Elipsoide. Hiperboloides

Elipsoide- una superficie en un espacio tridimensional, obtenida por deformación de una esfera a lo largo de tres ejes mutuamente perpendiculares. La ecuación canónica de un elipsoide en coordenadas cartesianas coincidentes con los ejes de deformación del elipsoide :.

Las cantidades a, b, c se denominan semiejes del elipsoide. También llamado elipsoide es un cuerpo delimitado por la superficie de un elipsoide. Un elipsoide es una de las posibles formas de superficie de segundo orden.

En el caso de que un par de semiejes tenga la misma longitud, se puede obtener un elipsoide girando la elipse alrededor de uno de sus ejes. Tal elipsoide se llama elipsoide de revolución o esferoide.

Un elipsoide refleja con mayor precisión que una esfera la superficie idealizada de la Tierra.

Volumen elipsoide:.

Área de superficie de un elipsoide de revolución:

Hiperboloide- este es el tipo de superficie de segundo orden en el espacio tridimensional, especificado en coordenadas cartesianas por la ecuación - (hiperboloide de una hoja), donde ayb son semiejes reales yc es un semieje imaginario; o - (hiperboloide de dos hojas), donde ayb son semiejes imaginarios yc es un semieje real.

Si a = b, entonces dicha superficie se llama hiperboloide de revolución. Se puede obtener un hiperboloide de revolución de una hoja girando una hipérbola alrededor de su eje imaginario, un hiperboloide de dos hojas alrededor de su eje real. Un hiperboloide de revolución de dos hojas es también el lugar geométrico de los puntos P, el módulo de la diferencia entre las distancias desde las cuales a dos puntos A y B dados es constante: | AP - BP | = const. En este caso, A y B se denominan focos del hiperboloide.

Un hiperboloide de una hoja es una superficie de dos rayas; si es un hiperboloide de revolución, entonces se puede obtener girando una línea recta alrededor de otra línea recta que se cruza con él.

Paraboloide- tipo de superficie de segundo orden. Un paraboloide se puede caracterizar como una superficie de segundo orden descentrada abierta (es decir, sin centro de simetría).

Ecuaciones paraboloides canónicas en coordenadas cartesianas:

· Si ayb son del mismo signo, entonces el paraboloide se llama elíptico.

· Si ayb son de signos opuestos, entonces el paraboloide se llama hiperbólico.

· Si uno de los coeficientes es igual a cero, entonces el paraboloide se llama cilindro parabólico.

ü - paraboloide elíptico, donde ayb son del mismo signo. La superficie está descrita por una familia de parábolas paralelas con ramas apuntando hacia arriba, cuyos vértices describen una parábola, con ramas también apuntando hacia arriba. Si a = b entonces el paraboloide elíptico es una superficie de revolución formada por la rotación de la parábola alrededor del eje vertical que pasa por el vértice de esta parábola.

ü - paraboloide hiperbólico.

La propiedad probada de la tangente a una parábola es muy importante, ya que se deduce que los rayos que emanan del foco de un espejo parabólico cóncavo, es decir, un espejo cuya superficie se obtiene de la rotación de la parábola alrededor de su eje, son reflejados por un haz paralelo, es decir, eje espejo paralelo (fig).

Esta propiedad de los espejos parabólicos se utiliza en la construcción de reflectores, en los faros de cualquier automóvil, así como en los espejos telescópicos. En este caso, en el último caso, a la inversa, los rayos provenientes del cuerpo celeste; casi paralelos, se concentran cerca del punto focal del espejo del telescopio, y dado que los rayos provenientes de diferentes puntos de la luminaria son muy no paralelos, se concentran cerca del punto focal en diferentes puntos, de modo que una imagen de la luminaria se obtiene cerca del punto focal, cuanto mayor, mayor es la distancia focal de la parábola. Esta imagen ya se ve a través de un microscopio (ocular telescópico). Estrictamente hablando, solo los rayos estrictamente paralelos al eje del espejo se recolectan en un punto (en foco), mientras que los rayos paralelos, que van en ángulo con el eje del espejo, se recolectan solo en casi un punto, y cuanto más lejos este punto es desde el enfoque, la imagen más borrosa. Esta circunstancia limita el "campo de visión del telescopio".

Deje que su superficie interior, una superficie de espejo, este espejo parabólico esté iluminado por un haz de rayos de luz paralelos al eje OU. Después de la reflexión, todos los rayos paralelos al eje OY se cruzarán en un punto del eje OY (foco F). El diseño de telescopios parabólicos se basa en esta propiedad. Los rayos de estrellas distantes nos llegan en forma de un rayo paralelo. Habiendo hecho un telescopio parabólico y colocando una placa fotográfica en su foco, tenemos la oportunidad de amplificar la señal de luz proveniente de la estrella.

El mismo principio subyace en la creación de una antena parabólica que le permite amplificar las señales de radio. Si se coloca una fuente de luz en el foco de un espejo parabólico, luego de reflejarse en la superficie del espejo, los rayos que provienen de esta fuente no se dispersarán, sino que se recogerán en un haz estrecho paralelo al eje del espejo. . Este hecho encuentra aplicación en la fabricación de proyectores y linternas, varios proyectores, cuyos espejos están hechos en forma de paraboloides.

La propiedad óptica mencionada anteriormente de un espejo parabólico se utiliza para crear telescopios de espejo, varias instalaciones de calefacción solar y reflectores. Al colocar una potente fuente de luz puntual en el foco de un espejo parabólico, obtenemos una densa corriente de rayos reflejados paralelos al eje del espejo.

Cuando la parábola gira alrededor de su eje, se obtiene una figura, que se llama paraboloide. Si la superficie interna del paraboloide está reflejada y se dirige un haz de rayos paralelo al eje de simetría de la parábola, entonces los rayos reflejados se reunirán en un punto, que se llama foco. Al mismo tiempo, si se enfoca la fuente de luz, los rayos reflejados desde la superficie del espejo del paraboloide serán paralelos y no se dispersarán.

La primera propiedad permite obtener una temperatura elevada en el foco de un paraboloide. Según la leyenda, esta propiedad fue utilizada por el antiguo científico griego Arquímedes (287-212 aC). Mientras defendía Siracusa en la guerra contra los romanos, construyó un sistema de espejos parabólicos, que permitió enfocar los rayos del sol reflejados en los barcos de los romanos. Como resultado, la temperatura en los focos de los espejos parabólicos resultó ser tan alta que se produjo un incendio en los barcos y se quemaron.

La segunda propiedad se utiliza, por ejemplo, en la fabricación de proyectores y faros de automóviles.

Hipérbola

4. La definición de hipérbola nos da una forma sencilla de construirla en movimiento continuo: tome dos hebras, cuya diferencia de longitud es 2a, y sujete un extremo de estas hebras a los puntos F "y F. Si sostiene los otros dos extremos juntos con la mano y se mueven a lo largo de los hilos con la punta de un lápiz, cuidando que los hilos queden presionados contra el papel, tensos y tocándose, comenzando desde la punta de dibujo hasta la unión de los extremos, la punta dibujará una parte de una de las ramas de la hipérbola (cuanto más grande, más largos se toman los hilos) (Fig.).

Intercambiando los roles de los puntos F "y F, obtenemos una parte de otra rama.

Por ejemplo, sobre el tema "Curvas de 2º orden" podemos considerar el siguiente problema:

Tarea. Dos estaciones de tren A y B están ubicadas a una distancia de s km entre sí. La carga puede ser entregada a cualquier punto M desde la estación A ya sea por transporte directo por carretera (primera vía) o por ferrocarril a la estación B, y desde allí en automóviles (segunda vía). La tarifa ferroviaria (el precio del transporte de 1 tonelada por 1 km) es de m rublos, la tarifa del transporte por carretera es de n rublos, n> m, la tarifa de carga y descarga es de k rublos. Determine el área de influencia de la estación de tren B, es decir, el área a la que es más barato entregar la carga desde la estación A por una ruta mixta: por ferrocarril y luego por carretera, es decir. determinar el lugar geométrico de los puntos para los que el segundo camino es más ventajoso que el primero.

Solución. Denotamos AM = r, BM = g, entonces el costo de entrega (transporte y carga-descarga) a lo largo de la ruta AM es igual a nr + k, y el costo de entrega a lo largo de la ruta ABM es igual a ms + 2k + ng . Entonces los puntos M, para los cuales ambos costos son iguales, satisfacen la ecuación nr + k = ms + 2k + nг, o

ms + k = nr - ng

r - r = = constante> 0,

por tanto, la línea que delimita la región es una de las ramas de la hipérbola | r - r | = const. Para todos los puntos del plano que se encuentran en un lado con el punto A de esta hipérbola, el primer camino es más ventajoso, y para los puntos que se encuentran en el otro lado, el segundo, por lo tanto, la rama de la hipérbola delimita el área de influencia. de la estación B.

Una variante de esta tarea.

Dos estaciones de tren A y B están situadas a una distancia de 1 km entre sí. La carga se puede entregar al punto M desde la estación A ya sea por transporte directo por carretera o por ferrocarril a la estación B, y desde allí en automóviles (Fig. 49). En este caso, la tarifa ferroviaria (el precio del transporte de 1 tonelada por 1 km) es m rublos, la carga y descarga cuesta k rublos (por 1 tonelada), y la tarifa para el transporte por carretera es n rublos (n> m). Definamos la llamada zona de influencia de la estación de ferrocarril B, es decir, la zona a la que es más económico entregar carga desde A de forma mixta: por ferrocarril y luego por carretera.

Solución. El costo de entrega de 1 tonelada de carga a lo largo de la ruta AM es r n, donde r = AM, y a lo largo de la ruta AВМ, será igual a 1m + k + r n. Necesitamos resolver la doble desigualdad r n 1m + k + r n y determinar cómo se distribuyen los puntos en el plano (x, y), al cual es más barato entregar la mercadería por la primera o la segunda ruta.

Encontremos la ecuación de la línea que forma el límite entre estas dos zonas, es decir, el lugar geométrico de los puntos para los que ambos caminos son "igualmente ventajosos":

r norte = 1 m + k + r norte

De esta condición, obtenemos r - r = = const.

Por tanto, la línea divisoria es una hipérbola. Para todos los puntos externos de esta hipérbola, el primer camino es más ventajoso, y para los puntos internos, el segundo. Por lo tanto, la hipérbola delimitará la zona de influencia de la estación B. La segunda rama de la hipérbola delineará la zona de influencia de la estación A (la carga se entrega desde la estación B). Encontremos los parámetros de nuestra hipérbola. Su eje mayor es 2a =, y la distancia entre los focos (que son las estaciones A y B) en este caso es 2c = l.

Así, la condición para la posibilidad de este problema, determinada por la relación a< с, будет

Este problema conecta el concepto geométrico abstracto de hipérbola con el problema económico y del transporte.

El lugar geométrico de puntos requerido es el conjunto de puntos que se encuentran dentro de la rama derecha de la hipérbola que contiene el punto B.

6. Sé " Maquinaria de agricultura»El ángulo de inclinación y balanceo son características de rendimiento importantes de un tractor en una pendiente que muestran su estabilidad.

Por simplicidad, consideraremos un tractor de ruedas. La superficie sobre la que está operando el tractor (al menos, una parte bastante pequeña de ella) puede considerarse un plano (plano de movimiento). El eje longitudinal del tractor es la proyección de la línea recta que conecta el centro de los ejes delantero y trasero con el plano de movimiento. El ángulo de balanceo lateral es el ángulo formado con el plano horizontal de una línea recta perpendicular al eje longitudinal y que se encuentra en el plano de movimiento.

Al estudiar el tema "Líneas y planos en el espacio" en el curso de matemáticas, consideramos las siguientes tareas:

a) Calcule el ángulo de inclinación longitudinal del tractor que se mueve a lo largo de la pendiente, si se conocen el ángulo de elevación de la pendiente y el ángulo de desviación de la trayectoria del tractor con respecto a la dirección longitudinal.

b) El ángulo de inclinación máximo permisible de la pendiente sobre el cual el tractor puede pararse sin volcarse se denomina ángulo límite del balanceo lateral del tractor. Qué parámetros del tractor es suficiente conocer para determinar el ángulo límite de balanceo lateral; como encontrar esto
¿inyección?

7. La presencia de generadores rectos se utiliza en equipos de construcción. El fundador de la aplicación práctica de este hecho es el famoso ingeniero ruso Vladimir Grigorievich Shukhov (1853-1939). V.G.Shukhov llevó a cabo la construcción de mástiles, torres y soportes, compuestos de vigas metálicas, ubicados a lo largo de generatrices rectilíneas. hiperboloide de revolución de una sola hoja. La alta resistencia de tales estructuras, combinada con ligereza, bajo costo de fabricación y elegancia, asegura su uso generalizado en la construcción moderna.

8. LAS LEYES DEL MOVIMIENTO DE UN CUERPO SÓLIDO LIBRE

Para un cuerpo libre, todos los tipos de movimiento son igualmente posibles, pero esto no significa que el movimiento de un cuerpo libre sea desordenado, sin obedecer ninguna ley; por el contrario, el movimiento de traslación de un cuerpo rígido, independientemente de su forma externa, está restringido por la ley del centro de masa y se reduce al movimiento de un punto, y el movimiento de rotación es por los llamados ejes principales de inercia o elipsoide de inercia... Entonces, un palo arrojado al espacio libre, o un grano que sale volando de la clasificación, etc., se mueve traslacionalmente, como un punto (centro de masa), y al mismo tiempo gira alrededor del centro de masa. En general, en movimiento de traslación, cualquier cuerpo rígido, independientemente de su forma, o una máquina compleja puede ser reemplazado por un punto (centro de masa), y con movimiento de rotación, por un elipsoide de inercia. , cuyos vectores de radio son iguales a -, donde / es el momento de inercia de este cuerpo con respecto a los ejes que pasan por el centro del elipsoide.

Si el momento de inercia de un cuerpo cambia por alguna razón durante la rotación, entonces la velocidad de rotación cambiará en consecuencia. Por ejemplo, durante un salto sobre la cabeza, los acróbatas se comprimen en una pelota, lo que hace que el momento de inercia del cuerpo disminuya y la velocidad de rotación aumente, lo cual es necesario para el éxito del salto. De la misma forma, cuando las personas resbalan, estiran los brazos hacia los lados, lo que aumenta el momento de inercia y disminuye la velocidad de rotación. De la misma manera, el momento de inercia del rastrillo de la cosechadora sobre el eje vertical es variable durante su rotación sobre el eje horizontal.

Paraboloide elíptico

Paraboloide elíptico con a = b = 1

Paraboloide elíptico- superficie descrita por una función de la forma

,

dónde a y B una señal. La superficie está descrita por una familia de parábolas paralelas con ramas apuntando hacia arriba, cuyos vértices describen una parábola, con ramas también apuntando hacia arriba.

Si a = B entonces un paraboloide elíptico es una superficie de revolución formada por la rotación de una parábola alrededor de un eje vertical que pasa por el vértice de esta parábola.

Paraboloide hiperbólico

Paraboloide hiperbólico con a = b = 1

Paraboloide hiperbólico(llamado "hypar" en construcción) - una superficie en forma de silla de montar descrita en un sistema de coordenadas rectangular mediante una ecuación de la forma

.

La segunda representación muestra que el paraboloide hiperbólico es una superficie reglada.

La superficie puede estar formada por el movimiento de una parábola, cuyas ramas se dirigen hacia abajo, a lo largo de una parábola, cuyas ramas se dirigen hacia arriba, siempre que la primera parábola esté en contacto con su segundo vértice.

Paraboloides en el mundo

En tecnologia

En arte

En literatura

Se suponía que el dispositivo descrito en Hiperboloide del ingeniero Garin era paraboloide.

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Vea qué es "Paraboloide elíptico" en otros diccionarios:

PARABOLOIDE ELÍPTICO Diccionario enciclopédico grande

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Paraboloide elíptico- uno de los dos tipos de paraboloides (Ver Paraboloides) ... Gran enciclopedia soviética

PARABOLOIDE ELÍPTICO- superficie no cerrada de segundo orden. Canónico. la ecuación de E. p. tiene la forma de E. p. está ubicada en un lado del plano Oxy (ver Fig.). Las secciones de E. p. Los planos paralelos al plano Oxy son elipses con igual excentricidad (si p ... Enciclopedia de las matemáticas

PARABOLOIDE ELÍPTICO- uno de los dos tipos de paraboloides ... Ciencias Naturales. diccionario enciclopédico

PARABOLOIDE- (griego, de parábola parabola, y similitud eidos). Un cuerpo formado por una parábola giratoria. Diccionario de palabras extranjeras incluidas en el idioma ruso. Chudinov AN, 1910. PARABOLOID es un cuerpo geométrico formado a partir de la rotación de una parábola, entonces ... ... Diccionario de palabras extranjeras del idioma ruso.

PARABOLOIDE- PARABOLOID, paraboloide, marido. (ver parábola) (mat.). Una superficie de segundo orden sin centro. Paraboloide de revolución (formado al girar una parábola alrededor de su eje). Paraboloide elíptico. Paraboloide hiperbólico. Diccionario explicativo de Ushakov ... Diccionario explicativo de Ushakov

PARABOLOIDE- PARABOLOIDE, superficie obtenida por el movimiento de una parábola, cuyo vértice se desliza a lo largo de otra parábola fija (con un eje de simetría paralelo al eje de la parábola móvil), mientras que su plano, que se desplaza paralelo a sí mismo, permanece. .. ... Enciclopedia moderna

Paraboloide- - tipo de superficie de segundo orden. Un paraboloide se puede caracterizar como una superficie de segundo orden descentrada abierta (es decir, sin centro de simetría). Ecuaciones canónicas de un paraboloide en coordenadas cartesianas: si y uno ... ... Wikipedia

PARABOLOIDE- superficie descentrada no cerrada de segundo orden. Canónico. ecuaciones de P .: un paraboloide elíptico (para p = q se llama P. de rotación) y un paraboloide hiperbólico. A. B. Ivanov ... Enciclopedia de las matemáticas

El paraboloide hiperbólico también pertenece a las superficies de segundo orden. Esta superficie no se puede obtener aplicando un algoritmo utilizando la rotación de alguna línea sobre un eje fijo.

Se utiliza un modelo especial para construir un paraboloide hiperbólico. Este modelo incluye dos parábolas ubicadas en dos planos perpendiculares entre sí.

Dejemos que la parábola esté en el avión e inmóvil. Parabola II realiza un movimiento complejo:

▫ su posición inicial coincide con el plano
, y el vértice de la parábola coincide con el origen: =(0,0,0);

▫ además, esta parábola hace un movimiento de transferencia paralelo, y su parte superior
hace una trayectoria coincidente con la parábola I;

▫ Se consideran dos posiciones iniciales diferentes de la parábola II: una - ramas de la parábola hacia arriba, la segunda - ramas hacia abajo.

Escribamos las ecuaciones: para la primera parábola I:
- invariable; para la segunda parábola II:
- posición inicial, ecuación de movimiento:
No es difcil ver que el punto
tiene coordenadas:
... Dado que es necesario mostrar la ley de movimiento de un punto
: este punto pertenece a la parábola I, entonces siempre deben cumplirse las siguientes relaciones: =
y
.

Es fácil ver por las características geométricas del modelo que la parábola móvil barre algo de superficie. En este caso, la ecuación de la superficie descrita por la parábola II tiene la forma:

o →
. (1)

La forma de la superficie resultante depende de la distribución de los signos de los parámetros.
... Son posibles dos casos:

1). Signos de cantidades pag y q coinciden: las parábolas I y II están ubicadas en el mismo lado del plano OXY... Echemos: pag = a 2 y q = B 2 ... Luego obtenemos la ecuación de la superficie conocida:

→ paraboloide elíptico . (2)

2). Signos de cantidades pag y q son diferentes: las parábolas I y II están ubicadas en lados opuestos del plano OXY... Permitir pag = a 2 y q = - B 2 ... Ahora obtenemos la ecuación de la superficie:

→paraboloide hiperbólico . (3)

No es difícil representar la forma geométrica de la superficie definida por la ecuación (3) si recordamos el modelo cinemático de la interacción de dos parábolas que participan en el movimiento.

En la figura, la parábola I se muestra convencionalmente en rojo, sólo se muestra la vecindad de la superficie en el origen. Debido al hecho de que la forma de la superficie insinúa expresivamente una silla de caballería, este vecindario a menudo se llama: sillín .

En física, al estudiar la estabilidad de los procesos, se introducen los tipos de equilibrio: estable - un agujero, convexo hacia abajo, inestable - una superficie convexa hacia arriba e intermedia - una silla de montar. El equilibrio del tercer tipo también se refiere al tipo de equilibrio inestable, y solo en la línea roja (parábola I) el equilibrio es posible.

§ 4. Superficies cilíndricas.

Al considerar las superficies de revolución, hemos identificado la superficie cilíndrica más simple: un cilindro de revolución, es decir, un cilindro circular.

En geometría elemental, un cilindro se define por analogía con la definición general de prisma. Es bastante complejo:

▫ tengamos un polígono plano en el espacio
- denotar como y el polígono coincide con él.
- denotar como
;

▫ aplicable al polígono
movimiento de traslación paralela: puntos
moverse a lo largo de trayectorias paralelas a una dirección dada ;

▫ si dejas de mover el polígono
, luego su plano
paralelo al plano ;

▫ la superficie de un prisma se llama: una colección de polígonos ,
– jardines prismas y paralelogramos
,
,... – superficie lateral prismas.

V Usaremos la definición elemental de prisma para construir una definición más general de prisma y su superficie, es decir, distinguiremos entre:

▫ El prisma ilimitado es un cuerpo multifacético delimitado por bordes ,, ... y los planos entre estos bordes;

▫ prisma acotado es un cuerpo poliédrico acotado por aristas ,, ... y paralelogramos
,
, ...; la superficie lateral de este prisma es un conjunto de paralelogramos
,
, ...; bases de prisma: un conjunto de polígonos ,
.

Tengamos un prisma ilimitado: ,, ... Crucemos este prisma con un plano arbitrario ... Crucemos el mismo prisma con otro plano
... En la sección, obtenemos un polígono
... En el caso general, asumimos que el avión
no paralelo al plano ... Esto significa que el prisma no se construye mediante la traslación paralela del polígono. .

La construcción propuesta de un prisma incluye no solo prismas rectos e inclinados, sino también los truncados.

En geometría analítica, entenderemos las superficies cilíndricas de una manera tan generalizada que un cilindro ilimitado incluye un prisma ilimitado como un caso especial: uno solo tiene que asumir que un polígono puede ser reemplazado por una línea arbitraria, no necesariamente cerrada - guía cilindro. Dirección son llamados generatriz cilindro.

De todo lo dicho se desprende: para definir una superficie cilíndrica, es necesario especificar una línea guía y una dirección de la generatriz.

Las superficies cilíndricas se obtienen sobre la base de curvas planas de segundo orden que sirven guías por generadores .

En la etapa inicial del estudio de superficies cilíndricas, hacemos suposiciones simplificadoras:

▫ dejar que la guía de una superficie cilíndrica se ubique siempre en uno de los planos de coordenadas;

▫ dirección de la generatriz coincide con uno de los ejes de coordenadas, es decir, perpendicular al plano en el que se define la línea guía.

Las restricciones adoptadas no conducen a una pérdida de generalidad, ya que existe una posibilidad debido a la elección de tramos por planos. y
construir formas geométricas arbitrarias: cilindros rectos, inclinados, truncados.

Cilindro elíptico .

Tomemos una elipse como guía del cilindro. :
ubicado en el plano de coordenadas

: cilindro elíptico.

Cilindro hiperbólico .

:

, y la dirección del generador determina el eje
... En este caso, la ecuación del cilindro es la línea misma : cilindro hiperbólico.

Cilindro parabólico .

Dejemos que la hipérbola se tome como una guía del cilindro. :
ubicado en el plano de coordenadas
, y la dirección del generador determina el eje
... En este caso, la ecuación del cilindro es la línea misma : cilindro parabólico.

Comentario: teniendo en cuenta las reglas generales para la construcción de las ecuaciones de superficies cilíndricas, así como los ejemplos particulares de cilindros elípticos, hiperbólicos y parabólicos presentados, observamos: la construcción de un cilindro para cualquier otro generador, para las condiciones simplificadoras adoptadas, debe ¡No cause ninguna dificultad!

Consideremos ahora condiciones más generales para construir ecuaciones de superficies cilíndricas:

▫ la guía de una superficie cilíndrica se encuentra en un plano arbitrario del espacio
;

▫ dirección de la generatriz en el sistema de coordenadas adoptado arbitrariamente.

Representaremos las condiciones aceptadas en la figura.

▫ guía de superficie cilíndrica ubicado en un plano arbitrario espacio
;

▫ sistema de coordenadas
obtenido del sistema de coordenadas
transferencia paralela;

▫ ubicación de la guía en plano lo más preferible: para una curva de segundo orden, asumiremos que el origen de las coordenadas coincide con centrar simetría de la curva considerada;

▫ dirección de la generatriz arbitrario (se puede especificar de cualquiera de las formas: vector, línea recta, etc.).

En lo que sigue, asumiremos que los sistemas de coordenadas
y
fósforo. Esto significa que el primer paso del algoritmo general para construir superficies cilíndricas, que refleja la traslación paralela:
→
está preejecutado.

Recordemos cómo se tiene en cuenta la transferencia paralela en el caso general, considerando un ejemplo sencillo.

Ejemplo 6–13 : En sistema de coordenadas
como:
= 0. Escriba la ecuación de esta guía en el sistema
.

Solución:

1). Denotamos un punto arbitrario
: en el sistema
cómo
, y en el sistema
cómo
.

2). Escribimos la igualdad del vector:
=
+
... En forma de coordenadas, esto se puede escribir como:
=
+
... O en la forma:
=
–
, o:
=.

3). Escribimos la ecuación de la guía del cilindro en sistema de coordenadas
:

Respuesta: Ecuación de la guía transformada: = 0.

Entonces, asumiremos que el centro de la curva que representa la guía del cilindro siempre está ubicado en el origen de las coordenadas del sistema.
en plano .

Arroz. V ... Dibujo básico al construir un cilindro.

Hagamos una suposición más para simplificar los pasos finales de la construcción de la superficie cilíndrica. Dado que al utilizar la rotación del sistema de coordenadas, no es difícil alinear la dirección del eje
sistemas coordinados
con plano normal , y las direcciones de los ejes
y
con ejes de simetría de la guía , entonces asumiremos que como posición inicial de la guía tenemos una curva ubicada en el plano
, y uno de sus ejes de simetría coincide con el eje
, y el segundo con el eje
.

Comentario: dado que la ejecución de las operaciones de transferencia paralela y rotación alrededor de un eje fijo de la operación es bastante simple, las suposiciones realizadas no limitan la aplicabilidad del algoritmo desarrollado para construir una superficie cilíndrica en el caso más general.

Vimos que al construir una superficie cilíndrica en el caso cuando la guía ubicado en el avión
, y el generador es paralelo al eje
, basta con definir solo la guía .

Dado que una superficie cilíndrica se puede determinar de forma única especificando cualquier línea obtenida en la sección de esta superficie mediante un plano arbitrario, aceptaremos el siguiente algoritmo general para resolver el problema:

1 ▫ ... Deje que la dirección del generador La superficie cilíndrica está dada por el vector ... Diseñaremos una guía dado por la ecuación:
= 0, en un plano perpendicular a la dirección de la generatriz , es decir, en el avión
... Como resultado, la superficie cilíndrica se especificará en el sistema de coordenadas
ecuación:
=0.

2 ▫
alrededor del eje
en la esquina
: el significado del ángulo
compatible con el sistema
, y la ecuación de la superficie cónica se transforma en la ecuación:
=0.

3 ▫ ... Aplicar la rotación del sistema de coordenadas
alrededor del eje
en la esquina
: el significado del ángulo es bastante claro en la figura. Como resultado de la rotación, el sistema de coordenadas
compatible con el sistema
, y la ecuación de la superficie cónica se transforma en
= 0. Esta es la ecuación de una superficie cilíndrica para la que se dio una guía. y generando en sistema de coordenadas
.

El siguiente ejemplo ilustra la implementación del algoritmo escrito y las dificultades computacionales de tales tareas.

Ejemplo 6–14 : En sistema de coordenadas
se da la ecuación de la guía del cilindro como:
= 9. Haga una ecuación para un cilindro cuyas generatrices sean paralelas al vector =(2,–3,4).

R
solución:

1). Diseñemos la guía del cilindro en un plano perpendicular a ... Se sabe que tal transformación convierte un círculo dado en una elipse, cuyos ejes serán: grande = 9, y pequeño =
.

Esta figura ilustra el diseño de un círculo definido en un plano.
en el plano de coordenadas
.

2). El resultado de diseñar un círculo es una elipse:
= 1, o
... En nuestro caso, estos son:
, dónde
==.

3
). Entonces, la ecuación de una superficie cilíndrica en el sistema de coordenadas
recibió. Dado que, según la condición del problema, debemos tener la ecuación de este cilindro en el sistema de coordenadas
, entonces queda aplicar una transformación de coordenadas que traduzca el sistema de coordenadas
para coordinar el sistema
, junto con la ecuación del cilindro:
en una ecuación expresada en términos de variables
.

4). Usaremos básico figura, y anote todos los valores trigonométricos necesarios para resolver el problema:

==,
==,
==.

5). Anotemos las fórmulas de transformación de las coordenadas al pasar del sistema
al sistema
:
(V)

6). Anotemos las fórmulas de transformación de las coordenadas al pasar del sistema
al sistema
:
(CON)

7). Sustituyendo variables
del sistema (B) al sistema (C), y también teniendo en cuenta los valores de las funciones trigonométricas utilizadas, escribimos:

=
=
.

=
=
.

ocho). Queda por sustituir los valores encontrados y en la ecuación de la guía del cilindro :
en sistema de coordenadas
... Despues de completar pulcramente todas las transformaciones algebraicas, obtenemos la ecuación de la superficie cónica en el sistema de coordenadas
: =0.

Respuesta: ecuación del cono: = 0.

Ejemplo 6–15 : En sistema de coordenadas
se da la ecuación de la guía del cilindro como:
=9, = 1. Haga una ecuación para un cilindro cuyas generatrices sean paralelas al vector =(2,–3,4).

Solución:

1). Es fácil ver que este ejemplo difiere del anterior solo en que la guía se movió paralelamente 1 hacia arriba.

2). Esto significa que en las relaciones (B) se debe tomar: =-1. Teniendo en cuenta las expresiones del sistema (C), corregimos la notación para la variable :

=
.

3). El cambio se tiene en cuenta fácilmente al corregir la notación final de la ecuación para el cilindro del ejemplo anterior:

Respuesta: ecuación del cono: = 0.

Comentario: es fácil ver que la principal dificultad con múltiples transformaciones de sistemas de coordenadas en problemas con superficies cilíndricas es precisión y aguante en maratones algebraicos: ¡viva el sistema educativo adoptado en nuestro sufrido país!

La altura de un paraboloide se puede determinar mediante la fórmula

El volumen de un paraboloide que toca el fondo es igual a la mitad del volumen de un cilindro con un radio de base R y una altura H, el mismo volumen está ocupado por el espacio W 'debajo del paraboloide (Figura 4.5a)

Figura 4.5. La proporción de volúmenes en un paraboloide que toca el fondo.

Wп - el volumen del paraboloide, W '- el volumen debajo del paraboloide, Hп - la altura del paraboloide

Figura 4.6. La relación de volúmenes en un paraboloide que toca los bordes del cilindro Hp es la altura del paraboloide, R es el radio del recipiente, Wl es el volumen por debajo de la altura del líquido en el recipiente antes del inicio de la rotación, z 0 es la posición del vértice del paraboloide, H es la altura del líquido en el recipiente antes del inicio de la rotación.

En la figura 4.6a, el nivel del líquido en el cilindro antes del inicio de la rotación de H. El volumen de líquido Wl antes y después de la rotación se conserva y es igual a la suma del volumen Wc del cilindro con altura z 0 más el volumen de líquido debajo del paraboloide, que es igual al volumen del paraboloide Wp con altura Hp

Si el paraboloide toca el borde superior del cilindro, la altura del líquido en el cilindro antes del inicio de la rotación Н divide la altura del paraboloide Нп en dos partes iguales, el punto inferior (superior) del paraboloide se encuentra en relación a la base (Figura 4.6c)

Además, la altura H divide el paraboloide en dos partes (Figura 4.6c), cuyos volúmenes son iguales a W 2 = W 1. De la igualdad de los volúmenes del anillo parabólico W 2 y la copa parabólica W 1, figura 4.6c

Cuando la superficie del paraboloide cruza el fondo del recipiente (Figura 4.7) W 1 = W 2 = 0.5W anillos

Figura 4.7 Volúmenes y alturas cuando la superficie del paraboloide cruza la parte inferior del cilindro

Las alturas en la Figura 4.6

los volúmenes de la Figura 4.6.

La ubicación de la superficie libre en el recipiente.

Figura 4.8. Tres casos de reposo relativo durante la rotación

1. Si el recipiente está abierto, Po = Ratm (figura 4.8a). La parte superior del paraboloide durante la rotación cae por debajo del nivel inicial-H, y los bordes se elevan por encima del nivel inicial, la posición de la parte superior.

2. Si el recipiente está completamente lleno, cubierto con una tapa, no tiene superficie libre, está bajo una presión excesiva Po> Ratm, antes de la rotación de la superficie (PP), en la que R0 = Ratm estará por encima del nivel de la tapa en un altura de h 0i = M / ρg, H 1 = H + M / ρg.

3. Si el recipiente está completamente lleno, está al vacío Po<Ратм, до вращения поверхность П.П., на которой Ро=Ратм будет находиться под уровнем крышки на высоте h 0и =-V/ρg, Н 2 =Н-V/ρg ,

4.7. Rotación con alta velocidad angular (Figura 4.9)

Cuando un recipiente con un líquido gira con una alta velocidad angular, la fuerza de la gravedad puede despreciarse en comparación con las fuerzas centrífugas. La ley del cambio de presión en un líquido se puede obtener de la fórmula

(4.22),

Las superficies niveladas forman cilindros con un eje común alrededor del cual gira el recipiente. Si el recipiente no está completamente lleno antes de comenzar la rotación, la presión P 0 actuará a lo largo del radio r = r 0 , en lugar de la expresión (4.22) tendremos

donde tomamos g (z 0 - z) = 0,

Arroz. 4.9 Disposición de superficies de revolución en ausencia de gravedad.

El radio de la superficie interior con H y h conocidas