Conductividad térmica- Este es uno de los tipos de transferencia de calor. La transferencia de calor se puede realizar mediante varios mecanismos.
Todos los cuerpos emiten ondas electromagnéticas. A temperatura ambiente, se trata principalmente de radiación infrarroja. así es como va transferencia de calor radiante.
En presencia de un campo de gravedad, otro mecanismo de transferencia de calor en fluidos puede ser convección... Si se suministra calor a un recipiente que contiene un líquido o gas a través del fondo, en primer lugar las porciones inferiores de la sustancia se calientan, su densidad disminuye, flotan hacia arriba y dan parte del calor recibido a las capas superiores.
Con la conductividad térmica, la transferencia de energía se produce como resultado de la transferencia directa de energía de partículas (moléculas, átomos, electrones) con mayor energía a partículas con menor energía.
Nuestro curso analizará la transferencia de calor por conducción.
Consideremos primero el caso unidimensional cuando la temperatura depende de una sola coordenada NS... Deje que dos medios estén separados por una partición plana de espesor l(figura 23.1). Temperaturas medias T 1 y T 2 se mantienen constantes. Se puede determinar empíricamente que la cantidad de calor Q transmitido a través de una sección de una partición con un área S durante t es igual a
, (23.1)
donde el coeficiente de proporcionalidad k depende del material de la pared.
A T 1 > T 2 se transfiere calor en la dirección positiva del eje NS, a T 1 < T 2 - negativo. La dirección de propagación del calor se puede tener en cuenta si en la ecuación (23.1) reemplazamos ( T 1 - T 2)/l sobre (- dT/dx). En el caso unidimensional, la derivada dT/dx representa gradiente de temperatura... Recordemos que el gradiente es un vector cuya dirección coincide con la dirección del aumento más rápido en la función escalar de coordenadas (en nuestro caso T), y el módulo es igual a la relación entre el incremento de la función con un pequeño desplazamiento en esta dirección y la distancia a la que se produjo este incremento.
Para dar a las ecuaciones que describen la transferencia de calor una forma más general y universal, consideramos densidad de flujo de calor j - la cantidad de calor transferido a través de una unidad de área por unidad de tiempo
Entonces la relación (23.1) se puede escribir en la forma
Aquí, el signo menos refleja el hecho de que la dirección del flujo de calor es opuesta a la dirección del gradiente de temperatura (la dirección de su aumento). Por tanto, la densidad del flujo de calor es una cantidad vectorial. El vector de la densidad del flujo de calor se dirige hacia una disminución de la temperatura.
Si la temperatura del medio depende de las tres coordenadas, entonces la relación (23.3) toma la forma
dónde 
, es el gradiente de temperatura ( mi
1 ,mi
2 ,mi
3 - vectores unitarios de los ejes de coordenadas).
Las relaciones (23.3) y (23.4) representan la ley básica de conductividad térmica (ley de Fourier): la densidad del flujo de calor es proporcional al gradiente de temperatura. El coeficiente de proporcionalidad k se llama coeficiente de conductividad térmica(o simplemente conductividad térmica). Porque la dimensión de la densidad del flujo de calor [ j] = J / (m 2 s), y el gradiente de temperatura [ dT / dx] = K / m, entonces la dimensión del coeficiente de conductividad térmica [k] = J / (m × s × K).
En general, la temperatura en diferentes puntos de una sustancia calentada de manera desigual cambia con el tiempo. Considere el caso unidimensional cuando la temperatura depende de una sola coordenada espacial NS y tiempo t y obtenemos ecuación de calor- ecuación diferencial, que satisface la función T = T(X,t).
Seleccionemos mentalmente en el medio un elemento de pequeño volumen en forma de cilindro o prisma, cuyas generatrices son paralelas al eje. NS, y las bases son perpendiculares (Figura 23.2). Área de la base S y la altura dx... La masa de este volumen dm= r Sdx, y su capacidad calorífica c × dm donde r es la densidad de la sustancia, con- capacidad calorífica específica. Deje por un pequeño período de tiempo dt la temperatura en este volumen cambió por dT... Para ello, la sustancia en el volumen debe recibir una cantidad de calor igual al producto de su capacidad calorífica por el cambio de temperatura: 
... Por otro lado, d Q puede ingresar el volumen solo a través de las bases del cilindro: (densidad de flujo de calor j puede ser tanto positivo como negativo). Ecuación de expresiones para d Q, obtenemos
.
Reemplazando las razones de pequeños incrementos con las derivadas correspondientes, llegamos a la relación
. (23.5)
Sustituir en la fórmula (23.5) la expresión (23.3) para la densidad de flujo de calor
. (23.6)
La ecuación resultante se llama ecuación de calor... Si el medio es homogéneo y la conductividad térmica k no depende de la temperatura, la ecuación toma la forma
, (23.7)
donde la constante se llama difusividad térmica Miércoles.
Las ecuaciones (23.6) - (23.8) se satisfacen mediante el innumerable conjunto de funciones T = T(X,t).
Para aislar la única solución a la ecuación de calor, es necesario agregar las condiciones iniciales y de contorno a la ecuación.
La condición inicial es especificar la distribución de temperatura en el medio. T(NS, 0) en el momento inicial del tiempo t = 0.
Las condiciones de los límites pueden ser diferentes según las condiciones de temperatura en los límites. Muy a menudo, hay situaciones en las que la temperatura o la densidad del flujo de calor se establecen en los límites en función del tiempo.
En algunos casos, puede haber fuentes de calor en el medio ambiente. El calor puede liberarse como resultado del paso de una corriente eléctrica, reacciones químicas o nucleares. La presencia de fuentes de calor se puede tener en cuenta introduciendo la densidad aparente de la liberación de energía. q(X,y,z), igual a la cantidad de calor liberado por las fuentes por unidad de volumen del ambiente por unidad de tiempo. En este caso, el término aparecerá en el lado derecho de la ecuación (23.5). q:
.
El estudio de cualquier fenómeno físico se reduce a establecer la relación entre las cantidades que caracterizan a este fenómeno. Para procesos físicos complejos, en los que las cantidades determinantes pueden variar significativamente en el espacio y el tiempo, es bastante difícil establecer la relación entre estas cantidades. En tales casos, se utilizan los métodos de la física matemática, que consisten en que el intervalo de tiempo es limitado y se considera un cierto volumen elemental de todo el espacio. Esto permite, dentro del volumen seleccionado y un intervalo de tiempo dado, descuidar los cambios en los valores que caracterizan el proceso y simplificar significativamente la dependencia.
El volumen elemental seleccionado de esta manera dV y un período de tiempo elemental dτ, dentro de los cuales se considera el proceso, desde un punto de vista matemático, son cantidades infinitesimales, y desde un punto de vista físico, las cantidades son todavía lo suficientemente grandes como para que dentro de sus límites se pueda considerar el medio como continuo, descuidando su estructura discreta. La dependencia así obtenida es la ecuación diferencial general del proceso. Al integrar las ecuaciones diferenciales, es posible obtener una relación analítica entre las cantidades para toda la región de integración y todo el período de tiempo considerado.
Para resolver problemas asociados con la búsqueda del campo de temperatura, es necesario tener una ecuación diferencial de conducción de calor.
Hagamos las siguientes suposiciones:
el cuerpo es homogéneo e isotrópico;
los parámetros físicos son constantes;
la deformación del volumen considerado, asociada con un cambio de temperatura, es muy pequeña en comparación con el volumen en sí;
las fuentes internas de calor en el cuerpo se distribuyen uniformemente.
La derivación de la ecuación diferencial de conducción de calor se basa en la ley de conservación de la energía, la cual formularemos de la siguiente manera:
Cantidad de calordQintroducido en el volumen elementaldVafuera por tiempodτdebido a la conductividad térmica, así como de fuentes internas, es igual a un cambio en la energía interna o entalpía de una sustancia contenida en un volumen elemental.
dónde dQ 1 - la cantidad de calor introducida en el volumen elemental dV por conducción de calor en el tiempo dτ;
dQ 2 - la cantidad de calor que durante dτ se destacó en volumen elemental dV de fuentes internas;
dQ- cambio en la energía interna (proceso isocrórico) o entalpía de la materia (proceso isobárico) contenida en un volumen elemental dV durante dτ.
Para obtener la ecuación, considere un volumen elemental en forma de cubo con lados dx, dy, dz (ver Figura 1.2.). El cubo se coloca de modo que sus caras sean paralelas a los planos de coordenadas correspondientes. La cantidad de calor que se suministra a las caras del volumen elemental durante el tiempo dτ en la dirección de los ejes X, y, z denotar respectivamente dQ X , dQ y , dQ z .
La cantidad de calor que se eliminará a través de caras opuestas en las mismas direcciones se indicará en consecuencia. dQ X + dx , dQ y + dy , dQ z + dz .
La cantidad de calor suministrada a la cara. dxdy en la dirección del eje X durante dτ, es: 
dónde q X- la proyección de la densidad del flujo de calor en la dirección de la normal a la cara especificada. En consecuencia, la cantidad de calor que se elimina a través de la cara opuesta será:
La diferencia entre la cantidad de calor suministrada a un volumen elemental y la cantidad de calor extraída de él es calor: 
Función q es continuo en el intervalo considerado dx y se puede expandir a una serie de Taylor:
Si nos limitamos a los dos primeros términos de la serie, entonces la ecuación se escribirá en la forma: 
De manera similar, puede encontrar la cantidad de calor suministrada al volumen en la dirección de los otros dos ejes de coordenadas y y z.
Cantidad de calor dQ, suministrada como resultado de la conductividad térmica al volumen considerado, será igual a:
Definimos el segundo término designando la cantidad de calor liberado por fuentes internas por unidad de volumen del medio por unidad de tiempo. q v y llamémoslo capacidad de las fuentes de calor internas[W / m 3], luego:
El tercer componente de nuestra ecuación se encontrará en función de la naturaleza del TD del proceso de cambio de sistema.
Al considerar el proceso isocórico, todo el calor suministrado al volumen elemental se gastará en cambiar la energía interna de la sustancia contenida en este volumen, es decir. dQ= dU.
Si consideramos la energía interna de una unidad de volumen tu= F(t, v) , entonces puedes escribir:
, J / m 3
, J / kg
dónde C v – capacidad calorífica isocórica o unidades de volumen o unidades de masa, [J / m 3];
ρ - densidad, [kg / m 3].
Recopilemos las expresiones resultantes:
La expresión resultante es Ecuación de energía diferencial para el proceso de transferencia de calor isocórico..
La ecuación para el proceso isobárico se deriva de manera similar. Todo el calor suministrado al volumen se gastará en cambiar la entalpía de la sustancia contenida en el volumen.
La relación resultante es Ecuación de energía diferencial para el proceso isobárico.
En sólidos, la transferencia de calor se realiza según la ley de Fourier. 
, se puede tomar el valor de la capacidad calorífica 
... Recuerde que la proyección del vector de densidad de flujo de calor sobre los ejes de coordenadas está determinada por las expresiones:
La última expresión se llama ecuación diferencial de conducción de calor. Establece una conexión entre los cambios temporales y espaciales de temperatura en cualquier punto del cuerpo en el que se produce el proceso de conducción de calor.
La ecuación diferencial más general de conducción de calor en derivadas parciales tiene la misma forma, pero en ella las cantidades ρ , , con son funciones del tiempo y el espacio. Esta ecuación describe una gran cantidad de problemas de conducción de calor de interés práctico. Si tomamos los parámetros termofísicos constantes, entonces la ecuación será más simple:
Nosotros denotamos 
, luego:
Relación de aspecto a[m 2 / s] se denomina coeficiente de difusividad térmica y es un parámetro físico de la sustancia. Es esencial para procesos térmicos no estacionarios y caracteriza la tasa de cambio de temperatura. Si el coeficiente de conductividad térmica caracteriza la capacidad de los cuerpos para conducir calor, entonces el coeficiente de difusividad térmica es una medida de las propiedades de inercia térmica del cuerpo. Por ejemplo, los líquidos y gases tienen una mayor inercia térmica y, por tanto, una baja difusividad térmica, mientras que los metales, por el contrario, tienen una baja inercia térmica.
Si hay fuentes internas de calor y el campo de temperatura es estacionario, obtenemos la ecuación de Poisson:
Finalmente, con conductividad térmica estacionaria y ausencia de fuentes internas de calor, obtenemos la ecuación de Laplace:
Condiciones inequívocas de conductividad térmica.
Dado que la ecuación diferencial de la conducción de calor se deriva de las leyes generales de la física, describe toda una clase de fenómenos. Para resolverlo, es necesario especificar condiciones de contorno o condiciones de unicidad.
Las condiciones para la falta de ambigüedad incluyen:
condiciones geométricas: caracterizan la forma y el tamaño del cuerpo;
condiciones físicas: caracterizar las propiedades físicas del medio ambiente y el cuerpo;
condiciones iniciales (temporales): caracterizan la distribución de temperatura en el cuerpo en el momento inicial del tiempo, se establecen en el estudio de procesos no estacionarios;
condiciones de contorno: caracterizan la interacción del cuerpo en consideración con el medio ambiente.
Las condiciones de contorno se pueden especificar de varias formas.
Condiciones de contorno del primer tipo. La distribución de la temperatura en la superficie corporal se establece para cada momento en el tiempo:
t C = F(X, y, z, τ )
dónde t C- temperatura de la superficie corporal;
X, y, z- coordenadas de la superficie corporal.
En un caso particular, cuando la temperatura en la superficie es constante durante todo el tiempo de los procesos de transferencia de calor, la ecuación se simplifica:
t C = constante
Condiciones de contorno del segundo tipo. Los valores de flujo de calor se establecen para cada punto de la superficie corporal y para cualquier momento. Analíticamente se ve así:
q C = F(X, y, z, τ )
En el caso más simple, la densidad del flujo de calor sobre la superficie del cuerpo permanece constante. Tal caso ocurre cuando se calientan productos metálicos en hornos de alta temperatura.
Condiciones de contorno del tercer tipo. En este caso, la temperatura ambiente se establece t casarse y la ley de transferencia de calor entre la superficie del cuerpo y el medio ambiente. La ley de Newton-Richmann se utiliza para describir el proceso de transferencia de calor. Según esta ley, la cantidad de calor emitida o recibida por una unidad de la superficie de un cuerpo por unidad de tiempo es proporcional a la diferencia de temperaturas entre la superficie del cuerpo y el medio ambiente:
dónde α El coeficiente de proporcionalidad, llamado coeficiente de transferencia de calor [W / (m 2 · K)], caracteriza la intensidad de la transferencia de calor. Numéricamente, es igual a la cantidad de calor emitida por una unidad de superficie corporal por unidad de tiempo con una diferencia de temperatura igual a un grado. De acuerdo con la ley de conservación de la energía, la cantidad de calor que se extrae al ambiente debe ser igual al calor suministrado debido a la conducción de calor desde las partes internas del cuerpo, es decir:
La última ecuación es una condición de frontera del tercer tipo.
Hay problemas técnicos más complejos cuando no se puede especificar ninguna de las condiciones enumeradas, y luego debe resolver el problema mediante el método de conjugación. Al resolver un problema de este tipo, se deben cumplir las condiciones para la igualdad de temperaturas y flujos de calor en ambos lados de la interfaz. En el caso general, las condiciones de conjugación se pueden escribir:
La solución al problema conjugado está asociada con encontrar los campos de temperatura en ambos lados de la interfaz.
Resolvamos el primer problema mixto para la ecuación de calor: encuentre una solución u (x, t) de una ecuación que satisfaga la condición inicial y las condiciones de contorno. Comenzamos con el problema más simple: encontrar una solución u (x, t) de un ecuación que satisface la condición inicial y condiciones de contorno cero (homogéneas) Método de Fourier para la ecuación de calor Buscaremos soluciones no triviales de la ecuación (4) que satisfagan las condiciones de contorno (6), en la forma de Psdstaap en la forma (7) en la ecuación (4) ), obtenemos o de donde tenemos dos ecuaciones diferenciales ordinarias Para obtener soluciones no triviales u (x, *) de la forma (7), satisfaciendo las condiciones de contorno (6), es necesario encontrar soluciones no triviales de la ecuación ( 10) que satisfacen las condiciones de frontera Por lo tanto, para determinar la función X (x), llegamos a un problema de valores propios: encuentre aquellos valores del parámetro A, para los cuales existen soluciones no triviales al problema. capítulo previo. Allí se demostró que sólo cuando hay soluciones no triviales Cuando A = A „, la solución general de la ecuación (9) tiene la forma de satisfacer la ecuación (4) y las condiciones de contorno (6). Formemos una serie formal Habiendo requerido que la función u (x) t), definida por la fórmula (12), satisfaga la condición inicial, obtenemos Serie (13) es una expansión de una función dada en una serie de Fourier en senos en el intervalo (O, I). Los coeficientes de expansión a „se determinan mediante las fórmulas conocidas Método de Fourier para la ecuación de calor Supongamos que la carga (13) con los coeficientes determinados por las fórmulas (14) convergerá a la función de manera absoluta y uniforme. Ya que para entonces la serie para también converge absoluta y uniformemente. Por lo tanto, la función u (x, t), la suma de la serie (12), es continua en el dominio y satisface las condiciones iniciales y de frontera. Queda por mostrar que la función u (x, t) satisface la ecuación (4) en la región 0. Para ello, basta con mostrar que la serie obtenida de (12) por diferenciación término por término con respecto a t una vez y la diferenciación término por término con respecto a x dos veces también son absolutas y convergen uniformemente para. Pero esto se sigue del hecho de que para cualquier t> 0 si n es lo suficientemente grande. La unicidad de la solución al problema (4) - (6) y la dependencia continua de la solución de la función inicial ya se establecieron anteriormente. Por tanto, para t> 0, el problema (4) - (6) se plantea correctamente; por el contrario, para t negativo este problema es incorrecto. Comentario. En contraste con la ecuación de origen, la ecuación no es simétrica con respecto al tiempo t: si reemplazamos t con -t, obtenemos una ecuación de un tipo diferente que describe procesos irreversibles: m era este y para el tiempo t antes del momento considerado. Esta relación entre predicción y prehistoria es típica de la ecuación parabólica y no es válida, por ejemplo, para la ecuación de onda; en el último caso, mirar hacia el pasado es tan fácil como mirar hacia el futuro. Ejemplo. Encuentre la distribución de temperatura en una perra homogénea de longitud x si la temperatura inicial de la varilla y en los extremos de la varilla es temperatura cero. 4 El problema se reduce a resolver la ecuación bajo la condición inicial y las condiciones de contorno Aplicando el método de Fourier, buscamos soluciones no triviales de la ecuación (15), satisfaciendo las condiciones de contorno (17), en la forma Sustituyendo u (x, t) en la forma (18) en la ecuación (15) y dividiendo las variables, obtenemos los valores propios del problema. funciones propias Xn (x) = mn nx. Para A = A „, la solución general de la ecuación (19) tiene la forma Tn (t) = ape a n \ de modo que buscamos la solución del problema (15) - (17) en forma de serie. Por lo tanto, la solución al problema original será la función 2. Consideremos ahora el siguiente problema: encuentre una solución rx (x, t) de una ecuación no homogénea que satisfaga la condición inicial y las condiciones de contorno homogéneas. Suponga que la función / es continua , tiene una derivada continua, y para todo t> 0 se cumple la condición. La solución al problema (1) - (3) se buscará en la forma en que la definimos como una solución al problema y la función como una solución al problema El problema (8) - (10) se considera en la Sección 1. Buscaremos una solución v (x, t) al problema (5) - (7) en forma de una serie de funciones propias (problema de valor en la frontera. Al sumar t) en la forma de la ecuación (5), obtenemos Expandir el function / ОМ) en una serie de Fourier en senos, donde comparando dos expansiones (12) y (13) función f (x, t) en la serie de Fourier, obtenemos! Usando la condición inicial para v (x, t), el método de Fourier para la ecuación de calor, encontramos que las soluciones de las ecuaciones (15) con condiciones iniciales (16) tienen la forma: Sustituyendo las expresiones encontradas para Tn (t) en series (11), obtenemos la solución La función será una solución al problema original (1) - (3). 3. Considere el problema: encuentre en el dominio una solución a la ecuación bajo la condición inicial y condiciones de contorno no homogéneas El método de Fourier no es directamente aplicable debido a la falta de homogeneidad de las condiciones (20). Introducimos una nueva función desconocida v (x, t), estableciendo donde Entonces la solución del problema (18) - (20) se reduce a la solución del problema (1) - (3), considerado en la Sección 2, para la función v (x, J). Ejercicios 1. Se especifica una barra homogénea infinita. Muestre que si la temperatura inicial es entonces el momento frontal es la temperatura de la varilla 2. Los extremos de la varilla de longitud x se mantienen a una temperatura igual a cero. La temperatura inicial está determinada por la fórmula Determine la temperatura de la varilla para cualquier momento t> 0. 3. Los extremos de la varilla de longitud I se mantienen a una temperatura de cero. La temperatura inicial de la varilla se determina mediante la fórmula Determine la temperatura de la varilla para cualquier momento t> 0. 4. Los extremos de la varilla de longitud I se mantienen a una temperatura de cero. Distribución de temperatura inicial Determine la temperatura de la varilla para cualquier momento t> 0. Respuestas
Ecuación de calor para el caso no estacionario
no estacionario si la temperatura corporal depende tanto de la posición del punto como del tiempo.
Denotemos por y = y(METRO, t) temperatura en el punto METRO cuerpo homogéneo delimitado por la superficie S, en el momento del tiempo t... Se sabe que la cantidad de calor dQ absorbido en el tiempo dt, se expresa por la igualdad
dónde dS- elemento de superficie, k Es el coeficiente de conductividad térmica interna, es la derivada de la función y en la dirección de la normal exterior a la superficie S... Dado que se propaga en la dirección de la temperatura decreciente, entonces dQ> 0 si> 0, y dQ < 0, если < 0.
Igualdad (1) implica
Ahora encontraremos Q de otra manera. Seleccione el elemento dV volumen V delimitado por la superficie S... Cantidad de calor dQ recibido por elemento dV durante dt, proporcional al aumento de temperatura en este elemento y la masa del propio elemento, es decir
donde es la densidad de la sustancia, el coeficiente de proporcionalidad, llamado capacidad calorífica de la sustancia.
Igualdad (2) implica
Por lo tanto,
dónde . Considerando que = ,, obtenemos
Reemplazando el lado derecho de la igualdad con la ayuda de la fórmula Ostrogradsky - Green, obtenemos
para cualquier volumen V... De esto obtenemos la ecuación diferencial
Lo que es llamado la ecuación de calor para el caso no estacionario.
Si el cuerpo es una barra dirigida a lo largo del eje Oh, entonces la ecuación de conducción de calor tiene la forma
Considere el problema de Cauchy para los siguientes casos.
1. Estuche de varilla ilimitado. Encuentre una solución a la ecuación (3) ( t> 0,) satisfaciendo la condición inicial. Usando el método de Fourier, obtenemos una solución en la forma
Es la integral de Poisson.
2. Caja de varilla, limitado por un lado. La solución de la ecuación (3), que satisface la condición inicial y la condición de contorno, se expresa mediante la fórmula
3. Caja de varilla, limitado en ambos lados. El problema de Cauchy es que para NS= 0 y NS = l encuentre una solución a la ecuación (3) que satisfaga la condición inicial y dos condiciones de contorno, por ejemplo, o.
En este caso, se busca una solución particular en forma de serie
para condiciones de contorno,
y en forma de serie
para las condiciones de contorno.
Ejemplo. Encuentra una solución a la ecuación
satisfaciendo las condiciones iniciales
y condiciones de contorno.
□ La solución al problema de Cauchy se buscará en la forma
Por lo tanto,
Ecuación de calor para el caso estacionario
La distribución del calor en el cuerpo se llama estacionario si la temperatura corporal y depende de la posición del punto METRO(NS, a, z), pero no depende del tiempo t, es decir.
y = y(METRO) = y(NS, a, z).
En este caso 0 y la ecuación de calor para el caso estacionario se convierte en Ecuación de Laplace
que a menudo se escribe como.
Para que la temperatura y en el cuerpo se determinó sin ambigüedades a partir de esta ecuación, es necesario conocer la temperatura en la superficie S cuerpo. Por lo tanto, para la ecuación (1), el problema del valor en la frontera se formula de la siguiente manera.
Función de búsqueda y satisfaciendo la ecuación (1) dentro del volumen V y recibiendo en cada punto METRO superficie S valores objetivo
Esta tarea se llama Problema de Dirichlet o la primera tarea de límite para la ecuación (1).
Si se desconoce la temperatura en la superficie del cuerpo y se conoce el flujo de calor en cada punto de la superficie, que es proporcional, entonces en la superficie S en lugar de la condición de contorno (2), tendremos la condición
El problema de encontrar una solución a la ecuación (1) que satisfaga la condición de frontera (3) se llama La tarea de Neumann o segundo problema de frontera.
Para figuras planas, la ecuación de Laplace se escribe en la forma
La ecuación de Laplace tiene la misma forma para el espacio, si y no depende de la coordenada z, es decir. y(METRO) mantiene un valor constante mientras se mueve el punto METRO en línea recta paralela al eje Onz.
Por sustitución, la ecuación (4) se puede transformar en coordenadas polares
El concepto de función armónica está asociado con la ecuación de Laplace. La función se llama armónico en el área de D si en esta región es continua junto con sus derivadas hasta el segundo orden inclusive y satisface la ecuación de Laplace.
Ejemplo. Encuentre la distribución de temperatura estacionaria en una varilla delgada con una superficie lateral aislada térmicamente si, en los extremos de la varilla ,.
□ Tenemos un caso unidimensional. Quieres encontrar una función y satisfaciendo la ecuación y las condiciones de contorno. La ecuación general de esta ecuación tiene la forma. Teniendo en cuenta las condiciones de contorno, obtenemos
Por tanto, la distribución de temperatura en una varilla delgada con una superficie lateral aislada térmicamente es lineal. ■
Problema de Dirichlet para un círculo
Dejemos que se dé un círculo de radio R centrado en el poste O sistema de coordenadas polares. Es necesario encontrar una función que sea armónica en el círculo y satisfaga la condición en su círculo, donde es una función dada que es continua en el círculo. La función requerida debe satisfacer la ecuación de Laplace en un círculo
Usando el método de Fourier, se puede obtener
Es la integral de Poisson.
Ejemplo. Encuentre la distribución de temperatura estacionaria en una placa circular delgada uniforme de radio R, la mitad superior se mantiene a una temperatura y la mitad inferior se mantiene a una temperatura.
□ Si, entonces, y si, entonces. La distribución de temperatura se expresa mediante la integral
Deje que el punto se ubique en el semicírculo superior, es decir ; luego cambia de a, y este intervalo de longitud no contiene puntos. Por lo tanto, introducimos una sustitución, de donde,. Entonces obtenemos
Entonces el lado derecho es negativo, entonces y at satisface las desigualdades. Para este caso obtenemos la solución
Si el punto está ubicado en el semicírculo inferior, es decir , entonces el intervalo de cambio contiene un punto, pero no contiene 0, y se puede hacer una sustitución, de donde ,, Entonces, para estos valores tenemos
Llevando a cabo transformaciones similares, encontramos
Dado que el lado derecho ahora es positivo, entonces. ■
Método de diferencias finitas para resolver la ecuación del calor
Sea necesario para encontrar una solución a la ecuación
satisfactorio:
condición inicial
y condiciones de contorno
Entonces, se requiere encontrar una solución a la ecuación (1) que satisfaga las condiciones (2), (3), (4), es decir se requiere encontrar una solución en un rectángulo delimitado por líneas rectas ,,,, si los valores de la función requerida se dan en sus tres lados ,,.
Construyamos una malla rectangular formada por líneas rectas.
- paso a lo largo del eje Oh;
- paso a lo largo del eje Antiguo Testamento.
Introduzcamos la notación:
A partir del concepto de diferencias finitas, se puede escribir
similar
Teniendo en cuenta las fórmulas (6), (7) y las designaciones introducidas, escribimos la ecuación (1) en la forma
De aquí obtenemos la fórmula de cálculo.
De (8) se deduce que si se conocen tres valores de k k-th mesh layer: ,,, entonces puede definir el valor en ( k+ 1) a capa.
La condición inicial (2) le permite encontrar todos los valores en la línea; las condiciones de contorno (3), (4) permiten encontrar valores en las líneas y. Usando la fórmula (8), encontramos los valores en todos los puntos internos de la siguiente capa, es decir por k= 1. Los valores de la función requerida en los puntos extremos se conocen a partir de las condiciones de contorno (3), (4). Pasando de una capa de malla a otra, determinamos los valores de la solución deseada en todos los nodos de la malla. ;
Al construir un modelo matemático de propagación de calor en una varilla, hacemos las siguientes suposiciones:
1) la varilla está hecha de un material conductor homogéneo con una densidad ρ ;
2) la superficie lateral de la varilla está aislada térmicamente, es decir, el calor solo puede propagarse a lo largo del eje OH;
3) la varilla es delgada: esto significa que la temperatura en todos los puntos de cualquier sección transversal de la varilla es la misma.
Considere una parte de la barra en el segmento [ x, x + ∆x] (ver Fig. 6) y utilizar la ley de conservación de la cantidad de calor:
La cantidad total de calor en el segmento [ x, x + ∆x] = cantidad total de calor que atraviesa los límites + cantidad total de calor generado por fuentes internas.
La cantidad total de calor que debe impartirse a una sección de la varilla para elevar su temperatura en ∆U, se calcula mediante la fórmula: ∆Q = CρS∆x∆U, dónde CON-capacidad calorífica específica del material (= la cantidad de calor que debe suministrarse a 1 kg de una sustancia para elevar su temperatura en 1 °), S- área de la sección transversal.
La cantidad de calor que pasó a través del extremo izquierdo de la sección de la varilla durante el tiempo ∆t(flujo de calor) se calcula mediante la fórmula: Q 1 = -kSU x (x, t) ∆t, dónde k- coeficiente de conductividad térmica del material (= la cantidad de calor que fluye por segundo a través de una varilla de longitud unitaria y área de sección transversal unitaria a una diferencia de temperatura en los extremos opuestos de 1 °). En esta fórmula, el signo menos requiere una explicación especial. El caso es que el flujo se considera positivo si se dirige hacia arriba NS, y esto, a su vez, significa que a la izquierda del punto NS la temperatura es más alta que a la derecha, es decir U x< 0 ... Por lo tanto, para Q 1 fue positivo, hay un signo menos en la fórmula.
De manera similar, el flujo de calor a través del extremo derecho de la sección de la barra se calcula usando la fórmula: Q 2 = -kSU x (x + ∆x, t) ∆t.
Si asumimos que no hay fuentes de calor internas en la varilla y usamos la ley de conservación de calor, obtenemos:
∆Q = Q 1 - Q 2 => CpS∆x∆U = kSU x (x + ∆х, t) ∆t - kSU x (x, t) ∆t.
Si esta igualdad se divide por S∆x∆t y directo ∆x y ∆t a cero, entonces tendremos:
Por tanto, la ecuación de conducción de calor tiene la forma
U t = a 2 U xx,
donde está la difusividad térmica.
En el caso de que existan fuentes de calor dentro de la varilla, distribuidas continuamente con una densidad q (x, t), obtenemos la ecuación de conducción de calor no homogénea
U t = una 2 U xx + f (x, t),
dónde 
.
Condiciones iniciales y condiciones de contorno.
Para la ecuación de calor, solo una condición inicial U | t = 0 = φ (x)(o en otra entrada U (x, 0) = φ (x)) y físicamente significa que la distribución de temperatura inicial de la varilla tiene la forma φ (x)... Para las ecuaciones de conducción de calor en un plano o en el espacio, la condición inicial tiene la misma forma, solo que la función φ dependerá, respectivamente, de dos o tres variables.
Las condiciones de contorno en el caso de la ecuación de calor tienen la misma forma que para la ecuación de onda, pero su significado físico ya es diferente. Condiciones primera clase (5) significa que la temperatura se establece en los extremos de la barra. Si no cambia con el tiempo, entonces g 1 (t) ≡ Т 1 y g 2 (t) ≡ Т 2, dónde T 1 y T 2- permanente. Si los extremos se mantienen a temperatura cero todo el tiempo, entonces T 1 = T 2 = 0 y las condiciones serán uniformes. Condiciones fronterizas segundo tipo (6) Determine el flujo de calor en los extremos de la varilla. En particular, si g 1 (t) = g 2 (t) = 0, entonces las condiciones se vuelven homogéneas. Físicamente, significan que el intercambio de calor con el entorno externo no se produce a través de los extremos (estas condiciones también se denominan condiciones para el aislamiento térmico de los extremos). Finalmente, las condiciones de contorno tercer tipo (7) corresponden al caso en que se produce el intercambio de calor con el medio ambiente a través de los extremos de la varilla de acuerdo con la ley de Newton (recuerde que al derivar la ecuación de conducción de calor, consideramos que la superficie lateral está aislada térmicamente). Es cierto que en el caso de la ecuación de conducción de calor, las condiciones (7) se escriben de manera un poco diferente:
La ley física del intercambio de calor con el medio ambiente (ley de Newton) es que el flujo de calor a través de una unidad de superficie por unidad de tiempo es proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y el medio ambiente. Por lo tanto, para el extremo izquierdo de la barra, es igual a 
Aquí h 1> 0- coeficiente de intercambio de calor con el medio ambiente, g 1 (t)- temperatura ambiente en el extremo izquierdo. El signo menos se coloca en la fórmula por la misma razón que en la derivación de la ecuación de conducción de calor. Por otro lado, debido a la conductividad térmica del material, el flujo de calor por el mismo extremo es igual, aplicando la ley de conservación de la cantidad de calor obtenemos:
La condición (14) se obtiene de manera similar en el extremo derecho de la varilla, solo la constante λ 2 puede ser diferente, ya que, en términos generales, los entornos que rodean los extremos izquierdo y derecho son diferentes.
Las condiciones de contorno (14) son más generales que las condiciones del primer y segundo tipo. Si asumimos que no hay intercambio de calor con el medio a través de ningún extremo (es decir, el coeficiente de transferencia de calor es cero), entonces se obtendrá una condición del segundo tipo. En otro caso, asumimos que el coeficiente de transferencia de calor, por ejemplo h 1, muy grande.
Reescribamos la condición (14) para x = 0 como 
y nos esforzaremos. Como resultado, tendremos una condición del primer tipo:
Las condiciones de contorno se formulan de manera similar para un mayor número de variables. Para el problema de la propagación del calor en una placa plana, la condición significa que la temperatura en sus bordes se mantiene a cero. De igual forma, las condiciones son muy similares en apariencia, pero en el primer caso significa que se considera una placa plana y sus bordes están aislados térmicamente, y en el segundo caso significa que el problema de la propagación del calor en el cuerpo es considerado y su superficie está aislada térmicamente.
Solución del primer problema de valor de frontera inicial para la ecuación de calor.
Considere el primer problema de valor de frontera inicial homogéneo para la ecuación de calor:
Encuentra una solución a la ecuación
U t = U xx, 0
satisfaciendo las condiciones de contorno
U (0, t) = U (l, t) = 0, t> 0,
y la condición inicial
Resolvamos este problema por el método de Fourier.
Paso 1... Buscaremos soluciones a la ecuación (15) en la forma U (x, t) = X (x) T (t).
Encontremos las derivadas parciales:
Sustituya estas derivadas en la ecuación y divida las variables:
Por el lema principal, obtenemos
esto implica
Ahora puede resolver cada una de estas ecuaciones diferenciales ordinarias. Prestemos atención al hecho de que utilizando las condiciones de contorno (16), no se puede buscar una solución general de la ecuación b), sino soluciones particulares que satisfagan las condiciones de contorno correspondientes:
Paso 2. Resolvamos el problema de Sturm-Liouville
Este problema coincide con el problema de Sturm-Liouville considerado en conferencias 3. Recuerde que los valores propios y las funciones propias de este problema existen solo para λ>0.
Los valores propios son iguales
Las funciones propias son iguales (Ver solución al problema)
Paso 3. Sustituya los valores propios en la ecuación a) y resuélvala:
Paso 4. Escribamos soluciones particulares de la ecuación (15):
Debido a la linealidad y homogeneidad de la ecuación (15), su combinación lineal
también será una solución a esta ecuación, y la función U (x, t) satisface las condiciones de contorno (16).
Paso 5. Definamos los coeficientes Un en (19) usando la condición inicial (17):
Llegamos al hecho de que la función inicial φ (x) se expande en una serie de Fourier en términos de las funciones propias del problema de Sturm-Liouville. Según el teorema de Steklov, tal expansión es posible para funciones que satisfacen condiciones de contorno y tienen derivadas continuas de segundo orden. Los coeficientes de Fourier se encuentran mediante las fórmulas
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