Ako urobiť pomer? Každý študent a dospelý to pochopí. Problémy s percentami: Vypočítajte percentá pomocou proporcií Ako nájsť x v rovnici s percentami

22.10.2021

1% je jedna stotina čísla.

1% = 0,01.

Hľadanie percent čísla.
Ak chcete zistiť percentuálny podiel čísla, môžete percento zobraziť ako desatinný zlomok a vynásobiť číslo výsledným desatinným zlomkom.

Nájdenie čísla podľa jeho percent.
Ak chcete nájsť číslo podľa percenta, môžete percentá vyjadriť ako desatinný zlomok a vydeliť toto číslo výsledným desatinným zlomkom.

Ak chcete zistiť, koľko percent je jedno číslo od druhého, môžete vydeliť jedno číslo druhým a výsledný produkt vynásobiť 100.

Ako riešiť problémy so záujmom. Príklady.

Nájdenie percenta čísla je spojené s nájdením zlomku čísla. Percentá sú špeciálnym spôsobom písania obyčajného zlomku, preto by ste mali začať odhaľovať význam pojmu percent tým, že pochopíte pojem obyčajný zlomok.

Vezmime si napríklad niekoľko bežných zlomkov. Aký je význam každého takéhoto záznamu?
- Toto sú príklady pravidelných zlomkov. Menovateľ každého z nich ukazuje, koľko rovnakých častí je potrebné rozdeliť skutočný alebo abstraktný objekt, čitateľ ukazuje, koľko takýchto častí je potrebné vziať. Vezmime si ako príklad obyčajný zlomok. Napríklad. Význam tohto výrazu možno odhaliť nasledovne. Istý skutočný predmet bol rozdelený na 3 rovnaké časti a z nich boli odobraté 2 časti.

Ako skutočný objekt si môžete vziať napríklad obdĺžnik.

Tento výraz je podielom a a b, kde b nie je 0.

Toto je pomer čísel a a b, kde b sa nerovná 0.

Toto je obyčajný zlomok. a je čitateľ, b je menovateľ (b sa nerovná 0).

Príklad 1 Objem suda bol 200 l. Sud bol naplnený vodou. Aký bol zmysel tohto návrhu?
- tento zlomok znamená, že určitý predmet bol rozdelený na 5 rovnakých častí a z nich boli odobraté 2 časti. Predmetom tohto problému je sud s objemom 200 litrov, preto
200:5 = 40,
402 = 80.
Do suda sa nalialo 80 litrov vody.
Vyššie uvedený príklad je typickým príkladom nájdenia zlomku čísla.

Ak chcete nájsť zlomok čísla, musíte číslo vynásobiť týmto zlomkom.

Teraz môžete prejsť na percentá.

Pojem percento je definovaný takto: 1 % z čísla je jedna stotina čísla, teda 1 % = 0,01.

Potom význam vety a% z počtu b možno vysvetliť nasledovne. Určitý predmet (ktorého hodnota je b jednotky) sa rozdelili na 100 rovnakých častí a vybrali sa z nich ačasti.

Príklad 2 Masha mala 400 rubľov. Z tejto sumy minula 24 %. Aký je význam tohto výroku?
Pretože 24% = 0,24 a 0,24 znamená, že určitý predmet bol rozdelený na 100 rovnakých častí a bolo z nich odobraných 24 častí. V tomto prípade je predmetom suma peňazí rovnajúca sa 400 rubľov, preto
400: 100 =4,
424 = 96.
Masha strávil 96 rubľov.
Vyššie uvedený príklad je typickým príkladom hľadania percenta z čísla.

Príklad 3 Treba nájsť R% čísla b .
Nech x je číslo, ktoré musíme nájsť.
p% = 0,01p,
x = b 0,01p

Ak chcete nájsť percentá čísla, musíte uviesť počet percent ako desatinný zlomok a vynásobiť dané číslo týmto desatinným zlomkom.

Iný prístup k tejto úlohe. Môžete použiť koncept a vlastnosti proporcie. Ak si pamätáte, že pomer je rovnosť dvoch pomerov a pomer dvoch čísel je obyčajný zlomok, potom je táto metóda spojená aj s pojmom obyčajný zlomok.

b – 100 %,
x – p %,
Máme pomer:
b: 100 = x: p, (b odkazuje na 100 ako x odkazuje na p), odkiaľ,

Príklad 4 Nech sú čísla a a b , navyše, a >b Potom číslo a viac čísel b na %.

Postavme sa k tomuto problému trochu inak. Budeme uvažovať o jednoduchom špeciálnom prípade, napríklad: "O koľko percent je číslo 10 väčšie ako číslo 2?"

1. Odčítajte menšie od väčšieho čísla. 10 - 2 = 8. Potom 10 je viac ako 2 x 8.

2. Nájdite pomer nájdeného čísla k menšiemu číslu. 8: 2 = 4 je pomer dvoch čísel!

3 Pomer vyjadríme v percentách 4100 = 400 %.

Číslo 10 je o 400% viac ako číslo 2.

Ak vydelíme 8 10, nájdeme pomer, ktorý ukazuje, ktorá časť z 10 2 je menšia ako 10 (tu je porovnanie s číslom 10.

Číslo 2 je o 80 % menšie ako číslo 10.

Príklad 5. Traktorista oral 6 hektárov, čo je z celého poľa. Aká je plocha celého poľa.
Toto je typická úloha nájsť číslo podľa jeho zlomku. Nech je plocha celého poľa X, potom máme rovnicu x = 6. Odkiaľ x = 6 :; x = 26. Plocha poľa je 26 hektárov.

Ak chcete nájsť číslo podľa jeho zlomku, musíte číslo zodpovedajúce tomuto zlomku vydeliť zlomkom.

Príklad 6. Dané číslo b, ktorý je p% čísla a. Nájdite číslo a.

p% = 0,01p
b = 0,01pa
a = b: (0,01 p)

Dané číslo b ktorý je p% čísla a .

Nájdite číslo a .

a - 100 %

b - p%

a: 100 = b: p

Zložený úrokový vzorec.

Ak je suma uložená a peňažných jednotiek a bankových poplatkov R% ročný, potom po n rokov bude suma na vklade peňažnými jednotkami, príp
a (1 + 0,01 p) n peňažných jednotiek.

Príklad 7. Náklady na výstavbu domu boli 9 800 rubľov, z čoho 35% zaplatilo za prácu a zvyšok za materiál. Koľko stál materiál?

Platené za prácu:

0,359800 = 3430.

Preto materiál stojí: 9800 - 3430 = 6370.

Odpoveď: 6370 rubľov.

Príklad 8. Do nádrže sa nalialo 37,4 tony benzínu, po ktorom zostalo nenaplnených 6,5 % kapacity nádrže. Koľko benzínu musím pridať do nádrže, aby som ju naplnil?

Ak je nenaplnená časť nádrže 6,5% kapacity, potom naplnená časť je: 100% - 6,5% = 93,5%. Potom, ak x je hmotnosť benzínu, ktorý zostáva pridať do nádrže, potom máme pomer

kde .

Odpoveď: 2,6 t.

Príklad 9. Nájdite číslo s vedomím, že 25 % z neho sa rovná 45 % z 640.

Nech x je požadované číslo. Máme

0,25x = 0,45640.

Odpoveď: 1152.

Príklad 10.Číslo a je 92 % čísla b. Ak sa číslo b zvýši o 700, nové číslo bude o 9 % väčšie ako číslo a. Nájdite čísla a a b.

Z podmienky problému máme systém rovníc:

Pri riešení výslednej sústavy zistíme, a = 230 000, b = 250 000.

Odpoveď: 230 000; 250 000.

Príklad 11. Prvé číslo je 50% druhého. Koľko percent z prvého je druhé?

Označme druhé číslo cez x, potom sa prvé číslo rovná 0,5x. Ak chcete zistiť, koľko percent je číslo x z čísla 0,5x; urobme pomer:

z ktorých nájdeme

Odpoveď: 200%.

Príklad 12. Na lýceu je 260 študentov, z toho 10 % je neúspešných. Po vylúčení určitého počtu podpriemerných sa ich percento znížilo na 6,4 %. Koľko študentov vypadne?

Pred odpočtom sa solilo množstvo neúspešných osôb pred odpočtom

Nech je vyhnaných x ľudí. Potom zostalo na lýceu iba 260 študentov, z ktorých 26 bolo neúspešných. Máme pomer

260 – x – 100 %,

(260 - x) 0,064 = (26 - x) 100,

Pri riešení výslednej rovnice zistíme, že x = 10.

Príklad 13. O koľko percent je 250 väčšie ako 200?

Urobme dve veci.

1) Zistíme, koľko percent je číslo 250 ton z čísla 200:

2) Keďže číslo 200 v tomto príklade je 100 %, číslo 250 je väčšie ako číslo 200 o 125 % -100 % = 25 %.

Odpoveď: 25%.

Príklad 14. O koľko menej je 200 ako 250?

1) Zistite, koľko percent je číslo 200 z čísla 250 (na rozdiel od predchádzajúceho príkladu, tu musíte brať číslo 250 ako 100%!):

2) Číslo 200 je menšie ako číslo 250 o 100 % - 80 % = 20 %.

Odpoveď: 20%.

Príklad 15. Dĺžka tehly sa zväčšila o 30 %, šírka o 20 % a výška sa znížila o 40 %. Zväčšil alebo sa z toho znížil objem tehly a o koľko percent?

Nech je pôvodná dĺžka tehly x, šírka - y, výška - z. Potom pôvodný objem tehly: V 1 = xyz. Veľkosti nových tehál: 1,3x; 1,2 roka; 0,6z a nový objem: V 2 = 1,3x1,2y0,6z = 0,936xyz. Od V 2< V 1 , объем кирпича уменьшился. Уменьшение V 2 - V 1 = 0,064xyz и составляет 6,4% от V 1.

Odpoveď: poklesol o 6,4 %.

Príklad 16. Cena produktu klesla o 40 %, potom o ďalších 25 %. O koľko klesla cena produktu v porovnaní s pôvodnou cenou?

Označme pôvodnú cenu produktu pomocou x. Po prvom poklese sa cena vyrovná

x - 0,4x = 0,6x.

Druhé zníženie ceny je 25 % z novej 0,6x ceny, takže po druhom znížení ceny budeme mať cenu

0,6x - 0,250,6x = 0,45x;.

Po dvoch zníženiach je celková zmena ceny:

x - 0,45x = 0,55x.

Keďže magnitúda je 0,55x; je 55% z hodnoty x, potom sa cena tovaru znížila o 55%.

Odpoveď: 55%.

Príklad 17. Počiatočné náklady na jednotku výroby sa rovnali 75 rubľov. Počas prvého roka výroby sa zvýšil o určitý počet percent a počas druhého roka sa znížil (v súvislosti so zvýšenými nákladmi) o rovnaký počet percent, v dôsledku čoho sa rovnal 72 rubľov. Určte percentuálne zvýšenie a zníženie jednotkových nákladov.

Nech x % je percentuálny nárast (a pokles) jednotkových nákladov. Podľa definície je x% zo 75 750,01x. Potom po prvom zvýšení bude cena rovná 75 + 0,75x.

Počas druhého roka sa cena zníži o sumu

0,01x (75 + 0,75x) = 0,75x + 0,0075x 2.

Teraz je možné napísať konečnú cenovú rovnicu

(75 + 0,75x) - (0,75x + 0,0075x 2) = 72;

x 2 = 400; teda x 1 = - 20, x 2 = 20.

Vhodný je len jeden koreň tejto rovnice: x 2 = 20.

Odpoveď: 20%.

Príklad 18. Na bankový účet bolo uložených 10 000 rubľov. Po tom, čo peniaze ležali jeden rok, bolo z účtu stiahnutých 1 000 rubľov. O rok neskôr bol účet 11 000 rubľov. Zistite, koľko percent ročne banka účtuje.

Nech banka vypočíta p% ročne.

1) Suma 10 000 rubľov uložená na bankovom účte za p% ročne sa za rok zvýši na hodnotu

10 000 + 0,01 p10 000 = 10 000 + 100 rub.

Keď sa z účtu vyberie 1 000 rubľov, zostane tam 9 000 + 100 rubľov.

2) O rok neskôr sa posledná hodnota v dôsledku pripísania úrokov zvýši na hodnotu 9000 + 100r + 0,01p (9000 + 100r) = p 2 + 190r + 9000 rubľov.

Podľa podmienky je táto hodnota 11 000 rubľov, takže máme kvadratickú rovnicu.

p2 + 190r + 9000 = 11000;

p2 + 190r - 2000 = 0
, túto kvadratickú rovnicu riešime pomocou Viettovej vety, p 1 = 10, p 2 = -200.

Záporný koreň nie je vhodný.

Odpoveď: 10%.

Príklad 19. Mesto má v súčasnosti 48400 obyvateľov. Je známe, že počet obyvateľov tohto mesta sa každoročne zvyšuje o 10%. Koľko obyvateľov tu bolo pred dvoma rokmi?

Predpokladajme, že pred dvoma rokmi bol počet obyvateľov mesta x ľudí, potom je počet obyvateľov v súčasnosti vyjadrený v x pomocou zloženého percentuálneho vzorca:

x (1 + 0,1)2 = 1,21x.

Z vyhlásenia o probléme:

Odpoveď: 40 000 ľudí.

Percento je tvar desatinného zlomku. Podstatu percenta možno pochopiť z názvu, ktorý pochádza zo slova „cento“, čo v preklade znamená „sto“. Z toho vyplýva, že percento je jedna stotina celého čísla, brané ako jednotka. Znak % sa používa na vyjadrenie percent v matematike a iných oblastiach vedy.

Potrebuje toto bežný človek?

Samozrejme, častejšie sa ľudia, ktorých aktivity súvisia s vedou, musia potýkať so záujmom. Nie je nezvyčajné, že sa toto šťastie dostane k žiakom v rámci školských osnov matematiky. Rozsah záujmu je však taký široký, že predstavitelia rôznych profesií a povolaní čelia potrebe ich výpočtu. Publikum našej stránky nie je výnimkou. Letní obyvatelia sa skutočne často stretávajú s úlohou určiť koncentráciu roztoku hnojiva, vypočítať daň z pôdy alebo iného majetku, určiť výšku splátok pôžičiek atď.

Vo všetkých týchto prípadoch sa nezaobídete bez schopnosti správne narábať s úrokmi. A sú to rozmarní súdruhovia, nemajú radi chyby. Preto aj napriek zdanlivej jednoduchosti úloh so záujmom je pri ich riešení potrebné dodržiavať množstvo určitých pravidiel.

Základný príjem

Všetky problémy, v ktorých sa objavujú percentá, sa dajú pomerne ľahko vyriešiť pomocou princípu proporcie. Čo je jej podstatou? Napríklad, musíte určiť, čo sa rovná 76% čísla 840? Na tento účel sa vypracuje primeraný pomer. To sa rovná 840 až 100 %. Hľadaná hodnota x je 76 %. To umožňuje zostaviť nasledujúci pomer:

840 / x = 100 % / 76 % alebo 840 * 76 % = x * 100 %

Ukazuje sa teda, že:
x = 840 * 76 % / 100 % = 638,4

Ako vidíte, všetko je veľmi jednoduché.

Základné typy problémov s percentami

Z pohľadu matematiky existujú 3 kategórie úloh, ktorých riešenie je spojené s výpočtom percent.

Prvý typ

To je, keď potrebujete nájsť percento konkrétneho čísla uvedeného v podmienkach. Prispôsobením príkladu okolnostiam života letných obyvateľov možno uviesť nasledujúci problém. Predpokladajme, že podľa zákonov určitého regiónu musí vlastník súkromného pozemku platiť daň z pôdy ročne. Jeho veľkosť je určená ako 2 % z katastrálnej hodnoty pozemku. Cena pozemku je 327 tisíc rubľov. Aká je ročná sadzba dane? Na zodpovedanie položenej otázky sa zostavuje pomer:

327 tisíc rubľov. = 100 %;
X tisíc rubľov = 2 %.

Uvedením tejto závislosti do rovnice dostaneme: x * 100 = 327 * 2. Výsledkom je: x = 327 * 2/100 = 6,54 tisíc rubľov.

Ďalší príklad úloh tohto druhu súvisí s problémom, ktorý trápi drvivú väčšinu letných obyvateľov – zvyšovanie dôchodkov alebo miezd. Predpokladajme, že teraz je dôchodok osoby 7 200 rubľov, ale od budúceho mesiaca sľubujú zvýšenie o 15%. Koľko to bude priamo v rubľoch? Podiel je opäť zostavený:

Druhý typ

V tomto prípade musíte vyriešiť inverzný problém, to znamená vypočítať číslo z dostupného percenta. Napríklad je známe, že 10 kg určitej látky je súčasťou hnojiva, pričom predstavuje 40 % z jeho celkového množstva. Je potrebné určiť celkovú hmotnosť hotového hnojiva. Na tento účel je tiež zostavený pomer, ale bude vyzerať trochu inak:

10 kg – 40 %
x kg – 100 %

Z toho vyplýva, že x = 10 * 100/40 = 25 kg.

Tretí typ

Táto kategória zahŕňa úlohy, v ktorých musíte prostredníctvom jedného čísla určiť percento inej. Napríklad objem ranného zalievania mrkvy by mal byť - 60 litrov. Večer by sa malo na záhony naliať 150 litrov. Koľko percent večernej zálievky tvorí ranná zálievka? Základný vzťah je nasledovný:

150 l - 100 %;
60 l pohár - x%

Potom: x = 60 * 100/150 = 40 %

Pre tých letných obyvateľov, ktorí považujú svoj osobný pozemok za zdroj príjmu, by mala existovať zaujímavá technológia na výpočet ziskovosti. Tento ukazovateľ sa používa v ekonomike ako miera úspešnosti podniku a počíta sa aj ako percento. Podľa úrovne ziskovosti posudzujú, ako racionálne je výrobný proces organizovaný.

Výpočet je teda založený na dvoch veličinách:

* plné náklady vrátane všetkých hotovostných nákladov vrátane dopravy, ako aj nákupu zásob atď.;

* príjem získaný z predaja zozbieranej úrody.

Rozdiel je v čistom zisku. Pr = D - C. V tomto prípade má vzorec ziskovosti tvar: P = Pr / C * 100 %. Ak sú teda celkové výrobné náklady 8 200 rubľov a predali sa za 9 000 rubľov, ziskovosť bude: P = (9 000 - 8 200) / 8 200 * 100 % = 9,75 %. Za prijateľnú úroveň ziskovosti v hospodárstve podniku sa zvyčajne považuje 5 %. Pri nižších sadzbách sa manažmentu odporúča hľadať možnosti racionálnejšej organizácie práce.

V kazdom pripade treba vediet riesit algebricke ulohy s percentami aj v skole a potom to uz dalej nebude tazke.

Peter, www.stránka

Pojem percento sa v našom živote vyskytuje príliš často, preto je veľmi dôležité vedieť riešiť problémy so záujmom. V zásade nejde o zložitú záležitosť, hlavnou vecou je pochopiť princíp práce so záujmom.

Čo je percento

Fungujeme s konceptom 100 percent, a teda jedno percento je stotina určitého čísla. A všetky výpočty sú založené na tomto pomere.

Napríklad 1 % z 50 je 0,5, 15 zo 700 je 7.

Ako vyriešiť

S vedomím, že jedno percento je stotina prezentovaného čísla, môžete nájsť ľubovoľný počet požadovaných percent. Aby to bolo jasnejšie, skúsme nájsť 6 percent z čísla 800. To sa robí jednoducho.
- Najprv nájdeme jedno percento. Ak to chcete urobiť, vydeľte 800 číslom 100. Ukáže sa 8.
- Teraz práve toto jedno percento, teda 8, sa vynásobí počtom percent, ktoré potrebujeme, teda 6. Ukáže sa 48.
- Výsledok opravíme opakovaním.
15 % zo 150. Riešenie: 150/100 * 15 = 22.

28 % z 1582. Riešenie: 1582/100 * 28 = 442.
Existujú ďalšie problémy, keď sú vám dané hodnoty a potrebujete nájsť percentá. Napríklad viete, že v obchode je 5 červených ruží zo 75 bielych a potrebujete zistiť, aké je percento červených ruží. Ak toto percento nepoznáme, označíme ho ako x.
Existuje na to vzorec: 75 - 100 %

V tomto vzorci sú čísla vynásobené krížikom, to znamená x = 5 * 100/75. Ukazuje sa, že x = 6% To znamená, že percento šarlátových ruží je 6%.
Existuje ďalší typ percentuálnych problémov, keď potrebujete nájsť percento jedného čísla väčšie alebo menšie ako iné. Ako v tomto prípade riešiť problémy so záujmom?
V triede je 30 žiakov, z toho 16 chlapcov. Otázkou je, o koľko percent je viac chlapcov ako dievčat. Najprv musíte vypočítať, koľko percent žiakov tvoria chlapci, potom musíte zistiť, koľko percent tvoria dievčatá. Nájdite rozdiel na konci.

Tak poďme na to. Tvoríme podiel 30 za. - 100 %

16 účet. -NS %

Teraz počítame. X = 16 * 100/30, x = 53,4 % všetkých žiakov v triede sú chlapci.

Teraz zistime percento dievčat v rovnakej triede. 100 – 53,4 = 46,6 %

Teraz zostáva len nájsť rozdiel. 53,4-46,6 = 6,8 %. Odpoveď: chlapcov je o 6,8 % viac ako dievčat.

Najdôležitejšie pri riešení záujmu

Aby ste teda nemali problémy so záujmom riešiť problémy, zapamätajte si niekoľko základných pravidiel:

Aby ste sa nezamotali v percentách problémov, buďte vždy ostražití: v prípade potreby prejdite od konkrétnych hodnôt k percentám a naopak. Hlavná vec je nikdy nezamieňať jedno s druhým.
Buďte opatrní pri výpočte úroku. Je dôležité vedieť, od ktorej konkrétnej hodnoty chcete počítať. Pri postupných zmenách hodnôt sa percento vypočítava z poslednej hodnoty.
Pred zapísaním odpovede si ešte raz prečítajte celý problém, pretože sa môže stať, že ste našli iba medziodpoveď a musíte vykonať jednu alebo niekoľko akcií.

Riešenie problémov s percentami teda nie je také ťažké, hlavnou vecou je pozornosť a presnosť, rovnako ako v každej matematike. A nezabudnite, že na zdokonalenie akejkoľvek zručnosti je potrebný cvik. Rozhodnite sa teda viac a všetko bude pre vás v poriadku alebo dokonca skvelé.

Na vyriešenie väčšiny problémov zo stredoškolskej matematiky je potrebná znalosť proporcií. Táto jednoduchá zručnosť vám pomôže nielen vykonávať zložité cvičenia z učebnice, ale tiež sa ponoriť do samotnej podstaty matematiky. Ako urobiť pomer? Poďme sa na to teraz pozrieť.

Najjednoduchším príkladom je problém, kde sú známe tri parametre a štvrtý treba nájsť. Pomery sú, samozrejme, rôzne, no často treba nájsť nejaké číslo podľa percent. Chlapec mal napríklad celkovo desať jabĺk. Štvrtú časť daroval svojej matke. Koľko jabĺk ostalo chlapcovi? Toto je najjednoduchší príklad, ktorý vám umožní zostaviť pomer. Hlavná vec je urobiť to. Pôvodne bolo jabĺk desať. Nech je to na 100%. Označili sme všetky jeho jablká. Rozdal jednu štvrtinu. 1/4 = 25/100. To znamená, že mu zostalo: 100 % (pôvodne to bolo) – 25 % (dal) = 75 %. Tento obrázok ukazuje percentuálny podiel počtu zostávajúcich plodov k počtu prvého dostupného ovocia. Teraz máme tri čísla, pomocou ktorých je už možné vyriešiť podiel. 10 jabĺk - 100%, NS jablká - 75%, kde x je požadované množstvo ovocia. Ako urobiť pomer? Musíte pochopiť, čo to je. Matematicky to vyzerá takto. Znamienko rovnosti je uvedené pre vaše pochopenie.

10 jabĺk = 100 %;

x jablká = 75 %.

Ukazuje sa, že 10 / x = 100 % / 75. Toto je hlavná vlastnosť proporcií. Koniec koncov, čím väčšie x, tým viac percent je toto číslo z originálu. Vyriešime tento podiel a dostaneme, že x = 7,5 jabĺk. Prečo sa chlapec rozhodol dať nie celú sumu, nám nie je známe. Teraz viete, ako proporcie. Hlavná vec je nájsť dva vzťahy, z ktorých jeden obsahuje neznáme neznáme.

Riešenie proporcií často vedie k jednoduchému násobeniu a potom k deleniu. V školách deťom nevysvetľujú, prečo je to práve tak. Aj keď je dôležité pochopiť, že proporčné vzťahy sú matematickou klasikou, je to samotná podstata vedy. Ak chcete vyriešiť proporcie, musíte byť schopní zvládnuť zlomky. Napríklad často musíte previesť percentá na zlomky. To znamená, že 95% záznam nebude fungovať. A ak hneď napíšete 95/100, potom môžete robiť solídne redukcie bez toho, aby ste začali hlavné počítanie. Hneď by sa malo povedať, že ak sa váš podiel ukázal ako s dvoma neznámymi, potom sa to nedá vyriešiť. Tu ti žiaden profesor nepomôže. A vaša úloha má s najväčšou pravdepodobnosťou zložitejší algoritmus správnych akcií.

Zvážte ďalší príklad, kde nie je záujem. Motorista kúpil 5 litrov benzínu za 150 rubľov. Zaujímalo ho, koľko by zaplatil za 30 litrov paliva. Na vyriešenie tohto problému nech x označuje požadovanú sumu peňazí. Tento problém môžete vyriešiť sami a potom skontrolujte odpoveď. Ak ste ešte neprišli na to, ako vytvoriť pomer, pozrite sa. 5 litrov benzínu je 150 rubľov. Rovnako ako v prvom príklade si zapíšeme 5L - 150r. Teraz nájdime tretie číslo. Samozrejme, toto je 30 litrov. Súhlaste s tým, že v tejto situácii je vhodný pár 30 litrov - x rubľov. Prejdime k matematickému jazyku.

5 litrov - 150 rubľov;

30 litrov - x rubľov;

Riešime tento pomer:

x = 900 rubľov.

Tak sme sa rozhodli. Vo svojej úlohe nezabudnite skontrolovať primeranosť odpovede. Stáva sa, že pri nesprávnom rozhodnutí autá dosahujú neskutočnú rýchlosť 5000 kilometrov za hodinu a podobne. Teraz viete, ako proporcie. Môžete to tiež vyriešiť. Ako vidíte, nie je to ťažké.

Záujem o matematiku. Problémy so záujmom.

Pozor!
Existujú ďalšie
materiály v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí sú veľmi "nie veľmi ..."
A pre tých, ktorí sú „veľmi vyrovnaní...“)

Záujem o matematiku.

Čo záujem o matematiku? Ako vyriešiť záujmové úlohy? Tieto otázky sa vynoria, žiaľ, zrazu... Keď si absolvent prečíta zadanie USE. A zmiatli ho. Ale márne. Sú to veľmi jednoduché koncepty.

Jediné, čo si treba zapamätať, je železo – čo je jedno percento ... Tento koncept je hlavný kľúč k riešeniu problémov so záujmom a k práci so záujmom vo všeobecnosti.

Jedno percento je stotina čísla ... A to je všetko. Už niet múdrosti.

Rozumná otázka - a stý diel aký dátum ? Ale číslo uvedené v zadaní. Ak je napísané cena, jedno percento je jedna stotina ceny. Keď už hovoríme o rýchlosti, jedno percento je jedna stotina rýchlosti. Atď. Je jasné, že samotné číslo je vždy 100%. A ak tam samotné číslo nie je, potom ani percentá nedávajú zmysel ...

Ďalšia vec je, že v zložitých problémoch bude samotné číslo tak skryté, že ho nenájdete. Ale ešte nemierime na ťažké. Zaoberáme sa percent v matematike.

Nadarmo slová nezdôrazňujem jedno percento, stotina... Pamätanie si toho, čo je jedno percento, ľahko nájdete dve percentá, tridsaťštyri, sedemnásť a sto dvadsaťšesť! Nájdete toľko, koľko potrebujete.

A to je mimochodom hlavná zručnosť na riešenie problémov so záujmom.

Vyskúšajme?

Nájdime 3 % zo 400. Najprv nájdime jedno percento... Bude to stotina, t.j. 400/100 = 4. Jedno percento sú 4. A koľko percent potrebujeme? Tri. Vynásobíme teda 4 tromi. Dostávame 12. To je všetko. Tri percentá zo 400 sú 12.

5 % z 20 bude 20 delené 100 (jedna stotina – 1 %) a vynásobené piatimi (5 %):

5 % z 20 bude 1. To je všetko.

Jednoduchšie to už nemôže byť. Urobme to rýchlo, kým nezabudneme, poďme cvičiť!

Zistite, koľko to bude:
5% z 200 rubľov.
8 % z 350 kilometrov.
120% z 10 litrov.
15 % zo 60 stupňov.
4 % sú výborní študenti z 25 študentov.
10% chudobných študentov z 20 ľudí.

Odpovede (v úplnom neporiadku): 9, 10, 2, 1, 28, 12.

Tieto čísla predstavujú počet rubľov, titulov, študentov atď. Nenapísal som koľko vecí, aby bolo zaujímavejšie rozhodnúť ...

A ak potrebujeme písať NS % z nejakého čísla, napríklad z 50? Áno, všetko je po starom. Koľko je jedno percento z 50? Presne tak, 50/100 = 0,5. A máme tieto percentá - NS... No, vynásobme 0,5 x NS! Chápeme to NS % od 50 je - 0,5x.

Dúfam, že áno záujem o matematiku rozumieš. A môžete ľahko nájsť ľubovoľný počet percent z akéhokoľvek čísla. Je to jednoduché. Teraz ste schopní urobiť asi 60% všetkých úloh pre zaujímavosť! Už viac ako polovicu. No, dokončíme zvyšok? Dobre, čokoľvek poviete!

Pri problémoch s úrokmi sa často stretávame s opačnou situáciou. Je nám dané magnitúdy (čokoľvek), ale musíte nájsť úrok ... Tento jednoduchý proces zvládneme aj my.

3 ľudia zo 120 – aké je to percento? Neviem? Tak to nechaj tak NS percent.

Poďme počítať NS % od 120 ľudí. U ľudí. Dáme to. Vydeľte 120 100 (vypočítajte 1 %) a vynásobte NS(vypočítať NS %). Dostávame 1.2 NS.

Pochopme výsledok.

NS percent od 120 ľudí je to 1.2 NS človek ... A máme troch takýchto ľudí. Zostáva rovnať:

Pamätáme si, že pre X sme zobrali počet percent. Čiže 3 ľudia zo 120 ľudí sú 2,5 %.

To je všetko.

Dá sa to aj inak. Vychádzajte s jednoduchou vynaliezavosťou, bez akýchkoľvek rovníc. Uvážime koľko krát 3 osoby menej ako 120? Vydeľte 120 3 a získajte 40. Takže 3 je 40-krát menej ako 120.

Požadovaný počet ľudí v percentách bude rovnaké množstvo menej ako 100 %. Veď 120 ľudí je 100%. Vydeľte 100 40, 100/40 = 2,5

To je všetko. Získali 2,5 %.

Existuje aj spôsob proporcií, ale ten je v podstate v zmenšenej verzii rovnaký. Všetky tieto metódy sú správne. Keďže je to pre vás pohodlnejšie, je to známejšie, je to zrozumiteľnejšie – zvážte to.

Opäť trénujeme.

Vypočítajte, koľko percent je:
3 ľudia z 12.
10 rubľov od 800.
4 učebnice zo 160 kníh.
24 správnych odpovedí na 32 otázok.
2 uhádnuté odpovede na 32 otázok.
9 zásahov z 10 výstrelov.

Odpovede (v neporiadku): 75 %, 25 %, 90 %, 1,25 %, 2,5 %, 6,25 %.

V procese výpočtov môžete naraziť na zlomky. Vrátane tých nepohodlných, ako napríklad 1,333333 ... A kto ti povedal, aby si používal kalkulačku? Sám? nie. počítať bez kalkulačky ako je napísané v téme "Zlomky". Záujem je všelijakého...

Takže sme zvládli prechod z hodnôt na percentá a naopak. Môžete prevziať úlohy.

Problémy so záujmom.

Na skúške sú veľmi obľúbené záujmové úlohy. Od najjednoduchších po najzložitejšie. V tejto časti pracujeme s jednoduchými úlohami. V jednoduchých úlohách musíte spravidla prejsť od percent k hodnotám, o ktorých sa hovorí v úlohe. Na ruble, kilogramy, sekundy, metre atď. Alebo naopak. Už vieme ako. Potom je problém jasný a ľahko riešiteľný. neveríš mi? Presvedčte sa sami.
Dajme si takúto úlohu.

„Jazda autobusom stojí 14 rubľov. V dňoch školských prázdnin bola pre študentov zavedená zľava 25 %. Koľko stojí autobus počas školských prázdnin?"

ako sa rozhodnúť? Ak zistíme, koľko 25% v rubľoch- potom nie je o čom rozhodovať. Odpočítajte zľavu z pôvodnej ceny – a je to!

Ale už vieme, ako to spoznať! Koľko bude jedno percento od 14 rubľov? Stotina časť. To znamená, že 14/100 = 0,14 rubľov. A takýchto percent máme 25. Vynásobme teda 0,14 rubľov 25. Dostaneme 3,5 rubľov. To je všetko. Stanovili sme výšku zľavy v rubľoch, zostáva zistiť nové cestovné:

14 – 3,5 = 10,5.

Desať a pol rubľov. Toto je odpoveď.

Len čo prešli z úroku na ruble, všetko bolo jednoduché a jasné. Toto je všeobecný prístup k riešeniu problémov so záujmom.

Samozrejme, nie všetky úlohy sú rovnako elementárne. Sú aj ťažšie. Len premýšľajte! Teraz ich vyriešime. Problém je, že opak je pravdou. Dostali sme nejaké hodnoty, ale musíme nájsť percentá. Napríklad takáto úloha:

„Predtým Vasya správne vyriešil dva problémy na percento z dvadsiatich. Po preštudovaní témy na jednej užitočnej stránke začal Vasya správne riešiť 16 problémov z 20. O koľko percent Vasja zmúdrel? Za stopercentnú inteligenciu považujeme 20 vyriešených problémov."

Keďže otázka sa týka záujmu (a nie rubľov, kilogramov, sekúnd atď.), Potom sa obrátime na záujem. Zistite, koľko percent Vasya vyriešil predtým zaujímalo by ma, koľko percent po - a je to vo vreci!

Počítame. Dve úlohy z 20 – koľko je to percent? 2 je menej ako 20 krát 10 krát, však? Preto počet úloh v percentách bude 10-krát menej ako 100 %. To znamená, že 100/10 = 10.

desať %. Áno, Vasya sa trochu rozhodol ... Na skúške nie je čo robiť. Teraz však zmúdrel a vyriešil 16 problémov z 20. Uvažujeme, koľko to bude? Koľkokrát je 16 menej ako 20? Na rovinu a nepovieš... Budeme sa musieť rozdeliť.

5/4 krát. Teraz vydelíme 100 5/4:

Tu. 80% je už solídnych. A hlavná vec nie je limit!

Ale to ešte nie je odpoveď! Prečítali sme si problém ešte raz, aby sme sa z ničoho nič nepomýlili. Áno, pýtame sa koľko percent múdrejší Vasya? No je to jednoduché. 80 % - 10 % = 70 %. 70 %.

70% je správna odpoveď.

Ako vidíte, v jednoduchých úlohách stačí preložiť dané hodnoty na percentá alebo dané percentá na hodnoty, pretože je všetko jasné. Je jasné, že v úlohe môžu byť aj ďalšie zvončeky a píšťalky. Ktoré často nemajú nič spoločné s percentami. Tu je hlavnou vecou pozorne si prečítať stav a krok za krokom, pomaly, rozložiť skladačku. O tom si povieme v ďalšej téme.

V problémoch s úrokmi je však jeden vážny prepad! Mnohí do toho spadnú, áno... Tento prepad vyzerá celkom nevinne. Napríklad tu je hádanka.

„Krásny notebook stál v lete 40 rubľov. Pred začiatkom školského roka predajca zvýšil cenu o 25 %. Nákup notebookov sa však natoľko zhoršil, že znížil cenu o 10 %. Aj tak to neberú! Cenu musel znížiť o ďalších 15 %. Tu sa obchod začal! Aká bola konečná cena notebooku?"

No, ako? Základné?

Ak ste rýchlo a radostne odpovedali „40 rubľov!“, potom ste boli prepadnutí ...

Trik je v tom, že percentá sa vždy počítajú z niečo .

Takže počítame. Koľko rubľov Nafúkol predajca cenu? 25% zo 40 rubľov - to je 10 rubľov. To znamená, že notebook, ktorý zdražel, začal stáť 50 rubľov. To je pochopiteľné, však?

A teraz musíme znížiť cenu o 10% z 50 rubľov. Od 50, nie 40! 10% z 50 rubľov je 5 rubľov. V dôsledku toho po prvom znížení ceny notebook začal stáť 45 rubľov.

Zvažujeme druhé zníženie ceny. 15% zo 45 rubľov ( od 45, nie 40 alebo 50! ) Je 6,75 rubľov. Preto je konečná cena notebooku:

45 - 6,75 = 38,25 rubľov.

Ako vidíte, prepad je v tom, že úroky sa počítajú zakaždým z novej ceny. Z toho posledného. Je to tak takmer vždy. Ak problém postupného zvyšovania a znižovania hodnoty nie je uvedený ako obyčajný text, z čoho počítajte percentá, musíte ich počítať od poslednej hodnoty. A to je pravda. Ako predajca vie, koľkokrát tento notebook zdražel, pred ním klesol a koľko stál na samom začiatku ...

Mimochodom, teraz si možno pomyslíte, prečo bola posledná fráza napísaná v hádanke o inteligentnej Vasyi? Toto: " Napočítame 20 vyriešených problémov pre stopercentnú inteligenciu “? Zdá sa, a tak je všetko jasné ... Uh-uh ... Ako to povedať. Ak táto fráza neexistuje, Vasya môže počítať svoje počiatočné úspechy ako 100%. Teda dva vyriešené problémy. A 16 úloh je osemkrát viac. Tie. 800%! Vasya bude môcť celkom oprávnene hovoriť o svojej vlastnej múdrosti až na 700%!

A na 100% zvládnete aj 16 úloh. A získajte novú odpoveď. Tiež správne...

Preto záver: najdôležitejšou vecou pri záujmových úlohách je jasne definovať, od ktorého jedného alebo druhého percenta sa má počítať.

To je mimochodom v živote nevyhnutné. Kde sa používa úrok. V obchodoch, bankách, pri všetkých druhoch akcií. A potom očakávate 70% zľavu, no dostanete 7%. A nie zľavy, ale vyššie ceny... A to všetko úprimne, prepočítal.

No, máte predstavu o percentách v matematike. Povedzme si to najdôležitejšie.

Praktické rady:

1. V úlohách pre zaujímavosť – prejdite od záujmu ku konkrétnym hodnotám. Alebo, ak je to potrebné, od konkrétnych hodnôt po percentá. Pozorne sme si prečítali úlohu!

2. Veľmi pozorne študujeme, z čoho treba počítať percentá. Ak to nie je uvedené v čistom texte, potom je to nevyhnutne implicitné. Keď sa hodnota mení postupne, predpokladá sa, že percentá pochádzajú z poslednej hodnoty. Pozorne sme si prečítali problém!

3. Po vyriešení úlohy si ju znova prečítame. Je možné, že ste našli prechodnú odpoveď, nie definitívnu. Pozorne sme si prečítali problém!

Vyriešte viaceré problémy so záujmom. Takpovediac na konsolidáciu. V týchto úlohách som sa snažil zhromaždiť všetky hlavné ťažkosti, ktoré čakajú na tie rozhodujúce. Tie hrable, na ktoré sa najčastejšie šliape. Tu sú:

1. Elementárna logika v analýze jednoduchých problémov.

2. Správna voľba hodnoty, od ktorej chcete percentá počítať. Koľko ľudí na to narazilo! Existuje však veľmi jednoduché pravidlo...

3. Percento úroku. Je to maličkosť, ale je to naozaj trápne...

4. A ešte jedny vidly. Spojenie percent so zlomkami a dielmi. Prekladať ich jeden do druhého.

„Matematickej olympiády sa zúčastnilo 50 ľudí. 68 % študentov riešilo málo problémov. 75% tých, ktorí zostali, to vyriešilo mierne a zvyšok - veľa problémov. Koľko ľudí vyriešilo veľa problémov?"

Prompt. Ak získate zlomkových študentov, je to nesprávne. Pozorne si prečítajte problém, je tam jedno dôležité slovo ... Ďalší problém:

„Vasya (áno, tá!) má veľmi rada šišky s džemom. Ktoré sa pečú v pekárni, jednu zastávku od domova. Šišky stoja 15 rubľov za kus. Keď bolo k dispozícii 43 rubľov, Vasya išiel do pekárne autobusom za 13 rubľov. A v pekárni bola akcia "Zľava na všetko - 30%!!!". Otázka: Koľko ďalších šišiek si Vasya nemohol kúpiť pre svoju lenivosť (mohol ísť pešo, však?) “

Krátke úlohy.

Koľko percent je 4 menej ako 5?

O koľko percent je 5 viac ako 4?

Dlhá úloha...

Kolya dostal prácu na jednoduchej práci súvisiacej s výpočtom úrokov. Počas rozhovoru šéf s úlisným úsmevom ponúkol Kolyovi dve možnosti odmeňovania. Podľa prvej možnosti bola Kolyovi okamžite pridelená sadzba 15 000 rubľov mesačne. Podľa druhého Kolju, ak bude súhlasiť, prvé 2 mesiace bude vyplácaná mzda znížená o 50 %. Ako začiatočník. Potom mu ale zvýšia znížený plat až o 80%!

Kolja navštívil jednu užitočnú stránku na internete ... Preto po šiestich sekundách rozmýšľania s miernym úsmevom zvolil prvú možnosť. Šéf sa usmial a stanovil pre Kolju stály plat na 17 000 rubľov.

Otázka: Koľko peňazí za rok (v tisícoch rubľov) vyhral Kolja na tomto rozhovore? V porovnaní s najhorším prípadom? A ešte jedna vec: že sa celý čas usmievali!?)

Opäť krátka úloha.

Nájdite 20 % z 50 %.

Opäť dlho.)

Rýchlik №205 "Krasnojarsk - Anapa" zastavil na stanici "Syzran-gorod". Vasilij a Kirill išli do obchodu kúpiť zmrzlinu pre Lenu a hamburger pre seba. Keď kúpili všetko, čo potrebovali, upratovačka obchodu povedala, že ich vlak sa už rozbehol... Vasilij a Kirill bežali rýchlo a rýchlo a podarilo sa im naskočiť do vozňa. Otázka: mal by za týchto podmienok majster sveta v behu čas naskočiť do koča?
Veríme, že za normálnych podmienok beží majster sveta o 30% rýchlejšie ako Vasilij a Kirill. Túžba dobehnúť auto (bolo posledné), pohostiť Lenu zmrzlinou a zjesť hamburger však zvýšila ich rýchlosť o 20 %. A zmrzlina s hamburgerom v rukách šampióna a papučami na nohách by mu znížila rýchlosť o 10% ...

Ale problém bez záujmu... Zaujímalo by ma, prečo je tu?)

Určte, koľko váži 3/4 jablka, ak celé jablko váži 200 gramov?

A posledný.

V rýchliku č. 205 „Krasnojarsk – Anapa“ vyriešili spolucestujúci rébus. Lena uhádla 2/5 všetkých slov a Vasilij uhádol jednu tretinu zostávajúcich. Potom sa Kirill pripojil a vyriešil 30 % celého naskenovaného slova! Seryozha uhádol posledných 5 slov. Koľko slov bolo v skenovacom slove? Je pravda, že Lena hádala najviac slov?

Odpovede sú v tradičnom neporiadku a bez názvov jednotiek. Kde sú šišky, kde sú študenti, kde sú ruble s úrokmi - to si ty sám ...

desať; 50; Áno; 4; dvadsať; nie; 54; 2; 25; 150.

Tak ako? Ak všetko do seba zapadá - gratulujeme! Záujem nie je váš problém. Pokojne môžete ísť pracovať do banky.)

Niečo je zle? Nefunguje? Neviete, ako rýchlo vypočítať percentá z čísla? Nepoznáte veľmi jednoduché a priamočiare pravidlá? Z čoho počítať napríklad úroky? Alebo ako prevediete zlomky na percentá?