(نخستین علامت کافی اکستروم. علائم افزایش و کاهش موضعی یک تابع

علائم افزایش و کاهش موضعی عملکرد.

یکی از وظایف اصلی مطالعه یک تابع، یافتن فواصل افزایش و کاهش آن است. چنین مطالعه ای را می توان به راحتی با استفاده از یک مشتق انجام داد. اجازه دهید عبارات مربوطه را فرموله کنیم.

نشانه کافی برای افزایش عملکرد. اگر f'(x)> 0 در هر نقطه از بازه I، تابع f به میزان I افزایش می یابد.

نشانه کافی از کاهش عملکرد. اگر f'(x)< 0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I.

اثبات این علائم بر اساس فرمول لاگرانژ انجام می شود (به بخش 19 مراجعه کنید). هر دو عدد x را بگیرید 1 و x 2 از فاصله اجازه دهید x 1 عددی با ∈ (x 1, x 2) به گونه ای که

(1)

عدد c متعلق به بازه I است، زیرا نقاط x است 1 و x 2 متعلق به I است. اگر f "(x)> 0 برای х∈I، پس f' (с)> 0، و بنابراین F (x 1 )) - این از فرمول (1) نتیجه می شود، زیرا x 2 - x 1 > 0. این ثابت می کند که تابع f روی I رشد می کند. اگر f '(x)<0 для х∈I то f"(с)<0, и потому f(x 1)> f (x 2 ) - از فرمول (1) به دست می آید، زیرا x 2 - x 1 > 0. تابع f روی I کاهش می یابد.

معنای بصری نشانه ها از استدلال فیزیکی مشخص است (برای قطعیت، علامت افزایش را در نظر بگیرید).

اجازه دهید نقطه‌ای که در امتداد ارتجاع در زمان t حرکت می‌کند دارای y = f (t) باشد. سپس سرعت این نقطه در زمان t برابر با f "(t) است (نگاه کنید به.سرعت آنی ). اگر f'(t)> 0 در هر لحظه از بازه t باشد، آنگاه نقطه در جهت مثبت محور ارتینی حرکت می کند، یعنی اگر t 1 ). این بدان معنی است که تابع f در بازه I افزایش می یابد.

تبصره 1.

اگر تابع f در هر یک از انتهای بازه افزایشی (کاهشی) پیوسته باشد، این نقطه به این بازه متصل می شود.

تبصره 2.

برای حل نابرابری های f "(x)> 0 و f" (x)<0 удобно пользоваться обобщением метода интервалов (теоремой Дарбу) : точки, в которых производная равна 0 или не существует, разбивают область определения функции f на промежутки, в каждом из которых f" сохраняет постоянный знак. (Этот факт доказывается в курсах математического анализа.) Знак можно определить, вычислив значение f" в какой-нибудь точке промежутка.

شرایط لازم و کافی برای وجود یک تابع در یک نقطه.

شرط لازم برای افراط

تابع g (x) در یک نقطه دارای یک انتها (حداکثر یا حداقل) است اگر تابع در یک همسایگی دو طرفه نقطه و برای تمام نقاط x یک منطقه تعریف شده باشد:، نابرابری

(در مورد حداکثر) یا (در مورد حداقل).

حداکثر تابع از شرط پیدا می شود: اگر مشتق وجود داشته باشد، i.e. اولین مشتق تابع را با صفر برابر می کنیم.

شرایط افراطی کافی

1) شرط اول کافی:

الف) f (x) یک تابع پیوسته است و در همسایگی یک نقطه تعریف می شود به طوری که اولین مشتق در این نقطه صفر است یا وجود ندارد.

ب) f (x) دارای یک مشتق محدود در همسایگی مشخصات و تداوم تابع است.

ج) مشتق علامت خاصی را در سمت راست نقطه و سمت چپ همان نقطه حفظ می کند، سپس نقطه را می توان به صورت زیر مشخص کرد.

این شرط خیلی راحت نیست، زیرا شما باید شرایط زیادی را بررسی کنید و جدول را به خاطر بسپارید، اما اگر در مورد مشتقات مرتبه بالاتر چیزی گفته نشود، این تنها راه برای یافتن حداکثر تابع است.

2) شرط دوم کافی

اگر تابع g (x) مشتق دوم داشته باشد و در نقطه ای مشتق اول برابر با صفر باشد و مشتق دوم غیر صفر باشد. سپس نکته عملکرد افراطی g (x)، و اگر، آنگاه نقطه حداکثر است. اگر، پس نقطه حداقل است.

نقطه منتهی تابع نقطه ای از دامنه تابع است که در آن مقدار تابع یک مقدار حداقل یا حداکثر به خود می گیرد. مقادیر تابع در این نقاط را حداکثر (حداقل و حداکثر) تابع می نامند.

تعریف... نقطه ایکس1 دامنه تابع f(ایکس) نامیده میشود حداکثر نقطه تابع اگر مقدار تابع در این نقطه از مقادیر تابع در نقاط به اندازه کافی نزدیک به آن، واقع در سمت راست و چپ آن بیشتر باشد (یعنی نابرابری f(ایکس0 ) > f(ایکس 0 + Δ ایکس) ایکس1 بیشترین.

تعریف... نقطه ایکس2 دامنه تابع f(ایکس) نامیده میشود حداقل نقطه تابعاگر مقدار تابع در این نقطه از مقادیر تابع در نقاطی که به اندازه کافی نزدیک به آن واقع در سمت راست و چپ آن قرار دارند کمتر باشد (یعنی نابرابری f(ایکس0 ) < f(ایکس 0 + Δ ایکس) ). در این مورد گفته می شود که تابع در نقطه است ایکس2 کمترین.

بیایید بگوییم نقطه ایکس1 حداکثر نقطه تابع است f(ایکس). سپس در فاصله تا ایکس1 عملکرد افزایش می یابدبنابراین مشتق تابع بزرگتر از صفر است ( f "(ایکس)> 0)، و در بازه بعد ایکس1 تابع کاهش می یابد، بنابراین، و مشتق از یک تابعکمتر از صفر ( f "(ایکس) < 0 ). Тогда в точке ایکس1

بگذارید این نکته را نیز فرض کنیم ایکس2 حداقل نقطه تابع است f(ایکس). سپس در فاصله تا ایکس2 تابع کاهش می یابد و مشتق تابع کمتر از صفر است ( f "(ایکس) < 0 ), а в интервале после ایکس2 تابع افزایش می یابد و مشتق تابع بزرگتر از صفر است ( f "(ایکس)> 0). در این مورد، همچنین در نقطه ایکس2 مشتق تابع صفر است یا وجود ندارد.

قضیه فرما (معیار ضروری برای وجود یک تابع)... اگر نقطه ایکس0 نقطه منتهی تابع است f(ایکس، سپس در این مرحله مشتق تابع برابر با صفر است ( f "(ایکس) = 0) یا وجود ندارد.

تعریف... نقاطی که مشتق تابع صفر است یا وجود ندارد، نامیده می شوند نقاط بحرانی .

مثال 1.بیایید یک تابع را در نظر بگیریم.

در نقطه ایکس= 0، مشتق تابع برابر با صفر است، بنابراین، نقطه است ایکس= 0 نقطه بحرانی است. با این حال، همانطور که در نمودار تابع مشاهده می شود، در کل دامنه تعریف افزایش می یابد، بنابراین نقطه ایکس= 0 نقطه انتهایی این تابع نیست.

بنابراین، شرایطی که مشتق یک تابع در یک نقطه برابر با صفر باشد یا وجود نداشته باشد، شرایط لازم برای یک افراط هستند، اما کافی نیستند، زیرا نمونه های دیگری از توابع که این شرایط برای آنها برقرار است، اما تابع فاقد است. یک اکستروم در نقطه مربوطه، می تواند داده شود. از همین رو شما باید علائم کافی داشته باشید، اجازه می دهد تا قضاوت کنیم که آیا یک افراط در یک نقطه بحرانی خاص وجود دارد و کدام یک حداکثر یا حداقل است.

قضیه (نخستین معیار کافی برای وجود یک تابع).نقطه بحرانی ایکس0 f(ایکس) اگر مشتق تابع در هنگام عبور از این نقطه علامت تغییر کند و اگر علامت از "بعلاوه" به "منهای" تغییر کند، حداکثر نقطه و اگر از "منهای" به "بعلاوه" تغییر کند، حداقل نقطه .

اگر نزدیک به نقطه ایکس0 ، در سمت چپ و سمت راست آن، مشتق علامت را حفظ می کند، سپس این بدان معنی است که تابع یا فقط کاهش می یابد یا فقط در برخی از همسایگی های نقطه افزایش می یابد. ایکس0 ... در این مورد، در نقطه ایکس0 افراطی وجود ندارد

بنابراین، برای تعیین نقاط انتهایی تابع، باید موارد زیر را انجام دهید :

1. مشتق تابع را بیابید.
2. مشتق را صفر کنید و نقاط بحرانی را تعیین کنید.
3. به صورت ذهنی یا روی کاغذ، نقاط بحرانی را روی محور عددی علامت بزنید و علائم مشتق تابع را در فواصل به دست آمده مشخص کنید. اگر علامت مشتق از "بعلاوه" به "منهای" تغییر کند، نقطه بحرانی حداکثر نقطه است و اگر از "منهای" به "بعلاوه"، حداقل نقطه است.
4. مقدار تابع را در نقاط انتهایی محاسبه کنید.

مثال 2.حداکثر یک تابع را پیدا کنید .

راه حل. بیایید مشتق تابع را پیدا کنیم:

برای یافتن نقاط بحرانی، مشتق را روی صفر قرار می دهیم:

.

از آنجایی که برای هر یک از مقادیر "x" مخرج صفر نیست، عدد را با صفر برابر می کنیم:

یک نقطه اوج گرفتم ایکس= 3. اجازه دهید علامت مشتق را در فواصل تعیین شده توسط این نقطه تعیین کنیم:

در محدوده منهای بی نهایت تا 3 - علامت منهای، یعنی تابع کاهش می یابد،

در محدوده 3 تا به علاوه بی نهایت - علامت مثبت، یعنی عملکرد افزایش می یابد.

یعنی نقطه ایکس= 3 حداقل امتیاز است.

بیایید مقدار تابع را در نقطه حداقل پیدا کنیم:

بنابراین، نقطه انتهایی تابع پیدا می شود: (3؛ 0)، و آن نقطه حداقل است.

قضیه (دومین معیار کافی برای وجود یک تابع).نقطه بحرانی ایکس0 نقطه منتهی تابع است f(ایکس) اگر مشتق دوم تابع در این نقطه صفر نباشد ( f ""(ایکس) ≠ 0)، و اگر مشتق دوم بزرگتر از صفر باشد ( f ""(ایکس)> 0)، سپس حداکثر نقطه، و اگر مشتق دوم کمتر از صفر باشد ( f ""(ایکس) < 0 ), то точкой минимума.

نکته 1. اگر در نقطه ایکس0 هر دو مشتق اول و دوم ناپدید می شوند، پس در این مرحله نمی توان وجود یک افراط را بر اساس دومین معیار کافی قضاوت کرد. در این مورد، لازم است از اولین نشانگر کافی برای حداکثر عملکرد استفاده شود.

نکته 2. دومین معیار کافی برای حداکثر یک تابع نیز اگر مشتق اول در نقطه ثابت وجود نداشته باشد (پس مشتق دوم نیز وجود ندارد) قابل اعمال نیست. در این مورد، همچنین لازم است از اولین نشانگر کافی برای حداکثر عملکرد استفاده شود.

خصوصیت محلی انتهای تابع

از تعاریف فوق چنین استنباط می شود که حداکثر یک تابع دارای یک کاراکتر محلی است - این بزرگترین و کوچکترین مقدار تابع در مقایسه با نزدیکترین مقادیر است.

فرض کنید به درآمد خود در یک بازه زمانی یک ساله نگاه می کنید. اگر در ماه مه 45000 روبل و در آوریل 42000 روبل و در ژوئن 39000 روبل درآمد داشته اید، درآمد ماه می حداکثر تابع درآمد در مقایسه با نزدیکترین مقادیر است. اما در ماه اکتبر 71000 روبل، در سپتامبر 75000 روبل و در نوامبر 74000 روبل درآمد کسب کردید، بنابراین درآمد اکتبر حداقل تابع درآمد در مقایسه با مقادیر نزدیک است. و به راحتی می توانید ببینید که حداکثر در بین مقادیر آوریل-مه- ژوئن کمتر از حداقل سپتامبر-اکتبر-نوامبر است.

به طور کلی، در بازه یک تابع می‌تواند چندین منتهی داشته باشد، و ممکن است معلوم شود که هر حداقل تابع از هر حداکثری بزرگ‌تر است. بنابراین، برای تابع نشان داده شده در شکل بالا،.

یعنی نباید فکر کرد که حداکثر و حداقل یک تابع به ترتیب بزرگترین و کوچکترین مقادیر آن در کل بازه در نظر گرفته شده است. در حداکثر نقطه، تابع تنها در مقایسه با مقادیری که در همه نقاط به اندازه کافی نزدیک به حداکثر نقطه دارد، بیشترین مقدار را دارد و در نقطه حداقل - کوچکترین مقدار را فقط در مقایسه با مقادیری که در تمام نقاط به اندازه کافی نزدیک به حداقل نقطه است.

بنابراین، می توان مفهوم فوق را از نقاط انتهایی یک تابع روشن کرد و حداقل نقاط را به عنوان نقاط حداقل محلی، و نقاط حداکثر را - نقاط حداکثر محلی نامید.

به دنبال حداکثر یک تابع با هم

مثال 3.

راه حل: تابع در خط اعداد کامل تعریف شده و پیوسته است. مشتق آن همچنین در خط اعداد کامل وجود دارد. بنابراین، در این مورد، نقاط بحرانی تنها مواردی هستند که در آنها، به عنوان مثال. ، از کجا و. نقاط بحرانی و تقسیم کل دامنه تابع به سه بازه یکنواختی:. بیایید در هر یک از آنها یک نقطه کنترل انتخاب کنیم و علامت مشتق را در این نقطه پیدا کنیم.

برای فاصله، نقطه کنترل می تواند: پیدا کنید. با گرفتن یک نقطه در بازه، می گیریم، و با گرفتن یک نقطه در بازه، داریم. بنابراین، در فواصل و، و در فاصله. طبق اولین معیار کافی برای یک اکستروم، هیچ اکسترومی در نقطه وجود ندارد (زیرا مشتق علامت خود را در بازه حفظ می کند) و در نقطه ای تابع دارای حداقل است (از آنجایی که مشتق هنگام عبور علامت از منفی به مثبت تغییر می کند. از طریق این نقطه). بیایید مقادیر مربوط به تابع:, a را پیدا کنیم. در بازه، تابع کاهش می یابد، مانند این بازه، و در بازه، مانند این بازه، افزایش می یابد.

برای روشن شدن ساختار نمودار، نقاط تلاقی آن را با محورهای مختصات پیدا می کنیم. برای اینکه، معادله‌ای به دست می‌آوریم که ریشه‌های آن و، یعنی دو نقطه (0; 0) و (4; 0) از نمودار تابع پیدا می‌شود. با استفاده از تمام اطلاعات به دست آمده، یک نمودار می سازیم (به ابتدای مثال مراجعه کنید).

برای خود چک کردن در طول محاسبات، می توانید استفاده کنید ماشین حساب مشتق آنلاین .

مثال 4.انتهای تابع را پیدا کنید و نمودار آن را بسازید.

دامنه تابع، خط اعداد کامل است، به جز نقطه، i.e. ...

برای کوتاه کردن تحقیق می توانید از زوج بودن این تابع استفاده کنید ... بنابراین نمودار آن نسبت به محور متقارن است اوهو اکتشاف فقط برای یک فاصله قابل انجام است.

مشتق را بیابید و نقاط بحرانی تابع:

1) ;

2) ,

اما تابع در این نقطه شکسته می شود، بنابراین نمی تواند یک نقطه اکسترموم باشد.

بنابراین، تابع داده شده دارای دو نقطه بحرانی است: و. با در نظر گرفتن برابری تابع، اجازه دهید تنها نقطه را با دومین معیار کافی اکسترموم بررسی کنیم. برای انجام این کار، مشتق دوم را پیدا می کنیم و علامت آن را در: دریافت می کنیم. از آنجا که و، سپس حداقل نقطه تابع است، while .

برای بدست آوردن تصویر کاملتر از نمودار یک تابع، بیایید رفتار آن را در مرزهای دامنه تعریف پیدا کنیم:

(در اینجا نماد نشان دهنده میل است ایکسبه صفر در سمت راست، و ایکسمثبت باقی می ماند؛ به همین ترتیب به معنای آرزو است ایکسبه صفر در سمت چپ، و ایکسمنفی باقی می ماند). بنابراین، اگر، پس. علاوه بر این، ما پیدا می کنیم

,

آن ها اگر پس از آن.

نمودار تابع هیچ نقطه تقاطعی با محورها ندارد. تصویر در ابتدای مثال است.

برای خود چک کردن در طول محاسبات، می توانید استفاده کنید ماشین حساب مشتق آنلاین .

ما با هم به جستجوی اکسترم های تابع ادامه می دهیم

مثال 8.منتهی الیه تابع را پیدا کنید.

راه حل. بیایید دامنه تابع را پیدا کنیم. از آنجایی که نابرابری باید برقرار باشد، از آن به دست می آوریم.

بیایید اولین مشتق تابع را پیدا کنیم.

برای یافتن ماکزیمم و مینیمم تابع، می‌توانید از هر یک از سه علامت کافی یک اکسترموم استفاده کنید. اگرچه رایج ترین و راحت ترین مورد اول است.

اولین شرط کافی برای افراط.

اجازه دهید تابع y = f (x)قابل تمایز در همسایگی نقطه، و پیوسته در خود نقطه. سپس

به عبارت دیگر:

الگوریتم.

• دامنه تابع را پیدا کنید.

مشتق تابع را در دامنه تعریف پیدا کنید.

صفرهای صورت، صفرهای مخرج مشتق و نقاط حوزه ای که مشتق وجود ندارد را تعیین کنید (به این نقاط می گویند. نقاط افراطی احتمالیبا عبور از این نقاط، مشتق فقط می تواند علامت خود را تغییر دهد).

این نقاط دامنه تابع را به فواصل زمانی تقسیم می کنند که در آن مشتق علامت خود را حفظ می کند. نشانه های مشتق را در هر یک از بازه ها تعیین کنید (مثلاً محاسبه مقدار مشتق تابع در هر نقطه از یک بازه خاص).

نقاطی را انتخاب می کنیم که تابع در آنها پیوسته است و با عبور از آنها، مشتق علامت تغییر می دهد.

مثال.منتهی الیه تابع را پیدا کنید.
راه حل.
دامنه یک تابع کل مجموعه اعداد حقیقی است به جز x = 2.
مشتق را بیابید:

صفرهای عددی نقطه هستند x = -1و x = 5، مخرج در ناپدید می شود x = 2... این نقاط را روی محور عددی علامت گذاری می کنیم

ما علائم مشتق را در هر بازه تعیین می کنیم، برای این ما مقدار مشتق را در هر یک از نقاط هر بازه محاسبه می کنیم، به عنوان مثال، در نقاط x = -2، x = 0، x = 3و x = 6.

بنابراین، در بازه مشتق مثبت است (در شکل، علامت مثبت را بالای این فاصله قرار می دهیم). به همین ترتیب

بنابراین، ما یک منهای بالاتر از فاصله دوم، یک منفی بالاتر از سوم و یک مثبت بالاتر از چهارم قرار می دهیم.

باقی می ماند که نقاطی را انتخاب کنیم که تابع پیوسته است و مشتق آن علامت تغییر می دهد. اینها نقاط افراطی هستند.
در نقطه x = -1تابع پیوسته است و مشتق علامت مثبت به منفی را تغییر می دهد، بنابراین، با توجه به اولین علامت یک اکستروم، x = -1- حداکثر نقطه، با حداکثر تابع مطابقت دارد.
در نقطه x = 5تابع پیوسته است و مشتق علامت آن را از منفی به مثبت تغییر می دهد، بنابراین، x = -1- حداقل نقطه، با حداقل تابع مطابقت دارد.
تصویر گرافیکی

پاسخ: .

دومین نشانگر کافی برای حداکثر یک تابع.
بگذار باشد،

اگر، پس - حداقل امتیاز؛

اگر، پس - حداکثر امتیاز.

همانطور که می بینید، این ویژگی مستلزم وجود مشتق حداقل تا مرتبه دوم در یک نقطه است.
مثال.منتهی الیه تابع را پیدا کنید.
راه حل.
بیایید با دامنه شروع کنیم:

بیایید تابع اصلی را متمایز کنیم:

مشتق در ناپدید می شود x = 1یعنى نقطه افراطى احتمالى است.
مشتق دوم تابع را بیابید و مقدار آن را در محاسبه کنید x = 1:

در نتیجه، با دومین شرط کافی برای افراط، x = 1حداکثر امتیاز است. سپس حداکثر تابع است.
تصویر گرافیکی

پاسخ: .
سومین شاخص کافی برای حداکثر یک تابع.
اجازه دهید تابع y = f (x)دارای مشتقات تا nمرتبه -ام در همسایگی یک نقطه و مشتقات تا n + 1مرتبه -ام در خود نقطه. اجازه دهید و.
سپس،

پایان کار -

این موضوع متعلق به بخش:

جبر و هندسه تحلیلی. مفهوم ماتریس، عملیات روی ماتریس ها و خواص آنها

مفهوم عملیات ماتریس بر روی ماتریس ها و ویژگی های آنها .. ماتریس یک جدول مستطیلی است که از اعدادی تشکیل شده است که نمی توان آنها را ... و جمع ماتریس ها یک عملیات عنصری است.

اگر به مطالب بیشتری در مورد این موضوع نیاز دارید، یا آنچه را که به دنبال آن بودید پیدا نکردید، توصیه می کنیم از جستجو در پایگاه کارهای ما استفاده کنید:

با مطالب دریافتی چه خواهیم کرد:

اگر این مطالب برای شما مفید بود، می توانید آن را در صفحه خود در شبکه های اجتماعی ذخیره کنید:

توییت

تمامی موضوعات این بخش:

تعریف تمایز پذیری
عملیات یافتن مشتق را تمایز تابع می نامند. اگر تابعی در این نقطه مشتق متناهی داشته باشد در نقطه ای متمایز نامیده می شود و

قانون تمایز
نتیجه 1. عامل ثابت را می توان به خارج از علامت مشتق منتقل کرد:

معنای هندسی مشتق. معادله مماس
زاویه تمایل خط مستقیم y = kx + b زاویه اندازه گیری شده از موقعیت است

معنای هندسی مشتق تابع در یک نقطه
خط برش AB نمودار تابع y = f (x) را طوری در نظر بگیرید که نقاط A و B به ترتیب دارای مختصات باشند.

راه حل
تابع برای همه اعداد واقعی تعریف شده است. از آنجایی که (-1؛ -3) نقطه تماس است، پس

شرایط لازم برای افراط و شرایط کافی برای افراط
تعیین تابع افزایشی تابع y = f (x) در بازه X در صورت وجود افزایش می یابد

شرایط یکنواختی و ثبات یک تابع
شرط یکنواختی (غیر محدود) یک تابع در یک بازه. اجازه دهید تابع در هر یک مشتق داشته باشد

تعریف آنتی مشتق
پاد مشتق تابع f (x) در بازه (a; b) تابع F (x) است به طوری که برابری

معاینه
برای بررسی نتیجه، عبارت حاصل را متمایز می کنیم: در نتیجه، get

ضد مشتق حاصلضرب ثابت و تابع برابر است با حاصلضرب ثابت و ضدمشتق تابع
شرط کافی برای وجود یک ضد مشتق برای یک تابع داده شده در یک بازه است

تعریف
بگذارید روی آن تعریف شود

معنی هندسی
انتگرال معین از نظر عددی برابر است با مساحت شکل محدود شده توسط محور آبسیسا، توسط خطوط مستقیم.

خواص انتگرال معین
ویژگی های اساسی یک انتگرال معین خاصیت 1. مشتق یک انتگرال معین نسبت به حد بالایی برابر است با انتگرال که به جای متغیر، در آن ادغام شده است.

فرمول نیوتن-لایبنیتس (با اثبات)
فرمول نیوتن لایب نیتس بگذارید تابع y = f (x) در یک بازه پیوسته باشد و F (x) یکی از پاد مشتق های تابع در این بازه باشد، آنگاه درست است که

برای بررسی رفتار یک تابع، باید:

2) این مشتق را با صفر برابر کنید و معادله حاصل را حل کنید
ریشه های آن
نقاط ثابت هستند

3) نقاط ثابت را در معرض تحقیقات تکمیلی قرار داده و آنها را بر روی محور اعداد رسم می کنند و علائم را تعیین می کنند.
در بخش های به دست آمده با دانستن این علائم می توانید ماهیت هر نقطه ثابت را مشخص کنید ... اگر هنگام عبور از یک نقطه ثابت، مشتق
علامت مثبت به منفی را تغییر می دهد، سپس نقطه ثابت حداکثر نقطه است. اگر هنگام عبور از یک نقطه ثابت، علامت مشتق از منفی به مثبت تغییر کند، نقطه ثابت یک نقطه حداقل است. اگر هنگام عبور از یک نقطه ثابت، مشتق
علامت تغییر نمی کند، پس نقطه ثابت یک نقطه افراطی نیست.

گاهی اوقات هنگام یافتن منتهی الیه، از شرایط کافی دیگر استفاده می شود که در آن، شخصیت نقطه افراطی با علامت مشتق دوم در نقطه ثابت مشخص می شود.

قضیه (دومین شرط کافی برای وجود یک افراط) .Let --- نقطه ثابت تابع (به این معنا که
و مشتق دوم دارد پیوسته در همسایگی نقطه .سپس

1) اگر
، سپس --- حداکثر نقطه تابع ;

2) اگر
، سپس --- حداقل نقطه تابع.

مثال 3. حد فاصل یک تابع را بیابید.

راه حل. تا جایی که
تابع تناوبی با دوره
، کافی است فقط فاصله 0 تا را در نظر بگیرید
... پیدا کردن
و
:

,
.

برابر کردن
تا صفر، نقاط ثابت را پیدا می کنیم:

یا
... در بین
این معادله دو ریشه دارد:
و
... بیایید علامت را تعریف کنیم
در این نقاط:
، از این رو
--- حداکثر امتیاز:

، از این رو
--- حداقل امتیاز

بررسی توابع تحدب و تقعر. نقاط عطف

منحنی Г را روی صفحه در نظر بگیرید که نمودار تابع قابل تمایز است
.

تعریف 1... یک منحنی محدب رو به بالا (محدب) روی (a, b) نامیده می شود اگر در این بازه تمام نقاط منحنی بالاتر از هیچ یک از مماس های آن نباشد.

تعریف 2.منحنی را محدب رو به پایین (مقعر) می نامند
اگر در این بازه تمام نقاط منحنی از هیچ یک از مماس های آن کمتر نباشد.

جهت تحدب یک منحنی مشخصه مهم شکل آن است. اجازه دهید علائمی را تعیین کنیم که با آن فواصل زمانی که نمودار تابع محدب است (مقعر) تعیین می شود. چنین علامتی مثلاً علامت مشتق دوم تابع است
(در صورت وجود).

قضیه 1.
مشتق دوم یک تابع منفی است، سپس منحنی است
در این بازه به سمت بالا محدب است.

قضیه 2.اگر در تمام نقاط فاصله
مشتق دوم یک تابع
مثبت است، سپس منحنی است
در این فاصله مقعر (محدب به سمت پایین) است.

مثال 1. فواصل تحدب - تقعر تابع را بیابید

راه حل. در

بنابراین، تابع برای این محدب در

بنابراین، برای اینها تابع مقعر است

تعریف 3... نقطه ای که قسمت محدب منحنی را از قسمت مقعر جدا می کند، نقطه عطف نامیده می شود.

بدیهی است در نقطه عطف، مماس اگر وجود داشته باشد، منحنی را قطع می کند، زیرا در یک طرف این نقطه منحنی زیر مماس و از طرف دیگر بالای آن قرار دارد.

قضیه 3. (شرط عطف ضروری). اگر یک نقطه عطف وجود دارد
و مشتق دوم دارد
سپس
.

از این رو نتیجه می شود که فقط باید نقاطی را برای عطف بررسی کرد که در آنها مشتق دوم برابر با صفر است یا وجود ندارد.

قضیه 4.اگر هنگام عبور از یک نقطه مشتق دوم
تغییر علامت، نقطه منحنی
با آبسیسا یک نقطه عطف وجود دارد

مثال 2: نقاط عطف یک منحنی را بیابید
.

راه حل. محدوده مقادیر معتبر:
.

مشتقات را پیدا کنید:

;
.

مشتق دوم هیچ جا ناپدید نمی شود، اما در
وجود ندارد.

بیایید علائم را تعریف کنیم
سمت چپ و راست نقطه
:

در
بنابراین، در فاصله
تابع مقعر است.

در
بنابراین، در فاصله
تابع محدب است

بنابراین، برای
یک نقطه عطف وجود دارد
.

تابع y = f (x) فراخوانی می شود افزایش می یابد (در حال کاهش) در یک بازه زمانی، اگر برای x 1< x 2 выполняется неравенство (f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f (x 2)).

اگر یک تابع متمایز y = f (x) در یک بازه افزایش (کاهش) پیدا کند، مشتق آن در این بازه f "(x)> 0

(f "(x)< 0).

نقطه x در موردتماس گرفت نقطه حداکثر محلی (کمترین) از تابع f (x) اگر همسایگی نقطه وجود داشته باشد x در مورد، برای تمام نقاطی که نابرابری f (x) ≤ f (x о) (f (x) ≥ f (x о)) درست است.

حداکثر و حداقل امتیاز نامیده می شود نقاط افراطی، و مقادیر تابع در این نقاط آن است افراطی

شرایط لازم برای افراط... اگر نقطه x در موردنقطه انتهایی تابع f (x) است، پس یا f "(x о) = 0، یا f (x о) وجود ندارد. چنین نقاطی نامیده می شوند. بحرانی،علاوه بر این، خود تابع در نقطه بحرانی تعریف می شود. حداکثر یک تابع را باید در میان نقاط بحرانی آن جستجو کرد.

شرط اول کافیبگذار باشد x در مورد- نقطه بحرانی. اگر f "(x) هنگام عبور از نقطه x در موردعلامت مثبت را به منهای و سپس در نقطه تغییر می دهد x در موردتابع دارای حداکثر است، در غیر این صورت دارای حداقل است. اگر مشتق هنگام عبور از نقطه بحرانی علامت تغییر نکند، در نقطه x در موردافراطی وجود ندارد

شرط دوم کافیاجازه دهید تابع f (x) مشتق داشته باشد
f "(x) در مجاورت نقطه x در موردو مشتق دوم در همان نقطه x در مورد... اگر f "(x о) = 0،> 0 (<0), то точка x در موردنقطه حداقل محلی (حداکثر) تابع f (x) است. اگر = 0، یا از اولین شرط کافی استفاده کنید یا مشتقات بالاتر را در بر بگیرید.

در یک قطعه، تابع y = f (x) می تواند به کوچکترین یا بزرگترین مقدار در نقاط بحرانی یا در انتهای قطعه برسد.

تحقیق در مورد شرایط و نمودارهای ساختمانی

دامنه یک تابع را پیدا کنید

نقاط تلاقی نمودار را با محورهای مختصات پیدا کنید

فواصل علامت ثبات را پیدا کنید

جست و جوی یکنواختی، عجیب بودن

مجانب نمودار یک تابع را پیدا کنید

فواصل یکنواختی یک تابع را بیابید

حداکثر یک تابع را پیدا کنید

فواصل برآمدگی و نقاط عطف را پیدا کنید

مجانبی از نمودارهای توابع. طرح کلی تحقیق و رسم نمودارهای تابع. مثال ها.

عمودی

مجانب عمودی یک خط مستقیم از فرم است به شرطی که محدودیتی وجود داشته باشد .

به عنوان یک قاعده، هنگام تعیین مجانب عمودی، آنها نه یک حد، بلکه دو یک طرفه (چپ و راست) را جستجو می کنند. این کار به این منظور انجام می‌شود تا مشخص شود که تابع هنگام نزدیک شدن به مجانب عمودی از طرف‌های مختلف چگونه رفتار می‌کند. مثلا:

توجه: به علائم بی نهایت در این برابری ها توجه کنید.

[ویرایش] افقی

مجانب افقی یک خط مستقیم از فرم مشروط به وجود حد است

.

[ویرایش] مایل

مجانب مایل یک خط مستقیم از شکل در شرایط وجود حدود است

نمونه ای از مجانب مایل

1.

نکته: یک تابع حداکثر می تواند دو مجانب مورب (افقی) داشته باشد!

نکته: اگر حداقل یکی از دو حد بالا وجود نداشته باشد (یا برابر باشد)، مجانب مایل در (یا) وجود ندارد!

رابطه بین مجانب مایل و افقی

اگر، هنگام محاسبه حد ، پس واضح است که مجانب مایل با مجانب افقی منطبق است. چه رابطه ای بین این دو نوع مجانب وجود دارد؟

حقیقت، که مجانب افقی حالت خاصی از مایل استدر ، و از اظهارات فوق چنین بر می آید که

1. تابع یا فقط یک مجانب مایل یا یک مجانب عمودی یا یک مجانب مایل و یک عمودی یا دو مایل یا دو عمودی دارد یا اصلاً مجانبی ندارد.

2. وجود مجانبی که در مورد 1 نشان داده شده است.) ارتباط مستقیمی با وجود حدود مربوطه دارد.

نمودار یک تابع با دو مجانب افقی

] یافتن مجانب

ترتیب یافتن مجانب

1. یافتن مجانب عمودی.

2. یافتن دو حد

3. یافتن دو حد:

اگر در مورد 2.)، سپس، و حد توسط فرمول مجانب افقی جستجو می شود، .