พื้นที่เชิงเส้น (เวกเตอร์) เวกเตอร์สเปซบนฟิลด์จำกัด ผลที่ง่ายที่สุดจากนิยามของเวคเตอร์สเปซ

ให้ P เป็นสนาม องค์ประกอบ a, b, ... Î NSจะโทร สเกลาร์.

คำจำกัดความ 1ระดับ วีวัตถุ (ธาตุ),,, ... ที่มีลักษณะตามอำเภอใจเรียกว่า ช่องว่างเวกเตอร์เหนือสนาม Pและเรียกองค์ประกอบของคลาส V ว่า เวกเตอร์ถ้า V ถูกปิดด้วยการดำเนินการ "+" และการดำเนินการคูณด้วยสเกลาร์จาก Р (เช่น ÎV + Î วี; "aÎ Р aÎV) และเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

A1: พีชคณิต - กลุ่มอาเบเลียน;

А 2: สำหรับ a, bÎР, สำหรับ ÎV ใดๆ, a (b) = (ab) - กฎหมายเชื่อมโยงทั่วไป

А 3: สำหรับ a, bÎР, สำหรับ ÎV ใดๆ, (a + b) = a + b;

A 4: สำหรับ a จาก P ใดๆ จาก V, a (+) = a + a (กฎการกระจายทั่วไป);

A 5: สำหรับ V ใด ๆ 1 = ถือโดยที่ 1 คือหน่วยของฟิลด์ P - คุณสมบัติ unitarity

องค์ประกอบของสนาม P จะถูกเรียกว่าสเกลาร์ และองค์ประกอบของเซต V - เวกเตอร์

ความคิดเห็นการคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ไม่ใช่การดำเนินการแบบไบนารีบนเซต V เนื่องจากเป็นการแมป P´V®V

ลองพิจารณาตัวอย่างช่องว่างเวกเตอร์

ตัวอย่างที่ 1พื้นที่เวกเตอร์ศูนย์ (ศูนย์มิติ) - ช่องว่าง V 0 = () - ประกอบด้วยเวกเตอร์ศูนย์หนึ่งตัว

และสำหรับ aÎP a =. ให้เราตรวจสอบความน่าพอใจของสัจพจน์ของปริภูมิเวกเตอร์

โปรดทราบว่าพื้นที่เวกเตอร์ศูนย์โดยพื้นฐานแล้วขึ้นอยู่กับสนาม P ดังนั้น ช่องว่างศูนย์เหนือสนามของจำนวนตรรกยะและเหนือสนามของจำนวนจริงจะถือว่าแตกต่างกัน แม้ว่าจะประกอบด้วยเวกเตอร์ศูนย์เดียวก็ตาม

ตัวอย่างที่ 2สนาม P คือพื้นที่เวกเตอร์บนสนาม P ให้ V = P ให้เราตรวจสอบความน่าพอใจของสัจพจน์ของปริภูมิเวกเตอร์ เนื่องจาก Р เป็นฟิลด์ ดังนั้น Р จึงเป็นกลุ่ม abelian แบบเติม และ А 1 ก็พอใจแล้ว เนื่องจากความสัมพันธภาพของการคูณมีความพึงพอใจใน P ดังนั้น A 2 จึงถูกเติมเต็ม สัจพจน์ A 3 และ A 4 เป็นที่พอใจเนื่องจากข้อเท็จจริงที่ว่าการคูณนั้นแจกแจงด้วยการบวกใน P. เนื่องจากมีองค์ประกอบของหน่วย 1 ในฟิลด์ P คุณสมบัติ unitarity A 5 จึงเป็นที่พอใจ ดังนั้น สนาม P จึงเป็นปริภูมิเวกเตอร์เหนือสนาม P

ตัวอย่างที่ 3ปริภูมิเวกเตอร์ n มิติทางคณิตศาสตร์

ให้ P เป็นสนาม พิจารณาเซต V = P n = ((a 1, a 2,…, a n) ½ a i Î P, i = 1,…, n) เรามาแนะนำการทำงานของเซต V ของการบวกเวกเตอร์และการคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ตามกฎต่อไปนี้:

"= (a 1, a 2,…, an), = (b 1, b 2,…, bn) Î V," aÎ P + = (a 1 + b 1, a 2 + b 2,…, an + พันล้าน) (1)

a = (aa 1, aa 2,…, aa n) (2)

องค์ประกอบของเซต V จะถูกเรียกว่า เวกเตอร์ n มิติ... เวกเตอร์สองมิติ n เรียกว่าเท่ากัน ถ้าองค์ประกอบที่สอดคล้องกัน (พิกัด) เท่ากัน ให้เราแสดงว่า V เป็นเวคเตอร์สเปซบนสนาม P ตามมาจากนิยามของการดำเนินการของการบวกเวกเตอร์และการคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ว่า V ถูกปิดภายใต้การดำเนินการเหล่านี้ เนื่องจากการเพิ่มองค์ประกอบจาก V ลดลงเป็นการเพิ่มองค์ประกอบของฟิลด์ P และ P เป็นกลุ่ม abelian ที่เติมเข้าไป ดังนั้น V จึงเป็นกลุ่ม abelian ที่เติมแต่งด้วย นอกจากนี้ = โดยที่ 0 คือศูนย์ของฟิลด์ P, - = (-a 1, -a 2, ..., -a n) ดังนั้น A 1 จึงถูกเติมเต็ม เนื่องจากการคูณขององค์ประกอบจาก V ด้วยองค์ประกอบจาก P ลดลงเป็นการคูณองค์ประกอบของฟิลด์ P ดังนั้น:

และ 2 ถูกเติมเต็มเนื่องจากความสัมพันธ์ของการคูณด้วย P;

A 3 และ A 4 ถูกเติมเต็มเนื่องจากการแจกแจงของการคูณด้วยการบวกด้วย P;

A 5 ถูกเติมเต็มเนื่องจาก 1 Î P เป็นองค์ประกอบที่เป็นกลางเกี่ยวกับการคูณด้วย P

คำจำกัดความ 2ชุด V = P n พร้อมการดำเนินการที่กำหนดโดยสูตร (1) และ (2) เรียกว่าช่องว่างเวกเตอร์ n มิติทางคณิตศาสตร์เหนือสนาม P

การบรรยาย 6. พื้นที่เวกเตอร์

คำถามหลัก

1. ปริภูมิเชิงเส้นเวกเตอร์

2. พื้นฐานและขนาดของพื้นที่

3. การวางแนวของพื้นที่

4. การสลายตัวของเวกเตอร์ในแง่ของพื้นฐาน

5. พิกัดเวกเตอร์

1. ปริภูมิเชิงเส้นเวกเตอร์

ชุดประกอบด้วยองค์ประกอบในลักษณะใด ๆ ที่กำหนดการดำเนินการเชิงเส้น: การเพิ่มสององค์ประกอบและการคูณขององค์ประกอบด้วยตัวเลขเรียกว่า ช่องว่างและองค์ประกอบคือ เวกเตอร์ของช่องว่างนี้และถูกกำหนดในลักษณะเดียวกับปริมาณเวกเตอร์ในเรขาคณิต: เวกเตอร์ตามกฎแล้วช่องว่างที่เป็นนามธรรมนั้นไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับเวกเตอร์เรขาคณิตธรรมดา องค์ประกอบของช่องว่างนามธรรมสามารถเป็นฟังก์ชัน ระบบของตัวเลข เมทริกซ์ ฯลฯ และในกรณีเฉพาะ เวกเตอร์ธรรมดา ดังนั้นช่องว่างดังกล่าวจึงมักเรียกว่า ช่องว่างเวกเตอร์ .

ช่องว่างเวกเตอร์คือ ตัวอย่างเช่น, ชุดของเวกเตอร์ colli-nonary แสดงแทน วี1 , ชุดของ coplanar vectors วี2 , ชุดเวกเตอร์ธรรมดา (พื้นที่จริง) วี3 .

สำหรับกรณีนี้โดยเฉพาะ สามารถให้คำจำกัดความของเวคเตอร์สเปซต่อไปนี้ได้

คำจำกัดความ 1เซตของเวกเตอร์เรียกว่า ช่องว่างเวกเตอร์ถ้าผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ใดๆ ของเซตเป็นเวกเตอร์ของเซตนี้ด้วย เวกเตอร์เองเรียกว่า องค์ประกอบพื้นที่เวกเตอร์

ที่สำคัญกว่าทั้งในเชิงทฤษฎีและเชิงประยุกต์คือแนวคิดทั่วไป (นามธรรม) ของปริภูมิเวกเตอร์

คำจำกัดความ 2มากมาย NSองค์ประกอบซึ่งผลรวมถูกกำหนดไว้สำหรับสององค์ประกอบและสำหรับองค์ประกอบใด ๆ https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_75.gif "width =" 68 "height =" 20 "> เรียกว่า เวกเตอร์(หรือเชิงเส้น) ช่องว่างและองค์ประกอบของมันเป็นเวกเตอร์ ถ้าการดำเนินการของการบวกเวกเตอร์และการคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลขเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้ ( สัจพจน์) :

1) การเพิ่มเป็นการสับเปลี่ยน เช่น gif "width =" 184 "height =" 25 ">;

3) มีองค์ประกอบดังกล่าว (เวกเตอร์ศูนย์) ที่สำหรับ https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif "width =" 45 "height =" 20 ">. Gif" width = " 99 "height =" 27 ">;

5) สำหรับเวกเตอร์ใด ๆ และหมายเลขใด ๆ λ ความเท่าเทียมกันถือ;

6) สำหรับเวกเตอร์และตัวเลขใดๆ λ และ µ ความเท่าเทียมกันถูกต้อง https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif "width =" 45 height = 20 "height =" 20 "> และตัวเลขใด ๆ λ และ µ ยุติธรรม ;

8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif "width =" 45 "height =" 20 ">

จากสัจพจน์ที่กำหนดปริภูมิเวกเตอร์ให้ทำตามง่ายที่สุด ผลที่ตามมา :

1. ในปริภูมิเวกเตอร์ มีศูนย์เพียงตัวเดียว - องค์ประกอบ - เวกเตอร์ศูนย์

2. ในพื้นที่เวกเตอร์ เวกเตอร์แต่ละตัวมีเวกเตอร์ตรงข้ามกัน

3. สำหรับแต่ละองค์ประกอบมีความเท่าเทียมกัน

4. สำหรับจำนวนจริงใดๆ λ และเวกเตอร์ศูนย์ https://pandia.ru/text/80/142/images/image017_45.gif "width =" 68 "height =" 25 ">

5..gif "width =" 145 "height =" 28 ">

6..gif "width =" 15 "height =" 19 src = ">. Gif" width = "71" height = "24 src ="> เป็นเวกเตอร์ที่ตอบสนองความเท่าเทียมกัน https://pandia.ru/text /80 /142/images/image026_26.gif "width =" 73 "height =" 24 ">

ดังนั้น แท้จริงแล้ว เซตของเวกเตอร์เรขาคณิตทั้งหมดเป็นสเปซเชิงเส้น (เวกเตอร์) เนื่องจากสำหรับองค์ประกอบของเซ็ตนี้ จะมีการกำหนดการกระทำของการบวกและการคูณด้วยตัวเลขที่ตอบสนองสัจพจน์ที่กำหนดไว้

2. พื้นฐานและขนาดของพื้นที่

แนวคิดที่สำคัญของปริภูมิเวกเตอร์คือแนวคิดของพื้นฐานและมิติ

คำนิยาม.เซตของเวกเตอร์อิสระเชิงเส้น ถ่ายในลำดับที่แน่นอน โดยที่เวกเตอร์ใดๆ ของช่องว่างถูกแสดงเป็นเส้นตรง เรียกว่า พื้นฐานพื้นที่นี้ เวกเตอร์ ส่วนที่เป็นส่วนประกอบของอวกาศเรียกว่า ขั้นพื้นฐาน .

พื้นฐานของเซตของเวกเตอร์ที่อยู่บนเส้นตรงใดก็ได้ถือได้ว่าเป็นหนึ่งในเวกเตอร์เส้นตรงนี้

พื้นฐานบนเครื่องบินให้ตั้งชื่อเวกเตอร์ที่ไม่ใช่คอลิเนียร์สองตัวบนเครื่องบินลำนี้ โดยเรียงลำดับที่แน่นอน https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif "width =" 61 "height =" 24 ">

หากเวกเตอร์ฐานตั้งฉากเป็นคู่ (มุมฉาก) เรียกว่าฐาน มุมฉากและถ้าเวกเตอร์เหล่านี้มีความยาวเท่ากับหนึ่ง เรียกว่า ฐาน orthonormal .

เวกเตอร์อิสระเชิงเส้นจำนวนมากที่สุดในอวกาศเรียกว่า มิติของสเปซนี้ กล่าวคือ ขนาดของสเปซนั้นตรงกับจำนวนของเวกเตอร์พื้นฐานของสเปซนี้

ดังนั้น ตามคำจำกัดความเหล่านี้:

1. พื้นที่มิติเดียว วี1 เป็นเส้นตรงและฐานประกอบด้วย หนึ่ง collinearเวกเตอร์ https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif "width =" 39 "height =" 23 src = ">

3. พื้นที่ธรรมดาคือพื้นที่สามมิติ วี3 ซึ่งมีพื้นฐานมาจาก สามไม่ใช่ coplanarเวกเตอร์

จากที่นี่ เราจะเห็นว่าจำนวนเวกเตอร์ฐานบนเส้นตรง บนระนาบ ในพื้นที่จริง ตรงกับสิ่งที่ในเรขาคณิต มักจะเรียกว่า จำนวนของมิติ (มิติ) ของเส้นตรง ระนาบ พื้นที่ ดังนั้นจึงเป็นเรื่องปกติที่จะแนะนำคำจำกัดความที่กว้างกว่า

คำนิยาม.ช่องว่างเวกเตอร์ NSเรียกว่า NS- มิติถ้ามีไม่เกิน NSเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นและแสดง NS NS... ตัวเลข NSเรียกว่า มิติช่องว่าง.

ตามมิติช่องว่างแบ่งออกเป็น ขอบเขตมิติและ ไม่มีที่สิ้นสุด... ขนาดของช่องว่างเป็นศูนย์โดยนิยามถือว่าเท่ากับศูนย์

หมายเหตุ 1.ในแต่ละช่องว่าง คุณสามารถระบุฐานได้มากเท่าที่คุณต้องการ แต่ในกรณีนี้ ฐานทั้งหมดของช่องว่างที่กำหนดประกอบด้วยเวกเตอร์จำนวนเท่ากัน

หมายเหตุ 2วี NS- ปริภูมิเวกเตอร์มิติ ฐานคือเซตใด ๆ ที่เรียงลำดับ NSเวกเตอร์อิสระเชิงเส้น

3. การวางแนวของพื้นที่

ให้เวกเตอร์พื้นฐานในช่องว่าง วี3 มี เริ่มต้นร่วมกันและ สั่งนั่นคือมันถูกระบุว่าเวกเตอร์ใดที่ถือว่าเป็นอันแรกซึ่งเป็นอันที่สองและอันไหนเป็นอันที่สาม ตัวอย่างเช่น โดยพื้นฐานแล้ว เวกเตอร์จะเรียงลำดับตามดัชนี

สำหรับ เพื่อปรับพื้นที่คุณต้องตั้งพื้นฐานและประกาศให้เป็นบวก .

สามารถแสดงให้เห็นได้ว่าเซตของฐานทั้งหมดของสเปซตกอยู่ในสองคลาส นั่นคือ แบ่งเป็นสองเซ็ตย่อยที่ไม่ปะติดปะต่อกัน

ก) ฐานทั้งหมดที่อยู่ในเซตย่อย (คลาส) มี เหมือนปฐมนิเทศ (ฐานของชื่อเดียวกัน);

ข) สองฐานใด ๆ ที่เป็นของ หลากหลายชุดย่อย (คลาส) มี ตรงข้ามปฐมนิเทศ, ( ตรงข้ามฐาน)

หากหนึ่งในสองคลาสของฐานของช่องว่างถูกประกาศให้เป็นค่าบวกและอีกอันเป็นค่าลบพวกเขาจะบอกว่าช่องว่างนี้ มุ่งเน้น .

บ่อยครั้งในการวางแนวของอวกาศเรียกว่าฐานบางฐาน ขวาและคนอื่น ๆ - ซ้าย .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif "width =" 61 "height =" 24 src = "> ถูกเรียก ขวาหากสังเกตจากจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ที่สาม การหมุนที่สั้นที่สุดของเวกเตอร์แรก https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif "width =" 16 "height =" 23 "> จะดำเนินการ ทวนเข็มนาฬิกา(รูปที่ 1.8, ก)

https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif "width =" 16 "height =" 24 ">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif "width =" 15 "height =" 23 ">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif "width =" 13 "height =" 19 ">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif "width =" 16 "height =" 23 ">

ข้าว. 1.8. ฐานขวา (ก) และฐานซ้าย (ข)

โดยปกติพื้นฐานที่ถูกต้องของพื้นที่จะถูกประกาศเป็นพื้นฐานเชิงบวก

ฐานพื้นที่ด้านขวา (ซ้าย) สามารถกำหนดได้โดยใช้กฎของสกรูหรือไม้กันสั่น "ขวา" ("ซ้าย")

โดยการเปรียบเทียบกับสิ่งนี้ แนวคิดของ ขวา และ ซ้าย แฝดสามเวกเตอร์ที่ไม่เป็นไปตามข้อกำหนดที่ต้องสั่งซื้อ (รูปที่ 1.8)

ดังนั้น ในกรณีทั่วไปเวกเตอร์ที่ไม่ประกอบสองลำดับสองลำดับมีการวางแนวเดียวกัน (ที่มีชื่อเดียวกัน) ในช่องว่าง วี3 ถ้าทั้งคู่อยู่ทางขวาหรือทั้งสองทางซ้าย และ - ทิศทางตรงกันข้าม (ตรงกันข้าม) ถ้าทางใดทางหนึ่งอยู่ทางขวาและอีกทางหนึ่งอยู่ทางซ้าย

เช่นเดียวกันในกรณีของช่องว่าง วี2 (เครื่องบิน).

4. การสลายตัวของเวกเตอร์ในแง่ของพื้นฐาน

เพื่อความง่ายในการให้เหตุผล เราจะพิจารณาคำถามนี้โดยใช้ตัวอย่างของปริภูมิเวกเตอร์สามมิติ NS3 .

ให้ https://pandia.ru/text/80/142/images/image021_36.gif "width =" 15 "height =" 19 "> เป็นเวกเตอร์ตามอำเภอใจของพื้นที่นี้

ปริภูมิเวกเตอร์ (เชิงเส้น) คือชุดของเวกเตอร์ (องค์ประกอบ) ที่มีองค์ประกอบจริง ซึ่งการดำเนินการของการเพิ่มเวกเตอร์และการคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลขถูกกำหนดให้เป็นไปตามสัจพจน์ (คุณสมบัติ) บางอย่าง

1) x+ที่=ที่+NS(การเรียงสับเปลี่ยนเพิ่มเติม);

2)(NS+ที่)+z=NS+(y+z) (การเชื่อมโยงของการบวก);

3) มีเวกเตอร์ศูนย์ 0 (หรือเวกเตอร์ว่าง) ที่เป็นไปตามเงื่อนไข NS+ 0 =NS:สำหรับเวกเตอร์ใด ๆ NS;

4) สำหรับเวกเตอร์ใดๆ NSมีเวกเตอร์ตรงข้าม ที่ดังนั้น NS+ที่ = 0 ,

5) 1 x=NS,

6) NS(bx)=(อะบี)NS(ความเชื่อมโยงของการคูณ);

7) (NS+NS)NS=อัค+bx(คุณสมบัติการกระจายตามปัจจัยตัวเลข);

8) NS(NS+ที่)=อัค+ใช่(คุณสมบัติการกระจายเทียบกับปัจจัยเวกเตอร์)

เส้นตรง (เวกเตอร์) ช่องว่าง V (P) เหนือสนาม P เป็นเซตว่าง V องค์ประกอบของเซต V เรียกว่าเวกเตอร์ และองค์ประกอบของสนาม P เรียกว่าสเกลาร์

คุณสมบัติที่ง่ายที่สุด

1. vector space คือกลุ่ม abelian (กลุ่มที่การดำเนินการกลุ่มเป็นแบบสับเปลี่ยน การดำเนินการกลุ่มในกลุ่ม abelian มักจะเรียกว่า "การบวก" และแสดงด้วยเครื่องหมาย +)

2. องค์ประกอบที่เป็นกลางเป็นเพียงองค์ประกอบเดียวที่ตามมาจากคุณสมบัติของกลุ่มใด ๆ

3. สำหรับองค์ประกอบใด ๆ องค์ประกอบที่ตรงกันข้ามจะไม่ซ้ำกันซึ่งตามมาจากคุณสมบัติของกลุ่ม

4. (- 1) x = - x สำหรับ x є V.

5. (- α) x = α (–x) = - (αx) สำหรับα є P และ x є V.

การแสดงออก a 1 e 1+a 2 e 2+ … +a n e n(1) เรียกว่าผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ e 1, e 2, ..., e nมีค่าสัมประสิทธิ์ 1, 2,..., NS.การรวมเชิงเส้น (1) เรียกว่าไม่สำคัญถ้าอย่างน้อยหนึ่งในสัมประสิทธิ์ a 1, 2, ..., nไม่ใช่ศูนย์ เวกเตอร์ e 1, e 2, ..., e nเรียกว่าขึ้นอยู่กับเชิงเส้นถ้ามีชุดค่าผสมที่ไม่สำคัญ (1) ซึ่งเป็นเวกเตอร์ศูนย์ มิฉะนั้น (นั่นคือ ถ้าเป็นเพียงการรวมกันของเวกเตอร์เล็กน้อย e 1, e 2, ..., e nเท่ากับเวกเตอร์ศูนย์) เวกเตอร์ e 1, e 2, ..., e nเรียกว่าอิสระเชิงเส้น

ขนาดของพื้นที่คือจำนวนเวกเตอร์ LZ สูงสุดที่บรรจุอยู่ในนั้น

ช่องว่างเวกเตอร์เรียกว่า n- มิติ (หรือมี “มิติ NS "), ถ้ามี NSองค์ประกอบอิสระเชิงเส้น อี 1, อี 2, ..., อี น,และอื่นๆ NS+ 1 องค์ประกอบขึ้นอยู่กับเชิงเส้น (เงื่อนไขทั่วไป B) ช่องว่างเวกเตอร์เรียกว่าอนันต์มิติถ้าสำหรับธรรมชาติใด ๆ NSมีอยู่ NSเวกเตอร์อิสระเชิงเส้น ใด ๆ NSเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นของ n- มิติ ช่องว่างเวกเตอร์เป็นพื้นฐานของพื้นที่นี้ ถ้า e 1, e 2, ..., e n- พื้นฐาน ช่องว่างเวกเตอร์แล้วเวกเตอร์ใดๆ NSของสเปซนี้สามารถแสดงได้โดยไม่ซ้ำกันเป็นการรวมกันเชิงเส้นของเวกเตอร์พื้นฐาน: NS=a 1 e 1+a 2 e 2+... +a n e n.
นอกจากนี้ ตัวเลข a 1, 2, ..., nเรียกว่าพิกัดของเวกเตอร์ NSในพื้นฐานนี้

VECTOR SPACE (พื้นที่เชิงเส้น) หนึ่งในแนวคิดพื้นฐานของพีชคณิต เป็นการสรุปแนวคิดของคอลเลกชันของเวกเตอร์ (ฟรี) ในปริภูมิเวกเตอร์ แทนที่จะเป็นเวกเตอร์ จะพิจารณาอ็อบเจกต์ใดๆ ที่สามารถเพิ่มและคูณด้วยตัวเลขได้ ในกรณีนี้ จำเป็นต้องมีคุณสมบัติพีชคณิตพื้นฐานของการดำเนินการเหล่านี้เหมือนกับเวกเตอร์ในเรขาคณิตเบื้องต้น ในคำจำกัดความที่แน่นอน ตัวเลขจะถูกแทนที่ด้วยองค์ประกอบของฟิลด์ K ใดๆ พื้นที่เวกเตอร์บนฟิลด์ K คือชุด V ที่มีการดำเนินการของการเพิ่มองค์ประกอบจาก V และการดำเนินการของการคูณองค์ประกอบจาก V ด้วยองค์ประกอบจากฟิลด์ K ซึ่ง มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

x + y = y + x สำหรับ x, y จาก V นั่นคือในแง่ของการบวก V คือกลุ่ม abelian;

λ (x + y) = λ χ + λy สำหรับ λ จาก K และ x, y จาก V;

(λ + μ) х = λх + μх สำหรับ λ ใดๆ, μ จาก К และ х จาก V;

(λ μ) х = λ (μх) สำหรับ λ ใด ๆ μ จาก К และ х จาก V;

1x = x สำหรับ x ใดๆ จาก V โดยที่ 1 หมายถึงหน่วยของสนาม K

ตัวอย่างของปริภูมิเวกเตอร์ ได้แก่ ชุด L 1, L 2 และ L 3 ของเวกเตอร์ทั้งหมดจากเรขาคณิตเบื้องต้น ตามลำดับ บนเส้นตรง ระนาบ และช่องว่างด้วยการดำเนินการตามปกติของการบวกเวกเตอร์และการคูณด้วยตัวเลข พิกัดเวกเตอร์พิกัด K n องค์ประกอบที่เป็นสตริงที่เป็นไปได้ทั้งหมด (เวกเตอร์) ที่มีความยาว n กับองค์ประกอบจากฟิลด์ K และการดำเนินการถูกกำหนดโดยสูตร

ชุด F (M, K) ของฟังก์ชันทั้งหมดที่กำหนดไว้ในชุดค่าคงที่ M และการรับค่าในฟิลด์ K โดยมีการดำเนินการตามปกติในฟังก์ชัน:

องค์ประกอบของช่องว่างเวกเตอร์ е 1 ..., е n ถูกเรียกอย่างอิสระเชิงเส้นถ้ามันตามมาจากความเท่าเทียมกัน λ 1 e 1 + ... + λ n е n = 0 Є V ทั้งหมดนั้น λ 1, λ 2, .. ., λ n = 0 Є K. มิฉะนั้น องค์ประกอบ е 1, е 2, ···> е n จะถูกเรียกขึ้นอยู่กับเชิงเส้น หากในปริภูมิเวกเตอร์ V ใดๆ n + 1 องค์ประกอบ e 1, ..., e n + 1 นั้นขึ้นอยู่กับเชิงเส้นและมีองค์ประกอบอิสระเชิงเส้น n ตัว ดังนั้น V จะถูกเรียกว่าปริภูมิเวกเตอร์ n มิติ และ n คือปริภูมิเวกเตอร์ V หากในปริภูมิเวกเตอร์ V สำหรับ n ธรรมชาติใดๆ มีเวกเตอร์อิสระเชิงเส้น n ตัว ดังนั้น V จะถูกเรียกว่าปริภูมิเวกเตอร์มิติอนันต์ ตัวอย่างเช่น ปริภูมิเวกเตอร์ L 1, L 2, L 3 และ K n ตามลำดับ 1-, 2-, 3- และ n- มิติ; ถ้า M เป็นเซตอนันต์ เวกเตอร์สเปซ F (M, K) จะเป็นอนันต์มิติ

เวกเตอร์สเปซ V และ U บนฟิลด์ K จะถูกเรียกว่า isomorphic ถ้ามีการทำแผนที่แบบหนึ่งต่อหนึ่ง φ: V -> U เช่นนั้น φ (x + y) = φ (x) + φ (y) สำหรับ x ใดๆ , y จาก V และ φ (λх) = λ φ (х) สำหรับ λ ใดๆ จาก К และ х จาก V. Isomorphic vector space นั้นแยกไม่ออกเกี่ยวกับพีชคณิต การจำแนกประเภทของเวคเตอร์ที่มีมิติจำกัดจนถึง isomorphism ถูกกำหนดโดยมิติของพวกมัน: ปริภูมิเวกเตอร์ n มิติใดๆ เหนือสนาม K จะเป็น isomorphic กับเวคเตอร์พิกัด K n ดูเพิ่มเติมที่ Hilbert Space, พีชคณิตเชิงเส้น

ในบทความเกี่ยวกับเวกเตอร์ n มิติ เรามาถึงแนวคิดของปริภูมิเชิงเส้นที่สร้างโดยชุดของเวกเตอร์ n มิติ ตอนนี้ เราต้องพิจารณาแนวคิดที่สำคัญไม่น้อยไปกว่านี้ เช่น มิติและพื้นฐานของปริภูมิเวกเตอร์ พวกเขาเกี่ยวข้องโดยตรงกับแนวคิดของระบบเวกเตอร์อิสระเชิงเส้น ดังนั้นจึงขอแนะนำให้เตือนตัวเองถึงพื้นฐานของหัวข้อนี้เพิ่มเติม

มาแนะนำคำจำกัดความกัน

คำจำกัดความ 1

มิติของสเปซเวกเตอร์- จำนวนที่ตรงกับจำนวนสูงสุดของเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นในพื้นที่นี้

คำจำกัดความ 2

พื้นฐานพื้นที่เวกเตอร์- ชุดของเวกเตอร์อิสระเชิงเส้น จัดลำดับและเท่ากับจำนวนมิติของพื้นที่

พิจารณาช่องว่างของเวกเตอร์ n ขนาดของมันเท่ากับ n ตามลำดับ ลองใช้ระบบของเวกเตอร์หน่วย n:

e (1) = (1, 0,..., 0) e (2) = (0, 1,..., 0) e (n) = (0, 0,..., 1)

เราใช้เวกเตอร์เหล่านี้เป็นส่วนประกอบของเมทริกซ์ A: มันจะเป็นหน่วยที่มีขนาด n คูณ n อันดับของเมทริกซ์นี้คือ n ดังนั้นระบบเวกเตอร์ e (1), e (2), ... ... , e (n) เป็นอิสระเชิงเส้น ยิ่งกว่านั้น เป็นไปไม่ได้ที่จะเพิ่มเวกเตอร์ตัวเดียวให้กับระบบโดยไม่ละเมิดความเป็นอิสระเชิงเส้นของมัน

เนื่องจากจำนวนเวกเตอร์ในระบบคือ n มิติของช่องว่างของเวกเตอร์มิติ n คือ n และเวกเตอร์หน่วยคือ e (1), e (2), ... ... , e (n) เป็นพื้นฐานของช่องว่างที่ระบุ

จากคำจำกัดความที่ได้รับ เราสรุปได้ว่า ระบบใดๆ ของเวกเตอร์มิติ n ซึ่งจำนวนเวกเตอร์น้อยกว่า n ไม่ใช่พื้นฐานของช่องว่าง

ถ้าเราสลับเวกเตอร์ตัวแรกและตัวที่สอง เราจะได้ระบบของเวกเตอร์ e (2), e (1), ... ... , อี (น). มันจะเป็นพื้นฐานของพื้นที่เวกเตอร์ n มิติด้วย มาเขียนเมทริกซ์กัน โดยหาเวกเตอร์ของระบบผลลัพธ์เป็นแถวกัน สามารถหาเมทริกซ์ได้จากเมทริกซ์เอกลักษณ์โดยเรียงสับเปลี่ยนสองแถวแรก ลำดับของมันจะเท่ากับ n ระบบ e (2), e (1),. ... ... , e (n) เป็นอิสระเชิงเส้นและเป็นฐานของสเปซเวกเตอร์ n มิติ

โดยการจัดเรียงเวกเตอร์อื่นๆ ในระบบดั้งเดิม เราได้รับพื้นฐานเพิ่มเติมหนึ่งรายการ

เราสามารถหาระบบอิสระเชิงเส้นตรงของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่หน่วยได้ และมันจะแสดงฐานของสเปซเวกเตอร์ n มิติด้วย

คำจำกัดความ 3

พื้นที่เวกเตอร์ที่มีมิติ n มีฐานมากเท่ากับระบบอิสระเชิงเส้นของเวกเตอร์มิติ n ของจำนวน n

ระนาบเป็นสเปซสองมิติ - พื้นฐานของมันจะเป็นเวกเตอร์ใดๆ ที่ไม่ใช่คอลิเนียร์สองตัว เวกเตอร์ที่ไม่ใช่แนวระนาบสามตัวใดๆ จะทำหน้าที่เป็นฐานของพื้นที่สามมิติ

ลองพิจารณาการประยุกต์ใช้ทฤษฎีนี้ด้วยตัวอย่างเฉพาะ

ตัวอย่างที่ 1

ข้อมูลเบื้องต้น:เวกเตอร์

a = (3, - 2, 1) b = (2, 1, 2) c = (3, - 1, - 2)

จำเป็นต้องพิจารณาว่าเวกเตอร์ที่ระบุนั้นเป็นพื้นฐานของพื้นที่เวกเตอร์สามมิติหรือไม่

สารละลาย

เพื่อแก้ปัญหาที่เกิดขึ้น เราตรวจสอบระบบเวกเตอร์ที่กำหนดสำหรับการพึ่งพาเชิงเส้น มาเขียนเมทริกซ์กัน โดยที่แถวเป็นพิกัดของเวกเตอร์กัน ให้เรากำหนดอันดับของเมทริกซ์

A = 3 2 3 - 2 1 - 1 1 2 - 2 A = 3 - 2 1 2 1 2 3 - 1 - 2 = 3 1 (- 2) + (- 2) 2 3 + 1 2 (- 1) - 1 1 3 - (- 2) 2 (- 2) - 3 2 (- 1) = = - 25 ≠ 0 ⇒ R ank (A) = 3

ดังนั้น เวกเตอร์ที่ระบุโดยเงื่อนไขของปัญหาจึงเป็นอิสระเชิงเส้น และจำนวนของเวกเตอร์นั้นเท่ากับมิติของปริภูมิเวกเตอร์ ซึ่งเป็นพื้นฐานของพื้นที่เวกเตอร์

ตอบ:เวกเตอร์ที่ระบุเป็นพื้นฐานของพื้นที่เวกเตอร์

ตัวอย่าง 2

ข้อมูลเบื้องต้น:เวกเตอร์

a = (3, - 2, 1) b = (2, 1, 2) c = (3, - 1, - 2) d = (0, 1, 2)

จำเป็นต้องตรวจสอบว่าระบบที่ระบุของเวกเตอร์สามารถเป็นพื้นฐานของพื้นที่สามมิติได้หรือไม่

สารละลาย

ระบบของเวกเตอร์ที่ระบุในข้อความแจ้งปัญหาขึ้นอยู่กับเชิงเส้น เนื่องจาก จำนวนสูงสุดของเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นคือ 3 ดังนั้น ระบบที่ระบุของเวกเตอร์จึงไม่สามารถใช้เป็นพื้นฐานสำหรับปริภูมิเวกเตอร์สามมิติได้ แต่เป็นที่น่าสังเกตว่าระบบย่อยของระบบเดิม a = (3, - 2, 1), b = (2, 1, 2), c = (3, - 1, - 2) เป็นพื้นฐาน

ตอบ:ระบบที่กำหนดของเวกเตอร์ไม่ใช่พื้นฐาน

ตัวอย่างที่ 3

ข้อมูลเบื้องต้น:เวกเตอร์

a = (1, 2, 3, 3) b = (2, 5, 6, 8) c = (1, 3, 2, 4) d = (2, 5, 4, 7)

พวกเขาสามารถเป็นพื้นฐานของพื้นที่สี่มิติได้หรือไม่?

สารละลาย

มาเขียนเมทริกซ์โดยใช้พิกัดของเวกเตอร์ที่กำหนดเป็นแถวกัน

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

โดยใช้วิธีเกาส์ เรากำหนดอันดับของเมทริกซ์:

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 - 1 1 0 1 - 2 1 ~ ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 - 2 - 1 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R ank (A) = 4

ดังนั้น ระบบของเวกเตอร์ที่กำหนดจึงเป็นอิสระเชิงเส้น และจำนวนของมันเท่ากับมิติของเวคเตอร์สเปซ ซึ่งเป็นพื้นฐานของเวคเตอร์สี่มิติ

ตอบ:เวกเตอร์ที่กำหนดเป็นพื้นฐานของพื้นที่สี่มิติ

ตัวอย่างที่ 4

ข้อมูลเบื้องต้น:เวกเตอร์

a (1) = (1, 2, - 1, - 2) a (2) = (0, 2, 1, - 3) a (3) = (1, 0, 0, 5)

พวกเขาเป็นพื้นฐานสำหรับพื้นที่ 4 มิติหรือไม่?

สารละลาย

ระบบเดิมของเวกเตอร์เป็นอิสระเชิงเส้น แต่จำนวนเวกเตอร์ในนั้นไม่เพียงพอที่จะเป็นพื้นฐานของพื้นที่สี่มิติ

ตอบ:ไม่ พวกเขาทำไม่ได้

การขยายตัวของเวกเตอร์ในฐาน

สมมุติว่าเวกเตอร์ตามอำเภอใจ e (1), e (2), ... ... , e (n) เป็นฐานของปริภูมิเวกเตอร์ n ลองบวกเวกเตอร์ n มิติ x → เข้าไป: ระบบผลลัพธ์ของเวกเตอร์จะขึ้นอยู่กับเชิงเส้น คุณสมบัติของการพึ่งพาอาศัยกันเชิงเส้นระบุว่าอย่างน้อยหนึ่งในเวกเตอร์ของระบบดังกล่าวสามารถแสดงเป็นเส้นตรงในรูปของเวกเตอร์อื่น การปรับรูปแบบคำสั่งนี้ใหม่ เราสามารถพูดได้ว่าอย่างน้อยหนึ่งในเวกเตอร์ของระบบที่ขึ้นกับเชิงเส้นสามารถขยายได้ในแง่ของเวกเตอร์ที่เหลือ

ดังนั้นเราจึงมาถึงการกำหนดทฤษฎีบทที่สำคัญที่สุด:

คำจำกัดความ 4

เวกเตอร์ใดๆ ของสเปซเวคเตอร์ n มิติใดๆ ถูกย่อยสลายอย่างเฉพาะตัวในฐาน

หลักฐาน 1

ให้เราพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้:

กำหนดพื้นฐานของพื้นที่เวกเตอร์ n มิติ - e (1), e (2), ... ... , อี (น). ให้เราทำให้ระบบขึ้นอยู่กับเชิงเส้นโดยการเพิ่มเวกเตอร์ n มิติ x → เข้าไป เวกเตอร์นี้สามารถแสดงเป็นเส้นตรงในรูปของเวกเตอร์ดั้งเดิม e:

x = x 1 อี (1) + x 2 อี (2) + ... ... + x n e (n) โดยที่ x 1, x 2,. ... ... , x n - ตัวเลขบางตัว

ตอนนี้ให้เราพิสูจน์ว่าการสลายตัวดังกล่าวมีลักษณะเฉพาะ สมมติว่าไม่เป็นเช่นนั้นและมีการสลายตัวที่คล้ายกันอีกประการหนึ่ง:

x = x ~ 1 อี (1) + x 2 ~ อี (2) + ... ... + x ~ ne (n) โดยที่ x ~ 1, x ~ 2,. ... ... , x ~ n คือตัวเลขบางตัว

ให้เราลบจากด้านซ้ายและด้านขวาของความเท่าเทียมกันนี้ ตามลำดับ ด้านซ้ายและด้านขวาของความเท่าเทียมกัน x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + ... ... + x n e (n). เราได้รับ:

0 = (x ~ 1 - x 1) e (1) + (x ~ 2 - x 2) e (2) + ... ... (x ~ n - x n) อี (2)

ระบบของเวกเตอร์พื้นฐาน e (1), e (2), ... ... , e (n) เป็นอิสระเชิงเส้น; โดยคำจำกัดความของความเป็นอิสระเชิงเส้นของระบบเวกเตอร์ ความเท่าเทียมกันข้างต้นเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อสัมประสิทธิ์ทั้งหมดเป็น (x ~ 1 - x 1), (x ~ 2 - x 2), ... ... , (x ~ n - xn) จะเท่ากับศูนย์ จากที่มันจะยุติธรรม: x 1 = x ~ 1, x 2 = x ~ 2,. ... ... , x n = x ~ n. และนี่พิสูจน์วิธีเดียวที่จะขยายเวกเตอร์ในแง่ของฐาน

ในกรณีนี้สัมประสิทธิ์ x 1, x 2, ... ... , x n เรียกว่าพิกัดของเวกเตอร์ x → ในฐาน e (1), e (2),. ... ... , อี (น).

ทฤษฎีที่ได้รับการพิสูจน์แล้วทำให้นิพจน์ "ได้รับเวกเตอร์มิติ n x = (x 1, x 2,..., X n)": พิจารณาเวกเตอร์ x → n - ช่องว่างเวกเตอร์มิติและให้พิกัดใน พื้นฐานบางอย่าง เป็นที่ชัดเจนว่าเวกเตอร์เดียวกันในฐานที่แตกต่างกันของปริภูมิ n มิติจะมีพิกัดต่างกัน

ลองพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้: สมมติว่าในบางพื้นฐานของปริภูมิเวกเตอร์มิติ n ระบบของเวกเตอร์อิสระเชิงเส้น n ถูกกำหนด

และยังให้เวกเตอร์ x = (x 1, x 2,..., x n)

เวกเตอร์ e 1 (1), e 2 (2),. ... ... , e n (n) ในกรณีนี้ก็เป็นพื้นฐานของเวคเตอร์สเปซนี้ด้วย

สมมติว่าจำเป็นต้องกำหนดพิกัดของเวกเตอร์ x → ในฐาน e 1 (1), e 2 (2),. ... ... , e n (n) แสดงเป็น x ~ 1, x ~ 2,. ... ... , x ~ น.

เวกเตอร์ x → จะแสดงดังนี้:

x = x ~ 1 อี (1) + x ~ 2 อี (2) + ... ... + x ~ ne (n)

ลองเขียนนิพจน์นี้ในรูปแบบพิกัด:

(x 1, x 2,..., xn) = x ~ 1 (e (1) 1, e (1) 2,..., e (1) n) + x ~ 2 (e (2) ) 1 , e (2) 2,.., E (2) n) +. ... ... + + x ~ n (e (n) 1, e (n) 2,..., e (n) n) = = (x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + . .. + x ~ ne 1 (n), x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + +... + x ~ ne 2 (n),..., x ~ 1 en (1) + x ~ 2 en (2) +... + x ~ nen (n))

ความเท่าเทียมกันที่ได้นั้นเทียบเท่ากับระบบของนิพจน์พีชคณิตเชิงเส้น n นิพจน์ที่มีตัวแปรเชิงเส้นที่ไม่รู้จัก n ตัว x ~ 1, x ~ 2, ... ... , x ~ n:

x 1 = x ~ 1 อี 1 1 + x ~ 2 อี 1 2 + ... ... + x ~ n e 1 n x 2 = x ~ 1 e 2 1 + x ~ 2 e 2 2 + ... ... + x ~ n e 2 n ⋮ x n = x ~ 1 e n 1 + x ~ 2 e n 2 + ... ... + x ~ n e n n

เมทริกซ์ของระบบนี้จะเป็นดังนี้:

e 1 (1) e 1 (2) ⋯ e 1 (n) e 2 (1) e 2 (2) ⋯ e 2 (n) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n (1) e n (2) ⋯ e n (n)

ปล่อยให้มันเป็นเมทริกซ์ A และคอลัมน์ของมันคือเวกเตอร์ของระบบเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นตรงของเวกเตอร์ e 1 (1), e 2 (2), ... ... , e n (n). อันดับของเมทริกซ์คือ n และดีเทอร์มีแนนต์ไม่เป็นศูนย์ สิ่งนี้บ่งชี้ว่าระบบสมการมีคำตอบเฉพาะที่สามารถกำหนดได้ในวิธีที่สะดวก เช่น วิธี Cramer หรือวิธีเมทริกซ์ ดังนั้น เราสามารถกำหนดพิกัด x ~ 1, x ~ 2, ... ... , x ~ n ของเวกเตอร์ x → ในฐาน e 1 (1), e 2 (2),. ... ... , e n (n).

ลองใช้ทฤษฎีที่พิจารณากับตัวอย่างเฉพาะ

ตัวอย่างที่ 6

ข้อมูลเบื้องต้น:บนพื้นฐานของพื้นที่สามมิติ vectors

e (1) = (1, - 1, 1) e (2) = (3, 2, - 5) e (3) = (2, 1, - 3) x = (6, 2, - 7)

จำเป็นต้องยืนยันความจริงที่ว่าระบบของเวกเตอร์ e (1), e (2), e (3) ยังทำหน้าที่เป็นพื้นฐานของพื้นที่ที่กำหนดและยังกำหนดพิกัดของเวกเตอร์ x ในพื้นฐานที่กำหนด .

สารละลาย

ระบบของเวกเตอร์ e (1), e (2), e (3) จะเป็นพื้นฐานของปริภูมิสามมิติ หากเป็นอิสระเชิงเส้น ให้เราชี้แจงความเป็นไปได้นี้โดยกำหนดอันดับของเมทริกซ์ A แถวที่เป็นเวกเตอร์ที่กำหนด e (1), e (2), e (3)

เราใช้วิธีเกาส์:

A = 1 - 1 1 3 2 - 5 2 1 - 3 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 3 - 5 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 0 - 1 5

R n k (A) = 3 ดังนั้น ระบบของเวกเตอร์ e (1), e (2), e (3) เป็นอิสระเชิงเส้นและเป็นฐาน

ให้เวกเตอร์ x → มีพิกัด x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3 ในฐาน ความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดเหล่านี้ถูกกำหนดโดยสมการ:

x 1 = x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + x ~ 3 e 1 (3) x 2 = x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + x ~ 3 e 2 (3) x 3 = x ~ 1 e 3 (1) + x ~ 2 e 3 (2) + x ~ 3 e 3 (3)

ลองใช้ค่าตามเงื่อนไขของปัญหา:

x ~ 1 + 3 x ~ 2 + 2 x ~ 3 = 6 - x ~ 1 + 2 x ~ 2 + x ~ 3 = 2 x ~ 1 - 5 x ~ 2 - 3 x 3 = - 7

มาแก้ระบบสมการด้วยวิธีของแครมเมอร์กัน:

∆ = 1 3 2 - 1 2 1 1 - 5 - 3 = - 1 ∆ x ~ 1 = 6 3 2 2 2 1 - 7 - 5 - 3 = - 1, x ~ 1 = ∆ x ~ 1 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 2 = 1 6 2 - 1 2 1 1 - 7 - 3 = - 1, x ~ 2 = ∆ x ~ 2 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 3 = 1 3 6 - 1 2 2 1 - 5 - 7 = - 1, x ~ 3 = ∆ x ~ 3 ∆ = - 1 - 1 = 1

ดังนั้น เวกเตอร์ x → ในฐาน e (1), e (2), e (3) มีพิกัด x ~ 1 = 1, x ~ 2 = 1, x ~ 3 = 1

ตอบ: x = (1, 1, 1)

ความสัมพันธ์ระหว่างฐาน

สมมติว่าในบางพื้นฐานของพื้นที่เวกเตอร์ n มิติ ระบบเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นสองอันได้รับ:

c (1) = (c 1 (1), c 2 (1),..., cn (1)) c (2) = (c 1 (2), c 2 (2),.., cn ( 2)) ⋮ c (n) = (c 1 (n), e 2 (n),..., Cn (n))

e (1) = (e 1 (1), e 2 (1),..., en (1)) e (2) = (e 1 (2), e 2 (2),..., en (2)) ⋮ e (n) = (e 1 (n), e 2 (n),..., En (n))

ระบบเหล่านี้เป็นพื้นฐานของพื้นที่ที่กำหนด

ให้ c ~ 1 (1), c ~ 2 (1),. ... ... , c ~ n (1) คือพิกัดของเวกเตอร์ c (1) ในฐาน e (1), e (2), ... ... , e (3) จากนั้นการเชื่อมต่อของพิกัดจะถูกระบุโดยระบบสมการเชิงเส้น:

ค 1 (1) = ค ~ 1 (1) อี 1 (1) + ค ~ 2 (1) อี 1 (2) + ... ... + c ~ n (1) e 1 (n) c 2 (1) = c ~ 1 (1) e 2 (1) + c ~ 2 (1) e 2 (2) + ... ... + c ~ n (1) e 2 (n) ⋮ c n (1) = c ~ 1 (1) e n (1) + c ~ 2 (1) e n (2) + ... ... + c ~ n (1) e n (n)

ในรูปแบบของเมทริกซ์ ระบบสามารถแสดงได้ดังนี้:

(c 1 (1), c 2 (1),.., cn (1)) = (c ~ 1 (1), c ~ 2 (1),..., c ~ n (1)) e 1 (1) e 2 (1)… en (1) e 1 (2) e 2 (2)… en (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n)… en (n)

ลองทำสัญกรณ์เดียวกันสำหรับเวกเตอร์ c (2) โดยการเปรียบเทียบ:

(c 1 (2), c 2 (2),.., cn (2)) = (c ~ 1 (2), c ~ 2 (2),..., c ~ n (2)) e 1 (1) e 2 (1)… en (1) e 1 (2) e 2 (2)… en (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n)… en (n)

(c 1 (n), c 2 (n),.., cn (n)) = (c ~ 1 (n), c ~ 2 (n),... c ~ n (n)) e 1 (1) e 2 (1)… en (1) e 1 (2) e 2 (2)… en (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n)… en (n)

มารวมความเท่าเทียมกันของเมทริกซ์เป็นนิพจน์เดียว:

c 1 (1) c 2 (1) ⋯ cn (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ cn (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n) c 2 (n) ⋯ cn (n) = c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e 1 (1) e 2 (1) ⋯ en (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ en (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n ) อี 2 (n) ⋯ en (n)

มันจะกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างเวกเตอร์ของสองฐานที่แตกต่างกัน

โดยใช้หลักการเดียวกันนี้ เป็นไปได้ที่จะแสดงเวกเตอร์ทั้งหมดของฐาน e (1), e (2), ... ... , e (3) ผ่านพื้นฐาน c (1), c (2),. ... ... , ค (n):

e 1 (1) e 2 (1) ⋯ en (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ en (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) ⋯ en (n) = e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) c 1 (1) c 2 (1) ⋯ cn (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ cn (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n ) ค 2 (n) ⋯ cn (n)

ให้คำจำกัดความต่อไปนี้:

คำจำกัดความ 5

เมทริกซ์ c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) คือเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลงจากฐาน e (1), e (2), ... ... , อี (3)

ถึงพื้นฐาน c (1), c (2),. ... ... , ค (น).

คำจำกัดความ 6

เมทริกซ์ e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) คือเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลงจากฐาน c (1), c (2), ... ... , ค (น)

ถึงพื้นฐาน e (1), e (2),. ... ... , อี (3).

จะเห็นได้จากความเท่าเทียมกันเหล่านี้ว่า

c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 e ~ 1 (1) e ~ 2 ( 1 ) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n ) C ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1

เหล่านั้น. เมทริกซ์การเปลี่ยนแปลงจะผกผัน

ลองพิจารณาทฤษฎีด้วยตัวอย่างเฉพาะ

ตัวอย่าง 7

ข้อมูลเบื้องต้น:จำเป็นต้องหาเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลงจากฐาน

ค (1) = (1, 2, 1) ค (2) = (2, 3, 3) ค (3) = (3, 7, 1)

e (1) = (3, 1, 4) e (2) = (5, 2, 1) e (3) = (1, 1, - 6)

คุณต้องระบุความสัมพันธ์ของพิกัดของเวกเตอร์ x → ที่กำหนดเองในฐานที่กำหนดด้วย

สารละลาย

1. ให้ T เป็นเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลง จากนั้นความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง:

3 1 4 5 2 1 1 1 1 = T 1 2 1 2 3 3 3 7 1

เราคูณความเสมอภาคทั้งสองข้างด้วย

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

และรับ:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

2. กำหนดเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลง:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 = = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 - 18 5 3 7 - 2 - 1 5 - 1 - 1 = - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

3. กำหนดความสัมพันธ์ของพิกัดของเวกเตอร์ x →:

สมมติว่าในฐาน c (1), c (2), ... ... , c (n) vector x → มีพิกัด x 1, x 2, x 3 แล้ว:

x = (x 1, x 2, x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1,

และในฐาน e (1), e (2),. ... ... , e (3) มีพิกัด x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3 จากนั้น:

x = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

เพราะ ทางซ้ายมือของความเท่าเทียมกันเหล่านี้เท่ากัน เราสามารถเทียบทางขวามือได้:

(x 1, x 2, x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1 = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

คูณทั้งสองข้างทางขวาด้วย

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

และรับ:

(x 1, x 2, x 3) = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 ⇔ ⇔ ( x 1 , x 2, x 3) = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) T ⇔ ⇔ (x 1, x 2, x 3) = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3 ) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

อีกด้านหนึ่ง

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

ความเท่าเทียมกันสุดท้ายแสดงการเชื่อมต่อระหว่างพิกัดของเวกเตอร์ x → ในฐานทั้งสอง

ตอบ:เมทริกซ์การเปลี่ยนแปลง

27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

พิกัดของเวกเตอร์ x → ในฐานที่กำหนดนั้นสัมพันธ์กันด้วยอัตราส่วน:

(x 1, x 2, x 3) = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8 - 1

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดเลือกและกด Ctrl + Enter