สภาวะของระบบอวกาศของแรงที่ตั้งอยู่โดยพลการ สภาวะสมดุลของระบบแรงเชิงพื้นที่ตามอำเภอใจ

อู๋NS= 0 และ NS NS x = NS y = NS z = 0 และ NS x = NS y = NS

สภาวะสมดุลของระบบแรงเชิงพื้นที่โดยพลการ

ระบบแรงเชิงพื้นที่ตามอำเภอใจ เช่น ระบบแรงราบ สามารถลดจุดศูนย์กลางลงได้บ้าง อู๋และแทนที่ด้วยแรงลัพธ์หนึ่งแรงและคู่กับโมเมนต์ การโต้เถียงในลักษณะที่สมดุลของระบบกำลังนี้มีความจำเป็นและเพียงพอในเวลาเดียวกัน NS= 0 และ NS o = 0 แต่เวกเตอร์จะหายไปก็ต่อเมื่อการฉายภาพทั้งหมดบนแกนพิกัดเท่ากับศูนย์ นั่นคือเมื่อ NS x = NS y = NS z = 0 และ NS x = NS y = NS z = 0 หรือเมื่อแรงกระทำเป็นไปตามเงื่อนไข

ดังนั้น เพื่อความสมดุลของดุลพินิจ ระบบอวกาศแรงมีความจำเป็นและเพียงพอ เพื่อให้ผลรวมของการฉายภาพของแรงทั้งหมดบนแกนพิกัดทั้งสามแกนแต่ละแกน และผลรวมของโมเมนต์สัมพันธ์กับแกนเหล่านี้มีค่าเท่ากับศูนย์

หลักการแก้ปัญหาความสมดุลของร่างกายภายใต้อิทธิพลของระบบแรงเชิงพื้นที่

หลักการแก้ปัญหาในส่วนนี้ยังคงเหมือนเดิมกับระบบแรงระนาบ เมื่อสร้างสมดุลของร่างกายที่จะพิจารณาแล้ว พวกเขาจะแทนที่ข้อจำกัดที่กำหนดในร่างกายด้วยปฏิกิริยาและสร้างสภาวะสมดุลสำหรับร่างกายนี้ โดยพิจารณาว่าเป็นอิสระ ค่าที่ต้องการจะถูกกำหนดจากสมการที่ได้รับ

เพื่อให้ได้ระบบสมการที่ง่ายกว่า ขอแนะนำให้ลากแกนเพื่อตัดแรงที่ไม่ทราบค่ามากขึ้นหรือตั้งฉากกับแกน (เว้นแต่จะทำให้การคำนวณเส้นโครงและโมเมนต์ของแรงอื่นๆ ซับซ้อนโดยไม่จำเป็น)

องค์ประกอบใหม่ในการกำหนดสมการคือการคำนวณโมเมนต์ของแรงรอบแกนพิกัด

ในกรณีที่ยากที่จะมองเห็นจากการวาดภาพทั่วไปว่าโมเมนต์ของแรงที่กำหนดนั้นเกี่ยวกับแกนใด ๆ ขอแนะนำให้วาดภาพการฉายภาพของร่างกายที่เป็นปัญหา (พร้อมกับแรง) บนระนาบตั้งฉาก ถึงแกนนี้

ในกรณีที่เมื่อคำนวณโมเมนต์ ความยากลำบากเกิดขึ้นในการพิจารณาการฉายภาพของแรงบนระนาบที่สอดคล้องกันหรือไหล่ของการฉายภาพนี้ ขอแนะนำให้แยกแรงออกเป็นสององค์ประกอบตั้งฉากกัน (ซึ่งหนึ่งขนานกับพิกัดบางส่วน แกน) แล้วใช้ทฤษฎีบทวาริญง

ตัวอย่างที่ 5

กรอบ AB(รูปที่ 45) รักษาสมดุลโดยบานพับ NSและคัน ดวงอาทิตย์... มีโหลดที่ขอบของเฟรม NS... กำหนดปฏิกิริยาของบานพับและแรงในแกน

มะเดื่อ 45

พิจารณาความสมดุลของเฟรมพร้อมกับน้ำหนักบรรทุก

เราสร้างรูปแบบการออกแบบ โดยแสดงเฟรมว่าเป็นวัตถุอิสระ และแสดงแรงทั้งหมดที่กระทำต่อเฟรมนั้น: ปฏิกิริยาของความสัมพันธ์และน้ำหนักของน้ำหนักบรรทุก NS... กองกำลังเหล่านี้ก่อให้เกิดระบบของกองกำลังที่ตั้งอยู่บนเครื่องบินโดยพลการ

ขอแนะนำให้วาดสมการดังกล่าวเพื่อให้แต่ละแรงไม่ทราบค่า

ในงานของเรา นี่คือประเด็น NS, ที่แนบสิ่งที่ไม่รู้จักและ; จุด กับโดยที่แนวการกระทำของกองกำลังที่ไม่รู้จักตัดกันและ จุด NS- จุดตัดของแนวการกระทำของกองกำลังและ. มาเขียนสมการเส้นโครงของแรงบนแกนกัน ที่(ต่อแกน NSมันเป็นไปไม่ได้ที่จะออกแบบเพราะ มันตั้งฉากกับเส้นตรง เช่น).

และก่อนที่จะเขียนสมการ เราจะทำข้อสังเกตที่เป็นประโยชน์อีกข้อหนึ่ง หากไดอะแกรมการออกแบบมีแรงอยู่ในตำแหน่งเพื่อให้หาบ่าได้ไม่ง่าย เมื่อกำหนดโมเมนต์ ขอแนะนำให้แยกเวกเตอร์ของแรงนี้ออกเป็นสองส่วนก่อน โดยจะสะดวกกว่า ในปัญหานี้ เราแยกแรงออกเป็นสอง: และ (รูปที่ 37) เพื่อให้โมดูลของพวกมัน

เราเขียนสมการ:

จากสมการที่สองเราพบว่า ... จากครั้งที่สาม และตั้งแต่ครั้งแรก

แล้วมันเกิดขึ้นได้อย่างไร NS<0, то стержень ดวงอาทิตย์จะถูกบีบอัด

สมการดุลยภาพสำหรับระบบแรงระนาบมีสามประเภท รูปแบบพื้นฐานประการแรกติดตามโดยตรงจากเงื่อนไขสมดุล:

;

และเขียนอย่างนี้ว่า

;
;
.

สมการดุลยภาพอีกสองประเภทยังสามารถหาได้จากสภาวะสมดุล:

;
;
,

เส้นตรงอยู่ที่ไหน ABไม่ตั้งฉากกับแกน NS;

;
;
.

คะแนน NS, NS และ คอย่านอนบนเส้นตรงเส้นเดียว

ตรงกันข้ามกับระบบแรงระนาบ สภาวะสมดุลของระบบแรงเชิงพื้นที่ตามอำเภอใจมีความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์สองแบบ:

.

หากความสัมพันธ์เหล่านี้ฉายบนระบบพิกัดสี่เหลี่ยม เราก็จะได้สมการสมดุลของระบบแรงเชิงพื้นที่:

ภารกิจที่ 1 การกำหนดปฏิกิริยาของการรองรับของโครงสร้างคอมโพสิต (ระบบของสองร่าง)

โครงสร้างประกอบด้วยแท่งหักสองอัน ABCและ CDEเชื่อมต่อที่จุด คบานพับทรงกระบอกคงที่และติดกับระนาบคงที่ xOyหรือใช้บานพับทรงกระบอกคงที่ (NSh ), หรือบานพับทรงกระบอกที่เคลื่อนย้ายได้ (PSh) และส่วนปลายแบบแข็ง (ZhZ) ระนาบกลิ้งของข้อต่อทรงกระบอกที่เคลื่อนที่ได้คือมุม  พร้อมเพลา วัว.พิกัดจุด NS,NS,ค,NS และ อี, และวิธีการยึดโครงสร้างแสดงไว้ในตาราง 1. โครงสร้างโหลดด้วยโหลดความเข้มแบบกระจายสม่ำเสมอ NS, ตั้งฉากกับส่วนของการใช้งาน, โดยคู่ของแรงกับโมเมนต์ NSและสองพลังเข้มข้น และ ... โหลดแบบกระจายสม่ำเสมอถูกนำไปใช้ในลักษณะที่ผลลัพธ์มีแนวโน้มที่จะหมุนโครงสร้างรอบจุด อู๋ทวนเข็มนาฬิกา ไซต์แอปพลิเคชัน NSและ NSเช่นเดียวกับคะแนนสมัคร และ โมดูลและทิศทางของโมดูลจะแสดงในตาราง 2. หน่วยของค่าที่ตั้งไว้: NS- กิโลนิวตันต่อเมตร (kN / m); NS- กิโลนิวตันเมตร (kNm); และ - กิโลนิวตัน (kN);  และมีหน่วยเป็นองศา และพิกัดของจุดมีหน่วยเป็นเมตร มุมและควรพล็อตจากทิศทางบวกของแกน วัวทวนเข็มนาฬิกาถ้าเป็นบวก และตามเข็มนาฬิกาถ้าเป็นลบ

กำหนดปฏิกิริยาของการเชื่อมต่อภายนอกและภายในของโครงสร้าง

คำแนะนำในการจบงาน

บนระนาบพิกัด xOyตามเงื่อนไขของตัวเลือกงาน (ตารางที่ 1) จำเป็นต้องสร้างคะแนน NS,B, C,NS,อี; วาดแท่งหัก ABC,CDE; ระบุวิธีการแนบร่างเหล่านี้เข้าหากันและมีระนาบตายตัว xOy... จากนั้นนำข้อมูลจากตาราง 2 โหลดโครงสร้างด้วยสองแรงเข้มข้น และ , ความเข้มโหลดแบบกระจายสม่ำเสมอ NSและแรงคู่กับโมเมนต์เชิงพีชคณิต NS... เนื่องจากงานตรวจสอบความสมดุลของร่างกายแบบผสม คุณจึงต้องสร้างภาพวาดอีกแบบหนึ่งโดยแยกร่างภาพออกจากกัน ABCและ CDE. ภายนอก (คะแนน NS,อี) และด้านใน (จุด กับ) การเชื่อมต่อในทั้งสองร่างควรถูกแทนที่ด้วยปฏิกิริยาที่สอดคล้องกันและโหลดที่กระจายอย่างสม่ำเสมอด้วยผลลัพธ์
(lคือความยาวของส่วนที่รับน้ำหนัก) โดยหันเข้าหาน้ำหนักบรรทุกและนำไปใช้กับตรงกลางของส่วน เนื่องจากโครงสร้างที่พิจารณาประกอบด้วยสองร่าง ดังนั้นเพื่อค้นหาปฏิกิริยาพันธะ จึงจำเป็นต้องเขียนสมการดุลยภาพหกสมการ มีสามตัวเลือกสำหรับการแก้ปัญหานี้:

ก) วาดสมการดุลยภาพสามสมการสำหรับร่างกายประกอบและสามสมการสำหรับร่างกาย ABC;

b) วาดสมการดุลยภาพสามสมการสำหรับวัตถุประสมและสามสมการสำหรับร่างกาย CDE;

c) เขียนสามสมการสมดุลสำหรับร่างกาย ABCและ CDE.

ตัวอย่าง

ที่ให้ไว้:NS (0;0,2);วี (0,3:0,2);กับ (0,3:0,3);NS (0,7:0,4);อี (0,7:0);
กิโลนิวตัน / ม.
กิโลนิวตัน, β = - 45˚และ
กิโลนิวตัน, γ = - 60˚,
น.ม.

กำหนดปฏิกิริยาของการเชื่อมต่อภายนอกและภายในของโครงสร้าง

สารละลาย.มาทำลายโครงสร้างกันเถอะ (รูปที่ 7 NS) ณ จุดนั้น กับเป็นส่วนประกอบ ABCและ CDE(รูปที่ 7, NS,วี). เปลี่ยนบานพับ NSและ NSปฏิกิริยาที่สอดคล้องกัน ส่วนประกอบที่แสดงในรูปที่ 7. ณ จุดนั้น คพรรณนาส่วนประกอบ
- แรงปฏิสัมพันธ์ระหว่างส่วนต่างๆ ของโครงสร้างและ .

ตารางที่ 1

ตัวเลือกงาน 1

NS

วิธีการติดตั้ง การก่อสร้าง

NS NS

y NS

NS NS

y NS

NS ค

y ค

NS NS

y NS

NS อี

y อี

NS. อี

ตารางที่ 2

ข้อมูลสำหรับงาน 1

	บังคับ			บังคับ			ช่วงเวลา NS
		ความหมาย		ความหมาย			ความหมาย			ความหมาย

ความเข้มของโหลดแบบกระจายสม่ำเสมอ NS แทนที่ด้วยผลลัพธ์ , กิโลนิวตัน:

เวกเตอร์ รูปแบบที่มีทิศทางบวกของแกน yมุม φ ซึ่งหาได้ง่ายจากพิกัดของจุดต่างๆ ค และ NS (ดูรูปที่ 7, NS):

ในการแก้ปัญหา เราจะใช้สมการสมดุลประเภทแรก โดยเขียนแยกกันสำหรับส่วนซ้ายและขวาของโครงสร้าง เมื่อวาดสมการของโมเมนต์เราเลือกจุด NS- สำหรับซ้ายและ อี- สำหรับด้านขวาของโครงสร้าง ซึ่งจะช่วยให้แก้สมการทั้งสองนี้ร่วมกันและกำหนดไม่ทราบค่า
และ .

สมการสมดุลของร่างกาย ABC:

ลองนึกภาพอำนาจ เป็นผลรวมขององค์ประกอบ:
, ที่ไหน. แล้วสมการสมดุลของร่างกาย CDEสามารถเขียนเป็น

.

มาแก้สมการของช่วงเวลาด้วยกันโดยก่อนหน้านี้ได้แทนที่ค่าที่รู้จักลงในพวกมัน

พิจารณาว่าตามสัจพจน์ของความเท่าเทียมกันของแรงกระทำและปฏิกิริยา
จากระบบผลลัพธ์ที่เราพบ kN:

จากนั้นจากสมการสมดุลของร่างกายที่เหลือ ABC และ CDEง่ายต่อการตรวจสอบปฏิกิริยาของความสัมพันธ์ภายในและภายนอก kN:

ผลการคำนวณแสดงในตาราง:

พิจารณาวิธีการแก้ปัญหาสมดุลด้วยระบบแรงเชิงพื้นที่ตามอำเภอใจ ยกตัวอย่างการแก้ปัญหาสมดุลของแผ่นพื้นที่รองรับโดยแท่งในปริภูมิสามมิติ แสดงให้เห็นว่าเนื่องจากการเลือกแกนเมื่อวาดสมการสมดุลจึงเป็นไปได้ที่จะทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้น

เนื้อหา

ขั้นตอนการแก้ปัญหาสมดุลด้วยระบบแรงเชิงพื้นที่ตามอำเภอใจ

ในการแก้ปัญหาสมดุลของวัตถุแข็งเกร็งด้วยระบบแรงเชิงพื้นที่ตามอำเภอใจ จำเป็นต้องเลือกระบบพิกัดสี่เหลี่ยมและประกอบสมการสมดุล

สมการดุลยภาพสำหรับระบบพลการของแรงที่กระจายในปริภูมิสามมิติคือสมการเวกเตอร์สองสมการ:
ผลรวมเวกเตอร์ของแรงที่กระทำต่อร่างกายเป็นศูนย์
(1) ;
ผลรวมเวกเตอร์ของโมเมนต์ของแรง สัมพันธ์กับจุดกำเนิด เท่ากับศูนย์
(2) .

ให้ Oxyz เป็นระบบพิกัดที่เราเลือก โดยการออกแบบสมการ (1) และ (2) บนแกนของระบบนี้ เราได้สมการหกสมการ:
ผลรวมของเส้นโครงของแรงบนแกน xyz เป็นศูนย์
(1.x) ;
(1.y) ;
(1.z) ;
ผลรวมของโมเมนต์ของแรงรอบแกนพิกัดเท่ากับศูนย์
(2.x) ;
(2.y) ;
(2.z) .
ในที่นี้เราพิจารณาว่าแรง n กระทำต่อร่างกาย รวมทั้งแรงปฏิกิริยาของตัวรองรับ

ปล่อยให้แรงตามอำเภอใจพร้อมส่วนประกอบถูกนำไปใช้กับร่างกาย ณ จุดหนึ่ง จากนั้นโมเมนต์ของแรงนี้สัมพันธ์กับแกนพิกัดจะถูกกำหนดโดยสูตร:
(3.x) ;
(3.y) ;
(3.z) .

ดังนั้น ลำดับของการแก้ปัญหาสมดุลด้วยระบบแรงเชิงพื้นที่ตามอำเภอใจจึงเป็นดังนี้

1. เราทิ้งตัวรองรับและแทนที่ด้วยแรงปฏิกิริยา หากส่วนรองรับเป็นแกนหรือเกลียว แรงปฏิกิริยาจะพุ่งไปตามแกนหรือเกลียว
2. เราเลือกระบบพิกัดสี่เหลี่ยม Oxyz
3. เราพบเส้นโครงของเวกเตอร์แรงบนแกนพิกัด และจุดที่ใช้ จุดที่ใช้แรงสามารถเคลื่อนไปตามเส้นตรงที่ลากผ่านเวกเตอร์แรง จากการเคลื่อนไหวดังกล่าว ค่าของช่วงเวลาจะไม่เปลี่ยนแปลง ดังนั้นเราจึงเลือกจุดบังคับที่สะดวกที่สุดในการคำนวณ
4. เราเขียนสมการสมดุลสามสมการสำหรับแรง (1.x, y, z)
5. สำหรับแต่ละแรง ตามสูตร (3.x, y, z) เราจะพบการฉายภาพโมเมนต์ของแรงบนแกนพิกัด
6. เราเขียนสมการสมดุลสามสมการสำหรับโมเมนต์ของแรง (2.x, y, z)
7. ถ้าจำนวนของตัวแปรมากกว่าจำนวนสมการ ปัญหานั้นก็ไม่แน่นอนแบบสถิต ไม่สามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีการคงที่ จำเป็นต้องใช้วิธีการความแข็งแรงของวัสดุ
8. เราแก้สมการผลลัพธ์

ลดความซับซ้อนของการคำนวณ

ในบางกรณี เป็นไปได้ที่จะทำให้การคำนวณง่ายขึ้นถ้าใช้เงื่อนไขสมดุลที่เทียบเท่ากันแทน Eq. (2)
ผลรวมของโมเมนต์ของแรงรอบแกนที่กำหนด AA ′ เท่ากับศูนย์:
(4) .

นั่นคือ คุณสามารถเลือกแกนเพิ่มเติมหลายแกนที่ไม่ตรงกับแกนพิกัดได้ และสำหรับแกนเหล่านี้ ให้เขียนสมการ (4)

ตัวอย่างการแก้ปัญหาสมดุลของระบบแรงเชิงพื้นที่ตามอำเภอใจ

ความสมดุลของแผ่นพื้นในพื้นที่สามมิติรองรับระบบแท่ง

ค้นหาปฏิกิริยาของแท่งที่รองรับแผ่นพื้นแนวนอนบาง ๆ ที่เป็นเนื้อเดียวกันในพื้นที่สามมิติ ระบบการยึดของแท่งแสดงอยู่ในรูป จานได้รับผลกระทบจาก: แรงโน้มถ่วง G; และแรง P กระทำที่จุด A ตามแนว AB

ที่ให้ไว้:
ก = 28 กิโลนิวตัน; พี = 35 กิโลนิวตัน; ก = 7.5 m; ข = 6.0 ม.; ค = 3.5 ม..

ทางออกของปัญหา

อันดับแรก เราจะแก้ปัญหานี้ด้วยวิธีมาตรฐานที่ใช้บังคับกับระบบกำลังเชิงพื้นที่ตามอำเภอใจ จากนั้นเราได้คำตอบที่ง่ายกว่า โดยอิงตามเรขาคณิตเฉพาะของระบบ โดยเลือกแกนเมื่อวาดสมการสมดุล

แก้ปัญหาด้วยวิธีมาตรฐาน

แม้ว่าวิธีนี้จะนำเราไปสู่การคำนวณที่ค่อนข้างยุ่งยาก แต่ก็ใช้ได้กับระบบแรงเชิงพื้นที่ตามอำเภอใจ และสามารถใช้ในการคำนวณด้วยคอมพิวเตอร์ได้

ทิ้งการเชื่อมต่อและแทนที่ด้วยแรงปฏิกิริยา ลิงค์ที่นี่คือแท่ง 1-6 แทนที่จะใช้แรงเหล่านี้ เราแนะนำกองกำลังที่พุ่งไปตามแท่งไม้ เราเลือกทิศทางของกองกำลังโดยสุ่ม หากเราไม่เดาทิศทางของแรงใดๆ เราก็จะได้ค่าลบของมัน

เราวาดระบบพิกัด Oxyz ที่มีจุดกำเนิดที่จุด O

เราพบการฉายภาพของแรงบนแกนพิกัด

เพื่อความแข็งแกร่งที่เรามี:
.
ที่นี่ α 1 คือมุมระหว่าง LQ และ BQ จากสามเหลี่ยมมุมฉาก LQB:
NS;
;
.

แรงและขนานกับแกน z ส่วนประกอบ:
;
;
.

เพื่อความแข็งแกร่งเราพบ:
.
ที่นี่ α 3 คือมุมระหว่าง QT และ DT จากสามเหลี่ยมมุมฉาก QTD:
NS;
;
.

เพื่อความแข็งแรง:
.
ที่นี่ α 5 - มุมระหว่าง LO และ LA จากสามเหลี่ยมมุมฉาก LOA:
NS;
;
.

แรงพุ่งไปตามเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน มีเส้นโครงต่อไปนี้บนแกนพิกัด:
.
นี่คือทิศทางโคไซน์ของ AQ ในแนวทแยง:
NS;
;
;
.

เราเลือกจุดที่ใช้กำลัง ลองใช้ประโยชน์จากความจริงที่ว่าพวกมันสามารถเคลื่อนที่ไปตามเส้นที่ลากผ่านเวกเตอร์แรง ดังนั้น เป็นจุดของการใช้แรง คุณสามารถเลือกจุดใดก็ได้บนเส้น TD ใช้จุด T เนื่องจากสำหรับมัน x และ z - พิกัดเท่ากับศูนย์:
.
ในทำนองเดียวกัน เราเลือกจุดที่ใช้กำลังที่เหลือ

เป็นผลให้เราได้รับค่าส่วนประกอบของแรงและจุดของการใช้งานดังต่อไปนี้:
; (จุด B);
; (จุด Q);
; (จุด T);
; (จุด O);
; (จุด A);
; (จุด A);
; (จุด A);
; (จุด K).

เราเขียนสมการสมดุลของแรง ผลรวมของเส้นโครงของแรงบนแกนพิกัดมีค่าเท่ากับศูนย์

;

;

.

เราพบการฉายภาพโมเมนต์ของแรงบนแกนพิกัด
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;

เราเขียนสมการดุลยภาพสำหรับโมเมนต์ของแรง ผลรวมของโมเมนต์แรงรอบแกนพิกัดมีค่าเท่ากับศูนย์


;


;


;

ดังนั้นเราจึงได้ระบบสมการต่อไปนี้:
(W1) ;
(ป2) ;
(P3) ;
(W4) ;
(P5) ;
(ป6) .

ระบบนี้มีหกสมการและหกไม่ทราบค่า นอกจากนี้ยังสามารถแทนที่ค่าตัวเลขได้ที่นี่ และสามารถหาคำตอบของระบบได้โดยใช้โปรแกรมคณิตศาสตร์สำหรับคำนวณระบบสมการเชิงเส้น

แต่สำหรับงานนี้ คุณสามารถแก้ปัญหาได้โดยไม่ต้องใช้เทคโนโลยีคอมพิวเตอร์

วิธีที่มีประสิทธิภาพในการแก้ปัญหา

เราจะใช้ประโยชน์จากข้อเท็จจริงที่ว่าสมการดุลยภาพสามารถประกอบขึ้นได้มากกว่าหนึ่งวิธี คุณสามารถเลือกระบบพิกัดและแกนที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณโมเมนต์ได้อย่างอิสระ ในบางครั้ง เมื่อเลือกแกน คุณจะได้สมการที่แก้ได้ง่ายกว่า

เรามาใช้ประโยชน์จากข้อเท็จจริงที่ว่า อย่างสมดุล ผลรวมของโมเมนต์ของแรงรอบแกนใด ๆ เป็นศูนย์... ลองใช้แกน AD ผลรวมของโมเมนต์ของแรงรอบแกนนี้เท่ากับศูนย์:
(W7) .
นอกจากนี้ ให้สังเกตว่ากองกำลังทั้งหมดยกเว้นข้ามแกนนี้ ดังนั้นช่วงเวลาของพวกเขาจึงเท่ากับศูนย์ แรงเดียวเท่านั้นที่ไม่ผ่านแกน AD มันไม่ขนานกับแกนนี้ด้วย ดังนั้น เพื่อให้สมการ (A7) คงไว้ แรง N 1 ควรเป็นศูนย์:
NS 1 = 0 .

ทีนี้ลองหาแกน AQ กัน ผลรวมของโมเมนต์ของแรงที่สัมพันธ์กับมันเท่ากับศูนย์:
(P8) .
แกนนี้ถูกกองกำลังทั้งหมดตัดขวาง ยกเว้น เนื่องจากแรงไม่ขนานกับแกนนี้ ดังนั้น เพื่อการบรรลุสมการ (A8) จึงจำเป็นที่
NS 3 = 0 .

ทีนี้ลองหาแกน AB กัน ผลรวมของโมเมนต์ของแรงที่สัมพันธ์กับมันเท่ากับศูนย์:
(P9) .
แกนนี้ข้ามด้วยแรงทั้งหมด ยกเว้น และ แต่นู๋ 3 = 0 ... นั่นเป็นเหตุผลที่
.
โมเมนต์จากแรงที่สัมพันธ์กับแกนจะเท่ากับผลคูณของแขนของแรงตามค่าของการฉายภาพของแรงบนระนาบที่ตั้งฉากกับแกน ไหล่จะเท่ากับระยะห่างขั้นต่ำระหว่างแกนกับเส้นตรงที่ลากผ่านเวกเตอร์แรง หากการบิดเป็นไปในทิศทางบวก แสดงว่าแรงบิดเป็นบวก ถ้าลบก็ลบ แล้ว
.
จากที่นี่
กิโลนิวตัน.

แรงที่เหลือหาได้จากสมการ (A1), (A2) และ (A3) จากสมการ (A2):
NS 6 = 0 .
จากสมการ (A1) และ (A3):
กิโลนิวตัน;
กิโลนิวตัน

ดังนั้น ในการแก้ปัญหาด้วยวิธีที่สอง เราใช้สมการสมดุลต่อไปนี้:
;
;
;
;
;
.
ด้วยเหตุนี้ เราจึงหลีกเลี่ยงการคำนวณที่ยุ่งยากที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณโมเมนต์ของแรงที่สัมพันธ์กับแกนพิกัด และได้รับระบบสมการเชิงเส้นตรงที่มีเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ในแนวทแยงซึ่งได้รับการแก้ไขทันที

NS 1 = 0 ; NS 2 = 14.0 kN; NS 3 = 0 ; NS 4 = -2.3 kN; NS 5 = 38.6 kN; NS 6 = 0 ;

เครื่องหมายลบแสดงว่าแรง N 4 ไปในทิศทางตรงกันข้ามกับที่แสดงในรูป

กรณีของสมดุลของแรงดังกล่าวสอดคล้องกับเงื่อนไขสมดุลสองประการ

M = โม= 0, NS * = 0.

เน้นโมดูล โม และเวกเตอร์หลัก NS * ของระบบที่อยู่ระหว่างการพิจารณากำหนดโดยสูตร

Mo = (M x 2 + M y 2 + + M z 2) 1/2; R * = (X 2 + Y 2 + Z 2) 1/2.

พวกเขาทำแผลเป็นศูนย์ภายใต้เงื่อนไขต่อไปนี้เท่านั้น:

M x = 0, M y = 0, M z = 0, X = 0, Y = 0, Z = 0,

ซึ่งสอดคล้องกับสมการพื้นฐานหกประการของความสมดุลของแรงซึ่งอยู่ในอวกาศโดยพลการ

=0; =0;

=0; (5-17)

=0 ; =0.

สมการระบบทั้งสาม (5-17) ทางด้านซ้ายเรียกว่า สมการของโมเมนต์ของแรงที่สัมพันธ์กับแกนพิกัด และสามทางขวา - สมการของการฉายภาพของแรงบนแกน

การใช้สูตรเหล่านี้ สมการของโมเมนต์สามารถแสดงได้ในรูปแบบ

å (y ผม Z ผม - z ผม Y ผม) = 0; å (z i X i - x i Z i) = 0; е (x i Y i - y i X i) = 0.(5-18)

ที่ไหน x ฉัน y ฉัน z ฉัน- พิกัดของจุดบังคับ P; Y ฉัน, Z ฉัน, X ฉัน -การฉายภาพของแรงนี้บนแกนพิกัดซึ่งสามารถมีทิศทางใดก็ได้

มีระบบอื่น ๆ ของสมการสมดุลของแรงหกสมการซึ่งอยู่ในอวกาศโดยพลการ

นำระบบแรงมาสู่แรงลัพธ์

ถ้าเวกเตอร์หลักของระบบแรง NS *ไม่ใช่ศูนย์แต่เป็นประเด็นหลัก โมเท่ากับศูนย์หรือตั้งฉากกับเวกเตอร์หลักจากนั้นระบบแรงที่กำหนดจะลดลงตามแรงผลลัพธ์

เป็นไปได้ 2 กรณี

กรณีที่ 1

ปล่อยให้เป็น ร * ¹ 0; โม = 0 ... ในกรณีนี้ แรงนำไปสู่ผลลัพธ์ แนวการกระทำที่ผ่านจุดศูนย์กลางของการอ้างอิง O และแรง NS * แทนที่ระบบแรงที่กำหนดเช่น เป็นผลลัพธ์ของมัน

กรณีที่ 2

ร * ¹0; โม¹ 0 และ โม ⊥ NS *. (รูปที่ 5.15).

หลังจากนำระบบแรงมาสู่ศูนย์กลาง O จะได้แรง NS * ใช้ในจุดศูนย์กลางนี้และเท่ากับเวกเตอร์หลักของแรงและแรงคู่หนึ่งซึ่งช่วงเวลานั้น NS เท่ากับจุดหลัก โม ของแรงทั้งหมดที่สัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางอ้างอิง และ โม ⊥ NS *.

มาเลือกพลังของคู่นี้กันเถอะ NS ' และ NS เท่ากับโมดูลัสของเวกเตอร์หลัก NS * , เช่น. R = R '= R *. แล้วไหล่ของคู่นี้ควรเอามาเท่ากับ OK = = เอ็ม โอ/NS * ให้เราลากผ่านจุด O ระนาบ I ซึ่งตั้งฉากกับโมเมนต์ของแรงคู่ NS ... กองกำลังคู่ NS ' , NS ควรจะอยู่ในเครื่องบินลำนี้ ให้เราจัดคู่นี้ให้เป็นหนึ่งในแรงของคู่ NS ' ถูกนำไปใช้ที่จุด O และตรงข้ามกับแรง NS * ... ขอให้เรายกขึ้นในระนาบ I ที่จุด O ซึ่งตั้งฉากกับแนวการกระทำของแรง NS * และที่จุด K ที่ระยะทาง OK = เอ็ม โอ/NS * จากจุด O เราใช้แรงที่สองของคู่ NS .

เราวางส่วนตกลงในทิศทางดังกล่าวจากจุด O เพื่อที่เมื่อมองไปทางเวกเตอร์ของช่วงเวลา M เราจะเห็นคู่ที่พยายามหมุนระนาบทวนเข็มนาฬิกา แล้วบังคับ NS * และ NS ' ใช้ที่จุด O จะสมดุลและแรง NSคู่ที่ใช้ที่จุด K จะแทนที่ระบบแรงที่กำหนดเช่น จะเป็นผลลัพธ์ของมัน เส้นตรงที่ประจวบกับแนวกระทำของแรงนี้คือ แนวกระทำของแรงลัพธ์ ข้าว. 5.15 แสดงความแตกต่างระหว่างแรงลัพธ์ NS และด้วยกำลัง NS * ได้จากการนำกำลังมาสู่ศูนย์กลาง O

ผลลัพธ์ NS ระบบแรงที่ใช้ ณ จุด K ซึ่งมีแนวปฏิบัติที่แน่นอน เทียบเท่ากับระบบแรงที่กำหนด กล่าวคือ เข้ามาแทนที่ระบบนี้

ความแข็งแกร่ง NS * ที่จุด O แทนที่ระบบแรงที่กำหนดโดยใช้ร่วมกับแรงคู่กับโมเมนต์ M = โม .

ความแข็งแกร่ง NS * สามารถใช้ได้ทุกจุดในร่างกายที่แรงลดลง เฉพาะโมดูลัสและทิศทางของโมเมนต์หลักเท่านั้นที่ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของจุด โม .

ทฤษฎีบทของวาริกนอน โมเมนต์ของผลลัพธ์ที่สัมพันธ์กับจุดใดๆ เท่ากับผลรวมเรขาคณิตของโมเมนต์ของแรงส่วนประกอบที่สัมพันธ์กับจุดนี้ และโมเมนต์ของแรงผลลัพธ์ที่สัมพันธ์กับแกนใดๆ จะเท่ากับผลรวมเชิงพีชคณิตของโมเมนต์ขององค์ประกอบ แรงที่สัมพันธ์กับแกนนี้

ทฤษฎีบท. สำหรับความสมดุลของระบบอวกาศของแรง มันจำเป็นและเพียงพอที่เวกเตอร์หลักและโมเมนต์หลักของระบบนี้มีค่าเท่ากับศูนย์ ความเพียงพอ: เมื่อ F o = 0 ระบบกำลังบรรจบกันที่จุดศูนย์กลางของการรีดักชัน O มีค่าเท่ากับศูนย์ และเมื่อ Mo = 0 ระบบของแรงคู่มีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้นระบบแรงดั้งเดิมจึงมีค่าเท่ากับศูนย์ ความต้องการ:ให้ระบบแรงที่กำหนดมีค่าเท่ากับศูนย์ เมื่อนำระบบออกเป็นสองแรง เราสังเกตว่าระบบของแรง Q และ P (รูปที่ 4.4) ต้องมีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้น แรงทั้งสองนี้จึงต้องมีแนวปฏิบัติร่วมกันและต้องบรรลุความเท่าเทียมกัน Q = –Р . แต่สิ่งนี้อาจเกิดขึ้นได้หากแนวการกระทำของแรง P ผ่านจุด O นั่นคือถ้า h = 0 ซึ่งหมายความว่าช่วงเวลาหลักเป็นศูนย์ (M o = 0) เพราะ Q + P = 0, a Q = F o + P " จากนั้น F o + P" + P = 0 และด้วยเหตุนี้ F o = 0 สภาวะที่จำเป็นและเพียงพอจะเท่ากับระบบเชิงพื้นที่ของแรงที่มีอยู่ รูปแบบ: F o = 0 , M o = 0 (4.15),

หรือ ในการฉายภาพบนแกนพิกัด Fox = åF kx = F 1x + F 2x +… + F nx = 0; F Oy = åF ky = F 1y + F 2y + ... + F ny = 0; F oz = åF kz = F 1z + F 2z +… + F nz = 0 (4.16) M Ox = åM Ox (F k) = M Ox (F 1) + M ox (F 2) + ... + M Ox (F n) = 0, M Oy = åM Oy (F k) = M oy ( F 1) + M oy (F 2) + ... + M oy (F n) = 0, M oz = åM O z (F k) = MO z (F 1) + M oz (F 2) + . . . + M oz (F n) = 0. (4.17)

ที่. เมื่อแก้ปัญหามี 6 ระดับคุณจะพบ 6 ตัวที่ไม่รู้จัก หมายเหตุ: ไม่สามารถลดแรงคู่หนึ่งให้เป็นผลลัพธ์ได้กรณีพิเศษ: 1) สมดุลของระบบอวกาศของแรงคู่ขนาน ให้แกน Z ขนานกับเส้นแรงกระทำ (รูปที่ 4.6) จากนั้นเส้นโครงของแรงบน x และ y จะเท่ากับ 0 (F kx = 0 และ F ky = 0) และเหลือเพียง F oz สำหรับช่วงเวลานั้น เหลือเพียง M ox และ M oy และ M oz ไม่อยู่ 2) สมดุลของระบบระนาบของแรง ยังคงมี ur-I F ox, F oy และโมเมนต์ M oz (รูปที่ 4.7) 3) สมดุลของระบบระนาบของแรงคู่ขนาน (รูปที่ 4.8) เหลือเพียง 2 ur-I: F oy และ M oz เมื่อวาดสมดุล ur-th คุณสามารถเลือกจุดใดก็ได้สำหรับจุดศูนย์กลางของผี