ตัวเลขเหนือธรรมชาติ Liouville ตัวเลขเหนือธรรมชาติ ทั้งหมดจำนวนอตรรกยะ

02.08.2021

Ilya Shchurov

นักคณิตศาสตร์ Ilya Shchurov เกี่ยวกับเศษส่วนทศนิยม การอยู่เหนือ และความไร้เหตุผลของ Pi

ใครช่วยสร้างเมืองแรกและอาณาจักรที่ยิ่งใหญ่ได้อย่างไร คุณสร้างแรงบันดาลใจให้กับจิตใจที่โดดเด่นของมนุษยชาติได้อย่างไร? มีบทบาทอะไรในการทำเงิน? "หนึ่ง" ผสานกับศูนย์เพื่อครองโลกสมัยใหม่ได้อย่างไร? ประวัติความเป็นมาของหน่วยนี้เชื่อมโยงกับประวัติศาสตร์อารยธรรมยุโรปอย่างแยกไม่ออก Terry Jones เริ่มต้นการเดินทางที่ตลกขบขันเพื่อรวบรวมเรื่องราวที่น่าทึ่งของตัวเลขที่ง่ายที่สุดของเรา ด้วยความช่วยเหลือของคอมพิวเตอร์กราฟิกในโปรแกรมนี้ หน่วยนี้มีชีวิตชีวาขึ้นในหลากหลายรูปแบบ จากประวัติของหน่วยนี้ เป็นที่ชัดเจนว่าตัวเลขสมัยใหม่มาจากไหน และการประดิษฐ์ศูนย์ช่วยเราไม่ให้ต้องใช้เลขโรมันในปัจจุบันได้อย่างไร

Jacques Sesiano

เรารู้เพียงเล็กน้อยเกี่ยวกับไดโอแฟนทัส ดูเหมือนว่าเขาจะอาศัยอยู่ในอเล็กซานเดรีย ไม่มีนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกกล่าวถึงเขาจนกระทั่งศตวรรษที่ 4 ดังนั้นเขาจึงอาจมีชีวิตอยู่ในช่วงกลางศตวรรษที่ 3 งานที่สำคัญที่สุดของ Diophantus "Arithmetic" (Ἀριθμητικά) เกิดขึ้นที่จุดเริ่มต้นของ 13 "หนังสือ" (βιβλία) นั่นคือบทต่างๆ วันนี้เรามี 10 เล่ม ได้แก่ 6 ในข้อความภาษากรีกและอีก 4 รายการในการแปลภาษาอาหรับยุคกลางซึ่งอยู่ตรงกลางของหนังสือภาษากรีก: หนังสือ I-III ในภาษากรีก, IV-VII ในภาษาอาหรับ, VIII-X ใน กรีก ... "เลขคณิต" โดย Diophantus เป็นกลุ่มของปัญหาเป็นหลัก ทั้งหมดประมาณ 260 บอกความจริงไม่มีทฤษฎี มีเพียงคำแนะนำทั่วไปในการแนะนำหนังสือ และหมายเหตุพิเศษในบางปัญหา เมื่อจำเป็น "เลขคณิต" มีคุณสมบัติของบทความเกี่ยวกับพีชคณิตอยู่แล้ว อย่างแรก ไดโอแฟนตัสใช้เครื่องหมายต่างๆ เพื่อแสดงค่าที่ไม่รู้จักและองศาของมัน รวมถึงการคำนวณบางอย่างด้วย เช่นเดียวกับสัญลักษณ์เกี่ยวกับพีชคณิตของยุคกลาง สัญลักษณ์ดังกล่าวมาจากคำทางคณิตศาสตร์ จากนั้น Diophantus จะอธิบายวิธีแก้ปัญหาด้วยวิธีพีชคณิต แต่ปัญหาของไดโอแฟนทัสไม่ใช่พีชคณิตตามปกติ เพราะเกือบทุกอย่างจะลดเหลือการแก้สมการไม่แน่นอนหรือระบบของสมการดังกล่าว

George Shabbat

โปรแกรมหลักสูตร: ประวัติศาสตร์. ประมาณการครั้งแรก ปัญหาความสมส่วนของเส้นรอบวงของวงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง อนุกรมอนันต์ ผลิตภัณฑ์ และสำนวนอื่นๆ สำหรับ π การบรรจบกันและคุณภาพของมัน นิพจน์ที่มี π ลำดับมาบรรจบกันอย่างรวดเร็วถึง π วิธีการคำนวณ π สมัยใหม่โดยใช้คอมพิวเตอร์ เกี่ยวกับความไร้เหตุผลและการอยู่เหนือของ π และตัวเลขอื่นๆ ไม่จำเป็นต้องมีความรู้มาก่อนจึงจะเข้าใจหลักสูตรได้

นักวิทยาศาสตร์จากมหาวิทยาลัยอ็อกซ์ฟอร์ดกล่าวว่าการใช้หมายเลข 0 ที่เก่าแก่ที่สุดเพื่อบ่งชี้ว่าไม่มีค่าตัวเลข (เช่นเดียวกับในหมายเลข 101) ควรพิจารณาข้อความของต้นฉบับอินเดีย Bakhshali

Vasily Pispanen

ใครยังไม่เคยเล่นเกมเบอร์ใหญ่สุดตอนเด็กบ้าง? ล้านล้านล้านและ "-on" อื่น ๆ เป็นเรื่องยากที่จะจินตนาการในใจของคุณ แต่เราจะพยายามสร้าง "mastodon" ในวิชาคณิตศาสตร์ - ตัวเลขของ Graham

Victor Kleptsyn

จำนวนจริงสามารถประมาณได้อย่างแม่นยำโดยพลการด้วยจำนวนตรรกยะ การประมาณดังกล่าวจะดีเพียงใดเมื่อเทียบกับความซับซ้อน ตัวอย่างเช่น การแยกสัญกรณ์ทศนิยมของตัวเลข x ที่หลัก k หลังจุดทศนิยม เราจะได้ค่าประมาณ x≈a / 10 ^ k โดยมีข้อผิดพลาดในลำดับ 1/10 ^ k และโดยทั่วไป เมื่อแก้ไขตัวส่วน q ในส่วนของเศษส่วนโดยประมาณแล้ว เราก็จะได้ค่าประมาณที่มีข้อผิดพลาดของลำดับ 1 / q อย่างแน่นอน คุณทำได้ดีกว่านี้ไหม การประมาณค่า π≈22 / 7 ที่คุ้นเคยทำให้เกิดข้อผิดพลาดในลำดับที่ 1/1000 ซึ่งหมายความว่าดีกว่าที่คาดไว้มาก และทำไม? เราโชคดีที่ π มีค่าประมาณนี้หรือไม่? ปรากฎว่าสำหรับจำนวนอตรรกยะใด ๆ มีเศษส่วนจำนวนมาก p / q ที่ใกล้เคียงดีกว่า 1 / q ^ 2 นี่คือทฤษฎีบทของ Dirichlet - และเราจะเริ่มต้นหลักสูตรด้วยการพิสูจน์ที่ไม่ได้มาตรฐานเล็กน้อย

ในปี 1980 Guinness Book of Records ได้ย้ำคำกล่าวอ้างของการ์ดเนอร์ เป็นการตอกย้ำความสนใจของสาธารณชนในตัวเลขนี้ ตัวเลขของ Graham เป็นจำนวนที่คิดไม่ถึงซึ่งมากกว่าตัวเลขขนาดใหญ่ที่รู้จักกันดีอื่นๆ เช่น googol, googolplex และมากกว่าตัวเลขของ Skuse และ Moser อันที่จริง เอกภพที่สังเกตได้ทั้งหมดนั้นเล็กเกินกว่าจะมีเครื่องหมายทศนิยมธรรมดาของจำนวนเกรแฮม

Dmitry Anosov

บรรยายโดย Dmitry Viktorovich Anosov, Doctor of Physics and Mathematics, ศาสตราจารย์, นักวิชาการของ Russian Academy of Sciences โรงเรียนภาคฤดูร้อน "คณิตศาสตร์ร่วมสมัย", Dubna 16-18 กรกฎาคม 2545

เป็นไปไม่ได้ที่จะตอบคำถามนี้อย่างถูกต้อง เนื่องจากลำดับตัวเลขไม่มีขีดจำกัดบน ดังนั้น สำหรับจำนวนใดๆ ก็เพียงพอแล้วที่จะเพิ่มหนึ่งตัวเพื่อให้ได้จำนวนที่มากขึ้น แม้ว่าตัวเลขจะไม่มีที่สิ้นสุด แต่ก็ไม่มีชื่อของตัวเองมากนัก เนื่องจากส่วนใหญ่มีเนื้อหาที่มีชื่อที่ประกอบด้วยตัวเลขที่น้อยกว่า เป็นที่ชัดเจนว่าในชุดตัวเลขอันจำกัดที่มนุษยชาติให้ไว้ด้วยชื่อของมันเอง จะต้องมีจำนวนที่มากที่สุด แต่มันเรียกว่าอะไรและมันเท่ากับอะไร? ลองคิดดูและในขณะเดียวกันก็หาว่านักคณิตศาสตร์จำนวนเท่าใดที่คิดค้นขึ้น

จำนวนจริงเหนือธรรมชาติทุกจำนวนไม่ลงตัว แต่คอนเวิร์สไม่เป็นความจริง ตัวอย่างเช่น ตัวเลข

\ sqrt 2

- ไม่มีเหตุผล แต่ไม่ยอดเยี่ยม: เป็นรากของพหุนาม

x ^ 2-2

(และด้วยเหตุนี้พีชคณิต).

ลำดับของเซตของจำนวนอตรรกยะจริงนั้นมีอคติกับลำดับของเซตของจำนวนอตรรกยะ

การวัดความไร้เหตุผลของจำนวนอธรรมเกือบทุกจำนวนคือ 2

ตัวอย่างของ

ประวัติศาสตร์

เป็นครั้งแรกที่แนวคิดเรื่องจำนวนยอดเยี่ยมได้รับการแนะนำโดย J. Liouville ในปี ค.ศ. 1844 เมื่อเขาพิสูจน์ทฤษฎีบทว่าจำนวนเชิงพีชคณิตไม่สามารถประมาณด้วยเศษส่วนตรรกยะได้ดีเกินไป

| title3 = เครื่องมือส่วนขยาย
ระบบตัวเลข | title4 = ลำดับชั้นของตัวเลข | list4 =


$-1, \; 0, \; 1, \; \ ldots$	จำนวนทั้งหมด

-1, \; 1, \; \ frac (1) (2), \; \; 0 (,) 12, \ frac (2) (3), \; \ ldots

สรุปตัวเลข

-1, \; 1, \; \; 0 (,) 12, \ frac (1) (2), \; \ pi, \; \ sqrt (2), \; \ ldots

ตัวเลขจริง

-1, \; \ frac (1) (2), \; 0 (,) 12, \; \ pi, \; 3i + 2, \; e ^ (i \ pi / 3), \; \ ldots

ตัวเลขที่ซับซ้อน

1, \; i, \; j, \; k, \; 2i + \ pi j- \ frac (1) (2) k, \; \ จุด

ควอเทอร์เนียนส์

1, \; i, \; j, \; k, \; l, \; m, \; n, \; o, \; 2 - 5l + \ frac (\ pi) (3) m, \; \ จุด

ตัวเลขเหนือธรรมชาติ Number Ray Biquaternion

ตัดตอนมาจากจำนวนเหนือธรรมชาติ

- สุขภาพดีได้อย่างไร ... ในเมื่อทุกข์ทางศีลธรรม? เป็นไปได้ไหมที่จะสงบสติอารมณ์ในเวลาของเราเมื่อมีคนรู้สึก? - Anna Pavlovna กล่าว - คุณอยู่กับฉันทุกเย็นฉันหวังว่า?
- และวันหยุดนักการทูตอังกฤษ? วันนี้อยู่ตรงกลาง ฉันต้องแสดงตัวที่นั่น” เจ้าชายกล่าว - ลูกสาวของฉันจะไปรับฉันและพาฉันไป
- ฉันคิดว่าวันหยุดปัจจุบันถูกยกเลิก Je vous avoue que toutes ces fetes et tous ces feux d "สิ่งประดิษฐ์ที่เริ่มต้นจาก devenir insipides [ฉันขอสารภาพ การเฉลิมฉลองและดอกไม้ไฟเหล่านี้กลายเป็นสิ่งที่ทนไม่ได้]
“ถ้าคุณรู้ว่าคุณต้องการ วันหยุดก็จะถูกยกเลิก” เจ้าชายตรัสอย่างเป็นนิสัยเหมือนนาฬิกาพูดในสิ่งที่เขาไม่ต้องการที่จะเชื่อ
- Ne me tourmentez ปาส Eh bien, qu "a t onตัดสินใจสายสัมพันธ์ที่ตราไว้หุ้นละ a la depenche de Novosiizoff? Vous savez tout. [อย่าทรมานฉันเลย คุณตัดสินใจอย่างไรในโอกาสที่ Novosiltsov ส่งตัวไป พวกคุณก็รู้]
- ฉันจะบอกคุณได้อย่างไร - เจ้าชายพูดด้วยน้ำเสียงที่เย็นชาและเบื่อหน่าย - Qu "เมื่อตัดสินใจ? ในการตัดสินใจ que Buonaparte a brule ses vaisseaux, et je crois que nous sommes en train de bruler les notres" ของเรา] - เจ้าชาย Vasily มักพูดอย่างเกียจคร้านเหมือนนักแสดงที่พูดถึงบทบาทของคนแก่ เล่นAnna Pavlovna Sherer ตรงกันข้ามแม้จะอายุสี่สิบปีก็เต็มไปด้วยอนิเมชั่นและแรงกระตุ้น
การเป็นคนที่กระตือรือร้นกลายเป็นตำแหน่งทางสังคมของเธอและบางครั้งเมื่อเธอไม่ต้องการแม้แต่น้อยเธอก็กลายเป็นคนที่กระตือรือร้นเพื่อที่จะไม่หลอกลวงความคาดหวังของคนที่รู้จักเธอ รอยยิ้มที่ถูก จำกัด ที่เล่นอย่างต่อเนื่องบนใบหน้าของ Anna Pavlovna แม้ว่ามันจะไม่ได้เป็นไปตามลักษณะที่ล้าสมัยของเธอเช่นเด็กนิสัยเสียสติคงที่ของข้อบกพร่องอันแสนหวานของเธอซึ่งเธอไม่ต้องการทำไม่ได้และไม่พบว่าจำเป็นต้อง ถูกต้อง.
ระหว่างการสนทนาเกี่ยวกับการกระทำทางการเมือง Anna Pavlovna ก็เปิดฉากขึ้น
- อย่าบอกฉันเกี่ยวกับออสเตรีย! ฉันไม่เข้าใจอะไรเลย แต่ออสเตรียไม่เคยต้องการและไม่ต้องการทำสงคราม เธอทรยศเรา รัสเซียเท่านั้นควรเป็นผู้กอบกู้ยุโรป ผู้อุปถัมภ์ของเรารู้จักการเรียกที่สูงส่งของเขาและจะซื่อสัตย์ต่อการเรียกร้องนั้น นี่คือสิ่งหนึ่งที่ฉันเชื่อ กษัตริย์ผู้ใจดีและยอดเยี่ยมของเราจะมีบทบาทที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในโลก พระองค์ทรงมีคุณธรรมและดีจนพระเจ้าไม่ทรงละทิ้งพระองค์ และพระองค์จะทรงบรรลุการเรียกให้บดขยี้ไฮดราแห่งการปฏิวัติ ซึ่งขณะนี้เลวร้ายยิ่งกว่าใน คนของฆาตกรและวายร้ายคนนี้ เราคนเดียวต้องไถ่เลือดของผู้ชอบธรรม ... เราขอใครได้บ้าง ... อังกฤษด้วยจิตวิญญาณการค้าจะไม่เข้าใจและไม่สามารถเข้าใจความสูงของจิตวิญญาณของจักรพรรดิอเล็กซานเดอร์ได้ เธอปฏิเสธที่จะเคลียร์มอลตา เธอต้องการเห็น กำลังมองหาภายหลังการกระทำของเรา พวกเขาพูดอะไรกับ Novosiltsov ... ไม่มีอะไร พวกเขาไม่เข้าใจ พวกเขาไม่สามารถเข้าใจความเสียสละของจักรพรรดิของเรา ผู้ไม่ต้องการสิ่งใดเพื่อตนเองและต้องการทุกสิ่งเพื่อประโยชน์ของโลก และพวกเขาสัญญาอะไร ไม่มีอะไร. และสิ่งที่พวกเขาสัญญาไว้และสิ่งนั้นจะไม่เกิดขึ้น! ปรัสเซียได้ประกาศแล้วว่าโบนาปาร์ตอยู่ยงคงกระพันและทั้งยุโรปไม่สามารถทำอะไรกับเขาได้ ... และฉันไม่เชื่อในคำเดียวทั้งกับ Hardenberg หรือ Gaugwitz Cette Fameuse neutralite prussienne, ce n "est qu" un piege. [ความเป็นกลางที่ฉาวโฉ่ของปรัสเซียเป็นเพียงกับดัก] ฉันเชื่อในพระเจ้าองค์เดียวและในพรหมลิขิตอันสูงส่งของจักรพรรดิผู้เป็นที่รักของเรา เขาจะช่วยยุโรป! ... - ทันใดนั้นเธอก็หยุดด้วยรอยยิ้มเยาะเย้ยที่ความร้อนแรงของเธอ

จำนวนอนันต์- จำนวนเชิงซ้อนที่ไม่ใช่พีชคณิต กล่าวคือ ไม่ใช่รากของพหุนามที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ ที่มีค่าสัมประสิทธิ์เป็นตรรกยะ

การดำรงอยู่ของตัวเลขเหนือธรรมชาติถูกสร้างขึ้นครั้งแรกโดย J. Liouville ในปี ค.ศ. 1844; เขายังสร้างตัวอย่างแรกของตัวเลขดังกล่าว Liouville ตั้งข้อสังเกตว่าจำนวนเชิงพีชคณิตไม่สามารถประมาณ "ดีเกินไป" ด้วยจำนวนตรรกยะ กล่าวคือ ทฤษฎีบทของ Liouville ระบุว่าหากจำนวนเชิงพีชคณิตเป็นรากของพหุนามของดีกรีที่มีสัมประสิทธิ์ที่เป็นตรรกยะ ดังนั้นสำหรับจำนวนตรรกยะใดๆ ความไม่เท่าเทียมกัน

โดยที่ค่าคงที่ขึ้นอยู่กับเท่านั้น ข้อความนี้แสดงเป็นนัยถึงเกณฑ์เพียงพอสำหรับการมีชัย: ถ้าจำนวนนั้นเป็นเช่นนั้นสำหรับค่าคงที่ใดๆ จะมีชุดจำนวนตรรกยะอนันต์ที่ตอบสนองความไม่เท่าเทียมกัน

แล้วมันก็อยู่เหนือธรรมชาติ ต่อมาเรียกตัวเลขดังกล่าวว่าหมายเลข Liouville ตัวอย่างของตัวเลขดังกล่าวคือ

หลักฐานอีกประการหนึ่งของการมีอยู่ของตัวเลขเหนือธรรมชาติได้รับโดย G. Cantor ในปี 1874 บนพื้นฐานของทฤษฎีเซตที่เขาสร้างขึ้น ต้นเสียงพิสูจน์ว่าเซตของจำนวนเชิงพีชคณิตนับได้และเซตของจำนวนจริงนั้นนับไม่ได้ ซึ่งหมายความว่าเซตของจำนวนอนิจกรรมนั้นนับไม่ได้ อย่างไรก็ตาม ไม่เหมือนข้อพิสูจน์ของ Liouville เหตุผลนี้ไม่อนุญาตให้เรายกตัวอย่างแม้แต่ตัวเลขเดียว

งานของ Liouville ก่อให้เกิดทั้งส่วนของทฤษฎีของตัวเลขยอดเยี่ยม - ทฤษฎีการประมาณตัวเลขเกี่ยวกับพีชคณิตโดยใช้จำนวนตรรกยะหรือโดยทั่วไปแล้ว ตัวเลขเกี่ยวกับพีชคณิต ทฤษฎีบทของ Liouville มีความเข้มแข็งและเป็นภาพรวมในผลงานของนักคณิตศาสตร์หลายคน สิ่งนี้ทำให้สามารถสร้างตัวอย่างใหม่ของจำนวนอวตารได้ ดังนั้น K. Mahler แสดงให้เห็นว่าถ้าเป็นพหุนามไม่คงที่ซึ่งใช้ค่าจำนวนเต็มไม่เป็นลบสำหรับจำนวนธรรมชาติทั้งหมด แล้วสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ โดยที่ตัวเลขในระบบเลขฐานคือยอด แต่ไม่ใช่ หมายเลข Liouville ตัวอย่างเช่น สำหรับ และ เราได้ผลลัพธ์ที่สวยงามดังต่อไปนี้: the number

เป็นเลิศ แต่ไม่ใช่หมายเลข Liouville

ในปี 1873 S. Hermit ใช้ความคิดอื่นพิสูจน์การอยู่เหนือของจำนวน Neper (ฐานของลอการิทึมธรรมชาติ):

การพัฒนาความคิดของ Hermite นั้น F. Lindemann ในปี 1882 ได้พิสูจน์ให้เห็นถึงการอยู่เหนือของจำนวน ดังนั้นจึงยุติปัญหาโบราณของการยกกำลังสองวงกลม: การใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด มันเป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีขนาดเท่ากัน (นั่นคือ มีพื้นที่เท่ากัน) กับวงกลมที่กำหนด โดยทั่วไปแล้ว Lindemann แสดงให้เห็นว่าสำหรับเลขพีชคณิตใด ๆ ตัวเลขนั้นอยู่เหนือธรรมชาติ สูตรที่เทียบเท่ากัน: สำหรับเลขพีชคณิตใดๆ ที่ไม่ใช่และ ลอการิทึมธรรมชาติของมันคือจำนวนอนันต์

ในปี 1900 ที่การประชุมของนักคณิตศาสตร์ในปารีส ดี. ฮิลเบิร์ต ท่ามกลางปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ยังไม่แก้ 23 ข้อ ชี้ไปที่ต่อไปนี้ ซึ่งกำหนดสูตรโดยแอล. ออยเลอร์ในรูปแบบเฉพาะ:

ปล่อยให้เป็น และ - ตัวเลขพีชคณิตและ เหนือธรรมชาติ? โดยเฉพาะอย่างยิ่งเป็นตัวเลขที่เหนือธรรมชาติ และ?

ปัญหานี้สามารถจัดรูปแบบใหม่ได้ในรูปแบบต่อไปนี้ ใกล้กับสูตรดั้งเดิมของออยเลอร์:

ปล่อยให้เป็น และ - ตัวเลขพีชคณิตนอกเหนือจาก และยิ่งไปกว่านั้น อัตราส่วนของลอการิทึมธรรมชาติของพวกมัน ไม่ลงตัว จะมีเบอร์ไหมค่ะ เหนือธรรมชาติ?

วิธีแก้ปัญหาบางส่วนครั้งแรกได้รับในปี 1929 โดย A.O. Gel'fond ผู้ซึ่งพิสูจน์ให้เห็นถึงการอยู่เหนือของตัวเลขโดยเฉพาะ ในปี 1930 RO Kuz'min ได้ปรับปรุงวิธีการของ Gel'fond โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เขาสามารถพิสูจน์การอยู่เหนือของตัวเลขได้ วิธีแก้ปัญหาที่สมบูรณ์ของปัญหาออยเลอร์-ฮิลแบร์ต (ในแง่การยืนยัน) ได้รับในปี 1934 โดยอิสระโดย A.O. Gel'fond และ T. Schneider

A. Baker ในปี 1966 ได้สรุปทฤษฎีบทของ Lindemann และ Gelfond-Schneider โดยเฉพาะอย่างยิ่งการพิสูจน์โดยเฉพาะอย่างยิ่งการอยู่เหนือผลคูณของจำนวนที่แน่นอนของรูปแบบและพีชคณิตภายใต้ข้อจำกัดตามธรรมชาติ

ในปี พ.ศ. 2539 ยู.วี. Nesterenko พิสูจน์ความเป็นอิสระเกี่ยวกับพีชคณิตของค่าของอนุกรม Eisenstein และโดยเฉพาะอย่างยิ่งของตัวเลขและ นี่หมายถึงการอยู่เหนือของตัวเลขใดๆ ของรูปแบบ โดยที่ฟังก์ชันตรรกยะที่ไม่ใช่ศูนย์พร้อมสัมประสิทธิ์เกี่ยวกับพีชคณิต ตัวอย่างเช่น ผลรวมของซีรีส์จะเป็นอวิชชา

ในปี พ.ศ. 2472-2473 ในชุดเอกสาร K. Mahler ได้เสนอวิธีการใหม่ในการพิสูจน์ความมีชัยของค่าของฟังก์ชันวิเคราะห์ซึ่งเป็นไปตามสมการเชิงฟังก์ชันของรูปแบบบางรูปแบบ (ภายหลังฟังก์ชันดังกล่าวเรียกว่าฟังก์ชัน Mahler)

วิธีการของทฤษฎีตัวเลขเหนือธรรมชาติพบการประยุกต์ใช้ในสาขาคณิตศาสตร์อื่นๆ โดยเฉพาะในทฤษฎีสมการไดโอแฟนไทน์

คำว่า "เหนือธรรมชาติ" มักจะเกี่ยวข้องกับการทำสมาธิทิพย์และความลึกลับต่างๆ แต่เพื่อที่จะใช้อย่างถูกต้อง อย่างน้อยคุณต้องแยกความแตกต่างจากคำว่า "ยอดเยี่ยม" และให้มากที่สุด - จำบทบาทในผลงานของกันต์และนักปรัชญาคนอื่นๆ

แนวคิดนี้มาจากภาษาละติน transcendens - "overstepping", "surpassing", "going Beyond" โดยทั่วไป หมายถึงบางสิ่งที่ไม่สามารถเข้าถึงได้โดยพื้นฐานสำหรับความรู้เชิงประจักษ์หรือไม่ได้ขึ้นอยู่กับประสบการณ์ สมมติฐานของคำศัพท์เกิดขึ้นแม้ในปรัชญาของ Neoplatonism - ผู้ก่อตั้งทิศทาง Plotinus สร้างหลักคำสอนของ One - หลักการที่ดีทั้งหมดซึ่งไม่สามารถรับรู้ได้ด้วยความพยายามของความคิดหรือด้วยประสบการณ์ทางประสาทสัมผัส "คนหนึ่งไม่ใช่สิ่งมีชีวิต แต่เป็นพ่อแม่ของมัน" นักปรัชญาอธิบาย

คำว่า "เหนือธรรมชาติ" ได้รับการเปิดเผยอย่างเต็มที่ที่สุดในปรัชญาของอิมมานูเอล คานท์ ซึ่งใช้เพื่ออธิบายลักษณะที่มีอยู่โดยไม่ขึ้นกับจิตสำนึกและกระทำตามประสาทสัมผัสของเรา ในขณะที่ยังคงไม่เข้าใจโดยพื้นฐาน ทั้งในทางปฏิบัติและในทางทฤษฎี ตรงกันข้ามกับการมีชัย -: หมายถึงการไม่สามารถโอนได้ การเชื่อมต่อภายในของคุณภาพใดๆ ของวัตถุกับตัววัตถุเอง หรือความสามารถในการจดจำวัตถุผ่านประสบการณ์ส่วนตัว ตัวอย่างเช่น หากเราคิดว่าจักรวาลถูกสร้างขึ้นตามการออกแบบที่สูงขึ้น การออกแบบนั้นยอดเยี่ยมสำหรับเรา - เราสามารถตั้งสมมติฐานได้เท่านั้น แต่ถ้าแผนนี้มีอยู่จริง ผลที่ตามมาก็จะเกิดขึ้นกับเรา โดยแสดงออกในกฎทางกายภาพและสถานการณ์ที่เราพบ ดังนั้น ในแนวความคิดทางเทววิทยาบางอย่าง พระเจ้าอยู่เหนือธรรมชาติและอยู่นอกสิ่งที่พระองค์สร้าง

บางสิ่งในตัวเองยังคงเข้าถึงได้สำหรับความรู้เบื้องต้น: ตัวอย่างเช่น อวกาศและเวลา ความคิดของพระเจ้า ความดีและความงาม หมวดหมู่ตรรกะ กล่าวคือ วัตถุเหนือธรรมชาติ เปรียบเปรยว่า "กำหนดไว้โดยปริยาย" ในใจเรา

แนวความคิดของการมีชัยยังมีอยู่ในคณิตศาสตร์: จำนวนเหนือธรรมชาติเป็นตัวเลขที่ไม่สามารถคำนวณโดยใช้พีชคณิตหรือแสดงพีชคณิต (นั่นคือ มันไม่สามารถเป็นรากของพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มที่ไม่เหมือนกับศูนย์) ซึ่งรวมถึงตัวเลขเช่น π และ e

แนวคิดใกล้เคียงกับ "เหนือธรรมชาติ" แต่ความหมายต่างกัน - "เหนือธรรมชาติ" ในขั้นต้นมันหมายถึงพื้นที่ของหมวดหมู่จิตที่เป็นนามธรรมและต่อมาได้รับการพัฒนาโดย Kant ตกหลุมพรางของเขาเอง: มันเป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างระบบปรัชญาด้วยข้อมูลเชิงประจักษ์เท่านั้นและเขาไม่รู้จัก แหล่งประสบการณ์อื่น ๆ ยกเว้นประสบการณ์นิยม เพื่อที่จะออกไป นักปรัชญาต้องยอมรับว่าบางสิ่งในตัวเองยังคงเข้าถึงได้สำหรับความรู้เบื้องต้น: ตัวอย่างเช่น อวกาศและเวลา ความคิดของพระเจ้า ความดีและความงาม หมวดหมู่ตรรกะ กล่าวคือ วัตถุเหนือธรรมชาติคือ "ที่กำหนดไว้ล่วงหน้า" ในใจเราในเชิงเปรียบเทียบ ในขณะที่ข้อมูลเกี่ยวกับสิ่งเหล่านี้มีอยู่โดยตัวมันเองและไม่ได้ติดตามจากประสบการณ์ของเรา

มีแนวคิดอื่นที่เกี่ยวข้อง - การอยู่เหนือ ในความหมายกว้างๆ ของคำนี้ หมายถึงการเปลี่ยนผ่านของเขตแดนระหว่างพื้นที่สองแห่งที่ไม่เหมือนกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งการเปลี่ยนผ่านจากอาณาจักรแห่งโลกนี้ไปสู่อาณาจักรแห่งโลกอื่นที่อยู่เหนือธรรมชาติ เพื่อความง่าย ลองมาดูตัวอย่างจากจินตนาการ: โลกคู่ขนานสำหรับคนธรรมดาคือปรากฏการณ์เหนือธรรมชาติ แต่เมื่อฮีโร่เข้าสู่โลกคู่ขนานนี้หรือสามารถรับรู้ได้ นี่แหละคือความมีชัย หรือตัวอย่างที่ซับซ้อนกว่าจากปรัชญาอัตถิภาวนิยม ฌอง-ปอล ซาร์ตร์ เชื่อว่ามนุษย์เหนือธรรมชาติ เพราะเขาก้าวข้ามประสบการณ์ใดๆ ของเขาเอง เราสามารถศึกษาตนเองและโลกรอบตัวเราจากมุมต่างๆ ได้ แต่เราไม่เคยเข้าใกล้อย่างเต็มที่ รู้จักตัวเราเอง แต่ในขณะเดียวกัน บุคคลก็มีความสามารถในการอยู่เหนือ: เขาอยู่เหนือสิ่งใด ๆ ให้ความหมายใด ๆ ความมีชัยเป็นองค์ประกอบสำคัญในศาสนาเช่นกัน: ช่วยให้บุคคลหลุดพ้นจากธรรมชาติทางวัตถุและสัมผัสสิ่งที่เหนือกว่า

จากปรัชญา แนวคิดเรื่องความเหนือธรรมชาติได้ย้ายไปสู่จิตวิทยา: นักจิตวิทยาชาวสวิส คาร์ล จุง ได้แนะนำแนวคิดของ "หน้าที่เหนือธรรมชาติ" - ฟังก์ชันที่รวมจิตสำนึกและจิตไร้สำนึก โดยเฉพาะอย่างยิ่งนักจิตวิเคราะห์สามารถทำหน้าที่ที่ยอดเยี่ยม - เขาช่วยผู้ป่วยในการวิเคราะห์ภาพของจิตไร้สำนึก (เช่นความฝัน) และเชื่อมโยงพวกเขาเข้ากับกระบวนการที่มีสติในจิตใจของเขา

วิธีการพูด

ผิด "ฉันสมัครเข้าชั้นเรียนการทำสมาธิล่วงพ้น" ถูกต้อง - "ยอดเยี่ยม"

ถูกต้องแล้ว "เมื่อข้าพเจ้าไปวัด ข้าพเจ้ามีความรู้สึกว่าหลอมรวมกับสิ่งล้ำเลิศ"

ถูกต้อง "ศิลปะอยู่เหนือวัตถุที่เราคุ้นเคยจากโลกแห่งวัตถุและเติมเต็มด้วยความหมายสูงสุด"

จำนวนอนันต์

ตัวเลข (จำนวนจริงหรือจินตภาพ) ที่ไม่เป็นไปตามสมการพีชคณิตใดๆ (ดูสมการพีชคณิต) ที่มีสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม ดังนั้น ตัวเลข T. จะถูกเปรียบเทียบกับตัวเลขเกี่ยวกับพีชคณิต (ดู ตัวเลขเกี่ยวกับพีชคณิต) การดำรงอยู่ของ T. ch. ก่อตั้งขึ้นครั้งแรกโดย J. Liouville (1844) จุดเริ่มต้นของ Liouville คือทฤษฎีบทของเขา โดยลำดับของการประมาณเศษส่วนตรรกยะกับตัวส่วนที่กำหนดให้กับจำนวนพีชคณิตอตรรกยะไม่สามารถสูงตามอำเภอใจได้ กล่าวคือถ้าเลขพีชคณิต แต่เป็นไปตามสมการพีชคณิตที่ลดไม่ได้ของดีกรี NSด้วยสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม ดังนั้นสำหรับจำนวนตรรกยะใดๆ c ขึ้นอยู่กับ .เท่านั้น α ). ดังนั้น หากสำหรับจำนวนอตรรกยะที่กำหนด α หนึ่งสามารถระบุชุดของการประมาณเชิงตรรกยะอนันต์ที่ไม่เป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกันข้างต้นสำหรับใดๆ กับและ NS(เหมือนกันสำหรับการประมาณทั้งหมด) จากนั้น α คือ T. h. ตัวอย่างของตัวเลขดังกล่าวให้:

หลักฐานอีกประการหนึ่งของการมีอยู่ของ T. ch. ได้รับจาก G. Cantor (1874) โดยสังเกตว่าเซตของตัวเลขเกี่ยวกับพีชคณิตทั้งหมดนั้นสามารถนับได้ (นั่นคือ เลขพีชคณิตทั้งหมดสามารถจัดลำดับใหม่ได้ ดู ทฤษฎีเซต) ในขณะที่เซตของ จำนวนจริงทั้งหมดนับไม่ได้ จากนี้ไป เซตของ T. ch. นับไม่ได้ และ T. ch. เป็นเซตของตัวเลขทั้งหมด

ปัญหาที่สำคัญที่สุดของทฤษฎีของ ต.ค. คือการหาว่า ต.ค. เป็นค่าของฟังก์ชันการวิเคราะห์ที่มีคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์และการวิเคราะห์บางอย่างสำหรับค่าพีชคณิตของการโต้แย้งหรือไม่ ปัญหาประเภทนี้เป็นปัญหาที่ยากที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์สมัยใหม่ ในปี พ.ศ. 2416 ส. เฮอร์ไมต์ได้พิสูจน์ว่าเลขเนเปียร์

ในปี ค.ศ. 1882 นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน F. Lindemann ได้ผลลัพธ์ทั่วไปมากขึ้น: ถ้า α เป็นจำนวนเชิงพีชคณิต ดังนั้น อีα - T. h. ผลลัพธ์ของ Lipdemann ได้รับการสรุปอย่างมีนัยสำคัญโดยนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน K. Siegel (1930) ซึ่งพิสูจน์ได้เช่นการอยู่เหนือค่าของฟังก์ชันทรงกระบอกระดับกว้างสำหรับค่าพีชคณิตของการโต้แย้ง ในปี 1900 ที่การประชุมทางคณิตศาสตร์ในปารีส ดี. ฮิลเบิร์ต ท่ามกลางปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ยังไม่แก้ 23 ข้อ ชี้ให้เห็นสิ่งต่อไปนี้: เป็นจำนวนที่เหนือธรรมชาติหรือไม่ α β , ที่ไหน α และ β - ตัวเลขพีชคณิตและ β เป็นจำนวนอตรรกยะ และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง คือจำนวน e π เหนือธรรมชาติ (ปัญหาของการอยู่เหนือของตัวเลขในแบบฟอร์ม α β ถูกวางในรูปแบบส่วนตัวครั้งแรกโดย L. Euler, 1744) วิธีแก้ปัญหาที่สมบูรณ์สำหรับปัญหานี้ (ในความรู้สึกยืนยัน) ได้รับในปี 1934 โดย A.O. Gel'fond u. โดยเฉพาะอย่างยิ่งจากการค้นพบ Gelfond ลอการิทึมทศนิยมทั้งหมดของจำนวนธรรมชาติ (นั่นคือ "ลอการิทึมตาราง") เป็น T. ch. วิธีการของทฤษฎีของ T. ch. ถูกนำไปใช้กับคำถามจำนวนหนึ่งในการแก้ สมการในจำนวนเต็ม

ไฟ .: Gel'fond A.O., Transcendental and Algebraic Numbers, มอสโก, 1952.

สารานุกรมแห่งสหภาพโซเวียตผู้ยิ่งใหญ่ - ม.: สารานุกรมโซเวียต. 1969-1978 .

ดูว่า "จำนวนเหนือธรรมชาติ" ในพจนานุกรมอื่นๆ คืออะไร:

ตัวเลขที่ไม่เป็นไปตามสมการพีชคณิตที่มีสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม ตัวเลขเหนือธรรมชาติคือ: หมายเลข ?? 3.14159 ...; ลอการิทึมทศนิยมของจำนวนเต็มใดๆ ที่ไม่ได้แทนด้วยเลขหนึ่งตามด้วยศูนย์ จำนวน e = 2.71828 ... และอื่น ๆ ... พจนานุกรมสารานุกรมขนาดใหญ่

- (จาก Lat. transcendere to go over, to above) เป็นจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่ใช่พีชคณิตหรืออีกนัยหนึ่ง ตัวเลขที่ไม่สามารถเป็นรากของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มได้ สารบัญ 1 คุณสมบัติ 2 ... ... Wikipedia

ตัวเลขที่ไม่เป็นไปตามสมการพีชคณิตที่มีสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม ตัวเลขเหนือธรรมชาติคือ: หมายเลข π = 3.14159 ...; ลอการิทึมทศนิยมของจำนวนเต็มใดๆ ที่ไม่ได้แทนด้วยเลขหนึ่งตามด้วยศูนย์ จำนวน e = 2.71828 ... และอื่น ๆ ... พจนานุกรมสารานุกรม

ตัวเลขที่ไม่ตรงกับพีชคณิตใดๆ ระดับด้วยสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม ได้แก่ จำนวน PI = 3.14159 ...; ลอการิทึมทศนิยมของจำนวนเต็มใดๆ ที่ไม่ได้แทนด้วยเลขหนึ่งตามด้วยศูนย์ จำนวน e = 2.71828 ... และอื่น ๆ ... วิทยาศาสตร์ธรรมชาติ. พจนานุกรมสารานุกรม

จำนวนที่ไม่ใช่รากของพหุนามใดๆ ที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม โดเมนของจำนวนดังกล่าวเป็นศูนย์ของจำนวนจริง เชิงซ้อน และเลขฐานสิบ การมีอยู่และโครงสร้างที่ชัดเจนของ T. ch. ที่แท้จริง ได้รับการพิสูจน์โดย J. Liouville ... ... สารานุกรมคณิตศาสตร์

สมการที่ไม่ใช่พีชคณิต โดยปกติแล้วสมการเหล่านี้เป็นสมการที่มีฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ลอการิทึม ตรีโกณมิติ ผกผันตรีโกณมิติ ตัวอย่างเช่น คำจำกัดความที่เข้มงวดกว่านี้คือ สมการเหนือธรรมชาติคือสมการ ... Wikipedia

ตัวเลขประมาณเท่ากับ 2.718 ซึ่งเป็นเรื่องปกติในวิชาคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ ตัวอย่างเช่น ในการสลายตัวของสารกัมมันตภาพรังสีหลังจากเวลา เสื้อ เศษส่วนของปริมาณเริ่มต้นของสารยังคงอยู่ เท่ากับ e kt โดยที่ k เป็นตัวเลข ... ... สารานุกรมของถ่านหิน

E เป็นค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์ ฐานของลอการิทึมธรรมชาติ จำนวนอตรรกยะและจำนวนอตรรกยะ บางครั้งหมายเลข e เรียกว่าหมายเลขออยเลอร์ (เพื่อไม่ให้สับสนกับหมายเลขออยเลอร์ที่เรียกว่าประเภทแรก) หรือหมายเลขเนเปียร์ ถูกกำหนดโดยอักษรละตินตัวพิมพ์เล็ก "e" ... ... Wikipedia