Teoria prawdopodobieństwa. Rozwiązywanie problemów (2020)

22.10.2021

Wiemy już, że prawdopodobieństwo jest liczbową miarą możliwości zajścia zdarzenia losowego, czyli zdarzenie, które może wystąpić lub nie w określonych warunkach. Gdy zmienia się zestaw warunków, może zmienić się prawdopodobieństwo zdarzenia losowego. Jako dodatkowy warunek możemy rozważyć wystąpienie innego zdarzenia. Tak więc, jeśli zespół warunków, w których zachodzi zdarzenie losowe A, dodaj jeszcze jeden, polegający na wystąpieniu zdarzenia losowego V, to prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A zostanie nazwany warunkowym.

Warunkowe prawdopodobieństwo zdarzenia A- prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A, pod warunkiem, że wystąpiło zdarzenie B. Oznaczono prawdopodobieństwo warunkowe (A).

Przykład 16. Pudełko zawiera 7 białych i 5 czarnych kulek, różniących się jedynie kolorem. Doświadczenie polega na tym, że jedna piłka jest losowo wyciągana i bez opuszczania jej z powrotem, druga piłka jest wyciągana. Jakie jest prawdopodobieństwo, że druga wylosowana bila będzie czarna, jeśli pierwsza bila zostanie wyciągnięta białą?

Rozwiązanie.

Przed nami dwa losowe zdarzenia: zdarzenie A- pierwsza wyrzucona piłka okazała się biała, V- druga wyrzucona bila jest czarna. A i B są zdarzeniami niespójnymi, użyjemy klasycznej definicji prawdopodobieństwa. Liczba elementarnych wyników przy usuwaniu pierwszej kuli wynosi 12, a liczba korzystnych wyników, aby zdobyć białą kulę, wynosi 7. Dlatego prawdopodobieństwo P (A) = 7/12.

Jeśli pierwsza kula okazała się biała, to warunkowe prawdopodobieństwo zdarzenia V- pojawienie się drugiej czarnej bili (o ile pierwsza była biała) - równa (V)= 5/11, ponieważ przed usunięciem drugiej kuli pozostało 11 kul, z czego 5 jest czarnych.

Zwróć uwagę, że prawdopodobieństwo pojawienia się czarnej kuli przy drugim wydobyciu nie zależałoby od koloru pierwszej wyjętej kuli, jeśli po wyjęciu pierwszej kuli odłożymy ją z powrotem do pudełka.

Rozważ dwa losowe zdarzenia A i B. Niech prawdopodobieństwa P (A) i (B) będą znane. Określmy, jakie jest prawdopodobieństwo wystąpienia zarówno zdarzenia A, jak i zdarzenia B, tj. dzieła tych wydarzeń.

Twierdzenie o mnożeniu prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo iloczynu dwóch zdarzeń jest równe iloczynowi prawdopodobieństwa jednego z nich przez prawdopodobieństwo warunkowe drugiego, obliczone pod warunkiem, że zaszło pierwsze zdarzenie:

P (A × B) = P (A) × (B).

Ponieważ przy obliczaniu prawdopodobieństwa iloczynu nie ma znaczenia, które z rozważanych zdarzeń A oraz V była pierwsza, a która druga, to można napisać:

P (A × B) = P (A) × (B) = P (B) × (A).

Twierdzenie można rozszerzyć do iloczynu n zdarzeń:

P (A 1 A 2. A p) = P (A x) P (A 2 / A 1) .. P (A p / A 1 A 2 ... A p-1).

Przykład 17. Dla warunków z poprzedniego przykładu oblicz prawdopodobieństwo wyciągnięcia dwóch bil: a) najpierw białą, a czarną jako drugą; b) dwie czarne kule.

Rozwiązanie.

a) Z poprzedniego przykładu znamy prawdopodobieństwo wyjęcia najpierw białej bili z pudełka, a drugiej czarnej, pod warunkiem, że najpierw usunięto białą bilę. Aby obliczyć prawdopodobieństwo wystąpienia obu zdarzeń razem, korzystamy z twierdzenia o mnożeniu prawdopodobieństwa: P (A × B) = P (A) × (B) = .

b) Podobnie obliczamy prawdopodobieństwo wyrzucenia dwóch czarnych bil. Prawdopodobieństwo zdobycia najpierw czarnej kuli . Prawdopodobieństwo zdobycia czarnej bili po raz drugi, pod warunkiem, że nie odłożymy pierwszej usuniętej czarnej bili z powrotem do pudełka (pozostały 4 czarne kule, w sumie jest 11 kul). Otrzymane prawdopodobieństwo można obliczyć za pomocą wzoru P (A × B) = P (A) × (B) 0,152.

Twierdzenie o mnożeniu prawdopodobieństwa ma prostszą postać, jeśli zdarzenia A i B są niezależne.

Zdarzenie B jest nazywane niezależnym od zdarzenia A, jeśli prawdopodobieństwo zdarzenia B nie zmienia się w zależności od tego, czy zdarzenie A miało miejsce, czy nie. Jeżeli zdarzenie B jest niezależne od zdarzenia A, to jego warunek (B) jest równy zwykłemu prawdopodobieństwu P (B):

Okazuje się, że jeśli wydarzenie V będzie niezależny od wydarzeń A, to wydarzenie A będzie niezależny od V, tj. (A) = P (A).

Udowodnijmy to. Zastąp równość z definicji niezależności wydarzenia V z wydarzenia A do twierdzenia o mnożeniu prawdopodobieństwa: P (A × B) = P (A) × (B) = P (A) × (B). Ale z drugiej strony P (A × B)= P (B) × (A). Znaczy P (A) × (B) = P (B) × (A) oraz (A) = P (A).

Zatem własność niezależności (lub zależności) zdarzeń jest zawsze wzajemna i można podać następującą definicję: nazywają się dwa wydarzenia niezależny jeśli pojawienie się jednego z nich nie zmienia prawdopodobieństwa pojawienia się drugiego.

Należy zauważyć, że niezależność zdarzeń opiera się na niezależności fizycznej natury ich pochodzenia. Oznacza to, że zestawy czynników losowych prowadzące do takiego lub innego wyniku testowania tego i innego zdarzenia losowego są różne. Na przykład trafienie w cel przez jednego strzelca nie wpływa w żaden sposób (chyba, że istnieją jakieś egzotyczne powody) na prawdopodobieństwo trafienia w cel przez drugiego strzelca. W praktyce zdarzenia niezależne są bardzo powszechne, ponieważ związek przyczynowy zjawisk w wielu przypadkach jest nieobecny lub nieistotny.

Twierdzenie o mnożeniu prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych. Prawdopodobieństwo iloczynu dwóch niezależnych zdarzeń jest równe iloczynowi prawdopodobieństwa tych zdarzeń: P (A × B) = P (A) × P (B).

Następujący wniosek wynika z twierdzenia o mnożeniu dla prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych.

Jeśli zdarzenia A i B są niespójne i P (A) ¹0, P (B) ¹0, to są one zależne.

Udowodnijmy to przez sprzeczność. Załóżmy niespójne zdarzenia A oraz V niezależny. Następnie P (A × B) = P (A) × P (B). A ponieważ P (A) ¹0, P (B) ¹0, tj. rozwój A oraz V nie są więc niemożliwe P (A × B) ¹0. Ale z drugiej strony wydarzenie Až V jest niemożliwe jako produkt niezgodnych zdarzeń (omówiono to powyżej). Znaczy P (A × B) = 0. mam sprzeczność. Zatem nasze początkowe założenie jest błędne. Rozwój A oraz V- zależne.

Przykład 18... Wróćmy teraz do nierozwiązanego problemu dwóch strzelców strzelających do jednego celu. Przypomnijmy, że przy prawdopodobieństwie trafienia w cel przez pierwszego strzelca wynosi 0,8, a drugiego 0,7, konieczne jest znalezienie prawdopodobieństwa trafienia w cel.

Rozwój A oraz V- trafienie w tarczę odpowiednio przez pierwszego i drugiego strzelca - wspólne zatem znalezienie prawdopodobieństwa sumy zdarzeń A + V- trafienie w tarczę przynajmniej jednym strzelcem - należy zastosować wzór: P (A+B) = P (A) + P (B)–P (Až V). Rozwój A oraz V niezależny, zatem P (A × B) = P (A) × P (B).

Więc, P (A+B) = P (A) + P (B) - P (A) × P (B).

P (A+B) = 0,8 + 0,7 - 0,8 × 0,7 = 0,94.

Przykład 19.

Do tego samego celu oddano dwa niezależne strzały. Prawdopodobieństwo trafienia przy pierwszym strzale wynosi 0,6, a przy drugim 0,8. Znajdź prawdopodobieństwo trafienia w cel dwoma strzałami.

1) Oznaczmy trafienie przy pierwszym strzale jako zdarzenie
A 1, z drugim - jako zdarzenie A 2.

Trafienie w tarczę zakłada co najmniej jedno trafienie: albo tylko pierwszym strzałem, albo tylko drugim, albo zarówno pierwszym, jak i drugim. Dlatego w zadaniu wymagane jest wyznaczenie prawdopodobieństwa sumy dwóch wspólnych zdarzeń А 1 i А 2:

P (A 1 + A 2) = P (A 1) + P (A 2) -P (A 1 A 2).

2) Ponieważ zdarzenia są niezależne, to P (A 1 A 2) = P (A 1) P (A 2).

3) Otrzymujemy: P (A 1 + A 2) = 0,6 + 0,8 - 0,6 0,8 = 0,92.
Jeśli zdarzenia są niespójne, to P (AB) = 0 i P (A + B) = = P (A) + P (B).

Przykład 20.

Urna zawiera 2 białe, 3 czerwone i 5 niebieskich kulek tej samej wielkości. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wylosowana kula z urny będzie kolorowa (nie biała)?

1) Niech zdarzenie A będzie wydobyciem czerwonej kuli z urny,
zdarzenie B - wydobycie niebieskiej kuli. Następnie wydarzenie (A + B)
jest wydobycie kolorowej kuli z urny.

2) P (A) = 3/10, P (B) = 5/10.

3) Zdarzenia A i B są niespójne, ponieważ tylko
jedna piłka. Wtedy: P (A + B) = P (A) + P (B) = 0,3 + 0,5 = 0,8.

Przykład 21.

W urnie znajduje się 7 białych i 3 czarne kule. Jakie jest prawdopodobieństwo: 1) usunięcia białej kuli z urny (zdarzenie A); 2) usunięcie białej bili z urny po wyjęciu z niej jednej bili, która jest biała (zdarzenie B); 3) usunięcie białej kuli z urny po wyjęciu z niej jednej kuli, która jest czarna (zdarzenie C)?

1) P (A) = = 0,7 (patrz prawdopodobieństwo klasyczne).

2) Р (А) = = 0, (6).

3) РС (А) = | = 0, (7).

Przykład 22.

Mechanizm składa się z trzech identycznych części i jest uważany za niesprawny, jeśli wszystkie trzy części są niesprawne. W hali montażowej pozostało 15 części, w tym 5 niestandardowych (wadliwych). Jakie jest prawdopodobieństwo, że mechanizm złożony z pozostałych losowo wybranych części nie będzie działał?

1) Pożądane zdarzenie oznaczamy przez A, wybór pierwszej niestandardowej części przez A 1, od drugiej do A 2, od trzeciej do A 3

2) Zdarzenie A wystąpi, jeśli wystąpią zarówno zdarzenie A1, jak i zdarzenie A2 i zdarzenie A3, tj.

A = A 1 A 2 A 3,

ponieważ logiczne „i” odpowiada iloczynowi (patrz rozdział „Algebra zdań. Operacje logiczne”).

3) Zdarzenia A 1, A 2, A 3 są zależne, zatem P (A 1 A 2 A 3) =
= P (A 1) P (A 2 / A 1) P (A 3 / A 1 A 2).

4) P (A 1) =, P (A 2 / A 1) =, P (A 3 / A 1 A 2) =. Następnie

P (A 1 A 2 A 3) = 0,022.

Dla zdarzeń niezależnych: P (A B) = P (A) P (B).

Na podstawie powyższego kryterium niezależności dwóch zdarzeń A i B:

P (A) = P B (A) = P (A), P (B) = P A (B) = P (B).

Przykład 23.

Prawdopodobieństwo trafienia w tarczę przez pierwszego strzelca (zdarzenie A) wynosi 0,9, a prawdopodobieństwo trafienia w tarczę przez drugiego strzelca (zdarzenie B) wynosi 0,8. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w cel trafi przynajmniej jeden strzelec?

1) Niech C będzie interesującym nas wydarzeniem; przeciwnie, obaj strzelcy pudłują.

3) Ponieważ jeden strzelec nie przeszkadza drugiemu podczas strzelania, zdarzenia są niezależne.

Mamy: P () = P () P () = = (1 - 0,9) (1 - 0,8) =

0,1 0,2 = 0,02.

4) P (C) = 1-P () = 1-0,02 = 0,98.

Wzór na całkowite prawdopodobieństwo

Niech zdarzenie A może wystąpić w wyniku manifestacji jednego i tylko jednego zdarzenia H i (i = 1,2, ... n) z jakiejś kompletnej grupy niekompatybilnych zdarzeń H 1, H 2, ... H n . Zdarzenia z tej grupy są powszechnie określane jako hipotezy.

Wzór na prawdopodobieństwo całkowite. Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe sumie sparowanych iloczynów prawdopodobieństw wszystkich hipotez tworzących kompletną grupę przez odpowiednie prawdopodobieństwa warunkowe danego zdarzenia A:

P (A) = , gdzie = 1.

Przykład 24.

Istnieją 3 identyczne urny. W pierwszym - 2 białe i 1 czarna, w drugim - 3 białe i 1 czarna, w trzeciej urnie - 2 białe i 2 czarne. Z losowo wybranej urny wybiera się 1 kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że okaże się biały?

Wszystkie urny są traktowane tak samo, dlatego prawdopodobieństwo wyboru i-tej urny wynosi

Р (Hi) = 1/3, gdzie i = 1, 2, 3.

2) Prawdopodobieństwo usunięcia białej bili z pierwszej urny: (A) =.

Prawdopodobieństwo usunięcia białej bili z drugiej urny: (A) =.

Prawdopodobieństwo usunięcia białej bili z trzeciej urny: (A) =.

3) Prawdopodobieństwo poszukiwania:

P (A) = =0.63(8)

Przykład 25.

Sklep przyjmuje do sprzedaży produkty z trzech fabryk, których względne udziały wynoszą: I - 50%, II - 30%, III - 20%. W przypadku produktów fabryk małżeństwo wynosi odpowiednio: I - 2%, P - 2%, III - 5%. Jakie jest prawdopodobieństwo, że produkt tego produktu, przypadkowo zakupiony w sklepie, będzie dobrej jakości (zdarzenie A)?

1) Możliwe są tutaj trzy następujące hipotezy: H 1, H 2, H 3 -
zakupiony przedmiot został opracowany odpowiednio w zakładach I, II, III; system tych hipotez jest kompletny.

Prawdopodobieństwo: P (H 1) = 0,5; P (H2) = 0,3; P (H3) = 0,2.

2) Odpowiednie warunkowe prawdopodobieństwa zdarzenia A wynoszą: (A) = 1-0,02 = 0,98; (A) = 1-0,03 = 0,97; (A) = = 1-0,05 = 0,95.

3) Zgodnie ze wzorem na prawdopodobieństwo całkowite mamy: P (A) = 0,5 0,98 + + 0,3 0,97 + 0,2 0,95 = 0,971.

Formuła prawdopodobieństwa a posteriori (formuła Bayesa)

Rozważmy sytuację.

Istnieje kompletna grupa niespójnych hipotez H 1, H 2, ... H n, których prawdopodobieństwa (i = 1, 2, ... p) są znane przed eksperymentem (prawdopodobieństwa są a priori). Przeprowadzany jest eksperyment (test), w wyniku którego zarejestrowano wystąpienie zdarzenia A i wiadomo, że nasze hipotezy przypisywały temu zdarzeniu pewne prawdopodobieństwa (i = 1, 2, ... n). Jakie są prawdopodobieństwa tych hipotez po eksperymencie (prawdopodobieństwa a posteriori)?

Odpowiedź na to pytanie daje wzór prawdopodobieństwa a posteriori (wzór Bayesa):

, gdzie i = 1,2, ... s.

Przykład 26.

Prawdopodobieństwo trafienia samolotu jednym strzałem dla 1. systemu rakietowego (zdarzenie A) wynosi 0,2, a dla drugiego (zdarzenie B) – 0,1. Każdy z kompleksów oddaje jeden strzał i rejestrowane jest jedno trafienie w samolot (zdarzenie C). Jakie jest prawdopodobieństwo, że celny strzał należy do pierwszego systemu rakietowego?

Rozwiązanie.

1) Przed eksperymentem możliwe są cztery hipotezy:

H 1 = А В - samolot uderza w pierwszy kompleks, a samolot uderza w drugi kompleks (iloczyn odpowiada logicznemu „i”),

H 2 = А В - samolot uderza I kompleksem, a samolot nie uderza II kompleksem,

H 3 = А В - samolot nie jest uderzany przez 1 kompleks, a samolot uderza przez 2 kompleks,

H 4 = А В - samolot nie jest uderzany przez pierwszy kompleks i samolot nie jest uderzany przez drugi kompleks.

Hipotezy te tworzą kompletną grupę wydarzeń.

2) Odpowiednie prawdopodobieństwa (z niezależnym działaniem kompleksów):

P (H1) = 0,2 0,1 = 0,02;

P(H2) = 0,2 (1-0,1) = 0,18;

P (H3) = (1-0,2) 0,1 = 0,08;

P (H 4) = (1-0,2) (1-0,1) = 0,72.

3) Ponieważ hipotezy tworzą kompletną grupę zdarzeń, równość = 1 musi być spełniona.

Sprawdzamy: P (H 1) + P (H 2) + P (H 3) + P (H 4) = 0,02 + 0,18 + + 0,08 + 0,72 = 1, zatem hipoteza badanej grupy jest poprawna.

4) Prawdopodobieństwa warunkowe dla obserwowanego zdarzenia С w ramach tych hipotez będą wynosić: (С) = 0, ponieważ zgodnie ze stanem problemu zarejestrowano jedno trafienie, a hipoteza H 1 zakłada dwa trafienia:

(С) = 0, ponieważ zgodnie ze stwierdzeniem problemu zarejestrowano jedno trafienie, a hipoteza H 4 zakłada brak trafień. W konsekwencji znikają hipotezy H 1 i H 4 .

5) Prawdopodobieństwa hipotez H 2 i H 3 oblicza się za pomocą wzoru Bayesa:

0,7, 0,3.

Tak więc z prawdopodobieństwem około 70% (0,7) można argumentować, że udany strzał należy do pierwszego systemu rakietowego.

5.4. Zmienne losowe. Prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej

Dość często w praktyce brane są pod uwagę takie testy, w wyniku których realizacji uzyskuje się pewną liczbę losowo. Np. rzucając kostką, liczba punktów spada z 1 do 6, biorąc 6 kart z talii, możesz uzyskać od 0 do 4 asów. Przez pewien czas (powiedzmy dzień lub miesiąc) w mieście rejestrowana jest pewna liczba przestępstw, dochodzi do pewnej liczby wypadków drogowych. Z pistoletu pada strzał. Zasięg pocisku również nabiera losowej wartości.

We wszystkich tych testach mamy do czynienia z tzw. zmiennymi losowymi.

Wartość liczbowa, która w wyniku wykonania testu w sposób losowy przyjmuje określoną wartość, nazywa się zmienna losowa.

Pojęcie zmiennej losowej odgrywa bardzo ważną rolę w teorii prawdopodobieństwa. Jeśli „klasyczna” teoria prawdopodobieństwa zajmowała się głównie zdarzeniami losowymi, to współczesna teoria prawdopodobieństwa zajmuje się głównie zmiennymi losowymi.

W dalszej części zmienne losowe będziemy oznaczać wielkimi literami łacińskimi X, Y, Z itd., a ich możliwe wartości - odpowiednimi małymi literami x, y, z. Na przykład, jeśli zmienna losowa ma trzy możliwe wartości, to oznaczymy je następująco:,,.

Przykładami zmiennych losowych mogą być:

1) liczba punktów upuszczonych na górnej krawędzi kostek:

2) liczbę asów przy wyciąganiu 6 kart z talii;

3) liczbę zarejestrowanych przestępstw na dzień lub miesiąc;

4) liczbę trafień w tarczę czterema strzałami z pistoletu;

5) odległość, na jaką przeleci pocisk wystrzelony z broni;

6) wzrost losowo wybranej osoby.

Można zauważyć, że w pierwszym przykładzie zmienna losowa może przyjąć jedną z sześciu możliwych wartości: 1, 2, 3, 4, 5 i 6. W drugim i czwartym przykładzie liczba możliwych wartości zmiennej losowej jest pięć: 0, 1, 2, 3, 4 W trzecim przykładzie wartością zmiennej losowej może być dowolna (teoretycznie) liczba naturalna lub 0. W piątym i szóstym przykładzie zmienna losowa może przyjąć dowolną wartość rzeczywistą z pewien przedział ( a, b).

Jeśli zmienna losowa może przyjmować skończony lub przeliczalny zbiór wartości, nazywa się ją oddzielny(dystrybucja dyskretnie).

Ciągły Zmienna losowa to zmienna losowa, która może przyjmować wszystkie wartości z pewnego skończonego lub nieskończonego przedziału.

Aby określić zmienną losową, nie wystarczy podać jej różne wartości. Na przykład w drugim i trzecim przykładzie zmienne losowe mogą przyjmować te same wartości: 0, 1, 2, 3 i 4. Jednak prawdopodobieństwa, z jakimi te zmienne losowe przyjmą swoje wartości, będą zupełnie inne. Dlatego, aby określić dyskretną zmienną losową, oprócz listy wszystkich jej możliwych wartości, należy również wskazać ich prawdopodobieństwa.

Zależność między możliwymi wartościami zmiennej losowej a ich prawdopodobieństwami nazywa się prawo dystrybucyjne Dyskretna zmienna losowa. , ..., X =

Wielokąt rozkładu, jak również szereg rozkładów, całkowicie charakteryzuje zmienną losową. Jest to forma prawa dystrybucyjnego.

Przykład 27. Moneta jest rzucana losowo. Skonstruuj serię i wielokąt rozkładu liczby upuszczonych emblematów.

Zmienna losowa równa liczbie porzuconych herbów może przyjmować dwie wartości: 0 i 1. Wartość 1 odpowiada zdarzeniu - herb został porzucony, wartość 0 - ogonowi. Prawdopodobieństwo wypadnięcia z herbu i wypadnięcia z ogona jest jednakowe i równe. Te. prawdopodobieństwa, z jakimi zmienna losowa przyjmuje wartości 0 i 1, są równe. Seria dystrybucji przedstawia się następująco:

x
P

Przykład 1. W pierwszej urnie: trzy czerwone, jedna biała kula. W drugiej urnie: jedna czerwona, trzy białe kule. Moneta jest rzucana losowo: jeśli herb jest wybrany z pierwszej urny, w przeciwnym razie - z drugiej.
Rozwiązanie:
a) prawdopodobieństwo wylosowania bili czerwonej
A - dostał czerwoną piłkę
P 1 - herb opadł, P 2 - inaczej

b) Wybrano czerwoną piłkę. Znajdź prawdopodobieństwo, że pochodzi z pierwszej urny, z drugiej urny.
B 1 - z pierwszej urny, B 2 - z drugiej urny
,

Przykład 2. W pudełku są 4 piłki. Może być: tylko biały, tylko czarny lub biało-czarny. (Skład nieznany).
Rozwiązanie:
A to prawdopodobieństwo pojawienia się białej kuli
a) Cały biały:
(prawdopodobieństwo, że jedna z trzech opcji zostanie złapana tam, gdzie są białe)
(prawdopodobieństwo pojawienia się białej bili tam, gdzie wszyscy są biali)

b) Wyciągnięty tam, gdzie wszyscy są czarni

c) wyciągnięty wariant gdzie wszystkie są białe i/lub czarne

- przynajmniej jeden z nich jest biały

P a + P b + P c =

Przykład 3. W urnie znajduje się 5 białych i 4 czarne kule. Wyciąga się z niego 2 kulki z rzędu. Znajdź prawdopodobieństwo, że obie kule są białe.
Rozwiązanie:
5 białych, 4 czarne kule
P (A 1) - wyjął białą bilę

P (A 2) - prawdopodobieństwo, że druga bila też jest biała

P (A) - w rzędzie wybrano kulki białe

Przykład 3a. Pakiet zawiera 2 fałszywe i 8 prawdziwych banknotów. Z pakietu wyciągnięto 2 banknoty z rzędu. Znajdź prawdopodobieństwo, że oba są fałszywe.
Rozwiązanie:
P (2) = 2/10 * 1/9 = 1/45 = 0,022

Przykład 4. Jest 10 urn. Jest 9 urn z 2 czarnymi i 2 białymi kulami. W 1 urnie jest 5 białych i 1 czarny. Z losowo wyjętej urny wyjęto piłkę.
Rozwiązanie:
P (A) -? biała kula jest pobierana z urny, gdzie 5 jest białych
B - prawdopodobieństwo wyjęcia z urny, gdzie 5 jest białych
, - usunięte z innych
C 1 - prawdopodobieństwo pojawienia się białej kuli na 9 lvl.

С 2 - prawdopodobieństwo pojawienia się białej kuli, gdzie jest 5

P (A 0) = P (B 1) P (C 1) + P (B 2) P (C 2)

Przykład 5. 20 walców cylindrycznych i 15 stożkowych. Kolektor zajmuje 1 walec, a następnie drugi.
Rozwiązanie:
a) obie rolki są cylindryczne
P (Ts 1) =; P (C2) =
Ц 1 - pierwszy cylinder, Ц 2 - drugi cylinder
P (A) = P (C 1) P (C 2) =
b) Co najmniej jedna butla
K 1 - pierwszy stożek.
K 2 - drugi stożek.
P (B) = P (C 1) P (K 2) + P (C 2) P (K 1) + P (C 1) P (C 2)
;

c) pierwszy cylinder, a drugi nie jest
P (K) = P (K 1) P (K 2)

e) Ani jednej butli.
P (D) = P (K 1) P (K 2)

f) Dokładnie 1 cylinder
P (E) = P (C 1) P (K 2) + P (K 1) P (K 2)

Przykład 6. W pudełku znajduje się 10 części standardowych i 5 części wadliwych.
Trzy części są wyciągane losowo
a) Jeden z nich jest uszkodzony
P n (K) = C n k p k q n-k,
P to prawdopodobieństwo wadliwych produktów

q to prawdopodobieństwo części standardowych

n = 3, trzy części

b) dwie z trzech części wadliwego P (2)
c) co najmniej jeden standard
P (0) -brak wad

P = P (0) + P (1) + P (2) - prawdopodobieństwo, że przynajmniej jedna część będzie standardowa

Przykład 7. W pierwszej urnie są 3 białe i czarne bile, a w drugiej 3 białe i 4 czarne bile. 2 kule są przesuwane z pierwszej urny do drugiej bez patrzenia, a następnie dobierane są 2 kule z drugiej. Jakie jest prawdopodobieństwo, że mają różne kolory?
Rozwiązanie:
Przy przenoszeniu kulek z pierwszej urny możliwe są następujące opcje:
a) wyjął 2 białe bile z rzędu
P BB 1 =
W drugim kroku zawsze będzie jedna piłka mniej, ponieważ w pierwszym kroku jedna piłka została już wyjęta.
b) wyjął jedną białą i jedną czarną bilę
Sytuacja, w której najpierw wyjęto białą bilę, a potem czarną
P głowica =
Sytuacja, w której najpierw wyjęto czarną bilę, a potem białą
P BW =
Razem: P głowica bojowa 1 =
c) wyjął 2 czarne kule z rzędu
PHH 1 =
Ponieważ 2 kule zostały przeniesione z pierwszej urny do drugiej urny, łączna liczba kulek w drugiej urnie wyniesie 9 (7 + 2). W związku z tym poszukamy wszystkich możliwych opcji:
a) najpierw wyjęto białą, potem czarną kulę z drugiej urny

P БЧ 2 P ББ 1 - oznacza prawdopodobieństwo, że najpierw wyjęto białą, a potem czarną kulę, pod warunkiem, że z pierwszej urny z rzędu zostały wyjęte 2 białe kule. Dlatego liczba białych kulek w tym przypadku wynosi 5 (3 + 2).
P CU 2 P CU 1 - oznacza prawdopodobieństwo, że najpierw wyjęli białą, a następnie czarną bilę, pod warunkiem, że biała i czarna zostały wyjęte z pierwszej urny. Dlatego liczba białych kul w tym przypadku wynosi 4 (3 + 1), a liczba czarnych to pięć (4 + 1).
P BCH 2 P HH 1 - oznacza prawdopodobieństwo wyjęcia najpierw białej, a potem czarnej kuli, pod warunkiem, że obie czarne kule zostały wyjęte z pierwszej urny z rzędu. Dlatego liczba czarnych kulek w tym przypadku wynosi 6 (4 + 2).

Prawdopodobieństwo, że wylosowane 2 kule będą różnych kolorów, wynosi:

Odpowiedź: P = 0,54

Przykład 7a. Z pierwszej urny zawierającej 5 białych i 3 czarne kule, 2 kule zostały losowo przeniesione do drugiej urny zawierającej 2 białe i 6 czarnych kul. Następnie z drugiej urny pobrano losowo 1 piłkę.
1) Jakie jest prawdopodobieństwo, że kula wyjęta z drugiej urny okazała się biała?
2) Kula wyjęta z drugiej urny okazała się biała. Oblicz prawdopodobieństwo przeniesienia kulek o różnych kolorach z 1. urny do 2. urny.
Rozwiązanie.
1) Zdarzenie A – kula wyjęta z drugiej urny okazała się biała. Rozważ następujące opcje wystąpienia tego zdarzenia.
a) Z pierwszej urny włożono dwie białe kulki do drugiej: P1 (bb) = 5/8 * 4/7 = 20/56.
W drugiej urnie są 4 białe kule. Wtedy prawdopodobieństwo usunięcia białej kuli z drugiej urny wynosi P2 (4) = 20/56 * (2 + 2) / (6 + 2) = 80/448
b) Białe i czarne kule zostały umieszczone z pierwszej urny do drugiej: P1 (bch) = 5/8 * 3/7 + 3/8 * 5/7 = 30/56.
W drugiej urnie są 3 białe kule. Wtedy prawdopodobieństwo usunięcia białej kuli z drugiej urny wynosi P2 (3) = 30/56 * (2 + 1) / (6 + 2) = 90/448
c) Dwie czarne kulki zostały umieszczone z pierwszej urny w drugiej: P1 (hh) = 3/8 * 2/7 = 6/56.
W drugiej urnie są 2 białe kule. Wtedy prawdopodobieństwo usunięcia białej kuli z drugiej urny wynosi P2 (2) = 6/56 * 2 / (6 + 2) = 12/448
Wtedy prawdopodobieństwo, że kula wyjęta z drugiej urny okazała się biała wynosi:
P (A) = 80/448 + 90/448 + 12/448 = 13/32

2) Kula zabrana z drugiej urny okazała się biała, tj. całkowite prawdopodobieństwo wynosi P (A) = 13/32.
Wybrano prawdopodobieństwo przeniesienia kulek o różnych kolorach (czarno-białych) do drugiej urny i bieli: P2 (3) = 30/56 * (2 + 1) / (6 + 2) = 90/448
P = P2 (3) / P (A) = 90/448 / 13/32 = 45/91

Przykład 7b. W pierwszej urnie jest 8 białych i 3 czarne kule, w drugiej 5 białych i 3 czarne kule. Jedna piłka jest wybierana losowo z pierwszej, a dwie z drugiej. Następnie z wybranych trzech piłek losowo wybiera się jedną piłkę. Ta ostatnia piłka okazała się czarna. Znajdź prawdopodobieństwo, że z pierwszej urny została wybrana biała kula.
Rozwiązanie.
Rozważ wszystkie warianty zdarzenia A - z trzech piłek usunięta piłka okazała się czarna. Jak to się mogło stać, że wśród trzech piłek była jedna czarna?
a) Czarna kula została wyjęta z pierwszej urny, dwie białe kule zostały wyjęte z drugiej urny.
P1 = (3/11) (5/8 * 4/7) = 15/154
b) Czarna kula została wyjęta z pierwszej urny, dwie czarne kule zostały wyjęte z drugiej urny.
P2 = (3/11) (3/8 * 2/7) = 9/308
c) Czarna kula została wyjęta z pierwszej urny, jedna biała i jedna czarna została wyjęta z drugiej urny.
P3 = (3/11) (3/8 * 5/7 + 5/8 * 3/7) = 45/308
d) Biała bila została wyjęta z pierwszej urny, dwie czarne bile zostały wyjęte z drugiej urny.
P4 = (8/11) (3/8 * 2/7) = 6/77
e) Białą bilę wyjęto z pierwszej urny, jedną białą i jedną czarną wyjęto z drugiej urny.
P5 = (8/11) (3/8 * 5/7 + 5/8 * 3/7) = 30/77
Całkowite prawdopodobieństwo wynosi: P = P1 + P2 + P3 + P4 + P5 = 15/154 + 9/308 + 45/308 + 6/77 + 30/77 = 57/77
Prawdopodobieństwo wybrania białej kuli z białej urny wynosi:
Pb (1) = P4 + P5 = 6/77 + 30/77 = 36/77
Wtedy prawdopodobieństwo, że z pierwszej urny została wybrana bila biała, pod warunkiem, że z trzech bil została wybrana czarna, wynosi:
Ph = Pb (1) / P = 36/77 / 57/77 = 36/57

Przykład 7c. W pierwszej urnie znajduje się 12 białych i 16 czarnych kul, w drugiej 8 białych i 10 czarnych kul. W tym samym czasie z pierwszej i drugiej urny wyciąga się kulę, miesza się ją i zwraca pojedynczo do każdej urny. Następnie z każdej urny wyciąga się kulę. Okazało się, że są tego samego koloru. Określ prawdopodobieństwo, że w pierwszej urnie pozostało tyle białych kul, ile było na początku.

Rozwiązanie.
Zdarzenie A - wyciągnięcie piłki z pierwszej i drugiej urny jednocześnie.
Prawdopodobieństwo wyciągnięcia białej kuli z pierwszej urny: P1 (B) = 12 / (12 + 16) = 12/28 = 3/7
Prawdopodobieństwo wyciągnięcia czarnej kuli z pierwszej urny: P1 (H) = 16 / (12 + 16) = 16/28 = 4/7
Prawdopodobieństwo wyciągnięcia białej kuli z drugiej urny: P2 (B) = 8/18 = 4/9
Prawdopodobieństwo wyciągnięcia czarnej kuli z drugiej urny: P2 (H) = 10/18 = 5/9

Wydarzenie A miało miejsce. Zdarzenie B - z każdej urny wyciągana jest kula. Po zmieszaniu prawdopodobieństwo powrotu kuli białej lub czarnej do urny wynosi ½.
Rozważmy warianty zdarzenia B - okazały się mieć ten sam kolor.

Za pierwszą urnę
1) w pierwszej urnie włożyć białą kulę, a białą wyciągnąć, pod warunkiem, że biała kula została wyciągnięta wcześniej, P1 (BB / A = B) = ½ * 12/28 * 3/7 = 9/98
2) do pierwszej urny włożono białą kulę i wyciągnięto białą, pod warunkiem, że wcześniej wyciągnięto czarną kulę, P1 (BB / A = H) = ½ * 13/28 * 4/ 7 = 13/98
3) w pierwszej urnie włożyć białą kulę, a czarną wyciągnąć, pod warunkiem, że wcześniej wyciągnięto białą kulę, P1 (BCH / A = B) = ½ * 16/28 * 3/7 = 6/ 49
4) włożyć białą bilę do pierwszej urny i wyciągnąć czarną, pod warunkiem, że wcześniej wyciągnięto czarną bilę, P1 (BCH / A = H) = ½ * 15/28 * 4/7 = 15 /98
5) włożyć czarną kulę do pierwszej urny i wyciągnąć białą kulę, pod warunkiem, że biała kula została wyciągnięta wcześniej, P1 (BW / A = B) = ½ * 11/28 * 3/7 = 33/ 392
6) do pierwszej urny włożono kulę czarną, a wyciągnięto białą, pod warunkiem, że wcześniej wyciągnięto kulę czarną, P1 (BW / A = H) = ½ * 12/28 * 4/7 = 6/49
7) włożyć czarną kulę do pierwszej urny i wyciągnąć czarną, pod warunkiem, że wcześniej wyciągnięto białą kulę, P1 (HH / A = B) = ½ * 17/28 * 3/7 = 51/ 392
8) włożyć czarną kulę do pierwszej urny i wyciągnąć czarną kulę, pod warunkiem, że czarną kulę wyciągnięto wcześniej, P1 (HH / A = H) = ½ * 16/28 * 4/7 = 8/ 49

Do drugiej urny
1) w pierwszej urnie włożyć białą kulę, a białą wyciągnąć, pod warunkiem, że wcześniej wyciągnięto białą kulę, P1 (BB / A = B) = ½ * 8/18 * 3/7 = 2 /21
2) w pierwszej urnie włożyć białą kulę, a białą wyciągnąć, pod warunkiem, że wcześniej wyciągnięto czarną kulę, P1 (BB / A = H) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/7
3) włóż białą bilę do pierwszej urny i wyciągnij czarną, pod warunkiem, że wcześniej została wyciągnięta biała, P1 (BCH / A = B) = ½ * 10/18 * 3/7 = 5 /42
4) do pierwszej urny włożono białą kulę i wyciągnięto czarną, pod warunkiem, że wcześniej wyciągnięto czarną kulę, P1 (BCH / A = H) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/7
5) do pierwszej urny włożono kulę czarną i wyciągnięto kulę białą, pod warunkiem, że wcześniej wyciągnięto kulę białą, P1 (BW / A = B) = ½ * 7/18 * 3/7 = 1/12
6) włożyć czarną kulę do pierwszej urny i wyciągnąć białą, pod warunkiem, że wcześniej wyciągnięto czarną kulę, P1 (BW / A = H) = ½ * 8/18 * 4/7 = 8/ 63
7) włożyć czarną kulę do pierwszej urny i wyciągnąć czarną, pod warunkiem, że wcześniej wyciągnięto białą kulę, P1 (HH / A = B) = ½ * 11/18 * 3/7 = 11/ 84
8) włożyć czarną kulę do pierwszej urny i wyciągnąć czarną, pod warunkiem, że czarną kulę wyciągnięto wcześniej, P1 (HH / A = H) = ½ * 10/18 * 4/7 = 10/ 63

Kulki okazały się mieć ten sam kolor:
biały
P1 (B) = P1 (BB / A = B) + P1 (BB / A = H) + P1 (BW / A = B) + P1 (BW / A = H) = 9/98 + 13 /98 + 33 / 392 + 6/49 = 169/392
P2 (B) = P1 (BB / A = B) + P1 (BB / A = H) + P1 (BW / A = B) + P1 (BW / A = H) = 2/21 + 1 /7 + 1/12 + 8/63 = 113/252
b) czarny
P1 (H) = P1 (BCH / A = B) + P1 (BCH / A = H) + P1 (HH / A = B) + P1 (HH / A = H) = 6/49 + 15/98 + 51 / 392 + 8/49 = 223/392
P2 (H) = P1 (BCH / A = B) + P1 (BCH / A = H) + P1 (HH / A = B) + P1 (HH / A = H) = 5/42 + 1/7 + 11 / 84 + 10/63 = 139/252

P = P1 (B) * P2 (B) + P1 (H) * P2 (H) = 169/392 * 113/252 + 223/392 * 139/252 = 5/42

Przykład 7d. W pierwszym pudełku znajduje się 5 białych i 4 niebieskich kulek, w drugim 3 i 1, aw trzecim odpowiednio 4 i 5. Pudełko zostało wybrane losowo i wyjęta z niego kulka okazała się niebieska. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ta piłka pochodzi z drugiego pudełka?

Rozwiązanie.
A - zdarzenie wydobycia niebieskiej kuli. Rozważ wszystkie opcje wyniku takiego wydarzenia.
H1 - wyciągnięta piłka z pierwszego pudełka,
H2 - wyciągnięta kulka z drugiego pudełka,
H3 - wyciągnięta piłka z trzeciego pudełka.
P (H1) = P (H2) = P (H3) = 1/3
W zależności od stanu problemu, warunkowe prawdopodobieństwa zdarzenia A są równe:
P (A | H1) = 4 / (5 + 4) = 4/9
P (A | H2) = 1 / (3 + 1) = 1/4
P (A | H3) = 5 / (4 + 5) = 5/9
P (A) = P (H1) * P (A | H1) + P (H2) * P (A | H2) + P (H3) * P (A | H3) = 1/3 * 4/9 + 1 / 3 * 1/4 + 1/3 * 5/9 = 5/12
Prawdopodobieństwo, że ta piłka z drugiego pudełka jest równa:
P2 = P (H2) * P (A | H2) / P (A) = 1/3 * 1/4/5/12 = 1/5 = 0,2

Przykład 8. Pięć pudełek po 30 kulek zawiera 5 czerwonych kulek (jest to pudełko o składzie H1), sześć innych pudełek po 20 kulek zawiera 4 czerwone kulki (jest to pudełko o składzie H2). Znajdź prawdopodobieństwo, że w jednym z pierwszych pięciu pudełek znajduje się losowa czerwona kulka.
Rozwiązanie: Zadanie polegające na zastosowaniu wzoru na prawdopodobieństwo całkowite.

Prawdopodobieństwo, że każdy wzięta piłka znajduje się w jednym z pierwszych pięciu pudełek:
P (H 1) = 5/11
Prawdopodobieństwo, że każdy wzięta piłka znajduje się w jednym z sześciu pudełek:
P (H 2) = 6/11
Wydarzenie się wydarzyło - wyciągnęli czerwoną piłkę. Dlatego może się to zdarzyć w dwóch przypadkach:
a) wyciągnięty z pierwszych pięciu pudełek.
P 5 = 5 czerwonych kulek * 5 pudełek / (30 kulek * 5 pudełek) = 1/6
P (P 5 / H 1) = 1/6 * 5/11 = 5/66
b) wyciągnięty z sześciu innych pudełek.
P 6 = 4 czerwone kulki * 6 pudełek / (20 kulek * 6 pudełek) = 1/5
P (P 6 / H 2) = 1/5 * 6/11 = 6/55
Suma: P (P 5 / H 1) + P (P 6 / H 2) = 5/66 + 6/55 = 61/330
Dlatego prawdopodobieństwo, że losowa czerwona kulka znajduje się w jednym z pierwszych pięciu pól, wynosi:
P k.sz. (H1) = P (P 5 / H 1) / (P (P 5 / H 1) + P (P 6 / H 2)) = 5/66/61/330 = 25/61

Przykład 9. W urnie znajdują się 2 białe, 3 czarne i 4 czerwone kule. Wyjmij losowo trzy kulki. Jakie jest prawdopodobieństwo, że co najmniej dwie kule będą miały ten sam kolor?
Rozwiązanie. W sumie istnieją trzy możliwe wyniki wydarzeń:
a) wśród trzech wylosowanych bil są co najmniej dwie białe bile.
Pb(2) = P2b
Całkowita liczba możliwych wyników elementarnych tych testów jest równa liczbie sposobów, w jakie można wydobyć 3 kule z 9:

Znajdź prawdopodobieństwo, że spośród wybranych 3 kul 2 są białe.

Ilość opcji do wyboru 2 białe kule:

Ilość opcji do wyboru 7 innych kulek trzecia kula:

b) spośród trzech wylosowanych bil co najmniej dwie są czarne (tj. 2 czarne lub 3 czarne).
Znajdź prawdopodobieństwo, że spośród wybranych 3 kul 2 są czarne.

Liczba wyborów z 3 czarnych kul:

Ilość opcji do wyboru z 6 innych kul tej samej kuli:

P 2h = 0,214
Znajdźmy prawdopodobieństwo, że wszystkie wybrane kule są czarne.

P h (2) = 0,214 + 0,0119 = 0,2259

c) wśród trzech wylosowanych bil były co najmniej dwie czerwone (tj. 2 czerwone lub 3 czerwone).
Znajdźmy prawdopodobieństwo, że spośród wybranych 3 kul 2 są czerwone.

Liczba wyborów z 4 czarnych kul:

Ilość opcji do wyboru 5 kul białych, pozostałe 1 białe:

Znajdźmy prawdopodobieństwo, że wszystkie wybrane kule są czerwone.

Pk (2) = 0,357 + 0,0476 = 0,4046
Wtedy prawdopodobieństwo, że co najmniej dwie kulki będą tego samego koloru, wynosi: P = P b (2) + P h (2) + P k (2) = 0,0833 + 0,2259 + 0,4046 = 0,7138

Przykład 10. Pierwsza urna zawiera 10 kul, z których 7 jest białych; w drugiej urnie znajduje się 20 kul, z czego 5 jest białych. Z każdej urny pobrano losowo jedną kulę, a następnie jedną losowo pobrano z tych dwóch kul. Znajdź prawdopodobieństwo zdobycia białej bili.
Rozwiązanie. Prawdopodobieństwo usunięcia białej kuli z pierwszej urny wynosi P (b) 1 = 7/10. W związku z tym prawdopodobieństwo wylosowania czarnej kuli wynosi P (h) 1 = 3/10.
Prawdopodobieństwo usunięcia białej kuli z drugiej urny wynosi P (b) 2 = 5/20 = 1/4. W związku z tym prawdopodobieństwo wylosowania czarnej kuli wynosi P (h) 2 = 15/20 = 3/4.
Zdarzenie A – z dwóch bil brana jest biała bila
Rozważ opcje dotyczące wyniku zdarzenia A.

biała kula została wyciągnięta z pierwszej urny, biała kula została wyciągnięta z drugiej urny. Następnie z tych dwóch bil wyciągnięto białą bilę. P1 = 7/10 * 1/4 = 7/40
biała kula została wyciągnięta z pierwszej urny, czarna kula została wyciągnięta z drugiej urny. Następnie z tych dwóch bil wyciągnięto białą bilę. P2 = 7/10 * 3/4 = 21/40
czarna kula została wyciągnięta z pierwszej urny, a biała została wyjęta z drugiej urny. Następnie z tych dwóch bil wyciągnięto białą bilę. P3 = 3/10 * 1/4 = 3/40

Zatem prawdopodobieństwo można znaleźć jako sumę powyższych prawdopodobieństw.
P = P1 + P2 + P3 = 7/40 + 21/40 + 3/40 = 31/40

Przykład 11. W pudełku znajduje się n piłek tenisowych. Spośród nich grał m.in. W pierwszym meczu dwie piłki zostały losowo wybrane, a po meczu zostały odłożone. W drugiej grze losowo wzięli również dwie piłki. Jakie jest prawdopodobieństwo, że drugi mecz zostanie rozegrany nowymi piłkami?
Rozwiązanie. Weźmy pod uwagę wydarzenie A - gra została rozegrana po raz drugi z nowymi piłkami. Zobaczmy, jakie wydarzenia mogą do tego doprowadzić.
Oznaczmy przez g = n-m liczbę nowych kulek przed wyciągnięciem.
a) dwie nowe kule zostały wyciągnięte w pierwszym meczu.
P1 = g / n * (g-1) / (n-1) = g (g-1) / (n (n-1))
b) w pierwszym gemie jedna nowa piłka została wyciągnięta, a jedna już zagrana.
P2 = g / n * m / (n-1) + m / n * g / (n-1) = 2 mg / (n (n-1))
c) w pierwszym meczu wylosowano dwie kule.
P3 = m / n * (m-1) / (n-1) = m (m-1) / (n (n-1))

Rozważ wydarzenia z drugiej gry.
a) Wyciągnęliśmy dwie nowe kule, pod warunkiem P1: skoro już wyciągnęliśmy nowe kule do pierwszej partii, to w drugiej partii ich liczba zmniejszyła się o 2, g-2.
P (A / P1) = (g-2) / n * (g-2-1) / (n-1) * P1 = (g-2) / n * (g-2-1) / (n- 1) * g (g-1) / (n (n-1))
b) Wyciągnęliśmy dwie nowe kule, pod warunkiem P2: skoro jedna nowa piłka została już wyciągnięta w pierwszym gemie, to w drugim gemie ich liczba zmniejszyła się o 1, g-1.
P (A / P2) = (g-1) / n * (g-2) / (n-1) * P2 = (g-1) / n * (g-2) / (n-1) * 2mg / (n (n-1))
c) Wyciągnęliśmy dwie nowe kule, pod warunkiem P3: ponieważ w pierwszym gemie nie użyto żadnych nowych bil, ich liczba nie zmieniła się w drugim gemie g.
P (A / P3) = g / n * (g-1) / (n-1) * P3 = g / n * (g-1) / (n-1) * m (m-1) / (n (n-1)

Całkowite prawdopodobieństwo P (A) = P (A / P1) + P (A / P2) + P (A / P3) = (g-2) / n * (g-2-1) / (n-1) * g (g-1) / (n (n-1) + (g-1) / n * (g-2) / (n-1) * 2mg / (n (n-1)) + g / n * (g-1) / (n-1) * m (m-1) / (n (n-1)) = (n-2) (n-3) (nm-1) (nm) / (( n-1) ^ 2 * n ^ 2)
Odpowiedź: P (A) = (n-2) (n-3) (n-m-1) (n-m) / ((n-1) ^ 2 * n ^ 2)

Przykład 12. W pierwszym, drugim i trzecim polu znajdują się 2 białe i 3 czarne kule, w czwartym i piątym polu 1 biała i 1 czarna kula. Pudełko jest losowo wybierane i wyjmuje się z niego kulę. Jakie jest warunkowe prawdopodobieństwo wybrania czwartego lub piątego pola, jeśli wylosowana bila jest biała?
Rozwiązanie.
Prawdopodobieństwo wybrania każdego pudełka wynosi P (H) = 1/5.
Rozważmy warunkowe prawdopodobieństwa zdarzenia A - wydobycie białej kuli.
P (A | H = 1) = 2/5
P (A | H = 2) = 2/5
P (A | H = 3) = 2/5
P (A | H = 4) = ½
P (A | H = 5) = ½
Całkowite prawdopodobieństwo wylosowania bili białej:
P (A) = 2/5 * 1/5 + 2/5 * 1/5 + 2/5 * 1/5 + 1/2 * 1/5 + 1/2 * 1/5 = 0,44
Warunkowe prawdopodobieństwo zaznaczenia czwartego pola
P (H = 4 | A) = 1/2 * 1/5 / 0,44 = 0,2273
Warunkowe prawdopodobieństwo zaznaczenia piątego pola
P (H = 5 | A) = 1/2 * 1/5 / 0,44 = 0,2273
Łącznie warunkowe prawdopodobieństwo wybrania czwartego lub piątego pola wynosi
P (H = 4, H = 5 | A) = 0,2273 + 0,2273 = 0,4546

Przykład 13. W urnie było 7 białych i 4 czerwone kule. Następnie do urny włożono kolejną białą, czerwoną lub czarną kulę i po wymieszaniu wyjęto jedną kulę. Okazało się, że jest czerwony. Jakie jest prawdopodobieństwo, że a) została umieszczona czerwona kula? b) czarna kula?
Rozwiązanie.
a) czerwona piłka
Wydarzenie A - wyciągnął czerwoną piłkę. Wydarzenie H - odłóż czerwoną piłkę. Prawdopodobieństwo włożenia czerwonej kuli do urny P (H = K) = 1/3
Wtedy P (A | H = K) = 1/3 * 5/12 = 5/36 = 0,139
b) czarna kula
Wydarzenie A - wyciągnął czerwoną piłkę. Wydarzenie H - postaw czarną piłkę.
Prawdopodobieństwo wrzucenia czarnej kuli do urny P (H = H) = 1/3
Wtedy P (A | H = H) = 1/3 * 4/12 = 1/9 = 0,111

Przykład 14. Znajdują się tam dwie urny z kulkami. Jedna ma 10 czerwonych i 5 niebieskich kulek, druga ma 5 czerwonych i 7 niebieskich kulek. Jakie jest prawdopodobieństwo, że czerwona kula zostanie losowo wyjęta z pierwszej urny, a niebieska z drugiej?
Rozwiązanie. Niech zdarzenie A1 - z pierwszej urny zostanie wyjęta czerwona kula; A2 - z drugiej urny wyjmuje się niebieską kulę:
,
Zdarzenia A1 i A2 są niezależne. Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzeń A1 i A2 razem wynosi

Przykład 15. Jest talia kart (36 sztuk). Dwie karty losowane są z rzędu. Jakie jest prawdopodobieństwo, że obie wylosowane karty będą czerwone?
Rozwiązanie. Niech wydarzenie A 1 będzie pierwszą wylosowaną kartą w czerwonym kolorze. Wydarzenie A 2 — Druga czerwona kartka zostaje dobrana. B - obie wylosowane karty w kolorze czerwonym. Ponieważ zarówno zdarzenie A 1, jak i zdarzenie A 2 muszą wystąpić, to B = A 1 · A 2. Zdarzenia A 1 i A 2 są zależne, zatem P (B):
,
Stąd

Przykład 16. W dwóch urnach znajdują się kule, które różnią się tylko kolorem, aw pierwszej urnie jest 5 białych kul, 11 czarnych i 8 czerwonych, a w drugiej odpowiednio 10, 8, 6 kulek. Z obu urn losowana jest jedna kula. Jakie jest prawdopodobieństwo, że obie kule mają ten sam kolor?
Rozwiązanie. Niech indeks 1 oznacza biały, indeks 2 - czarny; 3 - czerwony. Niech zdarzenie A i - kula i-tego koloru została usunięta z pierwszej urny; zdarzenie B j - z drugiej urny usunięto kulę j -tego koloru; zdarzenie A - obie kule tego samego koloru.
A = A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3. Zdarzenia A i i B j są niezależne, a A i B i oraz A j B j są niespójne dla i ≠ j. Stąd,
P (A) = P (A 1) P (B 1) + P (A 2) P (B 2) + P (A 3) P (B 3) =

Przykład 17. Z urny z 3 białymi i 2 czarnymi kulkami wyciąga się jedna po drugiej, aż pojawi się czarny. Znajdź prawdopodobieństwo, że 3 kule zostaną wyciągnięte z urny? 5 piłek?
Rozwiązanie.
1) prawdopodobieństwo, że z urny zostaną wyciągnięte 3 kule (tzn. trzecia kula będzie czarna, a dwie pierwsze białe).
P = 3/5 * 2/4 * 2/3 = 1/5
2) prawdopodobieństwo, że z urny zostanie wyciągniętych 5 kul
taka sytuacja nie jest możliwa, ponieważ tylko 3 białe kule.
P = 0

Wysyłanie dobrej pracy do bazy wiedzy jest proste. Skorzystaj z poniższego formularza

Studenci, doktoranci, młodzi naukowcy korzystający z bazy wiedzy w swoich studiach i pracy będą Ci bardzo wdzięczni.

Opublikowano na http://www.allbest.ru/

Teoria prawdopodobieństwa

W grupie jest 12 chłopców i 8 dziewczynek. Z magazynu wybrano losowo 5 uczniów. Znajdź prawdopodobieństwo, że wśród wybranych uczniów są dokładnie 3 dziewczyny.

Liczba wybranych studentów w magazynie.

Prawdopodobieństwo losowego wyboru dziewczyny z całej grupy.

Prawdopodobieństwo nieprzypadkowego wybrania dziewczyny z całej grupy (prawdopodobieństwo wybrania chłopca).

k = 3 - liczba wybranych dziewczynek.

Prawdopodobieństwo, że wśród wybranych 5 uczniów są dokładnie 3 dziewczynki.

W partii 6 części znajdują się 4 standardowe części. Wybraliśmy losowo 3 części. Znajdź prawdopodobieństwo, że przynajmniej jedna z wybranych części jest niestandardowa.

Liczba części w partii.

Liczba części znormalizowanych w partii.

Prawdopodobieństwo pobrania losowo jednej niestandardowej części z partii.

Prawdopodobieństwo nie pobrania losowo jednej niestandardowej części z partii (prawdopodobieństwo losowego pobrania jednej standardowej części z partii).

Prawdopodobieństwo nie pobrania losowo dwóch niestandardowych części z partii (prawdopodobieństwo losowego pobrania dwóch standardowych części z partii).

Prawdopodobieństwo nie pobrania losowo trzech niestandardowych części z partii (prawdopodobieństwo losowego pobrania trzech standardowych części z partii).

Prawdopodobieństwo, że przynajmniej jedna z wybranych części jest niestandardowa.

Maszyna składa się z 3 niezależnie pracujących części. Prawdopodobieństwo uszkodzenia części jest odpowiednio równe 0,1; 0,2; 0,15. Znajdź prawdopodobieństwo awarii maszyny, jeśli awaria przynajmniej jednej części jest do tego wystarczająca.

Prawdopodobieństwo, że pierwsza część się nie powiedzie.

Prawdopodobieństwo, że druga część się nie powiedzie.

Prawdopodobieństwo, że trzecia część się nie powiedzie.

Prawdopodobieństwo, że pierwsza część nie zawiedzie.

Prawdopodobieństwo, że druga część nie zawiedzie.

Prawdopodobieństwo, że 3 część nie zawiedzie.

Prawdopodobieństwo awarii maszyny, jeśli awaria przynajmniej jednej części jest do tego wystarczająca.

Dwóch strzelców strzela do celu. Prawdopodobieństwo trafienia w cel jednym strzałem dla pierwszego strzelca wynosi 0,5, a dla drugiego 0,6. Znajdź prawdopodobieństwo, że jedną salwą tylko jeden ze strzelców trafi w cel.

Prawdopodobieństwo, że pierwszy strzelec trafi w cel.

Prawdopodobieństwo, że drugi strzelec trafi w cel.

Prawdopodobieństwo, że pierwszy strzelec nie trafi w cel.

Prawdopodobieństwo, że drugi strzelec nie trafi w cel.

Prawdopodobieństwo, że jednym strzałem z woleja tylko jeden ze strzelców trafi w cel.

W pudełku znajduje się 6 urządzeń, z których 4 działają. Wybraliśmy losowo 3 sztuki. Znajdź prawdopodobieństwo, że wszystkie pobrane urządzenia będą działać.

Liczba urządzeń pobranych losowo.

Prawdopodobieństwo wyjęcia działającego urządzenia z pudełka.

Prawdopodobieństwo nie wyjęcia działającego urządzenia z pudełka.

Wykorzystajmy wzór Bernoulliego:

k = 3 - liczba pracujących urządzeń, pobrana losowo.

Prawdopodobieństwo, że wszystkie pobrane urządzenia będą działać.

W pierwszej urnie są 4 białe i 1 czarna kule, w drugiej 2 białe i 5 czarnych kul. 2 kulki zostały przeniesione z pierwszej do drugiej, następnie jedna kula została wyjęta z drugiej urny. Znajdź prawdopodobieństwo, że kula wybrana z drugiej urny jest czarna.

Zdecydujmy o możliwych wynikach wydarzeń przy przenoszeniu 2 piłek z 1. urny do 2. urny.

Н1 – hipoteza, że z pierwszej urny wyciągnięto 2 białe kule.

H2 - hipoteza, że z pierwszej urny wyciągnięto 1 białą i 1 czarną kulę.

Prawdopodobieństwo wyciągnięcia czarnej kuli z 1. urny.

Prawdopodobieństwo wybicia białej bili z 1. urny.

Prawdopodobieństwo hipotezy H1.

Prawdopodobieństwo hipotezy H2.

Zastanówmy się teraz nad prawdopodobieństwem zdarzenia, w którym spełniła się każda hipoteza.

Prawdopodobieństwo wyciągnięcia czarnej kuli z drugiej urny, jeśli pojawi się hipoteza H1.

Prawdopodobieństwo wyciągnięcia czarnej kuli z drugiej urny, jeśli pojawi się hipoteza H2.

Prawdopodobieństwo, że wybrana z drugiej urny kula jest czarna.

Prawdopodobieństwo, że część wyprodukowana w fabryce nr 1 jest doskonałej jakości.

Prawdopodobieństwo, że część wyprodukowana w fabryce nr 2 jest doskonałej jakości.

Prawdopodobieństwo, że część wyprodukowana w fabryce nr 3 jest doskonałej jakości.

Prawdopodobieństwo wyciągnięcia z pudełka części wykonanej fabrycznie nr 1.

Prawdopodobieństwo wyciągnięcia z pudełka części wykonanej fabrycznie nr 2.

Prawdopodobieństwo wyciągnięcia z pudełka części wykonanej fabrycznie nr 3.

Zgodnie ze wzorem prawdopodobieństwa całkowitego:

Prawdopodobieństwo, że część pobrana losowo będzie doskonałej jakości.

Istnieją trzy partie artykułów po 25 sztuk każda. Liczba produktów standardowych wynosi odpowiednio 20, 21, 22. Z losowo wybranej partii losowo pobrano produkt, który okazał się standardowy. Znajdź prawdopodobieństwo, że został wyodrębniony z 1 partii.

Prawdopodobieństwo, że część wybrana losowo z 1 partii jest standardowa.

Prawdopodobieństwo, że część wybrana losowo z 2 partii jest standardowa.

Prawdopodobieństwo, że część wybrana losowo z 3 partii jest standardowa.

Prawdopodobieństwo losowego wyboru jednej z trzech stron.

Według wzoru Bayesa:

Prawdopodobieństwo, że losowo odzyskany przedmiot został usunięty z 1 partii.

Dwie automatyczne maszyny produkują części. Wydajność drugiej maszyny jest dwukrotnie wyższa od pierwszej. Pierwsza automatyczna maszyna produkuje 80% części doskonałej jakości, a druga 90%. Wylosowana część okazała się doskonałej jakości. Znajdź prawdopodobieństwo, że ta część zostanie wyprodukowana przez 1 maszynę.

teoria prawdopodobieństwo znalezienie wybór trafienie

Prawdopodobieństwo, że część wyprodukowana przez pierwszą maszynę jest doskonałej jakości.

Prawdopodobieństwo, że część wyprodukowana przez drugą maszynę jest doskonałej jakości.

Ponieważ wydajność drugiej maszyny jest dwa razy większa od pierwszej, to z 3 warunkowo wyprodukowanych części, dwie części drugiej maszyny i jedna z pierwszej maszyny.

Prawdopodobieństwo losowego wyboru części wykonanej przez 1. automat.

Prawdopodobieństwo losowego wyboru części wykonanej przez 2 automat.

Według wzoru Bayesa:

Prawdopodobieństwo losowo wybranej części doskonałej jakości okazało się częścią wyprodukowaną przez 1. karabin maszynowy.

Moneta jest rzucana 9 razy. Znajdź prawdopodobieństwo pojawienia się „herbu”: a.) Mniej niż 4 razy; b.) co najmniej 4 razy.

Prawdopodobieństwo, że „herb” zostanie usunięty.

Prawdopodobieństwo, że „herb” nie zostanie usunięty.

Wykorzystajmy wzór Bernoulliego:

Liczba rzutów monetą.

Prawdopodobieństwo zdobycia monety z „herbem” jest mniejsze niż 4 razy.

k = 0, 1, 2, 3 - ile razy został wylosowany „herb”.

Prawdopodobieństwo otrzymania monety z „herbem” wynosi 0 razy na 9.

Prawdopodobieństwo otrzymania monety „herb” 1 raz na 9.

Prawdopodobieństwo wypadnięcia monety „herb” 2 razy na 9.

Prawdopodobieństwo zdobycia monety z „herbem” wynosi 3 razy na 9.

Prawdopodobieństwo wypadnięcia monety z „herbem” wynosi co najmniej 4 razy.

k = 4, 5, 6, 7, 8, 9 - ile razy został wylosowany „herb”.

Prawdopodobieństwo zdobycia monety z „herbem” wynosi 4 razy na 9.

Prawdopodobieństwo wypadnięcia monety „herb” 5 razy na 9.

Prawdopodobieństwo zdobycia monety z „herbem” 6 razy na 9.

Prawdopodobieństwo wypadnięcia monety „herb” 7 razy na 9.

Prawdopodobieństwo wypadnięcia monety „herb” 8 razy na 9.

Prawdopodobieństwo wypadnięcia monety „herb” 9 razy na 9.

Prawdopodobieństwo posiadania chłopca wynosi 0,51. Znajdź prawdopodobieństwo, że na 100 noworodków będzie 50 chłopców.

Prawdopodobieństwo narodzin chłopca.

Prawdopodobieństwo braku chłopca (prawdopodobieństwo posiadania dziewczynki).

Liczba noworodków.

Liczba urodzonych chłopców.

Użyjemy lokalnego twierdzenia Moivre'a-Laplace'a, ponieważ

Tabelaryczna nawet funkcja Gaussa,

Z tabeli znajdujemy wartość

Prawdopodobieństwo, że na 100 noworodków będzie 50 chłopców.

Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia w każdej ze 100 niezależnych prób wynosi 0,8. Znajdź prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia: a.) Co najmniej 75 razy i nie więcej niż 90 razy; b.) co najmniej 90 razy.

Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia.

Prawdopodobieństwo, że zdarzenie nie nastąpi.

Całkowita liczba testów.

Liczba testów.

Z tabeli znajdujemy wartość

Prawdopodobieństwo, że wydarzenie wystąpi co najmniej 75 razy i nie więcej niż 90 razy.

Liczba testów.

Będziemy korzystać z twierdzenia całkowego Moivre-Laplace'a, ponieważ

Tabelaryczna nieparzysta funkcja Laplace'a,

Z tabeli znajdujemy wartość

Prawdopodobieństwo, że wydarzenie pojawi się co najmniej 90 razy.

Dyskretna zmienna losowa jest określona przez prawo rozkładu:

a) zbuduj wielokąt dystrybucyjny i znajdź funkcję dystrybucji F (x);

b.) Znajdź M (X), D (X).

Wartość oczekiwana.

Dyspersja.

Odchylenie standardowe.

Podana jest gęstość rozkładu f (x) ciągłej zmiennej losowej X.

a) znaleźć A i dystrybuantę F (x);

b.) znajdź M (x), D (x),

Opublikowano na Allbest.ru

Podobne dokumenty

Zastosowanie klasycznej definicji prawdopodobieństwa do znalezienia danych kombinacji wśród pewnej liczby części. Wyznaczenie prawdopodobieństwa udania się pasażera do pierwszej kasy. Wykorzystanie lokalnego twierdzenia Moivre-Laplace'a do oszacowania odchylenia.

test, dodano 23.11.2014

Analiza rozwiązań zadań zgodnie z teorią prawdopodobieństwa: określić prawdopodobieństwo, że suma punktów na górnych krawędziach dwóch kostek nie przekroczy 12, określić wśród losów prawdopodobną liczbę wygranych oraz liczbę wadliwych towarów w całość.

test, dodany 27.12.2010

Kolejność określania stopnia prawdopodobieństwa znalezienia wartości z dziesięciu możliwych. Metoda obliczania części znormalizowanych wśród badanych z prawdopodobieństwem 0,95. Ocena prawdopodobieństwa wzrostu kursu akcji spółki, a także osiągnięcia zysku na giełdzie.

test, dodano 16.10.2011

Podstawowe pojęcia kombinatoryki. Definicja teorii prawdopodobieństwa. Pojęcie matematycznego oczekiwania i wariancji. Podstawowe elementy statystyki matematycznej. Prawdopodobieństwo warunkowe jako prawdopodobieństwo jednego zdarzenia, pod warunkiem, że zaszło już inne zdarzenie.

streszczenie dodane 25.11.2013

Zastosowanie klasycznej definicji prawdopodobieństwa w rozwiązywaniu problemów ekonomicznych. Określenie prawdopodobieństwa dostania się na montaż części wadliwych i niewadliwych. Oblicz prawdopodobieństwo i wartość próbki statystyki za pomocą wzoru Bernoulliego.

test, dodany 18.09.2010

Teoria prawdopodobieństwa jako nauka o przekonaniu, że u podstaw przypadkowych zdarzeń masowych leżą wzorce deterministyczne. Matematyczny dowód teorii. Aksjomatyka rachunku prawdopodobieństwa: definicje, prawdopodobieństwo przestrzenne, prawdopodobieństwo warunkowe.

wykład dodany 04.02.2008

Charakterystyka kompletnej grupy zdarzeń jako sumy wszystkich możliwych wyników eksperymentu. Metody określania prawdopodobieństwa zdarzeń w problemach o różnych kierunkach. Znalezienie prawdopodobieństwa liczby niestandardowych części. Budowa funkcji dystrybucji.

zadanie dodane 19.03.2011

Analiza zjawisk losowych, statystyczne przetwarzanie wyników eksperymentów numerycznych. Metody obliczania wystąpienia domniemanego zdarzenia. Rozwiązywanie problemów związanych z teorią prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo trafienia w zmienną losową w danym przedziale.

test, dodano 21.09.2013

Szukaj pożądanego prawdopodobieństwa poprzez przeciwne zdarzenie. Integralna formuła Moivre – Laplace'a. Znalezienie prawdopodobieństwa wpadnięcia w dany przedział zmiennej losowej o rozkładzie przez jej matematyczne oczekiwanie i odchylenie standardowe.

test, dodano 17.03.2011

Obliczanie oczekiwań matematycznych, wariancji i współczynnika korelacji. Wyznaczanie dystrybuanty i jej gęstości. Znalezienie prawdopodobieństwa trafienia w określony przedział. Cechy budowy histogramu częstotliwości. Zastosowanie kryterium Pearsona.

Czym jest prawdopodobieństwo?

W obliczu tego terminu po raz pierwszy nie rozumiałem, co to jest. Dlatego postaram się to wyjaśnić w przystępny sposób.

Prawdopodobieństwo to szansa, że nastąpi wydarzenie, którego potrzebujemy.

Na przykład zdecydowałeś się odwiedzić przyjaciela, zapamiętać wejście, a nawet piętro, na którym mieszka. Ale zapomniałem numeru i lokalizacji mieszkania. A tu stoisz na klatce schodowej, a przed tobą są drzwi do wyboru.

Jaka jest szansa (prawdopodobieństwo), że jeśli zadzwonisz do pierwszych drzwi, twój przyjaciel otworzy się dla ciebie? Całe mieszkanie, a koleżanka mieszka tylko dla jednego z nich. Z równymi szansami możemy wybrać dowolne drzwi.

Ale co to za szansa?

Drzwi, właściwe drzwi. Prawdopodobieństwo zgadnięcia dzwoniąc do pierwszych drzwi:. Oznacza to, że raz na trzy zgadniesz na pewno.

Chcemy się dowiedzieć dzwoniąc raz, jak często będziemy odgadywać drzwi? Rozważmy wszystkie opcje:

Zadzwoniłeś w 1st drzwi
Zadzwoniłeś w 2. drzwi
Zadzwoniłeś w 3rd drzwi

Teraz spójrzmy na wszystkie opcje, w których może znajdować się przyjaciel:

a. Za 1st przez drzwi
b. Za 2. przez drzwi
v. Za 3rd przez drzwi

Porównajmy wszystkie opcje w formie tabeli. Ptaszek oznacza opcje, gdy twój wybór pokrywa się z lokalizacją znajomego, krzyżyk - gdy nie pasuje.

Jak widzisz wszystko? Być może opcje lokalizację znajomego i wybór drzwi, które chcesz zadzwonić.

A korzystne wyniki wszystkich . Oznacza to, że raz zgadniesz, dzwoniąc raz dzwonkiem, tj. ...

Jest to prawdopodobieństwo - stosunek korzystnego wyniku (gdy Twój wybór zbiegł się z lokalizacją znajomego) do liczby możliwych zdarzeń.

Definicja to formuła. Prawdopodobieństwo jest zwykle oznaczane p, dlatego:

Pisanie takiej formuły nie jest zbyt wygodne, dlatego przyjmiemy za - liczbę korzystnych wyników, a za - łączną liczbę wyników.

Prawdopodobieństwo można zapisać w procentach, w tym celu należy pomnożyć otrzymany wynik przez:

Prawdopodobnie słowo „wyniki” przykuło twoją uwagę. Ponieważ matematycy nazywają różne działania (w naszym przypadku takie działanie to dzwonienie do drzwi) eksperymentami, wynik takich eksperymentów jest zwykle nazywany wynikiem.

Cóż, wyniki są korzystne i niekorzystne.

Wróćmy do naszego przykładu. Powiedzmy, że zadzwoniliśmy do jednych z drzwi, ale otworzył je nam nieznajomy. Nie zgadliśmy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jeśli zadzwonimy do jednych z pozostałych drzwi, nasz przyjaciel otworzy się dla nas?

Jeśli tak pomyślałeś, to pomyłka. Rozwiążmy to.

Zostały nam dwoje drzwi. Mamy więc możliwe kroki:

1) Zadzwoń 1st drzwi
2) Zadzwoń 2. drzwi

Kolega z tym wszystkim jest zdecydowanie za jednym z nich (w końcu nie był za tym, którego zadzwoniliśmy):

a) Przyjaciel dla 1st przez drzwi
b) Przyjaciel dla 2. przez drzwi

Narysujmy ponownie tabelę:

Jak widać, są wszystkie opcje, które są korzystne. Oznacza to, że prawdopodobieństwo jest równe.

Dlaczego nie?

Sytuacja, którą rozważaliśmy - przykład zdarzeń zależnych. Pierwsze zdarzenie to pierwszy dzwonek do drzwi, drugie zdarzenie to drugi dzwonek do drzwi.

I nazywa się je zależnymi, ponieważ wpływają na następujące działania. W końcu, gdyby przyjaciel otworzył nam drzwi po pierwszym sygnale, jakie byłoby prawdopodobieństwo, że jest za jednym z pozostałych dwóch? Dobrze, .

Ale jeśli są zdarzenia zależne, to muszą być niezależny? To prawda, są.

Podręcznikowy przykład to rzucanie monetą.

Rzuć monetą raz. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na przykład wyjdą głowy? Zgadza się - bo opcje na wszystko (orzeszki lub reszki, lekceważymy prawdopodobieństwo, że moneta stanie na krawędzi), ale tylko nam odpowiada.
Ale to były ogony. Dobra, wrzućmy to jeszcze raz. Jakie jest teraz prawdopodobieństwo zdobycia orła? Nic się nie zmieniło, wszystko jest takie samo. Ile opcji? Dwa. Jak bardzo nam to odpowiada? Jeden.

I niech wyskoczy tysiąc razy z rzędu. Prawdopodobieństwo trafienia orłem za jednym razem będzie takie samo. Zawsze są opcje, ale korzystne.

Łatwo odróżnić zdarzenia zależne od niezależnych:

Jeśli eksperyment przeprowadza się raz (raz rzucą monetą, raz zadzwonią do drzwi itp.), to zdarzenia są zawsze niezależne.
Jeśli eksperyment jest przeprowadzany kilka razy (moneta zostanie rzucona raz, dzwonek dzwoni kilka razy), to pierwsze zdarzenie jest zawsze niezależne. A potem, jeśli zmienia się liczba korzystnych lub liczba wszystkich wyników, to zdarzenia są zależne, a jeśli nie, to są niezależne.

Poćwiczmy trochę określanie prawdopodobieństwa.

Przykład 1.

Moneta jest rzucana dwukrotnie. Jakie jest prawdopodobieństwo trafienia głową dwa razy z rzędu?

Rozwiązanie:

Rozważmy wszystkie możliwe opcje:

Orzeł-orzeł
Głowa-ogon
Głowa-ogon
Ogony-ogony

Jak widać, cała opcja. Spośród nich tylko nam odpowiada. To znaczy prawdopodobieństwo:

Jeśli warunek zostanie po prostu poproszony o znalezienie prawdopodobieństwa, odpowiedź musi być podana w postaci ułamka dziesiętnego. Gdyby wskazano, że odpowiedź powinna być podana w procentach, to pomnożylibyśmy przez.

Odpowiedź:

Przykład 2.

W pudełku czekoladek wszystkie czekoladki są zapakowane w to samo opakowanie. Natomiast ze słodyczy – z orzechami, z koniakiem, z wiśniami, z karmelem i nugatem.

Jakie jest prawdopodobieństwo, biorąc jeden cukierek, aby dostać cukierka z orzechami. Podaj swoją odpowiedź w procentach.

Rozwiązanie:

Ile jest możliwych wyników? ...

To znaczy, biorąc jeden cukierek, będzie to jeden z tych w pudełku.

Ile korzystnych wyników?

Bo pudełko zawiera tylko czekoladki z orzechami.

Odpowiedź:

Przykład 3.

W pudełku kulek. z nich biały, - czarny.

Jakie jest prawdopodobieństwo wyciągnięcia białej bili?
Dodaliśmy więcej czarnych kulek do pudełka. Jakie jest teraz prawdopodobieństwo wyciągnięcia białej bili?

Rozwiązanie:

a) W pudełku znajdują się wszystkie piłki. Spośród nich biały.

Prawdopodobieństwo jest równe:

b) Teraz w pudełku są kulki. I pozostała ta sama liczba białych -.

Odpowiedź:

Pełne prawdopodobieństwo

Prawdopodobieństwo wszystkich możliwych zdarzeń wynosi ().

Powiedzmy, że w pudełku z czerwonymi i zielonymi kulkami. Jakie jest prawdopodobieństwo wyciągnięcia czerwonej piłki? Zielona piłka? Czerwona czy zielona piłka?

Możliwość wyciągnięcia czerwonej piłki

Zielona piłka:

Piłka czerwona lub zielona:

Jak widać, suma wszystkich możliwych zdarzeń wynosi (). Zrozumienie tego momentu pomoże Ci rozwiązać wiele problemów.

Przykład 4.

Pudełko zawiera markery: zielony, czerwony, niebieski, żółty, czarny.

Jaka jest szansa na wyciągnięcie NIE czerwonego flamastra?

Rozwiązanie:

Policzmy kwotę korzystne wyniki.

NIE czerwony znacznik, oznacza zielony, niebieski, żółty lub czarny.

Prawdopodobieństwo wszystkich zdarzeń. Oraz prawdopodobieństwo zdarzeń, które uważamy za niekorzystne (kiedy wyciągamy czerwony pisak) -.

Tak więc prawdopodobieństwo wyciągnięcia NIE czerwonego flamastra jest takie.

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo, że zdarzenie nie nastąpi, jest równe minus prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia.

Zasada mnożenia prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych

Wiesz już, czym są niezależne wydarzenia.

Co zrobić, jeśli chcesz znaleźć prawdopodobieństwo wystąpienia dwóch (lub więcej) niezależnych zdarzeń z rzędu?

Powiedzmy, że chcemy wiedzieć, jakie jest prawdopodobieństwo, że gdy raz rzucimy monetą, zobaczymy orła dwa razy?

Już policzyliśmy -.

A jeśli raz rzucimy monetą? Jakie jest prawdopodobieństwo zobaczenia orła z rzędu?

Wszystkie możliwe opcje:

Orzeł-orzeł-orzeł
orzeł-głowy-ogłowie
orzeł-ogon-głowy
Orzeł-ogon-ogon
Ogony-głowy-głowy
Ogony-głowy-ogony
Ogony-Ogony-Głowy
Ogony-Ogony-Ogony

Nie wiem jak wy, ale raz popełniłem błąd przy sporządzaniu tej listy. Łał! I tylko opcja (pierwsza) nam odpowiada.

W przypadku 5 rzutów możesz sam sporządzić listę możliwych wyników. Ale matematycy nie są tak pracowici jak ty.

Dlatego najpierw zauważyli, a następnie udowodnili, że prawdopodobieństwo pewnej sekwencji niezależnych zdarzeń zmniejsza się za każdym razem o prawdopodobieństwo jednego zdarzenia.

Innymi słowy,

Rozważmy przykład tej samej niefortunnej monety.

Prawdopodobieństwo zdobycia głowy w wyzwaniu? ... Teraz rzucamy monetą raz.

Jakie jest prawdopodobieństwo trafienia głową raz z rzędu?

Ta zasada działa nie tylko wtedy, gdy zostaniemy poproszeni o znalezienie prawdopodobieństwa, że to samo zdarzenie wystąpi kilka razy z rzędu.

Gdybyśmy chcieli znaleźć sekwencję GRIP-EAGLE-GRILLE dla rzutów z rzędu, zrobilibyśmy to samo.

Prawdopodobieństwo spadnięcia orłów wynosi -, orłów -.

Prawdopodobieństwo wypadnięcia z sekwencji GRILLE-EAGLE-GRILLE-GRILLE:

Możesz to sprawdzić samodzielnie, robiąc stół.

Zasada dodawania prawdopodobieństw zdarzeń niespójnych.

Więc przestań! Nowa definicja.

Rozwiążmy to. Weź naszą zużytą monetę i rzuć nią raz.
Możliwe opcje:

Orzeł-orzeł-orzeł
orzeł-głowy-ogłowie
orzeł-ogon-głowy
Orzeł-ogon-ogon
Ogony-głowy-głowy
Ogony-głowy-ogony
Ogony-Ogony-Głowy
Ogony-Ogony-Ogony

Tak więc zdarzenia niezgodne są określoną, z góry ustaloną sekwencją zdarzeń. są niezgodnymi zdarzeniami.

Jeśli chcemy określić, jakie jest prawdopodobieństwo dwóch (lub więcej) niezgodnych zdarzeń, dodajemy prawdopodobieństwa tych zdarzeń.

Musisz zrozumieć, że spadające głowy lub ogony to dwa niezależne zdarzenia.

Jeśli chcemy określić, jakie jest prawdopodobieństwo ciągu) (lub dowolnego innego), to stosujemy zasadę mnożenia prawdopodobieństw.
Jakie jest prawdopodobieństwo trafienia orłem przy pierwszym rzucie oraz przy drugim i trzecim rzucie?

Ale jeśli chcemy wiedzieć, jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania jednej z kilku sekwencji, na przykład gdy głowy wypadną dokładnie raz, czyli opcje, a następnie musimy dodać prawdopodobieństwa tych ciągów.

Wszystkie opcje są dla nas odpowiednie.

To samo możemy uzyskać, dodając prawdopodobieństwa każdej sekwencji:

W ten sposób dodajemy prawdopodobieństwa, gdy chcemy określić prawdopodobieństwa pewnych niespójnych sekwencji zdarzeń.

Istnieje świetna praktyczna zasada, która pomoże Ci uniknąć zamieszania, kiedy należy mnożyć, a kiedy dodawać:

Wróćmy do przykładu, kiedy raz rzuciliśmy monetą i chcemy poznać prawdopodobieństwo, że raz zobaczymy orła.
Co się stanie?

Powinien odpaść:
(ogony I ogony I ogony) OR (ogony I ogony I ogony) OR (ogony I ogony I orzełki).
Okazuje się więc:

Spójrzmy na kilka przykładów.

Przykład 5.

Pudełko zawiera ołówki. czerwienie, zielenie, pomarańcze, żółcie i czernie. Jakie jest prawdopodobieństwo wyciągnięcia czerwonych lub zielonych ołówków?

Rozwiązanie:

Co się stanie? Musimy wyciągnąć (czerwony LUB zielony).

Teraz jest jasne, dodajemy prawdopodobieństwa tych zdarzeń:

Odpowiedź:

Przykład 6.

Kości są rzucane dwukrotnie, jaka jest szansa na uzyskanie łącznie 8 punktów?

Rozwiązanie.

Jak możemy zdobywać punkty?

(i) lub (i) lub (i) lub (i) lub (i).

Prawdopodobieństwo wypadnięcia z jednej (dowolnej) twarzy -.

Obliczamy prawdopodobieństwo:

Odpowiedź:

Ćwiczyć.

Myślę, że teraz stało się dla ciebie jasne, kiedy liczyć prawdopodobieństwa, kiedy je dodać, a kiedy je pomnożyć. Czyż nie? Poćwiczmy trochę.

Zadania:

Weźmy talię kart, w której znajdują się karty, w tym pik, kier, 13 trefl i 13 kar. Od do asa każdego koloru.

Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania trefl z rzędu (pierwszą wylosowaną kartę wkładamy z powrotem do talii i tasujemy)?
Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania czarnej karty (pik lub trefl)?
Jakie jest prawdopodobieństwo wyciągnięcia obrazka (waleta, damy, króla lub asa)?
Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania dwóch obrazków pod rząd (usuwamy pierwszą wylosowaną kartę z talii)?
Jakie jest prawdopodobieństwo, że po wzięciu dwóch kart zbierzesz kombinację - (waleta, dama lub król) i asa Kolejność, w jakiej zostaną dobrane karty, nie ma znaczenia.

Odpowiedzi:

W talii kart o każdej wartości oznacza to:
Wydarzenia są zależne, ponieważ po wylosowaniu pierwszej karty liczba kart w talii zmniejszyła się (a także liczba „obrazków”). Całkowita suma waletów, dam, króli i asów na początku w talii, co oznacza prawdopodobieństwo, że pierwsza karta wyciągnie „obraz”:
Skoro usuwamy pierwszą kartę z talii, oznacza to, że w talii jest już karta, której są zdjęcia. Prawdopodobieństwo wyciągnięcia obrazka drugą kartą:
Ponieważ interesuje nas sytuacja, w której wyjdziemy z talii: „obraz” ORAZ „obrazek”, to musimy pomnożyć prawdopodobieństwa:
Odpowiedź:
Po wylosowaniu pierwszej karty liczba kart w talii zmniejszy się, mamy więc dwie możliwości:
1) Pierwszą kartą wyciągamy asa, drugą waleta, damę lub króla
2) Pierwszą kartą dobieramy waleta, damę lub króla, drugą - asa. (as i (walet lub dama lub król)) lub ((walet lub dama lub król) i as). Nie zapomnij o zmniejszeniu liczby kart w talii!

Jeśli potrafiłeś sam rozwiązać wszystkie problemy, to jesteś świetnym facetem! Teraz będziesz klikać prawdopodobieństwa na egzaminie Unified State!

TEORIA PRAWDOPODOBIEŃSTWA. ŚREDNI POZIOM

Spójrzmy na przykład. Powiedzmy, że rzucamy kostką. Co to za kość, wiesz? To jest nazwa sześcianu z liczbami na krawędziach. Ile twarzy, tyle liczb: od do ile? Przed.

Więc rzucamy kostką i chcemy rzucić lub. I to przypada nam.

Prawdopodobieństwo mówi, co się stało sprzyjające wydarzenie(nie myl go z zamożnymi).

Gdyby upadło, wydarzenie również byłoby pomyślne. W sumie mogą wystąpić tylko dwa sprzyjające wydarzenia.

A ile jest nieprzychylnych? Skoro są wszystkie możliwe zdarzenia, oznacza to, że są wśród nich niekorzystne zdarzenia (to znaczy, czy wypadnie lub).

Definicja:

Prawdopodobieństwo to stosunek liczby zdarzeń sprzyjających do liczby wszystkich możliwych zdarzeń... Oznacza to, że prawdopodobieństwo pokazuje, jaka część wszystkich możliwych zdarzeń jest korzystna.

Prawdopodobieństwo jest oznaczone literą łacińską (podobno od angielskiego słowa prawdopodobieństwo).

Zwyczajowo mierzy się prawdopodobieństwo w procentach (patrz tematy i). Aby to zrobić, wartość prawdopodobieństwa należy pomnożyć przez. W przykładzie z kostką prawdopodobieństwo.

A jako procent:.

Przykłady (zdecyduj sam):

Jakie jest prawdopodobieństwo trafienia orła podczas rzucania monetą? Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania ogonów?
Jakie jest prawdopodobieństwo, że na rzucie kostką wypadnie parzysta liczba? A z którym - dziwne?
W pudełku ołówków, niebieskie i czerwone ołówki. Narysuj losowo jeden ołówek. Jakie jest prawdopodobieństwo wyciągnięcia prostego?

Rozwiązania:

Ile jest opcji? Głowy i ogony to tylko dwa. Ile z nich jest korzystnych? Tylko jeden jest orłem. Więc prawdopodobieństwo
Tak samo jest z ogonami:.
Całkowite opcje: (ile boków ma kostka, tyle różnych opcji). Korzystne: (to wszystkie liczby parzyste :).
Prawdopodobieństwo. Dziwne, oczywiście, to samo.
Całkowity: . Korzystny:. Prawdopodobieństwo: .

Pełne prawdopodobieństwo

Wszystkie ołówki w szufladzie są zielone. Jakie jest prawdopodobieństwo wyciągnięcia czerwonego ołówka? Nie ma szans: prawdopodobieństwo (w końcu sprzyjające wydarzenia -).

Takie wydarzenie nazywa się niemożliwym.

Jakie jest prawdopodobieństwo wyciągnięcia zielonego ołówka? Liczba zdarzeń sprzyjających jest dokładnie taka sama, jak liczba zdarzeń ogółem (wszystkie zdarzenia są korzystne). Stąd prawdopodobieństwo jest równe lub.

Takie wydarzenie nazywa się niezawodnym.

Jeśli w pudełku są zielone i czerwone ołówki, jakie jest prawdopodobieństwo wyciągnięcia zielonego lub czerwonego? Jeszcze raz. Zwróć uwagę na to: prawdopodobieństwo wyciągnięcia zielonego jest równe, a czerwonego jest.

Podsumowując, te prawdopodobieństwa są dokładnie takie same. To jest, suma prawdopodobieństw wszystkich możliwych zdarzeń jest równa lub.

Przykład:

W pudełku ołówków, wśród nich niebieski, czerwony, zielony, gładki, żółty, a reszta pomarańczowa. Jakie jest prawdopodobieństwo, że nie pojedziesz na zielono?

Rozwiązanie:

Pamiętaj, że wszystkie prawdopodobieństwa się sumują. A prawdopodobieństwo ciągnięcia zielonego jest równe. Oznacza to, że prawdopodobieństwo nie wyciągnięcia zielonego jest równe.

Zapamiętaj tę sztuczkę: prawdopodobieństwo, że zdarzenie nie nastąpi, jest równe minus prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia.

Zdarzenia niezależne i zasada mnożenia

Rzucasz monetą raz i chcesz, aby głowy spadły za każdym razem. Jakie jest prawdopodobieństwo, że tak się stanie?

Przeanalizujmy wszystkie możliwe opcje i określmy, ile jest ich:

głów-głowy, głów-głowy, głów-głowy, głów-głowy. Co jeszcze?

Cała opcja. Spośród nich tylko jeden jest dla nas odpowiedni: Orzeł-orzeł. Razem prawdopodobieństwo jest.

Dobry. A teraz rzucamy raz monetą. Policz to sam. Stało się? (odpowiedź).

Być może zauważyłeś, że z każdym kolejnym rzutem prawdopodobieństwo maleje kilka razy. Ogólna zasada nazywa się reguła mnożenia:

Zmieniają się prawdopodobieństwa zdarzeń niezależnych.

Czym są niezależne wydarzenia? Wszystko jest logiczne: to te, które nie zależą od siebie. Na przykład, gdy rzucamy monetą kilka razy, za każdym razem wykonywany jest nowy rzut, którego wynik nie zależy od wszystkich poprzednich rzutów. Równie dobrze możemy rzucić jednocześnie dwiema różnymi monetami.

Więcej przykładów:

Kości są rzucane dwukrotnie. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia obu czasów?
Moneta jest rzucana raz. Jakie jest prawdopodobieństwo, że najpierw wyląduje orłem, a potem dwukrotnie reszka?
Gracz rzuca dwiema kośćmi. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma liczb na nich będzie równa?

Odpowiedzi:

Zdarzenia są niezależne, co oznacza, że działa zasada mnożenia:.
Prawdopodobieństwo orła jest. Prawdopodobieństwo ogonów jest również. Mnożymy:
12 można uzyskać tylko po wyrzuceniu dwóch -ki:.

Niezgodne zdarzenia i zasada dodawania

Zdarzenia, które uzupełniają się z pełnym prawdopodobieństwem, nazywane są niespójnymi. Jak sama nazwa wskazuje, nie mogą się one zdarzyć w tym samym czasie. Na przykład, jeśli rzucimy monetą, może wypaść albo orła, albo reszki.

Przykład.

W pudełku ołówków, wśród nich niebieski, czerwony, zielony, gładki, żółty, a reszta pomarańczowa. Jakie jest prawdopodobieństwo ciągnięcia zielonego lub czerwonego?

Rozwiązanie .

Prawdopodobieństwo wyciągnięcia zielonego ołówka jest. Czerwony - .

Pomyślne wydarzenia w sumie: zielony + czerwony. Oznacza to, że prawdopodobieństwo wyciągnięcia zielonego lub czerwonego jest równe.

To samo prawdopodobieństwo można przedstawić w następujący sposób:.

Oto zasada dodawania: sumują się prawdopodobieństwa niespójnych zdarzeń.

Mieszane problemy

Przykład.

Moneta jest rzucana dwukrotnie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wynik rzutów będzie inny?

Rozwiązanie .

Oznacza to, że jeśli pierwszym uderzeniem jest orła, drugim powinno być reszka i vice versa. Okazuje się, że istnieją dwie pary niezależnych zdarzeń i pary te są ze sobą niekompatybilne. Jak nie pomylić się, gdzie mnożyć, a gdzie dodawać.

W takich sytuacjach obowiązuje prosta zasada. Spróbuj opisać, co się wydarzy, łącząc zdarzenia za pomocą AND lub OR. Na przykład w tym przypadku:

Powinien pojawić się (orzechy i ogony) lub (ogony i głowy).

Tam, gdzie jest spójnik „i”, będzie mnożenie, a gdzie „lub” - dodawanie:

Spróbuj sam:

Jakie jest prawdopodobieństwo, że ta sama strona wyląduje na dwóch rzutach monetą za każdym razem?
Kości są rzucane dwukrotnie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma wyniesie punkty?

Rozwiązania:

(Opadły głowy i opadły głowy) lub (Opadły ogony i opadły ogony):.
Jakie są opcje? oraz. Następnie:
Wypadło (i) lub (i) lub (i):.

Inny przykład:

Raz rzucamy monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że reszki wyjdą przynajmniej raz?

Rozwiązanie:

Och, jak nie chcesz przechodzić przez opcje ... Głowa-ogon-ogon, Głowa-orzesko-ogon... Ale nie rób tego! Przypominamy pełne prawdopodobieństwo. Zapamiętane? Jakie jest prawdopodobieństwo, że orzeł nie zostanie upuszczony ani razu? To proste: ogony cały czas latają, więc.

TEORIA PRAWDOPODOBIEŃSTWA. KRÓTKO O GŁÓWNYM

Prawdopodobieństwo to stosunek liczby zdarzeń sprzyjających do liczby wszystkich możliwych zdarzeń.

Niezależne wydarzenia

Dwa zdarzenia są niezależne, jeśli przy wystąpieniu jednego prawdopodobieństwo wystąpienia drugiego nie zmienia się.

Pełne prawdopodobieństwo

Prawdopodobieństwo wszystkich możliwych zdarzeń wynosi ().

Prawdopodobieństwo, że zdarzenie nie nastąpi, jest równe minus prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia.

Zasada mnożenia prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych

Prawdopodobieństwo wystąpienia pewnej sekwencji niezależnych zdarzeń jest równe iloczynowi prawdopodobieństw każdego ze zdarzeń

Niezgodne zdarzenia

Zdarzenia niezgodne nazywane są zdarzeniami, które nie mogą zachodzić jednocześnie w wyniku eksperymentu. Szereg niekompatybilnych zdarzeń tworzy kompletną grupę zdarzeń.

Prawdopodobieństwo niespójnych zdarzeń sumuje się.

Po opisaniu, co powinno się wydarzyć, za pomocą spójników „AND” lub „OR” zamiast „AND” wstawiamy znak mnożenia, a zamiast „OR” - dodawanie.

POZOSTAŁE 2/3 ARTYKUŁÓW DOSTĘPNE TYLKO DLA MĄDRYCH UCZNIÓW!

Zostań studentem YouClever,

Przygotuj się do OGE lub USE w matematyce w cenie „filiżanki kawy miesięcznie”,

A także nielimitowany dostęp do podręcznika „YouClever”, programu szkoleniowego „100gia” (reshebnik), nielimitowanego próbnego USE i OGE, 6000 zadań z analizą rozwiązań oraz innych usług YouClever i 100gia.

Prawdopodobieństwo, że wymaganej części nie ma w żadnym polu jest równe:

Poszukiwane prawdopodobieństwo to

Wzór na prawdopodobieństwo całkowite.

Niech jakieś zdarzenie A może wystąpić razem z jednym z niekompatybilnych zdarzeń, które tworzą całą grupę zdarzeń. Niech prawdopodobieństwa tych zdarzeń i warunkowe prawdopodobieństwa zajścia zdarzenia A, gdy zdarzenie ma miejsce Cześć .

Twierdzenie. Prawdopodobieństwo zdarzenia A, które może wystąpić razem z jednym ze zdarzeń, jest równe sumie iloczynów par prawdopodobieństw każdego z tych zdarzeń przez odpowiadające im prawdopodobieństwa warunkowe wystąpienia zdarzenia A.

W rzeczywistości ta formuła pełne prawdopodobieństwo został już wykorzystany przy rozwiązywaniu przykładów podanych powyżej, na przykład w problemie z rewolwerem.

Dowód.

Ponieważ zdarzenia tworzą kompletną grupę zdarzeń, wtedy zdarzenie A można przedstawić jako następującą sumę:

Ponieważ wydarzenia są niespójne, to wydarzenia AH ja są również niespójne. Następnie możemy zastosować twierdzenie o dodawaniu prawdopodobieństw niespójnych zdarzeń:

W której

Wreszcie otrzymujemy:

Twierdzenie jest udowodnione.

Przykład. Jeden z trzech strzelców oddaje dwa strzały. Prawdopodobieństwo trafienia w tarczę jednym strzałem dla pierwszego strzelca wynosi 0,4, drugiego 0,6, trzeciego 0,8. Znajdź prawdopodobieństwo, że cel zostanie trafiony dwukrotnie.

Prawdopodobieństwo oddania strzału przez pierwszego, drugiego lub trzeciego strzelca jest równe.

Prawdopodobieństwo, że jeden ze strzelców oddających strzały dwukrotnie trafi w cel, jest równe:

Dla pierwszego strzelca:

Dla drugiego strzelca:

Dla trzeciego strzelca:

Poszukiwane prawdopodobieństwo to:

WYKŁAD 2.

Wzór Bayesa. (formuła hipotezy)

Niech będzie kompletna grupa niespójnych hipotez o znanym prawdopodobieństwie ich wystąpienia. Niech wynikiem eksperymentu będzie zdarzenie A, którego prawdopodobieństwa warunkowe są znane dla każdej z hipotez, tj. prawdopodobieństwa są znane.

Wymagane jest określenie, jakie prawdopodobieństwa mają hipotezy dotyczące zdarzenia A, tj. prawdopodobieństwa warunkowe.

Twierdzenie. Prawdopodobieństwo hipotezy po przetestowaniu jest równe iloczynowi prawdopodobieństwa hipotezy przed przetestowaniem przez odpowiednie prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia, które wystąpiło podczas testowania, podzielone przez całkowite prawdopodobieństwo tego zdarzenia.

Ta formuła nazywa się według formuły bayesowskiej.

Dowód.

Z twierdzenia o mnożeniu prawdopodobieństwa otrzymujemy:

A następnie, jeśli.

Aby znaleźć prawdopodobieństwo P (A), używamy wzoru na prawdopodobieństwo całkowite.

Jeżeli przed testowaniem wszystkie hipotezy są jednakowo prawdopodobne z prawdopodobieństwem, to wzór Bayesa przyjmuje postać:

Powtórzenie testów.

Wzór Bernoulliego.

Jeżeli wykonywana jest pewna liczba testów, w wyniku której może nastąpić zdarzenie A lub nie, a prawdopodobieństwo wystąpienia tego zdarzenia w każdym z testów nie zależy od wyników pozostałych testów, to takie testy są nazywa niezależność względem zdarzenia A.

Załóżmy, że zdarzenie A występuje w każdym teście z prawdopodobieństwem P (A) = p... Zdefiniujmy prawdopodobieństwo P t, nże w rezultacie NS zdarzenie testowe A przyszło dokładnie T pewnego razu.

Prawdopodobieństwo to można w zasadzie obliczyć za pomocą twierdzeń o dodawaniu i mnożeniu prawdopodobieństw, jak to zrobiono w omówionych powyżej przykładach. Jednak przy wystarczająco dużej liczbie testów prowadzi to do bardzo dużych obliczeń. Dlatego istnieje potrzeba wypracowania ogólnego podejścia do rozwiązania problemu. To podejście jest realizowane w formule Bernoulliego. (Jacob Bernoulli (1654 - 1705) - szwajcarski matematyk)

Niech w rezultacie NS niezależne testy przeprowadzone w tych samych warunkach, zdarzenie A występuje z prawdopodobieństwem P (A) = p, a przeciwne zdarzenie z prawdopodobieństwem.

Oznaczamy A i- wystąpienie zdarzenia A w próbie numer i... Ponieważ warunki eksperymentów są takie same, to te prawdopodobieństwa są równe.

Jeśli w rezultacie NS eksperymenty zdarzenie A występuje dokładnie T razy, potem reszta p-t gdy to zdarzenie nie występuje. Może pojawić się zdarzenie A T raz w NS testy w różnych kombinacjach, których liczba jest równa liczbie kombinacji od NS elementy według T... Tę liczbę kombinacji określa wzór:

Prawdopodobieństwo każdej kombinacji jest równe iloczynowi prawdopodobieństw:

Stosując twierdzenie o dodawaniu prawdopodobieństw zdarzeń niespójnych otrzymujemy Wzór Bernoulliego:

Wzór Bernoulliego jest ważny, ponieważ jest ważny dla dowolnej liczby niezależnych testów, tj. ten właśnie przypadek, w którym prawa rachunku prawdopodobieństwa przejawiają się najdobitniej.

Przykład. Do tarczy oddaje się 5 strzałów. Prawdopodobieństwo trafienia dla każdego strzału wynosi 0,4. Znajdź prawdopodobieństwo, że cel został trafiony co najmniej trzy razy.

Prawdopodobieństwo co najmniej trzech trafień składa się z prawdopodobieństwa pięciu trafień, czterech trafień i trzech trafień.

Ponieważ strzały są niezależne, możesz zastosować wzór Bernoulliego na prawdopodobieństwo, że w T testowe zdarzenie w prawdopodobieństwie r przychodzi dokładnie NS pewnego razu.

W przypadku pięciu trafień na pięć możliwych:

Cztery trafienia na pięć strzałów:

Trzy z pięciu trafień:

Na koniec otrzymujemy prawdopodobieństwo co najmniej trzech trafień na pięć strzałów:

Zmienne losowe.

Powyżej uwzględniono zdarzenia losowe, które są jakościową cechą losowego wyniku eksperymentu. Aby uzyskać charakterystykę ilościową, wprowadza się pojęcie zmiennej losowej.

Definicja. Przez losową wartość nazywana jest wielkością, która w wyniku doświadczenia może przyjąć taką lub inną wartość, i z góry wiadomo, która z nich.

Zmienne losowe można podzielić na dwie kategorie.

Definicja. Dyskretna zmienna losowa to wielkość, która w wyniku doświadczenia może z pewnym prawdopodobieństwem przybrać określone wartości, tworząc zbiór przeliczalny (zbiór, którego elementy można ponumerować).

Ten zbiór może być zarówno skończony, jak i nieskończony.

Na przykład liczba strzałów przed pierwszym trafieniem w cel jest dyskretną zmienną losową, ponieważ ta wartość może przyjmować nieskończoną, aczkolwiek policzalną liczbę wartości.

Definicja. Ciągła zmienna losowa nazywana jest taka wielkość, która może przyjmować dowolne wartości z pewnego skończonego lub nieskończonego przedziału.

Oczywiście liczba możliwych wartości ciągłej zmiennej losowej jest nieskończona.

Aby ustawić zmienną losową, nie wystarczy wskazać jej wartość, należy również wskazać prawdopodobieństwo tej wartości.

Prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej.

Definicja. Zależność między możliwymi wartościami zmiennej losowej a ich prawdopodobieństwami nazywa się prawo dystrybucji dyskretnej zmienna losowa.

Prawo dystrybucji można ustawić analitycznie, w formie tabeli lub graficznie.

Nazywa się tabelę zgodności między wartościami zmiennej losowej a ich prawdopodobieństwami w pobliżu dystrybucji.

Graficzna reprezentacja tej tabeli nazywa się wielokąt rozkładu. W tym przypadku suma wszystkich rzędnych wielokąta rozkładu reprezentuje prawdopodobieństwo wszystkich możliwych wartości zmiennej losowej, a zatem jest równa jeden.

Przykład. Do tarczy oddaje się 5 strzałów. Prawdopodobieństwo trafienia dla każdego strzału wynosi 0,4. Znajdź prawdopodobieństwa liczby trafień i wykreśl wielokąt rozkładu.

Prawdopodobieństwo pięciu trafień na pięć możliwych, czterech na pięć i trzech na pięć zostało znalezionych powyżej przy użyciu wzoru Bernoulliego i są one odpowiednio równe:

Podobnie znajdujemy:

Przedstawmy graficznie zależność liczby trafień od ich prawdopodobieństwa.

Konstruując wielokąt rozkładu należy pamiętać, że połączenie uzyskanych punktów jest warunkowe. W odstępach między wartościami zmiennej losowej prawdopodobieństwo nie przybiera żadnej wartości. Punkty są połączone tylko dla jasności.

Przykład. Prawdopodobieństwo co najmniej jednego trafienia w tarczę przez strzelca trzema strzałami wynosi 0,875. Znajdź prawdopodobieństwo trafienia w cel jednym strzałem.

Jeśli oznaczamy r Czy prawdopodobieństwo, że strzelec trafi w tarczę jednym strzałem, to prawdopodobieństwo chybienia jednym strzałem jest oczywiście równe (1 - r).

Prawdopodobieństwo trzech chybień na trzy strzały wynosi (1 - r) 3. Prawdopodobieństwo to wynosi 1 - 0,875 = 0,125, tj. nie trafiają w cel ani razu.

Otrzymujemy:

Przykład. Pierwsze pudełko zawiera 10 kulek, z których 8 jest białych; w drugim pudełku znajduje się 20 kulek, z czego 4 są białe. Z każdego pudełka pobierana jest losowo jedna piłka, a następnie jedna losowo wybierana z tych dwóch piłek. Znajdź prawdopodobieństwo, że ta kula jest biała.

Prawdopodobieństwo, że piłka wyjęta z pierwszego pudełka jest biała - że nie jest biała -.

Prawdopodobieństwo, że piłka wyjęta z drugiego pudełka jest biała - że nie jest biała -

Prawdopodobieństwo, że piłka usunięta z pierwszego pudełka zostanie ponownie wybrana, a prawdopodobieństwo, że piłka usunięta z drugiego pudełka zostanie ponownie wybrana, wynosi 0,5.

Prawdopodobieństwo, że piłka wyjęta z pierwszego pola zostanie ponownie wybrana i jest biała -

Prawdopodobieństwo, że piłka zostanie ponownie wybrana z drugiego pola i jest biała -

Prawdopodobieństwo, że biała bila zostanie ponownie wybrana wynosi

Przykład. Jest pięć karabinów, z których trzy są wyposażone w celownik teleskopowy. Prawdopodobieństwo, że strzelec trafi w cel strzelając z karabinu z lunetą wynosi 0,95, dla karabinu bez lunety prawdopodobieństwo to wynosi 0,7. Znajdź prawdopodobieństwo trafienia celu, jeśli strzelec wystrzeli jeden strzał z losowo wybranego karabinu.

Oznaczamy prawdopodobieństwo wyboru karabinu z celownikiem optycznym oraz prawdopodobieństwo wyboru karabinu bez celownika optycznego.

Prawdopodobieństwo, że wybrałeś karabin z celownikiem teleskopowym, a jednocześnie cel został trafiony, gdzie R (PC / O) - prawdopodobieństwo trafienia celu z karabinu z celownikiem teleskopowym.

Podobnie prawdopodobieństwo wyboru karabinu bez celownika teleskopowego, a cel został trafiony, gdzie R (PC / BO) - prawdopodobieństwo trafienia celu z karabinu bez celownika optycznego.

Ostateczne prawdopodobieństwo trafienia w cel jest równe sumie prawdopodobieństw R1 oraz R 2 odkąd wystarczy, że zajdzie jedno z tych niekompatybilnych zdarzeń, aby trafić w cel.

Przykład. Trzech myśliwych jednocześnie strzelało do niedźwiedzia, który został zabity jednym pociskiem. Określ prawdopodobieństwo, że niedźwiedź został zabity przez pierwszego strzelca, jeśli prawdopodobieństwo trafienia dla tych strzelców wynosi odpowiednio 0,3, 0,4, 0,5.

W tym zadaniu wymagane jest określenie prawdopodobieństwa hipotezy po tym, jak zdarzenie miało już miejsce. Aby określić pożądane prawdopodobieństwo, musisz użyć formuły Bayesa. W naszym przypadku wygląda to tak:

W tej formule H1, H2, H3- hipoteza, że niedźwiedź zostanie zabity odpowiednio przez pierwszego, drugiego i trzeciego strzelca. Przed oddaniem strzałów hipotezy te są jednakowo prawdopodobne, a ich prawdopodobieństwo jest równe.

P (H 1 / A)- prawdopodobieństwo, że pierwszy strzelec zabił niedźwiedzia, pod warunkiem, że strzały zostały już oddane (zdarzenie A).

Obliczone przed strzałem prawdopodobieństwo, że niedźwiedź zostanie zabity przez pierwszego, drugiego lub trzeciego strzelca, jest równe odpowiednio:

Tutaj q 1= 0,7; q 2 = 0,6; q 3= 0,5 - prawdopodobieństwa chybienia dla każdego ze strzelców, obliczone jako q = 1 - p, gdzie r- prawdopodobieństwo trafienia dla każdego ze strzelców.

Zastąp te wartości formułą Bayesa:

Przykład. Szeregowo wysłano cztery sygnały radiowe. Prawdopodobieństwo odebrania każdego z nich nie zależy od tego, czy pozostałe sygnały są odbierane, czy nie. Prawdopodobieństwo otrzymania sygnałów wynosi odpowiednio 0,2, 0,3, 0,4, 0,5. Określ prawdopodobieństwo otrzymania trzech sygnałów radiowych.

Zdarzenie otrzymania trzech z czterech sygnałów jest możliwe w czterech przypadkach:

Aby otrzymać trzy sygnały, należy wykonać jedno ze zdarzeń A, B, C lub D. W ten sposób znajdujemy pożądane prawdopodobieństwo:

Przykład. Dwadzieścia biletów egzaminacyjnych zawiera dwa pytania, które się nie powtarzają. Egzaminator zna odpowiedzi tylko na 35 pytań. Określ prawdopodobieństwo, że egzamin zostanie zdany, jeśli wystarczy odpowiedzieć na dwa pytania z jednego biletu lub jedno pytanie z jednego biletu i określone dodatkowe pytanie z innego biletu.

W sumie jest 40 pytań (po 2 w każdym z 20 biletów). Prawdopodobieństwo, że istnieje pytanie, na które odpowiedź jest znana, jest oczywiście równe.

Do zdania egzaminu wymagane jest jedno z trzech zdarzeń:

1) Zdarzenie A – odpowiedziało na pierwsze pytanie (prawdopodobieństwo) i odpowiedziało na drugie pytanie (prawdopodobieństwo). Ponieważ po udanej odpowiedzi na pierwsze pytanie pozostaje jeszcze 39 pytań, z których 34 są znane.

2) Zdarzenie B - udzielono odpowiedzi na pierwsze pytanie (prawdopodobieństwo), na drugie - nie (prawdopodobieństwo), na trzecie - udzielono odpowiedzi (prawdopodobieństwo).

3) Zdarzenie C - brak odpowiedzi na pierwsze pytanie (prawdopodobieństwo), odpowiedź na drugie (prawdopodobieństwo), odpowiedź na trzecie (prawdopodobieństwo).

Prawdopodobieństwo, że w danych warunkach egzamin zostanie zdany, wynosi:

Przykład. Istnieją dwie partie jednorodnych części. Pierwsza partia składa się z 12 części, z których 3 są wadliwe. Druga partia składa się z 15 części, z których 4 są wadliwe. Z pierwszej i drugiej partii wyjmuje się dwie części. Jakie jest prawdopodobieństwo, że nie ma wśród nich wadliwych części.

Prawdopodobieństwo braku wad dla pierwszej części wydobytej z pierwszej partii jest równe, dla drugiej części wydobytej z pierwszej partii, pod warunkiem, że pierwsza część nie była wadliwa.

Prawdopodobieństwo braku wad dla pierwszej części wydobytej z drugiej partii jest równe, dla drugiej części wyprowadzonej z drugiej partii, pod warunkiem, że pierwsza część nie była wadliwa.

Prawdopodobieństwo, że wśród czterech odzyskanych części nie ma wadliwych części wynosi:

Rozważmy ten sam przykład, ale z nieco innym warunkiem.

Przykład. Istnieją dwie partie jednorodnych części. Pierwsza partia składa się z 12 części, z których 3 są wadliwe. Druga partia składa się z 15 części, z których 4 są wadliwe. Z pierwszej partii pobiera się losowo 5 części, az drugiej 7 części. Te części tworzą nową partię. Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania z nich wadliwej części?

Aby wybrana losowo część była wadliwa, musi być spełniony jeden z dwóch niezgodnych warunków:

1) Wybrana część pochodziła z pierwszej partii (prawdopodobieństwo -) i jednocześnie była wadliwa (prawdopodobieństwo -). Wreszcie:

2) Wybrana część pochodziła z drugiej partii (prawdopodobieństwo -) i jednocześnie była wadliwa (prawdopodobieństwo -). Wreszcie:

Wreszcie otrzymujemy:.

Przykład. Urna zawiera 3 białe i 5 czarnych kul. Z urny wyjmuje się losowo dwie kule. Znajdź prawdopodobieństwo, że te kule nie mają tego samego koloru.

Zdarzenie, że wybrane kule o różnych kolorach wystąpią w jednym z dwóch przypadków:

1) Pierwsza kula jest biała (prawdopodobieństwo -), a druga czarna (prawdopodobieństwo -).

2) Pierwsza kula jest czarna (prawdopodobieństwo -), a druga biała (prawdopodobieństwo -).

Wreszcie otrzymujemy:

Rozkład dwumianowy.

Jeśli wyprodukowany NS niezależne próby, w których każde zdarzenie A może wystąpić z takim samym prawdopodobieństwem r w każdej z prób prawdopodobieństwo, że zdarzenie nie wystąpi, wynosi q = 1 - str.

Przyjmijmy liczbę wystąpień zdarzenia w każdym z testów jako pewną losową wartość X.

Aby znaleźć prawo rozkładu dla tej zmiennej losowej, konieczne jest wyznaczenie wartości tej wielkości i ich prawdopodobieństw.

Wartości są łatwe do znalezienia. Oczywiście w rezultacie NS próbach, wydarzenie może nie pojawić się w ogóle, pojawić się raz, dwa, trzy razy itd. przed NS pewnego razu.

Prawdopodobieństwo każdej wartości tej zmiennej losowej można znaleźć za pomocą wzoru Bernoulliego.

Formuła ta analitycznie wyraża pożądane prawo dystrybucji. To prawo dystrybucji nazywa się dwumianowy.

Przykład. Partia zawiera 10% części niestandardowych. 4 części są wybierane losowo. Napisz dwumianowe prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej X - liczbę części niestandardowych spośród czterech wybranych i skonstruuj wielokąt z otrzymanego rozkładu.

Prawdopodobieństwo pojawienia się części niestandardowej w każdym przypadku wynosi 0,1.

Znajdźmy prawdopodobieństwa, że spośród wybranych części:

1) Generalnie nie ma niestandardowych.

2) Jeden niestandardowy.

3) Dwie niestandardowe części.

4) Trzy niestandardowe części.

5) Cztery niestandardowe części.

Zbudujmy wielokąt dystrybucyjny.

Przykład. Dwiema kośćmi rzuca się jednocześnie 2 razy. Napisz dwumianowe prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej X - liczbę kropel parzystej liczby punktów na dwóch kostkach.

Każda kostka ma trzy warianty parzystych punktów - 2, 4 i 6 z sześciu możliwych, więc prawdopodobieństwo uzyskania parzystej liczby punktów na jednej kości wynosi 0,5.

Prawdopodobieństwo uzyskania parzystych punktów na dwóch kostkach jednocześnie wynosi 0,25.

Prawdopodobieństwo, że w dwóch testach w obu testach padnie na obie kości parzyste punkty, jest równe.