Teoria logarytmów z przykładami. Definicja logarytmu, podstawowa tożsamość logarytmiczna

21.03.2022

\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

Wyjaśnijmy to łatwiej. Na przykład \(\log_(2)(8)\) jest równe potędze \(2\) musi zostać podniesione, aby uzyskać \(8\). Z tego jasno wynika, że \(\log_(2)(8)=3\).

Przykłady:	\(\log_(5)(25)=2\)	dlatego \(5^(2)=25\)
	\(\log_(3)(81)=4\)	dlatego \(3^(4)=81\)
	\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)	dlatego \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argument i podstawa logarytmu

Każdy logarytm ma następującą „anatomię”:

Argument logarytmu jest zwykle zapisywany na jego poziomie, a podstawa jest zapisywana w indeksie dolnym bliżej znaku logarytmu. A ten wpis czyta się tak: „logarytm z dwudziestu pięciu do podstawy piątej”.

Jak obliczyć logarytm?

Aby obliczyć logarytm, należy odpowiedzieć na pytanie: do jakiego stopnia należy podnieść podstawę, aby uzyskać argument?

Na przykład, oblicz logarytm: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Do jakiej potęgi trzeba \(4\) podnieść \(4\) aby otrzymać \(16\)? Oczywiście drugi. Dlatego:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Do jakiej potęgi należy podnieść \(\sqrt(5)\), aby uzyskać \(1\)? A w jakim stopniu każda liczba jest jednostką? Oczywiście zero!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Do jakiej potęgi trzeba \(\sqrt(7)\) podnieść \(\sqrt(7)\)? W pierwszym - dowolna liczba w pierwszym stopniu jest sobie równa.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Do jakiej potęgi należy podnieść \(3\), aby uzyskać \(\sqrt(3)\)? Wiemy, że jest to potęga ułamkowa, a zatem pierwiastek kwadratowy jest potęgą \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Przykład : Oblicz logarytm \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Rozwiązanie :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Musimy znaleźć wartość logarytmu, oznaczmy ją jako x. Użyjmy teraz definicji logarytmu: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Leftrightarrow\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Jakie linki \(4\sqrt(2)\) i \(8\)? Dwa, ponieważ obie liczby mogą być reprezentowane przez dwójki: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Po lewej używamy właściwości stopnia: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) i \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Podstawy są równe, przechodzimy do równości wskaźników
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Pomnóż obie strony równania przez \(\frac(2)(5)\)
		Wynikowy pierwiastek jest wartością logarytmu

Odpowiedź : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Dlaczego wymyślono logarytm?

Aby to zrozumieć, rozwiążmy równanie: \(3^(x)=9\). Po prostu dopasuj \(x\), aby równość działała. Oczywiście \(x=2\).

Teraz rozwiąż równanie: \(3^(x)=8\).Ile równa się x? O to chodzi.

Najbardziej pomysłowy powie: „X to trochę mniej niż dwa”. Jak dokładnie należy zapisać ten numer? Aby odpowiedzieć na to pytanie, wymyślili logarytm. Dzięki niemu odpowiedź tutaj można zapisać jako \(x=\log_(3)(8)\).

Chcę podkreślić, że \(\log_(3)(8)\), a także dowolny logarytm to tylko liczba. Tak, wygląda nietypowo, ale jest krótki. Bo gdybyśmy chcieli zapisać go jako ułamek dziesiętny, to wyglądałoby to tak: \(1.892789260714.....\)

Przykład : Rozwiąż równanie \(4^(5x-4)=10\)

Rozwiązanie :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) i \(10\) nie mogą być zredukowane do tej samej podstawy. Więc tutaj nie możesz się obejść bez logarytmu. Użyjmy definicji logarytmu: \(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Odwróć równanie tak, aby x był po lewej stronie
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Przed nami. Przesuń \(4\) w prawo. I nie bój się logarytmu, traktuj go jak normalną liczbę.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Podziel równanie przez 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Oto nasz korzeń. Tak, wygląda to nietypowo, ale odpowiedź nie jest wybrana.

Odpowiedź : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Logarytmy dziesiętne i naturalne

Jak stwierdzono w definicji logarytmu, jego podstawą może być dowolna liczba dodatnia z wyjątkiem jednej \((a>0, a\neq1)\). A wśród wszystkich możliwych podstaw są dwie, które występują tak często, że wynaleziono z nimi specjalną krótką notację dla logarytmów:

Logarytm naturalny: logarytm, którego podstawą jest liczba Eulera \(e\) (równa w przybliżeniu \(2.7182818…\)), a logarytm jest zapisany jako \(\ln(a)\).

Tj, \(\ln(a)\) to to samo co \(\log_(e)(a)\)

Logarytm dziesiętny: logarytm o podstawie 10 zapisywany jest \(\lg(a)\).

Tj, \(\lg(a)\) to to samo co \(\log_(10)(a)\), gdzie \(a\) to pewna liczba.

Podstawowa tożsamość logarytmiczna

Logarytmy mają wiele właściwości. Jedna z nich nazywa się „Podstawowa tożsamość logarytmiczna” i wygląda tak:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Ta właściwość wynika bezpośrednio z definicji. Zobaczmy, jak dokładnie pojawiła się ta formuła.

Przypomnij sobie krótką definicję logarytmu:

jeśli \(a^(b)=c\), to \(\log_(a)(c)=b\)

Oznacza to, że \(b\) jest tym samym co \(\log_(a)(c)\). Następnie możemy zapisać \(\log_(a)(c)\) zamiast \(b\) we wzorze \(a^(b)=c\) . Okazało się, że \(a^(\log_(a)(c))=c\) - główna tożsamość logarytmiczna.

Możesz znaleźć resztę właściwości logarytmów. Za ich pomocą można uprościć i obliczyć wartości wyrażeń z logarytmami, które trudno obliczyć bezpośrednio.

Przykład : Znajdź wartość wyrażenia \(36^(\log_(6)(5))\)

Rozwiązanie :

Odpowiedź : \(25\)

Jak zapisać liczbę jako logarytm?

Jak wspomniano powyżej, każdy logarytm to tylko liczba. Prawdą jest również odwrotność: dowolna liczba może być zapisana jako logarytm. Na przykład wiemy, że \(\log_(2)(4)\) jest równe dwa. Następnie możesz napisać \(\log_(2)(4)\) zamiast dwóch.

Ale \(\log_(3)(9)\) jest również równe \(2\), więc możesz również napisać \(2=\log_(3)(9)\) . Podobnie z \(\log_(5)(25)\), oraz z \(\log_(9)(81)\) itd. Oznacza to, że okazuje się

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Tak więc, jeśli trzeba, możemy zapisać te dwa jako logarytm z dowolną podstawą w dowolnym miejscu (nawet w równaniu, nawet w wyrażeniu, nawet w nierówności) - po prostu napisz kwadratową podstawę jako argument.

Tak samo jest z trójką - można ją zapisać jako \(\log_(2)(8)\), lub jako \(\log_(3)(27)\), lub jako \(\log_(4)( 64) \) ... Tutaj piszemy bazę w kostce jako argument:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

A z czterema:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

A z minusem jeden:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

A z jedną trzecią:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Dowolna liczba \(a\) może być reprezentowana jako logarytm o podstawie \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Przykład : Znajdź wartość wyrażenia \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Rozwiązanie :

Odpowiedź : \(1\)

podstawowe właściwości.

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x:y).

te same podstawy

log6 4 + log6 9.

Teraz trochę skomplikujmy zadanie.

Przykłady rozwiązywania logarytmów

A co, jeśli w podstawie lub argumencie logarytmu jest stopień? Następnie wykładnik tego stopnia można wyciągnąć ze znaku logarytmu według następujących zasad:

Oczywiście wszystkie te reguły mają sens, jeśli przestrzegany jest logarytm ODZ: a > 0, a ≠ 1, x >

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia:

Przejście do nowej fundacji

Niech zostanie podany logarytm logax. Wtedy dla dowolnej liczby c takiej, że c > 0 i c ≠ 1, równość jest prawdziwa:

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia:

Zobacz też:

Podstawowe własności logarytmu

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Wykładnik wynosi 2,718281828…. Aby zapamiętać wykładnik, możesz przestudiować zasadę: wykładnik wynosi 2,7 i dwa razy w roku urodzenia Lwa Tołstoja.

Podstawowe własności logarytmów

Znając tę zasadę, poznasz zarówno dokładną wartość wykładnika, jak i datę urodzenia Lwa Tołstoja.

Przykłady logarytmów

Weź logarytm wyrażeń

Przykład 1
ale). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Według właściwości 3,5 obliczamy

Przykład 2 Znajdź x jeśli

Przykład 3. Niech zostanie podana wartość logarytmów

Oblicz log(x) jeśli

Podstawowe własności logarytmów

Logarytmy, jak każdą liczbę, można dodawać, odejmować i konwertować w każdy możliwy sposób. Ale ponieważ logarytmy nie są całkiem zwykłymi liczbami, istnieją tutaj reguły, które nazywają się podstawowe właściwości.

Zasady te muszą być znane - bez nich nie da się rozwiązać żadnego poważnego problemu logarytmicznego. W dodatku jest ich bardzo mało – wszystkiego można się nauczyć w jeden dzień. Więc zacznijmy.

Dodawanie i odejmowanie logarytmów

Rozważ dwa logarytmy o tej samej podstawie: logax i logay. Następnie można je dodawać i odejmować oraz:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x:y).

Zatem suma logarytmów jest równa logarytmowi iloczynu, a różnica jest logarytmem ilorazu. Uwaga: kluczową kwestią jest tutaj - te same podstawy. Jeśli podstawy są różne, te zasady nie działają!

Te wzory pomogą obliczyć wyrażenie logarytmiczne, nawet jeśli nie są brane pod uwagę jego poszczególne części (patrz lekcja „Co to jest logarytm”). Spójrz na przykłady i zobacz:

Ponieważ podstawy logarytmów są takie same, używamy wzoru sumy:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log2 48 − log2 3.

Zasady są takie same, stosujemy wzór różnicy:
log2 48 − log2 3 = log2 (48:3) = log2 16 = 4.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log3 135 − log3 5.

Znowu podstawy są takie same, więc mamy:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Jak widać, oryginalne wyrażenia składają się ze „złych” logarytmów, które nie są rozpatrywane oddzielnie. Ale po przekształceniach okazują się całkiem normalne liczby. Wiele testów opiera się na tym fakcie. Tak, kontrola - podobne wyrażenia z całą powagą (czasami - praktycznie bez zmian) są oferowane na egzaminie.

Usunięcie wykładnika z logarytmu

Łatwo zauważyć, że ostatnia zasada jest zgodna z ich dwoma pierwszymi. Ale i tak lepiej o tym pamiętać - w niektórych przypadkach znacznie zmniejszy to ilość obliczeń.

Oczywiście wszystkie te reguły mają sens, jeśli przestrzegany jest logarytm ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. I jeszcze jedno: naucz się stosować wszystkie formuły nie tylko od lewej do prawej, ale także odwrotnie, tj. możesz wprowadzić liczby przed znakiem logarytmu do samego logarytmu. To jest najczęściej wymagane.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log7 496.

Pozbądźmy się stopnia w argumencie według pierwszej formuły:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia:

Zauważ, że mianownik jest logarytmem, którego podstawą i argumentem są dokładne potęgi: 16 = 24; 49 = 72. Mamy:

Myślę, że ostatni przykład wymaga wyjaśnienia. Gdzie podziały się logarytmy? Do ostatniej chwili pracujemy tylko z mianownikiem.

Wzory logarytmów. Logarytmy to przykłady rozwiązań.

Przedstawili podstawę i argument stojącego tam logarytmu w postaci stopni i wyjęli wskaźniki – otrzymali ułamek „trzypiętrowy”.

Spójrzmy teraz na główną frakcję. Licznik i mianownik mają ten sam numer: log2 7. Ponieważ log2 7 ≠ 0 możemy zmniejszyć ułamek - w mianowniku pozostanie 2/4. Zgodnie z zasadami arytmetyki czwórkę można przenieść do licznika, co zostało zrobione. Rezultatem jest odpowiedź: 2.

Przejście do nowej fundacji

Mówiąc o zasadach dodawania i odejmowania logarytmów, szczególnie podkreśliłem, że działają one tylko z tymi samymi podstawami. A jeśli podstawy są różne? A jeśli nie są to dokładne potęgi o tej samej liczbie?

Na ratunek przychodzą formuły przejścia do nowej bazy. Formułujemy je w postaci twierdzenia:

Niech zostanie podany logarytm logax. Wtedy dla dowolnej liczby c takiej, że c > 0 i c ≠ 1, równość jest prawdziwa:

W szczególności, jeśli postawimy c = x, otrzymamy:

Z drugiej formuły wynika, że podstawę i argument logarytmu można zamienić, ale całe wyrażenie jest „odwrócone”, tj. logarytm jest w mianowniku.

Wzory te rzadko występują w zwykłych wyrażeniach liczbowych. Ocenę, jak wygodne są one, można ocenić tylko przy rozwiązywaniu równań logarytmicznych i nierówności.

Są jednak zadania, których w ogóle nie da się rozwiązać, chyba że przeniesiemy się do nowej fundacji. Rozważmy kilka z nich:

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log5 16 log2 25.

Zauważ, że argumenty obu logarytmów są dokładnymi wykładnikami. Wyjmijmy wskaźniki: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Teraz odwróćmy drugi logarytm:

Ponieważ iloczyn nie zmienia się z permutacji czynników, spokojnie pomnożyliśmy cztery i dwa, a następnie obliczyliśmy logarytmy.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log9 100 lg 3.

Podstawą i argumentem pierwszego logarytmu są dokładne potęgi. Zapiszmy to i pozbądźmy się wskaźników:

Pozbądźmy się teraz logarytmu dziesiętnego, przechodząc do nowej podstawy:

Podstawowa tożsamość logarytmiczna

Często w procesie rozwiązywania wymagane jest przedstawienie liczby jako logarytmu do danej podstawy. W takim przypadku pomogą nam formuły:

W pierwszym przypadku liczba n staje się wykładnikiem w argumencie. Liczba n może być absolutnie dowolna, ponieważ jest to po prostu wartość logarytmu.

Druga formuła jest właściwie sparafrazowaną definicją. Nazywa się to tak:

Rzeczywiście, co się stanie, jeśli liczba b zostanie podniesiona do takiego stopnia, że liczba b w tym stopniu da liczbę a? Zgadza się: to ten sam numer a. Przeczytaj uważnie ten akapit ponownie - wiele osób „wisi” na nim.

Podobnie jak nowe formuły konwersji bazowej, podstawowa tożsamość logarytmiczna jest czasami jedynym możliwym rozwiązaniem.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia:

Zauważ, że log25 64 = log5 8 - po prostu wyjąłem kwadrat z podstawy i argument logarytmu. Biorąc pod uwagę zasady mnożenia potęg o tej samej podstawie, otrzymujemy:

Jeśli ktoś nie wie, to było prawdziwe zadanie z Unified State Examination 🙂

Jednostka logarytmiczna i zero logarytmiczne

Na zakończenie podam dwie tożsamości, które trudno nazwać własnościami - są to raczej konsekwencje definicji logarytmu. Ciągle znajdują się w problemach i, co zaskakujące, stwarzają problemy nawet „zaawansowanym” studentom.

logaa = 1 jest. Pamiętaj raz na zawsze: logarytm do dowolnej podstawy a z samej tej podstawy jest równy jeden.
loga 1 = 0 jest. Podstawą a może być dowolna, ale jeśli argument jest jeden, logarytm wynosi zero! Ponieważ a0 = 1 jest bezpośrednią konsekwencją definicji.

To wszystkie właściwości. Pamiętaj, aby przećwiczyć wprowadzanie ich w życie! Pobierz ściągawkę na początku lekcji, wydrukuj ją i rozwiąż problemy.

Zobacz też:

Logarytm liczby b do podstawy a oznacza wyrażenie. Obliczenie logarytmu oznacza znalezienie takiej potęgi x(), przy której równość jest prawdziwa

Podstawowe własności logarytmu

Powyższe własności muszą być znane, gdyż na ich podstawie prawie wszystkie problemy i przykłady rozwiązywane są w oparciu o logarytmy. Pozostałe egzotyczne właściwości można wyprowadzić za pomocą matematycznych manipulacji tymi wzorami

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Przy obliczaniu wzorów na sumę i różnicę logarytmów (3.4) spotyka się dość często. Pozostałe są nieco złożone, ale w wielu zadaniach są niezbędne do uproszczenia złożonych wyrażeń i obliczenia ich wartości.

Typowe przypadki logarytmów

Niektóre z powszechnych logarytmów to te, w których podstawą jest nawet dziesięć, wykładnicze lub dwójkowe.
Logarytm o podstawie dziesiątej jest zwykle nazywany logarytmem o podstawie dziesiątej i jest po prostu oznaczany jako lg(x).

Z zapisu widać, że w zapisie nie ma podstaw. Na przykład

Logarytm naturalny to logarytm, którego podstawą jest wykładnik (oznaczony ln(x)).

Wykładnik wynosi 2,718281828…. Aby zapamiętać wykładnik, możesz przestudiować zasadę: wykładnik wynosi 2,7 i dwa razy w roku urodzenia Lwa Tołstoja. Znając tę zasadę, poznasz zarówno dokładną wartość wykładnika, jak i datę urodzenia Lwa Tołstoja.

Kolejną ważną podstawą dwa logarytm jest

Pochodna logarytmu funkcji jest równa jedynce podzielonej przez zmienną

Logarytm całkowy lub pierwotna jest zdeterminowany przez zależność

Powyższy materiał wystarczy do rozwiązania szerokiej klasy problemów związanych z logarytmami i logarytmami. Aby przyswoić materiał, podam tylko kilka typowych przykładów z programu szkolnego i uczelni.

Przykłady logarytmów

Weź logarytm wyrażeń

Przykład 1
ale). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Według właściwości 3,5 obliczamy

2.
Z różnicowej własności logarytmów mamy

3.
Korzystając z właściwości 3.5 znajdujemy

Pozornie złożone wyrażenie wykorzystujące szereg reguł zostaje uproszczone do postaci

Znajdowanie wartości logarytmicznych

Przykład 2 Znajdź x jeśli

Rozwiązanie. Do obliczeń stosujemy właściwości 5 i 13 do ostatniego terminu

Zastąp w ewidencji i opłakuj

Ponieważ podstawy są równe, zrównujemy wyrażenia

Logarytmy. Pierwszy poziom.

Niech zostanie podana wartość logarytmów

Oblicz log(x) jeśli

Rozwiązanie: weź logarytm zmiennej, aby zapisać logarytm przez sumę terminów

To dopiero początek znajomości logarytmów i ich własności. Ćwicz obliczenia, wzbogacaj swoje umiejętności praktyczne - już wkrótce zdobyta wiedza będzie Ci potrzebna do rozwiązywania równań logarytmicznych. Po przestudiowaniu podstawowych metod rozwiązywania takich równań poszerzymy Twoją wiedzę o inny równie ważny temat - nierówności logarytmiczne ...

Podstawowe własności logarytmów

Dodawanie i odejmowanie logarytmów

Rozważ dwa logarytmy o tej samej podstawie: logax i logay. Następnie można je dodawać i odejmować oraz:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x:y).

Te wzory pomogą obliczyć wyrażenie logarytmiczne, nawet jeśli nie są brane pod uwagę jego poszczególne części (patrz lekcja „Co to jest logarytm”). Spójrz na przykłady i zobacz:

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log6 4 + log6 9.

Ponieważ podstawy logarytmów są takie same, używamy wzoru sumy:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log2 48 − log2 3.

Zasady są takie same, stosujemy wzór różnicy:
log2 48 − log2 3 = log2 (48:3) = log2 16 = 4.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log3 135 − log3 5.

Znowu podstawy są takie same, więc mamy:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Usunięcie wykładnika z logarytmu

Teraz trochę skomplikujmy zadanie. A co, jeśli w podstawie lub argumencie logarytmu jest stopień? Następnie wykładnik tego stopnia można wyciągnąć ze znaku logarytmu według następujących zasad:

Łatwo zauważyć, że ostatnia zasada jest zgodna z ich dwoma pierwszymi. Ale i tak lepiej o tym pamiętać - w niektórych przypadkach znacznie zmniejszy to ilość obliczeń.

Jak rozwiązywać logarytmy

To jest najczęściej wymagane.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log7 496.

Pozbądźmy się stopnia w argumencie według pierwszej formuły:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia:

Zauważ, że mianownik jest logarytmem, którego podstawą i argumentem są dokładne potęgi: 16 = 24; 49 = 72. Mamy:

Myślę, że ostatni przykład wymaga wyjaśnienia. Gdzie podziały się logarytmy? Do ostatniej chwili pracujemy tylko z mianownikiem. Przedstawili podstawę i argument stojącego tam logarytmu w postaci stopni i wyjęli wskaźniki - otrzymali ułamek „trzypiętrowy”.

Przejście do nowej fundacji

Na ratunek przychodzą formuły przejścia do nowej bazy. Formułujemy je w postaci twierdzenia:

Niech zostanie podany logarytm logax. Wtedy dla dowolnej liczby c takiej, że c > 0 i c ≠ 1, równość jest prawdziwa:

W szczególności, jeśli postawimy c = x, otrzymamy:

Z drugiej formuły wynika, że podstawę i argument logarytmu można zamienić, ale całe wyrażenie jest „odwrócone”, tj. logarytm jest w mianowniku.

Wzory te rzadko występują w zwykłych wyrażeniach liczbowych. Ocenę, jak wygodne są one, można ocenić tylko przy rozwiązywaniu równań logarytmicznych i nierówności.

Są jednak zadania, których w ogóle nie da się rozwiązać, chyba że przeniesiemy się do nowej fundacji. Rozważmy kilka z nich:

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log5 16 log2 25.

Zauważ, że argumenty obu logarytmów są dokładnymi wykładnikami. Wyjmijmy wskaźniki: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Teraz odwróćmy drugi logarytm:

Ponieważ iloczyn nie zmienia się z permutacji czynników, spokojnie pomnożyliśmy cztery i dwa, a następnie obliczyliśmy logarytmy.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log9 100 lg 3.

Podstawą i argumentem pierwszego logarytmu są dokładne potęgi. Zapiszmy to i pozbądźmy się wskaźników:

Pozbądźmy się teraz logarytmu dziesiętnego, przechodząc do nowej podstawy:

Podstawowa tożsamość logarytmiczna

Często w procesie rozwiązywania wymagane jest przedstawienie liczby jako logarytmu do danej podstawy. W takim przypadku pomogą nam formuły:

W pierwszym przypadku liczba n staje się wykładnikiem w argumencie. Liczba n może być absolutnie dowolna, ponieważ jest to po prostu wartość logarytmu.

Druga formuła jest właściwie sparafrazowaną definicją. Nazywa się to tak:

Podobnie jak nowe formuły konwersji bazowej, podstawowa tożsamość logarytmiczna jest czasami jedynym możliwym rozwiązaniem.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia:

Zauważ, że log25 64 = log5 8 - po prostu wyjąłem kwadrat z podstawy i argument logarytmu. Biorąc pod uwagę zasady mnożenia potęg o tej samej podstawie, otrzymujemy:

Jeśli ktoś nie wie, to było prawdziwe zadanie z Unified State Examination 🙂

Jednostka logarytmiczna i zero logarytmiczne

logaa = 1 jest. Pamiętaj raz na zawsze: logarytm do dowolnej podstawy a z samej tej podstawy jest równy jeden.
loga 1 = 0 jest. Podstawą a może być dowolna, ale jeśli argument jest jeden, logarytm wynosi zero! Ponieważ a0 = 1 jest bezpośrednią konsekwencją definicji.

To wszystkie właściwości. Pamiętaj, aby przećwiczyć wprowadzanie ich w życie! Pobierz ściągawkę na początku lekcji, wydrukuj ją i rozwiąż problemy.

Logarytm z b (b > 0) do podstawy a (a > 0, a ≠ 1) jest wykładnikiem, do którego należy podnieść liczbę a, aby uzyskać b.

Logarytm o podstawie 10 z b można zapisać jako log(b), a logarytm o podstawie e (logarytm naturalny) - W(b).

Często używane przy rozwiązywaniu problemów z logarytmami:

Własności logarytmów

Istnieją cztery główne własności logarytmów.

Niech a > 0, a ≠ 1, x > 0 i y > 0.

Własność 1. Logarytm iloczynu

Logarytm produktu równa się sumie logarytmów:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Własność 2. Logarytm ilorazu

Logarytm ilorazu jest równa różnicy logarytmów:

log a (x / y) = log a x – log a y

Własność 3. Logarytm stopnia

logarytm stopnia jest równy iloczynowi stopnia i logarytmu:

Jeżeli podstawa logarytmu jest wykładnikiem, to obowiązuje inna formuła:

Własność 4. Logarytm pierwiastka

Własność tę można otrzymać z własności logarytmu stopnia, ponieważ pierwiastek n-tego stopnia jest równy potędze 1/n:

Wzór na przejście od logarytmu o jednej podstawie do logarytmu o innej podstawie

Formuła ta jest również często używana przy rozwiązywaniu różnych zadań dla logarytmów:

Szczególny przypadek:

Porównanie logarytmów (nierówności)

Załóżmy, że mamy 2 funkcje f(x) i g(x) pod logarytmami o tych samych podstawach i istnieje między nimi znak nierówności:

Aby je porównać, musisz najpierw spojrzeć na podstawę logarytmów a:

Jeśli a > 0, to f(x) > g(x) > 0
Jeśli 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Jak rozwiązywać problemy z logarytmami: przykłady

Zadania z logarytmami zawarte w USE z matematyki dla klasy 11 w zadaniu 5 i zadaniu 7, zadania z rozwiązaniami można znaleźć na naszej stronie internetowej w odpowiednich sekcjach. Również zadania z logarytmami znajdują się w banku zadań matematycznych. Wszystkie przykłady można znaleźć, przeszukując witrynę.

Co to jest logarytm

Logarytmy zawsze były uważane za trudny temat na szkolnym kursie matematyki. Istnieje wiele różnych definicji logarytmu, ale z jakiegoś powodu większość podręczników używa najbardziej złożonej i niefortunnej z nich.

Logarytm zdefiniujemy w prosty i przejrzysty sposób. Stwórzmy do tego tabelę:

Mamy więc moc dwojga.

Logarytmy - właściwości, wzory, jak rozwiązywać

Jeśli weźmiesz liczbę z dolnej linii, możesz łatwo znaleźć siłę, do której musisz podnieść dwójkę, aby uzyskać tę liczbę. Na przykład, aby uzyskać 16, musisz podnieść dwa do czwartej potęgi. Aby uzyskać 64, musisz podnieść dwa do szóstej potęgi. Widać to z tabeli.

A teraz - właściwie definicja logarytmu:

podstawa a argumentu x jest potęgą, do której należy podnieść liczbę a, aby otrzymać liczbę x.

Notacja: log a x \u003d b, gdzie a jest podstawą, x jest argumentem, b jest w rzeczywistości równa logarytmowi.

Na przykład 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (logarytm o podstawie 2 z 8 to trzy, ponieważ 2 3 = 8). Równie dobrze może logować 2 64 = 6, ponieważ 2 6 = 64.

Wywołuje się operację znajdowania logarytmu liczby do danej podstawy. Dodajmy więc nowy wiersz do naszej tabeli:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Niestety nie wszystkie logarytmy są tak łatwo brane pod uwagę. Na przykład spróbuj znaleźć log 2 5. Liczby 5 nie ma w tabeli, ale logika podpowiada, że logarytm będzie leżał gdzieś na przedziale. Ponieważ 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Takie liczby nazywa się irracjonalnymi: liczby po przecinku można pisać w nieskończoność i nigdy się nie powtarzają. Jeśli logarytm okaże się irracjonalny, lepiej zostawić to tak: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Ważne jest, aby zrozumieć, że logarytm jest wyrażeniem z dwiema zmiennymi (podstawą i argumentem). Na początku wiele osób myli się, gdzie jest podstawa, a gdzie jest argument. Aby uniknąć irytujących nieporozumień, spójrz na zdjęcie:

Przed nami nic innego jak definicja logarytmu. Pamiętać: logarytm to potęga, do którego trzeba podnieść podstawę, aby uzyskać argument. Jest to podstawa podniesiona do potęgi - na zdjęciu jest podświetlona na czerwono. Okazuje się, że podstawa jest zawsze na dole! Tę cudowną zasadę mówię moim uczniom już na pierwszej lekcji – i nie ma zamieszania.

Jak liczyć logarytmy

Ustaliliśmy definicję - pozostaje nauczyć się liczyć logarytmy, tj. pozbyć się znaku "dziennika". Na początek zauważamy, że z definicji wynikają dwa ważne fakty:

Argument i podstawa muszą być zawsze większe od zera. Wynika to z definicji stopnia przez wykładnik wymierny, do którego sprowadza się definicja logarytmu.
Podstawa musi być inna niż jedność, ponieważ jednostka do dowolnej potęgi nadal jest jednostką. Z tego powodu pytanie „do jakiej władzy należy podnieść jednego, aby uzyskać dwóch” jest bez znaczenia. Nie ma takiego stopnia!

Takie ograniczenia nazywają się Prawidłowy zakres(ODZ). Okazuje się, że ODZ logarytmu wygląda tak: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Zauważ, że nie ma żadnych ograniczeń co do liczby b (wartość logarytmu), która nie jest narzucona. Na przykład logarytm może być również ujemny: log 2 0,5 = −1, ponieważ 0,5 = 2-1.

Jednak teraz rozważamy tylko wyrażenia liczbowe, w których nie jest wymagana znajomość ODZ logarytmu. Wszystkie ograniczenia zostały już uwzględnione przez kompilatorów problemów. Ale kiedy w grę wchodzą równania logarytmiczne i nierówności, wymagania DHS staną się obowiązkowe. Rzeczywiście, w podstawie i argumencie mogą znajdować się bardzo mocne konstrukcje, które niekoniecznie odpowiadają powyższym ograniczeniom.

Rozważmy teraz ogólny schemat obliczania logarytmów. Składa się z trzech kroków:

Wyraź podstawę a i argument x jako potęgę o najmniejszej możliwej podstawie większej niż jeden. Po drodze lepiej pozbyć się ułamków dziesiętnych;
Rozwiąż równanie dla zmiennej b: x = a b ;
Wynikowa liczba b będzie odpowiedzią.

To wszystko! Jeśli logarytm okaże się irracjonalny, będzie to widoczne już na pierwszym etapie. Wymóg, aby podstawa była większa niż jeden, jest bardzo istotny: zmniejsza to prawdopodobieństwo błędu i znacznie upraszcza obliczenia. Podobnie z ułamkami dziesiętnymi: jeśli od razu przekonwertujesz je na zwykłe, będzie wiele razy mniej błędów.

Zobaczmy, jak ten schemat działa na konkretnych przykładach:

Zadanie. Oblicz logarytm: log 5 25

Przedstawmy podstawę i argument jako potęgę piątki: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Zróbmy i rozwiążmy równanie:
log 5 25 = b (5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

Otrzymano odpowiedź: 2.

Zadanie. Oblicz logarytm:

Zadanie. Oblicz logarytm: log 4 64

Przedstawmy podstawę i argument jako potęgę dwójki: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
Zróbmy i rozwiążmy równanie:
log 4 64 = b (2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
Otrzymano odpowiedź: 3.

Zadanie. Oblicz logarytm: log 16 1

Przedstawmy podstawę i argument jako potęgę dwójki: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
Zróbmy i rozwiążmy równanie:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
Otrzymano odpowiedź: 0.

Zadanie. Oblicz logarytm: log 7 14

Przedstawmy podstawę i argument jako potęgę liczby siedem: 7 = 7 1 ; 14 nie jest reprezentowany jako potęga siódemki, ponieważ 7 1< 14 < 7 2 ;
Z poprzedniego paragrafu wynika, że logarytm nie jest brany pod uwagę;
Odpowiedź jest bez zmian: log 7 14.

Mała uwaga na temat ostatniego przykładu. Jak upewnić się, że liczba nie jest dokładną potęgą innej liczby? Bardzo proste - wystarczy rozłożyć to na czynniki pierwsze. Jeśli w ekspansji są co najmniej dwa różne czynniki, liczba nie jest dokładną potęgą.

Zadanie. Dowiedz się, czy dokładne potęgi liczby to: 8; 48; 81; 35; czternaście.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - dokładny stopień, ponieważ jest tylko jeden mnożnik;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 nie jest dokładną potęgą, ponieważ istnieją dwa czynniki: 3 i 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - dokładny stopień;
35 = 7 5 - znowu niezbyt dokładny stopień;
14 \u003d 7 2 - znowu nie dokładny stopień;

Zauważ również, że same liczby pierwsze są zawsze dokładnymi potęgami samych siebie.

Logarytm dziesiętny

Niektóre logarytmy są tak powszechne, że mają specjalną nazwę i oznaczenie.

argumentu x jest logarytmem o podstawie 10, tj. potęga, do której należy podnieść 10, aby uzyskać x. Oznaczenie: lgx.

Na przykład log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - itd.

Od teraz, gdy w podręczniku pojawi się fraza typu „Find lg 0.01”, wiedz, że to nie jest literówka. To jest logarytm dziesiętny. Jeśli jednak nie jesteś przyzwyczajony do takiego oznaczenia, zawsze możesz je przepisać:
log x = log 10 x

Wszystko, co jest prawdziwe dla zwykłych logarytmów, jest również prawdziwe dla ułamków dziesiętnych.

naturalny logarytm

Jest jeszcze inny logarytm, który ma swój własny zapis. W pewnym sensie jest nawet ważniejszy niż dziesiętny. To jest logarytm naturalny.

argumentu x jest logarytmem podstawy e, tj. potęga, do której należy podnieść liczbę e, aby otrzymać liczbę x. Oznaczenie: lnx.

Wielu zapyta: jaka jest liczba e? Jest to liczba niewymierna, jej dokładnej wartości nie można znaleźć i zapisać. Oto tylko pierwsze liczby:
e = 2,718281828459…

Nie będziemy zagłębiać się w to, co to za liczba i dlaczego jest potrzebna. Pamiętaj tylko, że e jest podstawą logarytmu naturalnego:
ln x = log e x

Zatem ln e = 1; loge 2 = 2; ln e 16 = 16 - itd. Z drugiej strony ln 2 jest liczbą niewymierną. Ogólnie rzecz biorąc, logarytm naturalny dowolnej liczby wymiernej jest niewymierny. Z wyjątkiem, oczywiście, jedności: ln 1 = 0.

W przypadku logarytmów naturalnych obowiązują wszystkie reguły prawdziwe dla logarytmów zwykłych.

Zobacz też:

Logarytm. Własności logarytmu (potęga logarytmu).

Jak przedstawić liczbę jako logarytm?

Używamy definicji logarytmu.

Logarytm jest wskaźnikiem potęgi, do której należy podnieść podstawę, aby uzyskać liczbę pod znakiem logarytmu.

Tak więc, aby reprezentować pewną liczbę c jako logarytm o podstawie a, konieczne jest postawienie stopnia pod znakiem logarytmu o tej samej podstawie co podstawa logarytmu i wpisanie tej liczby c do wykładnika :

W postaci logarytmu możesz przedstawić absolutnie dowolną liczbę - dodatnią, ujemną, całkowitą, ułamkową, wymierną, niewymierną:

Aby nie pomylić a i c w stresujących warunkach testu lub egzaminu, możesz użyć następującej zasady do zapamiętania:

to, co jest na dole, schodzi w dół, to, co na górze, wznosi się.

Na przykład chcesz przedstawić liczbę 2 jako logarytm o podstawie 3.

Mamy dwie liczby - 2 i 3. Te liczby to podstawa i wykładnik, które zapiszemy pod logarytmem. Pozostaje ustalić, które z tych liczb należy zapisać w podstawie stopnia, a które w górę w wykładniku.

Podstawa 3 w zapisie logarytmu znajduje się na dole, co oznacza, że gdy przedstawimy dwójkę jako logarytm o podstawie 3, zapiszemy również 3 do podstawy.

2 jest wyższe niż 3. A w notacji stopnia piszemy dwa nad trzema, czyli w wykładniku:

Logarytmy. Pierwszy poziom.

Logarytmy

logarytm Liczba dodatnia b z powodu a, gdzie a > 0, a 1, jest wykładnikiem, do którego należy podnieść liczbę. a, Pozyskać b.

Definicja logarytmu można krótko napisać tak:

Ta równość obowiązuje dla b > 0, a > 0, a 1. Jest zwykle nazywany tożsamość logarytmiczna.
Akcja znajdowania logarytmu liczby nazywa się logarytm.

Własności logarytmów:

Logarytm iloczynu:

Logarytm ilorazu z dzielenia:

Wymiana podstawy logarytmu:

Logarytm stopnia:

logarytm pierwiastkowy:

Logarytm z podstawą mocy:

Logarytmy dziesiętne i naturalne.

Logarytm dziesiętny liczby nazywamy logarytmem dziesiętnym tej liczby i piszemy lg b
naturalny logarytm liczby przywołują logarytm tej liczby do podstawy mi, gdzie mi jest liczbą niewymierną, w przybliżeniu równą 2,7. W tym samym czasie piszą ln b.

Inne uwagi dotyczące algebry i geometrii

Podstawowe własności logarytmów

Dodawanie i odejmowanie logarytmów

Rozważmy dwa logarytmy o tej samej podstawie: log ax i log ay. Następnie można je dodawać i odejmować oraz:

log a x + log a y = log a (x y);
log a x - log a y = log a (x: y).

Te wzory pomogą obliczyć wyrażenie logarytmiczne, nawet jeśli nie są brane pod uwagę jego poszczególne części (patrz lekcja „Co to jest logarytm”). Spójrz na przykłady i zobacz:

log 6 4 + log 6 9.

Ponieważ podstawy logarytmów są takie same, używamy wzoru sumy:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log 2 48 − log 2 3.

Zasady są takie same, stosujemy wzór różnicy:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log 3 135 − log 3 5.

Znowu podstawy są takie same, więc mamy:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Usunięcie wykładnika z logarytmu

Łatwo zauważyć, że ostatnia zasada jest zgodna z ich dwoma pierwszymi. Ale i tak lepiej o tym pamiętać - w niektórych przypadkach znacznie zmniejszy to ilość obliczeń.

Jak rozwiązywać logarytmy

To jest najczęściej wymagane.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log 7 49 6 .

Pozbądźmy się stopnia w argumencie według pierwszej formuły:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia:

Zauważ, że mianownik jest logarytmem, którego podstawą i argumentem są dokładne potęgi: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Mamy:

Spójrzmy teraz na główną frakcję. Licznik i mianownik mają tę samą liczbę: log 2 7. Ponieważ log 2 7 0, możemy zmniejszyć ułamek - w mianowniku pozostanie 2/4. Zgodnie z zasadami arytmetyki czwórkę można przenieść do licznika, co zostało zrobione. Rezultatem jest odpowiedź: 2.

Przejście do nowej fundacji

Na ratunek przychodzą formuły przejścia do nowej bazy. Formułujemy je w postaci twierdzenia:

Niech logarytm logarytmuje x. Wtedy dla dowolnej liczby c takiej, że c > 0 i c ≠ 1, równość jest prawdziwa:

W szczególności, jeśli postawimy c = x, otrzymamy:

Z drugiej formuły wynika, że podstawę i argument logarytmu można zamienić, ale całe wyrażenie jest „odwrócone”, tj. logarytm jest w mianowniku.

Wzory te rzadko występują w zwykłych wyrażeniach liczbowych. Ocenę, jak wygodne są one, można ocenić tylko przy rozwiązywaniu równań logarytmicznych i nierówności.

Są jednak zadania, których w ogóle nie da się rozwiązać, chyba że przeniesiemy się do nowej fundacji. Rozważmy kilka z nich:

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log 5 16 log 2 25.

Zauważ, że argumenty obu logarytmów są dokładnymi wykładnikami. Wyjmijmy wskaźniki: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;

Teraz odwróćmy drugi logarytm:

Ponieważ iloczyn nie zmienia się z permutacji czynników, spokojnie pomnożyliśmy cztery i dwa, a następnie obliczyliśmy logarytmy.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log 9 100 lg 3.

Podstawą i argumentem pierwszego logarytmu są dokładne potęgi. Zapiszmy to i pozbądźmy się wskaźników:

Pozbądźmy się teraz logarytmu dziesiętnego, przechodząc do nowej podstawy:

Podstawowa tożsamość logarytmiczna

Często w procesie rozwiązywania wymagane jest przedstawienie liczby jako logarytmu do danej podstawy.

W takim przypadku pomogą nam formuły:

W pierwszym przypadku liczba n staje się wykładnikiem w argumencie. Liczba n może być absolutnie dowolna, ponieważ jest to po prostu wartość logarytmu.

Druga formuła jest właściwie sparafrazowaną definicją. Nazywa się to tak:

Podobnie jak nowe formuły konwersji bazowej, podstawowa tożsamość logarytmiczna jest czasami jedynym możliwym rozwiązaniem.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia:

Zauważ, że log 25 64 = log 5 8 - po prostu wyjąłem kwadrat z podstawy i argument logarytmu. Biorąc pod uwagę zasady mnożenia potęg o tej samej podstawie, otrzymujemy:

Jeśli ktoś nie wie, to było prawdziwe zadanie z Unified State Examination 🙂

Jednostka logarytmiczna i zero logarytmiczne

log a = 1 jest. Pamiętaj raz na zawsze: logarytm do dowolnej podstawy a z samej tej podstawy jest równy jeden.
log a 1 = 0 jest. Podstawą a może być dowolna, ale jeśli argument jest jeden, logarytm wynosi zero! Ponieważ 0 = 1 jest bezpośrednią konsekwencją definicji.

To wszystkie właściwości. Pamiętaj, aby przećwiczyć wprowadzanie ich w życie! Pobierz ściągawkę na początku lekcji, wydrukuj ją i rozwiąż problemy.

Dopuszczalny zakres (ODZ) logarytmu

Porozmawiajmy teraz o ograniczeniach (ODZ - obszar dopuszczalnych wartości zmiennych).

Pamiętamy, że na przykład pierwiastek kwadratowy nie może być wzięty z liczb ujemnych; lub jeśli mamy ułamek, to mianownik nie może być równy zero. Podobne ograniczenia obowiązują dla logarytmów:

Oznacza to, że zarówno argument, jak i podstawa muszą być większe od zera, a podstawa nie może być równa.

Dlaczego?

Zacznijmy prosto: powiedzmy to. Wtedy np. liczba nie istnieje, bo bez względu na to, jaki stopień podnosimy, zawsze się okazuje. Co więcej, nie istnieje dla żadnego. Ale jednocześnie może być równa wszystkim (z tego samego powodu - jest równa w dowolnym stopniu). Dlatego obiekt nie jest interesujący i został po prostu wyrzucony z matematyki.

Podobny problem mamy w przypadku: w jakimkolwiek stopniu dodatnim - to, ale nie da się go w ogóle podnieść do potęgi ujemnej, bo wyniknie dzielenie przez zero (przypominam).

Kiedy mamy do czynienia z problemem wzniesienia się do potęgi ułamkowej (która jest reprezentowana jako pierwiastek:. Na przykład (to znaczy), ale nie istnieje.

Dlatego negatywne powody łatwiej wyrzucić niż zadzierać z nimi.

Cóż, skoro podstawa a jest dla nas tylko dodatnia, to bez względu na stopień jej podwyższenia zawsze otrzymamy ściśle dodatnią liczbę. Więc argument musi być pozytywny. Na przykład nie istnieje, ponieważ w żadnym stopniu nie będzie liczbą ujemną (a nawet zero, dlatego też nie istnieje).

W problemach z logarytmami pierwszym krokiem jest zapisanie ODZ. Podam przykład:

Rozwiążmy równanie.

Przypomnijmy definicję: logarytm to potęga, do której należy podnieść podstawę, aby uzyskać argument. A przez warunek ten stopień jest równy: .

Otrzymujemy zwykłe równanie kwadratowe: . Rozwiązujemy to za pomocą twierdzenia Vieta: suma pierwiastków jest równa, a iloczyn. Łatwe do odebrania, są to liczby i.

Ale jeśli od razu weźmiesz i zapiszesz obie te liczby w odpowiedzi, możesz otrzymać 0 punktów za zadanie. Czemu? Zastanówmy się, co się stanie, jeśli podstawimy te pierwiastki do początkowego równania?

Jest to oczywiście fałszywe, ponieważ podstawa nie może być ujemna, to znaczy korzeń to „strona trzecia”.

Aby uniknąć takich nieprzyjemnych sztuczek, musisz zapisać ODZ jeszcze przed przystąpieniem do rozwiązywania równania:

Następnie, po otrzymaniu korzeni i natychmiast odrzucamy korzeń i piszemy poprawną odpowiedź.

Przykład 1(spróbuj rozwiązać to sam) :

Znajdź pierwiastek równania. Jeśli jest kilka pierwiastków, w odpowiedzi wskaż ten mniejszy.

Rozwiązanie:

Przede wszystkim napiszmy ODZ:

Teraz pamiętamy, czym jest logarytm: do jakiej mocy trzeba podnieść podstawę, aby uzyskać argument? W sekundę. Tj:

Wydawałoby się, że mniejszy korzeń jest równy. Ale tak nie jest: według ODZ korzeń jest stroną trzecią, to znaczy w ogóle nie jest korzeniem tego równania. Zatem równanie ma tylko jeden pierwiastek: .

Odpowiedź: .

Podstawowa tożsamość logarytmiczna

Przypomnij sobie ogólną definicję logarytmu:

Podstaw w drugiej równości zamiast logarytmu:

Ta równość nazywa się podstawowa tożsamość logarytmiczna. Chociaż w istocie ta równość jest po prostu napisana inaczej definicja logarytmu:

To jest moc, do której musisz się wznieść, aby uzyskać.

Na przykład:

Rozwiąż następujące przykłady:

Przykład 2

Znajdź wartość wyrażenia.

Rozwiązanie:

Przypomnij sobie regułę z tego rozdziału: to znaczy, gdy podnosząc stopień do potęgi, wskaźniki są mnożone. Zastosujmy to:

Przykład 3

Udowodnij to.

Rozwiązanie:

Własności logarytmów

Niestety zadania nie zawsze są takie proste - często trzeba najpierw uprościć wyrażenie, sprowadzić je do zwykłej postaci, a dopiero potem będzie można obliczyć wartość. Najłatwiej to zrobić wiedząc własności logarytmów. Nauczmy się więc podstawowych własności logarytmów. Udowodnię każdą z nich, bo każdą regułę łatwiej zapamiętać, jeśli wiesz, skąd się wzięła.

Należy pamiętać o tych wszystkich własnościach, bez których większości problemów z logarytmami nie da się rozwiązać.

A teraz bardziej szczegółowo o wszystkich właściwościach logarytmów.

Właściwość 1:

Dowód:

Niech więc.

Mamy: , h.t.d.

Własność 2: Suma logarytmów

Suma logarytmów o tej samej podstawie jest równa logarytmowi iloczynu: .

Dowód:

Niech więc. Niech więc.

Przykład: Znajdź wartość wyrażenia: .

Rozwiązanie: .

Formuła, której się właśnie nauczyłeś, pomaga uprościć sumę logarytmów, a nie różnicę, tak że tych logarytmów nie można od razu połączyć. Ale możesz zrobić odwrotnie – „rozbić” pierwszy logarytm na dwie części: A oto obiecane uproszczenie:
.
Dlaczego jest to potrzebne? Na przykład: jakie to ma znaczenie?

Teraz to oczywiste.

Ale już ułatw sobie:

Zadania:

Odpowiedzi:

Właściwość 3: Różnica logarytmów:

Dowód:

Wszystko jest dokładnie takie samo jak w paragrafie 2:

Niech więc.

Niech więc. Mamy:

Przykład z ostatniego punktu jest teraz jeszcze prostszy:

Bardziej skomplikowany przykład: . Zgadnij, jak się zdecydować?

W tym miejscu należy zauważyć, że nie mamy jednego wzoru na logarytmy do kwadratu. To jest coś w rodzaju wyrażenia - nie da się tego od razu uprościć.

Odejdźmy zatem od wzorów o logarytmach i zastanówmy się, jakich wzorów używamy w matematyce najczęściej? Od 7 klasy!

Ten - . Musisz przyzwyczaić się do tego, że są wszędzie! Znajdują się w problemach wykładniczych, trygonometrycznych i irracjonalnych. Dlatego należy o nich pamiętać.

Jeśli przyjrzysz się bliżej pierwszym dwóm terminom, stanie się jasne, że jest to różnica kwadratów:

Odpowiedź do sprawdzenia:

Uprość się.

Przykłady

Odpowiedzi.

Własność 4: Wyprowadzenie wykładnika z argumentu logarytmu:

Dowód: I tu też posługujemy się definicją logarytmu: niech więc. Mamy: , h.t.d.

Możesz zrozumieć tę zasadę w ten sposób:

Oznacza to, że stopień argumentacji jest brany przed logarytm jako współczynnik.

Przykład: Znajdź wartość wyrażenia.

Rozwiązanie: .

Zdecyduj sam:

Przykłady:

Odpowiedzi:

Własność 5: Wyprowadzenie wykładnika z podstawy logarytmu:

Dowód: Niech więc.

Mamy: , h.t.d.
Pamiętaj: od fusy stopień jest renderowany jako odwracać numer, w przeciwieństwie do poprzedniego przypadku!

Właściwość 6: Wyprowadzenie wykładnika z podstawy i argumentu logarytmu:

Lub jeśli stopnie są takie same: .

Właściwość 7: Przejście do nowej bazy:

Dowód: Niech więc.

Mamy: , h.t.d.

Właściwość 8: Zamiana podstawy i argumentu logarytmu:

Dowód: Jest to szczególny przypadek wzoru 7: jeśli podstawimy, otrzymamy: , p.t.d.

Przyjrzyjmy się jeszcze kilku przykładom.

Przykład 4

Znajdź wartość wyrażenia.

Posługujemy się własnością logarytmów nr 2 - suma logarytmów o tej samej podstawie jest równa logarytmowi iloczynu:

Przykład 5

Znajdź wartość wyrażenia.

Rozwiązanie:

Korzystamy z własności logarytmów nr 3 i nr 4:

Przykład 6

Znajdź wartość wyrażenia.

Rozwiązanie:

Korzystając z numeru nieruchomości 7 - przejdź do bazy 2:

Przykład 7

Znajdź wartość wyrażenia.

Rozwiązanie:

Jak ci się podoba ten artykuł?

Jeśli czytasz te wiersze, to przeczytałeś cały artykuł.

I jest fajnie!

Teraz powiedz nam, jak ci się podoba ten artykuł?

Czy nauczyłeś się rozwiązywać logarytmy? Jeśli nie, na czym polega problem?

Napisz do nas w komentarzach poniżej.

I tak, powodzenia na egzaminach.

Na zjednoczonym egzaminie państwowym i OGE i ogólnie w życiu

Mamy więc moc dwojga. Jeśli weźmiesz liczbę z dolnej linii, możesz łatwo znaleźć siłę, do której musisz podnieść dwójkę, aby uzyskać tę liczbę. Na przykład, aby uzyskać 16, musisz podnieść dwa do czwartej potęgi. Aby uzyskać 64, musisz podnieść dwa do szóstej potęgi. Widać to z tabeli.

A teraz - właściwie definicja logarytmu:

Podstawą logarytmu argumentu x jest potęga, do której należy podnieść liczbę a, aby uzyskać liczbę x .

Notacja: log a x \u003d b, gdzie a jest podstawą, x jest argumentem, b jest w rzeczywistości równa logarytmowi.

Na przykład 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (logarytm o podstawie 2 z 8 to trzy, ponieważ 2 3 = 8). Równie dobrze może logować 2 64 = 6, ponieważ 2 6 = 64.

Operacja znajdowania logarytmu liczby do danej podstawy nazywana jest logarytmem. Dodajmy więc nowy wiersz do naszej tabeli:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Ustaliliśmy definicję - pozostaje nauczyć się liczyć logarytmy, tj. pozbyć się znaku "dziennika". Na początek zauważamy, że z definicji wynikają dwa ważne fakty:

Argument i podstawa muszą być zawsze większe od zera. Wynika to z definicji stopnia przez wykładnik wymierny, do którego sprowadza się definicja logarytmu.
Podstawa musi być inna niż jedność, ponieważ jednostka do dowolnej potęgi nadal jest jednostką. Z tego powodu pytanie „do jakiej władzy należy podnieść jednego, aby uzyskać dwóch” jest bez znaczenia. Nie ma takiego stopnia!

Takie ograniczenia nazywają się Prawidłowy zakres(ODZ). Okazuje się, że ODZ logarytmu wygląda tak: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Zauważ, że nie ma żadnych ograniczeń co do liczby b (wartość logarytmu), która nie jest narzucona. Na przykład logarytm może być również ujemny: log 2 0,5 = −1, ponieważ 0,5 = 2-1.

Rozważmy teraz ogólny schemat obliczania logarytmów. Składa się z trzech kroków:

Wyraź podstawę a i argument x jako potęgę o najmniejszej możliwej podstawie większej niż jeden. Po drodze lepiej pozbyć się ułamków dziesiętnych;
Rozwiąż równanie dla zmiennej b: x = a b ;
Wynikowa liczba b będzie odpowiedzią.

Zobaczmy, jak ten schemat działa na konkretnych przykładach:

Zadanie. Oblicz logarytm: log 5 25

Przedstawmy podstawę i argument jako potęgę piątki: 5 = 5 1 ; 25 = 52;
Zróbmy i rozwiążmy równanie:
log 5 25 = b (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
Otrzymano odpowiedź: 2.

Zadanie. Oblicz logarytm:

Zadanie. Oblicz logarytm: log 4 64

Przedstawmy podstawę i argument jako potęgę dwójki: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
Zróbmy i rozwiążmy równanie:
log 4 64 = b (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
Otrzymano odpowiedź: 3.

Zadanie. Oblicz logarytm: log 16 1

Przedstawmy podstawę i argument jako potęgę dwójki: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
Zróbmy i rozwiążmy równanie:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
Otrzymano odpowiedź: 0.

Zadanie. Oblicz logarytm: log 7 14

Przedstawmy podstawę i argument jako potęgę liczby siedem: 7 = 7 1 ; 14 nie jest reprezentowany jako potęga siódemki, ponieważ 7 1< 14 < 7 2 ;
Z poprzedniego paragrafu wynika, że logarytm nie jest brany pod uwagę;
Odpowiedź jest bez zmian: log 7 14.

Mała uwaga na temat ostatniego przykładu. Jak upewnić się, że liczba nie jest dokładną potęgą innej liczby? Bardzo proste - wystarczy rozłożyć to na czynniki pierwsze. A jeśli takich czynników nie można zebrać w stopniu z tymi samymi wskaźnikami, to pierwotna liczba nie jest dokładnym stopniem.

Zadanie. Dowiedz się, czy dokładne potęgi liczby to: 8; 48; 81; 35; czternaście.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 to dokładny stopień, ponieważ jest tylko jeden mnożnik;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 nie jest dokładną potęgą, ponieważ istnieją dwa czynniki: 3 i 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - dokładny stopień;
35 \u003d 7 5 - znowu nie jest to dokładny stopień;
14 \u003d 7 2 - znowu nie dokładny stopień;

Zauważ również, że same liczby pierwsze są zawsze dokładnymi potęgami samych siebie.

Logarytm dziesiętny

Niektóre logarytmy są tak powszechne, że mają specjalną nazwę i oznaczenie.

Logarytm dziesiętny argumentu x jest logarytmem o podstawie 10, tj. potęga, do której musisz podnieść liczbę 10, aby uzyskać liczbę x. Oznaczenie: lg x .

Na przykład log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - itd.

Wszystko, co jest prawdziwe dla zwykłych logarytmów, jest również prawdziwe dla ułamków dziesiętnych.

naturalny logarytm

Jest jeszcze inny logarytm, który ma swój własny zapis. W pewnym sensie jest nawet ważniejszy niż dziesiętny. To jest logarytm naturalny.

Logarytm naturalny argumentu x to logarytm o podstawie e , tj. potęga, do której należy podnieść liczbę e, aby otrzymać liczbę x. Oznaczenie: lnx .

Wielu zapyta: czym jeszcze jest liczba e? Jest to liczba niewymierna, jej dokładnej wartości nie można znaleźć i zapisać. Oto tylko pierwsze liczby:
e = 2,718281828459...

Nie będziemy zagłębiać się w to, co to za liczba i dlaczego jest potrzebna. Pamiętaj tylko, że e jest podstawą logarytmu naturalnego:
ln x = log e x

W przypadku logarytmów naturalnych obowiązują wszystkie reguły prawdziwe dla logarytmów zwykłych.