Ejemplos de notación trigonométrica de un número complejo. Conferencia sobre el tema: "Forma trigonométrica de un número complejo"

01.09.2021

2.3. Forma trigonométrica de números complejos

Supongamos que el vector se especifica en el plano complejo mediante un número.

Denotamos por φ el ángulo entre el semieje positivo Ox y el vector (el ángulo φ se considera positivo si se cuenta en sentido antihorario y negativo en caso contrario).

Denotamos la longitud del vector por r. Luego . También denotamos

Escribir un número complejo z distinto de cero en la forma

se llama forma trigonométrica del número complejo z. El número r se denomina módulo del número complejo z, y el número φ se denomina argumento de este número complejo y se denota por Arg z.

Notación trigonométrica de un número complejo - (fórmula de Euler) - notación exponencial de un número complejo:

El número complejo z tiene infinitos argumentos: si φ0 es cualquier argumento del número z, entonces todos los demás se pueden encontrar mediante la fórmula

Para un número complejo, el argumento y la forma trigonométrica no están definidos.

Por lo tanto, el argumento de un número complejo distinto de cero es cualquier solución al sistema de ecuaciones:

(3)

El valor φ del argumento de un número complejo z que satisface las desigualdades se llama principal y se denota por arg z.

Arg z y arg z están relacionados por

, (4)

La fórmula (5) es una consecuencia del sistema (3), por lo tanto, todos los argumentos del número complejo satisfacen la igualdad (5), pero no todas las soluciones φ de la ecuación (5) son argumentos del número z.

El valor principal del argumento de un número complejo distinto de cero se puede encontrar mediante las fórmulas:

Las fórmulas para la multiplicación y división de números complejos en forma trigonométrica son las siguientes:

. (7)

Al elevar un número complejo a una potencia natural, se utiliza la fórmula de Moivre:

Al extraer una raíz de un número complejo, se usa la fórmula:

, (9)

donde k = 0, 1, 2, ..., n-1.

Problema 54. Calcula dónde.

Representemos la solución de esta expresión en la notación exponencial de un número complejo :.

Si, entonces.

Luego , ... Por lo tanto, entonces y , dónde .

Respuesta: , a .

Problema 55. Escriba números complejos en forma trigonométrica:

a) ; B); v); G); mi); mi) ; gramo).

Dado que la forma trigonométrica de un número complejo es, entonces:

a) En un número complejo :.

Es por eso

B) , dónde ,

GRAMO) , dónde ,

mi) .

gramo) , a , luego .

Es por eso

Respuesta: ; 4; ; ; ; ; .

Problema 56. Encuentra la forma trigonométrica de un número complejo.

Permitir , .

Luego , , .

Desde y ,, entonces y

Por lo tanto, por lo tanto

Respuesta: , dónde .

Problema 57. Usando la forma trigonométrica de un número complejo, realice las acciones indicadas :.

Representemos números y en forma trigonométrica.

1), donde luego

Encuentra el valor del argumento principal:

Sustituimos los valores y en la expresión obtenemos

2) donde entonces

Luego

3) Encuentra el cociente

Estableciendo k = 0, 1, 2, obtenemos tres valores diferentes de la raíz deseada:

Si entonces

si entonces

si entonces .

Respuesta: :

: .

Problema 58. Sean ,,, números complejos diferentes y ... Pruebalo

un número es un número real positivo;

b) la igualdad tiene lugar:

a) Representamos estos números complejos en forma trigonométrica:

Porque .

Finjamos eso. Luego

La última expresión es un número positivo, ya que los signos del seno son números del intervalo.

desde el numero real y positivo. De hecho, si ayb son números complejos y son reales y mayores que cero, entonces.

Además,

por tanto, se prueba la igualdad requerida.

Problema 59. Escribe el número en forma algebraica. .

Representemos un número en forma trigonométrica y luego encontremos su forma algebraica. Tenemos ... Para obtenemos el sistema:

Esto implica la igualdad: .

Aplicando la fórmula de Moivre :,

obtenemos

Encontró la forma trigonométrica del número dado.

Ahora escribimos este número en forma algebraica:

Respuesta: .

Problema 60. Encuentre la suma ,,

Considere la cantidad

Aplicando la fórmula de Moivre, encontramos

Esta suma es la suma de n términos de una progresión geométrica con el denominador y el primer miembro .

Aplicando la fórmula para la suma de los términos de tal progresión, tenemos

Separando la parte imaginaria en la última expresión, encontramos

Separando la parte real, también obtenemos la siguiente fórmula: ,,.

Problema 61. Halla la cantidad:

a) ; B).

De acuerdo con la fórmula de Newton para elevar a una potencia, tenemos

Usando la fórmula de Moivre, encontramos:

Igualando las partes real e imaginaria de las expresiones obtenidas para, tenemos:

y .

Estas fórmulas se pueden escribir en forma compacta de la siguiente manera:

, donde es la parte entera del número a.

Problema 62. Encuentre a todos para quienes.

En la medida en , luego, aplicando la fórmula

, Para extraer las raíces, obtenemos ,

Por eso, , ,

, .

Los puntos correspondientes a los números se ubican en los vértices de un cuadrado inscrito en un círculo de radio 2 centrado en el punto (0; 0) (Fig. 30).

Respuesta: , ,

, .

Problema 63. Resuelve la ecuación , .

Por condición; por lo tanto, esta ecuación no tiene raíz y, por lo tanto, es equivalente a una ecuación.

Para que el número z sea la raíz de esta ecuación, el número debe ser la raíz enésima del número 1.

Por lo tanto, concluimos que la ecuación original tiene raíces determinadas a partir de las igualdades

Por lo tanto,

es decir. ,

Respuesta: .

Problema 64. Resuelve la ecuación en el conjunto de números complejos.

Dado que el número no es una raíz de esta ecuación, entonces esta ecuación es equivalente a la ecuación

Es decir, la ecuación.

Todas las raíces de esta ecuación se obtienen de la fórmula (vea el problema 62):

; ; ; ; .

Problema 65. Dibuja en el plano complejo el conjunto de puntos que satisfacen las desigualdades: ... (2do método para resolver el problema 45)

Permitir .

Los números complejos con los mismos módulos corresponden a puntos del plano que se encuentran en un círculo centrado en el origen, por lo tanto, la desigualdad satisfacer todos los puntos de un anillo abierto delimitado por círculos con un centro común en el origen y radios y (Fig. 31). Sea algún punto del plano complejo que corresponda al número w0. Número , tiene un módulo que es una vez más pequeño que el módulo w0 y un argumento que es más grande que el argumento w0. Geométricamente, el punto correspondiente a w1 se puede obtener utilizando una homotecia con un centro en el origen y un coeficiente, así como una rotación alrededor del origen en un ángulo en sentido antihorario. Como resultado de aplicar estas dos transformaciones a los puntos del anillo (Fig. 31), este último se transforma en un anillo delimitado por círculos con el mismo centro y radios 1 y 2 (Fig. 32).

Transformación implementado usando traducción paralela a un vector. Moviendo el anillo centrado en un punto al vector indicado, obtenemos un anillo del mismo tamaño centrado en un punto (Fig. 22).

El método propuesto, que utiliza la idea de transformaciones geométricas del plano, es probablemente menos conveniente en la descripción, pero muy elegante y eficaz.

Problema 66. Encuentre si .

Vamos, entonces y. La igualdad original toma la forma ... De la condición de igualdad de dos números complejos obtenemos ,, de donde,. Por lo tanto, .

Escribamos el número z en forma trigonométrica:

, dónde , . Según la fórmula de Moivre, encontramos.

Respuesta: - 64.

Problema 67. Para un número complejo, encuentre todos los números complejos tales que, y .

Representemos el número en forma trigonométrica:

... Por eso,. Para el número que obtenemos, puede ser igual a cualquiera.

En el primer caso , en el segundo

Respuesta: , .

Problema 68. Encuentre la suma de números tales que. Ingrese uno de estos números.

Tenga en cuenta que ya desde la formulación misma del problema, se puede entender que la suma de las raíces de la ecuación se puede encontrar sin calcular las raíces en sí. De hecho, la suma de las raíces de la ecuación es el coeficiente en tomado con el signo opuesto (teorema de Vieta generalizado), es decir

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NÚMEROS COMPLEJOS XI

§ 256. Forma trigonométrica de números complejos

Deje que el número complejo a + bi vector de partidos OA> con coordenadas ( a, b ) (ver fig.332).

Denotamos la longitud de este vector por r , y el ángulo que forma con el eje NS , a través de φ ... Por definición de seno y coseno:

a / r = cos φ , B / r = pecado φ .

Es por eso a = r porque φ , B = r pecado φ ... Pero en este caso, el número complejo a + bi Se puede escribir como:

a + bi = r porque φ + ir pecado φ = r (porque φ + I pecado φ ).

Como sabes, el cuadrado de la longitud de cualquier vector es igual a la suma de los cuadrados de sus coordenadas. Es por eso r 2 = a 2 + B 2, de donde r = √a 2 + B 2

Entonces, cualquier número complejo a + bi se puede representar como :

a + bi = r (porque φ + I pecado φ ), (1)

donde r = √a 2 + B 2, y el ángulo φ se determina a partir de la condición:

Esta forma de notación para números complejos se llama trigonométrico.

Número r en la fórmula (1) se llama módulo y el angulo φ - argumento, Número complejo a + bi .

Si el número complejo a + bi no es igual a cero, entonces su módulo es positivo; si a + bi = 0, entonces a = b = 0 y luego r = 0.

El módulo de cualquier número complejo se determina de forma única.

Si el número complejo a + bi no es igual a cero, entonces su argumento está determinado por las fórmulas (2) inequívocamente exacto a un ángulo múltiplo de 2 π ... Si a + bi = 0, entonces a = b = 0. En este caso r = 0. De la fórmula (1) es fácil entender que como argumento φ en este caso, puede elegir cualquier ángulo: después de todo, para cualquier φ

0 (cos φ + I pecado φ ) = 0.

Por lo tanto, el argumento cero no está definido.

Módulo de números complejos r a veces denotan | z | y el argumento arg z ... Veamos algunos ejemplos de cómo se pueden representar números complejos en forma trigonométrica.

Ejemplo. 1. 1 + I .

Encuentra el módulo r y el argumento φ este número.

r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

Por lo tanto el pecado φ = 1 / √ 2, cos φ = 1 / √ 2, de donde φ = π / 4 + 2norteπ .

Por lo tanto,

1 + I = √ 2 ,

dónde NS - cualquier número entero. Por lo general, de un conjunto infinito de valores del argumento de un número complejo, se elige uno que se encuentre entre 0 y 2 π ... En este caso, este valor es π / 4. Es por eso

1 + I = √ 2 (porque π / 4 + I pecado π / 4)

Ejemplo 2. Escribe un número complejo en forma trigonométrica √ 3 - I ... Tenemos:

r = √ 3 + 1 = 2, cos φ = √ 3/2, pecado φ = - 1 / 2

Por lo tanto, hasta un ángulo múltiplo de 2 π , φ = 11 / 6 π ; por eso,

√ 3 - I = 2 (cos 11/6 π + I pecado 6/11 π ).

Ejemplo 3 Escribe un número complejo en forma trigonométrica I.

Número complejo I vector de partidos OA> terminando en el punto A del eje a con ordenada 1 (fig. 333). La longitud de dicho vector es 1 y el ángulo que forma con la abscisa es π / 2. Es por eso

I = cos π / 2 + I pecado π / 2 .

Ejemplo 4. Escribe el número complejo 3 en forma trigonométrica.

El número complejo 3 corresponde al vector OA > NS abscisa 3 (Fig. 334).

La longitud de dicho vector es 3 y el ángulo que forma con la abscisa es 0. Por lo tanto,

3 = 3 (cos 0 + I pecado 0),

Ejemplo 5. Escribe el número complejo -5 en forma trigonométrica.

El número complejo -5 corresponde al vector OA> terminando en un punto del eje NS con una abscisa -5 (Fig. 335). La longitud de dicho vector es 5 y el ángulo que forma con la abscisa es π ... Es por eso

5 = 5 (cos π + I pecado π ).

Ejercicios

2047. Escribe estos números complejos en forma trigonométrica, definiendo sus módulos y argumentos:

1) 2 + 2√3 I , 4) 12I - 5; 7).3I ;

2) √3 + I ; 5) 25; 8) -2I ;

3) 6 - 6I ; 6) - 4; 9) 3I - 4.

2048. Indique en el plano el conjunto de puntos que representan números complejos, cuyos módulos r y argumentos φ satisfacen las condiciones:

1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;

3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. ¿Puede el módulo de un número complejo ser números al mismo tiempo? r y - r ?

2050. ¿Puede el argumento de un número complejo ser ángulos al mismo tiempo? φ y - φ ?

Para representar estos números complejos en forma trigonométrica, definiendo sus módulos y argumentos:

2051 *. 1 + cos α + I pecado α ... 2054 *. 2 (cos 20 ° - I sen 20 °).

2052 *. pecado φ + I porque φ ... 2055 *. 3 (- cos 15 ° - I pecado 15 °).

Conferencia

Forma trigonométrica de un número complejo

Plan

1. Representación geométrica de números complejos.

2. Notación trigonométrica de números complejos.

3. Acciones sobre números complejos en forma trigonométrica.

Representación geométrica de números complejos.

a) Los números complejos se representan mediante puntos del plano según la siguiente regla: a + bi = METRO ( a ; B ) (Figura 1).

Foto 1

b) Un número complejo se puede representar mediante un vector que comienza en el puntoO y el final en este punto (Fig. 2).

Imagen 2

Ejemplo 7. Grafica puntos que representan números complejos:1; - I ; - 1 + I ; 2 – 3 I (Fig. 3).

figura 3

Notación trigonométrica de números complejos.

Número complejoz = a + bi se puede configurar usando el vector de radio con coordenadas( a ; B ) (figura 4).

Figura 4

Definición . Longitud del vector representando un número complejoz , se llama el módulo de este número y se denota or .

Para cualquier número complejoz su módulor = | z | está determinado únicamente por la fórmula .

Definición . La magnitud del ángulo entre la dirección positiva del eje real y el vector. representar un número complejo se llama el argumento de este número complejo y se denotaA rg z oφ .

Argumento de número complejoz = 0 indefinido. Argumento de número complejoz≠ 0 es una cantidad multivalor y se determina hasta el término2πk (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; ...): Arg z = arg z + 2πk , dóndearg z - el valor principal del argumento, encerrado en el intervalo(-π; π] , es decir-π < arg z ≤ π (a veces el valor principal del argumento se toma como un valor que pertenece al intervalo .

Esta fórmula parar =1 a menudo denominada fórmula de Moivre:

(cos φ + yo pecado φ) norte = cos (nφ) + yo pecado (nφ), n  N .

Ejemplo 11. Calcular(1 + I ) 100 .

Escribamos un número complejo1 + I en forma trigonométrica.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , pecado φ = , φ = .

(1 + i) 100 = [ (porque + yo peco )] 100 = ( ) 100 (porque 100 + yo peco 100) = = 2 50 (cos 25π + i sen 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .

4) Extraer la raíz cuadrada de un número complejo.

Al extraer la raíz cuadrada de un número complejoa + bi tenemos dos casos:

siB > acerca de , luego ;

Acciones sobre números complejos escritos en forma algebraica

La forma algebraica del número complejo z =(a,B). se llama una expresión algebraica de la forma

z = a + bi.

Operaciones aritméticas con números complejos z 1 = a 1 + b 1 I y z 2 = a 2 + b 2 I escritos en forma algebraica se llevan a cabo de la siguiente manera.

1. La suma (diferencia) de números complejos

z 1 ± z 2 = (a 1 ± a 2) + (B 1 ± b 2)∙ yo,

aquellos. la suma (resta) se lleva a cabo de acuerdo con la regla de suma de polinomios con la reducción de términos similares.

2. Producto de números complejos

z 1 ∙ z 2 = (a 1 ∙ un 2 - B 1 ∙ b 2) + (a 1 ∙ b 2 + un 2 ∙ b 1)∙ yo,

aquellos. la multiplicación se lleva a cabo de acuerdo con la regla habitual de multiplicación de polinomios, teniendo en cuenta el hecho de que I 2 = 1.

3. La división de dos números complejos se realiza de acuerdo con la siguiente regla:

, (z 2 ≠ 0),

aquellos. La división se lleva a cabo multiplicando el dividendo y el divisor por el conjugado del divisor.

La exponenciación de números complejos se define de la siguiente manera:

Es fácil demostrar que

Ejemplos de.

1. Encuentra la suma de números complejos z 1 = 2 – I y z 2 = – 4 + 3I.

z 1 + z 2 = (2 + (–1)∙ yo)+ (–4 + 3I) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) I = –2+2I.

2. Halla el producto de números complejos z 1 = 2 – 3I y z 2 = –4 + 5I.

= (2 – 3I) ∙ (–4 + 5I) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3I)+ 2∙5I– 3yo ∙ 5yo = 7+22I.

3. Encuentra lo privado z de la división z 1 = 3 - 2 na z 2 = 3 – I.

z = .

4. Resuelve la ecuación :, X y y Î R.

(2x + y) + (x + y)yo = 2 + 3I.

Debido a la igualdad de los números complejos, tenemos:

dónde x =–1 , y= 4.

5. Calcular: I 2 ,I 3 ,I 4 ,I 5 ,I 6 ,I -1 , I -2 .

6. Calcule si.

7. Calcule el recíproco del número. z=3-I.

Números complejos en forma trigonométrica

Plano complejo llamado plano con coordenadas cartesianas ( x, y) si cada punto con coordenadas ( a, b) se le asigna un número complejo z = a + bi... En este caso, el eje de abscisas se llama eje real, y el eje de ordenadas es imaginario... Entonces cada número complejo a + bi se representa geométricamente en un plano como un punto A (a, b) o vector.

Por tanto, la posición del punto A(y, por tanto, el número complejo z) se puede especificar mediante la longitud del vector | | = r y ángulo j formado por vector | | con dirección positiva del eje real. La longitud del vector se llama módulo de un número complejo y denotado por | z | = r y el angulo j llamado argumento de número complejo y denotado j = arg z.

Está claro que | z| ³ 0 y | z | = 0 Û z = 0.

De la fig. 2 muestra eso.

El argumento de un número complejo se determina de forma ambigua, pero con una precisión de 2 pk, kÎ Z.

De la fig. 2 también se ve que si z = a + bi y j = arg z, luego

porque j =, pecado j =, tg j =.

Si zÎR y z> 0, entonces arg z = 0 +2paquete;

si z ÎR y z< 0, entonces arg z = p + 2paquete;

si z = 0,arg z indefinido.

El valor principal del argumento se determina en el segmento 0 £ arg z£ 2 pag,

o -pag£ arg z £ p.

Ejemplos:

1. Encuentra el módulo de números complejos z 1 = 4 – 3I y z 2 = –2–2I.