توابع و گرافیک. توابع ابتدایی پایه و خواص آنها ویژگی های اساسی توابع ابتدایی

این بخش حاوی مطالب مرجع در مورد توابع اصلی اصلی و خواص آنها است. طبقه بندی توابع ابتدایی داده شده است. در زیر پیوندهایی به بخش‌های فرعی وجود دارد که ویژگی‌های توابع خاص را مورد بحث قرار می‌دهد - نمودارها، فرمول‌ها، مشتقات، ضد مشتق‌ها (انتگرال)، بسط سری، عبارات از طریق متغیرهای پیچیده.

محتوا

صفحات مرجع برای توابع اساسی

طبقه بندی توابع ابتدایی

تابع جبریتابعی است که معادله را برآورده می کند:
,
که در آن یک چند جمله ای در متغیر وابسته y و متغیر مستقل x وجود دارد. می توان آن را به صورت زیر نوشت:
,
چند جمله ای ها کجا هستند

توابع جبری به چند جمله ای (کل توابع گویا)، توابع گویا و توابع غیر منطقی تقسیم می شوند.

کل تابع عقلانی، که به آن نیز می گویند چند جمله اییا چند جمله ای، از متغیر x و تعداد محدودی از اعداد با استفاده از عملیات حسابی جمع (تفریق) و ضرب به دست می آید. پس از باز کردن براکت ها، چند جمله ای به شکل متعارف کاهش می یابد:
.

تابع گویا کسری، یا به سادگی عملکرد منطقی، از متغیر x و تعداد محدودی از اعداد با استفاده از عملیات حسابی جمع (تفریق)، ضرب و تقسیم به دست می آید. تابع منطقی را می توان به شکل کاهش داد
,
کجا و چند جمله ای هستند.

عملکرد غیر منطقییک تابع جبری است که منطقی نیست. به عنوان یک قاعده، یک تابع غیرمنطقی به عنوان ریشه ها و ترکیبات آنها با توابع عقلانی درک می شود. یک ریشه درجه n به عنوان جواب معادله تعریف می شود
.
به شرح زیر تعیین می شود:
.

توابع ماوراییتوابع غیر جبری نامیده می شوند. اینها نمایی، مثلثاتی، هذلولی و توابع معکوس آنها هستند.

مروری بر توابع ابتدایی اولیه

همه توابع ابتدایی را می توان به صورت تعداد محدودی از عملیات جمع، تفریق، ضرب و تقسیم که بر روی عبارتی از شکل انجام می شود نشان داد:
z t .
توابع معکوس را می توان بر حسب لگاریتم نیز بیان کرد. توابع ابتدایی اولیه در زیر فهرست شده اند.

تابع توان :
y(x) = x p
که در آن p توان است. بستگی به پایه درجه x دارد.
معکوس تابع توان نیز تابع توان است:
.
برای یک مقدار غیر منفی عدد صحیح توان p، یک چند جمله ای است. برای یک مقدار صحیح p - یک تابع منطقی. با معنای عقلانی - یک عملکرد غیر منطقی.

توابع ماورایی

تابع نمایی:
y(x) = a x
جایی که a پایه درجه است. بستگی به توان x دارد.
تابع معکوس لگاریتمی بر مبنای a است:
x = ورود به سیستم یک y.

نما، e به توان x:
y(x) = e x،
این یک تابع نمایی است که مشتق آن برابر با خود تابع است:
.
پایه توان عدد e است:
≈ 2,718281828459045... .
تابع معکوس لگاریتم طبیعی است - لگاریتم به پایه عدد e:
x = ln y ≡ log e y.

توابع مثلثاتی:
سینوس: ;
کسینوس:
مماس: ;
کوتانژانت: ;
در اینجا i واحد خیالی است، i 2 = -1.

توابع مثلثاتی معکوس:
آرکسین: x = arcsin y, ;
کسینوس قوسی: x = arccos y, ;
آرکتانژانت: x = arctan y, ;
مماس قوس: x = arcctg y, .

توابع ابتدایی اولیهعبارتند از: تابع ثابت (ثابت)، ریشه n- درجه، تابع توان، تابع نمایی، لگاریتمی، توابع مثلثاتی و معکوس.

عملکرد دائمی

یک تابع ثابت بر روی مجموعه تمام اعداد حقیقی با فرمول، Where داده می شود سی- تعدادی عدد واقعی یک تابع ثابت هر مقدار واقعی متغیر مستقل را اختصاص می دهد ایکسمقدار یکسان متغیر وابسته y- معنی با. تابع ثابت را ثابت نیز می گویند.

نمودار یک تابع ثابت یک خط مستقیم موازی با محور x است و از نقطه ای با مختصات می گذرد. (0,C). برای مثال، بیایید نمودارهایی از توابع ثابت را نشان دهیم y=5,y=-2و که در شکل زیر به ترتیب با خطوط مشکی، قرمز و آبی مطابقت دارد.

ویژگی های یک تابع ثابت

دامنه: کل مجموعه اعداد واقعی.

تابع ثابت زوج است.

محدوده مقادیر: مجموعه ای متشکل از یک عدد مفرد با.

یک تابع ثابت غیرافزاینده و بدون کاهش است (به همین دلیل ثابت است).

بی معنی است که در مورد تحدب و تقعر یک ثابت صحبت کنیم.

هیچ مجانبی وجود ندارد.

تابع از نقطه عبور می کند (0,C)هواپیمای مختصات

ریشه درجه n.

بیایید تابع ابتدایی پایه را که با فرمول، کجا ارائه می شود، در نظر بگیریم n- عدد طبیعی بزرگتر از یک

ریشه n، n یک عدد زوج است.

بیایید با تابع root شروع کنیم nتوان -ام برای مقادیر زوج توان ریشه n.

به عنوان مثال، در اینجا یک تصویر با تصاویر نمودارهای تابع است و با خطوط مشکی، قرمز و آبی مطابقت دارند.

نمودارهای توابع ریشه زوج دارای ظاهری مشابه برای سایر مقادیر توان است.

ویژگی های تابع ریشهn -ام قدرت برای حتیn .

ریشه n، n یک عدد فرد است.

تابع ریشه nتوان -ام با توان ریشه فرد nبر روی کل مجموعه اعداد واقعی تعریف می شود. به عنوان مثال، در اینجا نمودارهای تابع هستند و با منحنی های سیاه، قرمز و آبی مطابقت دارند.

لیوویل با در نظر گرفتن توابع یک متغیر مختلط، توابع ابتدایی را تا حدودی گسترده تر تعریف کرد. تابع ابتدایی yمتغیر ایکس- تابع تحلیلی، که می تواند به عنوان یک تابع جبری نمایش داده شود ایکسو توابع ، و لگاریتم یا توان یک تابع جبری است g 1 از ایکس .

مثلا گناه( ایکس) - تابع جبری از ه منایکس .

بدون محدود کردن کلیت در نظر گرفتن، می توانیم توابع را از نظر جبری مستقل در نظر بگیریم، یعنی اگر معادله جبری برای همه برآورده شود. ایکس، سپس تمام ضرایب چند جمله ای برابر با صفر هستند.

تمایز توابع ابتدایی

جایی که z 1 "(z) برابر است یا g 1 " / g 1 یا z 1 g 1" بسته به اینکه لگاریتمی باشد یا خیر z 1 یا نمایی و غیره در عمل استفاده از جدول مشتق راحت است.

ادغام توابع ابتدایی

قضیه لیوویل مبنای ایجاد الگوریتم هایی برای ادغام نمادین توابع ابتدایی است که به عنوان مثال در

محاسبه حدود

نظریه لیوویل در محاسبه حدود اعمال نمی شود. معلوم نیست الگوریتمی وجود دارد که با توجه به دنباله ای که با یک فرمول ابتدایی داده می شود، پاسخ دهد که آیا حدی دارد یا خیر. به عنوان مثال، این سوال باز است که آیا دنباله همگرا می شود یا خیر.

ادبیات

• جی لیوویل. Mémoire sur l'integration d'une classe de fonctions transcendantes// J. Reine Angew. ریاضی. Bd. 13، ص. 93-118. (1835)
• J.F. ریت. ادغام در اصطلاحات محدود. N.-Y.، 1949 // http://lib.homelinux.org
• A. G. Khovansky. نظریه توپولوژیک گالوا: حل‌پذیری و حل‌ناپذیری معادلات به شکل محدودچ. 1. م، 2007

یادداشت

بنیاد ویکی مدیا 2010.

• برانگیختگی ابتدایی
• نتیجه ابتدایی

ببینید «عملکرد ابتدایی» در فرهنگ‌های دیگر چیست:

عملکرد ابتدایی- تابعی که اگر به توابع کوچکتر تقسیم شود، نمی توان آن را به طور یکتا در سلسله مراتب انتقال دیجیتال تعریف کرد. بنابراین، از نقطه نظر شبکه، تجزیه ناپذیر است (ITU T G.806). موضوعات: ارتباطات راه دور، مفاهیم اساسی تابع سازگاری زبان ENA... راهنمای مترجم فنی

عملکرد تعامل بین سطوح شبکه- یک تابع ابتدایی که تعامل اطلاعات مشخصه بین دو لایه شبکه را فراهم می کند. (ITU T G.806). موضوعات: مخابرات، مفاهیم اولیه لایه EN... ... راهنمای مترجم فنی

دانش توابع ابتدایی پایه، خواص و نمودارهای آنهامهمتر از دانستن جداول ضرب نیست. آنها مانند پایه هستند، همه چیز بر اساس آنها است، همه چیز از آنها ساخته شده و همه چیز به آنها می رسد.

در این مقاله ما تمام توابع ابتدایی اصلی را فهرست می کنیم، نمودارهای آنها را ارائه می دهیم و بدون نتیجه گیری یا اثبات ارائه می دهیم ویژگی های توابع ابتدایی پایهطبق طرح:

• رفتار یک تابع در مرزهای دامنه تعریف، مجانب عمودی (در صورت لزوم، طبقه بندی مقاله نقاط ناپیوستگی یک تابع را ببینید).
• زوج و فرد؛
• فواصل تحدب (تحدب به سمت بالا) و تقعر (تحدب به سمت پایین)، نقاط عطف (در صورت لزوم به مقاله تحدب یک تابع، جهت تحدب، نقاط عطف، شرایط تحدب و خمش مراجعه کنید).
• مجانب مورب و افقی؛
• نقاط منفرد توابع؛
• خواص ویژه برخی از توابع (به عنوان مثال، کوچکترین دوره مثبت توابع مثلثاتی).

اگر به یا علاقه مند هستید، می توانید به این بخش های تئوری بروید.

توابع ابتدایی اولیهعبارتند از: تابع ثابت (ثابت)، ریشه nام، تابع توان، تابع نمایی، لگاریتمی، مثلثاتی و مثلثاتی معکوس.

پیمایش صفحه.

عملکرد دائمی

یک تابع ثابت بر روی مجموعه تمام اعداد حقیقی با فرمول تعریف می شود که در آن C مقداری واقعی است. یک تابع ثابت هر مقدار واقعی متغیر مستقل x را با همان مقدار متغیر وابسته y - مقدار C مرتبط می کند. تابع ثابت را ثابت نیز می گویند.

نمودار یک تابع ثابت یک خط مستقیم موازی با محور x و عبور از نقطه با مختصات (0,C) است. به عنوان مثال، نمودارهایی از توابع ثابت y=5، y=-2 و را نشان خواهیم داد که در شکل زیر به ترتیب با خطوط سیاه، قرمز و آبی مطابقت دارند.

ویژگی های یک تابع ثابت

• دامنه: کل مجموعه اعداد واقعی.
• تابع ثابت زوج است.
• محدوده مقادیر: مجموعه ای متشکل از عدد مفرد C.
• یک تابع ثابت غیرافزاینده و بدون کاهش است (به همین دلیل ثابت است).
• بی معنی است که در مورد تحدب و تقعر یک ثابت صحبت کنیم.
• هیچ مجانبی وجود ندارد.
• تابع از نقطه (0,C) صفحه مختصات عبور می کند.

ریشه درجه n.

بیایید تابع ابتدایی پایه را در نظر بگیریم که با فرمول n داده می شود، که در آن n یک عدد طبیعی بزرگتر از یک است.

ریشه درجه n، n یک عدد زوج است.

بیایید با تابع ریشه n برای مقادیر زوج توان ریشه n شروع کنیم.

به عنوان مثال، در اینجا یک تصویر با تصاویر نمودارهای تابع است و با خطوط مشکی، قرمز و آبی مطابقت دارند.

نمودارهای توابع ریشه زوج دارای ظاهری مشابه برای سایر مقادیر توان است.

ویژگی های تابع ریشه n برای زوج n.

ریشه n، n یک عدد فرد است.

تابع ریشه n با یک توان ریشه فرد n بر روی کل مجموعه اعداد حقیقی تعریف می شود. به عنوان مثال، در اینجا نمودارهای تابع هستند و با منحنی های سیاه، قرمز و آبی مطابقت دارند.

برای سایر مقادیر فرد از توان ریشه، نمودارهای تابع ظاهری مشابه خواهند داشت.

ویژگی های تابع ریشه n برای فرد n.

تابع توان.

تابع توان با فرمولی از فرم داده می شود.

بیایید شکل نمودارهای یک تابع توان و خواص یک تابع توان را بسته به مقدار توان در نظر بگیریم.

بیایید با یک تابع توان با توان عدد صحیح a شروع کنیم. در این مورد، ظاهر نمودارهای توابع توان و خواص توابع به یکنواختی یا عجیب بودن توان و همچنین به علامت آن بستگی دارد. بنابراین، ابتدا توابع توان را برای مقادیر مثبت فرد نمایی a، سپس برای نماهای مثبت زوج، سپس برای نماهای منفی فرد و در نهایت برای زوج منفی a در نظر می گیریم.

ویژگی های توابع توان با توان های کسری و غیر منطقی (و همچنین نوع نمودارهای این توابع توانی) به مقدار توان a بستگی دارد. آنها را اولاً برای a از صفر تا یک، ثانیاً برای بزرگتر از یک، ثالثا، برای a از منهای یک به صفر، چهارم، برای کمتر از منهای یک در نظر می گیریم.

در پایان این بخش برای کامل بودن تابع توان با توان صفر را توضیح می دهیم.

تابع توان با توان مثبت فرد.

بیایید تابع توانی را با نماهای مثبت فرد در نظر بگیریم، یعنی با a = 1،3،5، ....

شکل زیر نمودارهای توابع قدرت - خط سیاه، - خط آبی، - خط قرمز، - خط سبز را نشان می دهد. برای a=1 داریم تابع خطی y=x.

ویژگی های تابع توان با نما مثبت فرد.

تابع توان با نما حتی مثبت.

بیایید یک تابع توان با توان مثبت در نظر بگیریم، یعنی برای a = 2،4،6،....

به عنوان مثال، نمودارهایی از توابع قدرت - خط سیاه، - خط آبی، - خط قرمز ارائه می دهیم. برای a=2 یک تابع درجه دوم داریم که نمودار آن است سهمی درجه دوم.

ویژگی های یک تابع توان با توان مثبت زوج.

تابع توان با توان منفی فرد.

به نمودارهای تابع توان برای مقادیر منفی فرد توان نگاه کنید، یعنی برای = -1، -3، -5، ....

شکل نمودارهای توابع قدرت را به عنوان مثال نشان می دهد - خط سیاه، - خط آبی، - خط قرمز، - خط سبز. برای a=-1 داریم نسبت معکوس، که نمودار آن است هذلولی.

ویژگی های یک تابع توان با توان منفی فرد.

تابع توان با توان منفی حتی.

بیایید به تابع توان برای a=-2،-4،-6،… برویم.

شکل نمودارهای توابع قدرت - خط سیاه، - خط آبی، - خط قرمز را نشان می دهد.

ویژگی های تابع توان با توان منفی زوج.

تابع توانی با توان گویا یا غیرمنطقی که مقدار آن بزرگتر از صفر و کوچکتر از یک است.

توجه داشته باشید!اگر a یک کسر مثبت با مخرج فرد باشد، برخی از نویسندگان دامنه تعریف تابع توان را بازه می دانند. مقرر شده است که توان a یک کسر تقلیل ناپذیر است. اکنون نویسندگان بسیاری از کتاب های درسی جبر و اصول تجزیه و تحلیل، توابع توان را با یک توان به شکل کسری با مخرج فرد برای مقادیر منفی استدلال تعریف نمی کنند. ما دقیقاً به این دیدگاه پایبند خواهیم بود، یعنی مجموعه را حوزه های تعریف توابع توان با توان های مثبت کسری در نظر می گیریم. توصیه می کنیم دانش آموزان نظر معلم خود را در مورد این نکته ظریف بدانند تا از اختلاف نظر جلوگیری شود.

اجازه دهید تابع توانی را با توان منطقی یا غیرمنطقی a و .

اجازه دهید نمودارهایی از توابع توان را برای a=11/12 (خط سیاه)، a=5/7 (خط قرمز)، (خط آبی)، a=2/5 (خط سبز) ارائه کنیم.

تابع توانی با توان غیر صحیح گویا یا غیرمنطقی بزرگتر از یک.

اجازه دهید یک تابع توان با توان غیر صحیح گویا یا غیرمنطقی a و .

اجازه دهید نمودارهایی از توابع توان ارائه شده توسط فرمول ها را ارائه کنیم (خطوط مشکی، قرمز، آبی و سبز به ترتیب).

>

برای سایر مقادیر توان a، نمودارهای تابع ظاهری مشابه خواهند داشت.

خواص تابع توان در .

تابع توانی با توان واقعی که بزرگتر از منهای یک و کوچکتر از صفر است.

توجه داشته باشید!اگر a یک کسر منفی با مخرج فرد باشد، برخی از نویسندگان دامنه تعریف تابع توان را بازه می دانند. . مقرر شده است که توان a یک کسر تقلیل ناپذیر است. اکنون نویسندگان بسیاری از کتاب های درسی جبر و اصول تجزیه و تحلیل، توابع توان را با یک توان به شکل کسری با مخرج فرد برای مقادیر منفی استدلال تعریف نمی کنند. ما دقیقاً به این دیدگاه پایبند خواهیم بود، یعنی دامنه های تعریف توابع توان با نماهای منفی کسری کسری را به ترتیب یک مجموعه در نظر می گیریم. توصیه می کنیم دانش آموزان نظر معلم خود را در مورد این نکته ظریف بدانند تا از اختلاف نظر جلوگیری شود.

بیایید به تابع قدرت، kgod برویم.

برای داشتن یک ایده خوب از شکل نمودارهای توابع قدرت برای، مثال هایی از نمودار توابع ارائه می کنیم. (به ترتیب منحنی های مشکی، قرمز، آبی و سبز).

ویژگی های تابع توان با توان a، .

یک تابع توان با توان واقعی غیر صحیح که کمتر از منهای یک است.

اجازه دهید نمونه هایی از نمودارهای توابع قدرت را برای ، به ترتیب با خطوط سیاه، قرمز، آبی و سبز به تصویر کشیده شده اند.

ویژگی های یک تابع توان با ضریب منفی غیرصحیح کمتر از منهای یک.

هنگامی که a = 0، یک تابع داریم - این یک خط مستقیم است که از آن نقطه (0;1) حذف می شود (توافق شد که به عبارت 0 0 اهمیتی داده نشود).

تابع نمایی.

یکی از توابع ابتدایی اصلی تابع نمایی است.

نمودار تابع نمایی، که در آن و بسته به مقدار پایه a اشکال متفاوتی دارد. بیایید این را بفهمیم.

ابتدا حالتی را در نظر بگیرید که پایه تابع نمایی از صفر تا یک مقدار بگیرد، یعنی .

به عنوان مثال، نمودارهایی از تابع نمایی را برای a = 1/2 – خط آبی، a = 5/6 – خط قرمز ارائه می کنیم. نمودارهای تابع نمایی برای سایر مقادیر پایه از بازه ظاهری مشابه دارند.

ویژگی های تابع نمایی با پایه کوچکتر از یک.

اجازه دهید به سراغ موردی برویم که پایه تابع نمایی بزرگتر از یک باشد، یعنی .

به عنوان یک تصویر، ما نمودارهایی از توابع نمایی - خط آبی و - خط قرمز را ارائه می دهیم. برای مقادیر دیگر پایه بزرگتر از یک، نمودارهای تابع نمایی ظاهری مشابه خواهند داشت.

ویژگی های تابع نمایی با پایه بزرگتر از یک.

تابع لگاریتمی

تابع ابتدایی پایه بعدی تابع لگاریتمی است، که در آن، . تابع لگاریتمی فقط برای مقادیر مثبت آرگومان تعریف می شود، یعنی برای .

نمودار یک تابع لگاریتمی بسته به مقدار پایه a شکل های مختلفی دارد.