Geometrické telesá. Kužeľ

06.06.2024

Vtáky

) - teleso v euklidovskom priestore získané spojením všetkých lúčov vychádzajúcich z jedného bodu ( vrcholov kužeľ) a prechádza cez rovný povrch. Kužeľ je niekedy súčasťou takého telesa, ktoré má obmedzený objem a je získané spojením všetkých segmentov spájajúcich vrchol a body plochého povrchu (ten sa v tomto prípade nazýva základ kužeľ a kužeľ sa nazýva naklonený na tomto základe). Ak je základňa kužeľa mnohouholník, takýto kužeľ je pyramída.

Encyklopedický YouTube

1 / 4

✪ Ako vyrobiť kužeľ z papiera.

titulky

Súvisiace definície

Segment spájajúci vrchol a hranicu základne sa nazýva tvoriaca čiara kužeľa.
Spojenie generátorov kužeľa sa nazýva generatrix(alebo strane) povrch kužeľa. Tvarovacia plocha kužeľa je kužeľová plocha.
Úsečka spadnutá kolmo z vrcholu na rovinu základne (rovnako ako dĺžka takého výseku) sa nazýva tzv. výška kužeľa.
Uhol kužeľa- uhol medzi dvoma protiľahlými tvoriacimi priamkami (uhol na vrchole kužeľa, vo vnútri kužeľa).
Ak má základňa kužeľa stred symetrie (napríklad je to kružnica alebo elipsa) a kolmý priemet vrcholu kužeľa na rovinu základne sa zhoduje s týmto stredom, potom sa kužeľ nazýva priamy. V tomto prípade sa nazýva priamka spájajúca vrchol a stred základne os kužeľa.
Šikmé (naklonený) kužeľ - kužeľ, ktorého ortogonálny priemet vrcholu na podstavu sa nezhoduje s jeho stredom súmernosti.
Kruhový kužeľ- kužeľ, ktorého základňou je kruh.
Rovný kruhový kužeľ(často jednoducho nazývaný kužeľ) možno získať otáčaním pravouhlého trojuholníka okolo čiary obsahujúcej nohu (táto čiara predstavuje os kužeľa).
Kužeľ spočívajúci na elipse, parabole alebo hyperbole sa nazýva eliptické, parabolický A hyperbolický kužeľ(posledné dve majú nekonečný objem).
Časť kužeľa, ktorá leží medzi základňou a rovinou rovnobežnou so základňou a nachádza sa medzi vrcholom a základňou, sa nazýva zrezaný kužeľ, alebo kónická vrstva.

Vlastnosti

Ak je plocha základne konečná, potom je objem kužeľa tiež konečný a rovná sa jednej tretine súčinu výšky a plochy základne.

V = 1 3 S H , (\displaystyle V=(1 \over 3)SH,)

Kde S- základná plocha, H- výška. Všetky kužele spočívajúce na danej základni (konečnej plochy) a s vrcholom umiestneným v danej rovine rovnobežnej so základňou majú teda rovnaký objem, pretože ich výšky sú rovnaké.

Ťažisko akéhokoľvek kužeľa s konečným objemom leží v štvrtine výšky od základne.
Priestorový uhol vo vrchole pravého kruhového kužeľa je rovný

2 π (1 − cos ⁡ α 2) , (\displaystyle 2\pi \left(1-\cos (\alpha \over 2)\right),) kde α je uhol otvorenia kužeľa.

Bočný povrch takého kužeľa sa rovná

S = π R l , (\displaystyle S=\pi Rl,)

a celková plocha povrchu (t. j. súčet plôch bočného povrchu a základne)

S = π R (l + R), (\displaystyle S=\pi R(l+R),) Kde R- polomer základne, l = R2 + H2 (\displaystyle l=(\sqrt (R^(2)+H^(2))))- dĺžka tvoriacej čiary.

Objem kruhového (nie nevyhnutne priameho) kužeľa sa rovná

V = 13 πR2H. (\displaystyle V=(1 \over 3)\pi R^(2)H.)

Pre zrezaný kužeľ (nie nevyhnutne rovný a kruhový) sa objem rovná:

V = 1 3 (H S 2 − h S 1), (\displaystyle V=(1 \over 3)(HS_(2)-hS_(1)),)

kde S1 a S2 sú plochy hornej (najbližšie k hornej) a dolnej základne, v tomto poradí, h A H- vzdialenosti od roviny hornej a dolnej základne k vrcholu.

Priesečník roviny s pravým kruhovým kužeľom patrí medzi kužeľosečky (v nedegenerovaných prípadoch - elipsa, parabola alebo hyperbola, v závislosti od polohy roviny rezu).

Kužeľová rovnica

Rovnice definujúce bočný povrch pravého kruhového kužeľa s uhlom otvorenia 2Θ, vrcholom v počiatku a osou zhodujúcou sa s osou Oz :

V sférickom súradnicovom systéme so súradnicami ( r, φ, θ) :

θ = Θ. (\displaystyle \theta =\Theta.)

Vo valcovom súradnicovom systéme so súradnicami ( r, φ, z) :

z = r ⋅ ctg ⁡ Θ (\displaystyle z=r\cdot \operatorname (ctg) \Theta ) alebo r = z ⋅ tan ⁡ Θ . (\displaystyle r=z\cdot \operatorname (tg) \Theta .)

V karteziánskom súradnicovom systéme so súradnicami (X, r, z) :

z = ± x 2 + y 2 ⋅ detská postieľka ⁡ Θ . (\displaystyle z=\pm (\sqrt (x^(2)+y^(2)))\cdot \operatorname (ctg) \Theta .) Táto rovnica v kanonickom tvare je napísaná ako

kde sú konštanty a, s určený pomerom c / a = cos ⁡ Θ / sin ⁡ Θ . (\displaystyle c/a=\cos \Theta /\sin \Theta .) To ukazuje, že bočný povrch pravého kruhového kužeľa je povrchom druhého rádu (tzv kužeľová plocha). Vo všeobecnosti kužeľová plocha druhého rádu spočíva na elipse; vo vhodnom karteziánskom súradnicovom systéme (os Oh A OU rovnobežne s osami elipsy sa vrchol kužeľa zhoduje s počiatkom, stred elipsy leží na osi Oz) jeho rovnica má tvar

x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = 0 , (\displaystyle (\frac (x^(2))(a^(2)))+(\frac (y^(2))( b^(2)))-(\frac (z^(2))(c^(2)))=0,)

a a/c A b/c rovná poloosiam elipsy. V najvšeobecnejšom prípade, keď kužeľ spočíva na ľubovoľnom rovnom povrchu, je možné ukázať, že rovnica bočného povrchu kužeľa (s jeho vrcholom v počiatku) je daná rovnicou f (x, y, z) = 0, (\displaystyle f(x,y,z)=0,) kde je funkcia f (x, y, z) (\displaystyle f(x,y,z)) je homogénna, teda spĺňa podmienku f (α x, α y, α z) = α n f (x, y, z) (\displaystyle f(\alpha x,\alpha y,\alpha z)=\alpha ^(n)f(x,y ,z)) pre akékoľvek reálne číslo α.

skenovať

Pravý kruhový kužeľ ako rotačné teleso tvorí pravouhlý trojuholník otáčajúci sa okolo jednej z nôh, kde h- výška kužeľa od stredu základne po vrchol - je rameno pravouhlého trojuholníka, okolo ktorého dochádza k rotácii. Druhá vetva pravouhlého trojuholníka r- polomer na základni kužeľa. Prepona pravouhlého trojuholníka je l- tvoriaci kužeľ.

Na vytvorenie skenu kužeľa je možné použiť iba dve množstvá r A l. Polomer základne r definuje kružnicu základne kužeľa vo vývoji a sektor bočnej plochy kužeľa je určený tvoriacou čiarou bočnej plochy l, čo je polomer sektora bočnej plochy. Sektorový uhol φ (\displaystyle \varphi ) vo vývoji bočného povrchu kužeľa je určený vzorcom:

φ = 360° ( r/l) .

Kužeľ (z gréckeho "konos")- Borovicová šiška. Šiška je ľuďom známa už od staroveku. V roku 1906 bola objavená kniha „O metóde“, ktorú napísal Archimedes (287-212 pred Kr.), táto kniha poskytuje riešenie problému objemu spoločnej časti pretínajúcich sa valcov. Archimedes hovorí, že tento objav patrí starogréckemu filozofovi Demokritovi (470-380 pred Kr.), ktorý na tomto princípe získal vzorce na výpočet objemu pyramídy a kužeľa.

Kužeľ (kruhový kužeľ) je teleso, ktoré pozostáva z kružnice - podstavy kužeľa, bodu nepatriaceho do roviny tejto kružnice - vrcholu kužeľa a všetkých segmentov spájajúcich vrchol kužeľa a body základný kruh. Segmenty, ktoré spájajú vrchol kužeľa s bodmi základnej kružnice, sa nazývajú generátory kužeľa. Povrch kužeľa pozostáva zo základne a bočnej plochy.

Kužeľ sa nazýva rovný, ak priamka, ktorá spája vrchol kužeľa so stredom podstavy, je kolmá na rovinu podstavy. Pravý kruhový kužeľ možno považovať za teleso získané otáčaním pravouhlého trojuholníka okolo jeho nohy ako osi.

Výška kužeľa je kolmica, ktorá klesá z jeho vrcholu na rovinu základne. Pre rovný kužeľ sa základňa výšky zhoduje so stredom základne. Os pravého kužeľa je priamka obsahujúca jeho výšku.

Úsek kužeľa rovinou prechádzajúcou cez tvoriacu čiaru kužeľa a kolmý na axiálny rez pretiahnutý touto tvoriacou čiarou sa nazýva dotyčnicová rovina kužeľa.

Rovina kolmá na os kužeľa pretína kužeľ v kruhu a bočná plocha pretína kružnicu so stredom na osi kužeľa.

Rovina kolmá na os kužeľa z nej odreže menší kužeľ. Zostávajúca časť sa nazýva zrezaný kužeľ.

Objem kužeľa sa rovná jednej tretine súčinu výšky a plochy základne. Všetky kužele, ktoré spočívajú na danej základni a majú vrchol umiestnený v danej rovine rovnobežnej so základňou, majú teda rovnaký objem, pretože ich výšky sú rovnaké.

Bočný povrch kužeľa možno nájsť pomocou vzorca:

strana S = πRl,

Celková plocha kužeľa sa zistí podľa vzorca:

Scon = πRl + πR 2,

kde R je polomer základne, l je dĺžka tvoriacej čiary.

Objem kruhového kužeľa sa rovná

V = 1/3 πR 2 H,

kde R je polomer základne, H je výška kužeľa

Bočný povrch zrezaného kužeľa možno nájsť pomocou vzorca:

strana S = π(R + r)l,

Celkový povrch zrezaného kužeľa možno nájsť pomocou vzorca:

S con = πR 2 + πr 2 + π(R + r)l,

kde R je polomer spodnej základne, r je polomer hornej základne, l je dĺžka tvoriacej čiary.

Objem zrezaného kužeľa možno nájsť takto:

V = 1/3 πH(R2 + Rr + r2),

kde R je polomer spodnej základne, r je polomer hornej základne, H je výška kužeľa.

webová stránka, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti sa vyžaduje odkaz na pôvodný zdroj.

Úsek kužeľa rovinou prechádzajúcou cez tvoriacu čiaru kužeľa a kolmý na axiálny rez pretiahnutý touto tvoriacou čiarou sa nazýva dotyčnicová rovina kužeľa.

Rovina kolmá na os kužeľa pretína kužeľ v kruhu a bočná plocha pretína kružnicu so stredom na osi kužeľa.

Rovina kolmá na os kužeľa z nej odreže menší kužeľ. Zostávajúca časť sa nazýva zrezaný kužeľ.

Bočný povrch kužeľa možno nájsť pomocou vzorca:

strana S = πRl,

Celková plocha kužeľa sa zistí podľa vzorca:

Scon = πRl + πR 2,

kde R je polomer základne, l je dĺžka tvoriacej čiary.

Objem kruhového kužeľa sa rovná

V = 1/3 πR 2 H,

kde R je polomer základne, H je výška kužeľa

Bočný povrch zrezaného kužeľa možno nájsť pomocou vzorca:

strana S = π(R + r)l,

Celkový povrch zrezaného kužeľa možno nájsť pomocou vzorca:

S con = πR 2 + πr 2 + π(R + r)l,

kde R je polomer spodnej základne, r je polomer hornej základne, l je dĺžka tvoriacej čiary.

Objem zrezaného kužeľa možno nájsť takto:

V = 1/3 πH(R2 + Rr + r2),

kde R je polomer spodnej základne, r je polomer hornej základne, H je výška kužeľa.

blog.site, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti sa vyžaduje odkaz na pôvodný zdroj.

Späť dopredu

Pozor! Ukážky snímok slúžia len na informačné účely a nemusia predstavovať všetky funkcie prezentácie. Ak vás táto práca zaujala, stiahnite si plnú verziu.

Ciele lekcie:

Vzdelávacie: predstaviť pojem kužeľa a jeho prvkov; zvážiť konštrukciu priameho kužeľa; zvážte nájdenie celého povrchu kužeľa; rozvíjať schopnosť riešiť problémy hľadania prvkov kužeľa.
Vývojový: rozvíjať kompetentnú matematickú reč, logické myslenie.
Vzdelávacie: pestovať kognitívnu činnosť, kultúru komunikácie, kultúru dialógu.

Formát lekcie: lekciu formovania nových vedomostí a zručností.

Forma vzdelávacej aktivity: kolektívna forma práce.

Metódy použité v lekcii: vysvetľujúco-ilustračné, produktívne.

Didaktický materiál: zošit, učebnica, pero, ceruzka, pravítko, tabuľa, krieda a pastelky, projektor a prezentácia „Kužeľ. Základné pojmy. Povrchová plocha kužeľa.

Plán lekcie:

Organizačný moment (1 min).
Prípravná fáza (motivácia) (5 min).
Učenie sa nového materiálu (15 min).
Riešenie úloh pri hľadaní prvkov kužeľa (15 min).
Zhrnutie hodiny (2 min).
Zadanie domácej úlohy (2 min).

POČAS VYUČOVANIA

1. Organizačný moment

Cieľ: pripraviť sa na učenie sa nového materiálu.

2. Prípravná fáza

Forma: ústna práca.

Cieľ: zoznámenie sa s novým telom rotácie.

Šiška v preklade z gréčtiny „konos“ znamená „šiška“.

Existujú telesá v tvare kužeľa. Možno ich vidieť v rôznych predmetoch, od bežnej zmrzliny až po techniku, ako aj v detských hračkách (pyramída, sušienka atď.), V prírode (smrek, hory, sopky, tornáda).

(Pomocou snímok 1 – 7)

Učiteľské aktivity	Aktivita študenta
3. Vysvetlenie nového materiálu Cieľ: predstaviť nové pojmy a vlastnosti kužeľa.
1. Kužeľ možno získať otáčaním pravouhlého trojuholníka okolo jednej z jeho nôh. (Snímka 8) Teraz sa pozrime na to, ako je postavený kužeľ. Najprv nakreslíme kružnicu so stredom O a priamku OP kolmú na rovinu tejto kružnice. Každý bod kružnice spojíme úsečkou do bodu P (učiteľ postupne stavia kužeľ). Povrch tvorený týmito segmentmi je tzv kužeľová plocha a samotné segmenty – tvoriaci kužeľovú plochu.	Do zošitov si postavia kužeľ.
(diktuje definíciu) (Snímka 9) Teleso ohraničené kužeľovou plochou a kružnicou s hranicou L je tzv. kužeľ.	Zapíšte si definíciu.
Kužeľová plocha je tzv bočný povrch kužeľa, a kruh je základňa kužeľa. Priama čiara OP prechádzajúca stredom základne a vrcholom sa nazýva os kužeľa. Os kužeľa je kolmá na rovinu základne. Segment OP sa nazýva výška kužeľa. Bod P sa nazýva vrchol kužeľa, a generátory kužeľovej plochy sú tvoriaci kužeľ.	Prvky kužeľa sú označené na výkrese.
Pomenujte dva generátory kužeľa a porovnajte ich?	PA a PB, sú si rovné.
Prečo sú generátory rovnaké?	Projekcie naklonených sa rovnajú polomerom kruhu, čo znamená, že samotné generátory sú rovnaké.
Zapíšte si do zošita: vlastnosti kužeľa:	(Snímka 10)
1. Všetky generátory kužeľa sú rovnaké. Aké sú uhly sklonu tvoriacich čiar k základni? Porovnajte ich. Prečo, dokázať?	Uhly: PCO, PDO. Sú si rovní. Pretože trojuholník PAB je rovnoramenný.
2. Uhly sklonu tvoriacich priamok k základni sú rovnaké. Aké sú uhly medzi osou a generátormi? Čo môžete povedať o týchto uhloch?	SRO a DPO Sú si rovní.
3. Uhly medzi osou a generátormi sú rovnaké. Aké sú uhly medzi osou a základňou? Čomu sa tieto uhly rovnajú?	POC a POD. 90 o
4. Uhly medzi osou a základňou sú pravé. Budeme brať do úvahy iba rovný kužeľ.
2. Uvažujme rez kužeľa rôznymi rovinami. Aká je rovina rezu prechádzajúca osou kužeľa?	Trojuholník.
Čo je toto za trojuholník?	Je rovnoramenný.
prečo?	Jeho dve strany sú generátory a sú rovnaké.
Aká je základňa tohto trojuholníka?	Priemer základne kužeľa.
Tento úsek sa nazýva axiálny. (Snímka 11) Nakreslite si túto časť do poznámkových blokov a označte ju. Aká je rovina rezu kolmá na os OP kužeľa?	Kruh.
Kde je stred tohto kruhu?	Na osi kužeľa.
Táto časť sa nazýva kruhová časť (Mierka 12). Nakreslite si túto časť do poznámkových blokov a označte ju. Existujú aj iné typy častí kužeľa, ktoré nie sú axiálne a nie sú rovnobežné so základňou kužeľa. Pozrime sa na ne s príkladmi. (Snímka 13)	Čmárajú do zošitov.
3. Teraz odvodíme vzorec pre celkový povrch kužeľa. (Snímka 14) Aby sa to dosiahlo, môže byť bočný povrch kužeľa, rovnako ako bočný povrch valca, otočený do roviny jeho rezaním pozdĺž jednej z tvoriacich čiar.
Aký je vývoj bočného povrchu kužeľa? (kreslí na tabuľu)	Kruhový sektor.
Aký je polomer tohto sektora?	Generátor kužeľa.
A čo dĺžka oblúka sektora?	Obvod.
Oblasť bočného povrchu kužeľa sa považuje za oblasť jeho vývoja. (Snímka 15)	, kde je miera stupňa oblúka.
Aká je plocha kruhového sektora?
Aký je teda bočný povrch kužeľa? Vyjadrime to prostredníctvom a . (Snímka 16) Aká je dĺžka oblúka?
Na druhej strane rovnaký oblúk predstavuje obvod základne kužeľa. Čomu sa to rovná?
Dosadením bočného povrchu kužeľa do vzorca dostaneme, . Celková plocha kužeľa je súčtom plôch bočného povrchu a základne. . Zapíšte si tieto vzorce.	Napíšte: , .h	(Snímka 21) L = 5

6. Domáce úlohy. S. 55, 56, č. 548(b), 549(b). (Snímka 22)

Téma lekcie: Kužeľ a jeho prvky

Ciele lekcie:predstaviť pojmy kužeľ, tvoriaca čiara, výška a základňa; zaviesť pojem plochy bočného povrchu kužeľa ako oblasť jeho rozvoja; rozvíjať schopnosť riešiť problémy pri hľadaní prvkov kužeľa.

Typ lekcie:kombinované.

Vybavenie:PC, multimediálny projektor, interaktívna tabuľa, modely kužeľov.

Počas tried:

Kontrola domácich úloh na tabuli.
Samostatná práca (príloha 1.)
Vysvetlenie nového materiálu.

Pojmy kužeľa, jeho prvky (vrchol, os, generátory, základňa, bočná plocha). Obrázok kužeľa.

Kužeľ(presnejšie kruhový kužeľ) je teleso, ktoré pozostáva z kružnice - základne kužeľa, bodu neležiaceho v rovine tejto kružnice - vrcholu kužeľa a všetkých segmentov spájajúcich vrchol kužeľa s body základne (obr. 1).

Segmenty spájajúce vrchol kužeľa s bodmi základnej kružnice sa nazývajú formovanie kužeľ Povrch kužeľa pozostáva zo základne a bočnej plochy.

Kužeľ je tzv priamy, ak je priamka spájajúca vrchol kužeľa so stredom podstavy kolmá na rovinu podstavy. V nasledujúcom texte budeme uvažovať iba o priamom kuželi, ktorý pre stručnosť nazývame jednoducho kužeľ. Vizuálne si priamy kruhový kužeľ môžeme predstaviť ako teleso získané otáčaním pravouhlého trojuholníka okolo jeho nohy ako osi (obr. 2).

Výška kužeľa sa nazýva kolmica zostupujúca z jeho vrcholu na rovinu základne. Pre rovný kužeľ sa základňa výšky zhoduje so stredom základne. Osou pravého kruhového kužeľa je priamka obsahujúca jeho výšku.

^ Rez kužeľa rôznymi rovinami.
Rez kužeľa rovinou prechádzajúcou jeho vrcholom je rovnoramenný trojuholník, ktorého strany tvoria kužeľ (obr. 3). Najmä axiálny rez kužeľa je rovnoramenný trojuholník. Ide o úsek, ktorý prechádza osou kužeľa (obr. 4).

Veta. Rovina rovnobežná s rovinou základne kužeľa pretína kužeľ v kruhu a bočný povrch - v kruhu so stredom na osi kužeľa.

Dôkaz. Nechaj - rovina rovnobežná s rovinou podstavy kužeľa a pretínajúca kužeľ (obr. 5). Transformácia homotety vzhľadom na vrchol kužeľa, kombinujúca rovinu