Obliczanie pi metodą igłową-buffona. Algorytm Buffona do wyznaczania pi

07.02.2024

Metoda Monte Carlo(metody Monte Carlo, MMC) to ogólna nazwa grupy metod numerycznych polegających na uzyskiwaniu dużej liczby realizacji procesu stochastycznego (losowego), który jest kształtowany w taki sposób, że jego charakterystyki probabilistyczne pokrywają się z podobnymi wartościami rozwiązywanego problemu. Służy do rozwiązywania problemów z różnych dziedzin fizyki, chemii, matematyki, ekonomii, optymalizacji, teorii sterowania itp.

Fabuła

Algorytm Buffona do wyznaczania Pi

Zmienne losowe są wykorzystywane do rozwiązywania różnych problemów stosowanych już od dłuższego czasu. Przykładem jest metoda wyznaczania liczby Pi, którą zaproponował Buffon już w 1777 roku. Istotą tej metody było rzucenie igły na długość L na płaszczyznę narysowaną równoległymi liniami znajdującymi się w pewnej odległości R od siebie (patrz ryc. 1).

Obrazek 1. Metoda Buffona

Prawdopodobieństwo (jak widać z dalszego kontekstu, nie mówimy o prawdopodobieństwie, ale o matematycznym oczekiwaniu liczby przecięć w jednym eksperymencie; staje się to prawdopodobieństwem tylko wtedy, gdy R>L), że odcinek przecina prostą, wiąże się z liczbą Pi:

, Gdzie

A- odległość od początku igły do najbliższej linii prostej;

θ jest kątem igły względem linii prostych.

Łatwo jest przyjąć tę całkę: (pod warunkiem, że R>L), dlatego licząc proporcję odcinków przecinających linie, możemy w przybliżeniu określić tę liczbę. Wraz ze wzrostem liczby prób wzrasta dokładność uzyskanego wyniku.

W 1864 roku kapitan Fox, dochodząc do siebie po kontuzji, aby jakoś zająć się sobą, przeprowadził eksperyment z rzuceniem igłą. Wyniki przedstawiono w poniższej tabeli:

	Liczba rzutów	Liczba skrzyżowań	Długość igły	Odległość między liniami	Obrót	Wartość Pi
Pierwsza próba					nieobecny
Druga próba					obecny
Trzecia próba					obecny

Uwagi:

Zastosowano rotację płaszczyzny (co pokazują wyniki z sukcesem) w celu ograniczenia błędu systematycznego.

W trzeciej próbie długość igły była większa niż odległość między liniami, co pozwoliło, bez zwiększania liczby rzutów, skutecznie zwiększyć liczbę zdarzeń i poprawić celność.

Związek procesów stochastycznych z równaniami różniczkowymi

Tworzenie aparatu matematycznego metod stochastycznych rozpoczęło się pod koniec XIX wieku. W 1899 roku Lord Rayleigh wykazał, że jednowymiarowy błądzenie losowe po nieskończonej siatce może dać przybliżone rozwiązanie parabolicznego równania różniczkowego. Andriej Kołmogorow w 1931 r. Dał duży impuls rozwojowi stochastycznych podejść do rozwiązywania różnych problemów matematycznych, ponieważ był w stanie udowodnić, że łańcuchy Markowa są powiązane z pewnymi równaniami całkowo-różniczkowymi. W 1933 roku Iwan Pietrowski wykazał, że błądzenie losowe tworzące łańcuch Markowa jest asymptotycznie powiązane z rozwiązaniem eliptycznego równania różniczkowego cząstkowego. Po tych odkryciach stało się jasne, że procesy stochastyczne można opisać za pomocą równań różniczkowych i dlatego badać je przy użyciu dobrze rozwiniętych wówczas metod matematycznych rozwiązywania tych równań.

Narodziny metody Monte Carlo w Los Alamos

Najpierw Enrico Fermi w latach trzydziestych XX wieku we Włoszech, a następnie John von Neumann Stanisław Ulam w latach czterdziestych XX wieku w Los Alamos sugerowali, że możliwe jest wykorzystanie powiązania procesów stochastycznych z równaniami różniczkowymi „w przeciwnym kierunku”. Zaproponowali zastosowanie podejścia stochastycznego do aproksymacji całek wielowymiarowych w równaniach transportu powstałych w związku z problemem ruchu neutronów w ośrodku vizotropowym.

Pomysł został opracowany przez Ulama, który, jak na ironię, podobnie jak Fox, podczas rekonwalescencji po chorobie zmagał się z wymuszoną bezczynnością, a grając w pasjansa, zastanawiał się, jakie jest prawdopodobieństwo, że pasjans „wyda się”. Wpadł na pomysł, że zamiast stosować zwykłe rozważania kombinatoryki przy takich problemach, mógłby po prostu przeprowadzić „eksperyment” dużą liczbę razy i w ten sposób zliczając liczbę pomyślnych wyników, oszacować ich prawdopodobieństwo. Zaproponował także wykorzystanie komputerów do obliczeń Monte Carlo.

Pojawienie się pierwszych komputerów elektronicznych, które mogły z dużą szybkością generować liczby pseudolosowe, radykalnie rozszerzyło zakres problemów, w przypadku których podejście stochastyczne okazało się skuteczniejsze niż inne metody matematyczne. Potem nastąpił wielki przełom i w wielu problemach zastosowano metodę Monte Carlo, jednak jej zastosowanie nie zawsze było uzasadnione ze względu na dużą liczbę obliczeń wymaganych do uzyskania odpowiedzi z zadaną dokładnością.

Za rok narodzin metody Monte Carlo przyjmuje się rok 1949, kiedy to ukazał się artykuł Metropolisa i Ulama pt. „Metoda Monte Carlo”. Nazwa metody pochodzi od nazwy miasta w Księstwie Monako, powszechnie znanego z licznych kasyn, gdyż ruletka jest jednym z najbardziej znanych generatorów liczb losowych. Stanisław Ulam w swojej autobiografii Przygody matematyka pisze, że nazwę zaproponował Mikołaj Metropolis na cześć swojego wujka, który był hazardzistą.

Płaszczyzna jest wyłożona równoległymi liniami. Odległość pomiędzy dwiema sąsiednimi prostymi jest równa 1. Igła o ustalonej długości spada na płaszczyznę l (l ≤ 1).

Znajdować prawdopodobieństwo, z jakim igła przecina co najmniej jedną z linii (to znaczy ma punkty wspólne z co najmniej jedną z linii).
Zakładamy, że igła nie ma grubości (jest tylko segmentem) i opada i leży płasko na płaszczyźnie, a nie wbija się w nią.

Podpowiedź 1

Co oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia?

1. Najpierw ustalmy, co mamy na myśli wydarzenie. Przeprowadźmy serię identycznych eksperymentów – testów, w każdym z nich stosowane są te same warunki początkowe, a wynik kolejnego testu nie zależy w żaden sposób od wyników poprzednich. Przykłady podręcznikowe: rzut „idealną” monetą, rzut „idealną” kostką. Lub, jak w naszym zadaniu, rzucenie igłą na płaszczyznę wyłożoną linią.

Każdy test jest inny elementarne wyniki. Na przykład wyrzucenie liczby od 1 do 6 w przykładzie z kostką. Wydarzenie nazywa się pewien podzbiór zbioru wyników elementarnych. Na przykład „rzuć 2”. Lub „wyrzucenie liczby nieparzystej” (to znaczy wyrzucenie 1, 3 lub 5). Możesz rozważyć bardziej złożone testy, takie jak rzut pięcioma monetami. Tutaj podstawowymi rezultatami będą: „pięć głów spadło”, „cztery głowy i jeden ogon spadły” i tak dalej. Jako wydarzenie możemy rozważyć na przykład: „spadły co najmniej trzy głowy”.

W naszym zadaniu testem jest jedno rzucenie igłą, a zdarzeniem jakiego potrzebujemy jest przecięcie przynajmniej jednej prostej.

2. Pod prawdopodobieństwo zdarzenia można zrozumieć stosunek liczby wyników korzystnych dla tego zdarzenia do liczby wszystkich możliwych wyników (stąd okazuje się, że prawdopodobieństwo jest zawsze liczbą od 0 do 1). Na przykład prawdopodobieństwo zdarzenia „wyrzuci nieparzystą liczbę” przy rzucie jedną kostką wynosi 1/2, ponieważ pasuje dokładnie połowa wszystkich możliwych wyników. Prawdopodobieństwo zdarzenia „co najmniej trzy reszki” przy rzucie 5 monetami wynosi również 1/2.

Ta definicja prawdopodobieństwa sprawdza się dobrze, gdy zbiór możliwych wyników jest skończony. Ale w naszym problemie istnieje nieskończenie wiele wyników - pozycji opadłej igły. Istnieje również nieskończenie wiele odpowiednich wyników. Jak być? Dostosujmy trochę naszą „definicję”: prawdopodobieństwo zdarzenia- jest to udział, jaki „zajmują” korzystne wyniki w zbiorze wszystkich wyników. Dzięki tej „definicji” można już obliczyć prawdopodobieństwo wymagane w zadaniu.

Szczerze mówiąc, wszystko, co powiedziano powyżej, jest wyjaśnieniem „praktycznym” i nie można go rozpatrywać z całą matematyczną rygorystycznością. Ale dla naszych celów to podejście jest całkowicie wystarczające.

3. Jeszcze jeden przykład dla jasności. Rozważmy kwadrat i połączmy środki dwóch sąsiednich boków odcinkiem, odcinając w ten sposób róg. Następnie losowo wbijamy igłę w kwadrat. Z jakim prawdopodobieństwem znajdziemy się w narożniku? W tym przypadku wynikiem każdego testu jest miejsce, w którym koniec igły wyląduje, czyli jeden punkt wewnątrz kwadratu. Oczywiste jest, że istnieje nieskończenie wiele wyników i że istnieje również nieskończenie wiele wyników odpowiednich dla naszego wydarzenia - wejścia w róg. Dlatego nie ma już sensu mówić o liczbie wyników, aby obliczyć prawdopodobieństwo. Ale ułamek można obliczyć - jest to po prostu stosunek pól narożnika i kwadratu. Jest równa 1/8. Pamiętaj, że granice figur mają pole zerowe, więc nie musisz o nich myśleć. W szczególności igła trafi w segment, który odcina róg, z prawdopodobieństwem 0.

Podpowiedź 2

Ostatni przykład z pierwszej podpowiedzi może podpowiedzieć możliwy sposób rozwiązania problemu. Konieczne jest wprowadzenie parametrów, które określą położenie igły i pozwolą nam opisać wszystkie przypadki przekroczenia przez nią linii. Tutaj wystarczą dwa parametry. Następnie musimy zrozumieć, jakie wartości mogą przyjmować te parametry i jakie wartości opisują nasze wydarzenie. Jeśli dobrze dobierzesz parametry, warunki te będą dość proste i możesz je nawet „przedstawić”: weź płaszczyznę współrzędnych, której osie odpowiadają parametrom i narysuj obszar, którego punkty spełniają uzyskane warunki. Następnie pozostaje tylko obliczyć obszar całego regionu i obszar jego części, który odpowiada przecięciu igły i linii. A następnie znajdź stosunek tych obszarów.

Rozwiązanie

Przyjmijmy, że linie proste z warunku biegną poziomo. Więc wrzuciliśmy igłę do samolotu. Jak opisać jego położenie, aby wygodnie było uwzględnić przecięcie liniami prostymi? Zwróćmy uwagę na osobliwą symetrię: nie jest dla nas tak ważne, na który pasek (lub który, jeśli są dwa) paski między prostymi spadnie igła - wszystkie paski są takie same. Oczywiste jest również, że przesunięcia poziome również nie mają żadnego wpływu. Ale tak naprawdę ważne jest, jak „daleko” igła leży od linii prostych i pod jakim kątem jest do nich nachylona. Zatem jako parametry z drugiej podpowiedzi można przyjąć kąt nachylenia α igły do prostych oraz odległość D od środka igły do najbliższy proste (ryc. 1). Wykorzystujemy zatem kolejną „symetrię”, która pojawiła się w zadaniu.

Jakie wartości mogą przyjmować te parametry? Radianowa miara kąta α waha się od 0 do π, i D przyjmuje wartości od 0 (jeśli środek igły leży na linii prostej) do 1/2 (środek igły nie może być dalej od linii prostej). Na płaszczyźnie o współrzędnych (α, D) te ograniczenia definiują prostokąt (ryc. 2).

Z rysunku 3 jasno wynika, w jakich warunkach na α i D igła przecina co najmniej jedną prostą: rzut połowy igły w kierunku prostopadłym do prostych musi być większy D. Oznacza to, że nierówność musi być spełniona.

Mamy więc opis wszystkich przypadków, gdy igła przecina co najmniej jedną prostą (przecięcie z dwiema prostymi nastąpi tylko wtedy, gdy równości α = π/2 i D= 1/2, co może dać tylko jeden punkt w naszym prostokącie - nieskończony zbiór wszystkich możliwych wartości pary parametrów). Pozostaje obliczyć pole pod wykresem sinusoidy i podzielić je przez pole całego prostokąta równe π/2 (ryc. 4).

Jak wiadomo, pole pod wykresem funkcji jest równe pewnej całce tej funkcji po wymaganym przedziale: .

W rezultacie stwierdzamy, że pożądane prawdopodobieństwo jest równe .

Posłowie

Uważa się, że problem ten po raz pierwszy postawił i dość dokładnie zbadał XVIII-wieczny francuski naukowiec hrabia de Buffon - dość niezwykła osoba o bardzo szerokich zainteresowaniach, która dokonała wielu pożytecznych rzeczy w różnych dziedzinach wiedzy. Dlatego często nazywa się to problemem igły Buffona. Najwyraźniej był to pierwszy problem dotyczący tak zwanego prawdopodobieństwa geometrycznego. Jak widzieliśmy, istotą tego podejścia jest przedstawienie zbioru elementarnych wyników jakiegoś testu w postaci figury geometrycznej i zredukowanie kwestii znalezienia prawdopodobieństwa konkretnego zdarzenia do obliczenia stosunku pól odpowiednich figur . W ten sposób możesz rozwiązać kilka innych dość znanych problemów - być może z niektórymi z nich zapoznasz się później w „Elementach”. Dlatego przedstawimy jeszcze jedno proste zadanie w formie ćwiczenia:

Z jakim prawdopodobieństwem okrągła moneta o średnicy d zostanie rzucona na płaszczyznę szachownicy (podzieloną na kwadraty jednostkowe) nie zakrywającą żadnej z linii siatki, czyli znajdzie się całkowicie wewnątrz jednego z kwadratów?

Zauważ, że rozwiązując problem Buffona, można rozumować nieco inaczej. Przebieg takiej decyzji jest szczegółowo opisany (choć w języku angielskim).

Teraz trochę o znaczeniu odpowiedzi, którą otrzymaliśmy. Na l = 1 odpowiedź brzmi w przybliżeniu 0,6366197... Co dokładnie oznacza ta liczba? Jak zwykle w teorii prawdopodobieństwa należy to rozumieć następująco. Powiedzmy, że przeprowadziliśmy bardzo długą serię testów. Powiedzmy, że mieliśmy cierpliwość, aby w każdym teście rzucić igłą milion razy i zapamiętać, ile razy przecięła ona linie proste w samolocie. Przeprowadziliśmy też milion takich testów. Okazuje się, że w większości z nich (najprawdopodobniej w przeważającej liczbie) liczba skrzyżowań jest bliska 636 619. A im więcej takich testów przeprowadzimy, tym bliżej będzie proporcji wyników pomyślnych (kiedy igła przekroczyła linię). Do. I tak naprawdę nie ma żadnego znaczenia, w jaki sposób podzielisz testy na serie - ważna jest tylko ich całkowita liczba. W rzeczywistości nie ma wystarczającej cierpliwości, aby przeprowadzić tak długą serię testów. Ale możesz napisać program (lub użyć istniejących, takich jak ten), który wykona rutynowe operacje i poda tylko liczbę przecięć dla dużej liczby rzutów.

To, co zostało powiedziane w poprzednim akapicie, daje niezwykłe podejście do ważnego problemu dokładnego obliczenia liczby π = 3,1415926... Przypomnijmy, że liczbę tę definiuje się jako stosunek długości okręgu do jego średnicy (dla wszystkich okręgów ten stosunek jest taki sam). Liczba π jest jedną z głównych stałych w matematyce i fizyce. Częściowo można to wytłumaczyć faktem, że okręgi i elipsy pojawiają się w matematyce i fizyce w różnorodnych zagadnieniach i modelach – od czysto geometrycznych po praktyczne, takie jak obliczenia orbit planet i satelitów. Dlatego ważna jest umiejętność dokładnego obliczenia wartości liczby π. Wiadomo, że liczba ta jest niewymierna, to znaczy nie można jej przedstawić jako ułamka wymiernego (stosunku dwóch liczb całkowitych), ale istnieją ułamki zbliżone do niej o małych mianownikach. Archimedes wiedział również, że ułamek 22/7 = 3,(142,857) przybliża π z dokładnością do części tysięcznych. Około V wieku naszej ery. mi. przybliżenie 355/113 = 3,14159292... było już znane - błąd jest mniejszy niż jedna milionowa.

Co ma z tym wspólnego igła Buffona? Jak już rozumiemy, w długiej serii testów proporcja przecięć w całkowitej liczbie rzutów igłą będzie w przybliżeniu równa 2/π. Dlatego możemy empirycznie znaleźć ten ułamek i obliczyć przybliżoną wartość. Im więcej rzutów, tym dokładniejszy będzie ułamek, a tym samym wartość π. W XIX wieku istnieli bohaterowie, którzy byli gotowi spędzić na takiej zabawie kilka wieczorów. Otrzymali różne wartości w okolicach 3,14. Więcej na tej stronie możesz przeczytać w angielskiej Wikipedii.

Teraz oczywiście nikt nie rzuca igłą, a liczba π została już obliczona znacznie powyżej 10 bilionów cyfr. Zabawne, że taka precyzja nie jest prawie konieczna do praktycznych obliczeń - szacuje się, że wystarczy znać π z dokładnością do około 40 miejsca po przecinku, aby dokładnie obliczyć objętość widzialnego Wszechświata z dokładnością do jednego atomu. Obliczanie π z taką dokładnością jest więc raczej wyścigiem po rekordy i rywalizacją superkomputerów.

Dokładne obliczenia opierają się na różnych wzorach. Zasadniczo stosuje się ciągi zbieżne do π i sumowanie szeregów, wiele algorytmów można znaleźć na Wikipedii. Tutaj przedstawiamy tylko wspaniałą formułę

co pozwala obliczyć dowolną cyfrę π bez obliczania pozostałych cyfr.

PROBLEM BUFFONA

o igle - klasyczny problem w teorii prawdopodobieństwa geometryczne, słusznie uważany za punkt wyjścia dla rozwoju tej teorii. Po raz pierwszy odnotował ją J. Buffon w 1733 r. i odtworzył ją wraz z rozwiązaniem w. J. Buffon rozważał następującą sytuację: igłę o długości a rzucono losowo na linię narysowaną przez równoległe linie oddalone od siebie o odległość a. Co to znaczy, że igła przecina jedną z narysowanych równoleżników? Oczywiście o położeniu igły decyduje odległość od jej środka do najbliższej prostej oraz kąt ostry, jaki tworzy igła z prostopadłą do tej prostej. Wartość leży pomiędzy zerem a - pomiędzy zerem a . Zakłada się, że punkt jest rozłożony równomiernie w odpowiednim prostokącie (jest to równoznaczne z faktem, że zmienne losowe xi są niezależne i równomiernie rozłożone na i). Następnie pożądane prawdopodobieństwo definiuje się jako obszary odpowiadające korzystnym i wszystkim możliwym wynikom i jest równe

W pewnym momencie B. z. posłużył jako podstawa do weryfikacji eksperymentalnej Twierdzenia Bernoulliego. Rzeczywiście, jeśli igła zostanie rzucona na raz i w przypadkach, gdy igła przetnie jedną z linii, wówczas częstotliwość przy dużych wartościach zgodnie z twierdzeniem Bernoulliego powinna być bliska prawdopodobieństwa (*). Wielu badaczy korzystało z tego rozważania w celu określenia liczby i metodą testów losowych (patrz,). J. Buffon rozważał także inne podobne problemy, w szczególności problem prawdopodobieństwa przecięcia się igły z liniami należącymi do dwóch wzajemnie prostopadłych układów, które dzielą płaszczyznę na prostokąty o bokach ai B, odpowiednio. Odpowiedź J. Buffona na ten problem jest błędna. Poprawna odpowiedź:

wskazał P. Laplace (PLaplace) w 1812 roku.

Oświetlony.: Buffon G., Essai d'arithmetique morale. Dodatek do „1” Histoire Naturelle, t. 4 1777; Usrenskу J.V., Wprowadzenie do prawdopodobieństwa matematycznego, NY-L., 1937; Kendall M., Moran P., Prawdopodobieństwa geometryczne, przeł. z języka angielskiego, M., 1972. A. W. Prochorow.

METODA SUMACJI DOLINY POUSSINA- jedna z metod sumowania szeregów liczbowych; oznaczone symbolem ( wiceprezes). Liczbowy

sumowane metodą Ballet Poussin do liczby S, jeśli relacja zachodzi

Metodę zaproponował C. Ballet Poussin. Dla szeregu funkcji Fouriera oznacza Balet Poussina (patrz także Balet Poussin w liczbie pojedynczej. całka).Posiadać

Tak zwana Balet Poussin. V.P.m.s. Jest zwykła metoda sumowania. Ta metoda jest silniejsza niż cała kombinacja Metody sumowania Cesaro(cm. Włączanie metod sumowania). Ze względu na słabe przybliżone właściwości V. G1. SM. praktycznie nie ma zastosowania w teorii aproksymacji funkcji.

Oświetlony.: La Va11ee Poussin C godz. J., "Bull. Acad. de Belgique", 1908, t. 3; Xapdi G., Seria rozbieżna, przeł. z języka angielskiego, M., 1951: Gronwall T., „J. reine und angew. Math.”, 1917, Bd 147, S. 16-35. A. A. Zacharow.

Encyklopedia matematyczna. - M .: Encyklopedia radziecka. I. M. Winogradow. 1977-1985.

Zobacz, co oznacza „PROBLEM BUFFONA” w innych słownikach:

1. Pojęcie stylu. S. historycznie zdeterminowała estetyczną jedność treści i różnorodne aspekty formy artystycznej, ujawniające treść dzieła. S. powstaje w wyniku „rozwoju artystycznego” pewnych aspektów życia społecznego... Encyklopedia literacka

Termin ten ma inne znaczenia, patrz Monte Carlo (znaczenia). Metoda Monte Carlo (metody Monte Carlo, MMK) to ogólna nazwa grupy metod numerycznych polegających na uzyskiwaniu dużej liczby realizacji wartości stochastycznych (losowych) ... ... Wikipedia

- (z Bio... i... Logia to zbiór nauk o przyrodzie żywej. Przedmiotem badań są wszelkie przejawy życia: budowa i funkcje istot żywych oraz ich naturalnych zbiorowisk, ich rozmieszczenie, pochodzenie i rozwój, połączenia między sobą i z nieożywionymi … …

Dział matematyki, w którym bada się pewne specjalne cechy numeryczne („miary”) dla zbiorów punktów, linii, płaszczyzn i innych obiektów geometrycznych, obliczane z reguły za pomocą całkowania. W tym przypadku „miara” powinna... Wielka encyklopedia radziecka

ANATOMIA PORÓWNAWCZA- zajmuje się badaniami porównawczymi narządów zwierzęcych, a 43S ustala ich morfologię. podobieństwo oparte na wspólnym pochodzeniu (homologia). Zatem S.a. pozwala ustalić historyczny charakter (filogenezę) więzi rodzinnych... Wielka encyklopedia medyczna

- (z greckiego óikos mieszkanie, miejsce zamieszkania i… Logia) nauka biologiczna zajmująca się badaniem organizacji i funkcjonowania systemów ponadorganizmów na różnych poziomach: populacji, gatunków, biocenoz (zbiorowości), ekosystemów, biogeocenoz i biosfery.... . .. Wielka encyklopedia radziecka

Słynny angielski matematyk i fizyk (1643-1727). Urodził się we wsi Woolsthorpe, niedaleko Grantan w Lincolnshire, kilka miesięcy po śmierci ojca. Urodził się jako wcześniak, był bardzo słaby i początkowo nie dawał żadnych nadziei...

Prawo uniwersalnego T. Newtona można sformułować następująco: każdy atom oddziałuje z każdym innym atomem, natomiast siła oddziaływania (przyciągania) jest zawsze skierowana wzdłuż linii prostej łączącej atomy i zmienia się jej wielkość... ... Słownik encyklopedyczny F.A. Brockhausa i I.A. Efron

- (Diderot) Denis (1713 1784) Francuski filozof i ideolog Oświecenia, pisarz, teoretyk sztuki, szef encyklopedystów. Główne prace: bezpłatne tłumaczenie autorskie i komentarz do twórczości A.E.K. Shaftesbury „Dochodzenie w sprawie godności i... Historia filozofii: encyklopedia

Ten post pomoże Ci wyjść z dość trudnej sytuacji. Załóżmy, że jesteś zamknięty w pokoju, masz motek nici i igłę i ciągle jesteś proszony o obliczenie przybliżonej wartości liczby Liczba Pi, używając tylko tych obiektów, cóż, wszystko może się zdarzyć, wiesz. Tak więc dzisiaj, słuchając kursu o matanie na Uniwersytecie w Pensylwanii, nagle dowiedziałem się, jak to zrobić. Nie mogłem sobie nawet wyobrazić, że to ten numer Liczba Pi też się tu ukrywa. Okazało się, że korzenie tego pytania sięgają XVIII wieku, kiedy Georges-Louis Leclerc de Buffon postawił sobie następujące zadanie: „załóżmy, że podłoga jest wykonana z drewnianych pasków w dwóch kolorach, są one naprzemienne; Jakie jest prawdopodobieństwo, że rzucona igła spadnie w taki sposób, że przetnie linię, w której łączą się oba paski?” Symulację tego procesu i odpowiedź na pytanie znajdziecie pod nacięciem.

Symulacja

Aby nie psuć intrygi, zacznijmy od eksperymentu. Mamy więc wiele igieł o różnej długości L i motek zielonej nici. Przyłóżmy do powierzchni pewną liczbę równoległych odcinków o równej długości w pewnej odległości L od siebie nawzajem.

Rzućmy na to pole 100 igieł.

Być może nie wystarczy. Dodajmy kolejne 900 i zaznaczmy na czerwono te igły, które przecinają nitki.

Załóżmy, że nie wrzucaliśmy wszystkich igieł na raz, ale pojedynczo i na każdym kroku rejestrowaliśmy stosunek liczby igieł, które wylądowały na nitkach, do całkowitej liczby wyrzuconych igieł, uzyskując w ten sposób coraz większe przybliżenie prawdopodobieństwo, że spadająca igła przetnie nić.

Jeśli rzucisz 10 000 igieł, obraz będzie dokładniejszy.

Wykonajmy teraz następującą transformację: podzielmy dwa przez każdą liczbę w wynikowym szeregu.

Dla 10 000 igieł jest już dokładniejszy.

Jeśli znajdziemy średnią z ostatnich pięciu tysięcy wyrazów szeregu, otrzymamy 3.141685 , podczas gdy pi jest równe 3.141593 .

Ogólnie rzecz biorąc, dla nikogo nie jest już tajemnicą, że ostatnia seria zbiega się z liczbą Liczba Pi. Ale jak to się mogło stać? Dowiedziałem się o tym mając 28 lat z powyższego kursu. Zanurzmy się w matanie.

Teoria

Rozważymy igłę i linię najbliższą jej po prawej stronie. Oznaczmy odległość od lewego końca igły H, kąt odchylenia od linii - A.

Oczywiście długość przeciwnej nogi pod kątem A będzie równy sinusowi kąta pomnożonemu przez długość przeciwprostokątnej. Wtedy możemy stwierdzić, że jeśli H mniejszy lub równy nodze znajdującej się naprzeciwko kąta A, następnie igła przecina nić. Narysujmy wykres:

Jeśli policzymy każdą rzuconą igłę H I A i zaznacz te punkty na poprzednim wykresie, obraz będzie wyglądał następująco:

Zatem prawdopodobieństwo, że igła przejdzie przez nić, będzie równe stosunkowi pola figury pod wykresem do pola prostokąta, czyli Liczba Pi, pomnożone przez długość igły.

Stąd otrzymujemy pożądane przybliżenie liczby Liczba Pi, jak pokazało doświadczenie z pierwszej części.