Prednáška 21 Aplikácia určitého integrálu (2 hod.)
Geometrické aplikácie
A) Plocha postavy
Ako už bolo uvedené v prednáške 19, numericky sa rovná ploche krivočiareho lichobežníka ohraničeného krivkou pri = f(X), rovný X = A, X = b a segment [ a, b] os OX. Navyše, ak f(X) 0 £ na [ a, b], potom by sa mal integrál brať so znamienkom mínus.
Ak je na danom intervale funkcia pri = f(X) zmení znamienko, potom na výpočet plochy obrazca uzavretého medzi grafom tejto funkcie a osou OX by ste mali segment rozdeliť na časti, z ktorých každá si funkcia zachováva svoje znamienko, a nájsť plochu každá časť postavy. Požadovaná oblasť je v tomto prípade algebraický súčet integrálov nad týmito segmentmi a integrály zodpovedajúce záporným hodnotám funkcie sa berú do tohto súčtu so znamienkom mínus.
Ak je obrazec ohraničený dvoma krivkami pri = f 1 (X) A pri = f 2 (X), f 1 (X)£ f 2 (X), potom, ako vyplýva z obr. 9, jeho plocha sa rovná rozdielu plôch krivočiarych lichobežníkov. A slnko b A A AD b, z ktorých každý sa číselne rovná integrálu. znamená,
 |
Všimnite si, že oblasť obrázku znázorneného na obrázku 10a sa nachádza pomocou rovnakého vzorca: S = 
(dokázať to!). Premýšľajte o tom, ako vypočítať plochu obrázku znázorneného na obrázku 10b?
Hovorili sme len o krivočiarych lichobežníkoch susediacich s osou OX. Ale podobné vzorce platia aj pre čísla susediace s osou OU. Napríklad oblasť obrázku znázorneného na obrázku 11 sa nachádza podľa vzorca
Nechajte linku r=f(X), ohraničujúci zakrivený lichobežník, môže byť daný parametrickými rovnicami, tО a j(a)= A j(b) = b, t.j. pri= . Potom sa plocha tohto krivočiareho lichobežníka rovná
.
b) Dĺžka oblúka oblúka
Nech je daná krivka pri = f(X). Uvažujme oblúk tejto krivky zodpovedajúci zmene X na segmente [ a, b]. Poďme nájsť dĺžku tohto oblúka. Aby sme to urobili, rozdelíme oblúk AB na P diely podľa bodov A = M 0, M 1, M 2, ..., M P= B (obr. 14), zodpovedajúce bodom X 1 , X 2 , ..., x n Î [ a, b].
 |
Označme D l i dĺžka oblúka teda l= . Ak je dĺžka oblúka D l i sú dostatočne malé, potom ich možno považovať za približne rovnaké ako dĺžky zodpovedajúcich segmentov spájajúcich body M i-1,M i. Tieto body majú súradnice M i -1 (x i -1, f (x i-1)), M i(x i, f(x i)). Potom sú dĺžky segmentov rovnaké, resp
Používa sa tu Lagrangeov vzorec. Položme x i – x i-1 = D x i, dostaneme
Potom l = 
, kde
l = 
.
Teda dĺžka oblúka krivky pri = f(X), ktoré zodpovedajú zmene X na segmente [ a, b], nájdené podľa vzorca
l = 
, (1)
Ak je krivka špecifikovaná parametricky, tО, t.j. r(t) = f(X(t)), potom zo vzorca (1) dostaneme:
l= 
.
To znamená, že ak je krivka daná parametricky, potom dĺžka oblúka tejto krivky zodpovedá zmene tО, sa zistí podľa vzorca
V) Objem rotačného telesa.
|
Zvážte zakrivený lichobežník A AB b, ohraničený čiarou pri = f(X), rovný X = A, X = b a segment [ a,b] os OX (obr. 15). Nechajte tento lichobežník rotovať okolo osi OX, výsledkom bude rotačné teleso. Dá sa dokázať, že objem tohto telesa sa bude rovnať 
Podobne môžeme odvodiť vzorec pre objem telesa získaný rotáciou krivočiareho lichobežníka okolo osi OU, ohraničeného grafom funkcie X= j( pri), rovný r = c , r = d a segment [ c,d] os operačného zosilňovača (obr. 15):
Fyzikálne aplikácie určitého integrálu
V prednáške 19 sme dokázali, že z fyzikálneho hľadiska sa integrál numericky rovná hmotnosti priamočiarej tenkej nehomogénnej tyče dĺžky l= b – a, s premenlivou lineárnou hustotou r = f(X), f(X) ³ 0, kde X– vzdialenosť od hrotu tyče po jej ľavý koniec.
Zoberme si ďalšie fyzikálne aplikácie určitého integrálu.
Problém 1. Nájdite prácu potrebnú na čerpanie oleja z vertikálnej valcovej nádrže s výškou H a polomerom základne R. Hustota oleja je r.
Riešenie. Zostavme si matematický model tohto problému. Nechajte os OX prechádzať pozdĺž osi súmernosti valca s výškou H a polomerom R, počiatok je v strede hornej základne valca (obr. 17). Rozdelíme valec na P malé horizontálne časti. Potom kde A i- čerpacie práce i vrstva. Toto rozdelenie valca zodpovedá rozdeleniu segmentu zmeny výšky vrstvy na Pčasti. Uvažujme jednu z týchto vrstiev umiestnenú na diaľku x i od povrchu, šírka D X(alebo hneď dx). Odčerpanie tejto vrstvy si možno predstaviť ako „zdvihnutie“ vrstvy do výšky x i.
Potom sa práca na čerpanie tejto vrstvy rovná
A i"R i x i, 
,
kde P i=rgV i= rgpR 2 dx, R i- hmotnosť, V i- objem vrstvy. Potom A i"R i x i= rgpR 2 dx.x i, kde
, a preto 
.
Problém 2. Nájdite moment zotrvačnosti
a) dutý tenkostenný valec vo vzťahu k osi prechádzajúcej jeho osou symetrie;
b) plný valec vzhľadom k osi prechádzajúcej jeho osou symetrie;
c) tenká tyč dĺžky l vzhľadom na os prechádzajúcu jeho stredom;
d) dĺžka tenkej tyče l vzhľadom k osi prechádzajúcej jeho ľavým koncom.
Riešenie. Ako je známe, moment zotrvačnosti bodu vzhľadom na os sa rovná J=Pán 2 a bodové sústavy.
a) Valec je tenkostenný, čo znamená, že hrúbka steny môže byť zanedbaná. Nech je polomer podstavy valca R, jeho výška H a hustota hmoty na stenách sa rovná r.
Rozdelíme valec na Pčasti a zistite kde J i- moment zotrvačnosti i prvok priečky.
Uvažujme i prvok priečky (nekonečne malý valec). Všetky jeho body sú vo vzdialenosti R od osi l. Nechajte hmotnosť tohto valca t i, Potom t i= rV i» rS strane= 2prR dx i, Kde x i O. Potom J i»R 2 prR dx i, kde
.
Ak r je konštanta, potom J= 2prR 3 N, a keďže hmotnosť valca sa rovná M = 2prRН, potom J=MR 2.
b) Ak je valec pevný (naplnený), tak ho rozdelíme na P vlo tenké valce navzájom prepojené. Ak P je veľký, každý z týchto valcov možno považovať za tenkostenný. Tento oddiel zodpovedá rozdeleniu segmentu do Pčasti s bodmi R i. Nájdeme hmotu i tenkostenný valec: t i= rV i, Kde
V i= pR i 2 H – prR ja- 12H = pH(R i 2 -R i -1 2) =
PH(R i–R i-1) (R i+R i -1).
Vzhľadom na to, že steny valca sú tenké, môžeme predpokladať, že R i+R i-1 » 2R i a R i–R i-1 = DR i, potom V i» pH2R i DR. i, kde t i» otáčky × 2R i DR. i,
Potom konečne 
c) Uvažujme tyč dĺžky l, ktorého hmotnostná hustota sa rovná r. Nechajte os otáčania prechádzať jej stredom.
Tyč modelujeme ako segment osi OX, potom os rotácie tyče je os OU. Uvažujme elementárny segment, jeho hmotnosť, vzdialenosť od osi možno považovať za približne rovnaké RI= x i. Potom sa moment zotrvačnosti tohto úseku rovná , odkiaľ je moment zotrvačnosti celej tyče rovný 
. Ak vezmeme do úvahy, že hmotnosť tyče sa rovná , potom
d) Nech teraz os otáčania prejde ľavým koncom tyče, t.j. Model tyče je segmentom osi OX. Potom podobne, RI= x i, , kde 
a odvtedy .
Úloha 3. Nájdite silu tlaku kvapaliny s hustotou r na pravouhlom trojuholníku s nohami A A b, ponorený vertikálne do kvapaliny tak, aby noha A umiestnené na povrchu kvapaliny.
Riešenie.
Zostavme model problému. Nech je vrchol pravého uhla trojuholníka v počiatku, nohe A sa zhoduje so segmentom osi OU (os OU určuje povrch kvapaliny), os OX smeruje nadol, noha b sa zhoduje s úsekom tejto osi. Prepona tohto trojuholníka má rovnicu , alebo .
Je známe, že ak na horizontálnej oblasti plochy S, ponorený do kvapaliny hustoty r, je stlačený stĺpcom kvapaliny s výškou h, potom je tlaková sila rovnaká (Pascalov zákon). Využime tento zákon.
1. Oblasť plochej postavy.
Oblasť krivočiareho lichobežníka ohraničená nezápornou funkciou f(x), os x a priame čiary x = a, x = b, je definovaný ako S = ∫ a b f x d x .
Oblasť zakriveného lichobežníka
Plocha obrazca ohraničená funkciou f(x), ktorá pretína os x, je určená vzorcom S = ∑ i: f x ≥ 0 ∫ x i - 1 x i f x d x - ∑ i: f x< 0 ∫ x i - 1 x i | f x | d x , где x i– nuly funkcie. Inými slovami, na výpočet plochy tohto obrázku je potrebné rozdeliť segment funkčné nuly f(x) do častí, integrovať funkciu f pre každý z výsledných intervalov konštantného znamienka spočítajte oddelene integrály nad segmentmi, na ktorých je funkcia f má rôzne znamienka a odpočítajte druhé od prvého.
2. Oblasť zakriveného sektora.
Oblasť zakriveného sektora Zvážte krivku ρ = ρ (φ) v polárnom súradnicovom systéme, kde ρ (φ) – spojité a nezáporné na [α; β] funkciu. Postava ohraničená krivkou ρ (φ) a lúče φ = α , φ = β , sa nazýva krivočiary sektor. Plocha krivočiareho sektora je S = 1 2 ∫ α β ρ 2 φ d φ.
3. Objem rotačného telesa.
Objem rotačného telesa
Nech sa teleso vytvorí rotáciou okolo osi OX krivočiareho lichobežníka ohraničeného súvislou čiarou na segmente funkciu f(x). Jeho objem je vyjadrený vzorcom V = π ∫ a b f 2 x d x.
K problému zistenia objemu telesa z jeho prierezovej plochy Nech je telo uzavreté medzi rovinami x = a A x = b a oblasť jeho rezu rovinou prechádzajúcou bodom X, – priebežné na segmente funkciu σ(x). Potom sa jeho objem rovná V = ∫ a b σ x d x .
4. Dĺžka oblúka krivky.
Nech je daná krivka r → t = x t , y t , z t Potom je daná dĺžka jej úseku ohraničeného hodnotami t = a A t = p je vyjadrená vzorcom S = ∫ α β x ′ t 2 + y ′ t 2 + z ′ t 2 dt .
Dĺžka oblúka rovinnej krivky Konkrétne dĺžka rovinnej krivky definovanej v rovine súradníc OXY rovnica y = f(x), a ≤ x ≤ b, je vyjadrená vzorcom S = ∫ a b 1 + f ′ x 2 dx .
5. Plocha rotácie.
Plocha otáčania Nech je plocha definovaná rotáciou vzhľadom na os OX grafu funkcie y = f(x), a ≤ x ≤ b a funkciu f má na tomto intervale spojitú deriváciu. Potom je plocha rotačnej plochy určená vzorcom Π = 2 π ∫ a b f x 1 + f ′ x 2 d x .
Oblasť krivočiareho lichobežníka ohraničená grafom funkcie y=f(x), vľavo a vpravo - rovno x=a A x=b podľa toho zospodu - os Vôl, sa vypočíta podľa vzorca
Plocha krivočiareho lichobežníka ohraničená vpravo grafom funkcie x=φ(y), nad a pod - rovno y=d A y=c podľa toho vľavo - os Oj:
Plocha krivočiareho útvaru ohraničená hore grafom funkcie y 2 = f 2 (x), dole - graf funkcií y 1 = f 1 (x), vľavo a vpravo - rovno x=a A x=b:
Plocha krivočiareho útvaru ohraničená vľavo a vpravo grafmi funkcií x 1 =φ 1 (y) A x 2 =φ 2 (y), nad a pod - rovno y=d A y=c v tomto poradí:
Uvažujme prípad, keď priamka ohraničujúca krivočiary lichobežník zhora je daná parametrickými rovnicami x = φ 1 (t), y = φ 2 (t), Kde a ≤ t ≤ p, φ 1 (α) = a, φ1(p)=b. Tieto rovnice definujú nejakú funkciu y=f(x) na segmente [ a, b]. Plocha zakriveného lichobežníka sa vypočíta podľa vzorca
Prejdime k novej premennej x = φ 1 (t), Potom dx = φ" 1 (t) dt, A y=f(x)=f(φ 1 (t))=φ 2 (t), preto \begin(displaymath)
Oblasť v polárnych súradniciach
Zvážte krivočiary sektor OAB, ohraničený priamkou danou rovnicou ρ=ρ(φ) v polárnych súradniciach dva lúče O.A. A O.B., pre ktoré φ=α , φ=β .
Sektor rozdelíme na elementárne sektory OM k-1 M k ( k = 1, …, n, M° = A, Mn = B). Označme podľa Δφk uhol medzi lúčmi OM k-1 A OM k, zvierajúce uhly s polárnou osou φ k-1 A φk resp. Každý zo základných sektorov OM k-1 M k nahraďte ho kruhovým sektorom s polomerom ρ k =ρ (φ" k), Kde φ" k- hodnota uhla φ
z intervalu [ φ k-1, φ k] a stredový uhol Δφk. Plocha posledného sektora je vyjadrená vzorcom 
.
vyjadruje plochu „stupňovitého“ sektora, ktorý približne nahrádza daný sektor OAB.
Oblasť sektora OAB sa nazýva hranica oblasti „stupňovitého“ sektora na n → ∞ A λ=max Δφ k → 0:
Pretože 
, To
Dĺžka oblúka oblúka
Nechajte na segmente [ a, b] je daná diferencovateľná funkcia y=f(x), ktorej grafom je oblúk. Úsečka [ a,b] rozdeľme to na nčasti s bodkami x 1, x 2, …, xn-1. Tieto body budú zodpovedať bodom M 1, M 2, …, Mn-1 oblúky, spájame ich lomenou čiarou, ktorá sa nazýva lomená čiara vpísaná do oblúka. Obvod tejto prerušovanej čiary bude označený s n, teda
Definícia. Dĺžka oblúka čiary je hranica obvodu prerušovanej čiary, ktorá je do nej vpísaná, keď je počet článkov M k-1 M k rastie neobmedzene a dĺžka najväčšieho z nich má tendenciu k nule:
kde λ je dĺžka najväčšieho spojenia.
Budeme počítať dĺžku oblúka od nejakého bodu, napr. A. Nech v bode M(x,y) dĺžka oblúka je s a na mieste M"(x+Δ x,y+Δy) dĺžka oblúka je s+Δs, kde,i>Δs je dĺžka oblúka. Z trojuholníka MNM" nájdite dĺžku akordu: .
Z geometrických úvah vyplýva, že
to znamená, že nekonečne malý oblúk úsečky a tetiva, ktorá ho pretína, sú ekvivalentné.
Transformujme vzorec vyjadrujúci dĺžku akordu:
Prechodom na limitu v tejto rovnosti dostaneme vzorec pre deriváciu funkcie s=s(x):
z ktorých nájdeme
Tento vzorec vyjadruje diferenciál oblúka rovinnej krivky a má jednoduché geometrický význam: vyjadruje Pytagorovu vetu pre nekonečne malý trojuholník MTN (ds=MT, ).
Rozdiel oblúka priestorovej krivky je určený vzorcom
Uvažujme oblúk priestorovej priamky definovanej parametrickými rovnicami
Kde a ≤ t ≤ p, φi(t) (i = 1, 2, 3) - diferencovateľné funkcie argumentu t, To
Integrácia tejto rovnosti cez interval [ α, β ], dostaneme vzorec na výpočet dĺžky tohto priamkového oblúka
Ak čiara leží v rovine Oxy, To z=0 pred všetkými t∈[α, β], Preto
V prípade, že je rovná čiara daná rovnicou y=f(x) (a≤x≤b), Kde f(x) je diferencovateľná funkcia, posledný vzorec má tvar
Nech je rovinná čiara daná rovnicou ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) v polárnych súradniciach. V tomto prípade máme parametrické rovnice priamky x=ρ(φ) cos φ, y=ρ(φ) sin φ, kde sa ako parameter berie polárny uhol φ . Pretože
potom vzorec vyjadrujúci dĺžku oblúka úsečky ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) v polárnych súradniciach má tvar
Objem tela
Nájdite objem telesa, ak je známa plocha akéhokoľvek prierezu tohto telesa kolmého na určitý smer.
Rozdeľme toto teleso na elementárne vrstvy rovinami kolmými na os Vôl a definované rovnicami x=konšt. Pre akékoľvek pevné x∈ známa oblasť S=S(x) prierez daného telesa.
Elementárna vrstva odrezaná rovinami x=x k-1, x = x k (k = 1, …, n, x 0 = a, x n = b), nahraďte ho valcom s výškou Δx k =x k -x k-1 a základná plocha S(ξ k), ξ k ∈.
Objem uvedeného elementárneho valca je vyjadrený vzorcom Δv k =E(ξ k)Δx k. Poďme si zhrnúť všetky takéto produkty
čo je integrálny súčet pre danú funkciu S=S(x) na segmente [ a, b]. Vyjadruje objem stupňovitého telesa pozostávajúceho z elementárnych valcov a približne nahrádzajúceho toto teleso.
Objem daného telesa je hranica objemu zadaného stupňovitého telesa pri λ→0 , Kde λ - dĺžka najväčšieho zo základných segmentov Δxk. Označme podľa V objem daného telesa, potom podľa definície
Na druhej strane,
Následne sa objem telesa na daných prierezoch vypočíta podľa vzorca
Ak teleso vzniká rotáciou okolo osi Vôl zakrivený lichobežník ohraničený v hornej časti oblúkom súvislej čiary y=f(x), Kde a≤x≤b, To S(x)=πf 2 (x) a posledný vzorec má tvar:
Komentujte. Objem telesa získaný rotáciou zakriveného lichobežníka ohraničeného vpravo grafom funkcie x=φ(y) (c ≤ x ≤ d), okolo osi Oj vypočítané podľa vzorca
Plocha rotácie
Zvážte povrch získaný otáčaním oblúka čiary y=f(x) (a≤x≤b) okolo osi Vôl(predpokladajme, že funkcia y=f(x) má spojitú deriváciu). Stanovenie hodnoty x∈, dáme prírastok argumentu funkcie dx, čo zodpovedá „elementárnemu prstencu“ získanému otáčaním elementárneho oblúka Al. Nahraďte tento „prsteň“ valcovým krúžkom - bočným povrchom telesa tvoreným rotáciou obdĺžnika so základňou rovnajúcou sa diferenciálu oblúka dl, a výška h=f(x). Odstrihnutím posledného krúžku a jeho rozložením získame pásik o šírke dl a dĺžka 2πy, Kde y=f(x).
Preto je rozdiel plochy povrchu vyjadrený vzorcom
Tento vzorec vyjadruje plochu povrchu získanú otáčaním oblúka priamky y=f(x) (a≤x≤b) okolo osi Vôl.
Téma 6.10. Geometrické a fyzikálne aplikácie určitého integrálu
1. Plocha krivočiareho lichobežníka ohraničeného krivkou y =f(x)(f(x)>0), priamkami x = a, x = b a segmentom [a, b] osi Ox, sa vypočíta podľa vzorca
2. Plocha obrazca ohraničená krivkami y = f (x) a y = g (x) (f (x)< g (x)) и прямыми х= a , x = b , находится по формуле
3. Ak je krivka daná parametrickými rovnicami x = x (t), y = y (t), potom sa plocha krivočiareho lichobežníka ohraničeného touto krivkou a priamkami x = a, x = b nájde ako vzorec
4. Nech S (x) je plocha prierezu telesa rovinou kolmou na os Ox, potom objem časti telesa uzavretej medzi rovinami x = a a x = b kolmými na os nájdeme podľa vzorca
5. Nech sa krivočiary lichobežník, ohraničený krivkou y = f (x) a priamkami y = 0, x = a a x = b, otáča okolo osi Ox, potom sa objem rotačného telesa vypočíta podľa vzorec
6. Nech je zakrivený lichobežník ohraničený krivkou x = g (y) a
priamky x = 0, y = c a y = d, sa otáča okolo osi O y, potom sa objem rotačného telesa vypočíta podľa vzorca
7. Ak rovinná krivka súvisí s pravouhlým súradnicovým systémom a je daná rovnicou y = f (x) (alebo x = F (y)), potom je dĺžka oblúka určená vzorcom
41.1. Schémy aplikácie určitého integrálu
Nech je potrebné nájsť hodnotu nejakej geometrickej alebo fyzikálnej veličiny A (plocha postavy, objem telesa, tlak tekutiny na zvislej doske atď.) spojenej so segmentom zmeny nezávislej premennej x. Predpokladá sa, že toto množstvo A je aditívne, t.j. také, že pri rozdeľovaní segmentu [a; b] bod s є (a; b) na časti [a; s] a [s; b] hodnota A zodpovedajúca celému segmentu [a; b], ktorý sa rovná súčtu jeho hodnôt zodpovedajúcich [a; s] a [s; b].
Ak chcete nájsť túto hodnotu A, môžete sa riadiť jednou z dvoch schém: schémou I (alebo metódou integrálnych súčtov) a schémou II (alebo diferenciálnou metódou).
Prvá schéma je založená na definícii určitého integrálu.
1. Pomocou bodov x 0 = a, x 1 ,..., x n = b rozdeľte segment [a;b] na n častí. V súlade s tým sa množstvo A, ktoré nás zaujíma, rozdelí na n „elementárnych členov“ ΔAi (i = 1,...,n): A = ΔA 1 +ΔA 2 +...+ ΔA n.
2. Prezentujte každý „elementárny člen“ ako súčin nejakej funkcie (definovanej z problémových podmienok) vypočítanej v ľubovoľnom bode zodpovedajúceho segmentu jeho dĺžkou: ΔA i ≈ ƒ(c i)Δx i.
Pri zisťovaní približnej hodnoty ΔA i sú prípustné určité zjednodušenia: oblúk na malej ploche môže byť nahradený tetivou sťahujúcou jeho konce; premenlivú rýchlosť na malej ploche možno považovať približne za konštantnú atď.
Získame približnú hodnotu veličiny A vo forme integrálneho súčtu:
3. Požadovaná hodnota A sa rovná hranici integrálneho súčtu, t.j.
Uvedená „metóda súčtov“, ako vidíme, je založená na reprezentácii integrálu ako súčtu nekonečne veľkého počtu nekonečne malých členov.
Schéma I bola použitá na objasnenie geometrického a fyzikálneho významu určitého integrálu.
Druhá schéma je mierne upravená schéma I a nazýva sa „diferenciálna metóda“ alebo „metóda vyradenia nekonečne malých vyšších rádov“:
1) na segmente [a;b] zvolíme ľubovoľnú hodnotu x a uvažujeme premennú segment [a; X]. Na tomto segmente sa veličina A stáva funkciou x: A = A(x), t.j. predpokladáme, že súčasťou požadovanej veličiny A je neznáma funkcia A(x), kde x є je jeden z parametrov množstvo A;
2) nájdeme hlavnú časť prírastku ΔA, keď sa x zmení o malú hodnotu Δx = dx, t.j. nájdeme diferenciál dA funkcie A = A(x): dA = ƒ(x) dx, kde ƒ(x ), určená z problémových podmienok , funkcia premennej x (aj tu sú možné rôzne zjednodušenia);
3) za predpokladu, že dA ≈ ΔA pre Δx → 0, nájdeme požadovanú hodnotu integráciou dA v rozsahu od a do b:
41.2. Výpočet plôch rovinných útvarov
Obdĺžnikové súradnice
Ako už bolo stanovené (pozri „geometrický význam určitého integrálu“), plocha krivočiareho lichobežníka umiestneného „nad“ osou x (ƒ(x) ≥ 0) sa rovná zodpovedajúcemu určitému integrálu:
Vzorec (41.1) sa získal použitím schémy I - metódy súčtov. Zdôvodnime vzorec (41.1) pomocou schémy II. Zakrivený lichobežník nech je ohraničený priamkami y = ƒ(x) ≥ 0, x = a, x = b, y = 0 (pozri obr. 174).
Aby sme našli oblasť S tohto lichobežníka, vykonáme nasledujúce operácie:
1. Vezmite ľubovoľné x О [a; b] a budeme predpokladať, že S = S(x).
2. Dajme argumentu x prírastok Δx = dx (x + Δx є [a; b]). Funkcia S = S(x) dostane prírastok ΔS, čo je oblasť „elementárneho krivočiareho lichobežníka“ (je zvýraznená na obrázku).
Plošný diferenciál dS je hlavnou časťou prírastku ΔS pri Δх → 0 a samozrejme sa rovná ploche obdĺžnika so základňou dx a výškou y: dS = y dx.
3. Integrovaním výslednej rovnosti v rozsahu od x = a do x = b dostaneme
Všimnite si, že ak je zakrivený lichobežník umiestnený „pod“ osou Ox (ƒ(x)< 0), то ее площадь может быть найдена по формуле
Vzorce (41.1) a (41.2) je možné spojiť do jedného:
Plocha obrazca ohraničená krivkami y = fι(x) a y = ƒг(x), priamkami x = a a x = b (za predpokladu ƒ 2 (x) ≥ ƒ 1 (x)) (pozri obr. 175) možno nájsť pomocou vzorca
Ak má plochý obrazec „zložitý“ tvar (pozri obr. 176), potom by mal byť rozdelený na časti rovnými čiarami rovnobežnými s osou Oy, aby bolo možné použiť už známe vzorce.
Ak je krivočiary lichobežník ohraničený priamkami y = c a y = d, osou Oy a súvislou krivkou x = φ(y) ≥ 0 (pozri obr. 177), potom jeho obsah nájdeme podľa vzorca 
A nakoniec, ak je zakrivený lichobežník ohraničený krivkou definovanou parametricky
priamky x = aix = b a os Ox, potom jej obsah nájdeme podľa vzorca
kde a a β sú určené z rovnosti x(a) = a a x(β) = b.
Príklad 41.1. Nájdite plochu obrazca ohraničenú osou Ox a graf funkcie y = x 2 - 2x pre x є.
Riešenie: Obrázok má tvar ako na obrázku 178. Nájdite jeho plochu S:
Príklad 41.2. Vypočítajte plochu obrazca ohraničenú elipsou x = a cos t, y = b sin t.
Riešenie: Nájdite najskôr 1/4 plochy S. Tu sa x mení z 0 na a, teda t sa mení z na 0 (pozri obr. 179). Nájdeme:
Teda . To znamená S = π aB.
Polárne súradnice
Nájdite plochu S krivočiareho sektora, t. j. plochého útvaru ohraničeného súvislou čiarou r=r(φ) a dvoma lúčmi φ=a a φ=β (a< β), где r и φ - полярные координаты (см. рис. 180). Для решения задачи используем схему II - diferenciálna metóda.
1. Časť požadovanej plochy S budeme uvažovať ako funkciu uhla φ, t.j. S = S(φ), kde a ≤
φ ≤
β (ak φ = a, potom S(a) = 0, ak φ=β, potom S(β) = S).
2. Ak aktuálny polárny uhol φ dostane prírastok Δφ = dφ, potom prírastok v oblasti AS sa rovná ploche „elementárneho krivočiareho sektora“ OAB.
Rozdiel dS predstavuje hlavnú časť prírastku ΔS pri dφ →
0 a rovná sa ploche kruhového sektora O AC (na obrázku vytieňovaný) s polomerom r so stredovým uhlom dφ. Preto 
3. Integráciou výslednej rovnosti v rozsahu od φ = a do φ = β získame požadovanú plochu
Príklad 41.3. Nájdite plochu obrazca ohraničenú „trojlistou ružou“ r=acos3φ (pozri obr. 181).
Riešenie: Najprv nájdime plochu polovice jedného okvetného lístka „ruže“, t.j. 1/6 celkovej plochy obrázku:
t.j. preto,
Ak má plochá postava „komplexný“ tvar, lúče vychádzajúce z pólu by ju mali rozdeliť na krivočiare sektory, na ktoré by sa mal použiť výsledný vzorec na nájdenie oblasti. Takže pre obrázok zobrazený na obrázku 182 máme:
41.3. Výpočet dĺžky oblúka rovinnej krivky
Obdĺžnikové súradnice
Nech je daná rovinná krivka AB v pravouhlých súradniciach, ktorej rovnica je y=ƒ(x), kde a≤x≤ b.
Dĺžka oblúka AB je chápaná ako hranica, ku ktorej smeruje dĺžka prerušovanej čiary vpísanej do tohto oblúka, keď sa počet článkov prerušovanej čiary nekonečne zvyšuje a dĺžka jej najväčšieho článku smeruje k nule. Ukážme, že ak funkcia y=ƒ(x) a jej derivácia y" = ƒ"(x) sú spojité na intervale [a; b], potom má krivka AB dĺžku rovnajúcu sa
Aplikujme schému I (metóda súčtu).
1. Body x 0 = a, x 1 ..., x n = b (x 0< x 1 < ...< х n) разобьем отрезок [а; b] на n частей (см. рис. 183). Пустьэтим точкам соответствуют точки М 0 = А, M 1 ,...,M n =В накривой АВ. Проведем хорды М 0 M 1 , M 1 M 2 ,..., М n-1 М n , длины которых обозначим соответственно через ΔL 1 , AL 2 ,..., ΔL n . Получим ломаную M 0 M 1 M 2 ... M n-ι M n , длина которой равна L n =ΔL 1 + ΔL 2 +...+ ΔL n =
2. Dĺžku tetivy (alebo spojnice prerušovanej čiary) ΔL 1 môžeme zistiť pomocou Pytagorovej vety z trojuholníka s nohami Δx i a Δу i:
Podľa Lagrangeovej vety o konečnom prírastku funkcie Δу i =ƒ"(с i) Δх i, kde ci є (x i-1;x i).
a dĺžka celej prerušovanej čiary M 0 M 1 ... M n sa rovná
3.Dĺžka l krivka AB sa podľa definície rovná
.
Všimnite si, že pre AL i →
0 tiež Δx i →
0 ΔLi = 
a preto |Δx i |<ΔL i).
Funkcia 
je spojitá na intervale [a; b], keďže podľa podmienky je funkcia ƒ"(x) spojitá. V dôsledku toho existuje limita integrálneho súčtu (41.4), keď max Δx i →
0
:
teda 
alebo v skrátenej forme l =
Ak je rovnica AB krivky uvedená v parametrickom tvare
kde x(t) a y(t) sú spojité funkcie so spojitými deriváciami a x(a) = a, x(β) = b, potom dĺžka l krivka AB sa zistí podľa vzorca
Vzorec (41.5) možno získať zo vzorca (41.3) dosadením x = x(t),dx = x"(t)dt, 
Príklad 41.4. Nájdite obvod kruhu s polomerom R. 
Riešenie: Nájdite 1/4 jeho dĺžky z bodu (0;R) do bodu (R;0) (pozri obr. 184). Pretože 
To
znamená, l= 2π R. Ak je rovnica kruhu napísaná v parametrickom tvare x = Rcost, y = Rsint (0≤t≤2π ), potom
Výpočet dĺžky oblúka môže byť založený na aplikácii diferenciálnej metódy. Ukážme, ako možno získať vzorec (41.3) pomocou schémy II (diferenciálna metóda).
1. Vezmite ľubovoľnú hodnotu x є [a; b] a zvážte premenný segment [a;x]. Veľkosť na ňom l sa stáva funkciou x, t.j. l = l(X) ( l(a) = 0 a l(b) = l).
2. Nájdite diferenciál dl funkcie l = l(x) keď sa x zmení o malú hodnotu Δх = dx: dl = l"(x)dx. Poďme nájsť l"(x), nahradením nekonečne malého oblúka MN tetivou Δ l, stiahnutím tohto oblúka (pozri obr. 185):
3. Integráciou dl v rozsahu od a do b dostaneme 
Rovnosť 
sa nazýva oblúkový diferenciálny vzorec v pravouhlých súradniciach.
Pretože y" x = -dy/dx, potom
Posledným vzorcom je Pytagorova veta pre infinitezimálny trojuholník MST (pozri obr. 186).
Polárne súradnice
Nech je krivka AB daná rovnicou v polárnych súradniciach r = r(φ), a≤φ≤β. Predpokladajme, že r(φ) a r"(φ) sú spojité na intervale [a;β].
Ak sa v rovnosti x = rcosφ, y = rsinφ, spájajúcich polárne a karteziánske súradnice, uhol φ považuje za parameter, potom je možné krivku AB špecifikovať parametricky.
Aplikovaním vzorca (41.5) dostaneme
Príklad 41.5. Nájdite dĺžku kardioidy r = = a(1 + cosφ).
Riešenie: Kardioida r = a(1 + cosφ) má tvar znázornený na obrázku 187. Je symetrická podľa polárnej osi. Nájdite polovicu dĺžky kardioidy:
Teda 1/2l = 4a. To znamená l= 8a.
41.4. Výpočet objemu tela
Výpočet objemu telesa zo známych plôch rovnobežných rezov
Nech je potrebné nájsť objem V telesa a plocha S rezov tohto telesa rovinami kolmými na niektorú os, napríklad os Ox, je známa: S = S(x), a ≤ x ≤ b .
1. Cez ľubovoľný bod x є nakreslíme rovinu ∏ kolmú na os Ox (pozri obr. 188). Označme S(x) prierezovú plochu telesa touto rovinou; S(x) sa považuje za známe a neustále sa mení so zmenou x. Označme v(x) objem časti tela ležiacej naľavo od roviny P. Predpokladáme, že na úsečke [a; x] hodnota v je funkciou x, t.j. v = v(x) (v(a) = 0, v(b) = V).
2. Nájdite diferenciál dV funkcie v = v(x). Predstavuje „elementárnu vrstvu“ telesa, uzavretú medzi rovnobežnými rovinami pretínajúcimi os Ox v bodoch x a x+Δx, ktorú možno približne považovať za valec so základňou S(x) a výškou dx. Preto je objemový diferenciál dV = S(x) dx.
3. Nájdite požadovanú hodnotu V integrovaním dA v rozsahu od a do B:
Výsledný vzorec sa nazýva vzorec pre objem tela podľa plochy paralelných rezov.
Príklad 41.6. Nájdite objem elipsoidu 
Riešenie: Rez elipsoidu rovinou rovnobežnou s rovinou Oyz a vo vzdialenosti x od nej (-a ≤х≤ a), dostaneme elipsu (pozri obr. 189):
Oblasť tejto elipsy je 
Preto podľa vzorca (41.6) máme
Objem rotačného telesa
Nech sa okolo osi Ox otáča zakrivený lichobežník ohraničený súvislou priamkou y = ƒ(x) 0, úsečkou a ≤ x ≤ b a priamkami x = a a x = b (pozri obr. 190). Údaj získaný rotáciou sa nazýva rotačné teleso. Rez tohto telesa rovinou kolmou na os Ox, vedená cez ľubovoľný bod x osi Ox (x Î [A; b]), je kružnica s polomerom y= ƒ(x). Preto S(x)= π y 2.
Použitím vzorca (41.6) pre objem telesa na základe plochy rovnobežných rezov dostaneme
Ak je krivočiary lichobežník ohraničený grafom spojitej funkcie x = φ(y) ≥ 0 a priamkami x = 0, y = c,
y = d (c< d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Оу, по аналогии с формулой (41.7), равен
Príklad 41.7. Nájdite objem telesa vytvoreného rotáciou obrazca ohraničeného priamkami okolo osi Oy (pozri obr. 191).
Riešenie: Pomocou vzorca (41.8) zistíme:
41,5. Výpočet plochy revolúcie
Nech krivka AB je grafom funkcie y = ƒ(x) ≥ 0, kde x є [a;b] a funkcia y = ƒ(x) a jej derivácia y"=ƒ"(x) sú spojité v tomto segmente.
Nájdite plochu S plochy vytvorenej rotáciou krivky AB okolo osi Ox.
Aplikujme schému II (diferenciálna metóda).
1. Cez ľubovoľný bod x є [a; b] nakreslite rovinu ∏ kolmú na os Ox. Rovina ∏ pretína rotačnú plochu pozdĺž kružnice s polomerom y = ƒ(x) (pozri obr. 192). Hodnota S povrchu časti rotačného útvaru ležiaceho naľavo od roviny je funkciou x, t.j. s=s(x) (s(a)=0 a s(b)=S).
2. Dajme argumentu x prírastok Δх = dx. Cez bod x + dx є [a; b] nakreslíme aj rovinu kolmú na os Ox. Funkcia s=s(x) dostane prírastok Az, znázornený na obrázku ako „pás“.
Nájdite diferenciál plochy ds tak, že nahradíme obrazec vytvorený medzi sekciami zrezaným kužeľom, ktorého tvoriaca čiara sa rovná dl, a polomery báz sa rovnajú y a y + dy. Plocha jeho bočného povrchu je ds= π (y+y+ D Y) dl=2π pri dl + π dydl. Odmietnutím súčinu dydl ako infinitezimálu vyššieho rádu ako ds dostaneme ds=2 π pri dl, alebo, odkedy
3. Integráciou výslednej rovnosti v rozsahu od x = a do x = b dostaneme
Ak je krivka AB daná parametrickými rovnicami x = x(t),y=y(t), t 1 ≤ t ≤ t 2, potom vzorec (41.9) pre oblasť rotačnej plochy nadobúda tvar
Príklad 41.8. Nájdite povrch gule s polomerom R.
Príklad 41.9. Daný cykloid
Nájdite plochu povrchu vytvorenú jej otáčaním okolo osi Ox.
Riešenie: Keď sa polovica cykloidného oblúka otáča okolo osi Ox, povrchová plocha rotácie sa rovná
41.6. Mechanické aplikácie určitého integrálu
Práca s premenlivou silou
Nechajte hmotný bod M pohybovať sa pozdĺž osi Ox pôsobením premenlivej sily F = F(x), smerujúcej rovnobežne s touto osou. Práca vykonaná silou pri pohybe bodu M z polohy x = a do polohy x = b (a< b), находится по формуле (см. п. 36).
Príklad 41.10 Koľko práce treba vynaložiť na natiahnutie pružiny o 0,05 m, ak sila 100 N natiahne pružinu o 0,01 m?
Riešenie: Podľa Hookovho zákona je elastická sila napínajúca pružinu úmerná tomuto natiahnutiu x, t.j. F = kx, kde k je koeficient úmernosti. Podľa podmienok úlohy sila F = 100 N natiahne pružinu o x = 0,01 m; preto 100 = k*0,01, teda k = 10000; teda F = 10000x.
Požadovaná práca na základe vzorca (41.10) sa rovná
Príklad 41.11. Nájdite prácu potrebnú na prečerpanie kvapaliny cez okraj zvislej valcovej nádrže s výškou N m a polomerom základne R m.
Riešenie: Práca potrebná na zdvihnutie telesa s hmotnosťou p do výšky h sa rovná p h. Ale rôzne vrstvy kvapaliny v nádrži sú v rôznych hĺbkach a výška stúpania (k okraju nádrže) rôznych vrstiev nie je rovnaká.
Na vyriešenie problému použijeme schému II (diferenciálna metóda). Predstavme si súradnicový systém, ako je znázornené na obrázku 193.
1. Práca vynaložená na odčerpanie vrstvy kvapaliny s hrúbkou x (0 !!!< x !!!< H), есть функция от х, т.е. А = А(х), где 0≤x≤H (А(0)=0, А(Н)=А 0).
2. Nájdeme hlavnú časť prírastku ΔA, keď sa x zmení o hodnotu Δx = dx, t.j. nájdeme diferenciál dA funkcie A(x).
Vzhľadom na malosť dx predpokladáme, že „elementárna“ vrstva kvapaliny sa nachádza v rovnakej hĺbke x (od okraja nádrže) (pozri obr. 193). Potom dA = dp*x, kde dp je hmotnosť tejto vrstvy; rovná sa g *g dv, kde g je gravitačné zrýchlenie, g je hustota kvapaliny, dv je objem „elementárnej“ vrstvy kvapaliny (na obrázku je zvýraznená), t.j. dp = gg dv. Objem uvedenej vrstvy kvapaliny sa zjavne rovná π R 2 dx, kde dx je výška valca (vrstvy), π R2 je plocha jeho základne, t.j. dv= π R 2 dx.
Takže dp=gg π R2dx a dA = gg π R 2 dx*x.
3) Integráciou výslednej rovnosti v rozsahu od x = 0 do x = H zistíme
Cesta, ktorú telo prešlo
Nech sa hmotný bod pohybuje po priamke s premenlivou rýchlosťou v=v(t). Nájdite dráhu S, ktorú prešlo za časový interval od t 1 do t 2.
Riešenie: Z fyzikálneho významu derivácie je známe, že keď sa bod pohybuje jedným smerom, „rýchlosť priamočiareho pohybu sa rovná časovej derivácii dráhy“, t.j. z toho vyplýva, že dS = v(t)dt. Integráciou výslednej rovnosti v rozsahu od t 1 do t 2 dostaneme 
Všimnite si, že rovnaký vzorec možno získať pomocou schémy I alebo II na aplikáciu určitého integrálu.
Príklad 41.12. Nájdite dráhu, ktorú teleso prejde za 4 sekundy od začiatku pohybu, ak je rýchlosť telesa v(t) = 10t + 2 (m/s).
Riešenie: Ak v(t)=10t+2 (m/s), tak dráha, ktorú teleso prejde od začiatku pohybu (t=0) do konca 4. sekundy, sa rovná
Tlak tekutiny na zvislej doske
Podľa Pascalovho zákona sa tlak kvapaliny na vodorovnej doske rovná hmotnosti stĺpca tejto kvapaliny, ktorej základňou je doska a jej výška je hĺbka jej ponorenia z voľného povrchu kvapaliny. t.j. P = g*g* S* h, kde g je gravitačné zrýchlenie, g je hustota kvapaliny, S je plocha dosky, h je hĺbka jej ponorenia.
Pomocou tohto vzorca nie je možné hľadať tlak tekutiny na vertikálne ponorenej doske, pretože jej rôzne body ležia v rôznych hĺbkach.
Nech je doska vertikálne ponorená do kvapaliny, ohraničená priamkami x = a, x = b, y 1 = f 1 (x) a y 2 = ƒ 2 (x); súradnicový systém je zvolený tak, ako je znázornené na obrázku 194. Na zistenie tlaku kvapaliny P na tejto platni použijeme schému II (diferenciálna metóda).
1. Nech je časť požadovanej hodnoty P funkciou x: p=p(x), t.j. p=p(x) je tlak na časť dosky zodpovedajúcej segmentu [a; x] hodnoty premennej x, kde x є [a; b] (p(a)=0,p(b)=P).
2. Dajme argumentu x prírastok Δх = dx. Funkcia p(x) dostane prírastok Δр (na obrázku je pásová vrstva hrúbky dx). Poďme nájsť diferenciál dp tejto funkcie. Vzhľadom na malosť dx budeme pás približne považovať za obdĺžnik, ktorého všetky body sú v rovnakej hĺbke x, teda táto doska je vodorovná.
Potom podľa Pascalovho zákona 
3. Integráciou výslednej rovnosti v rozsahu od x = a do x = B dostaneme
Príklad 41.13. Určte veľkosť tlaku vody na polkruh zvisle ponorený do kvapaliny, ak jeho polomer je R a jeho stred O je na voľnej hladine vody (pozri obr. 195).
Statický moment S y tohto systému vzhľadom na os je určený podobne 
Ak sú hmoty rozložené súvisle pozdĺž nejakej krivky, potom na vyjadrenie statického momentu bude potrebná integrácia.
Nech y = ƒ(x) (a≤ x≤ b) je rovnica materiálovej krivky AB. Budeme ho považovať za homogénny s konštantnou lineárnou hustotou g (g = const).
Pre ľubovoľné x є [a; b] na krivke AB je bod so súradnicami (x;y). Vyberme elementárny úsek dĺžky dl na krivke obsahujúcej bod (x;y). Potom sa hmotnosť tohto úseku rovná g dl. Zoberme si tento rez dl približne ako bod nachádzajúci sa vo vzdialenosti y od osi Ox. Potom bude diferenciál statického momentu dS x („elementárny moment“) rovný g dly, teda dS x = g dlу (pozri obr. 196).
Z toho vyplýva, že statický moment S x krivky AB vzhľadom na os Ox je rovný
Podobne nájdeme S y:
Statické momenty S x a S y krivky uľahčujú určenie polohy jej ťažiska (ťažiska).
Ťažisko krivky materiálovej roviny y = ƒ(x), x Î je bod na rovine, ktorý má nasledujúcu vlastnosť: ak je celá hmotnosť m danej krivky sústredená v tomto bode, potom statický moment tento bod vzhľadom na ktorúkoľvek súradnicovú os sa bude rovnať statickému momentu celej krivky y = ƒ (x) vzhľadom na rovnakú os. Označme C(x c;y c) ťažisko krivky AB.
Z definície ťažiska vyplývajú rovnosti 
Odtiaľ
Výpočet statických momentov a súradníc ťažiska rovinného útvaru
Nech je daný hmotný plochý útvar (doska) ohraničený krivkou y = ƒ(x) 0 a priamkami y = 0, x = a, x = b (pozri obr. 198).
Budeme predpokladať, že povrchová hustota dosky je konštantná (g = const). Potom sa hmotnosť celej dosky rovná g * S, t.j. 
Vyberme elementárny rez dosky vo forme nekonečne úzkeho vertikálneho pásu a považujme ho približne za obdĺžnik.
Potom sa jeho hmotnosť rovná g ydx. Ťažisko C obdĺžnika leží v priesečníku uhlopriečok obdĺžnika. Tento bod C sa nachádza 1/2*y od osi Ox a x od osi Oy (približne; presnejšie vo vzdialenosti x+ 1/2 ∆x). Potom pre elementárne statické momenty vzhľadom na osi Ox a Oy sú splnené nasledujúce vzťahy:
Takže ťažisko má súradnice
