تعریف بدیهی سیستم اعداد صحیح. بررسی بدیهیات نظریه اعداد صحیح

دانشگاه علوم تربیتی دولتی OMSK
شعبه OmSPU در TARE
BBK با تصمیم سرمقاله و انتشارات منتشر شده است
22я73 بخش از شعبه OmSPU در شهر تارا
HR67

توصیه ها برای دانشجویان دانشگاه های آموزشی در نظر گرفته شده است که رشته "جبر و نظریه اعداد" را مطالعه می کنند. در چهارچوب این رشته مطابق با استاندارد دولتی، قسمت «سیستم های اعداد» در ترم 6 تحصیل می شود. این توصیه ها مطالبی را در مورد ساخت بدیهی سیستم ها ارائه می دهد اعداد طبیعی(سیستم بدیهیات Peano)، سیستم های اعداد صحیح و اعداد گویا. این بدیهیات اجازه می دهد تا درک عمیق تری از اعداد، که یکی از مفاهیم اساسی درس ریاضی مدرسه است، داشته باشیم. برای جذب بهتر مطالب، وظایفی در مورد موضوعات مربوطه داده شده است. در پایان توصیه ها پاسخ ها، دستورالعمل ها، راه حل های مشکلات وجود دارد.

داور: Ph.D., Prof. دالینگر V.A.

ج) موژان ن.ن.

امضا برای چاپ - 22.10.98

کاغذ روزنامه
تیراژ 100 نسخه.
روش چاپ عملیاتی
دانشگاه آموزشی دولتی Omsk, 644099, Omsk, nab. توخاچفسکی، 14
شعبه 644500 تارا خ. مدرسه، 69

1. اعداد طبیعی.

در ساخت بدیهی یک سیستم اعداد طبیعی، مفهوم مجموعه، روابط، توابع و سایر مفاهیم نظری مجموعه را به عنوان شناخته شده در نظر خواهیم گرفت.

1.1 سیستم بدیهیات Peano و ساده ترین پیامدها.

مفاهیم اولیه در نظریه بدیهی Peano عبارتند از مجموعه N (که ما آن را مجموعه اعداد طبیعی می نامیم)، عدد ویژه صفر (0) از آن، و رابطه دودویی "به دنبال" N، که با S (a) نشان داده می شود. یا یک ().
بدیهیات:
1. ((a (N) a "(0 (عدد طبیعی 0 وجود دارد که از هیچ عددی پیروی نمی کند.)
2. a = b (a "= b" (برای هر عدد طبیعی a یک عدد طبیعی بعدی a " وجود دارد و علاوه بر این، فقط یک عدد وجود دارد.)
3. a "= b" (a = b (هر عدد طبیعی حداکثر یک عدد را دنبال می کند.)
4. (اصول القایی) اگر مجموعه M (N و M دو شرط را برآورده کند:
الف) 0 (M;
ب) ((a (N) a (M ® a "(M، سپس M = N.
در اصطلاح عملکردی، این بدان معناست که نگاشت S:N®N تزریقی است. اصل 1 به این معناست که نگاشت S:N®N به صورت سطحی نیست. اصل 4 مبنای اثبات گزاره ها "با روش استقراء ریاضی" است.
اجازه دهید برخی از ویژگی‌های اعداد طبیعی را که مستقیماً از بدیهیات دنبال می‌شوند، یادداشت کنیم.
خاصیت 1. هر عدد طبیعی a (0 به دنبال یک و تنها یک عدد است.
اثبات فرض کنید M مجموعه ای از اعداد طبیعی حاوی صفر و تمام آن اعداد طبیعی را که هر کدام از آنها به دنبال یک عدد است را نشان می دهد. کافی است نشان دهیم که M = N، منحصر به فرد بودن از اصل 3 ناشی می شود. اصل استقرا 4 را اعمال کنید:
الف) 0 (M - با ساخت مجموعه M؛
ب) اگر a (M، یک "(M، زیرا a" به دنبال a است.
از این رو، به موجب اصل 4، M = N.
خاصیت 2. اگر a (b، سپس "(b") است.
این ویژگی با استفاده از اصل 3 با تناقض اثبات می شود. ویژگی زیر نیز به طور مشابه با استفاده از اصل 2 ثابت می شود.
خاصیت 3. اگر یک "(b)، سپس a (b.
خاصیت 4. ((a (N) a (a ". (هیچ عدد طبیعی به دنبال خودش نمی آید.)
اثبات اجازه دهید M = (x (x (N, x (x "). برای نشان دادن M = N کافی است. زیرا طبق اصل 1 ((x (N) x" (0، به ویژه، 0 "(0، بنابراین شرط A) اصل 4 0 (M - برآورده می شود. اگر x (M، یعنی x (x ")، پس با خاصیت 2 x" ((x ")»، که به این معنی است که شرط B) x (M ® x "(M. اما پس از آن، طبق اصل 4، M = N.
اجازه دهید (یک خاصیت اعداد طبیعی باشد. این که عدد a دارای خاصیت ((، ((a)) باشد را خواهیم نوشت.
وظیفه 1.1.1. ثابت کنید که اصل 4 از تعریف مجموعه اعداد طبیعی معادل عبارت زیر است: برای هر خاصیت (, if ((0) and then.
وظیفه 1.1.2. در مجموعه سه عنصری A = (a, b, c)، عملیات واحد (: a (= c, b (= c, c (= a. کدام یک از بدیهیات Peano در مجموعه A با عملیات صادق است. (؟
وظیفه 1.1.3. فرض کنید A = (a) یک مجموعه تک عنصری باشد، a (= a. کدام یک از بدیهیات Peano در مجموعه A با عمل (؟
وظیفه 1.1.4. در مجموعه N یک عملیات یکنواخت تعریف می کنیم که برای هر تنظیم می شود. دریابید که آیا گزاره های بدیهیات Peano که برحسب یک عملیات فرموله شده اند در N درست هستند یا خیر.
وظیفه 1.1.5. اجازه دهید. ثابت کنید که A نسبت به عملیات بسته است (. صحت بدیهیات Peano را در مجموعه A با عمل بررسی کنید (.
وظیفه 1.1.6. اجازه دهید، . با تنظیم یک عملیات unary روی A تعریف می کنیم. کدام یک از بدیهیات Peano در مجموعه A با یک عمل صادق است؟

1.2. سازگاری و طبقه بندی سیستم بدیهیات Peano.

اگر اثبات قضیه T و نفی آن از بدیهیات آن غیرممکن باشد، سیستمی از بدیهیات سازگار نامیده می شود (T. واضح است که نظام های بدیهیات متناقض در ریاضیات معنایی ندارند، زیرا در چنین نظریه ای هر چیزی قابل اثبات است و چنین چیزی قابل اثبات است. تئوری قوانین دنیای واقعی را منعکس نمی کند، بنابراین، سازگاری نظام بدیهیات یک الزام کاملاً ضروری است.
اگر در یک نظریه بدیهیات قضیه T و نفی آن (T) دیده نشده باشد، این بدان معنا نیست که نظام بدیهیات سازگار است، چنین نظریه هایی ممکن است در آینده رخ دهند. متداول ترین روش برای اثبات سازگاری، روش تفسیری است که بر این اساس استوار است که اگر در یک نظریه آشکارا سازگار S، تفسیری از نظام بدیهیات وجود داشته باشد، خود سیستم بدیهیات سازگار است. در واقع، اگر نظام بدیهیات متناقض بودند، سپس قضایای T و (T در آن قابل اثبات خواهند بود، اما پس از آن این قضایا و در تفسیر آن معتبر خواهند بود، و این با قوام نظریه S در تضاد است. روش تفسیرها اجازه می دهد تا فقط نسبی را اثبات کنیم. سازگاری نظریه
برای سیستم بدیهیات پیانو می توان تعابیر مختلفی را ایجاد کرد. نظریه مجموعه ها به ویژه در تفاسیر غنی است. به یکی از این تفاسیر اشاره می کنیم. مجموعه های (، (()، ((())، (((()))، ...، یک عدد خاصما صفر را در نظر می گیریم (. رابطه "follows after" به صورت زیر تعبیر می شود: مجموعه M توسط مجموعه (M) دنبال می شود که تنها عنصر آن خود M است. بنابراین، ("= (()، (( )" = ((() ) و غیره. رضایتمندی بدیهیات 1-4 را می توان بدون مشکل تأیید کرد. با این حال، اثربخشی چنین تفسیری اندک است: نشان می دهد که سیستم بدیهیات Peano در صورتی سازگار است که نظریه مجموعه ها سازگار باشد. اما اثبات سازگاری سیستم بدیهیات نظریه مجموعه ها کار دشوارتری است.تفسیر سیستم بدیهیات Peano یک حساب شهودی است که سازگاری آن توسط چندین قرن تجربه توسعه آن تأیید شده است.
اگر هر یک از بدیهیات این سیستم را نتوان به عنوان یک قضیه بر اساس بدیهیات دیگر اثبات کرد، یک سیستم منسجم از بدیهیات را مستقل می نامند. برای اثبات اینکه اصل موضوع (به دیگر بدیهیات سیستم بستگی ندارد
(1, (2, ..., (n, ((1)
برای اثبات سازگاری سیستم بدیهیات کافی است
(1، (2، ...، (n، (((2)
در واقع، اگر (بر اساس بدیهیات باقی مانده از سیستم (1) ثابت شود، سیستم (2) متناقض خواهد بود، زیرا قضیه (و بدیهیات ((.
پس برای اثبات استقلال بدیهیات (از بقیه بدیهیات سیستم (1) کافی است تفسیری از نظام بدیهیات (2) بسازیم.
استقلال سیستم بدیهیات اختیاری است. گاهی اوقات، به منظور اجتناب از اثبات قضایای «دشوار»، سیستمی عمداً اضافی (وابسته) از بدیهیات ساخته می‌شود. با این حال، بدیهیات "زائد" مطالعه نقش بدیهیات در تئوری و همچنین ارتباطات منطقی درونی بین شاخه های مختلف نظریه را پیچیده می کند. علاوه بر این، ساختن تفاسیر برای سیستم‌های وابسته بدیهیات بسیار دشوارتر از تفسیرهای مستقل است. پس از همه، باید اعتبار بدیهیات "زائد" را بررسی کرد. به این دلایل، مسئله رابطه بین بدیهیات از دیرباز از اهمیت بالایی برخوردار بوده است. زمانی تلاش می شود ثابت کند که فرض پنجم در بدیهیات اقلیدس "از نقطه A موازی با خط مستقیم بیش از یک خط مستقیم عبور نمی کند (" یک قضیه است (یعنی به بدیهیات دیگر بستگی دارد) و منجر به کشف هندسه لوباچفسکی شد.
اگر هر گزاره A از یک نظریه معین را بتوان اثبات یا رد کرد، به یک سیستم سازگار قیاسی کامل می گویند، یعنی A یا (الف قضیه این نظریه است. اگر گزاره ای وجود داشته باشد که قابل اثبات یا رد نباشد، پس نظام بدیهیات را کامل بودن قیاسی می گویند، برای مثال، نظام بدیهیات نظریه گروه، نظریه حلقه، نظریه میدان ناقص است؛ چون گروه ها، حلقه ها، میدان ها، محدود و نامتناهی وجود دارد، پس در این ها وجود دارد. تئوری ها، اثبات یا رد این گزاره غیرممکن است: "یک گروه (حلقه، میدان) شامل تعداد محدودی از عناصر است."
لازم به ذکر است که در بسیاری از نظریه های بدیهی (یعنی در نظریه های غیر رسمی) نمی توان مجموعه جملات را دقیقاً تعریف شده در نظر گرفت و بنابراین نمی توان کامل بودن قیاسی سیستم بدیهیات چنین نظریه ای را اثبات کرد. یکی دیگر از حس کامل بودن، طبقه بندی نامیده می شود. سیستمی از بدیهیات را در صورتی طبقه بندی می نامند که هر دو تفسیر آن هم شکل باشد، یعنی بین مجموعه اشیاء اولیه یک و تفسیر دیگر مطابقت یک به یک وجود داشته باشد که برای همه روابط اولیه حفظ می شود. دسته بندی نیز یک شرط اختیاری است. به عنوان مثال، سیستم بدیهیات نظریه گروه طبقه بندی نمی شود. این از این واقعیت ناشی می شود که یک گروه محدود نمی تواند به یک گروه نامتناهی هم شکل باشد. با این حال، در بدیهی سازی نظریه هر سیستم عددی، طبقه بندی الزامی است; برای مثال، ماهیت طبقه‌بندی سیستم بدیهیات که اعداد طبیعی را تعریف می‌کنند به این معنی است که تا هم‌مورفیسم، تنها یک سری طبیعی وجود دارد.
اجازه دهید ثابت کنیم که سیستم بدیهیات Peano مقوله ای است. فرض کنید (N1, s1, 01) و (N2, s2, 02) هر دو تفسیر از سیستم بدیهیات Peano باشند. لازم است یک نگاشت دوطرفه (یک به یک) f: N1®N2 نشان داده شود که شرایط زیر برای آن برآورده شود:
a) f (s1 (x) = s2 (f (x)) برای هر x از N1.
ب) f (01) = 02
اگر هر دو عملیات یکنواخت s1 و s2 با اول یکسان نشان داده شوند، شرط a) به صورت بازنویسی می شود.
الف) f (x () = f (x) (.
اجازه دهید در مجموعه N1 (N2 یک رابطه دودویی f را با شرایط زیر تعریف کنیم:
1) 01f02;
2) اگر xfy، سپس x (fy (.
اجازه دهید مطمئن شویم که این رابطه یک نقشه برداری از N1 به N2 است، یعنی برای هر x از N1
((y (N2) xfy (1)
اجازه دهید M1 مجموعه ای از تمام عناصر x از N1 را نشان دهد که شرط (1) برای آنها برقرار است. سپس
الف) 01 (M1 به موجب 1)؛
ب) x (M1 ® x ((M1 به موجب 2) و خاصیت 1 مورد 1.
از این رو، طبق اصل 4، نتیجه می گیریم که M1 = N1، به این معنی که رابطه f نگاشت N1 به N2 است. علاوه بر این، از 1) نتیجه می شود که f (01) = 02. شرط 2) به این شکل نوشته می شود: اگر f (x) = y، پس f (x () = y (. نتیجه می شود که f (x () = f (x) (. بنابراین، برای نگاشت f، شرط الف) و ب) راضی هستند، باقی مانده است که دوطرفه بودن نگاشت f را ثابت کنیم.
اجازه دهید M2 مجموعه ای از آن عناصر از N2 را نشان دهد، که هر کدام تصویر یک و تنها یک عنصر از N1 در زیر نگاشت f است.
از آنجایی که f (01) = 02، 02 یک تصویر است. علاوه بر این، اگر x (N2 و x (01، پس با خاصیت 1 مورد 1 x برخی از عناصر c را از N1 دنبال می کند و سپس f (x) = f (c () = f (c) ((02. بنابراین، 02 است تصویر یک عنصر واحد 01، یعنی 02 (M2.
y را بیشتر بگذارید (M2 و y = f (x)، که در آن x تنها پیش تصویر عنصر y است. سپس، با شرط a)، y (= f (x) (= f (x ()، یعنی y (تصویر عنصر x است (. فرض کنید c هر پیش تصویری از یک عنصر y باشد (، یعنی f (c) = y (. از آنجایی که y ((02، سپس c (01 و برای c یک عنصر قبلی است، آن را با d نشان می دهیم. سپس y (= f ( c) = f (d () = f (d) (، از آنجا با اصل 3، y = f (d) اما از آنجایی که y (M2، پس d = x ، از آنجا c = d (= x (. ما ثابت کردیم که اگر y تصویر یک عنصر واحد است، پس y (تصویر یک عنصر واحد است، یعنی y (M2 ® y ((M2. هر دو شرط اصل 4 برآورده می شود و بنابراین، M2 = N2، که اثبات طبقه بندی را کامل می کند.
تمام ریاضیات قبل از یونان تجربی بود. عناصر منفرد این نظریه در انبوه تکنیک های تجربی برای حل مسائل عملی غرق شدند. یونانی ها این مواد تجربی را در معرض پردازش منطقی قرار دادند، سعی کردند ارتباطی بین داده های تجربی مختلف بیابند. از این نظر فیثاغورث و مکتب او (قرن پنجم قبل از میلاد) نقش مهمی در هندسه داشتند. ایده های روش بدیهی به وضوح در آثار ارسطو (قرن چهارم قبل از میلاد) بیان شده است. با این حال، اجرای عملی این ایده ها توسط اقلیدس در "آغاز" خود (قرن سوم قبل از میلاد) انجام شد.
در حال حاضر، سه شکل از نظریه های بدیهی را می توان تشخیص داد.
یک). بدیهیات اساسی، که تا اواسط قرن گذشته تنها بود.
2). بدیهیات نیمه رسمی که در ربع آخر قرن گذشته ظهور کرد.
3). بدیهیات رسمی (یا رسمی) که تاریخ تولد آن را می توان 1904 در نظر گرفت، زمانی که دی. هیلبرت برنامه معروف خود را در مورد اصول اساسی ریاضیات رسمی منتشر کرد.
هر صورت جدید، شکل قبلی را نفی نمی کند، بلکه توسعه و تهذیب آن است، به طوری که میزان شدت هر شکل جدید از شکل قبلی بالاتر است.
بدیهیات اساسی با این واقعیت مشخص می شوند که مفاهیم اولیه حتی قبل از تدوین بدیهیات دارای معنای شهودی واضح هستند. بنابراین، در "اصول" اقلیدس، زیر نقطه دقیقاً آنچه را که ما به طور شهودی تحت این مفهوم تصور می کنیم درک می شود. در این مورد از زبان معمول و منطق شهودی معمول که قدمت آن به ارسطو می رسد استفاده می شود.
نظریه های بدیهی نیمه رسمی نیز از زبان معمولی و منطق شهودی استفاده می کنند. با این حال، بر خلاف بدیهیات معنادار، مفاهیم اولیه هیچ معنای شهودی ندارند، آنها فقط با بدیهیات مشخص می شوند. بنابراین، شدت افزایش می یابد، زیرا شهود تا حدی با شدت تداخل دارد. علاوه بر این، کلیت اکتسابی است، زیرا هر قضیه ای که در چنین نظریه ای ثابت شود در هر یک از تفاسیر آن معتبر خواهد بود. نمونه ای از یک نظریه بدیهی نیمه رسمی، نظریه هیلبرت است که در کتاب او "مبانی هندسه" (1899) مطرح شده است. نمونه هایی از نظریه های نیمه رسمی نیز نظریه حلقه ها و تعدادی دیگر از نظریه های ارائه شده در درس جبر است.
نمونه ای از یک نظریه رسمی، حساب گزاره ای است که در دوره منطق ریاضی مطالعه می شود. برخلاف بدیهیات معنادار و نیمه صوری، در نظریه رسمی شده از زبان نمادین خاصی استفاده می شود. یعنی الفبای نظریه مشخص شده است، یعنی مجموعه ای از نمادها که همان نقش حروف را در زبان معمولی ایفا می کنند. هر دنباله متناهی از نویسه ها عبارت یا کلمه نامیده می شود. در میان عبارات، یک کلاس از فرمول ها برجسته شده است، و معیار دقیق نشان داده شده است، که به هر عبارت اجازه می دهد تا بفهمد آیا یک فرمول است یا خیر. فرمول ها مانند جملات در زبان معمولی نقش دارند. برخی از فرمول ها به عنوان بدیهیات اعلام شده اند. علاوه بر این، قوانین استنتاج منطقی تنظیم شده است. هر یک از این قوانین به این معنی است که یک فرمول کاملاً تعریف شده بلافاصله از مجموعه خاصی از فرمول ها ناشی می شود. خود اثبات قضیه یک زنجیره متناهی از فرمول ها است که در آن آخرین فرمول خود قضیه است و هر فرمول یا یک اصل است یا یک قضیه قبلاً اثبات شده یا مستقیماً از فرمول های قبلی زنجیره مطابق یکی از فرمول های قبلی پیروی می کند. قوانین استنتاج بنابراین، سؤال از شدت ادله کاملاً خارج از بحث است: یا سلسله ذکر شده برهان است، یا نیست، هیچ دلیل مشکوکی وجود ندارد. در این راستا، بدیهیات رسمی‌شده در سؤالات ظریف به‌ویژه اثبات نظریه‌های ریاضی مورد استفاده قرار می‌گیرند، زمانی که منطق شهودی معمولی می‌تواند به نتیجه‌گیری‌های اشتباه منجر شود، که عمدتاً به دلیل نادرستی و ابهامات زبان عادی ما است.
از آنجایی که در نظریه رسمی شده، می توان گفت که هر عبارتی فرمول است، مجموعه جملات نظریه رسمی شده را می توان قطعی دانست. در این زمینه، اصولاً می توان بدون توسل به تفاسیر، بحث اثبات تمامیت قیاسی و نیز اثبات قوام را مطرح کرد. در تعدادی از موارد ساده می توان این کار را انجام داد. به عنوان مثال، قوام حساب گزاره ای بدون تفسیر ثابت می شود.
در نظریه های غیر رسمی، بسیاری از جملات به وضوح تعریف نشده اند؛ بنابراین، طرح مسئله اثبات سازگاری بدون توسل به تفاسیر بی معنی است. همین امر در مورد اثبات کامل بودن قیاسی نیز صدق می کند. با این حال، اگر چنین پیشنهادی از یک نظریه غیر رسمی وجود داشته باشد که نتوان آن را اثبات یا رد کرد، آنگاه نظریه به طور قیاسی آشکارا ناقص است.
روش بدیهی از دیرباز نه تنها در ریاضیات، بلکه در فیزیک نیز مورد استفاده قرار گرفته است. اولین تلاش ها در این جهت توسط ارسطو انجام شد، اما روش بدیهی کاربرد واقعی خود را در فیزیک تنها در آثار نیوتن در مورد مکانیک دریافت کرد.
در ارتباط با روند سریع ریاضی‌سازی علوم، فرآیند بدیهی‌سازی نیز وجود دارد. در حال حاضر، روش بدیهی حتی در برخی از شاخه های زیست شناسی، به عنوان مثال، در ژنتیک استفاده می شود.
با این وجود، امکانات روش بدیهی بی پایان نیست.
اول از همه، متذکر می شویم که حتی در نظریه های رسمی، نمی توان به طور کامل از شهود اجتناب کرد. خود نظریه رسمی شده بدون تفسیر معنایی ندارد. بنابراین، سؤالاتی در مورد رابطه بین نظریه رسمی شده و تفسیر آن مطرح می شود. علاوه بر این، مانند نظریه های رسمی، سؤالاتی در مورد سازگاری، استقلال و کامل بودن نظام بدیهیات مطرح می شود. مجموع تمام این سؤالات محتوای نظریه دیگری را تشکیل می دهد که به آن فرانظریه نظریه رسمی شده می گویند. برخلاف نظریه رسمی‌شده، زبان فرانظریه یک زبان عادی روزمره است و استدلال منطقی با قواعد منطق شهودی معمولی انجام می‌شود. بنابراین، شهود، به طور کامل از نظریه رسمی شده، در فرانظریه خود ظاهر می شود.
اما این نقطه ضعف اصلی روش بدیهی نیست. ما قبلاً به برنامه دی. هیلبرت اشاره کردیم که پایه و اساس روش بدیهی رسمی را بنا نهاد. ایده اصلی هیلبرت بیان ریاضیات کلاسیک در قالب یک نظریه بدیهی رسمی و سپس اثبات سازگاری آن بود. با این حال، این برنامه در نقاط اصلی خود آرمان شهر بود. در سال 1931، K. Godel، ریاضیدان اتریشی، قضایای معروف خود را اثبات کرد، که از آنها نتیجه گرفت که هر دو مسئله اصلی مطرح شده توسط هیلبرت غیرممکن است. او با کمک روش کدگذاری خود، موفق شد برخی از مفروضات درست را از فرانظریه با کمک فرمول های حسابی رسمی شده بیان کند و ثابت کند که این فرمول ها در حساب رسمی قابل استنتاج نیستند. بنابراین، محاسبات رسمی شده از نظر قیاسی ناقص بود. از نتایج گودل نتیجه گرفت که اگر این فرمول غیرقابل اثبات در تعداد بدیهیات گنجانده شود، فرمول غیرقابل اثبات دیگری وجود خواهد داشت که جمله درستی را بیان می کند. همه اینها به این معنی بود که نه تنها تمام ریاضیات، بلکه حتی حساب، ساده ترین بخش آن، نمی توانند کاملاً رسمی شوند. به ویژه، گودل فرمولی مطابق با جمله "رسمی حسابی سازگار است" ساخت و نشان داد که این فرمول نیز قابل مشتق نیست. این واقعیت به این معنی است که سازگاری حساب رسمی را نمی توان در خود حساب ثابت کرد. البته می توان یک نظریه رسمی قوی تری ساخت و به وسیله آن ثبات حساب رسمی شده را اثبات کرد، اما سؤال دشوارتری در مورد سازگاری این نظریه جدید مطرح می شود.
نتایج گودل بیانگر محدودیت های روش بدیهی است. و با این وجود، مطلقاً هیچ دلیلی برای نتیجه گیری بدبینانه در نظریه دانش وجود ندارد که حقایق ناشناخته وجود دارد. وجود حقایق حسابی که در حساب رسمی قابل اثبات نیست، به معنای وجود حقایق ناشناخته نیست و به معنای محدودیت های تفکر انسان نیست. این فقط به این معنی است که امکانات تفکر ما به رویه های کاملاً رسمی محدود نمی شود و بشریت هنوز اصول اثبات جدیدی را کشف و ابداع نکرده است.

1.3 جمع اعداد طبیعی

عملیات جمع و ضرب اعداد طبیعی توسط سیستم بدیهیات Peano فرض نشده است؛ ما این عملیات را تعریف خواهیم کرد.
تعریف. جمع اعداد طبیعی یک عملیات جبری باینری + روی مجموعه N است که دارای ویژگی های زیر است:
1c. ((a (N) a + 0 = a;
2c. ((a, b (N) a + b (= (a + b) (.
این سؤال مطرح می شود - آیا چنین عملیاتی وجود دارد و اگر وجود دارد، آیا تنها آن است؟
قضیه. فقط یک اعداد طبیعی جمع می شود.
اثبات یک عملیات جبری باینری روی مجموعه N یک نگاشت است (: N (N®N. لازم است ثابت شود که یک نگاشت منحصر به فرد وجود دارد (: N (N®N) با خصوصیات: 1) ((x (N) ((x, 0) = x ; 2) ((x, y (N) ((x, y () = ((x, y) (. اگر برای هر عدد طبیعی x) وجود یک نگاشت fx را ثابت کنیم : N®N با ویژگی های 1 () fx (0 ) = x؛ 2 () fx (y () = fx (y) (، سپس تابع ((x, y)، که با برابری ((x, y) تعریف می شود ) (fx (y)، و شرایط 1) و 2 را برآورده می کند.
اجازه دهید در مجموعه N، رابطه باینری fx را با شرایط تعریف کنیم:
الف) 0fxx؛
ب) اگر yfxz، پس y (fxz (.
اجازه دهید مطمئن شویم که این رابطه یک نگاشت از N به N است، یعنی برای هر y از N
((z (N) yfxz (1)
فرض کنید M مجموعه اعداد طبیعی y را نشان دهد که شرط (1) برای آنها برقرار است. سپس شرط a) دلالت بر این دارد که 0 (M، و از شرط b) و خاصیت 1 مورد 1، نتیجه می شود که اگر y (M، سپس y ((M. بنابراین، بر اساس اصل 4، نتیجه می گیریم که M = N، و این بدان معنی است که رابطه fx یک نگاشت از N به N است. برای این نگاشت، شرایط زیر برآورده می شود:
1 () fx (0) = x - به موجب a);
2 () fx ((y) = fx (y () - به موجب b).
این وجود اضافه را ثابت می کند.
اجازه دهید منحصر به فرد بودن را ثابت کنیم. اجازه دهید + و (هر دو عملیات جبری باینری در مجموعه N با ویژگی های 1c و 2c باشد. اثبات این امر الزامی است.
((x، y (N) x + y = x (y
یک عدد دلخواه x را ثابت می کنیم و با S مجموعه ای از اعداد طبیعی y را که برابری آنهاست نشان می دهیم
x + y = x (y (2)
انجام. از آنجایی که، طبق 1с، x + 0 = x و x (0 = x، پس
الف) 0 (S
حال اجازه دهید y (S، یعنی برابری (2) برقرار است. از آنجایی که x + y (= (x + y) (، x (y (= (x (y) (و x + y = x (y)، پس با اصل 2 x + y (= x (y (، یعنی شرط
ب) y (S ® y ((S.
بنابراین، با اصل 4، S = N، که اثبات قضیه را کامل می کند.
اجازه دهید برخی از خواص جمع را اثبات کنیم.
1. عدد 0 عنصر خنثی جمع است، یعنی a + 0 = 0 + a = a برای هر عدد طبیعی a.
اثبات برابری a + 0 = a از شرط 1c به دست می آید. اجازه دهید برابری 0 + a = a را ثابت کنیم.
اجازه دهید M مجموعه ای از اعدادی را که برای آنها صادق است نشان دهد. بدیهی است، 0 + 0 = 0 و بنابراین 0 (M. اجازه دهید a (M، یعنی 0 + a = a. سپس 0 + a (= (0 + a) (= a (و، بنابراین، a ((M بنابراین، M = N، همانطور که لازم است.
بعد، ما به یک لم نیاز داریم.
لما a (+ b = (a + b) (.
اثبات فرض کنید M مجموعه تمام اعداد طبیعی b باشد که برابری a (+ b = (a + b) (برای هر مقدار a درست است. سپس:
A) 0 (M، زیرا a (+ 0 = (a + 0) (;
B) b (M ® b ((M. در واقع، از b (M و 2с، ما داریم
a (+ b (= (a (+ b) (= ((a + b) () (= (a + b () (,
یعنی b ((M. بنابراین، M = N، در صورت لزوم.
2. جمع اعداد طبیعی جابجایی است.
اثبات فرض کنید M = (a (a (N ((b (N) a + b = b + a). برای اثبات اینکه M = N کافی است.
الف) 0 (M - به دلیل خاصیت 1.
ب) a (M ® a ((M. در واقع، با استفاده از لم و این واقعیت که a (M، ما به دست می آوریم:
a (+ b = (a + b) (= (b + a) (= b + a (.
از این رو a ((M، و توسط اصل 4 M = N.
3. جمع تداعی کننده است.
اثبات اجازه دهید
M = (c (c (N (((a, b (N) (a + b) + c = a + (b + c))
لازم است ثابت شود که M = N. از آنجایی که (a + b) + 0 = a + b و a + (b + 0) = a + b، پس 0 (M. بگذارید c (M، یعنی (a + b) + c = a + (b) + ج). سپس
(a + b) + c (= [(a + b) + c] (= a + (b + c) (= a + (b + c ().
بنابراین، c ((M و با اصل 4 M = N.
4.a + 1 = a (، که در آن 1 = 0 (.
اثبات a + 1 = a + 0 (= (a + 0) (= a (.
5. اگر b (0، پس ((a (N) a + b (a.
اثبات فرض کنید M = (a (a (N (a + b (a). از آنجایی که 0 + b = b (0، سپس 0 (M. علاوه بر این، اگر a (M، یعنی a + b (a)، سپس توسط ویژگی 2 مورد 1 (a + b) ((a (یا a (+ b (a (. از این رو a ((M و M = N.
6. اگر b (0، پس ((a (N) a + b (0.
اثبات اگر a = 0، 0 + b = b (0، اما اگر a (0 و a = c (، آنگاه a + b = c (+ b = (c + b) ((0. بنابراین، در هر صورت، a + b (0.
7. (قانون تریکوتومی جمع). برای هر اعداد طبیعی a و b، یک و تنها یکی از سه رابطه درست است:
1) a = b;
2) b = a + u، که در آن u (0;
3) a = b + v، که در آن v (0.
اثبات یک عدد دلخواه a را ثابت می کنیم و مجموعه تمام اعداد طبیعی b را که حداقل یکی از روابط 1)، 2، 3) برای آنها برقرار است، با M نشان می دهیم. لازم است ثابت شود که M = N. اجازه دهید b = 0. سپس اگر a = 0 باشد، رابطه 1) برقرار است و اگر a (0، رابطه 3) برقرار است، زیرا a = 0 + a. از این رو، 0 (M.
اکنون فرض کنید b (M، یعنی برای a انتخاب شده، یکی از روابط 1)، 2)، 3 برقرار است. اگر a = b، پس b (= a (= a + 1، یعنی برای b (رابطه 2 برآورده می شود). اگر b = a + u، آنگاه b (= a + u (، یعنی برای b ( رابطه 2) اگر a = b + v، دو حالت ممکن است: v = 1 و v (1. اگر v = 1، آنگاه a = b + v = b "، یعنی برای b" روابط 1 برقرار است. اگر v (1، سپس v = c "، جایی که c (0 و سپس a = b + v = b + c" = (b + c) "= b" + c، جایی که c (0، یعنی، برای b" رابطه 3 برقرار است. بنابراین، ما ثابت کردیم که b (M®b" (M، و بنابراین M = N، یعنی برای هر a و b، حداقل یکی از روابط 1)، 2)، 3 ) معتقد است که هیچ دو تا از آنها را نمی توان به طور همزمان ارضا کرد. در واقع: اگر روابط 1) و 2) ارضا شوند، آنها b = b + u خواهند داشت، که در آن u (0، و این با خاصیت 5 در تضاد است. عدم امکان 1). ) و 3) در نهایت اگر روابط 2) و 3) ارضا می شد، a = (a + u) + v = a + + (u + v) خواهند داشت و این به دلیل ویژگی های 5 و 6 غیرممکن است. خاصیت 7 کاملا ثابت شده است.
وظیفه 1.3.1. اجازه دهید 1 (= 2، 2 (= 3، 3 (= 4، 4 (= 5، 5 (= 6، 6 (= 7، 7 (= 8، 8 (= 9. ثابت کنید که 3 + 5 = 8، 2 + 4 = 6.

1.4. ضرب اعداد طبیعی.

تعریف 1. ضرب اعداد طبیعی یک عملیات باینری است (روی مجموعه N که شرایط زیر برای آن برقرار است:
1 سال ((x (N) x (0 = 0;
2 سال ((x, y (N) x (y "= x (y + x.
مجدداً این سؤال مطرح می شود که آیا چنین عملیاتی وجود دارد و اگر وجود داشته باشد آیا منحصر به فرد است؟
قضیه. تنها یک عمل برای ضرب اعداد طبیعی وجود دارد.
اثبات تقریباً به همان روشی که برای اضافه انجام می شود انجام می شود. لازم است یک نقشه برداری (: N (N®N) پیدا شود که شرایط را برآورده کند
1) ((x (N) ((x، 0) = 0;
2) ((x, y (N) ((x, y ") = ((x, y) + x.
اجازه دهید یک عدد دلخواه x را ثابت کنیم. اگر برای هر x (N) وجود یک fx نگاشت: N®N با خصوصیات را ثابت کنیم
1 ") fx (0) = 0;
2 ") ((y (N) fx (y") = fx (y) + x،
سپس تابع ((x، y)، که با برابری ((x، y) = fx (y) تعریف می شود و شرایط 1) و 2 را برآورده می کند.
بنابراین، اثبات قضیه به اثبات وجود و یکتایی برای هر x تابع fx (y) با خواص 1 ") و 2" کاهش می یابد. اجازه دهید مطابق قانون زیر روی مجموعه N مطابقت ایجاد کنیم:
الف) عدد صفر را به عدد صفر مرتبط می کنیم،
ب) اگر عدد y با عدد c مرتبط باشد، عدد y (عدد c + x را مرتبط می کنیم.
اجازه دهید مطمئن شویم که با چنین مقایسه‌ای، هر عدد y یک تصویر منحصربه‌فرد دارد: این بدان معناست که مطابقت یک نگاشت از N به N است. اجازه دهید M مجموعه تمام اعداد طبیعی y را نشان دهد که یک تصویر منحصر به فرد دارند. از شرط a) و اصل 1 نتیجه می شود که 0 (M. اجازه دهید y (M. سپس از شرط b نتیجه می شود) و اصل 2 این است که y ((M. بنابراین، M = N، یعنی مطابقت ما یک نقشه برداری N است. در N؛ آن را با fx نشان می دهیم سپس fx (0) = 0 را با شرط a) و fx (y () = fx (y) + x - را با شرط b نشان می دهیم.
پس وجود عمل ضرب ثابت می شود. حالا اجازه دهید (و هر دو عملیات باینری در مجموعه N با ویژگی های 1y و 2y باشد. باید ثابت کنیم که ((x, y (N) x (y = x (y. یک عدد دلخواه x را ثابت کنید و اجازه دهید
S = (y؟ Y (N (x (y = x (y)
از آنجایی که بر اساس 1у x (0 = 0 و x (0 = 0، سپس 0 (S. بگذارید y (S، یعنی x (y = x (y. سپس
x (y (= x (y + x = x (y + x = x (y (
و بنابراین، y ((S. بنابراین، S = N، که اثبات قضیه را کامل می کند.
اجازه دهید به برخی از خواص ضرب توجه کنیم.
1. عنصر خنثی نسبت به ضرب عدد 1 = 0 (، یعنی ((a (N) a (1 = 1 (a = a) است.
اثبات a (1 = a (0 (= a (0 + a = 0 + a = a. بنابراین، تساوی a (1 = a ثابت می شود. برای اثبات برابری 1 باقی می ماند (a = a. بگذارید M = (a? a (N (1 (a = a). چون 1 (0 = 0، سپس 0 (M. بگذارید a (M، یعنی 1 (a = a. سپس 1 (a (= 1 (a + 1 = a + 1 = a (، و بنابراین، a ((M. بنابراین، طبق اصل 4، M = N، همانطور که لازم است.
2. برای ضرب، قانون توزیع صحیح معتبر است، یعنی
((a, b, c (N) (a + b) c = ac + bc.
اثبات فرض کنید M = (c (c (((a, b (N) (a + b) c = ac + bc).) زیرا (a + b) 0 = 0 و a (0 + b (0 = 0) ، سپس 0 (M. اگر c (M، یعنی (a + b) c = ac + bc، سپس (a + b) (c (= (a + b) c + (a + b) = ac + bc + a + b = (ac + a) + (bc + b) = ac (+ bc (. بنابراین، c ((M و M = N.
3. ضرب اعداد طبیعی جابجایی است یعنی ((a, b (N) ab = ba.
اثبات اول، برای هر b (N، برابری 0 را ثابت می کنیم (b = b (0 = 0. تساوی b (0 = 0 از شرط 1و به دست می آید. بگذارید M = (b (b (N (0 (b = 0) از آنجایی که 0 ( 0 = 0، سپس 0 (M. اگر b (M، یعنی 0 (b = 0، سپس 0 (b (= 0 (b + 0 = 0 و بنابراین، b ((M. بنابراین M = N، یعنی برابری 0 (b = b (0 برای همه b ثابت می شود (N. بگذارید S = (a (a (N (ab = ba). زیرا 0 (b = b (0، سپس 0 (S. بگذارید a (S، یعنی ab = ba. سپس a (b = (a + 1) b = ab + b = ba + b = ba (، یعنی a ((S. بنابراین S = N، در صورت لزوم
4. ضرب نسبت به جمع توزیعی است. این ویژگی از خواص 3 و 4 به دست می آید.
5. ضرب تداعی است، یعنی ((a, b, c (N) (ab) c = a (bc).
اثبات، همانطور که برای جمع، با استقرا در ج انجام می شود.
6. اگر a (b = 0، آنگاه a = 0 یا b = 0، یعنی N هیچ مقسوم علیه صفر دارد.
اثبات فرض کنید b (0 و b = c (. اگر ab = 0، پس ac (= ac + a = 0، از این رو با خاصیت 6 مورد 3 که a = 0 دنبال می شود.
وظیفه 1.4.1. بگذارید 1 (= 2، 2 (= 3، 3 (= 4، 4 (= 5، 5 (= 6، 6 (= 7، 7 (= 8، 8 (= 9. ثابت کنید که 2 (4 = 8، 3 (3 = 9.
بگذارید n، a1، a2، ...، an اعداد طبیعی باشند. مجموع اعداد a1، a2، ...، an عددی است که با شرایط مشخص شده و با آن مشخص می شود; برای هر عدد طبیعی k
حاصل ضرب اعداد a1, a2, ..., an یک عدد طبیعی است که با این شرایط مشخص می شود و با این شرایط مشخص می شود:; برای هر عدد طبیعی k
اگر، آنگاه عدد با علامت نشان داده می شود.
وظیفه 1.4.2. ثابت کنیم که
آ) ؛
ب)؛
v)؛
ز)؛
ه)؛
ه)؛
g)؛
h)؛
و) .

1.5. ترتیب سیستم اعداد طبیعی.

رابطه «پیش می آید» ضد انعکاسی و ضد متقارن است، اما گذرا نیست، و بنابراین یک رابطه ترتیبی نیست. رابطه ترتیب را بر اساس جمع اعداد طبیعی تعریف خواهیم کرد.
تعریف 1.a
تعریف 2.a (b (((x (N) b = a + x.
اجازه دهید مطمئن شویم که این رابطه اجازه دهید برخی از خصوصیات اعداد طبیعی مربوط به روابط تساوی و نابرابری را یادداشت کنیم.
1.
1.1 a = b (a + c = b + c.
1.2 a = b (ac = bc.
1.3 a
1.4 a
1.5 a + c = b + c (a = b.
1.6 ac = bc (c (0 (a = b.
1.7 a + c
1.8 ac
1.9 a
ساعت 1.10
اثبات. ویژگی های 1.1 و 1.2 از منحصر به فرد بودن عملیات جمع و ضرب ناشی می شوند. اگر یک
2. ((a (N) a
اثبات از آنجایی که a (= a + 1، سپس a
3. کوچکترین عنصر در N 0 و کوچکترین عنصر در N \ (0) عدد 1 است.
اثبات از آنجایی که ((a (N) a = 0 + a، سپس 0 (a، و بنابراین، 0 کوچکترین عنصر در N است. به علاوه، اگر x (N \ (0))، آنگاه x = y (, y ( N , یا x = y + 1. از این رو نتیجه می شود که ((x (N \ (0)) 1 (x، یعنی 1 کوچکترین عنصر در N \ (0) است).
4. نسبت ((a, b (N) ((n (N) b (0 (nb> a.
اثبات بدیهی است که برای هر عدد طبیعی a یک عدد طبیعی n وجود دارد به طوری که
a چنین عددی است، برای مثال، n = a (. علاوه بر این، اگر b (N \ (0)، سپس توسط ویژگی 3
1 (ب (2)
از (1) و (2) بر اساس خواص 1.10 و 1.4، aa را به دست می آوریم.

1.6. ترتیب کامل سیستم اعداد طبیعی.

تعریف 1. اگر هر زیرمجموعه غیر خالی از یک مجموعه مرتب شده (M؛ اجازه دهید بررسی کنیم که ترتیب کل خطی است. فرض کنید a و b هر دو عنصر از یک مجموعه به خوبی مرتب شده باشند (M؛ Lemma ... 1) الف
اثبات.
1) a ((b (b = a (+ k, k (N (b = a + k (, k ((N \ (0) (a
2) a (b (b = a + k, k (N (b (= a + k (, k ((N \ (0) (a
قضیه 1. ترتیب طبیعی در مجموعه اعداد طبیعی، ترتیب کامل است.
اثبات فرض کنید M هر مجموعه غیر خالی از اعداد طبیعی باشد، و S مجموعه کرانهای پایین آن در N باشد، یعنی S = (x (x (N (((m (M) x (m). ویژگی 3 در مورد 5) به این معنی است که 0 (S. اگر شرط دوم اصل 4 n (S (n ((S، آنگاه S = N خواهند داشت؛ در واقع، اگر a (M، سپس a ((S به موجب نابرابری الف
قضیه 2. هر مجموعه کران بالایی غیر خالی از اعداد طبیعی دارای بزرگترین عنصر است.
اثبات فرض کنید M هر مجموعه کران بالایی غیر خالی از اعداد طبیعی باشد، و S مجموعه کران بالایی آن باشد، یعنی S = (x (x (N (((m (M) m (x). با x0 نشان دهید کوچکترین عنصر در S. سپس نابرابری m (x0 برای همه اعداد m از M و نابرابری شدید m صادق است
وظیفه 1.6.1. ثابت کنیم که
آ) ؛
ب)؛
v) .
وظیفه 1.6.2. بگذارید (یک خاصیت اعداد طبیعی و k یک عدد طبیعی دلخواه باشد. ثابت کنید
الف) هر عدد طبیعی دارای خاصیت است (به محض اینکه 0 این ویژگی را برای هر n (0) داشته باشد
ب) هر عدد طبیعی بزرگتر یا مساوی k دارای خاصیت است (به محض اینکه k این ویژگی را داشته باشد و برای هر n (k (n) با این فرض که n دارای خاصیت است (، نتیجه می شود که عدد n + 1 نیز این خاصیت را دارد
ج) هر عدد طبیعی بزرگتر یا مساوی k دارای خاصیت است (به محض اینکه k این ویژگی را داشته باشد و برای هر n (n> k) با این فرض که همه اعداد t که با شرط k (t) تعریف شده اند.

1.7. اصل استقرا.

با استفاده از ترتیب کامل سیستم اعداد طبیعی می توان قضیه زیر را که یکی از روش های اثبات بر آن استوار است به نام روش استقراء ریاضی اثبات کرد.
قضیه (اصل استقراء). همه گزاره های دنباله A1، A2، ...، An، ... در صورتی درست هستند که شرایط زیر وجود داشته باشند:
1) عبارت A1 درست است.
2) اگر عبارات Ak برای k صادق باشد
اثبات فرض کنید برعکس: شرایط 1 و 2 برآورده می شوند، اما قضیه صادق نیست، یعنی مجموعه M = (m (m (N \ (0)، Am نادرست است) عنصر که آن را با n نشان می دهیم. از آنجایی که طبق شرط 1) A1 درست است و An نادرست است، پس 1 (n، و بنابراین، 1 است.
هنگام اثبات با استقرا، دو مرحله قابل تشخیص است. در مرحله اول که مبنای القایی نامیده می شود، تحقق شرط 1 بررسی می شود. در مرحله دوم که مرحله القاء نامیده می شود، شرط 2) ثابت می شود. در این مورد، اغلب مواردی وجود دارد که برای اثبات صحت گزاره An، نیازی به استفاده از صدق گزاره های Ak برای k نیست.
مثال. نابرابری Put = Sk را ثابت کنید. برای اثبات درستی گزاره‌های Ak = (Sk) باید دنباله گزاره‌های ذکر شده در قضیه 1 را از گزاره A (n) تعریف شده در مجموعه N یا زیر مجموعه آن Nk = (x (x (N, x (k)، که در آن k هر عدد طبیعی ثابتی است.
به طور خاص، اگر k = 1، N1 = N \ (0)، و عبارات را می توان با استفاده از برابری های A1 = A (1)، A2 = A (2)، ...، An = A (n) برشمرد. اما اگر k (1) باشد، می توان دنباله گزاره ها را با استفاده از برابری های A1 = A (k)، A2 = A (k + 1)، ...، An = A (k + n) به دست آورد. -1)، .. مطابق با این نماد، قضیه 1 را می توان به شکل متفاوتی فرمول بندی کرد.
قضیه 2. گزاره A (m) به طور یکسان در مجموعه Nk صادق است اگر شرایط زیر برآورده شود:
1) عبارت A (k) درست است.
2) اگر عبارات A (m) برای m صادق باشد
وظیفه 1.7.1. ثابت کنید که معادلات زیر در محدوده اعداد طبیعی جواب ندارند:
الف) x + y = 1;
ب) 3x = 2;
ج) x2 = 2;
د) 3x + 2 = 4;
ه) x2 + y2 = 6;
f) 2x + 1 = 2y.
وظیفه 1.7.2. با استفاده از اصل استقراء ریاضی ثابت کنید:
الف) (n3 + (n + 1) 3+ (n + 2) 3) (9;
ب)؛
v)؛
ز)؛
ه)؛
ه)

1.8. تفریق و تقسیم اعداد طبیعی.

تعریف 1. تفاوت اعداد طبیعی a و b یک عدد طبیعی x است به طوری که b + x = a. تفاوت بین اعداد طبیعی a و b با a-b نشان داده می شود و عمل یافتن تفاوت را تفریق می گویند. تفریق یک عملیات جبری نیست. این از قضیه زیر حاصل می شود.
قضیه 1. تفاوت a-b وجود دارد اگر و فقط اگر b (الف. اگر تفاوت وجود داشته باشد، آنگاه فقط یک.
اثبات اگر b (a، پس با تعریف رابطه (یک عدد طبیعی x وجود دارد به طوری که b + x = a. اما این نیز به این معنی است که x = ab. برعکس، اگر تفاوت ab وجود داشته باشد، در تعریف 1 وجود دارد. یک عدد طبیعی x، که b + x = a. اما این همچنین به این معنی است که b (a.
اجازه دهید منحصر به فرد بودن تفاوت a-b را ثابت کنیم. فرض کنید a-b = x و a-b = y. سپس طبق تعریف 1 b + x = a, b + y = a. از این رو b + x = b + y و از این رو x = y.
تعریف 2. ضریب دو عدد طبیعی a و b (0 یک عدد طبیعی c است به طوری که a = bc. عمل یافتن ضریب را تقسیم می گویند. مسئله وجود ضریب در نظریه بخش پذیری حل می شود. .
قضیه 2. اگر ضریب وجود داشته باشد، فقط یک.
اثبات اجازه دهید = x و = y. سپس طبق تعریف 2 a = bx و a = توسط. از این رو bx = توسط و از این رو x = y.
توجه داشته باشید که عمل تفریق و تقسیم تقریباً به معنای واقعی کلمه مانند کتاب های درسی مدارس تعریف شده است. این بدان معناست که در موارد 1-7، بر اساس بدیهیات Peano، یک پایه نظری محکم برای محاسبه اعداد طبیعی گذاشته شده است و ارائه بیشتر آن به طور مداوم در درس ریاضی مدرسه و در دوره دانشگاه "جبر و عدد" انجام می شود. تئوری".
وظیفه 1.8.1. صحت عبارات زیر را با فرض وجود تمام تفاوت های موجود در فرمول بندی آنها ثابت کنید:
الف) (a-b) + c = (a + c) -b;
ب) (a-b) (c = a (c-b (c;
ج) (الف + ب) - (ج + ب) = a-c;
د) a- (b + c) = (a-b) -c;
ه) (الف-ب) + (ج-د) = (الف + ج) - (ب + د);
ه) (الف-ب) - (ج-د) = الف-ج;
ز) (a + b) - (b-c) = a + c;
ح) (الف-ب) - (ج-د) = (الف + د) - (ب + ج);
و) a- (b-c) = (a + c) -b;
ی) (الف-ب) - (ج + د) = (الف-ج) - (ب + د);
ل) (a-b) (ج + د) = (ac + ad) - (bc + bd);
م) (a-b) (ج-د) = (ac + bd) - (ad + bc);
m) (a-b) 2 = (a2 + b2) -2ab;
o) a2-b2 = (a-b) (a + b).
وظیفه 1.8.2. صحت عبارات زیر را با فرض وجود تمام ضرایب موجود در فرمول های آنها ثابت کنید.
آ) ؛ ب)؛ v)؛ ز)؛ ه)؛ ه)؛ g)؛ h)؛ و)؛ به) ؛ ل)؛ m)؛ n)؛ O)؛ پ) ؛ ر) .
وظیفه 1.8.3. ثابت کنید که معادلات زیر نمی توانند دو جواب طبیعی متفاوت داشته باشند: a) ax2 + bx = c (a, b, c (N)؛ b) x2 = ax + b (a, b (N)؛ ج) 2x = ax2 + b (a, b (N).
وظیفه 1.8.4. معادلات را با اعداد طبیعی حل کنید:
الف) x2 + (x + 1) 2 = (x + 2) 2; ب) x + y = x (y; c); د) x2 + 2y2 = 12; ه) x2-y2 = 3; f) x + y + z = x (y (z.
وظیفه 1.8.5. ثابت کنید که معادلات زیر هیچ جوابی در محدوده اعداد طبیعی ندارند: a) x2-y2 = 14; ب) x-y = xy; v)؛ ز)؛ ه) x2 = 2x + 1; f) x2 = 2y2.
وظیفه 1.8.6. در اعداد طبیعی نابرابری ها را حل کنید: a); ب)؛ v)؛ د) x + y2 مسئله 1.8.7. ثابت کنید که روابط زیر در محدوده اعداد طبیعی برقرار است: a) 2ab (a2 + b2؛ b) ab + bc + ac (a2 + b2 + c2؛ c) c2 = a2 + b2 (a2 + b2 + c2 1.9. اعداد طبیعی حس کمی.
در عمل از اعداد طبیعی عمدتاً برای شمارش عناصر استفاده می شود و برای این منظور لازم است که معنای کمی اعداد طبیعی در نظریه پیانو تثبیت شود.
تعریف 1. مجموعه (x (x (N, 1 (x (n)) قطعه‌ای از یک سری طبیعی نامیده می‌شود و با (1; n (1) نشان داده می‌شود.
تعریف 2. مجموعه متناهی هر مجموعه ای است که از نظر کاردینالیتی برابر با بخشی از یک سری طبیعی و همچنین یک مجموعه خالی است. مجموعه ای که متناهی نباشد نامتناهی نامیده می شود.
قضیه 1. یک مجموعه محدود A معادل هیچ یک از زیرمجموعه های خود (یعنی زیر مجموعه ای غیر از A) نیست.
اثبات اگر A = (، آنگاه قضیه درست است، زیرا مجموعه خالی هیچ زیرمجموعه مناسبی ندارد. اجازه دهید A ((و A) کاردینالیتی یکسان داشته باشند (1, n ((A ((1, n (. ما قضیه را اثبات خواهیم کرد با القاء روی n. اگر n = 1، یعنی A ((1،1 (، پس تنها زیر مجموعه مناسب مجموعه A مجموعه خالی است. واضح است که A (و بنابراین، برای n = 1 فرض کنید که قضیه برای n = m صادق است، یعنی همه مجموعه‌های متناهی از نظر کاردینالیتی برابر با قطعه (1, m (، زیرمجموعه‌های مناسب برابری ندارند. بگذارید A هر مجموعه‌ای برابر با قطعه (1) باشد. , m + 1 (و (: (1, m + 1 (®A یک نگاشت دوطرفه از بخش است (1, m + 1 (در A. اگر ((k)) با ak نشان داده شود، k = 1,2 ، ...، m + 1، سپس مجموعه A را می توان به صورت A = نوشت (a1, a2, ... , am, am + 1) وظیفه ما این است که ثابت کنیم A زیرمجموعه مناسبی معادل ندارد. در مقابل؛ اجازه دهید B (A, B (A, B (A و f: A®B مضاعف هستند. شما می توانید دوجکتیو (و f را طوری انتخاب کنید که am + 1 (B و f (am + 1) = am + 1.
مجموعه های A1 = A \ (am + 1) و B1 = B \ (am + 1) را در نظر بگیرید. از آنجایی که f (am + 1) = am + 1، تابع f به صورت دوگانه مجموعه A1 را روی مجموعه B1 ترسیم می کند. بنابراین، مجموعه A1 معادل زیر مجموعه B1 خود خواهد بود. اما از آنجایی که A1 ((1، m (، این با فرضیه استقرا در تضاد است.
نتیجه 1. مجموعه اعداد طبیعی بی نهایت است.
اثبات از بدیهیات Peano چنین برمی‌آید که نگاشت S: N®N \ (0)، S (x) = x (دوگانه است. بنابراین، N معادل زیرمجموعه مناسب N \ (0) است و با قضیه 1، چنین نیست. محدود، فانی.
نتیجه 2. هر مجموعه متناهی غیر خالی A معادل یک و تنها یک بخش از یک سری طبیعی است.
اثبات اجازه دهید A ((1, m (و A ((1, n (. سپس (1, m (((1, n ((((1, n ((، از آنجایی است که از قضیه 1 پیروی می کنیم که m = n. در واقع، اگر فرض کنیم که m
نتیجه 2 به ما امکان می دهد تعریفی را معرفی کنیم.
تعریف 3. اگر A ((1، n ((، آنگاه عدد طبیعی n را تعداد عناصر مجموعه A می نامند، و فرآیند ایجاد یک مطابقت یک به یک بین مجموعه های A و (1، n ( شمارش عناصر مجموعه A. عدد صفر نامیده می شود.
صحبت از اهمیت بسیار زیاد شمارش در زندگی عملی ضروری نیست.
توجه داشته باشید که با دانستن معنای کمی یک عدد طبیعی، می توان عمل ضرب را از طریق جمع تعریف کرد، یعنی:
.
ما عمداً این مسیر را انتخاب نکردیم تا نشان دهیم که حساب به خودی خود نیازی به حس کمی ندارد: معنای کمی یک عدد طبیعی فقط در کاربردهای حساب مورد نیاز است.

1.10. سیستم اعداد طبیعی به عنوان یک مجموعه گسسته کاملاً مرتب.

ما نشان دادیم که مجموعه اعداد طبیعی با توجه به نظم طبیعی به خوبی مرتب شده اند. علاوه بر این، ((a (N) a
1. برای هر عدد a (N یک همسایه در کنار آن در رابطه 2 وجود دارد. برای هر عدد a (N \ (0) یک مجاور قبل از آن در رابطه با مجموعه کاملا مرتب (A; () با ویژگی های 1 وجود دارد. و 2) به طور کامل گسسته نامیده می شود. معلوم می شود که ترتیب کامل با ویژگی های 1 و 2. معلوم می شود که یک ترتیب کامل با ویژگی های 1 و 2. در واقع، اجازه دهید A = (A; () هر مجموعه منظمی با ویژگی های 1 و 2. ما در مجموعه A رابطه "follows after" را به صورت زیر تعریف می کنیم: a (=b اگر b یک عنصر همسایه باشد پس از a در رابطه (. واضح است که کوچکترین عنصر مجموعه A از آن پیروی نمی کند. هر عنصر و بنابراین، اصل پیانو 1 برقرار است.
از آنجایی که رابطه (یک ترتیب خطی است، پس برای هر عنصر a یک عنصر منحصر به فرد زیر و حداکثر یک عنصر همسایه قبلی وجود دارد. این به معنای تحقق بدیهیات 2 و 3 است. حال فرض کنید M هر زیر مجموعه ای از مجموعه A باشد که برای آن شرایط زیر برآورده می شود:
1) a0 (M، که a0 کوچکترین عنصر در A است.
2) a (M (a ((M.
اجازه دهید ثابت کنیم که M = N. فرض کنید برعکس، یعنی A \ M ((. فرض کنید b کوچکترین عنصر در A \ M را نشان می دهد. زیرا a0 (M، سپس b (a0 و بنابراین، یک عنصر c وجود دارد به طوری که c (= b. ج
بنابراین، ما امکان یک تعریف دیگر از سیستم اعداد طبیعی را ثابت کرده ایم.
تعریف. سیستم اعداد طبیعی هر مجموعه منظمی است که در آن شرایط زیر برآورده شود:
1. برای هر عنصر یک عنصر مجاور به دنبال آن وجود دارد.
2. برای هر عنصری غیر از کوچکترین، یک عنصر همسایه قبل از آن وجود دارد.
رویکردهای دیگری برای تعریف سیستم اعداد طبیعی وجود دارد که در اینجا به آنها نمی پردازیم.

2. اعداد انتگرال و گویا.

2.1. تعریف و ویژگی های سیستم اعداد صحیح.
مشخص است که مجموعه اعداد صحیح به معنای شهودی آنها یک حلقه از نظر جمع و ضرب است و این حلقه شامل تمام اعداد طبیعی است. همچنین واضح است که در حلقه اعداد صحیح زیرشاخه مناسبی وجود ندارد که شامل همه اعداد طبیعی باشد. به نظر می رسد که این ویژگی ها می توانند به عنوان مبنایی برای تعریف دقیق یک سیستم اعداد صحیح مورد استفاده قرار گیرند. در بخش های 2.2 و 2.3، صحت چنین تعریفی ثابت خواهد شد.
تعاریف 1. سیستم اعداد صحیح یک سیستم جبری است که شرایط زیر برای آن برقرار است:
1. سیستم جبری یک حلقه است;
2-مجموعه اعداد طبیعی موجود است و جمع و ضرب در یک حلقه در یک زیرمجموعه با جمع و ضرب اعداد طبیعی منطبق است.
3. (شرط حداقلی). Z یک مجموعه حداقلی با توجه به گنجاندن با خصوصیات 1 و 2 است. به عبارت دیگر، اگر یک حلقه فرعی از حلقه شامل همه اعداد طبیعی باشد، Z0 = Z است.
تعریف 1 را می توان یک شخصیت بدیهی مفصل ارائه داد. مفاهیم اولیه در این نظریه بدیهی عبارتند از:
1) مجموعه Z که به عناصر آن اعداد صحیح می گویند.
2) یک عدد صحیح خاص که صفر نامیده می شود و با 0 نشان داده می شود.
3) روابط سه تایی + و (.
طبق معمول، N مجموعه اعداد طبیعی را با جمع (و ضرب (. مطابق با تعریف 1، سیستم اعداد صحیح یک سیستم جبری است (Z; +، (، N)) نشان می دهد که بدیهیات زیر برای آن برآورده می شود:
1. (بدیهیات حلقه.)
1.1.
این اصل به این معنی است که + یک عملیات جبری باینری در مجموعه Z است.
1.2. ((a, b, c (Z) (a + b) + c = a + (b + c).
1.3. ((a, b (Z) a + b = b + a.
1.4. ((a (Z) a + 0 = a، یعنی عدد 0 یک عنصر خنثی نسبت به جمع است.
1.5. ((a (Z) ((a ((Z) a + a (= 0، یعنی برای هر عدد صحیح یک عدد مقابل a (.
1.6. ((a, b (Z) ((! d (Z) a (b = d.
این اصل به این معنی است که ضرب یک عملیات جبری باینری بر روی مجموعه Z است.
1.7. ((a, b, c (Z) (a (b) (c = a ((b (c).
1.8. ((a, b, c (Z) (a + b) (c = a (c + b (c, c ((a + b) = c (a + c (b.
2. (اصولات ارتباط بین حلقه Z و سیستم اعداد طبیعی.)
2.1. N (Z.
2.2. ((a, b (N) a + b = a (b.
2.3. ((a, b (N) a (b = a (b.
3. (اصول حداقلی.)
اگر Z0 حلقه فرعی از حلقه Z و N باشد (Z0، Z0 = Z.
اجازه دهید به برخی از ویژگی های سیستم اعداد صحیح توجه کنیم.
1. هر عدد صحیح را می توان به عنوان اختلاف دو عدد طبیعی نشان داد. این نمایش مبهم است، و z = a-b و z = c-d، که در آن a، b، c، d (N، اگر و فقط اگر a + d = b + c.
اثبات مجموعه تمام اعداد صحیح را با Z0 نشان می دهیم که هر کدام را می توان به عنوان تفاضل دو عدد طبیعی نشان داد. بدیهی است که ((a (N) a = a-0، و بنابراین N (Z0.
علاوه بر این، اجازه دهید x، y (Z0، یعنی x = ab، y = cd، که در آن a، b، c، d (N. سپس xy = (ab) - (cd) = (a + d) - (b + ج) = (a (d) - (b (c)، x (y = (ab) (cd) = (ac + bd) - (ad + bc) = (a (c (b (d) - ( a (d (b (c). از این رو، می‌بینیم که xy، x (y (Z0 و بنابراین، Z0 حلقه‌ای فرعی از حلقه Z است که مجموعه N را در بر می‌گیرد. دومین عبارت این ویژگی واضح است.
2. حلقه اعداد صحیح یک حلقه جابجایی با وحدت است و صفر این حلقه یک عدد طبیعی 0 و واحد این حلقه یک عدد طبیعی 1 است.
اثبات اجازه دهید x، y (Z. طبق ویژگی 1، x = ab، y = cd، که در آن a، b، c، d (N. سپس x (y = (ab) ((cd) = (ac + bd) - (ad + bc) = (a (c (b (d) - (a (d (b (c), y (x = (cd) (ab) = (ca + db) - (da + cb) = ( c ( a (d (b) - (d (a (c (b). بنابراین، از آنجایی که ضرب اعداد طبیعی جابجایی است، نتیجه می‌گیریم که xy = yx. جابجایی ضرب در حلقه Z ثابت می‌شود. گزاره های باقی مانده از خاصیت 2 از تساوی های آشکار زیر ناشی می شوند، جایی که 0 و 1 نشان دهنده اعداد طبیعی صفر و یک هستند: x + 0 = (ab) + 0 = (a + (- b)) + 0 = (a + 0) + (- b) = (a (0) + (-b) = ab = x. x (1 = (ab) (1 = a (1-b (1 = a (1-b (1 = ab = x .

2.2. وجود یک سیستم از اعداد کامل.

سیستم اعداد صحیح در 2.1 به عنوان حلقه حداقل (با توجه به گنجاندن) حاوی تمام اعداد طبیعی تعریف شده است. این سوال مطرح می شود - آیا چنین حلقه ای وجود دارد؟ به عبارت دیگر، آیا سیستم بدیهیات از 2.1 سازگار است؟ برای اثبات سازگاری این نظام بدیهیات، لازم است که تفسیر آن را در یک نظریه آشکارا سازگار ساخته شود. حساب اعداد طبیعی را می توان چنین نظریه ای در نظر گرفت.
بنابراین، ما به ساختن تفسیر سیستم بدیهیات 2.1 می رویم. مجموعه را به عنوان مجموعه اولیه در نظر می گیریم. در این مجموعه دو عملیات باینری و یک رابطه باینری تعریف می کنیم. از آنجایی که جمع و ضرب زوج ها به جمع و ضرب اعداد طبیعی کاهش می یابد، پس مانند اعداد طبیعی، جمع و ضرب زوج ها جابجایی هستند، تداعی و ضرب نسبت به جمع توزیعی است. برای مثال، بررسی کنیم که جمع جفت‌ها: + === + جابجایی است.
ویژگی های رابطه ~ را در نظر بگیرید. از آنجایی که a + b = b + a، پس ~، یعنی رابطه ~ بازتابی است. اگر ~، یعنی a + b1 = b + a1، آنگاه a1 + b = b1 + a، یعنی ~. بنابراین، رابطه ~ متقارن است. اجازه دهید بیشتر ~ و ~. سپس تساوی a + b1 = b + a1 و a1 + b2 = b1 + a2 درست است. با جمع کردن این برابری ها، a + b2 = b + a2، یعنی ~ به دست می آید. از این رو، رابطه ~ نیز متعدی است و بنابراین معادل است. کلاس هم ارزی حاوی یک جفت با نشان داده می شود. بنابراین، یک کلاس هم ارزی را می توان با هر یک از جفت های آن و در همان زمان مشخص کرد
(1)
مجموعه تمام کلاس های هم ارزی با نشان داده می شود. وظیفه ما این است که نشان دهیم این مجموعه با تعریف مناسب از عملیات جمع و ضرب، تفسیری از سیستم بدیهیات از 2.1 خواهد بود. عملیات روی یک مجموعه با برابری های زیر تعریف می شود:
(2)
(3)
اگر و، یعنی در مجموعه N، برابری های a + b (= b + a (, c + d (= a + c () نیز وجود داشته باشد، تساوی (a + c) + (b (+d) () = (b + d) + (a (+ c ()، که به موجب (1)، منحصر به فرد بودن ضرب طبقات را به دست می آوریم بنابراین، برابری های (2) و (3) جبری باینری را تعریف می کنند. عملیات روی مجموعه
از آنجایی که جمع و ضرب طبقات به جمع و ضرب جفت کاهش می یابد، این عملیات جابجایی، انجمنی و ضرب طبقات با توجه به جمع توزیعی است. از برابری ها نتیجه می گیریم که کلاس از نظر جمع یک عنصر خنثی است و برای هر کلاس یک کلاس مخالف وجود دارد. از این رو، مجموعه یک حلقه است، یعنی بدیهیات گروه 1 از 2.1 برآورده می شود.
زیر مجموعه ای را در حلقه در نظر بگیرید. اگر a (b، پس به موجب (1)، و اگر a
در مجموعه، یک رابطه باینری تعریف می‌کنیم (به شرح زیر است (؛ یعنی کلاس با یک کلاس دنبال می‌شود، که در آن x (یک عدد طبیعی پس از x است. کلاس زیر به طور طبیعی با (. مشخص است که کلاس ندارد. از هر کلاس و هر کلاسی پیروی می کند، یک کلاس به دنبال آن وجود دارد و علاوه بر این، فقط یکی وجود دارد، به این معنی که رابطه (به دنبال (عملیات جبری یکپارچه بر روی مجموعه N است.
یک نقشه برداری را در نظر بگیرید. بدیهی است که این نگاشت دوگانه است و شرایط f (0) =, f (x () == (= f (x) (. این بدان معنی است که نگاشت f یک هم شکلی از جبر است (N; 0, ()) بر روی جبر (;، (). به عبارت دیگر، جبر (;، () تفسیری از سیستم بدیهیات Peano است. = a + c، a (c = ac، که به معنای جمع و ضرب در یک حلقه است. در زیرمجموعه N با جمع و ضرب اعداد طبیعی منطبق است.بنابراین، ما مشخص کردیم که بدیهیات گروه 2 برآورده می شوند.
فرض کنید Z0 هر زیرحلقه حلقه حاوی مجموعه N و باشد. توجه داشته باشید که و بنابراین،. اما از آنجایی که Z0 یک حلقه است، تفاوت این کلاس ها نیز متعلق به حلقه Z0 است. از برابری های - = (=، نتیجه می گیریم که (Z0 و بنابراین، Z0 =. سازگاری سیستم بدیهیات در مورد 2.1 ثابت شده است.

2.3. منحصر به فرد بودن سیستم اعداد کامل.

تنها یک سیستم از اعداد صحیح به معنای شهودی آنها وجود دارد. این به این معنی است که سیستم بدیهیاتی که اعداد صحیح را تعریف می کند باید مقوله ای باشد، یعنی هر دو تفسیر از این سیستم بدیهیات هم شکل هستند. طبقه بندی به این معنی است که تا هم ریختی، تنها یک سیستم از اعداد صحیح وجود دارد. بیایید مطمئن شویم که واقعاً چنین است.
فرض کنید (Z1; +، (، N) و (Z2; (، (، N)) هر دو تفسیر از سیستم بدیهیات در مورد 2.1 باشد. برای اثبات وجود یک نگاشت دوطرفه f: Z1®Z2 برای که اعداد طبیعی ثابت می مانند و به غیر از علاوه بر این، برای هر عنصر x و y از حلقه Z1، تساوی ها
(1)
. (2)
توجه داشته باشید که از N (Z1 و ​​N (Z2، پس
, a (b = a (b. (3)
اجازه دهید x (Z1 و ​​x = ab، جایی که a، b (N. این عنصر x = ab را با عنصر u = a (b، جایی که (تفریق در حلقه Z2. اگر ab = cd، a + d = b مرتبط کنید. + c، از آنجا که، به موجب (3)، a (d = b (c و، بنابراین، a (b = c (d. این بدان معنی است که مطابقت ما به نماینده عنصر x در شکل بستگی ندارد. تفاوت دو عدد طبیعی) و بنابراین نگاشت f را تعریف می کند: Z1®Z2، f (ab) = a (b. واضح است که اگر v (Z2 و v = c (d، سپس v = f (cd) است. از این رو، هر عنصر از Z2 یک تصویر زیر نگاشت f است و بنابراین، نگاشت f به صورت سوجکتیو است.
اگر x = ab، y = cd، که در آن a، b، c، d (N و f (x) = f (y)، سپس a (b = c (d. اما سپس a (d = b (d، در به موجب (3) a + d = b + c، یعنی ab = cd ما ثابت کردیم که برابری f (x) = f (y) دلالت بر برابری x = y دارد، یعنی نگاشت f است. تزریقی
اگر a (N، سپس a = a-0 و f (a) = f (a-0) = a (0 = a. بنابراین، اعداد طبیعی تحت نگاشت f ثابت می شوند. به علاوه، اگر x = ab، y = cd، که در آن a، b، c، d (N، سپس x + y = (a + c) - و f (x + y) = (a + c) ((b + d) = (a (c) ( (b (d) = (a (b) ((c (d) = f (x) + f (y). برابری (1) ثابت می شود. تساوی (2) را تأیید کنید. زیرا f (xy) = (ac + bd ) ((ad + bc) = (a (c (b (d) ((a (d (b (c)) و از طرف دیگر f (x) (f (y) = (a (b) ( (c (d) = (a (c (b (d) ((a (d (b (c). بنابراین، f (xy) = f (x) (f (y))، که اثبات طبقه بندی سیستم بدیهیات در بخش 2.1.

2.4. تعریف و ویژگی های سیستم اعداد گویا.

مجموعه Q از اعداد گویا در معنای شهودی آنها میدانی است که مجموعه Z اعداد صحیح یک حلقه فرعی برای آن است. علاوه بر این، بدیهی است که اگر Q0 یک زیرفیلد از فیلد Q باشد که همه اعداد صحیح را شامل می شود، Q0 = Q است. ما از این ویژگی ها به عنوان مبنایی برای تعریف دقیق سیستم اعداد گویا استفاده خواهیم کرد.
تعریف 1. سیستم اعداد گویا یک سیستم جبری (Q; +، (; Z) است که شرایط زیر برای آن برقرار است:
1. سیستم جبری (Q; +، () یک میدان است.
2. حلقه Z از اعداد صحیح، حلقه فرعی فیلد Q است.
3. (شرط حداقلی) اگر زیر فیلد Q0 فیلد Q شامل زیر حلقه Z باشد، Q0 = Q.
به طور خلاصه، سیستم اعداد گویا یک میدان حداقلی با توجه به شمول است که شامل زیرشاخه ای از اعداد صحیح است. می توان تعریف بدیهی تری از سیستم اعداد گویا ارائه داد.
قضیه. هر عدد گویا x را می توان به صورت ضریبی از دو عدد صحیح نشان داد
، جایی که a، b (Z، b (0. (1)
این نمایش مبهم است، و در جایی که a، b، c، d (Z، b (0، d (0.
اثبات اجازه دهید Q0 مجموعه ای از تمام اعداد گویا قابل نمایش در شکل (1) را نشان دهد. برای تأیید اینکه Q0 = Q کافی است. اجازه دهید، جایی که a، b، c، d (Z، b (0، d (0. سپس، با ویژگی های میدان، داریم:، و برای c (0. بنابراین Q0 نسبت به تفریق و تقسیم بسته است با اعداد نابرابر با صفر)، و بنابراین، یک زیرفیلد از فیلد Q است. از آنجایی که هر عدد صحیح a را می توان به شکل نشان داد، نتیجه آن این است که Z (Q0. بنابراین، با شرط حداقلی، Q0 = Q است. اثبات قسمت دوم قضیه بدیهی است.

2.5. وجود یک سیستم اعداد گویا.

سیستم اعداد گویا به عنوان حداقل فیلد حاوی زیرشاخه ای از اعداد صحیح تعریف می شود. این سؤال به طور طبیعی مطرح می شود - آیا چنین میدانی وجود دارد، یعنی آیا سیستم بدیهیاتی که اعداد گویا را تعریف می کند سازگار است؟ برای اثبات سازگاری، لازم است تفسیری از این سیستم بدیهیات ساخته شود. در این صورت می توان به وجود سیستمی از اعداد صحیح اعتماد کرد. در ساخت تفسیر مجموعه Z (Z \ (0) را به عنوان نقطه شروع در نظر می گیریم. در این مجموعه دو عملیات جبری باینری تعریف می کنیم.
, (1)
(2)
و رابطه باینری
(3)
مصلحت چنین تعریفی از عملیات و روابط ~ از این واقعیت ناشی می شود که در تفسیری که می سازیم، جفت ضریب را بیان می کند.
به راحتی می توان بررسی کرد که عملیات (1) و (2) جابجایی، ارتباطی و ضرب توزیعی با توجه به جمع هستند. همه این ویژگی ها بر اساس ویژگی های مربوط به جمع و ضرب اعداد صحیح بررسی می شوند. بیایید، به عنوان مثال، تداعی ضرب جفت ها را بررسی کنیم:.
به طور مشابه تأیید می شود که رابطه ~ یک هم ارزی است، و بنابراین، مجموعه Z (Z \ (0) به کلاس های هم ارزی تقسیم می شود. مجموعه همه کلاس ها با و کلاس حاوی یک جفت با نشان داده می شود. بنابراین، یک کلاس را می توان با هر یک از جفت های آن نشان داد و با توجه به شرط (3)، به دست می آوریم:
. (4)
وظیفه ما این است که عمل جمع و ضرب را روی یک مجموعه تعریف کنیم تا یک فیلد باشد. ما این عملیات را با برابری ها تعریف می کنیم:
, (5)
(6)
اگر، یعنی ab1 = ba1 و، یعنی، cd1 = dc1، سپس با ضرب این برابری ها، (ac) (b1d1) = (bd) (a1c1) به دست می آید، به این معنی که این ما را متقاعد می کند که برابری (6) در واقع یک عملیات بدون ابهام را بر روی مجموعه ای از کلاس ها، مستقل از انتخاب نمایندگان در هر کلاس تعریف می کند. منحصر به فرد بودن عملیات (5) به روشی مشابه بررسی می شود.
از آنجایی که جمع و ضرب کلاس ها به جمع و ضرب جفت کاهش می یابد، عملیات (5) و (6) جابجایی، تداعی و ضرب نسبت به جمع توزیعی است.
از برابری ها نتیجه می گیریم که کلاس از نظر جمع خنثی است و برای هر کلاس یک عنصر مخالف وجود دارد. به همین ترتیب، از تساوی ها برمی آید که یک کلاس یک عنصر خنثی نسبت به ضرب است و برای هر کلاس یک کلاس معکوس وجود دارد. از این رو، با توجه به عملیات (5) و (6) میدانی است. شرط اول در تعریف مورد 2.4 برآورده می شود.
مجموعه را بیشتر در نظر بگیرید. به طور مشخص، . مجموعه با توجه به تفریق و ضرب بسته است و بنابراین، زیرشاخه میدان است. واقعا، . نقشه برداری را بیشتر در نظر بگیرید،. سطحی بودن این نقشه واضح است. اگر f (x) = f (y)، یعنی x (1 = y (1 یا x = y. از این رو نگاشت f تزریقی است. علاوه بر این،. بنابراین، نگاشت f یک هم شکلی از یک حلقه به یک است. حلقه با شناسایی این حلقه های هم شکل می توان فرض کرد که حلقه Z یک زیرشاخه از میدان است یعنی شرط 2 در تعریف مورد 2.4 برقرار است. زمینه ها و، واجازه دهید. از آنجا که، یک، پس از آن. اما چون میدان است، ضریب این عناصر نیز متعلق به میدان است. این ثابت می کند که اگر، پس، این است. وجود سیستم اعداد گویا ثابت شده است.

2.6. منحصر به فرد بودن سیستم اعداد گویا.

از آنجایی که در درک شهودی آنها تنها یک سیستم از اعداد گویا وجود دارد، نظریه بدیهی اعداد گویا که در اینجا ارائه می شود، باید مقوله ای باشد. طبقه بندی به این معنی است که تا هم ریختی، تنها یک سیستم از اعداد گویا وجود دارد. بیایید نشان دهیم که واقعاً چنین است.
فرض کنید (Q1؛ +، (; Z) و (Q2؛ (، (; Z) هر دو سیستم اعداد گویا باشند. برای اثبات وجود چنین نگاشت دوطرفه ای که تحت آن همه اعداد صحیح ثابت می مانند و به علاوه، کافی است، شرایط
(1)
(2)
برای هر عنصر x و y از فیلد Q1.
ضریب عناصر a و b در فیلد Q1 با و در قسمت Q2 - با a نشان داده می شود: b. از آنجایی که Z زیرشاخه ای از هر یک از فیلدهای Q1 و Q2 است، پس برای هر عدد صحیح a و b برابری
, . (3)
اجازه دهید و، کجا،. اجازه دهید این عنصر x را با عنصر y = a: b از فیلد Q2 مرتبط کنیم. اگر تساوی در میدان Q1 برقرار باشد، در آن صورت، طبق قضیه بخش 2.4، برابری ab1 = ba1 در حلقه Z برقرار است، یا به موجب (3)، تساوی برقرار است، و سپس، با همان قضیه ، برابری a: b = a1: b1 ... به این معنی که با مرتبط کردن یک عنصر از فیلد Q1 با عنصر y = a: b از فیلد Q2، یک نگاشت، تعریف می کنیم.
هر عنصر از فیلد Q2 را می توان به صورت a نشان داد: b، جایی که، و بنابراین، تصویر یک عنصر از فیلد Q1 است. بنابراین نگاشت f به صورت سوژه است.
اگر، سپس در فیلد Q1 و سپس. بنابراین، f مضاعف است و همه اعداد صحیح ثابت می مانند. باقی می ماند تا صحت برابری های (1) و (2) اثبات شود. اجازه دهید و، جایی که a، b، c، d (Z، b (0، d (0. سپس و، از آنجا، به موجب (3)) f (x + y) = f (x) (f (y) به طور مشابه، و در کجا.
ایزومورفیسم تفاسیر (Q1؛ +، (؛ Z) و (Q2؛ (، (؛ Z)) ثابت شده است.

پاسخ ها، دستورالعمل ها، راه حل ها.

1.1.1. راه حل. بگذارید شرط اصل 4 صادق باشد (ویژگی اعداد طبیعی به گونه ای که ((0) و. قرار دهید. سپس M فرض اصل 4 را برآورده می کند، زیرا ((0) (0 (عدد M دارای خاصیت (. برعکس. فرض کنید برای هر خاصیت (از این واقعیت که ((0) و،) نتیجه می شود. فرض کنید M زیرمجموعه ای از N باشد به طوری که 0 (M و. نشان دهیم که M = N. ویژگی را معرفی کنید (، تنظیم. سپس ((0)، از آنجا که، و. بنابراین، بنابراین، M = N.
1.1.2. پاسخ: گزاره های بدیهیات 1 و 4 Peano درست است. اصل دوم نادرست است.
1.1.3. پاسخ: گزاره های 2،3،4 بدیهیات پیانو درست است. اصل اول نادرست است.
1.1.4. گزاره های 1، 2، 3 بدیهیات Peano درست است. اصل چهارم نادرست است. نکته: ثابت کنید که مجموعه با فرض اصل 4 که از نظر عملیات فرموله شده است را برآورده می کند، اما.
1.1.5. نکته: برای اثبات درستی اصل 4، یک زیرمجموعه M از A را در نظر بگیرید که شرایط زیر را داشته باشد: a) 1 ((M, b) و یک مجموعه، آن را ثابت کنید سپس M = A.
1.1.6. گزاره های بدیهیات 1،2،3 Peano درست است. اصل چهارم Peano نادرست است.
1.6.1. الف) راه حل: ابتدا ثابت کنید که اگر 1 بامداد. بازگشت. اجازه بده
1.6.2. الف) راه حل: برعکس را فرض کنید. با M مجموعه تمام اعدادی را نشان می دهیم که دارای خاصیت نیستند (. با فرض M ((. با قضیه 1، در M کوچکترین عنصر n وجود دارد (0. هر عدد x
1.8.1. و) از مورد e) و مورد ج استفاده کنید: (الف-ج) + (ج-ب) = (الف + ج) - (ج + ب) = الف-ب، بنابراین (الف-ب) - (ج-ب) = الف-ج.
ح) از ملک استفاده کنید.
ک) از مورد ب استفاده کنید.
ل) استفاده از b) و h).
1.8.2. ج) بنابراین، ما داریم. بنابراین، .
د) داریم. از این رو، .
ز).
1.8.3. الف) اگر (و (راه حل های مختلف معادله ax2 + bx = c هستند، a (2 + b (= a (2 + b (. از طرف دیگر، اگر مثلاً (b)) بگذارید (و (راه‌حل‌های مختلف معادله باشند. اگر ((
ج) اجازه دهید (و (ریشه های مختلف معادله باشد و (> (. سپس 2 ((- () = (a (2 + b) - (a (2 + b) = a ((- () ((( + ( بنابراین، a ((+ () = 2، اما (+ (> 2، بنابراین، a ((+ ()> 2، که غیرممکن است.
1.8.4. الف) x = 3; ب) x = y = 2. نکته: از آنجایی که و، x = y داریم. ج) x = y (y + 2)، y - هر عدد طبیعی. د) x = y = 2; ه) x = 2، y = 1; f) تا جایگشت x = 1، y = 2، z = 3. راه حل: برای مثال، اجازه دهید x (y (z. سپس xyz = x + y + z (3z، یعنی xy (3. اگر xy = 1، پس x = y = 1 و z = 2 + z، غیر ممکن است اگر xy = 2، آنگاه x = 1، y = 2. در این مورد 2z = 3 + z، یعنی z = 3. اگر xy = 3، آنگاه x = 1، y = 3. سپس 3z = 4 + z، یعنی z = 2، که با فرض y (z.
1.8.5. ب) اگر x = a، y = b حل معادله است، ab + b = a، i.e. a> ab، که غیر ممکن است. د) اگر x = a، y = b راه حل معادله است، آنگاه b
1.8.6. الف) x = ky، که در آن k، y اعداد طبیعی دلخواه هستند و y (1. b) x یک عدد طبیعی دلخواه است، y = 1. ج) x یک عدد طبیعی دلخواه است، y = 1. د) راه حلی وجود ندارد. ه) x1 = 1; x2 = 2; x3 = 3. و) x> 5.
1.8.7. الف) اگر a = b، 2ab = a2 + b2. اجازه دهید، برای مثال، یک

ادبیات

1. Redkov M.I. سیستم های اعداد / توصیه های روشی برای مطالعه درس «سیستم های عددی». قسمت 1.- Omsk: OmGPI, 1984.- 46p.
2. Ershova T.I. سیستم های اعداد / توسعه روشی برای آموزش عملی.- Sverdlovsk: SGPI، 1981.- 68s.

این سیستم بدیهیات برای نظریه اعداد صحیح، همانطور که در تمرین 3.1.4 ذکر شد، مستقل نیست.

قضیه 1.نظریه بدیهی اعداد صحیح سازگار است.

اثبات ما سازگاری نظریه بدیهی اعداد صحیح را با این فرض ثابت می کنیم که نظریه بدیهی اعداد طبیعی سازگار است. برای انجام این کار، مدلی می سازیم که تمام بدیهیات نظریه ما بر اساس آن برآورده می شود.

بیایید اول یک حلقه بسازیم. مجموعه را در نظر بگیرید

ن´ ن = {(الف، ب)ï الف، بÎ ن}.

الف، ب) اعداد طبیعی. منظور ما از چنین جفتی اختلاف اعداد طبیعی است الف - ب... اما تا زمانی که وجود سیستمی از اعداد صحیح که چنین تفاوتی در آن وجود دارد ثابت نشده باشد، ما حق نداریم از چنین نامگذاری استفاده کنیم. در عین حال، این درک به ما این فرصت را می دهد تا ویژگی های جفت ها را همانطور که نیاز داریم تنظیم کنیم.

می دانیم که تفاوت های مختلف اعداد طبیعی می توانند برابر با یک عدد صحیح باشند. بر این اساس، ما در مجموعه معرفی می کنیم ن´ نرابطه برابری:

(الف، ب) = (ج، د) Û a + d = b + c.

به راحتی می توان دریافت که این رابطه بازتابی، متقارن و متعدی است. بنابراین یک رابطه هم ارزی است و حق دارد که آن را برابری نامید. مجموعه فاکتور از یک مجموعه ن´ ن ز... عناصر آن اعداد صحیح نامیده خواهند شد. آنها کلاس های هم ارزی را در مجموعه ای از جفت ها نشان می دهند. کلاس حاوی جفت
(الف، ب) را با [ نشان می دهیم الف، ب].

ز الف، ب] به عنوان تفاوت الف - ب

[الف، ب] + [ج، د] = [الف + ج، ب + د];

[الف، ب] × [ ج، د] = [ac + bd، ad + bc].

باید در نظر داشت که به طور دقیق، استفاده از نمادهای عملیات در اینجا کاملاً صحیح نیست. علامت + یکسان نشان دهنده جمع اعداد و جفت های طبیعی است. اما از آنجایی که همیشه مشخص است که یک عملیات معین در چه مجموعه ای انجام می شود، در اینجا به معرفی جداگانه ای برای این عملیات نمی پردازیم.

لازم است صحت تعاریف این عملیات بررسی شود، یعنی اینکه نتایج به انتخاب عناصر بستگی ندارد. آو بتعریف جفت [ الف، ب]. در واقع، اجازه دهید

[الف، ب] = [آ 1 ، ب 1 ], [SD] = [با 1 ، د 1 ].

این به آن معناست که a + b 1 = b + a 1 , ج + د 1 =د + بایکی . با افزودن این برابری ها به دست می آوریم

a + b 1 + ج + د 1 = b + a 1 +د + با 1 Þ [ a + b، c + d] = [آ 1 +با 1 ، ب 1 + د 1] Þ

Þ [ الف، ب] + [ج، د] = [آ 1 ، ب 1 ] + [ج 1 ، د 1 ].

درستی تعریف ضرب نیز به همین ترتیب مشخص می شود. اما در اینجا لازم است ابتدا بررسی شود که [ الف، ب] × [ ج، د] = [آ 1 ، ب 1] × [ ج، د].

اکنون باید بررسی کنیم که جبر به دست آمده یک حلقه است، یعنی بدیهیات (Z1) - (Z6).

اجازه دهید، برای مثال، جابجایی جمع، یعنی اصل موضوع (Z2) را بررسی کنیم. ما داریم

[ج، د] + [الف، ب] = = [الف + ج، ب + د] = [الف، ب] + [ج، د].

جابجایی جمع برای اعداد صحیح از جابجایی جمع برای اعداد طبیعی گرفته شده است که قبلاً شناخته شده در نظر گرفته می شود.

بدیهیات (Z1)، (Z5)، (Z6) به روشی مشابه تأیید می شوند.

نقش صفر توسط یک جفت بازی می شود. ما آن را با نشان می دهیم 0 ... واقعا،

[الف، ب] + 0 = [الف، ب] + = [یک + 1، b + 1] = [الف، ب].

سرانجام، -[ الف، ب] = [ب، الف]. واقعا،

[الف، ب] + [ب، الف] = [a + b، b + a] = = 0 .

حالا بدیهیات پسوند را بررسی می کنیم. باید در نظر داشت که در حلقه ساخته شده هیچ اعداد طبیعی وجود ندارد، زیرا عناصر حلقه کلاس هایی از جفت اعداد طبیعی هستند. بنابراین، یافتن یک زیر جبر هم شکل با semiring اعداد طبیعی ضروری است. اینجا دوباره ایده جفت [ الف، ب] به عنوان تفاوت الف - ب... عدد طبیعی nرا می توان به عنوان تفاوت دو مقدار طبیعی نشان داد، به عنوان مثال، به صورت زیر: n = (n+ 1) - 1. از این رو گزاره برای ایجاد مطابقت مطرح می شود f: ن ® زبر اساس قانون

f(n) = [n + 1, 1].

این مسابقه تزریقی است:

f(n) = f(متر) Þ [ n + 1, 1]= [متر+ 1، 1] Þ ( n + 1) + 1= 1 + (متر+ 1) Þ n = m.

بنابراین، ما یک مکاتبه یک به یک بین داریم نو تعدادی زیر مجموعه ز، که با آن نشان می دهیم N *... بیایید بررسی کنیم که عملیات را ذخیره می کند:

f(n) + f(متر) = [n + 1, 1]+ [متر + 1, 1] = [n + m + 2, 2]= [n + متر+ 1, 1] = f(n + m);

f(n) × f(متر) = [n+ 1، 1] × [ متر + 1, 1] = [nm + n + m + 2, n + m + 2]= [نانومتر+ 1, 1] = f(نانومتر).

بدین ترتیب مشخص شد که N *شکل می گیرد زبا توجه به عملیات جمع و ضرب، زیر جبر هم شکل است ن

ما یک جفت را نشان می دهیم [ n+ 1، 1] از N * n، در عرض n الف، ب] ما داریم

[الف، ب] = [آ + 1, 1] + = [آ + 1, 1] – [ب + 1, 1] = آ – ب .

بنابراین، در نهایت، مفهوم جفت [ الف، ب] به عنوان تفاوت اعداد طبیعی. در همان زمان مشخص شد که هر عنصر از مجموعه ساخته شده زبه عنوان تفاوت دو مقدار طبیعی نشان داده می شود. این به بررسی اصل حداقلی کمک می کند.

اجازه دهید M -زیرمجموعه ز, حاوی N *و همراه با هر عنصر آو بتفاوت آنها الف - ب... اجازه دهید در این مورد ثابت کنیم M =ز... در واقع، هر عنصر از زبه صورت تفاضل دو عدد طبیعی نشان داده می شود که بر حسب شرط به آن تعلق دارند مهمراه با تفاوتش

ز

قضیه 2.نظریه بدیهی اعداد صحیح مقوله ای است.

اثبات اجازه دهید ثابت کنیم که هر دو مدلی که همه بدیهیات این نظریه بر اساس آنها وجود دارد، هم شکل هستند.

اجازه دهید ب ز 1، +، ×، ن 1 ñ و á ز 2، +، ×، ن 2 - دو مدل از نظریه ما. به طور دقیق، عملیات در آنها باید با نمادهای مختلف مشخص شود. برای اینکه محاسبات را به هم نریزیم از این الزام دور خواهیم شد: هر بار مشخص می شود که در مورد چه نوع عملیاتی صحبت می کنیم. عناصر متعلق به مدل های مورد بررسی با شاخص های مربوطه 1 یا 2 عرضه می شوند.

ما یک نگاشت ایزومورفیک از مدل اول به مدل دوم را تعریف می کنیم. زیرا ن 1 و ن 2 semirings از اعداد طبیعی هستند، سپس یک نگاشت هم شکل j از اولین semiring به دوم وجود دارد. ما یک نقشه تعریف می کنیم f: ز 1® ز 2. هر عدد صحیح ایکس 1 Î ز 1 به عنوان تفاوت دو مقدار طبیعی نشان داده می شود:
ایکس 1 = a 1 - بیکی . ما معتقدیم

f (ایکس 1) = j ( آ 1) – j ( ب 1).

اجازه دهید این را ثابت کنیم f- ایزومورفیسم نگاشت به درستی تعریف شده است: اگر ایکس 1 = در 1، کجا y 1 = ج 1 – د 1، سپس

آ 1 - ب 1 = ج 1 – د 1 Þ آ 1 + د 1 = ب 1 + ج 1 Þ j ( آ 1 + د 1) = j ( ب 1 + ج 1) Þ

Þ j ( آ 1) + j ( د 1) = j ( ب 1) + j ( ج 1) Þ j ( آ 1) - j ( ب 1) = j ( ج 1) - j ( د 1) Þ f(ایکس 1) =f (y 1).

از این رو نتیجه می شود که f -نقشه برداری بدون ابهام ز 1 اینچ ز 2. اما برای هر کسی ایکس 2 از ز 2 عنصر طبیعی را می توان یافت آ 2 و ب 2 طوری که ایکس 2 = a 2 - ب 2. از آنجایی که j یک هم ریختی است، این عناصر دارای تصاویر معکوس هستند آ 1 و بیکی . به معنای، ایکس 2 = j ( آ 1) – j ( ب 1) =
= f (آ 1 - ب 1) و هر عنصر از ز 2 یک نمونه اولیه است. از این رو مکاتبات fیک به یک. بیایید بررسی کنیم که عملیات را ذخیره می کند.

اگر ایکس 1 = a 1 - ب 1 , y 1 = ج 1 - د 1، سپس

ایکس 1 + y 1 = (آ 1 + ج 1) – (ب 1 +د 1),

f(ایکس 1 + y 1) = j ( آ 1 + ج 1) – j ( ب 1 +د 1) = j ( آ 1) + j ( ج 1) – j ( ب 1) – j ( د 1) =

جی ( آ 1) – j ( ب 1) + j ( ج 1)– j ( د 1) =f(ایکس 1) + f(y 1).

به طور مشابه، بررسی می شود که ضرب حفظ شود. بدین ترتیب مشخص شد که fایزومورفیسم است و قضیه ثابت شده است.

تمرینات

1. ثابت کنید که هر حلقه ای که دارای سیستمی از اعداد طبیعی باشد شامل حلقه ای از اعداد صحیح نیز می شود.

2. ثابت کنید که هر حلقه جابجایی مرتب شده با وحدت با حلقه اعداد صحیح هم شکل است.

3. ثابت کنید که هر حلقه مرتب با وحدت و بدون مقسوم علیه صفر دارای و فقط یک زیر حلقه هم شکل به حلقه اعداد صحیح است.

4. ثابت کنید که حلقه ماتریس‌های مرتبه دوم در میدان اعداد حقیقی حاوی بی‌نهایت حلقه‌های فرعی هم‌شکل نسبت به حلقه اعداد صحیح است.

حوزه اعداد گویا

تعریف و ساخت سیستم اعداد گویا به همان روشی انجام می شود که برای سیستم اعداد صحیح انجام می شود.

تعریف.سیستم اعداد گویا یک میدان حداقلی است که بسط حلقه اعداد صحیح است.

مطابق با این تعریف، ساختار بدیهی زیر را از یک سیستم اعداد گویا بدست می آوریم.

اصطلاحات اولیه:

س- مجموعه ای از اعداد گویا؛

0، 1 - ثابت؛

+، × - عملیات باینری روشن است س;

ز- زیرمجموعه س، مجموعه ای از اعداد صحیح؛

Е, Д - عملیات باینری در ز.

بدیهیات:

من. بدیهیات میدانی.

(Q1) آ+ (b + c) = (a + b) + ج.

(Q2) a + b = b + a.

(Q3) (" آ) آ + 0 = آ.

(Q4) (" آ)($(–آ)) آ + (–آ) = 0.

(Q5) آ× ( ب× ج) = (آ× ب) × ج.

(Q6) آ× b = b× آ.

(Q7) آ× 1 = آ.

(س8) (" آ¹ 0)($ آ –1) آ × آ –1 = 1.

(Q9) ( a + b) × c = a × c + b× ج.

II. بدیهیات پسوند.

(س10) á ز, M, L, 0, 1ñ حلقه اعداد طبیعی است.

(Q11) ز Í س.

(س12) (" الف، بÎ ز) a + b = aÅ ب.

(س13) (" الف، بÎ ز) آ× b = aÄ ب.

III. بدیهیات حداقلی.

(Q14) مÍ س, زÍ م, ("الف، بÎ م)(ب ¹ 0 ® آ× ب-1 Î م)Þ م = س.

عدد آ× ب-1 را ضریب می گویند آو ب، نشان داده شده است آ/بیا .

قضیه 1.هر عدد گویا به صورت ضریبی از دو عدد صحیح نمایش داده می شود.

اثبات اجازه دهید م- مجموعه ای از اعداد گویا که به صورت ضریب دو عدد صحیح نمایش داده می شود. اگر n- پس کل n = n/ 1 متعلق به ماز این رو، زÍ م... اگر الف، بÎ م، سپس a = k/l، b = m/nجایی که k، l، m، nÎ ز... از این رو، آ/ب=
= (kn) / (lm)Î م... بر اساس اصل موضوع (Q14) م= س، و قضیه ثابت می شود.

قضیه 2.میدان اعداد گویا را می توان به صورت خطی و دقیق به روشی منحصر به فرد مرتب کرد. ترتیب در میدان اعداد گویا ارشمیدس است و ترتیب در حلقه اعداد صحیح را ادامه می دهد.

اثبات اجازه دهید با نشان دادن س+ مجموعه اعداد قابل نمایش به صورت کسری، که در آن kl> 0. به راحتی می توان دریافت که این شرط به نوع کسری که عدد را نشان می دهد بستگی ندارد.

اجازه دهید آن را بررسی کنیم س + – بخش مثبت میدان س... از آنجایی که برای یک عدد صحیح klسه مورد ممکن است: kl = 0, klÎ ن, –kl Î ن، سپس برای a = یکی از سه احتمال را می گیریم: a = 0، aÎ س+، –AÎ س + ... علاوه بر این، اگر a =، b = متعلق به س+پس kl > 0, دقیقه> 0. سپس a + b =، و ( kn + ml)ln = kln 2 + mnl 2> 0. بنابراین، a + bÎ س + ... به طور مشابه تأیید شده است که abÎ س + ... به این ترتیب، س + - بخش مثبت میدان س.

اجازه دهید س++ - هر بخش مثبت این زمینه. ما داریم

l = .l 2 Î س ++ .

از اینجا نÍ س++. با قضیه 2.3.4، اعداد معکوس به اعداد طبیعی نیز به آن تعلق دارند س++. سپس س + Í س++. توسط قضیه 2.3.6 س + =س++. بنابراین، دستورات تعریف شده توسط قسمت های مثبت نیز منطبق هستند. س+ و س ++ .

زیرا ز + = نÍ س+، سپس ترتیب را وارد کنید سبه ترتیب ادامه می دهد ز.

حالا اجازه دهید a => 0، b => 0. از آنجایی که ترتیب در حلقه اعداد صحیح ارشمیدس است، پس برای مثبت knو میلی لیترطبیعی وجود دارد بابه طوری که با× kn>میلی لیتر... از اینجا با a = با> = ب. از این رو ترتیب در حوزه اعداد گویا ارشمیدس است.

تمرینات

1. ثابت کنید که میدان اعداد گویا متراکم است، یعنی برای هر اعداد گویا آ < بمنطقی وجود دارد rبه طوری که آ < r < ب.

2. ثابت کنید که معادله ایکس 2 = 2 هیچ راه حلی ندارد س.

3. ثابت کنید که مجموعه سقابل شمارش.

قضیه 3.نظریه بدیهی اعداد گویا سازگار است.

اثبات سازگاری نظریه بدیهی اعداد گویا به همان روشی که برای اعداد صحیح ثابت می شود. برای این، مدلی ساخته شده است که بر اساس آن تمام بدیهیات نظریه برآورده می شود.

ما مجموعه را پایه می گیریم

ز´ ز * = {(الف، ب)ï الف، بÎ ز, ب ¹ 0}.

عناصر این مجموعه جفت هستند ( الف، ب) اعداد صحیح منظور ما از چنین جفتی، ضریب اعداد صحیح است آ/ب... مطابق با این، ویژگی های جفت ها را تنظیم می کنیم.

در مجموعه معرفی کنید ز´ ز *رابطه برابری:

(الف، ب) = (ج، د) Û آگهی = قبل از میلاد.

توجه داشته باشید که یک رابطه هم ارزی است و حق دارد که آن را برابری نامید. مجموعه فاکتور از یک مجموعه ز´ ز *با توجه به این رابطه، برابری ها را با نشان می دهیم س... عناصر آن را اعداد گویا می نامند. کلاس حاوی جفت ( الف، ب) را با [ نشان می دهیم الف، ب].

در مجموعه ساخته شده معرفی کنید سعملیات جمع و ضرب نمایش عنصر [ الف، ب] به عنوان خصوصی آ/ب... مطابق با این، ما طبق تعریف فرض می کنیم:

[الف، ب] + [ج، د] = [ad + bc, bd];

[الف، ب] × [ ج، د] = [ac، bd].

ما صحت تعاریف این عملیات را بررسی می کنیم، یعنی اینکه نتایج به انتخاب عناصر بستگی ندارد. آو بتعریف جفت [ الف، ب]. این کار به همان روشی انجام می شود که در اثبات قضیه 3.2.1 انجام می شود.

نقش صفر توسط یک جفت بازی می شود. ما آن را با نشان می دهیم 0 ... واقعا،

[الف، ب] + 0 = [الف، ب] + = [یک × 1 + 0 × ب، ب × 1] = [الف، ب].

مخالف [ الف، ب] یک جفت است - [ الف، ب] = [–الف، ب]. واقعا،

[الف، ب] + [–الف، ب]= [اب - اب، بب] = = 0 .

واحد یک جفت = است 1 ... معکوس جفت [ الف، ب] - جفت [ ب، الف].

حالا بدیهیات پسوند را بررسی می کنیم. بیایید یک مکاتبه برقرار کنیم
f: ز ® سبر اساس قانون

f(n) = [n, 1].

ما بررسی می کنیم که این یک مکاتبه یک به یک بین است زو تعدادی زیر مجموعه س، که با آن نشان می دهیم ز *... ما بیشتر بررسی می‌کنیم که عملکردها را حفظ می‌کند، به این معنی که یک هم‌شکلی بین آن برقرار می‌شود زو زیر حلقه ز * v س... این بدان معنی است که بدیهیات پسوند تأیید شده است.

ما یک جفت را نشان می دهیم [ n، 1] از ز *مطابق با عدد طبیعی n، در عرض n ... سپس برای یک جفت دلخواه [ الف، ب] ما داریم

[الف، ب] = [آ، 1] × = [ آ، 1] / [ب 1] = آ /ب .

بنابراین، مفهوم جفت [ الف، ب] به عنوان ضریب اعداد صحیح. در همان زمان مشخص شد که هر عنصر از مجموعه ساخته شده سبه صورت ضریبی از دو کل نشان داده می شود. این به بررسی اصل حداقلی کمک می کند. بررسی مانند قضیه 3.2.1 انجام می شود.

بنابراین، برای سیستم ساخته شده ستمام بدیهیات نظریه اعداد صحیح برآورده شده است، یعنی مدلی از این نظریه ساخته ایم. قضیه ثابت می شود.

قضیه 4.نظریه بدیهی اعداد گویا مقوله ای است.

اثبات شبیه به اثبات قضیه 3.2.2 است.

قضیه 5.یک فیلد مرتب شده ارشمیدسی، بسط میدان اعداد گویا است.

اثبات - به عنوان یک تمرین.

قضیه 6.اجازه دهید اف- میدان دستور ارشمیدسی، آ > بجایی که الف، بÎ اف... یک عدد گویا Î وجود دارد افبه طوری که آ > > ب.

اثبات اجازه دهید آ > ب³ 0. سپس الف - ب> 0 و ( الف - ب) –1> 0. طبیعی وجود دارد تیبه طوری که متر× 1> ( الف - ب) –1، از آنجا متر –1 < الف - ب £ آ... علاوه بر این، یک طبیعی وجود دارد کبه طوری که ک× متر-1³ آ... اجازه دهید ککوچکترین عددی است که این نابرابری برای آن وجود دارد. زیرا ک> 1، سپس می توانیم قرار دهیم k = n + 1, n Î ن... که در آن
(n+ 1) × متر-1³ آ, n× متر –1 < آ... اگر n× متر– 1 پوند ب، سپس آ = ب + (الف - ب) > b + m-1³ n× متر –1 + متر –1 =
= (n+ 1) × متر-یک. تناقض. به معنای، آ >n× متر –1 > ب.

تمرینات

4. ثابت کنید که هر میدانی که شامل حلقه ای از اعداد صحیح باشد، شامل میدان اعداد گویا نیز می شود.

5. ثابت کنید که هر میدان مرتب شده حداقل با میدان اعداد گویا هم شکل است.

اعداد واقعی

در درس ریاضی مدرسه بر اساس نیاز به اندازه گیری اعداد حقیقی به صورت سازنده تعیین می شد. این تعریف سهل‌انگیز بود و اغلب محققان را به بن‌بست می‌کشاند. به عنوان مثال، سؤال از پیوستگی اعداد حقیقی، یعنی آیا در این مجموعه خلأ وجود دارد؟ بنابراین هنگام انجام تحقیقات ریاضی، لازم است تعریف دقیقی از مفاهیم مورد مطالعه، حداقل در چارچوب برخی مفروضات شهودی (بدیهیات) منطبق با عمل داشته باشیم.

تعریف مجموعه ای از عناصر x، y، z، ... متشکل از بیش از یک عنصر،به نام مجموعه آراعداد واقعی اگر عملیات و روابط زیر برای این اشیاء ایجاد شود:

دسته اول بدیهیات- بدیهیات عملیات جمع.

در مجموعه آرعملیات جمع معرفی شده است، یعنی برای هر جفت عنصر آو ب مجموعو تعیین شده است آ + ب
من 1. آ+ب=ب+آ, الف، ب آر .

من 2. آ+(b + c)=(a + b)+ج,آ, ب, ج آر .

I 3. عنصری به نام وجود دارد صفرو با 0 نشان داده می شود که برای هر آ آر شرط ارضا شده است آ+0=آ.

من 4. برای هر عنصر آ آر عنصری به نام آن وجود دارد مقابلو نشان داد - آ، برای کدام آ+(-آ) = 0. عنصر آ+(-ب), آ, ب آر نامیده میشود تفاوتعناصر آو بو نشان داد آ - ب.

II - گروه بدیهیات - بدیهیات ضرب... در مجموعه آرعملیات معرفی شد ضرب، یعنی برای هر جفت عنصر آو بیک عنصر به نام آنها تعریف شده است تولید - محصولو تعیین شده است a ب، به طوری که شرایط زیر رعایت شود:
II 1. اب=ba، a, ب آر .

II 2 آ(قبل از میلاد مسیح)=(اب)ج, آ, ب, ج آر .

II 3. چنین عنصری به نام وجود دارد واحدو با 1 نشان داده می شود که برای هر آ آر شرط ارضا شده است آ 1=آ.

II 4. برای هرکس آ 0 عنصری به آن فراخوانی شده است معکوسو نشان داده شده یا 1 / آ، برای کدام آ= 1. عنصر آ , ب 0 نامیده می شود خصوصیاز تقسیم آبر روی بو نشان داد آ:بیا یا آ/ب.

II 5. اتصال عملیات جمع و ضرب: برای هر آ, ب, ج آر شرایط ( ac + ب) ج=ac + bc.

مجموعه ای از اشیاء که بدیهیات گروه های I و II را برآورده می کنند، یک فیلد عددی یا به سادگی یک فیلد نامیده می شود. و بدیهیات مربوطه را بدیهیات میدانی می نامند.

III - دسته سوم بدیهیات - بدیهیات مرتبه.برای اقلام آررابطه سفارش تعریف شده است. به شرح زیر می باشد. برای هر دو عنصر متفاوت آو بیکی از دو رابطه برقرار است: یا آ ب(خواندن " آکمتر یا مساوی ب")، یا آ ب(خواندن " آبیشتر یا مساوی بفرض بر این است که شرایط زیر وجود دارد:

III 1. آ آبرای همه آ.از جانب آ ب، بباید a = b.

III 2. گذرا. اگر آ بو ب ج، سپس آج

III 3. اگر آ ب، سپس برای هر عنصر جاتفاق میافتد آ+ج ب+ج.

III 4. اگر آ 0، ب 0, سپس اب 0 .

گروه IV بدیهیات شامل یک اصل است - بدیهیات تداوم.برای هر مجموعه غیر خالی ایکسو Yاز جانب آربه طوری که برای هر جفت عنصر ایکس ایکسو y Yنابرابری پابرجاست ایکس < y، یک عنصر وجود دارد آ آرارضای شرط

برنج. 2

ایکس < آ < y, ایکس ایکس, y Y(شکل 2). ویژگی های فهرست شده به طور کامل مجموعه اعداد حقیقی را تعیین می کنند به این معنا که تمام خصوصیات دیگر آن از این ویژگی ها پیروی می کنند. این تعریف به طور واضح مجموعه اعداد واقعی را تا ماهیت خاص عناصر آن مشخص می کند. این بند که یک مجموعه شامل بیش از یک عنصر است ضروری است زیرا مجموعه ای که فقط از یک صفر تشکیل شده باشد، بدیهی است که تمام بدیهیات را برآورده می کند. در ادامه، عناصر مجموعه R را اعداد می نامیم.

حال اجازه دهید مفاهیم آشنای اعداد طبیعی، گویا و غیر منطقی را تعریف کنیم. اعداد 1، 2 1 + 1، 3 2 + 1، ... نامیده می شوند اعداد طبیعی، و مجموعه آنها مشخص می شود ن ... از تعریف مجموعه اعداد طبیعی به دست می آید که دارای ویژگی مشخصه زیر است: اگر

1) آ ن ,

3) برای هر عنصر x A شامل x + 1 آ, پس یک=ن .

در واقع، طبق شرط 2)، ما 1 داریم آبنابراین با ویژگی 3) و 2 آو سپس با توجه به همان خاصیت عدد 3 را بدست می آوریم آ... از آنجایی که هر عدد طبیعی است nاز 1 با اضافه کردن پی در پی همان 1 به آن بدست می آید، سپس n آ، یعنی ن آ، و از آنجایی که با شرط 1 گنجاندن آ ن ، سپس آ=ن .

اصل اثبات مبتنی بر این ویژگی اعداد طبیعی است. با استقراء ریاضی... اگر عبارات زیادی وجود داشته باشد که به هر یک از آنها یک عدد طبیعی (عدد آن) اختصاص داده شده است. n= 1، 2، ...، و اگر ثابت شود که:

1) عبارت شماره 1 درست است.

2) از اعتبار اظهارنامه با هر عدد n ن اعتبار بیانیه با شماره n+1;

سپس این اعتبار همه گزاره ها را ثابت می کند، یعنی. هر عبارت با یک عدد دلخواه n ن .

اعداد 0، + 1, + 2، ... نامیده می شوند تمام اعدادمجموعه آنها نشان می دهد ز .

اعداد مانند m / n، جایی که مترو nکل، و n 0 نامیده می شوند اعداد گویا... مجموعه همه اعداد گویا نشان می دهد س .

اعداد حقیقی که گویا نیستند نامیده می شوند غیر منطقی، مجموعه آنها نشان داده شده است من .

این سوال مطرح می شود که شاید اعداد گویا تمام عناصر مجموعه را خسته می کنند Rپاسخ این سوال را اصل تداوم می دهد. در واقع، این اصل برای اعداد گویا صادق نیست. به عنوان مثال، دو مجموعه را در نظر بگیرید:

به راحتی می توان فهمید که نابرابری برای هر عنصر و. ولی گویاهیچ عددی وجود ندارد که این دو مجموعه را از هم جدا کند. در واقع، این عدد فقط می تواند باشد، اما منطقی نیست. این واقعیت نشان می دهد که وجود دارد اعداد گنگدر مجموعه آر.

علاوه بر چهار عمل حسابی روی اعداد، می توانید عملیات افزایش به توان و استخراج ریشه را انجام دهید. برای هر شماره آ آر و طبیعی nدرجه یک nبه عنوان یک اثر تعریف شده است nعوامل برابر با آ:

طبق تعریف آ 0 1, آ>0, آ- n 1 / آ n آ 0, n- عدد طبیعی.

مثال.نابرابری برنولی: 1 + x) n> 1 + nxبا استقرا ثابت کنید.

اجازه دهید آ>0, n- عدد طبیعی. عدد بتماس گرفت ریشه n- درجه از میان آ، اگر b n = a... در این مورد نوشته شده است. وجود و منحصر به فرد بودن یک ریشه مثبت از هر درجه nهر عدد مثبت در زیر در بخش 7.3 ثابت خواهد شد.
حتی ریشه آ 0 دو معنی دارد: اگر ب = , ک ن ، سپس -ب= در واقع، از b 2k = آبه دنبال آن است

(-ب)2 هزار = ((-ب) 2 )ک = (ب 2)ک = b 2k

یک مقدار غیر منفی به آن می گویند مقدار حسابی.
اگر r = p / q، جایی که پو qکل، q 0، یعنی rیک عدد گویا است، سپس برای آ > 0

(2.1)

پس مدرک a rبرای هر عدد گویا تعریف شده است r... از تعریف آن بر می آید که برای هر عقلی rبرابری برقرار است

a -r = 1/a r.

درجه تبر(عدد ایکستماس گرفت توان) برای هر عدد واقعی ایکسبا استفاده از بسط پیوسته یک درجه با توان گویا به دست می آید (در این مورد در بخش 8.2 ببینید). برای هر شماره آ آر عدد غیر منفی

او را صدا کرد قدر مطلقیا مدول... مقادیر مطلق اعداد نابرابری ها را برآورده می کند

|آ + ب| < |آ| + |ب|,
||آ - ب|| < |آ - ب|, آ, ب آر

آنها با استفاده از خصوصیات I-IV اعداد حقیقی ثابت می شوند.

نقش اصل تداوم در ساخت تحلیل ریاضی

معنای اصل تداوم به گونه ای است که بدون آن ساخت دقیق تحلیل ریاضی غیرممکن است. [ منبع مشخص نشده 1351 روز] برای نشان دادن، ما چندین گزاره اساسی تحلیل را ارائه می کنیم که اثبات آنها بر اساس تداوم اعداد واقعی است:

· (قضیه وایرشتراس).هر دنباله یکنواخت افزایشی محدود همگرا می شود

· (بولزانو - قضیه کوشی).یک تابع پیوسته در یک بخش که مقادیر را در انتهای آن می گیرد علامت متفاوت، در برخی از نقاط داخلی قطعه ناپدید می شود

· (وجود توابع توان، نمایی، لگاریتمی و همه مثلثاتی در کل حوزه «طبیعی» تعریف).مثلاً ثابت می شود که برای همه و کل وجود دارد، یعنی حل معادله. این به شما امکان می دهد معنای عبارت را برای همه منطقی تعیین کنید:

در نهایت، دوباره، به لطف تداوم خط اعداد، می توان مقدار عبارت را از قبل برای یک عبارت دلخواه تعیین کرد. به همین ترتیب با استفاده از خاصیت پیوستگی، وجود عدد برای هر یک ثابت می شود.

برای یک دوره تاریخی طولانی، ریاضیدانان قضایایی را از تجزیه و تحلیل، با اشاره به اثبات هندسی در "مکان های ظریف" اثبات کرده اند، و اغلب آنها را به طور کلی نادیده می گیرند زیرا واضح بود. مهمترین مفهوم تداوم بدون هیچ تعریف مشخصی استفاده شده است. تنها در یک سوم پایانی قرن نوزدهم، کارل وایرشتراس، ریاضیدان آلمانی، حسابی تحلیل را انجام داد و اولین نظریه دقیق اعداد حقیقی را به صورت کسرهای اعشاری نامتناهی ساخت. او تعریف کلاسیکی از حد را در زبان ارائه کرد، تعدادی از اظهارات را که قبل از او "بدیهی" تلقی می شد را اثبات کرد و از این طریق ساخت پایه تجزیه و تحلیل ریاضی را تکمیل کرد.

بعدها رویکردهای دیگری برای تعیین عدد واقعی پیشنهاد شد. در رویکرد بدیهی، پیوستگی اعداد حقیقی به صراحت به یک اصل موضوعی جداگانه تفکیک می شود. در رویکردهای سازنده به نظریه اعداد حقیقی، به عنوان مثال، هنگام ساخت اعداد حقیقی با استفاده از بخش‌های Dedekind، خاصیت پیوستگی (در یک فرمول یا فرمول دیگر) به عنوان یک قضیه ثابت می‌شود.

فرمول‌بندی‌های دیگر ویژگی تداوم و جملات معادل [ویرایش | ویرایش متن ویکی]

چندین گزاره مختلف وجود دارد که خاصیت تداوم اعداد حقیقی را بیان می کند. هر یک از این اصول را می توان مبنای ساخت نظریه اعداد حقیقی به عنوان بدیهیات پیوستگی قرار داد و سایر اصول را می توان از آن استخراج کرد. این موضوع در بخش بعدی با جزئیات بیشتر مورد بحث قرار می گیرد.

ددکیند تداوم[ویرایش | ویرایش متن ویکی]

مقاله اصلی:نظریه بخش در زمینه اعداد گویا

ددکیند در اثر «تداوم و اعداد غیر منطقی» به مسئله پیوستگی اعداد حقیقی می پردازد. در آن، او اعداد گویا را با نقاط روی یک خط مستقیم مقایسه می کند. همانطور که می دانید، بین اعداد گویا و نقاط یک خط مستقیم، زمانی که نقطه شروع و واحد اندازه گیری پاره ها در خط مستقیم انتخاب می شوند، می توانید مطابقت برقرار کنید. با کمک دومی می توانید برای هر عدد گویا یک پاره متناظر بسازید و با قرار دادن آن در سمت راست یا چپ، بسته به اینکه عدد مثبت یا منفی وجود داشته باشد، می توانید یک نقطه متناظر با عدد بدست آورید. بنابراین، هر عدد گویا مربوط به یک و تنها یک نقطه از خط مستقیم است.

معلوم می شود که بی نهایت نقاط روی خط وجود دارد که با هیچ عدد گویا مطابقت ندارند. به عنوان مثال، نقطه ای که با ترسیم طول قطر مربع ساخته شده بر روی یک خط واحد به دست می آید. بنابراین، منطقه اعداد گویا یکسان نیست کامل بودن، یا تداوم، که ذاتی یک خط مستقیم است.

ددکیند برای روشن شدن اینکه این تداوم شامل چه چیزی می شود، نکته زیر را بیان می کند. اگر نقطه خاصی در یک خط مستقیم وجود داشته باشد، تمام نقاط روی خط مستقیم به دو دسته تقسیم می شوند: نقاطی که در سمت چپ قرار دارند و نقاطی که در سمت راست قرار دارند. خود نقطه می تواند به طور دلخواه به کلاس پایین تر یا بالاتر اختصاص داده شود. ددکیند جوهر تداوم را در اصل مخالف می بیند:

از نظر هندسی، این اصل بدیهی به نظر می رسد، اما ما قادر به اثبات آن نیستیم. ددکیند تأکید می کند که در اصل، این اصل یک فرض است که ماهیت خاصیت منسوب به مستقیم را بیان می کند که ما آن را تداوم می نامیم.

برای درک بهتر ماهیت پیوستگی خط اعداد به معنای ددکیند، یک تقاطع دلخواه از مجموعه اعداد حقیقی را در نظر بگیرید، یعنی تقسیم تمام اعداد حقیقی به دو کلاس غیر خالی، به طوری که همه اعداد یک کلاس روی خط اعداد سمت چپ همه اعداد دوم قرار دارد. این کلاس ها بر این اساس نام گذاری می شوند پایین ترو کلاس های بالاتربخش. در تئوری، 4 احتمال وجود دارد:

1. در کلاس پایین یک عنصر حداکثر وجود دارد، در کلاس بالا حداقل وجود ندارد

2. در طبقه پایین هیچ عنصر ماکزیمم وجود ندارد و در کلاس بالا حداقل وجود دارد

3. در کلاس پایین حداکثر و در طبقه بالا یک عنصر حداقل وجود دارد

4. در کلاس پایین حداکثر وجود ندارد و در طبقه بالا عنصر حداقل وجود ندارد

در حالت اول و دوم به ترتیب حداکثر عنصر پایین یا حداقل عنصر بالایی بخش داده شده را ایجاد می کند. در مورد سوم داریم جهش، و در چهارم - فضا... بنابراین، پیوستگی خط اعداد به این معنی است که در مجموعه اعداد حقیقی هیچ جهش یا فاصله ای وجود ندارد، یعنی به طور مجازی، هیچ فضای خالی وجود ندارد.

اگر مفهوم بخش از مجموعه ای از اعداد حقیقی را معرفی کنیم، آنگاه اصل پیوستگی ددکیند را می توان به صورت زیر فرموله کرد.

اصل تداوم (کامل) ددکیند. برای هر بخش از مجموعه اعداد حقیقی، یک عدد وجود دارد که این بخش را ایجاد می کند.

اظهار نظر. فرمول بندی اصل تداوم در مورد وجود نقطه ای که دو مجموعه را از هم جدا می کند بسیار شبیه به فرمول اصل تداوم ددکیند است. در واقع، این گزاره ها معادل هستند و در اصل، صورت بندی های متفاوتی از یک چیز هستند. بنابراین هر دوی این گزاره ها نامیده می شوند اصل تداوم اعداد حقیقی از نظر ددکیند.

لم در بخش های تعبیه شده (اصل کوشی - کانتور)[ویرایش | ویرایش متن ویکی]

مقاله اصلی:لم در بخش های تو در تو

لم در بخش های تو در تو (کوشی - کانتور). هر سیستمی از قطعات خط تو در تو

دارای یک تقاطع غیر خالی است، یعنی حداقل یک عدد متعلق به تمام بخش های سیستم داده شده وجود دارد.

اگر علاوه بر این، طول قطعات این سیستم به صفر میل کند، یعنی

سپس محل تلاقی قطعات این سیستم از یک نقطه تشکیل شده است.

این خاصیت نامیده می شود تداوم مجموعه اعداد حقیقی به معنای کانتور... در زیر نشان داده خواهد شد که برای فیلدهای مرتب شده ارشمیدسی، تداوم کانتور معادل تداوم ددکیند است.

اصل برتر[ویرایش | ویرایش متن ویکی]

اصل برتری. هر مجموعه غیر خالی از اعداد حقیقی که در بالا محدود شده است دارای یک امتیاز فوق العاده است.

در دروس آنالیز ریاضی، این گزاره معمولاً یک قضیه است و اثبات آن اساساً از تداوم مجموعه اعداد حقیقی به یک شکل یا شکل دیگر استفاده می کند. در عین حال، برعکس، می توان وجود یک برتری را برای هر مجموعه غیر تهی محدود شده در بالا فرض کرد و با تکیه بر آن، برای مثال، اصل تداوم ددکیند را اثبات کرد. بنابراین، قضیه supremum یکی از فرمول‌بندی‌های معادل خاصیت پیوستگی اعداد حقیقی است.

اظهار نظر. به جای supremum می توان از مفهوم دوگانه infimum استفاده کرد.

اصل infimum. هر مجموعه کران پایینی غیر خالی از اعداد حقیقی یک infimum دارد.

این جمله نیز معادل اصل تداوم ددکیند است. علاوه بر این، می توان نشان داد که ادعای قضیه بر infimum بلافاصله از ادعای قضیه بر supremum تبعیت می کند و بالعکس (نگاه کنید به زیر).

لم پوشش محدود (اصل هاینه - بورل)[ویرایش | ویرایش متن ویکی]

مقاله اصلی:لما هاینه - بورل

لم پوشش محدود (هاینه - بورل). در هر سیستم فواصل که یک قطعه را پوشش می دهد، یک زیر سیستم محدود وجود دارد که این بخش را پوشش می دهد.

لم نقطه حدی (اصل بولزانو - وایرشتراس)[ویرایش | ویرایش متن ویکی]

مقاله اصلی:بولزانو - قضیه وایرشتراس

لم نقطه محدود (بولزانو - وایرشتراس). هر مجموعه اعداد کران نامتناهی حداقل یک نقطه حد دارد.

معادل سازی جملات بیانگر تداوم مجموعه اعداد حقیقی [ویرایش | ویرایش متن ویکی]

اجازه دهید چند نکته مقدماتی را بیان کنیم. مطابق با تعریف بدیهی اعداد حقیقی، مجموع اعداد حقیقی سه گروه بدیهیات را برآورده می کند. دسته اول بدیهیات میدانی هستند. گروه دوم این واقعیت را بیان می کند که مجموعه اعداد حقیقی یک مجموعه مرتب شده خطی است و رابطه ترتیب با عملیات اصلی میدان سازگار است. بنابراین، دسته اول و دوم بدیهیات به این معنی است که مجموعه اعداد حقیقی یک فیلد مرتب است. دسته سوم بدیهیات شامل یک اصل است - بدیهیات تداوم (یا کامل).

برای نشان دادن هم ارزی صورت‌بندی‌های مختلف تداوم اعداد حقیقی، باید ثابت کرد که اگر یکی از این گزاره‌ها برای یک میدان مرتب صدق کند، بقیه از این نظر معتبر هستند.

قضیه. اجازه دهید یک مجموعه سفارشی خطی دلخواه باشد. جملات زیر با هم برابرند:

1. هر مجموعه غیر خالی و به گونه ای که برای هر دو عنصر و نابرابری برقرار باشد، عنصری وجود دارد که برای همه و رابطه

2. برای هر بخش در یک عنصر وجود دارد که این بخش را تولید می کند

3. هر مجموعه غیر خالی که در بالا محدود شده است دارای یک امتیاز فوق العاده است

4. هر مجموعه غیر خالی که در زیر محدود شده باشد دارای مقدار infimum است

همانطور که از این قضیه پیداست، این چهار گزاره فقط از این واقعیت استفاده می کنند که رابطه ترتیب خطی معرفی شده است و از ساختار میدان استفاده نمی کنند. بنابراین، هر یک از آنها یک ویژگی را به عنوان یک مجموعه منظم خطی بیان می کنند. این ویژگی (از یک مجموعه سفارشی خطی دلخواه، نه الزاما مجموعه ای از اعداد واقعی) نامیده می شود. به گفته ددکیند تداوم یا کامل بودن.

اثبات هم ارزی گزاره های دیگر قبلاً مستلزم وجود ساختار میدانی است.

قضیه. اجازه دهید یک فیلد سفارشی دلخواه باشد. جملات زیر معادل هستند:

1. (به عنوان یک مجموعه منظم خطی) Dedekind کامل است

2. زیرا اصل ارشمیدس برآورده می شودو اصل خط تو در تو

3. برای اصل هاینه - بورل برآورده شده است

4. برای اصل Bolzano - Weierstrass برآورده شده است

اظهار نظر. همانطور که از قضیه پیداست، خود اصل پاره خط تودرتو است معادل نیستاصل ددکیند تداوم. اصل تداوم ددکیند بر اصل قطعات تودرتو دلالت دارد، اما برای عکس، لازم است که میدان مرتب شده اصل ارشمیدس را برآورده کند.

اثبات قضایای فوق را می توان در کتاب های کتابشناسی زیر یافت.

· کودریاوتسف، ال. دی.دوره تحلیل ریاضی. - ویرایش پنجم - M .: "Bustard"، 2003. - T. 1. - 704 p. - شابک 5-7107-4119-1.

· فیختنگولتس، گ.م.مبانی آنالیز ریاضی. - ویرایش هفتم - M .: "FIZMATLIT"، 2002. - T. 1. - 416 p. - شابک 5-9221-0196-X.

· ددکیند، آر.پیوستگی و اعداد غیر منطقی = Stetigkeit und irrationale Zahlen. - ویرایش اصلاح شده چهارم. - اودسا: ماتزیس، 1923 .-- 44 ص.

· زوریچ، V.A.تجزیه و تحلیل ریاضی. قسمت اول - اد. 4th, rev .. - M .: "MCNMO"، 2002. - 657 p. - شابک 5-94057-056-9.

· تداوم توابع و حوزه های اعداد: B. Bolzano، L.O. Cauchy، R. Dedekind، G. Kantor. - ویرایش سوم - Novosibirsk: ANT, 2005 .-- 64 p.

4.5. بدیهیات تداوم

هر دو مجموعه غیر خالی از اعداد حقیقی A و

B که برای هر عنصر a ∈ A و b ∈ B، نابرابری است

a ≤ b، یک عدد λ وجود دارد به طوری که برای همه a ∈ A، b ∈ B،

برابری a ≤ λ ≤ b.

خاصیت تداوم اعداد حقیقی به این معنی است که روی واقعی

هیچ "حفره" روی خط وریدی وجود ندارد، یعنی نقاطی که اعداد را نشان می دهند پر می شوند

کل محور واقعی

اجازه دهید فرمول دیگری از اصل تداوم ارائه دهیم. برای این کار معرفی می کنیم

تعریف 1.4.5. دو مجموعه A و B بخش نامیده می شوند

مجموعه اعداد واقعی اگر

1) مجموعه های A و B خالی نیستند.

2) اتحاد مجموعه های A و B مجموعه همه واقعی را تشکیل می دهد

شماره؛

3) هر عدد از مجموعه A کمتر از تعداد مجموعه B است.

یعنی هر مجموعه ای که یک بخش را تشکیل می دهد حداقل شامل یک بخش است

عنصر، این مجموعه ها حاوی عناصر مشترک نیستند و اگر a ∈ A و b ∈ B باشد، آنگاه

مجموعه A طبقه پایین و مجموعه B - طبقه بالا نامیده می شود

کلاس بخش بخش با A B نشان داده می شود.

ساده ترین نمونه از مقاطع، مقاطع به دست آمده در زیر است

به شیوه ای دمنده مقداری عدد α را بردارید و بگذارید

A = (x x< α } , B = { x x ≥ α } . Легко видеть, что эти множества не пусты, не пере-

و اگر a ∈ A و b ∈ B را قطع کنند، a< b , поэтому множества A и B образуют

بخش. به طور مشابه، یک بخش می تواند توسط مجموعه ها تشکیل شود

A = (x x ≤ α)، B = (x x> α).

چنین بخش هایی را بخش هایی می گویند که با عدد α یا ایجاد می شوند

خواهیم گفت که عدد α این بخش را ایجاد می کند. این را می توان به صورت نوشتاری کرد

بخش های تولید شده توسط هر عددی دو بخش جالب دارند

خواص:

خاصیت 1. یا کلاس بالا شامل کوچکترین عدد و در پایین تر است

کلاس بالاترین عدد را ندارد یا کلاس پایین دارای بالاترین عدد است

ببینید، و طبقه بالا کوچکترین نیست.

خاصیت 2. عددی که یک بخش مشخص را تولید می کند منحصر به فرد است.

معلوم می شود که اصل تداوم بیان شده در بالا معادل است

به این بیانیه که اصل ددکیند نامیده می شود پایبند است:

اصل ددکیند برای هر بخش، یک عدد وجود دارد که تولید می کند

این بخش است

اجازه دهید معادل بودن این عبارات را ثابت کنیم.

فرض کنید که اصل تداوم معتبر است و مقداری se-

خواندن A B. سپس، از آنجایی که کلاس های A و B شرایط را برآورده می کنند، فرمول بندی می کنیم

اصل موضوع، یک عدد λ وجود دارد به طوری که a ≤ λ ≤ b برای هر عدد

a ∈ A و b ∈ B. اما عدد λ باید متعلق به یکی و تنها یکی از آنها باشد

کلاس های A یا B؛ بنابراین، یکی از نابرابری های a ≤ λ< b или

آ< λ ≤ b . Таким образом, число λ либо является наибольшим в нижнем классе,

یا کوچکترین در کلاس بالا و ایجاد بخش داده شده است.

برعکس، اصل ددکیند راضی و دو غیر خالی باشد

A و B را طوری تنظیم می کند که برای همه a ∈ A و b ∈ B نابرابری باشد

a ≤ b. اجازه دهید B مجموعه اعداد b را طوری نشان دهد که a ≤ b برای هر کدام

b ∈ B و همه a ∈ A. سپس B ⊂ B. برای مجموعه A مجموعه همه اعداد را می گیریم

روستاهایی که در ب.

اجازه دهید ثابت کنیم که مجموعه های A و B یک بخش را تشکیل می دهند.

در واقع، بدیهی است که مجموعه B خالی نیست، زیرا حاوی است

مجموعه غیر خالی B. مجموعه A نیز خالی نیست، زیرا اگر عدد a ∈ A باشد،

سپس عدد a - 1∉ B، زیرا هر عدد موجود در B باید حداقل باشد

اعداد a، بنابراین، a - 1∈ A.

مجموعه تمام اعداد واقعی، به دلیل انتخاب مجموعه ها.

و در نهایت، اگر a ∈ A و b ∈ B، آنگاه a ≤ b. در واقع، اگر وجود داشته باشد

عدد c نابرابری c>b را برآورده می کند، جایی که b∈ B، آنگاه اشتباه خواهد بود.

برابری c> a (a یک عنصر دلخواه از مجموعه A است) و c∈ B.

بنابراین، الف و ب یک بخش را تشکیل می دهند و به موجب اصل ددکیند، یک خالص وجود دارد

lo λ این بخش را ایجاد می کند، یعنی بزرگ ترین در کلاس است

اجازه دهید ثابت کنیم که این عدد نمی تواند متعلق به کلاس A باشد. واقعا-

اما اگر λ ∈ A باشد، یک عدد a * ∈ A وجود دارد که λ< a* . Тогда существует

عدد a بین اعداد λ و a * قرار دارد. از نابرابری یک «< a* следует, что

a ′ ∈ A، سپس نامساوی λ< a′ следует, что λ не является наибольшим в

کلاس A که با اصل ددکیند در تضاد است. بنابراین عدد λ است

کوچکترین در کلاس B و برای همه a ∈ A و نابرابری است

a ≤ λ ≤ b، در صورت لزوم.

بنابراین، ویژگی فرمول بندی شده در بدیهیات و ویژگی،

فرمول بندی شده در اصل ددکیند معادل هستند. در آینده، اینها

ویژگی های مجموعه اعداد حقیقی را پیوستگی می نامیم

به گفته ددکیند.

پیوستگی مجموعه اعداد حقیقی بر اساس ددکیند دلالت دارد

دو قضیه مهم

قضیه 1.4.3. (اصل ارشمیدس) عدد واقعی هر چه باشد

a، یک عدد طبیعی n وجود دارد به طوری که a< n .

فرض کنیم گزاره قضیه نادرست است، یعنی الف وجود دارد

مقداری b0 به طوری که نابرابری n ≤ b0 برای همه اعداد طبیعی برقرار است

n مجموعه اعداد حقیقی را به دو کلاس تقسیم می کنیم: به کلاس B اختصاص می دهیم

همه اعداد b که نابرابری n ≤ b را برای هر عدد طبیعی n برآورده می کنند.

این کلاس خالی نیست، زیرا عدد b0 به آن تعلق دارد. کلاس A شامل همه می شود

اعداد باقی مانده این کلاس نیز از هر عدد طبیعی خالی نیست

در الف گنجانده شده است. کلاس های A و B با هم قطع نمی شوند و اتحاد آنها است

مجموعه تمام اعداد واقعی

اگر اعداد دلخواه a ∈ A و b ∈ B را بگیریم، یک طبیعی وجود دارد

عدد n0 طوری که a< n0 ≤ b , откуда следует, что a < b . Следовательно, классы

A و B اصل ددکیند را برآورده می کنند و یک عدد α وجود دارد که

یک بخش A B ایجاد می کند، یعنی α یا بزرگترین در کلاس A است، یا

بو کوچکترین در کلاس B است. اگر فرض کنیم α متعلق به کلاس A است، پس

می توان یک عدد طبیعی n1 را پیدا کرد که برای آن نابرابری α وجود دارد< n1 .

از آنجایی که n1 نیز در A است، عدد α بزرگترین در این کلاس نخواهد بود،

بنابراین، فرض ما نادرست است و α کوچکترین در است

کلاس B.

از طرف دیگر، عدد α - 1 را که متعلق به کلاس A است، در نظر بگیرید. دنبال کردن-

بنابراین، یک عدد طبیعی n2 وجود دارد که α - 1 است< n2 , откуда получим

α < n2 + 1 . Так как n2 + 1 - натуральное число, то из последнего неравенства

نتیجه می شود که α ∈ A. تضاد حاصل قضیه را اثبات می کند.

نتیجه. هر چه اعداد a و b به گونه ای باشد که 0 باشد< a < b , существует

عدد طبیعی n که برای آن نابرابری na> b برقرار است.

برای اثبات، استفاده از اصل ارشمیدس برای عدد کافی است

و از خاصیت نابرابری ها استفاده کنید.

نتیجه یک معنی هندسی ساده دارد: هر دو

یک قطعه، اگر روی بزرگتر از آنها، از یکی از انتهای آن به ترتیب

یک کوچکتر قرار دهید، سپس برای تعداد محدودی از مراحل می توانید فراتر بروید

بخش بزرگتر

مثال 1. ثابت کنید که برای هر عدد غیر منفی a وجود دارد

تنها عدد حقیقی غیر منفی t به طوری که

t n = a، n ∈، n ≥ 2.

این قضیه در مورد وجود یک ریشه حسابی درجه n ام

از یک عدد غیر منفی در درس جبر مدرسه بدون اثبات گرفته می شود

تعهد.

☺اگر a = 0، x = 0، پس اثبات وجود حساب

ریشه عدد a فقط برای a> 0 مورد نیاز است.

فرض کنید a> 0 و مجموعه تمام اعداد واقعی را تقسیم کنید

به دو کلاس کلاس B شامل تمام اعداد مثبت x است که برآورده می شوند

نابرابری x n> a را به کلاس A و بقیه ایجاد کنید.

با اصل موضوع ارشمیدس، اعداد طبیعی k و m وجود دارند که

< a < k . Тогда k 2 ≥ k >a و 2 ≤< a , т.е. оба класса непусты, причем класс

A حاوی اعداد مثبت است.

بدیهی است که A ∪ B = و اگر x1 ∈ A و x2 ∈ B، آنگاه x1< x2 .

بنابراین، کلاس های A و B یک بخش را تشکیل می دهند. عددی که این را تشکیل می دهد

بخش، با t نشان داده شود. سپس t یا بزرگترین عدد در کلاس است

ce A یا کوچکترین در کلاس B.

فرض کنید t ∈ A و t n< a . Возьмем число h , удовлетворяющее нера-

ازدواج 0< h < 1 . Тогда

(t + h) n = t n + Cnt n - 1h + Cn t n - 2h2 + ... + Cnn hn< t n + Cnt n−1h + Cn t n−2h + ... + Cn h =

T n + h (Cnt n - 1 + Cn t n - 2 + ... + Cn + Cn t n) - hCn t n = t n + h (t + 1) - ht n =

T n + h (t + 1) - t n

سپس (t + h) را می گیریم< a . Это означает,

از این رو، اگر h را در نظر بگیریم<

که t + h ∈ A، که با این واقعیت که t بزرگترین عنصر در کلاس A است در تضاد است.

به طور مشابه، با فرض اینکه t کوچکترین عنصر کلاس B باشد،

سپس، عدد h را که نابرابری های 0 را برآورده می کند، بگیرید< h < 1 и h < ,

ما (t - h) = t n - Cnt n - 1h + Cn t n - 2 h 2 - ... + (-1) Cn h n> بدست می آوریم

> t n - Cnt n - 1h + Cn t n - 2h + ... + Cn h = t n - h (t + 1) - t n> a.

این بدان معنی است که t - h ∈ B و t نمی توانند کوچکترین عنصر باشند

کلاس B. بنابراین، t n = a.

منحصر به فرد بودن از این واقعیت ناشی می شود که اگر t1< t2 , то t1n < t2 .☻ n

مثال 2. ثابت کنید که اگر a< b , то всегда найдется рациональное число r

به گونه ای که الف< r < b .

☺اگر اعداد a و b گویا باشند عدد گویا و رضایت بخش است.

شرایط مورد نیاز را برآورده می کند. فرض کنید حداقل یکی از اعداد a یا b

غیر منطقی، برای مثال، فرض کنید عدد b غیر منطقی است. احتمالا

ما همچنین فرض می کنیم که a ≥ 0، سپس b> 0. اجازه دهید نمایش اعداد a و b را به شکل بنویسیم

کسرهای اعشاری: a = α 0، α1α 2α 3 .... و b = β 0، β1β 2 β3 ...، که در آن کسر دوم نامتناهی است.

فرد و غیر تناوبی در مورد نمایش عدد a، ما در نظر خواهیم گرفت

لازم به ذکر است که اگر عدد a گویا باشد، نماد آن یا متناهی است یا

کسر تناوبی با دوره نه برابر 9.

از آنجایی که b> a، سپس β 0 ≥ α 0. اگر β 0 = α 0، سپس β1 ≥ α1. اگر β1 = α1، آنگاه β 2 ≥ α 2

و غیره، و چنین مقداری از i وجود دارد که برای اولین بار در آن وجود خواهد داشت

نابرابری شدید βi> α i ارضا می شود. سپس عدد β 0، β1β 2 ... βi گویا خواهد بود

nal و بین اعداد a و b قرار خواهد گرفت.

اگر یک< 0 , то приведенное рассуждение надо применить к числам a + n и

b + n، که در آن n یک عدد طبیعی است به طوری که n ≥ a. وجود چنین عددی

از اصل ارشمیدس پیروی می کند. ☻

تعریف 1.4.6. اجازه دهید دنباله ای از بخش های محور عددی داده شود

([an; bn])، ان< bn . Эту последовательность будем называть системой вло-

اگر برای هر n نابرابری های a ≤ an + 1 و پاره شود

برای چنین سیستمی، آخال ها انجام می شود

[a1; b1] ⊃ [a2; b2] ⊃ [a3; b3] ⊃ ... ⊃ [an; bn] ⊃ ...،

یعنی هر بخش بعدی در قسمت قبلی قرار دارد.

قضیه 1.4.4. برای هر سیستمی از بخش های تودرتو، وجود دارد

حداقل یک نکته که در هر یک از این بخش ها گنجانده شده است.

دو مجموعه A = (an) و B = (bn) را در نظر بگیرید. آنها خالی و برای هیچ

n و m نابرابری an< bm . Докажем это.

اگر n ≥ m، آنگاه an< bn ≤ bm . Если n < m , то an ≤ am < bm .

بنابراین، کلاس های A و B اصل تداوم را برآورده می کنند و

بنابراین، یک عدد λ وجود دارد به طوری که یک ≤ λ ≤ bn برای هر n، یعنی، آی تی

عدد متعلق به هر بخش [an; bn] .◄

در ادامه (قضیه 2.1.8) این قضیه را اصلاح خواهیم کرد.

گزاره فرموله شده در قضیه 1.4.4 اصل نامیده می شود

کانتور، و مجموعه ای که این شرط را برآورده کند، غیر نامیده می شود

ناپیوسته به گفته کانتور.

ما ثابت کرده‌ایم که اگر یک مجموعه مرتب ددده پیوسته باشد

کیندو، سپس اصل ارشمیدس در آن محقق می شود و از نظر کانتور پیوسته است.

می توان ثابت کرد که مجموعه ای منظم که در آن اصل

tsip ارشمیدس و کانتور، طبق گفته ددکیند پیوسته خواهد بود. اثبات

این واقعیت، برای مثال، در.

اصل ارشمیدس به هر پاره خط اجازه می دهد تا یک غیر از

که تنها عدد مثبتی است که شرایط را برآورده می کند:

1. اعداد مساوی مربوط به بخش های مساوی است.

2. اگر نقطه پاره AC و پاره های AB و BC با اعداد a و مطابقت داشته باشند

b، سپس بخش AC با عدد a + b مطابقت دارد.

3. یک بخش خاص با عدد 1 مطابقت دارد.

عدد مربوط به هر بخش و ارضای شرایط 1-3 برای

طول این قطعه نامیده می شود.

اصل کانتور به ما این امکان را می دهد که آن را برای هر مثبت ثابت کنیم

اعداد، می توانید قطعه ای را پیدا کنید که طول آن برابر با این عدد است. به این ترتیب،

بین مجموعه اعداد حقیقی مثبت و مجموعه برش

kov، که از یک نقطه روی یک خط مستقیم در امتداد یک سمت معین رسوب می کنند

از این نقطه، می توان یک مکاتبه یک به یک برقرار کرد.

این به شما امکان می دهد محور اعداد را تعریف کنید و مطابقت بین آنها را معرفی کنید

من با اعداد واقعی و نقاط روی یک خط منتظر می مانم. برای این کار مقداری مصرف کنید

یک خط مستقیم می کشم و یک نقطه O را روی آن انتخاب می کنم که این خط مستقیم را به دو قسمت تقسیم می کند

اشعه. یکی از این پرتوها مثبت و دومی منفی نامیده می شود.

nym سپس می گوییم که در این خط مستقیم جهتی را انتخاب کرده ایم.

تعریف 1.4.7. محور عددی خطی است که روی آن

الف) نقطه O که مبدا یا مبدا مختصات نامیده می شود.

ب) جهت؛

ج) قطعه ای از طول واحد.

حال، به هر عدد واقعی a، یک نقطه M را با یک عدد مرتبط می کنیم.

مستقیم زوزه بکش تا

الف) مبدا مختصات مطابق با عدد 0 است.

ب) OM = a - طول پاره از مبدا تا نقطه M برابر بود

مدول عدد؛

ج) اگر a مثبت باشد، نقطه روی پرتو مثبت گرفته می شود و

چه منفی باشد، پس منفی است.

این قانون یک مکاتبه یک به یک بین را برقرار می کند

مجموعه ای از اعداد واقعی و مجموعه ای از نقاط روی یک خط.

خط عددی (محور) را خط واقعی نیز می نامند

این نیز بر معنای هندسی مدول عدد واقعی دلالت دارد.

la: مدول یک عدد برابر است با فاصله مبدا تا نقطه ای که هست

با فشردن این عدد روی محور اعداد.

اکنون می‌توانیم برای خواص 6 و 7 یک تفسیر هندسی ارائه کنیم

مدول یک عدد واقعی برای عدد C مثبت x، رضایت بخش است

ویژگی 6 بازه (-C, C) را پر می کند و اعداد x راضی کننده هستند

خاصیت 7 روی پرتوهای (-∞، C) یا (C، + ∞) قرار دارد.

ما به یک ویژگی هندسی قابل توجه دیگر از ماژول یک ماده توجه می کنیم.

عدد طبیعی.

مدول اختلاف بین دو عدد به ترتیب برابر با فاصله بین نقاط است

مربوط به این اعداد در محور واقعی است.

بسیاری از مجموعه های اعداد استاندارد

تعداد زیادی اعداد طبیعی؛

تعداد زیادی اعداد صحیح؛

مجموعه اعداد گویا؛

تعداد زیادی اعداد واقعی؛

مجموعه ها به ترتیب از کل، عقلی و واقعی

اعداد غیر منفی؛

تعداد زیادی اعداد مختلط

علاوه بر این، مجموعه اعداد واقعی به صورت (-∞، + ∞) نشان داده می شود.

زیر مجموعه های این مجموعه:

(a, b) = (x | x ∈ R, a< x < b} - интервал;

[a, b] = (x | x ∈ R, a ≤ x ≤ b) یک قطعه است.

(a, b] = (x | x ∈ R, a< x ≤ b} или [ a, b) = { x | x ∈ R, a ≤ x < b} - полуинтерва-

ly یا نیم قد؛

(a، + ∞) = (x | x ∈ R، a< x} или (−∞, b) = { x | x ∈ R, x < b} - открытые лучи;

[a، + ∞) = (x | x ∈ R، a ≤ x) یا (-∞، b] = (x | x ∈ R، x ≤ b) پرتوهای بسته هستند.

سرانجام، گاهی اوقات ما به شکاف هایی نیاز خواهیم داشت که به آنها اهمیت نمی دهیم،

آیا انتهای آن متعلق به این شکاف است یا نه. چنین فاصله ای خواهد بود

a، b را نشان دهید.

§ 5 کران مجموعه های عددی

تعریف 1.5.1. مجموعه اعداد X را محدود می گویند

از بالا اگر عدد M وجود داشته باشد به طوری که x ≤ M برای هر عنصر x از

مجموعه X.

تعریف 1.5.2. مجموعه اعداد X را محدود می گویند

از پایین اگر عدد m وجود داشته باشد به طوری که x ≥ m برای هر عنصر x از

مجموعه X.

تعریف 1.5.3. مجموعه اعداد X را محدود می گویند،

اگر از بالا و پایین محدود شده باشد.

نماد نمادین، این تعاریف شبیه به این خواهند بود

مجموعه X در بالا محدود می شود اگر ∃M ∀x ∈ X: x ≤ M،

اگر ∃m ∀x ∈ X: x ≥ m و

محدود شده اگر ∃m، M ∀x ∈ X: m ≤ x ≤ M.

قضیه 1.5.1. مجموعه اعداد X محدود است اگر و فقط اگر

هنگامی که یک عدد C وجود دارد به طوری که برای تمام عناصر x از این مجموعه

نابرابری x ≤ C برقرار است.

اجازه دهید مجموعه X محدود شود. ما C = max (m، M) را قرار می دهیم - بیشترین

بزرگتر از اعداد m و M. سپس با استفاده از خواص مدول واقعی

اعداد، نابرابری های x ≤ M ≤ M ≤ C و x ≥ m ≥ - m ≥ -C را به دست می آوریم، از این جا نتیجه می شود که

که x ≤ C.

برعکس، اگر نابرابری x ≤ C برقرار باشد، −C ≤ x ≤ C است. این سومی است

یعنی اگر M = C و m = -C قرار دهیم.

عدد M که مجموعه X را از بالا محدود می کند، عدد بالایی نامیده می شود

مرز مجموعه اگر M کران بالایی مجموعه X باشد، هر کدام

عدد M که بزرگتر از M است نیز کران بالایی این مجموعه خواهد بود.

بنابراین، می توانیم در مورد مجموعه کران های بالایی مجموعه صحبت کنیم

ایکس. مجموعه کران های بالایی را با M نشان می دهیم. سپس ∀x ∈ X و ∀M ∈ M

نابرابری x ≤ M برقرار است، بنابراین، با اصل موضوع،

یک عدد M 0 وجود دارد به طوری که x ≤ M 0 ≤ M. به این عدد نقطه می گویند

کران بالای مجموعه عددی X یا کران بالای این

مجموعه یا فوق العاده مجموعه X و با M 0 = sup X نشان داده می شود.

بنابراین، ما ثابت کردیم که هر عدد غیر خالی مجموعه،

محدود در بالا همیشه یک کران بالایی دارد.

بدیهی است که برابری M 0 = sup X معادل دو شرط است:

1) ∀x ∈ X نابرابری x ≤ M 0 برقرار است، یعنی، M 0 - حد بالایی مجموعه

2) ∀ε> 0 ∃xε ∈ X به طوری که نابرابری xε> M 0 - ε برقرار است، یعنی، این گرا-

نمی توان آن را بهبود بخشید (کاهش داد).

مثال 1. مجموعه X = ⎨1 - ⎬ را در نظر بگیرید. اجازه دهید ثابت کنیم که sup X = 1.

☺ در واقع، اولا، نابرابری 1 -< 1 выполняется для любого

n ∈; دوم، اگر یک عدد مثبت دلخواه ε بگیریم، توسط

بر اساس اصل ارشمیدس، می توان عدد طبیعی nε را به گونه ای پیدا کرد که nε>. که-

جایی که نابرابری 1 -> 1 - ε برقرار است، یعنی یک عنصر xnε وجود داشت

خاصیت X بزرگتر از 1 - ε است، به این معنی که 1 کوچکترین کران بالایی است

به طور مشابه، می توان ثابت کرد که اگر مجموعه به زیر محدود شود، پس

دارای یک کران پایینی دقیق است که به آن کران پایین نیز می گویند.

جدید یا infimum از یک مجموعه X و با inf X نشان داده می شود.

برابری m0 = inf X معادل شرایط زیر است:

1) ∀x ∈ X نابرابری x ≥ m0 برقرار است.

2) ∀ε> 0 ∃xε ∈ X به طوری که نابرابری xε< m0 + ε .

اگر مجموعه X حاوی بزرگترین عنصر x0 باشد، آن را فراخوانی می کنیم

حداکثر عنصر مجموعه X را نشان می دهد و x0 = max X را نشان می دهد. سپس

sup X = x0. به طور مشابه، اگر مجموعه حاوی کوچکترین عنصر باشد، پس

حداقل نامیده می شود که با min X نشان داده می شود و خواهد بود

مقدار از مجموعه X.

به عنوان مثال، مجموعه اعداد طبیعی دارای کوچکترین عنصر هستند -

واحد، که همچنین infimum مجموعه است. برتر

ماما، این مجموعه ندارد، زیرا از بالا محدود نشده است.

تعاریف مرزهای بالایی و پایینی دقیق را می توان به آن تعمیم داد

مجموعه های بدون محدودیت در بالا یا پایین، تنظیم sup X = + ∞ یا به ترتیب،

به ترتیب، inf X = -∞.

در نتیجه، ما چندین ویژگی کران بالا و پایین را فرموله می کنیم.

ویژگی 1. X را یک مجموعه عددی فرض کنید. اجازه دهید با نشان دادن

- X مجموعه (- x | x ∈ X) است. سپس sup (- X) = - inf X و inf (- X) = - sup X.

خاصیت 2. فرض کنید X مجموعه عددی λ - واقعی باشد

عدد. اجازه دهید λ X مجموعه را نشان دهد (λ x | x ∈ X). سپس اگر λ ≥ 0 باشد، آنگاه

sup (λ X) = λ sup X، inf (λ X) = λ inf X و اگر λ< 0, то

sup (λ X) = λ inf X، inf (λ X) = λ sup X.

ویژگی 3. اجازه دهید X1 و X 2 مجموعه های عددی باشند. اجازه دهید با نشان دادن

مجموعه X1 + X 2 (x1 + x2 | x1 ∈ X 1، x2 ∈ X 2) و از طریق X1 - X 2 مجموعه

(x1 - x2 | x1 ∈ X1, x2 ∈ x 2). سپس sup (X 1 + X 2) = sup X 1 + sup X 2،

inf (X1 + X 2) = inf X1 + inf X 2، sup (X 1 - X 2) = sup X 1 - inf X 2 و

inf (X1 - X 2) = inf X1 - sup X 2.

ویژگی 4. اجازه دهید X1 و X 2 مجموعه های عددی باشند که همه عناصر آن هستند

ریخ غیر منفی هستند. سپس

sup (X1 X 2) = sup X1 ⋅ sup X 2، inf (X1 X 2) = inf X 1 ⋅ inf X 2.

برای مثال، تساوی اول را در ویژگی 3 ثابت کنیم.

اجازه دهید x1 ∈ X1، x2 ∈ X 2 و x = x1 + x2. سپس x1 ≤ sup X1، x2 ≤ sup X 2 و

x ≤ sup X1 + sup X 2، از آنجا sup (X1 + X 2) ≤ sup X1 + sup X 2.

برای اثبات نابرابری مخالف، عدد را بگیرید

y< sup X 1 + sup X 2 . Тогда можно найти элементы x1 ∈ X1 и x2 ∈ X 2 такие,

چه x1< sup X1 и x2 < sup X 2 , и выполняется неравенство

y< x1 + x2 < sup X1 + sup X 2 . Это означает, что существует элемент

x = + x1 x2 ∈ X1 + X2 که از y و بزرگتر است

sup X1 + sup X 2 = sup (X1 + X 2) .◄

اثبات مابقی اموال نیز به همین ترتیب انجام می شود و ارائه می شود

خطاب به خواننده است.

§ 6 مجموعه های قابل شمارش و غیرقابل شمارش

تعریف 1.6.1. مجموعه n عدد طبیعی اول را در نظر بگیرید

n = (1،2، ...، n) و مقداری مجموعه A. اگر امکان برقراری متقابل وجود دارد

یک تناظر یک به یک بین A و n، سپس مجموعه A فراخوانی می شود

نهایی

تعریف 1.6.2. بگذارید مقداری از مجموعه A داده شود. اگر ممکن است

یک تناظر یک به یک بین مجموعه A و ایجاد کنید

مجموعه ای از اعداد طبیعی، سپس مجموعه A قابل شمارش نامیده می شود

تعریف 1.6.3. اگر مجموعه A متناهی یا قابل شمارش باشد، این کار را خواهیم کرد

بگو که چیزی بیش از قابل شمارش نیست.

بنابراین، اگر بتوان عناصر آن را محاسبه کرد، یک مجموعه قابل شمارش خواهد بود

به عنوان دنباله قرار دهید

مثال 1. مجموعه اعداد زوج قابل شمارش است، زیرا نقشه برداری n ↔ 2n

مطابقت یک به یک بین مجموعه طبیعی است

اعداد و مجموعه ای از اعداد زوج

بدیهی است که چنین مکاتباتی می تواند به بیش از یک روش برقرار شود.

بزرگنمایی. به عنوان مثال، می توانید یک تناظر بین یک مجموعه و یک مجموعه برقرار کنید

(اعداد صحیح) با تطبیق در این روش

در ساخت بدیهی هر نظریه ریاضی، مسلم است آئین نامه:

· برخی از مفاهیم نظریه به عنوان پایه انتخاب شده و بدون تعریف پذیرفته شده است.

· هر یک از مفاهیم نظریه، که در فهرست مفاهیم اساسی موجود نیست، یک تعریف ارائه می شود.

· بدیهیات فرمول بندی می شوند - جملاتی که در این نظریه بدون اثبات پذیرفته شده اند. آنها ویژگی های مفاهیم اساسی را آشکار می کنند.

هر گزاره از یک نظریه که در فهرست بدیهیات موجود نیست باید اثبات شود. این گونه قضایا را قضایا می نامند و بر اساس بدیهیات و قضایا اثبات می کنند.

با ساخت بدیهی یک نظریه، همه گزاره ها از بدیهیات از طریق اثبات استنتاج می شوند.

بنابراین، نظام بدیهیات تابع خاص است الزامات:

• سازگاری (نظام بدیهیات را اگر نتوان منطقاً از آن دو جمله متقابل استنتاج کرد، سازگار نامیده می شود).

· استقلال (نظام بدیهیات در صورتی مستقل نامیده می شود که هیچ یک از بدیهیات این سیستم پیامد بدیهیات دیگر نباشد).

مجموعه ای که یک رابطه معین در آن وجود دارد، در صورتی که تمام بدیهیات این سیستم در آن برآورده شود، مدلی از یک سیستم معین از بدیهیات نامیده می شود.

راه های زیادی برای ساختن سیستمی از بدیهیات برای مجموعه اعداد طبیعی وجود دارد. برای مفهوم اصلی، می توانید به عنوان مثال، مجموع اعداد یا رابطه ترتیب را در نظر بگیرید. در هر صورت، باید سیستمی از بدیهیات تنظیم کنید که ویژگی های مفاهیم اساسی را توصیف کند.

اجازه دهید سیستمی از بدیهیات ارائه دهیم که مفهوم اصلی عمل جمع را می پذیرد.

مجموعه غیر خالی نبه مجموعه اعداد طبیعی گفته می شود که عملیات در آن تعریف شده باشد (آ؛ ب) → a + b، جمع نامیده می شود و دارای خواص:

1.افزودن جابجایی است، یعنی. a + b = b + a.

2.افزودن تداعی است، یعنی. (a + b) + c = a + (b + c).

4-در هر مجموعه آکه زیرمجموعه ای از مجموعه است ن، جایی که آیک عدد وجود دارد که همه هابرابر هستند a + b، جایی که bN.

اصول 1 تا 4 برای ساختن کل حساب اعداد طبیعی کافی است. اما با چنین ساختاری دیگر نمی توان به ویژگی های مجموعه های محدودی که در این بدیهیات منعکس نشده اند تکیه کرد.

اجازه دهید به عنوان مفهوم اصلی رابطه "مستقیم دنبال ..." را که در یک مجموعه غیر خالی داده شده است، در نظر بگیریم ن... سپس سری طبیعی اعداد مجموعه N خواهد بود که در آن رابطه "بلافاصله دنبال می شود" تعریف می شود و همه عناصر N را اعداد طبیعی می نامند و به شرح زیر می باشد. بدیهیات پیانو:

AXIOM 1.

در مجموعهنعنصری وجود دارد که بلافاصله هیچ عنصری از این مجموعه را دنبال نمی کند. آن را واحد می نامیم و با علامت 1 نشان می دهیم.

AXIOM 2.

برای هر عنصر یک ازنفقط یک عنصر بلافاصله پس از a وجود دارد.

AXIOM 3.

برای هر عنصر یک ازنحداکثر یک عنصر بلافاصله بعد از a وجود دارد.

AXOIM 4.

هر زیر مجموعه M از مجموعهنمصادف است باناگر دارای ویژگی های زیر باشد: 1) 1 در M موجود است. 2) از این که a در M موجود است، نتیجه می شود که a نیز در M موجود است.

یک دسته از N،برای عناصری که رابطه "مستقیماً دنبال می شود ..." برقرار می شود که اصول 1 - 4 را برآورده می کند، نامیده می شود. مجموعه اعداد طبیعی و عناصر آن هستند اعداد طبیعی.

اگر به عنوان یک مجموعه نمجموعه خاصی را انتخاب کنید، که در آن یک رابطه خاص "به طور مستقیم دنبال کنید ..." مشخص شده است، که بدیهیات 1 - 4 را برآورده می کند، سپس متفاوت می شویم تفاسیر (مدل ها) داده شده سیستم های بدیهیات

مدل استاندارد سیستم بدیهیات Peano مجموعه ای از اعداد است که در روند توسعه تاریخی جامعه به وجود آمده است: 1، 2، 3، 4، 5، ...

هر مجموعه قابل شمارش می تواند الگویی از بدیهیات Peano باشد.

به عنوان مثال، I، II، III، III، ...

اوووووووووووووووووووو

یک دو سه چهار، …

دنباله ای از مجموعه ها را در نظر بگیرید که در آن مجموعه (oo) عنصر اولیه است و هر مجموعه بعدی با اختصاص یک دایره دیگر از مجموعه قبلی به دست می آید (شکل 15).

سپس نمجموعه ای متشکل از مجموعه هایی از نوع توصیف شده وجود دارد و مدلی از سیستم بدیهی Peano است.

در واقع، در مجموعه نیک عنصر (oo) وجود دارد که بلافاصله از هیچ عنصری از مجموعه داده شده پیروی نمی کند. اصل 1 برقرار است. برای هر مجموعه آمجموعه ای که در نظر گرفته می شود، یک مجموعه منحصر به فرد وجود دارد که از آن به دست می آید آاضافه کردن یک دایره، یعنی اصل 2 برقرار است. برای هر مجموعه آحداکثر یک مجموعه وجود دارد که مجموعه از آن تشکیل شده است آاضافه کردن یک دایره، یعنی اصل 3 برقرار است منو معلوم است که مجموعه آموجود در م،نتیجه می شود که مجموعه ای که در آن یک دایره بیشتر از مجموعه وجود دارد آ، همچنین موجود در م، سپس M =ن، و از این رو Axiom 4 برقرار است.

در تعریف اعداد طبیعی، هیچ یک از بدیهیات را نمی توان حذف کرد.

اجازه دهید تعیین کنیم کدام یک از مجموعه های نشان داده شده در شکل. 16 مدلی از بدیهیات Peano هستند.

1 a b d a ز) شکل 16

راه حل.شکل 16 الف) مجموعه‌ای را نشان می‌دهد که در آن بدیهیات 2 و 3 برآورده شده‌اند. در واقع، برای هر عنصر یک عنصر منحصر به فرد بلافاصله پس از آن وجود دارد و یک عنصر منفرد به دنبال آن وجود دارد. اما در این مجموعه Axiom 1 برقرار نیست (Axiom 4 معنی ندارد، زیرا هیچ عنصری در مجموعه وجود ندارد که بلافاصله از دیگری پیروی نکند). بنابراین، این مجموعه مدل بدیهیات Peano نیست.

شکل 16 ب) مجموعه ای را نشان می دهد که در آن بدیهیات 1، 3 و 4 برآورده شده اند، اما در پشت عنصر آدو عنصر بلافاصله دنبال می‌شوند و نه یکی، همانطور که در اصل 2 لازم است. بنابراین، این مجموعه مدلی از بدیهیات Peano نیست.

در شکل 16 ج) مجموعه ای را نشان می دهد که در آن بدیهیات 1، 2، 4 برآورده می شوند، اما عنصر بابلافاصله دو عنصر را بلافاصله دنبال می کند. بنابراین، این مجموعه مدل بدیهیات Peano نیست.

در شکل 16 د) مجموعه ای را نشان می دهد که اصول 2 و 3 را برآورده می کند و اگر عدد 5 را به عنوان عنصر اولیه در نظر بگیریم، این مجموعه بدیهیات 1 و 4 را برآورده می کند. یعنی در این مجموعه برای هر عنصر بلافاصله یک عنصر منحصر به فرد وجود دارد. دنبال کردن آن، و تنها یک عنصر وجود دارد که از آن پیروی می کند. همچنین یک عنصر وجود دارد که بلافاصله هیچ عنصری از این مجموعه را دنبال نمی کند، این 5 است , آن ها اصل 1 برقرار است بر این اساس اصل 4 نیز صادق است بنابراین این مجموعه مدلی از بدیهیات Peano است.

با استفاده از بدیهیات Peano، می توانیم تعدادی گزاره را اثبات کنیم. برای مثال، ثابت می کنیم که برای همه اعداد طبیعی نابرابری وجود دارد. x x.

اثباتاجازه دهید با نشان دادن آمجموعه اعداد طبیعی که برای آن aaعدد 1 متعلق به آزیرا از هیچ عددی پیروی نمی کند ن، و بنابراین به خودی خود به دنبال ندارد: 1 1. اجازه دهید aAسپس aaنشان می دهیم آدر سراسر ب... بر اساس اصل 3، آبآن ها ب بو bА.