ทฤษฎีความน่าจะเป็น การแก้ปัญหา (2020)

เรารู้อยู่แล้วว่าความน่าจะเป็นเป็นการวัดเชิงตัวเลขของความเป็นไปได้ของเหตุการณ์สุ่มที่เกิดขึ้น กล่าวคือ เหตุการณ์ที่อาจเกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้นภายใต้เงื่อนไขบางอย่าง เมื่อชุดของเงื่อนไขเปลี่ยนแปลง ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่มอาจเปลี่ยนไป เป็นเงื่อนไขเพิ่มเติม เราสามารถพิจารณาการเกิดขึ้นของเหตุการณ์อื่น ดังนั้น หากความซับซ้อนของเงื่อนไขที่เกิดเหตุการณ์สุ่มขึ้น NS, เพิ่มอีกอันประกอบด้วยการสุ่มเหตุการณ์ วีแล้วความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น NSจะเรียกว่ามีเงื่อนไข

ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ A- ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A โดยที่เหตุการณ์ Bความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขจะแสดงแทน (NS).

ตัวอย่างที่ 16กล่องบรรจุลูกบอลสีขาว 7 ลูกและสีดำ 5 ลูก ซึ่งต่างกันแค่สีเท่านั้น ประสบการณ์ประกอบด้วยการสุ่มนำลูกบอลหนึ่งลูกออก และนำลูกบอลอีกลูกหนึ่งออกโดยไม่ลดระดับลง ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลที่สองที่สุ่มออกมาจะเป็นสีดำหากดึงลูกบอลสีขาวในการถอนครั้งแรกเป็นเท่าใด

สารละลาย.

เรามีเหตุการณ์สุ่มสองเหตุการณ์ต่อหน้าเรา: เหตุการณ์ NS- ลูกแรกที่นำออกมากลายเป็นสีขาว วี- ลูกที่สองที่นำออกมาเป็นสีดำ A และ B เป็นเหตุการณ์ที่ไม่สอดคล้องกัน เราจะใช้นิยามความน่าจะเป็นแบบคลาสสิก จำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นเมื่อนำลูกบอลลูกแรกออกคือ 12 และจำนวนผลลัพธ์ที่น่าพอใจเพื่อให้ได้ลูกบอลสีขาวคือ 7 ดังนั้นความน่าจะเป็น พี (เอ) = 7/12.

ถ้าลูกแรกกลายเป็นสีขาว ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ วี- ลักษณะของลูกดำลูกที่สอง (โดยที่ลูกแรกเป็นสีขาว) - เท่ากับ (วี)= 5/11 เนื่องจากก่อนถอดลูกที่สองออก เหลือ 11 ลูก โดย 5 ลูกเป็นสีดำ

โปรดทราบว่าความน่าจะเป็นที่ลูกบอลสีดำจะปรากฏในการสกัดครั้งที่สองจะไม่ขึ้นอยู่กับสีของลูกบอลแรกที่นำออกมา หากเรานำลูกบอลกลับเข้าไปในกล่องอีกครั้ง

พิจารณาเหตุการณ์สุ่มสองเหตุการณ์ A และ B ปล่อยให้รู้ความน่าจะเป็น P (A) และ (B) ให้เราพิจารณาว่าความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นของทั้งเหตุการณ์ A และเหตุการณ์ B เท่ากับเท่าใด นั่นคือ ผลงานของเหตุการณ์เหล่านี้

ทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็น ความน่าจะเป็นของผลิตภัณฑ์ของสองเหตุการณ์นั้นเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งโดยความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของอีกเหตุการณ์หนึ่ง ซึ่งคำนวณภายใต้เงื่อนไขที่เหตุการณ์แรกเกิดขึ้น:

P (A × B) = P (A) × (B)

เนื่องจากการคำนวณความน่าจะเป็นของผลิตภัณฑ์ไม่สำคัญว่าเหตุการณ์ใดที่พิจารณา NSและ วีเป็นอันแรก และอันไหนเป็นอันที่สอง จากนั้นคุณสามารถเขียนว่า:

P (A × B) = พี (เอ) × (ข) = พี (ข) × (เอ)

ทฤษฎีบทสามารถขยายไปถึงผลคูณของเหตุการณ์ n ได้:

P (A 1 A 2. A p) = P (A x) P (A 2 / A 1) .. P (A p / A 1 A 2 ... A p-1)

ตัวอย่างที่ 17สำหรับเงื่อนไขของตัวอย่างก่อนหน้านี้ ให้คำนวณความน่าจะเป็นของการจั่วลูกบอลสองลูก: ก) ลูกบอลสีขาวก่อน และลูกที่สองสีดำ b) ลูกบอลสีดำสองลูก

สารละลาย.

ก) จากตัวอย่างที่แล้ว เราทราบความน่าจะเป็นของการนำลูกบอลสีขาวออกจากกล่องก่อน และลูกบอลสีดำอันดับสอง โดยต้องเอาลูกบอลสีขาวออกก่อน ในการคำนวณความน่าจะเป็นของทั้งสองเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นร่วมกัน เราใช้ทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็น: P (A × B) = P (A) × (B) = .

b) ในทำนองเดียวกัน เราคำนวณความน่าจะเป็นที่จะเอาลูกบอลสีดำสองลูกออก โอกาสได้บอลดำก่อน . ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีดำเป็นครั้งที่สอง โดยที่เราจะไม่ใส่ลูกบอลสีดำที่เอาออกลูกแรกกลับเข้าไปในกล่อง (เหลือลูกบอลสีดำ 4 ลูก และมีทั้งหมด 11 ลูก) ความน่าจะเป็นที่เป็นผลลัพธ์สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร P (A × B) = P (A) × (B) 0,152.

ทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นมีรูปแบบที่ง่ายกว่าถ้าเหตุการณ์ A และ B เป็นอิสระจากกัน

เหตุการณ์ B ถูกเรียกโดยไม่ขึ้นกับเหตุการณ์ A ถ้าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ B ไม่เปลี่ยนแปลงจากเหตุการณ์ A เกิดขึ้นหรือไม่ หากเหตุการณ์ B ไม่ขึ้นกับเหตุการณ์ A เงื่อนไขของเหตุการณ์ (B) จะเท่ากับความน่าจะเป็นปกติ P (B):

ปรากฎว่าหากเหตุการณ์ วีจะเป็นเหตุการณ์ที่เป็นอิสระ NSแล้วเหตุการณ์ NSจะเป็นอิสระจาก วี, เช่น. (A) = พี (A)

มาพิสูจน์กัน ทดแทนความเสมอภาคจากนิยามความเป็นอิสระของเหตุการณ์ วีจากเหตุการณ์ NSลงในทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็น: P (A × B) = P (A) × (B) = P (A) × (B)แต่อีกด้านหนึ่ง พี (A × B)= พี (ข) × (เอ)วิธี P (A) × (B) = P (B) × (A)และ (A) = พี (A)

ดังนั้น คุณสมบัติของความเป็นอิสระ (หรือการพึ่งพาอาศัยกัน) ของเหตุการณ์จึงเป็นของกันและกันเสมอ และสามารถให้คำจำกัดความต่อไปนี้ได้: สองเหตุการณ์เรียกว่า เป็นอิสระถ้าการปรากฏตัวของหนึ่งในนั้นไม่เปลี่ยนความน่าจะเป็นของการปรากฏตัวของอีกคนหนึ่ง

ควรสังเกตว่าความเป็นอิสระของเหตุการณ์ขึ้นอยู่กับความเป็นอิสระของธรรมชาติทางกายภาพของแหล่งกำเนิด ซึ่งหมายความว่าชุดของปัจจัยสุ่มที่นำไปสู่ผลลัพธ์ของการทดสอบเหตุการณ์สุ่มอย่างใดอย่างหนึ่งแตกต่างกัน ตัวอย่างเช่น การตีเป้าหมายด้วยปืนหนึ่งกระบอกไม่ได้ในทางใดทางหนึ่ง (เว้นแต่จะมีเหตุผลที่แปลกใหม่) ต่อความน่าจะเป็นที่จะยิงโดนเป้าหมายโดยมือปืนคนที่สอง ในทางปฏิบัติ เหตุการณ์ที่เป็นอิสระเป็นเรื่องปกติมาก เนื่องจากความสัมพันธ์เชิงสาเหตุของปรากฏการณ์ในหลายกรณีไม่มีหรือไม่มีนัยสำคัญ

ทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ ความน่าจะเป็นของผลิตภัณฑ์ของสองเหตุการณ์อิสระ เท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้: P (A × B) = P (A) × P (B)

ผลสืบเนื่องต่อไปนี้ตามมาจากทฤษฎีบทการคูณสำหรับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ

หากเหตุการณ์ A และ B ไม่สอดคล้องกัน และ P (A) ¹0, P (B) ¹0 เหตุการณ์เหล่านั้นจะขึ้นอยู่กับ

ให้เราพิสูจน์สิ่งนี้ด้วยความขัดแย้ง สมมุติเหตุการณ์ไม่สอดคล้องกัน NSและ วีเป็นอิสระ. แล้ว P (A × B) = P (A) × P (B)และตั้งแต่ P (A) ¹0, P (B) ¹0, เช่น. พัฒนาการ NSและ วีเป็นไปไม่ได้แล้ว พี (A × B) ¹0.แต่ในทางกลับกัน เหตุการณ์ NSž วีเป็นไปไม่ได้เนื่องจากเป็นผลจากเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ วิธี P (A × B) = 0.มีความขัดแย้ง ดังนั้นสมมติฐานเริ่มต้นของเราจึงไม่ถูกต้อง พัฒนาการ NSและ วี- ขึ้นอยู่กับ.

ตัวอย่าง 18... ตอนนี้ให้เรากลับไปที่ปัญหาที่ยังไม่ได้แก้ไขของมือปืนสองคนที่ยิงเข้าที่เป้าหมายเดียว จำได้ว่าด้วยความน่าจะเป็นที่จะโดนเป้าหมายโดยมือปืนคนแรกคือ 0.8 และครั้งที่สองคือ 0.7 จำเป็นต้องค้นหาความน่าจะเป็นที่จะชนกับเป้าหมาย

พัฒนาการ NSและ วี- ตีเป้าหมายตามลำดับโดยมือปืนคนแรกและคนที่สอง - ร่วมกันจึงหาความน่าจะเป็นของผลรวมของเหตุการณ์ NS + วี- ตีเป้าหมายด้วยปืนอย่างน้อยหนึ่งตัว - คุณต้องใช้สูตร: พี (อา+B) = P (A) + P (B)–พี (อาž วี).พัฒนาการ NSและ วีอิสระ ดังนั้น P (A × B) = P (A) × P (B)

ดังนั้น, พี (อา+B) = P (A) + P (B) - พี (เอ) × พี (บี)

พี (อา+ข) = 0.8 + 0.7 - 0.8 × 0.7 = 0.94

ตัวอย่างที่ 19.

การยิงอิสระสองนัดที่เป้าหมายเดียวกัน ความน่าจะเป็นที่จะตีในนัดแรกคือ 0.6 และในนัดที่สอง - 0.8 หาความน่าจะเป็นที่จะตีเป้าหมายด้วยการยิงสองนัด

1) ให้ตีช็อตแรกเป็นเหตุการณ์
A 1 กับวินาที - เป็นเหตุการณ์ A 2

การตีเป้าหมายถือว่าอย่างน้อยหนึ่งครั้ง: เฉพาะในนัดแรก หรือเฉพาะในนัดที่สอง หรือทั้งสองอย่างในนัดแรกและครั้งที่สอง ดังนั้นในปัญหาจึงต้องกำหนดความน่าจะเป็นของผลรวมของสองเหตุการณ์ร่วม A 1 และ A 2:

P (A 1 + A 2) = P (A 1) + P (A 2) -P (A 1 A 2)

2) เนื่องจากเหตุการณ์เป็นอิสระ ดังนั้น P (A 1 A 2) = P (A 1) P (A 2)

3) เราได้รับ: P (A 1 + A 2) = 0.6 + 0.8 - 0.6 0.8 = 0.92
หากเหตุการณ์ไม่สอดคล้องกัน ดังนั้น P (AB) = 0 และ P (A + B) = = P (A) + P (B)

ตัวอย่างที่ 20

โกศประกอบด้วยลูกบอลสีขาว 2 ลูก สีแดง 3 ลูก และสีน้ำเงิน 5 ลูกที่มีขนาดเท่ากัน ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลสุ่มออกมาจากโกศจะมีสีเป็นเท่าใด (ไม่ใช่สีขาว)

1) ให้เหตุการณ์ A เป็นการนำลูกบอลสีแดงออกจากโกศ
เหตุการณ์ B - การสกัดลูกบอลสีน้ำเงิน จากนั้นเหตุการณ์ (A + B)
มีการสกัดลูกบอลสีออกจากโกศ

2) P (A) = 3/10, P (B) = 5/10

3) เหตุการณ์ A และ B ไม่สอดคล้องกัน เนื่องจากมีเพียง
หนึ่งลูก จากนั้น: P (A + B) = P (A) + P (B) = 0.3 + 0.5 = 0.8

ตัวอย่างที่ 21

โกศประกอบด้วยลูกบอลสีขาว 7 ลูกและลูกบอลสีดำ 3 ลูก ความน่าจะเป็นของ: 1) นำลูกบอลสีขาวออกจากโกศ (เหตุการณ์ A); 2) นำลูกบอลสีขาวออกจากโกศหลังจากนำลูกบอลหนึ่งลูกออกจากโกศซึ่งเป็นสีขาว (เหตุการณ์ B) 3) นำลูกบอลสีขาวออกจากโกศหลังจากเอาลูกบอลหนึ่งลูกออกจากโกศซึ่งเป็นสีดำ (เหตุการณ์ C)?

1) P (A) = = 0.7 (ดูความน่าจะเป็นแบบคลาสสิก)

2) РВ (A) = = 0, (6).

3) Р С (А) = | = 0, (7).

ตัวอย่างที่ 22

กลไกนี้ประกอบขึ้นจากส่วนที่เหมือนกันสามส่วน และถือว่าใช้งานไม่ได้หากทั้งสามส่วนไม่เป็นระเบียบ มีชิ้นส่วนเหลืออยู่ 15 ชิ้นในโรงประกอบ โดย 5 ชิ้นไม่ได้มาตรฐาน (มีข้อบกพร่อง) กลไกที่ประกอบขึ้นจากชิ้นส่วนที่เหลือโดยสุ่มจะไม่ทำงานมีโอกาสเป็นไปได้อย่างไร?

1) เราระบุเหตุการณ์ที่ต้องการผ่าน A ตัวเลือกของส่วนที่ไม่ได้มาตรฐานแรกผ่าน A 1 ที่สองถึง A 2 ที่สามถึง A 3

2) เหตุการณ์ A จะเกิดขึ้นหากทั้งเหตุการณ์ A 1 และเหตุการณ์ A 2 และเหตุการณ์ A 3 เกิดขึ้น กล่าวคือ

A = A 1 A 2 A 3,

เนื่องจากตรรกะ "และ" สอดคล้องกับผลิตภัณฑ์ (ดูหัวข้อ "พีชคณิตของข้อเสนอ การดำเนินการทางตรรกะ")

3) เหตุการณ์ A 1, A 2, A 3 ขึ้นอยู่กับดังนั้น P (A 1 A 2 A 3) =
= P (A 1) P (A 2 / A 1) P (A 3 / A 1 A 2)

4) P (A 1) =, P (A 2 / A 1) =, P (A 3 / A 1 A 2) =. แล้ว

P (A 1 A 2 A 3) = 0.022

สำหรับเหตุการณ์อิสระ: P (A B) = P (A) P (B)

จากข้างต้นเกณฑ์ความเป็นอิสระของสองเหตุการณ์ A และ B:

P (A) = P B (A) = P (A), P (B) = P A (B) = P (B)

ตัวอย่าง 23.

ความน่าจะเป็นที่จะโดนเป้าหมายโดยมือปืนคนแรก (เหตุการณ์ A) คือ 0.9 และความน่าจะเป็นที่จะโดนเป้าหมายโดยมือปืนคนที่สอง (เหตุการณ์ B) คือ 0.8 โอกาสที่เป้าหมายจะถูกยิงโดยมือปืนอย่างน้อยหนึ่งคนเป็นเท่าใด

1) ให้ C เป็นเหตุการณ์ที่เราสนใจ เหตุการณ์ตรงกันข้ามคือนักกีฬาทั้งสองพลาด

3) เนื่องจากนักกีฬาคนหนึ่งไม่ยุ่งเกี่ยวกับอีกคนหนึ่งขณะถ่ายทำ เหตุการณ์จึงเป็นอิสระ

เรามี: P () = P () P () = = (1 - 0.9) (1 - 0.8) =

0,1 0,2 = 0,02.

4) P (C) = 1 -P () = 1 -0.02 = 0.98

สูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด

ให้เหตุการณ์ A สามารถเกิดขึ้นได้จากการรวมตัวกันของเหตุการณ์เดียวเท่านั้น H i (i = 1,2, ... n) จากกลุ่มเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ทั้งหมด H 1, H 2, ... H n . เหตุการณ์ในกลุ่มนี้มักเรียกว่าสมมติฐาน

สูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A เท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ที่จับคู่ของความน่าจะเป็นของสมมติฐานทั้งหมดที่สร้างกลุ่มที่สมบูรณ์โดยความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขที่สอดคล้องกันของเหตุการณ์ที่กำหนด A:

พี (เอ) = โดยที่ = 1

ตัวอย่างที่ 24

มี 3 โกศเหมือนกัน ในลูกแรก - ลูกบอลสีขาว 2 ลูกและลูกบอลสีดำ 1 ลูกในลูกที่สอง - ลูกบอลสีขาว 3 ลูกและลูกบอลสีดำ 1 ลูกในโกศที่สาม - ลูกบอลสีขาว 2 ลูกและสีดำ 2 ลูก 1 ลูกถูกเลือกจากโกศที่เลือกโดยการสุ่ม โอกาสที่เขาจะกลายเป็นสีขาวคืออะไร?

โกศทั้งหมดถือว่าเท่ากัน ดังนั้น ความน่าจะเป็นในการเลือกโกศที่ i คือ

Р (H i) = 1/3 โดยที่ i = 1, 2, 3

2) ความน่าจะเป็นที่จะเอาลูกบอลสีขาวออกจากโกศแรก: (A) =

ความน่าจะเป็นที่จะเอาลูกบอลสีขาวออกจากโกศที่สอง: (A) =

ความน่าจะเป็นที่จะเอาลูกบอลสีขาวออกจากโกศที่สาม: (A) =

3) ค้นหาความน่าจะเป็น:

พี (เอ) = =0.63(8)

ตัวอย่างที่ 25.

ร้านค้าได้รับผลิตภัณฑ์จากโรงงานสามแห่งเพื่อขาย โดยมีส่วนแบ่งที่เกี่ยวข้อง: I - 50%, II - 30%, III - 20% สำหรับผลิตภัณฑ์ของโรงงาน การแต่งงานตามลำดับ: I - 2%, P - 2%, III - 5% โอกาสที่สินค้าของผลิตภัณฑ์นี้ที่ซื้อโดยไม่ได้ตั้งใจในร้านค้าจะมีคุณภาพดี (เหตุการณ์ A) คืออะไร?

1) สมมติฐานสามข้อต่อไปนี้เป็นไปได้ที่นี่: H 1, H 2, H 3 -
รายการที่ซื้อทำงานที่โรงงาน I, II, III ตามลำดับ ระบบของสมมติฐานเหล่านี้เสร็จสมบูรณ์

ความน่าจะเป็น: P (H 1) = 0.5; P (H 2) = 0.3; P (H 3) = 0.2

2) ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขที่สอดคล้องกันของเหตุการณ์ A คือ: (A) = 1-0.02 = 0.98; (A) = 1-0.03 = 0.97; (A) = = 1-0.05 = 0.95

3) ตามสูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด เรามี P (A) = 0.5 0.98 + + 0.3 0.97 + 0.2 0.95 = 0.971

สูตรความน่าจะเป็นหลัง (สูตรเบย์)

ลองพิจารณาสถานการณ์

มีกลุ่มที่สมบูรณ์ของสมมติฐานที่ไม่สอดคล้องกัน H 1, H 2, ... H n, ความน่าจะเป็นที่ (i = 1, 2, ... p) เป็นที่รู้จักก่อนการทดลอง มีการดำเนินการทดลอง (ทดสอบ) ซึ่งเป็นผลมาจากการบันทึกเหตุการณ์ A และเป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าสมมติฐานของเราแสดงถึงความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้ (i = 1, 2, ... n) อะไรคือความน่าจะเป็นของสมมติฐานเหล่านี้หลังการทดลอง (ความน่าจะเป็นภายหลัง)

คำตอบสำหรับคำถามนี้มาจากสูตรความน่าจะเป็นส่วนหลัง (สูตรของเบย์ส):

โดยที่ i = 1,2, ... p.

ตัวอย่างที่ 26

ความน่าจะเป็นที่จะชนเครื่องบินด้วยการยิงนัดเดียวสำหรับระบบขีปนาวุธที่ 1 (เหตุการณ์ A) คือ 0.2 และสำหรับนัดที่ 2 (เหตุการณ์ B) - 0.1 แต่ละคอมเพล็กซ์จะยิงหนึ่งนัด และบันทึกหนึ่งครั้งที่เครื่องบิน (เหตุการณ์ C) ความน่าจะเป็นที่การยิงสำเร็จนั้นเป็นของระบบขีปนาวุธชุดแรกเป็นเท่าใด

สารละลาย.

1) ก่อนการทดลอง มีสมมติฐานสี่ข้อที่เป็นไปได้:

H 1 = АВ - เครื่องบินโดนคอมเพล็กซ์ที่ 1 และเครื่องบินโดนคอมเพล็กซ์ที่ 2 (ผลิตภัณฑ์ที่สอดคล้องกับตรรกะ "และ")

H 2 = АВ - เครื่องบินโดนคอมเพล็กซ์ที่ 1 และเครื่องบินไม่ได้โดนคอมเพล็กซ์ที่ 2

H 3 = АВ - เครื่องบินไม่ได้โดนคอมเพล็กซ์ที่ 1 และเครื่องบินโดนคอมเพล็กซ์ที่ 2

H 4 = АВ - เครื่องบินไม่ได้โดนคอมเพล็กซ์ที่ 1 และเครื่องบินไม่ได้โดนคอมเพล็กซ์ที่ 2

สมมติฐานเหล่านี้ก่อให้เกิดกลุ่มเหตุการณ์ที่สมบูรณ์

2) ความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน (ด้วยการกระทำที่เป็นอิสระของคอมเพล็กซ์):

P (H 1) = 0.2 0.1 = 0.02;

P (H 2) = 0.2 (1-0.1) = 0.18;

P (H 3) = (1-0.2) 0.1 = 0.08;

P (H 4) = (1-0.2) (1-0.1) = 0.72

3) เนื่องจากสมมติฐานก่อตัวเป็นกลุ่มของเหตุการณ์ทั้งหมด จึงจำเป็นต้องบรรลุความเท่าเทียมกัน = 1

เราตรวจสอบ: P (H 1) + P (H 2) + P (H 3) + P (H 4) = 0.02 + 0.18 + + 0.08 + 0.72 = 1 ดังนั้นกลุ่มที่เป็นปัญหาคือสมมติฐานที่ถูกต้อง

4) ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขสำหรับเหตุการณ์ที่สังเกตได้ С ภายใต้สมมติฐานเหล่านี้จะเป็น: (С) = 0 เนื่องจากตามเงื่อนไขของปัญหา การโจมตีหนึ่งครั้งถูกบันทึก และสมมติฐาน H 1 ถือว่าการโจมตีสองครั้ง:

(C) = 1; (ค) = 1

(С) = 0 เนื่องจากมีการลงทะเบียน Hit หนึ่งครั้งตามคำสั่งปัญหา และสมมติฐาน H 4 ถือว่าไม่มี Hit สมมุติฐาน H 1 และ H 4 หายไป

5) ความน่าจะเป็นของสมมติฐาน H 2 และ H 3 คำนวณโดยใช้สูตรเบย์เซียน:

0,7, 0,3.

ดังนั้น ด้วยความน่าจะเป็นประมาณ 70% (0.7) จึงสามารถโต้แย้งได้ว่าการยิงที่ประสบความสำเร็จนั้นเป็นของระบบขีปนาวุธลูกแรก

5.4. ตัวแปรสุ่ม กฎการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

บ่อยครั้งในทางปฏิบัติการทดสอบดังกล่าวได้รับการพิจารณาจากการใช้งานซึ่งจะมีการสุ่มตัวเลขจำนวนหนึ่ง ตัวอย่างเช่น เมื่อโยนลูกเต๋า จำนวนแต้มจะลดลงจาก 1 เป็น 6 เมื่อนำไพ่ 6 ใบจากสำรับ คุณจะได้รับจาก 0 ถึง 4 เอซ ในช่วงระยะเวลาหนึ่ง (เช่นวันหรือหนึ่งเดือน) มีการลงทะเบียนอาชญากรรมจำนวนหนึ่งในเมืองและเกิดอุบัติเหตุทางถนนจำนวนหนึ่ง กระสุนถูกยิงจากปืน พิสัยของโพรเจกไทล์ยังสุ่มค่าบางอย่างด้วย

ในการทดสอบทั้งหมดนี้ เราต้องเผชิญกับตัวแปรสุ่มที่เรียกว่า

ค่าตัวเลขที่ใช้ค่าเฉพาะอันเป็นผลมาจากการดำเนินการทดสอบแบบสุ่มเรียกว่า ตัวแปรสุ่ม.

แนวคิดของตัวแปรสุ่มมีบทบาทสำคัญมากในทฤษฎีความน่าจะเป็น หากทฤษฎีความน่าจะเป็น "คลาสสิก" ศึกษาเหตุการณ์สุ่มเป็นหลัก ทฤษฎีความน่าจะเป็นสมัยใหม่จะเกี่ยวข้องกับตัวแปรสุ่มเป็นหลัก

ต่อไปนี้ เราจะระบุตัวแปรสุ่มด้วยตัวอักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่ X, Y, Z เป็นต้น และค่าที่เป็นไปได้ - โดยตัวพิมพ์เล็ก x, y, z ตัวอย่างเช่น หากตัวแปรสุ่มมีค่าที่เป็นไปได้สามค่า เราจะระบุค่าเหล่านี้ดังนี้:,,.

ดังนั้น ตัวอย่างของตัวแปรสุ่มสามารถ:

1) จำนวนแต้มที่ดรอปที่ขอบบนของลูกเต๋า:

2) จำนวนเอซเมื่อนำไพ่ 6 ใบจากสำรับ

3) จำนวนอาชญากรรมที่จดทะเบียนต่อวันหรือเดือน

4) จำนวนนัดที่เป้าหมายด้วยปืนพกสี่นัด

5) ระยะทางที่กระสุนปืนจะบินเมื่อยิงจากปืน

6) การเติบโตของบุคคลที่ถูกสุ่มเลือก

สามารถสังเกตได้ว่าในตัวอย่างแรกตัวแปรสุ่มสามารถรับหนึ่งในหกค่าที่เป็นไปได้: 1, 2, 3, 4, 5 และ 6 ในตัวอย่างที่สองและสี่ จำนวนค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม คือ 0, 1, 2, 3, 4 ในตัวอย่างที่สาม ค่าของตัวแปรสุ่มสามารถเป็นจำนวนธรรมชาติใดๆ (ตามทฤษฎี) หรือ 0 ก็ได้ ในตัวอย่างที่ห้าและหก ตัวแปรสุ่มสามารถนำค่าจริงใดๆ ก็ได้จาก ช่วงเวลาหนึ่ง ( NS, NS).

หากตัวแปรสุ่มสามารถรับชุดค่าที่จำกัดหรือนับได้ ก็จะเรียกว่า ไม่ต่อเนื่อง(กระจายอย่างทั่วถึง).

ต่อเนื่องตัวแปรสุ่มคือตัวแปรสุ่มที่สามารถรับค่าทั้งหมดจากช่วงจำกัดหรืออนันต์ที่แน่นอนได้

ในการระบุตัวแปรสุ่ม การแสดงค่าต่างๆ ของตัวแปรนั้นไม่เพียงพอ ตัวอย่างเช่น ในตัวอย่างที่สองและสาม ตัวแปรสุ่มอาจใช้ค่าเดียวกัน: 0, 1, 2, 3 และ 4 อย่างไรก็ตาม ความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มเหล่านี้ใช้ค่าของพวกมันจะแตกต่างกันโดยสิ้นเชิง ดังนั้น ในการระบุตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง นอกจากรายการค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดแล้ว คุณยังต้องระบุความน่าจะเป็นด้วย

ความสอดคล้องระหว่างค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มและความน่าจะเป็นเรียกว่า กฎหมายการจัดจำหน่ายตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง , ..., X =

รูปหลายเหลี่ยมการแจกแจง เช่นเดียวกับชุดการแจกแจง กำหนดลักษณะเฉพาะของตัวแปรสุ่มอย่างสมบูรณ์ เป็นรูปแบบหนึ่งของกฎหมายว่าด้วยการจำหน่าย

ตัวอย่างที่ 27เหรียญถูกโยนแบบสุ่ม สร้างชุดและรูปหลายเหลี่ยมของการแจกแจงจำนวนตราที่หลุด

ตัวแปรสุ่มที่เท่ากับจำนวนโค้ทอาร์มที่ทิ้งสามารถรับได้สองค่า: 0 และ 1 ค่า 1 สอดคล้องกับเหตุการณ์ - เสื้อโค้ทอาร์มถูกทิ้ง ค่า 0 - เท่ากับหาง ความน่าจะเป็นที่จะชนเสื้อคลุมแขนและหางตกนั้นเท่ากันและเท่ากัน เหล่านั้น. ความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มใช้กับค่า 0 และ 1 นั้นเท่ากัน ชุดการจัดจำหน่ายมีดังนี้:

NS
NS

ตัวอย่างที่ 1 ในโกศแรก: สามสีแดง ลูกสีขาวหนึ่งลูก ในโกศที่สอง: หนึ่งสีแดง สามลูกสีขาว มีการโยนเหรียญแบบสุ่ม: หากเลือกเสื้อคลุมแขนจากโกศแรกมิฉะนั้น - จากที่สอง
สารละลาย:
ก) ความน่าจะเป็นที่จะจับลูกบอลสีแดง
เอ - ได้ลูกบอลสีแดง
P 1 - เสื้อคลุมแขนตกลงมา P 2 - มิฉะนั้น

b) เลือกลูกบอลสีแดง จงหาความน่าจะเป็นที่จะถูกพรากไปจากโกศแรก จากโกศที่สอง
B 1 - จากโกศแรก B 2 - จากโกศที่สอง
,

ตัวอย่างที่ 2 มี 4 ลูกในกล่อง สามารถเป็น: ขาวเท่านั้น ดำหรือขาวและดำเท่านั้น (ไม่ทราบองค์ประกอบ)
สารละลาย:
A - ความน่าจะเป็นของลูกบอลสีขาว
ก) สีขาวทั้งหมด:
(ความน่าจะเป็นที่ถูกจับได้หนึ่งในสามตัวเลือกที่มีสีขาว)
(ความน่าจะเป็นของลูกบอลสีขาวปรากฏขึ้นในที่ที่ทุกคนเป็นสีขาว)

b) ดึงออกในที่ที่ทุกคนเป็นสีดำ



c) ดึงตัวแปรออกมาซึ่งทั้งหมดเป็นสีขาวและ / หรือสีดำ

- อย่างน้อยก็มีสีขาว

P a + P b + P c =

ตัวอย่างที่ 3 ในโกศมีลูกบอลสีขาว 5 ลูกและสีดำ 4 ลูก นำลูกบอล 2 ลูกออกมาติดต่อกัน หาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลทั้งสองเป็นสีขาว
สารละลาย:
สีขาว 5 ลูก สีดำ 4 ลูก
P (A 1) - หยิบลูกบอลสีขาวออกมา

P (A 2) - ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลที่สองยังเป็นสีขาว

P (A) - เลือกลูกบอลสีขาวในแถว

ตัวอย่างที่ 3ก. ในชุดประกอบด้วยธนบัตรปลอม 2 ใบและธนบัตรจริง 8 ใบ ดึงธนบัตร 2 ใบติดต่อกันออกจากมัด ค้นหาความเป็นไปได้ที่ทั้งคู่เป็นของปลอม
สารละลาย:
P (2) = 2/10 * 1/9 = 1/45 = 0.022

ตัวอย่างที่ 4 มี 10 โกศ มีโกศ 9 องค์ มีลูกบอลสีดำ 2 ลูก และลูกบอลสีขาว 2 ลูก มี 5 สีขาวและ 1 สีดำใน 1 โกศ ลูกบอลถูกนำออกจากโกศโดยสุ่ม
สารละลาย:
พี (เอ) -? นำลูกบอลสีขาวออกจากโกศโดยที่ 5 เป็นสีขาว
B - ความน่าจะเป็นที่จะถูกนำออกจากโกศโดยที่ 5 เป็นสีขาว
, - ถูกลบออกจากผู้อื่น
C 1 - ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลสีขาวจะปรากฏที่ระดับ 9

С 2 - ความน่าจะเป็นของการปรากฏตัวของลูกบอลสีขาวซึ่งมี5

P (A 0) = P (B 1) P (C 1) + P (B 2) P (C 2)

ตัวอย่างที่ 5. ลูกกลิ้งทรงกระบอก 20 อันและเรียว 15 อัน นักสะสมใช้ลูกกลิ้ง 1 อันแล้วอีกอัน
สารละลาย:
ก) ลูกกลิ้งทั้งสองเป็นทรงกระบอก
พี (ค 1) =; P (C 2) =
Ц 1 - กระบอกแรก Ц 2 - กระบอกที่สอง
P (A) = P (C 1) P (C 2) =
b) อย่างน้อยหนึ่งกระบอก
K 1 - กรวยแรก
K 2 - กรวยที่สอง
P (B) = P (C 1) P (K 2) + P (C 2) P (K 1) + P (C 1) P (C 2)
;

c) กระบอกแรกและกระบอกที่สองไม่ใช่
P (C) = P (C 1) P (K 2)

จ) ไม่ใช่กระบอกเดียว
P (D) = P (K 1) P (K 2)

f) ตรง 1 กระบอก
P (E) = P (C 1) P (K 2) + P (K 1) P (K 2)

ตัวอย่างที่ 6 มีชิ้นส่วนมาตรฐาน 10 ชิ้นและชิ้นส่วนชำรุด 5 ชิ้นในกล่อง
สุ่มสามส่วน
ก) สิ่งเหล่านี้มีข้อบกพร่อง
P n (K) = C n k p k q n-k,
P - ความน่าจะเป็นของผลิตภัณฑ์ที่มีข้อบกพร่อง

q คือความน่าจะเป็นของชิ้นส่วนมาตรฐาน

n = 3, สามชิ้น


b) สองในสามส่วนของข้อบกพร่อง P (2)
c) อย่างน้อยหนึ่งมาตรฐาน
P (0) -ไม่มีข้อบกพร่อง

P = P (0) + P (1) + P (2) - ความน่าจะเป็นที่อย่างน้อยหนึ่งส่วนจะเป็นมาตรฐาน

ตัวอย่างที่ 7 ในโกศที่ 1 มีลูกบอลสีขาวและสีดำ 3 ลูก และในโกศที่ 2 - 3 ลูกสีขาวและสีดำ 4 ลูก จากโกศที่ 1 ไปโกศที่ 2 ลูกบอล 2 ลูกถูกเลื่อนโดยไม่มอง จากนั้นดึงลูกบอล 2 ลูกจากลูกที่ 2 โอกาสที่พวกมันจะมีสีต่างกันมากน้อยแค่ไหน?
สารละลาย:
เมื่อย้ายลูกบอลจากโกศแรก ตัวเลือกต่อไปนี้เป็นไปได้:
ก) หยิบลูกบอลสีขาวออกมา 2 ลูกติดต่อกัน
พีบี 1 =
ในขั้นตอนที่ 2 จะมีลูกบอลน้อยกว่าหนึ่งลูกเสมอ เนื่องจากในขั้นตอนแรกมีลูกบอลหนึ่งลูกถูกนำออกไปแล้ว
b) หยิบลูกบอลสีขาวหนึ่งลูกและสีดำหนึ่งลูก
สถานการณ์เมื่อลูกบอลสีขาวถูกนำออกไปก่อนแล้วจึงลูกบอลสีดำ
P หัวรบ =
สถานการณ์เมื่อลูกบอลสีดำถูกนำออกก่อนแล้วจึงลูกบอลสีขาว
P BW =
รวม: P หัวรบ 1 =
c) หยิบลูกบอลสีดำออกมา 2 ลูกติดต่อกัน
P HH 1 =
เนื่องจากย้ายจากโกศแรกไปยังโกศที่สองแล้ว 2 ลูก จำนวนรวมของลูกบอลในโกศที่สองจะเป็น 9 (7 + 2) ดังนั้น เราจะมองหาตัวเลือกที่เป็นไปได้ทั้งหมด:
ก) ก่อนเป็นสีขาวจากนั้นจึงนำลูกบอลสีดำออกจากโกศที่สอง

P БЧ 2 P ББ 1 - หมายถึงความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกสีขาวก่อน จากนั้นจึงนำลูกบอลสีดำออกมา โดยมีเงื่อนไขว่าต้องนำลูกบอลสีขาว 2 ลูกออกจากโกศชุดแรกติดต่อกัน นั่นคือเหตุผลที่จำนวนลูกบอลสีขาวในกรณีนี้คือ 5 (3 + 2)
P CU 2 P CU 1 - หมายถึงความน่าจะเป็นที่พวกเขาเอาลูกบอลสีขาวออกก่อน ตามด้วยลูกบอลสีดำ โดยมีเงื่อนไขว่าเอาลูกบอลสีขาวและสีดำออกจากโกศแรก นั่นคือเหตุผลที่จำนวนลูกบอลสีขาวในกรณีนี้คือ 4 (3 + 1) และจำนวนลูกบอลสีดำคือห้า (4 + 1)
P BCH 2 P HH 1 - หมายถึงความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกสีขาวก่อน จากนั้นจึงนำลูกบอลสีดำออกไป โดยมีเงื่อนไขว่าลูกบอลสีดำทั้งสองลูกถูกนำออกจากโกศแรกติดต่อกัน นั่นคือเหตุผลที่จำนวนลูกบอลสีดำในกรณีนี้คือ 6 (4 + 2)

ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลที่สุ่มออกมา 2 ลูกจะมีสีต่างกันเท่ากับ:

คำตอบ: P = 0.54

ตัวอย่างที่ 7ก. จากโกศที่ 1 ที่มีลูกบอลสีขาว 5 ลูกและสีดำ 3 ลูก ลูกบอล 2 ลูกถูกสุ่มย้ายไปยังโกศที่ 2 ที่มีลูกบอลสีขาว 2 ลูกและสีดำ 6 ลูก จากนั้นจากโกศที่ 2 สุ่มหยิบ 1 ลูก
1) ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลจากโกศที่ 2 กลายเป็นสีขาวเป็นเท่าใด
2) ลูกบอลที่เอาออกจากโกศที่ 2 กลายเป็นสีขาว คำนวณความน่าจะเป็นที่ลูกบอลสีต่างๆ ถูกย้ายจากโกศที่ 1 ไปโกศที่ 2
สารละลาย.
1) เหตุการณ์ A - ลูกบอลที่นำมาจากโกศที่ 2 กลายเป็นสีขาว พิจารณาตัวเลือกต่อไปนี้สำหรับการเกิดขึ้นของเหตุการณ์นี้
ก) จากโกศแรก ลูกบอลสีขาวสองลูกถูกใส่เข้าไปในส่วนที่สอง: P1 (bb) = 5/8 * 4/7 = 20/56
ในโกศที่สองมีลูกบอลสีขาว 4 ลูก ความน่าจะเป็นที่จะเอาลูกบอลสีขาวออกจากโกศที่สองคือ P2 (4) = 20/56 * (2 + 2) / (6 + 2) = 80/448
b) วางลูกบอลสีขาวและสีดำจากโกศแรกเป็นวินาที: P1 (bch) = 5/8 * 3/7 + 3/8 * 5/7 = 30/56
ในโกศที่สองมีลูกบอลสีขาวทั้งหมด 3 ลูก ความน่าจะเป็นที่จะเอาลูกบอลสีขาวออกจากโกศที่สองคือ P2 (3) = 30/56 * (2 + 1) / (6 + 2) = 90/448
c) วางลูกบอลสีดำสองลูกจากโกศแรกเป็นลูกที่สอง: P1 (hh) = 3/8 * 2/7 = 6/56
ในโกศที่สองมีลูกบอลสีขาว 2 ลูก ความน่าจะเป็นที่จะเอาลูกบอลสีขาวออกจากโกศที่สองคือ P2 (2) = 6/56 * 2 / (6 + 2) = 12/448
จากนั้นความน่าจะเป็นที่ลูกบอลจากโกศที่ 2 กลายเป็นสีขาวเท่ากับ:
P (A) = 80/448 + 90/448 + 12/448 = 13/32

2) ลูกบอลที่หยิบมาจากโกศที่ 2 กลายเป็นสีขาว กล่าวคือ ความน่าจะเป็นทั้งหมดคือ P (A) = 13/32
ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลสีต่างกัน (ขาวดำ) ถูกย้ายไปยังโกศที่สองและเลือกสีขาว: P2 (3) = 30/56 * (2 + 1) / (6 + 2) = 90/448
P = P2 (3) / P (A) = 90/448 / 13/32 = 45/91

ตัวอย่างที่ 7b. ในโกศแรกมีลูกบอลสีขาว 8 ลูกและสีดำ 3 ลูกในโกศที่สองมีลูกบอลสีขาว 5 ลูกและสีดำ 3 ลูก หนึ่งลูกจะถูกสุ่มเลือกจากลูกแรกและอีกสองลูกจากลูกที่สอง หลังจากนั้น จากสามลูกที่เลือก หนึ่งลูกจะถูกสุ่มเลือก ลูกสุดท้ายนี้กลายเป็นสีดำ จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลสีขาวถูกเลือกจากโกศแรก
สารละลาย.
พิจารณาทุกรูปแบบของเหตุการณ์ A - จากสามลูก ลูกบอลที่ถูกถอดออกกลายเป็นสีดำ เป็นไปได้อย่างไรที่ลูกบอลสามลูกมีสีดำ?
ก) ลูกบอลสีดำถูกนำออกจากโกศแรก สองลูกสีขาวถูกนำออกจากโกศที่สอง
P1 = (3/11) (5/8 * 4/7) = 15/154
ข) นำลูกบอลสีดำออกจากโกศแรก สองลูกบอลสีดำถูกนำออกจากโกศที่สอง
P2 = (3/11) (3/8 * 2/7) = 9/308
c) ลูกบอลสีดำถูกนำออกจากโกศแรก หนึ่งสีขาวและหนึ่งลูกบอลสีดำถูกนำออกจากโกศที่สอง
P3 = (3/11) (3/8 * 5/7 + 5/8 * 3/7) = 45/308
ง) นำลูกบอลสีขาวออกจากโกศแรก ลูกบอลสีดำสองลูกถูกนำออกจากโกศที่สอง
P4 = (8/11) (3/8 * 2/7) = 6/77
จ) นำลูกบอลสีขาวออกจากโกศแรก หนึ่งลูกสีขาวและสีดำหนึ่งลูกถูกนำออกจากโกศที่สอง
P5 = (8/11) (3/8 * 5/7 + 5/8 * 3/7) = 30/77
ความน่าจะเป็นทั้งหมดคือ: P = P1 + P2 + P3 + P4 + P5 = 15/154 + 9/308 + 45/308 + 6/77 + 30/77 = 57/77
ความน่าจะเป็นที่จะเลือกลูกสีขาวจากโกศสีขาวคือ:
Pb (1) = P4 + P5 = 6/77 + 30/77 = 36/77
จากนั้นความน่าจะเป็นที่จะเลือกลูกบอลสีขาวจากโกศแรกโดยมีเงื่อนไขว่าเลือกลูกบอลสีดำจากสามลูกจะเท่ากับ:
Ph = Pb (1) / P = 36/77 / 57/77 = 36/57

ตัวอย่างที่ 7ค. โกศแรกประกอบด้วยลูกบอลสีขาว 12 ลูกและลูกบอลสีดำ 16 ลูก โกศที่สองมีลูกบอลสีขาว 8 ลูกและสีดำ 10 ลูก ในเวลาเดียวกัน ลูกบอลถูกดึงออกจากโกศที่ 1 และ 2 ผสมกันและส่งคืน หนึ่งไปยังโกศแต่ละโกศ จากนั้นดึงลูกบอลออกจากโกศแต่ละอัน พวกเขากลายเป็นสีเดียวกัน กำหนดความน่าจะเป็นที่จะมีลูกบอลสีขาวเหลืออยู่ในโกศที่ 1 เท่ากับที่มีอยู่ตอนเริ่มต้น

สารละลาย.
เหตุการณ์ A - ดึงลูกบอลออกจากโกศที่ 1 และ 2 พร้อมกัน
ความน่าจะเป็นในการดึงลูกบอลสีขาวออกจากโกศแรก: P1 (B) = 12 / (12 + 16) = 12/28 = 3/7
ความน่าจะเป็นที่จะดึงลูกบอลสีดำจากโกศแรก: P1 (H) = 16 / (12 + 16) = 16/28 = 4/7
ความน่าจะเป็นในการดึงลูกบอลสีขาวออกจากโกศที่สอง: P2 (B) = 8/18 = 4/9
ความน่าจะเป็นที่จะดึงลูกบอลสีดำออกจากโกศที่สอง: P2 (H) = 10/18 = 5/9

เหตุการณ์ A เกิดขึ้น เหตุการณ์ B - ดึงลูกบอลออกจากโกศแต่ละอัน หลังจากผสมกัน ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลจะกลับไปที่โกศของลูกบอลสีขาวหรือสีดำคือ ½
ลองพิจารณารูปแบบต่างๆ ของเหตุการณ์ B - พวกมันกลายเป็นสีเดียวกัน

สำหรับโกศแรก
1) ใส่ลูกบอลสีขาวในโกศแรกแล้วดึงลูกบอลสีขาวออกมาโดยที่ลูกบอลสีขาวถูกดึงออกมาก่อนหน้านี้ P1 (BB ​​​​/ A = B) = ½ * 12/28 * 3/7 = 9/98
2) ใส่ลูกบอลสีขาวในโกศแรกแล้วดึงสีขาวออกมาโดยที่ลูกบอลสีดำถูกดึงออกมาก่อนหน้านี้ P1 (BB ​​​​/ A = H) = ½ * 13/28 * 4/7 = 13/98
3) ใส่ลูกบอลสีขาวในกล่องลงคะแนนแรก และดึงลูกบอลสีดำออกมา โดยต้องดึงลูกบอลสีขาวออกมาก่อนหน้านี้ P1 (BCH / A = B) = ½ * 16/28 * 3/7 = 6/49
4) ใส่ลูกบอลสีขาวลงในกล่องลงคะแนนแรก และดึงลูกบอลสีดำออกมา โดยต้องดึงลูกบอลสีดำออกมาก่อนหน้านี้ P1 (BCH / A = H) = ½ * 15/28 * 4/7 = 15 /98
5) ใส่ลูกบอลสีดำลงในกล่องลงคะแนนแรก และดึงลูกบอลสีขาวออกมา โดยต้องดึงลูกบอลสีขาวออกมาก่อนหน้านี้ P1 (BW / A = B) = ½ * 11/28 * 3/7 = 33 /392
6) ใส่ลูกบอลสีดำในโกศแรกแล้วดึงออกมาเป็นสีขาวโดยที่ลูกบอลสีดำถูกดึงออกมาก่อนหน้านี้ P1 (BW / A = H) = ½ * 12/28 * 4/7 = 6/ 49
7) ใส่ลูกบอลสีดำในโกศแรกแล้วดึงสีดำออกมาโดยที่ลูกบอลสีขาวถูกดึงออกมาก่อนหน้านี้ P1 (HH / A = B) = ½ * 17/28 * 3/7 = 51/ 392
8) ใส่ลูกบอลสีดำในโกศแรกแล้วดึงลูกบอลสีดำออกมาโดยที่ลูกบอลสีดำถูกดึงออกมาก่อนหน้านี้ P1 (HH / A = H) = ½ * 16/28 * 4/7 = 8/ 49

สำหรับโกศที่สอง
1) ใส่ลูกบอลสีขาวในโกศแรกแล้วดึงลูกบอลสีขาวออกมาโดยที่ลูกบอลสีขาวถูกดึงออกมาก่อนหน้านี้ P1 (BB ​​​​/ A = B) = ½ * 8/18 * 3/7 = 2 /21
2) ใส่ลูกบอลสีขาวในโกศแรกแล้วดึงสีขาวออกมาโดยที่ลูกบอลสีดำถูกดึงออกมาก่อนหน้านี้ P1 (BB ​​​​/ A = H) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/7
3) ใส่ลูกบอลสีขาวลงในกล่องลงคะแนนแรก และดึงลูกบอลสีดำออกมา โดยต้องดึงลูกบอลสีขาวออกมาก่อนหน้านี้ P1 (BCH / A = B) = ½ * 10/18 * 3/7 = 5 /42
4) ใส่ลูกบอลสีขาวลงในกล่องลงคะแนนแรก และดึงสีดำออกมา โดยต้องดึงลูกบอลสีดำออกมาก่อนหน้านี้ P1 (BCH / A = H) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1 /7
5) ใส่ลูกบอลสีดำลงในกล่องลงคะแนนแรก และดึงลูกบอลสีขาวออกมา โดยต้องดึงลูกบอลสีขาวออกมาก่อนหน้านี้ P1 (BW / A = B) = ½ * 7/18 * 3/7 = 1 /12
6) ใส่ลูกบอลสีดำในโกศแรกแล้วดึงลูกสีขาวออกมาโดยที่ลูกบอลสีดำถูกดึงออกมาก่อนหน้านี้ P1 (BW / A = H) = ½ * 8/18 * 4/7 = 8/ 63
7) ใส่ลูกบอลสีดำในโกศแรกแล้วดึงสีดำออกมาโดยที่ลูกบอลสีขาวถูกดึงออกมาก่อนหน้านี้ P1 (HH / A = B) = ½ * 11/18 * 3/7 = 11/ 84
8) ใส่ลูกบอลสีดำในโกศแรกแล้วดึงสีดำออกมาโดยที่ลูกบอลสีดำถูกดึงออกมาก่อนหน้านี้ P1 (HH / A = H) = ½ * 10/18 * 4/7 = 10/ 63

ลูกบอลกลายเป็นสีเดียวกัน:
ก) สีขาว
P1 (B) = P1 (BB ​​​​/ A = B) + P1 (BB ​​​​/ A = H) + P1 (BW / A = B) + P1 (BW / A = H) = 9/98 + 13 /98 + 33 / 392 + 6/49 = 169/392
P2 (B) = P1 (BB ​​​​/ A = B) + P1 (BB ​​​​/ A = H) + P1 (BW / A = B) + P1 (BW / A = H) = 2/21 + 1 /7 + 1 / 12 + 8/63 = 113/252
ข) สีดำ
P1 (H) = P1 (BCH / A = B) + P1 (BCH / A = H) + P1 (HH / A = B) + P1 (HH / A = H) = 6/49 + 15/98 + 51 / 392 + 8/49 = 223/392
P2 (H) = P1 (BCH / A = B) + P1 (BCH / A = H) + P1 (HH / A = B) + P1 (HH / A = H) = 5/42 + 1/7 + 11 / 84 + 10/63 = 139/252

P = P1 (B) * P2 (B) + P1 (H) * P2 (H) = 169/392 * 113/252 + 223/392 * 139/252 = 5/42

ตัวอย่างที่ 7d. ในกล่องแรกมีลูกบอลสีขาว 5 ลูกและสีน้ำเงิน 4 ลูก ในกล่องที่สอง 3 และ 1 และลูกที่สาม - 4 และ 5 ตามลำดับ กล่องถูกสุ่มเลือกและลูกบอลที่ดึงออกมากลายเป็นสีน้ำเงิน ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลนี้มาจากกล่องที่สองเป็นเท่าไหร่?

สารละลาย.
เอ-งานสกัดบอลสีน้ำเงิน พิจารณาตัวเลือกทั้งหมดสำหรับผลลัพธ์ของเหตุการณ์ดังกล่าว
H1 - ลูกบอลที่ดึงออกมาจากกล่องแรก
H2 - ลูกบอลที่ดึงออกมาจากกล่องที่สอง
H3 - ลูกบอลที่ดึงออกมาจากกล่องที่สาม
P (H1) = P (H2) = P (H3) = 1/3
ตามเงื่อนไขของปัญหา ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ A เท่ากับ:
P (A | H1) = 4 / (5 + 4) = 4/9
P (A | H2) = 1 / (3 + 1) = 1/4
P (A | H3) = 5 / (4 + 5) = 5/9
P (A) = P (H1) * P (A | H1) + P (H2) * P (A | H2) + P (H3) * P (A | H3) = 1/3 * 4/9 + 1 / 3 * 1/4 + 1/3 * 5/9 = 5/12
ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลนี้จากกล่องที่สองมีค่าเท่ากับ:
P2 = P (H2) * P (A | H2) / P (A) = 1/3 * 1/4/5/12 = 1/5 = 0.2

ตัวอย่างที่ 8 กล่องห้ากล่องที่มี 30 ลูกแต่ละกล่องมี 5 ลูกสีแดง (นี่คือกล่ององค์ประกอบ H1) อีกหกกล่องที่มี 20 ลูกแต่ละกล่องมี 4 ลูกสีแดง (นี่คือกล่องที่มีองค์ประกอบ H2) ค้นหาความน่าจะเป็นที่สุ่มลูกบอลสีแดงอยู่ในหนึ่งในห้ากล่องแรก
วิธีแก้ไข: งานการนำสูตรความน่าจะเป็นทั้งหมดไปใช้

ความน่าจะเป็นที่ ใด ๆลูกบอลที่หยิบนั้นบรรจุอยู่ในหนึ่งในห้ากล่องแรก:
P (H 1) = 5/11
ความน่าจะเป็นที่ ใด ๆลูกบอลที่หยิบมีอยู่ในหนึ่งในหกกล่อง:
P (H 2) = 6/11
เหตุการณ์เกิดขึ้น - พวกเขาดึงลูกบอลสีแดงออกมา ดังนั้น สิ่งนี้อาจเกิดขึ้นในสองกรณี:
ก) ดึงออกจากห้ากล่องแรก
P 5 = 5 ลูกสีแดง * 5 กล่อง / (30 ลูก * 5 กล่อง) = 1/6
P (P 5 / H 1) = 1/6 * 5/11 = 5/66
b) ดึงออกมาจากอีกหกกล่อง
P 6 = 4 ลูกสีแดง * 6 กล่อง / (20 ลูก * 6 กล่อง) = 1/5
P (P 6 / H 2) = 1/5 * 6/11 = 6/55
รวม: P (P 5 / H 1) + P (P 6 / H 2) = 5/66 + 6/55 = 61/330
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่สุ่มลูกบอลสีแดงอยู่ในหนึ่งในห้ากล่องแรกคือ:
P k.sh. (H1) = P (P 5 / H 1) / (P (P 5 / H 1) + P (P 6 / H 2)) = 5/66 / 61/330 = 25/61

ตัวอย่างที่ 9 โกศประกอบด้วยลูกบอลสีขาว 2 ลูก สีดำ 3 ลูก และลูกบอลสีแดง 4 ลูก สุ่มหยิบลูกบอลสามลูก ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลอย่างน้อยสองลูกจะมีสีเดียวกันเป็นเท่าใด
สารละลาย. โดยรวมแล้ว มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้สามประการของเหตุการณ์:
ก) มีลูกบอลสีขาวอย่างน้อยสองลูกในลูกบอลทั้งสามลูกที่สุ่มจับ
P b (2) = P 2b
จำนวนรวมของผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้สำหรับการทดสอบเหล่านี้เท่ากับจำนวนวิธีในการสกัดลูกบอล 3 จาก 9:

จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลทั้ง 3 ลูกที่เลือกมี 2 ลูกเป็นสีขาว

จำนวนตัวเลือกให้เลือก 2 ลูกสีขาว:

จำนวนตัวเลือกให้เลือกอีก 7 ลูก ลูกที่สาม:

b) ในบรรดาลูกบอลที่สุ่มออกมาสามลูก อย่างน้อยสองลูกที่เป็นสีดำ (เช่น สีดำ 2 ลูกหรือสีดำ 3 ลูก)
จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลทั้ง 3 ลูกที่เลือกมี 2 ลูกเป็นสีดำ

จำนวนตัวเลือกจาก 3 ลูกสีดำ:

จำนวนตัวเลือกให้เลือกจาก 6 ลูกอื่นของลูกเดียวกัน:


P 2h = 0.214
ให้เราหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลที่เลือกทั้งหมดเป็นสีดำ

P ชั่วโมง (2) = 0.214 + 0.0119 = 0.2259

c) มีลูกบอลสีแดงอย่างน้อยสองลูกในลูกบอลทั้งสามลูก (เช่น 2 ลูกสีแดงหรือ 3 สีแดง)
จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอล 3 ลูกที่เลือกไว้ 2 ลูกเป็นสีแดง

จำนวนตัวเลือกจาก 4 ลูกสีดำ:

จำนวนตัวเลือกให้เลือกจาก 5 ลูกสีขาว ที่เหลือ 1 ลูกสีขาว:


ลองหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลที่เลือกทั้งหมดเป็นสีแดง

P k (2) = 0.357 + 0.0476 = 0.4046
จากนั้นความน่าจะเป็นที่อย่างน้อยสองลูกจะมีสีเดียวกันคือ: P = P b (2) + P h (2) + P k (2) = 0.0833 + 0.2259 + 0.4046 = 0.7138

ตัวอย่างที่ 10. โกศแรกมี 10 ลูกซึ่งมี 7 ลูกเป็นสีขาว ในโกศที่สองมี 20 ลูกซึ่งมี 5 ลูกเป็นสีขาว สุ่มหยิบลูกบอลหนึ่งลูกจากโกศแต่ละอัน จากนั้นสุ่มหนึ่งลูกจากสองลูกนี้ หาความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีขาว
สารละลาย. ความน่าจะเป็นที่จะเอาลูกบอลสีขาวออกจากโกศแรกคือ P (b) 1 = 7/10 ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะจั่วลูกบอลสีดำคือ P (h) 1 = 3/10
ความน่าจะเป็นที่จะเอาลูกบอลสีขาวออกจากโกศที่สองคือ P (b) 2 = 5/20 = 1/4 ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะจั่วลูกบอลสีดำคือ P (h) 2 = 15/20 = 3/4
เหตุการณ์ A - ลูกบอลสีขาวนำมาจากสองลูก
พิจารณาตัวเลือกสำหรับผลลัพธ์ของเหตุการณ์ A

1. พวกเขาดึงลูกบอลสีขาวออกจากโกศแรก และดึงลูกบอลสีขาวออกจากโกศที่สอง จากนั้นจึงดึงลูกบอลสีขาวออกจากลูกบอลสองลูกนี้ P1 = 7/10 * 1/4 = 7/40
2. พวกเขาดึงลูกบอลสีขาวออกจากโกศแรก และดึงลูกบอลสีดำออกจากโกศที่สอง จากนั้นจึงดึงลูกบอลสีขาวออกจากลูกบอลสองลูกนี้ P2 = 7/10 * 3/4 ​​​​= 21/40
3. ลูกบอลสีดำถูกดึงออกมาจากโกศแรก ลูกบอลสีขาวถูกดึงออกมาจากโกศที่สอง จากนั้นจึงดึงลูกบอลสีขาวออกจากลูกบอลสองลูกนี้ P3 = 3/10 * 1/4 = 3/40

ดังนั้น ความน่าจะเป็นสามารถหาได้จากผลรวมของความน่าจะเป็นข้างต้น
P = P1 + P2 + P3 = 7/40 + 21/40 + 3/40 = 31/40

ตัวอย่างที่ 11 ในกล่องมีลูกเทนนิส n ลูก ของเหล่านี้เล่นม. สำหรับเกมแรก ลูกบอลสองลูกถูกสุ่มหยิบขึ้นมาและหลังจากจบเกมก็ถูกนำกลับคืนมา สำหรับเกมที่สอง พวกเขายังสุ่มเลือกสองลูก โอกาสที่เกมที่สองจะเล่นด้วยลูกบอลใหม่เป็นอย่างไร?
สารละลาย. พิจารณาเหตุการณ์ A - เกมนี้เล่นเป็นครั้งที่สองด้วยลูกบอลใหม่ เรามาดูกันว่าเหตุการณ์ใดบ้างที่สามารถนำไปสู่สิ่งนี้
ให้เราแทนด้วย g = nm จำนวนลูกใหม่ก่อนที่จะดึงออกมา
ก) ดึงลูกบอลใหม่สองลูกออกมาในเกมแรก
P1 = g / n * (g-1) / (n-1) = g (g-1) / (n (n-1))
b) สำหรับเกมแรก ดึงลูกบอลใหม่หนึ่งลูกและเล่นไปแล้วหนึ่งลูก
P2 = g / n * m / (n-1) + m / n * g / (n-1) = 2mg / (n (n-1))
c) สำหรับเกมแรก จับสลากสองลูก
P3 = m / n * (m-1) / (n-1) = m (m-1) / (n (n-1))

พิจารณาเหตุการณ์ในเกมที่สอง
ก) เราดึงบอลใหม่ออกมาสองลูก ภายใต้เงื่อนไข P1: เนื่องจากเราได้ดึงบอลใหม่สำหรับเกมแรกแล้ว สำหรับเกมที่สอง จำนวนของมันลดลง 2, g-2
P (A / P1) = (g-2) / n * (g-2-1) / (n-1) * P1 = (g-2) / n * (g-2-1) / (n- 1) * ก. (g-1) / (n (n-1))
ข) เราดึงลูกบอลใหม่ออกมาสองลูก ตามเงื่อนไข P2: เนื่องจากก่อนหน้านี้สำหรับเกมแรก เราได้ดึงลูกบอลใหม่ออกมาหนึ่งลูก จากนั้นสำหรับเกมที่สอง จำนวนของมันลดลง 1, g-1
P (A / P2) = (g-1) / n * (g-2) / (n-1) * P2 = (g-1) / n * (g-2) / (n-1) * 2mg / (n (n-1))
c) เราดึงลูกบอลใหม่ออกมาสองลูก โดยให้ P3: เนื่องจากไม่มีการใช้ลูกบอลใหม่สำหรับเกมแรก จำนวนของพวกเขาจึงไม่เปลี่ยนแปลงสำหรับเกมที่สอง g
P (A / P3) = g / n * (g-1) / (n-1) * P3 = g / n * (g-1) / (n-1) * m (m-1) / (n (n-1))

ความน่าจะเป็นทั้งหมด P (A) = P (A / P1) + P (A / P2) + P (A / P3) = (g-2) / n * (g-2-1) / (n-1) * ก. (g-1) / (n (n-1)) + (g-1) / n * (g-2) / (n-1) * 2 มก. / (n (n-1)) + g / n * (g-1) / (n-1) * ม. (m-1) / (n (n-1)) = (n-2) (n-3) (nm-1) (นาโนเมตร) / (( n-1) ^ 2 * n ^ 2)
คำตอบ: P (A) = (n-2) (n-3) (n-m-1) (n-m) / ((n-1) ^ 2 * n ^ 2)

ตัวอย่างที่ 12 ในกล่องที่หนึ่ง ที่สอง และสาม มีลูกบอลสีขาว 2 ลูกและสีดำ 3 ลูก ในกล่องที่สี่และห้ามีลูกบอลสีขาว 1 ลูกและสีดำ 1 ลูก กล่องจะถูกสุ่มเลือกและนำลูกบอลออกจากกล่อง ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขที่เลือกกล่องที่สี่หรือห้าถ้าลูกบอลที่สุ่มออกมาเป็นสีขาวเป็นเท่าใด
สารละลาย.
ความน่าจะเป็นของการเลือกแต่ละช่องคือ P (H) = 1/5
พิจารณาความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ A - การสกัดลูกบอลสีขาว
P (A | H = 1) = 2/5
P (A | H = 2) = 2/5
P (A | H = 3) = 2/5
P (A | H = 4) = ½
P (A | H = 5) = ½
ความน่าจะเป็นทั้งหมดในการดึงลูกบอลสีขาว:
P (A) = 2/5 * 1/5 + 2/5 * 1/5 + 2/5 * 1/5 + 1/2 * 1/5 + 1/2 * 1/5 = 0.44
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขที่เลือกช่องที่สี่
P (H = 4 | A) = 1/2 * 1/5 / 0.44 = 0.2273
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขที่เลือกช่องที่ห้า
P (H = 5 | A) = 1/2 * 1/5 / 0.44 = 0.2273
โดยรวม ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขที่เลือกช่องที่สี่หรือห้าคือ
P (H = 4, H = 5 | A) = 0.2273 + 0.2273 = 0.4546

ตัวอย่างที่ 13 ในโกศมีลูกบอลสีขาว 7 ลูกและสีแดง 4 ลูก จากนั้นนำลูกบอลสีขาวหรือสีแดงหรือสีดำอีกลูกหนึ่งใส่ในโกศและหลังจากผสมแล้ว ลูกบอลหนึ่งลูกก็ถูกนำออกมา ปรากฏว่าเป็นสีแดง ความน่าจะเป็นที่ ก) วางลูกบอลสีแดงเป็นเท่าใด ข) ลูกบอลสีดำ?
สารละลาย.
ก) ลูกบอลสีแดง
เหตุการณ์ A - ดึงลูกบอลสีแดงออกมา เหตุการณ์ H - วางลูกบอลสีแดงลง ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลสีแดงถูกใส่ลงในโกศ P (H = K) = 1/3
จากนั้น P (A | H = K) = 1/3 * 5/12 = 5/36 = 0.139
b) ลูกบอลสีดำ
เหตุการณ์ A - ดึงลูกบอลสีแดงออกมา เหตุการณ์ H - วางลูกบอลสีดำ
ความน่าจะเป็นที่จะใส่ลูกบอลสีดำลงในโกศ P (H = H) = 1/3
จากนั้น P (A | H = H) = 1/3 * 4/12 = 1/9 = 0.111

ตัวอย่างที่ 14 มีโกศสองลูก ลูกหนึ่งมี 10 ลูกสีแดงและ 5 ลูกสีน้ำเงิน ลูกที่สองมี 5 ลูกสีแดงและ 7 ลูกสีน้ำเงิน ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลสีแดงจะถูกสุ่มออกจากโกศแรก และลูกบอลสีน้ำเงินจากโกศที่สองเป็นเท่าใด
สารละลาย.ให้เหตุการณ์ A1 - นำลูกบอลสีแดงออกจากโกศแรก A2 - ลูกบอลสีน้ำเงินถูกนำออกจากโกศที่สอง:
,
เหตุการณ์ A1 และ A2 เป็นอิสระจากกัน ความน่าจะเป็นที่จะเกิดเหตุการณ์ A1 และ A2 ร่วมกันคือ

ตัวอย่างที่ 15 มีสำรับไพ่ (36 ชิ้น) สุ่มไพ่สองใบติดต่อกัน โอกาสที่ไพ่ทั้งสองใบจะเป็นสีแดงคืออะไร?
สารละลาย.ให้เหตุการณ์ A 1 เป็นไพ่ใบแรกของชุดสูทสีแดง กิจกรรม A 2 - ใบแดงใบที่สองที่จั่ว B - จั่วไพ่ชุดแดงทั้งคู่ เนื่องจากทั้งเหตุการณ์ A 1 และเหตุการณ์ A 2 จะต้องเกิดขึ้น ดังนั้น B = A 1 · A 2 เหตุการณ์ A 1 และ A 2 ขึ้นอยู่กับดังนั้น P (B):
,
จากที่นี่

ตัวอย่างที่ 16 ในโกศสองโกศมีลูกที่มีสีต่างกันเท่านั้น และโกศแรกมีลูกบอลสีขาว 5 ลูก ลูกบอลสีดำ 11 ลูกและสีแดง 8 ลูก และลูกที่สองตามลำดับคือ 10, 8, 6 ลูก สุ่มหยิบลูกบอลหนึ่งลูกจากโกศทั้งสอง ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลทั้งสองมีสีเดียวกันเป็นเท่าไหร่?
สารละลาย.ให้ดัชนี 1 หมายถึงสีขาว ดัชนี 2 - สีดำ 3 - สีแดง ให้เหตุการณ์ A i - ลูกบอลสีที่ i ถูกลบออกจากโกศแรก เหตุการณ์ B j - ลูกบอลสี j -th ถูกลบออกจากโกศที่สอง เหตุการณ์ A - ลูกบอลทั้งสองลูกที่มีสีเดียวกัน
A = A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3 เหตุการณ์ A i และ B j ไม่สัมพันธ์กัน และ A i B i และ A j B j ไม่สอดคล้องกันสำหรับ i ≠ j เพราะฉะนั้น,
P (A) = P (A 1) P (B 1) + P (A 2) P (B 2) + P (A 3) P (B 3) =

ตัวอย่างที่ 17 จากโกศที่มีลูกบอลสีขาว 3 ลูกและสีดำ 2 ลูกถูกดึงออกมาทีละลูกจนปรากฏเป็นสีดำ ค้นหาความน่าจะเป็นที่จะดึงลูกบอล 3 ลูกออกจากโกศ? 5 ลูก?
สารละลาย.
1) ความน่าจะเป็นที่จะดึงลูกบอล 3 ลูกออกจากโกศ (เช่น ลูกที่สามจะเป็นสีดำ และสองลูกแรกจะเป็นสีขาว)
P = 3/5 * 2/4 * 2/3 = 1/5
2) ความน่าจะเป็นที่จะดึงลูกบอล 5 ลูกออกจากโกศ
สถานการณ์ดังกล่าวเป็นไปไม่ได้เนื่องจาก เพียง 3 ลูกสีขาว
P = 0

ส่งงานที่ดีของคุณในฐานความรู้เป็นเรื่องง่าย ใช้แบบฟอร์มด้านล่าง

นักศึกษา นักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษา นักวิทยาศาสตร์รุ่นเยาว์ที่ใช้ฐานความรู้ในการศึกษาและการทำงานจะขอบคุณเป็นอย่างยิ่ง

โพสต์เมื่อ http://www.allbest.ru/

ทฤษฎีความน่าจะเป็น

มีเด็กชาย 12 คนและเด็กหญิง 8 คนในกลุ่ม สุ่มเลือกนักเรียน 5 คนจากนิตยสาร ค้นหาความน่าจะเป็นที่มีนักเรียนที่เลือกครบ 3 คน

จำนวนนักเรียนที่เลือกต่อนิตยสาร

ความน่าจะเป็นที่จะสุ่มเลือกผู้หญิงจากทั้งกลุ่ม

ความน่าจะเป็นที่จะไม่สุ่มเลือกผู้หญิงจากทั้งกลุ่ม (ความน่าจะเป็นที่จะเลือกเด็กผู้ชาย)

k = 3 - จำนวนสาวที่เลือก

ความน่าจะเป็นที่จะมีเด็กผู้หญิง 3 คนในนักเรียน 5 คนที่เลือกพอดี

มี 4 ส่วนมาตรฐานในชุด 6 ส่วน เราสุ่ม 3 ส่วน ค้นหาความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนที่เลือกอย่างน้อยหนึ่งส่วนไม่ได้มาตรฐาน

จำนวนชิ้นส่วนในชุด

จำนวนชิ้นส่วนมาตรฐานในแบทช์

ความน่าจะเป็นของการสุ่มชิ้นส่วนที่ไม่ได้มาตรฐานหนึ่งส่วนจากชุดงาน

ความน่าจะเป็นที่จะไม่สุ่มเลือกส่วนที่ไม่ได้มาตรฐานหนึ่งส่วนจากล็อต (ความน่าจะเป็นที่จะสุ่มเลือกส่วนมาตรฐานหนึ่งส่วนจากล็อต)

ความน่าจะเป็นที่จะไม่ใช้ชิ้นส่วนที่ไม่ได้มาตรฐานสองส่วนจากชุดงานโดยการสุ่ม

ความน่าจะเป็นที่จะไม่สุ่มเลือกชิ้นส่วนที่ไม่ได้มาตรฐานสามส่วนจากแบทช์ (ความน่าจะเป็นที่จะสุ่มเอาชิ้นส่วนมาตรฐานสามส่วนจากแบทช์)

ความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนที่เลือกอย่างน้อยหนึ่งส่วนไม่ได้มาตรฐาน

เครื่องประกอบด้วย 3 ส่วนที่ทำงานอย่างอิสระ ความน่าจะเป็นของความล้มเหลวของชิ้นส่วนตามลำดับเท่ากับ 0.1; 0.2; 0.15. หาความน่าจะเป็นที่จะเกิดการเสียของเครื่องจักรหากความล้มเหลวของชิ้นส่วนอย่างน้อยหนึ่งส่วนเพียงพอสำหรับสิ่งนี้

ความน่าจะเป็นที่ส่วนที่ 1 จะล้มเหลว

ความน่าจะเป็นที่ภาค 2 จะล้มเหลว

ความน่าจะเป็นที่ส่วนที่ 3 จะล้มเหลว

ความน่าจะเป็นที่ส่วนที่ 1 จะไม่ล้มเหลว

ความน่าจะเป็นที่ภาค 2 จะไม่ล้มเหลว

ความน่าจะเป็นที่ภาค 3 จะไม่ล้มเหลว

โอกาสที่เครื่องจักรจะพังหากความล้มเหลวอย่างน้อยหนึ่งส่วนก็เพียงพอแล้วสำหรับสิ่งนี้

มือปืนสองคนยิงไปที่เป้าหมาย ความน่าจะเป็นที่จะตีเป้าหมายด้วยการยิงครั้งเดียวสำหรับนักกีฬาคนแรกคือ 0.5 และสำหรับการยิงครั้งที่สอง - 0.6 หาความน่าจะเป็นที่การยิงลูกเดียวจะมีผู้ยิงเพียงคนเดียวเท่านั้นที่จะยิงเข้าเป้า

โอกาสที่ผู้ยิงคนแรกจะยิงเข้าเป้า

ความน่าจะเป็นที่มือปืนคนที่สองจะโดนเป้าหมาย

โอกาสที่ผู้ยิงคนแรกจะพลาดเป้า

โอกาสที่มือปืนคนที่สองจะพลาดเป้า

ความน่าจะเป็นที่ผู้ยิงลูกเดียวจะยิงเข้าที่เป้าหมายด้วยการยิงลูกเดียว

ในกล่องมีอุปกรณ์ 6 เครื่อง โดย 4 เครื่องกำลังทำงานอยู่ เราสุ่มเอา 3 ชิ้น ค้นหาความน่าจะเป็นที่อุปกรณ์ทั้งหมดที่ถ่ายจะทำงาน

จำนวนอุปกรณ์ที่สุ่ม

โอกาสที่จะนำอุปกรณ์ทำงานออกจากกล่อง

โอกาสที่จะไม่นำอุปกรณ์ที่ใช้งานได้ออกจากกล่อง

ลองใช้สูตรของเบอร์นูลลี:

k = 3 - จำนวนอุปกรณ์ทำงาน สุ่ม

โอกาสที่อุปกรณ์ทั้งหมดที่ถ่ายจะทำงาน

ในโกศแรกมีลูกบอลสีขาว 4 ลูกและสีดำ 1 ลูก ในโกศที่สองมีลูกบอลสีขาว 2 ลูกและสีดำ 5 ลูก 2 ลูกถูกย้ายจากลูกที่หนึ่งไปยังลูกที่สอง จากนั้นลูกหนึ่งจะถูกลบออกจากโกศที่สอง จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลที่ถูกเลือกจากโกศที่สองเป็นสีดำ

มาตัดสินผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ของเหตุการณ์กันเมื่อโอน 2 ลูกจากโกศที่ 1 ไปเป็นลูกที่ 2

Н1 - สมมติฐานที่ว่าลูกบอลสีขาว 2 ลูกถูกดึงออกจากโกศแรก

H2 - สมมติฐานที่ว่าลูกบอลสีขาว 1 ลูกและสีดำ 1 ลูกถูกดึงออกจากโกศแรก

ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีดำจากโกศที่ 1

ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีขาวจากโกศที่ 1

ความน่าจะเป็นของสมมติฐาน H1

ความน่าจะเป็นของสมมติฐาน H2

พิจารณาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เมื่อแต่ละสมมติฐานเกิดขึ้น

ความน่าจะเป็นที่จะดึงลูกบอลสีดำออกจากโกศที่ 2 หากสมมติฐาน H1 เกิดขึ้น

ความน่าจะเป็นที่จะดึงลูกบอลสีดำออกจากโกศที่ 2 หากสมมติฐาน H2 เกิดขึ้น

ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลถูกเลือกจากโกศที่สองเป็นสีดำ

โอกาสที่ชิ้นส่วนที่ผลิตในโรงงานอันดับ 1 จะมีคุณภาพดีเยี่ยม

โอกาสที่ชิ้นส่วนที่ผลิตในโรงงาน # 2 จะมีคุณภาพดีเยี่ยม

โอกาสที่ชิ้นส่วนที่ผลิตในโรงงาน #3 จะมีคุณภาพดีเยี่ยม

โอกาสแกะกล่อง ชิ้นส่วนผลิตจากโรงงาน#1

ความน่าจะเป็นในการแกะกล่อง ซึ่งเป็นชิ้นส่วนที่ผลิตจากโรงงาน#2

ความน่าจะเป็นในการแกะกล่อง ชิ้นส่วนที่ผลิตจากโรงงาน #3

ตามสูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด:

โอกาสที่ชิ้นส่วนสุ่มจะมีคุณภาพดี

มี 3 ชุด ชุดละ 25 รายการ จำนวนผลิตภัณฑ์มาตรฐานเท่ากับ 20, 21, 22 ตามลำดับ จากชุดที่สุ่มเลือก ผลิตภัณฑ์ที่กลายเป็นมาตรฐานจะถูกสุ่มเลือก จงหาความน่าจะเป็นที่ดึงออกมาจาก 1 ชุด

ความน่าจะเป็นที่ส่วนที่สุ่มเลือกจากชุดที่ 1 เป็นค่ามาตรฐาน

ความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนที่เลือกแบบสุ่มจากชุดที่ 2 เป็นค่ามาตรฐาน

ความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนที่เลือกแบบสุ่มจากชุดที่ 3 เป็นค่ามาตรฐาน

ความน่าจะเป็นที่จะสุ่มเลือกหนึ่งในสามฝ่าย

ตามสูตรเบย์:

ความน่าจะเป็นที่ไอเท็มที่สุ่มกู้คืนได้จะถูกลบออกจาก 1 แบทช์

เครื่องจักรอัตโนมัติสองเครื่องผลิตชิ้นส่วน ประสิทธิภาพของเครื่องที่สองเป็นสองเท่าของรุ่นแรก เครื่องแรกผลิตชิ้นส่วนที่มีคุณภาพดีเยี่ยม 80% และเครื่องที่สอง - 90% ส่วนที่สุ่มออกมามีคุณภาพดี จงหาความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนนี้ผลิตโดยเครื่องจักร 1 เครื่อง

ความน่าจะเป็นตามทฤษฎี

ความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนที่ผลิตโดยเครื่องจักรอัตโนมัติเครื่องที่ 1 จะมีคุณภาพดีเยี่ยม

ความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนที่ผลิตโดยเครื่องจักรอัตโนมัติเครื่องที่ 2 จะมีคุณภาพดีเยี่ยม

เนื่องจากประสิทธิภาพของเครื่องจักรที่สองนั้นเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าของเครื่องจักรชิ้นแรก จากนั้นจากชิ้นส่วนที่ผลิตตามเงื่อนไข 3 ชิ้น สองชิ้นเป็นชิ้นส่วนของเครื่องจักรที่ 2 และหนึ่งในเครื่องจักรที่ 1

ความน่าจะเป็นที่จะสุ่มเลือกชิ้นส่วนที่ทำโดยเครื่องอัตโนมัติเครื่องที่ 1

ความน่าจะเป็นที่จะสุ่มเลือกชิ้นส่วนที่ผลิตโดยเครื่องจักรอัตโนมัติเครื่องที่ 2

ตามสูตรเบย์:

โอกาสที่ชิ้นงานคุณภาพเยี่ยมจะถูกสุ่มสุ่มขึ้นมาเป็นชิ้นส่วนที่ผลิตโดยเครื่องจักรอัตโนมัติเครื่องแรก

เหรียญถูกโยน 9 ครั้ง ค้นหาความน่าจะเป็นที่จะดึง "เสื้อคลุมแขน": ก.) น้อยกว่า 4 ครั้ง; b.) อย่างน้อย 4 ครั้ง

ความน่าจะเป็นที่ "เสื้อคลุมแขน" จะลดลง

ความน่าจะเป็นที่ "เสื้อคลุมแขน" จะไม่ตก

ลองใช้สูตรของเบอร์นูลลี:

จำนวนการโยนเหรียญ

ความน่าจะเป็นที่จะได้รับเหรียญที่มี "เสื้อคลุมแขน" น้อยกว่า 4 เท่า

k = 0, 1, 2, 3 - จำนวนครั้งที่ "แขนเสื้อ" ถูกดึงออกมา

ความน่าจะเป็นที่จะได้รับเหรียญ "เสื้อคลุมแขน" คือ 0 คูณจาก 9

ความน่าจะเป็นที่จะได้รับเหรียญ "เสื้อคลุมแขน" 1 ครั้งจาก 9

ความน่าจะเป็นที่จะหลุดออกจากเหรียญ "เสื้อคลุมแขน" 2 ครั้งจาก 9

ความน่าจะเป็นที่จะหลุดออกจากเหรียญ "เสื้อคลุมแขน" 3 ครั้งจาก 9

ความน่าจะเป็นที่จะหลุดออกจากเหรียญด้วย "เสื้อคลุมแขน" อย่างน้อย 4 ครั้ง

k = 4, 5, 6, 7, 8, 9 - จำนวนครั้งที่ "แขนเสื้อ" ถูกดึงออกมา

ความน่าจะเป็นที่จะได้รับเหรียญที่มี "เสื้อคลุมแขน" คือ 4 คูณจาก 9

ความน่าจะเป็นที่จะหลุดออกจากเหรียญ "เสื้อคลุมแขน" 5 ครั้งจาก 9

ความน่าจะเป็นที่จะได้รับเหรียญที่มี "เสื้อคลุมแขน" 6 ครั้งจาก 9

ความน่าจะเป็นที่จะหลุดออกจากเหรียญ "เสื้อคลุมแขน" 7 ครั้งจาก 9

ความน่าจะเป็นที่จะหลุดออกจากเหรียญ "เสื้อคลุมแขน" 8 ครั้งจาก 9

ความน่าจะเป็นที่จะหลุดออกจากเหรียญ "เสื้อคลุมแขน" 9 ครั้งจาก 9

ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกชายคือ 0.51 จงหาความน่าจะเป็นที่ในทารกแรกเกิด 100 คนจะมีเด็กชาย 50 คน

โอกาสที่ลูกชายจะเกิด

ความน่าจะเป็นที่จะไม่มีผู้ชาย (ความน่าจะเป็นที่จะได้ผู้หญิง)

จำนวนทารกแรกเกิด

จำนวนเด็กชายที่เกิด

เราจะใช้ทฤษฎีบท Moivre-Laplace ในท้องถิ่นตั้งแต่

ตารางฟังก์ชันเกาส์เซียน

จากตารางเราพบว่าค่า

ความน่าจะเป็นที่ในทารกแรกเกิด 100 คนจะมีเด็กชาย 50 คน

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในแต่ละการทดลองอิสระ 100 รายการคือ 0.8 ค้นหาความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะปรากฏขึ้น: ก.) อย่างน้อย 75 ครั้งและไม่เกิน 90 ครั้ง; b.) อย่างน้อย 90 ครั้ง

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ไม่เกิดขึ้น

จำนวนการทดสอบทั้งหมด

จำนวนการทดสอบ

จำนวนการทดสอบ

จากตารางเราพบว่าค่า

ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้นอย่างน้อย 75 ครั้งและไม่เกิน 90 ครั้ง

จำนวนการทดสอบ

จำนวนการทดสอบ

เราจะใช้ทฤษฎีบทอินทิกรัลของ Moivre-Laplace ตั้งแต่

ฟังก์ชัน Laplace แบบตารางคี่

จากตารางเราพบว่าค่า

ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะปรากฏอย่างน้อย 90 ครั้ง

ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องกำหนดโดยกฎหมายการแจกจ่าย:

a) สร้างรูปหลายเหลี่ยมการกระจายและค้นหาฟังก์ชันการกระจาย F (x);

b.) ค้นหา M (X), D (X),

มูลค่าที่คาดหวัง

การกระจายตัว

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน.

ค่าความหนาแน่นของการกระจาย f (x) ของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง X ถูกกำหนด

ก.) ค้นหา A และฟังก์ชันการกระจาย F (x);

b.) ค้นหา M (x), D (x),

โพสต์เมื่อ Allbest.ru

เอกสารที่คล้ายกัน

การประยุกต์ใช้คำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็นในการค้นหาชุดค่าผสมที่กำหนดระหว่างส่วนจำนวนหนึ่ง การกำหนดแนวโน้มที่ผู้โดยสารจะชำระเงินครั้งแรก ใช้ทฤษฎีบท Moivre-Laplace ในท้องถิ่นเพื่อประมาณค่าความเบี่ยงเบน

ทดสอบเพิ่ม 11/23/2014


การวิเคราะห์การแก้ปัญหาของงานตามทฤษฎีความน่าจะเป็น: กำหนดความน่าจะเป็นที่ผลรวมของคะแนนที่ขอบด้านบนของลูกเต๋าสองลูกไม่เกิน 12 กำหนดระหว่างตั๋วลอตเตอรีจำนวนที่น่าจะเป็นของรางวัลและจำนวนสินค้าที่มีข้อบกพร่องใน แบทช์

ทดสอบ, เพิ่ม 12/27/2010


ลำดับของการกำหนดระดับความน่าจะเป็นในการค้นหาค่าจากสิบที่เป็นไปได้ วิธีการคำนวณชิ้นส่วนมาตรฐานของชิ้นส่วนที่ทดสอบด้วยความน่าจะเป็น 0.95 การประเมินความเป็นไปได้ที่ราคาหุ้นของบริษัทจะสูงขึ้น รวมถึงการทำกำไรจากตลาดหลักทรัพย์

ทดสอบเพิ่ม 10/16/2011


แนวคิดพื้นฐานของ combinatorics ความหมายของทฤษฎีความน่าจะเป็น แนวคิดของความคาดหวังและความแปรปรวนทางคณิตศาสตร์ องค์ประกอบพื้นฐานของสถิติทางคณิตศาสตร์ ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขเป็นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่ง โดยมีเงื่อนไขว่าเหตุการณ์อื่นได้เกิดขึ้นแล้ว

เพิ่มบทคัดย่อเมื่อ 11/25/2013


การประยุกต์ความหมายดั้งเดิมของความน่าจะเป็นในการแก้ปัญหาทางเศรษฐกิจ การกำหนดแนวโน้มที่จะประกอบชิ้นส่วนที่ชำรุดและไม่มีข้อบกพร่อง คำนวณความน่าจะเป็นและค่าตัวอย่างของสถิติโดยใช้สูตรเบอร์นูลลี

ทดสอบเพิ่มเมื่อ 09/18/2010


ทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นศาสตร์แห่งความเชื่อที่ว่ารูปแบบที่กำหนดขึ้นได้นั้นเป็นหัวใจของเหตุการณ์สุ่มจำนวนมาก หลักฐานทางคณิตศาสตร์ของทฤษฎี สัจพจน์ของทฤษฎีความน่าจะเป็น: คำจำกัดความ ความน่าจะเป็นในอวกาศ ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข

เพิ่มการบรรยายเมื่อ 04/02/2008


การแสดงลักษณะเฉพาะของกลุ่มเหตุการณ์ทั้งหมดเป็นผลรวมของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการทดสอบ วิธีการกำหนดความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ในปัญหาทิศทางต่างๆ การหาความน่าจะเป็นของจำนวนชิ้นส่วนที่ไม่ได้มาตรฐาน การสร้างฟังก์ชันการกระจาย

เพิ่มงานเมื่อ 03/19/2011


การวิเคราะห์ปรากฏการณ์สุ่ม การประมวลผลทางสถิติของผลการทดลองเชิงตัวเลข วิธีการคำนวณเหตุการณ์ที่กล่าวหา การแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีความน่าจะเป็น ความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มที่กระทบกับช่วงเวลาที่กำหนด

ทดสอบเพิ่มเมื่อ 09/21/2013


ค้นหาความน่าจะเป็นที่ต้องการผ่านเหตุการณ์ตรงข้าม สูตรอินทิกรัลของ Moivre – Laplace การหาความน่าจะเป็นที่จะตกลงไปในช่วงเวลาที่กำหนดของตัวแปรสุ่มแบบกระจายโดยการคาดการณ์ทางคณิตศาสตร์และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ทดสอบ, เพิ่ม 03/17/2011


การคำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ความแปรปรวน และสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ การกำหนดฟังก์ชันการกระจายและความหนาแน่น หาความน่าจะเป็นที่จะชนในช่วงเวลาหนึ่ง คุณสมบัติของการสร้างฮิสโตแกรมของความถี่ การประยุกต์ใช้เกณฑ์เพียร์สัน

ความน่าจะเป็นคืออะไร?

เจอคำนี้ครั้งแรกก็ไม่เข้าใจว่ามันคืออะไร ดังนั้นฉันจะพยายามอธิบายในลักษณะที่เข้าถึงได้

ความน่าจะเป็นคือโอกาสที่เหตุการณ์ที่เราต้องการจะเกิดขึ้น

ตัวอย่างเช่น คุณตัดสินใจไปเยี่ยมเพื่อน จำทางเข้าและแม้แต่ชั้นที่เขาอาศัยอยู่ แต่ฉันลืมหมายเลขและที่ตั้งของอพาร์ตเมนต์ และที่นี่คุณกำลังยืนอยู่บนบันได และด้านหน้าของคุณมีประตูให้เลือก

โอกาส (ความน่าจะเป็น) ที่ถ้ากดประตูแรก เพื่อนจะเปิดประตูให้คืออะไร? อพาร์ตเมนต์ทั้งหมดและเพื่อนอาศัยอยู่เพียงแห่งเดียวเท่านั้น เราสามารถเลือกประตูใดก็ได้ที่มีโอกาสเท่ากัน

แต่โอกาสนี้คืออะไร?

ประตู, ประตูขวา. ความน่าจะเป็นของการเดาโดยกดกริ่งประตูแรก:. นั่นคือหนึ่งครั้งในสามที่คุณจะเดาได้อย่างแน่นอน

เราอยากรู้ว่าโทรไปซักครั้งจะทายประตูบ่อยแค่ไหน? ลองพิจารณาตัวเลือกทั้งหมด:

1. คุณโทรมาใน ที่ 1ประตู
2. คุณโทรมาใน ครั้งที่ 2ประตู
3. คุณโทรมาใน ครั้งที่ 3ประตู

ทีนี้มาดูตัวเลือกทั้งหมดที่เพื่อนอาจเป็น:

NS. ต่อ ที่ 1ข้างประตู
NS. ต่อ ครั้งที่ 2ข้างประตู
วี ต่อ ครั้งที่ 3ข้างประตู

ลองเปรียบเทียบตัวเลือกทั้งหมดในรูปแบบของตาราง ติ๊กจะทำเครื่องหมายตัวเลือกเมื่อตัวเลือกของคุณตรงกับตำแหน่งของเพื่อน กากบาท - เมื่อมันไม่ตรงกัน

คุณเห็นทุกอย่างเป็นอย่างไร อาจจะ ตัวเลือกตำแหน่งของเพื่อนและตัวเลือกของคุณว่าจะให้กดประตูไหน

NS ผลลัพธ์ที่ดีของทุกคน . นั่นคือคุณจะเดาเป็นครั้งคราวโดยกดกริ่งประตู ...

นี่คือความน่าจะเป็น - อัตราส่วนของผลลัพธ์ที่น่าพอใจ (เมื่อตัวเลือกของคุณใกล้เคียงกับตำแหน่งของเพื่อน) ต่อจำนวนเหตุการณ์ที่เป็นไปได้

คำจำกัดความคือสูตร ความน่าจะเป็นมักจะแสดง p ดังนั้น:

ไม่สะดวกมากที่จะเขียนสูตรดังกล่าว ดังนั้นเราจะใช้ - จำนวนผลลัพธ์ที่น่าพอใจและสำหรับ - จำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด

ความน่าจะเป็นสามารถเขียนเป็นเปอร์เซ็นต์ได้ สำหรับสิ่งนี้ คุณต้องคูณผลลัพธ์ที่ได้ด้วย:

น่าจะเป็นคำว่า "ผลลัพธ์" ที่ดึงดูดสายตาคุณ เนื่องจากนักคณิตศาสตร์เรียกการทดลองต่างๆ (ในกรณีของเรา การกระทำดังกล่าวเป็นเสียงกริ่งประตู) จึงเป็นเรื่องปกติที่จะเรียกผลลัพธ์ของการทดลองดังกล่าว

ดีผลเป็นที่น่าพอใจและไม่เอื้ออำนวย

ลองกลับไปที่ตัวอย่างของเรา สมมติว่าเรากดประตูบานหนึ่ง แต่มีคนแปลกหน้ามาเปิดประตูให้เรา เราไม่ได้เดา เป็นไปได้แค่ไหนที่ถ้าเรากดกริ่งที่ประตูบานหนึ่งที่เหลืออยู่ เพื่อนของเราจะเปิดประตูให้เรา?

ถ้าคุณคิดอย่างนั้น แสดงว่านี่คือความผิดพลาด ลองคิดออก

เรามีประตูเหลืออยู่สองประตู ดังนั้นเราจึงมีขั้นตอนที่เป็นไปได้:

1) โทรเข้า ที่ 1ประตู
2) โทรเข้า ครั้งที่ 2ประตู

ทั้งหมดนี้เพื่อนคนหนึ่งอยู่เบื้องหลังพวกเขาอย่างแน่นอน (ท้ายที่สุดแล้ว เขาไม่ได้อยู่เบื้องหลังคนที่เราโทรหา):

ก) เพื่อนสำหรับ ที่ 1ข้างประตู
b) เพื่อนสำหรับ ครั้งที่ 2ข้างประตู

มาวาดตารางกันอีกครั้ง:

อย่างที่คุณเห็นมีตัวเลือกทั้งหมดซึ่งเป็นประโยชน์ นั่นคือความน่าจะเป็นเท่ากัน

ทำไมจะไม่ล่ะ?

สถานการณ์ที่เราได้พิจารณา - ตัวอย่างของเหตุการณ์ที่ขึ้นต่อกันเหตุการณ์แรกคือกริ่งประตูแรก เหตุการณ์ที่สองคือกริ่งประตูที่สอง

และเรียกว่าขึ้นต่อกันเพราะมีผลต่อการกระทำดังต่อไปนี้ ท้ายที่สุดแล้ว ถ้าเพื่อนเปิดประตูหลังจากเสียงกริ่งแรก ความน่าจะเป็นที่เขาจะอยู่ข้างหลังหนึ่งในสองคนที่เหลือจะเป็นเท่าใด ถูกต้อง, .

แต่ถ้ามีเหตุขึ้นอยู่ก็ต้องมี เป็นอิสระ? จริงอยู่.

ตัวอย่างหนังสือเรียนคือการโยนเหรียญ

1. โยนเหรียญครั้งเดียว ความน่าจะเป็นเช่นหัวจะออกมาเป็นเท่าไหร่? ถูกต้อง เพราะตัวเลือกสำหรับทุกอย่าง (ไม่ว่าจะหัวหรือก้อย เราละเลยความน่าจะเป็นที่เหรียญจะยืนอยู่บนขอบ) แต่เหมาะกับเราเท่านั้น
2. แต่มันขึ้นหาง โอเค เดี๋ยวค่อยว่ากันอีกที ความน่าจะเป็นที่จะได้หัวในปัจจุบันเป็นเท่าไหร่? ไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลง ทุกอย่างเหมือนเดิม มีกี่ตัวเลือก? สอง. เหมาะกับเราขนาดไหน? หนึ่ง.

และปล่อยให้มันขึ้นหางพันครั้งติดต่อกัน ความน่าจะเป็นที่จะได้หัวในคราวเดียวจะเท่าเดิม มีตัวเลือกอยู่เสมอ แต่ตัวเลือกที่ดี

ง่ายต่อการแยกแยะเหตุการณ์ที่ขึ้นอยู่กับเหตุการณ์อิสระ:

1. หากทำการทดลองเพียงครั้งเดียว (เมื่อโยนเหรียญ กดกริ่งประตู 1 ครั้ง ฯลฯ) เหตุการณ์ก็จะเป็นอิสระเสมอ
2. หากทำการทดลองหลายครั้ง (เหรียญถูกโยนหนึ่งครั้ง เสียงกริ่งประตูดังขึ้นหลายครั้ง) เหตุการณ์แรกจะเป็นอิสระเสมอ แล้วถ้าจำนวนที่น่าพอใจหรือจำนวนของผลลัพธ์ทั้งหมดเปลี่ยนแปลง เหตุการณ์ก็ขึ้นอยู่กับ และถ้าไม่ เหตุการณ์เหล่านั้นก็เป็นอิสระ

มาฝึกกำหนดความน่าจะเป็นกันสักหน่อย

ตัวอย่างที่ 1

เหรียญถูกโยนสองครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะตีหัวสองครั้งติดต่อกันเป็นเท่าไหร่?

สารละลาย:

ลองพิจารณาตัวเลือกที่เป็นไปได้ทั้งหมด:

1. อินทรี-อินทรี
2. หัวหาง
3. หัวหาง
4. หาง-ก้อย

อย่างที่คุณเห็นตัวเลือกทั้งหมด สิ่งเหล่านี้เหมาะกับเราเท่านั้น นั่นคือความน่าจะเป็น:

หากเงื่อนไขถูกขอให้ค้นหาความน่าจะเป็นอย่างง่าย ๆ จะต้องให้คำตอบในรูปของเศษส่วนทศนิยม หากระบุว่าควรให้คำตอบเป็นเปอร์เซ็นต์ เราก็คูณด้วย

ตอบ:

ตัวอย่างที่ 2

ในกล่องช็อกโกแลต ช็อกโกแลตทั้งหมดบรรจุในห่อเดียวกัน อย่างไรก็ตามจากขนม - กับถั่ว, คอนยัค, เชอร์รี่, คาราเมลและตังเม

ความน่าจะเป็นที่ได้ลูกอมหนึ่งลูก ได้ลูกกวาดที่มีถั่วเป็นเท่าใด ให้คำตอบของคุณเป็นเปอร์เซ็นต์

สารละลาย:

ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้มีกี่แบบ? ...

นั่นคือการเอาขนมไปหนึ่งลูกก็จะเป็นหนึ่งในขนมที่อยู่ในกล่อง

กี่ผลลัพธ์ที่ดี?

เพราะในกล่องมีแต่ชอคโกแลตกับถั่ว

ตอบ:

ตัวอย่างที่ 3

ในกล่องลูกบอล ของพวกเขา ขาว - ดำ

1. ความน่าจะเป็นที่จะดึงลูกบอลสีขาวออกมาเป็นเท่าไหร่?
2. เราได้เพิ่มลูกบอลสีดำเข้าไปในกล่อง ตอนนี้ความน่าจะเป็นที่จะดึงลูกบอลสีขาวออกมาเป็นเท่าไหร่?

สารละลาย:

ก) มีลูกทั้งหมดอยู่ในกล่อง ของพวกนี้ สีขาว.

ความน่าจะเป็นเท่ากับ:

b) ตอนนี้มีลูกอยู่ในกล่อง และยังคงจำนวนคนผิวขาวเท่าเดิม -.

ตอบ:

ความน่าจะเป็นเต็ม

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ ()

สมมติว่าในกล่องลูกบอลสีแดงและสีเขียว ความน่าจะเป็นที่จะดึงลูกบอลสีแดงออกมาเป็นเท่าไหร่? ลูกบอลสีเขียว? ลูกบอลสีแดงหรือสีเขียว?

ความเป็นไปได้ในการดึงลูกบอลสีแดง

ลูกบอลสีเขียว:

ลูกบอลสีแดงหรือสีเขียว:

อย่างที่คุณเห็น ผลรวมของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ () การเข้าใจช่วงเวลานี้จะช่วยคุณแก้ปัญหามากมาย

ตัวอย่างที่ 4

กล่องประกอบด้วยเครื่องหมาย: เขียว, แดง, น้ำเงิน, เหลือง, ดำ

โอกาสที่จะดึงปากกาปลายสักหลาดที่ไม่ใช่สีแดงออกมามีโอกาสแค่ไหน?

สารละลาย:

มานับจำนวนเงินกัน ผลลัพธ์ที่ดี

ไม่ใช่เครื่องหมายสีแดง แต่หมายถึงสีเขียว สีฟ้า สีเหลืองหรือสีดำ

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ทั้งหมด และความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เราพิจารณาว่าไม่เอื้ออำนวย (เมื่อเราดึงปากกาสักหลาดสีแดงออกมา) -

ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะดึงปากกาที่ไม่ใช่ปลายสักหลาดสีแดงออกมาจึงเป็น

ตอบ:

ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะไม่เกิดขึ้นเท่ากับลบความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้น

กฎการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ

คุณรู้อยู่แล้วว่ากิจกรรมอิสระคืออะไร

แต่ถ้าคุณต้องการค้นหาความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์อิสระสองเหตุการณ์ (หรือมากกว่า) จะเกิดขึ้นติดต่อกันล่ะ?

สมมุติว่าเราอยากรู้ความน่าจะเป็นที่เมื่อเราพลิกเหรียญหนึ่งครั้ง เราเห็นนกอินทรีสองครั้งเป็นเท่าไหร่?

เราได้นับแล้ว -.

แล้วถ้าเราพลิกเหรียญครั้งเดียวล่ะ? ความน่าจะเป็นที่จะเห็นนกอินทรีเป็นแถวเป็นเท่าไหร่?

ตัวเลือกที่เป็นไปได้ทั้งหมด:

1. อินทรีอินทรีอินทรี
2. หัว-หัว-ก้อย
3. หัว-หาง-หัว
4. หัวหางหาง
5. หาง-หัว-หัว
6. หาง-หัว-ก้อย
7. หาง-หาง-หัว
8. หาง-หาง-หาง

ฉันไม่รู้เกี่ยวกับคุณ แต่ฉันทำผิดพลาดเมื่อทำรายการนี้ ว้าว! และทางเลือกเดียว (ก่อน) ที่เหมาะกับเรา

สำหรับการขว้าง 5 ครั้ง คุณสามารถสร้างรายการผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ด้วยตัวเอง แต่นักคณิตศาสตร์ไม่ได้ทำงานหนักเหมือนคุณ

ดังนั้น ในตอนแรกพวกเขาสังเกตเห็นและพิสูจน์แล้วว่าความน่าจะเป็นของลำดับเหตุการณ์อิสระบางรายการลดลงในแต่ละครั้งตามความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เดียว

กล่าวอีกนัยหนึ่ง

พิจารณาตัวอย่างเหรียญที่โชคร้ายเหมือนกัน

โอกาสที่จะได้หัวในความท้าทาย? ... ตอนนี้เราพลิกเหรียญหนึ่งครั้ง

ความน่าจะเป็นที่จะตีหัวหนึ่งครั้งติดต่อกันเป็นเท่าไหร่?

กฎนี้ใช้ไม่ได้เฉพาะในกรณีที่เราถูกขอให้ค้นหาความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์เดียวกันจะเกิดขึ้นหลายครั้งติดต่อกัน

หากเราต้องการค้นหาลำดับ GRIP-EAGLE-GRILLE สำหรับการขว้างเป็นแถว เราก็จะทำเช่นเดียวกัน

ความน่าจะเป็นที่จะได้ก้อย -, หัว -

ความน่าจะเป็นที่จะหลุดออกจากลำดับ GRILLE-EAGLE-GRILLE-GRILLE:

คุณสามารถตรวจสอบได้ด้วยตัวเองโดยการทำตาราง

กฎสำหรับการบวกความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ไม่สอดคล้องกัน

ดังนั้นหยุด! นิยามใหม่.

ลองคิดออก นำเหรียญที่สึกหรอของเรามาโยนครั้งเดียว
ตัวเลือกที่เป็นไปได้:

1. อินทรีอินทรีอินทรี
2. หัว-หัว-ก้อย
3. หัว-หาง-หัว
4. หัวหางหาง
5. หาง-หัว-หัว
6. หาง-หัว-ก้อย
7. หาง-หาง-หัว
8. หาง-หาง-หาง

ดังนั้น เหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้จึงเป็นลำดับเหตุการณ์ที่กำหนดไว้ล่วงหน้าแน่นอน เป็นเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้

หากเราต้องการกำหนดความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้สองเหตุการณ์ (หรือมากกว่า) เราจะเพิ่มความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้

คุณต้องเข้าใจว่าการล้มหัวหรือก้อยเป็นสองเหตุการณ์ที่เป็นอิสระ

หากเราต้องการกำหนดความน่าจะเป็นของลำดับใด (หรืออย่างอื่น) เราจะใช้กฎการคูณความน่าจะเป็น
ความน่าจะเป็นที่จะได้หัวในการโยนครั้งแรก และในก้อยที่สองและสามเป็นเท่าไหร่?

แต่ถ้าเราต้องการทราบว่าความน่าจะเป็นที่จะได้รับหนึ่งในหลาย ๆ ลำดับเป็นเท่าใด ตัวอย่างเช่น เมื่อหัวหลุดออกมาเพียงครั้งเดียว นั่นคือ ตัวเลือก จากนั้นเราต้องเพิ่มความน่าจะเป็นของลำดับเหล่านี้

ตัวเลือกทั้งหมดเหมาะสำหรับเรา

เราได้สิ่งเดียวกันโดยเพิ่มความน่าจะเป็นของแต่ละลำดับ:

ดังนั้นเราจึงเพิ่มความน่าจะเป็นเมื่อเราต้องการกำหนดความน่าจะเป็นของลำดับเหตุการณ์ที่ไม่สอดคล้องกันบางอย่าง

มีหลักการทั่วไปที่จะช่วยคุณหลีกเลี่ยงความสับสนว่าเมื่อใดควรทวีคูณและเมื่อใดควรบวกเพิ่ม:

ลองกลับไปที่ตัวอย่างเมื่อเราพลิกเหรียญหนึ่งครั้ง และเราต้องการทราบความน่าจะเป็นที่จะเห็นหัวหนึ่งครั้ง
จะเกิดอะไรขึ้น?

ควรดรอป:
(หัวและก้อยและก้อย) หรือ (หางและหัวและก้อย) หรือ (หางและหางและหัว)
ปรากฎว่า:

มาดูตัวอย่างกัน

ตัวอย่างที่ 5

กล่องประกอบด้วยดินสอ สีแดง สีเขียว ส้ม สีเหลือง และสีดำ โอกาสที่จะดึงดินสอสีแดงหรือสีเขียวออกมาเป็นอย่างไร?

สารละลาย:

จะเกิดอะไรขึ้น? เราต้องดึงออก (แดง หรือ เขียว)

เป็นที่ชัดเจนว่า เราเพิ่มความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้:

ตอบ:

ตัวอย่างที่ 6

ทอยลูกเต๋า 2 ครั้ง โอกาสได้ 8 แต้มเท่าไหร่?

สารละลาย.

เราจะได้รับคะแนนได้อย่างไร?

(และ) หรือ (และ) หรือ (และ) หรือ (และ) หรือ (และ)

ความน่าจะเป็นที่จะหลุดออกจากใบหน้าเดียว (ใด ๆ ) -

เราคำนวณความน่าจะเป็น:

ตอบ:

ออกกำลังกาย.

ฉันคิดว่าตอนนี้มันชัดเจนสำหรับคุณแล้วเมื่อต้องนับความน่าจะเป็น เมื่อใดควรบวก และเมื่อใดควรคูณ มันไม่ได้เป็น? มาฝึกกันสักหน่อย

งาน:

มารู้จักสำรับไพ่กันเถอะ ซึ่งไพ่รวมทั้งโพดำ หัวใจ 13 คลับ และ 13 ไดมอนด์ จากสู่เอซของแต่ละชุด

1. ความน่าจะเป็นที่จะจั่วไม้กอล์ฟติดต่อกันเป็นเท่าใด (เราใส่การ์ดที่จั่วใบแรกกลับเข้าไปในสำรับและสับไพ่)?
2. ความน่าจะเป็นในการจั่วไพ่สีดำ (โพดำหรือไม้กอล์ฟ) คืออะไร?
3. ความน่าจะเป็นที่จะดึงรูปภาพ (แจ็ค ควีน คิง หรือเอซ) เป็นเท่าใด
4. ความน่าจะเป็นของการวาดภาพสองภาพติดต่อกันเป็นเท่าใด (เรานำไพ่ที่จั่วใบแรกออกจากสำรับ) เป็นเท่าใด
5. ความน่าจะเป็นที่ได้ไพ่สองใบเพื่อรวบรวมชุดค่าผสม - (แจ็ค ควีน หรือคิง) และเอซ ลำดับที่จะจั่วไพ่ไม่สำคัญ

คำตอบ:

1. ในสำรับไพ่ของแต่ละอันดับหมายถึง:
2. เหตุการณ์ขึ้นอยู่กับว่าหลังจากไพ่ใบแรกถูกจั่ว จำนวนไพ่ในสำรับลดลง (รวมถึงจำนวน "รูปภาพ") รวมแจ็ค ควีน คิงส์ และเอซในสำรับแรก ซึ่งหมายความว่าความน่าจะเป็นของไพ่ใบแรกที่จะดึง "รูปภาพ" ออกมา:

   เนื่องจากเรานำไพ่ใบแรกออกจากสำรับ หมายความว่ามีไพ่ในสำรับอยู่แล้วซึ่งมีรูปภาพอยู่ ความน่าจะเป็นในการดึงภาพด้วยไพ่ใบที่สอง:

   เนื่องจากเราสนใจสถานการณ์เมื่อเราได้รับจากสำรับ: "รูปภาพ" และ "รูปภาพ" เราจึงต้องคูณความน่าจะเป็น:

   ตอบ:

3. หลังจากจั่วไพ่ใบแรกแล้ว จำนวนไพ่ในสำรับจะลดลง ดังนั้นเราจึงมีสองตัวเลือก:
   1) ด้วยไพ่ใบแรกที่เรานำเอซออก ใบที่สอง - แจ็ค ราชินีหรือราชา
   2) ด้วยไพ่ใบแรกเรานำแจ็คราชินีหรือราชาใบที่สอง - เอซ (เอซและ (แจ็คหรือควีนหรือคิง)) หรือ ((แจ็คหรือควีนหรือคิง) และเอซ) อย่าลืมเกี่ยวกับการลดจำนวนไพ่ในสำรับ!

หากคุณสามารถแก้ปัญหาทั้งหมดได้ด้วยตัวเอง แสดงว่าคุณเป็นเพื่อนที่ดี! ตอนนี้คุณจะคลิกที่ปัญหาในทฤษฎีความน่าจะเป็นในการสอบ!

ทฤษฎีความน่าจะเป็น ระดับเฉลี่ย

มาดูตัวอย่างกัน สมมุติว่าเราทอยลูกเต๋า กระดูกอะไรเนี่ย รู้ยัง? นี่คือชื่อของลูกบาศก์ที่มีตัวเลขอยู่ที่ขอบ มีกี่หน้า กี่ตัวเลข จากถึงกี่? ก่อน.

ดังนั้นเราจึงม้วนแม่พิมพ์และต้องการม้วนหรือ และมันก็ตกอยู่กับเรา

ความน่าจะเป็นบอกว่าเกิดอะไรขึ้น เหตุการณ์ที่ดี(เพื่อไม่ให้สับสนกับความเจริญ).

ถ้ามันล้มเหตุการณ์ก็จะเป็นที่ชื่นชอบเช่นกัน โดยรวมแล้วสามารถเกิดขึ้นได้เพียงสองเหตุการณ์เท่านั้น

และเสียเปรียบมากแค่ไหน? เนื่องจากมีเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด หมายความว่ามีเหตุการณ์ที่ไม่เอื้ออำนวยอยู่ในหมู่พวกเขา (นี่คือเหตุการณ์ที่หลุดออกมาหรือ)

คำนิยาม:

ความน่าจะเป็นคืออัตราส่วนของจำนวนเหตุการณ์ที่เอื้ออำนวยต่อจำนวนเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด... นั่นคือความน่าจะเป็นแสดงให้เห็นว่าสัดส่วนของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดเป็นอย่างไร

ความน่าจะเป็นจะแสดงด้วยตัวอักษรละติน (เห็นได้ชัดว่ามาจากความน่าจะเป็นของคำภาษาอังกฤษ)

เป็นเรื่องปกติที่จะวัดความน่าจะเป็นเป็นเปอร์เซ็นต์ (ดูหัวข้อและ) เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ค่าความน่าจะเป็นต้องคูณด้วย ในตัวอย่างลูกเต๋า ความน่าจะเป็น

และเป็นเปอร์เซ็นต์:.

ตัวอย่าง (ตัดสินใจด้วยตัวเอง):

1. ความน่าจะเป็นที่จะได้หัวเมื่อพลิกเหรียญเป็นเท่าไหร่? มีโอกาสขึ้นหางมากน้อยแค่ไหน?
2. ความน่าจะเป็นที่เลขคู่ถูกทอยบนลูกเต๋าเป็นเท่าใด และด้วยอะไร - แปลก?
3. ในกล่องดินสอ ดินสอสีน้ำเงินและสีแดง สุ่มวาดดินสอหนึ่งอัน ความน่าจะเป็นที่จะดึงตัวธรรมดาออกมาเป็นเท่าไหร่?

โซลูชั่น:

1. มีกี่ตัวเลือก? หัวและก้อยเป็นเพียงสอง กี่ของพวกเขาเป็นที่ชื่นชอบ? เพียงหนึ่งเดียวคือนกอินทรี ดังนั้น ความน่าจะเป็น

   มันเหมือนกันกับก้อย:.

2. ตัวเลือกทั้งหมด: (ลูกบาศก์มีกี่ด้าน ตัวเลือกที่แตกต่างกันมากมาย) สิ่งที่ชอบ: (ทั้งหมดนี้เป็นเลขคู่ :)
   ความน่าจะเป็น ด้วยสิ่งแปลก ๆ แน่นอนสิ่งเดียวกัน
3. รวม: . ข้อดี:. ความน่าจะเป็น: .

ความน่าจะเป็นเต็ม

ดินสอทั้งหมดในลิ้นชักเป็นสีเขียว ความน่าจะเป็นที่จะดึงดินสอสีแดงออกมาเป็นเท่าไหร่? ไม่มีโอกาส: ความน่าจะเป็น (หลังจากทั้งหมด เหตุการณ์ที่ดี -)

เหตุการณ์ดังกล่าวเรียกว่าเป็นไปไม่ได้

ความน่าจะเป็นที่จะดึงดินสอสีเขียวออกมาเป็นเท่าใด มีจำนวนเหตุการณ์ที่น่าพอใจเท่ากันทุกประการเนื่องจากมีเหตุการณ์ทั้งหมด (เหตุการณ์ทั้งหมดเป็นที่น่าพอใจ) ดังนั้น ความน่าจะเป็นเท่ากับ หรือ

เหตุการณ์ดังกล่าวเรียกว่าเชื่อถือได้

ถ้ามีดินสอสีเขียวและสีแดงอยู่ในกล่อง โอกาสดึงสีเขียวหรือสีแดงออกมาเป็นอย่างไร? อีกแล้ว. สังเกตสิ่งนี้: ความน่าจะเป็นที่จะดึงสีเขียวมีค่าเท่ากันและสีแดงคือ

สรุปความน่าจะเป็นเหล่านี้เท่ากันทุกประการ นั่นคือ, ผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดเท่ากับหรือ

ตัวอย่าง:

ในกล่องดินสอ มีสีฟ้า แดง เขียว เหลืองล้วน และที่เหลือเป็นสีส้ม ความน่าจะเป็นที่จะไม่ดึงสีเขียวเป็นเท่าใด

สารละลาย:

จำไว้ว่าความน่าจะเป็นทั้งหมดรวมกัน และความน่าจะเป็นที่จะดึงสีเขียวเท่ากับ ซึ่งหมายความว่าความน่าจะเป็นที่จะไม่ดึงสีเขียวเท่ากับ

จำเคล็ดลับนี้:ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะไม่เกิดขึ้นเท่ากับลบความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้น

เหตุการณ์อิสระและกฎการคูณ

คุณพลิกเหรียญหนึ่งครั้ง และคุณต้องการให้หัวล้มทั้งสองครั้ง โอกาสที่สิ่งนี้จะเกิดขึ้นคืออะไร?

มาดูตัวเลือกที่เป็นไปได้ทั้งหมดและพิจารณาว่ามีกี่ตัวเลือก:

หัว-หัว-หัว-หัว-หัว-หัว-ท้าย. อะไรอีก?

ตัวเลือกทั้งหมด ในจำนวนนี้ มีเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้นที่เหมาะกับเรา: Eagle-Eagle รวมความน่าจะเป็นคือ

ดี. และตอนนี้เราโยนเหรียญหนึ่งครั้ง นับเอาเอง. เกิดขึ้น? (คำตอบ).

คุณอาจสังเกตเห็นว่าการเพิ่มแต่ละครั้งในการโยนครั้งต่อไป ความน่าจะเป็นลดลงในครั้งต่อๆ ไป กฎทั่วไปเรียกว่า กฎการคูณ:

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระเปลี่ยนไป

เหตุการณ์อิสระคืออะไร? ทุกอย่างมีเหตุผล: สิ่งเหล่านี้เป็นสิ่งที่ไม่พึ่งพาซึ่งกันและกัน ตัวอย่างเช่น เมื่อเราโยนเหรียญหลายครั้ง ทุกครั้งที่มีการโยนใหม่ ผลที่ได้จะไม่ขึ้นอยู่กับการโยนครั้งก่อนทั้งหมด เราสามารถพลิกเหรียญสองเหรียญที่แตกต่างกันได้ในเวลาเดียวกัน

ตัวอย่างเพิ่มเติม:

1. ลูกเต๋าถูกทอยสองครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะทอยทั้งสองครั้งเป็นเท่าไหร่?
2. เหรียญถูกโยนครั้งเดียว ความน่าจะเป็นที่จะขึ้นหัวก่อนแล้วก้อยสองครั้งคืออะไร?
3. ผู้เล่นทอยลูกเต๋าสองลูก ความน่าจะเป็นที่ผลรวมของตัวเลขจะเท่ากันเป็นเท่าใด

คำตอบ:

1. เหตุการณ์เป็นอิสระ ซึ่งหมายความว่ากฎการคูณทำงาน:
2. ความน่าจะเป็นของนกอินทรีคือ ความน่าจะเป็นของหางก็เช่นกัน เราคูณ:
3. สามารถรับ 12 ได้ก็ต่อเมื่อมีการทอย -ki สองอัน:.

เหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้และกฎการเพิ่ม

เหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้เรียกว่าเหตุการณ์ที่เสริมซึ่งกันและกันเพื่อความน่าจะเป็นเต็มที่ ตามชื่อของมัน มันไม่สามารถเกิดขึ้นพร้อมกันได้ ตัวอย่างเช่น ถ้าเราพลิกเหรียญ มันสามารถขึ้นหัวหรือก้อยก็ได้

ตัวอย่าง.

ในกล่องดินสอ มีสีฟ้า แดง เขียว เหลืองล้วน และที่เหลือเป็นสีส้ม ความน่าจะเป็นที่จะดึงสีเขียวหรือสีแดงเป็นเท่าใด

สารละลาย .

ความน่าจะเป็นที่จะดึงดินสอสีเขียวออกมาคือ สีแดง - .

ฤกษ์มงคลทั้งหมด เขียว+แดง ซึ่งหมายความว่าความน่าจะเป็นที่จะดึงสีเขียวหรือสีแดงออกมาเท่ากับ

ความน่าจะเป็นเดียวกันสามารถแสดงได้ดังนี้:.

นี่คือกฎการเพิ่ม:ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ไม่สอดคล้องกันเพิ่มขึ้น

ปัญหาปะปนกัน

ตัวอย่าง.

เหรียญถูกโยนสองครั้ง โอกาสที่ผลการทุ่มจะแตกต่างกันอย่างไร?

สารละลาย .

ซึ่งหมายความว่าหากการตีครั้งแรกเป็นหัว ครั้งที่สองควรเป็นก้อย และในทางกลับกัน ปรากฎว่ามีเหตุการณ์อิสระสองคู่และคู่เหล่านี้ไม่เข้ากัน วิธีที่จะไม่สับสนว่าจะคูณที่ไหนและจะเพิ่มที่ไหน

มีกฎง่ายๆ สำหรับสถานการณ์เหล่านี้ พยายามอธิบายสิ่งที่กำลังจะเกิดขึ้นโดยเชื่อมโยงเหตุการณ์กับ AND หรือ OR ตัวอย่างเช่น ในกรณีนี้:

ควรขึ้นมา (หัวกับก้อย) หรือ (ก้อยกับหัว)

ในกรณีที่มีคำสันธาน "และ" จะมีการคูณ และโดยที่ "หรือ" - นอกจากนี้:

ลองด้วยตัวคุณเอง:

1. โอกาสที่ด้านเดียวกันจะโยนเหรียญสองครั้งสองครั้งเป็นเท่าใด
2. ลูกเต๋าถูกทอยสองครั้ง ความน่าจะเป็นที่คะแนนรวมจะเป็นเท่าไหร่?

โซลูชั่น:

1. (หัวตกก็หัวตก) หรือ (หางตกก็หางตก):.
2. มีตัวเลือกอะไรบ้าง? และ. แล้ว:
   หลุดออกจาก (และ) หรือ (และ) หรือ (และ):

ตัวอย่างอื่น:

เราโยนเหรียญหนึ่งครั้ง ความน่าจะเป็นที่หัวจะออกมาอย่างน้อยหนึ่งครั้งเป็นเท่าไหร่?

สารละลาย:

โอ้คุณไม่ต้องการที่จะผ่านตัวเลือก ... Heads-tails-tails, Heads-heads-tails, ... และอย่า! เราจำความน่าจะเป็นทั้งหมดได้ จำได้ไหม ความน่าจะเป็นที่นกอินทรี จะไม่ดรอปแม้แต่ครั้งเดียว? ง่ายมาก: หางจะบินตลอดเวลา ดังนั้น

ทฤษฎีความน่าจะเป็น สั้น ๆ เกี่ยวกับ MAIN

ความน่าจะเป็นคืออัตราส่วนของจำนวนเหตุการณ์ที่เอื้ออำนวยต่อจำนวนเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด

เหตุการณ์อิสระ

เหตุการณ์สองเหตุการณ์เป็นอิสระต่อกัน หากเหตุการณ์หนึ่งเกิดขึ้น ความน่าจะเป็นของการเกิดอีกเหตุการณ์หนึ่งไม่เปลี่ยนแปลง

ความน่าจะเป็นเต็ม

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ ()

ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะไม่เกิดขึ้นเท่ากับลบความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้น

กฎการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ

ความน่าจะเป็นของลำดับเหตุการณ์อิสระบางลำดับเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์

เหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้

เหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้เรียกว่าเหตุการณ์ที่ไม่สามารถเกิดขึ้นพร้อมกันอันเป็นผลมาจากการทดสอบ เหตุการณ์ที่ไม่สอดคล้องกันจำนวนหนึ่งก่อให้เกิดกลุ่มเหตุการณ์ที่สมบูรณ์

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ไม่สอดคล้องกันเพิ่มขึ้น

เมื่ออธิบายสิ่งที่ควรเกิดขึ้นโดยใช้คำสันธาน "AND" หรือ "OR" แทน "AND" เราใส่เครื่องหมายของการคูณและแทนที่จะเป็น "OR" - การบวก

บทความที่เหลือ 2/3 มีให้สำหรับนักเรียนที่ฉลาดเท่านั้น!

มาเป็นนักเรียน YouClever

เตรียมความพร้อมสำหรับ OGE หรือ USE ในวิชาคณิตศาสตร์ในราคา "กาแฟหนึ่งแก้วต่อเดือน"

และยังเข้าถึงหนังสือเรียน "YouClever" ได้ไม่จำกัด, โปรแกรมฝึกอบรม "100gia" (reshebnik), USE และ OGE รุ่นทดลองใช้ไม่จำกัดจำนวน, 6,000 ปัญหากับการวิเคราะห์โซลูชันและบริการ YouClever และ 100gia อื่นๆ

ความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนที่ต้องการไม่อยู่ในกล่องใด ๆ เท่ากับ:

ความน่าจะเป็นที่ต้องการคือ

สูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด

ให้เหตุการณ์ A เกิดขึ้นพร้อมกับเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ที่ประกอบขึ้นเป็นทั้งกลุ่มของเหตุการณ์ ให้ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้และความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของการเกิดขึ้นของเหตุการณ์ A เมื่อเหตุการณ์เกิดขึ้น สวัสดี .

ทฤษฎีบท. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A ซึ่งสามารถเกิดขึ้นพร้อมกับเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งได้ เท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์คู่ของความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์เหล่านี้ โดยความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขที่สอดคล้องกันของการเกิดขึ้นของเหตุการณ์ A

อันที่จริงสูตรนี้ ความน่าจะเป็นเต็มที่ได้ถูกนำมาใช้ในการแก้ตัวอย่างที่ให้ไว้ข้างต้นแล้ว เช่น ในปัญหาเรื่องปืนพกลูกโม่

การพิสูจน์.

เพราะ เหตุการณ์ในรูปแบบกลุ่มของเหตุการณ์ที่สมบูรณ์ จากนั้นเหตุการณ์ A สามารถแสดงเป็นผลรวมต่อไปนี้:

เพราะ เหตุการณ์ไม่สอดคล้องกันแล้วเหตุการณ์ AH ฉันก็ไม่สอดคล้องกัน จากนั้นเราสามารถนำทฤษฎีบทไปบวกกับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ไม่สอดคล้องกัน:

โดยที่

ในที่สุด เราได้รับ:

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ตัวอย่าง.หนึ่งในสามมือปืนยิงสองนัด ความน่าจะเป็นที่จะตีเป้าหมายด้วยการยิงครั้งเดียวสำหรับนักกีฬาคนแรกคือ 0.4 สำหรับครั้งที่สอง - 0.6 สำหรับการยิงครั้งที่สาม - 0.8 ค้นหาความน่าจะเป็นที่เป้าหมายจะโดนสองครั้ง

ความน่าจะเป็นที่ผู้ยิงคนแรก คนที่สอง หรือคนที่สามยิงเท่ากัน

ความน่าจะเป็นที่นักแม่นปืนคนใดคนหนึ่งทำการยิงสองครั้งต่อเป้าหมายนั้นเท่ากัน:

สำหรับมือปืนคนแรก:

สำหรับมือปืนที่สอง:

สำหรับมือปืนคนที่สาม:

ความน่าจะเป็นที่ต้องการคือ:

บรรยาย 2

สูตรของเบย์ (สูตรสมมติฐาน)

ให้มีกลุ่มที่สมบูรณ์ของสมมติฐานที่ไม่สอดคล้องกันพร้อมความน่าจะเป็นที่ทราบของการเกิด ให้ผลการทดลองเป็นเหตุการณ์ A ซึ่งทราบความน่าจะเป็นตามเงื่อนไขสำหรับแต่ละสมมติฐาน กล่าวคือ ความน่าจะเป็นเป็นที่รู้จัก

จำเป็นต้องกำหนดว่าสมมติฐานความน่าจะเป็นใดเกี่ยวกับเหตุการณ์ A กล่าวคือ ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข

ทฤษฎีบท. ความน่าจะเป็นของสมมติฐานหลังการทดสอบเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของสมมติฐานก่อนการทดสอบโดยความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขที่สอดคล้องกันของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นระหว่างการทดสอบ หารด้วยความน่าจะเป็นทั้งหมดของเหตุการณ์นี้

สูตรนี้เรียกว่า โดยสูตรเบส์.

การพิสูจน์.

โดยทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็น เราได้รับ:

แล้วถ้า.

ในการหาความน่าจะเป็น P (A) เราใช้สูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด

หากก่อนการทดสอบ สมมติฐานทั้งหมดมีความน่าจะเป็นเท่าๆ กัน สูตรของเบย์จะอยู่ในรูปแบบ:

การทำซ้ำของการทดสอบ

สูตรของเบอร์นูลลี

หากมีการทดสอบจำนวนหนึ่งซึ่งเป็นผลมาจากเหตุการณ์ A ที่อาจเกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้น และความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้ในการทดสอบแต่ละครั้งไม่ได้ขึ้นอยู่กับผลของการทดสอบที่เหลือ การทดสอบดังกล่าวจะเป็น เรียกว่า เป็นอิสระเกี่ยวกับเหตุการณ์ A.

สมมุติว่าเหตุการณ์ A เกิดขึ้นในการทดสอบแต่ละครั้งด้วยความน่าจะเป็น P (A) = p... มากำหนดความน่าจะเป็นกัน P t, nอันเป็นผลให้ NSเหตุการณ์ทดสอบ A มาพอดี NSครั้งหนึ่ง.

โดยหลักการแล้ว ความน่าจะเป็นนี้สามารถคำนวณได้โดยใช้ทฤษฎีบทของการบวกและการคูณความน่าจะเป็น ดังที่ทำในตัวอย่างที่กล่าวถึงข้างต้น อย่างไรก็ตาม ด้วยการทดสอบจำนวนมากพอสมควร สิ่งนี้นำไปสู่การคำนวณที่ใหญ่มาก ดังนั้นจึงจำเป็นต้องพัฒนาแนวทางทั่วไปในการแก้ปัญหา วิธีนี้ใช้ในสูตรเบอร์นูลลี (Jacob Bernoulli (1654 - 1705) - นักคณิตศาสตร์ชาวสวิส)

ให้เป็นผล NSการทดสอบอิสระดำเนินการภายใต้เงื่อนไขเดียวกัน เหตุการณ์ A เกิดขึ้นด้วยความน่าจะเป็น P (A) = pและเหตุการณ์ตรงกันข้ามกับความน่าจะเป็น

เราหมายถึง ฉัน- เหตุการณ์ A ในการทดลองหมายเลข ผม... เพราะ เงื่อนไขของการทดลองเท่ากัน ความน่าจะเป็นเหล่านี้จึงเท่ากัน

ถ้าเป็นผล NSเหตุการณ์การทดลอง A เกิดขึ้นพอดี NSครั้ง แล้วที่เหลือ p-tเมื่อเหตุการณ์นี้ไม่เกิดขึ้น เหตุการณ์ A อาจปรากฏขึ้น NSครั้งหนึ่งใน NSทดสอบชุดค่าผสมต่าง ๆ จำนวนซึ่งเท่ากับจำนวนชุดค่าผสมจาก NSองค์ประกอบโดย NS... จำนวนชุดค่าผสมนี้พบได้จากสูตร:

ความน่าจะเป็นของแต่ละชุดค่าผสมจะเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็น:

เราใช้ทฤษฎีบทของการบวกความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ไม่สอดคล้องกัน เราได้รับ สูตรของเบอร์นูลลี:

สูตรของ Bernoulli มีความสำคัญเนื่องจากใช้ได้กับการทดสอบอิสระจำนวนเท่าใดก็ได้ เช่น กรณีที่กฎของทฤษฎีความน่าจะเป็นปรากฏอย่างชัดเจนที่สุด

ตัวอย่าง. 5 นัดถูกยิงไปที่เป้าหมาย ความน่าจะเป็นในการยิงแต่ละครั้งคือ 0.4 ค้นหาความน่าจะเป็นที่เป้าหมายถูกโจมตีอย่างน้อยสามครั้ง

ความน่าจะเป็นของการโจมตีอย่างน้อยสามครั้งคือผลรวมของความน่าจะเป็นของการโจมตีห้าครั้ง การโจมตีสี่ครั้ง และการโจมตีสามครั้ง

เพราะ ช็อตเป็นอิสระ จากนั้นคุณสามารถใช้สูตรเบอร์นูลลีสำหรับความน่าจะเป็นที่ใน NSเหตุการณ์ทดสอบในความน่าจะเป็น NSมาพอดี NSครั้งหนึ่ง.

ในกรณีของการโจมตีห้าครั้งจากห้าครั้งที่เป็นไปได้:

สี่นัดจากห้านัด:

ตีสามในห้า:

สุดท้าย เราได้รับความน่าจะเป็นอย่างน้อยสามนัดจากห้านัด:

ตัวแปรสุ่ม

ข้างต้น มีการพิจารณาเหตุการณ์สุ่ม ซึ่งเป็นลักษณะเชิงคุณภาพของผลการสุ่มของการทดสอบ เพื่อให้ได้ลักษณะเชิงปริมาณ แนวคิดของตัวแปรสุ่มถูกนำมาใช้

คำนิยาม.ค่าสุ่มเรียกว่าปริมาณซึ่งเป็นผลมาจากประสบการณ์ สามารถรับค่าหนึ่งหรือค่าอื่นได้ และทราบล่วงหน้าว่าค่าใด

ตัวแปรสุ่มสามารถแบ่งออกเป็นสองประเภท

คำนิยาม.ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องเป็นปริมาณที่เป็นผลมาจากประสบการณ์สามารถรับค่าบางอย่างด้วยความน่าจะเป็นที่แน่นอนสร้างชุดที่นับได้ (ชุดองค์ประกอบที่สามารถกำหนดหมายเลขได้)

ชุดนี้สามารถเป็นได้ทั้งแบบมีไฟและแบบอนันต์

ตัวอย่างเช่น จำนวนช็อตก่อนการตีครั้งแรกที่เป้าหมายเป็นตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง เนื่องจาก ค่านี้สามารถใช้กับค่าที่นับได้เป็นอนันต์

คำนิยาม.ตัวแปรสุ่มต่อเนื่องปริมาณดังกล่าวเรียกว่าสามารถรับค่าใด ๆ จากช่วงเวลาที่ จำกัด หรืออนันต์

เห็นได้ชัดว่าจำนวนค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องนั้นไม่มีที่สิ้นสุด

ในการตั้งค่าตัวแปรสุ่ม การระบุค่าของตัวแปรนั้นไม่เพียงพอ คุณต้องระบุความน่าจะเป็นของค่านี้ด้วย

กฎการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

คำนิยาม. ความสัมพันธ์ระหว่างค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มกับความน่าจะเป็นเรียกว่า กฎหมายการจำหน่ายแบบไม่ต่อเนื่องตัวแปรสุ่ม.

กฎหมายการกระจายสามารถกำหนดได้ในเชิงวิเคราะห์ในรูปแบบของตารางหรือแบบกราฟิก

ตารางการติดต่อระหว่างค่าของตัวแปรสุ่มกับความน่าจะเป็นเรียกว่า ใกล้กระจาย.

การแสดงกราฟิกของตารางนี้เรียกว่า รูปหลายเหลี่ยมการกระจายในกรณีนี้ ผลรวมของพิกัดทั้งหมดของรูปหลายเหลี่ยมการแจกแจงแสดงถึงความน่าจะเป็นของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม ดังนั้นจึงมีค่าเท่ากับหนึ่ง

ตัวอย่าง. 5 นัดถูกยิงไปที่เป้าหมาย ความน่าจะเป็นในการยิงแต่ละครั้งคือ 0.4 ค้นหาความน่าจะเป็นของจำนวน Hit และพล็อตรูปหลายเหลี่ยมการกระจาย

ความน่าจะเป็นของการโจมตีห้าครั้งในห้าครั้งที่เป็นไปได้ สี่ในห้าและสามในห้าถูกพบด้านบนโดยใช้สูตรเบอร์นูลลีและมีค่าเท่ากันตามลำดับ:

ในทำนองเดียวกัน เราพบว่า:

ให้เราแสดงภาพกราฟิกของการพึ่งพาจำนวนครั้งของความน่าจะเป็น

เมื่อสร้างรูปหลายเหลี่ยมการกระจาย ต้องจำไว้ว่าการเชื่อมต่อของจุดที่ได้รับนั้นมีเงื่อนไข ในช่วงเวลาระหว่างค่าของตัวแปรสุ่ม ความน่าจะเป็นจะไม่ใช้กับค่าใดๆ จุดเชื่อมต่อเพื่อความชัดเจนเท่านั้น

ตัวอย่าง.ความน่าจะเป็นที่จะโดนเป้าหมายอย่างน้อยหนึ่งครั้งโดยผู้ยิงสามนัดคือ 0.875 หาความน่าจะเป็นที่จะยิงโดนเป้าหมายในนัดเดียว

ถ้าเราแสดงว่า NSคือ ความน่าจะเป็นที่ผู้ยิงโดนเป้าหมายด้วยการยิงนัดเดียว แล้วความน่าจะเป็นที่จะยิงพลาดด้วยนัดเดียว ย่อมเท่ากับ (1 - NS).

ความน่าจะเป็นที่จะพลาดสามครั้งในสามนัดคือ (1 - NS) 3. ความน่าจะเป็นนี้คือ 1 - 0.875 = 0.125 นั่นคือ พวกเขาไม่โดนเป้าหมายแม้แต่ครั้งเดียว

เราได้รับ:

ตัวอย่าง.กล่องแรกมี 10 ลูก โดย 8 ลูกเป็นสีขาว ในกล่องที่สองมี 20 ลูกซึ่ง 4 ลูกเป็นสีขาว สุ่มหยิบลูกบอลหนึ่งลูกจากแต่ละกล่อง จากนั้นสุ่มหยิบลูกบอลหนึ่งลูกจากสองลูกนี้ จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลนี้เป็นสีขาว

ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลจากกล่องแรกเป็นสีขาว - ไม่ใช่สีขาว -

ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลจากกล่องที่สองเป็นสีขาว - ไม่ใช่สีขาว -

ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลถูกนำออกจากกล่องแรกจะถูกเลือกใหม่ และความน่าจะเป็นที่ลูกบอลที่ถูกนำออกจากกล่องที่สองจะถูกเลือกใหม่คือ 0.5

ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลถูกนำออกจากกล่องแรกจะถูกเลือกใหม่และเป็นสีขาว -

ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลถูกเลือกใหม่จากช่องที่สองและเป็นสีขาว -

ความน่าจะเป็นที่จะเลือกลูกบอลสีขาวอีกครั้งคือ

ตัวอย่าง.มีปืนไรเฟิลห้ากระบอกซึ่งสามในนั้นติดตั้งกล้องส่องทางไกล ความน่าจะเป็นที่มือปืนจะโดนเป้าหมายเมื่อยิงจากปืนไรเฟิลที่มีกล้องส่องทางไกลคือ 0.95 สำหรับปืนยาวที่ไม่มีกล้องส่องทางไกล ความน่าจะเป็นนี้คือ 0.7 ค้นหาความน่าจะเป็นที่เป้าหมายจะถูกโจมตีหากมือปืนยิงหนึ่งนัดจากปืนไรเฟิลที่สุ่มเลือก

เราแสดงถึงความน่าจะเป็นที่จะเลือกปืนไรเฟิลที่มีกล้องส่องทางไกล และเราแสดงถึงความน่าจะเป็นที่จะเลือกปืนไรเฟิลที่ไม่มีสายตา

โอกาสที่คุณจะเลือกปืนไรเฟิลที่มีกล้องส่องทางไกลและเป้าหมายถูกโจมตีโดยที่ อาร์ (พีซี / โอ) -ความน่าจะเป็นที่จะโจมตีเป้าหมายจากปืนไรเฟิลด้วยกล้องส่องทางไกล

ในทำนองเดียวกัน ความเป็นไปได้ในการเลือกปืนไรเฟิลที่ไม่มีกล้องส่องทางไกลและเป้าหมายถูกโจมตีโดยที่ R (PC / BO) -ความน่าจะเป็นที่จะโดนเป้าหมายจากปืนไรเฟิลโดยไม่มีสายตา

ความน่าจะเป็นสุดท้ายของการตีเป้าหมายเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็น R 1และ R 2ตั้งแต่ เหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้เหล่านี้จะเกิดขึ้นก็เพียงพอแล้วที่จะไปถึงเป้าหมาย

ตัวอย่าง.นักล่าสามคนพร้อมกันยิงใส่หมีซึ่งถูกกระสุนนัดเดียวฆ่า กำหนดความน่าจะเป็นที่หมีจะถูกฆ่าโดยมือปืนคนแรก ถ้าความน่าจะเป็นของการยิงสำหรับมือปืนเหล่านี้คือ 0.3, 0.4, 0.5 ตามลำดับ

ในงานนี้ จำเป็นต้องกำหนดความน่าจะเป็นของสมมติฐานหลังจากเหตุการณ์เกิดขึ้นแล้ว ในการกำหนดความน่าจะเป็นที่ต้องการ คุณต้องใช้สูตรเบย์ ในกรณีของเราดูเหมือนว่า:

ในสูตรนี้ H 1, H 2, H 3- สมมุติฐานว่าหมีจะถูกฆ่าโดยมือปืนที่หนึ่ง สอง และสาม ตามลำดับ ก่อนการยิงนัด สมมติฐานเหล่านี้มีความน่าจะเป็นเท่ากันและความน่าจะเป็นเท่ากัน

พี (ส 1 / ก)- ความน่าจะเป็นที่มือปืนคนแรกฆ่าหมี โดยที่การยิงนั้นถูกยิงไปแล้ว (เหตุการณ์ A)

ความน่าจะเป็นที่นักแม่นปืนคนแรก คนที่สอง หรือคนที่สามจะฆ่าหมี โดยคำนวณก่อนการยิง จะเท่ากันตามลำดับ:

ที่นี่ คิว 1= 0,7; คิว 2 = 0,6; คิว 3= 0.5 - ความน่าจะเป็นที่จะพลาดสำหรับผู้ยิงแต่ละคน คำนวณเป็น q = 1 - p, ที่ไหน NS- ความน่าจะเป็นของการยิงสำหรับมือปืนแต่ละคน

แทนค่าเหล่านี้ลงในสูตรของเบย์:

ตัวอย่าง.สี่สัญญาณวิทยุถูกส่งเป็นชุด ความน่าจะเป็นในการรับแต่ละสัญญาณไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่ารับสัญญาณที่เหลือหรือไม่ ความน่าจะเป็นของการรับสัญญาณคือ 0.2, 0.3, 0.4, 0.5 ตามลำดับ กำหนดความน่าจะเป็นที่จะรับสัญญาณวิทยุสามสัญญาณ

เหตุการณ์ของการรับสัญญาณสามจากสี่เป็นไปได้ในสี่กรณี:

ต้องดำเนินการหนึ่งในเหตุการณ์ A, B, C หรือ D เพื่อรับสัญญาณสามสัญญาณ ดังนั้น เราพบความน่าจะเป็นที่ต้องการ:

ตัวอย่าง.ตั๋วสอบ 20 ใบมีคำถามสองข้อที่ไม่ซ้ำ ผู้ตรวจสอบรู้คำตอบของคำถามเพียง 35 ข้อเท่านั้น กำหนดความเป็นไปได้ที่การสอบจะผ่านหากเพียงพอที่จะตอบคำถามสองข้อในตั๋วเดียวหรือหนึ่งคำถามในตั๋วใบเดียวและคำถามเพิ่มเติมที่ระบุจากตั๋วอื่น

มีคำถามทั้งหมด 40 ข้อ (2 ในตั๋ว 20 ใบ) ความน่าจะเป็นที่จะมีคำถามที่รู้คำตอบนั้นเท่ากันอย่างเห็นได้ชัด

เพื่อให้ผ่านการสอบ จำเป็นต้องมีหนึ่งในสามกิจกรรม:

1) เหตุการณ์ A - ตอบคำถามแรก (ความน่าจะเป็น) และตอบคำถามที่สอง (ความน่าจะเป็น) เพราะ หลังจากตอบคำถามแรกสำเร็จแล้ว ยังมี 39 คำถาม ซึ่ง 34 ข้อนั้นรู้คำตอบแล้ว

2) เหตุการณ์ B - คำถามแรกถูกตอบ (ความน่าจะเป็น) ข้อที่สอง - ไม่ใช่ (ความน่าจะเป็น) ข้อที่สาม - ตอบ (ความน่าจะเป็น)

3) เหตุการณ์ C - คำถามแรกไม่ได้รับการตอบ (ความน่าจะเป็น) คำถามที่สองถูกตอบ (ความน่าจะเป็น) คำถามที่สามถูกตอบ (ความน่าจะเป็น)

ความน่าจะเป็นที่ภายใต้เงื่อนไขที่กำหนดจะผ่านการสอบเท่ากับ:

ตัวอย่าง.มีชิ้นส่วนที่เป็นเนื้อเดียวกันสองชุด ชุดแรกประกอบด้วย 12 ส่วน โดย 3 ส่วนมีข้อบกพร่อง ชุดที่สองประกอบด้วย 15 ส่วนซึ่งมีข้อบกพร่อง 4 ชิ้น สองส่วนจะถูกลบออกจากชุดแรกและชุดที่สอง ความน่าจะเป็นที่จะไม่มีชิ้นส่วนที่ชำรุดในหมู่พวกเขาเป็นเท่าใด

ความน่าจะเป็นที่จะไม่มีข้อบกพร่องสำหรับส่วนแรกที่แยกจากชุดแรกจะเท่ากัน สำหรับส่วนที่สองที่แยกจากชุดแรก โดยมีเงื่อนไขว่าส่วนแรกไม่มีข้อบกพร่อง -

ความน่าจะเป็นที่จะไม่มีข้อบกพร่องสำหรับส่วนแรกที่แยกจากชุดที่สองจะเท่ากัน สำหรับส่วนที่สองที่แยกจากชุดที่สอง โดยมีเงื่อนไขว่าส่วนแรกไม่มีข้อบกพร่อง -

ความน่าจะเป็นที่จะไม่มีชิ้นส่วนที่ชำรุดในชิ้นส่วนที่กู้คืนทั้งสี่ส่วนคือ:

ลองพิจารณาตัวอย่างเดียวกัน แต่มีเงื่อนไขต่างกันเล็กน้อย

ตัวอย่าง.มีชิ้นส่วนที่เป็นเนื้อเดียวกันสองชุด ชุดแรกประกอบด้วย 12 ส่วน โดย 3 ส่วนมีข้อบกพร่อง ชุดที่สองประกอบด้วย 15 ส่วนซึ่งมีข้อบกพร่อง 4 ชิ้น 5 ส่วนจะถูกสุ่มจากชุดแรกและ 7 ส่วนจากชุดที่สอง ชิ้นส่วนเหล่านี้เป็นชุดใหม่ ความน่าจะเป็นที่จะได้ชิ้นส่วนที่บกพร่องออกมาเป็นเท่าใด

เพื่อให้ชิ้นส่วนที่เลือกแบบสุ่มมีข้อบกพร่อง ต้องปฏิบัติตามเงื่อนไขที่เข้ากันไม่ได้อย่างใดอย่างหนึ่งต่อไปนี้:

1) ส่วนที่เลือกมาจากชุดแรก (ความน่าจะเป็น -) และในขณะเดียวกันก็มีข้อบกพร่อง (ความน่าจะเป็น -) ในที่สุด:

2) ส่วนที่เลือกมาจากชุดที่สอง (ความน่าจะเป็น -) และในขณะเดียวกันก็มีข้อบกพร่อง (ความน่าจะเป็น -) ในที่สุด:

ในที่สุด เราก็ได้:.

ตัวอย่าง.โกศประกอบด้วยลูกบอลสีขาว 3 ลูกและสีดำ 5 ลูก สุ่มหยิบลูกบอลสองลูกออกจากโกศ จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลเหล่านี้ไม่ใช่สีเดียวกัน

เหตุการณ์ที่ลูกบอลสีต่าง ๆ ที่เลือกจะเกิดขึ้นในหนึ่งในสองกรณี:

1) ลูกแรกเป็นสีขาว (ความน่าจะเป็น -) และลูกที่สองเป็นสีดำ (ความน่าจะเป็น -)

2) ลูกแรกเป็นสีดำ (ความน่าจะเป็น -) และลูกที่สองเป็นสีขาว (ความน่าจะเป็น -)

ในที่สุด เราได้รับ:

การกระจายทวินาม

ถ้าผลิต NSการทดลองอิสระ โดยแต่ละเหตุการณ์ A สามารถปรากฏขึ้นด้วยความน่าจะเป็นเท่ากัน NSในการทดลองแต่ละครั้ง ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะไม่ปรากฏคือ q = 1 - หน้า

ให้เราหาจำนวนเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในการทดสอบแต่ละครั้งเป็นค่าสุ่ม X

ในการหากฎการกระจายสำหรับตัวแปรสุ่มนี้ จำเป็นต้องกำหนดค่าของปริมาณและความน่าจะเป็นของพวกมัน

ค่าต่างๆ หาได้ง่าย เห็นผลชัดเจน NSเหตุการณ์อาจไม่ปรากฏเลย อาจปรากฏขึ้นหนึ่งครั้ง สองครั้ง สามครั้ง ฯลฯ ก่อน NSครั้งหนึ่ง.

ความน่าจะเป็นของแต่ละค่าของตัวแปรสุ่มนี้สามารถพบได้โดยใช้สูตรเบอร์นูลลี

สูตรนี้แสดงการวิเคราะห์กฎหมายการกระจายที่ต้องการ กฎหมายการจำหน่ายนี้เรียกว่า ทวินาม.

ตัวอย่าง.ชุดประกอบด้วย 10% ชิ้นส่วนที่ไม่ได้มาตรฐาน 4 ส่วนถูกสุ่มเลือก เขียนกฎทวินามของการแจกแจงตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง X - จำนวนชิ้นส่วนที่ไม่ได้มาตรฐานจากสี่ส่วนที่เลือก และสร้างรูปหลายเหลี่ยมของการแจกแจงผลลัพธ์

ความน่าจะเป็นของชิ้นส่วนที่ไม่ได้มาตรฐานที่ปรากฏในแต่ละกรณีคือ 0.1

มาหาความน่าจะเป็นจากส่วนที่เลือก:

1) โดยทั่วไปไม่มีสิ่งที่ไม่ได้มาตรฐาน

2) หนึ่งที่ไม่ได้มาตรฐาน

3) สองชิ้นส่วนที่ไม่ได้มาตรฐาน

4) สามชิ้นส่วนที่ไม่ได้มาตรฐาน

5) สี่ชิ้นส่วนที่ไม่ได้มาตรฐาน

มาสร้างรูปหลายเหลี่ยมการกระจายกัน

ตัวอย่าง.ทอยลูกเต๋า 2 ลูกพร้อมกัน 2 ครั้ง เขียนกฎทวินามของการแจกแจงตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง X - จำนวนหยดของแต้มคู่บนลูกเต๋าสองลูก

ลูกเต๋าแต่ละลูกมีจุดคู่สามแบบ - 2, 4 และ 6 จากหกที่เป็นไปได้ ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะได้แต้มเป็นจำนวนคู่ในการตายหนึ่งครั้งคือ 0.5

ความน่าจะเป็นที่จะได้แต้มคู่บนลูกเต๋าสองลูกพร้อมกันคือ 0.25

โอกาสที่ในการทดสอบสองครั้งทั้งสองครั้งได้แต้มเท่ากันทั้งสองลูกเต๋าจะเท่ากัน