Jak zrobić proporcje? Każdy uczeń i dorosły zrozumie. Problemy z procentami: obliczanie procentów za pomocą proporcji Jak znaleźć x w równaniu z procentami

22.10.2021

1% to jedna setna liczby.

1% = 0,01.

Znajdowanie procentów liczby.
Aby znaleźć procent liczby, możesz przedstawić procent jako ułamek dziesiętny i pomnożyć liczbę przez wynikowy ułamek dziesiętny.

Znalezienie liczby według jej procentu.
Aby znaleźć liczbę według jej procentu, możesz przedstawić procent jako ułamek dziesiętny i podzielić tę liczbę przez wynikowy ułamek dziesiętny.

Aby dowiedzieć się, ile procent jednej liczby różni się od drugiej, możesz podzielić jedną liczbę przez drugą i pomnożyć otrzymany iloczyn przez 100.

Jak rozwiązywać problemy z zainteresowaniem. Przykłady.

Znalezienie procentu liczby wiąże się ze znalezieniem ułamka liczby. Procenty to szczególny sposób zapisywania zwykłego ułamka, dlatego powinieneś zacząć ujawniać znaczenie pojęcia procentu, rozumiejąc pojęcie zwykłego ułamka.

Weźmy na przykład kilka wspólnych ułamków. Jakie jest znaczenie każdego takiego wpisu?
- To są przykłady zwykłych ułamków. Mianownik każdego z nich pokazuje, na ile równych części należy podzielić obiekt rzeczywisty lub abstrakcyjny, licznik pokazuje, ile takich części należy wziąć. Weźmy jako przykład zwykły ułamek. Na przykład. Znaczenie tego wyrażenia można ujawnić w następujący sposób. Pewien prawdziwy obiekt podzielono na 3 równe części i pobrano z nich 2 części.

Jako prawdziwy obiekt możesz wziąć na przykład prostokąt.

To wyrażenie jest ilorazem aib, gdzie b nie jest równe 0.

Jest to stosunek liczb a i b, gdzie b nie jest równe 0.

To zwykły ułamek. a jest licznikiem, b jest mianownikiem (b nie jest równe 0).

Przykład 1. Pojemność beczki wynosiła 200 l. Beczka została napełniona wodą. Jakie było znaczenie tej propozycji?
- ten ułamek oznacza, że pewien przedmiot został podzielony na 5 równych części i pobrano z nich 2 części. Przedmiotem tego problemu jest objętość beczki równa 200 litrów, dlatego
200:5 = 40,
402 = 80.
Do beczki wlano 80 litrów wody.
Powyższy przykład jest typowym przykładem znajdowania ułamka liczby.

Aby znaleźć ułamek liczby, musisz pomnożyć liczbę przez ten ułamek.

Teraz możesz przejść do procentów.

Pojęcie procentu definiuje się następująco: 1% liczby to jedna setna liczby, czyli 1% = 0,01.

Następnie znaczenie zdania a% liczby b można wyjaśnić w następujący sposób. Pewien przedmiot (którego wartość to b jednostek) podzielono na 100 równych części i pobrano z nich a Części.

Przykład 2. Masza miała 400 rubli. Wydała 24% tej kwoty. Jakie jest znaczenie tego stwierdzenia?
Ponieważ 24% = 0,24, a 0,24 oznacza, że pewien obiekt podzielono na 100 równych części i pobrano z nich 24 części. W tym przypadku przedmiotem jest kwota pieniędzy równa 400 rubli, a zatem
400: 100 =4,
424 = 96.
Masza wydała 96 rubli.
Powyższy przykład jest typowym przykładem znajdowania procentu liczby.

Przykład 3. Trzeba znaleźć R% liczby b .
Niech x będzie liczbą, którą musimy znaleźć.
P% = 0,01P,
x = b 0,01P

Aby znaleźć procenty liczby, musisz przedstawić liczbę procentów jako ułamek dziesiętny i pomnożyć podaną liczbę przez ten ułamek dziesiętny.

Inne podejście do tego zadania. Możesz użyć pojęcia i właściwości proporcji. Jeśli pamiętasz, że proporcja to równość dwóch stosunków, a stosunek dwóch liczb jest zwykłym ułamkiem, to ta metoda jest również związana z pojęciem zwykłego ułamka.

b - 100%,
x - p%,
Mamy proporcję:
b: 100 = x: p, (b odnosi się do 100 tak jak x odnosi się do p) skąd,

Przykład 4. Niech będą liczby a oraz b , Ponadto, a >b Wtedy liczba a więcej numerów b na %.

Podejdźmy do tego problemu trochę inaczej. Rozważymy prosty przypadek specjalny, na przykład: „O jaki procent liczba 10 jest większa od liczby 2?”

1. Odejmij mniejszą od większej liczby. 10 - 2 = 8. Wtedy 10 to więcej niż 2 na 8.

2. Znajdź stosunek znalezionej liczby do mniejszej liczby. 8:2 = 4 to stosunek dwóch liczb!

3 Stosunek wyrażamy w procentach 4100 = 400%.

Liczba 10 jest o 400% większa niż liczba 2.

Jeśli podzielimy 8 przez 10, znajdziemy stosunek pokazujący, która część 10 2 jest mniejsza niż 10 (tu porównanie jest z liczbą 10.

Liczba 2 jest o 80% mniejsza niż liczba 10.

Przykład 5. Kierowca ciągnika zaorał 6 hektarów, czyli z całego pola. Jaka jest powierzchnia całego pola.
Jest to typowe zadanie polegające na znalezieniu liczby po jej ułamku. Niech obszar całego pola będzie x, wtedy mamy równanie x = 6. Wherece x = 6 :; x = 26. Powierzchnia pola to 26 ha.

Aby znaleźć liczbę według jej ułamka, musisz podzielić liczbę odpowiadającą temu ułamkowi przez ułamek.

Przykład 6. Podany numer b, który jest P% liczby a. Znajdź numer a.

P% = 0,01P
b = 0,01rocznie
a = b: (0,01p)

Podany numer b który jest P% liczby a .

Znajdź numer a .

a - 100%

b - p%

a: 100 = b: p

Formuła odsetek złożonych.

Jeśli kwota zostanie wpłacona a jednostki pieniężne i opłaty bankowe R% roczna, potem po n lat, kwota depozytu będzie wyrażona w jednostkach pieniężnych, lub
a (1 + 0,01p) n jednostki pieniężne.

Przykład 7. Koszt budowy domu wyniósł 9800 rubli, z czego 35% zapłaciło za pracę, a resztę za materiał. Ile kosztowały materiały?

Opłacone za pracę:

0,359800 = 3430.

Dlatego koszt materiałów: 9800 - 3430 = 6370.

Odpowiedź: 6370 rubli.

Przykład 8. Do zbiornika wlano 37,4 tony benzyny, po czym 6,5% pojemności zbiornika pozostało niewypełnione. Ile benzyny muszę dodać do baku, aby go napełnić?

Jeżeli niewypełniona część zbiornika wynosi 6,5% pojemności, to napełniona część wynosi: 100% - 6,5% = 93,5%. Wtedy, jeśli x jest masą benzyny, która pozostała do dodania do baku, to mamy proporcję

gdzie .

Odpowiedź: 2,6 t.

Przykład 9. Znajdź liczbę, wiedząc, że 25% z niej równa się 45% z 640.

Niech x będzie wymaganą liczbą. Mamy

0,25x = 0,45640.

Odpowiedź: 1152.

Przykład 10. Liczba a to 92% liczby b. Jeśli liczba b zostanie zwiększona o 700, to nowa liczba będzie o 9% większa niż liczba a. Znajdź liczby a i b.

Z warunku problemu mamy układ równań:

Rozwiązując wynikowy układ, znajdujemy a = 230 000, b = 250 000.

Odpowiedź: 230 000; 250 000.

Przykład 11. Pierwsza liczba to 50% drugiej. Jaki procent pierwszego to drugi?

Oznaczmy drugą liczbę do x, wtedy pierwsza liczba jest równa 0,5x. Aby dowiedzieć się, jaki procent jest liczbą x z liczby 0,5x; zróbmy proporcję:

z którego znajdujemy

Odpowiedź: 200%.

Przykład 12. Liceum liczy 260 uczniów, z których 10% nie odnosi sukcesów. Po wydaleniu pewnej liczby słabszych, ich odsetek spadł do 6,4%. Ilu uczniów zostało odrzuconych?

Przed odliczeniem solono liczbę osób przegranych przed odliczeniem

Niech x osób zostanie wydalonych. W Liceum pozostało wtedy tylko 260 uczniów, z czego 26 stało się niedoskonałymi. Mamy proporcję

260 - x - 100%,

(260 - x) 0,064 = (26 - x) 100,

Rozwiązując otrzymane równanie, znajdujemy x = 10.

Przykład 13. O jaki procent 250 jest większe niż 200?

Zróbmy dwie rzeczy.

1) Dowiadujemy się, jaki procent stanowi liczba 250 ton liczby 200:

2) Ponieważ liczba 200 w tym przykładzie to 100%, liczba 250 jest większa od liczby 200 o 125% -100% = 25%.

Odpowiedź: 25%.

Przykład 14. O ile mniej to 200 niż 250?

1) Dowiedz się, ile procent stanowi liczba 200 z liczby 250 (w przeciwieństwie do poprzedniego przykładu, tutaj liczbę 250 musisz przyjąć jako 100%!):

2) Liczba 200 jest mniejsza od liczby 250 o 100% - 80% = 20%.

Odpowiedź: 20%.

Przykład 15. Długość cegły została zwiększona o 30%, szerokość o 20%, a wysokość zmniejszona o 40%. Czy objętość cegieł wzrosła czy zmniejszyła się od tego io jaki procent?

Niech oryginalna długość cegły wynosi x, szerokość - y, wysokość - z. Następnie pierwotna objętość cegły: V 1 = xyz. Nowe rozmiary cegieł: 1,3x; 1,2 roku; 0,6z i nowy wolumen: V 2 = 1,3x1,2y0,6z = 0,936xyz. Od V 2< V 1 , объем кирпича уменьшился. Уменьшение V 2 - V 1 = 0,064xyz и составляет 6,4% от V 1.

Odpowiedź: spadła o 6,4%.

Przykład 16. Cena produktu spadła o 40%, a następnie o kolejne 25%. O ile spadła cena produktu w porównaniu z pierwotną ceną?

Oznaczmy pierwotną cenę produktu przez x. Po pierwszym spadku cena będzie równa

x - 0,4x = 0,6x.

Drugi spadek ceny to 25% nowej ceny 0,6x, więc po drugim spadku ceny będziemy mieli cenę

0,6x - 0,250,6x = 0,45x;.

Po dwóch obniżkach całkowita zmiana ceny wynosi:

x - 0,45x = 0,55x.

Ponieważ wielkość wynosi 0,55x; wynosi 55% wartości x, to cena towaru spadła o 55%.

Odpowiedź: 55%.

Przykład 17. Początkowy koszt na jednostkę produkcji wynosił 75 rubli. W pierwszym roku produkcji wzrosła o pewną liczbę procent, aw drugim spadła (w stosunku do wzrostu kosztów) o tę samą liczbę procent, w wyniku czego wyniosła 72 ruble. Określ procentowy wzrost i spadek kosztu jednostkowego.

Niech x% będzie procentowym wzrostem (i spadkiem) kosztu jednostkowego. Z definicji x% z 75 to 750,01x. Wtedy po pierwszym wzroście cena wyniesie 75 + 0,75x.

W drugim roku cena spadnie o kwotę

0,01x (75 + 0,75x) = 0,75x + 0,0075x 2.

Teraz można napisać równanie ceny końcowej

(75 + 0,75x) - (0,75x + 0,0075x 2) = 72;

x 2 = 400; stąd x 1 = - 20, x 2 = 20.

Tylko jeden pierwiastek tego równania jest odpowiedni: x 2 = 20.

Odpowiedź: 20%.

Przykład 18. Na konto bankowe wpłynęło 10 tysięcy rubli. Po tym, jak pieniądze leżały przez rok, z konta pobrano tysiąc rubli. Rok później rachunek wynosił 11 tysięcy rubli. Określ, jaki procent rocznych opłat bankowych.

Niech bank obliczy p% rocznie.

1) Kwota 10 000 rubli zdeponowanych na rachunku bankowym w p% rocznie, za rok wzrośnie do wartości

10000 + 0,01p10000 = 10000 + 100 rubli.

Po wypłacie 1000 rubli z konta pozostanie tam 9000 + 100 rubli.

2) Rok później ostatnia wartość z tytułu naliczania odsetek wzrośnie do wartości 9000 + 100r + 0,01p (9000 + 100r) = p 2 + 190r + 9000 rubli.

Warunek ten wynosi 11 000 rubli, więc mamy równanie kwadratowe.

p 2 + 190r + 9000 = 11000;

p 2 + 190r - 2000 = 0
, rozwiązujemy to równanie kwadratowe za pomocą twierdzenia Vietty, p 1 = 10, p 2 = -200.

Negatywny korzeń nie jest odpowiedni.

Odpowiedź: 10%.

Przykład 19. Miasto liczy obecnie 48400 mieszkańców. Wiadomo, że populacja tego miasta rośnie corocznie o 10%. Ilu mieszkańców było tam dwa lata temu?

Załóżmy, że dwa lata temu liczba mieszkańców miasta wynosiła x osób, to obecnie liczbę mieszkańców wyraża się w postaci x za pomocą złożonego wzoru na procent:

x (1 + 0,1) 2 = 1,21x.

Z opisu problemu:

Odpowiedź: 40 000 osób.

Procent jest formą ułamka dziesiętnego. Istotę procentu można zrozumieć z nazwy, która pochodzi od słowa „cento”, co w tłumaczeniu oznacza „sto”. Wynika z tego, że procent to jedna setna liczby całkowitej, traktowana jako jednostka. Znak % służy do reprezentowania procentu w matematyce i innych dziedzinach nauki.

Czy zwykły człowiek tego potrzebuje?

Oczywiście najczęściej ludzie, których działalność związana jest z nauką, muszą się zmagać z zainteresowaniem. Często zdarza się, że to szczęście trafia do uczniów w ramach szkolnego programu nauczania matematyki. Jednak zakres zainteresowania jest tak szeroki, że przedstawiciele różnych zawodów i zawodów stają przed koniecznością ich liczenia. Widzowie naszej witryny nie są wyjątkiem. Rzeczywiście, mieszkańcy lata często stają przed zadaniem określenia stężenia roztworu nawozu, obliczenia podatku od gruntu lub innej nieruchomości, określenia kwoty spłaty pożyczki itp.

We wszystkich tych przypadkach nie można obejść się bez umiejętności odpowiedniego radzenia sobie z odsetkami. I są kapryśnymi towarzyszami, nie lubią błędów. Dlatego pomimo pozornej prostoty zadań z zainteresowaniem, przy ich rozwiązywaniu konieczne jest przestrzeganie szeregu pewnych zasad.

Odbiór podstawowy

Wszystkie problemy, w których pojawiają się procenty, są dość łatwe do rozwiązania za pomocą zasady proporcji. Jaka jest jego istota? Na przykład musisz określić, co jest równe 76% liczby 840? W tym celu sporządzana jest odpowiednia proporcja. Odpowiada 840 do 100%. Poszukiwana wartość x to 76%. Dzięki temu można skomponować następujący stosunek:

840 / x = 100% / 76% lub 840 * 76% = x * 100%

Stąd okazuje się, że:
x = 840 * 76% / 100% = 638,4

Jak widać, wszystko jest niezwykle proste.

Podstawowe typy problemów z procentami

Z punktu widzenia matematyki wyróżniamy 3 kategorie problemów, których rozwiązanie wiąże się z obliczaniem procentów.

Pierwszy typ

To wtedy musisz znaleźć procent określonej liczby określonej w warunkach. Dopasowując przykład do okoliczności życia letnich mieszkańców, można przytoczyć następujący problem. Załóżmy, że zgodnie z prawem danego regionu właściciel prywatnej działki musi co roku płacić podatek gruntowy. Jego wielkość określa się na 2% wartości katastralnej gruntu. Cena działki to 327 tysięcy rubli. Jaka jest roczna stawka podatku? Aby odpowiedzieć na postawione pytanie, sporządzana jest proporcja:

327 tysięcy rubli. = 100%;
X tysięcy rubli = 2%.

Wprowadzając tę zależność do równania, otrzymujemy: x * 100 = 327 * 2. W rezultacie: x = 327 * 2/100 = 6,54 tysiąca rubli.

Inny przykład tego rodzaju zadań wiąże się z niepokojącą zdecydowaną większość letnich mieszkańców kwestią – podwyżkami emerytur czy wynagrodzeń. Załóżmy, że teraz emerytura osoby wynosi 7200 rubli, ale od przyszłego miesiąca obiecują ją zwiększyć o 15%. Ile to będzie bezpośrednio w rublach? Proporcja jest ponownie kompilowana:

Drugi typ

W takim przypadku musisz rozwiązać problem odwrotny, czyli obliczyć liczbę z dostępnego procentu. Na przykład wiadomo, że 10 kg określonej substancji stanowi część nawozu, stanowiąc 40% jego całkowitej ilości. Konieczne jest określenie całkowitej masy gotowego nawozu. W tym celu kompilowana jest również proporcja, ale będzie wyglądać nieco inaczej:

10 kg - 40%
x kg - 100%

Wynika z tego, że x = 10 * 100/40 = 25 kg.

Trzeci typ

Ta kategoria obejmuje zadania, w których musisz określić procent drugiego za pomocą jednej liczby. Na przykład objętość porannego podlewania marchwi powinna wynosić - 60 litrów. Wieczorem na łóżka należy wylać 150 litrów. Jaki procent podlewania wieczornego to podlewanie poranne? Podstawowa zależność jest następująca:

150 l - 100%;
Kubek 60 L - x%

Wtedy: x = 60 * 100/150 = 40%

Dla tych letnich mieszkańców, którzy uważają swoją osobistą działkę za źródło dochodu, powinna istnieć interesująca technologia do obliczania rentowności. Wskaźnik ten jest wykorzystywany w ekonomii jako miara sukcesu przedsiębiorstwa i jest również obliczany w procentach. To na podstawie poziomu rentowności oceniają racjonalność organizacji procesu produkcyjnego.

Tak więc obliczenia opierają się na dwóch wielkościach:

* pełny koszt, w tym wszystkie koszty gotówkowe, w tym transport, zakup zapasów itp.;

* dochód uzyskany ze sprzedaży zebranych plonów.

Różnica to zysk netto. Pr = D - C. W tym przypadku formuła opłacalności ma postać: P = Pr / C * 100%. Tak więc, jeśli całkowity koszt produkcji wynosi 8200 rubli, a sprzedano go za 9000 rubli, rentowność wyniesie: P = (9 000 - 8 200) / 8 200 * 100% = 9,75%. Zwykle za akceptowalny poziom rentowności w gospodarce przedsiębiorstwa uważa się 5%. Przy niższych stawkach kierownictwo powinno szukać możliwości bardziej racjonalnej organizacji pracy.

W każdym razie musisz wiedzieć, jak rozwiązywać zadania z algebry za pomocą procentów nawet w szkole, a wtedy nie będzie ci to dalej trudne.

Piotr, www.site

Pojęcie procentu pojawia się w naszym życiu zbyt często, dlatego bardzo ważne jest, aby wiedzieć, jak rozwiązywać problemy z zainteresowaniem. W zasadzie nie jest to trudna sprawa, najważniejsze jest zrozumienie zasady pracy z zainteresowaniem.

Co to jest procent

Działamy zgodnie z pojęciem 100 procent, a zatem jeden procent to setna część pewnej liczby. I wszystkie obliczenia opierają się na tym stosunku.

Na przykład 1% z 50 to 0,5, 15 z 700 to 7.

Jak rozwiązać

Wiedząc, że jeden procent to jedna setna podanej liczby, możesz znaleźć dowolną liczbę wymaganych procentów. Aby było to jaśniejsze, spróbujmy znaleźć 6 procent liczby 800. Robi się to po prostu.
- Najpierw znajdujemy jeden procent. Aby to zrobić, podziel 800 przez 100. Okazuje się 8.
- Teraz ten jeden procent, czyli 8, jest pomnożony przez liczbę procent, której potrzebujemy, czyli przez 6. Okazuje się, że 48.
- Naprawmy wynik przez powtórzenie.
15% z 150. Rozwiązanie: 150/100 * 15 = 22.

28% z 1582. Rozwiązanie: 1582/100 * 28 = 442.
Są inne problemy, gdy podajesz wartości i musisz znaleźć wartości procentowe. Na przykład wiesz, że w sklepie jest 5 czerwonych róż z 75 białych i musisz dowiedzieć się, jaki jest procent czerwonych róż. Jeśli nie znamy tego procentu, oznaczymy go jako x.
Jest na to wzór: 75 - 100%

W tym wzorze liczby są mnożone krzyż przez krzyż, czyli x = 5 * 100/75. Okazuje się, że x = 6% Oznacza to, że procent róż szkarłatnych wynosi 6%.
Istnieje inny rodzaj problemów z procentami, gdy trzeba znaleźć procent jednej liczby większy lub mniejszy od innej. Jak rozwiązywać problemy z zainteresowaniem w tej sprawie?
W klasie jest 30 uczniów, 16 z nich to chłopcy. Pytanie, o jaki procent jest więcej chłopców niż dziewcząt. Najpierw musisz obliczyć, jaki procent uczniów to chłopcy, a następnie musisz dowiedzieć się, ile procent stanowią dziewczęta. Znajdź różnicę na końcu.

Więc zacznijmy. Uzupełniamy proporcję 30 os. - sto%

16 konto. -X %

Teraz liczymy. X = 16 * 100/30, x = 53,4% wszystkich uczniów w klasie to chłopcy.

Teraz znajdźmy procent dziewcząt w tej samej klasie. 100-53,4 = 46,6%

Teraz pozostaje tylko znaleźć różnicę. 53,4-46,6 = 6,8%. Odpowiedź: chłopców jest o 6,8% więcej niż dziewcząt.

Najważniejsze w rozwiązywaniu zainteresowania

Aby więc nie mieć problemów z rozwiązywaniem problemów z zainteresowaniem, pamiętaj o kilku podstawowych zasadach:

Aby nie pomylić się z problemami procentowymi, zawsze bądź czujny: w razie potrzeby przejdź od określonych wartości do wartości procentowych i odwrotnie. Najważniejsze, aby nigdy nie mylić jednego z drugim.
Bądź ostrożny przy obliczaniu odsetek. Ważne jest, aby wiedzieć, od jakiej konkretnej wartości chcesz liczyć. Przy kolejnych zmianach wartości procent naliczany jest od ostatniej wartości.
Przed zapisaniem odpowiedzi przeczytaj cały problem ponownie, ponieważ może się okazać, że znalazłeś tylko pośrednią odpowiedź i musisz wykonać jedną lub kilka czynności.

Tak więc rozwiązywanie problemów z procentami nie jest takie trudne, najważniejsza jest w nim uważność i dokładność, tak jak w całej matematyce. I nie zapominaj, że doskonalenie umiejętności wymaga praktyki. Zdecyduj więc więcej, a wszystko będzie dla Ciebie w porządku, a nawet super.

Aby rozwiązać większość problemów z matematyki w szkole średniej, wymagana jest znajomość proporcji. Ta prosta umiejętność pomoże Ci nie tylko wykonywać złożone ćwiczenia z podręcznika, ale także zagłębić się w samą istotę matematyki. Jak zrobić proporcje? Przyjrzyjmy się temu teraz.

Najprostszym przykładem jest problem, w którym znane są trzy parametry, a czwarty musi zostać znaleziony. Proporcje są oczywiście różne, ale często trzeba znaleźć jakąś liczbę procentowo. Na przykład chłopiec miał w sumie dziesięć jabłek. Czwartą część oddał matce. Ile jabłek zostało chłopcu? To najprostszy przykład, który pozwoli Ci skomponować proporcję. Najważniejsze, żeby to zrobić. Pierwotnie było dziesięć jabłek. Niech to będzie 100%. Zaznaczyliśmy wszystkie jego jabłka. Oddał jedną czwartą. 1/4 = 25/100. Oznacza to, że odszedł: 100% (było pierwotnie) - 25% (dał) = 75%. Ta liczba pokazuje procent liczby pozostałych owoców do liczby pierwszych dostępnych owoców. Teraz mamy trzy liczby, za pomocą których można już rozwiązać proporcję. 10 jabłek - 100%, x jabłka - 75%, gdzie x to wymagana ilość owoców. Jak zrobić proporcje? Musisz zrozumieć, co to jest. Matematycznie wygląda to tak. Znak równości jest postawiony dla twojego zrozumienia.

10 jabłek = 100%;

x jabłka = 75%.

Okazuje się, że 10 / x = 100% / 75. To jest główna właściwość proporcji. W końcu im większy x, tym więcej procent ta liczba pochodzi z oryginału. Rozwiązujemy tę proporcję i otrzymujemy, że x = 7,5 jabłek. Dlaczego chłopiec zdecydował się podać kwotę niecałkowitą, nie jest nam znana. Teraz wiesz, jak proporcjonalnie. Najważniejsze jest znalezienie dwóch relacji, z których jedna zawiera nieznaną niewiadomą.

Rozwiązywanie proporcji często sprowadza się do prostego mnożenia, a następnie dzielenia. W szkołach dzieciom nie wyjaśnia się, dlaczego tak właśnie jest. Chociaż ważne jest, aby zrozumieć, że relacje proporcjonalne to matematyczny klasyk, jest to istota nauki. Aby rozwiązać proporcje, musisz umieć posługiwać się ułamkami. Na przykład często trzeba przeliczać procenty na ułamki. Oznacza to, że rekord 95% nie zadziała. A jeśli od razu napiszesz 95/100, możesz dokonać solidnych redukcji bez rozpoczynania głównego liczenia. Należy od razu powiedzieć, że jeśli twoja proporcja okazała się być z dwiema niewiadomymi, to nie można tego rozwiązać. Żaden profesor nie może ci tu pomóc. A twoje zadanie najprawdopodobniej ma bardziej złożony algorytm poprawnych działań.

Rozważ inny przykład, w którym nie ma zainteresowania. Kierowca kupił 5 litrów benzyny za 150 rubli. Zastanawiał się, ile zapłaci za 30 litrów paliwa. Aby rozwiązać ten problem, niech x oznacza wymaganą ilość pieniędzy. Możesz sam rozwiązać ten problem, a następnie sprawdzić odpowiedź. Jeśli jeszcze nie wiesz, jak zrobić proporcje, spójrz. 5 litrów benzyny to 150 rubli. Tak jak w pierwszym przykładzie zapiszemy 5L - 150r. Teraz znajdźmy trzecią liczbę. Oczywiście jest to 30 litrów. Zgadzam się, że w tej sytuacji odpowiednia jest para 30 litrów - x rubli. Przejdźmy do języka matematycznego.

5 litrów - 150 rubli;

30 litrów - x rubli;

Rozwiązujemy tę proporcję:

x = 900 rubli.

Więc zdecydowaliśmy. W swoim zadaniu nie zapomnij sprawdzić adekwatności odpowiedzi. Zdarza się, że przy złej decyzji samochody osiągają nierealistyczne prędkości 5000 kilometrów na godzinę i tak dalej. Teraz wiesz, jak proporcjonalnie. Ty też możesz to rozwiązać. Jak widać, nie jest to trudne.

Zainteresowanie matematyką. Problemy z odsetkami.

Uwaga!
Są dodatkowe
materiały w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy są bardzo „nie bardzo…”
A dla tych, którzy są „bardzo równi…”)

Zainteresowanie matematyką.

Co się stało zainteresowanie matematyką? Jak rozwiązać zadania zainteresowania? Te pytania pojawiają się, niestety, nagle... Kiedy absolwent czyta zadanie USE. I wprawiają go w zakłopotanie. Ale na próżno. To są bardzo proste koncepcje.

Jedyną rzeczą do zapamiętania jest żelazo - co to jest jeden procent ... Ta koncepcja jest klucz główny do rozwiązywania problemów z zainteresowaniem i do pracy z zainteresowaniem w ogóle.

Jeden procent to jedna setna liczby ... I to wszystko. Nie ma więcej mądrości.

Rozsądne pytanie - i część setna jaka data ? A oto numer, o którym mowa w zadaniu. Jeśli mówi cena, jeden procent to jedna setna ceny. Mówiąc o prędkości, jeden procent to jedna setna prędkości. Itp. Oczywiste jest, że sama liczba, o której mowa, wynosi zawsze 100%. A jeśli nie ma tam samej liczby, to procenty też nie mają sensu…

Inną rzeczą jest to, że w skomplikowanych problemach sama liczba będzie tak bardzo ukryta, że nie znajdziesz jej. Ale nie dążymy jeszcze do tego, co trudne. Mamy do czynienia z procent w matematyce.

Nie akcentuję słów na darmo jeden procent, jedna setna... Pamiętając, co jest jeden procent, możesz łatwo znaleźć dwa procent, trzydzieści cztery, siedemnaście i sto dwadzieścia sześć! Znajdziesz tyle, ile potrzebujesz.

Nawiasem mówiąc, jest to główna umiejętność rozwiązywania problemów z zainteresowaniem.

Spróbujmy?

Znajdźmy 3% z 400. Najpierw znajdźmy jeden procent... Będzie to jedna setna, czyli 400/100 = 4. Jeden procent to 4. A ile procent potrzebujemy? Trzy. Więc mnożymy 4 przez trzy. Dostajemy 12. To wszystko. Trzy procent z 400 to 12.

5% z 20 to 20 podzielone przez 100 (jedna setna - 1%) i pomnożone przez pięć (5%):

5% z 20 to 1. To wszystko.

Łatwiej się nie da. Zróbmy to szybko, zanim zapomnimy, poćwiczmy!

Sprawdź, ile to będzie:
5% z 200 rubli.
8% z 350 kilometrów.
120% od 10 litrów.
15% z 60 stopni.
4% to znakomici studenci z 25 uczniów.
10% biednych studentów na 20 osób.

Odpowiedzi (w kompletnym nieładzie): 9, 10, 2, 1, 28, 12.

Te liczby to liczba rubli, stopni, studentów itp. Nie napisałem ile rzeczy, żeby ciekawiej było decydować…

A jeśli będziemy musieli pisać X% od jakiejś liczby np. od 50? Tak, wszystko jest takie samo. Ile wynosi jeden procent z 50? Zgadza się, 50/100 = 0,5. I mamy te procenty - x... Cóż, pomnóżmy 0,5 przez x! Rozumiemy to X% od 50 to jest - 0,5x.

Mam nadzieję, że tak jest zainteresowanie matematyką rozumiesz. I możesz łatwo znaleźć dowolną liczbę procent dowolnej liczby. To proste. Jesteś teraz w stanie wykonać około 60% wszystkich zadań na zainteresowanie! Już ponad połowa. Czy kończymy resztę? Dobra, cokolwiek powiesz!

W przypadku problemów z odsetkami często spotyka się odwrotną sytuację. Mamy dane wielkości (cokolwiek), ale musisz znaleźć zainteresowanie ... Opanujemy również ten prosty proces.

3 osoby na 120 - jaki jest procent? Nie wiem? Więc niech tak będzie x procent.

Policzmy X% od 120 osób. W ludziach. Możemy to zrobić. Podziel 120 przez 100 (oblicz 1%) i pomnóż przez x(Oblicz X%). Dostajemy 1,2 x.

Zrozummy wynik.

x procent od 120 osób, czyli 1,2 x Człowiek ... A mamy trzy takie osoby. Pozostaje zrównać:

Pamiętamy, że za X przyjęliśmy liczbę procent. Czyli 3 osoby ze 120 osób to 2,5%.

To wszystko.

Można to zrobić w inny sposób. Pogódź się z prostą pomysłowością, bez żadnych równań. Rozważamy ile razy 3 osoby poniżej 120? Podziel 120 przez 3 i uzyskaj 40. Zatem 3 to 40 razy mniej niż 120.

Wymagana liczba osób w procentach będzie ta sama kwota mniej niż 100%. W końcu 120 osób to 100%. Podziel 100 przez 40, 100/40 = 2,5

To wszystko. Otrzymano 2,5%.

Jest też sposób na proporcje, ale to w zasadzie to samo w zmniejszonej wersji. Wszystkie te metody są poprawne. Ponieważ jest to wygodniejsze dla Ciebie, jest bardziej znajome, jest bardziej zrozumiałe - rozważ tak.

Znowu trenujemy.

Oblicz ile procent to:
3 osoby z 12.
10 rubli od 800.
4 podręczniki ze 160 książek.
24 poprawne odpowiedzi na 32 pytania.
2 odgadnięte odpowiedzi na 32 pytania.
9 trafień na 10 strzałów.

Odpowiedzi (w nieładzie): 75%, 25%, 90%, 1,25%, 2,5%, 6,25%.

W trakcie obliczeń możesz natknąć się na ułamki. W tym niewygodne, takie jak 1.333333 ... A kto kazał ci korzystać z kalkulatora? Sam? Nie rób. Liczyć bez kalkulatora jak napisano w temacie „Ułamki”. Są wszelkiego rodzaju zainteresowania ...

Więc opanowaliśmy przejście od wartości do procentów i odwrotnie. Możesz podjąć się zadań.

Problemy z odsetkami.

Na egzaminie bardzo popularne są problemy z zainteresowaniami. Od najprostszego do najbardziej złożonego. W tej sekcji pracujemy z prostymi zadaniami. W prostych zadaniach z reguły musisz przejść od procentu do tych wartości, które są omówione w zadaniu. Do rubli, kilogramów, sekund, metrów i tak dalej. Lub odwrotnie. Już wiemy jak. Po tym problem staje się jasny i łatwy do rozwiązania. Nie wierzysz mi? Sam zobacz.
Miejmy takie zadanie.

„Przejazd autobusem kosztuje 14 rubli. W dni ferii szkolnych wprowadzono 25% zniżki dla uczniów. Ile kosztuje autobus w czasie wakacji szkolnych?”

Jak zdecydować? Jeśli dowiemy się ile 25% w rublach- wtedy nie ma o czym decydować. Odejmij rabat od pierwotnej ceny - i to wszystko!

Ale my już wiemy, jak to rozpoznać! Ile będzie jeden procent od 14 rubli? Część setna. To znaczy 14/100 = 0,14 rubla. A takich procentów mamy 25. Pomnóżmy więc 0,14 rubla przez 25. Otrzymujemy 3,5 rubla. To wszystko. Ustaliliśmy wysokość zniżki w rublach, pozostaje dowiedzieć się o nowej taryfie:

14 – 3,5 = 10,5.

Dziesięć i pół rubla. To jest odpowiedź.

Gdy tylko przeszli z odsetek na ruble, wszystko stało się proste i jasne. Jest to ogólne podejście do rozwiązywania problemów z zainteresowaniem.

Oczywiście nie wszystkie zadania są równie elementarne. Są trudniejsze. Pomyśl! Rozwiążemy je teraz. Trudność polega na tym, że jest odwrotnie. Podano nam pewne wartości, ale musimy znaleźć procenty. Na przykład takie zadanie:

„Wcześniej Wasia rozwiązała poprawnie dwa problemy za dwadzieścia procent. Po przestudiowaniu tematu na jednej przydatnej witrynie Vasya zaczęła poprawnie rozwiązywać problemy 16 z 20. O jaki procent Vasya stała się mądrzejsza? Rozważamy 20 rozwiązanych problemów za stuprocentową inteligencję.”

Ponieważ pytanie dotyczy odsetek (a nie rubli, kilogramów, sekund itp.), to zwracamy się do zainteresowania. Dowiedz się, ile procent Wasya rozwiązał zanim zastanawiasz się jaki procent po - i jest w torbie!

Liczymy. Dwa zadania na 20 - ile to procent? 2 to mniej niż 20 na 10 razy, prawda? Stąd liczba zadań w procentach wyniesie 10 razy mniej niż 100%. Oznacza to, że 100/10 = 10.

10%. Tak, Wasia zdecydowała się trochę ... Na egzaminie nie ma nic do roboty. Ale teraz stał się mądrzejszy i rozwiązuje 16 problemów z 20. Zastanawiamy się, ile to będzie? Ile razy 16 jest mniej niż 20? Na marginesie i nie powiesz... Będziemy musieli się podzielić.

5/4 razy. Cóż, teraz dzielimy 100 przez 5/4:

Tutaj. 80% jest już solidne. A najważniejsze nie jest granica!

Ale to jeszcze nie jest odpowiedź! Ponownie czytamy problem, aby nie popełnić błędu znikąd. Tak, jesteśmy pytani ile procent mądrzejszy Wasia? Cóż, to proste. 80% - 10% = 70%. 70%.

70% to prawidłowa odpowiedź.

Jak widać, w prostych zadaniach wystarczy przełożyć podane wartości na procenty lub podane procenty na wartości, jak wszystko stanie się jasne. Oczywiste jest, że w zadaniu mogą być dodatkowe dzwonki i gwizdki. Co często nie ma nic wspólnego z procentami. Tutaj najważniejsze jest uważne przeczytanie stanu i krok po kroku, powoli rozkładaj układankę. Porozmawiamy o tym w następnym temacie.

Ale jest jedna poważna zasadzka w problemach z odsetkami! Wielu w to wpada, tak... Ta zasadzka wygląda całkiem niewinnie. Na przykład oto zagadka.

„Piękny notatnik kosztował latem 40 rubli. Sprzedający przed rozpoczęciem roku szkolnego podniósł cenę o 25%. Jednak zakup notebooków stał się tak słaby, że obniżył cenę o 10%. I tak tego nie biorą! Musiał obniżyć cenę o kolejne 15%. Tutaj rozpoczął się handel! Jaka była ostateczna cena notebooka?”

Cóż, jak? Podstawowy?

Jeśli szybko i radośnie odpowiedziałeś „40 rubli!”, Wtedy wpadłeś w zasadzkę ...

Sztuczka polega na tym, że procenty są zawsze obliczane od coś .

Więc liczymy. Ile ruble Czy sprzedawca zawyżył cenę? 25% od 40 rubli - to 10 rubli. Oznacza to, że notebook, którego cena wzrosła, zaczął kosztować 50 rubli. To zrozumiałe, prawda?

A teraz musimy obniżyć cenę o 10% z 50 rubli. Od 50, nie 40! 10% z 50 rubli to 5 rubli. W konsekwencji, po pierwszej obniżce ceny, notebook zaczął kosztować 45 rubli.

Rozważamy drugą obniżkę ceny. 15% z 45 rubli ( od 45, a nie 40 czy 50! ) wynosi 6,75 rubla. Dlatego ostateczna cena notebooka to:

45 - 6,75 = 38,25 rubla.

Jak widać zasadzka polega na tym, że odsetki naliczane są za każdym razem od nowej ceny. Od tego ostatniego. Tak jest prawie zawsze. Jeśli problem z sekwencyjnym wzrostem-spadek wartości nie jest podany w postaci zwykłego tekstu, od czego policz procenty, musisz je policzyć od ostatniej wartości. I to prawda. Skąd sprzedawca wie, ile razy ten notebook podrożał, spadł przed nim i ile kosztował na samym początku...

Swoją drogą, teraz możesz pomyśleć, dlaczego ostatnia fraza została napisana w układance o inteligentnej Wasii? Ten: " Liczymy 20 rozwiązanych problemów na stuprocentową inteligencję ”? Wygląda na to, że wszystko jest jasne... Uh-uh... Jak to powiedzieć. Jeśli to zdanie nie istnieje, Wasia może równie dobrze zaliczyć swoje początkowe sukcesy jako 100%. To znaczy dwa rozwiązane problemy. A 16 zadań to osiem razy więcej. Tych. 800%! Vasya będzie mógł całkiem słusznie mówić o własnej mądrości aż 700%!

Możesz też wziąć 16 zadań na 100%. I uzyskaj nową odpowiedź. Również poprawne ...

Stąd wniosek: Najważniejszą rzeczą w zadaniach zainteresowania jest jasne określenie, od którego takiego lub innego procentu należy liczyć.

Nawiasem mówiąc, jest to niezbędne w życiu. Gdzie stosuje się odsetki. W sklepach, bankach, na wszelkiego rodzaju promocjach. A potem oczekujesz 70% zniżki, ale dostajesz 7%. I nie rabaty, ale wyższe ceny… I szczerze mówiąc, przeliczył się.

Cóż, masz pojęcie o procentach w matematyce. Zwróćmy uwagę na najważniejszą rzecz.

Praktyczne porady:

1. W zadaniach dla zainteresowania - przejdź od zainteresowania do określonych wartości. Lub, jeśli to konieczne, od określonych wartości do procentów. Uważnie czytamy zadanie!

2. Studiujemy bardzo uważnie, od czego musisz policzyć procenty. Jeśli nie jest to określone w zwykłym tekście, to z konieczności jest to dorozumiane. Gdy wartość jest zmieniana sekwencyjnie, przyjmuje się, że wartości procentowe pochodzą od ostatniej wartości. Uważnie przeczytaliśmy problem!

3. Po rozwiązaniu problemu ponownie go czytamy. Możliwe, że znalazłeś odpowiedź pośrednią, a nie ostateczną. Uważnie przeczytaliśmy problem!

Rozwiąż wiele problemów związanych z odsetkami. Do konsolidacji, że tak powiem. W tych zadaniach starałem się zebrać wszystkie główne trudności, jakie czekają na decydujące. Te grabie, na które najczęściej się depcze. Tutaj są:

1. Logika elementarna w analizie prostych problemów.

2. Prawidłowy wybór wartości, od której chcesz liczyć procent. Ilu ludzi się na to natknęło! Ale jest bardzo prosta zasada…

3. Procent zainteresowania. To drobiazg, ale to naprawdę żenujące…

4. I jeszcze jeden widły. Połączenie procentów z ułamkami i częściami. Przekładając je na siebie.

„W Olimpiadzie Matematycznej wzięło udział 50 osób. 68% uczniów rozwiązało kilka zadań. 75% z tych, którzy zostali, rozwiązało go umiarkowanie, a reszta - wiele problemów. Ile osób rozwiązało wiele problemów?”

Wskazówka. Jeśli masz uczniów ułamkowych, to źle. Przeczytaj uważnie problem, jest jedno ważne słowo... Kolejny problem:

„Vasya (tak, ten!) Bardzo lubi pączki z dżemem. Które są wypiekane w piekarni, jeden przystanek od domu. Pączki kosztują 15 rubli za sztukę. Mając do dyspozycji 43 ruble, Wasia pojechała autobusem do piekarni za 13 rubli. A w piekarni odbyła się akcja „Rabat na wszystko – 30% !!!”. Pytanie: ile dodatkowych pączków Wasia nie mogła kupić z powodu swojego lenistwa (mógł chodzić pieszo, prawda?) ”

Krótkie zadania.

Ile procent to 4 mniej niż 5?

Ile procent to 5 więcej niż 4?

Długie zadanie ...

Kola dostał pracę na prostej pracy związanej z obliczaniem odsetek. Podczas rozmowy szef z chytrym uśmiechem zaproponował Koli dwie opcje wynagrodzenia. Zgodnie z pierwszą opcją Kola natychmiast otrzymała stawkę 15 000 rubli miesięcznie. Według drugiego Kola, jeśli się zgodzi, przez pierwsze 2 miesiące będzie wypłacana pensja obniżona o 50%. Jak początkujący. Ale wtedy zwiększą jego obniżoną pensję nawet o 80%!

Kola odwiedził jedną przydatną witrynę w Internecie ... Dlatego po namyśle przez sześć sekund, z lekkim uśmiechem, wybrał pierwszą opcję. Szef odwzajemnił uśmiech i ustalił stałą pensję dla Koli na 17 000 rubli.

Pytanie: Ile pieniędzy rocznie (w tysiącach rubli) wygrał Kola podczas tego wywiadu? W porównaniu do najgorszego przypadku? I jeszcze jedno: że cały czas się uśmiechali!?)

Znowu krótkie zadanie.

Znajdź 20% z 50%.

Znowu długo.)

Pociąg ekspresowy 205 „Krasnojarsk – Anapa” zatrzymał się na stacji „Syzran-gorod”. Wasilij i Cyryl poszli do sklepu na dworcu kupić lody dla Leny i hamburgera dla siebie. Kiedy kupili wszystko, czego potrzebowali, sprzątacz sklepu powiedział, że ich pociąg już ruszył ... Wasilij i Kirill pobiegli szybko i szybko i zdołali wskoczyć do wagonu. Pytanie: czy mistrz świata w bieganiu miałby czas na wskoczenie do bryczki w takich warunkach?
Uważamy, że w normalnych warunkach mistrz świata biega o 30% szybciej niż Wasilij i Cyryl. Jednak chęć dogonienia samochodu (był ostatni), poczęstowania Leny lodami i zjedzenia hamburgera, zwiększyła ich prędkość o 20%. A lody z hamburgerem w rękach mistrza i kapciami na nogach zmniejszyłyby jego prędkość o 10%…

Ale problem bez zainteresowania... Ciekawe po co ona tu jest?)

Określ, ile waży 3/4 jabłka, jeśli całe jabłko waży 200 gramów?

I ostatni.

W pociągu pospiesznym nr 205 „Krasnojarsk – Anapa” towarzysze podróży rozwiązali zagadkę hasła. Lena odgadła 2/5 wszystkich słów, a Wasilij odgadł jedną trzecią pozostałych. Następnie Kirill połączył się i rozwiązał 30% całego skanu! Seryozha odgadł ostatnie 5 słów. Ile słów było w słowie skanu? Czy to prawda, że Lena odgadła najwięcej słów?

Odpowiedzi są w tradycyjnym bałaganie i bez nazw jednostek. Gdzie są pączki, gdzie są studenci, gdzie są ruble z zainteresowaniem - to ty sam ...

10; 50; Tak; 4; dwadzieścia; Nie; 54; 2; 25; 150.

Więc jak to jest? Jeśli wszystko do siebie pasuje - gratulacje! Zainteresowanie nie jest twoim problemem. Możesz bezpiecznie iść do pracy w banku.)

Coś jest nie tak? Nie działa? Nie wiesz, jak szybko obliczyć procenty liczby? Nie znasz bardzo prostych i jednoznacznych zasad? Od czego liczyć na przykład odsetki? Albo jak zamienić ułamki na procenty?