شما می توانید هم اعداد کامل، برای مثال 34 و هم اعداد کسری، به عنوان مثال، 637.333 را وارد کنید. برای اعداد کسری، دقت ترجمه بعد از نقطه اعشار نشان داده شده است.
موارد زیر نیز با این ماشین حساب استفاده می شود:
راه های نمایش اعداد
دودویی اعداد (دودویی) - هر رقم به معنای مقدار یک بیت (0 یا 1) است، مهمترین بیت همیشه در سمت چپ نوشته می شود، حرف "b" بعد از عدد قرار می گیرد. برای سهولت درک، نوت بوک ها را می توان با فاصله از هم جدا کرد. به عنوان مثال، 1010 0101b.هگزادسیمال اعداد (هگزادسیمال) - هر تتراد با یک نماد 0...9، A، B، ...، F نشان داده می شود. این نمایش را می توان به روش های مختلف تعیین کرد رقم به عنوان مثال، A5h. در متون برنامه، بسته به نحو زبان برنامه نویسی، می توان همان عدد را به عنوان 0xA5 یا 0A5h تعیین کرد. یک صفر ابتدایی (0) به سمت چپ مهم ترین رقم هگزا دسیمال که با حرف نشان داده می شود اضافه می شود تا بین اعداد و نام های نمادین تمایز قائل شود.
اعشاری اعداد (اعشاری) - هر بایت (کلمه، دو کلمه) با یک عدد منظم نشان داده می شود و علامت نمایش دهدهی (حرف "d") معمولا حذف می شود. بایت در مثال های قبلی دارای مقدار اعشاری 165 است. برخلاف نماد دودویی و هگزا دسیمال، اعشار برای تعیین مقدار هر بیت از نظر ذهنی دشوار است، که گاهی اوقات ضروری است.
هشتی اعداد (هشتی) - هر سه بیت (تقسیم از کمترین معنی شروع می شود) به صورت یک عدد 0-7 نوشته می شود که در پایان یک "o" وجود دارد. همان عدد به صورت 245o نوشته می شود. سیستم اکتال ناخوشایند است زیرا بایت را نمی توان به طور مساوی تقسیم کرد.
الگوریتم تبدیل اعداد از یک سیستم عددی به سیستم دیگر
تبدیل اعداد اعشاری کامل به هر سیستم اعداد دیگری با تقسیم عدد بر پایه سیستم اعداد جدید انجام می شود تا زمانی که باقیمانده عددی کمتر از پایه سیستم اعداد جدید باقی بماند. عدد جدید به عنوان باقیمانده تقسیم نوشته می شود و از آخرین عدد شروع می شود.تبدیل یک کسر اعشاری منظم به PSS دیگر با ضرب کردن بخش کسری عدد در پایه سیستم اعداد جدید تا زمانی که تمام صفرها در قسمت کسری باقی بمانند یا تا زمانی که دقت ترجمه مشخص شده به دست آید، انجام می شود. در نتیجه هر عملیات ضرب، یک رقم از یک عدد جدید تشکیل می شود که با بالاترین عدد شروع می شود.
ترجمه کسر نادرست طبق قوانین 1 و 2 انجام می شود. اعداد صحیح و کسری با هم نوشته می شوند و با کاما از هم جدا می شوند.
مثال شماره 1. 
تبدیل از 2 به 8 به 16 سیستم اعداد.
این سیستم ها مضرب دو هستند، بنابراین ترجمه با استفاده از یک جدول مطابقت انجام می شود (به زیر مراجعه کنید).
برای تبدیل یک عدد از سیستم اعداد باینری به سیستم اعداد هشتگانه (هگزادسیمال)، لازم است عدد باینری را از نقطه اعشار به سمت راست و چپ به گروه‌های سه رقمی (چهار رقم برای هگزادسیمال) تقسیم کنیم و گروه‌های بیرونی را تکمیل کنیم. در صورت لزوم با صفر هر گروه با رقم هشتی یا هگزا دسیمال مربوطه جایگزین می شود.
مثال شماره 2. 1010111010.1011 = 1.010.111.010.101.1 = 1272.51 8
اینجا 001=1; 010=2; 111=7; 010=2; 101=5; 001=1
هنگام تبدیل به سیستم هگزادسیمال، باید با رعایت قوانین مشابه، عدد را به قسمت های چهار رقمی تقسیم کنید.
مثال شماره 3. 1010111010,1011 = 10.1011.1010،1011 = 2B12،13 HEX
اینجا 0010=2; 1011=B; 1010=12; 1011=13
تبدیل اعداد از 2، 8 و 16 به سیستم اعشاری با شکستن عدد به واحدهای جداگانه و ضرب آن در پایه سیستم (که عدد از آن ترجمه شده است) به توان مربوط به شماره سریال آن در عدد در حال تبدیل در این حالت، اعداد در سمت چپ نقطه اعشار (عدد اول 0 شماره گذاری شده است) با افزایش و به سمت راست با کاهش (یعنی با علامت منفی) شماره گذاری می شوند. نتایج به دست آمده با هم جمع می شوند.
مثال شماره 4.
نمونه ای از تبدیل سیستم اعداد باینری به اعشاری.
1010010.101 2 = 1·2 6 +0·2 5 +1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +0·2 0 + 1·2 -1 +0·2 - 2 + 1 2 -3 =
= 64 + 0 + 16 + 0 + 0 + 2 + 0 + 0.5 + 0 + 0.125 = 82.625 10 مثالی از تبدیل سیستم اعداد اعشاری به اعشاری. 108.5 8 = 1*·8 2 +0·8 1 +8·8 0 + 5·8 -1 = 64+0+8+0.625 = 72.625 10 مثالی از تبدیل سیستم اعداد هگزادسیمال به اعشاری. 108.5 16 = 1·16 2 +0·16 1 +8·16 0 + 5·16 -1 = 256+0+8+0.3125 = 264.3125 10
یک بار دیگر الگوریتم تبدیل اعداد از یک سیستم عددی به PSS دیگر را تکرار می کنیم
- از سیستم اعداد اعشاری:
- عدد را بر پایه سیستم اعدادی که ترجمه می شود تقسیم کنید.
- هنگام تقسیم یک عدد صحیح از یک عدد باقیمانده را پیدا کنید.
- تمام باقی مانده های تقسیم را به ترتیب معکوس بنویسید.
- از سیستم اعداد باینری
- برای تبدیل به سیستم اعداد اعشاری، لازم است مجموع حاصل از پایه 2 را با درجه مربوطه از رقم پیدا کنید.
- برای تبدیل یک عدد به هشتی، باید عدد را به سه تایی تبدیل کنید.
به عنوان مثال، 1000110 = 1000 110 = 106 8 - برای تبدیل یک عدد از باینری به هگزادسیمال، باید عدد را به گروه های 4 رقمی تقسیم کنید.
به عنوان مثال، 1000110 = 100 0110 = 46 16
جدول مکاتبات سیستم شماره:
| باینری SS | SS هگزادسیمال |
| 0000 | 0 |
| 0001 | 1 |
| 0010 | 2 |
| 0011 | 3 |
| 0100 | 4 |
| 0101 | 5 |
| 0110 | 6 |
| 0111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | آ |
| 1011 | ب |
| 1100 | سی |
| 1101 | D |
| 1110 | E |
| 1111 | اف |
جدول برای تبدیل به سیستم اعداد اکتالی
نشانه گذاری:
- نمایش مجموعه ای از اعداد (اعداد صحیح و/یا واقعی) را ارائه می دهد.
- به هر عدد یک نمایش منحصر به فرد (یا حداقل یک نمایش استاندارد) می دهد.
- ساختار جبری و حسابی اعداد را منعکس می کند.
سیستم های اعداد به دو دسته تقسیم می شوند موضعی, غیر موضعیو مختلط.
سیستم های اعداد موقعیتی
در سیستم های اعداد موقعیتی، یک علامت عددی (رقمی) یکسان در نماد یک عدد بسته به مکانی (رقمی) که در آن قرار دارد، معانی متفاوتی دارد. اختراع شماره گذاری موقعیتی بر اساس معنی مکان ارقام به سومریان و بابلی ها نسبت داده می شود. چنین شماره گذاری توسط هندوها ایجاد شد و پیامدهای ارزشمندی در تاریخ تمدن بشری داشت. چنین سیستم هایی شامل سیستم اعداد اعشاری مدرن است که ظهور آن با شمارش انگشتان همراه است. در اروپای قرون وسطی از طریق بازرگانان ایتالیایی ظاهر شد که به نوبه خود آن را از مسلمانان قرض گرفتند.
سیستم اعداد موقعیتی معمولاً به سیستم عدد غنی اشاره دارد که توسط یک عدد صحیح به نام تعیین می شود اساسسیستم های اعداد یک عدد صحیح بدون علامت در سیستم اعداد -ary به صورت ترکیب خطی محدودی از توان های یک عدد نشان داده می شود:
، جایی که اعداد صحیح نامیده می شوند در اعداد، ارضای نابرابری.هر درجه در چنین نمادی وزن رتبه ای نامیده می شود. قدمت ارقام و ارقام مربوط به آنها با مقدار نشانگر (عدد رقمی) تعیین می شود. به طور معمول، در اعداد غیر صفر، صفرهای سمت چپ حذف می شوند.
اگر هیچ تناقضی وجود نداشته باشد (مثلاً وقتی همه اعداد به شکل کاراکترهای نوشته شده منحصر به فرد ارائه می شوند)، عدد به صورت دنباله ای از ارقام الفبایی آن نوشته می شود که به ترتیب نزولی اولویت ارقام از چپ به راست فهرست شده است:
مثلا عدد یکصد و سهدر سیستم اعداد اعشاری به صورت:
در حال حاضر بیشترین استفاده از سیستم های موقعیتی عبارتند از:
در سیستم های موقعیتی، هرچه پایه سیستم بزرگتر باشد، هنگام نوشتن یک عدد، تعداد ارقام کمتری (یعنی ارقام نوشته شده) مورد نیاز است.
سیستم های اعداد مختلط
سیستم اعداد مختلطتعمیم سیستم اعداد غنی است و همچنین اغلب به سیستم های اعداد موقعیتی اشاره دارد. اساس سیستم اعداد مختلط یک دنباله فزاینده از اعداد است و هر عدد در آن به عنوان یک ترکیب خطی نشان داده می شود:
، که در آن ضرایب مانند قبل فراخوانی می شوند در اعداد، برخی محدودیت ها اعمال می شود.نوشتن یک عدد در یک سیستم اعداد مختلط، فهرست کردن ارقام آن به ترتیب نزولی شاخص است که با اولین غیرصفر یک شروع می‌شود.
بسته به نوع به عنوان تابعی از، سیستم های اعداد مختلط می توانند توانی، نمایی و غیره باشند. هنگامی که برای برخی، سیستم اعداد مختلط با سیستم اعداد غنی نمایی منطبق است.
معروف ترین مثال سیستم اعداد مختلط، نمایش زمان به صورت تعداد روز، ساعت، دقیقه و ثانیه است. در این مورد، مقدار "روز، ساعت، دقیقه، ثانیه" با مقدار ثانیه مطابقت دارد.
سیستم اعداد فاکتوریل
که در سیستم اعداد فاکتوریلپایه ها دنباله ای از فاکتوریل ها هستند و هر عدد طبیعی به صورت زیر نمایش داده می شود:
، جایی که .سیستم اعداد فاکتوریل زمانی استفاده می شود که رمزگشایی جایگشت ها با فهرستی از وارونگی ها: با داشتن عدد جایگشت می توانید آن را به صورت زیر بازتولید کنید: عددی که یک عدد کمتر از عدد است (اعداد از صفر شروع می شود) در سیستم اعداد فاکتوریل نوشته می شود و ضریب عدد i! تعداد وارونگی‌های عنصر i+1 را در مجموعه‌ای که جایگشت‌ها در آن ایجاد شده‌اند نشان می‌دهد (تعداد عناصر کوچکتر از i+1، اما در سمت راست آن در جایگشت مورد نظر قرار دارند)
مثال: مجموعه ای از جایگشت های 5 عنصر را در نظر بگیرید، در کل 5 عنصر وجود دارد! = 120 (از جایگشت شماره 0 - (1،2،3،4،5) به جایگشت شماره 119 - (5،4،3،2،1))، بیایید جایگشت 101 را پیدا کنیم: 100 = 4!* 4 + 3!*0 + 2!*2 + 1!*0 = 96 + 4; بگذارید ti ضریب عدد i باشد!، سپس t4 = 4، t3 = 0، t2 = 2، t1 = 0، سپس: تعداد عناصر کمتر از 5، اما در سمت راست، 4 است. تعداد عناصر کمتر از 4 اما در سمت راست 0 است. تعداد عناصر کمتر از 3، اما واقع در سمت راست 2 است. تعداد عناصر کمتر از 2، اما در سمت راست 0 است (آخرین عنصر در جایگشت در تنها مکان باقی مانده "قرار داده می شود") - بنابراین، جایگشت 101 به نظر می رسد: (5،3،1،2 4) بررسی این روش می تواند با شمارش مستقیم وارونگی ها برای هر عنصر جایگشت انجام شود.
سیستم اعداد فیبوناچیبر اساس اعداد فیبوناچی هر عدد طبیعی به شکل زیر نمایش داده می شود:
، اعداد فیبوناچی کجا هستند، و ضرایب دارای یک عدد محدود هستند و دو عدد در یک ردیف وجود ندارد.سیستم های اعداد غیر موقعیتی
در سیستم های اعداد غیر موقعیتی، مقداری که یک رقم نشان می دهد به موقعیت آن در عدد بستگی ندارد. در این حالت، سیستم می تواند محدودیت هایی را برای موقعیت اعداد اعمال کند، به عنوان مثال، به طوری که آنها به ترتیب نزولی مرتب شوند.
سیستم اعداد دو جمله ای
نمایش با استفاده از ضرایب دو جمله ای
، جایی که .سیستم کلاس باقیمانده (RCS)
نمایش عدد در سیستم کلاس باقیمانده بر اساس مفهوم باقیمانده و قضیه باقی مانده چینی است. RNS با مجموعه ای از نسبتاً اول تعیین می شود ماژول هابا محصول به گونه ای که هر عدد صحیح از بخش با مجموعه ای از باقیمانده ها همراه باشد، که در آن
…در عین حال، قضیه باقیمانده چینی منحصر به فرد بودن نمایش اعداد از بازه را تضمین می کند.
در RNS، عملیات حسابی (جمع، تفریق، ضرب، تقسیم) در صورتی انجام می شود که نتیجه یک عدد صحیح باشد و همچنین در .
معایب RNS توانایی نمایش تعداد محدودی از اعداد و همچنین عدم وجود الگوریتم های موثر برای مقایسه اعداد ارائه شده در RNS است. مقایسه معمولاً از طریق ترجمه آرگومان‌ها از RNS به یک سیستم اعداد ریشه‌ای مختلط انجام می‌شود.
سیستم شماره استرن– بروکو- راهی برای نوشتن اعداد گویا مثبت، بر اساس درخت Stern–Brocot.
سیستم های اعداد ملل مختلف
سیستم شماره واحد
ظاهراً از نظر زمانی اولین سیستم اعداد هر ملتی است که در شمارش تسلط دارد. یک عدد طبیعی با تکرار همان علامت (خط تیره یا نقطه) نشان داده می شود. به عنوان مثال، برای به تصویر کشیدن عدد 26، باید 26 خط بکشید (یا 26 بریدگی روی یک استخوان، سنگ و غیره ایجاد کنید). متعاقباً، برای راحتی در درک اعداد بزرگ، این علائم در گروه های سه یا پنج نفره گروه بندی می شوند. سپس گروه‌های حجم مساوی از علائم با علامت جدیدی جایگزین می‌شوند - اینگونه است که نمونه‌های اولیه اعداد آینده به وجود می‌آیند.
سیستم اعداد مصر باستان
سیستم اعداد بابلی
سیستم های اعداد الفبایی
سیستم های اعداد الفبایی توسط ارمنیان باستان، گرجی ها، یونانی ها (سیستم اعداد یونی)، اعراب (ابجدیه)، یهودیان (به gematria مراجعه کنید) و دیگر مردمان خاورمیانه استفاده می شد. در کتابهای مذهبی اسلاو، سیستم الفبای یونانی به حروف سیریلیک ترجمه شد.
سیستم اعداد یهودی
سیستم اعداد یونانی
سیستم اعداد رومی
مثال متعارف یک سیستم اعداد تقریبا غیر موقعیتی، رومی است که از حروف لاتین به عنوان اعداد استفاده می کند:
من مخفف 1 است،
V - 5،
X - 10،
L - 50،
C - 100،
D - 500،
M - 1000
به عنوان مثال، II = 1 + 1 = 2
در اینجا نماد I مخفف 1 بدون توجه به جایگاه آن در عدد است.
در واقع، سیستم رومی کاملاً غیر موقعیتی نیست، زیرا رقم کوچکتر که قبل از بزرگتر قرار می گیرد از آن کم می شود، برای مثال:
IV = 4، در حالی که:
VI = 6
سیستم اعداد مایاها
همچنین ببینید
یادداشت
پیوندها
- گاشکوف اس بی.سیستم های اعداد و کاربردهای آنها - M.: MTsNMO، 2004. - (کتابخانه "آموزش ریاضی").
- فومین اس.وی.سیستم های اعداد - M.: Nauka، 1987. - 48 p. - (سخنرانی محبوب در ریاضیات).
- یاگلوم I.سیستم های اعداد // کوانتومی. - 1970. - شماره 6. - ص 2-10.
- اعداد و سیستم های اعداد دایره المعارف آنلاین در سراسر جهان.
- استاخوف آ.نقش سیستم های اعداد در تاریخ کامپیوتر
- سیستم های شماره Mikushin A.V. دوره سخنرانی "دستگاه های دیجیتال و ریزپردازنده ها"
- باتلر جی.تی، ساسائو تی. سیستم‌های اعداد چندمقدار اضافی این مقاله سیستم‌های اعدادی را مورد بحث قرار می‌دهد که از ارقام بزرگتر از یک استفاده می‌کنند و اجازه افزونگی در نمایش اعداد را می‌دهند.
بنیاد ویکی مدیا 2010.
ببینید «سیستم اعداد» در فرهنگ‌های دیگر چیست:
راهی برای نمایش اعداد و قوانین عملکرد بر روی آنها. سیستم اعداد موقعیتی و غیر موقعیتی وجود دارد. همچنین ببینید: دیکشنری سیستم های اعداد داده های مالی Finam ... فرهنگ لغت مالی
نشانه گذاری- (1) سیستم مسیر برای محاسبه مداوم خودکار (یا دستی توسط ناوبر) حرکت واقعی یک هواپیما، کشتی، میلیون سلاح کنترل شده تحت تأثیر نیروی محرکه خود و عوامل خارجی (باد، هوا و ... ..) . دایره المعارف بزرگ پلی تکنیک
نشانه گذاری- - مباحث مخابرات، مفاهیم اولیه سیستم شماره EN ...
نشانه گذاری- ▲ مجموعه کد، سیستم نماد اعداد صحیح برای نمایش اعداد. روش نوشتن اعداد؛ رمزگذاری اعداد رقم علامتی است که یک عدد صحیح را نشان می دهد. tsifir (منسوخ شده). اعداد رومی. اعداد عربی: صفر. یکی دو سه. چهار … فرهنگ لغت ایدئوگرافیک زبان روسی
نشانه گذاری- مجموعه ای از نمادها و قوانین برای نوشتن اعداد (به عنوان مثال، اعداد رومی را ببینید). در عمل انسان، سیستم اعداد اعشاری بیشترین استفاده را دارد. در فناوری محاسبات (کامپیوتری) باینری، اکتال و... ... آغاز علوم طبیعی مدرن
نشانه گذاری- skaičių sistema statusas T sritis automatika atitikmenys: engl. سیستم نمایش اعداد؛ سیستم شماره؛ سیستم شماره گذاری؛ سیستم اعداد؛ سیستم شماره گذاری؛ سیستم عددی؛ مقیاس vok. Zahlendarstellungssystem، n; Zahlensystem, n rus.… … Automatikos Terminų žodynas
سیستم شماره کلاس باقیمانده- سیستم اعداد در باقیمانده - [L.G.Sumenko. فرهنگ لغت انگلیسی-روسی در زمینه فناوری اطلاعات. M.: State Enterprise TsNIIS، 2003.] موضوعات فناوری اطلاعات به طور کلی مترادف سیستم اعداد در باقیمانده EN باقیمانده (شماره) سیستم ... راهنمای مترجم فنی
سیستم اعداد با پایه منفی- - [L.G.Sumenko. فرهنگ لغت انگلیسی به روسی در زمینه فناوری اطلاعات. M.: State Enterprise TsNIIS، 2003.] موضوعات فناوری اطلاعات به طور کلی سیستم نمایش عدد پایه منفی EN ... راهنمای مترجم فنی
در امور سازماندهی پردازش اطلاعات با استفاده از رایانه، سیستم های اعداد، اشکال ارائه داده ها و کدگذاری ویژه اعداد جایگاه مهمی را اشغال می کنند.
مجموعه تکنیک های نامگذاری و نوشتن اعداد نامیده می شود به حساب مرده. زیر سیستم شمارهبه روشی برای نمایش هر عدد با استفاده از الفبای محدودی از نمادها به نام رقم اشاره دارد. شماره گذاری یک مورد خاص از کدگذاری است که در آن کلمه ای که با الفبای خاصی و بر اساس قوانین خاصی نوشته می شود، رمز نامیده می شود. در رابطه با علامت گذاری، این کد شماره است.
سیستم اعداد موقعیتی و غیر موقعیتی
سیستم اعداد موقعیتی و غیر موقعیتی وجود دارد. در سیستم های اعداد غیر موقعیتی، هر عدد با مجموعه ای از نمادها مشخص می شود. یک نماینده معمولی از سیستم های غیر موقعیتی، سیستم اعداد رومی با روش پیچیده نوشتن اعداد و قوانین دست و پا گیر برای انجام عملیات حسابی است. به عنوان مثال، ورودی MCMXCIX به این معنی است که عدد 1999 نوشته شده است (M - یک هزار، C - صد، X - ده، V - پنج، I - یک، و غیره).
سیستم های اعداد موقعیتی مزایای زیادی در وضوح نمایش اعداد و در سهولت انجام عملیات حسابی دارند.
در یک سیستم اعداد موقعیتی، ارزش یک عدد نه تنها با مجموعه ارقام موجود در آن، بلکه با مکان (موقعیت) آنها در دنباله ارقام نشان دهنده این عدد، به عنوان مثال، اعداد 127 و 721 تعیین می شود.
سیستم اعداد موقعیتی سیستم اعداد اعشاری است که در زندگی روزمره استفاده می شود. علاوه بر اعشاری، سیستم‌های اعداد موقعیتی دیگری نیز وجود دارند و برخی از آنها در علوم کامپیوتر کاربرد پیدا کرده‌اند.
تعداد نمادهای مورد استفاده در یک سیستم اعداد موقعیتی را پایه آن می گویند. معمولاً با حرف q نشان داده می شود. سیستم اعداد اعشاری از ده نماد (رقم) استفاده می کند: 0، 1، 2، 3،4، 5، 6، 7، 8، 9 و پایه سیستم عدد ده است.
جایگاه ویژه ای در بین سیستم های اعداد موقعیتی توسط سیستم هایی با وزن ارقام قانون قدرت اشغال شده است که در آنها وزن موقعیت های مجاور ارقام (ارقام) از نظر مقدار با تعداد ثابتی برابر با q پایه سیستم اعداد متفاوت است.
به طور کلی، در چنین سیستم اعداد موقعیتی با پایه q، هر عدد X را می توان به عنوان یک چند جمله ای بسط نشان داد:
(1.1)
جایی که:
A(q) - ثبت یک عدد در سیستم اعداد با پایه q.
ai - اعداد صحیح کمتر از q.
n - تعداد ارقام (موقعیت) در قسمت صحیح عدد؛
m - تعداد ارقام در قسمت کسری عدد.
مثلا:
برای نشان دادن سیستم اعداد استفاده شده، پایه آن در نمایه نشان داده شده است. نمایش عدد A به صورت دنباله ای از ضرایب a. چند جمله ای مخفف شرطی آن (کد) است.
A(q)=a n-1 a n-2 …a 1 a 0 ,a -1 …a -m (1.2)
کاما قسمت صحیح یک عدد را از قسمت کسری جدا می کند و به عنوان شروع شمارش مقادیر وزن هر موقعیت (رقم) عمل می کند.
در علوم کامپیوتر از سیستم های اعداد موقعیتی با پایه غیر اعشاری استفاده می شود: باینری، هشت و هگزادسیمال، یعنی سیستم های عددی با پایه q = 2 k، که در آن k = 1،3،4.
سیستم اعداد باینری
پرکاربردترین سیستم اعداد، سیستم اعداد باینری است.
یک عدد دلخواه را می توان با استفاده از فرمول (1.1) به عنوان بسط در توان دو نشان داد. سپس علامت اختصاری شرطی مطابق با (1.2) به معنای نمایش یک عدد در سیستم اعداد باینری (کد دودویی یک عدد) است که در آن ai = 0 یا 1 است.
مثلا:
15,625=1 2 3 +1 2 2 +1 2 1 +1 2 0 + 1 2 -1 +0 2 -2 +1 2 -3 = 1111,101 (2)
نمایش دودویی یک عدد تقریباً به 3.3 برابر ارقام بیشتر از نمایش اعشاری آن نیاز دارد. با این حال، استفاده از سیستم اعداد باینری راحتی زیادی برای عملکرد یک کامپیوتر ایجاد می‌کند، زیرا هر عنصر ذخیره‌سازی که دارای دو حالت پایدار است می‌تواند برای نمایش بیتی از یک عدد باینری در یک ماشین استفاده شود.
سیستم اعداد هشتگانه
در سیستم اعداد هشتگانه، حروف الفبا از هشت کاراکتر (رقم) تشکیل شده است: 0، 1 ... 7. پایه سیستم اعداد q = 8 است. برای نوشتن یک عدد دلخواه در سیستم اعداد هشتگانه، باید از آن استفاده کنید. فرمول (1.1) برای یافتن بسط آن در توانهای هشت، و سپس از علامت اختصاری شرطی (1.2) استفاده کنید.
مثلا، عدد اعشاری 53 (10) = 65 (8)
سیستم اعداد هگزادسیمال
در سیستم اعداد هگزادسیمال، الفبا شامل 16 کاراکتر (اعداد و حروف): 0، 1 ... 9، A، B، C، D، E، F. پایه سیستم اعداد q = 16 است. برای نوشتن یک عدد دلخواه در این شماره سیستم، باید بسط آن را در توان های 16 با استفاده از فرمول (1.1) و با استفاده از فرمول (1.2) برای یافتن کد پیدا کنید.
مثلا: 31 (10) = 1F (16)
کدگذاری اعشاری باینری
همراه با کدهای باینری که کامپیوتر روی آنها کار می کند، از کدگذاری اعشاری باینری ویژه برای ورودی و خروجی اعداد اعشاری (داده) استفاده می شود. با کدگذاری BCD، هر رقم اعشاری با یک تتراد (چهار) ارقام باینری جایگزین می‌شود و خود تترادها به ترتیب مطابق با ترتیب ارقام اعشاری نوشته می‌شوند. تبدیل BCD به اعشاری کد منبع را به تتراد در سمت راست و چپ نقطه اعشار می‌شکند که سپس با اعداد اعشاری جایگزین می‌شوند.
بنابراین، با کدگذاری اعشاری باینری، عدد در واقع به یک سیستم اعداد جدید تبدیل نمی شود، بلکه ما با یک سیستم اعداد اعشاری با کد باینری سر و کار داریم.
مثلا ، عدد اعشاری 12 (10) = C (16) = 14 (8) = 1100 (2) = 00010010 (2-10).
کامپیوتر از اشکال زیر برای نمایش داده استفاده می کند:
اعداد با نقطه ثابت (کاما)؛
اعداد اعشاری؛
اعداد اعشاری؛
داده های کاراکتر
اعداد نقاط ثابت
هنگام نمایش یک عدد X به شکل نقطه ثابت، علامت عدد (علامت X) و مدول عدد (modX) در کد q-ary نشان داده می شود. گاهی اوقات این شکل از نمایش اعداد را شکل طبیعی می نامند. جای نقطه (کاما) برای همه اعداد ثابت است و در روند حل مسائل تغییر نمی کند. علامت عدد مثبت با کد "0" و علامت عدد منفی با "1" کد می شود.
کد یک عدد به صورت نقطه ثابت که از کد علامت و کد q-ary مدول آن تشکیل شده است، کد مستقیم نامیده می شود. رقم رمز مستقیم عددی که کد علامت در آن قرار دارد، رقم علامت رمز نامیده می شود. بیت های کد مستقیم یک عدد که کد q-ary مدول عدد در آنها قرار دارد، بیت های دیجیتال کد نامیده می شوند. هنگام نوشتن یک کد مستقیم، بیت علامت در سمت چپ مهم ترین بیت دیجیتال قرار دارد و معمولاً با یک نقطه از بیت های دیجیتال جدا می شود.
به طور کلی، شبکه بیت کامپیوتر برای قرار دادن اعداد به صورت نقطه ثابت در شکل نشان داده شده است.
شکل n رقم را برای نشان دادن قسمت صحیح عدد و رقم r را برای قسمت کسری عدد نشان می دهد.
الف) ثابت 
برای n و r داده شده، دامنه تغییرات در ماژول های اعداد، که کدهای آنها را می توان در یک شبکه بیت معین نشان داد، توسط نابرابری تعیین می شود.
استفاده از فرم نقطه ثابت برای نمایش اعداد مختلط (با یک عدد صحیح و یک جزء کسری) عملاً در رایانه ها یافت نمی شود. به عنوان یک قاعده، کامپیوترها با حساب کسری (n=0) یا عدد صحیح (r=0) استفاده می شوند.
شکل نقطه ثابت نمایش اعداد، اجرای سخت افزاری کامپیوتر را ساده می کند و زمان لازم برای انجام عملیات ماشین را کاهش می دهد، با این حال، هنگام حل مشکلات روی یک ماشین، باید دائماً اطمینان حاصل شود که تمام داده های اولیه، نتایج میانی و نهایی در محدوده قابل قبول نمایندگی هستند. اگر این مورد رعایت نشود، شبکه بیت ممکن است سرریز شود و نتیجه محاسبه نادرست خواهد بود. کامپیوترهایی که از فرم ممیز شناور یا فرم معمولی استفاده می کنند تا حد زیادی از این کاستی ها عاری هستند.
اعداد اعشاری
ب) شکل 14.b با ممیز شناور 
در شکل عادی، یک عدد به عنوان یک محصول نشان داده می شود X=mqp
جایی که m مانتیس عدد است.
q - پایه سیستم اعداد؛
r - سفارش.
برای تعیین یک عدد به شکل عادی، باید نشانه‌های مانتیس و توان، ماژول‌های آنها را در کد q-ary و همچنین پایه سیستم اعداد را مشخص کنید. شکل عادی نمایش اعداد مبهم است، زیرا تغییر متقابل m و p منجر به شناور شدن نقطه (کاما) می شود. نام فرم نمایش اعداد از اینجا می آید.
برای اطمینان از نمایش بدون ابهام اعداد در رایانه، از یک فرم نرمال شده استفاده می شود که در آن موقعیت نقطه همیشه قبل از رقم قابل توجه مانتیس داده می شود، یعنی شرط برقرار است. 
در حالت کلی، شبکه بیت یک کامپیوتر برای قرار دادن اعداد به شکل معمولی را می توان همانطور که در شکل نشان داده شده است نشان داد. شبکه بیت شامل:
رقم برای علامت مانتیس;
r بیت های دیجیتال برای کد q-ary ماژول mantissa.
رقم برای کد علامت سفارش;
s ارقام برای کد q-ary مدول نظم.
محدوده نمایش مدول اعداد به شکل نرمال شده توسط نابرابری زیر تعیین می شود:
در یک کامپیوتر خاص، محدوده نمایش اعداد ممیز شناور به پایه سیستم و تعداد ارقام برای نمایش ترتیب بستگی دارد.
در عین حال، برای قالب‌های اعداد ممیز شناور با طول مساوی، با افزایش پایه سیستم اعداد، دامنه اعداد نمایش‌داده شده به طور قابل‌توجهی گسترش می‌یابد.
دقت محاسبات هنگام استفاده از فرمت ممیز شناور با تعداد ارقام mantissa r تعیین می شود. با تعداد ارقام افزایش می یابد.
هنگام ارائه اطلاعات به صورت اعداد اعشاری چند رقمی، هر رقم اعشاری با یک کد اعشاری باینری جایگزین می شود. برای سرعت بخشیدن به تبادل اطلاعات، صرفه جویی در حافظه و راحت تر کردن عملیات با اعداد اعشاری، فرمت های ویژه ای برای نمایش آنها ارائه شده است: منطقه (بدون بسته بندی)
و بسته بندی شده
. فرمت zone در عملیات I/O استفاده می شود. برای این منظور کامپیوتر دستورات خاصی برای بسته بندی و بازکردن اعداد اعشاری دارد.
برای ذخیره اعداد و انجام عملیات های مختلف بر روی آنها، آنها با کدهای مختلفی نشان داده می شوند: جلو، معکوس و مکمل. همانطور که در بالا ذکر شد، کد مستقیم برای نمایش اعداد امضا شده در حافظه کامپیوتر استفاده می شود. برای نشان دادن کد مستقیم عدد X از نماد شکل ^ استفاده می شود.
قانون نمایش کد Q-ary یک عدد در کد مستقیم
دارای فرم:
که در آن xi مقدار رقم موجود در رقم i کد منبع است.
در اینجا مهم ترین بیت اطلاعات مربوط به علامت عدد را حمل می کند. اگر مقدار 0 را بگیرد، علامت عدد "+" است. اگر مقدار 1 باشد، علامت عدد "-" است.
مثلا برای کد باینری
| X (2) = +11001011 | [X (2) ]=0.11001011; |
| X(2) = -01101011 | [X (2) ]=1.01101011. |
هنگام نمایش اعداد در کد مستقیم، اجرای عملیات حسابی در رایانه باید اقدامات مختلفی را با ماژول های اعداد بسته به علائم آنها فراهم کند. بنابراین، اضافه کردن اعداد با علائم مشابه در کد مستقیم بسیار ساده است. اعداد اضافه می شوند و به مجموع یک کد علامت از اضافه ها اختصاص می یابد. عمل جمع جبری در کد مستقیم اعداد با علائم مختلف بسیار پیچیده تر است. در این حالت باید عدد مدول بزرگتر را تعیین کنید، اعداد را کم کنید و علامت عدد مدول بزرگتر را به تفاوت اختصاص دهید. برای ساده سازی اجرای عملیات جمع جبری در رایانه، از کدهای خاصی استفاده می شود که کاهش این عملیات را به عمل جمع حسابی ممکن می سازد. کدهای معکوس و اضافی به عنوان کدهای ویژه در رایانه ها استفاده می شوند. آنها از کدهای مستقیم اعداد تشکیل می شوند و کد ویژه یک عدد مثبت برابر با کد مستقیم آن است.
برای نشان دادن کد معکوس عدد X(q) از شکل [X(q)] arr استفاده می شود.
قانون نمایش کد q-ary یک عدد در کد معکوس
دارای فرم:
در اینجا وارونگی عدد xi است که از رابطه تعیین می شود:
که در آن: q - پایه سیستم اعداد.
xj مقدار رقم موجود در رقم i کد منبع است.
برای سیستم اعداد باینری، اگر x = 1 باشد، برعکس. از اینجا می توانیم یک قانون خاص برای تشکیل یک کد معکوس برای اعداد باینری منفی فرموله کنیم.
برای تبدیل کد مستقیم یک عدد منفی باینری به کد معکوس و بالعکس، باید بیت علامت را بدون تغییر رها کرد و در بیت‌های باقیمانده، صفرها را با یک و صفرها را جایگزین کرد.
مثلا:
| x (2) = +11011001، | pr.=0.11011001، | arr.= 0.11011001. |
| x (2) = - 01011101، | pr.=1.01011101، | arr.= 1.10100010. |
برای نشان دادن کد اضافی
عدد X(q) از نماد فرم اضافی استفاده می شود. قانون نمایش کد q-ary یک عدد در کد متمم دو عبارت است از:
بدین ترتیب، برای تبدیل کد مستقیم یک عدد منفی q-ary به یک عدد اضافی، باید آن را به یک کد معکوس تبدیل کنید و یک عدد را به رقم مرتبه پایین اضافه کنید.
به عنوان مثال، برای اعداد باینری:
| x (2) = +11011001، | pr.= 0.11011001، | اضافی = 0.11011001. |
| x (2) = - 01011101، | pr.=1.01011101، | arr.= 1.10100011. |
هنگام انجام عملیات جمع اعدادی که با کدهای q-ary خاص نشان داده می شوند، بیت های علامت همراه با بیت های دیجیتال در عملیات شرکت می کنند. در این حالت، ارقام دیجیتالی عبارت ها به عنوان ماژول های اعداد بر اساس قوانین محاسبات q-ary اضافه می شوند. بیت های علامت و ارقام حمل از مهم ترین بیت دیجیتال برای هر پایه سیستم عددی (q = 2) به عنوان کدهای باینری تک بیتی اضافه می شوند. اگر یک انتقال از بیت علامت تشکیل شود، در هنگام استفاده از کد معکوس، وزن آن برای کمترین بیت q -m یک است و باید به کمترین بیت نتیجه اضافه شود. هنگام استفاده از کد مکمل این دو، واحد حمل از بیت علامت در نظر گرفته نمی شود، یعنی دور انداخته می شود.
مثلا:
هنگام انجام عملیات جمع جبری، قبل از تبدیل کدهای مستقیم اضافات به کدهای خاص، در صورتی که تعداد ارقام اضافات متفاوت است، باید آنها را بر اساس تعداد ارقام تراز کرد. علاوه بر این، در برخی موارد، سرریز شبکه ممکن است رخ دهد. علامت سرریز شبکه بیت، ترکیب زیر از اعداد در ارقام علامت عبارات و نتیجه است:
نتیجه اضافه کردن کدهای اعداد ویژه هنگام سرریز شدن شبکه بیت نادرست است.
در حین مطالعه رمزگذاری، متوجه شدم که سیستم های اعداد را به خوبی درک نمی کنم. با این وجود، من اغلب از سیستم های 2-، 8-، 10-، 16 استفاده می کردم، یکی را به دیگری تبدیل می کردم، اما همه چیز به صورت خودکار انجام می شد. با خواندن بسیاری از نشریات، از نبود یک مقاله واحد و به زبان ساده در مورد چنین مطالب اساسی شگفت زده شدم. به همین دلیل تصمیم گرفتم خودم بنویسم که در آن سعی کردم اصول سیستم های اعداد را به صورت در دسترس و منظم ارائه کنم.
معرفی
نشانه گذاریروشی برای ثبت (نمایش) اعداد است.این یعنی چی؟ به عنوان مثال، شما چندین درخت را در مقابل خود می بینید. وظیفه شما این است که آنها را بشمارید. برای این کار می توانید انگشتان خود را خم کنید، بر روی سنگ (یک درخت - یک انگشت / شکاف) بریدگی ایجاد کنید یا 10 درخت را با یک شی مثلا سنگ و یک نمونه با چوب مطابقت دهید و آنها را قرار دهید. همانطور که شما می شمارید روی زمین در حالت اول، عدد به صورت رشته ای از انگشتان خم شده یا بریدگی نشان داده می شود، در مورد دوم - ترکیبی از سنگ ها و چوب ها، که در آن سنگ ها در سمت چپ و چوب ها در سمت راست قرار دارند.
سیستم های اعداد به موقعیتی و غیر موقعیتی و موقعیتی به نوبه خود به همگن و مختلط تقسیم می شوند.
غیر موضعی- قدیمی ترین، در آن هر رقم یک عدد دارای مقداری است که به موقعیت (رقم) آن بستگی ندارد. یعنی اگر 5 خط داشته باشید، این عدد نیز 5 است، زیرا هر خط، صرف نظر از جایگاهش در خط، تنها با 1 مورد مطابقت دارد.
سیستم موقعیت- معنای هر رقم به موقعیت (رقم) آن در عدد بستگی دارد. به عنوان مثال، سیستم شماره 10 که برای ما آشناست، موقعیتی است. بیایید عدد 453 را در نظر بگیریم. عدد 4 نشان دهنده تعداد صدها و مطابق با عدد 400 است، 5 - تعداد ده ها و مشابه مقدار 50 و 3 - واحدها و مقدار 3 است. همانطور که می بینید، رقم بزرگتر، مقدار بالاتر است. عدد نهایی را می توان به صورت مجموع 400+50+3=453 نشان داد.
سیستم همگن- برای تمام ارقام (موقعیت) یک عدد مجموعه نویسه های معتبر (ارقام) یکسان است. به عنوان مثال، اجازه دهید سیستم 10 که قبلاً ذکر شد را در نظر بگیریم. هنگام نوشتن یک عدد در یک سیستم 10 همگن، می توانید فقط از یک رقم از 0 تا 9 در هر رقم استفاده کنید، بنابراین عدد 450 مجاز است (رقم اول - 0، 2 - 5، 3 - 4)، اما 4F5 نیست، زیرا کاراکتر F در مجموعه اعداد 0 تا 9 گنجانده نشده است.
سیستم مختلط- در هر رقم (موقعیت) یک عدد، مجموعه کاراکترهای معتبر (ارقام) ممکن است با مجموعه ارقام دیگر متفاوت باشد. یک مثال بارز سیستم اندازه گیری زمان است. در دسته‌ی ثانیه‌ها و دقیقه‌ها، 60 علامت مختلف (از «00» تا «59»)، در رده ساعت‌ها - 24 علامت مختلف (از «00» تا «23»)، در دسته‌بندی روز وجود دارد. 365 و غیره
سیستم های غیر موقعیتی
به محض اینکه مردم شمارش را یاد گرفتند، نیاز به نوشتن اعداد پدید آمد. در ابتدا، همه چیز ساده بود - یک بریدگی یا خط روی یک سطح با یک جسم، به عنوان مثال، یک میوه مطابقت داشت. اینگونه بود که اولین سیستم اعداد - واحد ظاهر شد.سیستم شماره واحد
یک عدد در این سیستم اعداد رشته ای از خط تیره (چوب) است که تعداد آنها برابر با مقدار عدد داده شده است. بنابراین، برداشت 100 خرما برابر با عددی متشکل از 100 داش خواهد بود.اما این سیستم ناراحتی های آشکاری دارد - هر چه تعداد آن بیشتر باشد، رشته چوب ها طولانی تر است. علاوه بر این، هنگام نوشتن یک عدد به راحتی می توانید با اضافه کردن تصادفی یک چوب اضافی یا برعکس، عدم نوشتن آن اشتباه کنید.
برای راحتی، مردم شروع به گروه بندی چوب ها به قطعات 3، 5 و 10 کردند. در عین حال، هر گروه با علامت یا شیء خاصی مطابقت داشت. در ابتدا از انگشتان برای شمارش استفاده می شد، بنابراین اولین نشانه ها برای گروه های 5 و 10 قطعه ای (واحد) ظاهر شد. همه اینها امکان ایجاد سیستم های راحت تری برای ثبت اعداد را فراهم کرد.
سیستم اعشاری مصر باستان
در مصر باستان از نمادهای خاص (اعداد) برای نشان دادن اعداد 1، 10، 10 2، 10 3، 10 4، 10 5، 10 6، 10 7 استفاده می شد. در اینجا به برخی از آنها اشاره می کنیم:چرا به آن اعشاری می گویند؟ همانطور که در بالا گفته شد، مردم شروع به گروه بندی نمادها کردند. در مصر، آنها گروه 10 را انتخاب کردند و عدد "1" را بدون تغییر باقی گذاشتند. در این حالت عدد 10 را سیستم اعداد اعشاری پایه می نامند و هر نماد تا حدی نشان دهنده عدد 10 است.
اعداد در سیستم اعداد مصر باستان به صورت ترکیبی از آنها نوشته می شد
شخصیت هایی که هر کدام بیش از 9 بار تکرار نشدند. مقدار نهایی برابر با مجموع عناصر عدد بود. شایان ذکر است که این روش برای بدست آوردن مقدار مشخصه هر سیستم اعداد غیر موقعیتی است. یک مثال می تواند عدد 345 باشد:
سیستم جنسی بابلی
برخلاف سیستم مصری، سیستم بابلی تنها از دو علامت استفاده می‌کرد: یک گوه «مستقیم» برای نشان دادن واحدها و یک گوه «خوابیده» برای نشان دادن ده‌ها. برای تعیین مقدار یک عدد، باید تصویر عدد را از راست به چپ به ارقام تقسیم کنید. ترشح جدید با ظاهر شدن یک گوه مستقیم بعد از یک دراز کشیده شروع می شود. عدد 32 را به عنوان مثال در نظر می گیریم:
عدد 60 و تمام قدرت های آن نیز با یک گوه مستقیم مانند "1" نشان داده می شود. بنابراین، سیستم اعداد بابلی را سکساژیمال می نامیدند.
بابلی ها همه اعداد از 1 تا 59 را در یک سیستم اعشاری غیر موقعیتی و مقادیر بزرگ را در سیستم موقعیتی با پایه 60 می نوشتند. شماره 92:
ضبط شماره مبهم بود، زیرا هیچ رقمی وجود نداشت که نشان دهنده صفر باشد. نمایش عدد 92 نه تنها می تواند به معنای 92=60+32 باشد، بلکه مثلاً 3632=3600+32 نیز باشد. برای تعیین قدر مطلق یک عدد، نماد خاصی برای نشان دادن رقم جنسی کوچک گم شده معرفی شد که مربوط به ظاهر عدد 0 در نماد اعشاری است:
حالا عدد 3632 باید به صورت زیر نوشته شود:
سیستم شمسی بابلی اولین سیستم اعدادی است که تا حدی بر اساس اصل موقعیت است. این سیستم اعداد هنوز هم امروزه استفاده می شود، به عنوان مثال، هنگام تعیین زمان - یک ساعت شامل 60 دقیقه و یک دقیقه شامل 60 ثانیه است.
سیستم رومی
سیستم رومی تفاوت چندانی با سیستم مصری ندارد. برای نشان دادن اعداد 1، 5، 10، 50، 100، 500 و 1000، از حروف لاتین بزرگ I، V، X، L، C، D و M استفاده می کند. یک عدد در سیستم اعداد رومی مجموعه ای از ارقام متوالی است.روش های تعیین مقدار یک عدد:
- مقدار یک عدد برابر است با مجموع مقادیر ارقام آن. به عنوان مثال، عدد 32 در سیستم اعداد رومی XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2=32 است.
- اگر یک عدد کوچکتر در سمت چپ رقم بزرگتر وجود داشته باشد، این مقدار برابر است با تفاوت بین ارقام بزرگتر و کوچکتر. در عین حال، رقم چپ می‌تواند حداکثر تا یک مرتبه بزرگی کمتر از رقم راست باشد: برای مثال، فقط X(10) می‌تواند قبل از L(50) و C(100) در میان "پایین‌ترین" ظاهر شود. و فقط قبل از D(500) و M(1000) C(100)، قبل از V(5) - فقط I(1); عدد 444 در سیستم اعداد مورد بررسی به صورت CDXLIV = (D-C)+(L-X)+(V-I) = 400+40+4=444 نوشته می شود.
- مقدار برابر است با مجموع مقادیر گروه ها و اعدادی که در نقاط 1 و 2 قرار نمی گیرند.
1) اسلاوی
2) یونانی (یونیایی)
سیستم های اعداد موقعیتی
همانطور که در بالا ذکر شد، اولین پیش نیازها برای ظهور یک سیستم موقعیتی در بابل باستان بوجود آمد. در هند، این سیستم به شکل عدد دهی موقعیتی با استفاده از صفر بود و از هندی ها این سیستم اعداد توسط اعراب به عاریت گرفته شد، که اروپایی ها آن را از آنها پذیرفتند. به دلایلی در اروپا نام "عرب" به این سیستم اختصاص داده شد.سیستم اعداد اعشاری
این یکی از رایج ترین سیستم های اعداد است. این همان چیزی است که وقتی قیمت یک محصول را نام می بریم و شماره اتوبوس را می گوییم استفاده می کنیم. هر رقم (موقعیت) فقط می تواند از یک رقم از محدوده 0 تا 9 استفاده کند. پایه سیستم عدد 10 است.مثلاً عدد 503 را در نظر بگیریم. اگر این عدد در یک سیستم غیر موقعیتی نوشته می شد، مقدار آن 5+0+3 = 8 می شد. اما ما یک سیستم موقعیتی داریم و این یعنی هر رقم از عدد باید باشد. ضرب در پایه سیستم، در این مورد عدد "10" به توانی برابر با عدد رقمی افزایش می یابد. معلوم می شود که مقدار 5*10 2 + 0*10 1 + 3*10 0 = 500+0+3 = 503 است. برای جلوگیری از سردرگمی هنگام کار با چندین سیستم عددی به طور همزمان، پایه به عنوان یک زیرمجموعه نشان داده می شود. بنابراین، 503 = 503 10.
علاوه بر سیستم اعشاری، سیستم های 2-، 8- و 16 مستحق توجه ویژه هستند.
سیستم اعداد باینری
این سیستم عمدتاً در محاسبات استفاده می شود. چرا از 10 معمولی استفاده نکردند؟ اولین کامپیوتر توسط بلیز پاسکال ایجاد شد که از سیستم اعشاری استفاده کرد که در ماشین های الکترونیکی مدرن ناخوشایند بود زیرا نیاز به تولید دستگاه هایی با قابلیت کار در 10 ایالت داشت که باعث افزایش قیمت و اندازه نهایی آنها شد. دستگاه. عناصر فعال در سیستم 2 این کاستی ها را ندارند. با این حال، سیستم مورد بحث مدت ها قبل از اختراع رایانه ها ایجاد شده است و "ریشه" خود را در تمدن اینکاها دارد، جایی که از quipus استفاده می شد - بافته ها و گره های طناب پیچیده.سیستم اعداد موقعیتی باینری دارای پایه 2 است و از 2 نماد (رقم) برای نوشتن اعداد استفاده می کند: 0 و 1. فقط یک رقم در هر رقم مجاز است - 0 یا 1.
به عنوان مثال عدد 101 است. این عدد مشابه عدد 5 در سیستم اعداد اعشاری است. برای تبدیل از 2 به 10، باید هر رقم از یک عدد باینری را در پایه "2" ضرب کنید تا به توانی برابر با مقدار مکانی برسد. بنابراین، عدد 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10.
خوب، برای ماشین‌ها، سیستم شماره 2 راحت‌تر است، اما ما اغلب اعداد را در سیستم دهم روی رایانه می‌بینیم و از آنها استفاده می‌کنیم. پس چگونه دستگاه تعیین می کند که کاربر چه شماره ای را وارد می کند؟ چگونه یک عدد را از یک سیستم به سیستم دیگر ترجمه می کند، زیرا فقط 2 علامت دارد - 0 و 1؟
برای اینکه کامپیوتر با اعداد باینری (کدها) کار کند، باید در جایی ذخیره شوند. برای ذخیره هر رقم جداگانه، از یک ماشه، که یک مدار الکترونیکی است، استفاده می شود. می تواند در 2 حالت باشد که یکی از آنها برابر صفر و دیگری برابر یک است. برای به خاطر سپردن یک عدد واحد، از یک رجیستر استفاده می شود - گروهی از محرک ها، که تعداد آنها با تعداد ارقام یک عدد باینری مطابقت دارد. و مجموعه رجیسترها رم هستند. عدد موجود در رجیستر یک کلمه ماشینی است. عملیات حسابی و منطقی با کلمات توسط یک واحد منطق حسابی (ALU) انجام می شود. برای سهولت دسترسی به رجیسترها، آنها شماره گذاری می شوند. شماره را آدرس ثبت می نامند. به عنوان مثال، اگر شما نیاز به اضافه کردن 2 عدد دارید، کافی است شماره سلول ها (رجیسترها) که در آنها قرار دارند را نشان دهید و نه خود اعداد را. آدرس ها در سیستم های هشت و هگزادسیمال نوشته می شوند (در زیر مورد بحث قرار خواهند گرفت)، زیرا انتقال از آنها به سیستم باینری و برگشت بسیار ساده است. برای انتقال از 2 به 8، شماره باید به گروه های 3 رقمی از راست به چپ تقسیم شود، و برای حرکت به 16 - 4. اگر در سمت چپ ترین گروه ارقام تعداد ارقام کافی وجود نداشته باشد، آنها پر می شوند. از سمت چپ با صفرهایی که به آنها پیشرو می گویند. عدد 101100 2 را به عنوان مثال در نظر می گیریم. در هشتی 101 100 = 54 8 و در هگزا دسیمال 0010 1100 = 2C 16 است. عالی است، اما چرا اعداد اعشاری و حروف را روی صفحه می بینیم؟ هنگامی که یک کلید را فشار می دهید، دنباله خاصی از تکانه های الکتریکی به رایانه منتقل می شود و هر نماد دنباله ای از تکانه های الکتریکی خاص خود را دارد (صفر و یک). برنامه درایور صفحه کلید و صفحه به جدول کد کاراکترها دسترسی پیدا می کند (به عنوان مثال، یونیکد، که به شما امکان می دهد 65536 کاراکتر را رمزگذاری کنید)، تعیین می کند کد به دست آمده با کدام کاراکتر مطابقت دارد، و آن را روی صفحه نمایش می دهد. بنابراین، متون و اعداد در حافظه کامپیوتر به صورت کد باینری ذخیره می شوند و به صورت برنامه نویسی به تصاویر روی صفحه تبدیل می شوند.
سیستم اعداد هشتگانه
سیستم اعداد هشتم، مانند سیستم باینری، اغلب در فناوری دیجیتال استفاده می شود. پایه آن 8 است و از ارقام 0 تا 7 برای نوشتن اعداد استفاده می کند.نمونه ای از یک عدد اکتالی: 254. برای تبدیل به سیستم دهم، هر رقم از عدد اصلی باید در 8 n ضرب شود که n عدد رقمی است. معلوم می شود که 254 8 = 2*8 2 + 5*8 1 + 4*8 0 = 128+40+4 = 172 10.
سیستم اعداد هگزادسیمال
سیستم هگزادسیمال به طور گسترده در رایانه های مدرن استفاده می شود، به عنوان مثال، از آن برای نشان دادن رنگ استفاده می شود: #FFFFFF - سفید. سیستم مورد نظر دارای پایه 16 است و از اعداد زیر برای نوشتن استفاده می کند: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. C, D, E, F. حروف به ترتیب 10، 11، 12، 13، 14، 15 هستند.بیایید عدد 4F5 16 را به عنوان مثال در نظر بگیریم. برای تبدیل به سیستم هشتی، ابتدا عدد هگزا دسیمال را به باینری تبدیل می کنیم و سپس با تقسیم آن به گروه های 3 رقمی، به اکتال تبدیل می کنیم. برای تبدیل یک عدد به 2، باید هر رقم را به عنوان یک عدد باینری 4 بیتی نشان دهید. 4F5 16 = (100 1111 101) 2 . اما در گروه های 1 و 3 رقم کافی وجود ندارد، بنابراین بیایید هر کدام را با صفرهای اول پر کنیم: 0100 1111 0101. اکنون باید عدد حاصل را به گروه های 3 رقمی از راست به چپ تقسیم کنید: 0100 1111 0101 = 010 011 110 10 بیایید هر گروه باینری را به سیستم هشتگانه تبدیل کنیم، هر رقم را در 2 n ضرب کنیم، که در آن n عدد رقمی است: (0*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (0*2 2 +1*2. 1 +1*2 0) (1*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (1*2 2 +0*2 1 +1*2 0) = 2365 8 .
علاوه بر سیستم های اعداد موقعیتی در نظر گرفته شده، موارد دیگری نیز وجود دارد، به عنوان مثال:
1) تثلیث
2) کواترنری
3) اثنی عشر
سیستم های موقعیتی به دو دسته همگن و مختلط تقسیم می شوند.
سیستم های اعداد موقعیتی همگن
تعریف ارائه شده در ابتدای مقاله سیستم های همگن را به طور کامل توصیف می کند، بنابراین توضیح لازم نیست.سیستم های اعداد مختلط
به تعریف قبلی می‌توانیم این قضیه را اضافه کنیم: «اگر P=Q n (P،Q،n اعداد صحیح مثبت هستند، در حالی که P و Q پایه هستند)، پس ثبت هر عددی در سیستم اعداد مختلط (P-Q) یکسان است. مصادف با نوشتن همان عدد در سیستم اعداد با پایه Q است.بر اساس قضیه، می‌توانیم قوانینی را برای انتقال از سیستم‌های P به Q-ام و بالعکس فرموله کنیم:
- برای تبدیل از Q-th به P-ام، باید عدد موجود در سیستم Q-ام را به گروه های n رقمی تقسیم کنید که با رقم سمت راست شروع می شود و هر گروه را با یک رقم در سیستم P-ام جایگزین کنید. .
- برای تبدیل از P به Q ام، باید هر رقم از یک عدد در سیستم P را به Q-ام تبدیل کنید و ارقام گمشده را با صفرهای ابتدایی به استثنای عدد چپ پر کنید تا هر عدد در سیستم با پایه Q از n رقم تشکیل شده است.
سیستم های اعداد مختلط نیز به عنوان مثال:
1) فاکتوریل
2) فیبوناچی
تبدیل از یک سیستم عددی به سیستم دیگر
گاهی اوقات لازم است یک عدد را از یک سیستم اعداد به سیستم دیگر تبدیل کنید، بنابراین بیایید به روش های تبدیل بین سیستم های مختلف نگاه کنیم.تبدیل به سیستم اعداد اعشاری
یک عدد a 1 a 2 a 3 در سیستم اعداد با پایه b وجود دارد. برای تبدیل به سیستم دهم، لازم است هر رقم عدد را در b n ضرب کنیم که n عدد آن رقم است. بنابراین، (a 1 a 2 a 3) b = (a 1 *b 2 + a 2 *b 1 + a 3 *b 0) 10.مثال: 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10
تبدیل از سیستم اعداد اعشاری به سیستم های دیگر
کل قسمت:- قسمت صحیح عدد اعشاری را به ترتیب بر پایه سیستمی که به آن تبدیل می کنیم تقسیم می کنیم تا عدد اعشاری برابر با صفر شود.
- باقی مانده هایی که در حین تقسیم به دست می آید ارقام عدد مورد نظر است. عدد در سیستم جدید با شروع از آخرین باقی مانده نوشته می شود.
- قسمت کسری عدد اعشاری را در پایه سیستمی که می خواهیم به آن تبدیل کنیم ضرب می کنیم. کل قسمت را جدا کنید. همچنان قسمت کسری را در پایه سیستم جدید ضرب می کنیم تا مساوی 0 شود.
- اعداد در سیستم جدید از بخش های کامل حاصل ضرب به ترتیب مربوط به تولید آنها تشکیل شده اند.
15\8 = 1، باقیمانده 7
1\8 = 0، باقیمانده 1
با نوشتن تمام باقی مانده ها از پایین به بالا، عدد نهایی 17 را به دست می آوریم. بنابراین، 15 10 = 17 8.
تبدیل از باینری به اکتال و هگزادسیمال
برای تبدیل به اکتال، عدد باینری را از راست به چپ به گروه‌های 3 رقمی تقسیم می‌کنیم و بیرونی‌ترین ارقام از دست رفته را با صفرهای ابتدایی پر می‌کنیم. در مرحله بعد، هر گروه را با ضرب ارقام متوالی در 2n تبدیل می کنیم، جایی که n تعداد رقم است.بیایید عدد 1001 2 را به عنوان مثال در نظر بگیریم: 1001 2 = 001 001 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) = ( 0+ 0+1) (0+0+1) = 11 8
برای تبدیل به هگزادسیمال، عدد باینری را به گروه های 4 رقمی از راست به چپ تقسیم می کنیم، سپس مشابه تبدیل از 2 به 8 می کنیم.
تبدیل از هشت و هگزادسیمال به باینری
تبدیل از هشتی به دودویی - هر رقم از یک عدد هشتی را با تقسیم بر 2 به یک عدد 3 رقمی باینری تبدیل می کنیم (برای اطلاعات بیشتر در مورد تقسیم، به پاراگراف "تبدیل از سیستم اعداد اعشاری به سایرین" در بالا مراجعه کنید)، بیرونی ترین ارقام از دست رفته با صفرهای ابتدایی.به عنوان مثال، عدد 45 8 را در نظر بگیرید: 45 = (100) (101) = 100101 2
ترجمه از 16 به 2 - هر رقم از یک عدد هگزادسیمال را با تقسیم بر 2 به یک عدد باینری 4 رقمی تبدیل می کنیم و ارقام بیرونی گم شده را با صفرهای ابتدایی پر می کنیم.
تبدیل قسمت کسری هر سیستم عددی به اعشاری
تبدیل به همان روشی که برای قطعات صحیح انجام می شود، انجام می شود، با این تفاوت که ارقام عدد در پایه به توان "-n" ضرب می شوند، جایی که n از 1 شروع می شود.
مثال: 101,011 2 = (1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0)، (0*2 -1 + 1*2 -2 + 1*2 -3) = (5)، (0 + 0 0.25 + 0.125) = 5.375 10
تبدیل قسمت کسری باینری به 8 و 16
ترجمه قسمت کسری به همان روشی انجام می شود که برای قسمت های کامل یک عدد انجام می شود، با این استثنا که تقسیم به گروه های 3 و 4 رقمی به سمت راست نقطه اعشار می رود، ارقام گم شده با آنها تکمیل می شوند. صفر به سمت راستمثال: 1001.01 2 = 001 001، 010 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0)، (0*2 2 + 1 *2 1 + 0*2 0) = (0+0+1) (0+0+1)، (0+2+0) = 11.2 8
تبدیل بخش کسری سیستم اعشاری به هر قسمت دیگر
برای تبدیل قسمت کسری یک عدد به سیستم های اعداد دیگر، باید کل قسمت را به صفر تبدیل کنید و شروع به ضرب عدد حاصل در پایه سیستمی که می خواهید به آن تبدیل کنید، کنید. اگر در نتیجه ضرب، قطعات کامل دوباره ظاهر شوند، پس از یادآوری (نوشتن) مقدار کل قسمت حاصل، باید دوباره به صفر تبدیل شوند. عملیات زمانی به پایان می رسد که قسمت کسری کاملاً صفر شود.به عنوان مثال، بیایید 10.625 10 را به باینری تبدیل کنیم:
0,625*2 = 1,25
0,250*2 = 0,5
0,5*2 = 1,0
با نوشتن تمام باقیمانده ها از بالا به پایین، 10.625 10 = (1010)، (101) = 1010.101 2 به دست می آید.
در حین مطالعه رمزگذاری، متوجه شدم که سیستم های اعداد را به خوبی درک نمی کنم. با این وجود، من اغلب از سیستم های 2-، 8-، 10-، 16 استفاده می کردم، یکی را به دیگری تبدیل می کردم، اما همه چیز به صورت خودکار انجام می شد. با خواندن بسیاری از نشریات، از نبود یک مقاله واحد و به زبان ساده در مورد چنین مطالب اساسی شگفت زده شدم. به همین دلیل تصمیم گرفتم خودم بنویسم که در آن سعی کردم اصول سیستم های اعداد را به صورت در دسترس و منظم ارائه کنم.
معرفی
نشانه گذاریروشی برای ثبت (نمایش) اعداد است.این یعنی چی؟ به عنوان مثال، شما چندین درخت را در مقابل خود می بینید. وظیفه شما این است که آنها را بشمارید. برای این کار می توانید انگشتان خود را خم کنید، بر روی سنگ (یک درخت - یک انگشت / شکاف) بریدگی ایجاد کنید یا 10 درخت را با یک شی مثلا سنگ و یک نمونه با چوب مطابقت دهید و آنها را قرار دهید. همانطور که شما می شمارید روی زمین در حالت اول، عدد به صورت رشته ای از انگشتان خم شده یا بریدگی نشان داده می شود، در مورد دوم - ترکیبی از سنگ ها و چوب ها، که در آن سنگ ها در سمت چپ و چوب ها در سمت راست قرار دارند.
سیستم های اعداد به موقعیتی و غیر موقعیتی و موقعیتی به نوبه خود به همگن و مختلط تقسیم می شوند.
غیر موضعی- قدیمی ترین، در آن هر رقم یک عدد دارای مقداری است که به موقعیت (رقم) آن بستگی ندارد. یعنی اگر 5 خط داشته باشید، این عدد نیز 5 است، زیرا هر خط، صرف نظر از جایگاهش در خط، تنها با 1 مورد مطابقت دارد.
سیستم موقعیت- معنای هر رقم به موقعیت (رقم) آن در عدد بستگی دارد. به عنوان مثال، سیستم شماره 10 که برای ما آشناست، موقعیتی است. بیایید عدد 453 را در نظر بگیریم. عدد 4 نشان دهنده تعداد صدها و مطابق با عدد 400 است، 5 - تعداد ده ها و مشابه مقدار 50 و 3 - واحدها و مقدار 3 است. همانطور که می بینید، رقم بزرگتر، مقدار بالاتر است. عدد نهایی را می توان به صورت مجموع 400+50+3=453 نشان داد.
سیستم همگن- برای تمام ارقام (موقعیت) یک عدد مجموعه نویسه های معتبر (ارقام) یکسان است. به عنوان مثال، اجازه دهید سیستم 10 که قبلاً ذکر شد را در نظر بگیریم. هنگام نوشتن یک عدد در یک سیستم 10 همگن، می توانید فقط از یک رقم از 0 تا 9 در هر رقم استفاده کنید، بنابراین عدد 450 مجاز است (رقم اول - 0، 2 - 5، 3 - 4)، اما 4F5 نیست، زیرا کاراکتر F در مجموعه اعداد 0 تا 9 گنجانده نشده است.
سیستم مختلط- در هر رقم (موقعیت) یک عدد، مجموعه کاراکترهای معتبر (ارقام) ممکن است با مجموعه ارقام دیگر متفاوت باشد. یک مثال بارز سیستم اندازه گیری زمان است. در دسته‌ی ثانیه‌ها و دقیقه‌ها، 60 علامت مختلف (از «00» تا «59»)، در رده ساعت‌ها - 24 علامت مختلف (از «00» تا «23»)، در دسته‌بندی روز وجود دارد. 365 و غیره
سیستم های غیر موقعیتی
به محض اینکه مردم شمارش را یاد گرفتند، نیاز به نوشتن اعداد پدید آمد. در ابتدا، همه چیز ساده بود - یک بریدگی یا خط روی یک سطح با یک جسم، به عنوان مثال، یک میوه مطابقت داشت. اینگونه بود که اولین سیستم اعداد - واحد ظاهر شد.سیستم شماره واحد
یک عدد در این سیستم اعداد رشته ای از خط تیره (چوب) است که تعداد آنها برابر با مقدار عدد داده شده است. بنابراین، برداشت 100 خرما برابر با عددی متشکل از 100 داش خواهد بود.اما این سیستم ناراحتی های آشکاری دارد - هر چه تعداد آن بیشتر باشد، رشته چوب ها طولانی تر است. علاوه بر این، هنگام نوشتن یک عدد به راحتی می توانید با اضافه کردن تصادفی یک چوب اضافی یا برعکس، عدم نوشتن آن اشتباه کنید.
برای راحتی، مردم شروع به گروه بندی چوب ها به قطعات 3، 5 و 10 کردند. در عین حال، هر گروه با علامت یا شیء خاصی مطابقت داشت. در ابتدا از انگشتان برای شمارش استفاده می شد، بنابراین اولین نشانه ها برای گروه های 5 و 10 قطعه ای (واحد) ظاهر شد. همه اینها امکان ایجاد سیستم های راحت تری برای ثبت اعداد را فراهم کرد.
سیستم اعشاری مصر باستان
در مصر باستان از نمادهای خاص (اعداد) برای نشان دادن اعداد 1، 10، 10 2، 10 3، 10 4، 10 5، 10 6، 10 7 استفاده می شد. در اینجا به برخی از آنها اشاره می کنیم:چرا به آن اعشاری می گویند؟ همانطور که در بالا گفته شد، مردم شروع به گروه بندی نمادها کردند. در مصر، آنها گروه 10 را انتخاب کردند و عدد "1" را بدون تغییر باقی گذاشتند. در این حالت عدد 10 را سیستم اعداد اعشاری پایه می نامند و هر نماد تا حدی نشان دهنده عدد 10 است.
اعداد در سیستم اعداد مصر باستان به صورت ترکیبی از آنها نوشته می شد
شخصیت هایی که هر کدام بیش از 9 بار تکرار نشدند. مقدار نهایی برابر با مجموع عناصر عدد بود. شایان ذکر است که این روش برای بدست آوردن مقدار مشخصه هر سیستم اعداد غیر موقعیتی است. یک مثال می تواند عدد 345 باشد:
سیستم جنسی بابلی
برخلاف سیستم مصری، سیستم بابلی تنها از دو علامت استفاده می‌کرد: یک گوه «مستقیم» برای نشان دادن واحدها و یک گوه «خوابیده» برای نشان دادن ده‌ها. برای تعیین مقدار یک عدد، باید تصویر عدد را از راست به چپ به ارقام تقسیم کنید. ترشح جدید با ظاهر شدن یک گوه مستقیم بعد از یک دراز کشیده شروع می شود. عدد 32 را به عنوان مثال در نظر می گیریم:عدد 60 و تمام قدرت های آن نیز با یک گوه مستقیم مانند "1" نشان داده می شود. بنابراین، سیستم اعداد بابلی را سکساژیمال می نامیدند.
بابلی ها همه اعداد از 1 تا 59 را در یک سیستم اعشاری غیر موقعیتی و مقادیر بزرگ را در سیستم موقعیتی با پایه 60 می نوشتند. شماره 92:
ضبط شماره مبهم بود، زیرا هیچ رقمی وجود نداشت که نشان دهنده صفر باشد. نمایش عدد 92 نه تنها می تواند به معنای 92=60+32 باشد، بلکه مثلاً 3632=3600+32 نیز باشد. برای تعیین قدر مطلق یک عدد، نماد خاصی برای نشان دادن رقم جنسی کوچک گم شده معرفی شد که مربوط به ظاهر عدد 0 در نماد اعشاری است:
حالا عدد 3632 باید به صورت زیر نوشته شود:
سیستم شمسی بابلی اولین سیستم اعدادی است که تا حدی بر اساس اصل موقعیت است. این سیستم اعداد هنوز هم امروزه استفاده می شود، به عنوان مثال، هنگام تعیین زمان - یک ساعت شامل 60 دقیقه و یک دقیقه شامل 60 ثانیه است.
سیستم رومی
سیستم رومی تفاوت چندانی با سیستم مصری ندارد. برای نشان دادن اعداد 1، 5، 10، 50، 100، 500 و 1000، از حروف لاتین بزرگ I، V، X، L، C، D و M استفاده می کند. یک عدد در سیستم اعداد رومی مجموعه ای از ارقام متوالی است.روش های تعیین مقدار یک عدد:
- مقدار یک عدد برابر است با مجموع مقادیر ارقام آن. به عنوان مثال، عدد 32 در سیستم اعداد رومی XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2=32 است.
- اگر یک عدد کوچکتر در سمت چپ رقم بزرگتر وجود داشته باشد، این مقدار برابر است با تفاوت بین ارقام بزرگتر و کوچکتر. در عین حال، رقم چپ می‌تواند حداکثر تا یک مرتبه بزرگی کمتر از رقم راست باشد: برای مثال، فقط X(10) می‌تواند قبل از L(50) و C(100) در میان "پایین‌ترین" ظاهر شود. و فقط قبل از D(500) و M(1000) C(100)، قبل از V(5) - فقط I(1); عدد 444 در سیستم اعداد مورد بررسی به صورت CDXLIV = (D-C)+(L-X)+(V-I) = 400+40+4=444 نوشته می شود.
- مقدار برابر است با مجموع مقادیر گروه ها و اعدادی که در نقاط 1 و 2 قرار نمی گیرند.
1) اسلاوی
2) یونانی (یونیایی)
سیستم های اعداد موقعیتی
همانطور که در بالا ذکر شد، اولین پیش نیازها برای ظهور یک سیستم موقعیتی در بابل باستان بوجود آمد. در هند، این سیستم به شکل عدد دهی موقعیتی با استفاده از صفر بود و از هندی ها این سیستم اعداد توسط اعراب به عاریت گرفته شد، که اروپایی ها آن را از آنها پذیرفتند. به دلایلی در اروپا نام "عرب" به این سیستم اختصاص داده شد.سیستم اعداد اعشاری
این یکی از رایج ترین سیستم های اعداد است. این همان چیزی است که وقتی قیمت یک محصول را نام می بریم و شماره اتوبوس را می گوییم استفاده می کنیم. هر رقم (موقعیت) فقط می تواند از یک رقم از محدوده 0 تا 9 استفاده کند. پایه سیستم عدد 10 است.مثلاً عدد 503 را در نظر بگیریم. اگر این عدد در یک سیستم غیر موقعیتی نوشته می شد، مقدار آن 5+0+3 = 8 می شد. اما ما یک سیستم موقعیتی داریم و این یعنی هر رقم از عدد باید باشد. ضرب در پایه سیستم، در این مورد عدد "10" به توانی برابر با عدد رقمی افزایش می یابد. معلوم می شود که مقدار 5*10 2 + 0*10 1 + 3*10 0 = 500+0+3 = 503 است. برای جلوگیری از سردرگمی هنگام کار با چندین سیستم عددی به طور همزمان، پایه به عنوان یک زیرمجموعه نشان داده می شود. بنابراین، 503 = 503 10.
علاوه بر سیستم اعشاری، سیستم های 2-، 8- و 16 مستحق توجه ویژه هستند.
سیستم اعداد باینری
این سیستم عمدتاً در محاسبات استفاده می شود. چرا از 10 معمولی استفاده نکردند؟ اولین کامپیوتر توسط بلیز پاسکال ایجاد شد که از سیستم اعشاری استفاده کرد که در ماشین های الکترونیکی مدرن ناخوشایند بود زیرا نیاز به تولید دستگاه هایی با قابلیت کار در 10 ایالت داشت که باعث افزایش قیمت و اندازه نهایی آنها شد. دستگاه. عناصر فعال در سیستم 2 این کاستی ها را ندارند. با این حال، سیستم مورد بحث مدت ها قبل از اختراع رایانه ها ایجاد شده است و "ریشه" خود را در تمدن اینکاها دارد، جایی که از quipus استفاده می شد - بافته ها و گره های طناب پیچیده.سیستم اعداد موقعیتی باینری دارای پایه 2 است و از 2 نماد (رقم) برای نوشتن اعداد استفاده می کند: 0 و 1. فقط یک رقم در هر رقم مجاز است - 0 یا 1.
به عنوان مثال عدد 101 است. این عدد مشابه عدد 5 در سیستم اعداد اعشاری است. برای تبدیل از 2 به 10، باید هر رقم از یک عدد باینری را در پایه "2" ضرب کنید تا به توانی برابر با مقدار مکانی برسد. بنابراین، عدد 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10.
خوب، برای ماشین‌ها، سیستم شماره 2 راحت‌تر است، اما ما اغلب اعداد را در سیستم دهم روی رایانه می‌بینیم و از آنها استفاده می‌کنیم. پس چگونه دستگاه تعیین می کند که کاربر چه شماره ای را وارد می کند؟ چگونه یک عدد را از یک سیستم به سیستم دیگر ترجمه می کند، زیرا فقط 2 علامت دارد - 0 و 1؟
برای اینکه کامپیوتر با اعداد باینری (کدها) کار کند، باید در جایی ذخیره شوند. برای ذخیره هر رقم جداگانه، از یک ماشه، که یک مدار الکترونیکی است، استفاده می شود. می تواند در 2 حالت باشد که یکی از آنها برابر صفر و دیگری برابر یک است. برای به خاطر سپردن یک عدد واحد، از یک رجیستر استفاده می شود - گروهی از محرک ها، که تعداد آنها با تعداد ارقام یک عدد باینری مطابقت دارد. و مجموعه رجیسترها رم هستند. عدد موجود در رجیستر یک کلمه ماشینی است. عملیات حسابی و منطقی با کلمات توسط یک واحد منطق حسابی (ALU) انجام می شود. برای سهولت دسترسی به رجیسترها، آنها شماره گذاری می شوند. شماره را آدرس ثبت می نامند. به عنوان مثال، اگر شما نیاز به اضافه کردن 2 عدد دارید، کافی است شماره سلول ها (رجیسترها) که در آنها قرار دارند را نشان دهید و نه خود اعداد را. آدرس ها در سیستم های هشت و هگزادسیمال نوشته می شوند (در زیر مورد بحث قرار خواهند گرفت)، زیرا انتقال از آنها به سیستم باینری و برگشت بسیار ساده است. برای انتقال از 2 به 8، شماره باید به گروه های 3 رقمی از راست به چپ تقسیم شود، و برای حرکت به 16 - 4. اگر در سمت چپ ترین گروه ارقام تعداد ارقام کافی وجود نداشته باشد، آنها پر می شوند. از سمت چپ با صفرهایی که به آنها پیشرو می گویند. عدد 101100 2 را به عنوان مثال در نظر می گیریم. در هشتی 101 100 = 54 8 و در هگزا دسیمال 0010 1100 = 2C 16 است. عالی است، اما چرا اعداد اعشاری و حروف را روی صفحه می بینیم؟ هنگامی که یک کلید را فشار می دهید، دنباله خاصی از تکانه های الکتریکی به رایانه منتقل می شود و هر نماد دنباله ای از تکانه های الکتریکی خاص خود را دارد (صفر و یک). برنامه درایور صفحه کلید و صفحه به جدول کد کاراکترها دسترسی پیدا می کند (به عنوان مثال، یونیکد، که به شما امکان می دهد 65536 کاراکتر را رمزگذاری کنید)، تعیین می کند کد به دست آمده با کدام کاراکتر مطابقت دارد، و آن را روی صفحه نمایش می دهد. بنابراین، متون و اعداد در حافظه کامپیوتر به صورت کد باینری ذخیره می شوند و به صورت برنامه نویسی به تصاویر روی صفحه تبدیل می شوند.
سیستم اعداد هشتگانه
سیستم اعداد هشتم، مانند سیستم باینری، اغلب در فناوری دیجیتال استفاده می شود. پایه آن 8 است و از ارقام 0 تا 7 برای نوشتن اعداد استفاده می کند.نمونه ای از یک عدد اکتالی: 254. برای تبدیل به سیستم دهم، هر رقم از عدد اصلی باید در 8 n ضرب شود که n عدد رقمی است. معلوم می شود که 254 8 = 2*8 2 + 5*8 1 + 4*8 0 = 128+40+4 = 172 10.
سیستم اعداد هگزادسیمال
سیستم هگزادسیمال به طور گسترده در رایانه های مدرن استفاده می شود، به عنوان مثال، از آن برای نشان دادن رنگ استفاده می شود: #FFFFFF - سفید. سیستم مورد نظر دارای پایه 16 است و از اعداد زیر برای نوشتن استفاده می کند: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. C, D, E, F. حروف به ترتیب 10، 11، 12، 13، 14، 15 هستند.بیایید عدد 4F5 16 را به عنوان مثال در نظر بگیریم. برای تبدیل به سیستم هشتی، ابتدا عدد هگزا دسیمال را به باینری تبدیل می کنیم و سپس با تقسیم آن به گروه های 3 رقمی، به اکتال تبدیل می کنیم. برای تبدیل یک عدد به 2، باید هر رقم را به عنوان یک عدد باینری 4 بیتی نشان دهید. 4F5 16 = (100 1111 101) 2 . اما در گروه های 1 و 3 رقم کافی وجود ندارد، بنابراین بیایید هر کدام را با صفرهای اول پر کنیم: 0100 1111 0101. اکنون باید عدد حاصل را به گروه های 3 رقمی از راست به چپ تقسیم کنید: 0100 1111 0101 = 010 011 110 10 بیایید هر گروه باینری را به سیستم هشتگانه تبدیل کنیم، هر رقم را در 2 n ضرب کنیم، که در آن n عدد رقمی است: (0*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (0*2 2 +1*2. 1 +1*2 0) (1*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (1*2 2 +0*2 1 +1*2 0) = 2365 8 .
علاوه بر سیستم های اعداد موقعیتی در نظر گرفته شده، موارد دیگری نیز وجود دارد، به عنوان مثال:
1) تثلیث
2) کواترنری
3) اثنی عشر
سیستم های موقعیتی به دو دسته همگن و مختلط تقسیم می شوند.
سیستم های اعداد موقعیتی همگن
تعریف ارائه شده در ابتدای مقاله سیستم های همگن را به طور کامل توصیف می کند، بنابراین توضیح لازم نیست.سیستم های اعداد مختلط
به تعریف قبلی می‌توانیم این قضیه را اضافه کنیم: «اگر P=Q n (P،Q،n اعداد صحیح مثبت هستند، در حالی که P و Q پایه هستند)، پس ثبت هر عددی در سیستم اعداد مختلط (P-Q) یکسان است. مصادف با نوشتن همان عدد در سیستم اعداد با پایه Q است.بر اساس قضیه، می‌توانیم قوانینی را برای انتقال از سیستم‌های P به Q-ام و بالعکس فرموله کنیم:
- برای تبدیل از Q-th به P-ام، باید عدد موجود در سیستم Q-ام را به گروه های n رقمی تقسیم کنید که با رقم سمت راست شروع می شود و هر گروه را با یک رقم در سیستم P-ام جایگزین کنید. .
- برای تبدیل از P به Q ام، باید هر رقم از یک عدد در سیستم P را به Q-ام تبدیل کنید و ارقام گمشده را با صفرهای ابتدایی به استثنای عدد چپ پر کنید تا هر عدد در سیستم با پایه Q از n رقم تشکیل شده است.
سیستم های اعداد مختلط نیز به عنوان مثال:
1) فاکتوریل
2) فیبوناچی
تبدیل از یک سیستم عددی به سیستم دیگر
گاهی اوقات لازم است یک عدد را از یک سیستم اعداد به سیستم دیگر تبدیل کنید، بنابراین بیایید به روش های تبدیل بین سیستم های مختلف نگاه کنیم.تبدیل به سیستم اعداد اعشاری
یک عدد a 1 a 2 a 3 در سیستم اعداد با پایه b وجود دارد. برای تبدیل به سیستم دهم، لازم است هر رقم عدد را در b n ضرب کنیم که n عدد آن رقم است. بنابراین، (a 1 a 2 a 3) b = (a 1 *b 2 + a 2 *b 1 + a 3 *b 0) 10.مثال: 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10
تبدیل از سیستم اعداد اعشاری به سیستم های دیگر
کل قسمت:- قسمت صحیح عدد اعشاری را به ترتیب بر پایه سیستمی که به آن تبدیل می کنیم تقسیم می کنیم تا عدد اعشاری برابر با صفر شود.
- باقی مانده هایی که در حین تقسیم به دست می آید ارقام عدد مورد نظر است. عدد در سیستم جدید با شروع از آخرین باقی مانده نوشته می شود.
- قسمت کسری عدد اعشاری را در پایه سیستمی که می خواهیم به آن تبدیل کنیم ضرب می کنیم. کل قسمت را جدا کنید. همچنان قسمت کسری را در پایه سیستم جدید ضرب می کنیم تا مساوی 0 شود.
- اعداد در سیستم جدید از بخش های کامل حاصل ضرب به ترتیب مربوط به تولید آنها تشکیل شده اند.
15\8 = 1، باقیمانده 7
1\8 = 0، باقیمانده 1
با نوشتن تمام باقی مانده ها از پایین به بالا، عدد نهایی 17 را به دست می آوریم. بنابراین، 15 10 = 17 8.
تبدیل از باینری به اکتال و هگزادسیمال
برای تبدیل به اکتال، عدد باینری را از راست به چپ به گروه‌های 3 رقمی تقسیم می‌کنیم و بیرونی‌ترین ارقام از دست رفته را با صفرهای ابتدایی پر می‌کنیم. در مرحله بعد، هر گروه را با ضرب ارقام متوالی در 2n تبدیل می کنیم، جایی که n تعداد رقم است.بیایید عدد 1001 2 را به عنوان مثال در نظر بگیریم: 1001 2 = 001 001 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) = ( 0+ 0+1) (0+0+1) = 11 8
برای تبدیل به هگزادسیمال، عدد باینری را به گروه های 4 رقمی از راست به چپ تقسیم می کنیم، سپس مشابه تبدیل از 2 به 8 می کنیم.
تبدیل از هشت و هگزادسیمال به باینری
تبدیل از هشتی به دودویی - هر رقم از یک عدد هشتی را با تقسیم بر 2 به یک عدد 3 رقمی باینری تبدیل می کنیم (برای اطلاعات بیشتر در مورد تقسیم، به پاراگراف "تبدیل از سیستم اعداد اعشاری به سایرین" در بالا مراجعه کنید)، بیرونی ترین ارقام از دست رفته با صفرهای ابتدایی.به عنوان مثال، عدد 45 8 را در نظر بگیرید: 45 = (100) (101) = 100101 2
ترجمه از 16 به 2 - هر رقم از یک عدد هگزادسیمال را با تقسیم بر 2 به یک عدد باینری 4 رقمی تبدیل می کنیم و ارقام بیرونی گم شده را با صفرهای ابتدایی پر می کنیم.
تبدیل قسمت کسری هر سیستم عددی به اعشاری
تبدیل به همان روشی که برای قطعات صحیح انجام می شود، انجام می شود، با این تفاوت که ارقام عدد در پایه به توان "-n" ضرب می شوند، جایی که n از 1 شروع می شود.
مثال: 101,011 2 = (1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0)، (0*2 -1 + 1*2 -2 + 1*2 -3) = (5)، (0 + 0 0.25 + 0.125) = 5.375 10
تبدیل قسمت کسری باینری به 8 و 16
ترجمه قسمت کسری به همان روشی انجام می شود که برای قسمت های کامل یک عدد انجام می شود، با این استثنا که تقسیم به گروه های 3 و 4 رقمی به سمت راست نقطه اعشار می رود، ارقام گم شده با آنها تکمیل می شوند. صفر به سمت راستمثال: 1001.01 2 = 001 001، 010 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0)، (0*2 2 + 1 *2 1 + 0*2 0) = (0+0+1) (0+0+1)، (0+2+0) = 11.2 8
تبدیل بخش کسری سیستم اعشاری به هر قسمت دیگر
برای تبدیل قسمت کسری یک عدد به سیستم های اعداد دیگر، باید کل قسمت را به صفر تبدیل کنید و شروع به ضرب عدد حاصل در پایه سیستمی که می خواهید به آن تبدیل کنید، کنید. اگر در نتیجه ضرب، قطعات کامل دوباره ظاهر شوند، پس از یادآوری (نوشتن) مقدار کل قسمت حاصل، باید دوباره به صفر تبدیل شوند. عملیات زمانی به پایان می رسد که قسمت کسری کاملاً صفر شود.به عنوان مثال، بیایید 10.625 10 را به باینری تبدیل کنیم:
0,625*2 = 1,25
0,250*2 = 0,5
0,5*2 = 1,0
با نوشتن تمام باقیمانده ها از بالا به پایین، 10.625 10 = (1010)، (101) = 1010.101 2 به دست می آید.
