فضای خطی (بردار). فضای برداری بر روی یک میدان محدود ساده ترین پیامدهای تعریف فضای برداری

اجازه دهید P یک میدان باشد. عناصر a، b، ... Î آرتماس خواهد گرفت اسکالرها.

تعریف 1.کلاس Vاشیاء (عناصر)،،، ... ماهیت دلخواه نامیده می شود فضای برداری روی فیلد P، و عناصر کلاس V نامیده می شوند بردارهااگر V نسبت به عمل "+" و عملیات ضرب در اسکالرهای Р بسته باشد (یعنی برای هر یک، ÎV + Î V؛ "aÎ Р aÎV)، و شرایط زیر وجود دارد:

ج1: جبر - گروه آبلیان؛

А 2: برای هر a، bÎР، برای هر ÎV، a (b) = (ab) - قانون انجمنی تعمیم یافته.

А 3: برای هر a، bÎР، برای هر ÎV، (a + b) = a + b;

A 4: برای هر a از P، برای هر، از V a (+) = a + a (قوانین توزیعی تعمیم یافته).

A 5: برای هر یک از V، 1 = برقرار است، جایی که 1 واحد فیلد P است - خاصیت واحدی.

عناصر میدان P را اسکالر و عناصر مجموعه V را بردار می نامند.

اظهار نظر.ضرب یک بردار در یک اسکالر یک عملیات باینری در مجموعه V نیست، زیرا یک P´V®V نگاشت است.

چند نمونه از فضاهای برداری را در نظر بگیرید.

مثال 1.فضای برداری صفر (صفر بعدی) - فضای V 0 = () - متشکل از یک بردار صفر.

و برای هر aÎР a =. اجازه دهید رضایت بدیهیات فضای برداری را بررسی کنیم.

توجه داشته باشید که فضای برداری صفر اساساً به فیلد P بستگی دارد. بنابراین، فضاهای صفر بعدی روی میدان اعداد گویا و روی میدان اعداد حقیقی متفاوت در نظر گرفته می‌شوند، اگرچه از یک بردار صفر تشکیل شده‌اند.

مثال 2.فیلد P خود یک فضای برداری بر روی فیلد P است. اجازه دهید V = P. اجازه دهید رضایت بدیهیات فضای برداری را بررسی کنیم. از آنجایی که P یک میدان است، P یک گروه abelian افزایشی است و A1 راضی می شود. از آنجایی که ارتباط ضرب در P برآورده می شود، A 2 برآورده می شود. بدیهیات A 3 و A 4 به دلیل توزیعی بودن ضرب نسبت به جمع در P است. از آنجایی که یک عنصر واحد 1 در فیلد P وجود دارد، خاصیت واحدی A 5 برآورده می شود. بنابراین، میدان P یک فضای برداری بر روی میدان P است.

مثال 3.فضای برداری n بعدی حسابی.

اجازه دهید P یک میدان باشد. مجموعه V = P n = ((a 1, a 2,…, a n) ½ a i Î P, i = 1,…, n) را در نظر بگیرید. اجازه دهید بر روی مجموعه V عملیات جمع بردارها و ضرب یک بردار در یک اسکالر را طبق قوانین زیر معرفی کنیم:

"= (a 1, a 2,…, an), = (b 1, b 2,…, bn) Î V," aÎ P + = (a 1 + b 1, a 2 + b 2,…, an + bn) (1)

a = (aa 1, aa 2,…, aa n) (2)

عناصر مجموعه V فراخوانی خواهند شد بردارهای n بعدی... دو بردار n بعدی اگر مولفه های متناظر آنها (مختصات) مساوی باشند گفته می شود. اجازه دهید نشان دهیم که V یک فضای برداری بر روی میدان P است. از تعریف عملیات جمع بردارها و ضرب یک بردار در یک اسکالر نتیجه می شود که V تحت این عملیات بسته است. از آنجایی که افزودن عناصر از V به جمع عناصر میدان P کاهش می یابد، و P یک گروه آبلیان افزایشی است، پس V نیز یک گروه آبلیان افزایشی است. علاوه بر این، =، که در آن 0 صفر میدان P است، - = (-a 1، -a 2، ...، -a n). بنابراین، A 1 برآورده می شود. از آنجایی که ضرب یک عنصر از V در یک عنصر از P به ضرب عناصر فیلد P کاهش می یابد، پس:

و 2 به دلیل تداعی ضرب در P انجام می شود.

A 3 و A 4 به دلیل توزیعی بودن ضرب با توجه به جمع P انجام می شوند.

5 برآورده می شود، زیرا 1 Î P یک عنصر خنثی نسبت به ضرب در P است.

تعریف 2.مجموعه V = P n با عملیاتی که با فرمول های (1) و (2) تعریف شده است، یک فضای برداری n بعدی حسابی بر روی میدان P نامیده می شود.

سخنرانی 6. فضای برداری.

سوالات اصلی

1. فضای خطی برداری.

2. اساس و بعد فضا.

3. جهت گیری فضا.

4. تجزیه بردار در پایه.

5. مختصات برداری.

1. فضای خطی برداری.

مجموعه ای متشکل از عناصر با هر ماهیت که در آن عملیات خطی تعریف می شود: جمع دو عنصر و ضرب یک عنصر در یک عدد نامیده می شود. فضاها، و عناصر آنها هستند بردارهااز این فضا و به همان ترتیب کمیت های برداری در هندسه تعیین می شوند:. بردارهاچنین فضاهای انتزاعی، به طور معمول، هیچ ارتباطی با بردارهای هندسی معمولی ندارند. عناصر فضاهای انتزاعی می توانند توابع، سیستمی از اعداد، ماتریس ها و غیره و در یک مورد خاص بردارهای معمولی باشند. بنابراین معمولاً به چنین فضاهایی گفته می شود فضاهای برداری .

فضاهای برداری عبارتند از مثلا، مجموعه ای از بردارهای کولی-غیر، نشان داده شده است V1 ، مجموعه بردارهای همسطح V2 , مجموعه ای از بردارهای معمولی (فضای واقعی) V3 .

برای این مورد خاص، تعریف زیر از فضای برداری را می توان ارائه داد.

تعریف 1.مجموعه بردارها نامیده می شود فضای برداریاگر ترکیبی خطی از هر یک از بردارهای یک مجموعه نیز بردار این مجموعه باشد. خود بردارها نامیده می شوند عناصرفضای برداری

مفهوم کلی (انتزاعی) فضای برداری، چه از نظر نظری و چه از نظر کاربردی، مهمتر است.

تعریف 2.بسیاری از آرعناصر، که در آن مجموع برای هر دو عنصر و برای هر عنصر تعریف شده است https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_75.gif "width =" 68 "height =" 20 "> نامیده می شود بردار(یا خطی) فضاو اگر عملیات جمع بردارها و ضرب یک بردار در یک عدد شرایط زیر را داشته باشد، عناصر آن بردار هستند. بدیهیات) :

1) افزودن جابجایی است، یعنی gif "width =" 184 "height =" 25 ">;

3) چنین عنصری (بردار صفر) وجود دارد که برای هر https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif "width =" 45 "height =" 20 ">. Gif" عرض = " 99 "height =" 27 ">;

5) برای هر بردار و هر عدد λ، تساوی برقرار است.

6) برای هر بردار و هر عدد λ و µ برابری معتبر است https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif "width =" 45 height = 20 "height=" 20"> و هر عددی λ و µ نمایشگاه ;

8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif "width =" 45 "height =" 20 ">.

از بدیهیات تعریف فضای برداری ساده ترین را دنبال کنید عواقب :

1. در فضای برداری، تنها یک صفر - یک عنصر - یک بردار صفر وجود دارد.

2. در فضای برداری، هر بردار یک بردار متضاد دارد.

3. برای هر عنصر، برابری برآورده می شود.

4. برای هر عدد واقعی λ و وکتور صفر https://pandia.ru/text/80/142/images/image017_45.gif "width =" 68 "height =" 25">.

5..gif "width =" 145 "height =" 28 ">

6..gif "width =" 15 "height =" 19 src = ">. Gif" width = "71" height = "24 src ="> برداری است که برابری را برآورده می کند https://pandia.ru/text /80 /142/images/image026_26.gif "width =" 73 "height =" 24 ">.

بنابراین، در واقع، مجموعه تمام بردارهای هندسی یک فضای خطی (بردار) است، زیرا برای عناصر این مجموعه اعمال جمع و ضرب در یک عدد تعریف شده است که بدیهیات فرمول بندی شده را برآورده می کند.

2. اساس و بعد فضا.

مفاهیم اساسی فضای برداری مفاهیم پایه و بعد هستند.

تعریف.مجموعه ای از بردارهای مستقل خطی که به ترتیب معین گرفته می شوند و از طریق آنها هر بردار فضا به صورت خطی بیان می شود، نامیده می شود. اساساین فضا بردارها فضاهای تشکیل دهنده پایه نامیده می شوند پایه ای .

اساس مجموعه ای از بردارها که بر روی یک خط مستقیم دلخواه قرار دارند را می توان یک بردار خطی این بردار مستقیم در نظر گرفت.

اساس در هواپیمابیایید دو بردار غیر خطی در این صفحه را نام ببریم که با ترتیب خاصی گرفته شده اند https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif "width =" 61 "height =" 24">.

اگر بردارهای پایه به صورت جفتی عمود بر هم باشند (متعامد)، آنگاه مبنا نامیده می شود ارتودنسی، و اگر این بردارها طولی برابر با یک داشته باشند، پایه نامیده می شود متعارف .

بیشترین تعداد بردارهای مستقل خطی فضا نامیده می شود بعد، ابعاد، اندازهاین فضا، یعنی بعد فضا با تعداد بردارهای پایه این فضا منطبق است.

بنابراین، مطابق با این تعاریف:

1. فضای تک بعدی V1 یک خط مستقیم است و اساس آن شامل یک خطیوکتور https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif "width =" 39 "height =" 23 src = ">.

3. فضای معمولی فضای سه بعدی است V3 که مبنای آن عبارت است از سه غیر همسطحبردارها

از اینجا می بینیم که تعداد بردارهای پایه در یک خط مستقیم، در یک صفحه، در فضای واقعی، با آنچه در هندسه معمولاً تعداد ابعاد (بعد) یک خط مستقیم، صفحه، فضا نامیده می شود، منطبق است. بنابراین طبیعی است که تعریف کلی تری ارائه شود.

تعریف.فضای برداری آرتماس گرفت n- ابعادی، اگر حداکثر شامل آن باشد nبردارهای مستقل خطی و نشان داده شده است آر n... عدد nتماس گرفت بعد، ابعاد، اندازهفضا.

متناسب با ابعاد، فضاها به دو دسته تقسیم می شوند محدود بعدیو بی پایان... بعد فضای صفر طبق تعریف برابر با صفر در نظر گرفته می شود.

تبصره 1.در هر فاصله می توانید هر تعداد پایه را که دوست دارید مشخص کنید، اما در این حالت همه پایه های یک فضای داده شده از همان تعداد بردار تشکیل شده اند.

تبصره 2. V n- فضای برداری ابعادی، اساس هر مجموعه مرتب شده است nبردارهای مستقل خطی

3. جهت گیری فضا.

بردارهای پایه را در فضا بگذارید V3 دارند شروع مشترکو سفارش داده شدهیعنی مشخص می شود که کدام بردار اول، کدام دوم و کدام سوم در نظر گرفته می شود. به عنوان مثال، در مبنا بردارها بر اساس شاخص مرتب شده اند.

برای برای جهت دهی به فضا، باید پایه ای تنظیم کنید و آن را مثبت اعلام کنید .

می توان نشان داد که مجموعه تمام پایه های فضا به دو کلاس، یعنی به دو زیرمجموعه مجزا تقسیم می شود.

الف) تمام پایه های متعلق به یک زیر مجموعه (کلاس) دارای همانجهت گیری (پایه هایی با همین نام)؛

ب) هر دو پایه متعلق به مختلفزیر مجموعه ها (کلاس ها) دارند مخالفگرایش، ( مقابلپایه ها).

اگر یکی از دو کلاس پایه یک فضا مثبت و دیگری منفی اعلام شود، می گویند این فضا جهت دار .

غالباً در جهت گیری فضا به برخی از پایه ها گفته می شود درستو دیگران - ترک کرد .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif "width =" 61 "height =" 24 src = "> نامیده می شود درستاگر هنگام مشاهده از انتهای بردار سوم، کوتاهترین چرخش اولین بردار https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif "width =" 16 "height =" 23"> انجام می شود پادساعتگرد(شکل 1.8، الف).

https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif "width =" 16 "height =" 24">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif "width =" 15 "height =" 23 ">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif "width =" 13 "height =" 19 ">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif "width =" 16 "height =" 23 ">

برنج. 1.8. پایه راست (الف) و پایه چپ (ب)

معمولا مبنای درست فضا را مبنای مثبت اعلام می کنند

پایه سمت راست (چپ) فضا را می توان با استفاده از قاعده پیچ یا گیمبال "راست" ("چپ") تعیین کرد.

در قیاس با این، مفهوم راست و چپ سه قلوهابردارهای ناسازگاری که باید سفارش داده شوند (شکل 1.8).

بنابراین، در حالت کلی، دو سه گانه مرتب شده از بردارهای غیر مکمل، جهت گیری یکسانی (همنام) در فضا دارند. V3 اگر هر دو راست یا هر دو چپ باشند، و - جهت مخالف (برعکس)، اگر یکی از آنها راست و دیگری چپ باشد.

در مورد فضا هم همینطور است V2 (سطح).

4. تجزیه بردار بر حسب مبنا.

برای سادگی استدلال، این سوال را با استفاده از مثال فضای برداری سه بعدی در نظر خواهیم گرفت. آر3 .

بگذارید https://pandia.ru/text/80/142/images/image021_36.gif "width =" 15 "height =" 19"> بردار دلخواه این فضا باشد.

فضای برداری (خطی) مجموعه ای از بردارها (عناصر) با مولفه های واقعی است که در آن عملیات جمع بردارها و ضرب یک بردار در عددی تعریف می شود که بدیهیات (خواص) خاصی را برآورده می کند.

1) x+در=در+NS(تغییر پذیری اضافه)؛

2)(NS+در)+z=ایکس+(y+z) (تداعی جمع);

3) بردار صفر وجود دارد 0 (یا بردار تهی) که شرط را برآورده می کند ایکس+ 0 =ایکس:برای هر بردار ایکس;

4) برای هر بردار NSیک بردار مخالف وجود دارد دربه طوری که NS+در = 0 ,

5) 1 x=NS،

6) آ(bx)=(ab)NS(تداعی ضرب)؛

7) (آ+ب)NS=آخ+bx(ویژگی توزیع با توجه به یک عامل عددی)؛

8) آ(NS+در)=آخ+ay(ویژگی توزیع با توجه به یک عامل برداری).

فضای خطی (بردار) V (P) روی فیلد P یک مجموعه V غیر خالی است. عناصر مجموعه V را بردار و عناصر میدان P را اسکالر می نامند.

ساده ترین خواص

1. فضای برداری یک گروه آبلی است (گروهی که در آن عملیات گروهی جابجایی است. عملیات گروهی در گروه های آبلی معمولاً «افزودن» نامیده می شود و با + نشان داده می شود.

2. عنصر خنثی تنها عنصری است که از ویژگی های گروهی برای هر کدام به دست می آید.

3. برای هر، عنصر مقابل منحصر به فرد است، که از ویژگی های گروه به دست می آید.

4. (- 1) x = - x برای هر x є V.

5. (- α) x = α (–x) = - (αx) برای هر α є P و x є V.

اصطلاح a 1 e 1+a 2 e 2+ … +a n e n(1) به ترکیب خطی بردارها گفته می شود e 1، e 2، ...، e nبا ضرایب a 1، a 2,...، یک n.اگر حداقل یکی از ضرایب باشد، ترکیب خطی (1) غیر بی اهمیت نامیده می شود a 1، a 2، ...، a nغیر صفر بردارها e 1، e 2، ...، e nدر صورتی که یک ترکیب غیر ضروری (1) وجود داشته باشد که بردار صفر است، وابسته خطی نامیده می شوند. در غیر این صورت (یعنی اگر فقط ترکیبی از بردارها باشد e 1، e 2، ...، e nبرابر با بردار صفر) بردارها است e 1، e 2، ...، e nمستقل خطی نامیده می شوند.

بعد فضا حداکثر تعداد بردارهای LZ موجود در آن است.

فضای برداری n بعدی نامیده می شود (یا دارای "بعد n"), اگر وجود دارد nعناصر مستقل خطی e 1، e 2، ...، e n،و هر n+ 1 عناصر به صورت خطی وابسته هستند (شرایط تعمیم یافته B). فضای برداریاگر برای هر طبیعی بی‌بعدی نامیده می‌شوند nوجود دارد nبردارهای مستقل خطی هر nبردارهای مستقل خطی n بعدی فضای برداریاساس این فضا را تشکیل می دهد. اگر e 1، e 2، ...، e n- اساس فضای برداری، سپس هر بردار NSاین فضا را می توان به صورت منحصر به فرد به صورت ترکیبی خطی از بردارهای پایه نشان داد: ایکس=a 1 e 1+a 2 e 2+... +a n e n.
علاوه بر این، اعداد a 1، a 2، ...، a nمختصات بردار نامیده می شوند NSدر این مبنا

فضای برداری (فضای خطی)، یکی از مفاهیم اساسی جبر، تعمیم مفهوم مجموعه ای از بردارها (آزاد). در فضای برداری، به جای بردار، هر جسمی که بتوان آن را با اعداد اضافه و ضرب کرد، در نظر گرفته می شود. در این حالت لازم است که خصوصیات جبری اساسی این عملیات مانند بردارها در هندسه ابتدایی باشد. در تعریف دقیق، اعداد با عناصر هر فیلد K جایگزین می شوند. فضای برداری بر روی یک فیلد K مجموعه ای V با عملیات جمع کردن عناصر از V و ​​عملیات ضرب عناصر از V در عناصر از فیلد K است. دارای خواص زیر است:

x + y = y + x برای هر x، y از V، یعنی با توجه به جمع، V یک گروه آبلی است.

λ (x + y) = λ χ + λy برای هر λ از K و x، y از V.

(λ + μ) х = λх + μх برای هر λ، μ از К و х از V.

(λ μ) х = λ (μх) برای هر λ، μ از K و х از V.

1x = x برای هر x از V، در اینجا 1 به معنای واحد فیلد K است.

نمونه هایی از فضای برداری عبارتند از: مجموعه های L 1، L 2 و L 3 از تمام بردارهای هندسه ابتدایی، به ترتیب، در یک خط مستقیم، صفحه و در فضا با عملیات معمول جمع بردار و ضرب در یک عدد. فضای برداری مختصات K n، که همه عناصر آن رشته های ممکن (بردارها) به طول n با عناصری از فیلد K هستند و عملیات با فرمول ها ارائه می شود.

مجموعه F (M، K) از همه توابع تعریف شده در یک مجموعه ثابت M و گرفتن مقادیر در فیلد K، با عملیات معمول روی توابع:

اگر از تساوی λ 1 e 1 + ... + λ n است n = 0 Є V نتیجه شود که همه λ 1، λ 2، .. عناصر فضای برداری е 1 ...، е n مستقل خطی نامیده می شوند. ., λ n = 0 Є K. در غیر این صورت، عناصر е 1، е 2، ···> е n به صورت خطی وابسته نامیده می شوند. اگر در فضای برداری V هر n + 1 عنصر e 1، ...، e n + 1 به صورت خطی وابسته باشند و n عنصر مستقل خطی وجود داشته باشد، V فضای برداری n بعدی نامیده می شود و n فضای برداری بعدی V است. اگر در یک فضای برداری V برای هر n طبیعی، n بردار مستقل خطی وجود داشته باشد، آنگاه V فضای برداری بی‌بعدی نامیده می‌شود. به عنوان مثال، فضای برداری L 1، L 2، L 3 و Kn به ترتیب 1-، 2-، 3- و n بعدی هستند. اگر M یک مجموعه نامتناهی باشد، فضای برداری F (M, K) بینهایت بعدی است.

فضای برداری V و U بر روی یک میدان K اگر یک نگاشت یک به یک φ وجود داشته باشد، هم شکل نامیده می شود: V -> U به طوری که φ (x + y) = φ (x) + φ (y) برای هر x ، y از V و ​​φ (λχ) = λ φ (х) برای هر λ از К و х از V. فضاهای برداری هم شکل از نظر جبری قابل تشخیص نیستند. طبقه بندی فضاهای برداری با بعد محدود تا ایزومورفیسم بر اساس بعد آنها ارائه می شود: هر فضای برداری n بعدی بر روی میدان K نسبت به فضای برداری مختصات Kn هم شکل است. همچنین به فضای هیلبرت، جبر خطی مراجعه کنید.

در مقاله بردارهای n بعدی، به مفهوم فضای خطی تولید شده توسط مجموعه ای از بردارهای n بعدی رسیدیم. حال باید مفاهیم کم اهمیتی مانند بعد و مبنای یک فضای برداری را در نظر بگیریم. آنها به طور مستقیم با مفهوم یک سیستم بردار مستقل خطی مرتبط هستند، بنابراین توصیه می شود اصول این مبحث را به خود یادآوری کنید.

بیایید چند تعریف را معرفی کنیم.

تعریف 1

ابعاد فضای برداری- عدد مربوط به حداکثر تعداد بردارهای مستقل خطی در این فضا.

تعریف 2

مبنای فضای برداری- مجموعه ای از بردارهای مستقل خطی، مرتب و مساوی با ابعاد فضا.

فضای مشخصی از n بردار را در نظر بگیرید. ابعاد آن به ترتیب برابر با n است. بیایید سیستمی از بردارهای n واحدی را در نظر بگیریم:

e (1) = (1، 0،...، 0) e (2) = (0، 1،...، 0) e (n) = (0، 0،...، 1)

ما از این بردارها به عنوان اجزای ماتریس A استفاده می کنیم: واحدی با ابعاد n در n خواهد بود. رتبه این ماتریس n است. بنابراین، سیستم برداری e (1)، e (2)،. ... ... ، e (n) مستقل خطی است. علاوه بر این، اضافه کردن یک بردار واحد به سیستم بدون نقض استقلال خطی آن غیرممکن است.

از آنجایی که تعداد بردارها در سیستم n است، بعد فضای n بردار بعدی n است و بردارهای واحد e (1)، e (2)، است. ... ... ، e (n) اساس فضای نشان داده شده است.

از تعریف به دست آمده نتیجه می گیریم: هر سیستمی از بردارهای n بعدی که در آن تعداد بردارها کمتر از n باشد، مبنای فضا نیست.

اگر بردار اول و دوم را با هم عوض کنیم، سیستمی از بردارهای e (2)، e (1)، به دست می‌آید. ... ... ، e (n). همچنین مبنای فضای برداری n بعدی خواهد بود. بیایید یک ماتریس بسازیم و بردارهای سیستم حاصل را به عنوان ردیف آن در نظر بگیریم. ماتریس را می توان با جابجایی دو ردیف اول از ماتریس هویت بدست آورد، رتبه آن برابر با n خواهد بود. سیستم e (2)، e (1)،. ... ... ، e (n) مستقل خطی است و مبنای یک فضای برداری n بعدی است.

با مرتب کردن مجدد سایر بردارها در سیستم اصلی، یک پایه دیگر به دست می آوریم.

می‌توانیم یک سیستم مستقل خطی از بردارهای غیر واحدی بگیریم، و همچنین مبنای یک فضای برداری n بعدی را نشان می‌دهد.

تعریف 3

یک فضای برداری با بعد n به تعداد سیستم های مستقل خطی از بردارهای n بعدی عدد n، پایه دارد.

صفحه یک فضای دو بعدی است - اساس آن هر دو بردار غیر خطی خواهد بود. هر سه بردار غیرهمسطح به عنوان مبنای فضای سه بعدی عمل خواهند کرد.

بیایید کاربرد این نظریه را با مثال های خاص در نظر بگیریم.

مثال 1

اطلاعات اولیه:بردارها

a = (3، - 2، 1) b = (2، 1، 2) c = (3، - 1، - 2)

باید مشخص شود که آیا بردارهای نشان داده شده اساس یک فضای برداری سه بعدی هستند یا خیر.

راه حل

برای حل مسئله، سیستم بردارهای داده شده را برای وابستگی خطی بررسی می کنیم. بیایید یک ماتریس بسازیم که در آن سطرها مختصات بردارها هستند. اجازه دهید رتبه ماتریس را تعیین کنیم.

A = 3 2 3 - 2 1 - 1 1 2 - 2 A = 3 - 2 1 2 1 2 3 - 1 - 2 = 3 1 (- 2) + (- 2) 2 3 + 1 2 (- 1) - 1 1 3 - (- 2) 2 (- 2) - 3 2 (- 1) = = - 25 ≠ 0 ⇒ R ank (A) = 3

در نتیجه، بردارهای مشخص شده توسط شرط مسئله به صورت خطی مستقل هستند و تعداد آنها برابر با بعد فضای برداری است - آنها اساس فضای برداری هستند.

پاسخ:بردارهای نشان داده شده اساس فضای برداری هستند.

مثال 2

اطلاعات اولیه:بردارها

a = (3، - 2، 1) b = (2، 1، 2) c = (3، - 1، - 2) d = (0، 1، 2)

باید مشخص شود که آیا سیستم بردارهای مشخص شده می تواند مبنای یک فضای سه بعدی باشد یا خیر.

راه حل

سیستم بردارهای نشان داده شده در بیان مسئله به صورت خطی وابسته است، زیرا حداکثر تعداد بردارهای مستقل خطی 3 است. بنابراین، سیستم بردارهای نشان داده شده نمی تواند به عنوان مبنایی برای فضای برداری سه بعدی باشد. اما باید توجه داشت که زیرسیستم سیستم اصلی a = (3، - 2، 1)، b = (2، 1، 2)، c = (3، - 1، - 2) یک مبنا است.

پاسخ:سیستم مشخص شده بردارها مبنایی نیست.

مثال 3

اطلاعات اولیه:بردارها

a = (1، 2، 3، 3) b = (2، 5، 6، 8) c = (1، 3، 2، 4) d = (2، 5، 4، 7)

آیا می توانند مبنای یک فضای چهار بعدی باشند؟

راه حل

بیایید ماتریس را با استفاده از مختصات بردارهای داده شده به عنوان ردیف بسازیم

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

با استفاده از روش گاوس، رتبه ماتریس را تعیین می کنیم:

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 - 1 1 0 1 - 2 1 ~ ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 - 2 - 1 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R ank (A) = 4

در نتیجه، سیستم بردارهای داده شده به طور خطی مستقل است و تعداد آنها برابر با بعد فضای برداری است - آنها اساس فضای برداری چهار بعدی هستند.

پاسخ:بردارهای داده شده اساس فضای چهار بعدی هستند.

مثال 4

اطلاعات اولیه:بردارها

a (1) = (1، 2، - 1، - 2) a (2) = (0، 2، 1، - 3) a (3) = (1، 0، 0، 5)

آیا مبنایی برای یک فضای 4 بعدی تشکیل می دهند؟

راه حل

سیستم اصلی بردارها به صورت خطی مستقل است، اما تعداد بردارهای موجود در آن برای تبدیل شدن به پایه یک فضای چهار بعدی کافی نیست.

پاسخ:نه، آنها نمی کنند.

بسط یک بردار در پایه

فرض کنید بردارهای دلخواه e (1)، e (2)،. ... ... ، e (n) مبنای یک فضای بردار n بعدی هستند. بیایید برخی از بردارهای n بعدی x را به آنها اضافه کنیم: سیستم بردارهای حاصل به صورت خطی وابسته خواهد شد. ویژگی های وابستگی خطی بیان می کند که حداقل یکی از بردارهای چنین سیستمی را می توان به صورت خطی بر حسب بردارهای دیگر بیان کرد. با فرمول بندی مجدد این عبارت، می توان گفت که حداقل یکی از بردارهای یک سیستم وابسته خطی را می توان بر حسب بقیه بردارها گسترش داد.

بنابراین، به فرمول بندی مهمترین قضیه رسیدیم:

تعریف 4

هر بردار فضای برداری n بعدی به طور منحصر به فرد بر اساس تجزیه می شود.

اثبات 1

اجازه دهید این قضیه را ثابت کنیم:

اساس فضای برداری n بعدی - e (1)، e (2) را تعریف کنید. ... ... ، e (n). اجازه دهید سیستم را با افزودن یک بردار n بعدی x → به آن وابسته خطی کنیم. این بردار را می توان به صورت خطی بر حسب بردارهای اصلی بیان کرد:

x = x 1 e (1) + x 2 e (2) +. ... ... + x n e (n)، که در آن x 1، x 2،. ... ... ، x n - تعدادی اعداد.

حال اجازه دهید ثابت کنیم که چنین تجزیه ای منحصر به فرد است. فرض کنید اینطور نیست و تجزیه مشابه دیگری وجود دارد:

x = x ~ 1 e (1) + x 2 ~ e (2) +. ... ... + x ~ n e (n)، که در آن x ~ 1، x ~ 2،. ... ... ، x ~ n تعدادی اعداد هستند.

از سمت چپ و راست این برابری به ترتیب، سمت چپ و راست برابری x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + را کم می کنیم. ... ... + x n e (n). ما گرفتیم:

0 = (x ~ 1 - x 1) e (1) + (x ~ 2 - x 2) e (2) +. ... ... (x ~ n - x n) e (2)

سیستم بردارهای پایه e (1)، e (2)،. ... ... ، e (n) مستقل خطی است. با تعریف استقلال خطی یک سیستم از بردارها، برابری فوق فقط در صورتی امکان پذیر است که همه ضرایب (x ~ 1 - x 1)، (x ~ 2 - x 2) باشند. ... ... ، (x ~ n - x n) برابر با صفر خواهد بود. که از آن منصفانه خواهد بود: x 1 = x ~ 1، x 2 = x ~ 2،. ... ... ، x n = x ~ n. و این تنها راه را برای گسترش بردار از نظر مبنا ثابت می کند.

در این مورد، ضرایب x 1، x 2،. ... ... ، x n مختصات بردار x → در پایه e (1)، e (2)، نامیده می شوند. ... ... ، e (n).

نظریه اثبات شده عبارت "با توجه به یک بردار n بعدی x = (x 1، x 2،...، X n)" را روشن می کند: یک فضای برداری x → n -بعدی در نظر گرفته می شود و مختصات آن در برخی از پایه ها همچنین واضح است که همان بردار در مبنای متفاوتی از فضای n بعدی مختصات متفاوتی خواهد داشت.

مثال زیر را در نظر بگیرید: فرض کنید که در برخی از پایه های یک فضای برداری n بعدی، سیستمی از n بردار مستقل خطی داده می شود.

و همچنین بردار x = (x 1, x 2,..., x n) داده می شود.

بردارهای e 1 (1)، e 2 (2)،. ... ... ، e n (n) در این مورد نیز اساس این فضای برداری هستند.

فرض کنید که لازم است مختصات بردار x → در پایه e 1 (1)، e 2 (2) تعیین شود. ... ... ، e n (n)، با x ~ 1، x ~ 2، نشان داده می شود. ... ... ، x ~ n.

بردار x → به صورت زیر نمایش داده می شود:

x = x ~ 1 e (1) + x ~ 2 e (2) +. ... ... + x ~ n e (n)

بیایید این عبارت را به صورت مختصات بنویسیم:

(x 1، x 2،...، xn) = x ~ 1 (e (1) 1، e (1) 2،...، e (1) n) + x ~ 2 (e (2) 1 , e (2) 2,.., E (2) n) +. ... ... + + x ~ n (e (n) 1، e (n) 2،...، e (n) n) = = (x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + . .. + x ~ ne 1 (n)، x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + +... + x ~ ne 2 (n)،...، x ~ 1 en (1) + x ~ 2 en (2) +... + x ~ nen (n))

برابری حاصل معادل سیستمی از n عبارت جبری خطی با n متغیر خطی ناشناخته x ~ 1, x ~ 2, است. ... ... ، x ~ n:

x 1 = x ~ 1 e 1 1 + x ~ 2 e 1 2 +. ... ... + x ~ n e 1 n x 2 = x ~ 1 e 2 1 + x ~ 2 e 2 2 +. ... ... + x ~ n e 2 n ⋮ x n = x ~ 1 e n 1 + x ~ 2 e n 2 +. ... ... + x ~ n e n n

ماتریس این سیستم به صورت زیر خواهد بود:

e 1 (1) e 1 (2) ⋯ e 1 (n) e 2 (1) e 2 (2) ⋯ e 2 (n) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n (1) e n (2) ⋯ e n (n)

بگذارید یک ماتریس A باشد و ستون های آن بردارهای یک سیستم مستقل خطی از بردارهای e 1 (1)، e 2 (2) هستند. ... ... , e n (n). رتبه ماتریس n است و تعیین کننده آن غیر صفر است. این نشان می دهد که سیستم معادلات دارای یک راه حل منحصر به فرد است که می توان آن را به هر روشی مناسب تعیین کرد: برای مثال، روش کرامر یا روش ماتریسی. بنابراین، ما می توانیم مختصات x ~ 1، x ~ 2، را تعیین کنیم. ... ... ، x ~ n از بردار x → در پایه e 1 (1)، e 2 (2)،. ... ... , e n (n).

بیایید نظریه در نظر گرفته شده را در یک مثال خاص اعمال کنیم.

مثال 6

اطلاعات اولیه:بر اساس فضای سه بعدی، بردارها

e (1) = (1، - 1، 1) e (2) = (3، 2، - 5) e (3) = (2، 1، - 3) x = (6، 2، - 7)

تأیید این واقعیت ضروری است که سیستم بردارهای e (1)، e (2)، e (3) نیز به عنوان مبنای فضای داده شده عمل می کند و همچنین مختصات بردار x را در مبنای داده شده تعیین می کند. .

راه حل

سیستمی از بردارهای e (1)، e (2)، e (3) اگر به صورت خطی مستقل باشد، مبنای یک فضای سه بعدی خواهد بود. اجازه دهید این امکان را با تعیین رتبه ماتریس A که ردیف های آن بردارهای داده شده e (1)، e (2)، e (3) هستند، روشن کنیم.

ما از روش گاوس استفاده می کنیم:

A = 1 - 1 1 3 2 - 5 2 1 - 3 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 3 - 5 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 0 - 1 5

R a n k (A) = 3. بنابراین، سیستم بردارهای e (1)، e (2)، e (3) مستقل خطی است و یک مبنا است.

اجازه دهید بردار x → دارای مختصات x ~ 1، x ~ 2، x ~ 3 در پایه باشد. رابطه بین این مختصات توسط معادله تعیین می شود:

x 1 = x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + x ~ 3 e 1 (3) x 2 = x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + x ~ 3 e 2 (3) x 3 = x ~ 1 e 3 (1) + x ~ 2 e 3 (2) + x ~ 3 e 3 (3)

بیایید مقادیر را با توجه به شرایط مسئله اعمال کنیم:

x ~ 1 + 3 x ~ 2 + 2 x ~ 3 = 6 - x ~ 1 + 2 x ~ 2 + x ~ 3 = 2 x ~ 1 - 5 x ~ 2 - 3 x 3 = - 7

بیایید سیستم معادلات را با روش کرامر حل کنیم:

∆ = 1 3 2 - 1 2 1 1 - 5 - 3 = - 1 ∆ x ~ 1 = 6 3 2 2 2 1 - 7 - 5 - 3 = - 1، x ~ 1 = ∆ x ~ 1 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 2 = 1 6 2 - 1 2 1 1 - 7 - 3 = - 1، x ~ 2 = ∆ x ~ 2 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 3 = 1 3 6 - 1 2 2 1 - 5 - 7 = - 1، x ~ 3 = ∆ x ~ 3 ∆ = - 1 - 1 = 1

بنابراین، بردار x → در پایه e (1)، e (2)، e (3) دارای مختصات x ~ 1 = 1، x ~ 2 = 1، x ~ 3 = 1 است.

پاسخ: x = (1، 1، 1)

رابطه بین پایه ها

فرض کنید در برخی از پایه های یک فضای برداری n بعدی، دو سیستم مستقل خطی از بردارها آورده شده است:

c (1) = (c 1 (1), c 2 (1),..., cn (1)) c (2) = (c 1 (2), c 2 (2),.., cn ( 2)) ⋮ c (n) = (c 1 (n)، e 2 (n)،...، Cn (n))

e (1) = (e 1 (1), e 2 (1),..., en (1)) e (2) = (e 1 (2), e 2 (2),.., en ( 2)) ⋮ e (n) = (e 1 (n)، e 2 (n)،...، En (n))

این سیستم ها نیز پایه های یک فضای معین هستند.

اجازه دهید c ~ 1 (1)، c ~ 2 (1)،. ... ... , c ~ n (1) مختصات بردار c (1) در پایه e (1)، e (2)، هستند. ... ... ، e (3)، سپس رابطه مختصات توسط یک سیستم معادلات خطی مشخص می شود:

c 1 (1) = c ~ 1 (1) e 1 (1) + c ~ 2 (1) e 1 (2) +. ... ... + c ~ n (1) e 1 (n) c 2 (1) = c ~ 1 (1) e 2 (1) + c ~ 2 (1) e 2 (2) +. ... ... + c ~ n (1) e 2 (n) ⋮ c n (1) = c ~ 1 (1) e n (1) + c ~ 2 (1) e n (2) +. ... ... + c ~ n (1) e n (n)

در قالب یک ماتریس، سیستم را می توان به صورت زیر نمایش داد:

(c 1 (1)، c 2 (1)،..، cn (1)) = (c ~ 1 (1)، c ~ 2 (1)،...، c ~ n (1)) e 1 (1) e 2 (1)… en (1) e 1 (2) e 2 (2)… en (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n)… en (n)

بیایید همان نماد را برای بردار c (2) با قیاس ایجاد کنیم:

(c 1 (2)، c 2 (2)، ..، cn (2)) = (c ~ 1 (2)، c ~ 2 (2)،...، c ~ n (2)) e 1 (1) e 2 (1)… en (1) e 1 (2) e 2 (2)… en (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n)… en (n)

(c 1 (n)، c 2 (n)، ..، cn (n)) = (c ~ 1 (n)، c ~ 2 (n)،...، c ~ n (n)) e 1 (1) e 2 (1)… en (1) e 1 (2) e 2 (2)… en (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n)… en (n)

بیایید برابری های ماتریسی را در یک عبارت ترکیب کنیم:

c 1 (1) c 2 (1) ⋯ cn (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ cn (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n) c 2 (n) ⋯ cn (n) = c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e 1 (1) e 2 (1) ⋯ en (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ en (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) ⋯ en (n)

رابطه بین بردارهای دو پایه متفاوت را تعیین می کند.

با استفاده از همین اصل، می توان تمام بردارهای پایه e (1)، e (2) را بیان کرد. ... ... ، e (3) از طریق پایه ج (1)، ج (2)،. ... ... ، ج (n):

e 1 (1) e 2 (1) ⋯ en (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ en (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) ⋯ en (n) = e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) c 1 (1) c 2 (1) ⋯ cn (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ cn (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n) c 2 (n) ⋯ cn (n)

بیایید تعاریف زیر را ارائه دهیم:

تعریف 5

ماتریس c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) ماتریس انتقال از پایه e (1)، e (2)، است. ... ... ، e (3)

به پایه ج (1)، ج (2)،. ... ... ، ج (ن).

تعریف 6

ماتریس e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) ماتریس انتقال از پایه c (1)، c (2)، است. ... ... ، ج (ن)

به پایه e (1)، e (2)،. ... ... ، ه (3).

از این برابری ها پیداست که

c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 e ~ 1 (1) e ) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) C ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1

آن ها ماتریس های انتقال متقابل هستند.

بیایید نظریه را با یک مثال خاص در نظر بگیریم.

مثال 7

اطلاعات اولیه:لازم است ماتریس انتقال را از پایه پیدا کنیم

c (1) = (1، 2، 1) c (2) = (2، 3، 3) c (3) = (3، 7، 1)

e (1) = (3، 1، 4) e (2) = (5، 2، 1) e (3) = (1، 1، - 6)

همچنین باید رابطه مختصات یک بردار دلخواه x → را در پایه های داده شده نشان دهید.

راه حل

1. اجازه دهید T ماتریس انتقال باشد، سپس برابری درست خواهد بود:

3 1 4 5 2 1 1 1 1 = T 1 2 1 2 3 3 3 7 1

دو طرف برابری را در ضرب کنید

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

و دریافت کنید:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

2. بیایید ماتریس انتقال را تعریف کنیم:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 = = 3 1 4 5 2 1 1 1 1 - 6 - 18 5 3 7 - 2 - 1 5 - 1 - 1 = - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

3. اجازه دهید رابطه مختصات بردار x را تعریف کنیم:

فرض کنید که در مبنای c (1)، c (2)،. ... ... ، c (n) بردار x → دارای مختصات x 1، x 2، x 3 است، سپس:

x = (x 1، x 2، x 3) 1 2 1 2 3 3 7 1،

و در پایه e (1)، e (2)،. ... ... ، e (3) دارای مختصات x ~ 1، x ~ 2، x ~ 3 است، سپس:

x = (x ~ 1، x ~ 2، x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

زیرا ضلع چپ این تساوی ها برابر است، می توانیم ضلع های سمت راست را برابر کنیم:

(x 1، x 2، x 3) 1 2 1 2 3 3 7 1 = (x ~ 1، x ~ 2، x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 1 - 6

هر دو طرف سمت راست را در ضرب کنید

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

و دریافت کنید:

(x 1, x 2, x 3) = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 ⇔ ⇔ ( x 1 , x 2, x 3) = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) T ⇔ ⇔ (x 1, x 2, x 3) = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3 ) - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

از طرف دیگر

(x ~ 1، x ~ 2، x ~ 3) = (x 1، x 2، x 3) - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

آخرین تساوی ارتباط بین مختصات بردار x → در هر دو پایه را نشان می دهد.

پاسخ:ماتریس انتقال

27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

مختصات بردار x → در پایه های داده شده با نسبت به هم مرتبط هستند:

(x 1، x 2، x 3) = (x ~ 1، x ~ 2، x ~ 3) - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

(x ~ 1، x ~ 2، x ~ 3) = (x 1، x 2، x 3) - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8 - 1

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را انتخاب کرده و Ctrl + Enter را فشار دهید