En el microcosmos, durante la interacción de partículas elementales (átomos, moléculas), predominan las interacciones nucleares y electromagnéticas. Es casi imposible observar la interacción gravitacional de partículas elementales. Los científicos tienen que recurrir a trucos muy importantes para medir la interacción gravitacional de cuerpos cuya masa es de cientos o miles de kilogramos. Sin embargo, a escala cósmica, todas las demás interacciones, excepto las gravitacionales, son prácticamente imperceptibles. El movimiento de planetas, satélites, asteroides, cometas y estrellas en la galaxia se describe completamente mediante interacción gravitacional.
Propuso colocar la Tierra en el centro del Universo, y los movimientos de los planetas fueron descritos por círculos grandes y pequeños, que fueron llamados epiciclos ptolemaicos.
Sólo en el siglo XVI Copérnico propuso reemplazar el modelo geocéntrico del mundo de Ptolomeo por uno heliocéntrico. Es decir, coloque el Sol en el centro del Universo y suponga que todos los planetas y la Tierra junto con ellos se mueven alrededor del Sol (Fig. 2).
Arroz. 2. Modelo heliocéntrico de N. Copérnico ()
A principios del siglo XVII, el astrónomo alemán Johannes Kepler, después de procesar una gran cantidad de información astronómica obtenida por el astrónomo danés Tycho Brahe, propuso sus propias leyes empíricas, que desde entonces se denominaron leyes de Kepler.
Todos los planetas del Sistema Solar se mueven siguiendo unas curvas llamadas elipse. Una elipse es una de las curvas matemáticas más simples, la llamada curva de segundo orden. En la Edad Media, se llamaban intersecciones cónicas: si cruzas un cono o cilindro con un plano determinado, obtendrás la misma curva a lo largo de la cual se mueven los planetas del sistema solar.
Arroz. 3. Curva de movimiento planetario ()
Esta curva (Fig. 3) tiene dos puntos resaltados, que se denominan focos. Para cada punto de la elipse, la suma de las distancias desde él a los focos es la misma. El centro del Sol (F) está situado en uno de estos focos; el punto de la curva más cercano al Sol (P) se llama perihelio, y el punto más lejano (A) se llama afelio. La distancia desde el perihelio hasta el centro de la elipse se llama semieje mayor, y la distancia vertical desde el centro de la elipse hasta la elipse es el semieje menor de la elipse.
Cuando un planeta se mueve a lo largo de una elipse, el vector de radio que conecta el centro del Sol con este planeta describe un área determinada. Por ejemplo, durante el tiempo ∆t el planeta se movió de un punto a otro, el vector de radio describió un área determinada ∆S.
Arroz. 4. Segunda ley de Kepler ()
La segunda ley de Kepler establece: Durante períodos de tiempo iguales, los vectores de radio de los planetas describen áreas iguales.
La Figura 4 muestra el ángulo ∆Θ, este es el ángulo de rotación del vector de radio durante un tiempo ∆t y el impulso del planeta (), dirigido tangencialmente a la trayectoria, descompuesto en dos componentes: el componente de impulso a lo largo del vector de radio () y la componente de impulso en la dirección , perpendicular al vector de radio (⊥).
Realicemos cálculos relacionados con la segunda ley de Kepler. La afirmación de Kepler de que se recorren áreas iguales en intervalos iguales significa que la proporción de estas cantidades es constante. La relación de estas cantidades a menudo se llama velocidad sectorial; esta es la tasa de cambio en la posición del radio vector. ¿Cuál es el área ∆S que recorre el vector radio a lo largo del tiempo ∆t? Esta es el área de un triángulo, cuya altura es aproximadamente igual al vector radio, y la base es aproximadamente igual a r ∆ω, usando esta afirmación escribimos el valor ∆S en forma de ½ la altura por base y dividimos por ∆t, obtenemos la expresión:
, esta es la tasa de cambio de ángulo, es decir, la velocidad angular.
Resultado final:
,
El cuadrado de la distancia al centro del Sol, multiplicado por la velocidad angular del movimiento en un momento dado, es un valor constante.
Pero si multiplicamos la expresión r 2 ω por la masa corporal m, obtenemos un valor que se puede representar como el producto de la longitud del vector radio y el momento en la dirección transversal al vector radio:
Esta cantidad, igual al producto del radio vector por la componente perpendicular del impulso, se denomina “momento angular”.
La segunda ley de Kepler es una afirmación de que el momento angular en un campo gravitacional es una cantidad conservada. Esto lleva a una afirmación simple pero muy importante: en los puntos de menor y mayor distancia al centro del Sol, es decir, afelio y perihelio, la velocidad se dirige perpendicular al vector de radio, por lo tanto, el producto del vector de radio y la velocidad en un punto es igual a este producto en otro punto.
La tercera ley de Kepler establece que la relación entre el cuadrado del período de revolución de un planeta alrededor del Sol y el cubo del semieje mayor es la misma para todos los planetas del Sistema Solar.
Arroz. 5. Trayectorias arbitrarias de los planetas ()
La Figura 5 muestra dos trayectorias arbitrarias de los planetas. Uno tiene la forma explícita de una elipse con la longitud del semieje (a), el segundo tiene la forma de un círculo con un radio (R), el tiempo de revolución a lo largo de cualquiera de estas trayectorias, es decir, el período de revolución, está asociado con la longitud del semieje o con el radio. Y si la elipse se convierte en un círculo, entonces el semieje mayor se convierte en el radio de este círculo. La tercera ley de Kepler establece que en el caso de que la longitud del semieje mayor sea igual al radio del círculo, los períodos de revolución de los planetas alrededor del Sol serán los mismos.
Para el caso de un círculo, esta relación se puede calcular usando la segunda ley de Newton y la ley del movimiento de un cuerpo en un círculo, esta constante es 4π 2 dividida por la constante de gravitación universal (G) y la masa del Sol ( METRO).
Por tanto, está claro que si generalizamos las interacciones gravitacionales, como hizo Newton, y asumimos que todos los cuerpos participan en interacciones gravitacionales, las leyes de Kepler pueden extenderse al movimiento de los satélites alrededor de la Tierra, al movimiento de los satélites alrededor de cualquier otro planeta, e incluso al movimiento de los satélites Lunas alrededor del centro de la Luna. Sólo en el lado derecho de esta fórmula la letra M significará la masa del cuerpo que atrae a los satélites. Todos los satélites de un objeto espacial determinado tendrán la misma relación entre el cuadrado del período orbital (T 2) y el cubo del semieje mayor (a 3). Esta ley se puede extender a todos los cuerpos del Universo e incluso a las estrellas que forman nuestra Galaxia.
En la segunda mitad del siglo XX se observó que algunas estrellas bastante alejadas del centro de nuestra galaxia no obedecen esta ley de Kepler. Esto significa que no sabemos todo acerca de cómo funciona la gravedad en todo el tamaño de nuestra galaxia. Una posible explicación de por qué las estrellas distantes se mueven más rápido de lo que exige la tercera ley de Kepler es la siguiente: no vemos toda la masa de la galaxia. Una parte importante de él puede consistir en materia que no es observable con nuestros instrumentos, no interactúa electromagnéticamente, no emite ni absorbe luz y participa únicamente en la interacción gravitacional. Esta sustancia se llamó masa oculta o materia oscura. Los problemas de la materia oscura son uno de los principales problemas de la física del siglo XXI.
Tema de la próxima lección: sistemas de puntos materiales, centro de masa, ley de movimiento del centro de masa.
Bibliografía
- Tikhomirova S.A., Yavorsky B.M. Física (nivel básico) - M.: Mnemosyne, 2012.
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- Física abierta ()
- Elementy.ru ().
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- Ency.info().
Tarea
- Defina la primera ley de Kepler.
- Defina la segunda ley de Kepler.
- Defina la tercera ley de Kepler.
Dado que en el sitio hay "desmentidores" que afirman que las matemáticas son una herejía y que la atracción gravitacional entre planetas no existe en absoluto, veamos cómo la ley de la gravitación universal nos permite describir fenómenos establecidos empíricamente. A continuación se muestra la base matemática de la primera ley de Kepler.
1. Excursión histórica
Primero, recordemos cómo surgió esta ley. En 1589, un tal Johannes Kepler (1571 - 1630), procedente de una familia alemana pobre, se graduó de la escuela y entró en la Universidad de Tubinga. Allí estudia matemáticas y astronomía. Además, su maestro, el profesor Mestlin, admirador secreto de las ideas de Copérnico (el sistema mundial heliocéntrico), enseña en la universidad la teoría "correcta": el sistema mundial ptolemaico (es decir, geocéntrico). Lo que, sin embargo, no le impide presentarle a su alumno las ideas de Copérnico, y pronto él mismo se convierte en un partidario convencido de esta teoría.
En 1596, Kepler publicó su Secreto cosmográfico. Aunque el trabajo tiene ya entonces un valor científico dudoso, no pasó desapercibido para el astrónomo danés Tycho Brahe, que llevaba un cuarto de siglo realizando observaciones y cálculos astronómicos. Se da cuenta del pensamiento independiente y del conocimiento de la astronomía del joven científico.
Desde 1600, Johann trabaja como asistente de Brahe. Después de su muerte en 1601, Kepler comenzó a estudiar los resultados de los trabajos de Tycho Brahe, datos de muchos años de observaciones astronómicas. El hecho es que a finales del siglo XVI, las tablas prusianas (tablas del movimiento de los cuerpos celestes, calculadas sobre la base de las enseñanzas de Copérnico) comenzaron a dar discrepancias significativas con los datos observados: el error en la posición del Los planetas alcanzaron 4-5 0.
Para resolver el problema, Kepler se vio obligado a complicar la teoría de Copérnico. Abandona la idea de que los planetas se mueven en órbitas circulares, lo que finalmente le permite resolver el problema de la discrepancia entre la teoría y los datos observados. Según sus conclusiones, los planetas se mueven en órbitas elípticas, con el Sol situado en uno de sus focos. Entonces la distancia entre el planeta y el Sol cambia periódicamente. Esta salida se conoce como La primera ley de Kepler.
2. Justificación matemática
Veamos ahora cómo la primera ley de Kepler concuerda con la ley de la gravitación universal. Para ello, derivaremos la ley del movimiento de un cuerpo en un campo gravitacional que tiene simetría esférica. En este caso, se cumple la ley de conservación del momento angular del cuerpo $\vec(L)=[\vec(r),\vec(p)]$. Esto significa que el cuerpo se moverá en un plano perpendicular al vector $\vec(L)$, y la orientación de este plano en el espacio no cambia. En este caso, es conveniente utilizar el sistema de coordenadas polares $(r, \phi)$ con origen en la fuente del campo gravitacional (es decir, el vector $\vec(r)$ es perpendicular al vector $\ vec(L)$). Aquellos. Colocamos uno de los cuerpos (el Sol) en el origen de coordenadas, y a continuación derivaremos la ley de movimiento del segundo cuerpo (planeta) en este caso.
Las componentes normal y tangencial del vector de velocidad del segundo cuerpo en el sistema de coordenadas seleccionado se expresan mediante las siguientes relaciones (en adelante, el punto significa la derivada del tiempo):
$$ V_(r)=\punto(r); V_(n)=r\punto(\phi) $$
La ley de conservación de la energía y del momento angular en este caso tiene la siguiente forma:
$$E = \frac(m\dot(r)^2)(2)+\frac(m(r\dot(\phi))^2)(2)-\frac(GMm)(r)=const \hspace(3cm)(2.1)$$ $$L = señor^2\dot(\phi)=const \hspace(3cm)(2.2)$$
Aquí $G$ es la constante gravitacional, $M$ es la masa del cuerpo central, $m$ es la masa del “satélite”, $E$ es la energía mecánica total del “satélite”, $L$ es el valor de su momento angular.
Expresando $\dot(\phi)$ de (2.2) y sustituyéndolo en (2.1), obtenemos:
$$ E = \frac(m\dot(r)^2)(2)+\frac(L^2)(2mr^2)-\frac(GMm)(r) \hspace(3cm)(2.3) $ $
Reescribamos la relación resultante de la siguiente manera:
$$ dt=\frac(dr)(\sqrt(\frac(2)(m)(E-\frac(L^2)(2mr^2)+\frac(GMm)(r)))) \hspace (3cm)(2.4)$$
De la relación (2.2) se sigue:
$$ d\phi=\frac(L)(sr^2)dt $$
Sustituyendo la expresión (2.4) en lugar de $dt$, obtenemos:
$$ d\phi=\frac(L)(r^2)\frac(dr)(\sqrt(2m(E-\frac(L^2)(2mr^2)+\frac(GMm)(r) ))) \hespacio(3cm)(2.5) $$
Para integrar la expresión resultante, reescribimos la expresión debajo de la raíz entre paréntesis de la siguiente forma:
$$ E-((\frac(GMm^(3/2))(\sqrt(2)L))^2 - \frac(GMm)(r) + \frac(L^2)(2mr^2) ) + (\frac(GMm^(3/2))(\sqrt(2)L))^2=$$ $$ =E-(\frac(GMm^(3/2))(\sqrt(2 )L)-\frac(L)(r\sqrt(2mr)))^2 + (\frac(GMm^(3/2))(\sqrt(2)L))^2=$$ $$ = \frac(L^2)(2m)(\frac(2mE)(L^2)+(\frac(GMm^2)(L^2))^2-(\frac(GMm^2)(L^ 2)-\frac(1)(r))^2) $$
Introduzcamos la siguiente notación:
$$ \frac(GMm^2)(L^2)\equiv\frac(1)(p) $$
Continuando con las transformaciones obtenemos:
$$ \frac(L^2)(2m)(\frac(2mE)(L^2)+(\frac(GMm^2)(L^2))^2-(\frac(GMm^2)( L^2)-\frac(1)(r))^2)=$$ $$\frac(L^2)(2m)(\frac(2mE)(L^2) + \frac(1)( p^2)-(\frac(1)(p)-\frac(1)(r))^2)=$$ $$\frac(L^2)(2m)(\frac(1)(p ^2)(1+\frac(2EL^2)((GM)^2m^3))-(\frac(1)(p)-\frac(1)(r))^2) $$
Introduzcamos la notación:
$$ 1+\frac(2EL^2)((GM)^2m^3) \equiv e^2 $$
En este caso, la expresión convertida toma la siguiente forma:
$$ \frac(L^2e^2)(2mp^2)(1-(\frac(p)(e) (\frac(1)(p)-\frac(1)(r)))^2 ) $$
Por conveniencia, introducimos la siguiente variable:
$$ z=\frac(p)(e) (\frac(1)(p)-\frac(1)(r)) $$
Ahora la ecuación (2.5) toma la forma:
$$ d\phi=\frac(p)(er^2)\frac(dr)(\sqrt(1-z^2))=\frac(dz)(\sqrt(1-z^2))\ espacioh(3cm)(2.6) $$
Integramos la expresión resultante:
$$ \phi(r)=\int\frac(dz)(\sqrt(1-z^2))=\arcsin(z)-\phi_0 $$
Aquí $\phi_0$ es la constante de integración.
Finalmente obtenemos la ley del movimiento:
$$ r(\phi)=\frac(p)(1-e\sin((\phi+\phi_0))) $$
Estableciendo la constante de integración $\phi_0=\frac(3\pi)(2)$ (este valor corresponde al extremo de la función $r(\phi)$), finalmente obtenemos:
| $$r(\phi)=\frac(p)(1+e\cos(\phi)) \hspace(3cm)(2.7)$$ $$p=\frac(L^2)(GMm^2) $$ $$e=\sqrt(1+\frac(2EL^2)((GM)^2m^3))$$ |
Del curso de geometría analítica se sabe que la expresión obtenida para la función $r(\phi)$ describe curvas de segundo orden: elipse, parábola e hipérbola. Los parámetros $p$ y $e$ se denominan parámetro focal y excentricidad de la curva, respectivamente. El parámetro focal puede tomar cualquier valor positivo, y el valor de excentricidad determina el tipo de trayectoria: si $e\in)
