () را نشان می دهیم ؛ سپس یک ایزومورفیسم P (W) ®W" یا W ®W "وجود دارد ، که هر عنصر میدان P را در جای خود قرار می دهد ، زیرا میدان W به صورت جبری است بسته است ، بنابراین باید W "باشد ، و بنابراین W" با کل میدان W. منطبق است. بنابراین معادل بودن میدان W و W است.

منظور از بسط جبری از یک زمینه معین این است که تا معادل بودن ، شامل تمام پسوندهای جبری ممکن در این زمینه است. دقیق تر:

اگر W یک پسوند جبری بسته جبری از میدان P باشد و S یک بسط جبری دلخواه از میدان P باشد ، در داخل W یک پسوند S 0 معادل پسوند S وجود دارد.

اثبات ما S را به برخی از پسوندهای جبری بسته جبری W "بسط می دهیم. همچنین بر روی P جبری خواهد بود و بنابراین معادل پسوند W. برای برخی از ایزومورفیسم گرفتن W" به W و ثابت نگه داشتن هر یک از عناصر P ، میدان S به برخی از آنها می رود. زیرزمین معادل S 0 در W.

4.2 پسوندهای ماورایی ساده.

همانطور که می دانیم هر بسط متعالی ساده از میدان D معادل میدان ضرایب D (x) حلقه چند جمله ای D [x] است. بنابراین ، ما این حوزه از ضرایب را مطالعه می کنیم

عناصر میدان W توابع منطقی هستند

قضیه هر عنصر h درجه n متفاوت از ثابت ، فراتر از D است و میدان D (x) امتداد جبری میدان D (h) درجه n است.

اثبات نمایش h = f (x) / g (x) غیر قابل تقلیل در نظر گرفته می شود. سپس عنصر x معادله را برآورده می کند

g (x) × h - f (x) = 0

با ضرایب از D (h). این ضرایب نمی توانند همه صفر باشند. در واقع ، اگر همه آنها برابر صفر باشند و k هر ضریب غیر صفر چند جمله ای g (x) برای همان درجه x باشد ، و b k ضریب غیر صفر چند جمله ای f (x) باشد ، در این صورت برابری

از کجا h = b k / a k = const ، که با فرض مغایرت دارد. در نتیجه ، عنصر x روی D (h) جبری است.

اگر h جبری بیش از D باشد ، x نیز جبری D خواهد بود ، اما اینطور نیست. در نتیجه ، h فرازمانی بر D است.

عنصر x ریشه چند جمله ای درجه n است

در حلقه D (h) (z). این چند جمله ای در D (h) [z] تجزیه ناپذیر است ، زیرا در غیر این صورت در n در حلقه D تجزیه می شود ، و چون در h خطی است ، یکی از عوامل باید نه به h ، بلکه فقط به z اما چنین عاملی نمی تواند وجود داشته باشد ، زیرا g (z) و f (z) جرم مشترک هستند.

در نتیجه ، عنصر x نسبت به میدان D (h) جبری درجه n است. این به این معنی است که (D (x): D (h)) = n

برای موارد زیر ، توجه کنید که چند جمله ای

فاکتورهای وابسته به z وجود ندارد (یعنی در D [z] قرار دارد). این عبارت زمانی صادق می ماند که h با مقدار آن f (x) / g (x) جایگزین شود و در مخرج g (x) ضرب شود ، در نتیجه چند جمله ای

g (z) f (x) - f (z) g (x)

حلقه D فاکتورهای وابسته به z ندارد.

سه نتیجه از قضیه اثبات شده حاصل می شود.

1. درجه تابع h - f (x) / g (x) فقط به زمینه های D (h) و D (x) بستگی دارد ، و نه به یک یا یک انتخاب دیگر از عنصر تولید کننده x.

2. برابری D (h) = D (x) اگر و فقط اگر h درجه 1 داشته باشد ، یعنی یک تابع کسری خطی باشد ، صادق است. این بدان معناست: عنصر مولد میدان ، علاوه بر عنصر x ، می تواند هر تابع کسری خطی x باشد و فقط چنین تابع باشد.

3. هرگونه خودگردانی میدان D (x) ، که هر عنصر میدان D را در جای خود قرار می دهد ، باید عنصر x را به عنصر مولد میدان برساند. برعکس ، اگر x به عنصر مولد x = (ax + b) / (cx + d) نگاشت شود و هر تابع j (x) به یک تابع j (x) باشد ، آنگاه خودگردانی بدست می آید که در آن تمام عناصر D در جای خود باقی بماند از این رو ،

همه خودشکلی های میدان D (x) بر روی میدان D جایگزینی های کسری خطی هستند

x = (ax + b) / (cx + d) ، ad - bc ¹ 0.

برای برخی از مطالعات هندسی مهم است

قضیه لوروت هر میدان میانی S که DÌSÍD (x) یک پسوند ماورایی ساده است: S = D (q).

اثبات یک عنصر x باید بر روی S جبری باشد ، زیرا اگر h هر عنصر S باشد که به میدان D تعلق ندارد ، همانطور که نشان داده شده است ، عنصر x در D (h) جبری است و بیشتر در مورد S جبری است بگذارید چند جمله ای S [z] با ضریب پیشتاز 1 و ریشه x شکل داشته باشد

f 0 (z) = z n + a 1 z n -1 + ... + a n (1)

اجازه دهید ساختار این چند جمله ای را بیابیم.

عناصر a i توابع منطقی x هستند. با ضرب در مخرج مشترک ، می توان آنها را به کل توابع منطقی تبدیل کرد و علاوه بر این ، چند جمله ای در رابطه با x با محتوی 1 می توان بدست آورد:

f (x ، z) = b 0 (x) z n + b 1 (x) z n-1 +… + b n (x)

درجه این چند جمله ای در x با m و در z با n نشان داده می شود.

ضرایب a = b i / b 0 از (1) همه نمی توانند مستقل از x باشند ، زیرا در غیر این صورت x یک عنصر جبری بیش از D خواهد بود. بنابراین یکی از آنها ، می گویند

q = a i = b i (x) / b 0 (x) ،

در واقع باید به x بستگی داشته باشد. ما آن را به شکل غیر قابل تقلیل می نویسیم:

درجات چند جمله ای g (x) و h (x) از m تجاوز نمی کند

g (z) - qh (z) = g (z) - (g (x) / h (x)) h (z)

(که صفر یکسان نیست) دارای ریشه z = x است و بنابراین بر روی f 0 (z) در حلقه S [z] قابل تقسیم است. اگر از این چند جمله ای های منطقی در x به چند جمله ای هایی برسیم که در x با محتوی 1 یکپارچه هستند ، رابطه تقسیم پذیری باقی می ماند و بدست می آوریم

h (x) g (z) -g (x) h (z) = q (x، z) f (x، z)

سمت چپ این برابری دارای درجه x است که از m تجاوز نمی کند. اما در سمت راست ، چند جمله ای f درجه m دارد. بنابراین ، درجه سمت چپ دقیقاً m است و q (x ، z) به x بستگی ندارد. با این حال ، عاملی که فقط به z بستگی دارد نمی تواند سمت چپ را تقسیم کند (به بالا مراجعه کنید). بنابراین q (x ، z) ثابت است:

h (x) g (z) -g (x) h (z) = qf (x، z)

از آنجا که وجود ثابت q مهم نیست ، ساختار چند جمله ای f (x ، z) به طور کامل شرح داده شده است. درجه چند جمله ای f (x ، z) در x برابر m است (به دلایل تقارن) و درجه z برابر با m است ، به طوری که m = n. حداقل یکی از درجه های چند جمله ای g (x) و h (x) در واقع باید به مقدار m برسند ، بنابراین ، تابع q نیز باید دارای درجه m در x باشد.

بنابراین ، از آنجا که از یک سو برابری

(D (x): D (q)) = t ،

و از طرف دیگر - برابری

سپس ، از آنجا که S حاوی D (q) است ،

نتیجه.

در کار دوره ، انواع مختلفی از پسوندهای زمینه عدد P در نظر گرفته شد:

پسوند میدان جبری ساده

پسوند کامپوزیت میدان جبری

برنامه های افزودنی جداگانه و غیر قابل تفکیک.

گسترش بی پایان میدان.

با تجزیه و تحلیل کار ، می توان نتیجه گیری کرد.

از افزونه هایی که در دو قسمت اول مورد بحث قرار گرفت ، مانند: