Výpočet pi pomocou metódy ihla-buffon. Buffonov algoritmus na určenie pi

07.02.2024

Metóda Monte Carlo(Monte Carlo metódy, MMC) je všeobecný názov skupiny numerických metód založených na získaní veľkého počtu realizácií stochastického (náhodného) procesu, ktorý je vytvorený tak, že jeho pravdepodobnostné charakteristiky sa zhodujú s podobnými hodnotami. riešeného problému. Používa sa na riešenie problémov v rôznych oblastiach fyziky, chémie, matematiky, ekonómie, optimalizácie, teórie riadenia atď.

Príbeh

Buffonov algoritmus na určenie Pi

Náhodné premenné sa používajú na riešenie rôznych aplikovaných problémov už pomerne dlho. Príkladom je metóda na určenie čísla Pi, ktorú navrhol Buffon už v roku 1777. Podstatou metódy bolo hodiť dĺžku ihly L na rovinu nakreslenú rovnobežnými čiarami umiestnenými vo vzdialenosti r od seba (pozri obr. 1).

Obrázok 1. Buffonova metóda

Pravdepodobnosť (ako je zrejmé z ďalšieho kontextu, nehovoríme o pravdepodobnosti, ale o matematickom očakávaní počtu priesečníkov v jednom experimente; pravdepodobnosťou sa stáva iba vtedy, ak r>L), že úsečka pretína priamku súvisí s číslom Pi:

, Kde

A- vzdialenosť od začiatku ihly k najbližšej priamke;

θ je uhol ihly vzhľadom na priamky.

Je ľahké vziať tento integrál: (za predpokladu, že r>L), preto spočítaním podielu segmentov pretínajúcich čiary môžeme toto číslo približne určiť. So zvyšujúcim sa počtom pokusov sa zvýši presnosť získaného výsledku.

V roku 1864, keď sa kapitán Fox zotavoval zo zranenia, aby sa nejako zamestnal, vykonal experiment s hádzaním ihly. Výsledky sú uvedené v nasledujúcej tabuľke:

	Počet hodov	Počet križovatiek	Dĺžka ihly	Vzdialenosť medzi čiarami	Rotácia	Hodnota pí
Prvý pokus					neprítomný
Druhý pokus					prítomný
Tretí pokus					prítomný

Komentáre:

Rotácia roviny sa použila (a ako ukazujú výsledky úspešne) na zníženie systematickej chyby.

V treťom pokuse bola dĺžka ihly väčšia ako vzdialenosť medzi čiarami, čo umožnilo bez zvýšenia počtu hodov efektívne zvýšiť počet udalostí a zlepšiť presnosť.

Vzťah medzi stochastickými procesmi a diferenciálnymi rovnicami

Vytváranie matematického aparátu stochastických metód sa začalo koncom 19. storočia. V roku 1899 Lord Rayleigh ukázal, že jednorozmerná náhodná prechádzka po nekonečnej mriežke môže poskytnúť približné riešenie parabolickej diferenciálnej rovnice. Andrei Kolmogorov v roku 1931 dal veľký impulz rozvoju stochastických prístupov k riešeniu rôznych matematických problémov, pretože dokázal, že Markovove reťazce súvisia s určitými integro-diferenciálnymi rovnicami. V roku 1933 Ivan Petrovský ukázal, že náhodná prechádzka tvoriaca Markovov reťazec asymptoticky súvisí s riešením eliptickej parciálnej diferenciálnej rovnice. Po týchto objavoch sa ukázalo, že stochastické procesy možno opísať diferenciálnymi rovnicami, a teda študovať pomocou v tom čase dobre vyvinutých matematických metód na riešenie týchto rovníc.

Zrod metódy Monte Carlo v Los Alamos

Najprv Enrico Fermi v 30. rokoch v Taliansku a potom John von Neumann Stanislaw Ulam v 40. rokoch v Los Alamos navrhli, že je možné použiť spojenie medzi stochastickými procesmi a diferenciálnymi rovnicami „v opačnom smere“. Navrhli použiť stochastický prístup k aproximácii viacrozmerných integrálov v transportných rovniciach, ktoré vznikli v súvislosti s problémom pohybu neutrónov vo visotropnom prostredí.

Myšlienku vyvinul Ulam, ktorý, ironicky, podobne ako Fox, zápasil s nútenou nečinnosťou pri rekonvalescencii z choroby a pri hraní solitaire si kládol otázku, aká je pravdepodobnosť, že hra solitaire „vyjde“. Prišiel s myšlienkou, že namiesto použitia zvyčajných úvah o kombinatorike pri takýchto problémoch by mohol jednoducho vykonať „experiment“ veľakrát, a tak, spočítajúc počet úspešných výsledkov, odhadnúť ich pravdepodobnosť. Navrhol tiež použitie počítačov na výpočty Monte Carlo.

Príchod prvých elektronických počítačov, ktoré dokázali generovať pseudonáhodné čísla vysokou rýchlosťou, dramaticky rozšíril okruh problémov, pri ktorých sa stochastický prístup ukázal byť efektívnejší ako iné matematické metódy. Potom nastal veľký prelom a metóda Monte Carlo bola použitá v mnohých problémoch, no jej použitie nebolo vždy opodstatnené kvôli veľkému počtu výpočtov potrebných na získanie odpovede s danou presnosťou.

Za rok zrodu metódy Monte Carlo sa považuje rok 1949, kedy bol publikovaný článok Metropolisa a Ulama „Metóda Monte Carlo“. Názov metódy pochádza z názvu mesta v Monackom kniežatstve, ktoré je všeobecne známe svojimi početnými kasínami, keďže ruleta je jedným z najznámejších generátorov náhodných čísel. Stanislaw Ulam vo svojej autobiografii Adventures of a Matematician píše, že meno navrhol Nicholas Metropolis na počesť svojho strýka, ktorý bol hazardným hráčom.

Rovina je lemovaná rovnobežnými čiarami. Vzdialenosť medzi akýmikoľvek dvoma susednými priamkami sa rovná 1. Ihla pevnej dĺžky padá na rovinu l (l ≤ 1).

Nájsť pravdepodobnosť, s ktorou ihla pretína aspoň jednu z čiar (to znamená, že má spoločné body aspoň s jednou z čiar).
Predpokladáme, že ihla nemá hrúbku (je to len segment) a že padá a leží naplocho na rovine a nezapichuje sa do nej.

Nápoveda 1

Čo znamená pravdepodobnosť udalosti?

1. Najprv sa zhodneme na tom, čo máme na mysli udalosť. Urobme sériu identických experimentov - testov, v každom z nich sú použité rovnaké počiatočné podmienky a výsledok nasledujúceho testu nijako nezávisí od výsledkov predchádzajúcich. Učebnicové príklady: hod „dokonalou“ mincou, hod „dokonalou“ kockou. Alebo, ako v našom probléme, hádzať ihlu na lemovanú rovinu.

Každý test má iné elementárne výsledky. Napríklad hod číslom od 1 do 6 v príklade s kockami. Udalosť sa nazýva nejaká podmnožina množiny elementárnych výsledkov. Napríklad „roll 2“. Alebo „hodiť nepárne číslo“ (to znamená hodiť 1, 3 alebo 5). Môžete zvážiť zložitejšie testy, ako je hádzanie piatich mincí. Tu budú základné výsledky: „padlo päť hláv“, „spadlo štyri hlavy a jeden chvost“ atď. Za udalosť môžeme považovať napríklad toto: „padli najmenej tri hlavy“.

V našom probléme je test jedno hodenie ihly a udalosť, ktorú potrebujeme, je priesečník aspoň jednej čiary.

2. Pod pravdepodobnosť udalosti môžete pochopiť pomer počtu výsledkov priaznivých pre túto udalosť k počtu všetkých možných výsledkov (preto sa ukazuje, že pravdepodobnosť je vždy číslo od 0 do 1). Napríklad pravdepodobnosť udalosti „hodením nepárneho čísla“ pri hode kockou je 1/2, pretože sa zhoduje presne polovica všetkých možných výsledkov. Pravdepodobnosť udalosti „aspoň tri hlavy“ pri hode 5 mincí je tiež 1/2.

Táto definícia pravdepodobnosti funguje dobre, keď je množina možných výsledkov konečná. Ale v našom probléme je nekonečne veľa výsledkov - pozícií spadnutej ihly. A existuje tiež nekonečne veľa vhodných výsledkov. Ako byť? Upravme trochu našu „definíciu“: pravdepodobnosť udalosti- toto je podiel, ktorý „zaberajú“ priaznivé výsledky v súbore všetkých výsledkov. S touto „definíciou“ je už možné vypočítať pravdepodobnosť, ktorú problém vyžaduje.

Aby som bol úprimný, všetko uvedené vyššie je „praktické“ vysvetlenie a nemožno ho posudzovať so všetkou matematickou prísnosťou. Ale pre naše účely je tento prístup úplne postačujúci.

3. Ešte jeden príklad pre prehľadnosť. Uvažujme štvorec a spojíme stredy dvoch susedných strán segmentom, čím odrežeme roh. Potom ihlu náhodne zapichneme do štvorca. S akou pravdepodobnosťou sa dostaneme do rohu? Tu je výsledkom každého testu miesto, kde koniec ihly dopadne, to znamená jeden bod vo vnútri štvorca. Je jasné, že výsledkov je nekonečne veľa a že je tiež nekonečne veľa výsledkov vhodných pre našu akciu – dostať sa do kúta. Preto je už zbytočné hovoriť o počte výsledkov na výpočet pravdepodobnosti. Ale zlomok sa dá vypočítať - je to jednoducho pomer plôch rohu a štvorca. Rovná sa 1/8. Všimnite si, že hranice obrázkov majú nulovú plochu, takže na ne nemusíte myslieť. Ihla zasiahne najmä segment, ktorý odrezal roh s pravdepodobnosťou 0.

Nápoveda 2

Posledný príklad z prvej rady môže naznačiť možný spôsob riešenia problému. Je potrebné zadať parametre, ktoré by určili polohu ihly a umožnili nám popísať všetky prípady, kedy prekročí čiary. Dva parametre tu úplne stačia. Potom musíme pochopiť, aké hodnoty môžu mať tieto parametre a aké hodnoty popisujú našu udalosť. Ak si dobre vyberiete parametre, potom budú tieto podmienky celkom jednoduché a môžete ich dokonca „zobraziť“: zoberte súradnicovú rovinu, ktorej osi zodpovedajú parametrom, a nakreslite oblasť, ktorej body spĺňajú získané podmienky. Potom už zostáva len vypočítať plochu celej oblasti a plochu tej jej časti, ktorá zodpovedá priesečníku ihly a čiar. A potom nájdite pomer týchto plôch.

Riešenie

Dohodnime sa, že priame čiary z podmienky idú vodorovne. Hodili sme teda ihlu do lietadla. Ako opísať jeho umiestnenie tak, aby bolo vhodné vziať do úvahy križovatku s priamymi čiarami? Všimnime si zvláštnu symetriu: nie je pre nás také dôležité, na ktorý prúžok (alebo na ktorý, ak sú dva) prúžky medzi rovnými čiarami ihla padne - prúžky sú všetky rovnaké. Je tiež zrejmé, že horizontálne posuny tiež nemajú žiadny vplyv. Ale čo je naozaj dôležité, je, ako „ďaleko“ leží ihla od priamych čiar a pod akým uhlom je k nim naklonená. Preto ako parametre z druhej rady môžete vziať uhol sklonu α ihly k priamkam a vzdialenosť d od stredu ihly do najbližšie rovný (obr. 1). Používame teda ďalšiu „symetriu“, ktorá v probléme vznikla.

Aké hodnoty môžu tieto parametre nadobudnúť? Radiánová miera uhla α sa mení od 0 do π a d nadobúda hodnoty od 0 (ak je stred ihly na priamke) do 1/2 (stred ihly nemôže byť ďalej od priamky). V rovine so súradnicami (α, d) tieto obmedzenia vymedzujú obdĺžnik (obr. 2).

Z obrázku 3 je zrejmé, za akých podmienok na α a d ihla pretína aspoň jednu priamku: priemet polovice ihly v smere kolmom na priamky musí byť väčší d. To znamená, že nerovnosť musí byť uspokojená.

Máme teda popis všetkých prípadov, keď ihla pretína aspoň jednu priamku (priesečník s dvomi priamkami bude len vtedy, ak sú rovnosti α = π/2 a d= 1/2, čo môže poskytnúť iba jeden bod v našom obdĺžniku - nekonečnú množinu všetkých možných hodnôt dvojice parametrov). Zostáva vypočítať plochu pod grafom sínusoidy a rozdeliť ju plochou celého obdĺžnika, ktorá sa rovná π/2 (obr. 4).

Ako je známe, plocha pod grafom funkcie sa rovná určitému integrálu tejto funkcie v požadovanom intervale: .

V dôsledku toho zistíme, že požadovaná pravdepodobnosť sa rovná .

Doslov

Predpokladá sa, že tento problém bol prvýkrát nastolený a celkom dôkladne preštudovaný francúzskym vedcom z 18. storočia grófom de Buffonom – pomerne výnimočným človekom s veľmi širokým spektrom záujmov, ktorý urobil veľa užitočných vecí v rôznych oblastiach vedomostí. Preto sa často nazýva problém s Buffonovou ihlou. Zrejme to bol prvý problém o takzvanej geometrickej pravdepodobnosti. Ako sme videli, podstatou tohto prístupu je reprezentovať súbor elementárnych výsledkov nejakého testu vo forme geometrického útvaru a zredukovať otázku hľadania pravdepodobnosti konkrétnej udalosti na výpočet pomeru plôch vhodných útvarov. . Týmto spôsobom môžete vyriešiť niekoľko ďalších pomerne známych problémov - možno sa s niektorými z nich zoznámite neskôr tu v časti „Prvky“. Preto uvedieme ešte jednu jednoduchú úlohu ako cvičenie:

S akou pravdepodobnosťou je guľatá minca s priemerom d hodená na šachovnicovú rovinu (rozdelenú na jednotkové štvorce), ktorá nepokrýva žiadnu z čiar mriežky, to znamená, že celá skončí v jednom zo štvorcov?

Všimnite si, že pri riešení Buffonovho problému sa dá uvažovať trochu inak. Priebeh takéhoto rozhodnutia je podrobne popísaný (hoci v angličtine).

Teraz trochu o význame odpovede, ktorú sme dostali. O l = 1 odpoveď je približne 0,6366197... Čo presne toto číslo predstavuje? Ako obvykle, v teórii pravdepodobnosti by sa to malo chápať nasledovne. Povedzme, že sme urobili veľmi dlhú sériu testov. Povedzme, že sme mali trpezlivosť hádzať ihlou miliónkrát v každom teste a zapamätať si, koľkokrát pretínala rovné čiary v rovine. A tiež sme vykonali milión takýchto testov. Ukazuje sa, že vo väčšine z nich (najpravdepodobnejšie v prevažujúcom počte) sa počet priesečníkov blíži k 636 619. A čím viac takýchto testov vykonáme, tým viac bude pomer úspešných výsledkov (keď ručička prekročí čiaru) do. A v skutočnosti, samozrejme, vôbec nezáleží na tom, ako rozdelíte testy do sérií - dôležitý je iba celkový počet. V skutočnosti nie je dostatok trpezlivosti na vykonanie takej dlhej série testov. Ale môžete napísať program (alebo použiť existujúce, ako je tento), ktorý by vykonával rutinné operácie a dal by len počet priesečníkov pre veľký počet hodov.

To, čo bolo povedané v predchádzajúcom odseku, dáva nezvyčajný prístup k dôležitému problému presného výpočtu čísla π = 3,1415926... Pripomeňme, že toto číslo je definované ako pomer dĺžky kruhu k jeho priemeru (pre všetky kruhy tento pomer je rovnaký). Číslo π je jednou z hlavných konštánt v matematike a fyzike. Čiastočne sa to dá vysvetliť tým, že kruhy a elipsy sa v matematike a fyzike objavujú v rôznych problémoch a modeloch – od čisto geometrických až po praktické, ako sú výpočty obežných dráh planét a satelitov. Preto je dôležité vedieť presne vypočítať hodnotu čísla π. Je známe, že toto číslo je iracionálne, to znamená, že ho nemožno reprezentovať ako racionálny zlomok (pomer dvoch celých čísel), ale sú k nemu blízke zlomky s malými menovateľmi. Archimedes tiež vedel, že zlomok 22/7 = 3,(142 857) sa približuje π s presnosťou na tisíciny. Okolo 5. storočia po Kr. e. aproximácia 355/113 = 3,14159292... už bola známa - chyba je menšia ako jedna milióntina.

Čo s tým má spoločné Buffonova ihla? Ako sme už pochopili, v dlhej sérii testov bude podiel priesečníkov z celkového počtu hodov ihly približne rovný 2/π. Preto môžeme empiricky nájsť tento zlomok a vypočítať približnú hodnotu. Čím viac hodov, tým presnejší bude zlomok, a teda aj hodnota π. V 19. storočí boli hrdinovia, ktorí boli pripravení stráviť niekoľko večerov pri takejto činnosti. Dostali rôzne hodnoty okolo 3,14. Viac si môžete prečítať na tejto stránke na anglickej Wikipédii.

Teraz, samozrejme, nikto nehádže ihlou a číslo π už bolo vypočítané oveľa viac ako 10 biliónov číslic. Je zábavné, že takáto presnosť nie je pre praktické výpočty takmer potrebná – odhaduje sa, že na presný výpočet objemu viditeľného vesmíru s presnosťou na jeden atóm stačí poznať π s presnosťou na 40 desatinných miest. Výpočet π s takou presnosťou je teda skôr závodom o rekordy a súťažou medzi superpočítačmi.

Presné výpočty sú založené na rôznych vzorcoch. V zásade sa používajú sekvencie konvergujúce k π a súčet radov, veľa algoritmov možno nájsť na Wikipédii. Tu uvádzame iba úžasný vzorec

ktorý vám umožňuje vypočítať ľubovoľnú číslicu π bez výpočtu zostávajúcich číslic.

BUFFONOV PROBLÉM

o ihle - klasický problém v teórii geometrická pravdepodobnosť, oprávnene považovaný za východiskový bod rozvoja tejto teórie. Prvýkrát ho zaznamenal J. Buffon v roku 1733 a reprodukoval spolu s roztokom v. J. Buffon uvažoval o nasledovnej situácii: ihla dĺžky a je náhodne hodená na čiaru vedenú rovnobežnými čiarami vzdialenými od seba vo vzdialenosti a. Čo znamená, že ihla pretína jednu z nakreslených rovnobežiek? Je zrejmé, že poloha ihly je určená vzdialenosťou od jej stredu k najbližšej priamke a ostrým uhlom, ktorý zviera ihla s kolmicou na túto čiaru. Hodnota leží medzi nulou a - medzi nulou a . Predpokladá sa, že bod je rovnomerne rozmiestnený v príslušnom obdĺžniku (toto je ekvivalentné skutočnosti, že náhodné premenné xi sú nezávislé a rovnomerne rozdelené na a). Potom je požadovaná pravdepodobnosť definovaná ako oblasti zodpovedajúce priaznivým a všetkým možným výsledkom a rovná sa

Svojho času B. z. slúžil ako základ pre experimentálne overenie Bernoulliho vety. V skutočnosti, ak je ihla hodená naraz a v prípadoch, keď ihla prekročí jednu z čiar, potom by sa frekvencia pri veľkých hodnotách podľa Bernoulliho vety mala blížiť pravdepodobnosti (*). Túto úvahu použili mnohí výskumníci na určenie čísla i metódou náhodných testov (pozri,). J. Buffon sa zaoberal aj ďalšími podobnými problémami, najmä problémom pravdepodobnosti ihly pretínajúcej čiary patriace do dvoch vzájomne kolmých systémov, ktoré rozdeľujú rovinu na obdĺžniky so stranami ai. b, resp. Odpoveď J. Buffona na tento problém je nesprávna. Správna odpoveď:

naznačil P. Laplace (PLaplace) v roku 1812.

Lit.: Buffon G., Essai d'arithmetique morale. Doplnok "1" Histoire Naturelle", v. 4 1777; Usrenskу J.V., Úvod do matematickej pravdepodobnosti, N.Y.-L., 1937; Kendall M., Moran P., Geometrické pravdepodobnosti, prekl. z angličtiny, M., 1972. A. V. Prochorov.

VALLEY PUSSIN METÓDA SÚČTU- jeden zo spôsobov sčítania číselných radov; označené symbolom ( V.P.). Číselné

zrátané metódou Ballet Poussin do čísla S, ak vzťah platí

Metódu navrhol C. Ballet Poussin. Pre Fourierovu sériu funkcií Ballet Poussin znamená (pozri tiež Balet Poussin singulár. integrálne).mať

Tzv Balet Poussin. V.P.m.s. je metóda pravidelného súčtu. Táto metóda je silnejšia ako celá kombinácia Cesaro sumačné metódy(cm. Povolenie metód súčtu). Vzhľadom na slabé približné vlastnosti V. G1. pani. nemá prakticky žiadne uplatnenie v teórii aproximácie funkcií.

Lit.: La Va11ee Poussin C h. J., "Bull. Acad. de Belgique", 1908, t. 3; Xapdi G., Divergentná séria, trans. z angličtiny, M., 1951: Gronwall T., "J. reine und angew. Math.", 1917, Bd 147, S. 16-35. A. A. Zacharov.

Matematická encyklopédia. - M.: Sovietska encyklopédia. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Pozrite sa, čo je „BUFFON PROBLÉM“ v iných slovníkoch:

1. Pojem štýl. S. historicky determinovaná estetická jednota obsahu a rôznorodých aspektov umeleckej formy, odhaľujúca obsah diela. S. vzniká ako výsledok „umeleckého vývoja“ určitých aspektov sociálnej... Literárna encyklopédia

Tento výraz má iné významy, pozri Monte Carlo (významy). Metóda Monte Carlo (metódy Monte Carlo, MMK) je všeobecný názov skupiny numerických metód založených na získavaní veľkého počtu realizácií stochastických (náhodných) ... ... Wikipedia

- (z Bio... a...Logia je súbor vied o živej prírode. Predmetom štúdia sú všetky prejavy života: stavba a funkcie živých bytostí a ich prirodzených spoločenstiev, ich rozšírenie, vznik a vývoj, spojenia medzi sebou a s neživými ... ...

Odvetvie matematiky, v ktorom sa študujú niektoré špeciálne numerické charakteristiky („miery“) pre množiny bodov, čiar, rovín a iných geometrických objektov, ktoré sa spravidla počítajú pomocou integrácie. V tomto prípade by „opatrenie“ malo... Veľká sovietska encyklopédia

POROVNÁVACIA ANATÓMIA- zaoberá sa porovnávacím štúdiom zvieracích orgánov a 43S stanovuje ich morfológiu. podobnosť na základe ich spoločného pôvodu (homológie). Takže S. a. umožňuje stanoviť historickú povahu (fylogenézu) rodinných väzieb... Veľká lekárska encyklopédia

- (z gréckeho óikos obydlie, bydlisko a ... Logia) biologická veda, ktorá študuje organizáciu a fungovanie supraorganizmových systémov na rôznych úrovniach: populácie, druhy, biocenózy (spoločenstvá), ekosystémy, biogeocenózy a biosféra.... . .. Veľká sovietska encyklopédia

Slávny anglický matematik a fyzik (1643 1727). Narodil sa v dedine Woolsthorpe neďaleko Grantanu v Lincolnshire niekoľko mesiacov po smrti svojho otca. Keďže sa narodil predčasne, bol veľmi slabý a na začiatku javil malú nádej...

Newtonov zákon univerzálneho T. možno formulovať nasledovne: každý atóm interaguje s každým iným atómom, pričom sila interakcie (príťažlivosti) je vždy nasmerovaná pozdĺž priamky spájajúcej atómy a mení sa jej veľkosť... ... Encyklopedický slovník F.A. Brockhaus a I.A. Ephron

- (Diderot) Denis (1713 1784) francúzsky filozof a ideológ osvietenstva, spisovateľ, teoretik umenia, šéf encyklopedistov. Hlavné diela: voľný autorský preklad a komentár k dielu A.E.K. Shaftesbury „Vyšetrovanie dôstojnosti a... Dejiny filozofie: Encyklopédia

Tento príspevok vám pomôže dostať sa z dosť nepríjemnej situácie. Povedzme, že ste zamknutý v miestnosti, máte pradienko nite a ihlu a neustále vás žiadajú, aby ste vypočítali približnú hodnotu čísla Pi, s použitím iba týchto predmetov, no, môže sa stať čokoľvek, viete. Takže dnes, keď som počúval kurz o matane na Pensylvánskej univerzite, zrazu som sa naučil, ako to urobiť. Čo som si ani nevedel predstaviť, bolo to číslo Pi skrýva sa aj tu. Ukázalo sa, že korene tejto otázky siahajú do 18. storočia, keď si Georges-Louis Leclerc de Buffon dal za úlohu: „Predpokladajme, že podlaha je vyrobená z drevených pásov dvoch farieb, striedajú sa; Aká je pravdepodobnosť, že hodená ihla spadne tak, že prekročí čiaru, kde sa dva prúžky spájajú?“ Simuláciu tohto procesu a odpoveď na otázku nájdete pod strihom.

Simulácia

Aby sme nepokazili intrigy, začnime s experimentom. Takže máme veľa dlhých ihiel L a pradienko zelenej nite. Aplikujme určitý počet rovnobežných segmentov rovnakej dĺžky na povrch vo vzdialenosti L jeden od druhého.

Hodíme na toto pole 100 ihiel.

Možno nie dosť. Pridajme ďalších 900 a označíme červenou farbou tie ihly, ktoré pretínajú nite.

Predpokladajme, že sme nehádzali všetky ihly naraz, ale po jednej a v každom kroku sme zaznamenali pomer počtu ihiel, ktoré dopadli na nite, k celkovému počtu hodených ihiel, čím sme získali väčšiu a väčšiu aproximáciu pravdepodobnosť, že ihla, ktorá spadne, prekročí niť .

Ak hodíte 10 000 ihiel, obraz bude presnejší.

Teraz urobme nasledujúcu transformáciu: vydeľte dve každým číslom vo výslednom rade.

Pre 10 000 ihiel je to už presnejšie.

Ak nájdeme priemer posledných päťtisíc termínov série, dostaneme 3.141685 , pričom pi sa rovná 3.141593 .

Vo všeobecnosti už pre nikoho nie je tajomstvom, že posledná séria konverguje k číslu Pi. Ale ako sa to mohlo stať? Dozvedel som sa o tom, keď som mal 28 rokov z vyššie uvedeného kurzu. Poďme sa ponoriť do matanu.

teória

Zvážime ihlu a čiaru, ktorá je najbližšie k nej vpravo. Označme vzdialenosť od ľavého konca ihly h, uhol odchýlky od čiary - a.

Je zrejmé, že dĺžka opačnej nohy z uhla A sa bude rovnať sínusu uhla vynásobenému dĺžkou prepony. Potom môžeme konštatovať, že ak h menšia alebo rovná nohe oproti uhlu A, potom ihla pretne niť. Nakreslíme graf: