عدد طبیعی عددی است که هنگام شمارش اقلام مورد استفاده قرار می گیرد. ناشی از نیازهای عملی انسان است. توسعه مفهوم یک عدد طبیعی را می توان به چند مرحله تقسیم کرد: 1. مردم قدیم ، به منظور مقایسه مجموعه ای ، مکاتبات برقرار کردند: به عنوان مثال ، مانند انگشت روی دست. عیب این است که مجموعه های مقایسه شده باید به طور همزمان قابل مشاهده باشند. 2. بسیاری - واسطه ها ، به عنوان مثال ، سنگ ، صدف ، چوب. مفهوم عدد هنوز شکل نگرفته است. و اعداد به موارد خاصی گره خورده است. 3. ظاهر یک عدد (تعیین عدد در قالب اعداد). منشاء حساب. حساب به عنوان یک علم در کشورهای شرق باستان - چین ، هند ، مصر ، و توسعه بیشتر در یونان بوجود آمده است. اصطلاح "عدد طبیعی" برای اولین بار توسط دانشمند رومی بوتیوس استفاده شد. حساب برای تعیین تعداد مجموعه ضروری است. ما همه مجموعه های کمی را به کلاس های معادل تقسیم می کنیم ، به عنوان مثال ، به یک کلاس معادل سازی. شامل بسیاری از رأس های مثلث ، اضلاع یک مربع ، بسیاری از حروف در کلمه صلح خواهد بود. اگر این روند را ادامه دهیم ، به این دلیل است که در رابطه با معادل بودن ، همه چیز از نظر قدرت برابر است. مجموعه های محدود بر اساس کلاس خواهند بود. که معنی تئوری جمع عدد کمی طبیعی یک ویژگی کلی از مجموعه مجموعه های محدود و به همان اندازه قدرتمند است. هر کلاس عدد کمی خود را دارد. صفر مطابق با مجموعه خالی تنظیم شده است.
اگر اعداد A و B با مجموعه های یکسان قدرتمند تعیین شوند مساوی است.
این روش در دبستان استفاده می شود.
روش کار برای انجام وظایفی که معنای خاص عملیات حساب را آشکار می کند.
مسائل حساب در درس ریاضیات جایگاه قابل توجهی را اشغال کرده است. تقریباً نیمی از زمان درس ریاضی به حل مسائل اختصاص دارد. این به دلیل نقش بزرگ آموزشی و تربیتی آنها در آموزش کودکان است. حل مسائل حسابی به آشکار ساختن معنای اصلی عملیات حساب ، مشخص نمودن آنها ، پیوند دادن آنها با وضعیت خاص زندگی کمک می کند. وظایف به جذب مفاهیم ریاضی ، روابط ، الگوها کمک می کند. هنگام حل مشکلات ، کودکان توجه داوطلبانه ، مشاهده ، تفکر منطقی ، گفتار ، نبوغ را توسعه می دهند. حل مسئله به توسعه فرآیندهای فعالیت شناختی مانند تجزیه و تحلیل ، ترکیب ، مقایسه ، تعمیم کمک می کند.
در فرآیند حل مسائل حسابی ، دانش آموزان برنامه ریزی و کنترل فعالیت های خود ، تسلط بر تکنیک ها ، خودکنترلی (بررسی مشکل ، برآورد مشکلات و غیره) را یاد می گیرند ، پشتکار ، اراده و علاقه خود را برای یافتن راه حلی برای آنها ایجاد می کند. مشکل. نقش حل مشکلات در آماده سازی کودکان برای زندگی ، برای کارهای بعدی آنها ، بزرگ است. هنگام حل مسائل طرح ، دانش آموزان یاد می گیرند که رابطه بین اشیاء و کمیت ها را به "زبان ریاضیات" ترجمه کنند. در مسائل حساب ، از مواد عددی استفاده می شود که نشان دهنده موفقیت کشور در بخشهای مختلف اقتصاد ملی ، فرهنگ ، علم و غیره است. این به گسترش چشم اندازهای دانش آموزان و غنی سازی آنها با دانش جدید در مورد واقعیت پیرامون کمک می کند. دانش آموزان بر توانایی حل مسائل حساب با دشواری زیاد مسلط هستند.
دلایل راه حل های اشتباه مشکلات توسط کودکان در درجه اول در ویژگی های تفکر آنها نهفته است. در فرآیند یادگیری حل مشکلات ، باید از آموزش در حل مشکلات از یک نوع خاص اجتناب کرد ، باید روشی آگاهانه برای حل مشکلات آموزش داد ، به فرد آموزش داد که در موقعیت خاصی از زندگی که در یک کار شرح داده شده است حرکت کند ، و یک انتخاب آگاهانه را آموزش دهد. داده های وظیفه ، انتخاب آگاهانه اقدامات. در فرآیند کار بر روی هر مسئله حسابی ، مراحل زیر را می توان تشخیص داد:
1. روی محتوای مشکل کار کنید.
2. به دنبال راه حلی برای مشکل باشید.
3. حل مسئله.
4. جمله بندی پاسخ.
5. بررسی راه حل مشکل.
6. کار بعدی در مورد مشکل حل شده.
توجه زیادی باید به کار بر روی محتوای مشکل ، به عنوان مثال ، توجه شود. درک بیش از حد وضعیت بیان شده در کار ، ایجاد رابطه بین داده ها و مورد نظر. دنباله کار بر روی جذب محتوای مشکل ؛
الف) تجزیه و تحلیل کلمات یا عبارات نامفهوم ؛
ب) خواندن متن مشکل توسط معلم و دانش آموز ؛
ج) ثبت وضعیت مشکل ؛
د) تکرار کار در مورد سوالات.
باید به دانش آموزان آموزش داده شود که متن مسئله را به صورت صریح بخوانند. باید به خاطر داشت که کودکان باید به طور خاص خواندن بیانی را آموزش ببینند ، آنها نمی توانند به تنهایی وظیفه را به درستی بخوانند ، نمی توانند استرس منطقی را ایجاد کنند و غیره.
همراه با تصحیح محتوای مسئله با استفاده از اشیا ، استنسیل ها و نقاشی ها در تمرین معلمان در مدارس ، اشکال زیر برای ثبت محتوای مشکل رایج شده است:
1. یک شکل اختصاری از نماد ، که در آن داده های عددی و فقط آن کلمات و عباراتی که برای درک معنای منطقی مسئله ضروری است از متن مسئله نوشته می شود.
2. شکل ضبط شده ساختاری ، که در آن هر قسمت منطقی از مشکل در یک خط جدید ثبت می شود.
3. شکل شماتیک ضبط.
4. شکل گرافیکی ضبط.
از آنجا که عملکرد کنترل در کودکان ضعیف است ، تأیید راه حل مشکل نه تنها ارزش آموزشی ، بلکه آموزشی نیز دارد. در پایه های پایین لازم است:
1. با انجام عملی روی اشیاء ، کارهای فرموله شده شفاهی را بررسی کنید.
2. واقعیت پاسخ را بررسی کنید.
3. مطابقت پاسخ را با شرط و س questionال مشکل بررسی کنید. بررسی راه حل مشکل به روش های دیگر برای حل آن از درجه 4 امکان پذیر است.
برای کنترل صحت حل مسئله ، از برخی عناصر یادگیری برنامه ریزی شده نیز استفاده می شود. این عنصر از این نظر بسیار مفید است که دانش آموز بلافاصله تقویت درستی یا برعکس ، اشتباه بودن اقدامات خود را دریافت می کند. اگر تصمیم اشتباه باشد ، او به دنبال راه حل جدیدی است.
یک معلم در مدرسه اغلب نمی تواند مطمئن باشد که راه حل یک مشکل برای همه دانش آموزان قابل درک است. بنابراین ، انجام کار برای تجمیع راه حل این مشکل بسیار مفید است. کار برای تحکیم راه حل مشکل می تواند به روش های مختلف انجام شود.
1. س questionsالات کلیدی در مورد محتوای مسئله مطرح می شود.
2. پیشنهاد می شود که کل راه حل مشکل را با منطق انتخاب اقدامات بیان کنید.
3. س forالات برای اقدامات یا س individualالات فردی مطرح می شود. برای دانش آموزان ، تعداد مشکلات مشابه حل شده مهم نیست ، بلکه درک وضعیت موضوعی بسته به داده ها است. این هدف با کار بعدی در مورد مشکل حل شده ارائه می شود ، که می تواند به عنوان یک تکنیک مهم در نظر گرفته شود که مهارت های حل مشکلات از این دست را تشکیل می دهد. درک بهتر محتوای موضوعی وظایف ، رابطه بین داده ها و موارد مورد نظر ، با حل مشکلات با داده های عددی غیر ضروری یا مفقود ، که نه با اعداد ، بلکه با کلمات نوشته شده است ، تسهیل می شود. مشاهدات نشان می دهد که بهترین معلمان به طور گسترده از حل مسئله توسط خود دانش آموزان به عنوان یکی از روش های آموزش حل مسئله استفاده می کنند.
سرودن وظایف به کودکان کمک می کند تا اهمیت حیاتی و عملی کار را بهتر درک کنند ، ساختار آن را بهتر بشناسند و همچنین بین انواع مختلف وظایف تمایز قائل شوند و روشهای حل آنها را درک کنند. جمع آوری وظایف به موازات حل وظایف آماده انجام می شود. تجربیات و مشاهدات نشان می دهد که برای دانش آموزان راحت تر است که تا حدی مشکلات را بنویسند. دانش آموزان باید تشویق شوند تا با طرح های مختلف طرح مشکل کنند. این به توسعه تخیل ، ابتکار و ابتکار آنها کمک می کند. وقتی دانش آموزان برای نوشتن مشکلات از مطالبی استفاده می کنند که از آنها در سفرها ، از کتابهای مرجع ، روزنامه ها ، مجلات و غیره استفاده می کنند ، بسیار مفید است. دانش آموزان دبیرستانی باید نحوه پر کردن و نوشتن اسناد تجاری مربوط به محاسبات خاص را بیاموزند. به عنوان مثال ، وکالت نامه بنویسید ، فرم انتقال پول را پر کنید و غیره. از تمام تکنیک های فوق می توان به طور گسترده در حل انواع مشکلات استفاده کرد.
یک مسئله حساب ساده مشکلی است که با یک عمل حساب حل می شود. مسائل ساده در آموزش دانش آموزان ریاضی نقش فوق العاده ای ایفا می کنند. این وظایف ساده ای است که امکان آشکارسازی معنای اصلی و تصریح عملیات محاسباتی و تشکیل مفاهیم ریاضی خاص را ممکن می سازد. وظایف ساده بخشی جدایی ناپذیر از وظایف پیچیده هستند و بنابراین ، با ایجاد توانایی حل آنها ، معلم دانش آموزان را برای حل مشکلات پیچیده آماده می کند.
در هر سال تحصیلی ، دانش آموزان با انواع جدیدی از مشکلات ساده آشنا می شوند. مقدمه تدریجی آنها با درجات مختلف دشواری مفاهیم ریاضی ، محل مطالعه آن عملیات محاسباتی ، که معنای خاصی از آنها را آشکار می کند ، توضیح داده می شود. هنگام انتخاب وظایف از این قبیل ، مشخصات و محتوا مستلزم توجه دقیق معلم نیست. سرانجام ، معلم تدریس می کند تا محتوای مسئله را مشخص کند ، و رابطه بین داده ها و موارد موردنظر را با استفاده از اشکال مختلف نماد کوتاه نشان می دهد.
تجربه بهترین معلمان نشان می دهد که آماده سازی برای حل مسائل حسابداری باید با غنی سازی و توسعه تجربه عملی دانش آموزان و جهت گیری آنها در واقعیت پیرامون آغاز شود. دانش آموزان باید به وضعیت زندگی هدایت شوند که باید در آن شمارش کنند ، مسائل حساب را حل کنند و تغییرات ایجاد کنند. علاوه بر این ، این موقعیتها در ابتدا نباید به صورت مصنوعی ایجاد شوند ، آنها فقط باید جلب شوند و توجه دانش آموزان باید معطوف شود. معلم مشاهده می کند که تغییر در تعداد عناصر مجموعه های موضوعی محتویات ظروف و غیره تغییر می کند ، که به توسعه ایده های دانش آموزان در مورد تعداد کمک می کند تا آنها را با یک اصطلاح خاص آشنا کند ، که بعداً خواهد شد در تدوین شفاهی وظایف مواجه می شود: تبدیل شده است ، همه چیز باقی مانده ، گرفته شده ، افزایش یافته ، کاهش یافته و غیره. لازم است بازی و فعالیت عملی دانش آموزان به گونه ای سازماندهی شود که با مشارکت مستقیم در این فعالیت و همچنین مشاهده ، خود دانش آموزان بتوانند در هر مورد جداگانه نتیجه گیری کنند. تعداد عناصر مجموعه افزایش یا کاهش یافته است و چه عملکرد و بیان کلامی مربوط به این افزایش یا کاهش است. این مرحله از کار مقدماتی همزمان با شروع کار بر روی اعداد ده اول و آشنایی با عملیات حساب ، با حل و تدوین نمونه عملیات با مجموعه موضوعات است.
قبل از شروع آموزش حل مسائل حسابداری ، معلم باید به وضوح تصور کند که چه دانش ، توانایی و مهارتهایی باید به دانش آموزان داده شود. برای حل یک مشکل ، دانش آموزان باید مثال های حسابی را حل کنند ، گوش دهند و سپس مسأله را بخوانند ، مسأله را با س questionsالات ، با نماد کوتاه ، از حافظه تکرار کنند ، اجزای تشکیل دهنده مسأله را انتخاب کنند ، مسئله را حل کرده و درستی راه حل آن را بررسی کنند. در کلاس 1 ، دانش آموزان حل مسائل را برای یافتن مجموع و باقی مانده یاد می گیرند. این وظایف برای اولین بار هنگام آموزش اعداد ده اول ارائه می شود. هنگام آموزش حل مسائل برای یافتن مجموع اصطلاحات یکسان ، برای تقسیم به قسمتهای مساوی یا تقسیم بر محتوا ، باید بر درک دانش آموزان از ماهیت عملیات محاسباتی ضرب و تقسیم تکیه کرد. قبل از حل مسئله برای مقایسه متفاوت ، دانش آموزان باید مفهوم مقایسه اجسام یک مجموعه ، دو مجموعه شی ، مقادیر ، اعداد ، ایجاد روابط برابری و نابرابری بین آنها را ارائه دهند. یک مسئله ریاضی مرکب یا پیچیده مشکلی است که با دو یا چند عمل حساب حل می شود. مطالعات روانشناختی برای مطالعه ویژگی های حل مسائل محاسباتی مرکب نشان می دهد که کودکان مشکلات ساده آشنا را در زمینه یک مشکل ترکیبی جدید تشخیص نمی دهند. کارهای مقدماتی برای حل مسائل مرکب باید سیستمی از تمرینات ، تکنیک ها باشد که دانش آموزان را به طور هدفمند به تسلط بر حل مسائل ترکیبی سوق دهد. معلم زمانی می تواند به حل مسائل مرکب بپردازد که متقاعد شود که دانش آموزان تکنیک های حل مسائل ساده را که در مسئله مرکب گنجانده شده است ، تسلط یافته اند ، آنها خود می توانند یک مشکل ساده از نوع خاصی را بسازند. هنگام حل مسائل مرکب ، دانش آموزان باید یا سوالات خود را در مورد داده ها مطرح کنند یا داده های مورد نظر را انتخاب کنند. بنابراین ، در دوره آمادگی ، یعنی در طول سال اول و در آغاز سال دوم تحصیل ، باید به دانش آموزان تکالیف زیر ارائه شود:
1. سوالات مربوط به شرایط آماده را انتخاب کنید.
2. در مورد سوال ، با جمع آوری داده های عددی گم شده ، یک مشکل ایجاد کنید.
با ترکیب مسائل ساده و مرکب ، دانش آموزان به تدریج یاد می گیرند که در یک مسئله مرکب تشخیص دهند تمرینات ساده ای که قبلاً در حل آنها تجربه شده اند ، تمرینات بسیار مفیدی برای ترکیب مسائل پیچیده هستند. این به جذب بهتر انواع وظایف ساده ، توانایی تشخیص آنها و جداسازی آنها در یک کار ترکیبی کمک می کند و به دانش آموزان در تجزیه و تحلیل بیشتر وظایف کمک می کند. هنگام حل مسائل مرکب ، دانش آموزان باید تکنیک های کلی کار بر روی مسئله را بیاموزند. توانایی تجزیه و تحلیل محتوای مسئله ، برجسته کردن داده های شناخته شده که در جستجوی آن هستند (یعنی تعیین آنچه باید در مسئله آموخت) ، تعیین اینکه چه داده هایی برای پاسخ به س mainال اصلی مشکل وجود ندارد. در تمرین کار مدرسه ، روش کار با کارت ها ، وظایفی که در آنها ترتیب کار روی کار مشخص شده است ، خود را توجیه می کند. هنگام حل مشکلات ، ثبت راه حل آن با سوالات ثبت می شود یا هر اقدام ثبت و توضیح داده می شود. توسعه یک روش عمومی برای حل مشکلات این نوع با حل مکرر مشکلات با انواع مختلف ، طرح ها ، حل مشکلات آماده و خود دانش آموزان ، مقایسه مشکلات این نوع با انواع مشکلات قبلاً حل شده و غیره ارائه می شود.
1. تکنیک محاسباتی را برای موارد 40 + 20 ، 50-30 ، 34 + 20 ، 34 + 2 ، 48-30 ، 48-3 همه تکنیک های محاسباتی از صد توضیح دهید.
1) 40+20= 4d + 2d = 6d = 60
2) 50-30 = 5d-3d = 2d = 20
3) 34+20= 3d + 4d + 2d = 5d 4d = 54
4) 34+2 = 3d + 4 واحد + 2 واحد = 3d 6 واحد = 36
5) 48-30 = 4d + 8 واحد-3d = 1d 8 واحد = 18
6) 48-3= 4d + 8ed-3ed = 4d 5ed = 45
تمام تکنیک های محاسبه شفاهی است و بر اساس ارقام جمع و تفریق انجام می شود.
همانطور که می دانید ، مجموعه اعداد طبیعی را می توان با استفاده از نسبت "کمتر" سفارش داد. اما قوانین برای ساختن نظریه بدیهی ایجاب می کند که این رابطه نه تنها تعریف شود ، بلکه بر اساس مفاهیمی که قبلاً در این نظریه تعریف شده اند نیز انجام شود. این را می توان با تعریف نسبت "کمتر" از طریق افزودن انجام داد.
تعریف. عدد a کمتر از عدد b است (a< b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = ب
در این شرایط نیز گفته می شود که عدد ببیشتر آو بنویس ب> الف
قضیه 12برای هر عدد طبیعی آو بیک و تنها یکی از سه رابطه وجود دارد: a = b، a> b, آ < ب
ما اثبات این قضیه را حذف می کنیم.... این قضیه دلالت بر این دارد که اگر
a ¹ b ،سپس یا آ< b, یا a> b ،آن ها رابطه "کمتر" دارای ویژگی اتصال است.
قضیه 13اگر آ< b و ب< с. سپس آ< с.
اثبات این قضیه خاصیت گذرا بودن رابطه "کمتر" را بیان می کند.
زیرا آ< b و ب< с. سپس ، با تعریف نسبت "کمتر" ، چنین اعداد طبیعی وجود دارد بهو چی b = a + k و c = b + I.اما بعد c = (a + k)+ / و بر اساس ویژگی انجمنی جمع ، به دست می آوریم: c = a + (k +)/). تا آنجا که k + I -بنابراین ، بر اساس تعریف "کمتر" ، عدد طبیعی ، آ< с.
قضیه 14... اگر آ< b, این درست نیست که ب< а. اثبات این قضیه ویژگی را بیان می کند عدم تقارنرابطه "کمتر"
ابتدا اجازه دهید ثابت کنیم که بدون هیچ عدد طبیعی آنه تو -!>! ■) نگرش او آ< آ.فرض کنید برعکس ، یعنی چی آ< а رخ می دهد سپس ، با تعریف نسبت "کمتر" ، چنین عدد طبیعی وجود دارد با،چی آ+ با= آ،و این با قضیه 6 مغایرت دارد.
اجازه دهید اکنون ثابت کنیم که اگر آ< ب، این درست نیست که ب < آ.فرض کنید برعکس ، یعنی چه می شود اگر آ< b ، سپس ب< а انجام. اما از این برابری ها ، توسط قضیه 12 ، داریم آ< а, که غیر ممکن است
از آنجا که رابطه "کمتر" تعریف شده توسط ما نامتقارن و گذرا است و دارای ویژگی اتصال است ، یک رابطه مرتب خطی و مجموعه اعداد طبیعی است یک مجموعه سفارش خطی
خواص شناخته شده مجموعه اعداد طبیعی را می توان از تعریف "کمتر" و خواص آن استخراج کرد.
قضیه 15.از بین همه اعداد طبیعی ، یکی کوچکترین عدد است ، یعنی من< а для любого натурального числа a¹1.
اثبات بگذار باشد آ -هر عدد طبیعی سپس دو مورد امکان پذیر است: a = 1 و a ¹ 1. اگر a = 1 ، سپس یک عدد طبیعی وجود دارد ب ،به دنبال a: a = b "= b +من = 1+ ب ،یعنی ، با تعریف رابطه "کمتر" ، 1< آ.بنابراین ، هر طبیعی برابر 1 یا بزرگتر از 1 است. یا ، یکی کوچکترین عدد طبیعی است.
نسبت "کمتر" با جمع و ضرب اعداد در خواص یکنواختی همراه است.
قضیه 16
a = b => a + c = b + c و a c = b c؛
آ< b =>a + c< b + с и ас < bс;
a> b => a + c> b + c و ac> bc.
اثبات 1) اعتبار این گزاره از منحصر به فرد بودن جمع و ضرب ناشی می شود.
2) اگر آ< b,
سپس چنین عدد طبیعی وجود دارد k ،چی آ
+ k = b
سپس ب+ c = (a + k) + c = a + (k + c) = a + (c+ به)= (a + c) + kبرابری ب+ c = (a + c) + kیعنی که a + c< b
+ با.
به همان شیوه ثابت می شود که آ< b =>آس< bс.
3) اثبات مشابه است.
قضیه 17(مطابق با قضیه 16).
1) آ+ c = b + cیا ac ~ bc-Þ a = b
2) a + c< Ь + с یا آس< قبل از میلاد مسیحÞ آ< Ь:
3) a + c> b+ با یا ac> bcÞ a> b
اثبات بگذارید مثلاً ثابت کنیم که از آس< bс باید آ< b فرض کنید برعکس ، یعنی که نتیجه گیری قضیه صادق نیست. سپس نمی تواند این باشد a = bاز آن زمان برابری ac = bc(قضیه 16) ؛ نمی تواند باشد آ> ب ،از آن زمان به بعد ac> bc(قضیه! 6). بنابراین ، طبق قضیه 12 ، آ< b.
از قضایای 16 و 17 می توان قواعد مشهور جمع و ضرب ناسازگار را بر حسب اصطلاح بدست آورد. ما آنها را حذف می کنیم.
قضیه 18... برای هر عدد طبیعی آو ب؛ یک عدد طبیعی n وجود دارد که n b> a
اثبات برای هرکس آچنین عددی وجود دارد NS، چی n> aبرای انجام این کار ، کافی است که مصرف کنید n = a + 1. ضرب نابرابری های دوره به مدت NS> آو ب> 1 ، دریافت می کنیم nb > آ.
از ویژگیهای در نظر گرفته شده رابطه "کمتر" ، ویژگیهای مهم مجموعه اعداد طبیعی به دست می آید که بدون اثبات ارائه می دهیم.
1. بدون شماره طبیعی آچنین عدد طبیعی وجود ندارد NS ،چی آ< п < а +
1. این خاصیت نامیده می شود ویژگی
احتیاطمجموعه اعداد طبیعی و اعداد آو a + 1 تماس همسایه
2.
هر زیر مجموعه خالی از اعداد طبیعی شامل می شود
کوچکترین عدد
3. اگر م- زیر مجموعه ای خالی از مجموعه اعداد طبیعی
و چنین عددی وجود دارد ب ،که برای همه اعداد x از مانجام نشده
برابری x< ب ،سپس در مجموعه مبیشترین تعداد وجود دارد
اجازه دهید خصوصیات 2 و 3 را با یک مثال نشان دهیم. بگذار باشد م- مجموعه ای از اعداد دو رقمی زیرا مزیر مجموعه اعداد طبیعی است و برای همه اعداد این نابرابری x را تنظیم کنید< 100, то в множестве مبزرگترین عدد 99 است. کوچکترین عدد موجود در این مجموعه م ، -شماره 10
بنابراین ، نسبت "کمتر" امکان در نظر گرفتن (و در برخی موارد اثبات) تعداد قابل توجهی از ویژگی های مجموعه اعداد طبیعی را فراهم کرد. به طور خاص ، مرتب شده ، گسسته است و کوچکترین عدد 1 را دارد.
دانش آموزان جوانتر در ابتدای آموزش با نسبت "کمتر" ("بیشتر") برای اعداد طبیعی آشنا می شوند. و اغلب ، همراه با تفسیر نظری مجموعه آن ، از تعریفی که ما در چارچوب نظریه بدیهی ارائه کرده ایم ، به طور ضمنی استفاده می شود. به عنوان مثال ، دانش آموزان ممکن است 9> 7 را توضیح دهند زیرا 9 7 + 2 است. استفاده ضمنی از خواص یکنواختی جمع و ضرب غیر معمول نیست. به عنوان مثال ، کودکان توضیح می دهند که "6 + 2< 6 + 3, так как 2 < 3».
تمرینات
1. چرا نمی توان مجموعه اعداد طبیعی را با استفاده از رابطه "بلافاصله دنبال کنید" ترتیب داد؟
تعریف رابطه را بیان کنید a> bو ثابت کنید که گذرا و نامتقارن است.
3. ثابت کنید که اگر a ، b ، c- اعداد طبیعی ، سپس:
آ) آ< b Þ ас < bс;
ب) آ+ با< b + cÞ> آ< Ь.
4. چه قضیه هایی در مورد یکنواختی جمع و ضرب می تواند
از دانش آموزان جوانتر استفاده کنید ، وظیفه "مقایسه بدون محاسبه" را انجام دهید:
الف) 27 + 8 ... 27 + 18 ؛
ب) 27-8 ... 27-18.
5. ویژگیهای مجموعه اعداد طبیعی به طور ضمنی توسط دانش آموزان خردسال هنگام انجام کارهای زیر استفاده می شود:
الف) اعداد بزرگتر از 65 و کمتر از 75 را بنویسید.
ب) اعداد قبلی و بعدی نسبت به عدد 300 (800،609،999) چیست؟
ج) کوچکترین و بزرگترین عدد سه رقمی چیست؟
منها کردن
در ساختار بدیهی نظریه اعداد طبیعی ، تفریق معمولاً معکوس جمع است.
تعریف. تفریق اعداد طبیعی a و b عملی است که شرایط را برآورده می کند: a - b = c اگر و فقط اگر b + c = a.
عدد a - bتفاوت اعداد a و. نامیده می شود ب ،عدد آ- کاهش ، و تعداد ب -قابل کسر
قضیه 19تفاوت اعداد طبیعی آ- بوجود دارد اگر و فقط اگر ب< а.
اثبات بگذار تفاوت آ- بوجود دارد سپس ، با تعریف تفاوت ، یک عدد طبیعی وجود دارد با،چی b + c = a ،که بدین معناست که ب< а.
اگر ب< а, سپس ، با تعریف نسبت "کمتر" ، یک عدد طبیعی c وجود دارد به طوری که b + c = a.سپس ، با تعریف تفاوت ، c = a - b ،آن ها تفاوت a - bوجود دارد
قضیه 20. اگر تفاوت اعداد طبیعی آو بوجود دارد ، پس منحصر به فرد است
اثبات فرض کنید دو مقدار متفاوت از تفاوت اعداد وجود دارد آو ب;: a - b= با ₁و a - b= با ₂، و c ¹ c₂.سپس ، با تعریف تفاوت ، داریم: a = b + c₁ ،و a = b + c₂ :.از این رو نتیجه می گیرد که ب+ c ₁ = b + c₂:و بر اساس قضیه 17 نتیجه می گیریم که c₁ = c₂ ..ما با این فرض به تناقض رسیدیم ، بدین معنا که نادرست است ، اما این قضیه درست است.
بر اساس تعریف تفاوت اعداد طبیعی و شرایط وجود آن ، می توان قوانین مشهور تفریق یک عدد از مجموع و مجموع از یک عدد را توجیه کرد.
قضیه 21... بگذار باشد آ. بو با- اعداد صحیح
چه می شود اگر a> c ، سپس (a + b) - c = (a - c) + b.
ب) اگر ب> ج سپس (a + b) - c - a + (b - c).
ج) اگر a> c و b> cسپس می توان از هر یک از این فرمول ها استفاده کرد.
اثبات در مورد الف) تفاوت اعداد آو جاز آن زمان وجود دارد a> cما با آن نشان می دهیم x: a - c = xجایی که a = c + x... اگر (آ+ ب) - c = yسپس ، با تعریف تفاوت ، آ+ ب = با+ در... ما در این برابری به جای آن جایگزین می کنیم آاصطلاح c + x:(c + x) + b = c + yبیایید از ویژگی جمع همراهی استفاده کنیم: c + (x + b) = c+ در... ما این برابری را بر اساس ویژگی یکنواختی جمع تغییر می دهیم ، بدست می آوریم:
x + b = درجایگزین x در این برابری با عبارت a - c ،خواهد داشت (آ -ز) + b = yبنابراین ، ما ثابت کرده ایم که اگر a> c ، سپس (a + b) - c = (a - c) + b
اثبات به صورت مشابه در مورد ب) انجام می شود.
قضیه اثبات شده را می توان به عنوان یک قاعده مناسب برای به خاطر سپردن فرموله کرد: برای کسر عددی از مجموع ، کافی است که این عدد را از یک عبارت مجموع کم کرده و یک عبارت دیگر را به نتیجه بدست آمده اضافه کنیم.
قضیه 22بگذار باشد a ، b و c -اعداد صحیح اگر a> b+ c ، پس آ- (b + c) = (a - b) - cیا a - (b + c) = (a - c) - b.
اثبات این نظریه مشابه اثبات قضیه 21 است.
قضیه 22 را می توان به عنوان یک قاعده فرمول بندی کرد ، برای این که مجموع اعداد را از عدد کم کنیم ، کافی است که از این عدد پی در پی هر یک یکی کم کنیم.
در تدریس اولیه ریاضیات ، تعریف تفریق به عنوان یک عمل معکوس با جمع عموماً به صورت کلی ارائه نمی شود ، اما به طور مداوم مورد استفاده قرار می گیرد ، با انجام اقدامات روی اعداد تک رقمی شروع می شود. دانش آموزان باید رابطه بین تفریق و جمع را به خوبی بشناسند و از این رابطه در محاسبات خود استفاده کنند. به عنوان مثال ، از عدد 16 با عدد 40 ، دانش آموزان چنین استدلال می کنند: "عدد 16 را از 40 تفریق کنید - پیدا کردن عددی که با اضافه شدن به عدد 16 ، 40 را بدست می آورد به چه معناست. این عدد 24 خواهد بود ، زیرا 24 + 16 = 40. بنابراین. 40 - 16 = 24 ".
قوانین تفریق یک عدد از یک مجموع و یک مجموع از یک عدد در یک دوره ابتدایی ریاضیات ، مبنای نظری تکنیک های مختلف محاسبه است. به عنوان مثال ، مقدار عبارت (40 + 16) - 10 را می توان نه تنها با محاسبه مجموع در داخل پرانتز ، و سپس با تفریق عدد 10 از آن ، بلکه از این طریق نیز بدست آورد.
الف) (40 + 16) - 10 = (40 - 10) + 16 = 30 + 16 = 46:
ب) (40 + 16) - 10 = 40 + (16-10) = 40 + 6 = 46.
تمرینات
1. آیا این درست است که هر عدد طبیعی با کسر یک عدد بلافاصله بعد بدست می آید؟
2. ویژگی ساختار منطقی قضیه 19 چیست؟ آیا می توان با استفاده از کلمات "لازم و کافی" فرموله کرد؟
3. ثابت کنید که:
چه می شود اگر b> c ،سپس (a + b) - c = a + (b - c);
ب) اگر a> b + c، سپس a - (ب+ s) = (a - b) - c.
4. آیا می توان بدون انجام محاسبات گفت که کدام عبارت ها برابر خواهند بود:
الف) (50 + 16) - 14 ؛ د) 50+ (16-14 ),
ب) (50 - 14) + 16 ؛ ه) 50 - (16 - 14) ؛
ج) (50 - 14) - 16 ، f) (50 + 14) - 16.
الف) 50 - (16 + 14) ؛ د) (50 - 14) + 16 ؛
ب) (50 - 16) + 14 ؛ ه) (50 - 14) - 16 ؛
ج) (50 - 16) - 14 ؛ و) 50 - 16 - 14.
5- چه ویژگیهای تفریق اساس نظری روشهای زیر محاسبه است که در دوره ابتدایی ریاضیات مطالعه شده است:
12 - 2-3 12 -5 = 7
ب) 16-7 = 16-6-P ؛
ج) 48 - 30 = (40 + 8) - 30 = 40 + 8 = 18 ؛
د) 48 - 3 = (40 + 8) - 3 = 40 + 5 = 45.
6. روشهای ممکن برای محاسبه مقدار عبارت را توضیح دهید. a - b- باو آنها را با مثالهای خاص نشان دهید.
7. ثابت کنید که برای ب< а و هر c طبیعی ، برابری (a - b) c = ac - bc.
نشانه اثبات بر اساس اصل 4 است.
8. معنای عبارت را بدون انجام محاسبات کتبی تعیین کنید. پاسخ ها را توجیه کنید.
الف) 7865 × 6 - 7865 × 5: ب) 957 × 11 - 957 ؛ ج) 36 12 12 - 36 7 7.
تقسیم بندی
در ساختار بدیهی نظریه اعداد طبیعی ، تقسیم معمولاً معکوس ضرب تعریف می شود.
تعریف. تقسیم اعداد طبیعی a و b عملی است که شرایط را برآورده می کند: a: b = c اگر و فقط اگر ،به وقتی ب× c = a
عدد الف: بتماس گرفت خصوصیشماره آو ب ،عدد آبخش پذیر ، عدد ب- تقسیم کننده
همانطور که می دانید ، تقسیم بر مجموعه اعداد طبیعی همیشه وجود ندارد و هیچ معیار مناسبی برای وجود ضریب موجود برای تفاوت وجود ندارد. فقط یک شرط لازم برای وجود خاص وجود دارد.
قضیه 23برای اینکه ضریب دو عدد طبیعی وجود داشته باشد آو ب، ضروری است که ب< а.
اثبات اجازه دهید ضریب اعداد طبیعی آو بوجود دارد ، یعنی یک عدد طبیعی c وجود دارد به طوری که bc = aاز آنجا که برای هر عدد طبیعی 1 نابرابری 1 است با،سپس ، هر دو قسمت آن را در یک عدد طبیعی ضرب کنید ب، ما گرفتیم ب£ قبل از میلاد مسیح.ولی bc = a ،از این رو ، ب£ آ.
قضیه 24.اگر ضریب اعداد طبیعی آو بوجود دارد ، پس منحصر به فرد است
اثبات این قضیه مشابه اثبات قضیه منحصر به فرد برای تفاوت اعداد طبیعی است.
بر اساس تعریف ضریب اعداد طبیعی و شرایط وجود آن ، می توان قوانین مشهور تقسیم مجموع (تفاوت ، محصول) را بر یک عدد توجیه کرد.
قضیه 25.اگر اعداد آو بتقسیم بر عدد با،سپس مجموع آنها a + bبر s تقسیم می شود ، و ضریب حاصل از تقسیم مجموع به دست می آید آ+ ببا شماره با،برابر است با مجموع ضرایب بدست آمده از تقسیم آبر باو ببر با، یعنی (a + b):c = a: c + b:با.
اثبات از آنجا که تعداد آتقسیم بر با،سپس یک عدد طبیعی x = وجود دارد آ؛با آن a = cxبه طور مشابه ، چنین عدد طبیعی وجود دارد y = b:با،چی
ب= suاما بعد a + b = cx+ su = - c (x + y).معنیش اینه که a + bبر c تقسیم می شود ، و ضریب با تقسیم مجموع به دست می آید آ+ ببا عدد c برابر x + است y ،آن ها آه + ب: ج
قضیه اثبات شده را می توان به عنوان یک قاعده برای تقسیم یک مجموع بر یک عدد بیان کرد: برای تقسیم مجموع بر یک عدد ، کافی است هر عبارت را بر این عدد تقسیم کرده و نتایج بدست آمده را اضافه کنید.
قضیه 26.اگر اعداد طبیعی آو بتقسیم بر عدد باو a> b ،تفاوت a - bبر c تقسیم می شود ، و ضریب بدست آمده از تقسیم اختلاف بر عدد c برابر است با اختلاف ضرایب بدست آمده از تقسیم آبر باو ببه c ، یعنی (a - b): c = a: c - b: c
اثبات این قضیه مشابه اثبات قضیه قبلی انجام می شود.
این قضیه را می توان به عنوان یک قاعده برای تقسیم تفاوت بر یک عدد بیان کرد: برایبرای تقسیم اختلاف بر یک عدد ، کافی است عددی را که با این عدد کاهش و کسر می شود تقسیم کرده و دومی را از اولین عامل کم کنید.
قضیه 27اگر یک عدد طبیعی باشد آبر عدد طبیعی c تقسیم می شود ، سپس برای هر عدد طبیعی بکار آببه p تقسیم می شود در این حالت ، ضریب بدست آمده از تقسیم کار به دست می آید آببا شماره با , برابر است با ضریب ضریب بدست آمده از تقسیم آبر با،و اعداد b: (a × b): c - (a: c) b.
اثبات زیرا آتقسیم بر با،سپس یک عدد طبیعی x وجود دارد که a: c= x ، از کجا a = cxضرب هر دو طرف برابری با ب ،گرفتن ab = (cx) b.از آنجا که ضرب تداعی است ، پس (cx) b = c (x b).از اینجا (a b): c = x b = (a: c) bقضیه را می توان به عنوان یک قاعده برای تقسیم یک محصول بر یک عدد بیان کرد: برای تقسیم یک محصول بر یک عدد ، کافی است یکی از عوامل را بر این عدد تقسیم کرده و نتیجه را در عامل دوم ضرب کنیم.
در آموزش اولیه ریاضیات ، تعریف تقسیم به عنوان عملكرد معكوس ضرب ، به طور معمول ، به صورت كلی ارائه نمی شود ، اما به طور مداوم مورد استفاده قرار می گیرد ، از اولین درسهای آشنایی با تقسیم. دانش آموزان باید به خوبی آگاه باشند که تقسیم مربوط به ضرب است و از این رابطه در محاسبات استفاده کنند. دانش آموزان با انجام تقسیم ، به عنوان مثال ، 48 در 16 ، چنین استدلال می کنند: "48 را بر 16 تقسیم کنید - این بدان معناست که چنین عددی را بیابید ، وقتی در 16 ضرب شود ، 48 می گیریم. این عدد 3 خواهد بود ، زیرا 16 × 3 = 48. بنابراین ، 48: 16 = 3.
تمرینات
1. ثابت کنید که:
الف) اگر ضریب اعداد طبیعی a و bوجود دارد ، پس منحصر به فرد است ؛
ب) اگر اعداد a و bبه تقسیم می شوند باو a> b ،سپس (a - b): c = a: c - b: c
2. آیا می توان ادعا کرد که همه برابری های داده شده صحیح هستند:
الف) 48: (2 × 4) = 48: 2: 4 ؛ ب) 56: (2 × 7) = 56: 7: 2 ؛
ج) 850: 170 = 850: 10:17.
قاعده کلی برای این موارد چیست؟ فرموله کنید و ثابت کنید.
3. اساس نظری چه ویژگی های شکافت است
تکمیل وظایف زیر که به دانش آموزان دبستانی ارائه می شود:
آیا می توان بدون انجام تقسیم بندی گفت که کدام عبارت ها دارای مقادیر یکسانی هستند:
الف) (40+ 8): 2 ؛ ج) 48: 3 ؛ ه) (20+ 28): 2 ؛
ب) (30 + 16): 3 ؛ د) (21 + 27): 3 ؛ و) 48: 2 ؛
آیا برابری ها درست است:
الف) 48: 6: 2 = 48: (6: 2) ؛ ب) 96: 4: 2 = 96: (4-2) ؛
ج) (40 - 28): 4 = 10-7؟
4- روش های ممکن برای محاسبه مقدار عبارت را شرح دهید.
نوع:
آ) (آ+ قبل از میلاد مسیح؛ب) آ:ب: با؛ v) ( a × b): با .
روشهای پیشنهادی را با مثالهای خاص نشان دهید.
5. معانی عبارت را به صورت منطقی بیابید. آنها
توجیه اقدامات:
الف) (7 × 63): 7؛ ج) (15 × 18):(5× 6);
ب) (3 × 4× 5): 15 ؛ د) (12 × 21): 14.
6- روشهای زیر را برای تقسیم با یک عدد دو رقمی توجیه کنید:
الف) 954: 18 = (900 + 54): 18 = 900: 18 + 54:18 = 50 + 3 = 53 ؛
ب) 882: 18 = (900 - 18): 18 = 900: 18 - 18:18 = 50 - 1 = 49 ؛
ج) 480: 32 = 480: (8 × 4) = 480:8:4 = 60:4 = 15:
د) (560 × 32): 16 = 560 (32:16) = 560 × 2 = 1120.
7. بدون تقسیم با گوشه ، منطقی ترین را بیابید
راه خصوصی ؛ روش انتخاب شده را توجیه کنید:
الف) 495: 15 ؛ ج) 455: 7 ؛ ه) 275: 55 ؛
6) 425: 85 ؛ د) 225: 9 ؛ و) 455: 65.
سخنرانی 34 خواص مجموعه اعداد صحیح غیر منفی
1. مجموعه اعداد صحیح غیر منفی. خواص مجموعه اعداد صحیح غیر منفی
2. مفهوم بخشی از اعداد طبیعی و عناصر شمارش مجموعه محدود. اعداد طبیعی معمولی و کمی.
برای آزمون دولتی در تخصص
1. فضای خطی (بردار) بر روی یک میدان. مثال ها. فضاهای فرعی ، ساده ترین ویژگی ها. وابستگی خطی و استقلال بردارها.
2. اساس و بعد فضای بردار. ماتریس مختصات سیستم بردار. انتقال از یک مبنا به مبنای دیگر. ایزومورفیسم فضاهای بردار
3. بسته بودن جبری میدان اعداد مختلط.
4. حلقه اعداد صحیح. ترتیب اعداد صحیح قضایای صحیح "بزرگترین" و "کمترین".
5. گروه ، نمونه های گروه. ساده ترین خواص گروه ها زیر گروه ها همومورفیسم و ایزومورفیسم گروه ها.
6. خواص اساسی تقسیم پذیری اعداد صحیح. اعداد اول. بی نهایت مجموعه اعداد اول. تجزیه متعارف یک عدد مرکب و منحصر به فرد بودن آن.
7. قضیه کرونکر-کاپلی (معیار سازگاری برای سیستم معادلات خطی).
8. خواص اساسی مقایسه ها. سیستم های کامل و کاهش یافته باقی مانده modulo. مدول حلقه کلاس باقی مانده. قضایای اویلر و فرما
9. کاربرد نظریه مقایسه با اشتقاق معیارهای تقسیم پذیری. تبدیل کسر معمولی به اعشار و تعیین طول دوره آن.
10. همزمانی ریشه های خیالی چند جمله ای با ضرایب واقعی. چند جمله ای در حوزه اعداد حقیقی تقلیل ناپذیر است.
11. مقایسه های خطی با یک متغیر (معیار حل پذیری ، راه حل ها).
12. سیستمهای معادل معادلات خطی. روش حذف پی در پی ناشناخته ها
13. حلقه. نمونه هایی از حلقه ها. ساده ترین خواص حلقه ها. فرعی همومورفیسم و ایزومورفیسم حلقه ها. رشته. نمونه هایی از زمینه ها. ساده ترین خواص حداقل بودن زمینه اعداد گویا
14. اعداد طبیعی (مبانی نظریه بدیهی اعداد طبیعی). قضایای مربوط به "بزرگترین" و "کوچکترین" عدد طبیعی.
15. چند جمله ای در زمینه. قضیه تقسیم باقیمانده بزرگترین تقسیم کننده مشترک دو چند جمله ای ، خواص و روشهای یافتن آن.
16. روابط دودویی. رابطه معادل. کلاسهای معادل ، مجموعه ای از عوامل.
17. القای ریاضی برای اعداد طبیعی و کامل.
18. خواص اعداد coprime. حداقل چندگانه مشترک اعداد صحیح ، خواص و روشهای یافتن آن.
19. میدان اعداد مختلط ، فیلدهای عددی. نمایش هندسی و شکل مثلثاتی یک عدد مختلط.
20. قضیه تقسیم باقیمانده برای اعداد صحیح. بزرگترین تقسیم کننده مشترک اعداد صحیح ، خواص و روشهای یافتن آن.
21. عملگرهای خطی فضای بردار. هسته و تصویر یک عملگر خطی. جبر عملگرهای خطی فضای بردار. مقادیر ویژه و بردارهای ویژه یک عملگر خطی
22. تغييرات وابسته به صفحه ، خواص و روشهاي تنظيم آنها. گروه تحولات وابسته به صفحه و زیرگروه های آن.
23. چند ضلعی ها. مساحت چند ضلعی قضیه وجود و منحصر به فرد بودن.
24. اندازه و ترکیب برابر چند ضلعی ها.
25. هندسه لوباچفسکی. سازگاری سیستم بدیهی هندسه لوباچفسکی.
26. مفهوم موازی سازی در هندسه لوباچفسکی. چیدمان متقابل خطوط مستقیم در صفحه لوباچفسکی.
27. فرمولهای حرکات. طبقه بندی حرکات هواپیما برنامه های کاربردی برای حل مشکلات
28. چیدمان متقابل دو صفحه ، یک خط مستقیم و یک صفحه ، دو خط مستقیم در فضا (در ارائه تحلیلی).
29. تحولات فرافکنی. قضیه وجود و منحصر به فرد بودن. فرمولهای تحولات نمایشی
30. مقیاس ، بردار و محصولات مخلوط بردارها ، کاربرد آنها در حل مسئله.
31. سیستم بدیهیات ویل از فضای اقلیدسی سه بعدی و قوام اساسی آن.
32. حرکت هواپیما و ویژگی های آنها. گروهی از حرکات هواپیما قضیه وجود و منحصر به فرد برای حرکت.
33. صفحه پیش بینی کننده و مدلهای آن. تحولات فرافکنی ، ویژگی های آنها گروه تحولات فرافکنی
34. تحولات شباهت صفحه ، خواص آنها. گروه تحولات شباهت صفحه و زیر گروه های آن
35. سطوح صاف. اولین شکل درجه یک سطح و کاربردهای آن
36. طراحی موازی و خواص آن. نمایش موازی از چهره های مسطح و فضایی.
37. خطوط صاف. خمیدگی منحنی فضایی و محاسبه آن
38. بیضی ، هایپربولا و سهمی به عنوان مقاطع مخروطی شکل. معادلات متعارف
39. ویژگی دایرکتوری بیضی ، هایپربولا و پارابولا. معادلات قطبی
40. نسبت دوگانه چهار نقطه از یک خط مستقیم ، خواص و محاسبه آن. جداسازی هماهنگ جفت نقاط. یک چهارضلعی کامل و خواص آن. کاربرد در حل مشکلات ساختمانی.
41. قضایای پاسکال و برایانچون. لهستانی ها و مولفان.
نمونه سوالات تحلیل ریاضی
قضایای صحیح "بزرگترین" و "کمترین"
قضیه 4 (روی "کوچکترین" عدد صحیح). هر مجموعه غیر خالی از اعداد صحیح محدود شده از زیر حاوی کوچکترین عدد است. (در اینجا ، مانند اعداد طبیعی ، کلمه "مجموعه" به جای کلمه "زیر مجموعه" E استفاده می شود
اثبات بگذارید О А С Z و А از پایین محدود شوند ، یعنی 36؟ ZVa؟ الف (ب< а). Тогда если Ь Е А, то Ь- наименьшее число во множестве А.
حالا اجازه دهید b A.
سپس Wa e Af< а) и, значит, Уа А(а - Ь >O).
ما مجموعه M تمام اعداد فرم a - b را تشکیل می دهیم ، جایی که a روی مجموعه A اجرا می شود ، یعنی M = (c [c = a - b ، a E A)
بدیهی است ، مجموعه M خالی نیست ، از A 74 0
همانطور که در بالا ذکر شد ، M C N. در نتیجه ، با قضیه یک عدد واقعی m (54 ، فصل III) ، مجموعه M شامل کوچکترین عدد طبیعی m است. سپس m = a1 - b برای عدد a1؟ آه ، و از آنجا که m کوچکترین در M است ، پس بله؟ A (t< а - Ь) , т.е. А (01 - Ь < а - Ь). Отсюда Уа е А(а1 а), а так как ат (- А, то - наименьшее число в А. Теорема доказана.
قضیه 5 (در "بزرگترین" عدد صحیح). هر مجموعه ای از اعداد صحیح غیر خالی و محدود به کلاس دارای بیشترین تعداد است.
اثبات بگذارید О 74 А С Z و А از بالا با عدد b محدود شود ، یعنی ، ؟ ZVa e A (a< Ь). Тогда -а >B برای همه اعداد a؟ آ.
در نتیجه ، مجموعه M (با r = -a ، a؟ A) خالی نیست و از پایین با عدد (-6) محدود شده است. بنابراین ، با قضیه قبلی ، مجموعه M کوچکترین عدد را دارد ، یعنی ، شما؟ موس؟ م (ج< с).
این یعنی وای؟ A (با< -а), откуда Уа? А(-с >آ)
ح. اشکال مختلف روش استقرا ریاضی برای اعداد صحیح. قضیه تقسیم بقیه
قضیه 1 (اولین شکل روش استقرا ریاضی). بگذارید P (c) یک محمول یک جا باشد که روی مجموعه Z از اعداد صحیح تعریف شده است. ، 4. سپس ، اگر برای عدد a Z گزاره P (o) و برای یک عدد صحیح دلخواه K> a از P (K) P (K -4- 1) را دنبال کند ، پس گزاره P (r) برای همه اعداد صحیح صادق است ، m اعداد c> a (یعنی فرمول زیر حساب محمول در مجموعه Z صادق است:
P (a) bow> + 1)) Wc> aP (c)
برای هر عدد صحیح ثابت a
اثبات فرض کنید که برای گزاره P (c) هر آنچه در شرایط قضیه گفته می شود درست است ، یعنی ،
1) P (a) - درست است ؛
2) UK Ш к + نیز صادق است.
با تناقض. فرض کنید چنین عددی وجود دارد
B> a ، که RF) غلط است. بدیهی است ، b a ، زیرا P (a) درست است. ما مجموعه M = (z؟> A ، P (z) false) را تشکیل می دهیم.
سپس مجموعه M 0 ، از زمان b؟ M و M از پایین با عدد a محدود شده اند. در نتیجه ، با قضیه روی و بر روی کمترین عدد صحیح (قضیه 4 ، 2) ، مجموعه M شامل کوچکترین عدد صحیح c است. از این رو c> a ، که به نوبه خود دلالت بر c - 1> a دارد.
اجازه دهید ثابت کنیم که P (c-1) درست است. اگر c-1 = a ، پس P (c-1) با توجه به شرایط صادق است.
اجازه دهید c - 1> a. سپس فرض غلط بودن P (c - 1) مستلزم عضویت در 1 است؟ M ، که نمی تواند باشد ، زیرا عدد c کوچکترین مجموعه M است.
بنابراین ، c - 1> a و P (c - 1) درست است.
بنابراین ، با توجه به شرایط این قضیه ، گزاره P ((c - 1) + 1) صادق است ، یعنی ، P (c) درست است. این با انتخاب عدد c در تناقض است ، زیرا c؟ M قضیه ثابت می شود.
توجه داشته باشید که این قضیه نتیجه 1 بدیهیات پانو را کلی می کند.
قضیه 2 (شکل دوم روش القای ریاضی برای اعداد صحیح). بگذارید P (c) یک پیشوند یکجا ، تعریف) در مجموعه Z از اعداد صحیح باشد. سپس اگر حرف P (c) برای تعدادی صحیح K معتبر باشد و برای یک عدد صحیح دلخواه s K از اعتبار گزاره P (c) برای همه اعداد صحیح y که برابری K را برآورده می کند< с < s, слеДует справеДливость этого преДложения Для числа s , то это преДложение справеДливо Для всег целыс чисел с >به.
اثبات این قضیه تا حد زیادی اثبات یک قضیه مشابه برای اعداد طبیعی را تکرار می کند (قضیه 1 ، 55 ، فصل سوم).
قضیه 3 (شکل سوم روش استقرا ریاضی). اجازه دهید Р (с) یک محمول تک محل تعریف شده بر روی مجموعه عدد صحیح Z باشد. سپس اگر P (c) برای همه اعداد برخی از زیرمجموعه های بی نهایت M از مجموعه اعداد طبیعی صادق است و برای یک عدد صحیح دلخواه a از حقیقت P (a) نتیجه می شود که P (a - 1) درست است ، پس گزاره P (c) برای همه اعداد صحیح صادق است.
اثبات مشابه اثبات قضیه مربوط به اعداد طبیعی است.
ما آن را به عنوان یک تمرین جالب ارائه می دهیم.
توجه داشته باشید که در عمل ، شکل سوم استقراء ریاضی کمتر از بقیه رخ می دهد. این به این دلیل است که برای کاربرد آن لازم است زیرمجموعه بی نهایت M مجموعه اعداد طبیعی را بدانیم "، که در قضیه ذکر شده است. یافتن چنین مجموعه ای می تواند دشوار باشد.
اما مزیت شکل سوم نسبت به دیگر موارد این است که با کمک آن گزاره P (c) برای همه اعداد صحیح ثابت می شود.
در زیر یک مثال جالب از کاربرد فرم سوم را ارائه می دهیم ". اما ابتدا بیایید یک مفهوم بسیار مهم ارائه دهیم.
تعریف. مقدار مطلق یک عدد صحیح a عددی است که توسط قاعده تعیین می شود
0 اگر a 0 a اگر> 0
الف ، اگر الف< 0.
بنابراین ، اگر 0 ، پس؟ ن.
ما به خواننده به عنوان تمرینی برای اثبات خواص زیر با ارزش مطلق پیشنهاد می کنیم:
قضیه (در تقسیم باقیمانده). برای هر عدد صحیح a و b ، جایی که b 0 وجود دارد ، و علاوه بر این ، فقط یک جفت عدد q U m به گونه ای است که a r: bq + T A D باشد.
اثبات
1. وجود یک جفت (q ، m).
اجازه دهید a ، b؟ Z و 0. اجازه دهید نشان دهیم که یک جفت عدد q وجود دارد و شرایط را برآورده می کند
ما اثبات را با القاء در شکل سوم روی عدد a برای یک عدد ثابت b انجام می دهیم.
М = (mlm = n lbl ، n؟ N).
بدیهی است که M C lm یک نگاشت f: N M است که با قانون f (n) = nlbl برای هر n تعریف شده است؟ N یک بیژن است. این بدان معناست که M N ، یعنی M - بی نهایت
اجازه دهید ثابت کنیم که برای عدد دلخواه a؟ M (و b-fixed) ادعای قضیه در مورد وجود یک جفت عدد q و m درست است.
در واقع ، اجازه دهید (- M. سپس nf! برای برخی از n؟ N.
اگر b> 0 ، سپس a = n + O. در حال حاضر ، با تنظیم q = n و m 0 ، جفت لازم اعداد q و غیره را بدست می آوریم. اگر b< 0, то и, значит, в этом случае можно положить q
اکنون اجازه دهید یک فرض استقرایی داشته باشیم. فرض کنید برای یک عدد صحیح دلخواه c (و ثابت دلخواه b 0) گزاره قضیه درست است ، یعنی یک جفت عدد (q ، m) وجود دارد به طوری که
اجازه دهید ثابت کنیم که برای عدد (c 1) نیز صادق است. از برابری c = bq -4- bq + (m - 1) حاصل می شود. (1)
موارد ممکن است.
1) m> 0. سپس 7 " - 1> 0. در این مورد ، تنظیم - m - 1 ، ما c - 1 - bq + Tl را بدست می آوریم ، جایی که جفت (q ، 7" 1 ،) به وضوح شرایط را برآورده می کند
0. سپس c - 1 bq1 + 711 ، جایی که q1
ما به راحتی می توانیم ثابت کنیم که 0< < Д.
بنابراین ، این عبارت برای جفت اعداد نیز صادق است
بخش اول قضیه ثابت شده است.
P. منحصر به فرد جفت q و غیره
فرض کنید برای اعداد a و b 0 دو جفت عدد (q ، m) و (q1 وجود دارد ، سپس شرایط (*) را برآورده می کنند
اجازه دهید ثابت کنیم که آنها با هم منطبق هستند. بنابراین اجازه دهید
و bq1 L O< Д.
از این رو نتیجه می گیرد که b (q1 -q) m- 7 1 1. از این برابری بر می آید که
اگر در حال حاضر q ql فرض کنیم ، سپس q - q1 0 ، از کجا lq - q1l 1. ضرب این نابرابری ها بر حسب اصطلاح در عدد lbl ، φ را بدست می آوریم! - q11 D. (3)
در عین حال ، از نابرابری های 0< т < lbl и О < < очевидным образом следует - < ф!. Это противоречит (3). Теорема доказана.
تمرینات:
1. اثبات قضایای 2 و 3 از 5 1 را تکمیل کنید.
2. نتیجه 2 از قضیه 3 ، 1 را اثبات کنید.
3. ثابت کنید که زیر مجموعه Н С Z شامل همه اعداد فرم است< п + 1, 1 >(n؟ N) ، بسته به جمع و ضرب بسته شده است.
4. اجازه دهید H همان مجموعه تمرین 3 را نشان دهد. ثابت کنید که نگاشت ј: M شرایط زیر را برآورده می کند:
1) ј - bijection ؛
2) ј (n + m) = ј (n) + j (m) و j (nm) = ј (n) j (m) برای هر عددی n ، m (یعنی ، من یک ایزومورفیسم جبر را درک می کنم (N ، 4 ، و (H ، +،).
5. اثبات قضیه 1 از 2 را تکمیل کنید.
6. ثابت کنید که برای هر عدد صحیح a ، b ، c مفاهیم زیر صادق است:
7. قضیه دوم و سوم را از Z اثبات کنید.
8. ثابت کنید که حلقه Z از اعداد صحیح شامل صفر تقسیم کننده نیست.
ادبیات
1. Bourbaki N. نظریه مجموعه. مسکو: میر ، 1965.
2. VinograDov IM مبانی نظریه اعداد. M.: Nauka ، 1972. Z. DemiDov I. T. مبانی حساب. م.: اوچپدگیز ، 1963.
4. Kargapolov MI ، Merzlyakov Yu I. مبانی نظریه گروه.
مسکو: ناوکا ، 1972.
5. Kostrikin AI مقدمه ای بر جبر. مسکو: ناوکا ، 1994.
ب L. Ya. Kulikov ، جبر و نظریه اعداد. م.: بالاتر shk.، 1979
7. کوروش A.G. دوره عالی جبر. مسکو: ناوکا ، 1971.
8. Lyubetsky VA مفاهیم اساسی ریاضیات مدرسه. مسکو: آموزش و پرورش ، 1987.
9. لیاپین اتحادیه اروپا. و تمرینات دیگر در نظریه گروه. مسکو: ناوکا ، 1967.
10. سیستم های جبری Maltsev AI. مسکو: ناوکا ، 1970.
11. MenDelson E. مقدمه ای بر منطق ریاضی. مسکو: ناوکا ، 1971.
12. نچایف ششم سیستم های عددی. مسکو: آموزش و پرورش ، 1975.
13. Novikov P.S. عناصر منطق ریاضی M .. Science ، 1973.
14. سخنرانی Petrova VT در مورد جبر و هندسه.: در 2 فصل.
CHL م.: ولادوس ، 1999.
15. مبانی مدرن درس مدرسه ریاضیات Auth. شماره: Vilenkin N.Ya.، Dunichev K.I.، Kalltzhnin LA Joiner A.A. م.: آموزش ، 1980.
16. Skornyakov LA عناصر جبر. مسکو: ناوکا ، 1980.
17. استوم آر.ر. نظریه های مجموعه ، منطق ، بدیهیات. م. روشنگری ، 1968.
18. Joiner AA مقدمه منطقی در ریاضیات. مینسک: بالاتر shk.، 1971.
19. فیلیپوف VP جبر و نظریه اعداد. ولگوگراد: VGPI ، 1975.
20. Frenkel A.، Bar-Hillel I. مبانی نظریه بسیاری. مسکو: میر ، 1966.
21. Fuchs L. سیستم های تا حدی سفارش داده شده. مسکو: میر ، 1965.
نسخه آموزشی
ولادیمیر کنستانتینوویچ کارتاشوف
دوره مقدماتی ریاضیات
آموزش
آماده سازی تحریریه توسط O. I. Molokanova طرح اصلی توسط A. P. Boschenko تهیه شده است
"PR 020048 از 20.12.96
برای چاپ در تاریخ 28.08.99 امضا شده است. قالب 60x84 / 16. چاپ دفاتر رونق. نوعی از. M 2. Uel. چاپ ل 8.2 Uch.-ed. ل 8.3 تیراژ 500 نسخه است. سفارش 2
انتشارات پرمینا
بخش N یک سری طبیعی مجموعه اعداد طبیعی است که از یک عدد طبیعی a تجاوز نمی کند ، یعنی N = (x | x N و x a).
به عنوان مثال ، N مجموعه اعداد طبیعی است که از 7 تجاوز نکند ، یعنی N = (1،2،3،4،5،6،7).
اجازه دهید به دو ویژگی مهم بخش های سری طبیعی توجه کنیم:
1) هر بخش N شامل یک قسمت است. این ویژگی از تعریف بخشی از یک سری طبیعی ناشی می شود.
2) اگر عدد x در بخش N و x a وجود داشته باشد ، عدد x + 1 بلافاصله پس از آن نیز در N موجود است.
اگر مجموعه A معادل قطعه N یک سری طبیعی باشد ، محدود نامیده می شود. به عنوان مثال ، مجموعه A از رأس مثلث ، مجموعه B حروف در کلمه "جهان" مجموعه های محدود هستند ، زیرا آنها برابر با بخش N = (1،2،3) هستند ، یعنی A ~ B ~ N.
اگر مجموعه محدود خالی A معادل یک قطعه N باشد ، عدد طبیعی a را تعداد عناصر مجموعه A می نامند و n (A) = a می نویسند. به عنوان مثال ، اگر A مجموعه ای از رأس یک مثلث باشد ، n (A) = 3.
هر مجموعه محدود خالی معادل یک و تنها یک بخش از سری طبیعی است ، یعنی هر مجموعه محدود A می تواند با یک عدد a منحصر به فرد تعریف شود ، به طوری که مجموعه A یک به یک بر روی بخش N ترسیم شود به
برقراری تناظر یک به یک بین عناصر مجموعه محدود غیر خالی A و قسمتی از یک سری طبیعی ، شمارش عناصر مجموعه A نامیده می شود ، زیرا هر مجموعه محدود غیر خالی تنها با یک عدد طبیعی مطابقت دارد. ، کل مجموعه مجموعه های محدود به دسته هایی از مجموعه های یکسان قدرتمند تقسیم می شود. یک کلاس شامل همه مجموعه های یک عنصری ، دیگری-مجموعه های دو عنصری و غیره خواهد بود. و این عدد را می توان به عنوان یک ویژگی کلی از مجموعه مجموعه های معادل محدود دانست. بنابراین ، از نقطه نظر نظری مجموعه ، یک عدد طبیعی یک ویژگی کلی از مجموعه مجموعه های محدود به همان اندازه قدرتمند است.
عدد 0 همچنین دارای تفسیر نظری مجموعه است - با مجموعه ای خالی همراه است: n () = 0.
بنابراین ، عدد طبیعی a به عنوان ویژگی کمیت را می توان از دو موقعیت در نظر گرفت:
1) به عنوان تعداد عناصر مجموعه A ، که با شمارش به دست می آید ؛
2) به عنوان یک ویژگی کلی از مجموعه مجموعه های محدود به همان اندازه قدرتمند.
ارتباط برقرار شده بین مجموعه های محدود و اعداد طبیعی به ما امکان می دهد تا تفسیر نظری مجموعه ای از رابطه "کمتر" را ارائه دهیم.
اگر a = n (A) ، b = n (B) ، آنگاه عدد a کمتر از عدد b است اگر و فقط اگر مجموعه A برابر زیرمجموعه مناسب مجموعه B باشد ، یعنی A ~ B ، جایی که B B ، B B ، B (شکل 1). یا هنگامی که قسمتی از یک سری طبیعی N زیرمجموعه مناسب یک بخش N است ، یعنی N N.
اعداد a و b اگر با مجموعه های یکسان قدرتمند تعیین شوند مساوی هستند: a = k A ~ B ، جایی که n (A) = a ، n (B) = k. به عنوان مثال ، 2 = 2 ، زیرا n (A) = 2 ، n (B) = 2 ، A = (a ، b) ، B = (z، x) ، A ~ B
خواص رابطه "کمتر" برای اعداد طبیعی نیز دارای تفسیر نظری مجموعه ای است: گذرا بودن و عدم تقارن این رابطه با این واقعیت ارتباط دارد که رابطه "زیر مجموعه بودن" گذرا و غیر متقارن است.
اجازه دهید با استفاده از تفسیر نظری مجموعه رابطه "کمتر" برای اعداد طبیعی ، نشان دهیم که 2
یک مجموعه A شامل 2 عنصر و یک مجموعه B حاوی 5 عنصر ، مانند. n (A) = 2 ، n (B) = 5. به عنوان مثال ، A = (a ، b) ، B = (c، d، e، f، r). از مجموعه B ، یک زیر مجموعه B را می توان تشخیص داد که برابر مجموعه A است: به عنوان مثال ، B = (c ، d) و A ~ B. با توجه به تعریف رابطه "کمتر" ، 2
اعتبار این نابرابری نیز از این واقعیت ناشی می شود که N
این نابرابری را می توان در شکل 2 در نظر گرفت. اجازه دهید 2 عدد دایره و 5 عدد مربع باشد. اگر دایره ها را روی مربع ها بگذاریم ، می بینیم که برخی از مربع ها باز می مانند.
این بدان معناست که تعداد دایره ها کمتر از تعداد مربع ها است ، یعنی 2
معنای نظری مجموعه نابرابری 0
مقایسه اعداد در دوره ابتدایی ریاضیات به روش های مختلف انجام می شود - بر اساس همه رویکردهایی است که ما برای تفسیر نسبت "کمتر" در نظر گرفته ایم.
