Ten temat jest dość ważny, cała dalsza matematyka i algebra opierają się na podstawowych własnościach ułamków. Rozważane właściwości frakcji, pomimo ich znaczenia, są bardzo proste.
Rozumieć podstawowe właściwości frakcji rozważ okrąg.
Na okręgu widać, że 4 części są lub są wypełnione z ośmiu możliwych. Napiszmy wynikowy ułamek \ (\ frac (4) (8) \)
Na następnym okręgu widać, że jedna część z dwóch możliwych jest zamalowana. Napiszmy wynikowy ułamek \ (\ frac (1) (2) \)
Jeśli przyjrzymy się uważnie, zobaczymy, że w pierwszym przypadku, w drugim, połowa okręgu jest wypełniona, więc wynikowe ułamki to \ (\ frac (4) (8) = \ frac (1) ( 2) \), czyli jest to ta sama liczba.
Jak możemy to matematycznie udowodnić? Po prostu zapamiętajmy tabliczkę mnożenia i zapiszmy pierwszy ułamek na czynniki.
\ (\ frac (4) (8) = \ frac (1 \ cdot \ kolor (czerwony) (4)) (2 \ cdot \ kolor (czerwony) (4)) = \ frac (1) (2) \ cdot \ kolor (czerwony) (\ frac (4) (4)) = \ frac (1) (2) \ cdot \ kolor (czerwony) (1) = \ frac (1) (2) \)
Co my zrobiliśmy? Pomalowaliśmy licznik i mianownik na czynniki \ (\ frac (1 \ cdot \ color (red) (4)) (2 \ cdot \ color (red) (4)) \), a następnie podzieliliśmy ułamki \ (\ frac (1) (2) \ cdot \ kolor (czerwony) (\ frac (4) (4)) \). Cztery podzielone przez cztery to 1, a jedna pomnożona przez dowolną liczbę to sama liczba. To, co zrobiliśmy w powyższym przykładzie, nazywa się redukcja ułamków.
Spójrzmy na inny przykład i zmniejszmy ułamek.
\ (\ frac (6) (10) = \ frac (3 \ cdot \ kolor (czerwony) (2)) (5 \ cdot \ kolor (czerwony) (2)) = \ frac (3) (5) \ cdot \ kolor (czerwony) (\ frac (2) (2)) = \ frac (3) (5) \ cdot \ color (czerwony) (1) = \ frac (3) (5) \)
Ponownie przemalowaliśmy licznik i mianownik na czynniki i skreśliliśmy te same liczby w licznikach i mianownikach. Oznacza to, że dwa podzielone przez dwa dają jeden, a jedno pomnożone przez dowolną liczbę daje tę samą liczbę.
Główna właściwość ułamka.
Oznacza to główną właściwość ułamka:
Jeśli licznik i mianownik ułamka zostaną pomnożone przez tę samą liczbę (z wyjątkiem zera), to wartość ułamka nie zmieni się.
\ (\ bf \ frac (a) (b) = \ frac (a \ cdot n) (b \ cdot n) \)
Możesz również podzielić ułamki licznika i mianownika przez tę samą liczbę w tym samym czasie.
Rozważmy przykład:
\ (\ frac (6) (8) = \ frac (6 \ div \ color (czerwony) (2)) (8 \ div \ color (red) (2)) = \ frac (3) (4) \)
Jeśli zarówno licznik, jak i mianownik ułamka zostaną podzielone przez tę samą liczbę (z wyjątkiem zera), wartość ułamka nie zmieni się.
\ (\ bf \ frac (a) (b) = \ frac (a \ div n) (b \ div n) \)
Ułamki, które mają wspólne czynniki pierwsze w licznikach i mianownikach, nazywamy ułamki anulowalne.
Przykład ułamka usuwalnego: \ (\ frac (2) (4), \ frac (6) (10), \ frac (9) (15), \ frac (10) (5), ... \)
Jest również ułamki nieredukowalne.
Frakcja nieredukowalna Jest ułamkiem, który nie ma wspólnych czynników pierwszych w licznikach i mianownikach.
Przykład ułamka nieredukowalnego: \ (\ frac (1) (2), \ frac (3) (5), \ frac (5) (7), \ frac (13) (5), ... \)
Dowolna liczba może być reprezentowana jako ułamek, ponieważ dowolna liczba jest podzielna przez jeden, Na przykład:
\ (7 = \ frac (7) (1) \)
Pytania do tematu:
Czy uważasz, że każdy ułamek można zmniejszyć, czy nie?
Odpowiedź: nie, istnieją ułamki anulowalne i ułamki nieredukowalne.
Sprawdź, czy równość jest prawdziwa: \ (\ frac (7) (11) = \ frac (14) (22) \)?
Odpowiedź: zapisz ułamek \ (\ frac (14) (22) = \ frac (7 \ cdot 2) (11 \ cdot 2) = \ frac (7) (11) \), tak to jest sprawiedliwe.
Przykład 1:
a) Znajdź ułamek o mianowniku 15, równy ułamkowi \ (\ frac (2) (3) \).
b) Znajdź ułamek z licznikiem 8, równy ułamkowi \ (\ frac (1) (5) \).
Rozwiązanie:
a) Potrzebujemy liczby 15 w mianowniku.Teraz liczba w mianowniku to 3. Przez jaką liczbę należy pomnożyć liczbę 3, aby otrzymać 15? Pamiętajmy o tabliczce mnożenia 3⋅5. Musimy użyć podstawowej własności ułamków i pomnożyć zarówno licznik, jak i mianownik ułamka \ (\ frac (2) (3) \) o 5.
\ (\ frac (2) (3) = \ frac (2 \ cdot 5) (3 \ cdot 5) = \ frac (10) (15) \)
b) W liczniku potrzebujemy liczby 8. Teraz w liczniku jest liczba 1. Przez jaką liczbę należy pomnożyć liczbę 1, aby otrzymać 8? Oczywiście 1-8. Musimy użyć podstawowej własności ułamków i pomnożyć zarówno licznik, jak i mianownik ułamka \ (\ frac (1) (5) \) do 8. Otrzymujemy:
\ (\ frac (1) (5) = \ frac (1 \ cdot 8) (5 \ cdot 8) = \ frac (8) (40) \)
Przykład nr 2:
Znajdź ułamek nieredukowalny równy ułamkowi: a) \ (\ frac (16) (36) \), b) \ (\ frac (10) (25) \).
Rozwiązanie:
a) \ (\ frac (16) (36) = \ frac (4 \ cdot 4) (9 \ cdot 4) = \ frac (4) (9) \)
b) \ (\ frac (10) (25) = \ frac (2 \ cdot 5) (5 \ cdot 5) = \ frac (2) (5) \)
Przykład nr 3:
Zapisz liczbę jako ułamek: a) 13 b) 123
Rozwiązanie:
a) \ (13 = \ frac (13) (1) \)
b) \ (123 = \ frac (123) (1) \)
Od przebiegu algebry w szkolnym programie nauczania zwracamy się do konkretów. W tym artykule szczegółowo zbadamy specjalny rodzaj wyrażeń racjonalnych - ułamki wymierne, a także przeanalizować, jakie cechy identyczne przekształcenia ułamków wymiernych odbywać się.
Od razu zauważamy, że w niektórych podręcznikach do algebry ułamki wymierne w sensie, w jakim je definiujemy poniżej, są nazywane ułamkami algebraicznymi. Oznacza to, że w tym artykule będziemy mieli na myśli to samo, co ułamki wymierne i algebraiczne.
Jak zwykle zacznijmy od definicji i przykładów. Następnie porozmawiajmy o zredukowaniu ułamka wymiernego do nowego mianownika i zmianie znaków członków ułamka. Następnie przeanalizujemy, jak odbywa się redukcja frakcji. Na koniec zajmijmy się przedstawieniem ułamka wymiernego jako sumy kilku ułamków. Wszystkie informacje udzielimy wraz z przykładami ze szczegółowymi opisami rozwiązań.
Nawigacja po stronach.
Definicja i przykłady ułamków wymiernych
Ułamki wymierne są nauczane na lekcjach algebry w ósmej klasie. Posłużymy się definicją ułamka wymiernego, podaną w podręczniku algebry dla 8 klas autorstwa Yu.N. Makarycheva i in.
Definicja ta nie określa, czy wielomiany w liczniku i mianowniku ułamka wymiernego muszą być wielomianami postaci standardowej, czy nie. Dlatego przyjmiemy, że zapisy ułamków wymiernych mogą zawierać zarówno wielomiany standardowe, jak i niestandardowe.
Tu jest kilka przykłady ułamków wymiernych... Tak więc x / 8 i 
- ułamki wymierne. I ułamki 
i nie pasują do dźwięcznej definicji ułamka wymiernego, ponieważ w pierwszym z nich nie ma wielomianu w liczniku, a w drugim zarówno w liczniku, jak iw mianowniku znajdują się wyrażenia, które nie są wielomianami.
Zamiana licznika i mianownika ułamka wymiernego
Licznikiem i mianownikiem dowolnego ułamka są samowystarczalne wyrażenia matematyczne, w przypadku ułamków wymiernych są to wielomiany, w konkretnym przypadku jednomiany i liczby. Dlatego z licznikiem i mianownikiem ułamka wymiernego, jak z każdym wyrażeniem, można przeprowadzić identyczne przekształcenia. Innymi słowy, wyrażenie w liczniku ułamka wymiernego można zastąpić identycznym z nim wyrażeniem, a także mianownikiem.
Identyczne przekształcenia można wykonać w liczniku i mianowniku ułamka wymiernego. Na przykład w liczniku możesz grupować i wprowadzać podobne terminy, aw mianowniku - iloczyn kilku liczb, zastąpić go jego wartością. A ponieważ licznik i mianownik ułamka wymiernego są wielomianami, możliwe jest wykonanie za ich pomocą przekształceń charakterystycznych dla wielomianów, na przykład redukcja do postaci standardowej lub przedstawienie w postaci iloczynu.
Dla jasności rozważ rozwiązania kilku przykładów.
Przykład.
Przelicz ułamek wymierny 
tak, aby licznik zawierał wielomian postaci standardowej, a mianownik zawierał iloczyn wielomianów.
Rozwiązanie.
Redukcja ułamków wymiernych do nowego mianownika jest używana głównie podczas dodawania i odejmowania ułamków wymiernych.
Zmieniające się znaki przed ułamkiem, a także w jego liczniku i mianowniku
Podstawowa właściwość ułamka może służyć do zmiany znaków członków ułamka. Rzeczywiście, pomnożenie licznika i mianownika ułamka wymiernego przez -1 jest równoznaczne ze zmianą ich znaków, a wynikiem jest ułamek identycznie równy danemu. Podczas pracy z ułamkami wymiernymi należy często uwzględniać tę transformację.
Tak więc, jeśli jednocześnie zmienisz znaki licznika i mianownika ułamka, otrzymasz ułamek równy oryginalnemu. Równość odpowiada temu stwierdzeniu.
Podajmy przykład. Ułamek wymierny można zastąpić identycznie równym ułamkiem ze zmienionymi znakami licznika i mianownika formy.
Jeszcze jedno identyczne przekształcenie można przeprowadzić z ułamkami, w których znak zmienia się albo w liczniku, albo w mianowniku. Ogłosimy odpowiednią regułę. Jeśli zamienisz znak ułamka na znak licznika lub mianownika, otrzymasz ułamek identyczny z oryginałem. Pisemne oświadczenie odpowiada równości i.
Nie jest trudno udowodnić te równości. Dowód opiera się na własnościach mnożenia liczb. Udowodnijmy pierwszy z nich:. Równość jest udowadniana za pomocą podobnych przekształceń.
Na przykład możesz zamienić ułamek na lub.
Na zakończenie tego podrozdziału przedstawiamy jeszcze dwie przydatne równości i. Oznacza to, że jeśli zmienisz znak tylko licznika lub tylko mianownika, ułamek zmieni swój znak. Na przykład, 
oraz 
.
Rozważane przekształcenia, które umożliwiają zmianę znaku członków ułamka, są często używane podczas przekształcania wyrażeń wymiernych ułamkowo.
Zmniejszanie ułamków wymiernych
Następna transformacja ułamków wymiernych, nazywana anulowaniem ułamków wymiernych, opiera się na tej samej podstawowej właściwości ułamka. Ta transformacja odpowiada równości, gdzie a, b i c są pewnymi wielomianami, a b i c są niezerowe.
Z powyższej równości wynika, że zmniejszenie ułamka racjonalnego oznacza pozbycie się wspólnego czynnika w jego liczniku i mianowniku.
Przykład.
Zmniejsz ułamek wymierny.
Rozwiązanie.
Współczynnik wspólny 2 jest od razu widoczny, dokonamy o niego redukcji (przy zapisywaniu współczynników wspólnych, którymi wygodnie jest przekreślić). Mamy 
... Ponieważ x 2 = x x i y 7 = y 3 y 4 (patrz, jeśli to konieczne), jasne jest, że x jest wspólnym dzielnikiem licznika i mianownika wynikowego ułamka, tak jak y 3. Zmniejszmy o te czynniki: 
... To kończy redukcję.
Powyżej przeprowadziliśmy sekwencyjną redukcję ułamka wymiernego. I udało się przeprowadzić redukcję w jednym kroku, natychmiast zmniejszając ułamek o 2 · x · y 3. W takim przypadku rozwiązanie wyglądałoby tak: 
.
Odpowiedź:
.
Podczas kasowania ułamków wymiernych głównym problemem jest to, że wspólny dzielnik licznika i mianownika nie zawsze jest widoczny. Co więcej, nie zawsze istnieje. Aby znaleźć wspólny dzielnik lub upewnić się, że go nie ma, należy podzielić licznik i mianownik ułamka wymiernego na czynniki. Jeśli nie ma wspólnego czynnika, pierwotna ułamek racjonalny nie musi być anulowany, w przeciwnym razie anulowanie jest przeprowadzane.
W procesie redukcji ułamków racjonalnych mogą pojawić się różne niuanse. Główne subtelności z przykładami i szczegółowo omówiono w artykule redukcja ułamków algebraicznych.
Kończąc rozmowę o skreślaniu ułamków wymiernych, zauważamy, że ta transformacja jest identyczna, a główna trudność w jej realizacji polega na faktoryzacji wielomianów w liczniku i mianowniku.
Reprezentacja ułamka wymiernego jako suma ułamków
Dość specyficzna, ale w niektórych przypadkach bardzo przydatna, jest przekształcenie ułamka wymiernego, polegające na przedstawieniu go jako sumy kilku ułamków lub sumy wyrażenia całkowitego i ułamka.
Ułamek wymierny, w liczniku którego znajduje się wielomian, będący sumą kilku jednomianów, można zawsze zapisać jako sumę ułamków o tych samych mianownikach, w licznikach których występują odpowiadające jednomiany. Na przykład, 
... Reprezentację tę wyjaśnia zasada dodawania i odejmowania ułamków algebraicznych o tych samych mianownikach.
Ogólnie rzecz biorąc, każdy ułamek wymierny może być reprezentowany jako suma ułamków na wiele różnych sposobów. Na przykład ułamek a / b może być reprezentowany jako suma dwóch ułamków - arbitralny ułamek c / d i ułamek równy różnicy między ułamkami a / b i c / d. To stwierdzenie jest prawdziwe, ponieważ równość 
... Na przykład ułamek wymierny może być reprezentowany jako suma ułamków na różne sposoby: Reprezentujmy oryginalny ułamek jako sumę wyrażenia całkowitego i ułamka. Dzieląc licznik przez mianownik w kolumnie, otrzymujemy równość 
... Wartość wyrażenia n 3 +4 dla dowolnej liczby całkowitej n jest liczbą całkowitą. A wartość ułamka jest liczbą całkowitą wtedy i tylko wtedy, gdy jego mianownik to 1, -1, 3 lub -3. Wartości te odpowiadają odpowiednio wartościom n = 3, n = 1, n = 5 i n = -1.
Odpowiedź:
−1 , 1 , 3 , 5 .
Bibliografia.
- Algebra: badanie. na 8 cl. ogólne wykształcenie. instytucje / [Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; wyd. S. A. Teliakowski. - 16 wyd. - M.: Edukacja, 2008 .-- 271 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- A. G. Mordkovich Algebra. 7 klasa. 14.00 Część 1. Podręcznik dla uczniów instytucji edukacyjnych / A.G. Mordkovich. - 13 wyd., ks. - M .: Mnemozina, 2009 .-- 160 s.: Ill. ISBN 978-5-346-01198-9.
- A. G. Mordkovich Algebra. 8 klasa. 14.00 Część 1. Podręcznik dla uczniów instytucji edukacyjnych / A.G. Mordkovich. - Wydanie 11, skasowane. - M .: Mnemozina, 2009 .-- 215 p.: ch. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Gusiew V.A., Mordkovich A.G. Matematyka (podręcznik dla kandydatów do szkół technicznych): Podręcznik. instrukcja - M .; Wyższy. shk., 1984.-351 s., il.
Frakcja- forma reprezentacji liczb w matematyce. Słupek ułamkowy oznacza operację dzielenia. Licznik ułamek nazywa się dywidendą, a mianownik- przegroda. Na przykład w ułamku licznik to 5, a mianownik to 7.
Prawidłowy wywoływany jest ułamek o module licznika większym niż moduł mianownika. Jeśli ułamek jest poprawny, to moduł jego wartości jest zawsze mniejszy niż 1. Wszystkie inne ułamki są zło.
Ułamek nazywa się mieszany jeśli jest napisany jako liczba całkowita i ułamek. To to samo, co suma tej liczby i ułamka:
Podstawowa właściwość ułamka
Jeśli licznik i mianownik ułamka pomnożymy przez tę samą liczbę, to wartość ułamka się nie zmieni, czyli np.
Wspólny mianownik ułamków
Aby sprowadzić dwa ułamki do wspólnego mianownika, potrzebujesz:
- Pomnóż licznik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego
- Licznik drugiego ułamka mnoży się przez mianownik pierwszego
- Zastąp mianowniki obu frakcji ich iloczynem
Akcje z ułamkami
Dodatek. Aby dodać dwie frakcje, potrzebujesz
- Dodaj nowe liczniki obu ułamków i pozostaw mianownik bez zmian
Przykład:
Odejmowanie. Aby odjąć jeden ułamek od drugiego, potrzebujesz
- Doprowadź ułamki do wspólnego mianownika
- Odejmij licznik drugiego od licznika pierwszego ułamka i pozostaw mianownik bez zmian
Przykład:
Mnożenie. Aby pomnożyć jeden ułamek przez drugi, musisz pomnożyć ich liczniki i mianowniki.
Mówiąc o matematyce, nie sposób nie zapamiętać ułamków. Swojej nauce poświęcają dużo czasu i uwagi. Pamiętaj, ile przykładów musiałeś rozwiązać, aby nauczyć się pewnych zasad pracy z ułamkami, jak zapamiętałeś i zastosowałeś podstawową właściwość ułamka. Ile nerwów poświęcono na znalezienie wspólnego mianownika, zwłaszcza jeśli w przykładach było więcej niż dwa terminy!
Przypomnijmy sobie, co to jest, i odświeżmy trochę w naszej pamięci podstawowe informacje i zasady pracy z ułamkami.
Definiowanie ułamków
Zacznijmy od najważniejszej rzeczy - definicji. Ułamek to liczba składająca się z co najmniej jednej części jednego. Liczba ułamkowa jest zapisywana jako dwie liczby oddzielone poziomym lub ukośnikiem. W tym przypadku górna (lub pierwsza) nazywana jest licznikiem, a dolna (druga) nazywana jest mianownikiem.
Warto zauważyć, że mianownik pokazuje, na ile części jest podzielona jednostka, a licznikiem jest liczba części lub części pobranych. Ułamki, jeśli są poprawne, często są mniejsze niż jeden.
Przyjrzyjmy się teraz właściwościom tych liczb i podstawowym zasadom używanym podczas pracy z nimi. Ale zanim przeanalizujemy taką koncepcję, jak „główna właściwość ułamka wymiernego”, porozmawiajmy o rodzajach ułamków i ich cechach.
Jakie są ułamki?
Istnieje kilka rodzajów takich liczb. Przede wszystkim są to zwykłe i dziesiętne. Te pierwsze reprezentują typ nagrania wskazany już przez nas za pomocą poziomego lub ukośnika. Drugi rodzaj ułamków wskazuje się za pomocą tzw. notacji pozycyjnej, gdy najpierw wskazuje się część całkowitą liczby, a następnie, po przecinku, część ułamkową.
Warto tutaj zauważyć, że w matematyce zarówno ułamki dziesiętne, jak i zwykłe są używane w ten sam sposób. Główna właściwość ułamka obowiązuje tylko w przypadku drugiej opcji. Ponadto prawidłowe i nieprawidłowe liczby są rozróżniane w zwykłych ułamkach. W pierwszym przypadku licznik jest zawsze mniejszy niż mianownik. Zauważ też, że taki ułamek jest mniejszy niż jeden. W ułamku nieregularnym przeciwnie, licznik jest większy niż mianownik, a sam jest większy niż jeden. W takim przypadku można z niego wyodrębnić liczbę całkowitą. W tym artykule rozważymy tylko zwykłe ułamki.
Właściwości frakcji
Każde zjawisko, chemiczne, fizyczne czy matematyczne, ma swoje własne cechy i właściwości. Liczby ułamkowe nie były wyjątkiem. Mają jedną ważną cechę, za pomocą której można na nich wykonywać określone operacje. Jaka jest główna właściwość ułamka? Reguła mówi, że jeśli jego licznik i mianownik pomnożymy lub podzielimy przez tę samą liczbę wymierną, otrzymamy nowy ułamek, którego wartość będzie równa wartości pierwotnego. To znaczy, mnożąc dwie części liczby ułamkowej 3/6 przez 2, otrzymujemy nowy ułamek 6/12, podczas gdy będą one równe.
Na podstawie tej właściwości możesz redukować ułamki, a także wybierać wspólne mianowniki dla określonej pary liczb.
Operacje
Chociaż ułamki są dla nas bardziej złożone, w porównaniu z nimi możesz również wykonywać podstawowe operacje matematyczne, takie jak dodawanie i odejmowanie, mnożenie i dzielenie. Do tego dochodzi takie specyficzne działanie jak redukcja frakcji. Oczywiście każda z tych czynności wykonywana jest zgodnie z określonymi zasadami. Znajomość tych praw ułatwia pracę z ułamkami, czyni ją łatwiejszą i ciekawszą. Dlatego dalej rozważymy podstawowe zasady i algorytm działań podczas pracy z takimi liczbami.
Ale zanim zaczniemy mówić o takich operacjach matematycznych, jak dodawanie i odejmowanie, przyjrzyjmy się takiej operacji, jak redukcja do wspólnego mianownika. Tutaj przydaje się nam wiedza o tym, jaka jest podstawowa właściwość ułamka.
Wspólny mianownik
Aby sprowadzić liczbę do wspólnego mianownika, musisz najpierw znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch mianowników. To znaczy najmniejsza liczba, która jest jednocześnie podzielna przez oba mianowniki bez reszty. Najłatwiejszym sposobem znalezienia LCM (najmniejszej wspólnej wielokrotności) jest zapisanie w jednej linii jednego mianownika, a następnie drugiego i znalezienie wśród nich pasującej liczby. W przypadku, gdy LCM nie zostanie znaleziony, to znaczy, że liczby te nie mają wspólnej wielokrotności, należy je pomnożyć, a otrzymaną wartość należy uznać za LCM.
Tak więc znaleźliśmy LCM, teraz musimy znaleźć dodatkowy czynnik. Aby to zrobić, musisz na przemian podzielić LCM na mianowniki ułamków i napisać wynikową liczbę nad każdym z nich. Następnie należy pomnożyć licznik i mianownik przez otrzymany dodatkowy współczynnik i zapisać wyniki jako nowy ułamek. Jeśli wątpisz, że otrzymana liczba jest równa poprzedniej, pamiętaj o podstawowej właściwości ułamka.
Dodatek
Przejdźmy teraz bezpośrednio do działań matematycznych na liczbach ułamkowych. Zacznijmy od najprostszego. Istnieje kilka opcji dodawania ułamków. W pierwszym przypadku obie liczby mają ten sam mianownik. W takim przypadku pozostaje tylko zsumować liczniki. Ale mianownik się nie zmienia. Na przykład 1/5 + 3/5 = 4/5.
Jeśli ułamki mają różne mianowniki, należy je zbliżyć do wspólnego i dopiero wtedy dodać. Jak to zrobić, załatwiliśmy trochę wyżej. W tej sytuacji przyda się podstawowa właściwość ułamka. Reguła pozwoli ci sprowadzić liczby do wspólnego mianownika. Nie zmienia to w żaden sposób wartości.
Alternatywnie może się zdarzyć, że frakcja zostanie zmieszana. Następnie należy najpierw zsumować całe części, a następnie części ułamkowe.
Mnożenie
Nie wymaga żadnych sztuczek, a do wykonania tej czynności nie jest konieczna znajomość podstawowej właściwości ułamka. Wystarczy najpierw pomnożyć liczniki i mianowniki. W takim przypadku iloczyn liczników stanie się nowym licznikiem, a mianowniki staną się nowym mianownikiem. Jak widać, nic skomplikowanego.
Jedyne, czego się od ciebie wymaga, to znajomość tabliczki mnożenia, a także uważność. Ponadto po uzyskaniu wyniku należy koniecznie sprawdzić, czy tę liczbę można zmniejszyć, czy nie. Porozmawiamy o tym, jak zmniejszyć ułamki nieco później.
Odejmowanie
Podczas wykonywania należy kierować się tymi samymi zasadami, co przy dodawaniu. Tak więc w liczbach o tym samym mianowniku wystarczy odjąć licznik odejmowanej od licznika odejmowanej. W przypadku, gdy ułamki mają różne mianowniki, należy je zbliżyć do wspólnego, a następnie wykonać tę operację. Podobnie jak w podobnym przypadku z dodawaniem, będziesz musiał użyć podstawowej własności ułamka algebraicznego, a także umiejętności znajdowania LCM i wspólnych czynników dla ułamków.
Dział
I ostatnią, najciekawszą operacją przy pracy z takimi liczbami, jest dzielenie. Jest to dość proste i nie sprawia żadnych szczególnych trudności nawet osobom słabo obeznanym z pracą z ułamkami, w szczególności wykonywaniem operacji dodawania i odejmowania. Przy dzieleniu obowiązuje zasada mnożenia przez odwrotność. Podstawowa własność ułamka, jak w przypadku mnożenia, nie będzie wykorzystywana do tej operacji. Przyjrzyjmy się bliżej.
Podczas dzielenia liczb dywidenda pozostaje niezmieniona. Ułamek dzielnika jest odwrócony, to znaczy licznik i mianownik są odwrócone. Następnie liczby są mnożone między sobą.
Zmniejszenie
Tak więc przeanalizowaliśmy już definicję i strukturę ułamków, ich rodzaje, zasady działania na danych liczbach i wyjaśniliśmy główną własność ułamka algebraicznego. Porozmawiajmy teraz o takiej operacji jak redukcja. Zmniejszanie ułamka to proces jego konwersji - dzielenia licznika i mianownika przez tę samą liczbę. W ten sposób frakcja jest redukowana bez zmiany jej właściwości.
Zwykle podczas wykonywania operacji matematycznej należy uważnie przyjrzeć się wynikowi uzyskanemu na końcu i dowiedzieć się, czy można zmniejszyć wynikowy ułamek, czy nie. Pamiętaj, że wynik końcowy jest zawsze zapisywany nieskróconą liczbą ułamkową.
Inne operacje
Na koniec zauważamy, że nie wymieniliśmy wszystkich operacji na liczbach ułamkowych, wymieniając tylko te najbardziej znane i niezbędne. Ułamki mogą być również wyrównywane, konwertowane na dziesiętne i odwrotnie. Ale w tym artykule nie rozważaliśmy tych operacji, ponieważ w matematyce są one wykonywane znacznie rzadziej niż te, które podaliśmy powyżej.
wnioski
Rozmawialiśmy o liczbach ułamkowych i operacjach z nimi. Przeanalizowaliśmy również główną właściwość, ale zwróćmy uwagę, że wszystkie te pytania zostały przez nas pominięte. Podaliśmy tylko najbardziej znane i używane zasady, udzieliliśmy najważniejszych naszym zdaniem porad.
Ten artykuł ma na celu odświeżenie informacji, o których zapomniałeś o ułamkach, a nie podanie nowych informacji i „napełnienie” głowy niekończącymi się regułami i formułami, które najprawdopodobniej nie będą dla Ciebie przydatne.
Mamy nadzieję, że materiał przedstawiony w artykule w prosty i zwięzły sposób stał się dla Ciebie przydatny.
Studiując zwykłe ułamki, napotykamy koncepcje podstawowej właściwości ułamka. Uproszczone sformułowanie jest niezbędne do rozwiązywania przykładów ze zwykłymi ułamkami. W tym artykule założono rozważenie ułamków algebraicznych i zastosowanie do nich głównej własności, która zostanie sformułowana z przykładami obszaru jej zastosowania.
Sformułowanie i uzasadnienie
Główna właściwość ułamka jest następująca:
Definicja 1
Gdy licznik i mianownik są jednocześnie pomnożone lub podzielone przez tę samą liczbę, wartość ułamka pozostaje niezmieniona.
To znaczy, otrzymujemy, że a m b m = a b i a: m b: m = a b są równoważne, gdzie a b = a m b m i a b = a: m b: m są uważane za sprawiedliwe. Wartości a, b, m to niektóre liczby naturalne.
Podział licznika i mianownika przez liczbę można przedstawić jako a · m b · m = a b. To to samo, co rozwiązywanie przykładu 8 12 = 8: 4 12: 4 = 2 3. Przy dzieleniu stosuje się równość postaci a: m b: m = a b, to 8 12 = 2 · 4 2 · 4 = 2 3. Można go również przedstawić w postaci a m b m = a b, czyli 8 12 = 2 4 3 4 = 2 3.
Oznacza to, że główna właściwość ułamka a m b m = a b i a b = a m b m zostanie szczegółowo omówiona, w przeciwieństwie do a: m b: m = a b i a b = a: m b: m.
Jeżeli zarówno licznik, jak i mianownik zawierają liczby rzeczywiste, właściwość ma zastosowanie. Po pierwsze, konieczne jest udowodnienie poprawności zapisanej nierówności dla wszystkich liczb. Oznacza to, że udowodnienie istnienia a m b m = a b dla wszystkich rzeczywistych a, b, m, gdzie b i m są wartościami niezerowymi, aby uniknąć dzielenia przez zero.
Dowód 1
Niech ułamek postaci a b będzie uważany za część notacji z, innymi słowy, a b = z, wtedy trzeba udowodnić, że ambm odpowiada z, czyli udowodnić ambm = z. Wtedy to pozwoli nam udowodnić istnienie równości a m b m = a b.
Ukośnik oznacza znak podziału. Stosując połączenie z mnożeniem i dzieleniem, otrzymujemy, że z a b = z po przekształceniu otrzymujemy a = b z. Zgodnie z własnościami nierówności liczbowych pomnóż obie strony nierówności przez liczbę inną niż zero. Następnie mnożymy przez liczbę m, otrzymujemy, że a m = (b z) m. Według własności mamy prawo zapisać wyrażenie w postaci a m = (b m) z. Stąd z definicji wynika, że ab = z. To wszystko dowód wyrażenia a m b m = a b.
Równania postaci a m b m = a b i a b = a m b m mają sens, gdy zamiast a, b, m są wielomiany, a zamiast b i m są niezerowe.
Główna właściwość ułamka algebraicznego: gdy jednocześnie pomnożymy licznik i mianownik przez tę samą liczbę, otrzymamy wyrażenie identyczne z wyrażeniem oryginalnym.
Właściwość jest uważana za sprawiedliwą, ponieważ działania z wielomianami odpowiadają działaniom z liczbami.
Przykład 1
Rozważmy przykład ułamka 3 x x 2 - x y + 4 y 3. Możliwa jest konwersja do postaci 3 x (x 2 + 2 x y) (x 2 - x y + 4 y 3) (x 2 + 2 x y).
Mnożenie przeprowadzono przez wielomian x 2 + 2 · x · y. W ten sam sposób główna własność pomaga pozbyć się x 2, który występuje w ułamku postaci 5 x 2 (x + 1) x 2 (x 3 + 3) podanej przez warunek, do postaci 5 x + 5 x 3 + 3. Nazywa się to uproszczeniem.
Główną właściwość można zapisać w postaci wyrażeń ambm = ab i ab = ambm, gdy a, b, m są wielomianami lub zwykłymi zmiennymi, a b i m muszą być niezerowe.
Kule zastosowania podstawowej własności ułamka algebraicznego
Zastosowanie głównej właściwości jest istotne przy zamianie na nowy mianownik lub przy redukcji ułamka.
Definicja 2
Redukcja do wspólnego mianownika to pomnożenie licznika i mianownika przez podobny wielomian, aby otrzymać nowy. Wynikowy ułamek jest równy oryginałowi.
Oznacza to, że ułamek postaci x + y x 2 + 1 (x + 1) x 2 + 1 pomnożony przez x 2 + 1 i zredukowany do wspólnego mianownika (x + 1) (x 2 + 1) staje się x 3 + x + x 2 y + yx 3 + x + x 2 + 1.
Po wykonaniu operacji na wielomianach otrzymujemy, że ułamek algebraiczny jest przekształcany w x 3 + x + x 2 · y + y x 3 + x + x 2 + 1.
Konwersja do wspólnego mianownika jest również wykonywana podczas dodawania lub odejmowania ułamków. Jeśli podano współczynniki ułamkowe, należy najpierw dokonać uproszczenia, które uprości formę i samo znalezienie wspólnego mianownika. Na przykład 2 5 x y - 2 x + 1 2 = 10 2 5 x y - 2 10 x + 1 2 = 4 x y - 20 10 x + 5.
Zastosowanie właściwości przy zmniejszaniu ułamków odbywa się w 2 etapach: rozkładanie licznika i mianownika na czynniki w celu znalezienia wspólnego m, a następnie przejście do postaci ułamka a b, w oparciu o równość postaci a m b m = a b.
Jeśli ułamek postaci 4 x 3 - x y 16 x 4 - y 2 po rozwinięciu przekształca się w x (4 x 2 - y) 4 x 2 - y 4 x 2 + y, to jest oczywiste, że ogólnym współczynnikiem jest wielomian 4 · x 2 - y. Wtedy będzie można zmniejszyć ułamek zgodnie z jego główną właściwością. Rozumiemy to
x (4 x 2 - y) 4 x 2 - y 4 x 2 + y = x 4 x 2 + y. Ułamek jest uproszczony, a następnie podstawiając wartości, będziesz musiał wykonać znacznie mniej czynności niż podczas podstawiania do oryginalnej.
Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl + Enter
