ดาวน์โหลดจาก Depositfiles

อินทิกรัลสามเท่า

คำถามควบคุม

อินทิกรัลสามเท่า คุณสมบัติของมัน

การเปลี่ยนแปลงของตัวแปรในปริพันธ์สามเท่า การคำนวณอินทิกรัลสามตัวในพิกัดทรงกระบอก

การคำนวณอินทิกรัลสามเท่าในพิกัดทรงกลม

ให้ฟังก์ชั่น ยู= NS(x, y,z) ถูกกำหนดไว้ในเขตปิดขอบเขต วีช่องว่าง NS 3. มาแบ่งพื้นที่กันเถอะ วีโดยพลการใน NSเขตปิดเบื้องต้น วี 1 , … ,วี NSด้วยเล่ม  วี 1 , …,  วี NSตามลำดับ เราหมายถึง NS- เส้นผ่านศูนย์กลางที่ใหญ่ที่สุดของพื้นที่ วี 1 , … ,วี NS... ในทุกพื้นที่ วี kเลือกจุดใดก็ได้ NS k (NS k , y k ,z k) และเขียน ผลรวมปริพันธ์ฟังก์ชั่น NS(NS, y,z)

NS =

คำนิยาม.อินทิกรัลสามเท่าจากฟังก์ชัน NS(NS, y,z) ตามพื้นที่ วีเรียกว่า ลิมิตของผลรวมปริพันธ์
ถ้ามันมีอยู่

ดังนั้น,

(1)

ความคิดเห็นผลรวมปริพันธ์ NSขึ้นอยู่กับการแบ่งภูมิภาค วี และการเลือกจุด NS k (k=1, …, NS). อย่างไรก็ตามหากมีการจำกัดก็ไม่ขึ้นกับวิธีการแบ่งเขต วีและการเลือกจุด NS k... หากเราเปรียบเทียบคำจำกัดความของอินทิกรัลคู่และสามเท่า จะเห็นความคล้ายคลึงที่สมบูรณ์ในพวกมันได้ง่าย

เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการมีอยู่ของอินทิกรัลสามตัวอินทิกรัลสามตัว (13) มีอยู่หากฟังก์ชัน NS(NS, y,z) จำกัดที่ วีและต่อเนื่องใน วียกเว้นพื้นผิวเรียบเป็นชิ้นเล็กชิ้นน้อยที่อยู่ใน วี.

คุณสมบัติบางอย่างของอินทิกรัลสามตัว

1) ถ้า กับเป็นค่าคงที่ตัวเลข ดังนั้น

3) การเติมแต่งตามพื้นที่ ถ้าพื้นที่ วี แบ่งออกเป็นพื้นที่ วี 1 และ วี 2 แล้ว

4) ปริมาณของร่างกาย วีเท่ากับ

(2 )

การคำนวณอินทิกรัลสามตัวในพิกัดคาร์ทีเซียน

ปล่อยให้เป็น NS การฉายภาพร่างกาย วีบนเครื่องบิน xOy, พื้นผิว z=φ 1 (NS,y),z=φ 2 (NS, y) จำกัดร่างกาย วีด้านล่างและด้านบนตามลำดับ หมายความว่า

วี = {(NS, y, z): (NS, y)NS , φ 1 (NS,y)≤ z ≤ φ 2 (NS,y)}.

เราจะเรียกร่างกายนี้ว่า z- ทรงกระบอก ปริพันธ์สามเท่า (1) เกิน z-ทรงกระบอก วีคำนวณโดยส่งผ่านไปยังอินทิกรัลแบบวนซ้ำซึ่งประกอบด้วยอินทิกรัลคู่และปริพันธ์แน่นอน:

(3 )

ในอินทิกรัลแบบวนซ้ำนี้ อินทิกรัลกำหนดแน่นอนภายในเทียบกับตัวแปรจะถูกคำนวณก่อน z, โดยที่ NS, yถือว่าถาวร จากนั้นอินทิกรัลคู่ของฟังก์ชันผลลัพธ์จะถูกคำนวณทั่วภูมิภาค NS.

ถ้า วี NS-ทรงกระบอกหรือ ย-เป็นรูปทรงกระบอกแล้วสูตร

ในสูตรแรก NS  การฉายภาพร่างกาย วีบนระนาบพิกัด yOzและอย่างที่สอง ขึ้นเครื่องบิน xOz

ตัวอย่าง. 1) คำนวณปริมาตรของร่างกาย วีล้อมรอบด้วยพื้นผิว z = 0, NS 2 + y 2 = 4, z = NS 2 + y 2 .

สารละลาย. เราคำนวณปริมาตรโดยใช้อินทิกรัลสามเท่าตามสูตร (2)

ให้เราส่งผ่านไปยังอินทิกรัลที่มีการวนซ้ำตามสูตร (3)

ปล่อยให้เป็น NS วงกลม NS 2 + y 2 ≤ 4, φ 1 (NS , y ) = 0, φ 2 (NS , y )= NS 2 + y 2. จากนั้นตามสูตร (3) เราได้รับ

ในการคำนวณอินทิกรัลนี้ เราเปลี่ยนเป็นพิกัดเชิงขั้ว ในขณะเดียวกัน วงกลม NSแปลงร่างเป็นชุด

NS NS = { (NS , φ ) : 0 ≤ φ < 2 π , 0 ≤ NS ≤ 2} .

2) ร่างกาย วี ล้อมรอบด้วยพื้นผิว z = y , z = –y , x = 0 , x = 2, y = 1. คำนวณ

เครื่องบิน z = y , z = –yจำกัดร่างกายตามลำดับจากด้านล่างและจากด้านบนเครื่องบิน x = 0 , x = 2 จำกัดร่างกาย ตามลำดับ ข้างหลังและข้างหน้า และเครื่องบิน y = 1 ขอบด้านขวา วี -z-ทรงกระบอก โครงของมัน NSบนเครื่องบิน เฮ้เป็นสี่เหลี่ยม OAVS... เราใส่ φ 1 (NS , y ) = –Y

อินทิกรัลสามเท่า การคำนวณปริมาตรของร่างกาย
อินทิกรัลสามตัวในพิกัดทรงกระบอก

เป็นเวลาสามวันในสำนักงานของคณบดีผู้ตายนอนอยู่ในกางเกงของพีธากอรัส
ในมือของ Fichtengolts เขาถือปริมาตรที่บีบเขาจากแสงสีขาว
พวกเขาผูกสามอินทิกรัลไว้ที่เท้า และห่อศพด้วยเมทริกซ์
และแทนที่จะสวดมนต์ ผู้ชายที่อวดดีบางคนอ่านทฤษฎีบทของเบอร์นูลลี

อินทิกรัลสามส่วนเป็นสิ่งที่ไม่ต้องกลัวอีกต่อไป =) เพราะถ้าคุณกำลังอ่านข้อความนี้ เป็นไปได้มากว่าคุณจะเข้าใจดีถึง ทฤษฎีและการปฏิบัติของปริพันธ์ "สามัญ", และ อินทิกรัลคู่... และที่ไหนสองเท่า, ใกล้เคียงและสามเท่า:

และที่จริงแล้วมีอะไรต้องกลัว? อินทิกรัลมีค่าน้อยกว่า อินทิกรัลมีมากขึ้น….

เราเข้าใจบันทึก:

- ไอคอนอินทิกรัลสามอัน;
- integrand ฟังก์ชันของตัวแปรสามตัว;
- ผลิตภัณฑ์ของส่วนต่าง
- พื้นที่ของการบูรณาการ.

มาโฟกัสกันที่ พื้นที่ของการบูรณาการ... ถ้าใน อินทิกรัลคู่เธอคือ รูปร่างแบนแล้วที่นี่ - อวกาศอันเป็นที่รู้กันว่าถูกล้อมรอบด้วยเซต พื้นผิว... ดังนั้น นอกเหนือจากข้างต้นแล้ว คุณควรไปที่ พื้นผิวหลักของอวกาศและสามารถวาดภาพสามมิติแบบง่ายที่สุดได้

บางคนท้อแท้ ฉันเข้าใจ…. อนิจจาบทความนี้ไม่สามารถตั้งชื่อว่า "อินทิกรัลสามตัวสำหรับหุ่นจำลอง" และคุณจำเป็นต้องรู้ / สามารถทำอะไรได้บ้าง แต่ไม่เป็นไร - เนื้อหาทั้งหมดถูกนำเสนอในรูปแบบที่เข้าถึงได้ง่ายและเชี่ยวชาญในเวลาที่สั้นที่สุด!

การคำนวณอินทิกรัลสามตัวหมายความว่าอย่างไรและโดยทั่วไปคืออะไร

คำนวณอินทิกรัลสามตัวหมายถึง หา NUMBER:

ในกรณีที่ง่ายที่สุด เมื่อ อินทิกรัลสามตัวมีค่าเท่ากับปริมาตรของร่างกาย... และแน่นอนตาม ความรู้สึกทั่วไปของการบูรณาการ, สินค้าคือ น้อยนิดปริมาณของ "อิฐ" เบื้องต้นของร่างกาย และอินทิกรัลสามเท่าก็แค่ รวมกัน ทั้งหมดนี้ อนุภาคขนาดเล็กเหนือพื้นที่ซึ่งเป็นผลมาจากการได้รับค่าปริพันธ์ (ทั้งหมด) ของปริมาตรของร่างกาย: .

นอกจากนี้ อินทิกรัลสามตัวยังมีความสำคัญ การใช้งานทางกายภาพ... แต่เพิ่มเติมในภายหลัง - ในส่วนที่ 2 ของบทเรียน อุทิศให้กับ การคำนวณอินทิกรัลสามเท่าตามอำเภอใจซึ่งฟังก์ชันในกรณีทั่วไปแตกต่างจากค่าคงที่และต่อเนื่องกันในพื้นที่ ในบทความนี้เราจะพิจารณาโดยละเอียดเกี่ยวกับปัญหาในการค้นหาปริมาณซึ่งตามการประเมินส่วนตัวของฉัน เกิดขึ้นบ่อยกว่า 6-7 เท่า

จะแก้อินทิกรัลสามเท่าได้อย่างไร?

คำตอบมีเหตุผลตามมาจากจุดก่อนหน้า มีความจำเป็นต้องกำหนด ลำดับการข้ามร่างกายและไปที่ อินทิกรัลแบบวนซ้ำ... จากนั้นจัดการกับอินทิกรัลเดี่ยวสามตัวตามลำดับ

อย่างที่คุณเห็น ห้องครัวทั้งหลังคล้ายกันมาก อินทิกรัลคู่ด้วยความแตกต่างที่ตอนนี้เราได้เพิ่มมิติเพิ่มเติม (พูดคร่าวๆ ความสูง) และ, คง, พวกคุณหลายคนคงเดาไปแล้วว่าอินทิกรัลสามตัวถูกแก้อย่างไร

มาไขข้อสงสัยที่เหลือกัน:

ตัวอย่างที่ 1

โปรดเขียนใหม่ในคอลัมน์บนกระดาษ:

และตอบคำถามต่อไปนี้ คุณรู้หรือไม่ว่าสมการเหล่านี้กำหนดพื้นผิวใด คุณเข้าใจความหมายที่ไม่เป็นทางการของสมการเหล่านี้หรือไม่? คุณลองจินตนาการดูว่าพื้นผิวเหล่านี้ตั้งอยู่ในอวกาศได้อย่างไร

หากคุณเอนเอียงไปทางคำตอบทั่วไปว่า "มีแนวโน้มว่าไม่ มากกว่าใช่" ให้แน่ใจว่าได้ดำเนินการผ่านบทเรียน มิฉะนั้น คุณจะไม่ก้าวหน้าไปกว่านี้!

สารละลาย: ใช้สูตร

ค้นหา ลำดับการข้ามร่างกายและไปที่ อินทิกรัลแบบวนซ้ำคุณต้องการ (ฉลาดทั้งหมดเป็นเรื่องง่าย) เพื่อทำความเข้าใจว่าร่างกายเป็นอย่างไร และในหลายกรณี ภาพวาดมีส่วนทำให้เกิดความเข้าใจนี้

ตามเงื่อนไข ร่างกายถูกล้อมรอบด้วยพื้นผิวต่างๆ จะเริ่มสร้างที่ไหน? ฉันแนะนำขั้นตอนต่อไปนี้:

อันดับแรก เราจะพรรณนา ขนานมุมฉากการฉายภาพของร่างกายบนระนาบพิกัด ครั้งแรกที่บอกว่าโปรเจกต์นี้เรียกว่าอะไร lol =)

เนื่องจากการฉายภาพไปตามแกนจึงแนะนำให้จัดการกับ .ก่อน พื้นผิวที่ขนานกับแกนนี้ ฉันเตือนคุณว่าสมการของพื้นผิวดังกล่าว ไม่มีตัวอักษร "z"... มีสามปัญหาที่อยู่ระหว่างการพิจารณา:

- สมการกำหนดระนาบพิกัดที่ผ่านแกน
- สมการกำหนดระนาบพิกัดที่ผ่านแกน
- ชุดสมการ เครื่องบิน "แบน" ตรงขนานกับแกน

เป็นไปได้มากว่าเส้นโครงที่ต้องการคือรูปสามเหลี่ยมต่อไปนี้:

บางทีอาจไม่ใช่ทุกคนที่เข้าใจอย่างถ่องแท้ว่ามันเกี่ยวกับอะไร ลองนึกภาพว่าแกนออกมาจากหน้าจอมอนิเตอร์และติดเข้าไปในจมูกของคุณ ( เหล่านั้น. ปรากฎว่าคุณกำลังดูภาพวาด 3 มิติจากด้านบน)... วัตถุเชิงพื้นที่ที่ถูกตรวจสอบตั้งอยู่ใน "ทางเดิน" สามด้านที่ไม่มีที่สิ้นสุด และการฉายภาพบนเครื่องบินน่าจะเป็นสามเหลี่ยมสีเทา

ฉันวาด ความสนใจเป็นพิเศษจนถึงตอนนี้เราได้แสดง แค่สมมติฐานเกี่ยวกับการฉายภาพและประโยค "เป็นไปได้มากที่สุด" "มีโอกาสมากที่สุด" ไม่ได้ตั้งใจ ความจริงก็คือว่ายังไม่ได้วิเคราะห์พื้นผิวทั้งหมด และอาจเกิดขึ้นได้ว่าบางส่วน "ตัด" ส่วนหนึ่งของรูปสามเหลี่ยม ขอยกตัวอย่างประกอบ ทรงกลมมีศูนย์กลางที่จุดกำเนิดที่มีรัศมีน้อยกว่าหนึ่ง ตัวอย่างเช่น ทรงกลม ฉายบนระนาบหรือไม่ (วงกลม ) จะไม่ "ปิด" บริเวณที่แรเงาอย่างสมบูรณ์ และการฉายภาพขั้นสุดท้ายของลำตัวจะไม่เป็นสามเหลี่ยมเลย (วงกลมจะ "ตัด" มุมแหลมๆ ให้เขา).

ในขั้นตอนที่สอง เราจะค้นหาว่าร่างกายถูกล้อมรอบด้วยอะไรจากด้านบน มากกว่าจากด้านล่าง และเราทำการวาดภาพเชิงพื้นที่ เรากลับไปที่คำชี้แจงปัญหาและดูว่ามีอะไรเหลืออยู่บ้าง สมการกำหนดระนาบพิกัดและสมการ - ทรงกระบอกพาราโบลา, ตั้งอยู่ ข้างต้นเครื่องบินและผ่านแกน ดังนั้นการฉายภาพของร่างกายจึงเป็นรูปสามเหลี่ยมจริงๆ

โดยวิธีการที่มันถูกพบที่นี่ ความซ้ำซ้อนเงื่อนไข - ไม่จำเป็นต้องรวมสมการของระนาบไว้ด้วยเนื่องจากพื้นผิวสัมผัสกับแกน abscissa และปิดร่างกาย เป็นที่น่าสนใจที่จะสังเกตว่าในกรณีนี้ เราไม่สามารถวาดเส้นโครงได้ในทันที - สามเหลี่ยมจะถูก "วาด" หลังจากวิเคราะห์สมการแล้วเท่านั้น

ให้เราพรรณนาชิ้นส่วนของทรงกระบอกพาราโบลาอย่างระมัดระวัง:

หลังจากวาดเสร็จกับ ลำดับการข้ามร่างกายไม่มีปัญหา!

ขั้นแรก เรากำหนดลำดับของการข้ามเส้นโครง (ในขณะเดียวกันจะสะดวกกว่ามากในการนำทางด้วยการวาดภาพสองมิติ)เสร็จเรียบร้อย เหมือนกันหมด, เช่นเดียวกับใน อินทิกรัลคู่! จดจำตัวชี้เลเซอร์และสแกนพื้นที่ราบ มาเลือกวิธีเลี่ยงผ่าน "ดั้งเดิม" ที่ 1 กันดีกว่า:

ต่อไปเราเอาไฟฉายวิเศษในมือดูภาพวาดสามมิติและ จากล่างขึ้นบนอย่างเคร่งครัดเอ็กซ์เรย์ผู้ป่วย รังสีเข้าสู่ร่างกายผ่านระนาบและปล่อยผ่านผิวน้ำ ดังนั้นลำดับการข้ามร่างกายคือ:

มาดูอินทิกรัลแบบวนซ้ำกัน:

1) ควรเริ่มต้นด้วยอินทิกรัล "ซีตา" เราใช้ สูตรนิวตัน-ไลบนิซ:

ให้เราแทนที่ผลลัพธ์ลงในอินทิกรัล "เกม":

เกิดอะไรขึ้น? โดยพื้นฐานแล้ว สารละลายถูกลดให้เป็นอินทิกรัลสองเท่า กล่าวคือ เป็นสูตร ปริมาตรของแท่งทรงกระบอก! ที่เหลือคุ้นเคยมาก:

2)

ให้ความสนใจกับเทคนิคการใช้เหตุผลในการแก้ปริพันธ์ที่ 3

ตอบ:

การคำนวณสามารถเขียนได้ในหนึ่งบรรทัดเสมอ:


แต่ระวังด้วยวิธีนี้ - ความเร็วที่เพิ่มขึ้นนั้นเต็มไปด้วยการสูญเสียคุณภาพ และยิ่งตัวอย่างยากขึ้นเท่าใด โอกาสในการทำผิดพลาดก็จะมากขึ้นเท่านั้น

มาตอบคำถามสำคัญกัน:

ฉันจำเป็นต้องสร้างภาพวาดหรือไม่หากเงื่อนไขงานไม่ต้องการให้เสร็จสมบูรณ์

มีสี่วิธีที่จะไป:

1) พรรณนาการฉายภาพและร่างกายเอง นี่เป็นตัวเลือกที่ได้เปรียบที่สุด - หากมีโอกาสทำภาพวาดดีๆ สองภาพให้เสร็จ อย่าขี้เกียจ ทำทั้งสองแบบ ผมขอแนะนำอย่างแรกเลย

2) วาดเฉพาะร่างกาย เหมาะเมื่อร่างกายมีการฉายภาพที่เรียบง่ายและชัดเจน ตัวอย่างเช่น ในตัวอย่างที่แยกชิ้นส่วน การวาดภาพสามมิติก็เพียงพอแล้ว อย่างไรก็ตาม ยังมีเครื่องหมายลบ ซึ่งไม่สะดวกที่จะกำหนดลำดับการเลื่อนผ่านของภาพ 3 มิติ และฉันขอแนะนำวิธีนี้ให้กับผู้ที่มีระดับการฝึกอบรมที่ดีเท่านั้น

3) แสดงเฉพาะการฉายภาพ ก็ไม่เลวเช่นกัน แต่จำเป็นต้องมีความคิดเห็นเป็นลายลักษณ์อักษรเพิ่มเติมซึ่งจำกัดพื้นที่จากด้านต่างๆ น่าเสียดายที่ตัวเลือกที่สามมักถูกบังคับ - เมื่อร่างกายมีขนาดใหญ่เกินไปหรือโครงสร้างเต็มไปด้วยปัญหาอื่น ๆ และเราจะพิจารณาตัวอย่างดังกล่าวด้วย

4) ทำโดยไม่ต้องวาดเลย ในกรณีนี้ คุณต้องจินตนาการถึงร่างกายและแสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับรูปร่าง/ตำแหน่งของมันเป็นลายลักษณ์อักษร เหมาะสำหรับเนื้อหาหรืองานง่ายๆ ที่ยากต่อการวาดภาพทั้งสอง แต่ก็ยังดีกว่าที่จะสร้างแผนผังอย่างน้อยเนื่องจากโซลูชัน "เปล่า" สามารถปฏิเสธได้

เนื้อหาต่อไปนี้มีไว้สำหรับธุรกิจที่ต้องทำด้วยตัวเอง:

ตัวอย่าง 2

ใช้อินทิกรัลสามตัวคำนวณปริมาตรของร่างกายที่ล้อมรอบด้วยพื้นผิว

ในกรณีนี้ ขอบเขตของการรวมกลุ่มมักถูกกำหนดโดยความไม่เท่าเทียมกัน และสิ่งนี้จะดียิ่งขึ้นไปอีก - ชุดของความไม่เท่าเทียมกัน ระบุออกแทนต์ที่ 1 รวมทั้งระนาบพิกัดและอสมการ - ครึ่งช่องว่างที่มีต้นกำเนิด (ตรวจสอบ)+ เครื่องบินนั่นเอง ระนาบ "แนวตั้ง" ตัดรูปพาราโบลาตามแนวพาราโบลา และควรสร้างส่วนนี้บนภาพวาด ในการทำเช่นนี้ คุณต้องหาจุดยึดเพิ่มเติม ที่ง่ายที่สุดคือจุดยอดของพาราโบลา (พิจารณาค่า และคำนวณค่า "z") ที่สอดคล้องกัน.

เรายังคงอุ่นเครื่อง:

ตัวอย่างที่ 3

คำนวณปริมาตรของร่างกายที่ล้อมรอบด้วยพื้นผิวที่ระบุโดยใช้อินทิกรัลสามตัว ดำเนินการพิมพ์เขียว

สารละลาย: คำว่า "วาดรูป" ให้อิสระแก่เราบ้าง แต่น่าจะหมายถึงการวาดรูปอวกาศ อย่างไรก็ตาม การฉายภาพก็ไม่เจ็บ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเนื่องจากมันไม่ง่ายที่สุดที่นี่

เรายึดตามกลยุทธ์ที่ทำไว้ก่อนหน้านี้ - ก่อนอื่นเราจะจัดการกับ พื้นผิวที่ขนานกับแกนประยุกต์ สมการของพื้นผิวดังกล่าวไม่มีตัวแปร "z" อย่างชัดเจน:

- สมการกำหนดระนาบพิกัดผ่านแกน ( ซึ่งบนเครื่องบินถูกกำหนดโดยสมการ "บาร์นี้");
- ชุดสมการ เครื่องบินผ่าน "บาร์นี้" "แบน" ตรงขนานกับแกน

ร่างกายที่แสวงหานั้นล้อมรอบด้วยระนาบจากด้านล่างและ ทรงกระบอกพาราโบลาข้างต้น:

ให้เราจัดลำดับของการสำรวจร่างกายในขณะที่ขีด จำกัด "x" และ "เกม" ของการรวมกันฉันเตือนคุณว่าสะดวกกว่าในการค้นหาจากการวาดภาพสองมิติ:

ดังนั้น:

1)

เมื่อรวมตาม "เกม" - "x" ถือเป็นค่าคงที่ ดังนั้นจึงแนะนำให้นำค่าคงที่ออกนอกเครื่องหมายปริพันธ์ทันที

3)

ตอบ:

ใช่ ฉันเกือบลืมไป ส่วนใหญ่แล้วผลลัพธ์ที่ได้นั้นไม่ค่อยมีประโยชน์ (และแม้แต่อันตราย) เมื่อเปรียบเทียบกับภาพวาดสามมิติ เนื่องจากมีโอกาสเกิดขึ้นได้มาก ปริมาณภาพลวงตาที่ฉันพูดถึงในบทเรียน ปริมาณของร่างกายของการปฏิวัติ... ดังนั้น การประเมินร่างกายของปัญหาที่พิจารณา สำหรับฉันเป็นการส่วนตัวที่มี "ลูกบาศก์" มากกว่า 4 ก้อนในนั้น

ตัวอย่างต่อไปนี้มีไว้สำหรับโซลูชันที่ต้องทำด้วยตัวเอง:

ตัวอย่างที่ 4

คำนวณปริมาตรของร่างกายที่ล้อมรอบด้วยพื้นผิวที่ระบุโดยใช้อินทิกรัลสามตัว วาดภาพร่างนี้และการฉายภาพลงบนระนาบ

ตัวอย่างการออกแบบงานโดยประมาณเมื่อสิ้นสุดบทเรียน

ไม่ใช่เรื่องแปลกที่การใช้งานภาพวาดสามมิตินั้นยาก:

ตัวอย่างที่ 5

ใช้อินทิกรัลสามตัว หาปริมาตรของร่างกายที่กำหนดโดยพื้นผิวที่ล้อมรอบ

สารละลาย: การฉายภาพไม่ยากที่นี่ แต่คุณต้องคิดถึงลำดับการข้ามผ่าน หากคุณเลือกวิธีที่ 1 ตัวเลขจะต้องแบ่งออกเป็น 2 ส่วนซึ่งไม่เป็นอันตรายต่อการคำนวณผลรวม สองอินทิกรัลสามเท่า ในเรื่องนี้ วิธีที่สองดูมีแนวโน้มมากขึ้น ให้เราแสดงและพรรณนาการฉายภาพของร่างกายนี้ในภาพวาด:

ฉันขอโทษสำหรับคุณภาพของภาพบางภาพ ฉันตัดมันโดยตรงจากต้นฉบับของฉันเอง

เราเลือกลำดับที่ได้เปรียบมากกว่าในการสำรวจตัวเลข:

ตอนนี้ก็แล้วแต่ร่างกาย จากด้านล่างล้อมรอบด้วยระนาบจากด้านบน - โดยระนาบที่ผ่านแกนกำหนด และทุกอย่างก็เรียบร้อยดี แต่ระนาบสุดท้ายสูงชันเกินไป และไม่ง่ายเลยที่จะสร้างพื้นที่ ทางเลือกที่นี่ไม่อาจปฏิเสธได้ ไม่ว่าจะเป็นเครื่องประดับที่มีขนาดเล็ก (เนื่องจากร่างกายค่อนข้างบาง) หรือภาพวาดสูงประมาณ 20 เซนติเมตร (และถึงแม้จะพอดีก็ตาม)

แต่มีวิธีที่สามในการแก้ปัญหาของรัสเซียในขั้นต้น - ให้คะแนน =) และแทนที่จะใช้การวาดภาพสามมิติ คำอธิบายด้วยวาจา: "ร่างกายนี้ล้อมรอบด้วยกระบอกสูบ และเครื่องบินจากด้านข้าง เครื่องบิน - จากด้านล่างและเครื่องบิน - จากข้างบน "

เห็นได้ชัดว่าขีด จำกัด "แนวตั้ง" ของการบูรณาการมีดังนี้:

มาคำนวณปริมาตรของร่างกายกัน อย่าลืมว่าเราได้เลี่ยงการฉายภาพด้วยวิธีที่ไม่ค่อยธรรมดา:

1)

ตอบ:

อย่างที่คุณสังเกตเห็น ร่างกายที่เสนอในงานที่ราคาไม่เกินร้อยเหรียญมักจะจำกัดอยู่ที่ก้นแบน แต่นี่ไม่ใช่กฎเกณฑ์บางอย่าง ดังนั้นคุณต้องเฝ้าระวังอยู่เสมอ - คุณอาจได้รับงานที่ร่างกายตั้งอยู่และ ภายใต้เครื่องบิน. ตัวอย่างเช่น หากในปัญหาที่วิเคราะห์แทนที่จะพิจารณาระนาบ วัตถุที่ตรวจสอบจะถูกแสดงอย่างสมมาตรในครึ่งล่างของพื้นที่และจะถูกล้อมรอบด้วยระนาบจากด้านล่างและโดยระนาบ - จากด้านบนแล้ว!

ง่ายที่จะเห็นว่าคุณได้รับผลลัพธ์เดียวกัน:

(จำไว้ว่าร่างกายต้องเลี่ยง จากล่างขึ้นบนอย่างเคร่งครัด!)

นอกจากนี้ เครื่องบิน "โปรด" อาจไม่ได้อยู่ในธุรกิจเลย ตัวอย่างที่ง่ายที่สุด: ลูกบอลที่อยู่เหนือระนาบ - เมื่อคำนวณปริมาตร สมการก็ไม่จำเป็นต้องใช้เลย

เราจะพิจารณากรณีเหล่านี้ทั้งหมด แต่สำหรับตอนนี้ งานที่คล้ายกันสำหรับโซลูชันอิสระ:

ตัวอย่างที่ 6

ใช้อินทิกรัลสามตัว หาปริมาตรของวัตถุที่ล้อมรอบด้วยพื้นผิว

วิธีแก้ปัญหาสั้น ๆ และคำตอบในตอนท้ายของบทช่วยสอน

มาต่อกันที่ย่อหน้าที่สองกับสื่อที่ได้รับความนิยมไม่แพ้กัน:

อินทิกรัลสามตัวในพิกัดทรงกระบอก

พิกัดทรงกระบอกคืออันที่จริง พิกัดเชิงขั้วในที่ว่าง.
ในระบบพิกัดทรงกระบอก ตำแหน่งของจุดในอวกาศถูกกำหนดโดยพิกัดเชิงขั้วและจุดหนึ่งคือการฉายจุดบนระนาบและการประยุกต์ใช้จุดเอง

การเปลี่ยนจากระบบคาร์ทีเซียนสามมิติไปเป็นระบบพิกัดทรงกระบอกดำเนินการตามสูตรต่อไปนี้:

สำหรับธีมของเรา การแปลงจะเป็นดังนี้:

และในกรณีที่เรียบง่ายซึ่งเรากำลังพิจารณาในบทความนี้:

สิ่งสำคัญคืออย่าลืมเกี่ยวกับตัวคูณ "เอ้อ" เพิ่มเติมและใส่อย่างถูกต้อง ขีด จำกัด เชิงขั้วของการบูรณาการเมื่อข้ามเส้นโครง:

ตัวอย่าง 7

สารละลาย: เราปฏิบัติตามขั้นตอนเดียวกัน: ก่อนอื่น เราพิจารณาสมการที่ไม่มีตัวแปร "z" มันอยู่ที่นี่คนเดียว การฉายภาพ พื้นผิวทรงกระบอกบนเครื่องบินคือ "ชื่อเดียวกัน" วงกลม .

เครื่องบิน จำกัด ร่างกายที่ต้องการจากด้านล่างและจากด้านบน ("ตัด" ออกจากกระบอกสูบ) และถูกฉายเป็นวงกลม:

ขั้นตอนต่อไปคือการวาดสามมิติ ความยากหลักอยู่ที่การสร้างระนาบที่ตัดกับทรงกระบอกในมุม "เฉียง" ส่งผลให้ วงรี... ให้เราปรับแต่งส่วนนี้ในเชิงวิเคราะห์: สำหรับสิ่งนี้ เราเขียนสมการของระนาบใหม่ในรูปแบบฟังก์ชัน และคำนวณค่าของฟังก์ชัน ("ความสูง") ที่จุดที่ชัดเจนซึ่งอยู่บนขอบเขตของการฉายภาพ:

เราทำเครื่องหมายจุดที่พบบนภาพวาดและอย่างระมัดระวัง (ไม่เหมือนฉัน =))เราเชื่อมต่อพวกเขาด้วยสาย:

การฉายภาพร่างบนระนาบเป็นวงกลม และนี่เป็นข้อโต้แย้งที่ทรงพลังในการเปลี่ยนไปใช้ระบบพิกัดทรงกระบอก:

มาหาสมการของพื้นผิวในพิกัดทรงกระบอกกัน:

ตอนนี้เราต้องหาลำดับการข้ามร่างกาย

มาจัดการกับการฉายภาพกันก่อน จะกำหนดลำดับการข้ามผ่านได้อย่างไร เหมือนกันทุกประการกับ การคำนวณอินทิกรัลคู่ในพิกัดเชิงขั้ว... นี่คือระดับประถมศึกษา:

ขีด จำกัด ของการรวม "แนวตั้ง" นั้นชัดเจนเช่นกัน - เราเข้าสู่ร่างกายผ่านระนาบและปล่อยให้มันผ่านเครื่องบิน:

มาดูอินทิกรัลแบบวนซ้ำกัน:

ในกรณีนี้ เราจะใส่ตัวประกอบ "ers" ลงในอินทิกรัล "ของเรา" ทันที

ไม้กวาดมักจะหักตามกิ่งไม้ได้ง่ายกว่า:

1)

เราลดผลลัพธ์เป็นอินทิกรัลต่อไปนี้:

และที่นี่อย่าลืมว่า "พี" ถือเป็นค่าคงที่ แต่ในขณะนี้:

ตอบ:

งานที่คล้ายกันสำหรับโซลูชันอิสระ:

ตัวอย่างที่ 8

คำนวณปริมาตรของวัตถุที่ล้อมรอบด้วยพื้นผิวโดยใช้อินทิกรัลสามตัว วาดภาพร่างที่กำหนดและการฉายภาพลงบนระนาบ

ตัวอย่างคร่าวๆของการจบบทเรียน

โปรดทราบว่าในเงื่อนไขของปัญหา ไม่มีการพูดถึงการเปลี่ยนไปใช้ระบบพิกัดทรงกระบอก และบุคคลที่โง่เขลาจะชนกับอินทิกรัลที่ยากในพิกัดคาร์ทีเซียน ... หรืออาจจะไม่ - หลังจากทั้งหมดมีวิธีการแก้ปัญหาแบบรัสเซียประการที่สาม =)

นี่เป็นเพียงจุดเริ่มต้น! ...ในทางที่ดี: =)

ตัวอย่างที่ 9

ใช้อินทิกรัลสามตัว หาปริมาตรของร่างกายที่ล้อมรอบด้วยพื้นผิว

เจียมเนื้อเจียมตัวและมีรสนิยม

สารละลาย: ตัวนี้มีจำกัด พื้นผิวรูปกรวยและ พาราโบลาวงรี... ผู้อ่านที่อ่านเนื้อหาของบทความอย่างถี่ถ้วน พื้นผิวหลักของอวกาศได้จินตนาการแล้วว่าร่างกายจะหน้าตาเป็นอย่างไร แต่ในทางปฏิบัติมักมีกรณีที่ซับซ้อนกว่านี้ ดังนั้นฉันจะทำการให้เหตุผลเชิงวิเคราะห์โดยละเอียด

ขั้นแรก ให้หาเส้นที่พื้นผิวตัดกัน มาเขียนและแก้ไขกันเถอะ ระบบดังต่อไปนี้:

ให้เราลบที่สองออกจากสมการแรกแบบเทอมต่อเทอม:

ผลลัพธ์คือสองราก:

แทนที่ค่าที่พบลงในสมการใดๆ ของระบบ:
, ดังนั้นจึงเป็นไปตามนั้น
ดังนั้นจึงมีจุดเดียวที่สอดคล้องกับราก - ต้นกำเนิด โดยธรรมชาติแล้วจุดยอดของพื้นผิวที่พิจารณาตรงกัน

ทีนี้ลองแทนที่รูทที่สอง - ในสมการของระบบด้วย:

ความหมายทางเรขาคณิตของผลลัพธ์ที่ได้คืออะไร? "ที่ความสูง" (ในระนาบ) พาราโบลาและกรวยตัดกันใน วงกลม- รัศมีของหน่วยมีศูนย์กลางที่จุดหนึ่ง

ในกรณีนี้ "ชาม" ของพาราโบลามี "กรวย" ของกรวย ดังนั้น เครื่องกำเนิดไฟฟ้าพื้นผิวรูปกรวยควรวาดด้วยเส้นประ (ยกเว้นส่วนที่ไกลที่สุดจากเราซึ่งมองเห็นได้จากมุมนี้):

การฉายภาพร่างกายขึ้นเครื่องบินคือ วงกลมมีศูนย์กลางที่จุดกำเนิดของรัศมี 1 ซึ่งข้าพเจ้าไม่ได้สนใจที่จะพรรณนาเพราะความชัดเจนของข้อเท็จจริงนี้เลย (อย่างไรก็ตาม เราทำความคิดเห็นเป็นลายลักษณ์อักษร!)... อย่างไรก็ตาม ในสองภารกิจก่อนหน้านี้ การวาดภาพการฉายภาพอาจถูกใช้ค้อนทุบได้ หากไม่ใช่สำหรับเงื่อนไข

เมื่อผ่านไปยังพิกัดทรงกระบอกตามสูตรมาตรฐาน อสมการจะถูกเขียนในรูปแบบที่ง่ายที่สุดและไม่มีปัญหากับลำดับของการเคลื่อนที่ข้ามเส้นโครง:

ให้เราหาสมการของพื้นผิวในระบบพิกัดทรงกระบอก:

เนื่องจากปัญหาพิจารณาส่วนบนของกรวย เราจึงแสดงจากสมการดังนี้

“สแกนร่างกาย” จากล่างขึ้นบน รังสีของแสงส่องผ่านพาราโบลารูปไข่และออกจากผิวทรงกรวย ดังนั้นลำดับ "แนวตั้ง" ของการสำรวจร่างกาย:

ที่เหลือเป็นเรื่องของเทคโนโลยี:

ตอบ:

ไม่ใช่เรื่องแปลกที่ร่างกายไม่ได้ถูกกำหนดโดยพื้นผิวที่ล้อมรอบมัน แต่โดยชุดของความไม่เท่าเทียมกัน:

ตัวอย่าง 10

ฉันได้อธิบายรายละเอียดบางอย่างเกี่ยวกับความหมายทางเรขาคณิตของความไม่เท่าเทียมกันเชิงพื้นที่ในบทความอ้างอิงเดียวกัน - พื้นผิวหลักของพื้นที่และการก่อสร้าง.

แม้ว่างานนี้จะมีพารามิเตอร์ แต่ก็ช่วยให้สามารถดำเนินการวาดรูปได้อย่างแม่นยำซึ่งสะท้อนถึงมุมมองพื้นฐานของร่างกาย คิดหาวิธีสร้างให้เสร็จ วิธีแก้ปัญหาและคำตอบสั้นๆ อยู่ที่ส่วนท้ายของบทเรียน

... เอาละ อีกสองสามงาน? ฉันคิดว่าจะเรียนให้จบ แต่ฉันรู้สึกว่าคุณต้องการมากกว่านี้ =)

ตัวอย่าง 11

ใช้อินทิกรัลสามตัวคำนวณปริมาตรของร่างกายที่กำหนด:
โดยที่จำนวนบวกโดยพลการคือที่ไหน

สารละลาย: ความไม่เท่าเทียมกัน กำหนดลูกบอลที่มีศูนย์กลางที่จุดกำเนิดของรัศมีและความไม่เท่าเทียมกัน - "ภายใน" ของทรงกระบอกกลมที่มีแกนสมมาตรของรัศมี ดังนั้น ลำตัวที่ต้องการจึงถูกล้อมรอบด้วยทรงกระบอกทรงกลมที่ด้านข้าง และส่วนทรงกลมที่สมมาตรรอบระนาบที่ด้านบนและด้านล่าง

ใช้เป็นหน่วยฐานของการวัด เราจะดำเนินการวาดรูป:

ให้ละเอียดกว่านี้น่าจะเรียกว่าภาพวาด เพราะผมรักษาสัดส่วนตามแนวแกนได้ไม่ดีนัก อย่างไรก็ตามในความเป็นธรรมตามเงื่อนไขไม่จำเป็นต้องวาดอะไรเลยและภาพประกอบดังกล่าวก็เพียงพอแล้ว

โปรดทราบว่าที่นี่ไม่จำเป็นต้องค้นหาความสูงที่กระบอกสูบแกะสลัก "หมวก" ออกจากลูกบอล - หากคุณใช้เข็มทิศในมือของคุณและร่างวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุดกำเนิดของพิกัดด้วยรัศมี 2 ซม. จากนั้นจุดตัดกับทรงกระบอกจะออกมาเอง

ให้เรามีระบบพิกัดสี่เหลี่ยมสองระบบในอวกาศและ
, และระบบการทำงาน

(1)

ซึ่งสร้างการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างจุดต่างๆ ของบางพื้นที่
และ
ในระบบพิกัดเหล่านี้ สมมติว่าฟังก์ชันของระบบ (1) มีใน
อนุพันธ์ย่อยต่อเนื่อง ดีเทอร์มิแนนต์ประกอบด้วยอนุพันธ์บางส่วนเหล่านี้

,

เรียกว่าจาโคเบียน (หรือจาโคบีดีเทอร์มิแนนต์) ของระบบฟังก์ชัน (1) เราจะถือว่า
วี
.

ภายใต้สมมติฐานข้างต้น สูตรทั่วไปต่อไปนี้สำหรับการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรในอินทิกรัลสามชั้นถือ:

ในกรณีของอินทิกรัลคู่ ระบบ (1) เป็นหนึ่งต่อหนึ่งและเงื่อนไข
สามารถถูกละเมิดได้ ณ จุดแยก บนเส้นแยก และบนพื้นผิวที่แยกจากกัน

ระบบการทำงาน (1) แต่ละจุด
ตรงกับจุดเดียว
... เลขสามตัวนี้
เรียกว่าพิกัดโค้งของจุด ... จุดในอวกาศ
ซึ่งหนึ่งในพิกัดเหล่านี้ยังคงที่รูปแบบที่เรียกว่า พื้นผิวประสาน

II อินทิกรัลสามเท่าในพิกัดทรงกระบอก

ระบบพิกัดทรงกระบอก (CSK) ถูกกำหนดโดยระนาบ
ซึ่งระบบพิกัดเชิงขั้วและแกน
ตั้งฉากกับระนาบนี้ พิกัดจุดทรงกระบอก
, ที่ไหน
- พิกัดเชิงขั้วของจุด - ประมาณการ t แว่นตา บนเครื่องบิน
, NS คือพิกัดของจุดที่ฉาย ต่อแกน
หรือ
.

ในเครื่องบิน
เราแนะนำพิกัดคาร์ทีเซียนตามปกติ แกนของโปรแกรมจะชี้ไปตามแกน
ซีเอสเค. ตอนนี้ไม่ยากที่จะได้รับสูตรที่เชื่อมต่อพิกัดทรงกระบอกกับพิกัดคาร์ทีเซียน:

(3)

สูตรเหล่านี้จับคู่พื้นที่กับพื้นที่ทั้งหมด
.

พื้นผิวพิกัดในกรณีนี้จะเป็น:

1)
- พื้นผิวทรงกระบอกที่มีเครื่องกำเนิดขนานกับแกน
มัคคุเทศก์ที่เป็นวงกลมในระนาบ
, มีศูนย์กลางที่จุด ;

2)

;

3)
- ระนาบขนานกับระนาบ
.

จาโคเบียนของระบบ (3):

.

สูตรทั่วไปในกรณีของ CSK อยู่ในรูปแบบ:

หมายเหตุ 1 . แนะนำให้เปลี่ยนไปใช้พิกัดทรงกระบอกในกรณีที่พื้นที่ของการรวมเป็นทรงกระบอกกลมหรือกรวยหรือพาราโบลาของการปฏิวัติ (หรือส่วนต่าง ๆ ของพวกมัน) และแกนของวัตถุนี้ตรงกับแกนของแอปพลิเคชัน
.

หมายเหตุ 2 พิกัดทรงกระบอกสามารถกำหนดลักษณะทั่วไปได้ในลักษณะเดียวกับพิกัดเชิงขั้วบนระนาบ

ตัวอย่างที่ 1 คำนวณอินทิกรัลสามเท่าของฟังก์ชัน

ตามภูมิภาค
แสดงถึงส่วนในของกระบอกสูบ
ล้อมรอบด้วยกรวย
และพาราโบลา
.

สารละลาย. เราได้พิจารณาพื้นที่นี้แล้วใน §2 ตัวอย่างที่ 6 และได้รับบันทึกมาตรฐานใน DPSK อย่างไรก็ตาม การคำนวณอินทิกรัลในพื้นที่นี้เป็นเรื่องยาก ไปที่ CSK:

.

การฉายภาพ
ร่างกาย
บนเครื่องบิน
เป็นวงกลม
... ดังนั้นพิกัด มีตั้งแต่ 0 ถึง
, NS - จาก 0 ถึง NS. ผ่านจุดโดยพลการ
ลากเส้นตรงขนานกับแกน
... โดยตรงจะเข้าสู่
บนโคน แต่จะออกมาเป็นพาราโบลา แต่กรวย
มีใน CSK สมการ
และพาราโบลา
- สมการ
... เราก็เลยมี

III อินทิกรัลสามเท่าในพิกัดทรงกลม

ระบบพิกัดทรงกลม (SSC) ถูกกำหนดโดยระนาบ
ซึ่งระบุ UCS และแกน
ตั้งฉากกับระนาบ
.

พิกัดจุดทรงกลม ช่องว่างเรียกว่าเลขสามตัว
, ที่ไหน - มุมขั้วของการฉายภาพจุดบนระนาบ
,- มุมระหว่างแกน
และเวกเตอร์
และ
.

ในเครื่องบิน
เราแนะนำแกนพิกัดคาร์ทีเซียน
และ
ตามปกติและแกนของแอปพลิเคชันเข้ากันได้กับแกน
... สูตรที่เชื่อมพิกัดทรงกลมกับพิกัดคาร์ทีเซียนมีดังนี้

(4)

สูตรเหล่านี้จับคู่พื้นที่กับพื้นที่ทั้งหมด
.

จาโคเบียนของระบบการทำงาน (4):

.

พื้นผิวพิกัดประกอบด้วยสามตระกูล:

1)
- ทรงกลมที่มีศูนย์กลางที่จุดกำเนิด

2)
- ระนาบครึ่งผ่านแกน
;

3)
- โคนทรงกลมมีปลายยอดที่จุดกำเนิดซึ่งมีแกนเป็นแกน
.

สูตรสำหรับการเปลี่ยนเป็น SSK ในอินทิกรัลสามเท่า:

หมายเหตุ 3 ขอแนะนำให้เปลี่ยนไปใช้ SSC เมื่อบริเวณที่มีการผสานรวมเป็นลูกบอลหรือเป็นส่วนหนึ่งของพื้นที่ ในกรณีนี้ สมการของทรงกลม
เข้าสู่. เช่นเดียวกับ CSK ที่กล่าวถึงก่อนหน้านี้ SSK นั้น "ผูก" กับแกน
... หากศูนย์กลางของทรงกลมถูกแทนที่ด้วยรัศมีตามแนวแกนพิกัด สมการทรงกลมที่ง่ายที่สุดจะได้มาเมื่อแทนที่ตามแนวแกน
:

หมายเหตุ 4. เป็นไปได้ที่จะสรุป SSK:

กับจาโคเบียน
... ระบบฟังก์ชันนี้จะแปลทรงรี

เข้าสู่ "เส้นขนาน"

ตัวอย่างที่ 2 หาระยะเฉลี่ยของแต้มของลูกบอลรัศมี จากศูนย์กลางของมัน

สารละลาย. จำได้ว่าค่าเฉลี่ยของฟังก์ชัน
ในพื้นที่
เป็นอินทิกรัลสามตัวของฟังก์ชันเหนือพื้นที่หารด้วยปริมาตรของพื้นที่ ในกรณีของเรา

เราก็เลยมี

ขั้นตอนการคำนวณอินทิกรัลสามตัวนั้นคล้ายกับการดำเนินการที่สอดคล้องกันสำหรับอินทิกรัลคู่ เพื่ออธิบายเรื่องนี้ เราได้แนะนำแนวคิดของพื้นที่สามมิติแบบปกติ:

คำจำกัดความ 9.1. พื้นที่สามมิติ V ซึ่งล้อมรอบด้วยพื้นผิวปิด S เรียกว่าปกติถ้า:

1. เส้นตรงใดๆ ที่ขนานกับแกน Oz และลากผ่านจุดด้านในของพื้นที่ตัดกับ S ที่จุดสองจุด
2. พื้นที่ทั้งหมด V ถูกฉายลงบนระนาบ Oxy ลงในพื้นที่สองมิติปกติ D;
3. ส่วนใด ๆ ของภูมิภาค V ตัดออกจากมันโดยระนาบขนานกับระนาบพิกัดใด ๆ มีคุณสมบัติ 1) และ 2)

พิจารณาพื้นที่ปกติ V ที่ล้อมรอบจากด้านล่างและด้านบนโดยพื้นผิว z = χ (x, y) และ z = ψ (x, y) และฉายภาพบนระนาบ Oxy ไปยังพื้นที่ปกติ D ซึ่งภายใน x จะแตกต่างกันไปจาก a ถึง b ล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง y = φ1 (x) และ y = φ2 (x) (รูปที่ 1) ให้เรากำหนดในโดเมน V ฟังก์ชันต่อเนื่อง f (x, y, z)

คำจำกัดความ 9.2 ให้เราเรียกอินทิกรัลสามเท่าของฟังก์ชัน f (x, y, z) ส่วนภูมิภาค V นิพจน์ของรูปแบบ:

อินทิกรัลสามเท่ามีคุณสมบัติเหมือนกับอินทิกรัลสองเท่า เราแสดงรายการโดยไม่มีการพิสูจน์ เนื่องจากได้รับการพิสูจน์ในทำนองเดียวกันกับกรณีของอินทิกรัลคู่

การคำนวณอินทิกรัลสามเท่า

ทฤษฎีบท 9.1. อินทิกรัลสามเท่าของฟังก์ชัน f (x, y, z) ส่วนภูมิภาคปกติ V เท่ากับอินทิกรัลสามเท่าบนภูมิภาคเดียวกัน:

. (9.3)

การพิสูจน์.

เราแบ่งเขต V ด้วยระนาบขนานกับระนาบพิกัดออกเป็น n ส่วนปกติ แล้วคุณสมบัติ 1 ก็หมายความว่า

โดยที่อินทิกรัลสามเท่าของฟังก์ชัน f (x, y, z) อยู่เหนือโดเมน

โดยใช้สูตร (9.2) ความเท่าเทียมกันก่อนหน้านี้สามารถเขียนใหม่เป็น:

จากสภาพความต่อเนื่องของฟังก์ชัน f (x, y, z) เป็นไปตามเงื่อนไขที่ว่าขีดจำกัดของผลรวมปริพันธ์ทางด้านขวามือของความเท่าเทียมกันนี้มีอยู่และเท่ากับอินทิกรัลสามตัว จากนั้นเมื่อถึงขีด จำกัด ที่ เราได้รับ:

คิวอีดี

ความคิดเห็น

ในทำนองเดียวกันกับกรณีของอินทิกรัลคู่ เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าการเปลี่ยนแปลงในลำดับของการบูรณาการไม่เปลี่ยนค่าของอินทิกรัลสามเท่า

ตัวอย่าง. ให้เราคำนวณอินทิกรัลโดยที่ V คือพีระมิดสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดที่จุด (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) และ (0, 0, 1) การฉายภาพบนระนาบ Oxy เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอด (0, 0), (1, 0) และ (0, 1) พื้นที่ล้อมรอบจากด้านล่างโดยระนาบ z = 0 และจากด้านบนโดยระนาบ x + y + z = 1 ให้เราดำเนินการต่อไปในปริพันธ์สามเท่า:

ปัจจัยที่ไม่ขึ้นอยู่กับตัวแปรของการรวมสามารถย้ายออกนอกเครื่องหมายของอินทิกรัลที่เกี่ยวข้องได้:

ระบบพิกัดโค้งในพื้นที่สามมิติ

1. ระบบพิกัดทรงกระบอก

พิกัดทรงกระบอกของจุด P (ρ, φ, z) คือพิกัดเชิงขั้ว ρ, φ ของการฉายภาพของจุดนี้บนระนาบ Oxy และจุดประยุกต์ของจุดนี้ z (รูปที่ 2)

สูตรสำหรับการเปลี่ยนจากพิกัดทรงกระบอกเป็นพิกัดคาร์ทีเซียนสามารถระบุได้ดังนี้:

x = ρ cosφ, y = ρ sinφ, z = z (9.4)

1. ระบบพิกัดทรงกลม

ในพิกัดทรงกลม ตำแหน่งของจุดในอวกาศถูกกำหนดโดยพิกัดเชิงเส้น ρ - ระยะห่างจากจุดถึงจุดกำเนิดของระบบพิกัดคาร์ทีเซียน (หรือขั้วของระบบทรงกลม), φ - มุมขั้วระหว่างขั้วบวก ครึ่งแกน Ox และการฉายของจุดบนระนาบ Oxy และ θ - มุมระหว่างเซมิแกนบวกของแกน Оz และเซ็กเมนต์ OP (รูปที่ 3) โดยที่

ให้เรากำหนดสูตรสำหรับการเปลี่ยนจากพิกัดทรงกลมเป็นพิกัดคาร์ทีเซียน:

x = ρ sinθ cosφ, y = ρ sinθ sinφ, z = ρ cosθ (9.5)

จาโคเบียนและความหมายทางเรขาคณิต

พิจารณากรณีทั่วไปของการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรในอินทิกรัลคู่ ให้โดเมน D ถูกกำหนดในระนาบ Oxy ที่ล้อมรอบด้วยเส้น L สมมติว่า x และ y เป็นฟังก์ชันค่าเดียวและเปลี่ยนค่าได้อย่างต่อเนื่องของตัวแปรใหม่ u และ v:

x = φ (u, v), y = ψ (u, v). (9.6)

พิจารณาระบบพิกัดสี่เหลี่ยม Оuv จุด Р΄ (u, v) ซึ่งสอดคล้องกับจุด Р (x, y) จากโดเมน D จุดดังกล่าวทั้งหมดก่อตัวขึ้นในระนาบ Оuv โดเมน D΄ ล้อมรอบด้วยเส้น L . เราสามารถพูดได้ว่าสูตร (9.6) กำหนดความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างจุดของภูมิภาค D และ D΄ ในกรณีนี้ เส้น u = const และ

v = const ในระนาบ Ouv จะสอดคล้องกับเส้นบางเส้นในระนาบ Oxy

พิจารณาในระนาบ Оuv พื้นที่สี่เหลี่ยม ΔS΄ ล้อมรอบด้วยเส้นตรง u = const, u + Δu = const, v = const และ v + Δv = const มันจะสอดคล้องกับพื้นที่โค้ง ΔS ในระนาบ Oxy (รูปที่ 4) พื้นที่ของไซต์ที่อยู่ระหว่างการพิจารณาจะแสดงด้วย ΔS΄ และ ΔS ในกรณีนี้ ΔS΄ = Δu Δv ลองหาพื้นที่ ΔS เราระบุจุดยอดของสี่เหลี่ยมโค้งนี้ Р1, Р2, Р3, Р4 โดยที่

P1 (x1, y1), x1 = φ (u, v), y1 = ψ (u, v);

P2 (x2, y2), x2 = φ (u + Δu, v), y2 = ψ (u + Δu, v);

P3 (x3, y3), x3 = φ (u + Δu, v + Δv), y3 = ψ (u + Δu, v + Δv);

P4 (x4, y4), x4 = φ (u, v + Δv), y4 = ψ (u, v + Δv)

แทนที่การเพิ่มขึ้นทีละน้อย Δu และ Δv ด้วยส่วนต่างที่เหมาะสม แล้ว

ในกรณีนี้ สี่เหลี่ยมจัตุรัส Р1 Р2 Р3 Р4 ถือได้ว่าเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน และสามารถกำหนดพื้นที่ได้โดยใช้สูตรจากเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์:

(9.7)

คำจำกัดความ 9.3 ดีเทอร์มิแนนต์เรียกว่าดีเทอร์มิแนนต์เชิงฟังก์ชันหรือจาโคเบียนของฟังก์ชัน φ (x, y) และ ψ (x, y)

เมื่อผ่านถึงขีด จำกัด ในความเท่าเทียมกัน (9.7) เราได้รับความหมายทางเรขาคณิตของจาโคเบียน:

นั่นคือ โมดูลัสของจาโคเบียนคือขีดจำกัดของอัตราส่วนพื้นที่ของพื้นที่ที่จำกัด ΔS และ ΔS΄

ความคิดเห็น ในทำนองเดียวกัน เราสามารถกำหนดแนวคิดของจาโคเบียนและความหมายทางเรขาคณิตของมันสำหรับสเปซ n มิติได้: ถ้า x1 = φ1 (u1, u2,…, un), x2 = φ2 (u1, u2,…, un) ,…, xn = φ (u1 , u2, ..., un) แล้ว

(9.8)

นอกจากนี้ โมดูลัสของจาโคเบียนยังให้ขีดจำกัดอัตราส่วนของ "ปริมาตร" ของพื้นที่ขนาดเล็กของช่องว่าง x1, x2, ..., xn และ u1, u2, ..., un

การเปลี่ยนแปลงของตัวแปรในอินทิกรัลหลายตัว

ให้เราตรวจสอบกรณีทั่วไปของการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรโดยใช้ตัวอย่างของอินทิกรัลคู่

ให้ฟังก์ชันต่อเนื่อง z = f (x, y) ถูกกำหนดในโดเมน D แต่ละค่าที่สอดคล้องกับค่าเดียวกันของฟังก์ชัน z = F (u, v) ในโดเมน D΄ โดยที่

F (u, v) = f (φ (u, v), ψ (u, v)) (9.9)

พิจารณาผลรวมปริพันธ์

โดยที่ผลรวมปริพันธ์ทางด้านขวาถูกยึดเหนือโดเมน D΄ เมื่อผ่านถึงขีดจำกัดที่ เราได้รับสูตรการแปลงพิกัดในอินทิกรัลคู่

ให้วัตถุธาตุซึ่งเป็นพื้นที่ P เต็มไปด้วยมวล จำเป็นต้องหามวล m ของวัตถุนี้ โดยจะต้องทราบความหนาแน่นของการกระจายมวลในแต่ละจุด P € P เราแบ่งพื้นที่ P เป็นส่วนลูกบาศก์ที่ไม่ทับซ้อนกัน (เช่น มีปริมาตร) ส่วนที่มีปริมาตร ตามลำดับ ในแต่ละพื้นที่บางส่วน ft * เราเลือกจุด P * โดยพลการ ให้เราใช้เวลาประมาณนั้นภายในขอบเขตของพื้นที่บางส่วน ft * ความหนาแน่นคงที่และเท่ากับ / * (P *) จากนั้นมวล Amk ของส่วนนี้ของร่างกายจะแสดงด้วยค่าความเท่าเทียมกันโดยประมาณ Amnk และมวลของมวลทั้งร่างจะเท่ากับผลรวมที่เท่ากันโดยประมาณ (1) มีขีดจำกัดซึ่งไม่ขึ้นกับวิธีการแบ่งโดเมน ft เป็นโดเมนย่อยบางส่วน หรือเลือกจุด P * € ft * ขีดจำกัดนี้ถือเป็นมวล m ของร่างกายที่กำหนด ให้ฟังก์ชันที่มีขอบเขตถูกกำหนดในโดเมนลูกบาศก์ปิด ft. ft เป็น n ส่วนลูกบาศก์ที่ไม่ปะติดปะต่อกัน และปริมาณจะแสดงโดยตามลำดับ ในแต่ละโดเมนย่อยบางส่วน * เราเลือกจุด Pk โดยพลการ (xk, yk, zk) และเขียนผลรวมปริพันธ์ ให้ d เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางที่ใหญ่ที่สุดของพื้นที่บางส่วน คำจำกัดความ หากสำหรับ d 0 ผลรวมอินทิกรัล a มีขีดจำกัดที่ไม่ขึ้นอยู่กับวิธีการแบ่งเขต A เป็นโดเมนย่อยบางส่วน * หรือการเลือกจุด Pk ∈ * ขีดจำกัดนี้เรียกว่าอินทิกรัลสามเท่าของฟังก์ชัน f (x) y, z) ในส่วนที่เกี่ยวกับโดเมน Q และแสดงด้วยสัญลักษณ์ ทฤษฎีบท 6 หากฟังก์ชัน f (x, y, z) มีความต่อเนื่องในโดเมนลูกบาศก์ปิด แสดงว่าฟังก์ชันนั้นถูกรวมเข้าด้วยกันในโดเมนนี้ สมบัติของอินทิกรัลสามชั้น คุณสมบัติของอินทิกรัลสามตัวนั้นคล้ายคลึงกับของอินทิกรัลสามตัว ให้เราแสดงรายการตัวหลัก ให้ฟังก์ชันถูกรวมเข้าด้วยกันในโดเมนลูกบาศก์ L. 1. ลิเนียริตี้. ในกรณีนี้ ฟังก์ชันเรียกว่าอินทิกรัลในโดเมน Q ดังนั้น ตามคำจำกัดความ เราได้กลับมาที่ปัญหาการคำนวณมวลของร่างกาย เราสังเกตว่าลิมิต (2) เป็นอินทิกรัลสามส่วนของฟังก์ชัน p (P) เหนือโดเมน P ดังนั้นที่นี่ dx dy dz - องค์ประกอบระดับเสียง dv ในพิกัดสี่เหลี่ยม โดยที่ a และ (3 เป็นค่าคงที่จริงตามอำเภอใจ ทุกที่ในโดเมน ดังนั้น 3. ถ้า f (P) = 1 ในโดเมน แล้ว n โดยที่ V คือปริมาตรของโดเมน Q ถ้าฟังก์ชัน f (P) เป็นค่าต่อเนื่อง ในโดเมนลูกบาศก์ปิด ft และ M และ m เป็นค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดในหน่วย ft จากนั้น V คือปริมาตรของพื้นที่ ft 5. การเติมแต่ง หากโดเมน ft ถูกแบ่งเป็นโดเมนลูกบาศก์โดยไม่มีจุดภายในร่วมกัน และ f (P) สามารถรวมกันในโดเมน ft ดังนั้น f (P) จะรวมกันในแต่ละโดเมน ft | และ ft2 นอกจากนี้ 6. ทฤษฎีบทมูลค่าเฉลี่ย ทฤษฎีบท 7 (บนค่าเฉลี่ย) หากฟังก์ชัน f (P) ต่อเนื่องกันในโดเมนลูกบาศก์ปิด ft แสดงว่ามี Pc บางๆ € ft ซึ่งสูตรที่ V คือปริมาตรของโดเมน ft (จำได้ว่าโดเมนนั้นเป็นเซตที่เชื่อมต่ออยู่) § 7. การคำนวณอินทิกรัลสามตัวในพิกัดคาร์ทีเซียน เช่นเดียวกับการคำนวณอินทิกรัลคู่ สสารจะลดลงเหลือการคำนวณอินทิกรัลแบบวนซ้ำ สมมติว่าฟังก์ชันต่อเนื่องในบางโดเมน ft. กรณีที่ 1 พื้นที่ ft เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ฉายบนระนาบ yOz เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า i2; จากนั้นเราได้การแทนที่อินทิกรัลคู่ด้วยอินทิกรัลที่ซ้ำกัน ในที่สุดเราก็ได้ ดังนั้นในกรณีที่โดเมนเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน เราได้ลดการคำนวณของอินทิกรัลสามตัวเป็นการคำนวณตามลำดับของอินทิกรัลสามัญสามตัว สูตร (2) สามารถเขียนใหม่ได้โดยที่สี่เหลี่ยมผืนผ้าคือการฉายภาพมุมฉากของ P ที่ขนานกันบนระนาบ xOy กรณีที่ 2 ตอนนี้ให้เราพิจารณาโดเมน Q โดยที่พื้นผิวขอบ 5 ตัดกับเส้นตรงที่ขนานกับแกน Oz ที่จุดไม่เกินสองจุดหรือตามส่วนทั้งหมด (รูปที่ 22) ให้ z = tpi (x, y) เป็นสมการของพื้นผิว 5, ล้อมรอบพื้นที่จากด้านล่าง และพื้นผิว S2, ที่ล้อมรอบพื้นที่จากด้านบน, มีสมการ z = y) ให้ทั้งพื้นผิว S1 และ S2 โปรเจ็กต์บนพื้นที่เดียวกันของระนาบ xOy ขอให้เราแสดงมันด้วย D และเส้นโค้งที่ล้อมรอบมันด้วย L ขอบเขตที่เหลือ 5 ของร่างกาย Q อยู่บนพื้นผิวทรงกระบอกที่มีเครื่องกำเนิดขนานกับแกน Oz และมีเส้นโค้ง L เป็นแนวทาง จากนั้น โดยการเปรียบเทียบกับสูตร (3) เราจะได้ หากพื้นที่ D ของระนาบ xOy เป็นสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้งสองเส้น จากนั้นอินทิกรัลคู่ในสูตร (4) จะลดลงเหลือหนึ่งซ้ำ และในที่สุดเราก็จะได้ ได้รับ สูตรนี้เป็นลักษณะทั่วไปของสูตร (2) รูปที่ 23 ตัวอย่าง คำนวณปริมาตรของจัตุรมุขที่ล้อมรอบด้วยระนาบ การฉายภาพของจัตุรมุขบนระนาบ xOy เป็นรูปสามเหลี่ยมที่เกิดจากเส้นตรงเพื่อให้ x เปลี่ยนจาก 0 เป็น 6 และสำหรับค่าคงที่ x (0 ^ x ^ 6) y เปลี่ยนจาก 0 ถึง 3 - | (รูปที่ 23). หากทั้ง x และ y คงที่ จุดสามารถเคลื่อนที่ในแนวตั้งจากระนาบหนึ่งไปอีกระนาบ โดยเปลี่ยนจาก 0 เป็น 6 - x - 2y โดยสูตร เราได้รับ §8 การคำนวณอินทิกรัลสามเท่าในพิกัดทรงกระบอกและทรงกลม คำถามของการเปลี่ยนแปลงตัวแปรในปริพันธ์สามเท่านั้นได้รับการแก้ไขในลักษณะเดียวกับในกรณีของอินทิกรัลคู่ ปล่อยให้ฟังก์ชัน f (x, y, z) ต่อเนื่องกันในโดเมนลูกบาศก์ปิด ft และฟังก์ชันต่อเนื่องกันร่วมกับอนุพันธ์ย่อยอันดับ 1 ของพวกมันในโดเมนลูกบาศก์ปิด ft * สมมติว่าฟังก์ชัน (1) สร้างการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างจุดทั้งหมด rj, () ของโดเมน ft * บนมือข้างหนึ่ง และจุดทั้งหมด (x, y, z) ของโดเมน ft ในอีกทางหนึ่ง . จากนั้นสูตรสำหรับการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรในอินทิกรัลสามตัวนั้นถูกต้อง - จาโคเบียนของระบบฟังก์ชัน (1) อยู่ที่ไหน ในทางปฏิบัติ เมื่อคำนวณอินทิกรัลสามส่วน มักจะใช้การแทนที่พิกัดสี่เหลี่ยมด้วยพิกัดทรงกระบอกและทรงกลม 8.1. อินทิกรัลสามตัวในพิกัดทรงกระบอก ในระบบพิกัดทรงกระบอก ตำแหน่งของจุด P ในอวกาศถูกกำหนดโดยตัวเลขสามตัว p โดยที่ p และ (p คือพิกัดเชิงขั้วของการฉายภาพ P1 ของจุด P บนระนาบ xOy az คือ การประยุกต์ใช้จุด P (รูปที่ 24) ตัวเลขเรียกว่าพิกัดทรงกระบอกจุด R เป็นที่ชัดเจนว่าในระบบพิกัดทรงกระบอกพื้นผิวพิกัดเป็นปริพันธ์สามประการ สมบัติของอินทิกรัลสามตัว การคำนวณอินทิกรัลสามตัวในพิกัดทรงกระบอกและทรงกลมตามลำดับอธิบาย: ทรงกระบอกทรงกลมที่มีแกนตรงกับแกน Oz ระนาบครึ่งระนาบติดกับแกน Oz และระนาบขนานกับระนาบ xOy พิกัดทรงกระบอกเกี่ยวข้องกับ สูตรคาร์ทีเซียนต่อไปนี้ (ดูรูปที่ 24) สำหรับระบบ (3) ซึ่งจับคู่โดเมน ft กับโดเมน เรายังมีสูตร (2) สำหรับการเปลี่ยนจากอินทิกรัลสามตัวในพิกัดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าไปเป็นอินทิกรัลในพิกัดทรงกระบอก ใช้แบบฟอร์ม (4) นิพจน์เรียกว่า e องค์ประกอบของปริมาตรในพิกัดทรงกระบอก นิพจน์สำหรับองค์ประกอบปริมาตรยังสามารถหาได้จากการพิจารณาทางเรขาคณิต เราแบ่งภูมิภาค P ออกเป็นโดเมนย่อยพื้นฐานโดยประสานพื้นผิวและคำนวณปริมาตรของปริซึมโค้งที่ได้รับ (รูปที่ 25) จะเห็นได้ว่าการละทิ้งปริมาณเล็กน้อยเป็นอนันต์มากกว่า คำสั่งสูงเราได้รับ สิ่งนี้ทำให้เราสามารถนำค่าต่อไปนี้มาเป็นองค์ประกอบปริมาตรในพิกัดทรงกระบอก ตัวอย่างที่ 1 ค้นหาปริมาตรของวัตถุที่ล้อมรอบด้วยพื้นผิว 4 ในพิกัดทรงกระบอก พื้นผิวที่กำหนดจะมีสมการ (ดูสูตร (3)) พื้นผิวเหล่านี้ตัดกันตามเส้น r ซึ่งอธิบายโดยระบบสมการ (ทรงกระบอก) (ระนาบ) รูปที่ 26 และการฉายภาพบนระนาบ xOy โดยระบบ ดังนั้นปริมาตรที่ต้องการจึงคำนวณโดยสูตร (4) , ซึ่งใน. อินทิกรัลสามตัวในพิกัดทรงกลม ในระบบพิกัดทรงกลม ตำแหน่งของจุด P (x, y, z) ในอวกาศถูกกำหนดโดยตัวเลขสามตัว โดยที่ r คือระยะห่างจากจุดกำเนิดไปยังจุด ซึ่งเป็นมุมระหว่างแกน Ox และการฉายภาพของเวกเตอร์รัศมี OP ของจุด P บนระนาบ xOy และใน - มุมระหว่างแกน Oz และเวกเตอร์รัศมี OR ของจุด P ซึ่งวัดจากแกน Oz (รูปที่ 27) เป็นที่ชัดเจนว่า ประสานพื้นผิวในระบบพิกัดนี้: r = const - ทรงกลมที่มีศูนย์กลางที่จุดกำเนิด ip = const ครึ่งระนาบที่ออกจากแกน Oz; в = const - กรวยทรงกลมที่มีแกนออนซ์ ข้าว. 27 จากรูปจะเห็นได้ว่าพิกัดทรงกลมและพิกัดคาร์ทีเซียนสัมพันธ์กันด้วยความสัมพันธ์ต่อไปนี้ ให้เราคำนวณหาจาโคเบียนของฟังก์ชัน (5) เราได้ดังนั้น และสูตร (2) ใช้รูปแบบองค์ประกอบของปริมาตรในพิกัดทรงกลม - นิพจน์สำหรับองค์ประกอบของปริมาตรสามารถหาได้จากการพิจารณาทางเรขาคณิต พิจารณาพื้นที่เบื้องต้นในอวกาศที่ล้อมรอบด้วยทรงกลมรัศมี r และ r + dr, ทรงกรวย b และ b + d $ และระนาบครึ่ง โดยประมาณ บริเวณนี้ถือได้ว่าเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีการวัด จากนั้น สมบัติของอินทิกรัลสามตัวของอินทิกรัลสามตัว การคำนวณอินทิกรัลสามตัวในพิกัดคาร์ทีเซียน การคำนวณอินทิกรัลสามตัวในพิกัดทรงกระบอกและทรงกลม ตัวอย่างที่ 2 หาปริมาตรของวัตถุนูน Q ที่ตัดออกจากรูปกรวยโดยทรงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง -4 จากสมการที่สาม เราพบขีดจำกัดของมุมที่เปลี่ยนแปลง 9: มาจากไหน