Môžete zadať celé čísla, napríklad 34, aj zlomkové čísla, napríklad 637.333. Pri zlomkových číslach sa uvádza presnosť prekladu za desatinnou čiarkou.
S touto kalkulačkou sa používajú aj nasledujúce položky:
Spôsoby reprezentácie čísel
Binárne (binárne) čísla - každá číslica znamená hodnotu jedného bitu (0 alebo 1), najvýznamnejší bit sa píše vždy vľavo, za číslom sa umiestňuje písmeno „b“. Pre ľahšie vnímanie je možné zošity oddeliť medzerami. Napríklad 1010 0101b.Hexadecimálne (hexadecimálne) čísla - každá tetráda je reprezentovaná jedným symbolom 0...9, A, B, ..., F. Toto znázornenie môže byť označené rôznymi spôsobmi, tu sa za posledným hexadecimálnym číslom používa iba symbol „h“. číslica. Napríklad A5h. V programových textoch môže byť rovnaké číslo označené buď ako 0xA5 alebo 0A5h, v závislosti od syntaxe programovacieho jazyka. Naľavo od najvýznamnejšej hexadecimálnej číslice reprezentovanej písmenom sa pridá úvodná nula (0), aby sa rozlišovali čísla a symbolické názvy.
Desatinné (desatinné) čísla - každý bajt (slovo, dvojité slovo) je reprezentované bežným číslom a znak desatinného vyjadrenia (písmeno „d“) sa zvyčajne vynecháva. Bajt v predchádzajúcich príkladoch má desiatkovú hodnotu 165. Na rozdiel od binárneho a hexadecimálneho zápisu je v desiatkovej sústave ťažké mentálne určiť hodnotu každého bitu, čo je niekedy nevyhnutné.
Octal (osmičkové) čísla - každá trojica bitov (delenie začína od najmenej významného) sa zapisuje ako číslo 0–7 s „o“ na konci. Rovnaké číslo by bolo napísané ako 245o. Osmičková sústava je nepohodlná, pretože bajt nemožno rozdeliť rovnomerne.
Algoritmus na prevod čísel z jedného číselného systému do druhého
Prevod celých desatinných čísel do akejkoľvek inej číselnej sústavy sa vykonáva delením čísla základom novej číselnej sústavy, až kým zvyšok nezostane číslo menšie ako základ novej číselnej sústavy. Nové číslo sa zapíše ako zvyšok po delení, začínajúc od posledného.Prevod bežného desatinného zlomku na iný PSS sa vykonáva vynásobením iba zlomkovej časti čísla základom nového číselného systému, kým všetky nuly nezostanú v zlomkovej časti alebo kým sa nedosiahne špecifikovaná presnosť prekladu. V dôsledku každej operácie násobenia sa vytvorí jedna číslica nového čísla, počnúc najvyšším.
Nesprávny preklad zlomkov sa vykonáva podľa pravidiel 1 a 2. Celé číslo a zlomkové časti sa píšu spolu, oddelené čiarkou.
Príklad č.1. 
Prevod z 2 na 8 na 16 číselný systém.
Tieto systémy sú násobky dvoch, preto sa preklad vykonáva pomocou tabuľky zhody (pozri nižšie).
Na prevod čísla z dvojkovej číselnej sústavy do osmičkovej (šestnástkovej) číselnej sústavy je potrebné rozdeliť dvojkové číslo z desatinnej čiarky doprava a doľava do skupín po troch (štyri pre šestnástkovú sústavu) a doplniť vonkajšie skupiny. v prípade potreby s nulami. Každá skupina je nahradená zodpovedajúcou osmičkovou alebo hexadecimálnou číslicou.
Príklad č.2. 1010111010,1011 = 1,010,111,010,101,1 = 1272,51 8
tu 001=1; 010=2; 111 = 7; 010=2; 101 = 5; 001=1
Pri prevode do šestnástkovej sústavy musíte číslo rozdeliť na časti pozostávajúce zo štyroch číslic podľa rovnakých pravidiel.
Príklad č.3. 1010111010,1011 = 10,1011,1010,1011 = 2B12,13 HEX
tu 0010=2; 1011 = B; 1010 = 12; 1011=13
Prevod čísel z 2, 8 a 16 do desiatkovej číselnej sústavy sa robí tak, že sa číslo rozdelí na samostatné a vynásobí sa základom systému (z ktorého sa číslo prekladá) umocneným na mocninu zodpovedajúcu jeho poradovému číslu v číslo, ktoré sa prevádza. V tomto prípade sa čísla číslujú naľavo od desatinnej čiarky (prvé číslo je číslované 0) so stúpajúcim a napravo od desatinnej čiarky (t. j. so záporným znamienkom). Získané výsledky sa sčítajú.
Príklad č.4.
Príklad prevodu z dvojkovej do desiatkovej číselnej sústavy.
1010010,101 2 = 1·2 6 +0·2 5 +1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +0·2 0 + 1·2 -1 +0·2 - 2 + 1 2 - 3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0,5+0+0,125 = 82,625 10 Príklad prevodu z osmičkovej do desiatkovej číselnej sústavy. 108,5 8 = 1*·8 2 +0·8 1 +8·8 0 + 5·8 -1 = 64+0+8+0,625 = 72,625 10 Príklad prevodu zo šestnástkovej do desiatkovej číselnej sústavy. 108,5 16 = 1·16 2 +0·16 1 +8·16 0 + 5·16 -1 = 256+0+8+0,3125 = 264,3125 10
Ešte raz zopakujeme algoritmus na prevod čísel z jednej číselnej sústavy do inej PSS
- Zo sústavy desiatkových čísel:
- vydeliť číslo základom prekládaného číselného systému;
- nájsť zvyšok pri delení celej časti čísla;
- zapíšte si všetky zvyšky z delenia v opačnom poradí;
- Z dvojkovej číselnej sústavy
- Na prevod do desiatkovej číselnej sústavy je potrebné nájsť súčet súčinov základu 2 zodpovedajúcim stupňom číslice;
- Ak chcete previesť číslo na osmičkovú, musíte číslo rozdeliť na triády.
Napríklad 1 000 110 = 1 000 110 = 106 8 - Ak chcete previesť číslo z binárneho na hexadecimálne, musíte číslo rozdeliť do skupín po 4 číslice.
Napríklad 1000110 = 100 0110 = 46 16
Tabuľka zhody číselného systému:
| Binárne SS | Hexadecimálne SS |
| 0000 | 0 |
| 0001 | 1 |
| 0010 | 2 |
| 0011 | 3 |
| 0100 | 4 |
| 0101 | 5 |
| 0110 | 6 |
| 0111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | A |
| 1011 | B |
| 1100 | C |
| 1101 | D |
| 1110 | E |
| 1111 | F |
Tabuľka na prevod do osmičkovej číselnej sústavy
Zápis:
- poskytuje reprezentácie množiny čísel (celé čísla a/alebo reálne čísla);
- dáva každému číslu jedinečnú reprezentáciu (alebo aspoň štandardnú reprezentáciu);
- odráža algebraickú a aritmetickú štruktúru čísel.
Číselné sústavy sa delia na pozičné, nepozičné A zmiešané.
Pozičné číselné sústavy
V pozičných číselných sústavách má rovnaký číselný znak (číslica) v zápise čísla rôzny význam v závislosti od miesta (číslice), kde sa nachádza. Vynález pozičného číslovania, založeného na miestnom význame číslic, sa pripisuje Sumerom a Babylončanom; Takéto číslovanie vyvinuli hinduisti a malo neoceniteľné dôsledky v dejinách ľudskej civilizácie. Medzi takéto systémy patrí moderný systém desiatkových čísel, ktorého vznik je spojený s počítaním na prstoch. V stredovekej Európe sa objavil prostredníctvom talianskych obchodníkov, ktorí si ho zasa požičali od moslimov.
Pozičný číselný systém sa zvyčajne vzťahuje na -bohatý číselný systém, ktorý je určený volaným celým číslom základčíselné sústavy. Celé číslo bez znamienka v -árnom číselnom systéme je reprezentované ako konečná lineárna kombinácia mocnín čísla:
, kde sa nazývajú celé čísla v číslach, uspokojujúce nerovnosť.Každý stupeň v takomto zápise sa nazýva poradová váha. Seniorita číslic a im zodpovedajúcich číslic je určená hodnotou ukazovateľa (číslo číslice). V nenulových číslach sú ľavé nuly zvyčajne vynechané.
Ak neexistujú žiadne nezrovnalosti (napríklad, keď sú všetky čísla uvedené vo forme jedinečných písaných znakov), číslo sa zapíše ako postupnosť svojich alfanumerických číslic, ktoré sú uvedené v zostupnom poradí podľa priority číslic zľava doprava:
Napríklad číslo sto tri reprezentované v desiatkovej sústave ako:
Najpoužívanejšie polohové systémy sú:
V pozičných systémoch platí, že čím väčšia je základňa systému, tým menší počet číslic (teda písaných číslic) je potrebný pri zápise čísla.
Zmiešané číselné sústavy
Zmiešaný číselný systém je zovšeobecnením -bohatého číselného systému a tiež často odkazuje na pozičné číselné systémy. Základom zmiešaného číselného systému je rastúca postupnosť čísel a každé číslo v ňom je reprezentované ako lineárna kombinácia:
, kde sa koeficienty volajú ako predtým v číslach, platia určité obmedzenia.Zápis čísla v zmiešanej číselnej sústave je zoznam jeho číslic v zostupnom poradí indexu, počnúc prvým nenulovým číslom.
V závislosti od typu ako funkcie môžu byť zmiešané číselné sústavy mocninné, exponenciálne atď. V prípade niektorých sa zmiešaný číselný systém zhoduje s exponenciálnym - bohatým číselným systémom.
Najznámejším príkladom zmiešaného číselného systému je zobrazenie času ako počet dní, hodín, minút a sekúnd. V tomto prípade hodnota „dní, hodín, minút, sekúnd“ zodpovedá hodnote sekúnd.
Faktorový číselný systém
IN faktoriálny číselný systém základy sú postupnosťou faktoriálov a každé prirodzené číslo je reprezentované ako:
, Kde .Faktoriálny číselný systém sa používa, keď dekódovanie permutácií pomocou zoznamov inverzií: s číslom permutácie ho môžete reprodukovať takto: číslo, ktoré je o jednu menšie ako číslo (číslovanie začína od nuly), sa zapíše do faktoriálovej číselnej sústavy a koeficient čísla i! bude označovať počet inverzií pre prvok i+1 v množine, v ktorej sa robia permutácie (počet prvkov menší ako i+1, ale umiestnených napravo od neho v požadovanej permutácii)
Príklad: zvážte množinu permutácií 5 prvkov, celkovo je ich 5! = 120 (od permutačného čísla 0 - (1,2,3,4,5) po permutačné číslo 119 - (5,4,3,2,1)), nájdime 101. permutáciu: 100 = 4!* 4 + 3!*0 + 2!*2 + 1!*0 = 96 + 4; nech ti je koeficient pre číslo i!, potom t4 = 4, t3 = 0, t2 = 2, t1 = 0, potom: počet prvkov menší ako 5, ale umiestnených vpravo je 4; počet prvkov menší ako 4, ale umiestnených vpravo je 0; počet prvkov menší ako 3, ale umiestnených vpravo, je 2; počet prvkov menší ako 2, ale umiestnených vpravo je 0 (posledný prvok v permutácii je „umiestnený“ na jediné zostávajúce miesto) - teda 101. permutácia bude vyzerať takto: (5,3,1,2 ,4) Kontrola tejto metódy sa môže uskutočniť priamym počítaním inverzií pre každý prvok permutácie.
Fibonacciho číselný systém na základe Fibonacciho čísel. Každé prirodzené číslo je znázornené v tvare:
, kde sú Fibonacciho čísla a koeficienty majú konečný počet jednotiek a neexistujú dve za sebou.Nepozičné číselné sústavy
V nepozičných číselných sústavách hodnota, ktorú číslica označuje, nezávisí od jej pozície v čísle. V tomto prípade môže systém zaviesť obmedzenia na pozíciu čísel, napríklad tak, aby boli usporiadané v zostupnom poradí.
Binomický číselný systém
Znázornenie pomocou binomických koeficientov
, Kde .Systém zvyškových tried (RSS)
Reprezentácia čísla v systéme tried zvyškov je založená na koncepte zvyšku a čínskej vete o zvyšku. RNS je určená množinou relatívne prvočísel modulov s produktom takým spôsobom, že každé celé číslo zo segmentu je spojené s množinou zvyškov, kde
…Čínska veta o zvyšku zároveň zaručuje jedinečnosť zobrazenia pre čísla z intervalu.
V RNS sa aritmetické operácie (sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie) vykonávajú po komponentoch, ak je známe, že výsledok je celé číslo a tiež leží v .
Nevýhodou RNS je schopnosť reprezentovať len obmedzený počet čísel, ako aj nedostatok efektívnych algoritmov na porovnávanie čísel zastúpených v RNS. Porovnanie sa zvyčajne vykonáva prostredníctvom prekladu argumentov z RNS do zmiešaného systému radixových čísel.
Stern – Brocot číselný systém- spôsob zápisu kladných racionálnych čísel, založený na Stern-Brocotovom strome.
Číselné sústavy rôznych národov
Systém čísel jednotiek
Vraj chronologicky prvá číselná sústava každého národa, ktorý ovládal počítanie. Prirodzené číslo je reprezentované opakovaním rovnakého znamienka (pomlčka alebo bodka). Napríklad, aby ste zobrazili číslo 26, musíte nakresliť 26 čiar (alebo urobiť 26 zárezov na kosti, kameni atď.). Následne, kvôli pohodliu pri vnímaní veľkých čísel, sú tieto znaky zoskupené do skupín po troch alebo piatich. Potom sa rovnaké objemové skupiny znakov začnú nahrádzať nejakým novým znakom - takto vznikajú prototypy budúcich čísel.
Staroegyptský číselný systém
Babylonský číselný systém
Abecedné číselné sústavy
Abecedné číselné systémy používali starí Arméni, Gruzínci, Gréci (iónový číselný systém), Arabi (abjadia), Židia (pozri gematria) a ďalšie národy Blízkeho východu. V slovanských bohoslužobných knihách bol grécky abecedný systém preložený do cyrilských písmen.
židovský číselný systém
Grécky číselný systém
Rímsky číselný systém
Kanonický príklad takmer nepozičného číselného systému je rímsky, ktorý ako čísla používa latinské písmená:
Stojím za 1,
V – 5,
X – 10,
L – 50,
C – 100,
D – 500,
M – 1000
Napríklad II = 1 + 1 = 2
tu symbol I predstavuje 1 bez ohľadu na jeho miesto v čísle.
Rímsky systém v skutočnosti nie je úplne nepozičný, pretože menšia číslica, ktorá nasleduje pred väčšou, sa od nej odčíta, napríklad:
IV = 4, pričom:
VI = 6
Mayský číselný systém
pozri tiež
Poznámky
Odkazy
- Gaškov S.B.Číselné sústavy a ich aplikácie. - M.: MTsNMO, 2004. - (Knižnica „Matematická výchova“).
- Fomin S.V.Číselné sústavy. - M.: Nauka, 1987. - 48 s. - (Populárne prednášky z matematiky).
- Yaglom I.Číselné sústavy // Kvantové. - 1970. - Číslo 6. - S. 2-10.
- Čísla a číselné sústavy. Online encyklopédia po celom svete.
- Stakhov A.Úloha číselných sústav v histórii počítačov.
- Mikushin A.V. Číselné sústavy. Kurz prednášok "Digitálne zariadenia a mikroprocesory"
- Butler J. T., Sasao T. Redundantné číselné systémy s viacerými hodnotami Článok sa zaoberá číselnými systémami, ktoré používajú číslice väčšie ako jedna a umožňujú redundanciu v reprezentácii čísel
Nadácia Wikimedia. 2010.
Pozrite sa, čo je „Číselný systém“ v iných slovníkoch:
Spôsob, ako zobraziť čísla a pravidlá pre prácu s nimi. Existujú pozičné a nepozičné číselné sústavy. Pozri tiež: Číselné sústavy Údaje Finančný slovník Finam ... Finančný slovník
OZNAČENIE- (1) dráhový systém pre nepretržité automatické (alebo manuálne navigátorom) účtovanie skutočného pohybu lietadla, lode, miliónov riadených zbraní pod vplyvom vlastného pohonu a vonkajších faktorov (vietor, vzduch a .... . Veľká polytechnická encyklopédia
notový zápis- - Telekomunikačné témy, základné pojmy EN číselná sústava...
notový zápis- ▲ kódová sada, systém celočíselnej notácie na reprezentáciu čísel; spôsob písania čísel; kódovanie čísel. číslica je znak označujúci celé číslo. tsifir (zastaraný). rímske číslice. Arabské číslice: nula. jeden. dva. tri. štyri… Ideografický slovník ruského jazyka
Notový zápis- súbor symbolov a pravidiel písania číslic (pozri napr. rímske číslice). V ľudskej praxi je najrozšírenejšia sústava desiatkových čísel. Vo výpočtovej (počítačovej) technike binárne, osmičkové a... ... Počiatky moderných prírodných vied
notový zápis- skaičių sistema statusas T sritis automatika atitikmenys: engl. systém reprezentácie čísel; číselný systém; systém číslovania; číselná sústava; systém číslovania; číselný systém; stupnica vok. Zahlendarstellungssystem, n; Zahlensystem, n rus.… … Automatikos terminų žodynas
zvyškový systém čísel tried- číselný systém vo zvyškoch - [L.G. Sumenko. Anglicko-ruský slovník o informačných technológiách. M.: State Enterprise TsNIIS, 2003.] Témy informačné technológie vo všeobecnosti Synonymá číselný systém vo zvyškoch EN systém zvyškov (čísla) ... Technická príručka prekladateľa
číselný systém so záporným základom-- [L.G. Sumenko. Anglicko-ruský slovník o informačných technológiách. M.: State Enterprise TsNIIS, 2003.] Témy informačné technológie vo všeobecnosti EN systém reprezentácie záporných základných čísel ... Technická príručka prekladateľa
V otázkach organizácie spracovania informácií pomocou počítača zaujímajú dôležité miesto číselné systémy, formy prezentácie údajov a špeciálne kódovanie čísel.
Súbor techník na pomenovanie a písanie čísel sa nazýva mŕtve zúčtovanie. Pod číselný systém sa vzťahuje na spôsob reprezentácie akéhokoľvek čísla pomocou obmedzenej abecedy symbolov nazývanej číslice. Číslovanie je špeciálny prípad kódovania, kde sa slovo napísané pomocou určitej abecedy a podľa určitých pravidiel nazýva kód. Vo vzťahu k zápisu je to kód čísla.
Pozičné a nepozičné číselné sústavy.
Existujú pozičné a nepozičné číselné sústavy. V nepozičných číselných sústavách je každé číslo označené zodpovedajúcou sadou symbolov. Typickým predstaviteľom nepozičných sústav je rímska číselná sústava so zložitým spôsobom zápisu čísel a ťažkopádnymi pravidlami na vykonávanie aritmetických operácií. Napríklad položka MCMXCIX znamená, že je napísané číslo 1999 (M - tisíc, C - sto, X - desať, V - päť, I - jeden atď.).
Pozičné číselné sústavy majú veľké výhody v prehľadnosti reprezentácie čísel a v jednoduchosti vykonávania aritmetických operácií.
V pozičnom číselnom systéme je hodnota čísla určená nielen množinou číslic, ktoré sú v ňom zahrnuté, ale aj ich miestom (pozíciou) v postupnosti číslic reprezentujúcich toto číslo, napríklad čísla 127 a 721.
Pozičný číselný systém je desiatkový číselný systém používaný v každodennom živote. Okrem desiatkovej existujú aj iné pozičné číselné sústavy a niektoré z nich našli uplatnenie v informatike.
Počet symbolov použitých v pozičnom číselnom systéme sa nazýva jeho základ. Zvyčajne sa označuje písmenom q. Systém desiatkových čísel používa desať symbolov (číslic): 0, 1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9 a základom systému je číslo desať.
Osobitné miesto medzi pozičnými číselnými sústavami zaujímajú sústavy s mocninnými váhami číslic, v ktorých sa váhy susedných pozícií číslic (číslic) hodnotovo líšia o konštantný počet krát rovný základu q číselnej sústavy.
Vo všeobecnosti v takomto pozičnom číselnom systéme so základom q môže byť akékoľvek číslo X reprezentované ako expanzný polynóm:
(1.1)
Kde:
A(q) - zaznamenanie čísla v číselnej sústave so základom q;
ai - celé čísla menšie ako q;
n - počet číslic (pozícií) v celočíselnej časti čísla;
m - počet číslic v zlomkovej časti čísla.
Napríklad:
Na označenie použitého číselného systému je v indexe uvedený jeho základ. Znázornenie čísla A ako postupnosti koeficientov a. polynóm je jeho podmienená skratka (kód).
A(q)=a n-1 a n-2 ...a 1 a 0 ,a -1 ...a -m (1,2)
Čiarka oddeľuje celú časť čísla od zlomkovej časti a slúži ako začiatok počítania hodnôt hmotnosti každej pozície (číslice).
V informatike sa používajú pozičné číselné sústavy s nedesiatkovým základom: dvojkové, osmičkové a šestnástkové, teda číselné sústavy so základom q = 2 k, kde k = 1,3,4.
Binárny číselný systém
Najpoužívanejšou číselnou sústavou je dvojková číselná sústava, v ktorej sa na vyjadrenie ľubovoľného čísla používajú dva symboly – čísla 0 a 1. Základom číselnej sústavy je q = 2.
Ľubovoľné číslo možno znázorniť pomocou vzorca (1.1) ako rozšírenie v mocninách dvoch. Potom podmienený skrátený zápis v súlade s (1.2) znamená zobrazenie čísla v binárnom číselnom systéme (binárny kód čísla), kde ai = 0 alebo 1.
Napríklad:
15,625=1 2 3 +1 2 2 +1 2 1 +1 2 0 + 1 2 -1 +0 2 -2 +1 2 -3 = 1111,101 (2)
Binárna reprezentácia čísla vyžaduje približne 3,3-krát viac číslic ako jeho desiatková reprezentácia. Použitie systému binárnych čísel však vytvára veľké pohodlie pre prevádzku počítača, pretože akýkoľvek úložný prvok, ktorý má dva stabilné stavy, môže byť použitý na reprezentáciu bitového binárneho čísla v stroji.
Osmičková číselná sústava.
V osmičkovej číselnej sústave sa abeceda skladá z ôsmich znakov (číslic): 0, 1 ... 7. Základom číselnej sústavy je q = 8. Na zapísanie ľubovoľného čísla v osmičkovej číselnej sústave je potrebné použiť vzorec (1.1), aby ste našli jeho expanziu v mocninách osem, a potom použite podmienený skrátený zápis (1.2).
Napríklad, desatinné číslo 53 (10) = 65 (8)
Hexadecimálna číselná sústava.
V hexadecimálnej číselnej sústave obsahuje abeceda 16 znakov (čísel a písmen): 0, 1 ... 9, A, B, C, D, E, F. Základom číselnej sústavy je q = 16. Na písanie ľubovoľné číslo v tomto systémovom čísle, je potrebné nájsť jeho rozšírenie v mocninách 16 pomocou vzorca (1.1) a pomocou vzorca (1.2) nájsť kód.
Napríklad: 31 (10) = 1F (16)
Binárne desiatkové kódovanie.
Spolu s binárnymi kódmi, s ktorými počítač pracuje, sa na vstup a výstup desiatkových čísel (údajov) používa špeciálne binárne desiatkové kódovanie. Pri kódovaní BCD je každá desatinná číslica nahradená štvorkou (štvoricou) binárnych číslic a samotné tetrady sa zapisujú postupne v súlade s poradím desatinných číslic. Pri spätnom prevode z BCD na desatinné miesto sa zdrojový kód rozdelí na tetrády napravo a naľavo od desatinnej čiarky, ktoré sa potom nahradia desatinnými číslicami.
Pri binárno-desiatkovom kódovaní sa teda číslo v skutočnosti neprevádza do novej číselnej sústavy, ale máme do činenia s binárne kódovanou desatinnou číselnou sústavou.
Napríklad , desatinné číslo 12 (10) = C (16) = 14 (8) = 1100 (2) = 00010010 (2-10).
Počítač používa nasledujúce formy reprezentácie údajov:
čísla s pevnou bodkou (čiarkou);
čísla s pohyblivou rádovou čiarkou;
desatinné čísla;
znakové údaje.
Pevné čísla bodov
Pri reprezentácii čísla X v tvare pevnej bodky sa znak čísla (znak X) a modul čísla (modX) uvádzajú v q-árnom kóde. Niekedy sa táto forma reprezentácie čísel nazýva prirodzená forma. Miesto bodky (čiarka) je pre všetky čísla konštantné a v procese riešenia úloh sa nemení. Znamienko kladného čísla je kódované ako „0“ a znamienko záporného čísla je kódované ako „1“.
Kód čísla v tvare pevnej bodky, ktorý pozostáva zo znakového kódu a q-árneho kódu jeho modulu, sa nazýva priamy kód. Číslica priameho kódu čísla, v ktorom sa nachádza znakový kód, sa nazýva znaková číslica kódu. Bity priameho kódu čísla, v ktorom sa nachádza q-árny kód modulu čísla, sa nazývajú digitálne bity kódu. Pri písaní priameho kódu sa znamienkový bit nachádza naľavo od najvýznamnejšieho digitálneho bitu a je zvyčajne oddelený od digitálnych bitov bodkou.
Vo všeobecnosti je na obrázku znázornená bitová mriežka počítača na umiestňovanie čísel vo forme pevných bodiek.
Obrázok ukazuje n číslic reprezentujúcich celú časť čísla a r číslic pre zlomkovú časť čísla.
A) pevné 
Pre dané n a r je rozsah zmien v moduloch čísel, ktorých kódy môžu byť reprezentované v danej bitovej mriežke, určený nerovnosťou
Použitie formy s pevnou bodkou na reprezentáciu zmiešaných čísel (s celým číslom a zlomkovou časťou) sa v počítačoch prakticky nenachádza. Počítače sa spravidla používajú buď s zlomkovou aritmetikou (n=0) alebo celočíselnou aritmetikou (r=0).
Forma reprezentácie čísel s pevnou bodkou zjednodušuje hardvérovú implementáciu počítača a skracuje čas potrebný na vykonanie strojových operácií, pri riešení problémov na stroji je však potrebné neustále dbať na to, aby všetky počiatočné údaje, medziprodukty a konečné výsledky sú v prijateľnom rozsahu zastúpenia. Ak sa to nedodrží, bitová mriežka môže pretekať a výsledok výpočtu bude nesprávny. Počítače, ktoré používajú formu s pohyblivou rádovou čiarkou alebo normálnu formu, sú z veľkej časti bez týchto nedostatkov.
Čísla s pohyblivou rádovou čiarkou
b) Obrázok 14.b s pohyblivou rádovou čiarkou 
V normálnej forme je číslo reprezentované ako súčin X = mqp
kde m je mantisa čísla;
q - základ číselnej sústavy;
r - poriadok.
Ak chcete zadať číslo v normálnej forme, musíte zadať znaky mantisy a exponentov, ich moduly v kóde q-ary, ako aj základ číselného systému. Normálna forma reprezentácie čísel je nejednoznačná, pretože vzájomná zmena m a p vedie k plávaniu bodky (čiarky). Odtiaľ pochádza názov formy reprezentujúcej čísla.
Na zabezpečenie jednoznačného znázornenia čísel v počítači sa používa normalizovaná forma, v ktorej sa poloha bodky uvádza vždy pred platnou číslicou mantisy, t.j. podmienka je splnená. 
Vo všeobecnom prípade môže byť bitová mriežka počítača na umiestnenie čísel v normálnej forme znázornená tak, ako je znázornené na obr. Bitová mriežka obsahuje:
číslica pre znak mantisy;
r digitálnych bitov pre q-árny kód modulu mantisy;
číslica pre kód označenia objednávky;
s číslic pre q-árny kód modulu poriadku.
Rozsah reprezentácie modulov čísel v normalizovanej forme je určený nasledujúcou nerovnosťou:
V konkrétnom počítači závisí rozsah reprezentácie čísel s pohyblivou rádovou čiarkou od základne systému a počtu číslic reprezentujúcich poradie.
Zároveň pre formáty čísel s pohyblivou rádovou čiarkou rovnakej dĺžky, keď sa základ číselnej sústavy zväčšuje, rozsah reprezentovaných čísel sa výrazne rozširuje.
Presnosť výpočtov pri použití formátu s pohyblivou rádovou čiarkou je určená počtom číslic mantisy r. Zvyšuje sa s počtom číslic.
Pri uvádzaní informácií vo forme desiatkových viacciferných čísel je každá desatinná číslica nahradená binárnym desiatkovým kódom. Na urýchlenie výmeny informácií, šetrenie pamäte a pohodlnejšie operácie s desatinnými číslami sú k dispozícii špeciálne formáty na ich reprezentáciu: zóna (rozbalená)
A zabalené
. Formát zóny sa používa pri vstupných operáciách. Na tento účel má počítač špeciálne príkazy na balenie a rozbaľovanie desatinných čísel.
Na ukladanie čísel a vykonávanie rôznych operácií s nimi sú reprezentované rôznymi kódmi: dopredný, inverzný a doplnkový. Ako je uvedené vyššie, priamy kód sa používa na reprezentáciu podpísaných čísel v pamäti počítača. Na označenie priameho kódu čísla X sa používa zápis v tvare ^.
Pravidlo pre reprezentáciu Q-árneho kódu čísla v priamy kód
má tvar:
kde xi je hodnota číslice na i-tej číslici zdrojového kódu.
Tu najvýznamnejší bit nesie informáciu o znamienku čísla. Ak má hodnotu 0, potom znak čísla je „+“; ak je hodnota 1, potom znamienko čísla je „-“.
Napríklad pre binárny kód
| X (2) = +11001011 | [X(2)]=0,11001011; |
| X(2) = -01101011 | [X(2)]=1,01101011. |
Pri reprezentácii čísel v priamom kóde musí implementácia aritmetických operácií v počítači zabezpečiť rôzne akcie s modulmi čísel v závislosti od ich znakov. Pridávanie čísel s rovnakými znakmi v priamom kóde je teda celkom jednoduché. Čísla sa sčítajú a súčtu sa priradí znakový kód sčítancov. Operácia algebraického sčítania v priamom kóde čísel s rôznymi znamienkami je oveľa zložitejšia. V tomto prípade musíte určiť väčšie číslo modulo, čísla odčítať a rozdielu priradiť znamienko väčšieho čísla modulo. Na zjednodušenie vykonávania operácií algebraického sčítania v počítači sa používajú špeciálne kódy, ktoré umožňujú zredukovať túto operáciu na operáciu aritmetického sčítania. Obrátené a dodatočné kódy sa používajú ako špeciálne kódy v počítačoch. Sú tvorené z priamych číselných kódov a špeciálny kód kladného čísla sa rovná jeho priamemu kódu.
Na označenie spätného kódu čísla X(q) sa používa zápis v tvare [X(q)] arr.
Pravidlo pre reprezentáciu q-árneho kódu čísla v reverzný kód
má tvar:
Tu je inverzia čísla xi, určeného zo vzťahu:
kde: q - základ číselnej sústavy;
xj je hodnota číslice na i-tej číslici zdrojového kódu.
Pre binárnu číselnú sústavu, ak x = 1, potom naopak. Odtiaľ môžeme formulovať konkrétne pravidlo na vytvorenie spätného kódu pre záporné binárne čísla.
Na prevod priameho kódu binárneho záporného čísla na spätný kód a naopak je potrebné ponechať znamienkový bit nezmenený a vo zvyšných bitoch nahradiť nuly jednotkami a jednotky nulami.
Napríklad:
| x (2) = +11011001, | pr.=0,11011001, | arr.= 0,11011001. |
| x (2) = - 01011101, | pr.=1,01011101, | arr.= 1,10100010. |
Naznačovať dodatočný kód
číslo X(q) sa používa zápis tvaru dodatok. Pravidlo pre reprezentáciu q-ary kódu čísla v dvojkovom doplnkovom kóde je:
teda Ak chcete previesť priamy kód q-árneho záporného čísla na ďalší, musíte ho sformovať na reverzný kód a pridať jeden k číslici nižšieho rádu.
Napríklad pre binárne čísla:
| x (2) = +11011001, | pr.= 0,11011001, | dodatočný = 0,11011001. |
| x (2) = - 01011101, | pr.=1,01011101, | arr.= 1,10100011. |
Pri vykonávaní operácie sčítania čísel reprezentovaných špeciálnymi q-ary kódmi sa znamienkové bity zúčastňujú operácie spolu s digitálnymi bitmi. V tomto prípade sa digitálne číslice výrazov pridajú ako moduly čísel podľa pravidiel q-árnej aritmetiky. Znamenkové bity a prenášacie číslice z najvýznamnejšieho digitálneho bitu pre ľubovoľný základ číselného systému (q = 2) sa pridávajú ako jednobitové binárne kódy. Ak sa vytvorí prenos zo znakového bitu, potom má pri použití spätného kódu váhu jedna pre najmenej významný bit q -m a musí sa pripočítať k najmenej významnému bitu výsledku. Pri použití dvojkového doplnkového kódu sa jednotka prenosu zo znamienkového bitu neberie do úvahy, t. j. sa zahodí.
Napríklad:
Pri vykonávaní operácie algebraického sčítania je pred prevodom priamych kódov sčítancov na špeciálne potrebné zarovnať ich podľa počtu číslic, ak je počet číslic sčítancov odlišný. Okrem toho môže v niektorých prípadoch dôjsť k pretečeniu mriežky. Znakom pretečenia bitovej mriežky je nasledujúca kombinácia čísel v znamienkových čísliciach výrazov a výsledok:
Výsledok pridania špeciálnych číselných kódov pri pretečení bitovej mriežky je nesprávny.
Pri štúdiu kódovania som si uvedomil, že dosť dobre nerozumiem číselným sústavám. Napriek tomu som často používal 2-, 8-, 10-, 16-ty systém, konvertoval som jeden na druhý, ale všetko sa robilo „automaticky“. Po prečítaní mnohých publikácií ma prekvapilo, že chýba jediný článok v jednoduchom jazyku o takomto základnom materiáli. Preto som sa rozhodol napísať svoj vlastný, v ktorom som sa snažil prístupným a usporiadaným spôsobom podať základy číselných sústav.
Úvod
Notový zápis je spôsob zaznamenávania (reprezentácie) čísel.Čo to znamená? Napríklad pred sebou vidíte niekoľko stromov. Vašou úlohou je spočítať ich. Ak to chcete urobiť, môžete ohnúť prsty, urobiť zárezy na kameni (jeden strom - jeden prst/zárez) alebo spojiť 10 stromov s predmetom, napríklad kameňom, a jeden exemplár s palicou a umiestniť ich na zemi ako rátate. V prvom prípade je číslo reprezentované ako reťazec ohnutých prstov alebo zárezov, v druhom - kompozícia kameňov a palíc, kde kamene sú vľavo a palice vpravo.
Číselné sústavy sa delia na pozičné a nepozičné a pozičné zasa na homogénne a zmiešané.
Nepozičné- najstarší, v ňom má každá číslica čísla hodnotu, ktorá nezávisí od jej polohy (číslice). To znamená, že ak máte 5 riadkov, potom je číslo tiež 5, pretože každý riadok, bez ohľadu na jeho miesto v riadku, zodpovedá iba 1 položke.
Polohový systém- význam každej číslice závisí od jej pozície (číslice) v čísle. Napríklad 10. číselný systém, ktorý je nám známy, je pozičný. Zoberme si číslo 453. Číslo 4 označuje počet stoviek a zodpovedá číslu 400, 5 - počet desiatok a je podobný hodnote 50 a 3 - jednotky a hodnote 3. Ako vidíte, čím väčšia číslica, tým vyššia hodnota. Konečné číslo môže byť vyjadrené ako súčet 400+50+3=453.
Homogénny systém- pre všetky číslice (pozície) čísla je množina platných znakov (číslic) rovnaká. Ako príklad si vezmime už spomínaný 10. systém. Pri písaní čísla v homogénnej desiatej sústave môžete v každej číslici použiť iba jednu číslicu od 0 do 9, preto je povolené číslo 450 (1. číslica - 0, 2. - 5, 3. - 4), ale 4F5 nie, pretože znak F nie je zahrnutý v množine čísel 0 až 9.
Zmiešaný systém- v každej číslici (pozícii) čísla sa sada platných znakov (číslic) môže líšiť od sady iných číslic. Pozoruhodným príkladom je systém merania času. V kategórii sekúnd a minút je možných 60 rôznych symbolov (od „00“ do „59“), v kategórii hodín – 24 rôznych symbolov (od „00“ do „23“), v kategórii deň – 365 atď.
Nepolohové systémy
Len čo sa ľudia naučili počítať, vznikla potreba zapisovať si čísla. Na začiatku bolo všetko jednoduché - zárez alebo čiarka na nejakom povrchu zodpovedali jednému predmetu, napríklad jednému ovociu. Takto sa objavil prvý číselný systém - jednotka.Systém čísel jednotiek
Číslo v tejto číselnej sústave je reťazec pomlčiek (paličiek), ktorých počet sa rovná hodnote daného čísla. Úroda 100 datlí sa teda bude rovnať číslu pozostávajúcemu zo 100 čiarok.Tento systém má ale zjavné nevýhody – čím väčšie číslo, tým dlhší reťazec palíc. Navyše, pri písaní čísla sa môžete ľahko pomýliť tým, že omylom pridáte paličku navyše alebo naopak, nezapíšete si ho.
Pre pohodlie ľudia začali zoskupovať palice do 3, 5 a 10 kusov. Zároveň každá skupina zodpovedala konkrétnemu znaku alebo predmetu. Spočiatku sa na počítanie používali prsty, takže prvé znaky sa objavili pri skupinách po 5 a 10 kusoch (jednotkách). To všetko umožnilo vytvoriť pohodlnejšie systémy na zaznamenávanie čísel.
Staroegyptská desatinná sústava
V starovekom Egypte sa na označenie čísel 1, 10, 10 2, 10 3, 10 4, 10 5, 10 6, 10 7 používali špeciálne symboly (čísla). Tu sú niektoré z nich:Prečo sa to nazýva desatinné? Ako bolo uvedené vyššie, ľudia začali zoskupovať symboly. V Egypte zvolili skupinu 10, pričom číslo „1“ ponechali nezmenené. V tomto prípade sa číslo 10 nazýva základný desiatkový číselný systém a každý symbol je do určitej miery reprezentáciou čísla 10.
Čísla v staroegyptskom číselnom systéme boli napísané ako ich kombinácia
znaky, z ktorých každý sa opakoval najviac deväťkrát. Konečná hodnota sa rovnala súčtu prvkov čísla. Stojí za zmienku, že tento spôsob získania hodnoty je charakteristický pre každú nepozičnú číselnú sústavu. Príkladom môže byť číslo 345:
Babylonský šesťdesiatkový systém
Na rozdiel od egyptského používal babylonský systém iba 2 symboly: „rovný“ klin na označenie jednotiek a „ležiaci“ klin na označenie desiatok. Ak chcete určiť hodnotu čísla, musíte rozdeliť obrázok čísla na číslice sprava doľava. Nový výboj začína objavením sa rovného klinu po ležiacom. Vezmime si ako príklad číslo 32:
Číslo 60 a všetky jeho právomoci sú tiež označené rovným klinom, napríklad „1“. Preto sa babylonský číselný systém nazýval šesťdesiatkový.
Babylončania písali všetky čísla od 1 do 59 v desiatkovej nepozičnej sústave a veľké hodnoty v pozičnej sústave so základom 60. Číslo 92:
Zaznamenanie čísla bolo nejednoznačné, pretože neexistovala žiadna číslica označujúca nulu. Zastúpenie čísla 92 by mohlo znamenať nielen 92=60+32, ale napríklad aj 3632=3600+32. Na určenie absolútnej hodnoty čísla bol zavedený špeciálny symbol na označenie chýbajúcej šesťdesiatkovej číslice, ktorá zodpovedá výskytu čísla 0 v zápise desatinného čísla:
Teraz by sa číslo 3632 malo zapísať takto:
Babylonský šesťdesiatkový systém je prvým číselným systémom založeným čiastočne na pozičnom princípe. Tento číselný systém sa používa dodnes, napríklad pri určovaní času – hodina pozostáva zo 60 minút a minúta zo 60 sekúnd.
rímsky systém
Rímsky systém sa veľmi nelíši od egyptského. Používa veľké latinské písmená I, V, X, L, C, D a M, ktoré predstavujú čísla 1, 5, 10, 50, 100, 500 a 1000. Číslo v rímskej číselnej sústave je množina po sebe idúcich číslic.Metódy na určenie hodnoty čísla:
- Hodnota čísla sa rovná súčtu hodnôt jeho číslic. Napríklad číslo 32 v rímskej číselnej sústave je XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2=32
- Ak je naľavo od väčšej číslice menšia číslica, potom sa hodnota rovná rozdielu medzi väčšími a menšími číslicami. Zároveň môže byť ľavá číslica menšia ako pravá maximálne o jeden rád: napríklad len X(10) sa môže objaviť pred L(50) a C(100) medzi „najnižšími“ a len pred D(500) a M(1000) C(100), pred V(5) - iba I(1); číslo 444 v uvažovanej číselnej sústave sa zapíše ako CDXLIV = (D-C)+(L-X)+(V-I) = 400+40+4=444.
- Hodnota sa rovná súčtu hodnôt skupín a čísel, ktoré sa nezmestia do bodov 1 a 2.
1) slovanský
2) gréčtina (iónske)
Pozičné číselné sústavy
Ako už bolo spomenuté vyššie, prvé predpoklady pre vznik pozičného systému vznikli v starovekom Babylone. V Indii mal systém podobu pozičného desiatkového číslovania pomocou nuly a od Indov si tento číselný systém požičali Arabi, od ktorých si ho Európania osvojili. Z nejakého dôvodu bol v Európe tomuto systému priradený názov „Arab“.Desatinná číselná sústava
Toto je jeden z najbežnejších číselných systémov. To je to, čo používame, keď pomenujeme cenu produktu a povieme číslo autobusu. Každá číslica (pozícia) môže používať iba jednu číslicu z rozsahu od 0 do 9. Základom systému je číslo 10.Zoberme si napríklad číslo 503. Ak by toto číslo bolo napísané v nepozičnej sústave, potom by jeho hodnota bola 5+0+3 = 8. Máme však pozičnú sústavu a to znamená, že každá číslica čísla musí byť vynásobené základom systému, v tomto prípade číslom „10“, umocnené na mocninu rovnajúcu sa číslici. Ukazuje sa, že hodnota je 5*10 2 + 0*10 1 + 3*10 0 = 500+0+3 = 503. Aby nedošlo k zámene pri práci s niekoľkými číselnými systémami súčasne, základ je označený ako dolný index. Teda 503 = 503 10.
Okrem desiatkovej sústavy si osobitnú pozornosť zaslúžia 2-, 8- a 16. sústava.
Binárny číselný systém
Tento systém sa používa hlavne vo výpočtovej technike. Prečo nepoužili zvyčajnú desiatku? Prvý počítač vytvoril Blaise Pascal, ktorý používal desiatkovú sústavu, čo sa v moderných elektronických strojoch ukázalo ako nepohodlné, pretože si vyžadovalo výrobu zariadení schopných prevádzky v 10 stavoch, čo zvýšilo ich cenu a konečnú veľkosť stroj. Prvky fungujúce v 2. systéme tieto nedostatky nemajú. Spomínaný systém však vznikol dávno pred vynálezom počítačov a má svoje „korene“ v civilizácii Inkov, kde sa používali quipus – zložité laná a uzly.Binárny pozičný číselný systém má základ 2 a na zápis čísel používa 2 symboly (číslice): 0 a 1. V každej číslici je povolená iba jedna číslica – buď 0 alebo 1.
Príkladom je číslo 101. Je podobné číslu 5 v desiatkovej číselnej sústave. Ak chcete previesť z 2 na 10, musíte vynásobiť každú číslicu binárneho čísla základom „2“ umocneným na mocninu rovnajúcu sa hodnote miesta. Teda číslo 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10.
No, pre stroje je 2. číselný systém pohodlnejší, ale často vidíme a používame čísla v 10. systéme na počítači. Ako potom stroj určí, aké číslo používateľ zadáva? Ako preloží číslo z jedného systému do druhého, pretože má iba 2 symboly - 0 a 1?
Aby mohol počítač pracovať s binárnymi číslami (kódmi), musia byť niekde uložené. Na uloženie každej jednotlivej číslice sa používa spúšť, ktorá je elektronickým obvodom. Môže byť v 2 stavoch, z ktorých jeden zodpovedá nule, druhý jednému. Na zapamätanie si jedného čísla slúži register – skupina spúšťačov, ktorých počet zodpovedá počtu číslic v binárnom čísle. A sada registrov je RAM. Číslo obsiahnuté v registri je strojové slovo. Aritmetické a logické operácie so slovami vykonáva aritmetická logická jednotka (ALU). Pre zjednodušenie prístupu k registrom sú očíslované. Číslo sa nazýva adresa registra. Napríklad, ak potrebujete pridať 2 čísla, stačí uviesť čísla buniek (registrov), v ktorých sa nachádzajú, a nie samotné čísla. Adresy sa píšu v osmičkových a šestnástkových sústavách (budú popísané nižšie), pretože prechod z nich do dvojkovej sústavy a späť je pomerne jednoduchý. Pre prevod z 2. na 8. je potrebné číslo rozdeliť do skupín po 3 číslice sprava doľava a na prechod na 16. - 4. Ak v skupine číslic úplne vľavo nie je dostatok číslic, vyplnia sa zľava s nulami, ktoré sa nazývajú vedenie. Zoberme si číslo 101100 2 ako príklad. V osmičke je to 101 100 = 54 8 a v šestnástkovej sústave je to 0010 1100 = 2C 16. Skvelé, ale prečo na obrazovke vidíme desatinné čísla a písmená? Keď stlačíte kláves, do počítača sa prenesie určitá sekvencia elektrických impulzov a každý symbol má svoju vlastnú sekvenciu elektrických impulzov (nuly a jednotky). Program ovládača klávesnice a obrazovky pristúpi k tabuľke kódov znakov (napríklad Unicode, ktorá umožňuje zakódovať 65536 znakov), určí, ktorému znaku zodpovedá výsledný kód, a zobrazí ho na obrazovke. Texty a čísla sú teda uložené v pamäti počítača v binárnom kóde a sú programovo prevedené na obrázky na obrazovke.
Osmičková číselná sústava
8. číselná sústava, podobne ako binárna, sa často používa v digitálnej technike. Má základ 8 a na písanie čísel používa číslice 0 až 7.Príklad osmičkového čísla: 254. Na prevod do 10. sústavy je potrebné každú číslicu pôvodného čísla vynásobiť 8 n, kde n je číslicové číslo. Ukazuje sa, že 254 8 = 2*8 2 + 5*8 1 + 4*8 0 = 128+40+4 = 172 10.
Hexadecimálna číselná sústava
Hexadecimálny systém je široko používaný v moderných počítačoch, napríklad sa používa na označenie farby: #FFFFFF - biela. Príslušný systém má základ 16 a na zápis používa tieto čísla: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. C, D, E, F, kde písmená sú 10, 11, 12, 13, 14, 15.Vezmime si ako príklad číslo 4F5 16. Ak chcete previesť na osmičkovú sústavu, najskôr prevedieme šestnástkové číslo na binárne a potom ho rozdelíme do skupín po 3 číslice na osmičkové. Ak chcete previesť číslo na 2, musíte každú číslicu reprezentovať ako 4-bitové binárne číslo. 4F5 16 = (100 1111 101) 2. Ale v skupinách 1 a 3 nie je dostatok číslic, takže každú vyplňte vodiacimi nulami: 0100 1111 0101. Teraz musíte výsledné číslo rozdeliť na skupiny po 3 číslice sprava doľava: 0100 1111 0101 = 010 011 110 101 . Preveďme každú binárnu skupinu na osmičkovú sústavu, pričom každú číslicu vynásobíme 2 n, kde n je číslo číslice: (0*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (0*2 2 +1*2 1 + 1 * 2 0) (1 * 2 2 + 1 * 2 1 + 0 * 2 0) (1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0) = 2365 8 .
Okrem uvažovaných pozičných číselných systémov existujú aj iné, napríklad:
1) Trojica
2) Kvartér
3) Duodecimálne
Polohové systémy sa delia na homogénne a zmiešané.
Homogénne pozičné číselné sústavy
Definícia uvedená na začiatku článku celkom úplne popisuje homogénne systémy, takže objasnenie nie je potrebné.Zmiešané číselné sústavy
K už uvedenej definícii môžeme pridať vetu: „ak P=Q n (P,Q,n sú kladné celé čísla, pričom P a Q sú základy), potom záznam ľubovoľného čísla v zmiešanej (P-Q) číselnej sústave je rovnaký. sa zhoduje so zápisom rovnakého čísla v číselnej sústave so základom Q.“Na základe vety môžeme formulovať pravidlá pre prechod z P-tého do Q-tého systému a naopak:
- Ak chcete previesť z Q-tej na P-tú, musíte rozdeliť číslo v Q-tej sústave na skupiny n číslic, počnúc pravou číslicou, a nahradiť každú skupinu jednou číslicou v P-tej sústave. .
- Na prevod z P-tej na Q-tú je potrebné previesť každú číslicu čísla v P-tej sústave na Q-tú a chýbajúce číslice doplniť vodiacimi nulami s výnimkou ľavej tak, aby každé číslo v sústave so základom Q pozostáva z n číslic .
Zmiešané číselné systémy sú tiež napríklad:
1) Faktorový
2) Fibonacci
Prevod z jedného číselného systému do druhého
Niekedy je potrebné previesť číslo z jednej číselnej sústavy do druhej, preto sa pozrime na spôsoby prevodu medzi rôznymi sústavami.Prevod do desiatkovej číselnej sústavy
V číselnej sústave so základom b je číslo a 1 a 2 a 3. Pre prevod do 10. sústavy je potrebné vynásobiť každú číslicu čísla b n, kde n je číslo číslice. Teda (a 1 a 2 a 3) b = (a 1 * b 2 + a 2 * b 1 + a 3 * b 0) 10.Príklad: 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10
Prevod z desiatkovej číselnej sústavy na iné
Celá časť:- Celú časť desatinného čísla postupne delíme základom sústavy, do ktorej prevádzame, až kým sa desatinné číslo nerovná nule.
- Zvyšky získané pri delení sú číslice požadovaného čísla. Číslo v novom systéme sa zapisuje od posledného zvyšku.
- Zlomkovú časť desatinného čísla vynásobíme základom sústavy, na ktorú chceme previesť. Oddeľte celú časť. Pokračujeme v násobení zlomkovej časti základom nového systému, kým sa nerovná 0.
- Čísla v novom systéme sú tvorené celými časťami výsledkov násobenia v poradí zodpovedajúcom ich výrobe.
15\8 = 1, zvyšok 7
1\8 = 0, zvyšok 1
Po zapísaní všetkých zvyškov zdola nahor dostaneme konečné číslo 17. Preto 15 10 = 17 8.
Konverzia z dvojkovej sústavy na osmičkovú a hexadecimálnu
Ak chcete previesť na osmičkové číslo, rozdelíme binárne číslo na skupiny po 3 číslice sprava doľava a chýbajúce najvzdialenejšie číslice doplníme nulami. Ďalej transformujeme každú skupinu postupným vynásobením číslic 2n, kde n je číslo číslice.Vezmime si ako príklad číslo 1001 2: 1001 2 = 001 001 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) = ( 0+ 0+1) (0+0+1) = 11 8
Ak chcete previesť na šestnástkové číslo, rozdelíme binárne číslo na skupiny po 4 číslice sprava doľava, potom podobne ako pri prevode z 2. na 8. číslo.
Konvertovať z osmičkového a šestnástkového čísla na binárne
Konverzia z osmičkového na binárne - každú číslicu osmičkového čísla prevedieme na binárne 3-miestne číslo delením 2 (viac informácií o delení nájdete v odseku „Prevod z desiatkovej číselnej sústavy na iné“), vyplňte chýbajúce krajné číslice s úvodnými nulami.Uvažujme napríklad číslo 45 8: 45 = (100) (101) = 100101 2
Preklad zo 16. na 2. - každú číslicu šestnástkového čísla prevedieme na binárne 4-miestne číslo delením 2, pričom chýbajúce vonkajšie číslice doplníme nulami.
Prevod zlomkovej časti ľubovoľnej číselnej sústavy na desiatkovú
Prevod sa vykonáva rovnakým spôsobom ako v prípade celých častí, s výnimkou toho, že číslice čísla sa vynásobia základňou na mocninu „-n“, kde n začína od 1.
Príklad: 101 011 2 = (1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 -1 + 1*2 -2 + 1*2 -3) = (5), (0 + 0 0,25 + 0,125) = 5,375 10
Prevod zlomkovej časti dvojkovej sústavy na 8. a 16. jednotku
Preklad zlomkovej časti sa vykonáva rovnako ako pri celých častiach čísla, s jedinou výnimkou, že rozdelenie na skupiny po 3 a 4 číslic ide vpravo od desatinnej čiarky, chýbajúce číslice sa doplnia o nuly doprava.Príklad: 1001,01 2 = 001 001, 010 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 2 + 1 *2 1 + 0*2 0) = (0+0+1) (0+0+1), (0+2+0) = 11,2 8
Prevod zlomkovej časti desiatkovej sústavy na akúkoľvek inú
Ak chcete previesť zlomkovú časť čísla na iné číselné systémy, musíte celú časť zmeniť na nulu a začať násobiť výsledné číslo základom systému, na ktorý chcete previesť. Ak sa v dôsledku násobenia objavia opäť celé časti, treba ich po prvom zapamätaní (zapísaní) hodnoty celej výslednej časti opäť vynulovať. Operácia končí, keď je zlomková časť úplne nulová.Napríklad skonvertujme 10,625 10 na binárne:
0,625*2 = 1,25
0,250*2 = 0,5
0,5*2 = 1,0
Zapísaním všetkých zvyškov zhora nadol dostaneme 10,625 10 = (1010), (101) = 1010,101 2
Pri štúdiu kódovania som si uvedomil, že dosť dobre nerozumiem číselným sústavám. Napriek tomu som často používal 2-, 8-, 10-, 16-ty systém, konvertoval som jeden na druhý, ale všetko sa robilo „automaticky“. Po prečítaní mnohých publikácií ma prekvapilo, že chýba jediný článok v jednoduchom jazyku o takomto základnom materiáli. Preto som sa rozhodol napísať svoj vlastný, v ktorom som sa snažil prístupným a usporiadaným spôsobom podať základy číselných sústav.
Úvod
Notový zápis je spôsob zaznamenávania (reprezentácie) čísel.Čo to znamená? Napríklad pred sebou vidíte niekoľko stromov. Vašou úlohou je spočítať ich. Ak to chcete urobiť, môžete ohnúť prsty, urobiť zárezy na kameni (jeden strom - jeden prst/zárez) alebo spojiť 10 stromov s predmetom, napríklad kameňom, a jeden exemplár s palicou a umiestniť ich na zemi ako rátate. V prvom prípade je číslo reprezentované ako reťazec ohnutých prstov alebo zárezov, v druhom - kompozícia kameňov a palíc, kde kamene sú vľavo a palice vpravo.
Číselné sústavy sa delia na pozičné a nepozičné a pozičné zasa na homogénne a zmiešané.
Nepozičné- najstarší, v ňom má každá číslica čísla hodnotu, ktorá nezávisí od jej polohy (číslice). To znamená, že ak máte 5 riadkov, potom je číslo tiež 5, pretože každý riadok, bez ohľadu na jeho miesto v riadku, zodpovedá iba 1 položke.
Polohový systém- význam každej číslice závisí od jej pozície (číslice) v čísle. Napríklad 10. číselný systém, ktorý je nám známy, je pozičný. Zoberme si číslo 453. Číslo 4 označuje počet stoviek a zodpovedá číslu 400, 5 - počet desiatok a je podobný hodnote 50 a 3 - jednotky a hodnote 3. Ako vidíte, čím väčšia číslica, tým vyššia hodnota. Konečné číslo môže byť vyjadrené ako súčet 400+50+3=453.
Homogénny systém- pre všetky číslice (pozície) čísla je množina platných znakov (číslic) rovnaká. Ako príklad si vezmime už spomínaný 10. systém. Pri písaní čísla v homogénnej desiatej sústave môžete v každej číslici použiť iba jednu číslicu od 0 do 9, preto je povolené číslo 450 (1. číslica - 0, 2. - 5, 3. - 4), ale 4F5 nie, pretože znak F nie je zahrnutý v množine čísel 0 až 9.
Zmiešaný systém- v každej číslici (pozícii) čísla sa sada platných znakov (číslic) môže líšiť od sady iných číslic. Pozoruhodným príkladom je systém merania času. V kategórii sekúnd a minút je možných 60 rôznych symbolov (od „00“ do „59“), v kategórii hodín – 24 rôznych symbolov (od „00“ do „23“), v kategórii deň – 365 atď.
Nepolohové systémy
Len čo sa ľudia naučili počítať, vznikla potreba zapisovať si čísla. Na začiatku bolo všetko jednoduché - zárez alebo čiarka na nejakom povrchu zodpovedali jednému predmetu, napríklad jednému ovociu. Takto sa objavil prvý číselný systém - jednotka.Systém čísel jednotiek
Číslo v tejto číselnej sústave je reťazec pomlčiek (paličiek), ktorých počet sa rovná hodnote daného čísla. Úroda 100 datlí sa teda bude rovnať číslu pozostávajúcemu zo 100 čiarok.Tento systém má ale zjavné nevýhody – čím väčšie číslo, tým dlhší reťazec palíc. Navyše, pri písaní čísla sa môžete ľahko pomýliť tým, že omylom pridáte paličku navyše alebo naopak, nezapíšete si ho.
Pre pohodlie ľudia začali zoskupovať palice do 3, 5 a 10 kusov. Zároveň každá skupina zodpovedala konkrétnemu znaku alebo predmetu. Spočiatku sa na počítanie používali prsty, takže prvé znaky sa objavili pri skupinách po 5 a 10 kusoch (jednotkách). To všetko umožnilo vytvoriť pohodlnejšie systémy na zaznamenávanie čísel.
Staroegyptská desatinná sústava
V starovekom Egypte sa na označenie čísel 1, 10, 10 2, 10 3, 10 4, 10 5, 10 6, 10 7 používali špeciálne symboly (čísla). Tu sú niektoré z nich:Prečo sa to nazýva desatinné? Ako bolo uvedené vyššie, ľudia začali zoskupovať symboly. V Egypte zvolili skupinu 10, pričom číslo „1“ ponechali nezmenené. V tomto prípade sa číslo 10 nazýva základný desiatkový číselný systém a každý symbol je do určitej miery reprezentáciou čísla 10.
Čísla v staroegyptskom číselnom systéme boli napísané ako ich kombinácia
znaky, z ktorých každý sa opakoval najviac deväťkrát. Konečná hodnota sa rovnala súčtu prvkov čísla. Stojí za zmienku, že tento spôsob získania hodnoty je charakteristický pre každú nepozičnú číselnú sústavu. Príkladom môže byť číslo 345:
Babylonský šesťdesiatkový systém
Na rozdiel od egyptského používal babylonský systém iba 2 symboly: „rovný“ klin na označenie jednotiek a „ležiaci“ klin na označenie desiatok. Ak chcete určiť hodnotu čísla, musíte rozdeliť obrázok čísla na číslice sprava doľava. Nový výboj začína objavením sa rovného klinu po ležiacom. Vezmime si ako príklad číslo 32:Číslo 60 a všetky jeho právomoci sú tiež označené rovným klinom, napríklad „1“. Preto sa babylonský číselný systém nazýval šesťdesiatkový.
Babylončania písali všetky čísla od 1 do 59 v desiatkovej nepozičnej sústave a veľké hodnoty v pozičnej sústave so základom 60. Číslo 92:
Zaznamenanie čísla bolo nejednoznačné, pretože neexistovala žiadna číslica označujúca nulu. Zastúpenie čísla 92 by mohlo znamenať nielen 92=60+32, ale napríklad aj 3632=3600+32. Na určenie absolútnej hodnoty čísla bol zavedený špeciálny symbol na označenie chýbajúcej šesťdesiatkovej číslice, ktorá zodpovedá výskytu čísla 0 v zápise desatinného čísla:
Teraz by sa číslo 3632 malo zapísať takto:
Babylonský šesťdesiatkový systém je prvým číselným systémom založeným čiastočne na pozičnom princípe. Tento číselný systém sa používa dodnes, napríklad pri určovaní času – hodina pozostáva zo 60 minút a minúta zo 60 sekúnd.
rímsky systém
Rímsky systém sa veľmi nelíši od egyptského. Používa veľké latinské písmená I, V, X, L, C, D a M, ktoré predstavujú čísla 1, 5, 10, 50, 100, 500 a 1000. Číslo v rímskej číselnej sústave je množina po sebe idúcich číslic.Metódy na určenie hodnoty čísla:
- Hodnota čísla sa rovná súčtu hodnôt jeho číslic. Napríklad číslo 32 v rímskej číselnej sústave je XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2=32
- Ak je naľavo od väčšej číslice menšia číslica, potom sa hodnota rovná rozdielu medzi väčšími a menšími číslicami. Zároveň môže byť ľavá číslica menšia ako pravá maximálne o jeden rád: napríklad len X(10) sa môže objaviť pred L(50) a C(100) medzi „najnižšími“ a len pred D(500) a M(1000) C(100), pred V(5) - iba I(1); číslo 444 v uvažovanej číselnej sústave sa zapíše ako CDXLIV = (D-C)+(L-X)+(V-I) = 400+40+4=444.
- Hodnota sa rovná súčtu hodnôt skupín a čísel, ktoré sa nezmestia do bodov 1 a 2.
1) slovanský
2) gréčtina (iónske)
Pozičné číselné sústavy
Ako už bolo spomenuté vyššie, prvé predpoklady pre vznik pozičného systému vznikli v starovekom Babylone. V Indii mal systém podobu pozičného desiatkového číslovania pomocou nuly a od Indov si tento číselný systém požičali Arabi, od ktorých si ho Európania osvojili. Z nejakého dôvodu bol v Európe tomuto systému priradený názov „Arab“.Desatinná číselná sústava
Toto je jeden z najbežnejších číselných systémov. To je to, čo používame, keď pomenujeme cenu produktu a povieme číslo autobusu. Každá číslica (pozícia) môže používať iba jednu číslicu z rozsahu od 0 do 9. Základom systému je číslo 10.Zoberme si napríklad číslo 503. Ak by toto číslo bolo napísané v nepozičnej sústave, potom by jeho hodnota bola 5+0+3 = 8. Máme však pozičnú sústavu a to znamená, že každá číslica čísla musí byť vynásobené základom systému, v tomto prípade číslom „10“, umocnené na mocninu rovnajúcu sa číslici. Ukazuje sa, že hodnota je 5*10 2 + 0*10 1 + 3*10 0 = 500+0+3 = 503. Aby nedošlo k zámene pri práci s niekoľkými číselnými systémami súčasne, základ je označený ako dolný index. Teda 503 = 503 10.
Okrem desiatkovej sústavy si osobitnú pozornosť zaslúžia 2-, 8- a 16. sústava.
Binárny číselný systém
Tento systém sa používa hlavne vo výpočtovej technike. Prečo nepoužili zvyčajnú desiatku? Prvý počítač vytvoril Blaise Pascal, ktorý používal desiatkovú sústavu, čo sa v moderných elektronických strojoch ukázalo ako nepohodlné, pretože si vyžadovalo výrobu zariadení schopných prevádzky v 10 stavoch, čo zvýšilo ich cenu a konečnú veľkosť stroj. Prvky fungujúce v 2. systéme tieto nedostatky nemajú. Spomínaný systém však vznikol dávno pred vynálezom počítačov a má svoje „korene“ v civilizácii Inkov, kde sa používali quipus – zložité laná a uzly.Binárny pozičný číselný systém má základ 2 a na zápis čísel používa 2 symboly (číslice): 0 a 1. V každej číslici je povolená iba jedna číslica – buď 0 alebo 1.
Príkladom je číslo 101. Je podobné číslu 5 v desiatkovej číselnej sústave. Ak chcete previesť z 2 na 10, musíte vynásobiť každú číslicu binárneho čísla základom „2“ umocneným na mocninu rovnajúcu sa hodnote miesta. Teda číslo 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10.
No, pre stroje je 2. číselný systém pohodlnejší, ale často vidíme a používame čísla v 10. systéme na počítači. Ako potom stroj určí, aké číslo používateľ zadáva? Ako preloží číslo z jedného systému do druhého, pretože má iba 2 symboly - 0 a 1?
Aby mohol počítač pracovať s binárnymi číslami (kódmi), musia byť niekde uložené. Na uloženie každej jednotlivej číslice sa používa spúšť, ktorá je elektronickým obvodom. Môže byť v 2 stavoch, z ktorých jeden zodpovedá nule, druhý jednému. Na zapamätanie si jedného čísla slúži register – skupina spúšťačov, ktorých počet zodpovedá počtu číslic v binárnom čísle. A sada registrov je RAM. Číslo obsiahnuté v registri je strojové slovo. Aritmetické a logické operácie so slovami vykonáva aritmetická logická jednotka (ALU). Pre zjednodušenie prístupu k registrom sú očíslované. Číslo sa nazýva adresa registra. Napríklad, ak potrebujete pridať 2 čísla, stačí uviesť čísla buniek (registrov), v ktorých sa nachádzajú, a nie samotné čísla. Adresy sa píšu v osmičkových a šestnástkových sústavách (budú popísané nižšie), pretože prechod z nich do dvojkovej sústavy a späť je pomerne jednoduchý. Pre prevod z 2. na 8. je potrebné číslo rozdeliť do skupín po 3 číslice sprava doľava a na prechod na 16. - 4. Ak v skupine číslic úplne vľavo nie je dostatok číslic, vyplnia sa zľava s nulami, ktoré sa nazývajú vedenie. Zoberme si číslo 101100 2 ako príklad. V osmičke je to 101 100 = 54 8 a v šestnástkovej sústave je to 0010 1100 = 2C 16. Skvelé, ale prečo na obrazovke vidíme desatinné čísla a písmená? Keď stlačíte kláves, do počítača sa prenesie určitá sekvencia elektrických impulzov a každý symbol má svoju vlastnú sekvenciu elektrických impulzov (nuly a jednotky). Program ovládača klávesnice a obrazovky pristúpi k tabuľke kódov znakov (napríklad Unicode, ktorá umožňuje zakódovať 65536 znakov), určí, ktorému znaku zodpovedá výsledný kód, a zobrazí ho na obrazovke. Texty a čísla sú teda uložené v pamäti počítača v binárnom kóde a sú programovo prevedené na obrázky na obrazovke.
Osmičková číselná sústava
8. číselná sústava, podobne ako binárna, sa často používa v digitálnej technike. Má základ 8 a na písanie čísel používa číslice 0 až 7.Príklad osmičkového čísla: 254. Na prevod do 10. sústavy je potrebné každú číslicu pôvodného čísla vynásobiť 8 n, kde n je číslicové číslo. Ukazuje sa, že 254 8 = 2*8 2 + 5*8 1 + 4*8 0 = 128+40+4 = 172 10.
Hexadecimálna číselná sústava
Hexadecimálny systém je široko používaný v moderných počítačoch, napríklad sa používa na označenie farby: #FFFFFF - biela. Príslušný systém má základ 16 a na zápis používa tieto čísla: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. C, D, E, F, kde písmená sú 10, 11, 12, 13, 14, 15.Vezmime si ako príklad číslo 4F5 16. Ak chcete previesť na osmičkovú sústavu, najskôr prevedieme šestnástkové číslo na binárne a potom ho rozdelíme do skupín po 3 číslice na osmičkové. Ak chcete previesť číslo na 2, musíte každú číslicu reprezentovať ako 4-bitové binárne číslo. 4F5 16 = (100 1111 101) 2. Ale v skupinách 1 a 3 nie je dostatok číslic, takže každú vyplňte vodiacimi nulami: 0100 1111 0101. Teraz musíte výsledné číslo rozdeliť na skupiny po 3 číslice sprava doľava: 0100 1111 0101 = 010 011 110 101 . Preveďme každú binárnu skupinu na osmičkovú sústavu, pričom každú číslicu vynásobíme 2 n, kde n je číslo číslice: (0*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (0*2 2 +1*2 1 + 1 * 2 0) (1 * 2 2 + 1 * 2 1 + 0 * 2 0) (1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0) = 2365 8 .
Okrem uvažovaných pozičných číselných systémov existujú aj iné, napríklad:
1) Trojica
2) Kvartér
3) Duodecimálne
Polohové systémy sa delia na homogénne a zmiešané.
Homogénne pozičné číselné sústavy
Definícia uvedená na začiatku článku celkom úplne popisuje homogénne systémy, takže objasnenie nie je potrebné.Zmiešané číselné sústavy
K už uvedenej definícii môžeme pridať vetu: „ak P=Q n (P,Q,n sú kladné celé čísla, pričom P a Q sú základy), potom záznam ľubovoľného čísla v zmiešanej (P-Q) číselnej sústave je rovnaký. sa zhoduje so zápisom rovnakého čísla v číselnej sústave so základom Q.“Na základe vety môžeme formulovať pravidlá pre prechod z P-tého do Q-tého systému a naopak:
- Ak chcete previesť z Q-tej na P-tú, musíte rozdeliť číslo v Q-tej sústave na skupiny n číslic, počnúc pravou číslicou, a nahradiť každú skupinu jednou číslicou v P-tej sústave. .
- Na prevod z P-tej na Q-tú je potrebné previesť každú číslicu čísla v P-tej sústave na Q-tú a chýbajúce číslice doplniť vodiacimi nulami s výnimkou ľavej tak, aby každé číslo v sústave so základom Q pozostáva z n číslic .
Zmiešané číselné systémy sú tiež napríklad:
1) Faktorový
2) Fibonacci
Prevod z jedného číselného systému do druhého
Niekedy je potrebné previesť číslo z jednej číselnej sústavy do druhej, preto sa pozrime na spôsoby prevodu medzi rôznymi sústavami.Prevod do desiatkovej číselnej sústavy
V číselnej sústave so základom b je číslo a 1 a 2 a 3. Pre prevod do 10. sústavy je potrebné vynásobiť každú číslicu čísla b n, kde n je číslo číslice. Teda (a 1 a 2 a 3) b = (a 1 * b 2 + a 2 * b 1 + a 3 * b 0) 10.Príklad: 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10
Prevod z desiatkovej číselnej sústavy na iné
Celá časť:- Celú časť desatinného čísla postupne delíme základom sústavy, do ktorej prevádzame, až kým sa desatinné číslo nerovná nule.
- Zvyšky získané pri delení sú číslice požadovaného čísla. Číslo v novom systéme sa zapisuje od posledného zvyšku.
- Zlomkovú časť desatinného čísla vynásobíme základom sústavy, na ktorú chceme previesť. Oddeľte celú časť. Pokračujeme v násobení zlomkovej časti základom nového systému, kým sa nerovná 0.
- Čísla v novom systéme sú tvorené celými časťami výsledkov násobenia v poradí zodpovedajúcom ich výrobe.
15\8 = 1, zvyšok 7
1\8 = 0, zvyšok 1
Po zapísaní všetkých zvyškov zdola nahor dostaneme konečné číslo 17. Preto 15 10 = 17 8.
Konverzia z dvojkovej sústavy na osmičkovú a hexadecimálnu
Ak chcete previesť na osmičkové číslo, rozdelíme binárne číslo na skupiny po 3 číslice sprava doľava a chýbajúce najvzdialenejšie číslice doplníme nulami. Ďalej transformujeme každú skupinu postupným vynásobením číslic 2n, kde n je číslo číslice.Vezmime si ako príklad číslo 1001 2: 1001 2 = 001 001 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) = ( 0+ 0+1) (0+0+1) = 11 8
Ak chcete previesť na šestnástkové číslo, rozdelíme binárne číslo na skupiny po 4 číslice sprava doľava, potom podobne ako pri prevode z 2. na 8. číslo.
Konvertovať z osmičkového a šestnástkového čísla na binárne
Konverzia z osmičkového na binárne - každú číslicu osmičkového čísla prevedieme na binárne 3-miestne číslo delením 2 (viac informácií o delení nájdete v odseku „Prevod z desiatkovej číselnej sústavy na iné“), vyplňte chýbajúce krajné číslice s úvodnými nulami.Uvažujme napríklad číslo 45 8: 45 = (100) (101) = 100101 2
Preklad zo 16. na 2. - každú číslicu šestnástkového čísla prevedieme na binárne 4-miestne číslo delením 2, pričom chýbajúce vonkajšie číslice doplníme nulami.
Prevod zlomkovej časti ľubovoľnej číselnej sústavy na desiatkovú
Prevod sa vykonáva rovnakým spôsobom ako v prípade celých častí, s výnimkou toho, že číslice čísla sa vynásobia základňou na mocninu „-n“, kde n začína od 1.
Príklad: 101 011 2 = (1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 -1 + 1*2 -2 + 1*2 -3) = (5), (0 + 0 0,25 + 0,125) = 5,375 10
Prevod zlomkovej časti dvojkovej sústavy na 8. a 16. jednotku
Preklad zlomkovej časti sa vykonáva rovnako ako pri celých častiach čísla, s jedinou výnimkou, že rozdelenie na skupiny po 3 a 4 číslic ide vpravo od desatinnej čiarky, chýbajúce číslice sa doplnia o nuly doprava.Príklad: 1001,01 2 = 001 001, 010 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 2 + 1 *2 1 + 0*2 0) = (0+0+1) (0+0+1), (0+2+0) = 11,2 8
Prevod zlomkovej časti desiatkovej sústavy na akúkoľvek inú
Ak chcete previesť zlomkovú časť čísla na iné číselné systémy, musíte celú časť zmeniť na nulu a začať násobiť výsledné číslo základom systému, na ktorý chcete previesť. Ak sa v dôsledku násobenia objavia opäť celé časti, treba ich po prvom zapamätaní (zapísaní) hodnoty celej výslednej časti opäť vynulovať. Operácia končí, keď je zlomková časť úplne nulová.Napríklad skonvertujme 10,625 10 na binárne:
0,625*2 = 1,25
0,250*2 = 0,5
0,5*2 = 1,0
Zapísaním všetkých zvyškov zhora nadol dostaneme 10,625 10 = (1010), (101) = 1010,101 2
