ความหมายทางทฤษฎีเซตของจำนวนธรรมชาติ ศูนย์และความสัมพันธ์ "มีค่าน้อยกว่า ความเป็นระเบียบของเซตของทฤษฎีบทจำนวนธรรมชาติของจำนวนเต็มที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุด

จำนวนธรรมชาติคือจำนวนที่ใช้เมื่อนับรายการ มันเกิดขึ้นจากความต้องการในทางปฏิบัติของมนุษย์ การพัฒนาแนวคิดของจำนวนธรรมชาติสามารถแบ่งออกเป็นหลายขั้นตอน: 1. คนโบราณเพื่อเปรียบเทียบชุดข้อความโต้ตอบที่จัดตั้งขึ้น: ตัวอย่างเช่นเช่นเดียวกับนิ้วบนมือ ข้อเสียคือต้องมองเห็นชุดเปรียบเทียบพร้อมกัน 2. หลายคน - ตัวกลางเช่นหินเปลือกหอยไม้ แนวคิดเรื่องจำนวนยังไม่เกิดขึ้น และตัวเลขก็ผูกติดอยู่กับวิชาเฉพาะ 3. การปรากฏตัวของตัวเลข (การกำหนดตัวเลขในรูปแบบของตัวเลข) ที่มาของเลขคณิต เลขคณิตเป็นวิทยาศาสตร์ที่มีต้นกำเนิดในประเทศแถบตะวันออกโบราณ - จีน, อินเดีย, อียิปต์, การพัฒนาต่อไปในกรีซ คำว่า "จำนวนธรรมชาติ" ถูกใช้ครั้งแรกโดยนักวิทยาศาสตร์ชาวโรมันชื่อ Boethius บัญชีจำเป็นต้องกำหนดจำนวนชุด เราแบ่งเซตเชิงปริมาณทั้งหมดออกเป็นคลาสสมมูล เช่น ออกเป็นคลาสสมมูลหนึ่งคลาส จะรวมถึงจุดยอดของสามเหลี่ยมหลายด้าน ด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัส ตัวอักษรจำนวนมากในคำว่าสันติภาพ หากเราดำเนินการตามขั้นตอนนี้ต่อไป ก็จะเป็นเพราะว่าในความสัมพันธ์กับความเท่าเทียมกัน ทุกสิ่งมีอำนาจเท่าเทียมกัน เซตจำกัดจะแบ่งตามคลาส ที่. ความหมายพหูพจน์ทางทฤษฎีของจำนวนธรรมชาติเชิงปริมาณเป็นคุณสมบัติทั่วไปของคลาสของเซตที่มีพลังเท่าเทียมกันจำกัด แต่ละชั้นมีตัวเลขเชิงปริมาณของตัวเอง ศูนย์ถูกตั้งค่าตามชุดว่าง

ตัวเลข A และ B จะเท่ากัน หากกำหนดโดยเซตที่ทรงพลังเท่ากัน

วิธีนี้ใช้ในโรงเรียนประถมศึกษา

วิธีการทำงานที่เปิดเผยความหมายเฉพาะของการดำเนินการเลขคณิต

ปัญหาเลขคณิตในวิชาคณิตศาสตร์ครอบครองสถานที่สำคัญ เกือบครึ่งหนึ่งของบทเรียนคณิตศาสตร์ทุ่มเทให้กับการแก้ปัญหา นี่เป็นเพราะบทบาททางการศึกษาและการศึกษาที่ยอดเยี่ยมของพวกเขาในการสอนเด็ก การแก้ปัญหาเลขคณิตช่วยในการเปิดเผยความหมายหลักของการดำเนินการเลขคณิต รวบรวม เชื่อมโยงเข้ากับสถานการณ์ชีวิตบางอย่าง งานมีส่วนช่วยในการดูดซึมแนวคิดทางคณิตศาสตร์ ความสัมพันธ์ รูปแบบ เมื่อแก้ปัญหาเด็ก ๆ จะพัฒนาความสนใจโดยสมัครใจการสังเกตการคิดเชิงตรรกะการพูดความเฉลียวฉลาด การแก้ปัญหามีส่วนช่วยในการพัฒนากระบวนการของกิจกรรมการเรียนรู้เช่นการวิเคราะห์การสังเคราะห์การเปรียบเทียบการวางนัยทั่วไป

ในกระบวนการแก้ปัญหาเลขคณิต นักเรียนเรียนรู้ที่จะวางแผนและควบคุมกิจกรรม เทคนิคหลัก การควบคุมตนเอง (การตรวจสอบปัญหา การประเมินปัญหา ฯลฯ) พวกเขาจะพัฒนาความพากเพียร ตั้งใจ และพัฒนาความสนใจในการหาวิธีแก้ไข ปัญหา. บทบาทของการแก้ปัญหาในการเตรียมเด็กให้พร้อมสำหรับชีวิตการทำงานต่อไปนั้นยอดเยี่ยมมาก เมื่อแก้ปัญหาโครงเรื่อง นักเรียนเรียนรู้ที่จะแปลความสัมพันธ์ระหว่างวัตถุและปริมาณเป็น "ภาษาของคณิตศาสตร์" ในโจทย์ปัญหาเลขคณิต ใช้วัสดุที่เป็นตัวเลขเพื่อสะท้อนถึงความสำเร็จของประเทศในด้านต่างๆ ของเศรษฐกิจ วัฒนธรรม วิทยาศาสตร์ของประเทศ ฯลฯ สิ่งนี้ช่วยขยายขอบเขตอันไกลโพ้นของนักเรียน เสริมสร้างความรู้ใหม่เกี่ยวกับความเป็นจริงโดยรอบ นักเรียนเชี่ยวชาญในการแก้ปัญหาเลขคณิตด้วยความยากลำบากอย่างมาก

สาเหตุของการแก้ปัญหาที่ผิดพลาดของเด็ก ๆ อยู่ที่ลักษณะเฉพาะของความคิดเป็นหลัก ในกระบวนการเรียนรู้การแก้ปัญหา ควรหลีกเลี่ยงการฝึกสอนในการแก้ปัญหาบางประเภท ต้องสอนวิธีมีสติในการแก้ปัญหา สอนให้นำทางในสถานการณ์ชีวิตบางอย่างตามที่อธิบายไว้ในงาน สอนการเลือกอย่างมีสติ ข้อมูลงาน ทางเลือกของการกระทำอย่างมีสติ ในกระบวนการทำงานเกี่ยวกับปัญหาเลขคณิตใด ๆ ขั้นตอนต่อไปนี้สามารถแยกแยะได้:

1. ทำงานกับเนื้อหาของปัญหา

2. ค้นหาวิธีแก้ไขปัญหา

3. การแก้ปัญหา

4. ถ้อยคำของคำตอบ

5. ตรวจสอบวิธีแก้ไขปัญหา

6. งานต่อมาในการแก้ไขปัญหา

ควรให้ความสนใจอย่างมากกับเนื้อหาของปัญหา กล่าวคือ มากกว่าการทำความเข้าใจสถานการณ์ที่ระบุไว้ในงาน ทำให้เกิดความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูลกับข้อมูลที่ต้องการ ลำดับของงานการดูดซึมเนื้อหาของงานนั้น

ก) การวิเคราะห์คำหรือสำนวนที่เข้าใจยาก

b) การอ่านข้อความของปัญหาโดยครูและนักเรียน

c) บันทึกสภาพของปัญหา;

d) การทำซ้ำของงานในคำถาม

ควรสอนนักเรียนให้อ่านข้อความของปัญหาอย่างชัดแจ้ง ต้องจำไว้ว่าเด็ก ๆ จะต้องได้รับการสอนเป็นพิเศษในการอ่านเชิงแสดงออก พวกเขาไม่สามารถอ่านงานได้อย่างถูกต้องด้วยตนเอง ไม่สามารถวางความเครียดเชิงตรรกะ ฯลฯ

นอกเหนือจากการสรุปเนื้อหาของปัญหาด้วยความช่วยเหลือของวัตถุลายฉลุและภาพวาดในการปฏิบัติของครูในโรงเรียนแล้วรูปแบบต่อไปนี้ของการบันทึกเนื้อหาของปัญหาได้กลายเป็นที่แพร่หลาย:

1. รูปแบบย่อของสัญกรณ์ซึ่งข้อมูลตัวเลขและเฉพาะคำและนิพจน์ที่จำเป็นสำหรับการทำความเข้าใจความหมายเชิงตรรกะของปัญหาจะถูกเขียนออกจากข้อความของปัญหา

2. รูปแบบโครงสร้างแบบย่อของการบันทึก ซึ่งแต่ละส่วนของปัญหาจะถูกบันทึกในบรรทัดใหม่

3. แบบแผนของการบันทึก

4. รูปแบบกราฟิกของบันทึก

เนื่องจากฟังก์ชั่นการควบคุมในเด็กอ่อนแอลง การตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาจึงไม่เพียงแต่มีคุณค่าทางการศึกษาเท่านั้น แต่ยังรวมถึงคุณค่าทางการศึกษาด้วย ในเกรดต่ำกว่ามีความจำเป็น:

1. ตรวจสอบงานที่กำหนดด้วยวาจาโดยดำเนินการกับวัตถุ

2. ตรวจสอบความเป็นจริงของคำตอบ

3. ตรวจสอบการปฏิบัติตามคำตอบพร้อมเงื่อนไขและคำถามของปัญหา การตรวจสอบการแก้ปัญหาด้วยวิธีอื่นในการแก้ปัญหานั้นเป็นไปได้ตั้งแต่ชั้นประถมศึกษาปีที่ 4

เพื่อควบคุมความถูกต้องของการแก้ปัญหา มีการใช้องค์ประกอบบางอย่างของโปรแกรมการเรียนรู้ด้วย องค์ประกอบนี้มีประโยชน์มากในการที่นักเรียนได้รับการเสริมความถูกต้องทันทีหรือในทางกลับกันความผิดพลาดของการกระทำของเขา หากการตัดสินใจผิดพลาด เขาจะมองหาแนวทางใหม่ในการแก้ไข

ครูที่โรงเรียนมักไม่สามารถแน่ใจได้ว่านักเรียนทุกคนเข้าใจวิธีแก้ปัญหา ดังนั้นจึงมีประโยชน์มากในการดำเนินการเพื่อรวมแนวทางแก้ไขปัญหานี้ งานเพื่อรวมแนวทางแก้ไขปัญหาสามารถทำได้หลายวิธี

1. คำถามสำคัญเกี่ยวกับเนื้อหาของปัญหา

2. เสนอให้บอกแนวทางการแก้ปัญหาทั้งหมดด้วยเหตุผลในการเลือกการกระทำ

3. คำถามถูกโพสต์สำหรับการกระทำหรือคำถามของแต่ละบุคคล สำหรับนักเรียน ไม่ใช่จำนวนการแก้ปัญหาที่คล้ายกันที่มีความสำคัญ แต่เป็นความเข้าใจในสถานการณ์ของวิชาขึ้นอยู่กับข้อมูล เป้าหมายนี้ให้บริการโดยงานต่อมาในการแก้ปัญหาซึ่งถือได้ว่าเป็นเทคนิคสำคัญที่สร้างทักษะในการแก้ปัญหาประเภทนี้ ความเข้าใจที่ดีขึ้นเกี่ยวกับเนื้อหาของงาน ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูลกับสิ่งที่ต้องการ ได้รับการอำนวยความสะดวกโดยการแก้ปัญหาด้วยข้อมูลตัวเลขที่ไม่จำเป็นหรือขาดหายไป ไม่ได้เขียนเป็นตัวเลข แต่เป็นคำพูด การสังเกตพบว่าครูที่ดีที่สุดใช้การแก้ปัญหาโดยตัวนักเรียนเองเป็นแนวทางหนึ่งในการสอนการแก้ปัญหา

การเขียนงานช่วยให้เด็กๆ เข้าใจถึงความสำคัญที่สำคัญและในทางปฏิบัติของงานได้ดีขึ้น เข้าใจโครงสร้างของงานได้ดีขึ้น ตลอดจนแยกแยะความแตกต่างระหว่างงานประเภทต่าง ๆ เพื่อทำความเข้าใจวิธีการแก้ปัญหา การรวบรวมงานจะดำเนินการควบคู่ไปกับการแก้ปัญหางานสำเร็จรูป ประสบการณ์และการสังเกตแสดงให้เห็นว่านักเรียนสามารถเขียนปัญหาเพียงบางส่วนได้ง่ายที่สุด นักศึกษาควรได้รับการส่งเสริมให้เขียนปัญหาด้วยโครงเรื่องต่างๆ สิ่งนี้มีส่วนช่วยในการพัฒนาจินตนาการความเฉลียวฉลาดความคิดริเริ่ม มีประโยชน์มากเมื่อในการจัดทำปัญหา นักเรียนใช้สื่อที่ "ได้รับ" ระหว่างการทัศนศึกษา จากหนังสืออ้างอิง หนังสือพิมพ์ นิตยสาร ฯลฯ นักเรียนมัธยมปลายต้องได้รับการสอนวิธีกรอกและเขียนเอกสารทางธุรกิจที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณบางอย่าง เช่น เขียนหนังสือมอบอำนาจ กรอกแบบฟอร์มการโอนเงิน เป็นต้น เทคนิคข้างต้นทั้งหมดสามารถใช้กันอย่างแพร่หลายในการแก้ปัญหาทุกประเภท

ปัญหาเลขคณิตอย่างง่ายคือปัญหาที่แก้ได้ด้วยการดำเนินการเลขคณิตเดียว ปัญหาง่าย ๆ มีบทบาทพิเศษในการสอนนักเรียนคณิตศาสตร์ เป็นงานง่าย ๆ ที่ทำให้สามารถเปิดเผยความหมายหลักและสรุปการดำเนินการทางคณิตศาสตร์เพื่อสร้างแนวคิดทางคณิตศาสตร์บางอย่างได้ งานง่าย ๆ เป็นส่วนสำคัญของงานที่ซับซ้อน ดังนั้น ด้วยความสามารถในการแก้ปัญหา ครูจึงเตรียมนักเรียนให้พร้อมสำหรับการแก้ปัญหาที่ซับซ้อน

ในแต่ละปีการศึกษา นักศึกษาจะได้รับการแนะนำให้รู้จักกับปัญหาง่าย ๆ รูปแบบใหม่ ๆ การแนะนำทีละน้อยของพวกเขาอธิบายโดยระดับความยากที่แตกต่างกันของแนวคิดทางคณิตศาสตร์ สถานที่ศึกษาการดำเนินการทางคณิตศาสตร์เหล่านั้น ความหมายเฉพาะที่เปิดเผย ข้อมูลจำเพาะและเนื้อหาสมควรได้รับความสนใจจากครูไม่น้อยเมื่อเลือกงานประเภทนี้ สุดท้ายครูสอนให้สรุปเนื้อหาของปัญหาโดยเปิดเผยความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูลกับสิ่งที่ต้องการโดยใช้รูปแบบต่างๆของสัญกรณ์สั้น ๆ

ประสบการณ์ของครูที่ดีที่สุดแสดงให้เห็นว่าการเตรียมตัวสำหรับการแก้ปัญหาเลขคณิตควรเริ่มต้นด้วยการเพิ่มคุณค่าและพัฒนาประสบการณ์เชิงปฏิบัติของนักเรียนโดยปรับทิศทางให้เข้ากับความเป็นจริงโดยรอบ นักเรียนจะต้องถูกนำเข้าสู่สถานการณ์ชีวิตที่พวกเขาต้องนับ แก้ปัญหาเลขคณิต และทำการเปลี่ยนแปลง นอกจากนี้ ไม่ควรสร้างสถานการณ์เหล่านี้ขึ้นในตอนแรก ควรดึงออกมาเท่านั้น และควรให้ความสนใจกับนักเรียน ครูจัดระเบียบการสังเกตการเปลี่ยนแปลงในจำนวนขององค์ประกอบของชุดเรื่องของเนื้อหาของเรือ ฯลฯ ซึ่งมีส่วนช่วยในการพัฒนาความคิดของนักเรียนเกี่ยวกับจำนวนเพื่อทำความคุ้นเคยกับคำศัพท์เฉพาะซึ่งต่อมาจะเป็น พบในการกำหนดงานด้วยวาจา: มันกลายเป็น, ทุกสิ่งยังคงอยู่, รับ, เพิ่มขึ้น, ลดลง, และอื่น ๆ จำเป็นต้องจัดระเบียบเกมและกิจกรรมภาคปฏิบัติของนักเรียนในลักษณะที่ผู้เข้าร่วมโดยตรงในกิจกรรมนี้รวมถึงการสังเกตนักเรียนสามารถสรุปข้อสรุปในแต่ละกรณี จำนวนขององค์ประกอบของชุดได้เพิ่มขึ้นหรือลดลง และการดำเนินการและการแสดงออกทางวาจาใดที่สอดคล้องกับการเพิ่มขึ้นหรือลดลงนี้ ขั้นตอนของงานเตรียมการนี้เกิดขึ้นพร้อมกับการเริ่มต้นของงานเกี่ยวกับตัวเลขของสิบอันดับแรก และทำความคุ้นเคยกับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ ด้วยวิธีการแก้ปัญหาและการรวบรวมตัวอย่างการดำเนินการด้วยชุดวิชา

ก่อนเริ่มสอนการแก้ปัญหาเลขคณิต ครูต้องจินตนาการให้ชัดเจนว่าความรู้ ความสามารถ และทักษะใดที่นักเรียนต้องได้รับ ในการแก้ปัญหา นักเรียนต้องแก้ตัวอย่างเลขคณิต ฟังแล้วอ่านโจทย์ ทวนปัญหาด้วยคำถาม โดยใช้สัญกรณ์สั้นๆ จากหน่วยความจำ เลือกส่วนประกอบในโจทย์ แก้ปัญหา และตรวจสอบความถูกต้องของวิธีแก้ปัญหา ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 1 นักเรียนเรียนรู้ที่จะแก้ปัญหาเพื่อหาผลรวมและส่วนที่เหลือ งานเหล่านี้ถูกนำมาใช้เป็นครั้งแรกเมื่อสอนตัวเลขสิบตัวแรก เมื่อสอนการแก้ปัญหาเพื่อหาผลรวมของเงื่อนไขเดียวกัน หารเป็นส่วนเท่า ๆ กัน หรือหารด้วยเนื้อหา เราควรพึ่งพาความเข้าใจของนักเรียนเกี่ยวกับสาระสำคัญของการดำเนินการเลขคณิตของการคูณและการหาร ก่อนที่จะแก้ปัญหาเพื่อการเปรียบเทียบที่แตกต่างกัน นักเรียนต้องให้แนวคิดในการเปรียบเทียบวัตถุของชุดหนึ่ง ชุดวัตถุสองชุด ปริมาณ ตัวเลข การสร้างความสัมพันธ์ของความเท่าเทียมกันและความไม่เท่าเทียมกันระหว่างกัน ปัญหาเลขคณิตแบบผสมหรือเชิงซ้อนคือปัญหาที่แก้ได้ด้วยการดำเนินการเลขคณิตตั้งแต่สองตัวขึ้นไป การศึกษาทางจิตวิทยาเพื่อศึกษาคุณลักษณะของการแก้ปัญหาเลขคณิตแบบผสม แสดงให้เห็นว่าเด็กไม่รู้จักปัญหาง่ายๆ ที่คุ้นเคยในบริบทของปัญหาแบบผสมใหม่ งานเตรียมการสำหรับการแก้ปัญหาแบบประสมควรเป็นระบบของแบบฝึกหัด เทคนิค ตั้งใจนำนักเรียนให้เชี่ยวชาญในการแก้ปัญหาเชิงซ้อน ครูสามารถดำเนินการแก้ปัญหาแบบประสมได้เมื่อเขามั่นใจว่านักเรียนได้เข้าใจเทคนิคในการแก้ปัญหาง่าย ๆ ที่จะรวมอยู่ในปัญหาแบบผสมแล้วพวกเขาสามารถเขียนปัญหาง่าย ๆ บางประเภทได้ เมื่อแก้ปัญหาเชิงซ้อน นักเรียนต้องตั้งคำถามกับข้อมูลหรือเลือกข้อมูลให้กับคำถาม ดังนั้นในช่วงเตรียมการ กล่าวคือ ตลอดปีแรกและต้นปีที่สองของการศึกษา นักศึกษาควรได้รับมอบหมายงาน:

1. รับคำถามสำหรับเงื่อนไขสำเร็จรูป

2. ในคำถาม สร้างปัญหา โดยดึงข้อมูลตัวเลขที่ขาดหายไป

โดยการเขียนโจทย์ปัญหาแบบง่ายและแบบผสม นักเรียนจะค่อยๆ เรียนรู้ที่จะรับรู้ในโจทย์ปัญหาแบบผสม แบบฝึกหัดง่ายๆ ที่เคยมีประสบการณ์ในการแก้ปัญหามาแล้ว เป็นแบบฝึกหัดที่มีประโยชน์มากสำหรับการเขียนปัญหาที่ซับซ้อน สิ่งนี้จะช่วยให้ดูดซึมประเภทของงานง่าย ๆ ได้ดีขึ้น ความสามารถในการจดจำและแยกงานออกเป็นงานผสม และจะช่วยให้นักเรียนวิเคราะห์งานอย่างมีสติมากขึ้น ในการแก้ปัญหาเชิงซ้อน นักเรียนควรได้รับการสอนเทคนิคทั่วไปในการทำงานกับปัญหา ความสามารถในการวิเคราะห์เนื้อหาของปัญหา เน้นข้อมูลที่ทราบที่กำลังค้นหา (เช่น กำหนดสิ่งที่ต้องเรียนรู้ในปัญหา) กำหนดว่าข้อมูลใดขาดหายไปเพื่อตอบคำถามหลักในปัญหา ในทางปฏิบัติของโรงเรียนวิธีการทำงานกับการ์ดงานที่กำหนดลำดับของงานนั้นได้พิสูจน์ตัวเองแล้ว เมื่อแก้ปัญหา การออกแบบวิธีแก้ปัญหาจะถูกบันทึกด้วยคำถามหรือบันทึกและอธิบายการกระทำแต่ละอย่าง การพัฒนาวิธีการทั่วไปในการแก้ปัญหาประเภทนี้มีให้โดยการแก้ปัญหาประเภทต่าง ๆ โครงร่างการแก้ปัญหาสำเร็จรูปและปัญหาของนักเรียนเองโดยเปรียบเทียบปัญหาประเภทนี้กับปัญหาประเภทที่แก้ไขก่อนหน้านี้เป็นต้น

1. อธิบายเทคนิคการคำนวณกรณี 40 + 20, 50-30, 34 + 20, 34 + 2, 48-30, 48-3 เทคนิคการคำนวณทั้งหมดตั้งแต่หลักร้อย

1) 40+20= 4d + 2d = 6d = 60

2) 50-30 = 5d-3d = 2d = 20

3) 34+20= 3d + 4d + 2d = 5d 4d = 54

4) 34+2 = 3d + 4 หน่วย + 2 หน่วย = 3d 6 หน่วย = 36

5) 48-30 = 4d + 8unit-3d = 1d 8unit = 18

6) 48-3= 4d + 8ed-3ed = 4d 5ed = 45

เทคนิคการคำนวณทั้งหมดเป็นวิธีการทางวาจาและดำเนินการบนพื้นฐานของการบวกและการลบตัวเลข

อย่างที่คุณทราบ ชุดของตัวเลขธรรมชาติสามารถสั่งซื้อได้โดยใช้อัตราส่วน "น้อยกว่า" แต่กฎสำหรับการสร้างทฤษฎีสัจพจน์ต้องการให้ความสัมพันธ์นี้ไม่เพียงกำหนดไว้เท่านั้น แต่ยังทำบนพื้นฐานของแนวคิดที่กำหนดไว้แล้วในทฤษฎีที่กำหนดด้วย ซึ่งสามารถทำได้โดยการกำหนดอัตราส่วน "น้อย" ผ่านการบวก

คำนิยาม. จำนวน a น้อยกว่าจำนวน b (a< b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = NS.

ภายใต้เงื่อนไขเหล่านี้ยังกล่าวอีกว่าตัวเลข NSมากกว่า NSและเขียน ข> ก.

ทฤษฎีบท 12.สำหรับตัวเลขธรรมชาติใด ๆ NSและ NSมีเพียงหนึ่งในสามความสัมพันธ์: a = b, a> b, NS < NS.

เราละเว้นการพิสูจน์ของทฤษฎีบทนี้... ทฤษฎีบทนี้บอกเป็นนัยว่าถ้า

¹ ข,แล้วก็ NS< b, หรือ ก> ข,เหล่านั้น. ความสัมพันธ์ "น้อย" มีคุณสมบัติในการเชื่อมต่อ

ทฤษฎีบทที่ 13ถ้า NS< b และ NS< с. แล้ว NS< с.

การพิสูจน์. ทฤษฎีบทนี้เป็นการแสดงออกถึงคุณสมบัติของทรานซิทีฟของความสัมพันธ์ "น้อยกว่า"

เพราะ NS< b และ NS< с. ดังนั้นตามคำจำกัดความของอัตราส่วน "น้อยกว่า" จึงมีตัวเลขธรรมชาติดังกล่าว ถึงและอะไร b = a + k และ c = b + Iแต่แล้ว ค = (a + k)+ / และตามคุณสมบัติการเชื่อมโยงของการบวก เราได้รับ: c = a + (k +/) ตราบเท่าที่ k + ฉัน -จำนวนธรรมชาติ ตามนิยาม "น้อย" NS< с.

ทฤษฎีบท 14... ถ้า NS< b, ไม่จริงที่ว่า NS< а. การพิสูจน์. ทฤษฎีบทนี้เป็นการแสดงออกถึงคุณสมบัติ ความไม่สมมาตรความสัมพันธ์ "น้อย"

อันดับแรก ให้เราพิสูจน์ว่าไม่มีจำนวนธรรมชาติ NSไม่ใช่คุณ -!>! ■) ทัศนคติของเธอ NS< NS.สมมติว่าตรงกันข้ามคือ อะไร NS< а เกิดขึ้น จากนั้นตามคำจำกัดความของอัตราส่วน "น้อยกว่า" จะมีจำนวนธรรมชาติดังกล่าว กับ,อะไร NS+ กับ= NS,และสิ่งนี้ขัดแย้งกับทฤษฎีบทที่ 6

ให้เราพิสูจน์ว่าถ้า NS< NSแล้วมันก็ไม่จริงที่ NS < NS.สมมติว่าตรงกันข้ามคือ เกิดอะไรขึ้นถ้า NS< b , แล้ว NS< а ดำเนินการ แต่จากความเท่าเทียมกันเหล่านี้ โดยทฤษฎีบท 12 เรามี NS< а, ซึ่งเป็นไปไม่ได้

เนื่องจากความสัมพันธ์ "น้อยกว่า" ที่เรานิยามไว้นั้นไม่สมมาตรและสกรรมกริยา และมีคุณสมบัติของการเชื่อมต่อ จึงเป็นความสัมพันธ์ลำดับเชิงเส้นและเซตของจำนวนธรรมชาติ ชุดเรียงลำดับเชิงเส้น

คุณสมบัติที่รู้จักกันดีของเซตของจำนวนธรรมชาตินั้นได้มาจากคำจำกัดความของ "น้อย" และคุณสมบัติของมัน

ทฤษฎีบท 15.จากจำนวนธรรมชาติทั้งหมด หนึ่งคือจำนวนที่น้อยที่สุด นั่นคือ ผม< а для любого натурального числа แอ¹1.

การพิสูจน์. ปล่อยให้เป็น NS -จำนวนธรรมชาติใดๆ เป็นไปได้สองกรณี: ก = 1 และ ¹ 1. ถ้า ก = 1 แล้วมีจำนวนธรรมชาติ NS,ติดตามโดย a: a = b "= b +ผม = 1 + NS,กล่าวคือ โดยนิยามของความสัมพันธ์ "น้อย", 1< NS.ดังนั้นธรรมชาติใดๆ เท่ากับ 1 หรือมากกว่า 1 หรือหนึ่งคือจำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุด

อัตราส่วน "น้อย" สัมพันธ์กับการบวกและการคูณตัวเลขด้วยคุณสมบัติของความซ้ำซากจำเจ

ทฤษฎีบท 16.

a = b => a + c = b + c และ a c = b c;

NS< b =>a + c< b + с и ас < bс;

a> b => a + c> b + c และ ac> bc

การพิสูจน์. 1) ความถูกต้องของข้อความนี้สืบเนื่องมาจากเอกลักษณ์ของการบวกและการคูณ

2) ถ้า NS< b, แล้วมีจำนวนธรรมชาติดังกล่าว เค,อะไร NS + k = ข
แล้ว NS+ c = (a + k) + c = a + (k + c) = a + (c+ ถึง)= (a + c) + k.ความเท่าเทียมกัน NS+ c = (a + c) + kหมายความว่า a + c< b + กับ.

ก็พิสูจน์ได้เช่นเดียวกันว่า NS< b =>ace< bс.

3) หลักฐานมีความคล้ายคลึงกัน

ทฤษฎีบท 17(สนทนากับทฤษฎีบทที่ 16)

1) NS+ ค = ข + คหรือ แอค ~ บีซี-Þ ก = ข

2) a + c< Ь + с หรือ ace< BCÞ NS< Ь:

3) a + c> b+ มีหรือ ac> bcÞ ก> ข.

การพิสูจน์. ให้เราพิสูจน์ตัวอย่างเช่นจาก ace< bс ควร NS< b สมมติว่าตรงกันข้ามคือ ว่าไม่มีข้อสรุปของทฤษฎีบท งั้นก็ไปไม่ได้ ก = ขตั้งแต่นั้นมาความเท่าเทียมกัน ac = bc(ทฤษฎีบท 16); ไม่สามารถ NS> NS,ตั้งแต่นั้นมาจะ ac> bc(ทฤษฎีบท! 6) ดังนั้นตามทฤษฎีบทที่ 12 NS< b.

จากทฤษฎีบท 16 และ 17 เราสามารถอนุมานกฎที่รู้จักกันดีของการบวกแบบเทอมต่อเทอมและการคูณความไม่เท่าเทียมกันได้ เราละเว้นพวกเขา

ทฤษฎีบท 18... สำหรับตัวเลขธรรมชาติใด ๆ NSและ NS; มีจำนวนธรรมชาติ n เช่นนั้น n b> ก.

การพิสูจน์. สำหรับใคร NSมีจำนวนดังกล่าว NS, อะไร n> ก.ทำได้เท่านี้ก็เพียงพอแล้ว n = a + 1. การคูณความไม่เท่าเทียมกันระยะต่อเทอม NS> NSและ NS> 1 เราได้ nb > NS.

จากคุณสมบัติที่พิจารณาของความสัมพันธ์ "น้อย" ให้ทำตามคุณสมบัติที่สำคัญของเซตของจำนวนธรรมชาติที่เรานำเสนอโดยไม่มีการพิสูจน์

1. ไม่มีจำนวนธรรมชาติ NSไม่มีจำนวนธรรมชาติดังกล่าว NS,อะไร NS< п < а + 1. คุณสมบัตินี้เรียกว่า คุณสมบัติ
ความไม่รอบคอบชุดของจำนวนธรรมชาติและตัวเลข NSและ เป็น + 1 โทร เพื่อนบ้าน

2. เซตย่อยใด ๆ ที่ไม่ว่างของจำนวนธรรมชาติประกอบด้วย
จำนวนที่น้อยที่สุด

3. ถ้า NS- เซตย่อยที่ไม่ว่างของเซตของจำนวนธรรมชาติ
และมีจำนวนดังกล่าว NS,ว่าสำหรับตัวเลขทั้งหมด x จาก NSไม่ได้ดำเนินการ
ความเท่าเทียมกัน x< NS,แล้วในชุด NSมีจำนวนมากที่สุด

ให้เราแสดงคุณสมบัติ 2 และ 3 ด้วยตัวอย่าง ปล่อยให้เป็น NS- ชุดตัวเลขสองหลัก เพราะ NSเป็นสับเซตของจำนวนธรรมชาติ และสำหรับจำนวนทั้งหมดของเซตนี้ อสมการ x< 100, то в множестве NSคือจำนวนที่มากที่สุด 99 จำนวนที่น้อยที่สุดในชุดนี้ NS, -หมายเลข 10

ดังนั้นอัตราส่วน "น้อยกว่า" ทำให้สามารถพิจารณาคุณสมบัติจำนวนมาก (และในบางกรณีพิสูจน์ได้) ที่มีนัยสำคัญของเซตของจำนวนธรรมชาติ โดยเฉพาะจะเรียงเป็นเส้นตรง ไม่ต่อเนื่อง และมีเลข 1 น้อยที่สุด

เด็กนักเรียนที่อายุน้อยกว่าทำความคุ้นเคยกับอัตราส่วน "น้อย" ("มากกว่า") สำหรับจำนวนธรรมชาติในช่วงเริ่มต้นของการฝึกอบรม และบ่อยครั้งควบคู่ไปกับการตีความแบบเซตทฤษฎี คำจำกัดความที่เราให้ไว้ในกรอบของทฤษฎีสัจพจน์มักถูกใช้โดยปริยาย ตัวอย่างเช่น นักเรียนอาจอธิบายว่า 9> 7 เพราะ 9 คือ 7 + 2 การใช้คุณสมบัติของความซ้ำซากจำเจของการบวกและการคูณโดยนัยไม่ใช่เรื่องแปลก ตัวอย่างเช่น เด็กอธิบายว่า “6 + 2< 6 + 3, так как 2 < 3».

การออกกำลังกาย

1. เหตุใดจึงไม่สามารถสั่งชุดตัวเลขธรรมชาติโดยใช้ความสัมพันธ์ "ตามทันที" ได้

กำหนดนิยามของความสัมพันธ์ a> bและพิสูจน์ว่ามันเป็นสกรรมกริยาและไม่สมมาตร

3. พิสูจน์ว่าถ้า ก, ข, ค- ตัวเลขธรรมชาติ จากนั้น:

NS) NS< b Þ ас < bс;

NS) NS+ กับ< b + cÞ> NS< Ь.

4. ทฤษฎีบทใดเกี่ยวกับความซ้ำซากจำเจของการบวกและการคูณสามารถ
ใช้เด็กนักเรียนที่อายุน้อยกว่าทำงาน "เปรียบเทียบโดยไม่ต้องคำนวณ":

ก) 27 + 8 ... 27 + 18;

ข) 27-8 ... 27-18.

5. คุณสมบัติใดของชุดตัวเลขธรรมชาติที่เด็กนักเรียนรุ่นเยาว์ใช้โดยปริยายเมื่อทำงานต่อไปนี้:

ก) เขียนตัวเลขที่มากกว่า 65 และน้อยกว่า 75

B) ตัวเลขก่อนหน้าและหมายเลขต่อมาที่สัมพันธ์กับตัวเลข 300 คืออะไร (800,609,999)

C) ตัวเลขสามหลักที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดคืออะไร

การลบ

ในการสร้างสัจพจน์ของทฤษฎีจำนวนธรรมชาติ การลบมักจะถูกกำหนดเป็นผกผันของการบวก

คำนิยาม. การลบจำนวนธรรมชาติ a และ b เป็นการดำเนินการที่เป็นไปตามเงื่อนไข: a - b = c if and only if b + c = a

ตัวเลข เอ - บีเรียกว่าผลต่างของตัวเลข a และ NS,ตัวเลข NS- ลดลงและจำนวน NS -หักได้

ทฤษฎีบท 19.ความแตกต่างของจำนวนธรรมชาติ NS- NSมีอยู่ก็ต่อเมื่อ NS< а.

การพิสูจน์. ปล่อยให้ความแตกต่าง NS- NSมีอยู่ แล้วตามนิยามของผลต่าง จะได้จำนวนธรรมชาติ กับ,อะไร ข + ค = ก,ซึ่งหมายความว่า NS< а.

ถ้า NS< а, แล้วโดยนิยามอัตราส่วน "น้อยกว่า" จะมีจำนวนธรรมชาติ c เช่นนั้น ข + ค = ก.แล้วโดยนิยามความแตกต่าง ค = เอ - ข,เหล่านั้น. ความแตกต่าง เอ - บีมีอยู่

ทฤษฎีบท 20. ถ้าผลต่างของจำนวนธรรมชาติ NSและ NSที่มีอยู่แล้วมีเอกลักษณ์เฉพาะตัว

การพิสูจน์. สมมติว่ามีค่าความแตกต่างของตัวเลขสองค่า NSและ NS;: เอ - บี= กับ₁และ เอ - บี= กับ₂, และ ค₁ ¹ ค₂.จากนั้นตามคำจำกัดความของความแตกต่าง เรามี: a = b + c₁,และ a = b + c₂:.ดังนั้นจึงเป็นไปตามนั้น NS+ c ₁ = b + c₂:และบนพื้นฐานของทฤษฎีบท 17 เราสรุปได้ว่า c₁ = c₂ ..เรามาขัดแย้งกับสมมติฐาน ซึ่งหมายความว่าไม่ถูกต้อง แต่ทฤษฎีบทนี้เป็นความจริง

ตามคำจำกัดความของความแตกต่างของจำนวนธรรมชาติและเงื่อนไขสำหรับการมีอยู่ของมัน เป็นไปได้ที่จะปรับกฎที่รู้จักกันดีสำหรับการลบตัวเลขออกจากผลรวมและผลรวมจากตัวเลข

ทฤษฎีบท 21... ปล่อยให้เป็น NS. NSและ กับ- จำนวนเต็ม

เกิดอะไรขึ้นถ้า a> c แล้ว (a + b) - c = (a - c) + b

ข) ถ้า ข> ค. จากนั้น (a + b) - c - a + (b - c)

ค) ถ้า a> c และ b> cคุณสามารถใช้สูตรใดก็ได้
การพิสูจน์. ในกรณี ก) ผลต่างของตัวเลข NSและ คมีอยู่ตั้งแต่ a> ค.เราแสดงว่าโดย x: a - c = x.ที่ไหน a = c + x... ถ้า (NS+ b) - c = yแล้วโดยนิยามความแตกต่าง NS+ NS = กับ+ ที่... เราแทนที่ความเท่าเทียมกันนี้แทน NSการแสดงออก ค + x:(c + x) + b = c + yลองใช้คุณสมบัติของการเชื่อมโยงการบวก: c + (x + b) = c+ ที่... เราแปลงความเท่าเทียมกันนี้ตามคุณสมบัติของความซ้ำซากจำเจของการบวก เราได้รับ:

x + ข = ที่.. แทนที่ x ในความเท่าเทียมกันนี้ด้วยนิพจน์ เอ - ค,จะมี (NS - NS) + ข = ยดังนั้นเราจึงได้พิสูจน์แล้วว่าถ้า a> c แล้ว (a + b) - c = (a - c) + b

การพิสูจน์จะดำเนินการในลักษณะเดียวกันในกรณี b)

ทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้วสามารถกำหนดได้ในรูปแบบของกฎที่จำสะดวก: เพื่อลบตัวเลขออกจากผลรวม การลบตัวเลขนี้ออกจากผลรวมหนึ่งแล้วบวกผลรวมอื่นกับผลลัพธ์ที่ได้รับก็เพียงพอแล้ว

ทฤษฎีบท 22.ปล่อยให้เป็น a, b และ c -จำนวนเต็ม ถ้า a> b+ c แล้ว NS- (b + c) = (a - b) - cหรือ a - (b + c) = (a - c) - b.

การพิสูจน์ทฤษฎีนี้คล้ายกับการพิสูจน์ทฤษฎีบท 21

ทฤษฎีบท 22 สามารถกำหนดเป็นกฎได้ เพื่อที่จะลบผลรวมของตัวเลขออกจากตัวเลข มันก็เพียงพอแล้วที่จะลบออกจากตัวเลขนี้ทีละเทอมทีละเทอม

ในการสอนคณิตศาสตร์เบื้องต้น คำจำกัดความของการลบในฐานะการกระทำผกผันกับการบวกนั้นโดยทั่วไปไม่ได้กำหนดไว้ในรูปแบบทั่วไป แต่จะใช้อย่างต่อเนื่อง โดยเริ่มจากการดำเนินการกับตัวเลขหลักเดียว นักเรียนควรตระหนักดีถึงความสัมพันธ์ระหว่างการลบและการบวก และใช้ความสัมพันธ์นี้ในการคำนวณ การลบตัวอย่างเช่นหมายเลข 16 จากหมายเลข 40 นักเรียนให้เหตุผลดังนี้: “ลบหมายเลข 16 จาก 40 - การหาตัวเลขที่เมื่อบวกเข้ากับหมายเลข 16 ผลลัพธ์เป็น 40 หมายความว่าอย่างไร ตัวเลขนี้จะเป็น 24 เนื่องจาก 24 + 16 = 40 ดังนั้น 40 - 16 = 24 "

กฎสำหรับการลบตัวเลขออกจากผลรวมและผลรวมจากตัวเลขในหลักสูตรคณิตศาสตร์เบื้องต้นเป็นพื้นฐานทางทฤษฎีสำหรับเทคนิคการคำนวณต่างๆ ตัวอย่างเช่น ค่าของนิพจน์ (40 + 16) - 10 สามารถพบได้โดยไม่เพียงแต่คำนวณผลรวมในวงเล็บ แล้วลบตัวเลข 10 ออกจากค่านั้น แต่ด้วยวิธีนี้ด้วย

ก) (40 + 16) - 10 = (40 - 10) + 16 = 30 + 16 = 46:

b) (40 + 16) - 10 = 40 + (16- 10) = 40 + 6 = 46

การออกกำลังกาย

1. จริงหรือไม่ที่จำนวนธรรมชาติแต่ละจำนวนได้มาจากจำนวนที่ตามมาทันทีโดยการลบหนึ่งจำนวน?

2. ลักษณะเฉพาะของโครงสร้างเชิงตรรกะของทฤษฎีบท 19 คืออะไร? สามารถกำหนดโดยใช้คำว่า "จำเป็นและเพียงพอ" ได้หรือไม่?

3. พิสูจน์ว่า:

เกิดอะไรขึ้นถ้า ข> ค,แล้ว (a + b) - c = a + (b - c);

ข) ถ้า a> b + c, แล้ว ก - (b+ s) = (ก - ข) - ค.

4. เป็นไปได้ไหมที่จะบอกว่านิพจน์ใดจะเท่ากันโดยไม่ต้องคำนวณ:

ก) (50 + 16) - 14; ง) 50 + (16 -14 ),

ข) (50 - 14) + 16; จ) 50 - (16 - 14);
c) (50 - 14) - 16, f) (50 + 14) - 16.

ก) 50 - (16 + 14); ง) (50 - 14) + 16;

ข) (50 - 16) + 14; จ) (50 - 14) - 16;

ค) (50 - 16) - 14; ฉ) 50 - 16 - 14.

5. คุณสมบัติใดของการลบเป็นพื้นฐานทางทฤษฎีสำหรับวิธีการคำนวณต่อไปนี้ซึ่งศึกษาในวิชาคณิตศาสตร์เบื้องต้น:

12 - 2-3 12 -5 = 7

b) 16-7 = 16-6 - P;

ค) 48 - 30 = (40 + 8) - 30 = 40 + 8 = 18;

ง) 48 - 3 = (40 + 8) - 3 = 40 + 5 = 45

6. อธิบายวิธีที่เป็นไปได้ในการคำนวณค่านิพจน์ของแบบฟอร์ม เอ - บี- กับและแสดงให้เห็นด้วยตัวอย่างเฉพาะ

7. พิสูจน์ว่าเพื่อ NS< а และธรรมชาติใด ๆ ความเท่าเทียมกัน (a - b) c = ac - bc.

บ่งชี้ หลักฐานอยู่บนพื้นฐานของความจริง 4

8. กำหนดความหมายของนิพจน์โดยไม่ต้องคำนวณเป็นลายลักษณ์อักษร ให้เหตุผลกับคำตอบ

ก) 7865 × 6 - 7865 × 5: b) 957 × 11 - 957; ค) 12 × 36 - 7 × 36.

แผนก

ในการสร้างสัจพจน์ของทฤษฎีจำนวนธรรมชาติ การหารมักจะถูกกำหนดเป็นผกผันของการคูณ

คำนิยาม. การหารจำนวนธรรมชาติ a และ b เป็นการดำเนินการที่เป็นไปตามเงื่อนไข: a: b = c ถ้าและเฉพาะในกรณีที่ถึง เมื่อข× ค = เอ

ตัวเลข ก: ขเรียกว่า ส่วนตัวตัวเลข NSและ NS,ตัวเลข NSหารด้วยจำนวน NS- ตัวแบ่ง

อย่างที่คุณทราบ การหารด้วยเซตของจำนวนธรรมชาติไม่ได้มีอยู่เสมอ และไม่มีเกณฑ์ที่สะดวกสำหรับการมีอยู่ของผลหารที่มีอยู่สำหรับความแตกต่าง มีเพียงเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการมีอยู่ของมันโดยเฉพาะ

ทฤษฎีบท 23.เพื่อให้ผลหารของจำนวนธรรมชาติสองตัวมีอยู่ NSและ NSมีความจำเป็นที่ NS< а.

การพิสูจน์. ให้ผลหารของจำนวนธรรมชาติ NSและ NSมีอยู่ กล่าวคือ มีจำนวนธรรมชาติ c เช่นนั้น บีซี = เอเนื่องจากสำหรับจำนวนธรรมชาติ 1 ใด ๆ ความไม่เท่าเทียมกัน 1 £ กับ,แล้วคูณทั้งสองส่วนด้วยจำนวนธรรมชาติ NS, เราได้รับ NS£ ปีก่อนคริสตกาลแต่ บีซี = เอ,เพราะฉะนั้น, NS£ NS.

ทฤษฎีบท 24.ถ้าผลหารของจำนวนธรรมชาติ NSและ NSที่มีอยู่แล้วมีเอกลักษณ์เฉพาะตัว

การพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้คล้ายกับการพิสูจน์ทฤษฎีบทเอกลักษณ์สำหรับผลต่างของจำนวนธรรมชาติ

ตามคำจำกัดความของผลหารของจำนวนธรรมชาติและเงื่อนไขสำหรับการดำรงอยู่ของมัน เป็นไปได้ที่จะปรับกฎที่รู้จักกันดีสำหรับการหารผลรวม (ผลต่าง, ผลคูณ) ด้วยตัวเลข

ทฤษฎีบท 25.ถ้าตัวเลข NSและ NSหารด้วยจำนวน กับ,แล้วผลรวมของพวกเขา a + bหารด้วย s ลงตัว และผลหารที่ได้จากการหารผลรวม NS+ NSตามหมายเลข กับ,เท่ากับผลรวมของผลหารที่ได้จากการหาร NSบน กับและ NSบน กับ, เช่น. (ก + ข):c = a: c + b:กับ.

การพิสูจน์. ตั้งแต่จำนวน NSแบ่งโดย กับ,แล้วมีจำนวนธรรมชาติ x = NS;กับสิ่งนั้น a = cxในทำนองเดียวกันมีจำนวนธรรมชาติดังกล่าว y = ข:กับ,อะไร

NS= ซูแต่แล้ว a + b = cx+ su = - c (x + y)หมายความว่า a + bหารด้วย c ลงตัว และผลหารที่ได้จากการหารผลรวม NS+ NSโดยจำนวน c เท่ากับ x + คุณเหล่านั้น. อา + ข: ค.

ทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้วสามารถกำหนดเป็นกฎสำหรับการหารผลรวมด้วยตัวเลข: เพื่อหารผลรวมด้วยตัวเลข ก็เพียงพอแล้วที่จะหารแต่ละเทอมด้วยตัวเลขนี้และเพิ่มผลลัพธ์ที่ได้

ทฤษฎีบท 26.ถ้าตัวเลขธรรมชาติ NSและ NSหารด้วยจำนวน กับและ ก> ข,ความแตกต่าง เอ - บีหารด้วย c ลงตัว และผลหารที่ได้จากการหารผลต่างด้วยจำนวน c เท่ากับผลต่างของผลหารที่ได้จากการหาร NSบน กับและ NSถึงค นั่นคือ (a - b): c = a: c - b: c.

การพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้คล้ายกับการพิสูจน์ทฤษฎีบทก่อนหน้า

ทฤษฎีบทนี้สามารถกำหนดเป็นกฎสำหรับการหารผลต่างด้วยตัวเลข: สำหรับในการหารผลต่างด้วยตัวเลข ก็เพียงพอแล้วที่จะหารจำนวนที่จะลดและลบด้วยตัวเลขนี้แล้วลบตัวที่สองออกจากผลหารแรก

ทฤษฎีบท 27.หากเป็นจำนวนธรรมชาติ NSหารด้วยจำนวนธรรมชาติ c ลงตัว แล้วสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ NSงาน อะบีแบ่งออกเป็น p. ในกรณีนี้ ผลหารที่ได้จากการหารงาน อะบีตามหมายเลขกับ , เท่ากับผลคูณของผลหารที่ได้จากการหาร NSบน กับ,และตัวเลข b: (a × b): c - (a: c) × b.

การพิสูจน์. เพราะ NSแบ่งโดย กับ,แล้วมีจำนวนธรรมชาติ x เช่นนั้น ก: ค= x มาจากไหน a = cxการคูณความเสมอภาคทั้งสองข้างด้วย NS,รับ ab = (cx) ข.เนื่องจากการคูณนั้นสัมพันธ์กัน ดังนั้น (cx) b = c (x b)จากที่นี่ (a b): c = x b = (a: c) b.ทฤษฎีบทสามารถกำหนดเป็นกฎสำหรับการหารผลคูณด้วยตัวเลข: เพื่อหารผลคูณด้วยตัวเลข ก็เพียงพอที่จะหารปัจจัยตัวหนึ่งด้วยตัวเลขนี้แล้วคูณผลลัพธ์ด้วยตัวประกอบที่สอง

ในการสอนคณิตศาสตร์เบื้องต้น คำจำกัดความของการหารเป็นการดำเนินการผกผันกับการคูณ โดยทั่วไปมักจะไม่ได้รับ แต่จะใช้อย่างต่อเนื่องโดยเริ่มจากบทเรียนแรกของการทำความคุ้นเคยกับการหาร นักเรียนควรตระหนักดีว่าการหารเกี่ยวข้องกับการคูณและใช้ความสัมพันธ์นี้ในการคำนวณ ทำการหารเช่น 48 คูณ 16 นักเรียนให้เหตุผลดังนี้: “หาร 48 ด้วย 16 - นี่หมายถึงการหาตัวเลขที่เมื่อคูณด้วย 16 จะได้ 48; ตัวเลขนี้จะเป็น 3 เนื่องจาก 16 × 3 = 48 ดังนั้น 48: 16 = 3

การออกกำลังกาย

1. พิสูจน์ว่า:

ก) ถ้าผลหารของจำนวนธรรมชาติ a และ bมีอยู่แล้วมันเป็นเอกลักษณ์

b) ถ้าตัวเลข a และ bแบ่งออกเป็น กับและ ก> ข,แล้ว (a - b): c = a: c - b: c.
2. เป็นไปได้ไหมที่จะยืนยันว่าความเท่าเทียมกันทั้งหมดที่กำหนดนั้นถูกต้อง:
ก) 48: (2 × 4) = 48: 2: 4; ข) 56: (2 × 7) = 56: 7: 2;

ค) 850: 170 = 850: 10:17.

กฎทั่วไปสำหรับกรณีเหล่านี้คืออะไร? กำหนดและพิสูจน์มัน

3. คุณสมบัติของฟิชชันเป็นพื้นฐานทางทฤษฎีสำหรับ
ทำงานต่อไปนี้ให้กับนักเรียนระดับประถมศึกษา:

เป็นไปได้ไหมโดยไม่ต้องทำการหารเพื่อบอกว่านิพจน์ใดมีค่าเหมือนกัน:

ก) (40+ 8): 2; ค) 48: 3; จ) (20+ 28): 2;

ข) (30 + 16): 3; ง) (21 + 27): 3; ฉ) 48: 2;

ความเท่าเทียมกันเป็นจริงหรือไม่:

ก) 48: 6: 2 = 48: (6: 2); ข) 96: 4: 2 = 96: (4-2);

ค) (40 - 28): 4 = 10-7?

4. อธิบายวิธีที่เป็นไปได้ในการคำนวณค่าของนิพจน์
ใจดี:

NS) (NS+ ข): ค; NS) NS:NS: กับ; วี) ( ก × ข): กับ .

อธิบายวิธีการที่เสนอด้วยตัวอย่างเฉพาะ

5. ค้นหาความหมายของนิพจน์อย่างมีเหตุผล ของพวกเขา
ปรับการกระทำ:

ก) (7 × 63): 7; ค) (15 × 18):(5× 6);

ข) (3 × 4× 5): 15; ง) (12 × 21): 14.

6. ให้เหตุผลในการหารด้วยตัวเลขสองหลักดังต่อไปนี้:

ก) 954: 18 = (900 + 54): 18 = 900: 18 + 54: 18 = 50 + 3 = 53;

b) 882: 18 = (900 - 18): 18 = 900: 18 - 18:18 = 50 - 1 = 49;

ค) 480: 32 = 480: (8 × 4) = 480:8:4 = 60:4 = 15:

ง) (560 × 32): 16 = 560 (32:16) = 560 × 2 = 1120

7. หาความมีเหตุมีผลที่สุด โดยไม่แบ่งมุม
ทางส่วนตัว ปรับวิธีการที่เลือก:

ก) 495: 15; ค) 455: 7; จ) 275: 55;

6) 425: 85; ง) 225: 9; ฉ) 455: 65.

บรรยายที่ 34 คุณสมบัติของเซตของจำนวนเต็มไม่เป็นลบ

1. เซตของจำนวนเต็มไม่เป็นลบ คุณสมบัติของเซตของจำนวนเต็มที่ไม่ติดลบ

2. แนวคิดเกี่ยวกับส่วนของจำนวนธรรมชาติและองค์ประกอบการนับของเซตจำกัด ตัวเลขธรรมชาติเชิงปริมาณและเชิงปริมาณ

สำหรับการสอบของรัฐในวิชาพิเศษ

1. ช่องว่างเชิงเส้น (เวกเตอร์) เหนือเขตข้อมูล ตัวอย่าง. Subspaces คุณสมบัติที่ง่ายที่สุด การพึ่งพาอาศัยกันเชิงเส้นและความเป็นอิสระของเวกเตอร์

2. พื้นฐานและมิติของปริภูมิเวกเตอร์ เมทริกซ์พิกัดของระบบเวกเตอร์ การเปลี่ยนจากฐานหนึ่งไปสู่อีกฐานหนึ่ง Isomorphism ของช่องว่างเวกเตอร์

3. ความปิดเชิงพีชคณิตของช่องจำนวนเชิงซ้อน

4. วงแหวนของจำนวนเต็ม การเรียงลำดับของจำนวนเต็ม ทฤษฎีบทจำนวนเต็ม "ยิ่งใหญ่ที่สุด" และ "น้อยที่สุด"

5. กลุ่มตัวอย่างกลุ่ม คุณสมบัติที่ง่ายที่สุดของกลุ่ม กลุ่มย่อย Homomorphism และ isomorphism ของกลุ่ม

6. คุณสมบัติพื้นฐานของการหารจำนวนเต็ม จำนวนเฉพาะ. อนันต์ของเซตของไพรม์ การสลายตัวตามรูปแบบบัญญัติของจำนวนประกอบและเอกลักษณ์ของมัน

7. ทฤษฎีบท Kronecker-Capelli (เกณฑ์ความเข้ากันได้สำหรับระบบสมการเชิงเส้น)

8. คุณสมบัติพื้นฐานของการเปรียบเทียบ ระบบโมดูโลสารตกค้างที่สมบูรณ์และลดลง โมดูโลวงแหวนระดับสารตกค้าง ทฤษฎีบทของออยเลอร์และแฟร์มาต์

9. การประยุกต์ทฤษฎีการเปรียบเทียบมากับเกณฑ์การแบ่งแยก การแปลงเศษส่วนธรรมดาเป็นทศนิยมและกำหนดระยะเวลาของคาบ

10. การผันคำกริยาของรากจินตภาพของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์จริง พหุนามลดไม่ได้บนสนามของจำนวนจริง

11. การเปรียบเทียบเชิงเส้นกับตัวแปรเดียว (เกณฑ์การแก้ แก้)

12. ระบบเทียบเท่าของสมการเชิงเส้น วิธีการกำจัดสิ่งแปลกปลอมอย่างต่อเนื่อง

13.แหวน. ตัวอย่างแหวน. คุณสมบัติที่ง่ายที่สุดของแหวน ซับริง Homomorphisms และ isomorphisms ของวงแหวน สนาม. ตัวอย่างของเขตข้อมูล คุณสมบัติที่ง่ายที่สุด ความน้อยที่สุดของสนามจำนวนตรรกยะ

14. ตัวเลขธรรมชาติ (รากฐานของทฤษฎีสัจพจน์ของจำนวนธรรมชาติ) ทฤษฎีบทเกี่ยวกับจำนวนธรรมชาติที่ "ใหญ่ที่สุด" และ "น้อยที่สุด"

15. พหุนามเหนือสนาม. ทฤษฎีบทหารด้วยเศษ. ตัวหารร่วมมากของพหุนามสองตัว คุณสมบัติและวิธีการหา

16. ความสัมพันธ์แบบไบนารี ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน คลาสสมมูล ชุดผลหาร

17. การเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์สำหรับตัวเลขธรรมชาติและจำนวนเต็ม

18. คุณสมบัติของเลขโคไพรม์ ตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนเต็ม คุณสมบัติและวิธีการค้นหา

19. ฟิลด์ของจำนวนเชิงซ้อน, ฟิลด์ตัวเลข การแทนค่าทางเรขาคณิตและรูปแบบตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อน

20. ทฤษฎีบทการหารด้วยเศษจำนวนเต็ม ตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของจำนวนเต็ม คุณสมบัติ และวิธีการค้นหา

21. ตัวดำเนินการเชิงเส้นของปริภูมิเวกเตอร์ เคอร์เนลและภาพของตัวดำเนินการเชิงเส้น พีชคณิตของตัวดำเนินการเชิงเส้นของปริภูมิเวกเตอร์ ค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการเชิงเส้น

22. เชื่อมโยงการเปลี่ยนแปลงของระนาบ คุณสมบัติ และวิธีการตั้งค่า กลุ่มของการเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์ของระนาบและกลุ่มย่อย

23. รูปหลายเหลี่ยม. พื้นที่รูปหลายเหลี่ยม ทฤษฎีบทการดำรงอยู่และเอกลักษณ์

24. ขนาดเท่ากันและองค์ประกอบของรูปหลายเหลี่ยมเท่ากัน

25. เรขาคณิตของ Lobachevsky ความสอดคล้องของระบบสัจพจน์เรขาคณิต Lobachevsky

26. แนวคิดเรื่องความเท่าเทียมในเรขาคณิตของ Lobachevsky การจัดเรียงเส้นตรงร่วมกันบนระนาบ Lobachevsky

27. สูตรการเคลื่อนไหว. การจำแนกประเภทของการเคลื่อนที่ของเครื่องบิน แอพพลิเคชั่นในการแก้ปัญหา

28. การจัดเรียงร่วมกันของระนาบสองระนาบ เส้นตรงและระนาบ เส้นตรงสองเส้นในอวกาศ (ในการนำเสนอเชิงวิเคราะห์)

29. การเปลี่ยนแปลงเชิงโปรเจ็กต์ ทฤษฎีบทการดำรงอยู่และเอกลักษณ์ สูตรสำหรับการแปลงโปรเจกทีฟ

30. สเกลาร์ เวกเตอร์ และผลิตภัณฑ์ผสมของเวกเตอร์ การประยุกต์ใช้ในการแก้ปัญหา

31. ระบบสัจพจน์ของ Weyl เกี่ยวกับปริภูมิสามมิติแบบยุคลิดและความสม่ำเสมอที่สำคัญของมัน

32. การเคลื่อนที่ของเครื่องบินและคุณสมบัติของมัน กลุ่มของการเคลื่อนที่ของเครื่องบิน ทฤษฎีบทการดำรงอยู่และเอกลักษณ์ของการเคลื่อนไหว

33. ระนาบโปรเจกทีฟและแบบจำลอง การแปลงโปรเจกทีฟคุณสมบัติของพวกเขา กลุ่มของการแปลงโปรเจกทีฟ

34. การเปลี่ยนแปลงของความคล้ายคลึงกันของระนาบคุณสมบัติของมัน กลุ่มของการเปลี่ยนแปลงความคล้ายคลึงกันของระนาบและกลุ่มย่อย

35. พื้นผิวเรียบ รูปแบบกำลังสองแรกของพื้นผิวและการใช้งาน

36. การออกแบบคู่ขนานและคุณสมบัติของมัน การฉายภาพขนานของร่างแบนและเชิงพื้นที่

37. เส้นเรียบ ความโค้งของเส้นโค้งเชิงพื้นที่และการคำนวณ

38. วงรี ไฮเปอร์โบลา และพาราโบลาเป็นส่วนรูปกรวย สมการ Canonical

39. คุณสมบัติไดเร็กทอรีของวงรี ไฮเพอร์โบลา และพาราโบลา สมการเชิงขั้ว

40. อัตราส่วนสองเท่าของสี่จุดของเส้นตรง คุณสมบัติ และการคำนวณ การแยกจุดคู่แบบฮาร์มอนิก รูปสี่เหลี่ยมที่สมบูรณ์และคุณสมบัติของมัน ประยุกต์ใช้แก้ปัญหาการก่อสร้าง

41. ทฤษฎีบท Pascal และ Brianchon ขั้วโลกและขั้วโลก

ตัวอย่างคำถามการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์

ทฤษฎีบทจำนวนเต็ม "ยิ่งใหญ่ที่สุด" และ "น้อยที่สุด"

ทฤษฎีบท 4 (บนจำนวนเต็มที่ "เล็กที่สุด") ชุดจำนวนเต็มที่ไม่ว่างใดๆ ที่ล้อมรอบจากด้านล่างจะมีจำนวนที่น้อยที่สุด (ในที่นี้ ในกรณีของจำนวนธรรมชาติ คำว่า “เซต” จะใช้แทนคำว่า “เซตย่อย” E

การพิสูจน์. ให้ О АС Z และ А ถูกจำกัดจากด้านล่าง กล่าวคือ 36? ซีวา? เอ (b< а). Тогда если Ь Е А, то Ь- наименьшее число во множестве А.

ตอนนี้ให้ b A.

แล้ววาอีอัฟ< а) и, значит, Уа А(а - Ь >อ.)

เราสร้างเซต M ของตัวเลขทั้งหมดในรูปแบบ a - b โดยที่ a วิ่งผ่านเซต A นั่นคือ M = (c [c = a - b, a E A)

เห็นได้ชัดว่าชุด M ไม่ว่างตั้งแต่ A 74 0

ตามที่ระบุไว้ข้างต้น M C N. ดังนั้น โดยทฤษฎีบทของจำนวนธรรมชาติ m อา และเนื่องจาก m นั้นเล็กที่สุดใน M แล้วคุณล่ะ ที่< а - Ь) , т.е. А (01 - Ь < а - Ь). Отсюда Уа е А(а1 а), а так как ат (- А, то - наименьшее число в А. Теорема доказана.

ทฤษฎีบท 5 (บนจำนวนเต็ม "ที่ยิ่งใหญ่ที่สุด") ชุดจำนวนเต็มที่จำกัดคลาสที่ไม่ว่างใดๆ จะมีจำนวนที่มากที่สุด

การพิสูจน์. ให้ О 74 АС Z และ А ถูก จำกัด จากด้านบนด้วยหมายเลข b นั่นคือ ? ZVa อี A (a< Ь). Тогда -а >B สำหรับตัวเลขทั้งหมด a? NS.

ดังนั้น เซต M (ด้วย r = -a, a? A) จึงไม่ว่างและถูกจำกัดจากด้านล่างด้วยตัวเลข (-6) ดังนั้น ตามทฤษฎีบทที่แล้ว เซต M มีจำนวนน้อยที่สุด นั่นคือ คุณ? เมาส์? ม (ค< с).

หมายความว่าไง A (กับ< -а), откуда Уа? А(-с >NS)

H. รูปแบบต่างๆ ของวิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์สำหรับจำนวนเต็ม ทฤษฎีบทเศษที่เหลือ

ทฤษฎีบท 1 (รูปแบบแรกของวิธีการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์) ให้ P (c) เป็นเพรดิเคตตำแหน่งเดียวที่กำหนดไว้ในชุด Z ของจำนวนเต็ม 4 จากนั้น ถ้าสำหรับ NUMBER a Z บางส่วน โจทย์ P (o) และ For an Arbitrary integer K> a จาก P (K) ตาม P (K -4- 1) ดังนั้นโจทย์ P (r) จะเป็นจริง สำหรับจำนวนเต็มทั้งหมด m ตัวเลข c> a (เช่น สูตรต่อไปนี้ของแคลคูลัสภาคแสดงเป็นจริงในชุด Z:

P (a) ธนู> + 1)) Wc> aP (c)

สำหรับจำนวนเต็มคงที่ a

การพิสูจน์. สมมุติว่าสำหรับข้อเสนอ ป (ค) ทุกสิ่งที่กล่าวในเงื่อนไขของทฤษฎีบทนั้นเป็นความจริง นั่นคือ

1) P (a) - จริง;

2) UK Щ к + ก็เป็นจริงเช่นกัน

โดยความขัดแย้ง. สมมติว่ามีตัวเลขดังกล่าว

B> a, RF นั้น) เป็นเท็จ แน่นอน b a เนื่องจาก P (a) เป็นจริง เราสร้างเซต M = (z?> A, P (z) เป็นเท็จ)

แล้วเซต M 0 ตั้งแต่ b? M และ M ถูก จำกัด จากด้านล่างด้วยหมายเลข a ดังนั้น โดยทฤษฎีบทบนและบนจำนวนเต็มที่น้อยที่สุด (ทฤษฎีบท 4, 2) เซต M มีจำนวนเต็มที่น้อยที่สุด c ดังนั้น c> a ซึ่งหมายถึง c - 1> a

ให้เราพิสูจน์ว่า P (c-1) เป็นจริง ถ้า c-1 = a ดังนั้น P (c-1) จะเป็นจริงเนื่องจากเงื่อนไข

ให้ c - 1> ก. แล้วสมมติฐานที่ว่า P (c - 1) เป็นเท็จทำให้เกิดการเป็นสมาชิกด้วย 1? M ซึ่งไม่สามารถเป็นได้ เนื่องจากตัวเลข c นั้นน้อยที่สุดในชุด M

ดังนั้น c - 1> a และ P (c - 1) จึงเป็นจริง

ดังนั้น โดยอาศัยเงื่อนไขของทฤษฎีบทนี้ ข้อเสนอ P ((c - 1) + 1) เป็นจริง นั่นคือ P (c) เป็นจริง สิ่งนี้ขัดแย้งกับการเลือกหมายเลข c เนื่องจาก c? M ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

โปรดทราบว่าทฤษฎีบทนี้สรุปทฤษฎีสัจพจน์ 1 ข้อของ Peano

ทฤษฎีบท 2 (รูปแบบที่สองของวิธีการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์สำหรับจำนวนเต็ม) ให้ P (c) เป็นค่าที่กำหนดล่วงหน้าหนึ่งตำแหน่ง (คำจำกัดความ) ในชุด Z ของจำนวนเต็ม แล้วถ้าคำบุพบท P (c) ถูกต้องสำหรับจำนวนเต็ม K และสำหรับจำนวนเต็มโดยพลการ s K จากความถูกต้องของข้อเสนอ P (c) สำหรับจำนวนเต็มทั้งหมด y ตอบสนองความไม่เท่าเทียมกัน K< с < s, слеДует справеДливость этого преДложения Для числа s , то это преДложение справеДливо Для всег целыс чисел с >ถึง.

การพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ส่วนใหญ่ทำซ้ำการพิสูจน์ทฤษฎีบทที่คล้ายกันสำหรับจำนวนธรรมชาติ (ทฤษฎีบท 1, 55, Ch. III)

ทฤษฎีบท 3 (รูปแบบที่สามของวิธีการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์) ให้ Р (с) เป็นเพรดิเคตแบบจุดเดียวที่กำหนดไว้บนเลขจำนวนเต็ม Z ที่ตั้งไว้ แล้วถ้า P (c) เป็นจริงสำหรับจำนวนทั้งหมดของเซตย่อยอนันต์ M ของเซตของจำนวนธรรมชาติและสำหรับจำนวนเต็ม a โดยพลการจากความจริงของ P (a) จะเป็นไปตามที่ P (a - 1) เป็นจริง ดังนั้น โจทย์ P (c) เป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มทั้งหมด

การพิสูจน์นั้นคล้ายกับการพิสูจน์ทฤษฎีบทที่สอดคล้องกันสำหรับจำนวนธรรมชาติ

เราขอเสนอเป็นแบบฝึกหัดที่น่าสนใจ

โปรดทราบว่าในทางปฏิบัติ รูปแบบที่สามของการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์เกิดขึ้นไม่บ่อยกว่ารูปแบบอื่นๆ สิ่งนี้อธิบายได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าสำหรับแอปพลิเคชันนั้น จำเป็นต้องรู้เซตย่อยอนันต์ M ของเซตของจำนวนธรรมชาติ " ซึ่งถูกกล่าวถึงในทฤษฎีบท การหาชุดดังกล่าวอาจเป็นเรื่องยาก

แต่ข้อดีของรูปแบบที่สามเหนือรูปแบบอื่นๆ ก็คือด้วยความช่วยเหลือของมัน ข้อเสนอ P (c) ได้รับการพิสูจน์แล้วสำหรับจำนวนเต็มทั้งหมด

ด้านล่างเราจะให้ตัวอย่างที่น่าสนใจของการใช้แบบฟอร์มที่สาม “ แต่ก่อนอื่น ให้แนวคิดที่สำคัญอย่างหนึ่ง

คำนิยาม. ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็ม a คือตัวเลขที่กำหนดโดยกฎ

0 ถ้า 0 a ถ้า a> 0

A, ถ้า a< 0.

ดังนั้นถ้าเป็น 0 แล้ว? NS.

เราแนะนำให้ผู้อ่านเป็นแบบฝึกหัดเพื่อพิสูจน์คุณสมบัติของค่าสัมบูรณ์ดังต่อไปนี้:

ทฤษฎีบท (หารด้วยเศษ). สำหรับจำนวนเต็ม a และ b โดยที่ b 0 จะมีอยู่ และยิ่งกว่านั้น มีเพียงคู่เดียวของตัวเลข q U m ที่ a r: bq + T A D

การพิสูจน์.

1. การมีอยู่ของคู่ (q, m)

ให้ a, b? Z กับ 0 แสดงว่ามีคู่ของตัวเลข q และเป็นไปตามเงื่อนไข

เราดำเนินการพิสูจน์โดยการเหนี่ยวนำในรูปแบบที่สามบนหมายเลข a สำหรับจำนวนคงที่ b

М = (mlm = n lbl, n? N).

เห็นได้ชัดว่า M C lm เป็นการจับคู่ f: N M ซึ่งกำหนดโดยกฎ f (n) = nlbl สำหรับ n ใด ๆ N คือ bijection ซึ่งหมายความว่า M N คือ M - อนันต์

ให้เราพิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนใด a? M (และ b-fixed) การยืนยันทฤษฎีบทเกี่ยวกับการมีอยู่ของจำนวนคู่ q และ m เป็นจริง

แน่นอน ให้ a (- M. แล้ว nf! For some n? N.

ถ้า b> 0 แล้ว a = n + O ตอนนี้การตั้งค่า q = n และ m 0 เราจะได้คู่ของตัวเลขที่ต้องการ q และ m แต่ถ้า b< 0, то и, значит, в этом случае можно положить q

ตอนนี้ให้เราสร้างสมมติฐานอุปนัย สมมติว่าสำหรับจำนวนเต็มตามอำเภอใจ c (และค่าคงที่โดยพลการ b 0) คำสั่งของทฤษฎีบทเป็นจริง นั่นคือ มีคู่ของตัวเลข (q, m) เช่นนั้น

ให้เราพิสูจน์ว่ามันเป็นจริงสำหรับตัวเลข (c 1) ด้วย จากความเท่าเทียมกัน c = bq -4- จะเป็นไปตาม bq + (m - 1) (1)

กรณีเป็นไปได้

1) m> 0 จากนั้น 7 "- 1> 0 ในกรณีนี้ การตั้งค่า - m - 1 เราได้รับ c - 1 - bq + Tl โดยที่คู่ (q, 7" 1,) เป็นไปตามเงื่อนไขอย่างชัดเจน

0. จากนั้น c - 1 bq1 + 711 โดยที่ q1

เราสามารถพิสูจน์ได้ง่ายๆ ว่า 0< < Д.

ดังนั้น ประโยคนี้จึงเป็นจริงสำหรับคู่ตัวเลข

ส่วนแรกของทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

P. ความเป็นเอกลักษณ์ของคู่ q เป็นต้น

สมมติว่าสำหรับตัวเลข a และ b 0 มีตัวเลขสองคู่ (q, m) และ (q1 แล้วเป็นไปตามเงื่อนไข (*)

ให้เราพิสูจน์ว่าพวกเขาตรงกัน ดังนั้นให้

และ bq1 L O< Д.

ดังนั้นจึงเป็นไปตามที่ b (q1 -q) m- 7 1 1. จากความเท่าเทียมกันนี้ที่

หากตอนนี้เราคิดว่า q ql แล้ว q - q1 0, ที่ไหน lq - q1l 1 การคูณอสมการเหล่านี้แบบเทอมต่อเทอมด้วยจำนวน lbl เราจะได้ φ! - ค. 11 ง. (3)

ในเวลาเดียวกัน จากอสมการ 0< т < lbl и О < < очевидным образом следует - < ф!. Это противоречит (3). Теорема доказана.

การออกกำลังกาย:

1. กรอกการพิสูจน์ทฤษฎีบท 2 และ 3 จาก 5 1.

2. พิสูจน์ข้อพิสูจน์ 2 ของทฤษฎีบท 3, 1

3. พิสูจน์ว่าเซตย่อย Н С Z ประกอบด้วยตัวเลขทั้งหมดของฟอร์ม< п + 1, 1 >(n? N) ปิดด้วยการบวกและการคูณ

4. ให้ H หมายถึงเซตเดียวกับในแบบฝึกหัดที่ 3 พิสูจน์ว่าการทำแผนที่ ј: M เป็นไปตามเงื่อนไข:

1) ј - bijection;

2) ј (n + m) = ј (n) + j (m) และ j (nm) = ј (n) j (m) สำหรับตัวเลขใดๆ n, m (เช่น ј ตระหนักถึง isomorphism ของพีชคณิต (N, 4 และ (H, +,)

5. กรอกการพิสูจน์ทฤษฎีบท 1 จาก 2

6. พิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนเต็ม a, b, c มีความหมายดังต่อไปนี้:

7. พิสูจน์ทฤษฎีบทที่สองและสามจาก Z.

8. พิสูจน์ว่าวงแหวน Z ของจำนวนเต็มไม่มีตัวหารศูนย์

วรรณกรรม

1. Bourbaki N. ทฤษฎีเซต มอสโก: มีร์ 2508

2. VinograDov IM พื้นฐานของทฤษฎีจำนวน M.: Nauka, 1972. Z. DemiDov I. T. รากฐานของเลขคณิต M.: Uchpedgiz, 2506.

4. Kargapolov MI, Merzlyakov Yu. I. พื้นฐานของทฤษฎีกลุ่ม

มอสโก: เนาคา 2515

5. Kostrikin AI รู้เบื้องต้นเกี่ยวกับพีชคณิต มอสโก: เนาก้า, 1994

NS. L. Ya. Kulikov, พีชคณิตและทฤษฎีจำนวน. ม.: สูงกว่า ศก., 2522.

7. Kurosh A.G. หลักสูตรพีชคณิตที่สูงขึ้น มอสโก: เนาคา 2514

8. Lyubetsky VA แนวคิดพื้นฐานของคณิตศาสตร์ในโรงเรียน ม.: การศึกษา, 2530.

9. ไลปินอียู และแบบฝึกหัดอื่นๆ ในทฤษฎีกลุ่ม มอสโก: เนากา, 1967.

10. ระบบ Maltsev AI เกี่ยวกับพีชคณิต มอสโก: เนากา 1970

11. MenDelson E. ตรรกะทางคณิตศาสตร์เบื้องต้น มอสโก: เนาคา 2514

12. Nechaev VI ระบบตัวเลข มอสโก: การศึกษา 2518

13. โนวิคอฟ ป.ล. องค์ประกอบของตรรกะทางคณิตศาสตร์ ม.. วิทยาศาสตร์, 2516.

14. Petrova VT การบรรยายเกี่ยวกับพีชคณิตและเรขาคณิต.: ใน 2 ch.

ชล. ม.: วลาดอส, 1999

15. รากฐานสมัยใหม่ของหลักสูตรคณิตศาสตร์ Auth. หมายเลข: Vilenkin N.Ya. , Dunichev K.I. , Kalltzhnin LA Joiner A.A. ม.: การศึกษา, 1980.

16. Skornyakov LA องค์ประกอบของพีชคณิต มอสโก: เนาก้า, 1980.

17. สตอม อาร์.อาร์. เซต ตรรกะ ทฤษฎีสัจพจน์ NS .; ตรัสรู้ 2511.

18. Joiner AA Logical เบื้องต้นเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ มินสค์: สูงกว่า ศก., 1971.

19. Filippov VP พีชคณิตและทฤษฎีจำนวน โวลโกกราด: VGPI, 1975.

20. Frenkel A. , Bar-Hillel I. รากฐานของทฤษฎีมากมาย มอสโก: มีร์, 1966.

21. Fuchs L. ระบบสั่งบางส่วน มอสโก: มีร์ 2508

ฉบับการศึกษา

Vladimir Konstantinovich Kartashov

หลักสูตรเบื้องต้นของคณิตศาสตร์

กวดวิชา

การเตรียมบทบรรณาธิการโดย O. I. Molokanova เค้าโครงดั้งเดิมจัดทำโดย A. P. Boschenko

“PR 020048 จาก 20.12.96

เซ็นพิมพ์วันที่ 28.08.99 รูปแบบ 60x84 / 16 การพิมพ์สำนักงาน บูม. ประเภทของ. ม2. อูเอล. พิมพ์ ล. 8.2. อุช.-เอ็ด. ล. 8.3. การหมุนเวียนคือ 500 สำเนา สั่งซื้อ2

สำนักพิมพ์เปเรมีนา

เซ็กเมนต์ N ของอนุกรมธรรมชาติคือเซตของจำนวนธรรมชาติที่ไม่เกินจำนวนธรรมชาติ a นั่นคือ N = (x | x N และ x a)

ตัวอย่างเช่น N คือเซตของจำนวนธรรมชาติที่ไม่เกิน 7 นั่นคือ ยังไม่มีข้อความ = (1,2,3,4,5,6,7)

ให้เราสังเกตคุณสมบัติที่สำคัญที่สุดสองประการของส่วนต่าง ๆ ของอนุกรมธรรมชาติ:
1) ส่วน N ใด ๆ มีหนึ่งส่วน คุณสมบัตินี้ตามมาจากคำจำกัดความของเซ็กเมนต์ของอนุกรมธรรมชาติ
2) หากหมายเลข x อยู่ในส่วน N และ x a แสดงว่าหมายเลข x + 1 ที่ตามมาในทันทีจะอยู่ใน N ด้วย

เซต A เรียกว่า finite หากเทียบเท่ากับเซ็กเมนต์ N ของอนุกรมธรรมชาติ ตัวอย่างเช่น เซต A ของจุดยอดของสามเหลี่ยม ชุด B ของตัวอักษรในคำว่า "โลก" เป็นเซตจำกัด เนื่องจาก พวกมันเท่ากับเซ็กเมนต์ N = (1,2,3) นั่นคือ เอ ~ บี ~ น.
ถ้าเซตจำกัดที่ไม่ว่างเปล่า A เท่ากับเซ็กเมนต์ N ดังนั้นจำนวนธรรมชาติ a จะถูกเรียกว่าจำนวนขององค์ประกอบของเซต A และเขียนว่า n (A) = a ตัวอย่างเช่น ถ้า A เป็นเซตของจุดยอดของสามเหลี่ยม ดังนั้น n (A) = 3

เซตจำกัดที่ไม่ว่างเปล่าใดๆ จะเทียบเท่ากับหนึ่งเซกเมนต์ของอนุกรมธรรมชาติ นั่นคือ เซตจำกัด A แต่ละเซตสามารถเชื่อมโยงกับจำนวนที่กำหนดเฉพาะ a ได้ ดังนั้นเซต A จะถูกจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับเซกเมนต์ N .

การสร้างความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างองค์ประกอบของเซตจำกัดที่ไม่ว่างเปล่า A และส่วนของอนุกรมธรรมชาติเรียกว่าการนับองค์ประกอบของเซต A เนื่องจากเซตจำกัดที่ไม่ว่างเปล่าใดๆ จะสอดคล้องกับจำนวนธรรมชาติเพียงจำนวนเดียวเท่านั้น , คอลเลกชันทั้งหมดของชุดไฟไนต์ถูกแบ่งออกเป็นคลาสของชุดที่มีพลังเท่าเทียมกัน คลาสหนึ่งจะมีชุดองค์ประกอบหนึ่งทั้งหมด อีกชุดหนึ่ง - ชุดองค์ประกอบสององค์ประกอบ และอื่นๆ และจำนวนนี้ถือได้ว่าเป็นคุณสมบัติทั่วไปของคลาสของเซตอีโคโพเทนต์จำกัด ดังนั้น จากมุมมองของเซต-ทฤษฎี จำนวนธรรมชาติเป็นคุณสมบัติทั่วไปของคลาสของเซตจำกัดและเท่ากัน

หมายเลข 0 มีการตีความชุดทฤษฎีด้วย - มันเกี่ยวข้องกับชุดว่าง: n () = 0

ดังนั้น จำนวนธรรมชาติ a เป็นคุณลักษณะของปริมาณสามารถพิจารณาได้จากสองตำแหน่ง:

1) ตามจำนวนองค์ประกอบในชุด A ที่ได้จากการนับ
2) เป็นคุณสมบัติทั่วไปของคลาสของเซตจำกัดที่มีพลังเท่าเทียมกัน

การเชื่อมต่อระหว่างเซตจำกัดกับจำนวนธรรมชาติทำให้เราสามารถตีความความสัมพันธ์แบบเซตทฤษฎีของความสัมพันธ์ "น้อยกว่า" ได้

ถ้า a = n (A), b = n (B) แสดงว่าจำนวน a จะน้อยกว่าจำนวน b ถ้าหากว่าเซต A เท่ากับเซตย่อยที่เหมาะสมของเซต B นั่นคือ A ~ B โดยที่ B B, B B, B (รูปที่ 1) หรือเมื่อเซ็กเมนต์ของอนุกรมธรรมชาติ N เป็นเซตย่อยที่เหมาะสมของเซ็กเมนต์ N นั่นคือ เอ็น เอ็น.

ตัวเลข a และ b จะเท่ากันหากกำหนดโดยเซตที่ทรงพลังเท่ากัน: a = k A ~ B โดยที่ n (A) = a, n (B) = k ตัวอย่างเช่น 2 = 2 เพราะ n (A) = 2, n (B) = 2, A = (a, b), B = (z, x), A ~ B.

คุณสมบัติของความสัมพันธ์ "น้อยกว่า" สำหรับจำนวนธรรมชาติยังได้รับการตีความตามทฤษฎีเซตด้วย: ทรานสซิวิตีและแอนติสมมาตรของความสัมพันธ์นี้สัมพันธ์กับความจริงที่ว่าความสัมพันธ์ "เป็นเซตย่อย" เป็นสกรรมกริยาและไม่สมมาตร

ให้เราแสดงโดยใช้การตีความเซตทฤษฎีของความสัมพันธ์ "น้อยกว่า" สำหรับจำนวนธรรมชาติที่2
หา set A ที่มี 2 องค์ประกอบ และ set B มี 5 องค์ประกอบ นั่นคือ n (A) = 2, n (B) = 5. ตัวอย่างเช่น A = (a, b), B = (c, d, e, f, r) จากเซต B เซตย่อย B สามารถแยกแยะได้ ซึ่งเท่ากับเซต A: ตัวอย่างเช่น B = (c, d) และ A ~ B ตามนิยามของความสัมพันธ์ "น้อย" 2
ความถูกต้องของความไม่เท่าเทียมกันนี้เป็นไปตามข้อเท็จจริงที่ว่า N
ความไม่เท่าเทียมกันนี้สามารถดูได้ในรูปที่ 2 ให้ 2 เป็นจำนวนวงกลมและ 5 จำนวนกำลังสอง ถ้าเราใส่วงกลมลงบนช่องสี่เหลี่ยม เราจะเห็นว่าช่องสี่เหลี่ยมบางช่องเปิดทิ้งไว้

ซึ่งหมายความว่าจำนวนวงกลมน้อยกว่าจำนวนสี่เหลี่ยมนั่นคือ 2
ความหมายเซตทฤษฎีของอสมการ 0

การเปรียบเทียบตัวเลขในวิชาคณิตศาสตร์เบื้องต้นนั้นดำเนินการในรูปแบบต่างๆ - ขึ้นอยู่กับแนวทางทั้งหมดที่เราพิจารณาเพื่อตีความอัตราส่วน "น้อยกว่า"