درست نیروی. "میدان نیرو" به چه معناست که میدان نیرو چیست

زمینه فیزیکی - شکل خاصی از ماده که ذرات ماده را به هم پیوند می دهد و (با سرعت محدود) تأثیر بعضی از اجسام را بر روی بدن دیگر منتقل می کند. هر نوع تعامل در طبیعت زمینه خاص خود را دارد. درست نیروی به ناحیه ای از فضا گفته می شود که در آن جسمی مادی که در آن قرار گرفته است توسط نیرویی که وابسته است (در حالت کلی) به مختصات و به موقع عمل می کند. میدان نیرو نامیده می شود ثابت ، اگر نیروهای وارد شده در آن به زمان بستگی نداشته باشند. یک میدان نیرو ، در هر نقطه ای که نیروی وارد بر یک ماده ماده معین از همان مقدار برخوردار باشد (از نظر اندازه و جهت) ، همگن.

یک میدان نیرو را می توان مشخص کرد خطوط برق. در این حالت ، مماسهای خطوط نیرو جهت عمل نیرو را در این میدان تعیین می کنند و چگالی خطوط نیرو متناسب با مقدار نیرو است.

شکل: 1.23

مرکزی نیرویی نامیده می شود ، خط عمل آن در تمام موقعیت ها از نقطه خاصی عبور می کند ، مرکز نیرو (نقطه) نامیده می شود در باره در شکل 1.23)

میدانی که نیروی مرکزی در آن عمل می کند ، میدان نیروی مرکزی است. بزرگی نیرو F (r) ، عمل بر روی یک جسم مادی (نقطه ماده ، بدن ، بار الکتریکی و غیره) در نقاط مختلف چنین زمینه ای ، فقط به فاصله r تا مرکز نیروها بستگی دارد ، یعنی

(بردار واحد در جهت بردار است ر) تمام قدرت

شکل: 1.24 نمایش شماتیک در هواپیما خوشحال میدان یکنواخت

خطوط چنین فیلدی از یک نقطه عبور می کند (قطب) O ؛ لحظه نیروی مرکزی در این حالت نسبت به قطب به طور یکسان صفر است M 0 (F) \u003d З 0. قسمتهای مرکزی میدانهای گرانشی و کولن هستند (به ترتیب نیروها).

شکل 1.24 نمونه ای از یک میدان نیروی یکنواخت (طرح مسطح آن) را نشان می دهد: در هر نقطه از چنین زمینه ای ، نیرویی که بر همان بدنه وارد می شود از نظر اندازه و جهت یکسان است ، یعنی

شکل: 1.25 نمایش شماتیک در خوشحالزمینه ناهمگن

شکل 1.25 نمونه ای از یک زمینه ناهمگن را نشان می دهد که در آن F (ایکس,

y ، z) *? ساختار و

و برابر با صفر 1 نیستند. تراکم خطوط نیرو در مناطق مختلف چنین زمینه ای یکسان نیست - در منطقه سمت راست ، میدان قویتر است.

تمام نیروهای موجود در مکانیک را می توان به دو گروه تقسیم کرد: نیروهای محافظه کار (در زمینه های بالقوه عمل می کنند) و نیروهای غیر محافظه کار (یا اتلاف). نیروها فراخوانی می شوند محافظه کار (یا بالقوه) ، اگر کار این نیروها به شکل مسیر جسمی که در آن عمل می کنند یا به طول مسیر در ناحیه عمل آنها بستگی نداشته باشد ، بلکه فقط توسط موقعیت اولیه و نهایی نقاط جابجایی در فضا تعیین می شود. حوزه نیروهای محافظه کار نامیده می شود پتانسیل (یا محافظه کار) زمینه.

بگذارید نشان دهیم که کار نیروهای محافظه کار در یک حلقه بسته برابر با صفر است. برای انجام این کار ، مسیر بسته را خودسرانه به دو بخش تقسیم می کنیم a2 و B2 (شکل 1.25) از آنجا که نیروهای محافظه کار هستند ، بنابراین Л 1а2 \u003d А т. از سوی دیگر A 1b2 \u003d -A w. سپس A ish \u003d A 1a2 + A w \u003d \u003d A a2 - A b2 \u003d 0 ، در صورت لزوم گفتگو نیز درست است.

شکل: 1.26

عبارت: اگر کار نیروها در امتداد یک کانتور بسته دلخواه φ برابر با صفر باشد ، نیروها محافظه کار هستند و میدان بالقوه است. این شرط به عنوان یک انتگرال کانتور نوشته شده است

شکل: 1.27

که به معنی: در یک میدان پتانسیل ، گردش بردار F در طول هر حلقه بسته L برابر با صفر است.

کار نیروهای غیر محافظه کار در حالت کلی هم به شکل مسیر و هم به طول مسیر بستگی دارد. نمونه ای از نیروهای غیر محافظه کار اصطکاک و نیروهای کششی است.

بگذارید نشان دهیم که همه نیروهای مرکزی در گروه نیروهای محافظه کار قرار دارند. در واقع (شکل 1.27) ، اگر نیرو باشد F مرکزی ، پس می تواند باشد

1 ارائه شده در شکل 1.23 میدان نیروی مرکزی نیز یک میدان غیر یکنواخت است.

در این مورد ، کار مقدماتی نیرو F

در جابجایی اولیه d / خواهد بود یا

dA \u003d F (r) dlcos а \u003d F (r) دکتر (از زمان rdl \u003d rdl cos a ، a d / cos a \u003d dr). بعد کار کن

که در آن f (r) عملکرد ضد اشتقاقی است.

از عبارت به دست آمده مشخص است که کار AP نیروی مرکزی F فقط به نوع عملکرد بستگی دارد F (r) و مسافت ها r ( و r 2 از مرکز نیرو O نقطه 1 و 2 است و به طول مسیر از 1 تا 2 بستگی ندارد ، که منعکس کننده ماهیت محافظه کارانه نیروهای مرکزی است.

دلیل ارائه شده عمومی برای هر نیرو و میدان مرکزی است ، بنابراین ، نیروهای فوق الذکر - گرانش و کولن را شامل می شود.

مجدداً یک سیستم بسته را درنظر بگیرید که از دو نقطه A و B تشکیل شده است. طبق قانون اول نیوتن ، اگر نقطه B در سیستم وجود نداشت و نقطه A آزاد بود ، در این صورت سرعت نقطه A نسبت به چهارچوب مرجع اینرسی تغییر نمی کند و ما تغییر خواهیم کرد.

اما ، به دلیل برهم کنش نقاط A و B ، مشتق غیر صفر است. همانطور که قبلاً در بالا نشان داده شد ، مکانیک به این س answerال پاسخ نمی دهد که چرا حضور نقطه B بر حرکت نقطه A تأثیر می گذارد ، اما از این واقعیت ناشی می شود که چنین تاثیری رخ می دهد و نتیجه این اثر را با بردار مشخص می کند. به تأثیر نقطه B در حرکت نقطه A نیرو گفته می شود و گفته می شود که نقطه B با نیرویی که بردار نشان می دهد بر روی نقطه A عمل می کند

این همان برابری (با استفاده از اصطلاح "نیرو") است که معمولاً قانون دوم نیوتن نامیده می شود.

بعلاوه ، اجازه دهید همان نقطه A با چندین شی مادی در تعامل باشد. هر یک از این اشیا اگر یکی باشد ، بر این اساس باعث ظهور نیرو می شود. در همان زمان ، اصطلاحاً اصل استقلال عمل نیروها فرض می شود: نیرو ناشی از هیچ منبعی به حضور نیروها به دلیل منابع دیگر بستگی ندارد. نکته اصلی در این فرض این است که نیروهای وارد شده به همان نقطه می توانند طبق قوانین معمول جمع بردارها جمع شوند و نیرویی که از این طریق بدست می آید برابر با نیروهای اصلی است. با توجه به فرض استقلال عمل نیروها ، مجموعه اعمال اعمال شده در یک نقطه مادی را می توان با یک عمل جایگزین کرد ، به ترتیب با یک نیرو نشان داده می شود ، که با صمغ زدن هندسی بردارهای همه نیروهای عمل کننده بدست می آید.

نیرو نتیجه تعامل اشیا material مادی است. این بدان معنی است که اگر به دلیل وجود نقطه B باشد ، برعکس ، به دلیل وجود نقطه الف. رابطه بین نیروها و توسط قاعده سوم (قانون) نیوتن برقرار می شود. طبق این فرض ، هنگام تعامل بین اجسام مادی ، نیروها و از نظر اندازه برابر هستند ، در امتداد یک خط مستقیم عمل می کنند ، اما به طرف های مخالف هدایت می شوند. این قانون گاهی اوقات به طور خلاصه به شرح زیر تنظیم می شود: "هر عملی مساوی و مخالف واکنش است."

این بیانیه یک فرضیه جدید است. به هیچ وجه از مفروضات اولیه قبلی ناشی نمی شود ، و به طور کلی ، ساخت مکانیک بدون این فرض یا با فرمول دیگر آن امکان پذیر است.

هنگام در نظر گرفتن یک سیستم از نقاط مادی ، راحت است که همه نیروهای وارد بر نقاط سیستم مورد نظر را به دو کلاس تقسیم کنیم. کلاس اول شامل نیروهایی است که به دلیل فعل و انفعالات نقاط مادی موجود در این سیستم بوجود می آیند. به نیروهایی از این دست داخلی گفته می شود. نیروهایی که به دلیل تأثیر در نقاط مادی سیستم مورد بررسی توسط سایر اشیا material مادی که در این سیستم قرار ندارند ، بوجود می آیند ، خارجی نامیده می شوند.

2. کار قدرت.

محصول اسکالر ، جایی که افزایش بی نهایت کوچک بردار شعاع است ، هنگامی که یک نقطه ماده در امتداد مسیر خود جابجا می شود ، کار مقدماتی نیرو نامیده می شود و نشان داده می شود. مجموع کار مقدماتی همه نیروهایی که بر نقاط سیستم وارد می شوند ، کار مقدماتی نیروهای سیستم نامیده می شود و نشان داده می شود

بیان محصولات اسکالر از نظر پیش بینی عوامل در محورهای مختصات ، بدست می آوریم

(18)

اگر پیش بینی نیروها و افزایش مختصات بر حسب همان پارامتر مقیاسی (مثلاً از نظر زمان t یا در مورد سیستمی متشکل از یک نقطه ، از نظر جابجایی ابتدایی) بیان شود ، مقادیر در سمت راست برابرها (17) و (18) می تواند به عنوان توابع این پارامتر نشان داده شود ، در دیفرانسیل آن ضرب شود و می تواند در این پارامتر ادغام شود ، به عنوان مثال ، بیش از t در محدوده از تا. نتیجه یکپارچه سازی به ترتیب کل کار نیرو و کل کار نیروهای سیستم در زمان نامیده می شود.

هنگام محاسبه کار مقدماتی و کل کلیه نیروهای سیستم ، کلیه نیروها ، اعم از خارجی و داخلی باید در نظر گرفته شوند. این واقعیت که نیروهای داخلی از نظر جفتی برابر هستند و به طور مخالف کارگردانی می شوند ، ناچیز است ، زیرا حرکت نقاط نیز در محاسبه کار نقش دارد و بنابراین کار نیروهای داخلی ، به طور کلی ، غیر صفر است.

یک مورد خاص را در نظر بگیرید که مقادیر سمت راست برابرها (17) و (18) را می توان به عنوان کل دیفرانسیل نشان داد

در این صورت ، پذیرفتن نت و تعاریف معرفی شده در بالا نیز طبیعی است:

از معادلات (21) و (22) نتیجه می شود که در مواردی که کار مقدماتی دیفرانسیل کل برخی از تابع Ф است ، کار در هر بازه محدود فقط به مقادیر Ф در ابتدا و انتهای این بازه بستگی دارد و به مقادیر میانی F بستگی ندارد ، یعنی در مورد چگونگی حرکت وجود دارد.

3. میدان نیرو.

در بسیاری از مشکلات مکانیک ، شخص اغلب مجبور است با نیروهایی برخورد کند که به موقعیت نقاط در نظر گرفته شده (و شاید به موقع) بستگی دارند و به سرعت آنها بستگی ندارند. به عنوان مثال ، نیرو می تواند به فاصله بین نقاط برهمکنش بستگی داشته باشد. در مشکلات فنی ، نیروهای ناشی از فنرها به تغییر شکل فنرها بستگی دارند ، یعنی به موقعیت موجود در فضای نقطه یا بدن مورد نظر نیز بستگی دارند.

اجازه دهید ابتدا موردی را بررسی کنیم که حرکت یک نقطه مورد مطالعه قرار گرفته و بنابراین فقط یک نیرو در نظر گرفته می شود ، بسته به موقعیت نقطه. در چنین مواردی ، بردار نیرو نه با نقطه ای که عمل بر روی آن انجام می شود ، بلکه با نقاطی در فضا مرتبط است. فرض بر این است که با هر نقطه در فضا ، تعریف شده در یک چارچوب مرجع اینرسی مشخص ، عاملی مرتبط است که نمایانگر نیرویی است که اگر یک نقطه مادی در این نقطه از فضا قرار گیرد ، عمل خواهد کرد. بنابراین ، به طور متعارف در نظر گرفته می شود که فضا در همه جا با بردار "پر شده" است. به این مجموعه بردارها میدان نیرو گفته می شود.

آنها می گویند اگر نیروهای مورد نظر صریحاً به زمان وابسته نباشند ، یک میدان نیرویی ثابت است. در غیر این صورت ، میدان نیرو را ناپایدار می نامند.

به یک میدان پتانسیل گفته می شود در صورتی که از مختصات یک نقطه (و شاید زمان) چنین تابعی وجود داشته باشد به گونه ای که مشتقات جزئی این تابع با توجه به پیش بینی های نیروی F در محورهای x ، y و z به ترتیب برابر باشند و برابر باشند:

با توجه به این واقعیت که نیروی F تابعی از یک نقطه در فضا است ، یعنی مختصات ، و شاید زمان ، پیش بینی های آن نیز توابع متغیرها هستند.

این تابع ، اگر وجود داشته باشد ، تابع قدرت نامیده می شود. البته ، تابع قدرت برای هر میدان نیرویی وجود ندارد و شرایط وجود آن ، یعنی شرایط بالقوه بودن میدان ، در دوره ریاضیات روشن نشده و با برابری ها تعیین می شود

هنگام مطالعه حرکت نقاط متقابل N ، لازم است که حضور N نیروهای وارد بر آنها را در نظر بگیریم. در این حالت ، فضای بعدی-مختصات نقاط معرفی می شود. مشخص كردن يك نقطه در اين فضا ، محل قرارگيري تمام نقاط N مادهي سيستم مورد مطالعه را مشخص مي كند. بعد ، بردار -بعدی با مختصات در نظر گرفته می شود و به طور متعارف در نظر گرفته می شود که فضای -بعدی در همه جا پر از چنین بردارهایی است. سپس تخصیص یک نقطه از این فضای بعدی نه تنها موقعیت تمام نقاط مادی را نسبت به چارچوب مرجع اولیه تعیین می کند ، بلکه تمام نیروهایی را که بر نقاط مادی سیستم وارد می شوند نیز تعیین می کند. اگر از همه مختصات یک تابع نیرو وجود داشته باشد ، چنین میدان نیروی بعدی را پتانسیل می نامند

اگر نیروها را می توان به عنوان مجموع دو اصطلاح نشان داد

به طوری که اصطلاحات روابط را راضی می کنند (24) ، و اصطلاحات آنها را راضی نمی کند ، سپس آنها را نیروهای بالقوه و غیر بالقوه می نامند.

اگر تابع نیرویی وجود داشته باشد که صریحاً به زمان بستگی نداشته باشد (میدان نیروگاه ثابت است) و به گونه ای که تمام نیروهایی که در نقاط اعمال می شوند روابط را برآورده کنند ، به یک سیستم از نقاط مادی محافظه کار گفته می شود.

کار ابتدایی نیروهای نظام محافظه کار

مناسب است که آن را به شکل دیگری نشان دهید ، محصولات اسکالر را بر اساس پیش بینی عوامل بردار بیان کنید (فرمول (18)). با در نظر گرفتن وجود تابع نیرو Ф ، به موجب (23) به دست می آوریم

به عنوان مثال ، کار مقدماتی برابر است با دیفرانسیل کل تابع قدرت

بنابراین ، هنگامی که یک سیستم محافظه کار در حال حرکت است ، کار مقدماتی با دیفرانسیل کل برخی از عملکردها بیان می شود و بنابراین

سطوح بیش از حد

سطوح هم سطح نامیده می شوند.

در فرمول (26) ، نمادها و مقادیر میانگین F در لحظه های شروع و پایان حرکت. بنابراین ، برای هر حرکتی از سیستم ، که مبدا آن مربوط به یک نقطه واقع در سطح سطح است

و انتها یک نقطه روی سطح تراز است

کار با فرمول (26) محاسبه می شود. در نتیجه ، هنگامی که یک سیستم محافظه کار حرکت می کند ، کار به مسیر بستگی ندارد ، بلکه فقط به این بستگی دارد که سطوح سطح حرکت شروع و به کدام قسمت ختم می شود. به طور خاص ، اگر حرکت در همان سطح شروع و پایان یابد کار صفر است.

درست نیروی - بخشی از فضا (محدود یا نامحدود) ، در هر نقطه از برش ، ذره ماده ای که در آنجا قرار گرفته است توسط نیرویی که با مقدار عددی و جهت آن تعیین می شود ، عمل می کند ، که فقط به مختصات بستگی دارد x ، y ، z این نکته چنین S. از مورد نامیده می شود. ثابت اگر قدرت میدان نیز به زمان بستگی دارد ، S. p نامیده می شود. غیر ثابت اگر نیرو در تمام نقاط فضاپیما دارای همان مقدار باشد ، یعنی به مختصات یا زمان بستگی نداشته باشد ، فضاپیما فراخوانی می شود. همگن.

S. stationary. توسط ur-ny قابل تعیین است

جایی که F x ، F y ، F z - پیش بینی قدرت میدان F

اگر چنین عملکردی وجود دارد U (x ، y، z) ، f-tion قدرت نامیده می شود ، که کار مقدماتی نیروهای میدان برابر است با دیفرانسیل کل این f-tion ، سپس S. p نامیده می شود. پتانسیل. در این حالت ، S. p. توسط یک تابع داده می شود U (x ، y ، z) ، و نیروی F را می توان از طریق این تابع با برابری تعریف کرد:

یا ... شرط وجود یک تابع قدرت برای S. p. داده شده همین است

یا . هنگام حرکت در S. p. بالقوه. از نقطه نظر M 1 (x 1 ، y 1 ، z 1))دقیقا M 2 (x 2 ، y 2)، z 2) کار نیروهای میدان با برابری تعیین می شود و به نوع خط سیری که نقطه اعمال نیرو حرکت می کند بستگی ندارد.

سطوح U (x ، y، z) \u003d ساختار ، که تابع روی آن ثابت می ماند. ارزش ، نامیده می شود. سطوح هم سطح. نیرو در هر نقطه از میدان در امتداد سطح نرمال به سطح ترازونده از این نقطه هدایت می شود. هنگام حرکت در امتداد سطح تراز ، کار نیروهای میدان صفر است.

نمونه هایی از S. p بالقوه: میدان جاذبه همگن ، برای آن U \u003d -mgzجایی که تی جرم ذره ای است که در مزرعه حرکت می کند ، g - شتاب جاذبه (محور z به صورت عمودی به سمت بالا هدایت می شود)؛ میدان گرانشی نیوتنی ، که برای آن U \u003d کیلومتر در r، جایی که r \u003d - فاصله از مرکز جذب ، k - ضریب ثابت برای یک زمینه خاص. به جای تابع قدرت ، به عنوان مشخصه S. p. بالقوه ، می توانید وارد شوید انرژی پتانسیل P مرتبط با تو اعتیاد P (x ، y ، z))= = -U (x ، y، z) مطالعه حرکت یک ذره در یک پتانسیل S. p. (در غیاب نیروهای دیگر) به طور قابل توجهی ساده شده است ، زیرا در این مورد قانون حفاظت از مکانیکی وجود دارد. انرژی ، که ایجاد رابطه مستقیم بین سرعت یک ذره و موقعیت آن در یک ذره را امکان پذیر می کند. از جانب. متر تارگ. خطوط برق - یک خانواده از منحنی های توصیف کننده توزیع فضایی میدان بردار نیروها ؛ جهت بردار میدان در هر نقطه با مماس با S. l همزمان می شود. بنابراین ، ur-tion S. l. فیلد بردار دلخواه A (x ، y، z) به صورت زیر نوشته می شوند:

C. تراکم l. شدت (بزرگی) میدان نیرو را مشخص می کند. منطقه ای از فضا که توسط S. l محدود می شود. k - l. منحنی بسته ، نامیده می شود. لوله برق S. l زمینه های گرداب بسته شده است. S. l زمینه های بالقوه از منابع زمینه شروع می شوند و در غرق های آن (منابع علامت منفی) پایان می یابند.

مفهوم S. از l. فارادی در مطالعه مغناطیس معرفی شد ، و سپس در کارهای J. K. Maxwell در مورد الکترومغناطیس بیشتر توسعه یافت. طبق ایده های فارادی و ماکسول ، در فضای نفوذ شده توسط S. l. برقی و بزرگ زمینه ها ، مکانیکی وجود دارد. تنش های مربوط به تنش در امتداد S. l. و فشار بر آنها از نظر ریاضی ، این مفهوم در بیان می شود تنش ماکسول تنش ال - مگن. زمینه های.

همراه با استفاده از مفهوم S. l. اغلب آنها فقط در مورد خطوط میدان صحبت می کنند: قدرت الکتریکی. زمینه های E، اندازه القایی زمینه های که در و غیره ، بدون ساخت ویژه تأكيد بر رابطه اين صفرها با نيروها.

میدان نیروها ناحیه ای از فضا است که در هر نقطه از آن نیرویی به ذره ای که در آن قرار گرفته است وارد می شود که به طور منظم از نقطه ای به نقطه دیگر تغییر می کند ، مثلاً میدان جاذبه زمین یا میدان نیروهای مقاومت در جریان سیال (گاز). اگر نیرو در هر نقطه از میدان نیرو به زمان بستگی نداشته باشد ، چنین فیلدی نامیده می شود ثابت... واضح است که یک میدان نیرویی ثابت در یک قاب مرجع ممکن است در یک قاب دیگر غیر ثابت باشد. در یک میدان نیروی ثابت ، نیرو فقط به موقعیت ذره بستگی دارد.

کاری که توسط میدان انجام می شود وقتی ذره ای از یک نقطه حرکت می کند 1 دقیقا 2 ، به طور کلی ، به مسیر بستگی دارد. با این حال ، در میان زمینه های نیروی ثابت ، مواردی وجود دارد که در آنها این کار به مسیر بین نقاط بستگی ندارد 1 و 2 ... این دسته از رشته ها ، دارای تعدادی از خصوصیات مهم ، جایگاه ویژه ای در مکانیک دارد. ما به مطالعه این خواص ادامه خواهیم داد.

اجازه دهید آنچه را که گفته شد با استفاده از مثال یک نیروی ردیابی توضیح دهیم. در شکل 5.4 بدن را به تصویر می کشد آ ب پ ت،در نقطه در باره کدام نیرو اعمال می شود , همیشه با بدن ارتباط دارد.

بدن را از موقعیت خود خارج کنید من به موقعیت دومدو راه. اجازه دهید ابتدا موضوع را انتخاب کنیم در باره(شکل 5.4 الف)) و بدن را با زاویه π / 2 خلاف جهت چرخش جهت عقربه های ساعت به دور قطب بچرخانید. بدن قرار می گیرد آ ب پ ت".اکنون اجازه دهید بدن را از مقدار جابجایی ترجمه در جهت عمودی مطلع کنیم اوه ".بدن قرار می گیرد II (A "B" C "D").برای جابجایی کامل بدن از وضعیت ، کار را مجبور کنید من به موقعیت دومصفر است بردار جابجایی قطب با قطعه خط نشان داده شده است اوه ".

در روش دوم ، ما نقطه را انتخاب می کنیم کشکل. 5.4b) و بدن را با زاویه π / 2 خلاف جهت عقربه ساعت به دور قطب بچرخانید. بدن قرار می گیرد آ ب پ ت"(شکل 5.4 ب). اکنون بدن را با بردار تغییر مکان قطب به صورت عمودی به سمت بالا حرکت دهید KK "،پس از آن با مقدار حرکت بدن را به سمت چپ حرکت می دهیم K "K"در نتیجه ، بدن موقعیت می گیرد دوم ،همان موقعیت ، شکل 5.4 است و) از شکل 5.4. با این حال ، بردار جابجایی قطب متفاوت از روش اول خواهد بود ، و کار نیرو در روش دوم حرکت بدن از موقعیت من به موقعیت دومبرابر است A \u003d F K "K" ،یعنی غیر صفر است.

تعریف: یک میدان نیروی ثابت ، که در آن کار نیروی میدان در مسیر بین هر دو نقطه به شکل مسیر بستگی ندارد ، بلکه فقط به موقعیت این نقاط بستگی دارد ، پتانسیل گفته می شود ، و خود نیروها - محافظه کار.

پتانسیلچنین نیروهایی ( انرژی پتانسیل) کاری است که توسط آنها در مورد جابجایی های بدن از موقعیت نهایی به موقعیت اولیه انجام می شود و موقعیت اولیه را می توان خودسرانه انتخاب کرد. این بدان معنی است که انرژی پتانسیل تا یک ثابت تعیین می شود.

اگر این شرط برآورده نشود ، میدان نیرو پتانسیل ندارد و نیروهای میدان فراخوانی می شوند غیر محافظه کار.

در سیستم های مکانیکی واقعی همیشه نیروهایی وجود دارند که کار آنها هنگام حرکت واقعی سیستم منفی است (به عنوان مثال نیروهای اصطکاک). به چنین نیروهایی گفته می شود اتلاف کنندهآنها نوع خاصی از نیروهای غیر محافظه کار هستند.

نیروهای محافظه کار دارای تعدادی از خصوصیات قابل توجه هستند که برای شناسایی آنها مفهوم میدان نیرو را معرفی می کنیم. به میدان نیرو فضا گفته می شود(یا بخشی از آن)، که در آن یک نیروی خاص بر روی یک ماده مادی که در هر نقطه از این میدان قرار گرفته است ، عمل می کند.

بگذارید نشان دهیم که در یک میدان بالقوه ، کار نیروهای میدان در هر مسیر بسته صفر است. در واقع ، هر مسیر بسته (شکل 5.5) می تواند خودسرانه به دو قسمت تقسیم شود ، 1a2 و 2b1... از آنجا که این زمینه بالقوه است ، بنابراین ، به شرط. از طرف دیگر ، بدیهی است که. از این رو

q.E.D.

برعکس ، اگر کار نیروهای میدان در هر مسیر بسته صفر باشد ، کار این نیروها در مسیر بین نقاط دلخواه 1 و 2 به شکل مسیر بستگی ندارد ، یعنی زمینه بالقوه است. برای اثبات ، دو راه خودسرانه را دنبال کنید 1a2 و 1b2 (نگاه کنید به شکل 5.5) بیایید از آنها راهی بسته بگیریم 1a2b1... کار در این مسیر بسته با شرایط برابر صفر است ، یعنی از اینجا. اما ، بنابراین

بنابراین ، برابری با صفر کار نیروهای میدانی در هر مسیر بسته ، شرط لازم و کافی استقلال کار از شکل مسیر است و می توان آن را از ویژگیهای متمایز هر میدان بالقوه نیرو دانست.

حوزه نیروهای مرکزی. هر میدان نیرویی ناشی از عملکرد اجسام خاصی است. اعمال نیرو بر روی یک ذره و در چنین زمینه ای به دلیل تعامل این ذره با این اجسام است. نیروهایی که فقط به فاصله بین ذرات متقابل بستگی دارند و در امتداد یک خط مستقیم که این ذرات را متصل می کند بستگی دارند ، نیروهای مرکزی نامیده می شوند. یک نمونه از موارد اخیر ، نیروی جاذبه ، کولن و الاستیک است.

نیروی مرکزی که بر روی یک ذره وارد می شود و از طرف ذرات که در، می تواند به صورت کلی ارائه شود:

جایی که f(ر) تابعی است که فقط به ماهیت تعامل داده شده بستگی دارد ر - فاصله بین ذرات ؛ - بردار واحد با تعیین جهت بردار شعاع ذره و نسبت به ذره که در (شکل 5.6)

بگذارید این را ثابت کنیم هر میدان ساکن نیروهای مرکزی به طور بالقوه است.

برای این کار ، بگذارید ابتدا کار نیروهای مرکزی را در مواردی که میدان نیرو در اثر وجود یک ذره ثابت ایجاد می شود ، بررسی کنیم. که در... یک کار ابتدایی نیرو (5.8) در مورد جابجایی وجود دارد. از آنجا که برآمدگی بردار بر روی بردار ، یا بردار شعاع مربوطه است (شکل 5.6) ، بنابراین. کار این نیرو در یک مسیر دلخواه از نقطه 1 به نقطه 2

عبارت حاصل شده فقط به نوع عملکرد بستگی دارد f(ر) ، یعنی در مورد ماهیت تعامل و مقادیر r 1 و r 2 فاصله اولیه و نهایی بین ذرات و و که در... این به شکل مسیر بستگی ندارد. این بدان معنی است که میدان نیروی داده شده بالقوه است.

اجازه دهید نتیجه بدست آمده را به یک میدان نیروی ثابت ناشی از وجود مجموعه ای از ذرات ثابت که بر ذره وارد می شوند ، تعمیم دهیم. و با نیروهایی که هر یک از آنها مرکزی است. در این حالت ، کار نیروی حاصل هنگام حرکت ذره و از یک نقطه به نقطه دیگر برابر است با مجموع جبری کار نیروهای فردی. و از آنجا که کار هر یک از این نیروها به شکل مسیر بستگی ندارد ، بنابراین کار نیروی حاصل نیز به آن بستگی ندارد.

بنابراین ، در واقع ، هر میدان ثابت نیروهای مرکزی بالقوه است.

انرژی بالقوه یک ذره. این واقعیت که کار نیروهای میدان پتانسیل فقط به موقعیت های اولیه و نهایی ذره بستگی دارد ، امکان معرفی مفهوم فوق العاده مهم انرژی پتانسیل را فراهم می کند.

بیایید تصور کنیم که ما در حال حرکت یک ذره در یک میدان بالقوه نیرو از نقاط مختلف هستیم P iبه یک نقطه ثابت در باره... از آنجا که کار نیروهای میدان به شکل مسیر بستگی ندارد ، وابستگی آن فقط به موقعیت نقطه باقی می ماند R (در یک نقطه ثابت در باره) این بدان معنی است که این کار تابعی از بردار شعاع نقطه خواهد بود R... با علامت گذاری این عملکرد ، می نویسیم

این تابع را انرژی پتانسیل یک ذره در یک میدان معین می نامند.

اکنون هنگام حرکت ذره ای از یک نقطه ، کار نیروهای میدان را پیدا خواهیم کرد 1 دقیقا 2 (شکل 5.7) از آنجا که کار به مسیر بستگی ندارد ، مسیر عبوری از نقطه 0 را طی می کنیم. سپس کار را در مسیر انجام می دهیم 1 02 می تواند به عنوان نمایش داده شود

یا در نظر گرفتن (5.9)

عبارت سمت راست ، کاهش * انرژی پتانسیل است ، یعنی تفاوت در مقادیر انرژی پتانسیل ذره در نقاط اولیه و نهایی مسیر.

_________________

* تغییر از هر مقدار ایکس با افزایش یا کاهش آن مشخص می شود. با افزایش ارزش ایکس تفاوت فینال نامیده می شود ( X 2) و اولیه ( X 1) مقادیر این مقدار:

افزایش Δ ایکس = X 2 - X 1.

کاهش ارزش ایکس تفاوت اولیه آن است ( X 1) و نهایی ( X 2) ارزش های:

کاهش می یابد X 1 - X 2 \u003d -Δ ایکس,

به عنوان مثال ، کاهش مقدار ایکس برابر است با افزایشی که با علامت مخالف گرفته شده است.

افزایش و کاهش مقادیر جبری هستند: اگر X 2 > X 1، سپس افزایش مثبت است ، و کاهش منفی است ، و بالعکس.

بنابراین ، کار میدانی در راه است 1 - 2 برابر با کاهش انرژی پتانسیل ذره است.

بدیهی است که ذره واقع در نقطه 0 میدان همیشه می تواند هر مقدار از پیش انتخاب شده انرژی پتانسیل را به خود اختصاص دهد. این با این واقعیت مطابقت دارد که با اندازه گیری کار ، فقط می توان تفاوت انرژی های بالقوه را در دو نقطه از میدان تعیین کرد ، اما مقدار مطلق آن را تعیین نمی کند. با این حال ، هنگامی که مقدار ثابت شد

انرژی پتانسیل در هر نقطه ، مقادیر آن در تمام نقاط دیگر میدان به طور منحصر به فرد توسط فرمول (5.10) تعیین می شود.

فرمول (5.10) یافتن عبارت برای هر زمینه بالقوه نیرو را ممکن می کند. برای این کار کافی است که کار انجام شده توسط نیروهای میدانی در هر مسیری بین دو نقطه را محاسبه کرده و آن را به صورت کاهش در برخی از عملکردها ، یعنی انرژی پتانسیل ، نشان دهید.

این دقیقاً همان کاری است که هنگام محاسبه کار در زمینه های نیروی الاستیک و گرانشی (کولن) و همچنین در یک میدان جاذبه همگن انجام شده است [نگاه کنید به. فرمولها (5.3) - (5.5)]. بلافاصله از این فرمولها مشخص می شود که انرژی پتانسیل یک ذره در این میدانهای نیرویی به شکل زیر است:

1) در زمینه نیروی الاستیک

2) در قسمت جرم نقطه ای (شارژ)

3) در یک میدان جاذبه یکنواخت

ما بار دیگر تأکید می کنیم که انرژی بالقوه تو تابعی است که تا جمع برخی از ثابت های دلخواه تعیین می شود. این شرایط اما کاملاً ناچیز است ، زیرا همه فرمول ها فقط تفاوت مقادیر را شامل می شوند تو در دو موقعیت ذره. بنابراین ، یک ثابت دلخواه ، که برای تمام نقاط این زمینه یکسان است ، افت می کند. در این رابطه معمولاً حذف می شود که در سه عبارت قبلی انجام می شود.

و یک شرایط مهم دیگر نیز وجود دارد که نباید فراموش شود. به عبارت دقیق ، انرژی پتانسیل نه باید به یک ذره نسبت داده شود بلکه به سیستم ذرات و اجسام مربوط می شود که با یکدیگر در تعامل هستند و باعث ایجاد یک میدان نیرو می شود. با یک ماهیت معین تعامل ، انرژی بالقوه برهم کنش ذره با این اجسام فقط به موقعیت ذره نسبت به این اجسام بستگی دارد.

ارتباط بین انرژی و قدرت پتانسیل... طبق (5.10) ، کار نیروی میدان پتانسیل برابر است با کاهش انرژی پتانسیل ذره ، یعنی و 12 = تو 1 - تو 2 = - (تو 2 - تو 1) برای جابجایی ابتدایی ، آخرین عبارت شکل دارد dА = - dU، یا

F l dl \u003d - dU. (5.14)

یعنی برآمدگی قدرت میدان در یک نقطه معین در جهت حرکت با علامت مخالف مشتق جزئی انرژی پتانسیل در این جهت برابر است.

، سپس با استفاده از فرمول (5.16) ما قادر به بازیابی میدان نیروها هستیم.

محل نقاطی که در آن انرژی بالقوه وجود دارد تو معنی یکسانی دارد ، سطح بالقوه را تعریف می کند. روشن است که هر مقدار تو مربوط به سطح بالقوه خودش است.

از فرمول (15/5) نتیجه می شود که برآمدگی بردار به هر جهت مماس با سطح برابری در یک نقطه معین برابر با صفر است. این بدان معنی است که بردار در یک سطح معین با سطح برابری طبیعی است. بعلاوه ، علامت منهای (5.15) به این معنی است که بردار به سمت کاهش انرژی پتانسیل هدایت می شود. این در شکل توضیح داده شده است. 5.8 مربوط به مورد دو بعدی سیستم توانمندیها در اینجا نشان داده شده است ، و U 1 < U 2 < U 3 < … .

نیروهای محافظه کار نیروهایی هستند که کار آنها به مسیر انتقال بدن یا سیستم از موقعیت اولیه به وضعیت نهایی بستگی ندارد. ویژگی مشخصه چنین نیروهایی این است که کار در یک مسیر بسته صفر است:

نیروهای محافظه کار عبارتند از: نیروی جاذبه ، نیروی جاذبه ، نیروی الاستیک و سایر نیروهای.

به نیروهای غیر محافظه کار نیروهایی گفته می شود که کار آنها به مسیر انتقال بدن یا سیستم از موقعیت اولیه به وضعیت نهایی بستگی دارد. کار این نیروها در یک مسیر بسته غیر صفر است. نیروهای غیر محافظه کار عبارتند از: نیروی اصطکاک ، نیروی کشش و سایر نیروها.

میدان نیرو به یک فضای فیزیکی گفته می شود که شرایطی را که تحت آن نیروهایی که به موقعیت این نقاط بستگی دارند یا به موقعیت نقاط و زمان بستگی دارند ، بر نقاط یک سیستم مکانیکی در این فضا راضی می کند. درست نیروی. نيروهاي آنها به زمان بستگي ندارد. به یک میدان نیروی ثابت در صورت وجود چنین تابعی که منحصراً به مختصات نقاط سیستم بستگی داشته باشد ، پتانسیل گفته می شود که از طریق آن پیش بینی نیرو در محورهای مختصات در هر نقطه از میدان به صورت زیر بیان می شود: X i \u003d ∂υ / ∂x i؛ Y i \u003d ∂υ / ∂y من ؛ Z i \u003d ∂υ / ∂z من

هر نقطه از میدان پتانسیل ، از یک طرف ، با مقدار مشخصی از بردار نیرو که بر روی بدن وارد می شود ، و از سوی دیگر ، با مقدار مشخصی از انرژی پتانسیل ، مطابقت دارد. بنابراین ، باید رابطه مشخصی بین نیرو و انرژی پتانسیل وجود داشته باشد.

برای برقراری این اتصال ، اجازه دهید کار مقدماتی انجام شده توسط نیروهای میدانی را با یک جابجایی کوچک از بدن در امتداد یک جهت خودسرانه انتخاب شده در فضا ، که ما آن را با یک حرف مشخص می کنیم محاسبه کنیم. این کار برابر است با

فرافکنی نیرو در جهت کجاست

از آنجا که در این حالت کار با هزینه ذخیره انرژی پتانسیل انجام می شود ، برابر است با از دست دادن انرژی پتانسیل در بخش محور:

از دو عبارتی که می گیریم

آخرین عبارت ، مقدار متوسط \u200b\u200bبیش از بخش را نشان می دهد. به

برای بدست آوردن مقدار در نقطه ، باید انتقال محدودیت را انجام دهید:

از آنجا که نه تنها هنگام حرکت در امتداد محور ، بلکه همچنین هنگام حرکت در مسیرهای دیگر می تواند تغییر کند ، محدودیت در این فرمول مشتق به اصطلاح جزئی را نشان می دهد توسط:

این رابطه برای هر جهت در فضا معتبر است ، به ویژه برای جهات محور مختصات دکارتی x ، y ، z:

این فرمول طرح بردار نیرو را به محورهای مختصات تعریف می کند. اگر این پیش بینی ها مشخص باشد ، بردار نیرو خود تعیین می شود:

در بردار ریاضیات ,

که در آن a یک تابع اسکالر x ، y ، z است ، که گرادیان این اسکالر نامیده می شود با علامت نشان داده می شود. از این رو نیرو برابر با شیب انرژی پتانسیل است که با علامت مخالف گرفته می شود