หัวข้อนี้ค่อนข้างสำคัญ คณิตศาสตร์และพีชคณิตเพิ่มเติมทั้งหมดขึ้นอยู่กับคุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน คุณสมบัติการพิจารณาของเศษส่วนแม้จะมีความสำคัญ แต่ก็ง่ายมาก
เข้าใจไหม คุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วนพิจารณาเป็นวงกลม
บนวงกลม คุณจะเห็นว่า 4 ส่วนนั้นเต็มหรือแปดส่วนที่เป็นไปได้ ให้เราเขียนเศษส่วนผลลัพธ์ \ (\ frac (4) (8) \)
ในวงกลมถัดไป คุณจะเห็นว่าส่วนหนึ่งของทั้งสองส่วนที่เป็นไปได้ถูกทาสีทับ ลองเขียนเศษส่วนผลลัพธ์ \ (\ frac (1) (2) \)
หากสังเกตดีๆ เราจะเห็นว่าในกรณีแรก กรณีที่ 2 เติมครึ่งวงกลม ดังนั้นเศษที่ได้จึงเป็น \ (\ frac (4) (8) = \ frac (1) ( 2) \) นั่นคือตัวเลขเดียวกัน
เราจะพิสูจน์สิ่งนี้ทางคณิตศาสตร์ได้อย่างไร? ง่ายๆ ให้จำตารางการคูณและเขียนเศษส่วนแรกเป็นตัวประกอบ
\ (\ frac (4) (8) = \ frac (1 \ cdot \ color (สีแดง) (4)) (2 \ cdot \ color (สีแดง) (4)) = \ frac (1) (2) \ cdot \ color (สีแดง) (\ frac (4) (4)) = \ frac (1) (2) \ cdot \ color (สีแดง) (1) = \ frac (1) (2) \)
เราทำอะไรลงไปบ้าง? เราวาดตัวเศษและตัวหารเป็นตัวประกอบ \ (\ frac (1 \ cdot \ color (สีแดง) (4)) (2 \ cdot \ color (สีแดง) (4)) \) แล้วแบ่งเศษส่วน \ (\ frac (1) (2) \ cdot \ color (สีแดง) (\ frac (4) (4)) \) สี่หารด้วยสี่ได้ 1 และหนึ่งคูณด้วยจำนวนใด ๆ ก็คือตัวเลขนั้นเอง สิ่งที่เราได้ทำในตัวอย่างข้างต้นเรียกว่า การลดเศษส่วน.
ลองดูตัวอย่างอื่นและลดเศษส่วน
\ (\ frac (6) (10) = \ frac (3 \ cdot \ color (สีแดง) (2)) (5 \ cdot \ color (สีแดง) (2)) = \ frac (3) (5) \ cdot \ color (สีแดง) (\ frac (2) (2)) = \ frac (3) (5) \ cdot \ color (สีแดง) (1) = \ frac (3) (5) \)
เราวาดตัวเศษและตัวส่วนเป็นตัวประกอบและยกเลิกตัวเลขเดียวกันในตัวเศษและตัวส่วน นั่นคือ สองหารด้วยสองให้หนึ่ง และหนึ่งคูณด้วยจำนวนใดๆ ก็ได้จำนวนเท่ากัน
คุณสมบัติหลักของเศษส่วน
นี่แสดงถึงคุณสมบัติหลักของเศษส่วน:
หากทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนคูณด้วยจำนวนเดียวกัน (ยกเว้นศูนย์) ค่าของเศษส่วนจะไม่เปลี่ยนแปลง
\ (\ bf \ frac (a) (b) = \ frac (a \ cdot n) (b \ cdot n) \)
คุณยังสามารถแบ่งเศษส่วนของตัวเศษและตัวส่วนด้วยจำนวนเดียวกันได้ในเวลาเดียวกัน
ลองพิจารณาตัวอย่าง:
\ (\ frac (6) (8) = \ frac (6 \ div \ สี (สีแดง) (2)) (8 \ div \ สี (สีแดง) (2)) = \ frac (3) (4) \)
หากทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนหารด้วยตัวเลขเดียวกัน (ยกเว้นศูนย์) ค่าของเศษส่วนจะไม่เปลี่ยนแปลง
\ (\ bf \ frac (a) (b) = \ frac (a \ div n) (b \ div n) \)
เศษส่วนที่มีตัวประกอบเฉพาะร่วมกันทั้งในตัวเศษและตัวส่วนเรียกว่า เศษส่วนที่ยกเลิกได้.
ตัวอย่างของเศษส่วนที่ยกเลิกได้: \ (\ frac (2) (4), \ frac (6) (10), \ frac (9) (15), \ frac (10) (5), ... \)
นอกจากนี้ยังมี เศษส่วนลดไม่ได้.
เศษส่วนที่ลดไม่ได้เป็นเศษส่วนที่ไม่มีตัวประกอบเฉพาะในตัวเศษและตัวส่วน
ตัวอย่างของเศษส่วนที่ลดไม่ได้: \ (\ frac (1) (2), \ frac (3) (5), \ frac (5) (7), \ frac (13) (5), ... \)
ตัวเลขใดๆ สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ เนื่องจากตัวเลขใดๆ หารด้วยหนึ่งลงตัวตัวอย่างเช่น:
\ (7 = \ frac (7) (1) \)
คำถามในหัวข้อ:
คิดว่าเศษส่วนไหนลดได้หรือเปล่า?
คำตอบ: ไม่มี มีเศษส่วนที่ยกเลิกได้และเศษส่วนที่ลดไม่ได้
ตรวจสอบว่าความเท่าเทียมกันเป็นจริงหรือไม่: \ (\ frac (7) (11) = \ frac (14) (22) \)?
คำตอบ: เขียนเศษส่วน \ (\ frac (14) (22) = \ frac (7 \ cdot 2) (11 \ cdot 2) = \ frac (7) (11) \)ใช่มันยุติธรรม
ตัวอย่าง # 1:
ก) หาเศษส่วนที่มีตัวส่วน 15 เท่ากับเศษส่วน \ (\ frac (2) (3) \).
b) หาเศษส่วนที่มีตัวเศษ 8 เท่ากับเศษส่วน \ (\ frac (1) (5) \).
สารละลาย:
ก) เราต้องการเลข 15 ในตัวส่วน ตอนนี้ ตัวเลขในตัวส่วนคือ 3 ควรคูณเลข 3 ตัวกับเลขอะไรเพื่อให้ได้ 15 จำตารางสูตรคูณ 3⋅5 กันเถอะ เราต้องใช้คุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วนแล้วคูณทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน \ (\ frac (2) (3) \)โดย 5.
\ (\ frac (2) (3) = \ frac (2 \ cdot 5) (3 \ cdot 5) = \ frac (10) (15) \)
b) เราต้องการเลข 8 ในตัวเศษ ตอนนี้เลข 1 อยู่ในตัวเศษ แล้วเลข 1 ควรคูณด้วยเลขอะไรจึงจะได้ 8 แน่นอน 1-8 เราต้องใช้คุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วนแล้วคูณทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน \ (\ frac (1) (5) \)โดย 8. เราได้รับ:
\ (\ frac (1) (5) = \ frac (1 \ cdot 8) (5 \ cdot 8) = \ frac (8) (40) \)
ตัวอย่าง # 2:
หาเศษส่วนที่ลดไม่ได้เท่ากับเศษส่วน: ก) \ (\ frac (16) (36) \), NS) \ (\ frac (10) (25) \).
สารละลาย:
NS) \ (\ frac (16) (36) = \ frac (4 \ cdot 4) (9 \ cdot 4) = \ frac (4) (9) \)
NS) \ (\ frac (10) (25) = \ frac (2 \ cdot 5) (5 \ cdot 5) = \ frac (2) (5) \)
ตัวอย่าง # 3:
เขียนตัวเลขเป็นเศษส่วน: a) 13 b) 123
สารละลาย:
NS) \ (13 = \ frac (13) (1) \)
NS) \ (123 = \ frac (123) (1) \)
จากหลักสูตรพีชคณิตในหลักสูตรของโรงเรียน เราหันไปใช้ข้อมูลเฉพาะ ในบทความนี้ เราจะมาศึกษารายละเอียดเกี่ยวกับการแสดงออกอย่างมีเหตุผลแบบพิเศษ - เศษส่วนตรรกยะและพิจารณาด้วยว่าลักษณะใดเหมือนกัน การแปลงเศษส่วนตรรกยะแทนที่.
เราทราบทันทีว่าเศษส่วนตรรกยะในแง่ที่เรากำหนดไว้ด้านล่างนี้เรียกว่าเศษส่วนพีชคณิตในตำราพีชคณิตบางเล่ม นั่นคือในบทความนี้ เราจะหมายถึงสิ่งเดียวกันกับเศษส่วนตรรกยะและพีชคณิต
ตามปกติ เรามาเริ่มด้วยคำจำกัดความและตัวอย่างกัน ต่อไป เรามาพูดถึงการลดจำนวนตรรกยะให้เป็นตัวส่วนใหม่และเกี่ยวกับการเปลี่ยนเครื่องหมายของสมาชิกของเศษส่วน หลังจากนั้นเราจะวิเคราะห์วิธีการลดเศษส่วน สุดท้าย มาดูการแทนเศษส่วนตรรกยะเป็นผลรวมของเศษส่วนหลาย ๆ ตัวกัน เราจะให้ข้อมูลทั้งหมดพร้อมตัวอย่างพร้อมคำอธิบายโดยละเอียดของโซลูชัน
การนำทางหน้า
ความหมายและตัวอย่างของเศษส่วนตรรกยะ
เศษส่วนตรรกยะสอนในบทเรียนพีชคณิตเกรด 8 เราจะใช้คำจำกัดความของเศษส่วนตรรกยะซึ่งระบุไว้ในหนังสือเรียนพีชคณิตสำหรับ 8 ชั้นเรียนโดย Yu.N. Makarychev et al
คำจำกัดความนี้ไม่ได้ระบุว่าพหุนามในตัวเศษและตัวส่วนของเศษตรรกยะต้องเป็นพหุนามในรูปแบบมาตรฐานหรือไม่ ดังนั้น เราจะถือว่าบันทึกของเศษส่วนตรรกยะสามารถมีทั้งพหุนามมาตรฐานและไม่เป็นมาตรฐาน
นี่คือบางส่วน ตัวอย่างเศษส่วนตรรกยะ... ดังนั้น x / 8 และ 
- เศษส่วนตรรกยะ และเศษส่วน 
และไม่เข้ากับคำนิยามของเศษส่วนตรรกยะที่เปล่งออกมา เนื่องจากในครั้งแรกไม่มีพหุนามในตัวเศษ และในวินาที ทั้งในตัวเศษและในตัวส่วนมีนิพจน์ที่ไม่ใช่พหุนาม
การแปลงตัวเศษและตัวส่วนของเศษตรรกยะ
ตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนใดๆ เป็นนิพจน์ทางคณิตศาสตร์แบบพอเพียง ในกรณีของเศษส่วนตรรกยะ สิ่งเหล่านี้คือพหุนาม ในกรณีพิเศษ โมโนเมียลและตัวเลข ดังนั้น ด้วยตัวเศษและตัวส่วนของเศษตรรกยะ เช่นเดียวกับนิพจน์ใดๆ จึงเป็นไปได้ที่จะทำการแปลงที่เหมือนกัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง นิพจน์ในตัวเศษของเศษส่วนตรรกยะสามารถแทนที่ด้วยนิพจน์ที่เหมือนกันกับนิพจน์นั้น เช่นเดียวกับตัวส่วน
การแปลงที่เหมือนกันสามารถทำได้ในตัวเศษและตัวส่วนของเศษตรรกยะ ตัวอย่างเช่น ในตัวเศษ คุณสามารถจัดกลุ่มและนำพจน์ที่คล้ายกัน และในตัวส่วน - ผลคูณของตัวเลขหลายตัว ให้แทนที่ด้วยค่าของมัน และเนื่องจากตัวเศษและตัวส่วนของเศษตรรกยะเป็นพหุนาม จึงเป็นไปได้ที่จะทำการแปลงลักษณะเฉพาะของพหุนามด้วยพวกมัน ตัวอย่างเช่น การลดรูปแบบมาตรฐานหรือการแทนค่าในรูปของผลิตภัณฑ์
เพื่อความชัดเจน ให้พิจารณาวิธีแก้ปัญหาของตัวอย่างต่างๆ
ตัวอย่าง.
แปลงเศษส่วนตรรกยะ 
เพื่อให้ตัวเศษประกอบด้วยพหุนามของรูปแบบมาตรฐาน และตัวส่วนประกอบด้วยผลคูณของพหุนาม
สารละลาย.
การลดเศษส่วนตรรกยะเป็นตัวส่วนใหม่ส่วนใหญ่จะใช้เมื่อบวกและลบเศษตรรกยะ
เครื่องหมายเปลี่ยนหน้าเศษส่วน ตัวเศษ และตัวส่วน
คุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วนสามารถใช้เปลี่ยนเครื่องหมายของสมาชิกของเศษส่วนได้ อันที่จริง การคูณตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนตรรกยะด้วย -1 นั้นเทียบเท่ากับการเปลี่ยนเครื่องหมาย และผลลัพธ์ก็คือเศษส่วนที่เท่ากันกับตัวที่ให้มาเหมือนกัน การเปลี่ยนแปลงนี้ต้องได้รับการแก้ไขบ่อยครั้งเมื่อทำงานกับเศษส่วนตรรกยะ
ดังนั้น หากคุณเปลี่ยนเครื่องหมายของตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนพร้อมกัน คุณจะได้เศษส่วนเท่ากับเศษส่วนเดิม ความเท่าเทียมกันสอดคล้องกับข้อความนี้
มายกตัวอย่างกัน เศษส่วนตรรกยะสามารถแทนที่ด้วยเศษส่วนที่เท่ากันโดยเปลี่ยนเครื่องหมายของตัวเศษและตัวส่วนของแบบฟอร์ม
การแปลงที่เหมือนกันอีกอย่างหนึ่งสามารถทำได้ด้วยเศษส่วน ซึ่งเครื่องหมายจะเปลี่ยนทั้งในตัวเศษหรือตัวส่วน เราจะประกาศกฎที่เกี่ยวข้อง หากคุณแทนที่เครื่องหมายของเศษส่วนพร้อมกับเครื่องหมายของตัวเศษหรือตัวส่วน คุณจะได้เศษส่วนที่เท่ากับเศษส่วนเดิมเท่ากัน ข้อความที่เป็นลายลักษณ์อักษรสอดคล้องกับความเท่าเทียมกันและ
ไม่ยากเลยที่จะพิสูจน์ความเท่าเทียมกันเหล่านี้ การพิสูจน์ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของการคูณตัวเลข ให้เราพิสูจน์ก่อนของพวกเขา:. ความเท่าเทียมกันได้รับการพิสูจน์ด้วยความช่วยเหลือของการเปลี่ยนแปลงที่คล้ายกัน
ตัวอย่างเช่น คุณสามารถแทนที่เศษส่วนด้วยหรือ
เพื่อสรุปส่วนย่อยนี้ เราขอเสนอความเท่าเทียมกันที่เป็นประโยชน์อีกสองประการและ นั่นคือถ้าคุณเปลี่ยนเครื่องหมายของตัวเศษหรือตัวส่วนเท่านั้น เศษส่วนจะเปลี่ยนเครื่องหมายของมัน ตัวอย่างเช่น, 
และ 
.
การแปลงที่พิจารณาแล้ว ซึ่งทำให้สามารถเปลี่ยนเครื่องหมายของสมาชิกของเศษส่วนได้ มักใช้เมื่อเปลี่ยนนิพจน์ตรรกยะแบบเศษส่วน
การลดเศษส่วนตรรกยะ
การเปลี่ยนแปลงครั้งต่อไปของเศษส่วนตรรกยะ ซึ่งเรียกว่าการยกเลิกเศษส่วนตรรกยะ ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติพื้นฐานเดียวกันของเศษส่วน การแปลงนี้สอดคล้องกับความเท่าเทียมกัน โดยที่ a, b และ c เป็นพหุนามบางตัว และ b และ c ไม่ใช่ศูนย์
จากความเท่าเทียมกันข้างต้น จะเห็นได้ชัดว่าการลดเศษตรรกยะหมายถึงการกำจัดตัวประกอบร่วมในตัวเศษและตัวส่วน
ตัวอย่าง.
ลดเศษส่วนตรรกยะ.
สารละลาย.
ปัจจัยร่วม 2 จะมองเห็นได้ทันที เราจะทำการลดลง (เมื่อเขียนปัจจัยร่วมซึ่งสะดวกต่อการขีดฆ่า) เรามี 
... เนื่องจาก x 2 = x x และ y 7 = y 3 y 4 (ดูหากจำเป็น) เป็นที่ชัดเจนว่า x เป็นปัจจัยร่วมของตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนที่เป็นผลลัพธ์ เช่น y 3 ลดปัจจัยเหล่านี้: 
... นี้เสร็จสิ้นการลด
ด้านบน เราทำการย่อเศษตรรกยะตามลำดับ และสามารถลดขั้นตอนได้ในขั้นตอนเดียว โดยลดเศษส่วนลงทันที 2 · x · y 3 ในกรณีนี้ วิธีแก้ปัญหาจะมีลักษณะดังนี้: 
.
ตอบ:
.
เมื่อยกเลิกเศษส่วนตรรกยะ ปัญหาหลักคือ ตัวประกอบร่วมของตัวเศษและตัวส่วนไม่สามารถมองเห็นได้เสมอ นอกจากนี้ยังไม่ได้มีอยู่เสมอ ในการหาตัวประกอบร่วมหรือให้แน่ใจว่าไม่มีอยู่ คุณต้องแยกตัวประกอบตัวเศษและตัวส่วนของเศษตรรกยะเป็นตัวประกอบ หากไม่มีตัวประกอบร่วม ก็ไม่จำเป็นต้องยกเลิกเศษส่วนตรรกยะเดิม มิฉะนั้น จะดำเนินการยกเลิก
ในกระบวนการลดเศษส่วนตรรกยะ ความแตกต่างต่างๆ อาจเกิดขึ้นได้ รายละเอียดปลีกย่อยหลักพร้อมตัวอย่างและรายละเอียดจะกล่าวถึงในบทความเรื่องการลดเศษส่วนพีชคณิต
เมื่อจบการสนทนาเกี่ยวกับการยกเลิกเศษส่วนตรรกยะ เราสังเกตว่าการแปลงนี้เหมือนกันหมด และปัญหาหลักในการนำไปปฏิบัติอยู่ที่การแยกตัวประกอบของพหุนามในตัวเศษและตัวส่วน
การแสดงเศษส่วนตรรกยะเป็นผลรวมของเศษส่วน
ค่อนข้างเฉพาะเจาะจง แต่ในบางกรณีมีประโยชน์มาก คือการแปลงเศษส่วนตรรกยะ ซึ่งประกอบด้วยการแสดงแทนเป็นผลรวมของเศษส่วนหลายส่วน หรือผลรวมของนิพจน์จำนวนเต็มและเศษส่วน
เศษส่วนตรรกยะ ในตัวเศษซึ่งมีพหุนามซึ่งเป็นผลรวมของโมโนเมียลหลายตัว สามารถเขียนเป็นผลรวมของเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากันได้เสมอ ในตัวเศษซึ่งมีโมโนเมียลที่สอดคล้องกัน ตัวอย่างเช่น, 
... การแทนค่านี้อธิบายโดยกฎการบวกและการลบเศษส่วนพีชคณิตที่มีตัวส่วนเท่ากัน
โดยทั่วไป เศษตรรกยะใดๆ สามารถแสดงเป็นผลรวมของเศษส่วนได้หลายวิธี ตัวอย่างเช่น เศษส่วน a / b สามารถแสดงเป็นผลรวมของเศษส่วนสองส่วน - เศษส่วนโดยพลการ c / d และเศษส่วนเท่ากับผลต่างระหว่างเศษส่วน a / b และ c / d ข้อความนี้เป็นความจริงเนื่องจากความเท่าเทียมกัน 
... ตัวอย่างเช่น เศษตรรกยะสามารถแสดงเป็นผลรวมของเศษส่วนได้หลายวิธี: ลองแทนเศษส่วนเดิมเป็นผลรวมของนิพจน์จำนวนเต็มและเศษส่วน โดยการหารตัวเศษด้วยตัวส่วนในคอลัมน์ เราจะได้ค่าเท่ากัน 
... ค่าของนิพจน์ n 3 +4 สำหรับจำนวนเต็ม n ใดๆ เป็นจำนวนเต็ม และค่าของเศษส่วนจะเป็นจำนวนเต็มก็ต่อเมื่อตัวส่วนของมันคือ 1, −1, 3 หรือ −3 ค่าเหล่านี้สอดคล้องกับค่า n = 3, n = 1, n = 5 และ n = -1 ตามลำดับ
ตอบ:
−1 , 1 , 3 , 5 .
บรรณานุกรม.
- พีชคณิต:ศึกษา. สำหรับ 8 ซล. การศึกษาทั่วไป สถาบัน / [อ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; เอ็ด S.A. Telyakovsky. - ครั้งที่ 16 - อ.: การศึกษา, 2551 .-- 271 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-019243-9
- A.G. Mordkovichพีชคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 เวลา 14.00 น. ตอนที่ 1 ตำราสำหรับนักเรียนของสถาบันการศึกษา / A. G. Mordkovich - ครั้งที่ 13 รายได้ - M.: Mnemozina, 2009 .-- 160 p.: Ill. ไอ 978-5-346-01198-9
- A.G. Mordkovichพีชคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 เวลา 14.00 น. ตอนที่ 1 ตำราสำหรับนักเรียนของสถาบันการศึกษา / A. G. Mordkovich - ครั้งที่ 11 ลบ. - M.: Mnemozina, 2009 .-- 215 p.: ป่วย ไอ 978-5-346-01155-2
- Gusev V.A. , Mordkovich A.G.คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้สมัครเข้าโรงเรียนเทคนิค): หนังสือเรียน. คู่มือ - ม.; สูงกว่า shk., 1984.-351 p., ill.
เศษส่วน- รูปแบบของการแสดงตัวเลขทางคณิตศาสตร์ แถบเศษส่วนหมายถึงการดำเนินการหาร ตัวเศษเศษส่วนเรียกว่าเงินปันผลและ ตัวส่วน- ตัวแบ่ง ตัวอย่างเช่น ในเศษส่วน ตัวเศษคือ 5 และตัวส่วนคือ 7
ถูกต้องเศษส่วนที่มีโมดูลัสของตัวเศษมากกว่าโมดูลัสของตัวส่วนถูกเรียก หากเศษส่วนถูกต้อง โมดูลัสของค่านั้นจะน้อยกว่า 1 เสมอ เศษส่วนอื่นๆ ทั้งหมดคือ ผิด.
เศษส่วนเรียกว่า ผสมถ้าเขียนเป็นจำนวนเต็มและเศษส่วน นี่เท่ากับผลรวมของจำนวนนี้กับเศษส่วน:
คุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน
หากตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนคูณด้วยจำนวนเดียวกัน ค่าของเศษส่วนจะไม่เปลี่ยนแปลง กล่าวคือ ตัวอย่างเช่น
ตัวหารร่วมของเศษส่วน
ในการนำเศษส่วนสองส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วม คุณต้อง:
- คูณตัวเศษของเศษส่วนแรกด้วยตัวส่วนของวินาที
- ตัวเศษของเศษส่วนที่สองคูณด้วยตัวส่วนของส่วนแรก
- แทนที่ตัวส่วนของเศษส่วนทั้งสองด้วยผลคูณ
การกระทำที่มีเศษส่วน
ส่วนที่เพิ่มเข้าไป.ในการบวกเศษส่วนสองส่วน คุณต้องมี
- บวกตัวเศษใหม่ของเศษส่วนทั้งสอง แล้วปล่อยให้ตัวส่วนไม่เปลี่ยนแปลง
ตัวอย่าง:
การลบในการลบเศษส่วนจากเศษส่วนอื่น คุณต้องมี
- นำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วม
- ลบตัวเศษของวินาทีจากตัวเศษของเศษส่วนแรก และปล่อยให้ตัวส่วนไม่เปลี่ยนแปลง
ตัวอย่าง:
การคูณในการคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วน คุณต้องคูณทั้งตัวเศษและตัวส่วน
เมื่อพูดถึงคณิตศาสตร์ เราอดไม่ได้ที่จะจำเศษส่วน พวกเขาอุทิศเวลาและความสนใจอย่างมากในการศึกษา จำไว้ว่าคุณต้องแก้ตัวอย่างกี่ตัวอย่างเพื่อเรียนรู้กฎบางอย่างสำหรับการทำงานกับเศษส่วน วิธีที่คุณจำและประยุกต์ใช้คุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน มีกี่เส้นประสาทที่ใช้เพื่อค้นหาตัวส่วนร่วม โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าในตัวอย่างมีคำศัพท์มากกว่าสองคำ!
จำไว้ว่ามันคืออะไรและรีเฟรชหน่วยความจำของเราเล็กน้อยกับข้อมูลพื้นฐานและกฎสำหรับการทำงานกับเศษส่วน
การกำหนดเศษส่วน
เริ่มจากสิ่งที่สำคัญที่สุด - คำจำกัดความ เศษส่วนคือจำนวนที่ประกอบด้วยส่วนประกอบตั้งแต่หนึ่งส่วนขึ้นไป ตัวเลขเศษส่วนเขียนเป็นตัวเลขสองตัวคั่นด้วยแนวนอนหรือเครื่องหมายทับ ในกรณีนี้ ตัวบน (หรือตัวแรก) จะเรียกว่าตัวเศษ และตัวล่าง (ตัวที่สอง) จะเรียกว่าตัวส่วน
เป็นที่น่าสังเกตว่าตัวส่วนแสดงจำนวนส่วนที่แบ่งออกเป็นหน่วย และตัวเศษคือจำนวนส่วนหรือส่วนที่ถ่าย เศษส่วน ถ้าถูกต้อง มักจะน้อยกว่าหนึ่ง
ทีนี้มาดูคุณสมบัติของตัวเลขเหล่านี้และกฎพื้นฐานที่ใช้เมื่อทำงานกับตัวเลขเหล่านี้ แต่ก่อนที่เราจะวิเคราะห์แนวคิดเช่น "คุณสมบัติหลักของเศษส่วนตรรกยะ" เรามาพูดถึงประเภทของเศษส่วนและคุณสมบัติของเศษส่วนกันก่อน
เศษส่วนคืออะไร
ตัวเลขดังกล่าวมีหลายประเภท ประการแรก สิ่งเหล่านี้เป็นเรื่องปกติและเป็นทศนิยม อันแรกแสดงถึงประเภทของการบันทึกที่เราระบุไว้แล้วโดยใช้แนวนอนหรือเครื่องหมายทับ เศษส่วนประเภทที่สองถูกระบุโดยใช้สิ่งที่เรียกว่าสัญกรณ์ตำแหน่ง เมื่อส่วนจำนวนเต็มของตัวเลขถูกระบุก่อน จากนั้นหลังจากเครื่องหมายจุลภาค ส่วนที่เป็นเศษส่วนจะถูกระบุ
เป็นที่น่าสังเกตว่าในวิชาคณิตศาสตร์นั้นมีการใช้ทั้งทศนิยมและเศษส่วนธรรมดาในลักษณะเดียวกัน คุณสมบัติหลักของเศษส่วนใช้ได้กับตัวเลือกที่สองเท่านั้น นอกจากนี้ ตัวเลขที่ถูกต้องและไม่ถูกต้องยังแยกเป็นเศษส่วนธรรมดา สำหรับอดีต ตัวเศษจะน้อยกว่าตัวส่วนเสมอ โปรดทราบว่าเศษส่วนดังกล่าวมีค่าน้อยกว่าหนึ่ง ในทางกลับกัน เศษส่วนไม่ปกติ ตัวเศษมากกว่าตัวส่วน และตัวมันเองมีค่ามากกว่าหนึ่ง ในกรณีนี้ สามารถแยกจำนวนเต็มออกมาได้ ในบทความนี้ เราจะพิจารณาเฉพาะเศษส่วนธรรมดาเท่านั้น
คุณสมบัติของเศษส่วน
ปรากฏการณ์ใด ๆ ทางเคมี กายภาพ หรือคณิตศาสตร์ มีลักษณะและคุณสมบัติของมันเอง ตัวเลขเศษส่วนก็ไม่มีข้อยกเว้น พวกเขามีคุณลักษณะที่สำคัญอย่างหนึ่งซึ่งช่วยดำเนินการบางอย่างได้ คุณสมบัติหลักของเศษส่วนคืออะไร? กฎบอกว่าถ้าตัวเศษและตัวส่วนคูณหรือหารด้วยจำนวนตรรกยะเดียวกัน เราจะได้เศษส่วนใหม่ ซึ่งค่านั้นจะเท่ากับค่าของเศษส่วนเดิม นั่นคือการคูณสองส่วนของเศษส่วน 3/6 ด้วย 2 เราได้เศษส่วนใหม่ 6/12 ในขณะที่พวกมันจะเท่ากัน
ตามคุณสมบัตินี้ คุณสามารถลดเศษส่วน และเลือกตัวส่วนร่วมสำหรับคู่ตัวเลขเฉพาะได้
ปฏิบัติการ
แม้ว่าเศษส่วนจะซับซ้อนกว่าสำหรับเรา แต่คุณยังสามารถดำเนินการทางคณิตศาสตร์ขั้นพื้นฐานได้ เช่น การบวก การลบ การคูณ และการหาร เมื่อเปรียบเทียบกับเศษส่วน นอกจากนี้ยังมีการดำเนินการเฉพาะเช่นการลดเศษส่วน โดยธรรมชาติแล้ว การดำเนินการแต่ละอย่างจะดำเนินการตามกฎเกณฑ์บางประการ ความรู้เกี่ยวกับกฎเหล่านี้ทำให้ทำงานกับเศษส่วนได้ง่ายขึ้น ทำให้ง่ายและน่าสนใจยิ่งขึ้น นั่นคือเหตุผลที่เราจะพิจารณากฎพื้นฐานและอัลกอริทึมของการกระทำต่อไปเมื่อทำงานกับตัวเลขดังกล่าว
แต่ก่อนที่จะพูดถึงการดำเนินการทางคณิตศาสตร์เช่นการบวกและการลบ ให้เราตรวจสอบการดำเนินการเช่นการลดลงเป็นตัวส่วนร่วม นี่คือจุดที่ความรู้เกี่ยวกับคุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วนนั้นมีประโยชน์สำหรับเรา
ตัวส่วนร่วม
ในการที่จะนำตัวเลขมาเป็นตัวส่วนร่วม ก่อนอื่นคุณต้องหาตัวคูณร่วมที่เล็กที่สุดของตัวส่วนสองตัว นั่นคือจำนวนที่น้อยที่สุดที่ตัวหารทั้งสองหารพร้อมกันโดยไม่เหลือเศษ. วิธีที่ง่ายที่สุดในการหา LCM (ตัวคูณร่วมน้อย) คือการเขียนลงในบรรทัดสำหรับตัวส่วนหนึ่ง จากนั้นให้เขียนตัวส่วนที่สองและหาจำนวนที่ตรงกัน ในกรณีที่ไม่พบ LCM นั่นคือ ตัวเลขเหล่านี้ไม่มีตัวคูณร่วม ควรคูณ และค่าผลลัพธ์ควรถือเป็น LCM
เราพบ LCM แล้ว ตอนนี้เราต้องหาปัจจัยเพิ่มเติม ในการทำเช่นนี้ คุณต้องแบ่ง LCM เป็นตัวส่วนของเศษส่วนสลับกัน แล้วเขียนจำนวนผลลัพธ์ทับแต่ละตัว ต่อไป คุณควรคูณทั้งเศษและส่วนด้วยตัวประกอบเพิ่มเติมที่เป็นผลลัพธ์ และเขียนผลลัพธ์เป็นเศษส่วนใหม่ หากคุณสงสัยว่าจำนวนที่คุณได้รับเท่ากับจำนวนก่อนหน้า ให้จำคุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน
ส่วนที่เพิ่มเข้าไป
ตอนนี้ ไปที่การดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับตัวเลขเศษส่วนโดยตรง เริ่มจากสิ่งที่ง่ายที่สุดกันก่อน มีหลายตัวเลือกสำหรับการบวกเศษส่วน ในกรณีแรก ตัวเลขทั้งสองตัวมีตัวส่วนเท่ากัน ในกรณีนี้ จะเหลือเพียงการเพิ่มตัวเศษเข้าด้วยกันเท่านั้น แต่ตัวส่วนไม่เปลี่ยนแปลง ตัวอย่างเช่น 1/5 + 3/5 = 4/5
ถ้าเศษส่วนมีตัวส่วนต่างกัน คุณควรนำมารวมกันแล้วบวกเท่านั้น วิธีการทำเช่นนี้เราได้แยกแยะให้สูงขึ้นเล็กน้อย ในสถานการณ์นี้ คุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วนจะมีประโยชน์ กฎจะอนุญาตให้คุณนำตัวเลขไปยังตัวส่วนร่วม ซึ่งจะไม่เปลี่ยนแปลงค่าแต่อย่างใด
อีกทางหนึ่งอาจเกิดขึ้นที่เศษส่วนผสมกัน ขั้นแรกคุณควรรวมส่วนทั้งหมดเข้าด้วยกัน แล้วก็ส่วนที่เป็นเศษส่วน
การคูณ
ไม่ต้องใช้ลูกเล่นใดๆ และเพื่อดำเนินการนี้ ไม่จำเป็นต้องรู้คุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน ขั้นแรกให้คูณทั้งเศษและส่วนเข้าด้วยกันก่อน ในกรณีนี้ ผลคูณของตัวเศษจะกลายเป็นตัวเศษใหม่ และตัวส่วนจะกลายเป็นตัวส่วนใหม่ อย่างที่คุณเห็นไม่มีอะไรซับซ้อน
สิ่งเดียวที่คุณต้องการคือความรู้เกี่ยวกับตารางสูตรคูณ และความเอาใจใส่ นอกจากนี้หลังจากได้รับผลแล้วจำเป็นต้องตรวจสอบว่าตัวเลขนี้สามารถลดลงได้หรือไม่ เราจะพูดถึงวิธีการลดเศษส่วนในภายหลัง
การลบ
การดำเนินการควรเป็นไปตามกฎเดียวกันกับเมื่อเพิ่ม ดังนั้นในตัวเลขที่มีตัวส่วนเท่ากัน ก็เพียงพอที่จะลบตัวเศษของการลบออกจากตัวเศษของตัวลดลง ในกรณีที่เศษส่วนมีตัวส่วนต่างกัน คุณควรนำมารวมกันแล้วดำเนินการนี้ ในกรณีที่คล้ายกันกับการบวก คุณจะต้องใช้คุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วนพีชคณิต เช่นเดียวกับทักษะในการหา LCM และปัจจัยร่วมของเศษส่วน
แผนก
และสุดท้าย การดำเนินการที่น่าสนใจที่สุดเมื่อทำงานกับตัวเลขดังกล่าวคือการหาร มันค่อนข้างง่ายและไม่ทำให้เกิดปัญหาใด ๆ แม้แต่สำหรับผู้ที่ไม่รอบรู้วิธีการทำงานกับเศษส่วนโดยเฉพาะการบวกและการลบ เมื่อทำการหารจะมีกฎเช่นการคูณด้วยส่วนกลับ คุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วนเช่นในกรณีของการคูณจะไม่ถูกนำมาใช้สำหรับการดำเนินการนี้ มาดูกันดีกว่า
เมื่อหารตัวเลข เงินปันผลจะไม่เปลี่ยนแปลง เศษส่วนของตัวหารจะกลับด้าน นั่นคือ ตัวเศษและตัวส่วนจะกลับด้าน หลังจากนั้นตัวเลขจะถูกคูณกันเอง
การลดน้อยลง
ดังนั้นเราจึงได้วิเคราะห์คำจำกัดความและโครงสร้างของเศษส่วน ประเภท กฎสำหรับการดำเนินการกับตัวเลขที่กำหนด และชี้แจงคุณสมบัติหลักของเศษส่วนพีชคณิต ตอนนี้เรามาพูดถึงการดำเนินการเช่นการลดลง การลดเศษส่วนเป็นกระบวนการแปลงมัน - หารตัวเศษและตัวส่วนด้วยจำนวนเดียวกัน ดังนั้นเศษส่วนจะลดลงโดยไม่เปลี่ยนแปลงคุณสมบัติของมัน
โดยปกติ เมื่อดำเนินการคำนวณทางคณิตศาสตร์ คุณควรดูผลลัพธ์ที่ได้ในตอนท้ายอย่างรอบคอบและค้นหาว่าสามารถลดเศษส่วนผลลัพธ์ได้หรือไม่ จำไว้ว่าผลลัพธ์สุดท้ายจะเขียนด้วยตัวเลขเศษส่วนที่ไม่ใช่ตัวย่อเสมอ
การดำเนินงานอื่นๆ
สุดท้าย เราสังเกตว่าเราไม่ได้ระบุการดำเนินการทั้งหมดเกี่ยวกับตัวเลขเศษส่วน โดยกล่าวถึงเฉพาะการดำเนินการที่มีชื่อเสียงและจำเป็นที่สุดเท่านั้น เศษส่วนสามารถปรับให้เท่ากัน แปลงเป็นทศนิยม และในทางกลับกันได้ แต่ในบทความนี้ เราไม่ได้พิจารณาการดำเนินการเหล่านี้ เนื่องจากในวิชาคณิตศาสตร์ การดำเนินการเหล่านี้มักดำเนินการน้อยกว่าที่เราให้ไว้ข้างต้น
ข้อสรุป
เราคุยกันเรื่องเศษส่วนและการดำเนินการกับพวกมัน เรายังวิเคราะห์คุณสมบัติหลัก ๆ ด้วย แต่ขอให้สังเกตว่าคำถามเหล่านี้ผ่านการพิจารณาโดยเรา เราได้ให้เฉพาะกฎที่มีชื่อเสียงและใช้แล้วให้คำแนะนำที่สำคัญที่สุดในความเห็นของเรา
บทความนี้มีจุดมุ่งหมายเพื่อรีเฟรชข้อมูลที่คุณลืมเกี่ยวกับเศษส่วน แทนที่จะให้ข้อมูลใหม่และ "เติม" หัวของคุณด้วยกฎและสูตรที่ไม่มีที่สิ้นสุดซึ่งส่วนใหญ่จะไม่เป็นประโยชน์กับคุณ
เราหวังว่าเนื้อหาที่นำเสนอในบทความในลักษณะที่เรียบง่ายและกระชับจะเป็นประโยชน์สำหรับคุณ
เมื่อศึกษาเศษส่วนธรรมดา เราพบแนวคิดของคุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน สูตรแบบง่ายจำเป็นสำหรับการแก้ตัวอย่างด้วยเศษส่วนธรรมดา บทความนี้ถือว่าการพิจารณาเศษส่วนพีชคณิตและการประยุกต์ใช้คุณสมบัติหลักกับพวกเขาซึ่งจะถูกกำหนดด้วยตัวอย่างพื้นที่ของการประยุกต์ใช้
สูตรและเหตุผล
คุณสมบัติหลักของเศษส่วนมีดังนี้:
คำจำกัดความ 1
เมื่อตัวเศษและตัวส่วนถูกคูณหรือหารด้วยจำนวนเดียวกันพร้อมกัน ค่าของเศษส่วนจะไม่เปลี่ยนแปลง
นั่นคือ เราเข้าใจว่า a m b m = a b และ a: m b: m = a b มีค่าเท่ากัน โดยที่ a b = a m b m และ a b = a: m b: m ถือว่ายุติธรรม ค่า a, b, m เป็นจำนวนธรรมชาติบางส่วน
การหารตัวเศษและตัวส่วนด้วยตัวเลขสามารถแสดงเป็น a · m b · m = a b นี่เหมือนกับการแก้ตัวอย่าง 8 12 = 8: 4 12: 4 = 2 3 เมื่อทำการหารจะใช้ความเท่าเทียมกันของรูปแบบ a: m b: m = a b จากนั้น 8 12 = 2 · 4 2 · 4 = 2 3 นอกจากนี้ยังสามารถแสดงในรูปแบบ a m b m = a b นั่นคือ 8 12 = 2 4 3 4 = 2 3
นั่นคือคุณสมบัติหลักของเศษส่วน a m b m = a b และ a b = a m b m จะได้รับการพิจารณาอย่างละเอียด ตรงกันข้ามกับ a: m b: m = a b และ a b = a: m b: m
หากทั้งตัวเศษและตัวส่วนมีจำนวนจริง ก็จะใช้คุณสมบัตินั้นได้ อันดับแรก จำเป็นต้องพิสูจน์ความถูกต้องของความไม่เท่าเทียมกันที่เป็นลายลักษณ์อักษรสำหรับตัวเลขทั้งหมด นั่นคือเพื่อพิสูจน์การมีอยู่ของ a m b m = a b สำหรับ a, b, m จริงทั้งหมด โดยที่ b และ m เป็นค่าที่ไม่ใช่ศูนย์เพื่อหลีกเลี่ยงการหารด้วยศูนย์
หลักฐาน 1
ให้เศษของรูปแบบ a b ถือเป็นส่วนหนึ่งของสัญกรณ์ z กล่าวอีกนัยหนึ่ง a b = z จากนั้นจึงจำเป็นต้องพิสูจน์ว่า a m b m สอดคล้องกับ z นั่นคือเพื่อพิสูจน์ a m b m = z จากนั้นสิ่งนี้จะช่วยให้เราสามารถพิสูจน์การมีอยู่ของความเท่าเทียมกัน a m b m = a b
เครื่องหมายทับหมายถึงเครื่องหมายหาร การเชื่อมต่อกับการคูณและการหาร เราได้ค่านั้นจาก a b = z หลังจากการแปลง เราจะได้ a = b z ตามคุณสมบัติของอสมการเชิงตัวเลข ให้คูณอสมการทั้งสองข้างด้วยจำนวนอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์ จากนั้นเราคูณด้วยจำนวน m เราจะได้ a m = (b z) m โดยคุณสมบัติ เรามีสิทธิ์เขียนนิพจน์ในรูปแบบ a m = (b m) z ดังนั้น จากนิยามที่ว่า a b = z นั่นคือข้อพิสูจน์ทั้งหมดของนิพจน์ a m b m = a b
ความเท่าเทียมกันของรูปแบบ a m b m = a b และ a b = a m b m สมเหตุสมผลเมื่อแทนที่จะเป็น a, b, m มีพหุนามและแทนที่จะเป็น b และ m พวกมันไม่เป็นศูนย์
คุณสมบัติหลักของเศษส่วนพีชคณิต: เมื่อตัวเศษและตัวส่วนถูกคูณด้วยจำนวนเดียวกันพร้อมกัน เราจะได้ค่าเท่ากับนิพจน์ดั้งเดิมเหมือนกัน
ทรัพย์สินถือว่ายุติธรรม เนื่องจากการกระทำที่มีพหุนามสอดคล้องกับการกระทำที่มีตัวเลข
ตัวอย่างที่ 1
พิจารณาตัวอย่างเศษส่วน 3 x x 2 - x y + 4 y 3 แปลงเป็นรูปแบบ 3 x (x 2 + 2 x y) (x 2 - x y + 4 y 3) (x 2 + 2 x y) ได้
การคูณทำได้โดยพหุนาม x 2 + 2 · x · y ในทำนองเดียวกัน คุณสมบัติหลักช่วยกำจัด x 2 ซึ่งมีอยู่ในเศษส่วนของรูปแบบ 5 x 2 (x + 1) x 2 (x 3 + 3) ที่กำหนดโดยเงื่อนไขไปยังรูปแบบ 5 x + 5 x 3 + 3 สิ่งนี้เรียกว่าการทำให้เข้าใจง่าย
คุณสมบัติหลักสามารถเขียนได้ในรูปของนิพจน์ a m b m = a b และ a b = a m b m เมื่อ a, b, m เป็นพหุนามหรือตัวแปรสามัญ และ b และ m จะต้องไม่เป็นศูนย์
ทรงกลมของการประยุกต์ใช้คุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วนพีชคณิต
การใช้คุณสมบัติหลักเกี่ยวข้องกับการแปลงเป็นตัวส่วนใหม่หรือการลดเศษส่วน
คำจำกัดความ 2
การย่อตัวลงเป็นตัวส่วนร่วมคือการคูณตัวเศษและตัวส่วนด้วยพหุนามที่คล้ายคลึงกันเพื่อให้ได้ตัวใหม่ เศษส่วนผลลัพธ์จะเท่ากับต้นฉบับ
นั่นคือ เศษส่วนของรูปแบบ x + y x 2 + 1 (x + 1) x 2 + 1 เมื่อคูณด้วย x 2 + 1 และลดลงเป็นตัวส่วนร่วม (x + 1) (x 2 + 1) กลายเป็น x 3 + x + x 2 y + yx 3 + x + x 2 + 1
หลังจากดำเนินการกับพหุนาม เราจะได้เศษพีชคณิตกลายเป็น x 3 + x + x 2 y + y x 3 + x + x 2 + 1
การแปลงเป็นตัวส่วนร่วมยังดำเนินการเมื่อบวกหรือลบเศษส่วน หากให้สัมประสิทธิ์เศษส่วน จะต้องทำให้เข้าใจง่ายก่อน ซึ่งจะทำให้แบบฟอร์มง่ายขึ้นและค้นหาตัวส่วนร่วม ตัวอย่างเช่น 2 5 x y - 2 x + 1 2 = 10 2 5 x y - 2 10 x + 1 2 = 4 x y - 20 10 x + 5
การประยุกต์ใช้คุณสมบัติเมื่อลดเศษส่วนจะดำเนินการใน 2 ขั้นตอน: แยกตัวประกอบตัวเศษและตัวส่วนเพื่อหาค่า m สามัญ จากนั้นสลับไปใช้รูปแบบของเศษส่วน a b โดยพิจารณาจากความเท่าเทียมกันของรูปแบบ a m b m = a b
ถ้าเศษส่วนของรูปแบบ 4 x 3 - x y 16 x 4 - y 2 หลังจากการขยายตัวเปลี่ยนเป็น x (4 x 2 - y) 4 x 2 - y 4 x 2 + y จะเห็นได้ชัดว่าปัจจัยทั่วไปคือ พหุนาม 4 · x 2 - y. จากนั้นจะสามารถลดเศษส่วนตามคุณสมบัติหลักได้ เราได้รับสิ่งนั้น
x (4 x 2 - y) 4 x 2 - y 4 x 2 + y = x 4 x 2 + y เศษส่วนจะลดความซับซ้อนลง จากนั้นเมื่อแทนค่า คุณจะต้องดำเนินการน้อยกว่าการแทนค่าเดิม
หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดเลือกและกด Ctrl + Enter
