ระบบจำนวนธรรมชาติ คณะคณิตศาสตร์เล็กๆ

วัตถุประสงค์ของการบริการ. บริการนี้ออกแบบมาเพื่อแปลงตัวเลขจากระบบตัวเลขหนึ่งไปเป็นอีกระบบออนไลน์ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เลือกฐานของระบบที่คุณต้องการแปลงตัวเลข คุณสามารถป้อนทั้งจำนวนเต็มและตัวเลขด้วยเครื่องหมายจุลภาค

คุณสามารถป้อนทั้งจำนวนเต็ม เช่น 34 และจำนวนเศษส่วน เช่น 637.333 สำหรับตัวเลขเศษส่วน จะมีการระบุความแม่นยำในการแปลหลังจุดทศนิยม

ข้อมูลต่อไปนี้ใช้กับเครื่องคิดเลขนี้ด้วย:

วิธีการแสดงตัวเลข

ไบนารี่ ตัวเลข (ไบนารี) - แต่ละหลักหมายถึงค่าของหนึ่งบิต (0 หรือ 1) บิตที่สำคัญที่สุดจะถูกเขียนทางด้านซ้ายเสมอ ตัวอักษร "b" จะอยู่หลังตัวเลข เพื่อความสะดวกในการรับรู้ สมุดบันทึกสามารถคั่นด้วยช่องว่างได้ ตัวอย่างเช่น 1,010 0101b
เลขฐานสิบหก (เลขฐานสิบหก) ตัวเลข - แต่ละ tetrad จะแสดงด้วยสัญลักษณ์เดียว 0...9, A, B, ..., F การแทนนี้สามารถกำหนดได้หลายวิธี ในที่นี้มีเพียงสัญลักษณ์ "h" เท่านั้นที่ใช้หลังเลขฐานสิบหกสุดท้าย หลัก ตัวอย่างเช่น A5h ในข้อความโปรแกรม สามารถกำหนดหมายเลขเดียวกันเป็น 0xA5 หรือ 0A5h ขึ้นอยู่กับไวยากรณ์ของภาษาการเขียนโปรแกรม ศูนย์นำหน้า (0) จะถูกเพิ่มทางด้านซ้ายของเลขฐานสิบหกที่มีนัยสำคัญที่สุดซึ่งแสดงด้วยตัวอักษร เพื่อแยกความแตกต่างระหว่างตัวเลขและชื่อเชิงสัญลักษณ์
ทศนิยม ตัวเลข (ทศนิยม) - แต่ละไบต์ (คำ สองคำ) จะแสดงด้วยตัวเลขปกติ และโดยปกติจะละเว้นเครื่องหมายแสดงทศนิยม (ตัวอักษร "d") ไบต์ในตัวอย่างก่อนหน้านี้มีค่าทศนิยม 165 ซึ่งแตกต่างจากสัญกรณ์ไบนารี่และเลขฐานสิบหก ทศนิยมเป็นเรื่องยากที่จะกำหนดค่าของแต่ละบิตในใจ ซึ่งบางครั้งจำเป็น
เลขฐานแปด ตัวเลข (ฐานแปด) - แต่ละบิตสามเท่า (การหารเริ่มต้นจากนัยสำคัญน้อยที่สุด) เขียนเป็นตัวเลข 0–7 โดยมี "o" ต่อท้าย จำนวนเดียวกันจะเขียนเป็น 245o ระบบฐานแปดไม่สะดวกเนื่องจากไบต์ไม่สามารถแบ่งเท่ากันได้

อัลกอริทึมสำหรับการแปลงตัวเลขจากระบบตัวเลขหนึ่งไปยังอีกระบบหนึ่ง

การแปลงเลขทศนิยมทั้งหมดเป็นระบบตัวเลขอื่นทำได้โดยการหารตัวเลขด้วยฐานของระบบตัวเลขใหม่จนกว่าเศษที่เหลือจะเป็นตัวเลขที่น้อยกว่าฐานของระบบตัวเลขใหม่ ตัวเลขใหม่จะเขียนเป็นเศษหารโดยเริ่มจากตัวสุดท้าย
การแปลงเศษส่วนทศนิยมปกติเป็น PSS อื่นทำได้โดยการคูณเฉพาะส่วนที่เป็นเศษส่วนของตัวเลขด้วยฐานของระบบตัวเลขใหม่จนกระทั่งศูนย์ทั้งหมดยังคงอยู่ในส่วนที่เป็นเศษส่วนหรือจนกว่าจะได้ความแม่นยำในการแปลตามที่ระบุ ผลของการดำเนินการคูณแต่ละครั้ง จะทำให้เกิดตัวเลขหนึ่งหลักขึ้น โดยเริ่มจากตัวเลขสูงสุด
การแปลเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมจะดำเนินการตามกฎข้อ 1 และ 2 ส่วนจำนวนเต็มและเศษส่วนเขียนรวมกันโดยคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค

ตัวอย่างหมายเลข 1



การแปลงจากระบบตัวเลข 2 เป็น 8 เป็น 16
ระบบเหล่านี้เป็นทวีคูณของสอง ดังนั้นการแปลจึงดำเนินการโดยใช้ตารางการติดต่อ (ดูด้านล่าง)

ในการแปลงตัวเลขจากระบบเลขฐานสองเป็นระบบเลขฐานแปด (เลขฐานสิบหก) จำเป็นต้องแบ่งเลขฐานสองจากจุดทศนิยมไปทางขวาและซ้ายออกเป็นกลุ่มละสามหลัก (สี่หลักสำหรับเลขฐานสิบหก) โดยเสริมกลุ่มด้านนอก ด้วยศูนย์หากจำเป็น แต่ละกลุ่มจะถูกแทนที่ด้วยเลขฐานแปดหรือเลขฐานสิบหกที่สอดคล้องกัน

ตัวอย่างหมายเลข 2 1010111010.1011 = 1.010.111.010.101.1 = 1272.51 8
ที่นี่ 001=1; 010=2; 111=7; 010=2; 101=5; 001=1

เมื่อแปลงเป็นระบบเลขฐานสิบหก คุณต้องแบ่งตัวเลขออกเป็นส่วนๆ ของตัวเลขสี่หลัก ตามกฎเดียวกัน
ตัวอย่างหมายเลข 3 1010111010,1011 = 10.1011.1010,1011 = 2B12,13 ฐานสิบหก
ที่นี่ 0010=2; 1011=ข; 1,010=12; 1011=13

การแปลงตัวเลขจาก 2, 8 และ 16 เป็นระบบเลขทศนิยมทำได้โดยการแบ่งตัวเลขออกเป็นจำนวนแยกกัน แล้วคูณด้วยฐานของระบบ (ซึ่งตัวเลขจะถูกแปล) ยกกำลังขึ้นตามเลขลำดับใน กำลังแปลงหมายเลข ในกรณีนี้ ตัวเลขจะถูกกำหนดหมายเลขทางด้านซ้ายของจุดทศนิยม (หมายเลขแรกคือ 0) โดยเพิ่มขึ้น และไปทางขวาโดยลดลง (เช่น มีเครื่องหมายลบ) ผลลัพธ์ที่ได้รับจะถูกรวมเข้าด้วยกัน

ตัวอย่างหมายเลข 4
ตัวอย่างการแปลงจากระบบเลขฐานสองเป็นเลขฐานสิบ

1010010.101 2 = 1·2 6 +0·2 5 +1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +0·2 0 + 1·2 -1 +0·2 - 2 + 1 2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0.5+0+0.125 = 82.625 10 ตัวอย่างการแปลงจากระบบเลขฐานแปดเป็นเลขฐานสิบ 108.5 8 = 1*·8 2 +0·8 1 +8·8 0 + 5·8 -1 = 64+0+8+0.625 = 72.625 10 ตัวอย่างการแปลงจากระบบเลขฐานสิบหกไปเป็นเลขฐานสิบ 108.5 16 = 1·16 2 +0·16 1 +8·16 0 + 5·16 -1 = 256+0+8+0.3125 = 264.3125 10

ทำซ้ำอัลกอริทึมสำหรับการแปลงตัวเลขจากระบบตัวเลขหนึ่งไปเป็น PSS อื่นอีกครั้ง

1. จากระบบเลขฐานสิบ:
   • หารตัวเลขตามฐานของระบบตัวเลขที่กำลังแปล
   • ค้นหาส่วนที่เหลือเมื่อหารส่วนจำนวนเต็มของตัวเลข
   • เขียนเศษที่เหลือจากการหารตามลำดับย้อนกลับ
2. จากระบบเลขฐานสอง
   • ในการแปลงเป็นระบบเลขทศนิยม จำเป็นต้องค้นหาผลรวมของผลคูณของฐาน 2 ตามระดับของตัวเลขที่สอดคล้องกัน
   • ในการแปลงตัวเลขเป็นฐานแปด คุณต้องแบ่งตัวเลขออกเป็นสามส่วน
     เช่น 1000110 = 1,000 110 = 106 8
   • ในการแปลงตัวเลขจากเลขฐานสองเป็นเลขฐานสิบหก คุณต้องแบ่งตัวเลขออกเป็นกลุ่มๆ ละ 4 หลัก
     ตัวอย่างเช่น 1000110 = 100 0110 = 46 16

ระบบนี้เรียกว่าตำแหน่งซึ่งความสำคัญหรือน้ำหนักของตัวเลขขึ้นอยู่กับตำแหน่งของตัวเลข ความสัมพันธ์ระหว่างระบบแสดงอยู่ในตาราง
ตารางการติดต่อของระบบตัวเลข:

ไบนารีเอสเอส	SS เลขฐานสิบหก
0000	0
0001	1
0010	2
0011	3
0100	4
0101	5
0110	6
0111	7
1000	8
1001	9
1010	ก
1011	บี
1100	ค
1101	ดี
1110	อี
1111	เอฟ

ตารางการแปลงเป็นระบบเลขฐานแปด

รายการระบบตัวเลข

สัญกรณ์:

• นำเสนอชุดตัวเลข (จำนวนเต็มและ/หรือจำนวนจริง)
• ให้แต่ละหมายเลขมีการแสดงที่ไม่ซ้ำกัน (หรืออย่างน้อยก็เป็นตัวแทนมาตรฐาน)
• สะท้อนถึงโครงสร้างพีชคณิตและเลขคณิตของตัวเลข

ระบบตัวเลขแบ่งออกเป็น ตำแหน่ง, ไม่ใช่ตำแหน่งและ ผสม.

ระบบตัวเลขตำแหน่ง

ในระบบตัวเลขตำแหน่ง เครื่องหมายตัวเลข (หลัก) เดียวกันในสัญลักษณ์ของตัวเลขจะมีความหมายที่แตกต่างกันขึ้นอยู่กับสถานที่ (หลัก) ที่ตัวเลขนั้นตั้งอยู่ การประดิษฐ์การกำหนดหมายเลขตำแหน่งตามความหมายของหลักสถานที่นั้นมีสาเหตุมาจากชาวสุเมเรียนและชาวบาบิโลน การนับเลขดังกล่าวได้รับการพัฒนาโดยชาวฮินดูและมีผลกระทบอันล้ำค่าในประวัติศาสตร์ของอารยธรรมมนุษย์ ระบบดังกล่าวรวมถึงระบบเลขทศนิยมสมัยใหม่ซึ่งเกี่ยวข้องกับการนับนิ้ว ปรากฏในยุโรปยุคกลางผ่านทางพ่อค้าชาวอิตาลี ซึ่งยืมมาจากชาวมุสลิม

ระบบตัวเลขตำแหน่งมักจะอ้างอิงถึงระบบตัวเลข -rich ซึ่งถูกกำหนดโดยจำนวนเต็มที่เรียกว่า พื้นฐานระบบตัวเลข จำนวนเต็มที่ไม่ได้ลงนามในระบบจำนวน -ary แสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นจำกัดของเลขยกกำลัง:

โดยที่จำนวนเต็มเรียกว่า เป็นตัวเลข, สนองความเหลื่อมล้ำ.

แต่ละระดับในสัญกรณ์ดังกล่าวเรียกว่าน้ำหนักยศ ความอาวุโสของตัวเลขและตัวเลขที่เกี่ยวข้องนั้นถูกกำหนดโดยค่าของตัวบ่งชี้ (หมายเลขหลัก) โดยปกติแล้ว ในตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์ เลขศูนย์ทางซ้ายจะถูกละไว้

หากไม่มีความแตกต่างกัน (เช่น เมื่อตัวเลขทั้งหมดแสดงในรูปแบบของอักขระที่เขียนเฉพาะ) ตัวเลขนั้นจะถูกเขียนตามลำดับของตัวเลขและตัวอักษร โดยแสดงตามลำดับจากมากไปหาน้อยโดยอยู่หน้าตัวเลขจากซ้ายไปขวา:

เช่น ตัวเลข หนึ่งร้อยสามแสดงในระบบเลขทศนิยมดังนี้:

ระบบตำแหน่งที่ใช้มากที่สุดในปัจจุบันคือ:

ในระบบตำแหน่ง ยิ่งฐานของระบบมีขนาดใหญ่เท่าใด จำนวนหลัก (นั่นคือ ตัวเลขที่เขียน) ที่ต้องใช้ในการเขียนตัวเลขก็จะน้อยลงเท่านั้น

ระบบจำนวนผสม

ระบบเลขผสมเป็นลักษณะทั่วไปของระบบเลขรวยและมักหมายถึงระบบเลขตำแหน่งด้วย พื้นฐานของระบบจำนวนคละคือลำดับตัวเลขที่เพิ่มขึ้น และแต่ละหมายเลขในระบบจะแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้น:

โดยที่ค่าสัมประสิทธิ์ถูกเรียกเหมือนเดิม เป็นตัวเลขมีข้อจำกัดบางประการ

การเขียนตัวเลขในระบบจำนวนผสมคือการแสดงรายการหลักตามลำดับดัชนีจากมากไปหาน้อย โดยเริ่มจากตัวแรกที่ไม่ใช่ศูนย์

ระบบจำนวนคละอาจเป็นกำลัง เลขชี้กำลัง ฯลฯ ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับประเภทของฟังก์ชัน เมื่อระบบจำนวนคละเกิดขึ้นพร้อมกับระบบเลขชี้กำลัง -เลขรวย

ตัวอย่างที่มีชื่อเสียงที่สุดของระบบจำนวนผสมคือการแทนเวลาเป็นจำนวนวัน ชั่วโมง นาที และวินาที ในกรณีนี้ ค่าของ “วัน ชั่วโมง นาที วินาที” จะสอดคล้องกับค่าของวินาที

ระบบเลขแฟกทอเรียล

ใน ระบบจำนวนแฟคทอเรียลฐานเป็นลำดับของแฟกทอเรียล และจำนวนธรรมชาติแต่ละตัวจะแสดงเป็น:

, ที่ไหน .

ระบบเลขแฟกทอเรียลใช้เมื่อใด การถอดรหัสการเรียงสับเปลี่ยนตามรายการการผกผัน: เมื่อมีจำนวนการเรียงสับเปลี่ยน คุณสามารถทำซ้ำได้ดังนี้ จำนวนที่น้อยกว่าจำนวนหนึ่ง (การนับเลขเริ่มจากศูนย์) เขียนในระบบจำนวนแฟคทอเรียล และค่าสัมประสิทธิ์ของจำนวน i! จะแสดงจำนวนการผกผันขององค์ประกอบ i+1 ในชุดที่มีการเรียงสับเปลี่ยน (จำนวนองค์ประกอบที่เล็กกว่า i+1 แต่ตั้งอยู่ทางด้านขวาขององค์ประกอบในการเรียงสับเปลี่ยนที่ต้องการ)

ตัวอย่าง: พิจารณาชุดการเรียงสับเปลี่ยนขององค์ประกอบ 5 รายการ มีทั้งหมด 5 รายการ! = 120 (จากการเรียงสับเปลี่ยนหมายเลข 0 - (1,2,3,4,5) ถึงหมายเลขการเรียงสับเปลี่ยน 119 - (5,4,3,2,1)) ลองหาการเรียงสับเปลี่ยนครั้งที่ 101 กัน: 100 = 4!* 4 + 3!*0 + 2!*2 + 1!*0 = 96 + 4; ให้ ti เป็นสัมประสิทธิ์ของตัวเลข i! จากนั้น t4 = 4, t3 = 0, t2 = 2, t1 = 0 จากนั้น: จำนวนองค์ประกอบน้อยกว่า 5 แต่อยู่ทางด้านขวาคือ 4; จำนวนองค์ประกอบน้อยกว่า 4 แต่อยู่ทางด้านขวาคือ 0 จำนวนองค์ประกอบน้อยกว่า 3 แต่อยู่ทางด้านขวาคือ 2 จำนวนองค์ประกอบที่น้อยกว่า 2 แต่อยู่ทางด้านขวาคือ 0 (องค์ประกอบสุดท้ายในการเรียงสับเปลี่ยนคือ "ใส่" ในตำแหน่งเดียวที่เหลืออยู่) - ดังนั้นการเรียงสับเปลี่ยนครั้งที่ 101 จะมีลักษณะดังนี้: (5,3,1,2 ,4) การตรวจสอบวิธีนี้สามารถทำได้โดยการนับการผกผันโดยตรงสำหรับแต่ละองค์ประกอบของการเรียงสับเปลี่ยน

ระบบเลขฟีโบนัชชีขึ้นอยู่กับตัวเลขฟีโบนัชชี จำนวนธรรมชาติแต่ละตัวจะแสดงในรูปแบบ:

โดยที่ตัวเลขฟีโบนัชชีอยู่ที่ไหน และสัมประสิทธิ์มีจำนวนจำกัดและไม่มีสองตัวติดกัน

ระบบตัวเลขที่ไม่ใช่ตำแหน่ง

ในระบบตัวเลขที่ไม่ใช่ตำแหน่ง ค่าที่ตัวเลขแสดงไม่ได้ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของตัวเลข ในกรณีนี้ ระบบสามารถกำหนดข้อจำกัดเกี่ยวกับตำแหน่งของตัวเลขได้ เช่น เพื่อจัดเรียงจากมากไปน้อย

ระบบเลขทวินาม

การเป็นตัวแทนโดยใช้สัมประสิทธิ์ทวินาม

, ที่ไหน .

ระบบชั้นคงเหลือ (RSS)

การแทนจำนวนในระบบคลาสสารตกค้างขึ้นอยู่กับแนวคิดเรื่องสารตกค้างและทฤษฎีบทเศษของจีน RNS ถูกกำหนดโดยเซตที่ค่อนข้างไพร์ม โมดูลกับผลคูณในลักษณะที่แต่ละจำนวนเต็มจากเซ็กเมนต์เชื่อมโยงกับชุดของสารตกค้าง โดยที่

…

ในเวลาเดียวกัน ทฤษฎีบทเศษของจีนรับประกันความเป็นเอกลักษณ์ของการแทนตัวเลขจากช่วงนั้น

ใน RNS การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ (การบวก การลบ การคูณ การหาร) จะดำเนินการแบบแยกส่วน หากทราบว่าผลลัพธ์เป็นจำนวนเต็มและอยู่ในรูปแบบด้วย

ข้อเสียของ RNS คือความสามารถในการแสดงตัวเลขในจำนวนที่จำกัด เช่นเดียวกับการขาดอัลกอริธึมที่มีประสิทธิภาพในการเปรียบเทียบตัวเลขที่แสดงใน RNS โดยปกติการเปรียบเทียบจะดำเนินการผ่านการแปลอาร์กิวเมนต์จาก RNS ไปเป็นระบบเลขฐานผสม

ระบบเลขสเติร์น-โบรโคต์- วิธีการเขียนจำนวนตรรกยะบวก โดยอาศัยพื้นฐานจากต้นสเติร์น-โบรคอท

ระบบจำนวนของประเทศต่างๆ

ระบบเลขหน่วย

เห็นได้ชัดว่าเป็นระบบหมายเลขแรกของทุกประเทศที่เชี่ยวชาญการนับตามลำดับเวลา จำนวนธรรมชาติแสดงโดยการทำซ้ำเครื่องหมายเดียวกัน (เส้นประหรือจุด) ตัวอย่างเช่น หากต้องการพรรณนาหมายเลข 26 คุณต้องวาดเส้น 26 เส้น (หรือสร้างรอยบาก 26 รอยบนกระดูก หิน ฯลฯ ) ต่อมาเพื่อความสะดวกในการรับรู้จำนวนมาก สัญญาณเหล่านี้จึงจัดกลุ่มเป็นกลุ่มละสามหรือห้ารายการ จากนั้นกลุ่มสัญญาณที่มีปริมาตรเท่ากันก็เริ่มถูกแทนที่ด้วยเครื่องหมายใหม่ - นี่คือวิธีที่ต้นแบบของตัวเลขในอนาคตเกิดขึ้น

ระบบตัวเลขอียิปต์โบราณ

ระบบเลขบาบิโลน

ระบบตัวเลขตามตัวอักษร

ระบบตัวเลขตามตัวอักษรถูกใช้โดยชาวอาร์มีเนีย จอร์เจีย ชาวกรีก (ระบบเลขอิออน) ชาวอาหรับ (อับจาเดีย) ชาวยิว (ดู gematria) และชนชาติอื่นๆ ในตะวันออกกลาง ในหนังสือพิธีกรรมสลาฟ ระบบอักษรกรีกได้รับการแปลเป็นอักษรซีริลลิก

ระบบจำนวนชาวยิว

ระบบเลขกรีก

ระบบเลขโรมัน

ตัวอย่างที่ยอมรับได้ของระบบตัวเลขที่เกือบจะไม่มีตำแหน่งคือระบบโรมัน ซึ่งใช้ตัวอักษรละตินเป็นตัวเลข:
ฉันย่อมาจาก 1,
วี - 5,
เอ็กซ์ - 10,
ล - 50,
ค - 100
ดี - 500,
ม - 1,000

ตัวอย่างเช่น II = 1 + 1 = 2
ในที่นี้สัญลักษณ์ I ย่อมาจาก 1 โดยไม่คำนึงถึงตำแหน่งของตัวเลข

อันที่จริง ระบบโรมันไม่ใช่ระบบที่ไม่มีตำแหน่งโดยสมบูรณ์ เนื่องจากหลักที่เล็กกว่าซึ่งมาก่อนหลักที่ใหญ่กว่าจะถูกลบออก เช่น:

IV = 4 ในขณะที่:
วี = 6

ระบบตัวเลขของชาวมายัน

ดูสิ่งนี้ด้วย

หมายเหตุ

ลิงค์

• กัชคอฟ เอส.บี.ระบบจำนวนและการประยุกต์ - อ.: MTsNMO, 2547. - (ห้องสมุด “การศึกษาคณิตศาสตร์”).
• โฟมิน เอส.วี.ระบบตัวเลข - อ.: Nauka, 2530. - 48 น. - (บรรยายยอดนิยมวิชาคณิตศาสตร์)
• ยาโกลม ไอ.ระบบตัวเลข // ควอนตัม. - 2513. - ฉบับที่ 6. - หน้า 2-10.
• ตัวเลขและระบบจำนวน สารานุกรมออนไลน์ทั่วโลก
• สตาคอฟ เอ.บทบาทของระบบตัวเลขในประวัติศาสตร์คอมพิวเตอร์
• ระบบตัวเลข Mikushin A.V. หลักสูตรการบรรยายเรื่อง “อุปกรณ์ดิจิทัลและไมโครโปรเซสเซอร์”
• Butler J.T., Sasao T. Redundant Multiple-Valued Number Systems บทความนี้กล่าวถึงระบบจำนวนที่ใช้ตัวเลขที่มากกว่า 1 และยอมให้มีการซ้ำซ้อนในการแทนตัวเลข

มูลนิธิวิกิมีเดีย 2010.

ดูว่า "ระบบตัวเลข" ในพจนานุกรมอื่นคืออะไร:

วิธีแสดงตัวเลขและกฎการใช้งาน มีระบบเลขตำแหน่งและไม่ใช่ตำแหน่ง ดูเพิ่มเติมที่: ระบบตัวเลข ข้อมูล พจนานุกรมการเงิน Finam ... พจนานุกรมการเงิน

สัญกรณ์- (1) ระบบเส้นทางอัตโนมัติต่อเนื่อง (หรือด้วยตนเองโดยเครื่องเดินเรือ) ซึ่งบันทึกการเคลื่อนที่ที่แท้จริงของเครื่องบิน เรือ อาวุธควบคุมนับล้านภายใต้อิทธิพลของแรงขับของตัวเองและปัจจัยภายนอก (ลม อากาศ และ ... .. . สารานุกรมโพลีเทคนิคขนาดใหญ่

สัญกรณ์- - หัวข้อโทรคมนาคม แนวคิดพื้นฐาน ระบบเลข EN...

สัญกรณ์- ▲ ชุดรหัส ระบบสัญกรณ์ระบบเลขจำนวนเต็มสำหรับแสดงตัวเลข วิธีการเขียนตัวเลข การเข้ารหัสตัวเลข หลักเป็นเครื่องหมายระบุจำนวนเต็ม ซิฟิร์ (ล้าสมัย) เลขโรมัน ตัวเลขอารบิก: ศูนย์ หนึ่ง. สอง. สาม. สี่… พจนานุกรมอุดมการณ์ของภาษารัสเซีย

สัญกรณ์- ชุดสัญลักษณ์และกฎการเขียนตัวเลข (ดูตัวอย่างเลขโรมัน) ในทางปฏิบัติของมนุษย์ ระบบเลขฐานสิบถูกนำมาใช้อย่างแพร่หลายที่สุด ในเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์ (คอมพิวเตอร์) ไบนารี ฐานแปด และ... ... จุดเริ่มต้นของวิทยาศาสตร์ธรรมชาติสมัยใหม่

สัญกรณ์- สถานะระบบskaičių T sritis automatika atitikmenys: engl ระบบการแสดงตัวเลข ระบบตัวเลข ระบบเลข ระบบตัวเลข ระบบเลข ระบบตัวเลข สเกลโวค Zahlendarstellungssystem, n; Zahlensystem, n rus.… … Automatikos สิ้นสุด žodynas

ระบบเลขชั้นคงเหลือ- ระบบตัวเลขเป็นเศษ - [L.G. Sumenko พจนานุกรมภาษาอังกฤษเป็นภาษารัสเซียเกี่ยวกับเทคโนโลยีสารสนเทศ อ.: รัฐวิสาหกิจ TsNIIS, 2546.] หัวข้อ เทคโนโลยีสารสนเทศโดยทั่วไป ระบบหมายเลขคำพ้องในระบบสารตกค้าง EN ระบบสารตกค้าง (หมายเลข) ... คู่มือนักแปลด้านเทคนิค

ระบบจำนวนที่มีฐานลบ- - [แอล.จี. ซูเมนโก พจนานุกรมภาษาอังกฤษเป็นภาษารัสเซียเกี่ยวกับเทคโนโลยีสารสนเทศ อ.: รัฐวิสาหกิจ TsNIIS, 2546.] หัวข้อ เทคโนโลยีสารสนเทศในระบบการแสดงตัวเลขฐานลบ EN ทั่วไป ... คู่มือนักแปลด้านเทคนิค

ในเรื่องของการจัดระเบียบการประมวลผลข้อมูลโดยใช้คอมพิวเตอร์ สถานที่สำคัญในระบบตัวเลข รูปแบบของการนำเสนอข้อมูล และการเข้ารหัสตัวเลขแบบพิเศษ

ชุดเทคนิคการตั้งชื่อและการเขียนตัวเลขเรียกว่า การคำนวณที่ตายแล้ว. ภายใต้ ระบบตัวเลขหมายถึงวิธีการแสดงตัวเลขใดๆ โดยใช้ตัวอักษรสัญลักษณ์ที่เรียกว่าตัวเลข การกำหนดหมายเลขเป็นกรณีพิเศษของการเข้ารหัส โดยที่คำที่เขียนด้วยตัวอักษรบางตัวและตามกฎบางอย่างเรียกว่ารหัส ในส่วนที่เกี่ยวข้องกับสัญกรณ์ นี่คือรหัสของตัวเลข

ระบบจำนวนตำแหน่งและไม่ใช่ตำแหน่ง

มีระบบเลขตำแหน่งและไม่ใช่ตำแหน่ง ในระบบตัวเลขที่ไม่ใช่ตำแหน่ง แต่ละหมายเลขจะถูกกำหนดโดยชุดสัญลักษณ์ที่สอดคล้องกัน ตัวแทนทั่วไปของระบบที่ไม่ใช่ตำแหน่งคือระบบเลขโรมันที่มีวิธีการที่ซับซ้อนในการเขียนตัวเลขและกฎที่ยุ่งยากสำหรับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่น รายการ MCMXCIX หมายความว่ามีการเขียนตัวเลข 1999 (M - หนึ่งพัน, C - หนึ่งร้อย, X - สิบ, V - ห้า, I - หนึ่ง ฯลฯ)

ระบบจำนวนตำแหน่งมีข้อได้เปรียบอย่างมากในเรื่องความชัดเจนในการแสดงตัวเลข และความง่ายในการดำเนินการทางคณิตศาสตร์

ในระบบตัวเลขตำแหน่ง ค่าของตัวเลขจะถูกกำหนดไม่เพียงแต่โดยชุดของตัวเลขที่รวมอยู่ในนั้น แต่ยังรวมถึงตำแหน่ง (ตำแหน่ง) ในลำดับของตัวเลขที่แสดงถึงตัวเลขนี้ เช่น ตัวเลข 127 และ 721

ระบบเลขตำแหน่งคือระบบเลขทศนิยมที่ใช้ในชีวิตประจำวัน นอกจากทศนิยมแล้ว ยังมีระบบตัวเลขตำแหน่งอื่นๆ และบางระบบก็พบการประยุกต์ใช้ในวิทยาการคอมพิวเตอร์แล้ว

จำนวนสัญลักษณ์ที่ใช้ในระบบตัวเลขตำแหน่งเรียกว่าฐาน โดยปกติจะแสดงด้วยตัวอักษร q ระบบเลขฐานสิบใช้สัญลักษณ์สิบตัว (หลัก) ได้แก่ 0, 1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9 และฐานของระบบคือเลขสิบ

สถานที่พิเศษในระบบตัวเลขตำแหน่งนั้นถูกครอบครองโดยระบบที่มีน้ำหนักกฎกำลังของตัวเลขซึ่งน้ำหนักของตำแหน่งที่อยู่ติดกันของตัวเลข (หลัก) มีค่าต่างกันตามจำนวนคงที่ของคูณกับฐาน q ของระบบตัวเลข

โดยทั่วไป ในระบบตัวเลขตำแหน่งที่มีฐาน q จำนวน X ใดๆ สามารถแสดงเป็นพหุนามส่วนขยายได้:
(1.1)

ที่ไหน:
A(q) - บันทึกตัวเลขในระบบตัวเลขด้วยฐาน q;
ai - จำนวนเต็มน้อยกว่า q;
n - จำนวนหลัก (ตำแหน่ง) ในส่วนจำนวนเต็มของตัวเลข
m - จำนวนหลักในส่วนเศษส่วนของตัวเลข

ตัวอย่างเช่น:


เพื่อระบุระบบตัวเลขที่ใช้ ฐานจะถูกระบุในดัชนี การแสดงหมายเลข A เป็นลำดับของสัมประสิทธิ์ a พหุนามเป็นตัวย่อตามเงื่อนไข (รหัส)

A(q)=a n-1 a n-2 …a 1 a 0 ,a -1 …a -m (1.2)

เครื่องหมายลูกน้ำแยกส่วนจำนวนเต็มของตัวเลขออกจากส่วนที่เป็นเศษส่วนและทำหน้าที่เป็นจุดเริ่มต้นของการนับค่าน้ำหนักของแต่ละตำแหน่ง (หลัก)

ในวิทยาการคอมพิวเตอร์ จะใช้ระบบตัวเลขตำแหน่งที่มีฐานที่ไม่ใช่ฐานสิบ ได้แก่ ไบนารี ฐานแปด และฐานสิบหก เช่น ระบบตัวเลขที่มีฐาน q = 2 k โดยที่ k = 1,3,4

ระบบเลขฐานสอง

ระบบตัวเลขที่ใช้กันอย่างแพร่หลายที่สุดคือระบบเลขฐานสอง ในระบบนี้ จะใช้สัญลักษณ์สองตัวแทนตัวเลขใดๆ คือ ตัวเลข 0 และ 1 ฐานของระบบตัวเลขคือ q = 2

สามารถแสดงจำนวนที่ต้องการได้โดยใช้สูตร (1.1) เป็นการขยายกำลังสอง จากนั้นสัญกรณ์แบบย่อแบบมีเงื่อนไขตาม (1.2) หมายถึงการแสดงตัวเลขในระบบเลขฐานสอง (รหัสไบนารี่ของตัวเลข) โดยที่ ai = 0 หรือ 1

ตัวอย่างเช่น:
15,625=1 2 3 +1 2 2 +1 2 1 +1 2 0 + 1 2 -1 +0 2 -2 +1 2 -3 = 1111,101 (2)
การแทนเลขฐานสองของตัวเลขต้องใช้ตัวเลขมากกว่าเลขทศนิยมประมาณ 3.3 เท่า อย่างไรก็ตาม การใช้ระบบเลขฐานสองจะสร้างความสะดวกอย่างมากให้กับการทำงานของคอมพิวเตอร์ เนื่องจากองค์ประกอบการจัดเก็บข้อมูลใดๆ ที่มีสถานะเสถียรสองสถานะสามารถใช้แทนบิตของเลขฐานสองในเครื่องได้

ระบบเลขฐานแปด

ในระบบเลขฐานแปดตัวอักษรประกอบด้วยอักขระแปดตัว (หลัก): 0, 1 ... 7 ฐานของระบบตัวเลขคือ q = 8 หากต้องการเขียนตัวเลขใด ๆ ในระบบเลขฐานแปดคุณต้องใช้ สูตร (1.1) เพื่อหาการขยายตัวยกกำลัง 8 แล้วใช้รูปแบบย่อแบบมีเงื่อนไข (1.2)

ตัวอย่างเช่น, เลขทศนิยม 53 (10) = 65 (8)

ระบบเลขฐานสิบหก
ในระบบเลขฐานสิบหก ตัวอักษรประกอบด้วยอักขระ 16 ตัว (ตัวเลขและตัวอักษร): 0, 1 ... 9, A, B, C, D, E, F ฐานของระบบตัวเลขคือ q = 16 วิธีเขียน ตัวเลขใดๆ ในหมายเลขระบบนี้ จำเป็นต้องค้นหาการขยายกำลัง 16 โดยใช้สูตร (1.1) และใช้สูตร (1.2) เพื่อค้นหารหัส

ตัวอย่างเช่น: 31 (10) = 1F (16)

การเข้ารหัสทศนิยมไบนารี
นอกเหนือจากรหัสไบนารี่ที่คอมพิวเตอร์ทำงานแล้ว การเข้ารหัสทศนิยมไบนารีแบบพิเศษยังใช้ในการป้อนและส่งออกตัวเลขทศนิยม (ข้อมูล) ด้วยการเข้ารหัส BCD หลักทศนิยมแต่ละหลักจะถูกแทนที่ด้วยเลขฐานสองจำนวน tetrad (รูปสี่เหลี่ยม) และตัว tetrad จะถูกเขียนตามลำดับตามลำดับของหลักทศนิยม การแปลง BCD เป็นทศนิยมจะแบ่งซอร์สโค้ดเป็นเตตราดทางขวาและซ้ายของจุดทศนิยม ซึ่งจะถูกแทนที่ด้วยทศนิยม

ดังนั้น ด้วยการเข้ารหัสไบนารี่-ทศนิยม ตัวเลขจะไม่ถูกแปลงเป็นระบบตัวเลขใหม่ แต่เรากำลังเผชิญกับระบบเลขทศนิยมที่ใช้รหัสไบนารี่

ตัวอย่างเช่น , เลขทศนิยม 12 (10) = C (16) = 14 (8) = 1100 (2) = 00010010 (2-10)

คอมพิวเตอร์ใช้รูปแบบการแสดงข้อมูลดังต่อไปนี้:
ตัวเลขที่มีจุดคงที่ (ลูกน้ำ)
ตัวเลขจุดลอยตัว
ตัวเลขทศนิยม
ข้อมูลตัวละคร

หมายเลขจุดคงที่
เมื่อแสดงตัวเลข X ในรูปแบบจุดคงที่ เครื่องหมายของตัวเลข (เครื่องหมาย X) และโมดูลัสของตัวเลข (modX) จะถูกระบุในโค้ด q-ary บางครั้งรูปแบบการแสดงตัวเลขนี้เรียกว่ารูปแบบธรรมชาติ ตำแหน่งของจุด (ลูกน้ำ) เป็นค่าคงที่สำหรับตัวเลขทั้งหมด และไม่เปลี่ยนแปลงในกระบวนการแก้ปัญหา เครื่องหมายของจำนวนบวกจะมีรหัสเป็น “0” และเครื่องหมายของจำนวนลบจะมีรหัสเป็น “1”

รหัสของตัวเลขในรูปแบบจุดคงที่ ซึ่งประกอบด้วยรหัสเครื่องหมายและรหัส q-ary ของโมดูลัส เรียกว่ารหัสตรง หลักของรหัสโดยตรงของหมายเลขซึ่งมีรหัสเครื่องหมายอยู่เรียกว่าตัวเลขเครื่องหมายของรหัส บิตของโค้ดโดยตรงของตัวเลขซึ่งมีโค้ด q-ary ของโมดูลัสของตัวเลขอยู่ เรียกว่าบิตดิจิทัลของโค้ด เมื่อเขียนโค้ดโดยตรง บิตเครื่องหมายจะอยู่ทางด้านซ้ายของบิตดิจิทัลที่สำคัญที่สุด และโดยปกติจะแยกออกจากบิตดิจิทัลด้วยจุด

โดยทั่วไป ตารางบิตของคอมพิวเตอร์สำหรับการวางตัวเลขในรูปแบบจุดคงที่จะแสดงในรูป
รูปนี้แสดงตัวเลข n หลักเพื่อแสดงส่วนจำนวนเต็มของตัวเลข และตัวเลข r สำหรับส่วนที่เป็นเศษส่วนของตัวเลข

ก) แก้ไขแล้ว


สำหรับ n และ r ที่กำหนด ช่วงของการเปลี่ยนแปลงในโมดูลตัวเลข รหัสที่สามารถแสดงในตารางบิตที่กำหนด จะถูกกำหนดโดยความไม่เท่าเทียมกัน

การใช้รูปแบบจุดคงที่เพื่อแสดงตัวเลขผสม (ที่มีจำนวนเต็มและเศษส่วน) ไม่พบในคอมพิวเตอร์ ตามกฎแล้ว คอมพิวเตอร์จะใช้กับเลขคณิตเศษส่วน (n=0) หรือเลขคณิตจำนวนเต็ม (r=0)

รูปแบบการแสดงตัวเลขแบบจุดคงที่ช่วยลดความยุ่งยากในการใช้ฮาร์ดแวร์ของคอมพิวเตอร์และลดเวลาที่ใช้ในการทำงานของเครื่องจักรอย่างไรก็ตามเมื่อแก้ไขปัญหาบนเครื่องจำเป็นต้องตรวจสอบให้แน่ใจอย่างต่อเนื่องว่าข้อมูลเริ่มต้นผลลัพธ์ระดับกลางและสุดท้ายทั้งหมด อยู่ในขอบเขตที่ยอมรับได้ หากไม่ปฏิบัติตามตารางบิตอาจล้นและผลการคำนวณจะไม่ถูกต้อง คอมพิวเตอร์ที่ใช้รูปแบบจุดลอยตัวหรือรูปแบบปกติส่วนใหญ่ปราศจากข้อบกพร่องเหล่านี้

ตัวเลขจุดลอยตัว
b) รูปที่ 14.b มีจุดลอยตัว

ในรูปแบบปกติ ตัวเลขจะแสดงเป็นผลิตภัณฑ์ X=ตรม
โดยที่ m คือแมนทิสซาของตัวเลข
q - ฐานของระบบตัวเลข
ร - สั่งซื้อ

ในการระบุตัวเลขในรูปแบบปกติ คุณจะต้องระบุแมนทิสซาและเครื่องหมายเลขชี้กำลัง โมดูลของพวกมันในโค้ด q-ary รวมถึงฐานของระบบตัวเลข รูปแบบปกติในการแสดงตัวเลขนั้นไม่ชัดเจน เนื่องจากการเปลี่ยนแปลงร่วมกันของ m และ p นำไปสู่การลอยตัวของจุด (ลูกน้ำ) นี่คือที่มาของชื่อรูปแบบการแสดงตัวเลข

เพื่อให้แน่ใจว่าการแสดงตัวเลขในคอมพิวเตอร์ไม่คลุมเครือจึงใช้รูปแบบมาตรฐานซึ่งตำแหน่งของจุดจะได้รับก่อนเลขนัยสำคัญของแมนทิสซาเสมอนั่นคือ ตรงตามเงื่อนไข

ในกรณีทั่วไป ตารางบิตของคอมพิวเตอร์สำหรับวางตัวเลขในรูปแบบปกติสามารถแสดงได้ดังแสดงในรูปที่ 1 ตารางบิตประกอบด้วย:

ตัวเลขสำหรับเครื่องหมายแมนทิสซา

บิตดิจิทัลสำหรับรหัส q-ary ของโมดูลแมนทิสซา

ตัวเลขสำหรับรหัสสัญญาณคำสั่งซื้อ

ตัวเลขสำหรับรหัส q-ary ของโมดูลัสของการสั่งซื้อ

ช่วงของการแทนโมดูลัสของตัวเลขในรูปแบบปกติถูกกำหนดโดยความไม่เท่าเทียมกันต่อไปนี้:

ในคอมพิวเตอร์เครื่องใดเครื่องหนึ่ง ช่วงของการแทนจำนวนจุดลอยตัวจะขึ้นอยู่กับฐานของระบบและจำนวนหลักที่ใช้แทนลำดับ
ในเวลาเดียวกัน สำหรับรูปแบบตัวเลขทศนิยมที่มีความยาวเท่ากัน เมื่อฐานของระบบตัวเลขเพิ่มขึ้น ช่วงของตัวเลขที่แสดงจะขยายออกอย่างมาก
ความแม่นยำของการคำนวณเมื่อใช้รูปแบบจุดลอยตัวถูกกำหนดโดยจำนวนหลักของแมนทิสซา r มันเพิ่มขึ้นตามจำนวนหลัก
เมื่อนำเสนอข้อมูลในรูปแบบเลขทศนิยมหลายหลัก หลักทศนิยมแต่ละหลักจะถูกแทนที่ด้วยรหัสทศนิยมฐานสอง เพื่อเพิ่มความเร็วในการแลกเปลี่ยนข้อมูล บันทึกหน่วยความจำ และทำให้การดำเนินการกับเลขทศนิยมสะดวกยิ่งขึ้น มีการจัดเตรียมรูปแบบพิเศษสำหรับการแสดง: โซน (แกะแล้ว) และ บรรจุ . รูปแบบโซนใช้ในการป้อนข้อมูล เพื่อจุดประสงค์นี้ คอมพิวเตอร์จึงมีคำสั่งพิเศษสำหรับการบรรจุและแกะตัวเลขทศนิยม

ในการจัดเก็บตัวเลขและดำเนินการต่าง ๆ กับตัวเลขนั้น พวกมันจะถูกแสดงด้วยรหัสต่าง ๆ: ไปข้างหน้า, ผกผัน และเสริม ตามที่ระบุไว้ข้างต้น รหัสโดยตรงถูกใช้เพื่อแสดงหมายเลขที่เซ็นชื่อในหน่วยความจำคอมพิวเตอร์ เพื่อแสดงถึงรหัสตรงของหมายเลข X จะใช้รูปแบบ ^

กฎสำหรับการแสดงรหัส Q-ary ของตัวเลขใน รหัสโดยตรง มีรูปแบบ:

โดยที่ xi คือค่าของตัวเลขในหลักที่ i ของซอร์สโค้ด

บิตที่สำคัญที่สุดในส่วนนี้ประกอบด้วยข้อมูลเกี่ยวกับเครื่องหมายของตัวเลข หากใช้ค่า 0 แสดงว่าเครื่องหมายตัวเลขคือ "+"; ถ้าค่าเป็น 1 เครื่องหมายของตัวเลขจะเป็น "-"

ตัวอย่างเช่น สำหรับรหัสไบนารี่

X (2) = +11001011	[X (2) ]=0.11001011;
X(2) = -01101011	[X (2) ]=1.01101011.

เมื่อแสดงตัวเลขในโค้ดโดยตรง การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ในคอมพิวเตอร์จะต้องจัดให้มีการดำเนินการต่างๆ กับโมดูลตัวเลข ขึ้นอยู่กับสัญญาณ ดังนั้นการเพิ่มตัวเลขที่มีเครื่องหมายเดียวกันในโค้ดโดยตรงจึงค่อนข้างง่าย ตัวเลขจะถูกบวกและผลรวมจะถูกกำหนดเป็นรหัสเครื่องหมายของการบวก การดำเนินการของการบวกพีชคณิตในโค้ดโดยตรงของตัวเลขที่มีเครื่องหมายต่างกันนั้นซับซ้อนกว่ามาก ในกรณีนี้ คุณต้องกำหนดหมายเลขโมดูโลที่ใหญ่กว่า ลบตัวเลข และกำหนดเครื่องหมายของหมายเลขโมดูโลที่ใหญ่กว่าให้กับผลต่าง เพื่อให้การดำเนินการบวกพีชคณิตในคอมพิวเตอร์ง่ายขึ้นจึงมีการใช้รหัสพิเศษที่ทำให้สามารถลดการดำเนินการนี้เป็นการดำเนินการของการบวกเลขคณิตได้ รหัสย้อนกลับและรหัสเพิ่มเติมถูกใช้เป็นรหัสพิเศษในคอมพิวเตอร์ พวกมันถูกสร้างขึ้นจากรหัสตรงของตัวเลข และรหัสพิเศษของจำนวนบวกจะเท่ากับรหัสตรงของมัน

เพื่อแสดงถึงรหัสย้อนกลับของตัวเลข X(q) จะใช้รูปแบบ [X(q)] arr.
กฎสำหรับการแสดงรหัส q-ary ของตัวเลขใน รหัสย้อนกลับ มีรูปแบบ:

นี่คือการกลับตัวของตัวเลข xi ซึ่งพิจารณาจากความสัมพันธ์:

โดยที่: q - ฐานของระบบตัวเลข
xj คือค่าของหลักในหลักที่ i ของซอร์สโค้ด

สำหรับระบบเลขฐานสอง ถ้า x = 1 ก็จะกลับกัน จากที่นี่เราสามารถกำหนดกฎเฉพาะสำหรับการสร้างโค้ดย้อนกลับสำหรับเลขฐานสองติดลบ

ในการแปลงโค้ดโดยตรงของเลขลบไบนารีเป็นโค้ดย้อนกลับและในทางกลับกัน จำเป็นต้องปล่อยให้บิตเครื่องหมายไม่เปลี่ยนแปลง และในบิตที่เหลือจะแทนที่ศูนย์ด้วยบิตและบิตที่มีศูนย์

ตัวอย่างเช่น:

x (2) = +11011001,	ราคา=0.11011001,	ถึง.= 0.11011001.
x (2) = - 01011101,	ราคา=1.01011101,	arr.= 1.10100010.

เพื่อบ่งชี้ รหัสเพิ่มเติม หมายเลข X(q) ใช้สัญลักษณ์ของแบบฟอร์มเพิ่มเติม กฎสำหรับการแสดงโค้ด q-ary ของตัวเลขในโค้ดเสริมของ two คือ:

ดังนั้น, ในการแปลงโค้ดโดยตรงของจำนวนลบ q-ary ให้เป็นโค้ดเพิ่มเติม คุณต้องสร้างโค้ดให้เป็นโค้ดย้อนกลับและเพิ่มโค้ดหนึ่งลงในหลักลำดับต่ำ

ตัวอย่างเช่น สำหรับเลขฐานสอง:

x (2) = +11011001,	ราคา= 0.11011001,	เพิ่มเติม = 0.11011001
x (2) = - 01011101,	ราคา=1.01011101,	ถึง.= 1.10100011.

เมื่อดำเนินการบวกตัวเลขที่แสดงด้วยรหัส q-ary พิเศษ บิตเครื่องหมายจะมีส่วนร่วมในการดำเนินการพร้อมกับบิตดิจิทัล ในกรณีนี้ ตัวเลขดิจิทัลของคำศัพท์จะถูกเพิ่มเป็นโมดูลของตัวเลขตามกฎของเลขคณิต q-ary บิตเซ็นชื่อและนำตัวเลขจากบิตดิจิทัลที่สำคัญที่สุดสำหรับฐานระบบตัวเลขใดๆ (q = 2) จะถูกเพิ่มเป็นรหัสไบนารี่บิตเดียว หากมีการสร้างบิตยกจากเครื่องหมาย บิตจะมีน้ำหนักเท่ากับ 1 สำหรับบิตที่มีนัยสำคัญน้อยที่สุด q -m เมื่อใช้โค้ดย้อนกลับ และจะต้องเพิ่มลงในบิตที่มีนัยสำคัญน้อยที่สุดของผลลัพธ์ เมื่อใช้รหัสเสริมของทั้งสอง หน่วยพกพาจากบิตเครื่องหมายจะไม่ถูกนำมาพิจารณา กล่าวคือ ละทิ้งไป

ตัวอย่างเช่น:

เมื่อดำเนินการบวกพีชคณิตก่อนที่จะแปลงรหัสโดยตรงของการบวกเป็นโค้ดพิเศษจำเป็นต้องจัดเรียงตามจำนวนหลักหากจำนวนหลักของการบวกต่างกัน นอกจากนี้ ในบางกรณี อาจเกิดการโอเวอร์โฟลว์ของกริด สัญญาณของการโอเวอร์โฟลว์ของตารางบิตคือการรวมตัวเลขต่อไปนี้ในหลักเครื่องหมายของคำศัพท์และผลลัพธ์:

ผลลัพธ์ของการเพิ่มรหัสตัวเลขพิเศษเมื่อกริดบิตโอเวอร์โฟลว์ไม่ถูกต้อง

ในขณะที่ศึกษาการเข้ารหัส ฉันพบว่าฉันยังไม่เข้าใจระบบตัวเลขดีพอ อย่างไรก็ตาม ฉันมักจะใช้ระบบ 2-, 8-, 10-, 16-th แปลงซึ่งกันและกัน แต่ทุกอย่างเสร็จสิ้น "อัตโนมัติ" เมื่ออ่านสิ่งพิมพ์หลายฉบับแล้ว ฉันรู้สึกประหลาดใจที่ไม่มีบทความภาษาเรียบง่ายเพียงบทความเดียวเกี่ยวกับเนื้อหาพื้นฐานดังกล่าว นั่นคือเหตุผลที่ฉันตัดสินใจเขียนบทความของตัวเอง โดยพยายามนำเสนอพื้นฐานของระบบตัวเลขในลักษณะที่เข้าถึงได้และเป็นระเบียบ

การแนะนำ

สัญกรณ์เป็นวิธีการบันทึก(แทน)ตัวเลข

สิ่งนี้หมายความว่า? ตัวอย่างเช่น คุณเห็นต้นไม้หลายต้นอยู่ตรงหน้าคุณ งานของคุณคือการนับพวกเขา ในการทำเช่นนี้ คุณสามารถงอนิ้วของคุณ ทำรอยบากบนหิน (ต้นไม้หนึ่งต้น - หนึ่งนิ้ว/รอยบาก) หรือจับคู่ต้นไม้ 10 ต้นกับวัตถุ เช่น หิน และตัวอย่างหนึ่งชิ้นด้วยไม้ แล้ววางต้นไม้เหล่านั้น บนพื้นในขณะที่คุณนับ ในกรณีแรก ตัวเลขจะแสดงเป็นเส้นนิ้วหรือรอยบาก ในกรณีที่สอง - องค์ประกอบของหินและแท่ง โดยที่ก้อนหินอยู่ทางด้านซ้ายและเกาะอยู่ทางด้านขวา

ระบบจำนวนแบ่งออกเป็นแบบตำแหน่งและแบบไม่มีตำแหน่ง และแบบตำแหน่งตามลำดับให้เป็นเนื้อเดียวกันและแบบผสม

ไม่ใช่ตำแหน่ง- ที่เก่าแก่ที่สุดโดยตัวเลขแต่ละหลักมีค่าที่ไม่ขึ้นอยู่กับตำแหน่ง (หลัก) นั่นคือถ้าคุณมี 5 บรรทัด ตัวเลขนั้นก็จะเป็น 5 เช่นกัน เนื่องจากแต่ละบรรทัดจะสอดคล้องกับ 1 รายการเท่านั้น โดยไม่คำนึงถึงตำแหน่งในบรรทัด

ระบบตำแหน่ง- ความหมายของแต่ละหลักขึ้นอยู่กับตำแหน่ง (หลัก) ในตัวเลข เช่น ระบบเลข 10 ที่เราคุ้นเคยคือระบบตำแหน่ง ลองพิจารณาตัวเลข 453 กัน หมายเลข 4 ระบุจำนวนร้อยและสอดคล้องกับหมายเลข 400 5 - จำนวนสิบและคล้ายกับค่า 50 และ 3 - หน่วยและค่า 3 อย่างที่คุณเห็น ยิ่งตัวเลขมากขึ้น ค่าก็จะยิ่งสูงขึ้น ตัวเลขสุดท้ายสามารถแสดงเป็นผลรวม 400+50+3=453

ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกัน- สำหรับตัวเลขทั้งหมด (ตำแหน่ง) ของตัวเลข ชุดอักขระที่ถูกต้อง (ตัวเลข) จะเหมือนกัน ตัวอย่างเช่น ลองใช้ระบบที่ 10 ที่กล่าวถึงก่อนหน้านี้ เมื่อเขียนตัวเลขในระบบที่ 10 ที่เป็นเนื้อเดียวกัน คุณสามารถใช้ตัวเลขได้เพียงหลักเดียวตั้งแต่ 0 ถึง 9 ในแต่ละหลัก ดังนั้นจึงอนุญาตให้ใช้ตัวเลข 450 (หลักที่ 1 - 0, 2 - 5, 3 - 4) แต่ 4F5 ไม่ใช่ เพราะอักขระ F ไม่รวมอยู่ในชุดตัวเลข 0 ถึง 9

ระบบผสม- ในแต่ละหลัก (ตำแหน่ง) ของตัวเลข ชุดอักขระที่ถูกต้อง (หลัก) อาจแตกต่างจากชุดของหลักอื่นๆ ตัวอย่างที่เด่นชัดคือระบบการวัดเวลา ในหมวดหมู่ของวินาทีและนาที มีสัญลักษณ์ที่แตกต่างกัน 60 ตัวที่เป็นไปได้ (ตั้งแต่ “00” ถึง “59”) ในหมวดหมู่ของชั่วโมง – 24 สัญลักษณ์ที่แตกต่างกัน (ตั้งแต่ “00” ถึง “23”) ในหมวดหมู่ของวัน – 365 ฯลฯ

ระบบที่ไม่ใช่ตำแหน่ง

ทันทีที่ผู้คนเรียนรู้ที่จะนับ ความจำเป็นในการเขียนตัวเลขก็เกิดขึ้น ในตอนแรก ทุกอย่างเรียบง่าย - รอยบากหรือเส้นประบนพื้นผิวบางส่วนสอดคล้องกับวัตถุชิ้นเดียว เช่น ผลไม้หนึ่งผล นี่คือลักษณะที่ระบบตัวเลขแรกปรากฏขึ้น - หน่วย

ระบบเลขหน่วย

ตัวเลขในระบบตัวเลขนี้คือชุดของขีดกลาง (แท่ง) ซึ่งจำนวนจะเท่ากับค่าของตัวเลขที่กำหนด ดังนั้น การเก็บเกี่ยวอินทผลัม 100 ผลจะเท่ากับตัวเลขที่ประกอบด้วย 100 ขีดกลาง
แต่ระบบนี้มีความไม่สะดวกอย่างเห็นได้ชัด - ยิ่งจำนวนมากเท่าไรก็ยิ่งมีแท่งไม้ยาวขึ้นเท่านั้น นอกจากนี้ คุณสามารถทำผิดพลาดได้ง่าย ๆ เมื่อเขียนตัวเลขโดยไม่ได้ตั้งใจเพิ่มแท่งพิเศษหรือในทางกลับกันไม่จดลงไป

เพื่อความสะดวก ผู้คนเริ่มจัดกลุ่มแท่งไม้เป็น 3, 5 และ 10 ชิ้น ในเวลาเดียวกัน แต่ละกลุ่มสอดคล้องกับเครื่องหมายหรือวัตถุเฉพาะ เริ่มแรกใช้นิ้วในการนับ ดังนั้นสัญญาณแรกจึงปรากฏสำหรับกลุ่ม 5 และ 10 ชิ้น (หน่วย) ทั้งหมดนี้ทำให้สามารถสร้างระบบการบันทึกหมายเลขที่สะดวกยิ่งขึ้น

ระบบทศนิยมของอียิปต์โบราณ

ในอียิปต์โบราณ สัญลักษณ์พิเศษ (ตัวเลข) ถูกนำมาใช้แทนตัวเลข 1, 10, 10 2, 10 3, 10 4, 10 5, 10 6, 10 7 นี่คือบางส่วนของพวกเขา:

ทำไมถึงเรียกว่าทศนิยม? ตามที่ระบุไว้ข้างต้น ผู้คนเริ่มจัดกลุ่มสัญลักษณ์ ในอียิปต์ พวกเขาเลือกกลุ่มละ 10 คน โดยไม่เปลี่ยนแปลงหมายเลข "1" ในกรณีนี้ เลข 10 เรียกว่าระบบเลขฐานสิบ และแต่ละสัญลักษณ์เป็นตัวแทนของเลข 10 ในระดับหนึ่ง

ตัวเลขในระบบตัวเลขของอียิปต์โบราณเขียนขึ้นจากตัวเลขเหล่านี้รวมกัน
อักขระซึ่งแต่ละตัวซ้ำกันไม่เกินเก้าครั้ง ค่าสุดท้ายเท่ากับผลรวมขององค์ประกอบของตัวเลข เป็นที่น่าสังเกตว่าวิธีการรับค่านี้เป็นลักษณะเฉพาะของระบบตัวเลขที่ไม่ใช่ตำแหน่งทุกระบบ ตัวอย่างจะเป็นหมายเลข 345:

ระบบทางเพศของชาวบาบิโลน

ต่างจากระบบอียิปต์ ระบบของชาวบาบิโลนใช้เพียง 2 สัญลักษณ์เท่านั้น คือ ลิ่ม "ตรง" เพื่อระบุหน่วย และลิ่ม "นอนเอน" เพื่อระบุหลักสิบ ในการกำหนดค่าของตัวเลข คุณต้องแบ่งรูปภาพของตัวเลขออกเป็นตัวเลขจากขวาไปซ้าย การปลดปล่อยใหม่เริ่มต้นด้วยการปรากฏตัวของลิ่มตรงหลังจากอันที่อยู่เฉยๆ ลองใช้หมายเลข 32 เป็นตัวอย่าง:

หมายเลข 60 และเลขยกกำลังทั้งหมดมีเครื่องหมายลิ่มตรง เช่น "1" ดังนั้นระบบตัวเลขของชาวบาบิโลนจึงถูกเรียกว่า sexagesimal
ชาวบาบิโลนเขียนตัวเลขทั้งหมดตั้งแต่ 1 ถึง 59 ในระบบทศนิยมที่ไม่ใช่ตำแหน่งและค่าขนาดใหญ่ในระบบตำแหน่งที่มีฐาน 60 หมายเลข 92:

การบันทึกตัวเลขนั้นไม่ชัดเจน เนื่องจากไม่มีตัวเลขใดที่เป็นศูนย์ การแสดงหมายเลข 92 อาจไม่เพียงหมายถึง 92=60+32 เท่านั้น แต่ยังหมายถึง 3632=3600+32 อีกด้วย ในการกำหนดค่าสัมบูรณ์ของตัวเลขมีการใช้สัญลักษณ์พิเศษเพื่อระบุหลัก sexagesimal ที่หายไปซึ่งสอดคล้องกับลักษณะของตัวเลข 0 ในรูปแบบเลขทศนิยม:

ตอนนี้ควรเขียนหมายเลข 3632 เป็น:

ระบบเลขฐานสิบหกของชาวบาบิโลนเป็นระบบตัวเลขระบบแรกซึ่งส่วนหนึ่งอิงตามหลักตำแหน่ง ระบบตัวเลขนี้ยังคงใช้อยู่ในปัจจุบัน เช่น ในการกำหนดเวลา ชั่วโมงประกอบด้วย 60 นาที และนาทีประกอบด้วย 60 วินาที

ระบบโรมัน

ระบบโรมันไม่ได้แตกต่างจากระบบอียิปต์มากนัก ใช้ตัวอักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่ I, V, X, L, C, D และ M เพื่อแสดงตัวเลข 1, 5, 10, 50, 100, 500 และ 1,000 ตามลำดับ ตัวเลขในระบบเลขโรมันคือชุดของตัวเลขที่ต่อเนื่องกัน

วิธีการกำหนดค่าของตัวเลข:

1. ค่าของตัวเลขเท่ากับผลรวมของค่าของตัวเลข เช่น เลข 32 ในระบบเลขโรมันคือ XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2=32
2. หากมีอันที่เล็กกว่าทางด้านซ้ายของหลักที่ใหญ่กว่า ค่าจะเท่ากับความแตกต่างระหว่างหลักที่ใหญ่กว่าและที่เล็กกว่า ในเวลาเดียวกัน ตัวเลขทางซ้ายสามารถน้อยกว่าตัวเลขทางขวาได้ด้วยขนาดสูงสุดหนึ่งลำดับ ตัวอย่างเช่น มีเพียง X(10) เท่านั้นที่สามารถปรากฏก่อน L(50) และ C(100) ในบรรดาตัวเลขที่ "ต่ำที่สุด" และก่อน D(500) และ M(1000) C(100) ก่อน V(5) - เฉพาะ I(1); ตัวเลข 444 ในระบบตัวเลขที่พิจารณาจะเขียนเป็น CDXLIV = (D-C)+(L-X)+(V-I) = 400+40+4=444
3. ค่าจะเท่ากับผลรวมของค่าของกลุ่มและตัวเลขที่ไม่ตรงกับจุดที่ 1 และ 2

นอกจากระบบดิจิทัลแล้ว ยังมีระบบตัวเลขตัวอักษร (ตัวอักษร) ด้วย นี่คือบางส่วน:
1) สลาฟ
2) กรีก (โยนก)

ระบบตัวเลขตำแหน่ง

ดังที่ได้กล่าวไว้ข้างต้น ข้อกำหนดเบื้องต้นประการแรกสำหรับการเกิดขึ้นของระบบตำแหน่งเกิดขึ้นในบาบิโลนโบราณ ในอินเดีย ระบบใช้รูปแบบของการนับเลขทศนิยมโดยใช้ศูนย์ และชาวอินเดียยืมระบบตัวเลขนี้มาจากชาวอาหรับ ซึ่งชาวยุโรปนำมาใช้ ด้วยเหตุผลบางประการ ในยุโรปจึงตั้งชื่อ "อาหรับ" ให้กับระบบนี้

ระบบเลขทศนิยม

นี่เป็นหนึ่งในระบบตัวเลขที่พบบ่อยที่สุด นี่คือสิ่งที่เราใช้เมื่อเราตั้งชื่อราคาของผลิตภัณฑ์และพูดหมายเลขรถบัส แต่ละหลัก (ตำแหน่ง) สามารถใช้ได้เพียงหนึ่งหลักจากช่วง 0 ถึง 9 ฐานของระบบคือหมายเลข 10

ตัวอย่างเช่น ลองเอาตัวเลข 503 มาใช้ ถ้าตัวเลขนี้เขียนในระบบที่ไม่ใช่ตำแหน่ง ค่าของมันจะเป็น 5+0+3 = 8 แต่เรามีระบบตำแหน่งและนั่นหมายความว่าตัวเลขแต่ละหลักจะต้องเป็น คูณด้วยฐานของระบบในกรณีนี้คือเลข “10” แล้วยกกำลังเท่ากับเลขหลัก ปรากฎว่าค่าคือ 5*10 2 + 0*10 1 + 3*10 0 = 500+0+3 = 503 เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสนเมื่อทำงานกับระบบตัวเลขหลายระบบพร้อมกัน ฐานจะถูกระบุเป็นตัวห้อย ดังนั้น 503 = 503 10.

นอกจากระบบทศนิยมแล้ว ระบบ 2-, 8- และ 16 ยังสมควรได้รับความสนใจเป็นพิเศษ

ระบบเลขฐานสอง

ระบบนี้ส่วนใหญ่จะใช้ในการคำนวณ ทำไมพวกเขาไม่ใช้วันที่ 10 ตามปกติ? คอมพิวเตอร์เครื่องแรกถูกสร้างขึ้นโดย Blaise Pascal ซึ่งใช้ระบบทศนิยมซึ่งกลายเป็นความไม่สะดวกในเครื่องจักรอิเล็กทรอนิกส์สมัยใหม่เนื่องจากต้องมีการผลิตอุปกรณ์ที่สามารถทำงานได้ใน 10 รัฐซึ่งทำให้ราคาและขนาดสุดท้ายของ เครื่องจักร. องค์ประกอบที่ทำงานในระบบที่ 2 ไม่มีข้อบกพร่องเหล่านี้ อย่างไรก็ตาม ระบบดังกล่าวถูกสร้างขึ้นมานานก่อนการประดิษฐ์คอมพิวเตอร์ และมี "รากฐาน" มาจากอารยธรรมอินคา ซึ่งใช้คิวปุส นั่นคือการถักทอและปมเชือกที่ซับซ้อน

ระบบเลขฐานสองมีฐานเป็น 2 และใช้ 2 สัญลักษณ์ (หลัก) ในการเขียนตัวเลข: 0 และ 1 อนุญาตให้มีเพียงหนึ่งหลักในแต่ละหลัก - 0 หรือ 1

ตัวอย่างคือเลข 101 ซึ่งคล้ายกับเลข 5 ในระบบเลขฐานสิบ ในการแปลงจาก 2 เป็น 10 คุณต้องคูณเลขฐานสองแต่ละหลักด้วยฐาน “2” ที่ยกกำลังเท่ากับค่าหลัก ดังนั้น ตัวเลข 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10

สำหรับเครื่องจักร ระบบเลข 2 จะสะดวกกว่า แต่เรามักจะเห็นและใช้ตัวเลขในระบบที่ 10 บนคอมพิวเตอร์ แล้วเครื่องจะกำหนดได้อย่างไรว่าผู้ใช้ป้อนหมายเลขอะไร? มันแปลตัวเลขจากระบบหนึ่งไปยังอีกระบบหนึ่งได้อย่างไรเนื่องจากมีเพียง 2 สัญลักษณ์ - 0 และ 1

เพื่อให้คอมพิวเตอร์ทำงานกับเลขฐานสอง (รหัส) จะต้องเก็บไว้ที่ไหนสักแห่ง ในการจัดเก็บแต่ละหลักจะใช้ทริกเกอร์ซึ่งเป็นวงจรอิเล็กทรอนิกส์ สามารถอยู่ใน 2 สถานะ โดยสถานะหนึ่งสอดคล้องกับศูนย์ และอีกสถานะหนึ่งเป็นหนึ่ง หากต้องการจดจำตัวเลขตัวเดียว จะใช้รีจิสเตอร์ - กลุ่มทริกเกอร์ ซึ่งจำนวนนั้นสอดคล้องกับจำนวนหลักในเลขฐานสอง และชุดของรีจิสเตอร์คือ RAM หมายเลขที่อยู่ในทะเบียนเป็นคำเครื่องจักร การดำเนินการทางคณิตศาสตร์และตรรกะด้วยคำจะดำเนินการโดยหน่วยตรรกะทางคณิตศาสตร์ (ALU) เพื่อให้เข้าถึงการลงทะเบียนได้ง่ายขึ้น จึงมีการกำหนดหมายเลขไว้ หมายเลขนี้เรียกว่าที่อยู่ลงทะเบียน ตัวอย่างเช่น หากคุณต้องการเพิ่มตัวเลข 2 ตัว ก็เพียงพอที่จะระบุจำนวนเซลล์ (รีจิสเตอร์) ที่พวกเขาอยู่ ไม่ใช่ตัวเลขเอง ที่อยู่ถูกเขียนในระบบฐานแปดและฐานสิบหก (จะมีการกล่าวถึงด้านล่าง) เนื่องจากการเปลี่ยนจากระบบเป็นระบบไบนารี่และด้านหลังนั้นค่อนข้างง่าย การโอนตั้งแต่วันที่ 2 ถึงวันที่ 8 จะต้องแบ่งตัวเลขเป็นกลุ่มละ 3 หลักจากขวาไปซ้ายและเลื่อนไปที่วันที่ 16 - 4 ถ้ามีตัวเลขในกลุ่มหลักซ้ายสุดไม่เพียงพอให้กรอก จากทางซ้ายมีศูนย์ซึ่งเรียกว่านำหน้า ลองใช้หมายเลข 101100 2 เป็นตัวอย่าง ในฐานแปดคือ 101 100 = 54 8 และในเลขฐานสิบหกคือ 0010 1100 = 2C 16 เยี่ยมเลย แต่ทำไมเราถึงเห็นตัวเลขและตัวอักษรทศนิยมบนหน้าจอ? เมื่อคุณกดปุ่ม ลำดับของแรงกระตุ้นทางไฟฟ้าจะถูกส่งไปยังคอมพิวเตอร์ และแต่ละสัญลักษณ์จะมีลำดับของแรงกระตุ้นทางไฟฟ้าของตัวเอง (ศูนย์และสัญลักษณ์) โปรแกรมไดรเวอร์แป้นพิมพ์และหน้าจอจะเข้าถึงตารางรหัสอักขระ (เช่น Unicode ซึ่งอนุญาตให้คุณเข้ารหัสอักขระได้ 65536 ตัว) กำหนดอักขระตัวที่โค้ดผลลัพธ์สอดคล้องกับ และแสดงบนหน้าจอ ดังนั้นข้อความและตัวเลขจึงถูกจัดเก็บไว้ในหน่วยความจำของคอมพิวเตอร์ในรูปแบบรหัสไบนารี่ และถูกแปลงโดยทางโปรแกรมเป็นรูปภาพบนหน้าจอ

ระบบเลขฐานแปด

ระบบเลข 8 เช่นเดียวกับเลขฐานสอง มักใช้ในเทคโนโลยีดิจิทัล มีฐานเป็น 8 และใช้ตัวเลข 0 ถึง 7 ในการเขียนตัวเลข

ตัวอย่างเลขฐานแปด: 254 หากต้องการแปลงเป็นระบบที่ 10 แต่ละหลักของตัวเลขเดิมจะต้องคูณด้วย 8 n โดยที่ n คือตัวเลขหลัก ปรากฎว่า 254 8 = 2*8 2 + 5*8 1 + 4*8 0 = 128+40+4 = 172 10

ระบบเลขฐานสิบหก

ระบบเลขฐานสิบหกมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในคอมพิวเตอร์สมัยใหม่ เช่น ใช้เพื่อระบุสี: #FFFFFF - สีขาว ระบบดังกล่าวมีฐาน 16 และใช้ตัวเลขต่อไปนี้ในการเขียน 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. C, D, E, F โดยที่ ตัวอักษรคือ 10, 11, 12, 13, 14, 15 ตามลำดับ

ลองเอาเลข 4F5 16 เป็นตัวอย่างดูครับ ในการแปลงเป็นระบบฐานแปด ขั้นแรกเราจะแปลงเลขฐานสิบหกให้เป็นเลขฐานสอง จากนั้นจึงแบ่งออกเป็นกลุ่มๆ ละ 3 หลักให้เป็นฐานแปด ในการแปลงตัวเลขเป็น 2 คุณต้องแสดงแต่ละหลักเป็นเลขฐานสอง 4 บิต 4F5 16 = (100 1111 101) 2 . แต่ในกลุ่ม 1 และ 3 มีตัวเลขไม่เพียงพอ ดังนั้นเรามาเติมเลขศูนย์นำหน้ากัน: 0100 1111 0101 ตอนนี้คุณต้องแบ่งตัวเลขผลลัพธ์ออกเป็นกลุ่มละ 3 หลักจากขวาไปซ้าย: 0100 1111 0101 = 010 011 110 101 ลองแปลงแต่ละกลุ่มไบนารี่เป็นระบบฐานแปด โดยคูณแต่ละหลักด้วย 2 n โดยที่ n คือตัวเลขหลัก: (0*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (0*2 2 +1*2 1 +1*2 0) (1*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (1*2 2 +0*2 1 +1*2 0) = 2365 8 .

นอกจากระบบเลขตำแหน่งที่พิจารณาแล้ว ยังมีระบบอื่นๆ อีก เช่น
1) ตรีเอกานุภาพ
2) ควอเตอร์นารี
3) ทศนิยมสองทศนิยม

ระบบตำแหน่งแบ่งออกเป็นแบบเอกพันธ์และแบบผสม

ระบบจำนวนตำแหน่งที่เป็นเนื้อเดียวกัน

คำจำกัดความที่ให้ไว้ตอนต้นของบทความอธิบายระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันได้ค่อนข้างครบถ้วน ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องมีการชี้แจง

ระบบจำนวนผสม

ในคำจำกัดความที่ให้ไว้แล้ว เราสามารถเพิ่มทฤษฎีบทได้: “ถ้า P=Q n (P,Q,n เป็นจำนวนเต็มบวก ในขณะที่ P และ Q เป็นฐาน) ดังนั้นการบันทึกตัวเลขใดๆ ในระบบตัวเลขผสม (P-Q) จะเหมือนกัน เกิดขึ้นพร้อมกับการเขียนตัวเลขเดียวกันในระบบตัวเลขด้วยฐาน Q”

ตามทฤษฎีบท เราสามารถกำหนดกฎสำหรับการถ่ายโอนจากระบบ P-th ไปยังระบบ Q-th และในทางกลับกัน:

1. ในการแปลงจาก Q-th เป็น P-th คุณจะต้องแบ่งตัวเลขในระบบ Q-th ออกเป็นกลุ่มๆ n หลัก โดยเริ่มจากหลักที่ถูกต้อง และแทนที่แต่ละกลุ่มด้วยตัวเลขหนึ่งหลักในระบบ P-th .
2. ในการแปลงจาก P-th เป็น Q-th จำเป็นต้องแปลงตัวเลขแต่ละหลักในระบบ P-th เป็น Q-th และเติมตัวเลขที่หายไปด้วยศูนย์นำหน้า ยกเว้นตัวเลขทางซ้าย เพื่อที่ แต่ละตัวเลขในระบบที่มีฐาน Q ประกอบด้วย n หลัก

ตัวอย่างที่เด่นชัดคือการแปลงจากไบนารีเป็นฐานแปด ลองใช้เลขฐานสอง 10011110 2 เพื่อแปลงเป็นฐานแปด - เราจะหารจากขวาไปซ้ายเป็นกลุ่มละ 3 หลัก: 010 011 110 ตอนนี้คูณแต่ละหลักด้วย 2 n โดยที่ n คือตัวเลขหลัก 010 011 110 = (0*2 2 +1 *2 1 +0*2 0) (0*2 2 +1*2 1 +1*2 0) (1*2 2 +1*2 1 +0*2 0) = 236 8 . ปรากฎว่า 10011110 2 = 236 8 เพื่อให้ภาพของเลขฐานสองฐานแปดไม่คลุมเครือ จะถูกแบ่งออกเป็นแฝด: 236 8 = (10 011 110) 2-8

ระบบจำนวนผสมก็เช่น:
1) แฟกทอเรียล
2) ฟีโบนัชชี

การแปลงจากระบบตัวเลขหนึ่งไปอีกระบบหนึ่ง

บางครั้งคุณจำเป็นต้องแปลงตัวเลขจากระบบตัวเลขหนึ่งไปเป็นอีกระบบหนึ่ง ดังนั้น เรามาดูวิธีแปลงระหว่างระบบต่างๆ กัน

การแปลงเป็นระบบเลขทศนิยม

มีเลข 1 a 2 a 3 อยู่ในระบบเลขฐาน b ในการแปลงเป็นระบบที่ 10 จำเป็นต้องคูณตัวเลขแต่ละหลักด้วย bn โดยที่ n คือจำนวนหลัก ดังนั้น (a 1 a 2 a 3) b = (a 1 *b 2 + a 2 *b 1 + a 3 *b 0) 10.

ตัวอย่าง: 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10

การแปลงจากระบบเลขทศนิยมเป็นระบบอื่น

ทั้งส่วน:

1. เราแบ่งส่วนจำนวนเต็มของเลขฐานสิบอย่างต่อเนื่องด้วยฐานของระบบที่เราแปลงไปจนกว่าเลขทศนิยมจะเท่ากับศูนย์
2. เศษที่ได้จากการหารคือตัวเลขของตัวเลขที่ต้องการ ตัวเลขในระบบใหม่จะเขียนโดยเริ่มจากเศษที่เหลือสุดท้าย

เศษส่วน:

1. เราคูณเศษส่วนของเลขทศนิยมด้วยฐานของระบบที่เราต้องการแปลง แยกส่วนทั้งหมดออก เรายังคงคูณเศษส่วนด้วยฐานของระบบใหม่ต่อไปจนกว่าจะเท่ากับ 0
2. ตัวเลขในระบบใหม่ประกอบด้วยผลลัพธ์การคูณทั้งหมดตามลำดับที่สอดคล้องกับการผลิต

ตัวอย่าง: แปลง 15 10 เป็นฐานแปด:
15\8 = 1, เศษ 7
1\8 = 0, เศษ 1

เมื่อเขียนเศษที่เหลือทั้งหมดจากล่างขึ้นบนเราจะได้เลขสุดท้าย 17 ดังนั้น 15 10 = 17 8

การแปลงจากไบนารีเป็นฐานแปดและเลขฐานสิบหก

ในการแปลงเป็นฐานแปด เราจะแบ่งเลขฐานสองออกเป็นกลุ่มๆ ละ 3 หลักจากขวาไปซ้าย และเติมเลขนอกสุดที่หายไปด้วยศูนย์นำหน้า ต่อไป เราจะแปลงแต่ละกลุ่มโดยการคูณตัวเลขตามลำดับด้วย 2n โดยที่ n คือจำนวนหลัก

ลองใช้ตัวเลข 1001 2 เป็นตัวอย่าง: 1001 2 = 001 001 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) = ( 0+ 0+1) (0+0+1) = 11 8

ในการแปลงเป็นเลขฐานสิบหก เราจะแบ่งเลขฐานสองออกเป็นกลุ่มๆ ละ 4 หลักจากขวาไปซ้าย จากนั้นจะคล้ายกับการแปลงจากเลข 2 เป็นเลข 8

แปลงจากฐานแปดและฐานสิบหกเป็นไบนารี

การแปลงจากเลขฐานแปดเป็นเลขฐานสอง - เราแปลงเลขฐานแปดแต่ละหลักให้เป็นเลขฐานสอง 3 หลักโดยการหารด้วย 2 (สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับการหาร โปรดดูย่อหน้า “การแปลงจากระบบเลขฐานสิบไปเป็นตัวเลขอื่น” ด้านบน) กรอกข้อมูลใน ไม่มีหลักนอกสุดที่มีเลขศูนย์นำหน้า

ตัวอย่างเช่นพิจารณาตัวเลข 45 8: 45 = (100) (101) = 100101 2

การแปลตั้งแต่วันที่ 16 ถึงวันที่ 2 - เราแปลงเลขฐานสิบหกแต่ละหลักให้เป็นเลขฐานสอง 4 หลักโดยหารด้วย 2 โดยเติมตัวเลขด้านนอกที่หายไปด้วยศูนย์นำหน้า

การแปลงเศษส่วนของระบบตัวเลขใดๆ ให้เป็นทศนิยม

การแปลงจะดำเนินการในลักษณะเดียวกับส่วนจำนวนเต็ม ยกเว้นว่าตัวเลขของตัวเลขจะถูกคูณด้วยฐานยกกำลัง “-n” โดยที่ n เริ่มต้นจาก 1

ตัวอย่าง: 101,011 2 = (1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 -1 + 1*2 -2 + 1*2 -3) = (5), (0 + 0 .25 + 0.125) = 5.375 10

การแปลงเศษส่วนของไบนารีเป็น 8 และ 16

การแปลส่วนที่เป็นเศษส่วนนั้นดำเนินการในลักษณะเดียวกับส่วนทั้งหมดของตัวเลขโดยมีข้อยกเว้นเพียงอย่างเดียวว่าการหารออกเป็นกลุ่ม 3 และ 4 หลักจะไปทางด้านขวาของจุดทศนิยม ตัวเลขที่หายไปจะเสริมด้วย ศูนย์ทางด้านขวา

ตัวอย่าง: 1001.01 2 = 001 001, 010 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 2 + 1 *2 1 + 0*2 0) = (0+0+1) (0+0+1), (0+2+0) = 11.2 8

การแปลงเศษส่วนของระบบทศนิยมไปเป็นส่วนอื่น

หากต้องการแปลงเศษส่วนของตัวเลขเป็นระบบตัวเลขอื่น คุณต้องเปลี่ยนเศษส่วนทั้งหมดให้เป็นศูนย์ และเริ่มคูณตัวเลขผลลัพธ์ด้วยฐานของระบบที่คุณต้องการแปลง จากการคูณ หากส่วนทั้งหมดปรากฏขึ้นอีกครั้ง จะต้องเปลี่ยนเป็นศูนย์อีกครั้ง หลังจากจดจำ (จดบันทึก) ค่าของส่วนที่เป็นผลทั้งหมดเป็นครั้งแรก การดำเนินการจะสิ้นสุดเมื่อส่วนที่เป็นเศษส่วนเป็นศูนย์โดยสมบูรณ์

ตัวอย่างเช่น ลองแปลง 10.625 10 เป็นไบนารี่:
0,625*2 = 1,25
0,250*2 = 0,5
0,5*2 = 1,0
เมื่อเขียนเศษที่เหลือทั้งหมดจากบนลงล่าง เราจะได้ 10.625 10 = (1,010), (101) = 1,010.101 2

ในขณะที่ศึกษาการเข้ารหัส ฉันพบว่าฉันยังไม่เข้าใจระบบตัวเลขดีพอ อย่างไรก็ตาม ฉันมักจะใช้ระบบ 2-, 8-, 10-, 16-th แปลงซึ่งกันและกัน แต่ทุกอย่างเสร็จสิ้น "อัตโนมัติ" เมื่ออ่านสิ่งพิมพ์หลายฉบับแล้ว ฉันรู้สึกประหลาดใจที่ไม่มีบทความภาษาเรียบง่ายเพียงบทความเดียวเกี่ยวกับเนื้อหาพื้นฐานดังกล่าว นั่นคือเหตุผลที่ฉันตัดสินใจเขียนบทความของตัวเอง โดยพยายามนำเสนอพื้นฐานของระบบตัวเลขในลักษณะที่เข้าถึงได้และเป็นระเบียบ

การแนะนำ

สัญกรณ์เป็นวิธีการบันทึก(แทน)ตัวเลข

สิ่งนี้หมายความว่า? ตัวอย่างเช่น คุณเห็นต้นไม้หลายต้นอยู่ตรงหน้าคุณ งานของคุณคือการนับพวกเขา ในการทำเช่นนี้ คุณสามารถงอนิ้วของคุณ ทำรอยบากบนหิน (ต้นไม้หนึ่งต้น - หนึ่งนิ้ว/รอยบาก) หรือจับคู่ต้นไม้ 10 ต้นกับวัตถุ เช่น หิน และตัวอย่างหนึ่งชิ้นด้วยไม้ แล้ววางต้นไม้เหล่านั้น บนพื้นในขณะที่คุณนับ ในกรณีแรก ตัวเลขจะแสดงเป็นเส้นนิ้วหรือรอยบาก ในกรณีที่สอง - องค์ประกอบของหินและแท่ง โดยที่ก้อนหินอยู่ทางด้านซ้ายและเกาะอยู่ทางด้านขวา

ระบบจำนวนแบ่งออกเป็นแบบตำแหน่งและแบบไม่มีตำแหน่ง และแบบตำแหน่งตามลำดับให้เป็นเนื้อเดียวกันและแบบผสม

ไม่ใช่ตำแหน่ง- ที่เก่าแก่ที่สุดโดยตัวเลขแต่ละหลักมีค่าที่ไม่ขึ้นอยู่กับตำแหน่ง (หลัก) นั่นคือถ้าคุณมี 5 บรรทัด ตัวเลขนั้นก็จะเป็น 5 เช่นกัน เนื่องจากแต่ละบรรทัดจะสอดคล้องกับ 1 รายการเท่านั้น โดยไม่คำนึงถึงตำแหน่งในบรรทัด

ระบบตำแหน่ง- ความหมายของแต่ละหลักขึ้นอยู่กับตำแหน่ง (หลัก) ในตัวเลข เช่น ระบบเลข 10 ที่เราคุ้นเคยคือระบบตำแหน่ง ลองพิจารณาตัวเลข 453 กัน หมายเลข 4 ระบุจำนวนร้อยและสอดคล้องกับหมายเลข 400 5 - จำนวนสิบและคล้ายกับค่า 50 และ 3 - หน่วยและค่า 3 อย่างที่คุณเห็น ยิ่งตัวเลขมากขึ้น ค่าก็จะยิ่งสูงขึ้น ตัวเลขสุดท้ายสามารถแสดงเป็นผลรวม 400+50+3=453

ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกัน- สำหรับตัวเลขทั้งหมด (ตำแหน่ง) ของตัวเลข ชุดอักขระที่ถูกต้อง (ตัวเลข) จะเหมือนกัน ตัวอย่างเช่น ลองใช้ระบบที่ 10 ที่กล่าวถึงก่อนหน้านี้ เมื่อเขียนตัวเลขในระบบที่ 10 ที่เป็นเนื้อเดียวกัน คุณสามารถใช้ตัวเลขได้เพียงหลักเดียวตั้งแต่ 0 ถึง 9 ในแต่ละหลัก ดังนั้นจึงอนุญาตให้ใช้ตัวเลข 450 (หลักที่ 1 - 0, 2 - 5, 3 - 4) แต่ 4F5 ไม่ใช่ เพราะอักขระ F ไม่รวมอยู่ในชุดตัวเลข 0 ถึง 9

ระบบผสม- ในแต่ละหลัก (ตำแหน่ง) ของตัวเลข ชุดอักขระที่ถูกต้อง (หลัก) อาจแตกต่างจากชุดของหลักอื่นๆ ตัวอย่างที่เด่นชัดคือระบบการวัดเวลา ในหมวดหมู่ของวินาทีและนาที มีสัญลักษณ์ที่แตกต่างกัน 60 ตัวที่เป็นไปได้ (ตั้งแต่ “00” ถึง “59”) ในหมวดหมู่ของชั่วโมง – 24 สัญลักษณ์ที่แตกต่างกัน (ตั้งแต่ “00” ถึง “23”) ในหมวดหมู่ของวัน – 365 ฯลฯ

ระบบที่ไม่ใช่ตำแหน่ง

ทันทีที่ผู้คนเรียนรู้ที่จะนับ ความจำเป็นในการเขียนตัวเลขก็เกิดขึ้น ในตอนแรก ทุกอย่างเรียบง่าย - รอยบากหรือเส้นประบนพื้นผิวบางส่วนสอดคล้องกับวัตถุชิ้นเดียว เช่น ผลไม้หนึ่งผล นี่คือลักษณะที่ระบบตัวเลขแรกปรากฏขึ้น - หน่วย

ระบบเลขหน่วย

ตัวเลขในระบบตัวเลขนี้คือชุดของขีดกลาง (แท่ง) ซึ่งจำนวนจะเท่ากับค่าของตัวเลขที่กำหนด ดังนั้น การเก็บเกี่ยวอินทผลัม 100 ผลจะเท่ากับตัวเลขที่ประกอบด้วย 100 ขีดกลาง
แต่ระบบนี้มีความไม่สะดวกอย่างเห็นได้ชัด - ยิ่งจำนวนมากเท่าไรก็ยิ่งมีแท่งไม้ยาวขึ้นเท่านั้น นอกจากนี้ คุณสามารถทำผิดพลาดได้ง่าย ๆ เมื่อเขียนตัวเลขโดยไม่ได้ตั้งใจเพิ่มแท่งพิเศษหรือในทางกลับกันไม่จดลงไป

เพื่อความสะดวก ผู้คนเริ่มจัดกลุ่มแท่งไม้เป็น 3, 5 และ 10 ชิ้น ในเวลาเดียวกัน แต่ละกลุ่มสอดคล้องกับเครื่องหมายหรือวัตถุเฉพาะ เริ่มแรกใช้นิ้วในการนับ ดังนั้นสัญญาณแรกจึงปรากฏสำหรับกลุ่ม 5 และ 10 ชิ้น (หน่วย) ทั้งหมดนี้ทำให้สามารถสร้างระบบการบันทึกหมายเลขที่สะดวกยิ่งขึ้น

ระบบทศนิยมของอียิปต์โบราณ

ในอียิปต์โบราณ สัญลักษณ์พิเศษ (ตัวเลข) ถูกนำมาใช้แทนตัวเลข 1, 10, 10 2, 10 3, 10 4, 10 5, 10 6, 10 7 นี่คือบางส่วนของพวกเขา:

ทำไมถึงเรียกว่าทศนิยม? ตามที่ระบุไว้ข้างต้น ผู้คนเริ่มจัดกลุ่มสัญลักษณ์ ในอียิปต์ พวกเขาเลือกกลุ่มละ 10 คน โดยไม่เปลี่ยนแปลงหมายเลข "1" ในกรณีนี้ เลข 10 เรียกว่าระบบเลขฐานสิบ และแต่ละสัญลักษณ์เป็นตัวแทนของเลข 10 ในระดับหนึ่ง

ตัวเลขในระบบตัวเลขของอียิปต์โบราณเขียนขึ้นจากตัวเลขเหล่านี้รวมกัน
อักขระซึ่งแต่ละตัวซ้ำกันไม่เกินเก้าครั้ง ค่าสุดท้ายเท่ากับผลรวมขององค์ประกอบของตัวเลข เป็นที่น่าสังเกตว่าวิธีการรับค่านี้เป็นลักษณะเฉพาะของระบบตัวเลขที่ไม่ใช่ตำแหน่งทุกระบบ ตัวอย่างจะเป็นหมายเลข 345:

ระบบทางเพศของชาวบาบิโลน

ต่างจากระบบอียิปต์ ระบบของชาวบาบิโลนใช้เพียง 2 สัญลักษณ์เท่านั้น คือ ลิ่ม "ตรง" เพื่อระบุหน่วย และลิ่ม "นอนเอน" เพื่อระบุหลักสิบ ในการกำหนดค่าของตัวเลข คุณต้องแบ่งรูปภาพของตัวเลขออกเป็นตัวเลขจากขวาไปซ้าย การปลดปล่อยใหม่เริ่มต้นด้วยการปรากฏตัวของลิ่มตรงหลังจากอันที่อยู่เฉยๆ ลองใช้หมายเลข 32 เป็นตัวอย่าง:

หมายเลข 60 และเลขยกกำลังทั้งหมดมีเครื่องหมายลิ่มตรง เช่น "1" ดังนั้นระบบตัวเลขของชาวบาบิโลนจึงถูกเรียกว่า sexagesimal
ชาวบาบิโลนเขียนตัวเลขทั้งหมดตั้งแต่ 1 ถึง 59 ในระบบทศนิยมที่ไม่ใช่ตำแหน่งและค่าขนาดใหญ่ในระบบตำแหน่งที่มีฐาน 60 หมายเลข 92:

การบันทึกตัวเลขนั้นไม่ชัดเจน เนื่องจากไม่มีตัวเลขใดที่เป็นศูนย์ การแสดงหมายเลข 92 อาจไม่เพียงหมายถึง 92=60+32 เท่านั้น แต่ยังหมายถึง 3632=3600+32 อีกด้วย ในการกำหนดค่าสัมบูรณ์ของตัวเลขมีการใช้สัญลักษณ์พิเศษเพื่อระบุหลัก sexagesimal ที่หายไปซึ่งสอดคล้องกับลักษณะของตัวเลข 0 ในรูปแบบเลขทศนิยม:

ตอนนี้ควรเขียนหมายเลข 3632 เป็น:

ระบบเลขฐานสิบหกของชาวบาบิโลนเป็นระบบตัวเลขระบบแรกซึ่งส่วนหนึ่งอิงตามหลักตำแหน่ง ระบบตัวเลขนี้ยังคงใช้อยู่ในปัจจุบัน เช่น ในการกำหนดเวลา ชั่วโมงประกอบด้วย 60 นาที และนาทีประกอบด้วย 60 วินาที

ระบบโรมัน

ระบบโรมันไม่ได้แตกต่างจากระบบอียิปต์มากนัก ใช้ตัวอักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่ I, V, X, L, C, D และ M เพื่อแสดงตัวเลข 1, 5, 10, 50, 100, 500 และ 1,000 ตามลำดับ ตัวเลขในระบบเลขโรมันคือชุดของตัวเลขที่ต่อเนื่องกัน

วิธีการกำหนดค่าของตัวเลข:

1. ค่าของตัวเลขเท่ากับผลรวมของค่าของตัวเลข เช่น เลข 32 ในระบบเลขโรมันคือ XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2=32
2. หากมีอันที่เล็กกว่าทางด้านซ้ายของหลักที่ใหญ่กว่า ค่าจะเท่ากับความแตกต่างระหว่างหลักที่ใหญ่กว่าและที่เล็กกว่า ในเวลาเดียวกัน ตัวเลขทางซ้ายสามารถน้อยกว่าตัวเลขทางขวาได้ด้วยขนาดสูงสุดหนึ่งลำดับ ตัวอย่างเช่น มีเพียง X(10) เท่านั้นที่สามารถปรากฏก่อน L(50) และ C(100) ในบรรดาตัวเลขที่ "ต่ำที่สุด" และก่อน D(500) และ M(1000) C(100) ก่อน V(5) - เฉพาะ I(1); ตัวเลข 444 ในระบบตัวเลขที่พิจารณาจะเขียนเป็น CDXLIV = (D-C)+(L-X)+(V-I) = 400+40+4=444
3. ค่าจะเท่ากับผลรวมของค่าของกลุ่มและตัวเลขที่ไม่ตรงกับจุดที่ 1 และ 2

นอกจากระบบดิจิทัลแล้ว ยังมีระบบตัวเลขตัวอักษร (ตัวอักษร) ด้วย นี่คือบางส่วน:
1) สลาฟ
2) กรีก (โยนก)

ระบบตัวเลขตำแหน่ง

ดังที่ได้กล่าวไว้ข้างต้น ข้อกำหนดเบื้องต้นประการแรกสำหรับการเกิดขึ้นของระบบตำแหน่งเกิดขึ้นในบาบิโลนโบราณ ในอินเดีย ระบบใช้รูปแบบของการนับเลขทศนิยมโดยใช้ศูนย์ และชาวอินเดียยืมระบบตัวเลขนี้มาจากชาวอาหรับ ซึ่งชาวยุโรปนำมาใช้ ด้วยเหตุผลบางประการ ในยุโรปจึงตั้งชื่อ "อาหรับ" ให้กับระบบนี้

ระบบเลขทศนิยม

นี่เป็นหนึ่งในระบบตัวเลขที่พบบ่อยที่สุด นี่คือสิ่งที่เราใช้เมื่อเราตั้งชื่อราคาของผลิตภัณฑ์และพูดหมายเลขรถบัส แต่ละหลัก (ตำแหน่ง) สามารถใช้ได้เพียงหนึ่งหลักจากช่วง 0 ถึง 9 ฐานของระบบคือหมายเลข 10

ตัวอย่างเช่น ลองเอาตัวเลข 503 มาใช้ ถ้าตัวเลขนี้เขียนในระบบที่ไม่ใช่ตำแหน่ง ค่าของมันจะเป็น 5+0+3 = 8 แต่เรามีระบบตำแหน่งและนั่นหมายความว่าตัวเลขแต่ละหลักจะต้องเป็น คูณด้วยฐานของระบบในกรณีนี้คือเลข “10” แล้วยกกำลังเท่ากับเลขหลัก ปรากฎว่าค่าคือ 5*10 2 + 0*10 1 + 3*10 0 = 500+0+3 = 503 เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสนเมื่อทำงานกับระบบตัวเลขหลายระบบพร้อมกัน ฐานจะถูกระบุเป็นตัวห้อย ดังนั้น 503 = 503 10.

นอกจากระบบทศนิยมแล้ว ระบบ 2-, 8- และ 16 ยังสมควรได้รับความสนใจเป็นพิเศษ

ระบบเลขฐานสอง

ระบบนี้ส่วนใหญ่จะใช้ในการคำนวณ ทำไมพวกเขาไม่ใช้วันที่ 10 ตามปกติ? คอมพิวเตอร์เครื่องแรกถูกสร้างขึ้นโดย Blaise Pascal ซึ่งใช้ระบบทศนิยมซึ่งกลายเป็นความไม่สะดวกในเครื่องจักรอิเล็กทรอนิกส์สมัยใหม่เนื่องจากต้องมีการผลิตอุปกรณ์ที่สามารถทำงานได้ใน 10 รัฐซึ่งทำให้ราคาและขนาดสุดท้ายของ เครื่องจักร. องค์ประกอบที่ทำงานในระบบที่ 2 ไม่มีข้อบกพร่องเหล่านี้ อย่างไรก็ตาม ระบบดังกล่าวถูกสร้างขึ้นมานานก่อนการประดิษฐ์คอมพิวเตอร์ และมี "รากฐาน" มาจากอารยธรรมอินคา ซึ่งใช้คิวปุส นั่นคือการถักทอและปมเชือกที่ซับซ้อน

ระบบเลขฐานสองมีฐานเป็น 2 และใช้ 2 สัญลักษณ์ (หลัก) ในการเขียนตัวเลข: 0 และ 1 อนุญาตให้มีเพียงหนึ่งหลักในแต่ละหลัก - 0 หรือ 1

ตัวอย่างคือเลข 101 ซึ่งคล้ายกับเลข 5 ในระบบเลขฐานสิบ ในการแปลงจาก 2 เป็น 10 คุณต้องคูณเลขฐานสองแต่ละหลักด้วยฐาน “2” ที่ยกกำลังเท่ากับค่าหลัก ดังนั้น ตัวเลข 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10

สำหรับเครื่องจักร ระบบเลข 2 จะสะดวกกว่า แต่เรามักจะเห็นและใช้ตัวเลขในระบบที่ 10 บนคอมพิวเตอร์ แล้วเครื่องจะกำหนดได้อย่างไรว่าผู้ใช้ป้อนหมายเลขอะไร? มันแปลตัวเลขจากระบบหนึ่งไปยังอีกระบบหนึ่งได้อย่างไรเนื่องจากมีเพียง 2 สัญลักษณ์ - 0 และ 1

เพื่อให้คอมพิวเตอร์ทำงานกับเลขฐานสอง (รหัส) จะต้องเก็บไว้ที่ไหนสักแห่ง ในการจัดเก็บแต่ละหลักจะใช้ทริกเกอร์ซึ่งเป็นวงจรอิเล็กทรอนิกส์ สามารถอยู่ใน 2 สถานะ โดยสถานะหนึ่งสอดคล้องกับศูนย์ และอีกสถานะหนึ่งเป็นหนึ่ง หากต้องการจดจำตัวเลขตัวเดียว จะใช้รีจิสเตอร์ - กลุ่มทริกเกอร์ ซึ่งจำนวนนั้นสอดคล้องกับจำนวนหลักในเลขฐานสอง และชุดของรีจิสเตอร์คือ RAM หมายเลขที่อยู่ในทะเบียนเป็นคำเครื่องจักร การดำเนินการทางคณิตศาสตร์และตรรกะด้วยคำจะดำเนินการโดยหน่วยตรรกะทางคณิตศาสตร์ (ALU) เพื่อให้เข้าถึงการลงทะเบียนได้ง่ายขึ้น จึงมีการกำหนดหมายเลขไว้ หมายเลขนี้เรียกว่าที่อยู่ลงทะเบียน ตัวอย่างเช่น หากคุณต้องการเพิ่มตัวเลข 2 ตัว ก็เพียงพอที่จะระบุจำนวนเซลล์ (รีจิสเตอร์) ที่พวกเขาอยู่ ไม่ใช่ตัวเลขเอง ที่อยู่ถูกเขียนในระบบฐานแปดและฐานสิบหก (จะมีการกล่าวถึงด้านล่าง) เนื่องจากการเปลี่ยนจากระบบเป็นระบบไบนารี่และด้านหลังนั้นค่อนข้างง่าย การโอนตั้งแต่วันที่ 2 ถึงวันที่ 8 จะต้องแบ่งตัวเลขเป็นกลุ่มละ 3 หลักจากขวาไปซ้ายและเลื่อนไปที่วันที่ 16 - 4 ถ้ามีตัวเลขในกลุ่มหลักซ้ายสุดไม่เพียงพอให้กรอก จากทางซ้ายมีศูนย์ซึ่งเรียกว่านำหน้า ลองใช้หมายเลข 101100 2 เป็นตัวอย่าง ในฐานแปดคือ 101 100 = 54 8 และในเลขฐานสิบหกคือ 0010 1100 = 2C 16 เยี่ยมเลย แต่ทำไมเราถึงเห็นตัวเลขและตัวอักษรทศนิยมบนหน้าจอ? เมื่อคุณกดปุ่ม ลำดับของแรงกระตุ้นทางไฟฟ้าจะถูกส่งไปยังคอมพิวเตอร์ และแต่ละสัญลักษณ์จะมีลำดับของแรงกระตุ้นทางไฟฟ้าของตัวเอง (ศูนย์และสัญลักษณ์) โปรแกรมไดรเวอร์แป้นพิมพ์และหน้าจอจะเข้าถึงตารางรหัสอักขระ (เช่น Unicode ซึ่งอนุญาตให้คุณเข้ารหัสอักขระได้ 65536 ตัว) กำหนดอักขระตัวที่โค้ดผลลัพธ์สอดคล้องกับ และแสดงบนหน้าจอ ดังนั้นข้อความและตัวเลขจึงถูกจัดเก็บไว้ในหน่วยความจำของคอมพิวเตอร์ในรูปแบบรหัสไบนารี่ และถูกแปลงโดยทางโปรแกรมเป็นรูปภาพบนหน้าจอ

ระบบเลขฐานแปด

ระบบเลข 8 เช่นเดียวกับเลขฐานสอง มักใช้ในเทคโนโลยีดิจิทัล มีฐานเป็น 8 และใช้ตัวเลข 0 ถึง 7 ในการเขียนตัวเลข

ตัวอย่างเลขฐานแปด: 254 หากต้องการแปลงเป็นระบบที่ 10 แต่ละหลักของตัวเลขเดิมจะต้องคูณด้วย 8 n โดยที่ n คือตัวเลขหลัก ปรากฎว่า 254 8 = 2*8 2 + 5*8 1 + 4*8 0 = 128+40+4 = 172 10

ระบบเลขฐานสิบหก

ระบบเลขฐานสิบหกมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในคอมพิวเตอร์สมัยใหม่ เช่น ใช้เพื่อระบุสี: #FFFFFF - สีขาว ระบบดังกล่าวมีฐาน 16 และใช้ตัวเลขต่อไปนี้ในการเขียน 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. C, D, E, F โดยที่ ตัวอักษรคือ 10, 11, 12, 13, 14, 15 ตามลำดับ

ลองเอาเลข 4F5 16 เป็นตัวอย่างดูครับ ในการแปลงเป็นระบบฐานแปด ขั้นแรกเราจะแปลงเลขฐานสิบหกให้เป็นเลขฐานสอง จากนั้นจึงแบ่งออกเป็นกลุ่มๆ ละ 3 หลักให้เป็นฐานแปด ในการแปลงตัวเลขเป็น 2 คุณต้องแสดงแต่ละหลักเป็นเลขฐานสอง 4 บิต 4F5 16 = (100 1111 101) 2 . แต่ในกลุ่ม 1 และ 3 มีตัวเลขไม่เพียงพอ ดังนั้นเรามาเติมเลขศูนย์นำหน้ากัน: 0100 1111 0101 ตอนนี้คุณต้องแบ่งตัวเลขผลลัพธ์ออกเป็นกลุ่มละ 3 หลักจากขวาไปซ้าย: 0100 1111 0101 = 010 011 110 101 ลองแปลงแต่ละกลุ่มไบนารี่เป็นระบบฐานแปด โดยคูณแต่ละหลักด้วย 2 n โดยที่ n คือตัวเลขหลัก: (0*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (0*2 2 +1*2 1 +1*2 0) (1*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (1*2 2 +0*2 1 +1*2 0) = 2365 8 .

นอกจากระบบเลขตำแหน่งที่พิจารณาแล้ว ยังมีระบบอื่นๆ อีก เช่น
1) ตรีเอกานุภาพ
2) ควอเตอร์นารี
3) ทศนิยมสองทศนิยม

ระบบตำแหน่งแบ่งออกเป็นแบบเอกพันธ์และแบบผสม

ระบบจำนวนตำแหน่งที่เป็นเนื้อเดียวกัน

คำจำกัดความที่ให้ไว้ตอนต้นของบทความอธิบายระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันได้ค่อนข้างครบถ้วน ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องมีการชี้แจง

ระบบจำนวนผสม

ในคำจำกัดความที่ให้ไว้แล้ว เราสามารถเพิ่มทฤษฎีบทได้: “ถ้า P=Q n (P,Q,n เป็นจำนวนเต็มบวก ในขณะที่ P และ Q เป็นฐาน) ดังนั้นการบันทึกตัวเลขใดๆ ในระบบตัวเลขผสม (P-Q) จะเหมือนกัน เกิดขึ้นพร้อมกับการเขียนตัวเลขเดียวกันในระบบตัวเลขด้วยฐาน Q”

ตามทฤษฎีบท เราสามารถกำหนดกฎสำหรับการถ่ายโอนจากระบบ P-th ไปยังระบบ Q-th และในทางกลับกัน:

1. ในการแปลงจาก Q-th เป็น P-th คุณจะต้องแบ่งตัวเลขในระบบ Q-th ออกเป็นกลุ่มๆ n หลัก โดยเริ่มจากหลักที่ถูกต้อง และแทนที่แต่ละกลุ่มด้วยตัวเลขหนึ่งหลักในระบบ P-th .
2. ในการแปลงจาก P-th เป็น Q-th จำเป็นต้องแปลงตัวเลขแต่ละหลักในระบบ P-th เป็น Q-th และเติมตัวเลขที่หายไปด้วยศูนย์นำหน้า ยกเว้นตัวเลขทางซ้าย เพื่อที่ แต่ละตัวเลขในระบบที่มีฐาน Q ประกอบด้วย n หลัก

ตัวอย่างที่เด่นชัดคือการแปลงจากไบนารีเป็นฐานแปด ลองใช้เลขฐานสอง 10011110 2 เพื่อแปลงเป็นฐานแปด - เราจะหารจากขวาไปซ้ายเป็นกลุ่มละ 3 หลัก: 010 011 110 ตอนนี้คูณแต่ละหลักด้วย 2 n โดยที่ n คือตัวเลขหลัก 010 011 110 = (0*2 2 +1 *2 1 +0*2 0) (0*2 2 +1*2 1 +1*2 0) (1*2 2 +1*2 1 +0*2 0) = 236 8 . ปรากฎว่า 10011110 2 = 236 8 เพื่อให้ภาพของเลขฐานสองฐานแปดไม่คลุมเครือ จะถูกแบ่งออกเป็นแฝด: 236 8 = (10 011 110) 2-8

ระบบจำนวนผสมก็เช่น:
1) แฟกทอเรียล
2) ฟีโบนัชชี

การแปลงจากระบบตัวเลขหนึ่งไปอีกระบบหนึ่ง

บางครั้งคุณจำเป็นต้องแปลงตัวเลขจากระบบตัวเลขหนึ่งไปเป็นอีกระบบหนึ่ง ดังนั้น เรามาดูวิธีแปลงระหว่างระบบต่างๆ กัน

การแปลงเป็นระบบเลขทศนิยม

มีเลข 1 a 2 a 3 อยู่ในระบบเลขฐาน b ในการแปลงเป็นระบบที่ 10 จำเป็นต้องคูณตัวเลขแต่ละหลักด้วย bn โดยที่ n คือจำนวนหลัก ดังนั้น (a 1 a 2 a 3) b = (a 1 *b 2 + a 2 *b 1 + a 3 *b 0) 10.

ตัวอย่าง: 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10

การแปลงจากระบบเลขทศนิยมเป็นระบบอื่น

ทั้งส่วน:

1. เราแบ่งส่วนจำนวนเต็มของเลขฐานสิบอย่างต่อเนื่องด้วยฐานของระบบที่เราแปลงไปจนกว่าเลขทศนิยมจะเท่ากับศูนย์
2. เศษที่ได้จากการหารคือตัวเลขของตัวเลขที่ต้องการ ตัวเลขในระบบใหม่จะเขียนโดยเริ่มจากเศษที่เหลือสุดท้าย

เศษส่วน:

1. เราคูณเศษส่วนของเลขทศนิยมด้วยฐานของระบบที่เราต้องการแปลง แยกส่วนทั้งหมดออก เรายังคงคูณเศษส่วนด้วยฐานของระบบใหม่ต่อไปจนกว่าจะเท่ากับ 0
2. ตัวเลขในระบบใหม่ประกอบด้วยผลลัพธ์การคูณทั้งหมดตามลำดับที่สอดคล้องกับการผลิต

ตัวอย่าง: แปลง 15 10 เป็นฐานแปด:
15\8 = 1, เศษ 7
1\8 = 0, เศษ 1

เมื่อเขียนเศษที่เหลือทั้งหมดจากล่างขึ้นบนเราจะได้เลขสุดท้าย 17 ดังนั้น 15 10 = 17 8

การแปลงจากไบนารีเป็นฐานแปดและเลขฐานสิบหก

ในการแปลงเป็นฐานแปด เราจะแบ่งเลขฐานสองออกเป็นกลุ่มๆ ละ 3 หลักจากขวาไปซ้าย และเติมเลขนอกสุดที่หายไปด้วยศูนย์นำหน้า ต่อไป เราจะแปลงแต่ละกลุ่มโดยการคูณตัวเลขตามลำดับด้วย 2n โดยที่ n คือจำนวนหลัก

ลองใช้ตัวเลข 1001 2 เป็นตัวอย่าง: 1001 2 = 001 001 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) = ( 0+ 0+1) (0+0+1) = 11 8

ในการแปลงเป็นเลขฐานสิบหก เราจะแบ่งเลขฐานสองออกเป็นกลุ่มๆ ละ 4 หลักจากขวาไปซ้าย จากนั้นจะคล้ายกับการแปลงจากเลข 2 เป็นเลข 8

แปลงจากฐานแปดและฐานสิบหกเป็นไบนารี

การแปลงจากเลขฐานแปดเป็นเลขฐานสอง - เราแปลงเลขฐานแปดแต่ละหลักให้เป็นเลขฐานสอง 3 หลักโดยการหารด้วย 2 (สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับการหาร โปรดดูย่อหน้า “การแปลงจากระบบเลขฐานสิบไปเป็นตัวเลขอื่น” ด้านบน) กรอกข้อมูลใน ไม่มีหลักนอกสุดที่มีเลขศูนย์นำหน้า

ตัวอย่างเช่นพิจารณาตัวเลข 45 8: 45 = (100) (101) = 100101 2

การแปลตั้งแต่วันที่ 16 ถึงวันที่ 2 - เราแปลงเลขฐานสิบหกแต่ละหลักให้เป็นเลขฐานสอง 4 หลักโดยหารด้วย 2 โดยเติมตัวเลขด้านนอกที่หายไปด้วยศูนย์นำหน้า

การแปลงเศษส่วนของระบบตัวเลขใดๆ ให้เป็นทศนิยม

การแปลงจะดำเนินการในลักษณะเดียวกับส่วนจำนวนเต็ม ยกเว้นว่าตัวเลขของตัวเลขจะถูกคูณด้วยฐานยกกำลัง “-n” โดยที่ n เริ่มต้นจาก 1

ตัวอย่าง: 101,011 2 = (1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 -1 + 1*2 -2 + 1*2 -3) = (5), (0 + 0 .25 + 0.125) = 5.375 10

การแปลงเศษส่วนของไบนารีเป็น 8 และ 16

การแปลส่วนที่เป็นเศษส่วนนั้นดำเนินการในลักษณะเดียวกับส่วนทั้งหมดของตัวเลขโดยมีข้อยกเว้นเพียงอย่างเดียวว่าการหารออกเป็นกลุ่ม 3 และ 4 หลักจะไปทางด้านขวาของจุดทศนิยม ตัวเลขที่หายไปจะเสริมด้วย ศูนย์ทางด้านขวา

ตัวอย่าง: 1001.01 2 = 001 001, 010 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 2 + 1 *2 1 + 0*2 0) = (0+0+1) (0+0+1), (0+2+0) = 11.2 8

การแปลงเศษส่วนของระบบทศนิยมไปเป็นส่วนอื่น

หากต้องการแปลงเศษส่วนของตัวเลขเป็นระบบตัวเลขอื่น คุณต้องเปลี่ยนเศษส่วนทั้งหมดให้เป็นศูนย์ และเริ่มคูณตัวเลขผลลัพธ์ด้วยฐานของระบบที่คุณต้องการแปลง จากการคูณ หากส่วนทั้งหมดปรากฏขึ้นอีกครั้ง จะต้องเปลี่ยนเป็นศูนย์อีกครั้ง หลังจากจดจำ (จดบันทึก) ค่าของส่วนที่เป็นผลทั้งหมดเป็นครั้งแรก การดำเนินการจะสิ้นสุดเมื่อส่วนที่เป็นเศษส่วนเป็นศูนย์โดยสมบูรณ์

ตัวอย่างเช่น ลองแปลง 10.625 10 เป็นไบนารี่:
0,625*2 = 1,25
0,250*2 = 0,5
0,5*2 = 1,0
เมื่อเขียนเศษที่เหลือทั้งหมดจากบนลงล่าง เราจะได้ 10.625 10 = (1,010), (101) = 1,010.101 2