การนำความร้อน คำอธิบายทางคณิตศาสตร์ ปัญหาเฉพาะของการนำความร้อน

การนำความร้อน- นี่คือการถ่ายเทความร้อนประเภทหนึ่ง การถ่ายเทความร้อนสามารถทำได้โดยใช้กลไกต่างๆ

ร่างกายทั้งหมดปล่อยคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า ที่อุณหภูมิห้อง ส่วนใหญ่เป็นรังสีอินฟราเรด เป็นอย่างนี้นี่เอง การถ่ายเทความร้อนแบบแผ่รังสี.

เมื่อมีสนามแรงโน้มถ่วง กลไกการถ่ายเทความร้อนในของเหลวอีกกลไกหนึ่งสามารถเป็นได้ การพาความร้อน... หากความร้อนถูกส่งไปยังภาชนะที่มีของเหลวหรือก๊าซผ่านด้านล่าง ส่วนล่างสุดของสารจะอุ่นขึ้น ความหนาแน่นจะลดลง พวกมันจะลอยขึ้นและให้ความร้อนบางส่วนที่ได้รับไปยังชั้นบน

การนำความร้อน การถ่ายโอนพลังงานเกิดขึ้นจากการถ่ายโอนพลังงานโดยตรงจากอนุภาค (โมเลกุล อะตอม อิเล็กตรอน) ที่มีพลังงานสูงกว่าไปยังอนุภาคที่มีพลังงานต่ำกว่า

หลักสูตรของเราจะพิจารณาการถ่ายเทความร้อนโดยการนำ

ก่อนอื่นให้เราพิจารณากรณีหนึ่งมิติเมื่ออุณหภูมิขึ้นอยู่กับพิกัดเดียวเท่านั้น NS... ปล่อยให้สื่อทั้งสองคั่นด้วยพาร์ติชั่นความหนาแบน l(รูปที่ 23.1) อุณหภูมิปานกลาง NS 1 และ NS 2 มีค่าคงที่ สามารถกำหนดได้เชิงประจักษ์ว่าปริมาณความร้อน NSส่งผ่านส่วนของพาร์ทิชันที่มีพื้นที่ NSในระหว่าง NSเท่ากับ

, (23.1)

โดยที่ค่าสัมประสิทธิ์สัดส่วน k ขึ้นอยู่กับวัสดุผนัง

ที่ NS 1 > NS 2 ความร้อนถูกถ่ายเทในทิศทางบวกของแกน NS, ที่ NS 1 < NS 2 - ลบ ทิศทางของการแพร่กระจายความร้อนสามารถนำมาพิจารณาหากในสมการ (23.1) เราแทนที่ ( NS 1 - NS 2)/lบน (- dT/dx). ในกรณีหนึ่งมิติ อนุพันธ์ dT/dxเป็นตัวแทน การไล่ระดับอุณหภูมิ... โปรดจำไว้ว่าการไล่ระดับสีเป็นเวกเตอร์ที่มีทิศทางตรงกับทิศทางของการเพิ่มขึ้นเร็วที่สุดในฟังก์ชันสเกลาร์ของพิกัด (ในกรณีของเรา NS) และโมดูลัสจะเท่ากับอัตราส่วนของการเพิ่มฟังก์ชันที่การกระจัดเล็กน้อยในทิศทางนี้กับระยะทางที่การเพิ่มขึ้นนี้เกิดขึ้น

เพื่อให้สมการที่อธิบายการถ่ายเทความร้อนมีรูปแบบทั่วไปและเป็นสากลมากขึ้น เราจึงพิจารณา ความหนาแน่นของฟลักซ์ความร้อน j - ปริมาณความร้อนที่ถ่ายเทผ่านหน่วยพื้นที่ต่อหน่วยเวลา

จากนั้นเขียนความสัมพันธ์ (23.1) ในรูปแบบ

ที่นี่เครื่องหมายลบสะท้อนถึงความจริงที่ว่าทิศทางของการไหลของความร้อนอยู่ตรงข้ามกับทิศทางของการไล่ระดับอุณหภูมิ (ทิศทางของการเพิ่มขึ้น) ดังนั้นความหนาแน่นของฟลักซ์ความร้อนจึงเป็นปริมาณเวกเตอร์ เวกเตอร์ของความหนาแน่นของฟลักซ์ความร้อนมุ่งไปที่อุณหภูมิที่ลดลง

ถ้าอุณหภูมิของตัวกลางขึ้นอยู่กับทั้งสามพิกัด ความสัมพันธ์ (23.3) จะอยู่ในรูป

ที่ไหน , คือการไล่ระดับอุณหภูมิ ( อี 1 ,อี 2 ,อี 3 - เวกเตอร์หน่วยของแกนพิกัด)

ความสัมพันธ์ (23.3) และ (23.4) แสดงถึงกฎพื้นฐานของการนำความร้อน (กฎฟูเรียร์): ความหนาแน่นของฟลักซ์ความร้อนเป็นสัดส่วนกับการไล่ระดับอุณหภูมิค่าสัมประสิทธิ์สัดส่วน k เรียกว่า ค่าสัมประสิทธิ์การนำความร้อน(หรือเพียงแค่การนำความร้อน) เพราะ ขนาดความหนาแน่นของฟลักซ์ความร้อน [ NS] = J / (m 2 s) และการไล่ระดับอุณหภูมิ [ dT / dx] = K / m แล้วขนาดของสัมประสิทธิ์การนำความร้อน [k] = J / (m × s × K)

โดยทั่วไป อุณหภูมิที่จุดต่างๆ ของสารที่ให้ความร้อนไม่สม่ำเสมอจะเปลี่ยนแปลงตลอดเวลา พิจารณากรณีหนึ่งมิติเมื่ออุณหภูมิขึ้นอยู่กับพิกัดเชิงพื้นที่เพียงจุดเดียว NSและเวลา NSและเราได้รับ สมการความร้อน- สมการอนุพันธ์ซึ่งฟังก์ชันเป็นไปตาม NS = NS(NS,NS).

ลองเลือกองค์ประกอบปริมาตรเล็ก ๆ ในรูปแบบของทรงกระบอกหรือปริซึมในตัวกลางซึ่ง generatrices ซึ่งขนานกับแกน NSและฐานตั้งฉาก (รูปที่ 23.2) พื้นที่ฐาน NSและส่วนสูง dx... มวลของเล่มนี้ dm= ร Sdxและความจุความร้อน ค × ดมโดยที่ r คือความหนาแน่นของสาร กับ- ความจุความร้อนจำเพาะ ให้เป็นเวลาสั้นๆ dtอุณหภูมิในปริมาตรนี้เปลี่ยนโดย dT... สำหรับสิ่งนี้สารในปริมาตรจะต้องได้รับความร้อนเท่ากับผลคูณของความจุความร้อนโดยการเปลี่ยนแปลงของอุณหภูมิ: ... ในทางกลับกัน d NSสามารถป้อนปริมาตรผ่านฐานของกระบอกสูบเท่านั้น: (ความหนาแน่นของฟลักซ์ความร้อน NSเป็นได้ทั้งบวกและลบ) สมการสมการสำหรับ d NS, เราได้รับ

.

แทนที่อัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นเล็กน้อยด้วยอนุพันธ์ที่สอดคล้องกันเรามาถึงความสัมพันธ์

. (23.5)

ให้เราแทนที่นิพจน์ (23.3) สำหรับความหนาแน่นของฟลักซ์ความร้อนเป็นสูตร (23.5)

. (23.6)

สมการผลลัพธ์เรียกว่า สมการความร้อน... ถ้าตัวกลางเป็นเนื้อเดียวกันและค่าการนำความร้อน k ไม่ขึ้นอยู่กับอุณหภูมิ สมการจะใช้รูปแบบ

, (23.7)

โดยที่ค่าคงที่เรียกว่า การกระจายความร้อนวันพุธ.

สมการ (23.6) - (23.8) พอใจกับชุดฟังก์ชันที่นับไม่ถ้วน NS = NS(NS,NS).

ในการแยกสารละลายเดียวของสมการการนำความร้อน จำเป็นต้องเพิ่มเงื่อนไขตั้งต้นและเงื่อนไขขอบเขตลงในสมการ

เงื่อนไขเริ่มต้นคือการระบุการกระจายอุณหภูมิในตัวกลาง NS(NS, 0) ในช่วงเวลาเริ่มต้น NS = 0.

เงื่อนไขขอบเขตอาจแตกต่างกันไปขึ้นอยู่กับสภาวะอุณหภูมิที่ขอบเขต ส่วนใหญ่มักจะมีสถานการณ์เมื่ออุณหภูมิหรือความหนาแน่นของฟลักซ์ความร้อนถูกตั้งค่าไว้ที่ขอบเขตตามฟังก์ชันของเวลา

ในบางกรณีอาจมีแหล่งความร้อนอยู่ในสิ่งแวดล้อม ความร้อนสามารถปล่อยออกมาได้จากการผ่านของกระแสไฟฟ้า ปฏิกิริยาเคมีหรือนิวเคลียร์ การปรากฏตัวของแหล่งความร้อนสามารถนำมาพิจารณาโดยการแนะนำความหนาแน่นรวมของการปล่อยพลังงาน NS(NS,y,z) เท่ากับปริมาณความร้อนที่ปล่อยออกมาจากแหล่งกำเนิดต่อหน่วยปริมาตรของสิ่งแวดล้อมต่อหน่วยเวลา ในกรณีนี้ พจน์จะปรากฏทางด้านขวามือของสมการ (23.5) NS:

.

การศึกษาปรากฏการณ์ทางกายภาพลดลงเพื่อสร้างความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณที่บ่งบอกถึงปรากฏการณ์นี้ สำหรับกระบวนการทางกายภาพที่ซับซ้อน ซึ่งปริมาณที่กำหนดอาจแตกต่างกันอย่างมากในอวกาศและเวลา ค่อนข้างยากที่จะสร้างความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณเหล่านี้ ในกรณีเช่นนี้ จะใช้วิธีการของฟิสิกส์คณิตศาสตร์ ซึ่งประกอบด้วยช่วงเวลาจำกัดและพิจารณาปริมาตรเบื้องต้นจากพื้นที่ทั้งหมด ซึ่งช่วยให้ละเลยการเปลี่ยนแปลงในค่าที่กำหนดลักษณะกระบวนการภายในปริมาณที่เลือกและช่วงเวลาที่กำหนด และทำให้การพึ่งพาอาศัยกันง่ายขึ้นอย่างมาก

ปริมาณธาตุที่เลือกด้วยวิธีนี้ dVและช่วงเวลาประถม dτในกระบวนการพิจารณา จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ มีจำนวนน้อยอย่างไม่สิ้นสุด และจากมุมมองทางกายภาพ ปริมาณยังคงมีขนาดใหญ่เพียงพอที่ภายในขอบเขตจำกัด เราสามารถพิจารณาตัวกลางเป็นต่อเนื่อง ละเลยโครงสร้างที่ไม่ต่อเนื่อง . การพึ่งพาอาศัยกันที่ได้รับในลักษณะนี้คือสมการเชิงอนุพันธ์ทั่วไปของกระบวนการ ด้วยการรวมสมการเชิงอนุพันธ์เข้าด้วยกัน เป็นไปได้ที่จะได้รับความสัมพันธ์เชิงวิเคราะห์ระหว่างปริมาณสำหรับขอบเขตทั้งหมดของการรวมเข้ากับช่วงเวลาที่พิจารณาทั้งหมด

ในการแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการหาสนามอุณหภูมิ จำเป็นต้องมีสมการการนำความร้อนแบบดิฟเฟอเรนเชียล

มาตั้งสมมติฐานดังต่อไปนี้:

ร่างกายเป็นเนื้อเดียวกันและเป็นไอโซโทรปิก

พารามิเตอร์ทางกายภาพคงที่

การเปลี่ยนรูปของปริมาตรที่พิจารณาซึ่งสัมพันธ์กับการเปลี่ยนแปลงของอุณหภูมินั้นน้อยมากเมื่อเปรียบเทียบกับปริมาตรเอง

แหล่งความร้อนภายในร่างกายมีการกระจายอย่างสม่ำเสมอ

ที่มาของสมการเชิงอนุพันธ์ของการนำความร้อนขึ้นอยู่กับกฎการอนุรักษ์พลังงานที่เรากำหนดดังนี้:

ปริมาณความร้อนdQแนะนำเป็นเล่มเบื้องต้นdVนอกเวลาdτเนื่องจากค่าการนำความร้อน เช่นเดียวกับจากแหล่งภายใน จะเท่ากับการเปลี่ยนแปลงของพลังงานภายในหรือเอนทาลปีของสารที่มีอยู่ในปริมาตรเบื้องต้น

ที่ไหน dQ 1 - ปริมาณความร้อนที่เข้าสู่ปริมาตรเบื้องต้น dVโดยการนำความร้อนในเวลา dτ;

dQ 2 - ปริมาณความร้อนซึ่งในระหว่าง dτโดดเด่นในระดับประถมศึกษา dVจากแหล่งภายใน

dQ- การเปลี่ยนแปลงของพลังงานภายใน (กระบวนการไอโซโคริก) หรือเอนทาลปีของสสาร (กระบวนการไอโซบาริก) ที่มีอยู่ในปริมาตรเบื้องต้น dVในระหว่าง dτ.

เพื่อให้ได้สมการ ให้พิจารณาปริมาตรเบื้องต้นในรูปลูกบาศก์ที่มีด้าน dx, dy, dz (ดูรูปที่ 1.2.) ลูกบาศก์อยู่ในตำแหน่งที่ใบหน้าของมันขนานกับระนาบพิกัดที่สอดคล้องกัน ปริมาณความร้อนที่จ่ายให้กับใบหน้าของปริมาตรเบื้องต้นในช่วงเวลา dτในทิศทางของแกน NS, y, z หมายถึง ตามลำดับ dQ NS , dQ y , dQ z .

ปริมาณความร้อนที่ระบายออกทางใบหน้าด้านตรงข้ามในทิศทางเดียวกันจะแสดงตามนั้น dQ NS + dx , dQ y + dy , dQ z + dz .

ปริมาณความร้อนที่จ่ายไปยังขอบ dxdyในทิศทางของแกน NSในระหว่าง dτ, เป็น:

ที่ไหน NS NS- การฉายความหนาแน่นของฟลักซ์ความร้อนในทิศทางปกติไปยังใบหน้าที่ระบุ ดังนั้น ปริมาณความร้อนที่ระบายออกทางหน้าตรงข้ามจะเป็นดังนี้:

ความแตกต่างระหว่างปริมาณความร้อนที่จ่ายให้กับปริมาตรเบื้องต้นและปริมาณความร้อนที่นำออกจากปริมาตรคือความร้อน:

การทำงาน NSต่อเนื่องในช่วงเวลาที่พิจารณา dx และสามารถขยายเป็นซีรีส์เทย์เลอร์:

หากเราจำกัดตัวเองให้อยู่ในสองเทอมแรกของซีรีส์ สมการจะถูกเขียนในรูปแบบ:

ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถหาปริมาณความร้อนที่จ่ายให้กับปริมาตรในทิศทางของแกนพิกัดอีกสองแกน y และ z.

ปริมาณความร้อน dQที่จ่ายให้เป็นผลจากการนำความร้อนไปยังปริมาตรที่พิจารณา จะเท่ากับ:

เรากำหนดระยะที่สองโดยกำหนดปริมาณความร้อนที่ปล่อยออกมาจากแหล่งภายในต่อหน่วยปริมาตรของตัวกลางต่อหน่วยเวลา NS วีแล้วเรียกมันว่า ความจุของแหล่งความร้อนภายใน[W / m 3] จากนั้น:

องค์ประกอบที่สามในสมการของเราจะพบได้ขึ้นอยู่กับลักษณะของ TD ของกระบวนการเปลี่ยนระบบ

เมื่อพิจารณาถึงกระบวนการไอโซโคริก ความร้อนทั้งหมดที่จ่ายให้กับปริมาตรเบื้องต้นจะถูกใช้เพื่อเปลี่ยนพลังงานภายในของสารที่มีอยู่ในปริมาตรนี้ กล่าวคือ dQ= ตู่.

หากเราพิจารณาพลังงานภายในของปริมาตรหน่วย ยู= NS(NS, วี) จากนั้นคุณสามารถเขียน:

, J / m 3

, เจ / กก

ที่ไหน ค วี – ความจุความร้อน isochoric หรือหน่วยปริมาตรหรือหน่วยมวล [J / m 3];

ρ - ความหนาแน่น [กก. / ม. 3]

รวบรวมนิพจน์ผลลัพธ์:

นิพจน์ที่ได้คือ สมการพลังงานเชิงอนุพันธ์สำหรับกระบวนการถ่ายเทความร้อนไอโซโคริก.

สมการของกระบวนการไอโซบาริกได้มาในลักษณะเดียวกัน ความร้อนทั้งหมดที่จ่ายให้กับปริมาตรจะเปลี่ยนเอนทาลปีของสารที่มีอยู่ในปริมาตร

อัตราส่วนผลลัพธ์คือ สมการพลังงานเชิงอนุพันธ์สำหรับกระบวนการไอโซบาริก

ในของแข็ง การถ่ายเทความร้อนจะดำเนินการตามกฎหมายฟูริเยร์
, ค่าความจุความร้อนสามารถรับได้
... จำได้ว่าการฉายภาพของเวกเตอร์ความหนาแน่นของฟลักซ์ความร้อนบนแกนพิกัดถูกกำหนดโดยนิพจน์:

นิพจน์สุดท้ายเรียกว่าสมการการนำความร้อนเชิงอนุพันธ์ มันสร้างการเชื่อมต่อระหว่างการเปลี่ยนแปลงอุณหภูมิชั่วคราวและเชิงพื้นที่ ณ จุดใด ๆ ในร่างกายที่เกิดกระบวนการนำความร้อน

สมการเชิงอนุพันธ์ทั่วไปที่สุดของการนำความร้อนในอนุพันธ์ย่อยบางส่วนมีรูปแบบเหมือนกัน แต่ในรูปของปริมาณ ρ ,  , กับเป็นหน้าที่ของเวลาและพื้นที่ สมการนี้อธิบายปัญหาการนำความร้อนจำนวนมากที่น่าสนใจในทางปฏิบัติ ถ้าเราหาค่าคงที่พารามิเตอร์ทางอุณหพลศาสตร์ สมการจะง่ายกว่า:

เราหมายถึง
, แล้ว:

อัตราส่วนภาพ NS[m 2 / s] เรียกว่าสัมประสิทธิ์การกระจายความร้อนและเป็นพารามิเตอร์ทางกายภาพของสาร จำเป็นสำหรับกระบวนการระบายความร้อนที่ไม่คงที่และกำหนดลักษณะอัตราการเปลี่ยนแปลงของอุณหภูมิ หากค่าสัมประสิทธิ์การนำความร้อนเป็นตัวกำหนดความสามารถของวัตถุในการนำความร้อน ค่าสัมประสิทธิ์การแพร่ความร้อนจะเป็นตัววัดคุณสมบัติเฉื่อยความร้อนของร่างกาย ตัวอย่างเช่น ของเหลวและก๊าซมีความเฉื่อยทางความร้อนสูงกว่า ดังนั้นจึงมีการแพร่ทางความร้อนต่ำ ในขณะที่โลหะมีความเฉื่อยทางความร้อนต่ำ

หากมีแหล่งความร้อนภายใน และสนามอุณหภูมิคงที่ เราก็จะได้สมการปัวซอง:

ในที่สุด ด้วยค่าการนำความร้อนคงที่และไม่มีแหล่งความร้อนภายใน เราจะได้สมการ Laplace:

สภาพการนำความร้อนที่ชัดเจน

เนื่องจากสมการเชิงอนุพันธ์ของการนำความร้อนได้มาจากกฎทั่วไปของฟิสิกส์ จึงอธิบายปรากฏการณ์ทั้งชั้น เพื่อแก้ปัญหานี้ จำเป็นต้องระบุเงื่อนไขขอบเขตหรือเงื่อนไขของเอกลักษณ์

เงื่อนไขสำหรับความชัดเจนรวมถึง:

เงื่อนไขทางเรขาคณิต - กำหนดลักษณะรูปร่างและขนาดของร่างกาย

สภาพร่างกาย - กำหนดคุณสมบัติทางกายภาพของสิ่งแวดล้อมและร่างกาย

เงื่อนไขเริ่มต้น (ชั่วคราว) - กำหนดลักษณะการกระจายอุณหภูมิในร่างกายในช่วงเวลาเริ่มต้นซึ่งกำหนดในการศึกษากระบวนการที่ไม่คงที่

เงื่อนไขขอบเขต - กำหนดลักษณะปฏิสัมพันธ์ของร่างกายภายใต้การพิจารณากับสิ่งแวดล้อม

เงื่อนไขขอบเขตสามารถระบุได้หลายวิธี

เงื่อนไขขอบเขตของประเภทแรก การกระจายอุณหภูมิบนพื้นผิวของร่างกายถูกกำหนดไว้สำหรับแต่ละช่วงเวลา:

NS ค = NS(NS, y, z, τ )

ที่ไหน NS ค- อุณหภูมิพื้นผิวของร่างกาย

NS, y, z- พิกัดผิวกาย

ในกรณีพิเศษ เมื่ออุณหภูมิบนพื้นผิวคงที่ตลอดระยะเวลาทั้งหมดของกระบวนการถ่ายเทความร้อน สมการจะลดความซับซ้อนลง:

NS ค = คอนสต

เงื่อนไขขอบเขตประเภทที่สอง ค่าฟลักซ์ความร้อนถูกกำหนดไว้สำหรับแต่ละจุดของพื้นผิวร่างกายและในช่วงเวลาใดเวลาหนึ่ง การวิเคราะห์ดูเหมือนว่านี้:

NS ค = NS(NS, y, z, τ )

ในกรณีที่ง่ายที่สุด ความหนาแน่นของฟลักซ์ความร้อนบนพื้นผิวของร่างกายจะคงที่ กรณีดังกล่าวเกิดขึ้นเมื่อให้ความร้อนผลิตภัณฑ์โลหะในเตาเผาที่มีอุณหภูมิสูง

เงื่อนไขขอบเขตประเภทที่สาม ในกรณีนี้ อุณหภูมิแวดล้อมจะถูกตั้งไว้ NS พุธและกฎการถ่ายเทความร้อนระหว่างพื้นผิวของร่างกายกับสิ่งแวดล้อม กฎของนิวตัน-ริชมันน์ใช้เพื่ออธิบายกระบวนการถ่ายเทความร้อน ตามกฎหมายนี้ ปริมาณความร้อนที่จ่ายออกหรือรับโดยหน่วยพื้นผิวของร่างกายต่อหน่วยเวลาเป็นสัดส่วนกับความแตกต่างของอุณหภูมิระหว่างพื้นผิวของร่างกายกับสิ่งแวดล้อม:

ที่ไหน α ค่าสัมประสิทธิ์สัดส่วนที่เรียกว่าสัมประสิทธิ์การถ่ายเทความร้อน [W / (m 2 · K)] กำหนดลักษณะความเข้มของการถ่ายเทความร้อน ในเชิงตัวเลข จะเท่ากับปริมาณความร้อนที่ปล่อยออกมาจากหน่วยผิวกายต่อหน่วยเวลา โดยมีความแตกต่างของอุณหภูมิเท่ากับหนึ่งองศา ตามกฎการอนุรักษ์พลังงาน ปริมาณความร้อนที่ถูกขับออกสู่สิ่งแวดล้อมควรเท่ากับความร้อนที่จ่ายเนื่องจากการนำความร้อนจากส่วนต่างๆ ภายในร่างกาย กล่าวคือ

สมการสุดท้ายเป็นเงื่อนไขขอบเขตของประเภทที่สาม

มีปัญหาทางเทคนิคที่ซับซ้อนมากขึ้นเมื่อไม่สามารถระบุเงื่อนไขที่ระบุไว้ได้ จากนั้นคุณต้องแก้ปัญหาโดยใช้วิธีการผันคำกริยา เมื่อแก้ปัญหาดังกล่าว จะต้องเป็นไปตามเงื่อนไขสำหรับความเท่าเทียมกันของอุณหภูมิและฟลักซ์ความร้อนที่ทั้งสองด้านของอินเทอร์เฟซ ในกรณีทั่วไป เงื่อนไขการผันคำกริยาสามารถเขียนได้:

การแก้ปัญหาคอนจูเกตเกี่ยวข้องกับการค้นหาฟิลด์อุณหภูมิทั้งสองด้านของอินเทอร์เฟซ

ให้เราแก้ปัญหาผสมแรกสำหรับสมการความร้อน: หาคำตอบ u (x, t) ของสมการที่ตรงตามเงื่อนไขเริ่มต้นและเงื่อนไขขอบเขต เราเริ่มด้วยปัญหาที่ง่ายที่สุด: หาคำตอบ u (x, t) ที่เป็นเนื้อเดียวกัน สมการที่เป็นไปตามเงื่อนไขเริ่มต้นและสภาวะขอบเขตศูนย์ (เป็นเนื้อเดียวกัน) วิธีฟูริเยร์สำหรับสมการความร้อน เราจะหาคำตอบของสมการที่ไม่สำคัญ (4) ที่เป็นไปตามเงื่อนไขขอบเขต (6) ในรูปแบบ Psdstaap ในรูปแบบ (7) ให้เป็นสมการ (4) เราได้รับหรือเมื่อเรามีสมการเชิงอนุพันธ์ธรรมดาสองสมการ เพื่อให้ได้คำตอบที่ไม่สำคัญและ (x, *) ของแบบฟอร์ม (7) ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขขอบเขต (6) จำเป็นต้องหาคำตอบที่ไม่สำคัญ ของสมการ (10) ที่เป็นไปตามเงื่อนไขขอบเขต ดังนั้น เพื่อกำหนดฟังก์ชัน X (x) เราจึงเจอปัญหาค่าลักษณะเฉพาะ: ค้นหาค่าเหล่านั้นของพารามิเตอร์ A ซึ่งมีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่สำคัญสำหรับ ปัญหา ปัญหานี้ได้รับการพิจารณาในบทที่แล้ว มันแสดงให้เห็นที่นั่นว่าเฉพาะเมื่อมีคำตอบที่ไม่น่าสนใจเท่านั้น เมื่อ A = A „ คำตอบทั่วไปของสมการ (9) จะมีรูปแบบที่เป็นไปตามสมการ (4) และเงื่อนไขขอบเขต (6) ให้เราสร้างอนุกรมที่เป็นทางการ เมื่อกำหนดให้ฟังก์ชัน u (x) t) กำหนดโดยสูตร (12) เป็นไปตามเงื่อนไขเริ่มต้น เราจะได้อนุกรม (13) คือการขยายตัวของฟังก์ชันที่กำหนดในอนุกรมฟูริเยร์ในหน่วยไซน์ใน ช่วงเวลา (O, I) สัมประสิทธิ์การขยายตัว a “ถูกกำหนดโดยสูตรที่รู้จักกันดี วิธีฟูเรียร์สำหรับสมการความร้อน สมมติว่าประจุ (13) กับสัมประสิทธิ์ที่กำหนดโดยสูตร (14) จะบรรจบกันเป็นฟังก์ชันอย่างสมบูรณ์และสม่ำเสมอ ตั้งแต่นั้นมาซีรีส์ก็บรรจบกันอย่างสมบูรณ์และสม่ำเสมอ ดังนั้น ฟังก์ชัน u (x, t) - ผลรวมของอนุกรม (12) - มีความต่อเนื่องในภูมิภาคและเป็นไปตามเงื่อนไขเริ่มต้นและขอบเขต ยังคงแสดงว่าฟังก์ชัน u (x, t) เป็นไปตามสมการ (4) ในพื้นที่ 0 สำหรับสิ่งนี้ ก็เพียงพอที่จะแสดงว่าอนุกรมได้มาจาก (12) โดยการแยกความแตกต่างแบบเทอมต่อเทอมเทียบกับ t หนึ่งครั้งและความแตกต่างแบบเทอมต่อเทอมเกี่ยวกับ x สองครั้งนั้นยังเป็นแบบสัมบูรณ์และมาบรรจบกันอย่างเท่าเทียมกันสำหรับ แต่สิ่งนี้ตามมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าสำหรับ t> 0 ใดๆ หาก n มีขนาดใหญ่เพียงพอ เอกลักษณ์ของวิธีแก้ปัญหา (4) - (6) และการพึ่งพาโซลูชันอย่างต่อเนื่องในฟังก์ชันเริ่มต้นนั้นเกิดขึ้นก่อนหน้านี้แล้ว ดังนั้นสำหรับ t> 0 ปัญหา (4) - (6) ถูกวางอย่างถูกต้อง ในทางตรงกันข้าม สำหรับเชิงลบ t ปัญหานี้ไม่ถูกต้อง ความคิดเห็น ตรงกันข้ามกับสมการบ้าน สมการนั้นไม่สมมาตรเกี่ยวกับเวลา t: ถ้าเราแทนที่ t ด้วย -t เราก็จะได้สมการประเภทอื่นที่อธิบายกระบวนการที่ไม่สามารถย้อนกลับได้: m นี่คือเวลา t ก่อนหน้านั้นด้วย ช่วงเวลาที่เป็นปัญหา ความสัมพันธ์ระหว่างการทำนายและยุคก่อนประวัติศาสตร์นี้เป็นเรื่องปกติของสมการพาราโบลา และไม่ยึดถือ ตัวอย่างเช่น สำหรับสมการคลื่น ในกรณีหลัง การมองอดีตเป็นเรื่องง่ายเหมือนการมองอนาคต ตัวอย่าง. หาการกระจายของอุณหภูมิในตัวเมียที่เป็นเนื้อเดียวกันของความยาว x ถ้าอุณหภูมิเริ่มต้นของแท่งและที่ปลายของแท่งเป็นศูนย์ 4 ปัญหาจะลดลงเป็นการแก้สมการภายใต้เงื่อนไขเริ่มต้นและเงื่อนไขขอบเขต การใช้วิธีฟูริเยร์เรามองหาคำตอบของสมการที่ไม่สำคัญ (15) ที่ตรงตามเงื่อนไขขอบเขต (17) ในรูปแบบการแทนที่ u (x, t) ในรูปแบบ (18) เป็นสมการ (15) และการแบ่งตัวแปรเราจะได้ค่า Eigenvalues ​​ของปัญหา ลักษณะเฉพาะ Xn (x) = mn nx สำหรับ A = A „ คำตอบทั่วไปของสมการ (19) จะมีรูปแบบ Tn (t) = ape a n \ เพื่อที่เราจะหาวิธีแก้ปัญหา (15) - (17) ในรูปแบบของอนุกรม ดังนั้น คำตอบของปัญหาเดิมคือฟังก์ชัน 2 ให้เราพิจารณาปัญหาต่อไปนี้: หาคำตอบ rx (x, t) ของสมการเอกพันธ์ _ เป็นไปตามเงื่อนไขเริ่มต้นและเงื่อนไขขอบเขตที่เป็นเนื้อเดียวกัน สมมติว่าฟังก์ชัน / เป็นค่าต่อเนื่อง มีอนุพันธ์ต่อเนื่อง และสำหรับ t> 0 ทั้งหมด จะเป็นไปตามเงื่อนไข วิธีแก้ปัญหา (1) - (3) จะถูกค้นหาในรูปแบบที่เรากำหนดให้เป็นวิธีแก้ปัญหาและหน้าที่เป็นวิธีแก้ปัญหา ปัญหา (8) - (10) พิจารณาในหัวข้อที่ 1 เราจะหาวิธีแก้ปัญหา v (x, t) ของปัญหา (5 ) - (7) ในรูปแบบของอนุกรมในฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ (ปัญหาค่าขอบเขต โดยการเพิ่ม t) ในรูปแบบของสมการ (5) เราได้รับ Expand ฟังก์ชั่น / ОМ) ในอนุกรมฟูริเยร์ในไซน์โดยที่การเปรียบเทียบสองการขยาย (12) และ (13) ฟังก์ชัน f (x, t) ในอนุกรมฟูริเยร์เราได้รับ! การใช้เงื่อนไขเริ่มต้นสำหรับ v (x, t) วิธีฟูริเยร์สำหรับสมการความร้อน เราพบว่าคำตอบของสมการ (15) ที่มีเงื่อนไขเริ่มต้น (16) มีรูปแบบดังนี้: การแทนที่นิพจน์ที่พบสำหรับ Tn (t) เป็นอนุกรม (11) เราได้รับวิธีแก้ปัญหา Function จะเป็นวิธีแก้ปัญหาเดิม (1) - (3) 3. พิจารณาปัญหา: หาวิธีแก้ปัญหาของสมการในโดเมนภายใต้เงื่อนไขเริ่มต้นและเงื่อนไขขอบเขตที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน วิธีฟูริเยร์ไม่สามารถใช้ได้โดยตรงเนื่องจากความไม่สอดคล้องกันของเงื่อนไข (20) เราแนะนำฟังก์ชันใหม่ที่ไม่รู้จัก v (x, t) การตั้งค่าที่ จากนั้นวิธีแก้ปัญหา (18) - (20) จะลดลงเป็นวิธีแก้ปัญหา (1) - (3) พิจารณาในส่วนที่ 2 สำหรับ ฟังก์ชัน v (x, J) แบบฝึกหัด 1. มีการระบุแถบที่เป็นเนื้อเดียวกันเป็นอนันต์ แสดงว่าถ้าอุณหภูมิเริ่มต้นคือ โมเมนต์ด้านหน้าคืออุณหภูมิของแท่ง 2 ปลายของแท่งยาว x จะถูกคงไว้ที่อุณหภูมิเท่ากับศูนย์ อุณหภูมิเริ่มต้นถูกกำหนดโดยสูตร กำหนดอุณหภูมิของแท่งสำหรับช่วงเวลาใดๆ t> 0 3. ปลายก้านยาว I ถูกเก็บไว้ที่อุณหภูมิศูนย์ อุณหภูมิเริ่มต้นของแท่งจะถูกกำหนดโดยสูตร กำหนดอุณหภูมิของแท่งสำหรับช่วงเวลาใดๆ t> 0 4. ปลายของแท่งยาว I จะถูกคงไว้ที่อุณหภูมิศูนย์ การกระจายอุณหภูมิเริ่มต้น กำหนดอุณหภูมิของแกนในช่วงเวลาใด ๆ t> 0 คำตอบ

สมการความร้อนสำหรับกรณีที่ไม่คงที่

ไม่อยู่กับที่ถ้าอุณหภูมิร่างกายขึ้นอยู่กับตำแหน่งของจุดและตรงเวลา

ให้เราแทนด้วย และ = และ(NS, NS) อุณหภูมิ ณ จุด NSร่างกายที่เป็นเนื้อเดียวกันล้อมรอบด้วยพื้นผิว NS, ณ ห้วงเวลา NS... เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าปริมาณความร้อน dQซึมซับในเวลา dt, แสดงออกด้วยความเท่าเทียมกัน

ที่ไหน dS- องค์ประกอบพื้นผิว kคือสัมประสิทธิ์การนำความร้อนภายในเป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชัน และไปในทิศทางปกติภายนอกสู่พื้นผิว NS... เนื่องจากมันแพร่กระจายไปในทิศทางของอุณหภูมิที่ลดลง ดังนั้น dQ> 0 ถ้า> 0 และ dQ < 0, если < 0.

ความเท่าเทียมกัน (1) หมายถึง

เดี๋ยวจะหาว่า NSวิธีอื่น เลือกองค์ประกอบ dVปริมาณ วีล้อมรอบด้วยพื้นผิว NS... ปริมาณความร้อน dQได้รับโดยองค์ประกอบ dVในระหว่าง dt, สัดส่วนกับอุณหภูมิที่เพิ่มขึ้นในองค์ประกอบนี้และมวลขององค์ประกอบเอง เช่น

ความหนาแน่นของสารอยู่ที่ไหน สัมประสิทธิ์สัดส่วน เรียกว่าความจุความร้อนของสาร

ความเท่าเทียมกัน (2) หมายถึง

ดังนั้น,

ที่ไหน . เมื่อพิจารณาว่า =, เราได้

แทนที่ทางด้านขวามือของความเท่าเทียมกันด้วยความช่วยเหลือของสูตร Ostrogradsky - Green ที่เราได้รับ

สำหรับปริมาณใดๆ วี... จากนี้เราจะได้สมการอนุพันธ์

ซึ่งเรียกว่า สมการการนำความร้อนสำหรับกรณีไม่นิ่ง.

ถ้าร่างกายเป็นแท่งที่ชี้ไปตามแกน โอ้แล้วสมการการนำความร้อนจะมีรูปแบบ

พิจารณาปัญหา Cauchy สำหรับกรณีต่อไปนี้

1. เคสคันไม่จำกัดจำนวนหาคำตอบของสมการ (3) ( NS> 0,) เป็นไปตามเงื่อนไขเริ่มต้น โดยใช้วิธีฟูริเยร์ เราจะได้คำตอบในรูปแบบ

เป็นอินทิกรัลปัวซอง

2. เคสร็อด, จำกัดด้านใดด้านหนึ่งคำตอบของสมการ (3) ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขเริ่มต้นและเงื่อนไขขอบเขตแสดงโดยสูตร

3. เคสร็อด, จำกัดทั้งสองด้านปัญหา Cauchy คือสำหรับ NS= 0 และ NS = lหาคำตอบของสมการ (3) ที่ตรงตามเงื่อนไขเริ่มต้นและสองเงื่อนไขขอบเขต ตัวอย่างเช่น หรือ

ในกรณีนี้ จะหาวิธีแก้ปัญหาเฉพาะในรูปของอนุกรม

สำหรับเงื่อนไขขอบเขต

และอยู่ในรูปของซีรีส์

สำหรับเงื่อนไขขอบเขต

ตัวอย่าง.หาคำตอบของสมการ

เป็นไปตามเงื่อนไขเบื้องต้น

และเงื่อนไขขอบเขต

□ วิธีแก้ปัญหา Cauchy จะค้นหาในแบบฟอร์ม

ดังนั้น,

สมการความร้อนสำหรับกรณีอยู่กับที่

การกระจายความร้อนในร่างกายเรียกว่า เครื่องเขียนถ้าอุณหภูมิร่างกาย และขึ้นอยู่กับตำแหน่งของจุด NS(NS, ที่, z) แต่ไม่ขึ้นกับเวลา NS, เช่น.

และ = และ(NS) = และ(NS, ที่, z).

ในกรณีนี้ 0 และสมการความร้อนสำหรับกรณีอยู่กับที่จะกลายเป็น สมการลาปลาซ

ซึ่งมักจะเขียนว่า

เพื่อให้อุณหภูมิ และในร่างกายถูกกำหนดอย่างชัดเจนจากสมการนี้ คุณต้องรู้อุณหภูมิบนพื้นผิว NSร่างกาย. ดังนั้นสำหรับสมการ (1) ปัญหาค่าขอบเขตจึงมีสูตรดังนี้

ค้นหาฟังก์ชัน และสมความพอใจ (1) ภายในปริมาตร วีและรับในแต่ละจุด NSพื้นผิว NSค่าเป้าหมาย

งานนี้เรียกว่า ปัญหา Dirichletหรือ ปัญหาขอบเขตแรกสำหรับสมการ (1)

หากไม่ทราบอุณหภูมิบนพื้นผิวของร่างกายและทราบความร้อนที่จุดแต่ละจุดของพื้นผิวซึ่งเป็นสัดส่วนแล้วบนพื้นผิว NSแทนที่จะเป็นเงื่อนไขขอบเขต (2) เราจะมีเงื่อนไข

ปัญหาการหาคำตอบของสมการ (1) เป็นไปตามเงื่อนไขขอบเขต (3) เรียกว่า งานของนอยมันน์หรือ ปัญหาขอบเขตที่สอง.

สำหรับตัวเลขระนาบ สมการ Laplace เขียนอยู่ในรูป

สมการ Laplace มีรูปแบบเดียวกันสำหรับช่องว่าง if และไม่ขึ้นกับพิกัด z, เช่น. และ(NS) คงค่าคงที่ขณะเคลื่อนที่จุด NSเป็นเส้นตรงขนานกับแกน ออนซ์.

โดยการแทนที่ สมการ (4) สามารถแปลงเป็นพิกัดเชิงขั้วได้

แนวคิดของฟังก์ชันฮาร์มอนิกสัมพันธ์กับสมการลาปลาซ ฟังก์ชันนี้เรียกว่า ฮาร์โมนิกในพื้นที่ NSหากในภูมิภาคนี้มีความต่อเนื่องร่วมกับอนุพันธ์จนถึงอันดับที่สองและเป็นไปตามสมการลาปลาซ

ตัวอย่าง.หาการกระจายอุณหภูมิแบบคงที่ในแท่งบางที่มีพื้นผิวด้านข้างที่หุ้มฉนวนความร้อน หากอยู่ที่ปลายแท่ง

□ เรามีเคสแบบมิติเดียว คุณต้องการค้นหาฟังก์ชัน และเป็นไปตามสมการและเงื่อนไขขอบเขต สมการทั่วไปของสมการนี้มีรูปแบบ โดยคำนึงถึงเงื่อนไขขอบเขต เราได้รับ

ดังนั้นการกระจายอุณหภูมิในแท่งบางที่มีพื้นผิวด้านข้างที่หุ้มฉนวนความร้อนจะเป็นเส้นตรง ■

ปัญหา Dirichlet สำหรับวงกลม

ให้รัศมีเป็นวงกลม NSมีศูนย์กลางอยู่ที่เสา อู๋ระบบพิกัดเชิงขั้ว จำเป็นต้องค้นหาฟังก์ชันที่ฮาร์มอนิกในวงกลมและเป็นไปตามเงื่อนไขบนวงกลม ซึ่งเป็นฟังก์ชันที่กำหนดซึ่งต่อเนื่องกันบนวงกลม ฟังก์ชันที่ต้องการต้องเป็นไปตามสมการ Laplace ในวงกลม

โดยใช้วิธีฟูริเยร์ สามารถรับได้

เป็นอินทิกรัลปัวซอง

ตัวอย่าง.ค้นหาการกระจายอุณหภูมิคงที่บนแผ่นรัศมีทรงกลมบางที่สม่ำเสมอ NSครึ่งบนเก็บไว้ที่อุณหภูมิและครึ่งล่างที่อุณหภูมิ

□ ถ้า แล้ว และ ถ้า แล้ว การกระจายอุณหภูมิแสดงโดยอินทิกรัล

ให้จุดนั้นอยู่ในครึ่งวงกลมบน กล่าวคือ ; จากนั้นเปลี่ยนจาก เป็น และช่วงความยาวนี้ไม่มีจุด ดังนั้นเราจึงแนะนำการแทนที่ด้วยเหตุใด แล้วเราจะได้

ทางขวาเป็นลบ ดังนั้น และที่สนองความไม่เท่าเทียมกัน สำหรับกรณีนี้ เราได้รับวิธีแก้ปัญหา

หากจุดนั้นอยู่ในครึ่งวงกลมล่าง กล่าวคือ จากนั้นช่วงการเปลี่ยนแปลงจะมีจุด แต่ไม่มี 0 และสามารถสร้างการทดแทนได้ ดังนั้นสำหรับค่าเหล่านี้เรามี

ดำเนินการแปลงที่คล้ายกัน เราพบ

เนื่องจากทางขวามือตอนนี้เป็นบวกแล้ว ■

วิธีไฟไนต์ดิฟเฟอเรนซ์สำหรับการแก้สมการความร้อน

ให้ต้องหาคำตอบของสมการ

น่าพอใจ:

เงื่อนไขเบื้องต้น

และเงื่อนไขขอบเขต

จึงต้องหาคำตอบของสมการ (1) ที่ตรงตามเงื่อนไข (2), (3), (4), เช่น จำเป็นต้องค้นหาวิธีแก้ปัญหาในสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ล้อมรอบด้วยเส้นตรง,, ถ้าค่าของฟังก์ชันที่ต้องการได้รับจากทั้งสามด้าน,,

มาสร้างตาข่ายสี่เหลี่ยมที่เกิดจากเส้นตรงกันเถอะ

- ก้าวไปตามแกน โอ้;

- ก้าวไปตามแกน อ็อต.

ให้เราแนะนำสัญกรณ์:

จากแนวคิดของความแตกต่างจำกัด เราสามารถเขียน

ในทำนองเดียวกัน

โดยคำนึงถึงสูตร (6), (7) และการกำหนดที่แนะนำเราเขียนสมการ (1) ในรูปแบบ

จากนี้ไปเราจะได้สูตรการคำนวณ

ตามมาจาก (8) ว่าถ้าทราบค่า k สามค่า k-th mesh layer:,,, จากนั้นคุณสามารถกำหนดค่าใน ( k+ 1) ชั้นที่

เงื่อนไขเริ่มต้น (2) ช่วยให้คุณค้นหาค่าทั้งหมดในบรรทัด เงื่อนไขขอบเขต (3), (4) ทำให้สามารถค้นหาค่าบนเส้นและ การใช้สูตร (8) เราพบค่าที่จุดภายในทั้งหมดของเลเยอร์ถัดไปนั่นคือ สำหรับ k= 1 ค่าของฟังก์ชันที่ต้องการที่จุดสุดขั้วนั้นทราบจากเงื่อนไขขอบเขต (3), (4) ผ่านจากชั้นตาข่ายหนึ่งไปยังอีกชั้นหนึ่ง เรากำหนดค่าของโซลูชันที่ต้องการที่โหนดตาข่ายทั้งหมด ;

เมื่อสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของการกระจายความร้อนในแท่ง เราตั้งสมมติฐานดังต่อไปนี้:

1) แกนทำด้วยวัสดุที่เป็นเนื้อเดียวกันที่มีความหนาแน่น ρ ;

2) พื้นผิวด้านข้างของแท่งเป็นฉนวนความร้อน นั่นคือ ความร้อนสามารถแพร่กระจายไปตามแกนเท่านั้น โอ้;

3) แท่งมีความบาง - ซึ่งหมายความว่าอุณหภูมิทุกจุดของส่วนตัดขวางของแท่งจะเท่ากัน

พิจารณาส่วนหนึ่งของแถบในส่วน [ x, x + ∆x] (ดูรูปที่ 6) และใช้ กฎการอนุรักษ์ปริมาณความร้อน:

ปริมาณความร้อนทั้งหมดในส่วน [ x, x + ∆x] = ปริมาณความร้อนทั้งหมดที่ผ่านขอบเขต + ปริมาณความร้อนทั้งหมดที่เกิดจากแหล่งภายใน

ปริมาณความร้อนทั้งหมดที่ต้องส่งไปยังส่วนของแกนเพื่อเพิ่มอุณหภูมิโดย ∆U, คำนวณโดยสูตร: ∆Q = CρS∆x∆U, ที่ไหน กับ-ความจุความร้อนจำเพาะของวัสดุ (= ปริมาณความร้อนที่ต้องส่งผ่านไปยังสาร 1 กิโลกรัมเพื่อเพิ่มอุณหภูมิ 1 °) NS- พื้นที่หน้าตัด.

ปริมาณความร้อนที่ไหลผ่านปลายด้านซ้ายของส่วนแกนในระหว่างเวลา ∆t(การไหลของความร้อน) คำนวณโดยสูตร: Q 1 = -kSU x (x, t) ∆t, ที่ไหน k- ค่าสัมประสิทธิ์การนำความร้อนของวัสดุ (= ปริมาณความร้อนที่ไหลต่อวินาทีผ่านแท่งที่มีความยาวหน่วยและพื้นที่หน้าตัดของหน่วยที่ความแตกต่างของอุณหภูมิที่ปลายอีกด้านที่ 1 °) ในสูตรนี้ เครื่องหมายลบต้องการคำอธิบายพิเศษ ความจริงก็คือการไหลนั้นถือเป็นบวกหากพุ่งขึ้นข้างบน NSและนี่ก็หมายความว่าไปทางซ้ายของจุด NSอุณหภูมิจะสูงกว่าทางด้านขวา นั่นคือ ยู x< 0 ... ดังนั้น ถึง คิว 1เป็นบวก มีเครื่องหมายลบในสูตร

ในทำนองเดียวกัน ฟลักซ์ความร้อนผ่านด้านขวาของส่วนแกนคำนวณโดยใช้สูตร: Q 2 = -kSU x (x + ∆x, t) ∆t.

หากเราคิดว่าแกนไม่มีแหล่งความร้อนภายใน และใช้กฎการอนุรักษ์ความร้อน เราจะได้:

∆Q = Q 1 - Q 2 => CpS∆x∆U = kSU x (x + ∆х, t) ∆t - kSU x (x, t) ∆t.

ถ้าความเท่าเทียมกันนี้หารด้วย S∆x∆tและกำกับ ∆xและ ∆tเป็นศูนย์ แล้วเราจะได้:

ดังนั้นสมการการนำความร้อนจึงมีรูปแบบ

U t = a 2 U xx,

การกระจายความร้อนอยู่ที่ไหน

ในกรณีที่มีแหล่งความร้อนอยู่ภายในแกนที่มีการกระจายตัวด้วยความหนาแน่นอย่างต่อเนื่อง คิว (x, t), เราได้สมการการนำความร้อนที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน

U t = a 2 U xx + f (x, t),
ที่ไหน .

เงื่อนไขเบื้องต้นและเงื่อนไขขอบเขต

สำหรับสมการความร้อนเท่านั้น หนึ่งเงื่อนไขเริ่มต้น U | เสื้อ = 0 = φ (x)(หรือในรายการอื่น U (x, 0) = φ (x)) และทางกายภาพหมายความว่าการกระจายอุณหภูมิเริ่มต้นของแท่งมีรูปแบบ φ (x)... สำหรับสมการความร้อนบนระนาบหรือในอวกาศ เงื่อนไขเริ่มต้นมีรูปแบบเดียวกัน เฉพาะฟังก์ชัน φ จะขึ้นอยู่กับตัวแปรสองหรือสามตัวตามลำดับ

เงื่อนไขขอบเขตในกรณีของสมการความร้อนมีรูปแบบเดียวกับสมการคลื่น แต่ความหมายทางกายภาพต่างกัน เงื่อนไข ชนิดแรก (5)หมายความว่าตั้งอุณหภูมิไว้ที่ปลายแท่ง หากไม่เปลี่ยนแปลงไปตามกาลเวลา g 1 (t) ≡ Т 1และ g 2 (t) ≡ Т 2, ที่ไหน T 1และ T 2- ถาวร. ถ้าปลายถูกเก็บไว้ที่อุณหภูมิศูนย์ตลอดเวลา ดังนั้น T 1 = T 2 = 0และเงื่อนไขจะสม่ำเสมอ เงื่อนไขชายแดน ชนิดที่สอง (6)กำหนดการไหลของความร้อนที่ปลายก้าน โดยเฉพาะถ้า ก. 1 (เสื้อ) = ก. 2 (เสื้อ) = 0จากนั้นเงื่อนไขจะกลายเป็นเนื้อเดียวกัน ทางกายภาพ หมายถึงการแลกเปลี่ยนความร้อนกับสภาพแวดล้อมภายนอกไม่เกิดขึ้นที่ปลาย (เงื่อนไขเหล่านี้เรียกอีกอย่างว่าเงื่อนไขสำหรับฉนวนกันความร้อนของปลายท่อ) สุดท้ายเงื่อนไขขอบเขต ประเภทที่สาม (7)สอดคล้องกับกรณีที่การแลกเปลี่ยนความร้อนกับสิ่งแวดล้อมเกิดขึ้นผ่านปลายของแกนตามกฎของนิวตัน (จำได้ว่าเมื่อได้สมการการนำความร้อนมา เราถือว่าพื้นผิวด้านข้างเป็นฉนวนความร้อน) จริง ในกรณีของสมการการนำความร้อน เงื่อนไข (7) เขียนต่างกันเล็กน้อย:

กฎทางกายภาพของการแลกเปลี่ยนความร้อนกับสิ่งแวดล้อม (กฎของนิวตัน) คือ การไหลของความร้อนผ่านหน่วยของพื้นผิวต่อหน่วยเวลาเป็นสัดส่วนกับความแตกต่างของอุณหภูมิระหว่างร่างกายกับสิ่งแวดล้อม ดังนั้น สำหรับปลายด้านซ้ายของแถบ จะเท่ากับ ที่นี่ ชั่วโมง 1> 0- ค่าสัมประสิทธิ์การแลกเปลี่ยนความร้อนกับสิ่งแวดล้อม ก. 1 (ท)- อุณหภูมิแวดล้อมที่ปลายด้านซ้าย เครื่องหมายลบถูกใส่ในสูตรด้วยเหตุผลเดียวกับที่มาของสมการการนำความร้อน ในทางกลับกัน เนื่องจากค่าการนำความร้อนของวัสดุ ฟลักซ์ความร้อนผ่านปลายเดียวกันจึงเท่ากัน เราใช้กฎการอนุรักษ์ปริมาณความร้อน:

เงื่อนไข (14) ได้มาในทำนองเดียวกันที่ปลายด้านขวาของแกน เฉพาะค่าคงที่ λ 2อาจแตกต่างกันไป เนื่องจากโดยทั่วไปแล้ว สภาพแวดล้อมรอบๆ ปลายด้านซ้ายและขวาต่างกัน

เงื่อนไขขอบเขต (14) เป็นเงื่อนไขทั่วไปมากกว่าเงื่อนไขประเภทที่หนึ่งและสอง หากเราคิดว่าไม่มีการแลกเปลี่ยนความร้อนกับตัวกลางจนถึงจุดสิ้นสุดใดๆ (นั่นคือ สัมประสิทธิ์การถ่ายเทความร้อนเป็นศูนย์) เงื่อนไขของประเภทที่สองจะได้รับ ในอีกกรณีหนึ่ง เราถือว่าสัมประสิทธิ์การถ่ายเทความร้อน เช่น ชั่วโมง 1, ใหญ่มาก.

ให้เราเขียนเงื่อนไขใหม่ (14) สำหรับ x = 0เช่น และเราจะมุ่งมั่น เป็นผลให้เราจะมีเงื่อนไขประเภทแรก:

เงื่อนไขขอบเขตสำหรับตัวแปรจำนวนมากขึ้นได้รับการกำหนดในลักษณะเดียวกัน สำหรับปัญหาการแพร่กระจายความร้อนในจานแบน เงื่อนไขนี้หมายความว่าอุณหภูมิที่ขอบจะอยู่ที่ศูนย์ ในทำนองเดียวกัน สภาพจะคล้ายกันมากในรูปลักษณ์ แต่ในกรณีแรกหมายความว่าแผ่นแบนได้รับการพิจารณาและขอบของมันเป็นฉนวนความร้อน และในกรณีที่สองหมายความว่าปัญหาการแพร่กระจายความร้อนในร่างกายคือ พิจารณาและพื้นผิวเป็นฉนวนความร้อน

คำตอบของปัญหาค่าขอบเขตเริ่มต้นแรกสำหรับสมการการนำความร้อน

พิจารณาปัญหาค่าขอบเขตเริ่มต้นแรกที่เป็นเนื้อเดียวกันสำหรับสมการความร้อน:

หาคำตอบของสมการ

คุณ เสื้อ = คุณ xx, 0 0,

เงื่อนไขขอบเขตที่น่าพอใจ

คุณ (0, เสื้อ) = คุณ (ล, เสื้อ) = 0, เสื้อ> 0,

และเงื่อนไขเบื้องต้น

มาแก้ปัญหานี้ด้วยวิธีฟูริเยร์กัน

ขั้นตอนที่ 1... เราจะหาคำตอบของสมการ (15) ในรูปแบบ U (x, t) = X (x) T (t).

มาหาอนุพันธ์ย่อยกัน:

แทนที่อนุพันธ์เหล่านี้ลงในสมการแล้วหารตัวแปร:

โดยบทแทรกหลัก เราได้รับ

นี่หมายความว่า

ตอนนี้คุณสามารถแก้สมการเชิงอนุพันธ์ธรรมดาแต่ละสมการได้แล้ว ขอให้เราใส่ใจกับความจริงที่ว่าการใช้เงื่อนไขขอบเขต (16) เราไม่สามารถค้นหาคำตอบทั่วไปของสมการ b) แต่สำหรับคำตอบเฉพาะที่ตรงตามเงื่อนไขขอบเขตที่เกี่ยวข้อง:

ขั้นตอนที่ 2.มาแก้ปัญหา Sturm-Liouville กันเถอะ

ปัญหานี้เกิดขึ้นพร้อมกับปัญหา Sturm-Liouville ที่พิจารณาใน บรรยาย 3เราจำได้ว่าค่าลักษณะเฉพาะและลักษณะเฉพาะของปัญหานี้มีอยู่สำหรับ .เท่านั้น λ>0.

ค่าลักษณะเฉพาะเท่ากัน

ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะเท่ากัน (ดูวิธีแก้ไขปัญหา)

ขั้นตอนที่ 3แทนที่ค่าลักษณะเฉพาะในสมการ a) และแก้มัน:

ขั้นตอนที่ 4ให้เราเขียนคำตอบของสมการเฉพาะ (15):

เนื่องจากความเป็นเส้นตรงและความสม่ำเสมอของสมการ (15) การรวมเชิงเส้นของพวกมัน

ก็จะเป็นคำตอบของสมการนี้ และฟังก์ชัน คุณ (x, t)เป็นไปตามเงื่อนไขขอบเขต (16)

ขั้นตอนที่ 5มานิยามสัมประสิทธิ์กัน หนึ่งใน (19) โดยใช้เงื่อนไขเริ่มต้น (17):

เรามาถึงความจริงที่ว่าฟังก์ชันเริ่มต้น φ (x)ขยายเป็นอนุกรมฟูริเยร์ในแง่ของลักษณะเฉพาะของปัญหา Sturm-Liouville ตามทฤษฎีบทของ Steklov การขยายดังกล่าวเป็นไปได้สำหรับฟังก์ชันที่เป็นไปตามเงื่อนไขขอบเขตและมีอนุพันธ์อันดับสองอย่างต่อเนื่อง สัมประสิทธิ์ฟูริเยร์หาได้จากสูตร

ข้อมูลที่คล้ายกัน