Definícia. Vrch kužeľa je bod (K), z ktorého vychádzajú lúče.
Definícia. Kužeľová základňa je rovina vytvorená priesečníkom rovnej plochy a všetkých lúčov vychádzajúcich z vrcholu kužeľa. Kužeľ môže mať základne ako kruh, elipsa, hyperbola a parabola.
Definícia. Generatrix kužeľa(L) je akýkoľvek segment, ktorý spája vrchol kužeľa s hranicou základne kužeľa. Tvoriaca čiara je segment lúča vychádzajúceho z vrcholu kužeľa.
Vzorec. Dĺžka generátora(L) pravého kruhového kužeľa cez polomer R a výšku H (prostredníctvom Pytagorovej vety):
Definícia. Sprievodca kužeľ je krivka, ktorá opisuje obrys základne kužeľa.
Definícia. Bočný povrch kužeľ je súhrn všetkých zložiek kužeľa. Teda povrch, ktorý vzniká pohybom tvoriacej čiary po kužeľovom vedení.
Definícia. Povrch Kužeľ sa skladá z bočnej plochy a základne kužeľa.
Definícia. Výška kužeľ (H) je segment, ktorý sa tiahne od vrcholu kužeľa a je kolmý na jeho základňu.
Definícia. Os kužeľ (a) je priamka prechádzajúca vrcholom kužeľa a stredom základne kužeľa.
Definícia. Kužeľ (C) kužeľ je pomer priemeru základne kužeľa k jeho výške. V prípade zrezaného kužeľa je to pomer rozdielu priemerov prierezov D a d zrezaného kužeľa k vzdialenosti medzi nimi: kde R je polomer základne a H je výška kužeľ.
Kužeľ (z gréckeho "konos")- Borovicová šiška. Šiška je ľuďom známa už od staroveku. V roku 1906 bola objavená kniha „O metóde“, ktorú napísal Archimedes (287-212 pred Kr.), táto kniha poskytuje riešenie problému objemu spoločnej časti pretínajúcich sa valcov. Archimedes hovorí, že tento objav patrí starogréckemu filozofovi Demokritovi (470-380 pred Kr.), ktorý na tomto princípe získal vzorce na výpočet objemu pyramídy a kužeľa.
Kužeľ (kruhový kužeľ) je teleso, ktoré pozostáva z kružnice - podstavy kužeľa, bodu nepatriaceho do roviny tejto kružnice - vrcholu kužeľa a všetkých segmentov spájajúcich vrchol kužeľa a body základný kruh. Segmenty, ktoré spájajú vrchol kužeľa s bodmi základnej kružnice, sa nazývajú generátory kužeľa. Povrch kužeľa pozostáva zo základne a bočnej plochy.
Kužeľ sa nazýva rovný, ak priamka, ktorá spája vrchol kužeľa so stredom podstavy, je kolmá na rovinu podstavy. Pravý kruhový kužeľ možno považovať za teleso získané otáčaním pravouhlého trojuholníka okolo jeho nohy ako osi.
Výška kužeľa je kolmica, ktorá klesá z jeho vrcholu na rovinu základne. Pre rovný kužeľ sa základňa výšky zhoduje so stredom základne. Os pravého kužeľa je priamka obsahujúca jeho výšku.
Úsek kužeľa rovinou prechádzajúcou cez tvoriacu čiaru kužeľa a kolmý na axiálny rez pretiahnutý touto tvoriacou čiarou sa nazýva dotyčnicová rovina kužeľa.
Rovina kolmá na os kužeľa pretína kužeľ v kruhu a bočná plocha pretína kružnicu so stredom na osi kužeľa.
Rovina kolmá na os kužeľa z nej odreže menší kužeľ. Zostávajúca časť sa nazýva zrezaný kužeľ.
Objem kužeľa sa rovná jednej tretine súčinu výšky a plochy základne. Všetky kužele, ktoré spočívajú na danej základni a majú vrchol umiestnený v danej rovine rovnobežnej so základňou, majú teda rovnaký objem, pretože ich výšky sú rovnaké.
Bočný povrch kužeľa možno nájsť pomocou vzorca:
strana S = πRl,
Celková plocha kužeľa sa zistí podľa vzorca:
Scon = πRl + πR 2,
kde R je polomer základne, l je dĺžka tvoriacej čiary.
Objem kruhového kužeľa sa rovná
V = 1/3 πR 2 H,
kde R je polomer základne, H je výška kužeľa
Bočný povrch zrezaného kužeľa možno nájsť pomocou vzorca:
strana S = π(R + r)l,
Celkový povrch zrezaného kužeľa možno nájsť pomocou vzorca:
S con = πR 2 + πr 2 + π(R + r)l,
kde R je polomer spodnej základne, r je polomer hornej základne, l je dĺžka tvoriacej čiary.
Objem zrezaného kužeľa možno nájsť takto:
V = 1/3 πH(R2 + Rr + r2),
kde R je polomer spodnej základne, r je polomer hornej základne, H je výška kužeľa.
blog.site, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti sa vyžaduje odkaz na pôvodný zdroj.
Uvažujme ľubovoľnú priamku l (krivku alebo prerušovanú čiaru) ležiacu v určitej rovine (obr. 386, a, b) a ľubovoľný bod M, ktorý v tejto rovine neleží. Všetky možné priamky spájajúce bod M so všetkými bodmi priamky tvoria plochu a; takáto plocha sa nazýva kužeľová plocha, bod je vrchol, čiara je vedenie a priamky sú generátory. Na obr. 386 plochu a neobmedzujeme na jej vrchol, ale predstavujeme si, že sa neobmedzene rozprestiera v oboch smeroch od vrcholu.
Ak je kužeľová plocha členená akoukoľvek rovinou rovnobežnou s rovinou vedenia, potom v reze získame čiaru (krivku alebo prerušovanú čiaru, v závislosti od toho, či bola čiara zakrivená alebo prerušovaná) homotetickú s čiarou l, pričom stred homotety vo vrchole kužeľovej plochy. Pomer všetkých zodpovedajúcich segmentov generátorov bude skutočne konštantný:
Takže rezy kužeľovej plochy rovinami rovnobežnými s rovinou vedenia sú podobné a podobne umiestnené, so stredom podobnosti vo vrchole kužeľovej plochy; to isté platí pre všetky rovnobežné roviny, ktoré neprechádzajú vrcholom plochy.
Nech je teraz vodítkom uzavretá konvexná čiara (krivka na obr. 387, a, prerušovaná čiara na obr. 387, b). Teleso ohraničené po stranách kužeľovou plochou medzi jeho vrcholom a rovinou vedenia a plochou základňou v rovine vedenia sa nazýva kužeľ (ak ide o zakrivenú čiaru) alebo pyramída (ak ide o je prerušovaná čiara).
Pyramídy sú klasifikované podľa počtu strán polygónu na ich základni. Hovoria o trojuholníkových, štvoruholníkových a všeobecne hranatých pyramídach. Všimnite si, že -gonálna pyramída má tvár: bočné steny a základňu. Na vrchole pyramídy máme -hedrálny uhol s plochými a dihedrálnymi uhlami.
Nazývajú sa rovinné uhly na vrchole a dihedrálne uhly na bočných okrajoch. Vo vrcholoch základne máme trojstenné uhly; ich ploché uhly tvorené bočnými, hranami a stranami základne sa nazývajú ploché uhly na základni, dihedrálne uhly medzi bočnými stenami a rovinou základne sa nazývajú dihedrálne uhly na základni.
Trojuholníková pyramída sa inak nazýva štvorsten (t. j. štvorsten). Ktorákoľvek z jeho tvárí môže byť považovaná za základ.
Pyramída sa nazýva pravidelná, ak sú splnené dve podmienky: 1) pravidelný mnohouholník leží na základni pyramídy,
2) výška znížená od vrcholu pyramídy k základni ju pretína v strede tohto mnohouholníka (inými slovami, vrchol pyramídy sa premieta do stredu základne).
Všimnite si, že pravidelná pyramída nie je vo všeobecnosti pravidelným mnohostenom!
Všimnime si niektoré vlastnosti pravidelnej -gonálnej pyramídy. Cez vrchol takejto pyramídy nakreslíme výšku SO (obr. 388).
Otočme celú pyramídu ako celok okolo tejto výšky o uhol Pri takomto otočení sa základný mnohouholník zmení na seba: každý jeho vrchol zaujme polohu svojho suseda. Vrch pyramídy a jej výška (os rotácie!) zostanú na svojom mieste, a preto sa pyramída ako celok zarovná sama so sebou: každá bočná hrana prejde do susednej, každá bočná stena sa zarovná so susednou jeden, každý dihedrálny uhol na bočnom okraji bude tiež zarovnaný so susedným.
Z toho vyplýva záver: všetky bočné hrany sú si navzájom rovné, všetky bočné strany sú rovnaké rovnoramenné trojuholníky, všetky uhly klinu na základni sú rovnaké, všetky rovinné uhly na vrchole sú rovnaké, všetky rovinné uhly na základni sú rovnaké.
Medzi kužeľmi v rámci elementárnej geometrie študujeme pravý kruhový kužeľ, teda kužeľ, ktorého základňou je kruh a ktorého vrchol sa premieta do stredu tohto kruhu.
Rovný kruhový kužeľ je znázornený na obr. 389. Ak cez vrchol kužeľa nakreslíme výšku SO a kužeľ okolo tejto výšky otočíme v ľubovoľnom uhle, potom sa kružnica podstavy bude sama posúvať; výška a vrchol zostanú na svojom mieste, takže pri otočení do akéhokoľvek uhla sa kužeľ vyrovná sám so sebou. Z toho vidieť najmä to, že všetky tvoriace priamky kužeľa sú si navzájom rovné a rovnako sklonené k rovine základne. Úseky kužeľa rovinami prechádzajúcimi jeho výškou budú rovnoramenné trojuholníky, ktoré sa navzájom rovnajú. Celý kužeľ sa získa otočením pravouhlého trojuholníka SOA okolo jeho strany (ktorá sa stane výškou kužeľa). Preto je pravý kruhový kužeľ rotačným telesom a nazýva sa aj rotačný kužeľ. Pokiaľ nie je uvedené inak, kvôli stručnosti v nasledujúcom texte jednoducho povieme „kužeľ“, čo znamená kužeľ rotácie.
Rezy kužeľa rovinami rovnobežnými s rovinou jeho základne sú kružnice (už len preto, že sú homotetické s kružnicou základne).
Úloha. Dihedrálne uhly na základni pravidelnej trojuholníkovej pyramídy sa rovnajú a. Nájdite dihedrálne uhly na bočných okrajoch.
Riešenie. Dočasne označme stranu podstavy pyramídy ako a. Rozrežme pyramídu rovinou obsahujúcou jeho výšku SO a stred jeho základne AM (obr. 390).
V tejto lekcii sa zoznámime s takou postavou, ako je kužeľ. Poďme študovať prvky kužeľa a typy jeho sekcií. A zistíme, s ktorou figúrkou má kužeľ veľa spoločných vlastností.
Obr.1. Predmety v tvare kužeľa
Vo svete je obrovské množstvo vecí v tvare kužeľa. Často si ich ani nevšimneme. Cestné kužele upozorňujúce na práce na ceste, strechy hradov a domov, zmrzlinové kornútky - všetky tieto predmety majú tvar kužeľa (viď obr. 1).
Ryža. 2. Pravý trojuholník
Uvažujme ľubovoľný pravouhlý trojuholník s nohami a (pozri obr. 2).
Ryža. 3. Rovný kruhový kužeľ
Otočením daného trojuholníka okolo jednej z nôh (bez straty všeobecnosti, nech je to noha), prepona opíše povrch a noha opíše kruh. Tak sa získa teleso, ktoré sa nazýva pravý kruhový kužeľ (pozri obr. 3).
Ryža. 4. Druhy kužeľov
Keďže hovoríme o priamom kruhovom kuželi, zrejme existuje nepriamy aj nekruhový? Ak je základňa kužeľa kruh, ale vrchol sa nepremieta do stredu tohto kruhu, potom sa takýto kužeľ nazýva naklonený. Ak základňou nie je kruh, ale ľubovoľná postava, potom sa takémuto telesu niekedy hovorí kužeľ, ale samozrejme nie kruhový (pozri obr. 4).
Opäť sa teda dostávame k analógii, ktorá je nám už známa z práce s valcami. V skutočnosti je kužeľ niečo ako pyramída, ide len o to, že pyramída má na základni mnohouholník a kužeľ (ktorý budeme uvažovať) má kruh (pozri obr. 5).
Segment osi otáčania (v našom prípade je to noha) uzavretý vo vnútri kužeľa sa nazýva os kužeľa (pozri obr. 6).
Ryža. 5. Kužeľ a pyramída
Ryža. 6. - os kužeľa
Ryža. 7. Základňa kužeľa
Kruh vytvorený rotáciou druhej nohy () sa nazýva základňa kužeľa (pozri obr. 7).
A dĺžka tohto ramena je polomer základne kužeľa (alebo jednoduchšie polomer kužeľa) (pozri obr. 8).
Ryža. 8. - polomer kužeľa
Ryža. 9. - vrch kužeľa
Vrchol ostrého uhla rotujúceho trojuholníka ležiaceho na osi rotácie sa nazýva vrchol kužeľa (pozri obr. 9).
Ryža. 10. - výška kužeľa
Výška kužeľa je úsečka vedená z vrcholu kužeľa kolmo na jeho základňu (pozri obr. 10).
Tu môžete mať otázku: ako sa potom segment osi otáčania líši od výšky kužeľa? V skutočnosti sa zhodujú iba v prípade priameho kužeľa, ak sa pozriete na naklonený kužeľ, všimnete si, že ide o dva úplne odlišné segmenty (pozri obr. 11).
Ryža. 11. Výška v naklonenom kuželi
Vráťme sa k rovnému kužeľu.
Ryža. 12. Generátory kužeľa
Segmenty spájajúce vrchol kužeľa s bodmi kružnice jeho základne sa nazývajú generátory kužeľa. Mimochodom, všetky tvoriace priamky pravého kužeľa sú si navzájom rovné (pozri obr. 12).
Ryža. 13. Prírodné kužeľovité predmety
Konos v preklade z gréčtiny znamená „borovicová šiška“. V prírode je dostatok predmetov, ktoré majú tvar kužeľa: smrek, hora, mravenisko atď. (pozri obr. 13).
Ale už sme si zvykli, že kužeľ je rovný. Má rovnaké tvoriace priamky a jeho výška sa zhoduje s osou. Takýto kužeľ sme nazvali rovný kužeľ. V školskom kurze geometrie sa zvyčajne berú do úvahy priame kužele a štandardne sa každý kužeľ považuje za pravý kruhový. Ale už sme povedali, že existujú nielen priame kužele, ale aj šikmé.
Ryža. 14. Kolmý rez
Vráťme sa k rovným šiškám. „Vyrežte“ kužeľ rovinou kolmou na os (pozri obr. 14).
Aká postava bude na strihu? Samozrejme, že je to kruh! Pripomeňme si, že rovina prebieha kolmo na os, a teda rovnobežne so základňou, ktorou je kruh.
Ryža. 15. Šikmý úsek
Teraz postupne nakláňame rovinu rezu. Potom sa náš kruh začne postupne meniť na čoraz predĺženejší ovál. Ale len dovtedy, kým rovina rezu nenarazí na základnú kružnicu (pozri obr. 15).
Ryža. 16. Typy rezov na príklade mrkvy
Tí, ktorí radi skúmajú svet experimentálne, si to môžu overiť pomocou mrkvy a noža (skúste rezať plátky z mrkvy pod rôznymi uhlami) (pozri obr. 16).
Ryža. 17. Axiálny rez kužeľa
Rez kužeľa rovinou prechádzajúcou jeho osou sa nazýva osový rez kužeľa (pozri obr. 17).
Ryža. 18. Rovnoramenný trojuholník - prierezový obrazec
Tu dostaneme úplne iný prierezový obrázok: trojuholník. Tento trojuholník je rovnoramenný (pozri obr. 18).
V tejto lekcii sme sa naučili o valcovej ploche, typoch valca, prvkoch valca a podobnosti valca s hranolom.
Tvoriaca čiara kužeľa je 12 cm a je naklonená k rovine základne pod uhlom 30 stupňov. Nájdite axiálnu plochu prierezu kužeľa.
Riešenie
Zoberme si požadovaný osový rez. Toto je rovnoramenný trojuholník, ktorého strany sú 12 stupňov a základný uhol je 30 stupňov. Potom môžete postupovať rôznymi spôsobmi. Alebo môžete nakresliť výšku, nájsť ju (polovica prepony, 6), potom základňu (podľa Pytagorovej vety) a potom plochu.
Ryža. 19. Ilustrácia problému
Alebo okamžite nájdite uhol vo vrchole - 120 stupňov - a vypočítajte plochu ako polovičný súčin strán a sínus uhla medzi nimi (odpoveď bude rovnaká).
- Geometria. Učebnica pre ročníky 10-11. Atanasyan L.S. a ďalšie 18. vydanie. - M.: Vzdelávanie, 2009. - 255 s.
- Geometria 11. ročník, A.V. Pogorelov, M.: Vzdelávanie, 2002
- Pracovný zošit z geometrie 11. ročník, V.F. Butuzov, Yu.A. Glazkov
- Yaklass.ru ().
- Uztest.ru ().
- Bitclass.ru ().
Domáca úloha
Dnes vám povieme, ako nájsť tvoriacu čiaru kužeľa, ktorá sa často vyžaduje v úlohách školskej geometrie.
Koncept kužeľovej tvoriacej čiary
Pravý kužeľ je obrazec, ktorý sa získa otáčaním pravouhlého trojuholníka okolo jednej z jeho nôh. Základňa kužeľa tvorí kruh. Vertikálna časť kužeľa je trojuholník, horizontálna časť je kruh. Výška kužeľa je segment spájajúci hornú časť kužeľa so stredom základne. Tvoriaca čiara kužeľa je úsečka, ktorá spája vrchol kužeľa s ľubovoľným bodom na priamke základnej kružnice.
Keďže kužeľ vzniká otáčaním pravouhlého trojuholníka, ukazuje sa, že prvá vetva takého trojuholníka je výška, druhá je polomer kružnice ležiacej na základni a prepona je tvoriaca čiara kužeľa. Nie je ťažké uhádnuť, že Pytagorova veta je užitočná na výpočet dĺžky tvoriacej čiary. A teraz viac o tom, ako zistiť dĺžku tvoriacej čiary kužeľa.
Nájdenie generátora
Najjednoduchší spôsob, ako pochopiť, ako nájsť generátor, je konkrétny príklad. Predpokladajme, že sú dané nasledujúce podmienky úlohy: výška je 9 cm, priemer základného kruhu je 18 cm. Je potrebné nájsť tvoriacu čiaru.
Výška kužeľa (9 cm) je teda jednou z nôh pravouhlého trojuholníka, pomocou ktorého bol tento kužeľ vytvorený. Druhé rameno bude mať polomer základnej kružnice. Polomer je polovica priemeru. Takto daný priemer rozdelíme na polovicu a dostaneme dĺžku polomeru: 18:2 = 9. Polomer je 9.
Teraz je veľmi ľahké nájsť tvoriacu čiaru kužeľa. Keďže ide o preponu, druhá mocnina jej dĺžky sa bude rovnať súčtu druhých mocnín nôh, teda súčtu druhých mocnín polomeru a výšky. Takže druhá mocnina dĺžky generátora = 64 (druhá mocnina dĺžky polomeru) + 64 (druhá mocnina dĺžky výšky) = 64x2 = 128. Teraz vezmeme druhú odmocninu z 128. výsledkom je osem koreňov z dvoch. Toto bude tvoriaca čiara kužeľa.
Ako vidíte, v tomto nie je nič zložité. Napríklad sme vzali jednoduché podmienky problému, ale v školskom kurze môžu byť zložitejšie. Pamätajte, že na výpočet dĺžky tvoriacej čiary potrebujete zistiť polomer kruhu a výšku kužeľa. Po znalosti týchto údajov je ľahké nájsť dĺžku tvoriacej čiary.
