ศูนย์กลางอยู่ที่จุด A
α คือมุมที่แสดงเป็นเรเดียน

แทนเจนต์ ( สีแทน α) เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติ ขึ้นอยู่กับมุม α ระหว่างด้านตรงข้ามมุมฉากกับขาของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เท่ากับอัตราส่วนความยาวของขาตรงข้าม |BC| ไปจนถึงความยาวของขาที่อยู่ติดกัน |AB| .

โคแทนเจนต์ ( ซีทีจี แอลฟา) เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติ ขึ้นอยู่กับมุม α ระหว่างด้านตรงข้ามมุมฉากกับขาของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เท่ากับอัตราส่วนของความยาวของขาที่อยู่ติดกัน |AB| ถึงความยาวของขาตรงข้าม |BC| .

แทนเจนต์

ที่ไหน n- ทั้งหมด.

ในวรรณคดีตะวันตก แทนเจนต์แสดงดังนี้:
.
;
;
.

กราฟของฟังก์ชันแทนเจนต์ y = tan x

โคแทนเจนต์

ที่ไหน n- ทั้งหมด.

ในวรรณคดีตะวันตก โคแทนเจนต์แสดงดังนี้:
.
ยอมรับสัญลักษณ์ต่อไปนี้ด้วย:
;
;
.

กราฟของฟังก์ชันโคแทนเจนต์ y = ctg x

คุณสมบัติของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์

ความเป็นงวด

ฟังก์ชัน y = ทีจีเอ็กซ์และ ย = ซีทีจี xเป็นคาบกับคาบ π

ความเท่าเทียมกัน

ฟังก์ชันแทนเจนต์และโคแทนเจนต์เป็นเลขคี่

พื้นที่ของความหมายและค่านิยม การเพิ่มขึ้น การลดลง

ฟังก์ชันแทนเจนต์และโคแทนเจนต์มีความต่อเนื่องในขอบเขตของคำจำกัดความ (ดูข้อพิสูจน์ความต่อเนื่อง) คุณสมบัติหลักของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์แสดงอยู่ในตาราง ( n- ทั้งหมด).

	ย = ทีจีเอ็กซ์	ย = ซีทีจี x
ขอบเขตและความต่อเนื่อง
ช่วงของค่า	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
เพิ่มขึ้น		-
จากมากไปน้อย	-
สุดขั้ว	-	-
ศูนย์, y = 0
จุดตัดกับแกนพิกัด x = 0	ย = 0	-

สูตร

นิพจน์โดยใช้ไซน์และโคไซน์

; ;
; ;
;

สูตรแทนเจนต์และโคแทนเจนต์จากผลรวมและผลต่าง

สูตรที่เหลือก็หาได้ง่ายเช่นกัน

ผลคูณของแทนเจนต์

สูตรหาผลรวมและผลต่างของแทนเจนต์

ตารางนี้แสดงค่าแทนเจนต์และโคแทนเจนต์สำหรับค่าหนึ่งของอาร์กิวเมนต์

นิพจน์ที่ใช้จำนวนเชิงซ้อน

นิพจน์ผ่านฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก

;
;

อนุพันธ์

; .

.
อนุพันธ์ของลำดับที่ n เทียบกับตัวแปร x ของฟังก์ชัน:
.
การหาสูตรแทนเจนต์ > > > ; สำหรับโคแทนเจนต์ > > >

ปริพันธ์

การขยายซีรีส์

เพื่อให้ได้การขยายตัวของแทนเจนต์ในกำลังของ x คุณต้องใช้เงื่อนไขหลายประการในการขยายอนุกรมกำลังสำหรับฟังก์ชัน บาป xและ เพราะ xและหารพหุนามเหล่านี้ด้วยตัวอื่นๆ สิ่งนี้จะสร้างสูตรต่อไปนี้

ที่ .

ที่ .
ที่ไหน บีเอ็น- หมายเลขเบอร์นูลลี โดยพิจารณาจากความสัมพันธ์ที่เกิดซ้ำ:
;
;
ที่ไหน .
หรือตามสูตรของลาปลาซ:

ฟังก์ชันผกผัน

ฟังก์ชันผกผันของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์คืออาร์กแทนเจนต์และอาร์กโคแทนเจนต์ตามลำดับ

อาร์กแทนเจนต์, อาร์กจี

, ที่ไหน n- ทั้งหมด.

อาร์กโคแทนเจนต์, อาร์กซีจี

, ที่ไหน n- ทั้งหมด.

อ้างอิง:
ใน. บรอนสไตน์, เค.เอ. Semendyaev คู่มือคณิตศาสตร์สำหรับวิศวกรและนักศึกษา "Lan", 2552
G. Korn, คู่มือคณิตศาสตร์สำหรับนักวิทยาศาสตร์และวิศวกร, 2012.

, [−5π/2; −3π/2],. . . - กล่าวอีกนัยหนึ่งในทุกส่วน [−π/2 + 2πk; π/2 + 2πk] โดยที่ k Z และลดลงในทุกส่วน

[π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn] โดยที่ n Z

ปัญหา 11.6. ฟังก์ชัน y = cos x เพิ่มขึ้นในส่วนใดและส่วนใดลดลง

ปัญหา 11.8. จัดเรียงจากน้อยไปหามาก: บาป 1, cos 2, บาป 3, cos 4, บาป 5, cos 6

§ 12. กราฟของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์

ลองพลอตฟังก์ชัน y = tan x กัน ขั้นแรก ลองสร้างมันขึ้นมาสำหรับตัวเลข x ที่อยู่ในช่วงเวลา (−π/2; π/2)

ถ้า x = 0 ดังนั้นแทน x = 0; เมื่อ x เพิ่มขึ้นจาก 0 เป็น π/2 tan x จะเพิ่มขึ้นด้วย ซึ่งจะเห็นได้หากคุณดูที่แกนแทนเจนต์ (รูปที่ 12.1 a) เมื่อ x เข้าใกล้ π/2 ก็จะยังเล็กลง

ข้าว. 12.2. y = สีแทน x

π/2 ค่าของ tan x จะเพิ่มขึ้น (จุด M ในรูปที่ 12.1 a วิ่งสูงขึ้นเรื่อยๆ) และเห็นได้ชัดว่าสามารถกลายเป็นจำนวนบวกที่มีขนาดใหญ่ได้ตามต้องการ ในทำนองเดียวกัน เมื่อ x ลดลงจาก 0 ถึง −π/2 tan x จะกลายเป็นจำนวนลบซึ่งค่าสัมบูรณ์จะเพิ่มขึ้นเมื่อ x เข้าใกล้ −π/2 สำหรับ x = π/2 หรือ −π/2 ฟังก์ชัน tan x ไม่ได้ถูกกำหนดไว้ ดังนั้น กราฟ y = tan x สำหรับ x (−π/2; π/2) จะมีลักษณะประมาณดังในรูป 12.1 ข.

ใกล้กับจุดกำเนิดของพิกัด เส้นโค้งของเราอยู่ใกล้กับเส้นตรง y = x x: อย่างไรก็ตาม สำหรับมุมแหลมเล็กๆ ค่าความเท่าเทียมกันโดยประมาณ tg x anta x จะเป็นจริง เราสามารถพูดได้ว่าเส้นตรง y = x แตะกราฟของฟังก์ชัน y = tan x ที่จุดกำเนิด นอกจากนี้ เส้นโค้งในรูปที่ 12.1b ยังมีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด สิ่งนี้อธิบายได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าฟังก์ชัน y = tan x เป็นเลขคี่ นั่นคือเอกลักษณ์ tg(−x) = − tan x ถืออยู่

ในการพล็อตฟังก์ชัน y = tan x สำหรับ x ทั้งหมด จำไว้ว่า tan x เป็นฟังก์ชันคาบที่มีคาบ π ดังนั้นเพื่อให้ได้กราฟที่สมบูรณ์ของฟังก์ชัน y = tan x จำเป็นต้องทำซ้ำเส้นโค้งในรูปที่ หลายๆ ครั้งอย่างไม่สิ้นสุด 12.1 b โดยเลื่อนไปตามเส้น abscissa ไปเป็นระยะทาง πn โดยที่ n เป็นจำนวนเต็ม มุมมองสุดท้ายของกราฟของฟังก์ชัน y = tan x อยู่ในรูปที่ 12.2.

จากกราฟ เราจะเห็นอีกครั้งว่าฟังก์ชัน y = tan x

ข้าว. 12.3. y = cotg x

ไม่ได้กำหนดไว้สำหรับ x = π/2 + πn, n Z นั่นคือสำหรับ x เหล่านั้นซึ่งมี cos x = 0 เส้นแนวตั้งที่มีสมการ x = π/2, 3π/2, . . ซึ่งกิ่งก้านของแนวทางกราฟเรียกว่าเส้นกำกับของกราฟ

ในรูปเดียวกัน 12.2 เราบรรยายถึงคำตอบของสมการ tg x = a

ลองพลอตฟังก์ชัน y = cot x กัน วิธีที่ง่ายที่สุดคือใช้สูตรการลดขนาด ctg x = tan(π/2 − x) เพื่อให้ได้กราฟนี้จากกราฟของฟังก์ชัน y = tan x โดยใช้การแปลงคล้ายกับที่เราอธิบายไว้ในย่อหน้าก่อนหน้า ผลลัพธ์จะแสดงในรูป 12.3

ปัญหา 12.1. กราฟของฟังก์ชัน y = ctg x ได้มาจากกราฟของฟังก์ชัน y = tan x โดยใช้สมมาตรรอบเส้นตรงเส้นหนึ่ง อันไหน? มีสายอื่น ๆ ที่เกี่ยวข้องกับคุณสมบัตินี้หรือไม่?

ปัญหา 12.2. สมการของเส้นตรงสัมผัสกราฟของฟังก์ชัน y = cot x มีลักษณะอย่างไร ณ จุดที่มีพิกัด (π/2; 0)

ปัญหา 12.3. เปรียบเทียบตัวเลข: a) tg(13π/11) และ tg 3.3π; b) ตาล 9.6π และ ctg(−11.3π)

ปัญหา 12.4. จัดเรียงตัวเลขตามลำดับจากน้อยไปหามาก: tg 1, tg 2, tg 3, tg 4, tg 5

ปัญหา 12.5. สร้างกราฟฟังก์ชัน:

ก) y = สีแทน(2x − π/3);	b) y = 2 เตียง(π/4 − x)
ปัญหา 12.6. สร้างกราฟฟังก์ชัน:
ก) y = อาร์คแทน x;	b) y = ส่วนโค้งg x

ปัญหา 12.7. เขียนจุดฟังก์ชัน y = อาร์กแทน x + อาร์กแทน(1/x)

§ 13. บาป x + cos x เท่ากันคืออะไร?

ในส่วนนี้ เราจะพยายามแก้ปัญหาต่อไปนี้: ค่าที่ใหญ่ที่สุดที่นิพจน์ sin x + cos x สามารถรับได้คือเท่าใด

ถ้านับถูกก็น่าจะพบว่าจากค่า x ทั้งหมดในตารางนี้ ค่าที่ใหญ่ที่สุดคือ sin x + cos x

ได้มาจากค่า x ใกล้กับ 45° หรือเป็นหน่วยเรเดียน ถึง π/4

ถ้า x = π/4 ค่าที่แท้จริงของ sin x+cos x คือ 2 ปรากฎว่าผลลัพธ์ของเราได้รับจากการทดลอง และใน

เป็นจริง: สำหรับ x ทั้งหมด บาป x + cos x 6 เป็นจริง

2 ดังนั้น 2 จึงเป็นค่าที่ใหญ่ที่สุดที่นิพจน์นี้ยอมรับ

เรายังไม่มีวิธีการเพียงพอที่จะพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกันนี้ด้วยวิธีที่เป็นธรรมชาติที่สุด ในตอนนี้ เราจะแสดงวิธีลดปัญหาดังกล่าวให้เป็นปัญหาแผนผังระนาบ

ถ้า 0< x < π/2, то sin x и cos x - катеты прямоугольного треугольника с гипотенузой 1 и острым углом x (рис. 13.1 ).

ดังนั้นงานของเราจึงได้รับการจัดรูปแบบใหม่ดังนี้: เพื่อพิสูจน์ว่าผลรวมของความยาวของขาของสามเหลี่ยมมุมฉากกับด้านตรงข้ามมุมฉาก 1 จะเป็นค่าสูงสุดหากสามเหลี่ยมนี้เป็นหน้าจั่ว

ปัญหา 13.1. พิสูจน์ข้อความนี้

เนื่องจากสามเหลี่ยมหน้าจั่วมีไฮ-

โพเทนัส 1 ผลรวมของความยาวของขาเท่ากับ 2√ ผลลัพธ์ของปัญหานี้แสดงถึงความไม่เท่าเทียมกัน sin x + cos x 6 2 สำหรับ x ทั้งหมดที่อยู่ในช่วงเวลา (0; π/2) จากตรงนี้ ไม่ใช่เรื่องยากที่จะสรุปว่าความไม่เท่าเทียมกันนี้มีผลกับ x ทั้งหมดโดยทั่วไป

ผลลัพธ์ของปัญหา 13.1 ไม่เพียงเป็นจริงสำหรับสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น

ปัญหา 13.2. พิสูจน์ว่าในบรรดาสามเหลี่ยมทั้งหมดที่มีค่าของด้าน AC และมุม B ผลรวมที่ยิ่งใหญ่ที่สุด AB + BC จะเท่ากับสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีฐาน AC

กลับไปที่ตรีโกณมิติกัน

ปัญหา 13.3. ใช้ตารางไซน์จาก § 3 สร้างกราฟแบบจุดต่อจุดของฟังก์ชัน y = sin x + cos x

บันทึก. จำไว้ว่า x จะต้องแสดงเป็นเรเดียน สำหรับค่า x นอกช่วงเวลา ให้ใช้สูตรการลดขนาด

หากคุณทำทุกอย่างถูกต้อง คุณควรมีเส้นโค้งที่ดูเหมือนคลื่นไซน์ ต่อมาเราจะเห็นว่าเส้นโค้งนี้ไม่เพียงแต่คล้ายกัน แต่ยังเป็นไซนัสอยด์อีกด้วย นอกจากนี้เรายังจะได้เรียนรู้การค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของนิพจน์เช่น 3 sin x + 4 cos x (โดยวิธีนี้กราฟของฟังก์ชัน y = 3 sin x + 4 cos x ก็เป็นไซนัสอยด์ด้วย!)

วิดีโอสอนนี้จะกล่าวถึงคุณสมบัติของฟังก์ชันต่างๆ ย =ทีจีx, y = กะรัตx, แสดงวิธีสร้างกราฟ

วิดีโอสอนเริ่มต้นด้วยการดูฟังก์ชัน ย =ทีจีx.

คุณสมบัติของฟังก์ชันจะถูกเน้นไว้

1) โดเมนของฟังก์ชัน ย =ทีจีxเรียกจำนวนจริงทั้งหมด ยกเว้น x=พาย/2 + 2 πk. เหล่านั้น. ไม่มีจุดบนกราฟที่เป็นของเส้น x=π/2 และ x = -π/2 และ x = 3π/2 ไปเรื่อยๆ (โดยมีคาบเท่ากัน) ดังนั้นกราฟของฟังก์ชัน ย =ทีจีxจะประกอบด้วยกิ่งก้านจำนวนอนันต์ที่จะอยู่ในช่องว่างระหว่างเส้นตรง x = - 3π/2 และ x = -พาย/2 , x = -π/2 และ x = π/2 และอื่นๆ

2) ฟังก์ชั่น ย =ทีจีxเป็นคาบ โดยคาบหลักคือ π นี่เป็นการยืนยันความเท่าเทียมกัน ทีจี(x- π ) = ทีจี x =ทีจี(x+π ) . ความเท่าเทียมกันเหล่านี้ได้รับการศึกษาก่อนหน้านี้ ผู้เขียนขอเชิญชวนให้นักเรียนระลึกถึงพวกเขาโดยชี้ให้เห็นว่าสำหรับค่าที่ถูกต้อง ทีความเท่าเทียมกันนั้นถูกต้อง:

ทีจี(t+ π ) = ทีจีทีและค ทีจี(t+π ) = กะรัต. ผลที่ตามมาของความเท่าเทียมกันเหล่านี้ก็คือ ถ้ากราฟของฟังก์ชัน y = tan กราฟกิ่งหนึ่ง xในระหว่างบรรทัด เอ็กซ์ = - π/2 และ เอ็กซ์= π/2 จากนั้นจะได้กิ่งที่เหลือโดยการเลื่อนกิ่งนี้ไปตามแกน x π, 2π และอื่นๆ

3) ฟังก์ชั่น ย =ทีจีxแปลกเพราะว่า . ทีจี (- x) =- ทีจีเอ็กซ์.

ต่อไป มาดูการสร้างกราฟของฟังก์ชันกันดีกว่า ย =ทีจีx. ดังต่อไปนี้จากคุณสมบัติของฟังก์ชันที่อธิบายข้างต้นฟังก์ชัน ย =ทีจีxเป็นระยะและคี่ ดังนั้นจึงเพียงพอที่จะสร้างส่วนหนึ่งของกราฟ - หนึ่งกิ่งในช่วงเวลาหนึ่งแล้วใช้สมมาตรในการถ่ายโอน ผู้เขียนจัดทำตารางที่คำนวณค่าต่างๆ ทีจีxในบางค่า xเพื่อการวางแผนที่แม่นยำยิ่งขึ้น จุดเหล่านี้ถูกทำเครื่องหมายไว้บนแกนพิกัดและเชื่อมต่อกันด้วยเส้นเรียบ เพราะ หากกราฟมีความสมมาตรเมื่อเทียบกับที่มาของพิกัด กราฟกิ่งเดียวกันก็จะถูกสร้างขึ้น โดยมีความสมมาตรเมื่อเทียบกับที่มาของพิกัด เป็นผลให้เราได้กราฟสาขาหนึ่ง ย =ทีจีx. จากนั้น เมื่อใช้การเลื่อนไปตามแกน x ด้วย π, 2 π และอื่นๆ จะได้กราฟ ย =ทีจีx.

กราฟของฟังก์ชัน ย =ทีจีxเรียกว่าแทนเจนตอยด์ และกิ่งทั้งสามของกราฟที่แสดงในรูปคือกิ่งก้านหลักของแทนเจนตอยด์

4) ฟังก์ชั่น ย =ทีจีxในแต่ละช่วงเวลา (- + ; +) เพิ่มขึ้น

5) กราฟฟังก์ชัน ย =ทีจีxไม่มีข้อจำกัดด้านบนและด้านล่าง

6) ฟังก์ชั่น ย =ทีจีxไม่มีค่ามากที่สุดและน้อยที่สุด

7) ฟังก์ชั่น ย =ทีจีxต่อเนื่องในช่วงเวลาใดก็ได้ (- - π/2+π;π/2+π) เส้นตรง π/2+π เรียกว่าเส้นกำกับของกราฟของฟังก์ชัน ย =ทีจีx, เพราะ ที่จุดเหล่านี้กราฟของฟังก์ชันจะถูกขัดจังหวะ

8) ชุดของค่าฟังก์ชัน ย =ทีจีxเรียกจำนวนจริงทั้งหมด

นอกจากนี้ในวิดีโอสอนจะมีตัวอย่าง: แก้สมการด้วย ทีจีx. ในการแก้ปัญหา เราจะสร้างกราฟของฟังก์ชันขึ้นมา 2 กราฟ ที่และหาจุดตัดกันของกราฟเหล่านี้: นี่คือเซตของจุดที่ไม่มีที่สิ้นสุดซึ่งมีจุดหักล้างต่างกัน πk รากของสมการนี้จะเป็น เอ็กซ์= π/6 +πk

พิจารณากราฟของฟังก์ชัน ย =กะรัตx. ฟังก์ชันสามารถเขียนกราฟได้สองวิธี

วิธีแรกเกี่ยวข้องกับการสร้างกราฟที่คล้ายกับการสร้างกราฟ ฟังก์ชัน y =ทีจีx. มาสร้างกราฟฟังก์ชันหนึ่งสาขากัน ย = คทีจีxในระหว่างบรรทัด เอ็กซ์= 0u เอ็กซ์= π. จากนั้น เราจะสร้างกราฟกิ่งอื่นๆ ขึ้นมาโดยใช้ความสมมาตรและคาบ

วิธีที่สองนั้นง่ายกว่า กราฟของฟังก์ชัน y = сtgxสามารถรับได้โดยการแปลงแทนเจนต์โดยใช้สูตรการรีดิวซ์ กับtgx = - tg(x +π/2) เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ เรามาเปลี่ยนสาขาหนึ่งของกราฟฟังก์ชันกัน y = tgxตามแนวแกน x ไปทางขวา π/2 กิ่งที่เหลือจะได้มาจากการเลื่อนกิ่งนี้ไปตามแกน x ไปเป็น π, 2π และอื่นๆ กราฟของฟังก์ชัน y = ctg xเรียกอีกอย่างว่าแทนเจนตอยด์ และกิ่งของกราฟในช่วง (0;π) คือกิ่งก้านหลักของแทนเจนตอยด์

การถอดรหัสข้อความ:

เราจะพิจารณาคุณสมบัติของฟังก์ชัน y = tan x (y เท่ากับแทนเจนต์ x), y = ctg x (y เท่ากับโคแทนเจนต์ x) และสร้างกราฟขึ้นมา พิจารณาฟังก์ชัน y = tgx

ก่อนที่จะพลอตฟังก์ชัน y = tan x เรามาเขียนคุณสมบัติของฟังก์ชันนี้ก่อน

คุณสมบัติ 1. โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน y = tan x คือจำนวนจริงทั้งหมด ยกเว้นตัวเลขที่อยู่ในรูปแบบ x = + πk (x เท่ากับผลรวมของ pi ส่วน 2 และ pi ka)

ซึ่งหมายความว่าบนกราฟของฟังก์ชันนี้ไม่มีจุดที่อยู่ในเส้น x = (เราจะได้ถ้า k = 0 ka เท่ากับศูนย์) และเส้น x = (x เท่ากับลบ pi คูณสอง) (เรา จะได้ถ้า k = - 1 ka เท่ากับลบหนึ่ง) และเส้นตรง x = (x เท่ากับสามไพคูณสอง) (เราจะได้ถ้า k = 1 เท่ากับหนึ่ง) เป็นต้น ซึ่งหมายความว่ากราฟ ของฟังก์ชัน y = tan x จะประกอบด้วยกิ่งก้านจำนวนอนันต์ที่จะอยู่ในช่วงระหว่างเส้นตรง กล่าวคือ อยู่ในแถบระหว่าง x = และ x =-; ในแถบ x = - และ x = ; ในแถบ x = และ x = และอื่นๆ ไม่มีที่สิ้นสุด

คุณสมบัติ 2 ฟังก์ชัน y = tan x เป็นคาบโดยมีคาบหลัก π (เนื่องจากความเท่าเทียมกันสองเท่าเป็นจริง

tan(x- π) = tanx = tan (x+π) แทนเจนต์ของ x ลบ pi เท่ากับแทนเจนต์ของ x และเท่ากับแทนเจนต์ของ x บวก pi) เราพิจารณาความเท่าเทียมกันนี้เมื่อศึกษาแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ เรามาเตือนเขาว่า:

สำหรับค่าที่ยอมรับได้ของ t ความเท่าเทียมกันนั้นถูกต้อง:

tg (t + π)= tgt

CTG (t + π) = CTGT

จากความเท่าเทียมกันนี้ตามมาว่าเมื่อสร้างสาขาของกราฟของฟังก์ชัน y = tan x ในช่วงเวลาจาก x = - และ x = เราจะได้กิ่งก้านที่เหลือโดยการเลื่อนกิ่งที่สร้างขึ้นตามแกน X ไปเป็นπ, 2π และอื่นๆ

คุณสมบัติ 3 ฟังก์ชัน y = tan x เป็นฟังก์ชันคี่ เนื่องจากความเท่าเทียมกัน tg (- x) = - tan x เป็นจริง

ลองพลอตฟังก์ชัน y = tan x กัน

เนื่องจากฟังก์ชันนี้เป็นแบบคาบ ประกอบด้วยจำนวนสาขาที่ไม่มีที่สิ้นสุด (ในแถบระหว่าง x = และ x = เช่นเดียวกับในแถบระหว่าง x = และ x = ฯลฯ) และคี่ เราจะสร้างส่วนหนึ่งของ กราฟทีละจุดในช่วงจากศูนย์ถึงพายคูณสอง () จากนั้นใช้สมมาตรของจุดกำเนิดและคาบ

มาสร้างตารางค่าแทนเจนต์สำหรับการลงจุดกัน

เราพบจุดแรก: เมื่อรู้ว่าที่ x = 0 tan x = 0 (x เท่ากับศูนย์ tan x ก็เท่ากับศูนย์ด้วย) จุดถัดไป: ที่ x = tan x = (x เท่ากับ pi คูณ 6, แทนเจนต์ x เท่ากับรากของ 3 คูณ 3) สังเกตประเด็นต่อไปนี้: ที่ x = tan x = 1 (x เท่ากับ pi คูณสี่ tan x เท่ากับ 1) และที่ x = tg x = (x เท่ากับ pi คูณสาม tan x เท่ากับรากที่สอง จากสาม) ทำเครื่องหมายจุดผลลัพธ์บนระนาบพิกัดและเชื่อมต่อด้วยเส้นเรียบ (รูปที่ 2)

เนื่องจากกราฟของฟังก์ชันมีความสมมาตรเมื่อเทียบกับจุดกำเนิดของพิกัด เราจะสร้างสาขาเดียวกันอย่างสมมาตรโดยคำนึงถึงจุดกำเนิดของพิกัด (รูปที่ 3)

และสุดท้ายเมื่อใช้คาบ เราจะได้กราฟของฟังก์ชัน y = tan x

เราได้สร้างกิ่งก้านของกราฟของฟังก์ชัน y = tan x ในแถบจาก x = - และ x = เราสร้างกิ่งที่เหลือโดยเลื่อนกิ่งที่สร้างขึ้นตามแกน X ไปเป็น π, 2π และอื่นๆ

โครงเรื่องที่สร้างขึ้นเรียกว่าแทนเจนตอยด์

ส่วนของแทนเจนตอยด์ที่แสดงในรูปที่ 3 เรียกว่าสาขาหลักของแทนเจนตอยด์

จากกราฟ เราจะเขียนคุณสมบัติของฟังก์ชันนี้เพิ่มเติม

คุณสมบัติ 4 ฟังก์ชัน y = tan x จะเพิ่มขึ้นในแต่ละช่วงเวลา (จากลบ pi คูณสองบวก pi ka ถึง pi คูณสองบวก pi ka)

คุณสมบัติ 5 ฟังก์ชัน y = tan x ไม่ถูกจำกัดไว้ด้านบนหรือด้านล่าง

คุณสมบัติ 6 ฟังก์ชัน y = tan x ไม่มีค่าที่ใหญ่ที่สุดหรือน้อยที่สุด

คุณสมบัติ 7 ฟังก์ชัน y = tan x จะต่อเนื่องกันในช่วงเวลาใดก็ได้ของแบบฟอร์ม (จากลบ pi คูณสองบวก pi ka ถึง pi คูณสองบวก pi ka)

เส้นตรงของรูปแบบ x = + πk (x เท่ากับผลรวมของ pi ส่วน 2 และ pi ka) เป็นเส้นกำกับแนวตั้งของกราฟของฟังก์ชัน เนื่องจากที่จุดของรูปแบบ x = + πk ฟังก์ชันจะมีค่า a ความไม่ต่อเนื่อง

คุณสมบัติ 8 ชุดของค่าของฟังก์ชัน y = tan x เป็นจำนวนจริงทั้งหมดนั่นคือ (e จาก eff เท่ากับช่วงเวลาจากลบอนันต์ถึงบวกอนันต์)

ตัวอย่าง 1. แก้สมการ tg x = (แทนเจนต์ x เท่ากับรากของสามคูณสาม)

สารละลาย. ให้เราสร้างกราฟของฟังก์ชัน y = tan x ในระบบพิกัดเดียว

(y เท่ากับแทนเจนต์ของ x) และ y = (y เท่ากับรากของสามหารด้วยสาม)

เราได้จุดตัดกันมากมายนับไม่ถ้วน โดยจุด Abscissa ต่างกันที่ πk (pi ka) เนื่องจาก tg x = ที่ x = ดังนั้น abscissa ของจุดตัดบนสาขาหลักจึงเท่ากับ (pi คูณหก)

เราเขียนคำตอบทั้งหมดของสมการนี้โดยใช้สูตร x = + πk (x เท่ากับ pi คูณหกบวก pi ka)

คำตอบ: x = + πk

มาสร้างกราฟของฟังก์ชัน y = сtg x กัน

ลองพิจารณาวิธีการก่อสร้างสองวิธี

วิธีแรกคล้ายกับการพล็อตฟังก์ชัน y = tan x

เนื่องจากฟังก์ชันนี้เป็นคาบ ประกอบด้วยจำนวนสาขาที่ไม่มีที่สิ้นสุด (ในแถบความถี่ระหว่าง x = 0 และ x =π เช่นเดียวกับในแถบระหว่าง x =π และ x = 2π ฯลฯ) และคี่ เราจะสร้าง ส่วนหนึ่งของกราฟแบบจุดต่อจุดในช่วงเวลาจากศูนย์ถึงพายคูณสอง () จากนั้นเราจะใช้สมมาตรและคาบ

ลองใช้ตารางค่าโคแทนเจนต์เพื่อสร้างกราฟกัน

ทำเครื่องหมายจุดผลลัพธ์บนระนาบพิกัดและเชื่อมต่อด้วยเส้นเรียบ

เนื่องจากกราฟของฟังก์ชันค่อนข้างสมมาตร เราจะสร้างกิ่งสาขาเดียวกันแบบสมมาตร

ให้เราใช้ช่วงเวลาและรับกราฟของฟังก์ชัน y = сtg x

เราได้สร้างกิ่งก้านของกราฟของฟังก์ชัน y = сtg x ในแถบจาก x = 0 และ x =π เราสร้างกิ่งที่เหลือโดยเลื่อนกิ่งที่สร้างไปตามแกน x เป็น π, - π, 2π, - 2π และอื่นๆ

วิธีที่สองพล็อตฟังก์ชัน y =сtg x

วิธีที่ง่ายที่สุดในการหากราฟของฟังก์ชัน y =сtg x คือการแปลงแทนเจนต์โดยใช้สูตรการลดขนาด (โคแทนเจนต์ x เท่ากับลบแทนเจนต์ของผลรวมของ x และ pi คูณสอง)

ในกรณีนี้ ขั้นแรก เราเลื่อนสาขาของกราฟของฟังก์ชัน y =tg x ตามแกน abscissa ไปทางขวา เราจะได้

y = tg (x+) จากนั้นเราดำเนินการสมมาตรของกราฟผลลัพธ์ที่สัมพันธ์กับแกน abscissa ผลลัพธ์จะเป็นสาขาของกราฟของฟังก์ชัน y =сtg x (รูปที่ 4) เมื่อรู้สาขาเดียว เราสามารถสร้างกราฟทั้งหมดโดยใช้คาบของฟังก์ชันได้ เราสร้างกิ่งที่เหลือโดยเลื่อนกิ่งที่สร้างขึ้นตามแกน x ไปเป็น π, 2π และอื่นๆ

กราฟของฟังก์ชัน y =сtg x เรียกอีกอย่างว่าแทนเจนต์อยด์ เช่นเดียวกับกราฟของฟังก์ชัน y =tg x สาขาที่อยู่ในช่วงเวลาจากศูนย์ถึง pi เรียกว่าสาขาหลักของกราฟของฟังก์ชัน y = сtg x