ทฤษฎีบทบนวงแหวนของพหุนามตัวดำเนินการ เขตจำกัดตามวงแหวนของพหุนาม

ก) "+" เป็นการเชื่อมโยงบน K[NS]: "NS(NS), NS(NS), ชม(NS)Î K[NS] (NS(NS)+NS(NS))+ชม(NS)= ฉ(NS)+(NS(NS)+ชม(NS))

b) "+" เป็นสับเปลี่ยนบน K[NS]: "NS(NS), NS(NS)Î K[NS] NS(NS)+NS(NS)= g(NS)+NS(NS)

ค) มี 0 ( NS)=0+0⋅NS+0⋅NS 2 +…+0⋅x น+… Î K[NS] เช่นนั้น "Î K[NS] : =

ในทำนองเดียวกัน

ง) "Î K[NS] มีอยู่ Î K[NS] ดังนั้น

= 0+0⋅NS+0⋅NS 2 +…+0⋅x n = 0(NS). เช่นเดียวกัน = 0(NS).

4... วี K[NS]ปฏิบัติตามกฎหมายการจัดจำหน่าย:

จ) " NS(NS), NS(NS), ชม(NS)Î K[NS] (NS(NS)+NS(NS))⋅ชม(NS)= ฉ(NS)ห๊ะ(NS)+NS(NS)⋅ชม(NS)

ชม(NS) ⋅ (NS(NS)+NS(NS))= h(NS)⋅f(NS)+ชม(NS)⋅NS(NS)

ดังนั้น, K[NS] - แหวน.

5. แสดงว่าK[NS]- วงแหวนเชื่อมโยงสลับกับ 1

f) "⋅" เชื่อมโยงกับ K[NS]: "NS(NS), NS(NS), ชม(NS)Î K[NS] (NS(NS)⋅NS(NS))⋅ชม(NS)= ฉ(NS)⋅(NS(NS)⋅ชม(NS))

g) "⋅" เป็นสับเปลี่ยนบน K[NS]: "NS(NS), NS(NS)Î K[NS] NS(NS)⋅NS(NS)= g(NS)⋅NS(NS)

ซ) B K[NS] มีหน่วยพหุนาม 1 ( NS)= 1+0⋅NS+0⋅NS 2 +…+0⋅x น + ...Î K[NS] ด้วยสัมประสิทธิ์ NS 0 =1, ข ฉัน= 0 สำหรับส่วนที่เหลือ ผม. " Î K[NS]

ความถูกต้องของ a), b), e), f), g) ตามความจริงที่ว่าการดำเนินการ "+" และ "" เหนือพหุนามจะลดลงเป็นการดำเนินการที่สอดคล้องกันของสัมประสิทธิ์ - องค์ประกอบจาก Kและในวงแหวน K"+" และ "⋅" เป็นกฎการสับเปลี่ยน เชื่อมโยงและแจกจ่าย

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ดีกรีพหุนาม คุณสมบัติดีกรีพหุนาม

ทฤษฎีบท 2 . ให้ K เป็นวงแหวนสลับเปลี่ยนแบบไม่มีศูนย์ที่มีหน่วย,, แล้ว:

1) องศา(+ สูงสุด (องศา, องศา);

นี่เป็นแบบฝึกหัดที่ดีและมีความหมายทั้งเกี่ยวกับเทคนิคการพิสูจน์และการทำความเข้าใจสาระสำคัญของแนวคิดเกี่ยวกับพีชคณิตที่ใช้

นั่นคือ $% ฉัน $% เป็นอุดมคติของแหวนจะชัดเจนถ้าเราใช้เกณฑ์ ชุดองค์ประกอบของแหวนที่ไม่ว่างเปล่าจะสร้างอุดมคติได้ก็ต่อเมื่อเป็น 1) ปิดภายใต้การลบ 2) ถูกปิดภายใต้การคูณโดยองค์ประกอบของวงแหวน ตัวอย่างที่ง่ายที่สุด: แม้แต่ในจำนวนเต็ม ที่นี่ความถูกต้องของคุณสมบัติทั้งสองจะปรากฏทันที นอกจากนี้ คุณสามารถใช้องค์ประกอบใดๆ $% a_1 $%, ..., $% a_n $% ของวงแหวนสลับ $% R $% และพิจารณาชุดของชุดค่าผสมเชิงเส้นทั้งหมดของรูปแบบ $% r_1a_1 + r_2a_2 + \ cdots + r_na_n $% โดยที่องค์ประกอบ $% r_i \ ใน R $% ทำงานผ่านค่าทั้งหมด นี่จะเป็นอุดมคติของแหวน ว่ากันว่าสร้างขึ้นโดยองค์ประกอบ $% a_1 $%, ..., $% a_n $%

มาถึงส่วนฮิวริสติกเล็กๆ อุดมคติของเราถูกสร้างขึ้นโดยสององค์ประกอบ: พหุนาม $% x ^ 3 + x ^ 2 + x + 1 = (x + 1) (x ^ 2 + 1) $% และจำนวน $% 5 $% ข้อพิจารณาทั่วไปคือ: หากเราสนใจวงแหวนแฟคเตอร์ องค์ประกอบเหล่านี้จะต้องเท่ากับศูนย์

เป็นที่ชัดเจนว่า 5 ไม่เท่ากับ 0 แต่ถ้าการระบุดังกล่าวทำอย่างน้อยแบบมีเงื่อนไข นั่นคือ เราคิดว่าองค์ประกอบเหล่านี้ "เทียบเท่า" เราก็จะได้โมดูโลเลขคณิตปกติ 5 นั่นคือ องค์ประกอบของ วงแหวนที่เหลือ $% \ mathbb Z_5 จะกลายเป็นสัมประสิทธิ์ของพหุนาม $% โมดูโล 5

ในกรณีนี้ พหุนามดีกรีที่สามสามารถแบ่งออกเป็นตัวประกอบเชิงเส้นได้ เนื่องจาก 1 และ -4 "เทียบเท่า" สำหรับเรา และโมดูโล 5 เราจะได้ $% x ^ 2 + 1 = x ^ 2-4 = (x-2 ) (x + 2) $% อันที่จริง เราได้วงแหวนแฟคเตอร์ดังต่อไปนี้: $% \ mathbb Z_5 [x] / ((x + 1) (x + 2) (x-2)) $% ในวงเล็บ เรามีพหุนามที่สร้างอุดมคติหลัก

หากองค์ประกอบที่สร้างอุดมคติหลักถูกแยกตัวประกอบ จากข้อเท็จจริงทั่วไปที่ว่าวงแหวนผลหารเป็นไอโซมอร์ฟิคไปยังผลคูณโดยตรงของวงแหวนผลหารสามวงของวงแหวนพหุนามในอุดมคติหลักเดียวกันที่สร้างโดยปัจจัยที่แยกจากกัน ตัวอย่างเช่น พิจารณา $% \ mathbb Z_5 [x] / (x-2) $% นี่คือตรรกะเดียวกัน: เรามี $% x-2 $% เท่ากับศูนย์ นั่นคือ $% x $% ถูกแทนที่ด้วย $% 2 $% ตัวแปรหายไป เหลือแต่สัมประสิทธิ์ วงแหวนแฟคเตอร์กลายเป็น isomorphic ถึง $% \ mathbb Z_5 $% เรามีสามคน และเราได้ผลิตภัณฑ์โดยตรง นั่นคือ $% \ mathbb Z_5 \ ครั้ง \ mathbb Z_5 \ ครั้ง \ mathbb Z_5 $%

นี่คือคำตอบ และตอนนี้ยังคงต้องอธิบายแบบเดียวกันในระดับที่เป็นทางการอย่างเคร่งครัด พิจารณา homomorphism ของวงแหวน $% \ mathbb Z $% สู่ $% \ mathbb Z_5 $% นั่นคือ บนวงแหวนที่เหลือ $% \ mathbb Z / 5 \ mathbb Z $% modulo 5 มันทำให้เกิด homomorphism ของพหุนาม แหวน: $% \ mathbb Z [x] \ ถึง \ mathbb Z_5 [x] $% มันถูกจัดเรียงอย่างเรียบง่าย: สำหรับพหุนามที่มากกว่า $% \ mathbb Z $% เราจะแทนที่สัมประสิทธิ์ด้วยเศษที่เหลือหลังจากการหารด้วย $% 5 $%

ตอนนี้สำหรับแต่ละพหุนาม $% f (x) \ in \ mathbb Z_5 [x] $% เราเชื่อมโยงค่าสามค่าของมันที่จุดที่ 2, 3, 4 นั่นคือพิจารณาสาม $% (f (2), f (3), f ( 4)) $% ที่เป็นของแหวน $% \ mathbb Z_5 ^ 3 = \ mathbb Z_5 \ ครั้ง \ mathbb Z_5 \ ครั้ง \ mathbb Z_5 $% เนื่องจากพหุนามถูกเพิ่มและคูณตามกฎเดียวกับตัวเลข เราจึงได้ homomorphism ของวงแหวน ในองค์ประกอบของ homomorphism ดั้งเดิมกับข้อมูล เราจะได้ homomorphism $% \ phi \ colon \ mathbb Z [x] \ to \ mathbb Z_5 \ ครั้ง \ mathbb Z_5 \ ครั้ง \ mathbb Z_5 $% เรามีความสนใจในแก่นของมัน

ก่อนอื่นเห็นได้ชัดว่าหมายเลข 5 เป็นของเคอร์เนล (ไปที่องค์ประกอบศูนย์ของวงแหวนแล้วภายใต้ homomorphisms แรกเมื่อเราผ่านไปยังส่วนที่เหลือ) นอกจากนี้ พหุนาม $% x ^ 3 + x ^ 2 + x + 1 = (x + 1) (x ^ 2 + 1) $% จะถูกจับคู่เป็นพหุนามเหนือวงแหวนเรซิดิวเท่ากับ $% (x + 1 ) (x ^ 2 -4) = (x + 1) (x + 2) (x-2) = (x-2) (x-3) (x-4) $% เนื่องจาก 1 คือ -4 และ 2 คือ -3 โมดูโล 5. สิ่งนี้อธิบายได้ว่าทำไมเราจึงเอาค่าของพหุนามตรงจุดที่ 2, 3, 4 ตรงนี้ทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ แล้วเวกเตอร์ศูนย์ของผลิตภัณฑ์โดยตรงถูกกำหนดให้กับพหุนาม ตามคำจำกัดความ นี่หมายความว่า $% x ^ 3 + x ^ 2 + x + 1 $% เป็นของเคอร์เนล เนื่องจากเคอร์เนลเป็นแบบอุดมคติ ดังนั้นองค์ประกอบทั้งหมดของ $% I $% ในอุดมคติที่อธิบายไว้ในเงื่อนไขจึงเป็นของเคอร์เนล นั่นคือ $% ฉัน $% อยู่ใน $% \ mathop (\ rm Ker \,) \ phi $%

ลองดูว่าอันที่จริงเคอร์เนลตรงกับอุดมคติ $% I $% หากพหุนาม $% f (x) $% ที่มีสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มชนกับเคอร์เนล สิ่งนี้จะเทียบเท่ากับความจริงที่ว่าค่าของ $% f (2) $%, $% f (3) $%, $% f (4) $% เป็นทวีคูณห้า ระบุในวิธีมาตรฐานคลาสเรซิดิวของจำนวน $% a $% modulo 5 เป็น $% \ bar (a) $% และโดย $% \ bar (f) (x) $% ภาพของพหุนามด้วย ค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มในวงแหวน $% \ mathbb Z_5 [x] $% เราจะเห็นว่า $% \ bar (f) (2) = \ bar (f) (3) = \ bar (f) (4) = 0 $ % นั่นคือตัวเลข 2 , 3, 4 เป็นรากของพหุนาม $% \ bar (f) (x) $% ตามทฤษฎีบทของ Bezout มันหารด้วยทวินาม $% x-2 $%, $% x-3 $%, $% x-4 $% ลงตัว จากนั้นจะแบ่งออกเป็นผลิตภัณฑ์ของตนนั่นคือสามารถเขียนได้เป็น $% \ bar (f) (x) = (x-2) (x-3) (x-4) \ bar (g) (x ) $ % สำหรับพหุนามบางตัว $% g (x) $% พร้อมสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม

ในวงแหวนของสารตกค้าง คุณสามารถเปลี่ยนสัมประสิทธิ์โดยเท่ากับพวกมัน โมดูโล 5 ดังนั้นความเท่าเทียมกัน $% \ bar (f) (x) = (x ^ 3 + x ^ 2 + x + 1) \ bar (g) (x) $% ในวงแหวน $% \ mathbb Z_5 [x] $% จากนั้นปรากฎว่าพหุนาม $% f (x) - (x ^ 3 + x ^ 2 + x + 1) g (x) $% กลายเป็นศูนย์ ดังนั้นสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของมันคือทวีคูณของ 5 นั่นคือ ผลต่างคือ $% 5h (x) $% สำหรับพหุนามบางตัวที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม เป็นผลให้ปรากฎว่า $% f (x) = (x ^ 3 + x ^ 2 + x + 1) g (x) + 5h (x) $% นั่นคือ $% f (x) $ % เป็นของอุดมคติ $ % I $% ตามต้องการ

ตอนนี้เราสามารถใช้ทฤษฎีบทกับ homomorphisms ของวงแหวน และสรุปได้ว่าผลหาร ring $% \ mathbb Z [x] / I $% โดยเคอร์เนลของ homomorphism $% \ phi $% เป็น isomorphic กับภาพของ homomorphism สิ่งสุดท้ายที่เหลืออยู่: พิสูจน์ว่า homomorphism $% \ phi $% เป็นสมมุติฐาน ทำได้ด้วยวิธีที่ค่อนข้างง่าย ใช้พหุนาม $% (x-2) (x-3) $% และกำหนดเวกเตอร์ของค่าที่จุดที่ 2, 3, 4 (mod 5) ปรากฎว่า $% (0,0,2) $% เพื่อให้ได้หนึ่งในตำแหน่งสุดท้าย ให้คูณพหุนามด้วย 3 ดังนั้นเราจึงเห็นว่าเวกเตอร์พื้นฐาน $% (0,0,1) $% อยู่ในรูปภาพของ $% \ phi $%

เราทำเช่นเดียวกันกับ $% (x-2) (x-4) $% และมันจะไปที่สามอันดับแรก $% (0, -1,0) $% โดยการเปลี่ยนเครื่องหมาย เราได้เวกเตอร์พื้นฐานที่สอง $% (0,1,0) $% สุดท้าย $% (x-3) (x-4) $% กลายเป็น $% (2,0,0) $% และการคูณด้วย 3 จะได้ $% (1,0,0) $% เวกเตอร์ทั้งหมดของฐานของช่องว่าง $% \ mathbb Z_5 ^ 3 $% อยู่ในรูปภาพของ $% \ phi $% นั่นคือมันเป็นสมมุติฐาน ในที่สุดสิ่งนี้ก็พิสูจน์ได้ว่า $% \ mathbb Z [x] / I \ cong \ mathbb Z_5 \ ครั้ง \ mathbb Z_5 \ ครั้ง \ mathbb Z_5 $%

สิ่งสุดท้ายที่เหลืออยู่ วงแหวนแฟคเตอร์ที่เราได้รับคือผลคูณของสามฟิลด์ขององค์ประกอบห้าอย่าง วงแหวนดังกล่าวไม่เพียงแต่ไม่ใช่สนามเท่านั้น แต่พวกมันยังมีตัวหารศูนย์เสมอ ก็เพียงพอที่จะคูณจำนวนสามเท่าที่ไม่ใช่ศูนย์ $% (1,0,0) $% และ $% (0,1,0) $% (เชิงพิกัด) และเราจะได้องค์ประกอบศูนย์ของวงแหวนแฟคเตอร์

1. วงแหวนของพหุนามเหนือสนาม

อนุญาต เป็นสนามพล. สัญลักษณ์แสดงถึงจำนวนรวมของพหุนามทั้งหมดในตัวแปร (จากองศาที่เป็นไปได้ทั้งหมด) ซึ่งค่าสัมประสิทธิ์นำมาจากฟิลด์:

มีการกำหนดการดำเนินการสองรายการในชุดนี้: สามารถเพิ่มและคูณพหุนามสองพหุนามตามกฎที่รู้จักกันดี การดำเนินการของการบวกและการคูณของพหุนามเป็นไปตามสัจพจน์ 1-7 และ 9 ของสนาม (นั่นคือทั้งหมดยกเว้นที่แปด) ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น คอลเล็กชันของวัตถุดังกล่าวเรียกว่าวงแหวน เป็นวงแหวนของพหุนามเหนือสนาม

อีกตัวอย่างหนึ่งของวงแหวนคือวงแหวนของจำนวนเต็ม ปรากฎว่าคุณสมบัติพื้นฐานของจำนวนเต็มเป็นผลมาจากสัจพจน์ 1-7, 9 และยังคงใช้ได้ในทุกวง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เราถ่ายโอนคุณสมบัติการหารของจำนวนเต็มเป็นพหุนาม ดีกรีของพหุนามจะแสดงด้วย

การแยกตัวของพหุนาม

พหุนามเรียกว่าพหุนามหารด้วยพหุนามถ้าเราสามารถหาพหุนามเช่นนั้นได้ ... พวกเขายังบอกว่าพวกเขาแบ่งและเขียนในรูปแบบ

หารด้วยเศษ

สำหรับพหุนามสองตัวใด ๆ และเราสามารถหาพหุนามได้เช่นนั้น

พหุนามและสามารถพบได้โดยอัลกอริทึมการหารมุมที่รู้จักกันดี โปรดทราบว่าการคำนวณจะง่ายขึ้นหากตัวประกอบนำหน้าเป็นตัวหาร สิ่งนี้สามารถทำได้โดยการแยกตัวประกอบออก: ที่นี่ เป็นตัวหารที่มีค่าสัมประสิทธิ์สูงสุด 1, a - ผลหารใหม่ซึ่งหากจำเป็นสามารถเรียกคืนได้

รูปแบบดังกล่าวสะดวกสำหรับการคำนวณเครื่อง

รูปแบบการคำนวณของการหารด้วยเศษ

(5)

แทนที่ (4) และ (5) เป็น (3) และเปรียบเทียบสัมประสิทธิ์ที่ เราได้รับระบบ

. (6)

. (7)

เงื่อนไขการรวมในผลรวมเหล่านี้คือดัชนีของสัมประสิทธิ์ต้องอยู่ในช่วงตั้งแต่ 0 ถึงระดับของพหุนาม:

ดังนั้น ดัชนีผลรวมต้องแปรผันภายใน

ตัวอย่างเช่น สำหรับ (6) ใช้แบบฟอร์ม , นั่นคือ .

ถ้าเช่นนั้น ดังนั้น

,

เพราะ . โปรดทราบว่าภายใต้เครื่องหมายผลรวมจะป้อนด้วยดัชนีที่มีขนาดใหญ่ ซึ่งทำให้สามารถคำนวณตามลำดับได้ ดังนั้นสัมประสิทธิ์ผลหารและเศษเหลือเมื่อหารพหุนามสองพหุนามสามารถหาได้ตามรูปแบบต่อไปนี้:

1 ° พวกเราเชื่อว่า.

2 ° สำหรับการคำนวณ และสมมติว่า

.

3 ° สำหรับการคำนวณ และสมมติว่า

.

คำชี้แจงพหุนาม

ข้อเท็จจริงที่เป็นที่รู้จักกันดีเกี่ยวกับพหุนามตามมาจากสูตรหาร (3) ด้วยเศษที่เหลือ เป็นสิ่งสำคัญสำหรับเราที่ข้อเท็จจริงเหล่านี้ใช้ได้กับวงแหวนพหุนามเหนือสนามใดก็ได้

1. ทฤษฎีบท 1(เบซู). อนุญาต และ a เป็นองค์ประกอบโดยพลการของสนาม จากนั้นเศษที่เหลือของการหารด้วยพหุนามจะเท่ากับองค์ประกอบ

อันที่จริงการเขียน (2.3) สำหรับกรณีนี้เราได้รับ

โดยที่พหุนามของดีกรีศูนย์คือองค์ประกอบของสนาม แทนที่ความเท่าเทียมกันนี้ เราได้รับ

2. ถ้านั่นคือรูทก็หารด้วย

ต่อจาก 1 โดยตรง

3. พหุนามของดีกรีในสาขาใดก็ได้มีรากมากที่สุด

จากข้อเท็จจริงที่ว่าหลังจากหารด้วยดีกรีของพหุนามแล้วลดลง 1

4. ถ้าพหุนามหารด้วย:

,

และผลหารหารด้วยแล้วหารด้วย. ในกรณีนี้ รูทจะเรียกว่าหลายตัว โดยการกำหนดอนุพันธ์อย่างเป็นทางการของพหุนามเป็นพหุนาม เป็นการง่ายที่จะตรวจสอบว่ากฎของความแตกต่างทั้งหมดยังคงถูกต้อง ตัวอย่างเช่น if

,

ดังนั้น หากพหุนามหลายรูทของพหุนาม พหุนามและอนุพันธ์ของพหุนามนั้นหารด้วย ในทางตรงกันข้าม หากทราบว่าพหุนามและอนุพันธ์ของพหุนามไม่มีตัวหารร่วมที่มีดีกรีสูงกว่าศูนย์ รากของพหุนามทั้งหมดจะต่างกัน

2. อัลกอริธึมของยุคลิด

ตัวหารร่วมมากของพหุนามสองตัวคือพหุนามเช่นนั้น

2) ถ้าและแล้ว

การกำหนดจะเหมือนกัน: .

ทฤษฎีบท 2ถ้า แล้วมีพหุนามเช่นนั้น

หลักฐานเหมือนกับวงแหวนของจำนวนเต็ม

ความคิดเห็น มีความกำกวมในคำนิยาม มันเชื่อมโยงกับข้อเท็จจริงที่ว่าถ้า d (x) เป็นตัวหารร่วมมากของพหุนามและ a เป็นองค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์ตามอำเภอใจของสนาม พหุนามก็จะเป็นไปตามเงื่อนไข 1) และ 2 ). ในทางตรงกันข้าม ถ้า และ แล้วพหุนามจะแบ่งกันและเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อ , (). ดังนั้น ตัวหารร่วมมากของพหุนามสองพหุนามเหนือเขตข้อมูลจึงถูกกำหนดเป็นปัจจัยหนึ่ง - องค์ประกอบ ความกำกวมนี้สามารถขจัดออกได้โดยกำหนดให้สัมประสิทธิ์นำหน้ามีค่าเท่ากับหนึ่ง ในเรื่องนี้ เราได้เพิ่มคำจำกัดความของเงื่อนไขการทำให้เป็นมาตรฐาน

3) สัมประสิทธิ์อาวุโสเท่ากับหนึ่ง

ในวงแหวน สามารถใช้อัลกอริธึมของ Euclid ในการหาตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดและรูปแบบการคำนวณที่กล่าวถึงข้างต้นได้ ลองจำกัดตัวเราเป็นตัวอย่าง

ตัวอย่าง. หาตัวหารร่วมมากของพหุนามในวงแหวน

และ ,), และดังนั้นจึง, ; หรือแล้ว (โดยคำนึงถึงเงื่อนไขการทำให้เป็นมาตรฐานในคำจำกัดความของตัวหารร่วมมากของพหุนาม)