สูตร Ostrogradsky - สีเขียว

สูตรนี้สร้างการเชื่อมต่อระหว่างอินทิกรัลส่วนโค้งเหนือรูปร่าง C แบบปิด และอินทิกรัลคู่เหนือพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยเส้นขอบนี้

คำจำกัดความ 1. โดเมน D เรียกว่าโดเมนธรรมดา หากสามารถแบ่งออกเป็นโดเมนประเภทแรกจำนวนจำกัด และโดยอิสระจากสิ่งนี้ เป็นโดเมนจำนวนจำกัดประเภทที่สอง

ทฤษฎีบทที่ 1 ให้นิยามฟังก์ชัน P (x, y) และ Q (x, y) ในโดเมนอย่างง่าย ร่วมกับอนุพันธ์ย่อยบางส่วน และ

จากนั้นสูตรต่อไปนี้จะถือ:

โดยที่ C คือเส้นขอบปิดของโดเมน D

นี่คือสูตร Ostrogradsky-Green

เงื่อนไขความเป็นอิสระของอินทิกรัลโค้งจากเส้นทางของการบูรณาการ

คำจำกัดความ 1 โดเมนในจตุภาคปิด D ถูกกล่าวว่าเชื่อมต่ออย่างง่าย ๆ หากเส้นโค้งปิดใดๆ l D สามารถเสียรูปอย่างต่อเนื่องจนถึงจุดหนึ่งเพื่อให้ทุกจุดของเส้นโค้งนี้อยู่ในบริเวณ D (บริเวณที่ไม่มี "รู" - D 1) , หากการเสียรูปดังกล่าวเป็นไปไม่ได้ ภูมิภาคจะเรียกว่าเชื่อมต่อแบบทวีคูณ (ด้วย "รู" - D 2)

คำจำกัดความที่ 2 หากค่าของอินทิกรัลส่วนโค้งตามเส้นโค้ง AB ไม่ได้ขึ้นอยู่กับรูปแบบของเส้นโค้งที่เชื่อมระหว่างจุด A และ B แสดงว่าอินทิกรัลส่วนโค้งนี้ไม่ขึ้นอยู่กับเส้นทางของการรวม:

ทฤษฎีบท 1 ให้ฟังก์ชันต่อเนื่อง P (x, y) และ Q (x, y) ถูกกำหนดในโดเมนที่เชื่อมต่อแบบปิดอย่างง่าย D จากนั้น 4 เงื่อนไขต่อไปนี้จะเทียบเท่า (เทียบเท่า):

1) อินทิกรัลโค้งบนวงปิด

โดยที่ C คือเส้นขอบปิดใดๆ ใน D;

2) อินทิกรัลโค้งบนลูปปิดไม่ได้ขึ้นอยู่กับเส้นทางการรวมในโดเมน D นั่นคือ

3) รูปแบบดิฟเฟอเรนเชียล P (x, y) dx + Q (x, y) dy คือค่าดิฟเฟอเรนเชียลทั้งหมดของฟังก์ชัน F ในโดเมน D กล่าวคือ มีฟังก์ชัน F เช่นนั้น (x, y) D ความเท่าเทียมกัน

dF (x, y) = P (x, y) dx + Q (x, y) dy; (3)

4) สำหรับทุกจุด (x, y) D จะเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

ให้เราพิสูจน์ตามแบบแผน

ให้เราพิสูจน์ว่าจาก

ให้ 1) ได้รับเช่น = 0 โดยคุณสมบัติ 2 ของ §1 ซึ่ง = 0 (โดยคุณสมบัติ 1 ของ §1)

ให้เราพิสูจน์ว่าจาก

จะได้รับเครดิตอินท์ ไม่ได้ขึ้นอยู่กับเส้นทางแห่งการบูรณาการ แต่อยู่ที่การเลือกจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเส้นทางเท่านั้น

พิจารณาฟังก์ชั่น

เราอ้างว่ารูปแบบดิฟเฟอเรนเชียล P (x, y) dx + Q (x, y) dy คือค่าดิฟเฟอเรนเชียลทั้งหมดของฟังก์ชัน F (x, y) นั่นคือ , อะไร

มากำหนดกำไรส่วนตัวกันเถอะ

x F (x, y) = F (x + x, y) -F (x, y) = = == =

(ตามคุณสมบัติ 3 ของ § 1, BB * Oy) = = P (c, y) x (ตามทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย c -const) โดยที่ x

(เนื่องจากความต่อเนื่องของฟังก์ชัน P) ได้รับสูตร (5). สูตร (6) ได้มาในลักษณะเดียวกัน

ให้เราพิสูจน์ว่าจาก

ได้สูตรมา

dF (x, y) = P (x, y) dx + Q (x, y) dy

แน่นอน = P (x, y) แล้ว

ตามสมมติฐานของทฤษฎีบท ด้านขวามือของความเท่าเทียมกัน (7) และ (8) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง จากนั้นโดยทฤษฎีบทเกี่ยวกับความเท่าเทียมกันของอนุพันธ์แบบผสม ด้านซ้ายมือก็จะเท่ากัน กล่าวคือ

ให้เราพิสูจน์ว่าจาก 41

มาเลือกเส้นขอบปิดจากพื้นที่ D ซึ่งจำกัดพื้นที่ D 1

ฟังก์ชั่น P และ Q เป็นไปตามเงื่อนไข Ostrogradsky-Green:

โดยอาศัยความเท่าเทียมกัน (4) ทางด้านซ้ายของ (9) อินทิกรัลเท่ากับ 0 ซึ่งหมายความว่าด้านขวามือของความเท่าเทียมกันก็เท่ากับ

หมายเหตุ 1. ทฤษฎีบท 1. สามารถกำหนดเป็นสามทฤษฎีบทอิสระ

ทฤษฎีบท 1 *. เพื่อให้อินท์ ไม่ได้ขึ้นอยู่กับเส้นทางการรวมเพื่อให้เป็นไปตามเงื่อนไข (.1) กล่าวคือ

ทฤษฎีบท 2 *. เพื่อให้อินท์ ไม่ได้ขึ้นอยู่กับเส้นทางการรวมเพื่อให้เงื่อนไข (3) เป็นที่พอใจ:

รูปแบบดิฟเฟอเรนเชียล P (x, y) dx + Q (x, y) dy คือค่าดิฟเฟอเรนเชียลทั้งหมดของฟังก์ชัน F ในโดเมน D

ทฤษฎีบท 3 *. เพื่อให้อินท์ ไม่ได้ขึ้นอยู่กับพาธการรวมเพื่อให้เงื่อนไข (4) เป็นที่พอใจ:

หมายเหตุ 2 ในทฤษฎีบท 2 * โดเมน D สามารถคูณกันได้

ภูมิภาคเรียกว่าเชื่อมต่ออย่างง่าย ๆ หากขอบเขตของมันเป็นชุดที่เชื่อมต่อ โดเมนเรียกว่า n-connected หากขอบเขตของมันแบ่งออกเป็นชุดที่เชื่อมต่อ n

ความคิดเห็น สูตรของ Green ยังใช้ได้กับโดเมนที่เชื่อมต่อแบบทวีคูณ

สำหรับอินทิกรัล (A, B - จุดใด ๆ จาก D) ให้เป็นอิสระจากเส้นทางของการรวม (แต่เฉพาะในจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด A, B) จำเป็นและเพียงพอที่ตามเส้นโค้งปิดใด ๆ (ตามรูปร่างใด ๆ ) นอนอยู่ ใน D อินทิกรัลเป็นศูนย์ = 0

หลักฐาน (จำเป็น) ให้ (4) เป็นอิสระจากพาธการรวม พิจารณาเส้นชั้นความสูง C โดยพลการที่อยู่ในโดเมน D และเลือกจุด A, B บนเส้นชั้นความสูงนี้ จากนั้นเส้นโค้ง C สามารถแสดงเป็นการรวมกันของสองเส้นโค้ง AB = G2, AB = G1, C = Г - 1 + G2

ทฤษฎีบทที่ 1 เพื่อให้อินทิกรัลโค้งไม่ขึ้นกับเส้นทางของการรวมตัวใน D จำเป็นและเพียงพอที่

ในพื้นที่ ง. พอเพียง. ถ้าพอใจแล้ว สูตรของ Green สำหรับเส้น C ใดๆ จะเป็น ดังนั้นการยืนยันที่จำเป็นจึงตามด้วยบทแทรก ความต้องการ. โดย lemma สำหรับเส้นชั้นความสูงใดๆ = 0 จากนั้น โดยสูตรของ Green สำหรับโดเมน D ที่ล้อมรอบด้วยเส้นชั้นความสูงนี้ = 0 โดยทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย = mD หรือ == 0 เมื่อผ่านไปยังขีด จำกัด การหดตัวของเส้นชั้นความสูงถึงจุดหนึ่ง เราก็ได้มาถึงจุดนี้

ทฤษฎีบทที่ 2 เพื่อให้อินทิกรัลโค้ง (4) เป็นอิสระจากเส้นทางการรวมใน D จำเป็นและเพียงพอที่อินทิกรัล Pdx + Qdy เป็นค่าดิฟเฟอเรนเชียลทั้งหมดของฟังก์ชัน u ในโดเมน D. du = Pdx + Qdy ความเพียงพอ ให้สำเร็จแล้ว ความจำเป็น. ให้อินทิกรัลเป็นอิสระจากเส้นทางของการรวม เราแก้ไขจุด A0 ในโดเมน D และกำหนดฟังก์ชัน u (A) = u (x, y) =

ในกรณีนี้

XÎ (xÎ). จึงมีอนุพันธ์ = P ในทำนองเดียวกันมีการตรวจสอบว่า = Q. ภายใต้สมมติฐานที่ทำขึ้น ฟังก์ชัน u กลายเป็นอนุพันธ์ต่อเนื่องและ du = Pdx + Qdy

32-33. ความหมายของอินทิกรัลโค้งของชนิดที่ 1 และชนิดที่ 2

อินทิกรัลเส้นโค้งตามความยาวส่วนโค้ง (ชนิดที่ 1)

ให้ฟังก์ชัน f (x, y) ถูกกำหนดและต่อเนื่องที่จุดของส่วนโค้ง AB ของเส้นโค้งเรียบ K แบ่งส่วนโค้งตามอำเภอใจออกเป็น n ส่วนโค้งพื้นฐานด้วยจุด t0..tn ให้ lk เท่ากับความยาว k ของส่วนโค้งบางส่วน . ใช้จุดใดจุดหนึ่ง N (k, k) ในแต่ละส่วนโค้งพื้นฐานแล้วคูณจุดนี้ด้วยจุดที่สอดคล้องกัน ความยาวส่วนโค้งเป็นผลรวมสามส่วน:

1 =f (k, k) lk 2 = Р (k, k) хk 3 = Q (k, k) yk โดยที่ хk = x k -x k -1, yk = y k -y k -1

อินทิกรัลโค้งของชนิดที่หนึ่งเหนือความยาวส่วนโค้งคือขีดจำกัดของผลรวมอินทิกรัล 1 โดยมีเงื่อนไขว่าค่าสูงสุด (lk)  0

ถ้าลิมิตของผลรวมปริพันธ์คือ 2 หรือ 3 สำหรับ   0 ขีดจำกัดนี้จะถูกเรียก อินทิกรัลโค้งของชนิดที่สอง ฟังก์ชัน P (x, y) หรือ Q (x, y) ตามเส้นโค้ง l = AB และแสดงโดย:
หรือ

จำนวน:
+
เป็นเรื่องปกติที่จะเรียกอินทิกรัลเส้นโค้งทั่วไปของชนิดที่ 2 และแสดงด้วยสัญลักษณ์:
ในกรณีนี้ ฟังก์ชัน f (x, y), P (x, y), Q (x, y) จะถูกเรียกรวมเข้าด้วยกันตามเส้นโค้ง l = AB เส้นโค้ง l เองเรียกว่ารูปร่างหรือโดยการรวม A - เริ่มต้น B - จุดสิ้นสุดของการรวม dl คือส่วนต่างของความยาวส่วนโค้งดังนั้นจึงเรียกอินทิกรัลส่วนโค้งของประเภทแรก อินทิกรัลโค้งเหนือส่วนโค้งของเส้นโค้ง และชนิดที่สองเหนือฟังก์ชัน

จากคำจำกัดความของอินทิกรัลเส้นโค้งที่อินทิกรัลของชนิดแรกไม่ขึ้นอยู่กับทิศทางที่เส้นโค้ง l วิ่งจาก A และ B หรือจาก B และ A อินทิกรัลโค้งของชนิดที่ 1 ส่วน AB:

สำหรับอินทิกรัลโค้งของชนิดที่สอง การเปลี่ยนแปลงในทิศทางของการวิ่งผ่านเส้นโค้งนำไปสู่การเปลี่ยนแปลงในเครื่องหมาย:

ในกรณีที่ l เป็นเส้นโค้งปิด กล่าวคือ B เกิดขึ้นพร้อมกับ m A จากนั้นจากสองทิศทางที่เป็นไปได้ของการข้ามเส้นชั้นความสูงปิด l เรียกว่าบวก ทิศทางที่พื้นที่ที่วางอยู่ภายในเส้นชั้นความสูงยังคงอยู่ทางด้านซ้ายด้วยความเคารพ ถึง ??? การเบี่ยงนั่นคือทิศทางของการเคลื่อนไหวทวนเข็มนาฬิกา ทางเบี่ยงตรงกันข้ามเรียกว่าลบ อินทิกรัลโค้ง AB ตามเส้นชั้นความสูงปิด l วิ่งไปในทิศทางบวกจะแสดงด้วยสัญลักษณ์:

สำหรับเส้นโค้งเชิงพื้นที่ มีการแนะนำอินทิกรัล 1 ชนิดของชนิดแรกในลักษณะเดียวกัน:

และสามอินทิกรัลของชนิดที่ 2:

เรียกผลรวมของอินทิกรัลสามตัวสุดท้าย อินทิกรัลโค้งทั่วไปของชนิดที่สอง

การประยุกต์บางส่วนของอินทิกรัลโค้งของชนิดที่หนึ่ง.

1.Integral
- ความยาวส่วนโค้ง AB

2. ความหมายทางกลของอินทิกรัลของชนิดที่หนึ่ง

ถ้า f (x, y) =  (x, y) คือความหนาแน่นเชิงเส้นของส่วนโค้งของวัสดุ แสดงว่ามวลของมันคือ:

3.พิกัดจุดศูนย์กลางมวลของส่วนโค้งของวัสดุ:

4. โมเมนต์ความเฉื่อยของส่วนโค้งที่อยู่ในระนาบ oxy สัมพันธ์กับจุดกำเนิดและแกนของการหมุน oo, oy:

5. ความหมายทางเรขาคณิตของอินทิกรัลของชนิดที่หนึ่ง

ให้ฟังก์ชัน z = f (x, y) - มีมิติของความยาว f (x, y)> = 0 ที่ทุกจุดของส่วนโค้งของวัสดุที่อยู่ในระนาบ oxy แล้ว:

โดยที่ S คือพื้นที่ของพื้นผิวทรงกระบอก แมวประกอบด้วยเส้นตั้งฉากของระนาบ oxy ทางทิศตะวันออก ที่จุด M (x, y) ของเส้นโค้ง AB

การประยุกต์ใช้อินทิกรัลโค้งของชนิดที่สองบางส่วน

การคำนวณพื้นที่ของพื้นที่ราบ D ที่มีขอบเขต L

2.กำลังงาน ให้วัสดุชี้ภายใต้การกระทำของแรงเคลื่อนไปตามเส้นโค้งแบนต่อเนื่อง BC ไปจาก B ถึง C การทำงานของแรงนี้:

บรรยาย 4

หัวข้อ: สูตรกรีน. เงื่อนไขความเป็นอิสระของอินทิกรัลโค้งจากเส้นทางของการบูรณาการ

สูตรกรีน.

สูตรของ Green กำหนดความสัมพันธ์ระหว่างอินทิกรัลโค้งบนเส้นขอบปิด Γ บนระนาบและอินทิกรัลคู่เหนือพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยเส้นขอบนี้

อินทิกรัลโค้งตามแนวเส้นชั้นความสูงปิด Γ แทนด้วยสัญลักษณ์ เส้นชั้นความสูงปิด Γ เริ่มต้นที่จุด B ของเส้นชั้นความสูงนี้และสิ้นสุดที่จุด B ปริพันธ์ตามเส้นชั้นความสูงปิดไม่ได้ขึ้นอยู่กับการเลือกจุด B

คำจำกัดความ 1... การข้ามเส้นชั้น Г ถือเป็นค่าบวก ถ้าเมื่อข้ามเส้นชั้น Г พื้นที่ D ยังคงอยู่ทางซ้าย Г + - รูปร่าง Г ถูกข้ามไปในทิศทางบวก Г - - รูปร่างถูกข้ามไปในทิศทางลบเช่น ในทิศทางตรงกันข้าม

จี +

NS

Y

ค

NS

X = x 1 (y)

X = x 2 (y)

NS

NS

NS

ค

Y = y 2 (x)

Y = y 1 (x)

NS

NS

พิจารณาอินทิกรัลคู่

.

ในทำนองเดียวกันก็พิสูจน์ได้ว่า:

จากความเท่าเทียมกัน (1) และ (2) เราได้รับ:

เพราะฉะนั้น,

สูตรของกรีนได้รับการพิสูจน์ภายใต้สมมติฐานที่ทำขึ้น

หมายเหตุ 1... สูตรของกรีนยังคงใช้ได้ถ้าขอบเขต Г ของโดเมน D โดยเส้นตรงบางเส้นขนานกับแกน 0X หรือ 0Y ตัดกันที่จุดมากกว่าสองจุด นอกจากนี้ สูตรของ Green ยังใช้ได้กับโดเมนที่เชื่อมต่อ n

เงื่อนไขความเป็นอิสระของอินทิกรัลโค้งจากเส้นทางการรวมตัวบนระนาบ

ในส่วนนี้ เราจะอธิบายเงื่อนไขที่อินทิกรัลโค้งไม่ได้ขึ้นอยู่กับเส้นทางของการรวม แต่ขึ้นอยู่กับจุดเริ่มต้นและจุดสุดท้ายของการรวม

ทฤษฎีบท 1... เพื่ออินทิกรัลโค้ง โดยไม่ขึ้นกับเส้นทางของการรวมในพื้นที่ที่เชื่อมต่ออย่างง่าย มันเป็นสิ่งจำเป็นและเพียงพอที่อินทิกรัลนี้นำเหนือเส้นขอบที่เรียบเป็นชิ้นเล็ก ๆ ที่ปิดในภูมิภาคนี้มีค่าเท่ากับศูนย์

หลักฐาน: ความจำเป็นกำหนด: ไม่ขึ้นอยู่กับเส้นทางการรวม จำเป็นต้องพิสูจน์ว่าอินทิกรัลโค้งตามเส้นชั้นความสูงที่ปิดเป็นชิ้นเล็กชิ้นน้อยนั้นมีค่าเท่ากับศูนย์

ปล่อยให้รูปร่างปิดเรียบเป็นชิ้นตามอำเภอใจ Γ ถูกพิจารณาในโดเมน D ภายใต้การพิจารณา บนรูปร่าง Γ เราใช้จุด B และ C โดยพลการ

NS

NS

NS

NS

NS

ค

เนื่องจากมันไม่ได้ขึ้นอยู่กับเส้นทางของการบูรณาการดังนั้น

, เช่น.

ความเพียงพอ... ให้ไว้: ปริพันธ์เส้นโค้ง ตามเส้นชั้นความสูงที่เรียบเป็นชิ้น ๆ ที่ปิดสนิทมีค่าเท่ากับศูนย์

จำเป็นต้องพิสูจน์ว่าอินทิกรัลไม่ได้ขึ้นอยู่กับเส้นทางของการรวม

พิจารณาอินทิกรัลโค้งบนจุดเชื่อมต่อ B และ C รูปทรงเรียบสองชิ้นตามเงื่อนไข:

เหล่านั้น. เส้นโค้ง

อินทิกรัลไม่ได้ขึ้นอยู่กับเส้นทางของการบูรณาการ

ทฤษฎีบท 2สมมติว่าพวกมันต่อเนื่องพร้อมกับอนุพันธ์ย่อยบางส่วนในโดเมนที่เชื่อมต่ออย่างง่าย D. เพื่อให้อินทิกรัลโค้ง ไม่ได้ขึ้นอยู่กับวิถีแห่งการบูรณาการ มีความจำเป็นและเพียงพอที่อัตลักษณ์

หลักฐาน: พอเพียง.ที่ให้ไว้:. ต้องพิสูจน์ว่า ไม่ได้ขึ้นอยู่กับเส้นทางของการบูรณาการ สำหรับสิ่งนี้ก็เพียงพอแล้วที่จะพิสูจน์ว่า เท่ากับศูนย์ตามเส้นชั้นผิวเรียบที่ปิดเป็นชิ้นๆ ตามสูตรของ Green เรามี:

ความต้องการ.กำหนดโดยทฤษฎีบท 1 ปริพันธ์เส้นโค้ง ไม่ได้ขึ้นอยู่กับเส้นทางของการบูรณาการ ต้องพิสูจน์ว่า

พิจารณาอินทิกรัลโค้ง

ตามเส้นโค้งระนาบ L ที่เชื่อมจุด M และ N เราจะถือว่าฟังก์ชันมีอนุพันธ์ย่อยต่อเนื่องในโดเมนที่พิจารณา D ให้เราค้นหาว่าอินทิกรัลส่วนโค้งที่เขียนขึ้นนั้นไม่ขึ้นอยู่กับรูปร่างของเส้นโค้ง L ว่าภายใต้เงื่อนไขใด แต่ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของจุดเริ่มต้นและจุดสุดท้าย M และ N เท่านั้น

พิจารณาเส้นโค้งโดยพลการสองเส้น MPN และ MQN ที่อยู่ในขอบเขตที่พิจารณา D และจุดเชื่อมต่อ M และ N (รูปที่ 351) ปล่อยให้เป็น

จากนั้นตามคุณสมบัติ 1 และ 2 ของอินทิกรัลโค้ง (§ 1) เรามี

กล่าวคือ อี อินทิกรัลโค้งแบบวงปิด

ในสูตรสุดท้าย อินทิกรัลของเส้นโค้งจะถูกนำมาใช้เหนือรูปร่าง L ที่ปิดซึ่งประกอบด้วยเส้นโค้ง เห็นได้ชัดว่ารูปร่าง L นี้ถือได้ว่าเป็นกฎเกณฑ์

ดังนั้น จากเงื่อนไขที่ว่าสำหรับสองจุด M และ N ปริพันธ์เส้นโค้งไม่ได้ขึ้นอยู่กับรูปร่างของเส้นโค้งที่เชื่อมต่อพวกมัน แต่ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของจุดเหล่านี้เท่านั้น มันตามมาว่าอินทิกรัลส่วนโค้งตามเส้นชั้นความสูงใดๆ ที่ปิดจะเป็นศูนย์ .

ข้อสรุปจากการสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน หากอินทิกรัลโค้งตามแนวเส้นชั้นความสูงใดๆ ที่ปิดมีค่าเท่ากับศูนย์ อินทิกรัลส่วนโค้งนี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับรูปร่างของเส้นโค้งที่เชื่อมระหว่างจุดสองจุดใดๆ แต่ขึ้นกับตำแหน่งของจุดเหล่านี้เท่านั้น แน่นอน ความเท่าเทียมกัน (2) หมายถึงความเท่าเทียมกัน (1)

ในตัวอย่างที่ 4 § 2 อินทิกรัลเส้นโค้งไม่ได้ขึ้นอยู่กับเส้นทางของการรวม ในตัวอย่างนี้ 3 อินทิกรัลโค้งขึ้นอยู่กับเส้นทางของการรวม เนื่องจากในตัวอย่างนี้ อินทิกรัลเหนือเส้นขอบปิดไม่เท่ากับศูนย์ แต่ให้ พื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยเส้นขอบที่พิจารณา ในตัวอย่างที่ 1 และ 2 อินทิกรัลส่วนโค้งยังขึ้นอยู่กับเส้นทางของการบูรณาการด้วย

คำถามเกิดขึ้นโดยธรรมชาติ: ฟังก์ชันต้องเป็นไปตามเงื่อนไขใดเพื่อให้อินทิกรัลโค้งตามเส้นชั้นความสูงปิดใด ๆ มีค่าเท่ากับศูนย์ คำตอบสำหรับคำถามนี้มาจากทฤษฎีบทต่อไปนี้:

ทฤษฎีบท. สมมติว่าทุกจุดของโดเมน D ฟังก์ชัน ร่วมกับอนุพันธ์ย่อยบางส่วนและต่อเนื่องกัน จากนั้น เพื่อให้อินทิกรัลส่วนโค้งเหนือเส้นชั้นความสูง L ใดๆ ที่อยู่ในโดเมน D เท่ากับศูนย์ นั่นคือ

จำเป็นและเพียงพอที่ความเท่าเทียมกัน

ในการเป็นสัดทั้งหมดของภูมิภาค

การพิสูจน์. พิจารณาเส้นขอบปิดตามอำเภอใจ L ในโดเมน D และเขียนสูตรของ Green สำหรับมัน:

หากเป็นไปตามเงื่อนไข (3) ปริพันธ์คู่ทางด้านซ้ายจะเป็นศูนย์เหมือนกัน ดังนั้น

ดังนั้นจึงพิสูจน์ความเพียงพอของเงื่อนไข (3)

ให้เราพิสูจน์ความจำเป็นของเงื่อนไขนี้ นั่นคือเราจะพิสูจน์ว่าหากความเท่าเทียมกัน (2) ยังคงมีเส้นโค้งปิด L ในโดเมน D เงื่อนไข (3) ก็จะเป็นที่พอใจในแต่ละจุดของโดเมนนี้ด้วย

ในทางตรงกันข้าม สมมุติว่าความเสมอภาค (2) มีอยู่ กล่าวคือ

และเงื่อนไข (3) ไม่เป็นที่พอใจ กล่าวคือ

อย่างน้อยก็จุดหนึ่ง ให้ตัวอย่างเช่น ณ จุดหนึ่งเรามีความไม่เท่าเทียมกัน

เนื่องจากมีฟังก์ชันต่อเนื่องทางด้านซ้ายของอสมการ จึงจะเป็นค่าบวกและมากกว่าจำนวนที่กำหนดในทุกจุดของโดเมน D ที่มีจุดเล็กเพียงพอบางจุด หาอินทิกรัลคู่บนส่วนต่างนี้ มันจะเป็นบวก จริงหรือ,

แต่ตามสูตรของกรีน ทางซ้ายมือของอสมการสุดท้าย เท่ากับอินทิกรัลส่วนโค้งเหนือขอบเขตของพื้นที่ ซึ่งเท่ากับศูนย์ ดังนั้น ความไม่เท่าเทียมกันสุดท้ายขัดแย้งกับเงื่อนไข (2) ดังนั้น ข้อสันนิษฐานที่แตกต่างจากศูนย์อย่างน้อยหนึ่งจุดจึงไม่เป็นความจริง จากที่นี่

เป็นไปตามนั้น

ทุกจุดในพื้นที่

ดังนั้นทฤษฎีบทจึงได้รับการพิสูจน์อย่างสมบูรณ์

ในมาตรา 9, Ch. XIII ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าการเติมเต็มของเงื่อนไขนั้นเทียบเท่ากับความจริงที่ว่านิพจน์นั้นเป็นค่าดิฟเฟอเรนเชียลทั้งหมดของฟังก์ชันบางอย่างเช่น

แต่ในกรณีนี้เวกเตอร์

มีการไล่ระดับสีของฟังก์ชัน ฟังก์ชันที่มีการไล่ระดับสีเท่ากับเวกเตอร์เรียกว่าศักยภาพของเวกเตอร์นี้ ให้เราพิสูจน์ว่าในกรณีนี้อินทิกรัลโค้ง

ตามเส้นโค้ง L จุดเชื่อมต่อ M และ N, (M) เท่ากับความแตกต่างระหว่างค่าของฟังก์ชันและที่จุดเหล่านี้:

การพิสูจน์. ถ้าเป็นผลต่างรวมของฟังก์ชันแล้วอินทิกรัลโค้งจะอยู่ในรูป

ในการคำนวณอินทิกรัลนี้ เราเขียนสมการพาราเมตริกของเส้นโค้ง L ที่เชื่อมจุด M และ

อินทิกรัล ลดเหลืออินทิกรัลแน่นอนต่อไปนี้:

นิพจน์ในวงเล็บคือฟังก์ชันซึ่งเป็นอนุพันธ์ทั้งหมดของฟังก์ชัน ดังนั้น

ดังที่เราเห็น อินทิกรัลโค้งของส่วนต่างทั้งหมดไม่ได้ขึ้นอยู่กับรูปร่างของเส้นโค้งที่ทำการรวมเข้าด้วยกัน

ข้อความที่คล้ายกันถือเป็นอินทิกรัลโค้งเหนือเส้นโค้งช่องว่าง (ดู§ 7 ด้านล่าง)

ความคิดเห็น บางครั้งจำเป็นต้องพิจารณาอินทิกรัลโค้งเหนือความยาวส่วนโค้ง L ของฟังก์ชันบางอย่าง

ให้สนามเวกเตอร์แบน ต่อไปนี้ เราจะถือว่าฟังก์ชัน P และ Q มีความต่อเนื่องร่วมกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันดังกล่าว และในบางพื้นที่ O ของระนาบ

พิจารณาในโดเมน G สองจุดโดยพลการ จุดเหล่านี้สามารถเชื่อมต่อด้วยเส้นต่าง ๆ ที่อยู่ในโดเมนซึ่งค่าของอินทิกรัลส่วนโค้งโดยทั่วไปจะแตกต่างกัน

ตัวอย่างเช่น พิจารณาอินทิกรัลโค้ง

และสองจุด เราคำนวณอินทิกรัลนี้ ประการแรก ตามส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมต่อจุด A และ B และประการที่สอง ตามส่วนโค้งของพาราโบลาที่เชื่อมต่อจุดเดียวกัน เราใช้กฎสำหรับการคำนวณอินทิกรัลเส้นโค้งเราพบว่า

ก) ตามส่วน

b) ตามส่วนโค้งของพาราโบลา:

ดังนั้นเราจึงเห็นว่าค่าของอินทิกรัลโค้งขึ้นอยู่กับเส้นทางของการรวมนั่นคือขึ้นอยู่กับรูปแบบของจุดเชื่อมต่อของเส้น A และ B ในทางกลับกันเนื่องจากง่ายต่อการตรวจสอบเส้นโค้ง อินทิกรัลตามเส้นเดียวกันที่เชื่อมต่อจุดต่างๆ ให้ค่าเท่ากันเท่ากับ

ตัวอย่างที่วิเคราะห์แสดงให้เห็นว่าอินทิกรัลโค้งที่คำนวณตามเส้นทางที่แตกต่างกันซึ่งเชื่อมจุดที่กำหนดสองจุดนั้นในบางกรณีต่างกัน และในบางกรณีใช้ค่าเดียวกัน

ให้ A และ B เป็นจุดสองจุดตามอำเภอใจของโดเมน G พิจารณาเส้นโค้งต่างๆ ที่อยู่ในโดเมน G และเชื่อมจุด A และ B

ถ้าอินทิกรัลโค้งตามเส้นทางใด ๆ เหล่านี้ใช้ค่าเดียวกันก็บอกว่ามันไม่ได้ขึ้นอยู่กับเส้นทางของการบูรณาการ

ในสองทฤษฎีบทถัดไป เงื่อนไขจะได้รับภายใต้อินทิกรัลโค้งไม่ขึ้นกับเส้นทางของการบูรณาการ

ทฤษฎีบทที่ 1 เพื่อให้อินทิกรัลโค้งในบางภูมิภาค G เป็นอิสระจากเส้นทางของการรวมตัว จำเป็นและเพียงพอที่อินทิกรัลเหนือเส้นขอบปิดใดๆ ที่วางอยู่ในภูมิภาคนี้มีค่าเท่ากับศูนย์

การพิสูจน์. ความเพียงพอ

ให้อินทิกรัลตามเส้นขอบปิดใดๆ ที่วาดในโดเมน G เท่ากับศูนย์ ให้เราแสดงให้เห็นว่าอินทิกรัลนี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับเส้นทางของการบูรณาการ อันที่จริง ให้ A และ B เป็นสองจุดที่เป็นของภูมิภาค G ให้เราเชื่อมโยงจุดเหล่านี้ด้วยเส้นโค้งสองเส้นที่แตกต่างกันและเลือกโดยพลการซึ่งอยู่ในภูมิภาค G (รูปที่ 257)

ให้เราแสดงให้เห็นว่าส่วนโค้งเป็นรูปร่างปิด โดยคำนึงถึงคุณสมบัติของอินทิกรัลส่วนโค้งที่เราได้รับ

เพราะ . แต่โดยสมมุติฐานว่าเป็นอินทิกรัลเหนือเส้นชั้นความสูงปิด

ดังนั้น หรือ ดังนั้น อินทิกรัลโค้งไม่ได้ขึ้นอยู่กับเส้นทางของการบูรณาการ

ความต้องการ. ให้อินทิกรัลส่วนโค้งในโดเมน G ไม่ขึ้นกับเส้นทางของการรวม ให้เราแสดงว่าอินทิกรัลเหนือเส้นขอบปิดใดๆ ที่วางอยู่ในภูมิภาคนี้เท่ากับศูนย์ อันที่จริง ให้พิจารณาเส้นชั้นความสูงปิดตามอำเภอใจที่อยู่ในโดเมน G และใช้จุด A และ B สองจุดตามอำเภอใจ (ดูรูปที่ 257) แล้ว

ตามเงื่อนไข ดังนั้นอินทิกรัลเหนือเส้นชั้นความสูงปิดใดๆ ที่อยู่ในโดเมน G เท่ากับศูนย์

ทฤษฎีบทต่อไปนี้ให้เงื่อนไขที่สะดวกต่อการใช้งานจริง ซึ่งอินทิกรัลส่วนโค้งไม่ได้ขึ้นอยู่กับเส้นทางของการรวมเข้าด้วยกัน

ทฤษฎีบท 2

เพื่อให้อินทิกรัลโค้งเป็นอิสระจากเส้นทางของการรวมตัวในภูมิภาคที่เชื่อมต่ออย่างง่าย จำเป็นและเพียงพอที่เงื่อนไขแต่ละจุดของภูมิภาคนี้

การพิสูจน์. ความเพียงพอ อนุญาตในโดเมน ให้เราแสดงว่าอินทิกรัลส่วนโค้งตามเส้นชั้นความสูงปิดใดๆ ที่อยู่ในโดเมน G เท่ากับศูนย์ พิจารณาพื้นที่ a ที่ล้อมรอบด้วยเส้นขอบ L เนื่องจากความเชื่อมโยงอย่างง่ายของโดเมน G พื้นที่ a ทั้งหมดเป็นของพื้นที่นี้ ตามสูตร Ostrogradskiy-Green โดยเฉพาะบนไซต์จึงเป็นเช่นนั้น ดังนั้นอินทิกรัลเหนือเส้นชั้นความสูงปิดใดๆ ในโดเมน G เท่ากับศูนย์ จากทฤษฎีบทที่ 1 เราสรุปได้ว่าอินทิกรัลโค้งไม่ได้ขึ้นอยู่กับเส้นทางของการบูรณาการ

ความต้องการ. ให้อินทิกรัลโค้งเป็นอิสระจากเส้นทางของการรวมในบางโดเมน Q. ให้เราแสดงให้เห็นว่าทุกจุดของโดเมน

สมมติว่าตรงกันข้าม นั่นคือ ณ จุดหนึ่งของโดเมน Let เพื่อความชัดเจน โดยอาศัยสมมติฐานของความต่อเนื่องของอนุพันธ์ย่อยบางส่วนและความแตกต่างจะเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ดังนั้นวงกลม a (อยู่ในพื้นที่ G) สามารถอธิบายได้ใกล้กับจุดซึ่งทุกจุดรวมทั้งที่จุดความแตกต่างจะเป็นบวก ลองใช้สูตร Ostrogradsky-Green กับวงกลมกัน