การสั่นสะเทือนแบบไม่เชิงเส้น
ความผันผวนทางกายภาพ ระบบที่อธิบายโดยระบบไม่เชิงเส้นของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ
ที่ไหน 
มีเงื่อนไขอย่างน้อย 2 องศาในองค์ประกอบเวกเตอร์ - ฟังก์ชันเวกเตอร์ของเวลา - พารามิเตอร์ขนาดเล็ก (หรือและ) ลักษณะทั่วไปที่เป็นไปได้เกี่ยวข้องกับการพิจารณาระบบที่ไม่ต่อเนื่อง การกระทำที่มีลักษณะไม่ต่อเนื่อง (เช่น ประเภทของฮิสเทรีซิส) ความล่าช้าและการกระทำแบบสุ่ม สมการจำนวนเต็ม-ดิฟเฟอเรนเชียลและดิฟเฟอเรนเชียล-โอเปอเรเตอร์ ระบบออสซิลเลเตอร์ที่มีพารามิเตอร์แบบกระจายที่อธิบายโดยสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย ตลอดจนการใช้วิธีการควบคุมที่เหมาะสมที่สุดของระบบการแกว่งตัวไม่เชิงเส้น งานทั่วไปหลักของ N. ถึง.: การค้นหาตำแหน่งสมดุลโหมดนิ่งโดยเฉพาะเป็นระยะ การเคลื่อนที่ การสั่นในตัวเอง และการศึกษาความเสถียร ปัญหาการซิงโครไนซ์และการทำให้เสถียรของ N. ถึง
ทางกายภาพทั้งหมด ระบบพูดอย่างเคร่งครัดไม่เชิงเส้น หนึ่งในคุณสมบัติที่โดดเด่นที่สุดของ N. ถึง คือการละเมิดหลักการซ้อนทับของการแกว่ง: ผลลัพธ์ของอิทธิพลแต่ละอย่างต่อหน้าที่อื่นจะแตกต่างจากการไม่มีอิทธิพลอื่น
ระบบกึ่งเชิงเส้น - ระบบ (1) ที่. วิธีการวิจัยหลักคือ วิธีพารามิเตอร์ขนาดเล็กประการแรก นี่คือวิธี Poincaré - Lindstedt ในการกำหนดวารสาร การแก้ปัญหาของกึ่ง ระบบเชิงเส้นวิเคราะห์ด้วยค่าพารามิเตอร์สำหรับค่าที่มีขนาดเล็กเพียงพอ ไม่ว่าจะอยู่ในรูปแบบของอนุกรมกำลัง (ดูบทที่ IX) หรือในรูปแบบของอนุกรมในกำลังและ 
- การเพิ่มค่าเริ่มต้นขององค์ประกอบเวกเตอร์ (ดูบทที่ III) อู๋ พัฒนาต่อไปสำหรับวิธีนี้ ดูเช่น -
วิธีพารามิเตอร์ขนาดเล็กอีกวิธีหนึ่งคือเมธอด ค่าเฉลี่ยในเวลาเดียวกัน วิธีการใหม่ ๆ ยังได้เจาะเข้าไปในการศึกษาระบบควอซิลิเนียร์: asymptotic วิธีการ (ดู) วิธีการของฟังก์ชั่น K (ดู) ตามผลลัพธ์พื้นฐานของ A.M. Lyapunov - N.G. Chetaev และอื่น ๆ
ระบบไม่เชิงเส้นโดยพื้นฐานแล้ว ซึ่งไม่มีพารามิเตอร์ขนาดเล็กที่กำหนดไว้ล่วงหน้า สำหรับระบบ Lyapunov
และท่ามกลางค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์นั้นไม่มีทวีคูณของรูท 
- วิเคราะห์ ฟังก์ชันเวกเตอร์ NS,การสลายตัวของฝูงเริ่มต้นด้วยเงื่อนไขอย่างน้อยลำดับที่สองและการวิเคราะห์รูปแบบพิเศษเกิดขึ้น A. M. Lyapunov (ดู§ 42) เสนอวิธีการค้นหาเป็นระยะ การแก้ปัญหาในรูปแบบของอนุกรมในยกกำลังของค่าคงที่โดยพลการ c (ซึ่งสามารถใช้ค่าเริ่มต้นของหนึ่งในสองตัวแปรวิกฤตได้)
สำหรับระบบที่ใกล้เคียงกับระบบ Lyapunov
โดยที่มีรูปแบบเดียวกับใน (2), - การวิเคราะห์ ฟังก์ชันเวกเตอร์ของพารามิเตอร์ขนาดเล็ก ต่อเนื่อง และ -คาบใน NS,ยังเสนอวิธีการกำหนดระยะ วิธีแก้ปัญหา (ดูบทที่ VIII) ระบบของ Lyapunov ประเภท (2) ซึ่งมีค่าลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์ด้วยตัวหารพื้นฐานอย่างง่ายสองค่าเป็นค่าลักษณะเฉพาะจินตภาพล้วนๆและไม่มีค่าลักษณะเฉพาะที่เป็นทวีคูณของ 
- เช่นเดียวกับใน (2) สามารถลดเป็นระบบ Lyapunov (ดู IV.2) N. ถึง ในระบบของ Lyapunov และในระบบที่เรียกว่า ระบบ Lyapunov ที่มีการหน่วงและยังแก้ปัญหาทั่วไปของการถ่ายโอนพลังงานในตัวพวกเขา (ดูบทที่ I, III, IV)
ให้สมการไม่เชิงเส้นโดยพื้นฐานแล้วลดรูปเป็นจอร์แดนของส่วนเชิงเส้น
โดยที่เวกเตอร์โดยสมมติฐานมีองค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์อย่างน้อยหนึ่งองค์ประกอบ มีค่าเท่ากับศูนย์หรือหนึ่งตามลำดับในกรณีที่ไม่มีหรือมีตัวหารพื้นฐานที่ไม่ธรรมดาของเมทริกซ์ของส่วนเชิงเส้นคือสัมประสิทธิ์ ค่าของเวกเตอร์ที่มีแอมป์ส่วนประกอบจำนวนเต็มมีดังนี้:
จากนั้นจะมีการแปลงเป็นมาตรฐาน:
นำ (3) ไปสู่รูปแบบปกติของสมการเชิงอนุพันธ์
และเช่นนั้นถ้า ดังนั้น (5) มีเพียงเท่านั้น กล่าวคือ สัมประสิทธิ์สามารถไม่เป็นศูนย์ได้เฉพาะกับสัมประสิทธิ์การสั่นพ้องเท่านั้น
ซึ่งมีบทบาทสำคัญในทฤษฎีการแกว่ง การบรรจบกันและความแตกต่างของการเปลี่ยนแปลงการทำให้เป็นมาตรฐาน (4) ได้รับการศึกษาแล้ว (ดูส่วนที่ 1 บทที่ II, III); การคำนวณสัมประสิทธิ์จะได้รับ (โดยสมมาตร) (ดู§ 5.3) ในปัญหาจำนวนหนึ่งเกี่ยวกับ N. ถึง ของระบบอิสระที่ไม่เป็นเชิงเส้นโดยพื้นฐานแล้ว มันกลับกลายเป็น วิธีที่มีประสิทธิภาพรูปแบบปกติ (ดูบทที่ VI-VIII)
จากวิธีการอื่นในการศึกษาระบบไม่เชิงเส้นโดยพื้นฐานแล้ว จะใช้วิธีการแมปจุด (ดู) สโตรโบสโคนิช วิธีการและการวิเคราะห์เชิงหน้าที่ วิธีการ
วิธีเชิงคุณภาพของ N. ถึง เริ่มแรกนี่คือการศึกษารูปแบบของเส้นโค้งปริพันธ์ของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญไม่เชิงเส้น ดำเนินการโดย A. Poincare (ดู N. Poincare ดู) สำหรับการใช้งานสำหรับ N. กับปัญหาที่อธิบายโดยระบบอิสระของลำดับที่สอง ดู มีการศึกษาคำถามเกี่ยวกับการมีอยู่ของวารสาร โซลูชันและความเสถียรในระบบขนาดใหญ่สำหรับระบบหลายมิติ พิจารณาสมการอนุพันธ์แบบคาบเกือบทั้งหมด การประยุกต์ทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์สามัญที่มีพารามิเตอร์เล็กน้อยที่อนุพันธ์บางอย่างกับปัญหาของสมการเชิงอนุพันธ์การผ่อนคลาย ดู V
ด้านที่สำคัญของน.และไฟ. ดูบทความ การรบกวน, ทฤษฎีการสั่น.
ไฟ: Poincaré A., คนโปรด ทำงานต่อ กับภาษาฝรั่งเศส t. 1, M. , 1971; Andronov A.A. , Vitt A.A. , Khaikin S.E. , Theory of oscillations, 2nd ed., Moscow, 1959; Bulgakov B.V. , Oscillations, M. , 1954; Malkin I.G. ปัญหาบางอย่างของทฤษฎีการสั่นไม่เชิงเส้น, มอสโก, 1956: Bogolyubov N.N. , Izbr. ผลงาน เล่ม 1, K., 1969; [b] Bogolyubov NN, Mitropol'skiy Yu. A. , วิธี Asymptotic ในทฤษฎีของการแกว่งแบบไม่เชิงเส้น, 4th ed., M-, 1974; Kamenkov G.V. , Fav. ผลงาน, ข้อ 1-2, ม., 1971-72; Lyapunov A.M. , Sobr. cit., t. 2, M. - L., 195V, p. 7-263; Starzhinsky VM, วิธีการประยุกต์ของการแกว่งแบบไม่เชิงเส้น, M. , 1977; Bryuno AD, "Trudy Mosk. Matem. Ob-va", 1971, v. 25, p. 119-262; 2515 ฉบับที่ 26 น. 199-239; Neimark Yu. I. , วิธีการของการแมปจุดในทฤษฎีของการแกว่งไม่เชิงเส้น, M. , 1972; Minorsky N., กลศาสตร์ไม่เชิงเส้นเบื้องต้น, Ann Arbor, 1947; Krasnoselsky MA, Burd V. Sh. , Kolesov Yu. S, การสั่นแบบไม่เชิงเส้นเกือบเป็นระยะ, M. , 1970; A. Poincaré บนเส้นโค้งที่กำหนดโดยสมการเชิงอนุพันธ์ ทรานส์ จากภาษาฝรั่งเศส, M. -L. , 1947; Butenin NV, Neimark Yu. I. , Fufaev NA, ทฤษฎีการแกว่งแบบไม่เชิงเส้นเบื้องต้น, M. , 1976; Plise V.A., ปัญหาที่ไม่ใช่ท้องถิ่นของทฤษฎีการสั่น, M. -L. , 1964; Mishchenko E.F. , Rozov N.Kh. สมการเชิงอนุพันธ์ที่มีพารามิเตอร์ขนาดเล็กและการสั่นของการผ่อนคลาย มอสโก 1975
VM Starzhinsky
สารานุกรมคณิตศาสตร์. - ม.: สารานุกรมโซเวียต... ไอ.เอ็ม.วิโนกราดอฟ 2520-2528.
ดูว่า "NON-LINEAR VIBRATIONS" ในพจนานุกรมอื่นๆ คืออะไร:
การสั่นสะเทือนไม่เชิงเส้น- - [Ya.N. Luginsky, M.S.Fezi Zhilinskaya, Y.S.Kabirov. The English Russian Dictionary of Electrical Engineering and Electric Power Engineering, Moscow, 1999] วิชาวิศวกรรมไฟฟ้า, แนวคิดพื้นฐาน EN การแกว่งแบบไม่เชิงเส้น ... คู่มือนักแปลทางเทคนิค
การสั่นสะเทือนไม่เชิงเส้น- netiesiniai virpesiai statusas T sritis fizika atitikmenys: แองเกิล การสั่นที่ไม่ใช่เชิงเส้น vok การสั่นสะเทือนที่ไม่ใช่เชิงเส้น nichtlineare Schwingungen, f rus. การแกว่งไม่เชิงเส้น n pranc oscillations ไม่ใช่ linéaires, f ... Fizikos terminų žodynas
คำที่บางครั้งใช้เพื่ออ้างถึงการแกว่งในระบบไม่เชิงเส้น (ดู ระบบไม่เชิงเส้น) ... สารานุกรมแห่งสหภาพโซเวียตผู้ยิ่งใหญ่
การสั่นแบบไม่เชิงเส้นความเชี่ยวชาญเฉพาะด้านการสั่นสะเทือนแบบไม่เชิงเส้น ... Wikipedia
กระบวนการในการเขย่า และระบบคลื่นที่ไม่เป็นไปตามหลักการทับซ้อน โดยทั่วไปแล้ว การสั่นสะเทือนหรือคลื่นที่ไม่เป็นเชิงเส้นจะมีปฏิสัมพันธ์ซึ่งกันและกัน และลักษณะเฉพาะ (ความถี่ โหมดการสั่นสะเทือน ความเร็วในการแพร่กระจาย ประเภทโปรไฟล์ ... ... สารานุกรมทางกายภาพ
ระบบสั่น sv va ถึง rykh ขึ้นอยู่กับกระบวนการที่เกิดขึ้น การสั่นของระบบดังกล่าวอธิบายโดยสมการไม่เชิงเส้น ปรากฏการณ์ไม่เชิงเส้น: กลศาสตร์. ระบบที่โมดูลัสความยืดหยุ่นของร่างกายขึ้นอยู่กับความผิดปกติของหลังหรือ coeff แรงเสียดทาน ...... สารานุกรมทางกายภาพ
ผลกระทบที่ไม่ใช่เชิงเส้นสามารถแสดงออกได้หลายวิธี ตัวอย่างคลาสสิกคือสปริงไม่เชิงเส้นซึ่งแรงคืนตัวไม่ขึ้นกับความตึงเครียดเชิงเส้น ในกรณีของความไม่เชิงเส้นสมมาตร (การตอบสนองเดียวกันภายใต้การบีบอัดและความตึงเครียด) สมการของการเคลื่อนที่จะอยู่ในรูป
หากไม่มีการลดทอนและมีวิธีแก้ปัญหาเป็นระยะที่ at ความถี่ธรรมชาติจะเพิ่มขึ้นตามแอมพลิจูด
ข้าว. 1.7. เส้นโค้งเรโซแนนซ์แบบคลาสสิกของออสซิลเลเตอร์ไม่เชิงเส้นที่มีสปริงแข็ง ในกรณีที่การแกว่งเป็นคาบและมีคาบเดียวกับแรงขับเคลื่อน (a และถูกกำหนดในสมการ (1.2.4))
แบบจำลองนี้มักเรียกว่าสมการดัฟฟ์ ตามชื่อนักคณิตศาสตร์ที่ศึกษามัน
หากแรงเป็นคาบส่งผลต่อระบบ ดังนั้นในทฤษฎีคลาสสิกเชื่อกันว่าการตอบสนองจะเป็นคาบด้วย การสั่นพ้องของสปริงไม่เชิงเส้นที่ความถี่ตอบสนองที่ตรงกับความถี่ของแรงดังแสดงในรูปที่ 1.7. ดังแสดงในรูปนี้ ด้วยแอมพลิจูดของแรงขับเคลื่อนคงที่ จะมีช่วงความถี่ในการขับขี่ซึ่งแอมพลิจูดการตอบสนองที่แตกต่างกันสามแบบเป็นไปได้ แสดงว่าเส้นประในรูป 1.7 ไม่เสถียร และฮิสเทรีซิสเกิดขึ้นเมื่อความถี่เพิ่มขึ้นและลดลง ปรากฏการณ์นี้เรียกว่า โอเวอร์ชูต และเคยพบเห็นในการทดลองกับระบบเครื่องกลและระบบไฟฟ้าหลายระบบ
มีวิธีแก้ปัญหาเป็นระยะอื่นๆ เช่น การสั่นของ subharmonic และ superharmonic หากแรงขับเคลื่อนมีรูปแบบ การสั่นของ subharmonic สามารถมีรูปแบบบวกกับฮาร์โมนิกที่สูงกว่า (- จำนวนเต็ม) ดังที่เราจะเห็นด้านล่าง ซับฮาร์โมนิกมีบทบาทสำคัญในการสั่นก่อนเกิดความโกลาหล
ทฤษฎีการสั่นพ้องแบบไม่เชิงเส้นมีพื้นฐานอยู่บนสมมติฐานที่ว่าการกระทำเป็นระยะทำให้เกิดการตอบสนองเป็นระยะ อย่างไรก็ตาม สมมติฐานนี้ถูกท้าทายโดยทฤษฎีใหม่ของความผันผวนที่วุ่นวาย
การสั่นที่เกิดจากความตื่นเต้นในตัวเองเป็นปรากฏการณ์ที่ไม่เชิงเส้นที่สำคัญอีกประเภทหนึ่ง สิ่งเหล่านี้คือการเคลื่อนที่แบบสั่นที่เกิดขึ้นในระบบโดยไม่มีอิทธิพลภายนอกเป็นระยะหรือแรงเป็นระยะ ในรูป 1.8 แสดงตัวอย่างบางส่วน
ข้าว. 1.8. ตัวอย่างของการสั่นแบบกระตุ้นตัวเอง: a - การเสียดสีแบบแห้งระหว่างมวลกับเฟรมที่กำลังเคลื่อนที่ b - แรงแอโรอีลาสติกที่กระทำบนปีกบาง c - ความต้านทานเชิงลบในวงจรที่มีองค์ประกอบที่ใช้งานอยู่
ในตัวอย่างแรก การสั่นสะเทือนเกิดจากแรงเสียดทานที่เกิดจากการเคลื่อนที่สัมพัทธ์ของมวลและสายพานที่เคลื่อนที่ ตัวอย่างที่สองแสดงให้เห็นถึงการสั่นสะเทือนแบบแอโรอีลาสติกทั้งคลาส ซึ่งการสั่นสะเทือนแบบอยู่กับที่นั้นเกิดจากการไหลของของไหลที่อยู่นิ่งที่อยู่ด้านหลังตัวถังที่แข็งบนระบบกันสะเทือนแบบยืดหยุ่น ในตัวอย่างคลาสสิกจากสนามไฟฟ้าดังแสดงในรูปที่ 1.9 และตรวจสอบโดย Van der Pol มีหลอดอิเล็กทรอนิกส์รวมอยู่ในวงจร
ในตัวอย่างนี้ทั้งหมด ระบบประกอบด้วยแหล่งพลังงานที่อยู่กับที่และแหล่งของการกระจายตัว หรือกลไกการทำให้หมาด ๆ แบบไม่เชิงเส้น ในกรณีของออสซิลเลเตอร์ Van der Pol แหล่งพลังงานคือแรงดันคงที่
ข้าว. 1.9. แผนภาพของวงจรที่มีหลอดสุญญากาศ ซึ่งเกิดการสั่นที่วงจรลิมิตประเภทเดียวกับที่แวน เดอร์ ปอล ตรวจสอบ
แหล่งพลังงานเข้าสู่แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของวงจรนี้ในรูปของความต้านทานเชิงลบ:
พลังงานสามารถเข้าสู่ระบบได้ที่แอมพลิจูดต่ำ แต่เมื่อแอมพลิจูดเพิ่มขึ้น การเติบโตจะถูกจำกัดด้วยการหน่วงแบบไม่เชิงเส้น
ในกรณีของลูกตุ้ม Froude (ดูตัวอย่าง) พลังงานจะถูกจ่ายโดยการหมุนแกนคงที่ สำหรับการสั่นสะเทือนขนาดเล็ก แรงเสียดทานไม่เชิงเส้นมีบทบาทในการหน่วงเชิงลบ ในขณะเดียวกัน สำหรับแรงสั่นสะเทือนแรง แอมพลิจูดของการสั่นสะเทือนจะถูกจำกัดด้วยระยะที่ไม่เชิงเส้น
การเคลื่อนที่แบบสั่นของระบบดังกล่าวมักเรียกว่าวงจรจำกัด ในรูป 1.10 แสดงวิถีโคจรของออสซิลเลเตอร์ Van der Pol บนระนาบเฟส การแกว่งเล็ก ๆ คลี่คลายเป็นเกลียวโดยเข้าใกล้วิถีโคจรแบบปิดและการเคลื่อนที่ของแอมพลิจูดขนาดใหญ่หดตัวเป็นเกลียวจนถึงรอบขีด จำกัด เดียวกัน (ดูรูปที่ 1.10 และ 1.11 โดยที่)
เมื่อตรวจสอบปัญหาดังกล่าวมักมีคำถามสองข้อ แอมพลิจูดและความถี่ของการแกว่งที่รอบจำกัดคือเท่าใด ค่าของพารามิเตอร์ใดที่มีรอบขีด จำกัด ที่เสถียร?
ข้าว. 1.10. โซลูชันที่มีวงจรจำกัดสำหรับออสซิลเลเตอร์ Van der Pol ที่แสดงบนระนาบเฟส
ข้าว. 1.11. การสั่นของการผ่อนคลายของ Van der Pol oscillator
ในกรณีของสมการแวนเดอร์โพลจะสะดวกที่จะทำให้ตัวแปรเชิงพื้นที่เป็นมาตรฐานและเวลาเป็นมาตรฐานเพื่อให้สมการอยู่ในรูป
ที่ไหน . สำหรับขนาดเล็ก รอบขีดจำกัดคือวงกลมรัศมี 2 บนระนาบเฟส กล่าวคือ
โดยที่หมายถึงฮาร์โมนิกของคำสั่งที่สามและสูงกว่า โดยรวมแล้ว การเคลื่อนไหวจะอยู่ในรูปแบบของการสั่นคลายที่แสดงไว้ในรูปที่ 1.11 โดยมีคาบไร้มิติประมาณ 1.61 at
ปัญหาที่ยากขึ้นกับแรงเป็นระยะในระบบ van der Pol:
เนื่องจากระบบนี้ไม่เป็นเชิงเส้น หลักการซ้อนทับของการแกว่งแบบอิสระและแบบบังคับจึงไม่สามารถใช้ได้ ในทางกลับกัน การเคลื่อนที่เป็นระยะที่เกิดจะถูกจับที่ความถี่ในการขับขี่เมื่อการเคลื่อนไหวหลังใกล้กับความถี่ของรอบจำกัด ด้วยอิทธิพลภายนอกที่อ่อนแอ มีวิธีแก้ปัญหาเป็นระยะสามวิธี แต่มีเพียงหนึ่งวิธีเท่านั้นที่มีเสถียรภาพ (รูปที่ 1.12) สำหรับค่าแอมพลิจูดของแรงที่มีค่ามาก มีทางเดียวเท่านั้น ไม่ว่าในกรณีใด ด้วยการปรับจูนที่เพิ่มขึ้น ที่คงที่ สารละลายเป็นระยะที่จับได้กลับไม่เสถียรและการเคลื่อนไหวประเภทอื่นๆ เป็นไปได้
ข้าว. 1.12. เส้นโค้งแอมพลิจูดสำหรับการเคลื่อนที่แบบบังคับของออสซิลเลเตอร์ Van der Pol (1.2.9)
ด้วยความแตกต่างอย่างมากระหว่างการขับรถและความถี่ธรรมชาติ ปรากฏการณ์ใหม่จึงปรากฏขึ้นในระบบ Van der Pol - การสั่นแบบผสมผสาน ซึ่งบางครั้งเรียกว่าวิธีแก้ปัญหาแบบคาบหรือกึ่งคาบ การแกว่งของรามันมีรูปแบบ
เมื่อความถี่และไม่สามารถเทียบเคียงได้คือ - จำนวนอตรรกยะสารละลายนี้เรียกว่า quasiperiodic สำหรับสมการ Van der Pol ความถี่ของรอบจำกัดของการแกว่งอิสระอยู่ที่ใด (ดูตัวอย่าง)
การสั่นสะเทือนแบบไม่เชิงเส้น
ความไม่เป็นเชิงเส้นของกระบวนการ รวมถึงการสั่น แสดงทางคณิตศาสตร์ในความไม่เชิงเส้นของสมการการเคลื่อนที่ที่สอดคล้องกัน จากมุมมองของฟิสิกส์ ความไม่เชิงเส้นของการแกว่งนั้นมีลักษณะเฉพาะโดยคุณสมบัติสองประการที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิง: ความไม่สอดคล้องกันและการไม่มีไอโซโครนิซึม ภายใต้ ความสามัคคีเข้าใจการมีอยู่ของสเปกตรัมของการสั่นของความถี่ที่เป็นทวีคูณของหลัก - ฮาร์โมนิกฟูริเยร์,หรือ หวือหวา ไม่ใช่ไอโซโครนัสการสั่นสะเทือนเรียกว่าความถี่ (ฮาร์โมนิกพื้นฐานและฮาร์โมนิกที่สูงขึ้น) ซึ่งขึ้นอยู่กับแอมพลิจูดหรือพลังงานของการสั่นสะเทือน
ตัวอย่างคลาสสิกของการสั่นแบบไม่เชิงเส้นคือการปฏิวัติของดาวเคราะห์รอบดวงอาทิตย์ ซึ่งเป็นปัญหาที่เกิดขึ้นกับวิธีแก้ปัญหาซึ่งเริ่มใช้กลศาสตร์และฟิสิกส์สมัยใหม่ ตามกฎข้อที่สามของเคปเลอร์ ความถี่ของการหมุนของดาวเคราะห์รอบดวงอาทิตย์ถูกกำหนดโดยพลังงานทั้งหมด:
w = │ อี│ 3/2 .
โดยทั่วไปแล้ว non-isochronism จะไม่เกี่ยวข้องกับความไม่สมดุลย์ ดังนั้น อนุภาคที่มีประจุจะเคลื่อนที่เป็นวงโคจรเป็นวงกลมในสนามแม่เหล็กคงที่ซึ่งมีความเร็วใกล้เคียงกับความเร็วแสง สั่นอย่างกลมกลืน และความถี่ของการปฏิวัติแปรผกผันกับพลังงาน
ออสซิลเลเตอร์ไม่เชิงเส้น
ออสซิลเลเตอร์เชิงเส้น (ในกรณีที่ไม่มีการหน่วง - ฮาร์มอนิก) เป็นแบบจำลองพื้นฐานของทฤษฎีเชิงเส้นของการแกว่ง สมการการเคลื่อนที่ของเขา (ตามกฎข้อที่สองของนิวตัน):
ที่ไหน NS- ค่า การสั่นที่แบบจำลองอธิบาย (แอมพลิจูดของการกระจัดของลูกตุ้ม กระแสหรือแรงดันในวงจรออสซิลเลชัน ขนาดของประชากร ฯลฯ) - "ความเร่ง"
ออสซิลเลเตอร์ไม่เชิงเส้นคือแบบจำลองพื้นฐานของทฤษฎีการแกว่งแบบไม่เชิงเส้น สมการการเคลื่อนที่ของมันคือ:
ที่ไหน NS(.NS) เป็นฟังก์ชันไม่เชิงเส้นที่มีอย่างน้อยหนึ่งฟังก์ชันไม่เชิงเส้น (ไม่ใช่ระดับแรกใน NS) สมาชิก. พลังงานทั้งหมดของระบบไม่ขึ้นอยู่กับเวลา กล่าวคือ ระบบ ซึ่งอนุรักษ์นิยม.
การสั่นแบบ nonisochronous ทำได้โดยอนุภาคในหลุมที่มีศักย์ราบเรียบ - กล่องที่มีกำแพงสูงไม่มีที่สิ้นสุด:
ยู (x)= 0 สำหรับ - l/ 2<х< l/ 2; ยู (NS)= ¥ สำหรับ NS£ - l/ 2, NS>l/ 2.
อนุภาคเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ภายในกล่อง และสะท้อนกลับอย่างยืดหยุ่นทันทีที่ขอบเขต พลังงานจลน์ของเธอ อีเค =mv 2/2 คือ ความเร็ว วี= Ö (2E ถึง /NS) ขึ้นอยู่กับพลังงาน ระยะเวลาการสั่นของอนุภาคแสดงโดยสูตร
จากสูตร (3) จะเห็นได้ว่าระยะเวลาของการแกว่งจะลดลงตามพลังงานที่เพิ่มขึ้น (สำหรับระบบอื่น ๆ ก็สามารถเพิ่มขึ้นได้)
กฎการอนุรักษ์พลังงาน อีออสซิลเลเตอร์ (ระบบไม่เชิงเส้นเชิงอนุรักษ์) มีรูปแบบ
ภาพเชิงคุณภาพที่สมบูรณ์ของการเคลื่อนที่ของออสซิลเลเตอร์ไม่เชิงเส้นนั้นกำหนดโดยเฟสของเฟส จากกฎการอนุรักษ์พลังงานสามารถอนุมานได้ว่า
ลีโอนิด อิซาโควิช มานเดลชตัม
แม้แต่รายชื่อที่ไม่สมบูรณ์ของการค้นพบและงานพื้นฐานของนักวิชาการ Leonid Isaakovich Mandelstam (1879-1944) ก็มีความโดดเด่นในด้านความหลากหลาย: รามันและการกระจายแสงที่ผันผวน ทฤษฎีกล้องจุลทรรศน์ การสั่นแบบไม่เชิงเส้นและวิศวกรรมวิทยุ ทฤษฎีเรโซแนนซ์ พิกัดคลื่นวิทยุ รูปแบบใหม่ของ เครื่องกำเนิดคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า - เครื่องพาราเมตริก ความพิเศษที่ไม่ต้องพูดถึงความเจ็บปวดและความเข้มงวดของ LI Mandelstam ต่อผลงานไม่อนุญาตให้รวมการค้นพบอื่น ๆ ที่สำคัญไม่น้อยในรายการนี้เช่นการค้นพบทดลองในปี 2455 (หลายปีก่อนคลาสสิก การทดลองของ Stuart และ Tolman) ความเฉื่อยของอิเล็กตรอนในโลหะ
แต่เบื้องหลังความสำเร็จอันหลากหลายที่น่าประทับใจและความสนใจอย่างกว้างๆ ในงานทางวิทยาศาสตร์ของ Mandelstam ประเด็นหลักได้รับการติดตามอย่างชัดเจน - ทฤษฎีการแกว่ง หลังจากทำความคุ้นเคยกับพื้นที่นี้เป็นครั้งแรกผ่าน "ทฤษฎีเสียง" สองเล่มโดยลอร์ดเรย์ลีห์ Mandelstam รู้สึกตื้นตันใจกับความงามของความคิดของเธอและหันไปใช้ "ความช่วยเหลือแบบสั่น" ซ้ำแล้วซ้ำอีกซึ่งทำให้เขาสามารถค้นหาความคล้ายคลึงกันระหว่างผลลัพธ์จากสาขาต่างๆ ของฟิสิกส์
Mandelstam ได้รวบรวมนักทฤษฎีและนักทดลอง นักวิจัย และผู้บรรยายที่หายาก เขากล่าวว่ามีความเข้าใจในประเภทแรกเมื่ออ่านและเข้าใจทุกอย่างที่เขียนพวกเขาสามารถได้รับสูตรใด ๆ แต่ยังไม่สามารถตอบคำถามใด ๆ ได้อย่างอิสระจากสิ่งที่พวกเขาอ่านและความเข้าใจในประเภทที่สอง เมื่อภาพรวมความเชื่อมโยงของความคิดปรากฏการณ์ต่างๆ ชัดเจน ... นักคิดที่ลึกซึ้งและละเอียดอ่อน Mandelstam บรรลุความเข้าใจในประเภทที่สองของฟิสิกส์ทั้งหมด และแบ่งปันความรู้ของเขากับนักเรียนจำนวนมากอย่างไม่เห็นแก่ตัว (ในหมู่พวกเขา A.A. Andronov, A.A.Witt, G. S. Gorelik, G. S. Landsberg, M. A. Leontovich, VV Migulin, SM Rytov, SP Strelkov, IE Tamm, SE Khaikin, SP Shubin และอื่น ๆ ) และนักเรียน
Mandelstam เกิดที่ Mogilev ในครอบครัวที่มอบนักวิทยาศาสตร์ แพทย์ และนักเขียนให้กับโลก ในไม่ช้าครอบครัวก็ย้ายไปโอเดสซา จนกระทั่งอายุ 12 เด็กชายเรียนที่บ้านจากนั้นก็ไปที่โรงยิมซึ่งเขาสำเร็จการศึกษาด้วยเหรียญทอง ใน 1,897 เขาป้อนภาควิชาคณิตศาสตร์ของคณะฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ของมหาวิทยาลัย Novorossiysk (ในโอเดสซา). สองปีต่อมา เนื่องจากความไม่สงบของนักศึกษา ชายหนุ่มจึงถูกไล่ออกจากมหาวิทยาลัย ตามคำแนะนำของพ่อแม่ Mandelstam ออกจาก Strasbourg ซึ่งเป็นหนึ่งในศูนย์การวิจัยทางกายภาพที่เขาศึกษาต่อ ในเวลานั้น University of Strasbourg สอนนักคณิตศาสตร์ Heinrich Weber (นักเรียนของ Riemann และผู้แต่งหลักสูตรคลาสสิก "Differential Equations of Mathematical Physics") นักฟิสิกส์ Ferdinand Braun (ผู้อำนวยการสถาบันฟิสิกส์พร้อมกัน) ภาควิชาฟิสิกส์เชิงทฤษฎี นำโดย Emil Cohn (ผู้แต่งผลงานที่มีชื่อเสียง "Electromagnetic Field")
กระทรวงศึกษาธิการแห่งสาธารณรัฐเบลารุส
สถาบันการศึกษา
เบรสต์สกี้ มหาวิทยาลัยของรัฐตั้งชื่อตาม A.S. พุชกิน
คณะฟิสิกส์
ภาควิชาฟิสิกส์วิธีการสอนและ OTD
หลักสูตรการทำงาน
การสั่นสะเทือนแบบไม่เชิงเส้นและการซิงโครไนซ์ของการสั่นสะเทือน
เสร็จสิ้นโดยนักศึกษากลุ่ม FI-51
Pashkevich A.Ya.
หัวหน้างาน:
ปริญญาเอก ด., รองศาสตราจารย์ วรสิน. N.N.
Brest, 2012
บทนำ
1.1 การสั่นสะเทือนเชิงเส้นเมื่อมีแรงภายนอกที่กำหนดขึ้นได้
2. การสั่นสะเทือนฟรีของระบบอนุรักษ์นิยมด้วยแรงฟื้นฟูแบบไม่เชิงเส้น
2.1 การสั่นที่ไม่เป็นเชิงเส้นของระบบที่มีแรงสั่นสะเทือนและการฟื้นฟูแบบไม่เชิงเส้น
2.2 หลากหลายชนิดคุณสมบัติ0
3. การสั่นอย่างต่อเนื่องและผ่อนคลาย
3.1 การวิเคราะห์เชิงคุณภาพของสมการแวนเดอร์พอล
3.2 การสั่นแบบไม่เชิงเส้นคู่ ตัวรับการกำเนิดใหม่แบบล็อกเฟส และหลักการซิงโครไนซ์
3.3 สมการพื้นฐาน
3.4 การสั่นที่การดีจูนขนาดใหญ่
3.5 การแกว่งรวมของแอมพลิจูดคงที่
3.6 ปัญหาทางไฟฟ้าที่นำไปสู่สมการของเนินเขา
บทสรุป
บรรณานุกรม
บทนำ
ไม่มีอะไรน่าประหลาดใจนักที่นักฟิสิกส์ควรจะสามารถหาวิธีแก้ไขปัญหาที่ไม่เชิงเส้นได้ เนื่องจากปรากฏการณ์มากมายที่เกิดขึ้นในโลกรอบตัวเขานั้นถูกควบคุมโดยการพึ่งพาที่ไม่เชิงเส้น ในกระบวนการของการพัฒนาวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ ความยากของการวิเคราะห์แบบไม่เชิงเส้นได้รบกวนการกำหนดแนวคิดของการเคลื่อนที่แบบไม่เชิงเส้น ซึ่งจะทำให้เข้าใจปรากฏการณ์ดังกล่าวได้ลึกซึ้งยิ่งขึ้น
หากคุณมองย้อนกลับไปที่ประวัติความสำเร็จของวิทยาศาสตร์ ความพยายามหลักของนักวิจัยมุ่งเน้นไปที่การศึกษาระบบเชิงเส้นตรงและแนวคิดเชิงเส้นเท่านั้น หากมองดูโลกรอบตัวเราพร้อมๆ กัน แท้จริงแล้วในทุกขั้นตอน คุณเจอปรากฏการณ์ที่ไม่เป็นเชิงเส้นในธรรมชาติ การแสดงแทนเชิงเส้นให้ความเข้าใจเพียงผิวเผินของสิ่งที่พบในธรรมชาติ เพื่อให้การวิเคราะห์มีความสมจริงมากขึ้น จำเป็นต้องทำให้สำเร็จมากขึ้น ระดับสูงและเข้าใจง่ายขึ้นและใช้การแทนแบบไม่เป็นเชิงเส้น
ต่อ ปีที่แล้ววิธีการวิเคราะห์ด้วยคอมพิวเตอร์ได้รับการพัฒนา และในหลายกรณี เชื่อว่าวิธีแก้ปัญหาที่ได้รับสามารถช่วยให้เข้าใจอาการของความไม่เป็นเชิงเส้นได้ดีขึ้น โดยทั่วไปแล้ว พบว่าการแจงนับคำตอบเชิงตัวเลขอย่างง่าย ๆ ทำให้เกิดความเข้าใจในกระบวนการไม่เชิงเส้นเพียงเล็กน้อยเท่านั้น มากกว่าตัวอย่างเช่น การสังเกตธรรมชาติเอง การ "บด" วิธีแก้ปัญหาสำหรับปัญหาไม่เชิงเส้นที่เฉพาะเจาะจงเช่นสภาพอากาศ ดูเหมือนว่าความเข้าใจของเราไม่ได้ขึ้นอยู่กับสมการหรือวิธีแก้ปัญหา แต่อยู่บนแนวคิดพื้นฐานและเรียนรู้มาอย่างดี โดยปกติ เราเข้าใจสิ่งแวดล้อมก็ต่อเมื่อเราสามารถอธิบายสภาพแวดล้อมได้ในแง่ของแนวคิดที่ง่ายจนสามารถหลอมรวมได้ดี และกว้างมากจนเราสามารถดำเนินการกับสิ่งแวดล้อมได้โดยไม่อ้างอิงถึงสถานการณ์เฉพาะ รายการของแนวคิดดังกล่าวมีมากมายและรวมถึง ตัวอย่างเช่น คำต่างๆ เช่น เสียงสะท้อน, ฮิสเทรีซิส, คลื่น, ป้อนกลับ, ชั้นขอบเขต, ความปั่นป่วน, คลื่นกระแทก, การเสียรูป, ด้านสภาพอากาศ, ภูมิคุ้มกัน, เงินเฟ้อ, ความหดหู่ใจ ฯลฯ ส่วนใหญ่มีประโยชน์มากที่สุด กระบวนการต่างๆ ไม่เป็นเชิงเส้นในธรรมชาติ และการที่เราไม่สามารถอธิบายในทางคณิตศาสตร์ได้อย่างแม่นยำ เช่น ปรากฏการณ์ในชีวิตประจำวัน เช่น การไหลของน้ำในรางน้ำหรือควันบุหรี่ที่หมุนวน ส่วนหนึ่งเนื่องมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าก่อนหน้านี้เราไม่ต้องการดื่มด่ำกับคณิตศาสตร์ไม่เชิงเส้น และเข้าใจมัน
ปรากฏการณ์ของการกำทอนดังที่คุณทราบมักพบในสิ่งมีชีวิต ตาม Wiener Szent-Gyorgyi ได้แนะนำความสำคัญของการสะท้อนสำหรับการสร้างกล้ามเนื้อ ปรากฎว่าสารที่มีคุณสมบัติสะท้อนแรงมักมีความสามารถพิเศษในการเก็บพลังงานและข้อมูล และการสะสมนี้จะเกิดขึ้นในกล้ามเนื้ออย่างไม่ต้องสงสัย
การสั่นแบบไม่เชิงเส้น การสุ่มแบบไม่เชิงเส้นและการสั่นที่ไม่ใช่เชิงเส้นแบบคู่ (เฟสล็อก) เป็นสาระสำคัญของปรากฏการณ์ในหลาย ๆ ด้านของวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี เช่น การสื่อสารและพลังงาน กระบวนการเป็นจังหวะเกิดขึ้นในระบบชีวภาพและสรีรวิทยา นักชีวฟิสิกส์ นักอุตุนิยมวิทยา นักธรณีฟิสิกส์ นักฟิสิกส์ปรมาณู นักแผ่นดินไหววิทยา - พวกเขาทั้งหมดจัดการกับการสั่นแบบไม่เชิงเส้น ซึ่งมักจะอยู่ในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่ง ซิงโครไนซ์เป็นเฟส ตัวอย่างเช่น วิศวกรพลังงานจัดการกับปัญหาความเสถียรของเครื่องซิงโครนัส วิศวกรสื่อสารจัดการกับความไม่แน่นอนของการเลือกเวลาหรือการซิงโครไนซ์ นักสรีรวิทยาจัดการกับโคลนัส นักประสาทวิทยาเกี่ยวกับ ataxia นักอุตุนิยมวิทยาจัดการกับความถี่ของความดันบรรยากาศ ผันผวน แพทย์โรคหัวใจ เกี่ยวข้องกับการสั่นที่เกิดจากการทำงานของหัวใจ นักชีววิทยา - ด้วยความผันผวนอันเนื่องมาจากนาฬิกาชีวภาพ
เป้าหมายหลัก วิทยานิพนธ์- เพื่อพิจารณาปัญหาจำนวนหนึ่งในทฤษฎีของการแกว่งแบบไม่เชิงเส้นที่เกี่ยวข้องกับแนวคิดพื้นฐานเช่นการจับ (หรือการซิงโครไนซ์) การติดตาม การแยกส่วน ระบบการสื่อสารแบบเฟสที่สอดคล้องกัน จะพยายามให้ภาพรวมของปัญหาที่ไม่เป็นเชิงเส้นซึ่งเป็นประโยชน์ในทางปฏิบัติ ซึ่งวิธีแก้ปัญหานั้นเขียนไว้ในแบบฟอร์มที่เข้าถึงได้ การตรวจสอบไม่ได้ละเอียดถี่ถ้วน แต่มีตัวอย่างปัญหาที่แสดงแนวคิดพื้นฐานที่จำเป็นในการทำความเข้าใจคุณสมบัติไม่เชิงเส้นของระบบล็อกเฟส คำถามเกี่ยวกับการดำรงอยู่และเอกลักษณ์ของการแก้ปัญหานั้นสัมผัสได้เพียงผิวเผินเท่านั้น เน้นไปที่วิธีการหาแนวทางแก้ไข
เนื้อหาที่ตรวจสอบแล้วสามารถจัดกลุ่มได้เป็นสามหัวข้อหลัก หัวข้อแรกประกอบด้วยการนำเสนอผลลัพธ์ของทฤษฎีการสั่นเชิงเส้นในระบบที่มีระดับความเป็นอิสระและพารามิเตอร์คงที่หนึ่งระดับ วัสดุนี้ใช้เป็นข้อมูลอ้างอิงและเพื่อเปรียบเทียบกับผลลัพธ์ที่ได้จากทฤษฎีการแกว่งแบบไม่เชิงเส้น หัวข้อที่สองมีไว้สำหรับระบบที่ไม่เป็นเชิงเส้นที่รวมเข้าด้วยกันอย่างง่ายดายซึ่งไม่ถูกกระทำโดยกองกำลังที่ขึ้นกับเวลาจากภายนอก ที่นี่โดยใช้อุปกรณ์ของระนาบเฟสจะมีการศึกษารายละเอียดการสั่นอิสระของระบบไม่เชิงเส้น จะได้รับ สรุปทฤษฎีจุดเอกพจน์ของ Poincaré ของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง ประโยชน์ของแนวคิดเรื่องจุดเอกพจน์แสดงให้เห็นโดยการแก้ปัญหาทางกายภาพจำนวนหนึ่ง สุดท้าย หัวข้อที่สามครอบคลุมถึงการบังคับ แบบค้ำจุนตนเอง (แบบค้ำจุนตนเอง) และการสั่นแบบไม่เชิงเส้นเพื่อการผ่อนคลาย โดยเฉพาะอย่างยิ่ง จะมีการหารือเกี่ยวกับการประยุกต์ใช้ทฤษฎีของ Van der Pol ในการซิงโครไนซ์และติดตามปัญหา และบทจะเสร็จสมบูรณ์โดยพิจารณาจากสมการของ Hill
1. การสั่นสะเทือนอิสระในระบบเชิงเส้น
ดูเหมือนว่ามีประโยชน์และน่าสนใจที่จะสรุปคุณสมบัติหลักของการสั่นเชิงเส้น มีเหตุผลหลายประการในการทำเช่นนี้ งานพื้นฐานอย่างหนึ่งของเราคือการเปรียบเทียบวิธีการเชิงเส้นและไม่เป็นเชิงเส้นสำหรับการศึกษาการแกว่ง นอกจากนี้ แนวปฏิบัติได้พัฒนาเพื่อประยุกต์ใช้คำศัพท์ที่ใช้ในปัญหาเชิงเส้นและปัญหาไม่เชิงเส้นเท่าที่เป็นไปได้ สุดท้าย ควรมีการสรุปแนวคิดพื้นฐานและสูตรของทฤษฎีเชิงเส้นเพื่อให้ง่ายต่อการอ้างอิง
บางทีตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของปัญหาการสั่นเชิงเส้นอาจมาจากวงจรไฟฟ้าอย่างง่ายซึ่งประกอบด้วยตัวเหนี่ยวนำที่เชื่อมต่อแบบอนุกรมกับตัวเก็บประจุและตัวต้านทาน (รูปที่ 1) อะนาล็อกเชิงกลที่แสดงในรูปที่ 1 ประกอบด้วยวัตถุที่มีมวลติดอยู่กับสปริงซึ่งพัฒนาแรง (เรียกว่าแรงฟื้นฟู) ตามสัดส่วนกับการกระจัดของร่างกาย สำหรับระบบไฟฟ้านี้ โดยใช้กฎของ Kirchhoff เรามี
หากสมมุติว่าวัตถุในระบบกลไกเคลื่อนที่ในตัวกลางที่ออกแรงต้านตามสัดส่วนของความเร็ว (แรงเสียดทานหนืด) สมการการเคลื่อนที่สำหรับการแกว่งของระบบกลไกจะกำหนดโดยความสัมพันธ์
โดยการเปรียบเทียบ เรามีสิ่งนั้น ; และยิ่งกว่านั้นกระแสก็เปรียบได้กับอคติ
ข้าว. 1.ระบบไฟฟ้าและเครื่องกลเชิงเส้น
สมมติว่าแรงภายนอกและการแนะนำสัญกรณ์
ลด (1.2) ให้อยู่ในรูป
เนื่องจากการสั่นสะเทือนที่กำหนดโดยสมการเอกพันธ์เชิงเส้นนี้เรียกว่าการสั่นสะเทือนเชิงเส้นอิสระ คำตอบทั่วไปของสมการเชิงเส้นที่มีสัมประสิทธิ์คงที่คือผลรวมเชิงเส้นของฟังก์ชันเลขชี้กำลังสองฟังก์ชัน:
โดยที่ และ เป็นค่าคงที่ตามอำเภอใจที่กำหนด เงื่อนไขเบื้องต้น, และ เป็นรากของสมการคุณลักษณะ
ดังนั้นและจะได้รับโดยความสัมพันธ์
หากเราต้องการแสดงโซลูชัน (1.5) ในรูปแบบจริง เราจะพิจารณาสามกรณีเมื่อปริมาณคือ: a) ของจริง b) ศูนย์ c) จินตภาพ ง่ายที่จะแสดงว่าการแก้ปัญหาอยู่ในรูปแบบ
ที่ไหนและเป็นจริง; และ - ค่าคงที่ตามอำเภอใจซึ่งกำหนดโดยการระบุค่าของการกระจัด (กระแส) และความเร็วในช่วงเวลาเริ่มต้นที่แน่นอน
สมการ (1.8 - a) ปรากฏในทางปฏิบัติบ่อยที่สุด ดังที่เห็นได้ง่ายจาก (1.3) กรณีนี้จะเกิดขึ้นหากค่าสัมประสิทธิ์การหน่วงมีขนาดเล็กเมื่อเทียบกับ สมการ (1.8 - a) ในกรณีนี้อธิบายการเคลื่อนที่แบบแกว่งซึ่งทุก ๆ ค่าสูงสุดและการกระจัดที่ต่อเนื่องกันทุก ๆ สองครั้งจะเป็นไปตามความสัมพันธ์
ไม่มีการแกว่งใดๆ แรงคืนจะเป็นสัดส่วนกับการเบี่ยงเบน (นั่นคือ เปลี่ยนแปลงไปตามกฎหมาย (- กx)).ยกตัวอย่าง สปริงที่แสดงในรูปที่ 2.74 ประกอบด้วยจานหลายแผ่น ด้วยการเสียรูปเล็ก ๆ มีเพียงแผ่นยาวโค้งงอ ภายใต้การรับน้ำหนักมาก แผ่นที่สั้นกว่า (และแข็งกว่า) อาจถูกดัดงอได้เช่นกัน พลังฟื้นฟูสามารถอธิบายได้ดังนี้:
โหมดแข็งแกร่งเข้าสู่ เป็นระยะ,เมื่อการสั่นสะเทือนหายไปและร่างกายค่อยๆ เข้าใกล้ตำแหน่งสมดุล (รูปที่ 2.72, ข, ค)
ป้อนแทนบรรทัดที่วางจุด (เสื้อ, x),เส้นที่จะวางจุด ( x, v) และรับภาพเฟสของการสั่นแบบแดมเปอร์ที่มีการเสียดสีต่างกัน คุณสามารถใช้หนึ่งในโปรแกรมสำเร็จรูป เฟสเด็ม *หรือ พพอร์ต *จากที่มีอยู่ในแพ็คเกจ PAKPRO ควรได้รับไดอะแกรมของประเภทที่แสดงในรูปที่ 2.73
สำหรับการกลับมาคือ NSและ NSมีเสมอ สัญญาณต่างๆ, มันควรจะขยายเป็นอนุกรมด้วยพลังคี่ NS.เนื่องจากพลังงานศักย์ ยูสัมพันธ์กับความแรงตามสูตร NS = - dU / dxหมายความว่า
กล่าวคือ การสั่นเกิดขึ้นในบ่อน้ำที่มีศักยภาพโดยมีกำแพงสูงกว่าการแกว่งของพาราโบลา (รูปที่ 2.75, a) การเสียดสีของเพลตต่อกันทำให้เกิดการหน่วงที่จำเป็นเพื่อทำให้การสั่นสะเทือนลดลง
การสั่นยังเป็นไปได้ในหลุมที่ไม่สมมาตรเมื่อ
(รูปที่ 2.75, ข). ในกรณีนี้ แรงฟื้นฟูจะเท่ากับ
เมื่อแก้ปัญหาการแกว่งตัวไม่เชิงเส้น การใช้คอมพิวเตอร์เป็นสิ่งที่หลีกเลี่ยงไม่ได้ เนื่องจากไม่มีวิธีวิเคราะห์เชิงวิเคราะห์ บนคอมพิวเตอร์ วิธีแก้ไขไม่ยากเลย จำเป็นเฉพาะในสายการผลิตที่มีการเพิ่มความเร็ว (v = v + F ที่ / m),เขียนนิพจน์สำหรับ F อย่างสมบูรณ์เช่น -kh-rh 2 - พิกเซล 3
ตัวอย่าง. โปรแกรมการวาดกราฟการแกว่งไม่เชิงเส้นมีให้ในแพ็คเกจ PAKPRO ภายใต้ชื่อ นกล.เริ่มกันเลย คุณควรได้ชุดเส้นโค้งสำหรับการเบี่ยงเบนเริ่มต้นต่างๆ เมื่อ x 0 มากกว่าค่าที่กำหนด อนุภาคที่สั่นจะออกจากหลุมที่มีศักยภาพและเอาชนะอุปสรรคที่อาจเกิดขึ้น
ลองโปรแกรมด้วย เอ็นแอลคอล *และ นส. *,มีให้ในแพ็คเกจ PAKPRO เช่นเดียวกับโปรแกรมที่คุณสามารถรับภาพเฟสของการแกว่งแบบไม่เชิงเส้นได้: Phaspnl. *, Phportnl *.
สังเกตว่า ถ้าพูดอย่างเคร่งครัด การสั่นแทบใดๆ ก็ไม่เป็นเชิงเส้น ที่แอมพลิจูดต่ำเท่านั้นที่สามารถถือเป็นเส้นตรง (ละเว้นเงื่อนไขที่มี x 2, x 3 ฯลฯ ในสูตรเช่น (2.117))
ปล่อยให้แรงภายนอกกระทำต่อออสซิลเลเตอร์นอกเหนือจากแรงคืนตัวซึ่งให้การสั่นตามธรรมชาติด้วยความถี่ C0o และเปลี่ยนแปลงเป็นระยะด้วยความถี่ ω เท่ากับหรือไม่เท่ากับ (Oo แรงนี้จะแกว่งร่างกายด้วย ความถี่ ω ถูกบังคับ
สมการการเคลื่อนที่ในกรณีนี้จะเป็นดังนี้:
เริ่มแรก กระบวนการสร้างความผันผวนเกิดขึ้น จากช็อตแรก ร่างกายเริ่มสั่นด้วยความถี่ธรรมชาติที่ 0 จากนั้นค่อย ๆ การแกว่งตามธรรมชาติค่อยๆ ค่อยๆ ลดลง และแรงบังคับเริ่มควบคุมกระบวนการ การบังคับการสั่นไม่ได้เกิดขึ้นกับความถี่อีกต่อไป (Oo แต่ด้วยความถี่ของแรงขับเคลื่อน c. กระบวนการชั่วคราวซับซ้อนมาก ไม่มีวิธีวิเคราะห์ใดๆ เมื่อแก้ปัญหาด้วยวิธีการเชิงตัวเลข โปรแกรมจะไม่มีอีกต่อไป ซับซ้อนกว่าพูดโปรแกรมสำหรับการสั่นสะเทือนแบบหมาด ๆ เส้นซึ่งตามสมการของการเคลื่อนที่ความเร็วจะเพิ่มขึ้นเพิ่มแรงบังคับในรูปแบบ FobiH = Focos (cot)
ตัวอย่าง. แพ็คเกจ PACG1RO ประกอบด้วยตัวอย่างโปรแกรมสำหรับรับกราฟการสั่นแบบบังคับบนหน้าจอคอมพิวเตอร์ ดูเพิ่มเติมที่โปรแกรม Ustvcol.pasและ UstvcoW.pasผลลัพธ์ x (?) พล็อตและแผนภาพเฟส วี (x)แสดงในรูปที่ 2.76 ด้วยการเลือกพารามิเตอร์ที่ประสบความสำเร็จ จะเห็นได้ชัดเจนว่าการแกว่งแบบบังคับค่อยๆ สร้างขึ้นได้อย่างไร นอกจากนี้ยังน่าสนใจที่จะสังเกตการสร้างแรงสั่นสะเทือนบนไดอะแกรมเฟส (โปรแกรม Phpforc.pas).
เมื่อการแกว่งที่มีความถี่ ω เกิดขึ้นแล้ว เราสามารถหาคำตอบของสมการ (2.118) ได้ในรูปแบบ
Jo คือแอมพลิจูดของการแกว่งในสภาวะคงตัว ถ้าเราแทน (2.119) เป็น (2.118) หาอนุพันธ์เวลาเบื้องต้น NS"และ NS"และพิจารณาว่า ถึง= coo 2 นาที แล้วปรากฎว่า (2.119) จะเป็นคำตอบของสมการ (2.118) โดยมีเงื่อนไขว่า
ไม่คำนึงถึงแรงเสียดทานสัมประสิทธิ์ NSถือว่าเป็นศูนย์ จะเห็นได้ว่าแอมพลิจูดของการแกว่งจะเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วเมื่อ co เข้าใกล้ Cio (รูปที่ 2.77) ปรากฏการณ์นี้เรียกว่า เสียงก้อง.
หากไม่มีแรงเสียดทานจริง ๆ แอมพลิจูดที่ ω = (Oo จะมีขนาดใหญ่เป็นอนันต์ อันที่จริงสิ่งนี้จะไม่เกิดขึ้น รูปเดียวกัน 2.77 แสดงให้เห็นว่าเส้นโค้งเรโซแนนซ์เปลี่ยนแปลงอย่างไรตามความเสียดทานที่เพิ่มขึ้นหลายสิบเท่าด้วย NSสโอ. ในเทคโนโลยี ปรากฏการณ์นี้เป็นอันตราย เนื่องจากแรงสั่นสะเทือนของเครื่องยนต์สามารถสะท้อนความถี่ธรรมชาติของส่วนใดส่วนหนึ่งของเครื่องจักร และสามารถถูกทำลายได้
